2015高中数学北师大版必修4《两角和与差的正弦、余弦》word导学案
数学必修四北师大版《两角和与差的三角函数》教学设计-最新教学文档
高一《两角和与差的三角函数》教学设计【教材分析】本节是北师大版高中必修四第三章两角和与差的正弦、余弦函数，本节是在学生已经学习了任意角的三角函数和平面向量知识的基础上进一步研究两角和与差的三角函数与单角的三角函数关系，它既是三角函数和平面向量知识的延伸，又是后继内容两角和与差的正切公式、二倍角公式、半角公式的知识基础，起着承上启下的作用，对于三角函数式的化简、求值和三角恒等式的证明等有着重要的支撑。
本课时主要讲授运用平面向量的数量积推导两角差的余弦公式以及两角和与差的正、余弦公式的运用。
【学情分析】学生在本节之前已经学习了三角函数和平面向量这两章知识内容，这为本节课的学习作了很多的知识铺垫，学生也有了一定的数学推理能力和运算能力。
本节教学内容需要学生已经具有单位圆中的任意角的三角概念和平面向量的数量积的表示等方面的知识储备，这将有利于进一步促进学生思维能力的发展和数学思想的形成。
【课程资源】高中数学北师大版必修四教材；多媒体投影仪；【教学目标】1、知识与技能：掌握用向量方法推导两角差的余弦公式，回顾已学过的诱导公式以及其应用，通过简单运用，使学生初步理解公式的结构及其功能，为建立其它和（差）公式打好基础。
2、过程与方法：让学生经历两角差的余弦公式的探索、发现过程,培养学生的动手实践、探索、研究能力。
3、情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣和积极性，实事求是的科学学习态度和勇于创新的精神。
【教学重点和难点】教学重点：两角和与差的余弦公式以及正弦公式的推导及运用教学难点：向量法推导两角差的余弦公式及公式的灵活运用（设计依据：平面内两向量的数量积的两种形式的应用是本节课“两角和与差的余弦公式推导”的主要依据，在后继知识中也有广泛的应用，所以是本节的一个重点。
又由于“两角和与差的余弦公式的推导和应用”对后几节内容能否掌握具有决定意义，在三角变换、三角恒等式的证明、三角函数式的化简求值等方面有着广泛的应用，因此也是本节的一个重点。
高中数学必修4教案 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)
两角和与差的正弦、余弦、正切公式（二）一、教学目标1、理解两角和与差的余弦、正弦和正切公式，体会三角恒等变换特点的过程；2、掌握两角和与差的余弦、正弦和正切公式的应用及ααcos sin b a +类型的变换。
二、教学重、难点1. 教学重点：两角和、差正弦和正切公式的运用；2. 教学难点：两角和与差正弦、余弦和正切公式的灵活运用.三、教学设想：（一）复习式导入：（1）基本公式βαβαβαsin cos cos sin )sin(-=- βαβαβαsin cos cos sin )sin(+=+ βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=- βαβαβαs i n s i n c o s c o s )c o s (-=+ βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(⋅+-=- βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(⋅-+=+（2）练习：教材P132面第6题。
思考：怎样求ααcos sin b a +类型？（二）新课讲授例1x x解：此题与我们所学的两角和与差正弦、余弦和正切公式不相象，但我们能否发现规律呢？)()1cos sin 30cos cos30sin 22sin 302x x x x x x x ⎫-==-=-⎪⎪⎭思考：=12和的.归纳：b a b a b a =++=+ϕϕαααtan )sin(cos sin 22 例2、已知：函数R x x x x f ∈-=,cos 32sin 2)(求)(x f 的最值。
（2）求)(x f 的周期、单调性。
例3．已知A 、B 、C 为△ABC 的三內角，向量)3,1(-=m ，)sin ,(cos A A n = ，且1=∙n m ，求角A 。
（2）若3sin cos cos sin 2122-=-∙+B B B B ，求tanC 的值。
练习：（1）教材P132面7题（2）在△ABC 中，B A B A cos cos sin sin ，则△ABC 为（ ）A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．锐角三角形D ．等腰三角形（2） 的值为12sin 12cos3ππ-（ ）A ． 0B ．2C ．2D ．2- 思考：已知432πβπ，1312)cos(=-βα，53)sin(-=+βα，求α2sin三、小结：掌握两角和与差的余弦、正弦和正切公式的应用及ααcos sin b a +类型的变换四、作业：《习案》作业三十一的1、2、3题。
高中数学必修四导学案-两角和与差的正弦、余弦、正切公式
3. 1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式一、教材分析本节的主要内容是两角和与差的正弦、余弦和正切公式，为了引起学生学习本章的兴趣，理解以两角差的余弦公式为基础，推导两角和、差正弦和正切公式的方法，体会三角恒等变换特点的过程，理解推导过程，掌握其应用从而激发学生对本章内容的学习兴趣和求知欲。
二、教学目标⒈掌握两角和与差公式的推导过程；⒉培养学生利用公式求值、化简的分析、转化、推理能力；⒊发展学生的正、逆向思维能力，构建良好的思维品质。
三、教学重点难点重点：两角和与差公式的应用和旋转变换公式；难点：两角和与差公式变aSina ＋bCosa 为一个角的三角函数的形式。
四、学情分析五、教学方法1．温故、推新，循序渐进，以学生为主体逐步掌握本节知识要点2．学案导学：见后面的学案。
3．新授课教学基本环节：预习检查、总结疑惑→情境导入、展示目标→合作探究、精讲点拨→反思总结、当堂检测→发导学案、布置预习六、课前准备多媒体课件七、课时安排：1课时八、教学过程（一）复习式导入：大家首先回顾一下两角和与差的余弦公式：()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-；()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+． 这是两角和与差的余弦公式，下面大家思考一下两角和与差的正弦公式是怎样的呢？ 提示：在第一章我们用诱导公式五（或六）可以实现正弦、余弦的互化，这对我们解决今天的问题有帮助吗？让学生动手完成两角和与差正弦和正切公式.()()sin cos cos cos cos sin sin 2222ππππαβαβαβαβαβ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=-+=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦sin cos cos sin αβαβ=+． ()()()()sin sin sin cos cos sin sin cos cos sin αβαβαβαβαβαβ-=+-=-+-=-⎡⎤⎣⎦ 让学生观察认识两角和与差正弦公式的特征，并思考两角和与差正切公式.（学生动手）()()()sin sin cos cos sin tan cos cos cos sin sin αβαβαβαβαβαβαβ+++==+-． 通过什么途径可以把上面的式子化成只含有tan α、tan β的形式呢？（分式分子、分母同时除以cos cos αβ，得到()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=-． 注意：,,()222k k k k z πππαβπαπβπ+≠+≠+≠+∈ 以上我们得到两角和的正切公式，我们能否推倒出两角差的正切公式呢？()()()()tan tan tan tan tan tan 1tan tan 1tan tan αβαβαβαβαβαβ+---=+-==⎡⎤⎣⎦--+ 注意：,,()222k k k k z πππαβπαπβπ+≠+≠+≠+∈． （二）例题讲解例1、已知3sin ,5αα=-是第四象限角，求sin ,cos ,tan 444πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值. 解：因为3sin ,5αα=-是第四象限角，得4cos 5α===， 3sin 35tan 4cos 45ααα-===- ， 于是有43sin sin cos cos sin 4442210πππαα⎛⎫⎛⎫-=-=--= ⎪ ⎝⎭⎝ 43cos cos cos sin sin 444252510πππααα⎛⎫⎛⎫+=-=⨯-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 两结果一样，我们能否用第一章知识证明？ 3tan tan 144tan 7341tan tan 144παπαπα---⎛⎫-===- ⎪⎛⎫⎝⎭++- ⎪⎝⎭ 例2、利用和（差）角公式计算下列各式的值：（1）、s i n 72c o s 42c o s 72s i n 42-；（2）、c o s 20c o s 70s i n 20s i n 70-；（3）、1t a n 151t a n 15+-． 解：分析：解此类题首先要学会观察，看题目当中所给的式子与我们所学的两角和与差正弦、余弦和正切公式中哪个相象. （1）、()1s i n72c o s 42c o s 72s i n 42s i n7242s i n 302-=-==； （2）、()co s 20c o s 70s i n 20s i n 70c o s 2070c o s 900-=+==； （3）、()1t a n 15t a n 45t a n 15t a n 4515t a n 6031t a n 151t a n 45t a n 15++==+==--．例3x x解：此题与我们所学的两角和与差正弦、余弦和正切公式不相象，但我们能否发现规律呢？)()1cos 30cos cos30sin 22sin 302x x x x x -=-=-思考：余弦分别等于2和2的. （三）反思总结，当堂检测。
高中数学北师大版必修4第3章2《两角和与差的正弦、余弦函数》word导学案
陕西省榆林育才中学高中数学 第3章《三角恒等变形》2两角和与差的正弦、余弦函数导学案 北师大版必修4【学习目标】1. 经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程．2. 学会用两角和与差的正弦、余弦公式解决问题．【重点难点】 重点：两角和与差的正弦、余弦公式形式特征及应用．难点：两角差的余弦公式的推导．【使用说明】阅读课本P 116~118内容， 理解两角差的余弦的推导方法以及两角和的余弦公式的得来过程，并尝试利用诱导公式得出两角和与差的正弦公式，阅读的同时找出自己的疑惑并与同学进行交流，结合课本基础知识和例题，完成导学案.【自主学习】1．知识链接 (1) 向量的数量积的定义：已知向量,a b ，夹角为,______________.a b θ⋅= 则 (2) 向量的数量积的坐标表示：1122(,),(,).__________.a x y b x y a b ==⋅= 若则2．公式推导阅读课本P116~118两角差余弦公式推导过程，完成下列内容： 对于单位向量12,-OP OP αβ 和它们的夹角为，则有12________.OP OP ⋅= ① 而12cos ,sin ),cos ,sin ).OP OP ααββ== （（ 因此12OP OP ⋅ 可用坐标形式表示为12_________________________.OP OP ⋅= ②由①、②可得：cos()____________________________.αβ-=称之为两角差的余弦公式，记作.C αβ-3．两角和与差的正弦、余弦公式cos()αβ-=__________________________.（C αβ-）cos()αβ+=________________________.（C αβ+）[在C αβ-中以____替换β] =+)sin(βαcos[2π-(αβ+)]= cos[()]2παβ--=___________________.（S αβ-） =-)sin(βα__________________________.（S αβ+）[在S αβ-中以____替换β]注：（1）上述公式对任意的角αβ、都成立；（2）当αβ、中有2π的整数倍角时，使用诱导公式更方便． 4．预习自测：（1）计算cos15 ，sin 75 ，cos105的值.（2）化简：①22cos15sin 15______-= ；②sin 20sin 25cos20cos25_____.-= 【合作探究】3．已知3sin ,(,),sin(),cos().5243πππθθπθθ=∈+-求的值【课堂检测】1．计算：（1）sin105 ； （2）sin 20sin10cos10sin 70- ．2．化简：（1）1cos 22αα+； （2）sin 200sin310cos340cos50.+3．已知330,cos,sin(),cos255παβπααββ<<<<=+=-求的值．【课后训练】1．求下列各式的值：。
高中数学北师大版必修4《两角和与差的正弦、余弦》ppt导学课件
问题4 C(α-β)、C(α+β)、S(α+β)、S(α-β) 公式间的特点 两角和与差的余弦公式的特点:同名积、符号反、任意
角. 两角和与差的正弦公式的特
异名积
符号同
点: 任意角、
、
.
1 不查表,求 cos 75°的值为( B ).
A. 6+ 2
B. 6- 2
C. 3
D.1
4
4
2
2
【解析】cos 75°=cos(45°+30°)=cos 45°cos 30°-
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=sin������������cos������������-cos������������sin������������=sin(������������-������������)=sin������=������.
第2课时 两角和与差的 正弦、余弦
1.会用向量的数量积推导两角差的余弦公式. 2.能够利用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦公式、 两角和的正、余弦公式. 3.能够运用两角和的正、余弦公式进行简单的化简、求 值、证明.
问题1 cos 15°=cos(45°-30°)=cos 45°-cos 30°
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3 已知 α、β 是锐角,且 sin α=4 3,cos(α+β)=-11,则
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14
sin β=
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【解析】∵α 是锐角,sin α =������ ������,
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高中数学必修四导学案-两角和与差的正弦、余弦、正切公式
疱工巧解牛知识•巧学一、两角和的余弦公式1.比较cos(α-β)与cos(α+β)，根据α+β与α-β之间的联系：α+β=α-(-β)，则由两角差的公式得cos(α+β)=cos［α-(-β)］=cosαcos(-β)+sinαsin(-β)=cosαcosβ-sinαsinβ,即cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ.学法一得这种以-β代β的变换角的方式在三角函数的恒等变形中有着重要应用，同时也启发我们要辩证地看待和角与差角.在公式C(α-β)中，因为角α、β是任意角，所以在C(α+β)中，角α、β也是任意角.2.用两点间的距离公式推导C(α+β).图3-1-5如图3-1-5，在直角坐标系xOy内作单位圆O，以O为顶点，以x轴的非负半轴为始边，作出角α、-β，使角α、-β的终边分别交单位圆于点P2、P4，再以OP2为始边，作角β，使它的终边交单位圆于点P3，这样就出现了α、β、α+β这样的角，设角α、-β的始边交单位圆于点P1，则P1(1，0).设P2(x，y)，根据任意角的三角函数的定义，有sinα=y，cosα=x，即P2(cosα，sinα)；同理,可得P3(cos(α+β)，sin(α+β))，P4(cos(-β)，sin(-β)).由整个作图过程可知△P3OP1≌△P2OP4，所以|P1P3|=|P2P4|.|P1P3|2=|P2P4|2，即［cos(α+β)-1］2+sin2(α+β)=［cos(-β)-cosα］2+［sin(-β)-sinα］2.根据同角三角函数的基本关系,整理得2-2cos(α+β)=2-2(cosαcosβ-sinαsinβ)，即cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ.3.利用向量的数量积推导C(α+β).图3-1-6如图3-1-6，在平面直角坐标系xOy内作单位圆，以Ox为始边作角α、-β，它们与单位圆的交点分别为A、B.显然，=(cos α,sin α),=(cos(-β),sin(-β)).根据向量数量积的定义，有·=(cos α,sin α)·(cos(-β),sin(-β))=cos αcos(-β)+sin αsin(-β)=cos αcos β-sin αsin β.于是cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β.学法一得 ①在处理问题的过程中，把有待解决或难解决的问题，通过某种转化，归结为一类已经解决或比较容易解决的问题，最终求得原问题的解，这种思想方法叫做化归思想. ②以任意角的三角函数的定义为载体，我们推导了同角的三角函数的基本关系式、诱导公式和两角和的余弦公式.熟记公式中角、函数的排列顺序及式中的正负号是正确使用公式的关键.记忆要诀 公式右端的两部分为同名三角函数之积，连接符号与左边的连接符号相反.二、两角和与差的正弦1.公式的推导sin(α-β)=cos ［2π-(α-β)］=cos ［(2π-α)+β］=cos(2π-α)cos β-sin(2π-α)sin β=sin αcos β-cos αsin β. 在上面的公式中，以-β代β，即可得到sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β.2.和差公式是诱导公式的推广，诱导公式是和差公式的特例.如sin(2π-α)=sin2πcos α-cos2πsin α=0×cos α-1×sin α=-sin α.当α或β中有一个角是2π的整数倍时，通常使用诱导公式较为方便；上面公式中的α、β均为任意角. 误区警示 公式对分配律不成立，即sin(α±β)≠sin α±sin β，学习时一定要注意这一点.学法一得 公式使用时不仅要会正用，还要能够逆用，如化简sin(α+β)cos β-cos(α+β)sin β，不要将sin(α+β)和cos(α+β)展开，而应当整体考察，进行如下变形：sin(α+β)cos β-cos(α+β)sin β=sin ［(α+β)-β］=sin α，这也体现了数学中的整体原则.记忆要诀 记忆时要与两角和与差的余弦公式区别开来，两角和与差的正弦公式的右端的两部分为异名三角函数之积，连接符号与左边的连接符号相同.三、两角和与差的正切1.公式的推导利用两角和的正弦、余弦公式，可以推导出两角和的正切公式：tan(α+β)=βαβαβαβαβαβαsin sin cos cos sin cos cos sin )cos()sin(-+=++，当cos αcos β≠0时，我们可以将上式的分子、分母同时除以cos αcos β，即得用tan α和tan β表示的公式： tan(α+β)=βαβαtan tan 1tan tan -+，在上面的公式中，以-β代β，可得两角差的正切公式： tan(α-β)=βαβαtan tan 1tan tan +-. 2.公式成立的条件要能应用公式，首先要使公式本身有意义，即tan α、tan β存在.并且1+tan αtan β的值不为零，所以可得α、β需满足的条件：α≠k π+2π,β≠k π+2π，α+β≠k π+2π或α-β≠k π+2π，以上k∈Z .当tan α、tan β、tan(α±β)不存在时，可以改用诱导公式或其他方法解决. 学法一得 两角和与差的正切同样不仅可以正用，而且可以逆用、变形用，逆用和变形用都是化简三角恒等式的重要手段，如tan α+tan β=tan(α+β)(1-tan αtan β)就可以解决诸如tan15°+tan30°+tan15°tan30°的问题.所以在处理问题时要注意考察式子的特征，巧妙运用公式或其变形，使变换过程简单明了.典题•热题知识点一 所求角可表示成两个特殊角的和、差例1 求sin75°,tan15°的值.解：sin75°=sin(45°+30°)=sin45°cos30°+cos45°sin30° =42621222322+=⨯+⨯； tan15°=tan(60°-45°)=32311345tan 60tan 145tan 60tan -=+-=︒︒+︒-︒， 或tan15°=tan(45°-30°)=3233133130tan 45tan 130tan 45tan -=+-=︒︒+︒-︒. 例2 求︒︒-︒︒︒+︒8sin 15sin 7cos 8sin 15cos 7sin 的值. 思路分析：观察被求式的函数名称的特点和角的特点，其中7°=15°-8°，15°=8°+7°，8°=15°-7°.无论采取哪种代换方式，都可减少角的个数.利用和角或差角公式展开，进行约分、化简、求值.若用7°=15°-8°代换，分子、分母是二次齐次式；若用15°=8°+7°或8°=15°-7°代换，分子、分母将会出现三次式，显然选择后者更好，不妨比较一下. 答案：原式=︒︒+︒-︒︒︒+︒+︒8sin )87sin(7cos 8sin )87cos(7sin ︒︒︒-︒-︒︒︒︒+︒-︒=︒∙︒-︒︒︒-︒︒∙︒-︒︒︒+︒=8sin 8cos 7sin )8sin 1(7cos 8sin 8cos 7cos )8sin 1(7sin 8sin 7cos 8sin 8cos 7sin 7cos 8sin 7sin 8sin 8cos 7cos 7sin 2222 ︒︒-︒︒︒︒+︒︒=︒︒︒-︒∙︒︒︒︒+︒∙︒=8sin 7sin 8cos 7cos 8sin 7cos 8cos 7sin 8sin 8cos 7sin 8cos 7cos 8sin 8cos 7cos 8cos 7sin 223215tan 15cos 15sin -=︒=︒︒=. 巧解提示:原式=︒∙︒-︒-︒︒∙︒+︒-︒8sin 15sin )815cos(8sin 15cos )815sin( ︒∙︒-︒∙︒+︒∙︒︒∙︒+︒∙︒-︒∙︒=8sin 15sin 8sin 15sin 8cos 15cos 8sin 15cos 8sin 15cos 8cos 15sin ︒∙︒︒∙︒=8cos 15cos 8cos 15sin =tan15°=tan(45°-30°) 3233133130tan 45tan 130tan 45tan -=+-=︒∙︒+︒-︒=. 方法归纳 三角函数式的结构一般由角、三角函数符号及运算符号三部分组成.因此三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系，并以此为依据选择可以联系它们的适当公式，这是三角恒等变换的重要特点.无论是化简、求值，还是证明，其结果应遵循以下几个原则：①能求值的要求值；②三角函数的种类尽可能少；③角的种类尽可能少；④次数尽可能低；⑤尽可能不含根号和分母.知识点二 已知α、β的三角函数值，求α±β的三角函数值例3 已知sin α=31，求cos(3π+α)的值. 思路分析：因为3π是个特殊角，所以根据C (α+β)的展开式，只需求出cos α的值即可.由于条件只告诉了sin α=31，没有明确角α所在的象限，所以应分类讨论，先求cos α的值，再代入展开式确定cos(3π+α)的值. 解：∵sin α=31>0，∴α位于第一、二象限. 当α是第一象限角时，cos α=322)31(12=-， ∴cos(3π+α)=cos 3πcos α-sin 3πsin α=6322312332221-=⨯-⨯; 同理，当α是第二象限角时，cos α=322-， ∴cos(3π+α)=6332+-. 方法归纳 解这类给值求值问题的关键是先分清S (α±β)、C (α±β)、T (α±β)的展开式中所需要的条件，结合题设，明确谁是已知的，谁是待求的.其中在利用同角三角函数的基本关系求值时，应先解决与已知具有平方关系的三角函数值.但是，对于cos(π+α)、cos(2π+α)这样的函数求值，由于它们的角与2π的整数倍有关，所以无需按它们的展开式求值，直接利用诱导公式可能更简单.例4 已知cos(α-2β)=91-，sin(2α-β)=32，并且2π＜α＜π，0＜β＜2π，求2c o s βα+的值. 思路分析：观察给出的角)2()2(2βαβαβα---=+，结合公式C (α-β)展开式的特点，只需利用同角三角函数的基本关系计算出sin(α-2β)、cos(2α-β)的值即可. 解：∵2π＜α＜π，0＜β＜2π，∴4π＜2α＜2π，0＜2β＜4π.∴4π＜α-2β＜π，-4π＜2α-β＜2π. 又∵cos(α-2β)=91-＜0，∴πβαπ<-<<22. ∴954)91(1)2(sin 1)2sin(22=--=--=-βαβα. 同理，∵sin(2α-β)=32>0，∴220πβα<-<. ∴35)32(1)2(sin 1)2cos(22=-=--=-βαβα. 故)]2()2cos[(2cos βαβαβα---=+ =cos(α-2β)cos(2α-β)+sin(α-2β)sin(2α-β) 2757329543591=⨯+⨯-=. 例5 在△ABC 中，sinA=53,cosB=135，求cosC. 思路分析：本题主要考查三角形中的三角函数问题.若不注意“△ABC”这个条件，就会产生多解，所以解这类问题时一定要注意尽量压缩角的范围，避开分类讨论，同时要注意结论是否符合题意.解：∵cosB=22135<,∴B∈(4π,2π)且sinB=1312. ∵sinA=2253<,∴A∈(0,4π)∪(43π,π). 若A∈(43π,π),B∈(4π,2π)，则A+B∈(π,23π)与A+B+C=π矛盾， ∴A ∉(43π,π).因此A∈(0,4π)且cosA=54. 从而cosC=cos ［π-(A+B)］=-cos(A+B)=-cosAcosB+sinAsinB=651613125313554=⨯+⨯-. 例6 如图3-1-7，已知向量OP =(3,4)绕原点旋转45°到OP′的位置，求点P′(x′,y′)的坐标.图3-1-7思路分析：本题相当于已知角α的三角函数值，求α+45°的三角函数值.解：设∠xOP=α.因为|OP|=54322=+，所以cos α=53,sin α=54. 因为x′=5cos(α+45°)=5(cos αcos45°-sin αsin45°)22)22542253(5-=⨯-⨯=， 同理,可求得y′=5sin(α+45°)=227，所以P′(22-,227). 方法归纳 ①已知角α的某一三角函数值和角α所在的象限，则角α的其他三角函数值唯一；已知角α的某一三角函数值，不知角α所在的象限，应先分类讨论，再求α的其他三角函数值.②一般地，90°±α，270°±α的三角函数值，等于α的余名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，它的证明也可通过两角和、差的三角函数式进行.③在给值求值的题型中，要灵活处理已知与未知的关系，合理进行角的变换，使所求角能用已知角表示出来，所求角的三角函数值能用已知角的三角函数值表示出来.知识点三 已知三角函数值求角例7 已知sin α=55，sin β=1010,且α、β都是锐角，求α+β的值. 思路分析：(1)根据已知条件可先求出α+β的某个三角函数值，如cos(α+β).(2)由两角和的余弦公式及题设条件知只需求出cos α、cos β即可.(3)由于α、β都是锐角，所以0＜α+β＜π,y=cosx 在(0,π)上是减函数，从而根据cos(α+β)的值即可求出α+β的值. 解：∵sin α=55,sin β=1010，且α、β都是锐角，∴cos α=552sin 12=-α，cos β= 10103sin 12=-β.∴cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=2210105*********=⨯-⨯. 又∵0＜α+β＜π,∴α+β=4π. 方法归纳 给值求角的一般步骤是：①确定所求角的范围；②找到该范围内具有单调性的某一三角函数值；③先找到一个与之相关的锐角，再由诱导公式导出所求角的值.知识点四 利用两角和、差的三角函数公式证明恒等式例8 已知3sin β=sin(2α+β)，求证：tan(α+β)=2tan α.思路分析：观察条件等式和结论等式中的角，条件中含有β、2α+β，结论中含有α+β、α，若从条件入手，可采用角的变换，β=(α+β)-α，2α+β=(α+β)+α，展开后转化成齐次整式，约分得出结论.证明：∵3sin β=3sin ［(α+β)-α］=3sin(α+β)cos α-3cos(α+β)sin α，sin(2α+β)=sin ［(α+β)+α］=sin(α+β)cos α+cos(α+β)sin α，又3sin β=sin(2α+β)，∴3sin(α+β)cos α-3cos(α+β)sin α=sin(α+β)cos α+cos(α+β)sin α.∴2sin(α+β)cos α=4cos(α+β)sin α.∴tan(α+β)=2tan α.方法归纳 对条件恒等式的证明，若条件复杂，可从化简条件入手得出结论；若结论复杂，可化简结论得出条件；若条件和结论都较为复杂，可同时化简它们，直到找到它们间的联系.知识点五 变用两角和差的三角函数公式化简求值例9 用和、差公式证明tan12°+tan18°+33 tan12°·tan18°=33. 解：∵︒∙︒-︒+︒18tan 12tan 118tan 12tan =tan(12°+18°)=tan30°=33， ∴tan12°+tan18°=33 (1-tan12°·tan18°)， 即左边=33(1-tan12°tan18°)+33tan12°tan18°=33=右边. ∴tan12°+tan18°+33tan12°·tan18°=33. 方法归纳 三角公式通过等价变形，可正用，可逆用，也可变用，主要是通过对函数结构式的变形与对角的分、拆、组合来实现的.例10 求(1+tan1°)(1+tan2°)(1+tan3°)……(1+tan45°)的值.解：因为α+β=45°时，tan(α+β)=βαβαtan tan 1tan tan --+=1，所以tan α+tan β+tan αtan β=1，即(1+tan α)(1+tan β)=2. 于是(1+tan1°)(1+tan44°)=(1+tan2°)(1+tan43°)=……=(1+tan22°)(1+tan23°)=2. 又因为1+tan45°=2，所以原式=223.方法归纳 当α+β=k π+4π,k∈Z 时，(1+tan α)(1+tan β)=2； 当α+β=k π-4π,k∈Z 时，(1+tan α)(1+tan β)=2tan αtan β. 问题•探究思想方法探究问题1 在三角恒等变换中，三角公式众多，公式变换也是解决问题的有效手段，在应用这些公式时要注意些什么问题？探究过程:使用任何一个公式都要注意它的逆向变换、多向变换，这是灵活使用公式所必须的，尤其是面对那么多三角公式，把这些公式变活，显得更加重要，这也是学好三角函数的基本功.如：cos(α-β)cos β-sin(α-β)sin β化简为__________.将α-β看作一个角，β看作另一个角,则cos(α-β)cos β-sin(α-β)sin β=cos ［(α-β)+β］=cos α. 解答本题时不仅利用角的变换：α=(α-β)+β，同时运用了公式的逆向变换. 探究结论:两角和的正切公式tan(α+β)=βαβαtan tan 1tan tan -+.除了掌握其正向使用之外，还需掌握如下变换：1-tan αtan β=)tan(tan tan βαβα++；tan α+tan β=tan(α+β)(1-tan αtan β)；tan αtan βtan(α+β)=tan (α+β)-tan α-tan β等.两角和的正切公式的三种变形要熟悉，其在以后解题中经常使用，要能灵活处理.问题2 2004年重庆高考有一题为：求函数y=sin 4x+32sinxcosx-cos 4x 的最小正周期和最小值，并写出该函数在［0,π］上的单调递增区间.该函数变形后就需要用到形如asinx+bcosx(a 、b 不同时为零)的式子的变换，我们称之为辅助角变换，那么如何进行辅助角变换？探究过程:形如asinx+bcosx(a 、b 不同时为零)的式子可以引入辅助角变形为Asin(x+φ)的形式.asinx+bcosx=)cos sin (222222x b a b x b a a b a -+++, 令cos φ=22b a a +,sin φ=22b a b +，则 原式=22b a +(sinxcos φ+cosxsin φ)=22b a +sin(x+φ).(其中φ角所在象限由a 、b 的符号确定，φ角的值由tan φ=a b 确定，常常取φ=arctan ab ). 探究结论:辅助角变换是三角变形的重要形式，它的应用十分广泛，特别是在数学中求三角函数的最值及物理学当中波的合成时，都是重要的工具.例如2sinx-3cosx ，就可以利用这一结论将其化为一个三角函数的形式，从而确定其最值，因为a=2,b=-3,A=1322=+b a ，所以2sinx-3cosx=13sin(x+φ)，(其中φ在第四象限，且tan φ=23-)，所以2sinx-3cosx 的最大值是13，最小值是13-.。
数学必修四北师大版 3.2 两角和与差的三角函数教案-学习文档
cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ.
思路二:在第二章我们已经学习了向量的知识.向量的主要作用之一是讨论几何度量问题,例如,长度和角度的问题.从向量数量积的定义:a·b=|a||b|cosθ(0≤θ≤π),我们知道:任何向量与自身的数量积为向量长度的平方;两个单位向量的数量积就等于它们之间夹角的余弦函数值,反映了它们之间夹角的大小.向量的方法为我们探索三角函数关系提供了一种非常重要的思想方法.
让学生利用单位圆及向量的数量积的知识,并结合课件直接进行差角的余弦公式探究的学习.
提出问题
①让学生猜想cos(α-β)=?你认为cos(α-β)=cosα-cosβ对吗？举例验证.
②回忆前面学过的单位圆上的三角函数线,如何用α、β的三角函数来表示cos(α-β)呢？
③回忆向量的数量积的知识及向量方法的作用,结合单位圆能找到两个单位向量其夹角是α-β吗？
④得到cos(α-β)公式后,它有哪些特征？其中α、β角的取值范围是任意的吗？
⑤类比前面学过的诱导公式及同角的基本关系式的应用,如何正用、逆用、灵活运用两角差的余弦公式进行求值、化简与证明呢？
让学生充分发挥想象能力,自主探究.
北师大版高中数学必修四3.2两角和与差的三角函数教案
精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；读太阳，读出了它普照万物的无私；读春雨，读出了它润物无声的柔情。
读大海，读出了它气势磅礴的豪情。
读石灰，读出了它粉身碎骨不变色的清白。
2、幸福幸福是“临行密密缝，意恐迟迟归”的牵挂；幸福是“春种一粒粟，秋收千颗子”的收获. 幸福是“采菊东篱下，悠然见南山”的闲适；幸福是“奇闻共欣赏，疑义相与析”的愉悦。
幸福是“随风潜入夜，润物细无声”的奉献；幸福是“夜来风雨声，花落知多少”的恬淡。
幸福是“零落成泥碾作尘，只有香如故”的圣洁。
幸福是“壮志饥餐胡虏肉，笑谈渴饮匈奴血”的豪壮。
幸福是“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”的胸怀。
幸福是“人生自古谁无死，留取丹心照汗青”的气节。
3、大自然的语言丰富多彩：从秋叶的飘零中，我们读出了季节的变换；从归雁的行列中，我读出了集体的力量；从冰雪的消融中，我们读出了春天的脚步；从穿石的滴水中，我们读出了坚持的可贵；从蜂蜜的浓香中，我们读出了勤劳的甜美。
4、成功与失败种子，如果害怕埋没，那它永远不能发芽。
鲜花，如果害怕凋谢，那它永远不能开放。
矿石，如果害怕焚烧（熔炉），那它永远不能成钢（炼成金子）。
蜡烛，如果害怕熄灭（燃烧），那它永远不能发光。
航船，如果害怕风浪，那它永远不能到达彼岸。
5、墙角的花，当你孤芳自赏时，天地便小了。
井底的蛙，当你自我欢唱时，视野便窄了。
笼中的鸟，当你安于供养时，自由便没了。
山中的石！当你背靠群峰时，意志就坚了。
水中的萍！当你随波逐流后，根基就没了。
空中的鸟！当你展翅蓝天中，宇宙就大了。
空中的雁！当你离开队伍时，危险就大了。
地下的煤！你燃烧自己后，贡献就大了6、朋友是什么？朋友是快乐日子里的一把吉它，尽情地为你弹奏生活的愉悦；朋友是忧伤日子里的一股春风，轻轻地为你拂去心中的愁云。
朋友是成功道路上的一位良师，热情的将你引向阳光的地带；朋友是失败苦闷中的一盏明灯，默默地为你驱赶心灵的阴霾。
高中数学新北师大版精品教案《北师大版高中数学必修4 2 两角和与差的三角函数》
《两角和与差的正余弦函数》教学设计[教材分析]两角和与差的正弦、余弦、正切是本章的重要内容，是正弦线、余弦线和诱导公式等知识的延伸，是后继内容二倍角公式、和差化积、积化和差公式的知识基础，对于三角变换、三角恒等式的证明和三角函数式的化简、求值等三角问题的解决有重要的支撑作用。
两角差的余弦公式是《三角恒等变换》这一章的基础和出发点，公式的发现和证明是本节课的重点，也是难点．[教学目标]1.知识与技能：1理解两角差的余弦公式发现和推导；（2）理解利用诱导公式推导两角和的余弦公式以及两角和与差的正弦公式的过程； 3能够从正反两个方向运用公式解决简单应用问题。
2方法与过程：1培养学生逆向思维的意识和习惯；2培养学生自主探究和解决问题的能力，锻炼学生的思维品质。
3情感与态度：由实际问题引入问题，通过探究深化了对该知识的理解，借助于多媒体教学手段，给学生提供了思维的直观想象。
通过学生主动参与，激发学生的学习兴趣和求知欲望，给学生创造成功的机会，使他们爱学、会学、学会。
[教学重点] 两角和与差的正余弦公式结构及其应用。
[教学难点] 两角和与差的正余弦公式的推导。
[教学准备] 多媒体辅助教学（利用实物投影进行教学）[教学方法] 启发探究式（教师设问引导，学生自主探究，合作解决）[教学过程] 一、导入新课 板书课题提出问题：?)3060(cos =- ?30cos 60cos =- 这两个式子相等么？（21cos60= ，2330cos = ）那么？=-)(cos βα?)(cos =+βα?)(sin =-βα？=+)(sin βα 这就是我们今天要研究第一个的课题。
揭示课题：两角和与差的正余弦函数设计意图：通过创设问题情境，自然流畅地提出问题，揭示课题，引发学生思考。
使学生目标明确、迅速进入角色。
二、探索研究，引导归纳探究公式的推导过程1、设α、β的终边分别与单位圆交于点A 、B ，则)sin ,(cos αα=OA ，)sin ,(cos ββ=OB ，)cos()cos(||||βαβα-=-•=•OB OA OB OA)sin ,(cos αα=•OB OA )sin ,(cos ββ•＝co αco β＋in αin β两角差的余弦公式：co α-β=co αco βin αin β C α-β设计意图：探究公式的推导过程，借助多媒体教学手段，给学生提供了思维的直观想象。
北师大版高中数学必修四教学案两角和与差的正弦、余弦函数
年级高一
学科数学
课题
两角和与差的正弦与余弦函数
授课时间
撰写人
学习重点
用向量的数量积推导出两角差的余弦公式
学习难点
两角差的正弦与余弦公式运用
学习目标
1经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用
2两角和与差的正弦与余弦公式应用
教学过程
一自主学习
1向量的数练习已知 ， ，求 的值
例3求 的最大值和周期
变式：求 的最大值和周期
三巩固练习
(A) (B)
(C) (D)
2.已知
3.
4.
四课后反思
五课后巩固练习
（1）、 ；
（2）、 ；
3.已知 ， 均为第二象限，求 的值
数学北师大版必修4教学设计：3.2.2两角和与差的正、余弦函数 Word版含解析
教学设计2.2 两角和与差的正、余弦函数整体设计教学分析本节课是在研究了两角差的余弦公式的基础上,进一步研究具有“两角和差”关系的正弦、余弦公式.以两角差的余弦为基础,推导后面其他公式的过程是一个逻辑推理的过程,也是一个认识三角函数式的特征,体会三角恒等变形特点的过程,我们不仅要重视对推出的公式的理解、应用,而且还应重视推导过程的教育功能.在这些公式的推导中,教科书把对照、比较有关的三角函数式,认清其区别,寻找其联系和联系的途径作为思维的起点.例如:比较cos(α-β)与cos(α+β),它们都是角的余弦,只是角的形式不同,但不同角的形式从运算或换元的角度看都有内在联系,如α+β=α-(-β)的关系.又如:比较sin(α-β)与cos(α-β),它们包含的角相同但函数名称不同,这就要求进行函数名的互化,利用诱导公式即可建立角的正弦与余弦的联系.通过对“两角和与差的正弦、余弦公式”的推导,揭示了两角和与差的三角函数与这两角的三角函数的运算规律,使学生加深了对数学公式的推导、证明方法的理解.因此本节内容对培养学生的运算能力\,逻辑思维能力\,创新能力及发现问题和解决问题的能力都有着十分重要的意义.本节的公式是相互联系的,其推导过程也充分说明了它们之间的内在联系,让学生深刻领悟它们的这种联系,加深对公式的理解和记忆.本节教案设计的几个例子较课本例子要丰满广阔,主要目的是为了训练学生思维的有序性,逐步培养他们良好的思维习惯.教学中应当有意识地对学生的思维习惯进行引导,例如在面对具体问题时,要注意先认真分析条件,明确要求,再思考应该联系什么公式,使用公式时要具备什么条件等.另外,还要重视思维过程的表述,不能只看最后结果而不顾过程表述的正确性、简洁性等,这些都是培养学生三角恒等变形能力所不能忽视的.三维目标1.通过让学生探索、发现并推导两角和与差的正、余弦公式,了解它们之间的内在联系,并通过强化题目的训练,加深对公式的理解,培养学生的运算能力及逻辑推理能力,并通过公式的具体运用,使学生深刻体会联系变化的观点,自觉地利用联系变化的观点来分析问题,提高学生分析问题\,解决问题的能力.2.通过本节公式的推导,不仅使学生掌握寻找数学规律的方法,提高学生的观察\,分析问题的能力,培养学生的应用意识,提高学生的数学素质.而且要在推导公式的逻辑结构熏陶下,升华学生的理性思维,以数学自身的美去吸引学生,让学生更有效地抓住问题的本质,并从中获得研究方法的有益启示.重点难点教学重点:两角和与差的正弦、余弦公式及其推导.教学难点:灵活运用所学公式进行求值、化简、证明.课时安排1课时教学过程导入新课思路1.(情境导入)教师先让学生回顾上节课所推导的两角差的余弦公式,并让一学生把公式默写在黑板上,注意有意识地让学生写整齐.然后教师引导学生观察思考:公式cos(α-β)中α、β既然是任意角,你能把它转化为cos(α+β)、sin(α-β)吗？由此展开一系列公式的推导及应用. 思路2.(问题引入)教师提出问题,先让学生计算以下几个题目:若sinα=55,α∈(0,2π),cosβ=1010,β∈(0,2π),求cos(α-β),cos(α+β)的值.这样既复习回顾了上节所学公式,又为本节新课作铺垫.学生利用公式C α-β很容易求得cos(α-β),但是如果求cos(α+β)的值却有困难了,需要想法转化为公式C α-β的形式来求,怎样转化呢？从而引出新课题,并由此展开联想,推出其他公式.推进新课新知探究提出问题①回忆两角差的余弦公式及推导过程,其他两角和与差的公式也用此法吗？你是否考虑过:在公式C α-β中,因为角β是任意角,所以将角α-β中β换成角-β后用诱导公式?②观察C α+β的结构有何特征,并与公式C α-β进行比较,你有哪些发现?③你能否利用诱导公式从余弦的两角和公式推导sin(α+β)=?sin(α-β)=?并观察思考公式的结构特征与和差的余弦公式有什么不同？活动:先让学生默写两角差的余弦公式,教师适时地打开课件,点拨学生思考公式中的α,β既然可以是任意角,是怎样任意的？你会有些什么样的奇妙想法吗？并鼓励学生大胆猜想,引导他们比较cos(α-β)与cos(α+β)中角的内在联系,学生有的会发现α-β中的角β可以变为角-β,所以α-(-β)=α+β〔也有的会根据加减运算关系直接把和角α+β化成差角α-(-β)的形式〕,这样就很自然地得到:cos(α+β)=cos ［α-(-β)］=cosαcos(-β)+sinαsin(-β)=cosαcosβ-sinαsinβ.观察以上公式的结构特征可知:两角和的余弦,等于这两角的余弦积减去这两角的正弦积,同时让学生对比公式C α-β进行记忆.由上面推得两角和与差的余弦公式的方法,教师引导学生思考,怎样才能得到两角和与差的正弦公式呢？我们自然想到利用诱导公式可以实现正弦、余弦的互化(也有的想到利用同角的平方和关系式sin 2α+cos 2α=1来互化,此法让学生在课下试一试),因此有: sin(α+β)=cos ［2π-(α+β)］=cos ［(2π-α)-β］=cos(2π-α)cosβ+sin(2π-α)sinβ=sinαcosβ+cosαsinβ. 在上述公式中β用-β代之,则有:sin(α-β)=sin ［α+(-β)］=sinαcos(-β)+cosαsin(-β)=sinαcosβ-cosαsinβ.根据以上探究,我们得到以下公式:cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ;cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ;sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ;sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ.上述结论我们分别称之为两角和的余弦公式、两角差的余弦公式、两角和的正弦公式、两角差的正弦公式.对以上公式教师恰时恰点地引导学生观察公式的结构特征以便于整体记忆,同时进一步体会本节公式的探究过程及公式的变化特点,体验三角公式的这种简洁美、对称美以及这种逻辑结构的内在魅力.这种逻辑结构的熏陶是我们中学数学的灵魂,是培养学生的理性思维的特有载体.因此要深刻理解它们之间的内在联系,并借以理解\,灵活运用这些公式.同时教师应提醒学生注意:不仅要掌握这些公式的正用,还要注意它们的逆用及变形用,在例题及练习训练中要注意领悟.讨论结果:①—③略.应用示例思路1例1 已知sinα=54,α∈(2π,π),cosβ=-135,β∈(π,23π), 求cos(α+β),cos(α-β)的值.活动:教师引导学生分析题目中角的关系,在面对问题时要注意认真分析条件,明确要求,再思考应该联系什么公式,使用公式时要有什么准备,准备工作怎么进行等.例如本题中,应先求出cosα的值,才能利用公式得解.本题是直接应用公式解题,目的是为了让学生初步熟悉公式的应用,教师可以完全让学生自己独立探究完成,必要时给以点拨. 解:由已知sinα=54,α∈(2π,π),得cosα=α2sin 1--=-53. 又由已知cosβ=-135,β∈(π,23π),得sinβ=β2cos 1--=-1312. ∴cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ=(-53)×(-135)+54×(-1312)=-6533; cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ=(-53)×(-135)-54×(-1312)=6563. 点评:本例是运用和差角公式的基础题,安排这个例题的目的是为了训练学生思维的有序性,逐步培养他们良好的思维习惯.变式训练1.已知sinα=-53,α是第四象限角,求sin(4π-α),cos(4π+α)的值. 解:由sinα=-53,α是第四象限角,得 cosα=α2sin 1--=2)53(1--=54 于是有sin(4π-α)=sin 4πcosα-cos 4πsinα =22×54-22×(-53)=1027; cos(4π+α)=cos 4πcosα-sin 4πsinα=22×54-22×(-53)=1027. 2.设α∈(0,2π),若sinα=53,则2sin(α+4π)等于( ). A.57 B.51 C.27 D.4 答案:A例2 在△ABC 中,sinA=53(0°＜A ＜45°),cosB=135(45°＜B ＜90°),求sinC 与cosC 的值. 活动:本题是解三角形问题,在必修5中还作专门的探究,这里用到的仅是与三角函数诱导公式与和差公式有关的问题,难度不大,但应是学生必须熟练掌握的,同时也加强学生的应用意识,提高学生分析问题和解决问题的能力.教师可让学生自己阅读、探究、讨论解决,对有困难的学生教师引导学生分析题意和找清三角形各角之间的内在联系,从而找出解决问题的路子.教师要提醒学生注意三角形内角的范围这一暗含条件.解:∵在△ABC 中,A+B+C=180°,∴C=180°-(A+B).又∵sinA=53且0°＜A ＜45°,∴cosA=54. 又∵cosB=135且45°＜B ＜90°,∴sinB=1312. ∴sinC=sin ［180°-(A+B)］=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB =53×135+54×1312=6563, cosC=cos ［180°-(A+B)］=-cos(A+B)=sinAsinB-cosAcosB =53×1312-54×135=6516. 点评:本题是利用两角和差公式来解决三角形问题的基础性典型例子,培养了学生的应用意识,也使他们更加认识了公式的作用.变式训练在△ABC 中,已知sin(A-B)cosB+cos(A-B)sinB≥1,则△ABC 是( ).A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.等腰非直角三角形 答案:C思路2 1.若sin(43π+α)=135,cos(4π-β)=43π,且0＜α＜4π＜β＜43π,求cos(α+β)的值. 活动:本题是一个典型的变角问题,也是一道经典例题,对训练学生的运算能力以及逻辑思维能力很有价值.尽管学生思考有点难度,但教师仍可放手让学生探究讨论,不可直接给出解答.对于探究不出的学生,教师可恰当地点拨引导,指导学生解决问题的关键是寻找所求角与已知角的内在联系,引导学生理清所求的角与已知角的关系,观察选择应该选用哪个公式进行求解,同时也要特别提醒学生注意:在求有关角的三角函数值时,要特别注意确定角的范围,判断好准确的三角函数符号,这是解决这类问题的关键.学生完全理清思路后,教师应指导学生的规范书写,并熟练掌握它.对于比较好的学生可让其扩展本题,或变化条件,或变换所求的结论等.如教师可变换α,β角的范围,进行一题多变训练,提高学生灵活应用公式的能力,因此教师要充分利用好这个例题的训练价值. 解:∵0＜α＜4π＜β＜43π, ∴43π＜43π+α＜π,-2π＜4π-β＜0. 又已知sin(43π+α)=135,cos(4π-β)=53,∴cos(43π+α)=-1312,sin(4π-β)=-54 ∴cos(α+β)=sin ［2π+(α+β)］=sin ［(43π+α)-(4π-β)］ =sin(43π+α)cos(4π-β)-cos(43π+α)sin(4π-β) =135×53-(-1312)×(-54)=-6533. 变式训练已知α,β∈(43π,π),sin(α+β)=-53,sin(β-4π)=1312,求cos(α+4π)的值. 解:∵α,β∈(43π,π),sin(α+β)=-53,sin(β-4π)=1312, ∴23π＜α+β＜2π,2π＜β-4π＜43π. ∴cos(α+β)=54,cos(β-4π)=-135, ∴cos(α+4π)=cos ［(α+β)-(β-4π)］ =cos(α+β)cos(β-4π)+sin(α+β)sin(β-4π) =(-135)×54+(-53)×1312=-6556. 例2 化简αθαθθβθββαβαsin sin )sin(sin sin )sin(sin sin )sin(-+-+-. 活动:本题是直接利用公式把两角的和差化为两单角的三角函数的形式,教师可以先让学生自己独立地做完,然后进行讲评反思,也可以把它改编为三角证明题.解:原式=αθαθαβθβθβθββαβαβαsin sin sin cos cos sin sin sin sin cos cos sin sin sin sin cos cos sin -+-+- =θβαθβαθβαθβαθβαθβαsin sin sin sin cos sin cos sin sin sin sin sin sin sin cos sin cos sin -+- αβθαβθαβθsin sin sin sin sin cos cos sin sin -+=αβθsin sin sin 0=0. 点评:本题是一个很好的运用公式进行化简的例子,通过学生独立解答,培养学生熟练运用公式的运算能力.变式训练化简:)cos(sin sin 2cos sin 2)sin(βαβαβαβα++-+. 解:原式=βαβαβαβαβαβαsin sin cos cos sin sin 2cos sin 2sin cos cos sin -+-+ βαβαβαβαcos cos sin sin cos sin sin cos +-=)cos()sin(αβαβ--==tan(β-α). 知能训练课本练习3、4、5.课堂小结1.先由学生回顾本节课都学到了哪些数学知识和数学方法,有哪些收获与提高,在公式推导中悟出了什么样的数学思想？怎样用公式进行简单三角函数式的化简、求值与三角等式的证明,本节公式推导的逻辑结构如何？2.教师提纲挈领:我们本节课要理解并掌握两角和与差的正弦、余弦公式及其推导,明白怎样从已知推得未知,理解数学当中重要的数学思想——“转化与化归”以及由逻辑结构编织的公式体系,并正确熟练地运用公式解题.在解题时要注意分析三角函数名称、角的关系.一个题目能给出多种解法,从中比较最佳解决问题的途径,以达到优化解题过程,规范解题步骤,领悟变形思路,强化数学思想方法之目的.作业已知0＜β＜4π,4π＜α＜43π,cos(4π-α)=53,sin(43π+β)=135,求sin(α+β)的值. 解:∵4π＜α＜43π, ∴-2π＜4π-α＜0. ∴sin(4π-α)=2)53(1--=-54. 又0＜β＜4π, ∴43π＜43π+β＜π,cos(43π+β)=2)135(1--=-1312. ∴sin(α+β)=-cos(2π+α+β)=-cos ［(43π+β)-(4π-α)］ =-cos(43π+β)cos(4π-α)-sin(43π+β)sin(4π-α) =-(-1312)×53-135×(-54)=6556. 设计感想1.本节课可以说是公式推理及其应用的理性特别强的课时,是培养学生理性精神的特有载体,因此教案设计流程是“提出问题→转化推导→分析记忆→应用训练”,这个过程的重点是转化推导,它充分展示了公式推导教学中以学生为主体,进行主动探索数学知识发生发展的过程.同时充分发挥教师的主导作用,引导学生利用旧知识推导证明新知识,并学会记忆公式的方法,灵活运用公式解决实际问题.从而使学生领会了数学当中重要的数学思想——“转化与化归”,并培养他们主动利用“转化与化归思想”探索解决数学问题.2.纵观本教案的设计,知识点集中,容量很大,重点是公式的推导证明、记忆以及简单应用等,通过本节的学习,使学生深刻理解公式的推导证明方法,熟练会用公式解决简单的问题.同时教给学生发现规律,探索推导,获取新知的方法,让他们真正尝到自己发现探索数学知识的喜悦和成功感.备课资料一、备用习题1.计算οοοοοο8sin 15sin 7cos 8sin 15cos 7sin -+的值. 2.利用和差角公式计算下列各式的值.(1)sin72°cos42°-cos72°sin42°.(2)cos20°cos70°-sin20°sin70°.(3)sin(54°-x)cos(36°+x)+cos(54°-x)sin(36°+x).3.化简cos(α+β)cosβ+sin(α+β)sinβ.4.已知2π＜β＜α＜43π,cos(α-β)=1312,sin(α+β)=-54,求cos2β的值. 5.求证:cosα+3sinα=2sin(6π+α). 参考答案:1.解:原式=οοοοοοοοοοοοοοοοοοοο8sin 15sin 8sin 15sin 8cos 15cos 8sin 15cos 8sin 15cos 8cos 15sin 8sin 15sin )815cos(8sin 15cos )815sin(-++-=--+- =οοοο8cos 15cos 8cos 15sin =tan15°=tan(45°-30°) =3233133130tan 45tan 130tan 45tan -=+-=+-οοοο. 2.解:(1)原式=sin(72°-42°)=sin30°=21. (2)原式=cos(20°+70°)=cos90°=0.(3)原式=sin ［(54°-x)+(36°+x)］=sin90°=1.3.解:原式=cos ［(α+β)-β］=cosα.4.解:∵2π＜β＜α＜43π, ∴0＜α-β＜4π,π＜α+β＜23π. 又∵cos(α-β)=1312,sin(α+β)=-54, ∴sin(α-β)=135,cos(α+β)=-53. ∴cos2β=cos ［(α+β)-(α-β)］=cos(α+β)cos(α-β)+sin(α+β)sin(α-β) =-53×1312+(-54)×135=-6556. 5.证明:方法一:右边=2(sin6πcosα+cos 6πsinα) =2(21cosα+23sinα)=cosα+3sinα=左边. 方法二:左边=2(21cosα+23sinα) =2(sin 6πcosα+cos 6πsinα)=2sin(6π+α)=右边. 本题点评:本题题目虽小但意义重大,也可设计为本节例题.对于此题的证明,学生首先想到的证法就是把等式右边利用公式S α+β展开,化简整理即可得到左边,这是很自然的,教师要给予鼓励.同时教师可以有目的地引导学生把等式左边转化为公式S α+β的右边的形式,然后逆用公式化简即可求得等式右边的式子,这种证明方法不仅仅是方法的变化,更重要是把两个三角函数化为了一个三角函数.本题给出了两种证法,方法一是正用公式的典例,而方法二则是逆用公式证明的,此法也给了我们一种重要的转化方法:将两个三角函数转化为一个三角函数,要求学生熟练掌握其精神实质.本例的方法二将左边的系数1与3分别变为了21与23,即辅助角6π的正、余弦.关于形如asinx+bcosx(a,b 不同时为零)的式子引入辅助变形为Asin(x+φ)的形式,其基本思想是“从右向左”用和角的正弦公式,把它化成Asin(x+φ)的形式.一般情况下,如果a=Acosφ,b=Asinφ,那么asinx+bcosx=A(sinxcosφ+cosxsinφ)=Asin(x+φ).由sin 2φ+cos 2φ=1,可得A 2=a 2+b 2,A=±22b a +,不妨取A=22b a +,于是得到cosφ=2222sin ,b a b b a a+=+ϕ,从而得到tanφ=ba ,因此asinx+bcosx=22b a +sin(x+φ),通过引入辅助角φ,可以将asinx+bcosx 这种形式的三角函数式化为一个角的一个三角函数的形式,化为这种形式可解决asinx+bcosx 的许多问题,比如值域、最值、周期、单调区间等.教师应提醒学生注意,这种引入辅助角的变形思想很重要,即把两个三角函数化为了一个三角函数,实质上是消元思想,这样就可以根据三角函数的图像与性质来研究它的性质,因此在历年高考试题中出现的频率非常高,在解答高考物理试题时也常常被使用,应让学生领悟其实质并熟练地掌握它.二、三角函数知识歌诀三角函数是函数,象限符号坐标注;函数图像单位圆,周期奇偶增减现.同角关系很重要,化简证明都需要;同角仅是正余切,平方商除有技巧.诱导公式就是好,负化正后大化小;变成锐角好查表,化简证明少不了.三角公式就是美,二的一半整数倍;千变万化有规律,奇数化余偶不变.将其后者视锐角,符号原来函数判;两角和的余弦值,化为单角好求值.计算证明角先行,注意结构函数名;保持基本量不变,繁难向着简易变.换角变形众公式,抓住角的相对性;公式虽多有主线,互余角度名称变.单位圆中有玄机,逻辑推理要严密;恒等变形不变质;向量有了用武地.三角公式变形多,联系过程巧记忆;总结规律常思考,数学原来真美丽.(设计者:郑吉星)。
北师版数学高一-必修4学案 两角和与差的正弦、余弦函数
2．2 两角和与差的正弦、余弦函数[学习目标] 1.掌握由两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式及两角和与差的正弦公式.2.会用两角和与差的正弦、余弦公式进行简单的三角函数的求值、化简、计算等.3.熟悉两角和与差的正、余弦公式的灵活运用，了解公式的正用、逆用以及角的变换的常用方法．[知识链接]1．cos(α＋β)与cos α＋cos β相等吗？答 一般情况下不相等，但在特殊情况下也有相等的时候．例如，当α＝60°，β＝－60°时，cos(60°－60°)＝cos 60°＋cos(－60°)．2．你能结合三角函数诱导公式，由公式C α＋β或C α－β推导出公式S (α－β)吗？答 sin(α－β)＝cos ⎣⎡⎦⎤π2－(α－β)＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫π2－α＋β＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－αcos β－sin ⎝⎛⎭⎫π2－αsin β ＝cos βsin α－cos αsin β.[预习导引]1．两角和与差的余弦公式C α－β：cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β.C α＋β：cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β.2．两角和与差的正弦公式S α＋β：sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β.S α－β：sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β.3．两角互余或互补(1)若α＋β＝π2，其α、β为任意角，我们就称α、β互余．例如：π4－α与π4＋α互余，π6＋α与π3－α互余．(2)若α＋β＝π，其α，β为任意角，我们就称α、β互补．例如：π4＋α与34π－α互补，α＋π3与23π－α互补.要点一 利用和(差)角公式化简例1 化简下列各式：(1)sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋2sin ⎝⎛⎭⎫x －π3－3cos ⎝⎛⎭⎫2π3－x ； (2)sin (2α＋β)sin α－2cos(α＋β)． 解 (1)原式＝sin x cos π3＋cos x sin π3＋2sin x cos π3－2cos x sin π3－3cos 2π3cos x －3sin 2π3sin x ＝12sin x ＋32cos x ＋sin x －3cos x ＋32cos x －32sin x ＝⎝⎛⎭⎫12＋1－32sin x ＋⎝⎛⎭⎫32－3＋32cos x ＝0.(2)原式＝sin[(α＋β)＋α]－2cos (α＋β)sin αsin α＝sin (α＋β)cos α－cos (α＋β)sin αsin α＝sin[(α＋β)－α]sin α＝sin βsin α. 规律方法 化简三角函数式的标准和要求(1)能求出值的应求出值． (2)使三角函数式的种数、项数及角的种类尽可能少．(3)使三角函数式的次数尽可能低．(4)使分母中尽量不含三角函数式和根式．跟踪演练1 化简：(tan 10°－3)cos 10°sin 50°. 解 原式＝(tan 10°－tan 60°)cos 10°sin 50°＝⎝⎛⎭⎫sin 10°cos 10°－sin 60°cos 60°cos 10°sin 50°＝sin 10°cos 60°－cos 10°sin 60°cos 10°cos 60°·cos 10°sin 50°＝sin (－50°)cos 10°cos 60°·cos 10°sin 50°＝－1cos 60°＝－2. 要点二 利用和(差)角公式求值例2 若sin ⎝⎛⎭⎫3π4＋α＝513，cos ⎝⎛⎭⎫π4－β＝35，且0<α<π4<β<3π4，求cos(α＋β)的值． 解 ∵0<α<π4<β<3π4， ∴3π4<3π4＋α<π，－π2<π4－β<0. 又∵sin ⎝⎛⎭⎫3π4＋α＝513，cos ⎝⎛⎭⎫π4－β＝35， ∴cos ⎝⎛⎭⎫3π4＋α＝－1213，sin ⎝⎛⎭⎫π4－β＝－45， ∴cos(α＋β)＝sin ⎣⎡⎦⎤π2＋(α＋β)＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫3π4＋α－⎝⎛⎭⎫π4－β ＝sin ⎝⎛⎭⎫3π4＋αcos ⎝⎛⎭⎫π4－β－cos ⎝⎛⎭⎫3π4＋αsin ⎝⎛⎭⎫π4－β ＝513×35－⎝⎛⎭⎫－1213×⎝⎛⎭⎫－45＝－3365. 规律方法 在解决此类题目时，一定要注意已知角与所求角之间的关系，恰当地运用拆角、拼角技巧，同时分析角之间的关系，利用角的代换化异角为同角．具体做法是：(1)当条件中有两角时，一般把“所求角”表示为已知两角的和或差．(2)当已知角有一个时，可利用诱导公式把所求角转化为已知角．跟踪演练2 已知π2<β<α<3π4，cos(α－β)＝1213，sin(α＋β)＝－35，求cos 2α与cos 2β的值． 解 ∵π2<β<α<3π4， ∴0<α－β<π4，π<α＋β<3π2. ∴sin(α－β)＝1－cos 2(α－β) ＝ 1－⎝⎛⎭⎫12132＝513，cos(α＋β)＝－1－sin 2(α＋β)＝－ 1－⎝⎛⎭⎫－352＝－45. ∴cos 2α＝cos[(α＋β)＋(α－β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)－sin(α＋β)sin(α－β)＝－45×1213－⎝⎛⎭⎫－35×513＝－3365， cos 2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β)＝－45×1213＋⎝⎛⎭⎫－35×513＝－6365. 要点三 公式的变形应用例3 已知sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝13，求tan αtan β的值． 解 ∵sin(α＋β)＝12，∴sin αcos β＋cos αsin β＝12.① ∵sin(α－β)＝13，sin αcos β－cos αsin β＝13.② 由①②解得sin αcos β＝512，cos αsin β＝112， ∴tan αtan β＝sin αcos βcos αsin β＝512112＝5. 规律方法 本题考查了公式的变形应用．先结合所求结论特点，对已知进行变形，整体求值．而本题中化切为弦的求法更是巧妙，体会其中的解题思路．跟踪演练3 已知cos α＝55，sin(α－β)＝1010，且α、β∈⎝⎛⎭⎫0，π2.求：(1)cos(2α－β)的值；(2)β的值．解 (1)因为α、β∈⎝⎛⎭⎫0，π2， 所以α－β∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，又sin(α－β)＝1010>0， ∴0<α－β<π2. 所以sin α＝1－cos 2 α＝255，cos(α－β)＝1－sin 2(α－β)＝31010， cos(2α－β)＝cos[α＋(α－β)]＝cos αcos(α－β)－sin αsin(α－β)＝55×31010－255×1010＝210. (2)cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝55×31010＋255×1010＝22， 又因为β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以β＝π4.1．sin 7°cos 37°－sin 83°cos 53°的值是( )A ．－12 B.12 C.32 D ．－32答案 A解析 原式＝sin 7°cos 37°－cos 7°sin 37°＝sin(－30°)＝－12. 2．在△ABC 中 ，A ＝π4，cos B ＝1010，则sin C 等于( ) A.255B ．－255 C.55 D ．－55答案 A解析 sin C ＝sin[π－(A ＋B )]＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B＝22(cos B ＋1－cos 2B ) ＝22×⎝⎛⎭⎫1010＋31010 ＝255.3．函数f (x )＝sin x －3cos x (x ∈R )的值域是________．答案 [－2,2]解析 f (x )＝2⎝⎛⎭⎫12sin x －32cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π3. ∴f (x )∈[－2,2]．4．已知锐角α、β满足sin α＝255，cos β＝1010，则α＋β＝________. 答案 3π4解析 ∵α，β为锐角，sin α＝255，cos β＝1010， ∴cos α＝55，sin β＝31010. cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝55×1010－255×31010＝－22. ∵0<α＋β<π，∴α＋β＝34π.1.公式C α±β与S α±β的联系、结构特征和符号规律四个公式C α±β、S α±β虽然形式不同、结构不同，但它们的本质是相同的，其内在联系为cos(α－β)――→以－β换βcos(α＋β) sin(α＋β)――→以－β换βsin(α－β)，这样我们只要牢固掌握“中心”公式cos(α－β)的由来及表达方式，也就掌握了其他三个公式．对于公式C α－β与C α＋β，可记为“同名相乘，符号反”．对于公式S α－β与S α＋β，可记为“异名相乘，符号同”．2．使用和差公式时不仅要会正用，还要能够逆用公式，如化简sin βcos(α＋β)－cos βsin(α＋β)时，不要将cos(α＋β)和sin(α＋β)展开，而应采用整体思想，作如下变形：sin βcos(α＋β)－cos βsin(α＋β)＝sin[β－(α＋β)]＝sin(－α)＝－sin α.3．运用和差公式求值、化简、证明时要注意灵活进行三角变换，有效地沟通条件中的角与问题结论中的角之间的联系，选用恰当的公式快捷求解．一、基础达标1．函数f (x )＝sin(2x ＋π6)＋cos(2x ＋π3)的最小正周期和最大值分别为( ) A ．π，1B ．π，2C ．2π，1D ．2π，2 答案 A解析 f (x )＝sin 2x cos π6＋cos 2x sin π6＋cos 2x cos π3－sin 2x sin π3＝cos 2x ，∴最小正周期T ＝2π2＝π，f (x )max ＝1.2．已知0<α<π2<β<π，又sin α＝35，cos(α＋β)＝－45，则sin β＝( ) A ．0B ．0或2425 C.2425D ．0或－2425 答案 C解析 ∵0<α<π2<β<π，sin α＝35，cos(α＋β)＝－45，∴cos α＝45，sin(α＋β)＝35或－35. ∴sin β＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)·sin α＝2425或0. ∵π2<β<π，∴sin β＝2425. 3．已知cos αcos β－sin αsin β＝0，那么sin αcos β＋cos αsin β的值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．±1答案 D解析 cos αcos β－sin αsin β＝cos(α＋β)＝0.∴α＋β＝k π＋π2，k ∈Z ， ∴sin αcos β＋cos αsin β＝sin(α＋β)＝±1.4．若函数f (x )＝(1＋3tan x )cos x,0≤x <π2，则f (x )的最大值为( ) A ．1B ．2C ．1＋ 3D ．2＋3 答案 B解析 f (x )＝(1＋3tan x )cos x ＝cos x ＋3sin x＝2(12cos x ＋32sin x )＝2sin(x ＋π6)， ∵0≤x <π2，∴π6≤x ＋π6<2π3.∴f (x )max ＝2. 5．在△ABC 中，若sin A sin B <cos A cos B ，则△ABC 一定为( )A ．等边三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．钝角三角形答案 D解析 ∵sin A sin B <cos A cos B ，∴cos A cos B －sin A sin B >0，∴cos(A ＋B )>0即cos(π－C )>0，∴cos C <0，∵0<C <π，∴π>C >π2， ∴△ABC 为钝角三角形．6．已知α、β均为锐角，且cos(α＋β)＝sin(α－β)，则tan α＝________. 答案 1解析 根据已知条件：cos αcos β－sin αsin β＝sin αcos β－cos αsin β，cos β(cos α－sin α)＋sin β(cos α－sin α)＝0，即(cos β＋sin β)(cos α－sin α)＝0.又α、β为锐角，则sin β＋cos β>0，∴cos α－sin α＝0，∴tan α＝1.7．化简求值： (1)sin(π4－3x )cos(π3－3x )－sin(π4＋3x )sin(π3－3x )； (2)sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α；(3)sin 27°＋cos 45°sin 18°cos 27°－sin 45°sin 18°. 解 (1)原式＝cos[π2－(π4－3x )]cos(π3－3x )－sin(π4＋3x )sin(π3－3x ) ＝cos(π4＋3x )cos(π3－3x )－sin(π4＋3x )sin(π3－3x )＝cos[(π4＋3x )＋(π3－3x )]＝cos(π4＋π3) ＝cos π4cos π3－sin π4sin π3＝22×12－22×32＝2－64. (2)sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α＝sin[(α＋β)－α]＝sin β.(3)∵sin 27°＝sin(45°－18°)，cos 27°＝cos(45°－18°)，∴原式＝sin 45°cos 18°－cos 45°sin 18°＋cos 45°sin 18°cos 45°cos 18°＋sin 45°sin 18°－sin 45°sin 18°＝sin 45°cos 18°cos 45°cos 18°＝tan 45°＝1. 二、能力提升8．在△ABC 中，cos A ＝35，cos B ＝513，则cos C 等于( ) A ．－3365B.3365 C ．－6365D.6365答案 B解析 由cos A ＝35知A 为锐角，∴sin A ＝45. 同理sin B ＝1213. ∴cos C ＝cos[π－(A ＋B )]＝－cos(A ＋B )＝sin A sin B －cos A cos B ＝45×1213－35×513＝3365. 9．函数f (x )＝sin(x ＋2φ)－2sin φcos(x ＋φ)的最大值为________． 答案 1解析 ∵f (x )＝sin(x ＋2φ)－2sin φcos(x ＋φ)＝sin[(x ＋φ)＋φ]－2sin φcos(x ＋φ)＝sin(x ＋φ)cos φ＋cos(x ＋φ)sin φ－2sin φcos(x ＋φ)＝sin(x ＋φ)cos φ－cos(x ＋φ)sin φ＝sin[(x ＋φ)－φ]＝sin x ，∴f (x )的最大值为1.10．已知sin(α＋β)＝23，sin(α－β)＝15，则tan αtan β的值是________． 答案 137解析 ⎩⎨⎧ sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝23，sin (α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝15， ∴⎩⎨⎧ sin αcos β＝1330cos αsin β＝730，∴tan αtan β＝sin αcos βcos αsin β＝137. 11．已知π2<β<α<3π4，cos(α－β)＝1213，sin(α＋β)＝－35，求sin 2α的值． 解 因为π2<β<α<3π4， 所以0<α－β<π4，π<α＋β<3π2. 又cos(α－β)＝1213，sin(α＋β)＝－35， 所以sin(α－β)＝1－cos 2(α－β)＝1－⎝⎛⎭⎫12132＝513， cos(α＋β)＝－1－sin 2(α＋β)＝－1－⎝⎛⎭⎫－352 ＝－45. 所以sin 2α＝sin[(α－β)＋(α＋β)]＝sin(α－β)cos(α＋β)＋cos(α－β)sin(α＋β)＝513×⎝⎛⎭⎫－45＋1213×⎝⎛⎭⎫－35＝－5665. 12．已知sin α＝23，cos β＝－14，且α、β为相邻象限的角，求sin(α＋β)和sin(α－β)的值．解 ∵sin α＝23>0，cos β＝－14，且α，β为相邻象限的角，∴α为第一象限角且β为第二象限角；或α为第二象限角且β为第三象限角．(1)当α为第一象限角且β为第二象限角时， cos α＝53，sin β＝154， ∴sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β ＝23×⎝⎛⎭⎫－14＋53×154＝－2＋5312. ∴sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝23×⎝⎛⎭⎫－14－53×154＝－2－5312＝－2＋5312. (2)当α为第二象限角且β为第三象限角时，∵sin α＝23，cos β＝－14， ∴cos α＝－53，sin β＝－154， ∴sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝23×⎝⎛⎭⎫－14＋⎝⎛⎭⎫－53×⎝⎛⎭⎫－154＝53－212， sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝23×⎝⎛⎭⎫－14－⎝⎛⎭⎫－53×⎝⎛⎭⎫－154＝－2＋5312， 综上可知：sin(α＋β)＝53－212， sin(α－β)＝－53＋212. 三、探究与创新13．已知函数f (x )＝A sin(x ＋π4) ，x ∈R ，且f (5π12)＝32. (1)求A 的值；(2)若f (θ)＋f (－θ)＝32，θ∈(0，π2)，求f (3π4－θ)． 解 (1)∵f (5π12)＝A sin(5π12＋π4)＝A sin 2π3＝A sin π3＝32A ＝32，∴A ＝ 3. (2)由(1)知f (x )＝3sin(x ＋π4)， 故f (θ)＋f (－θ)＝3sin(θ＋π4)＋3sin(－θ＋π4)＝32， ∴3[22(sin θ＋cos θ)＋22(cos θ－sin θ)]＝32， ∴6cos θ＝32，∴cos θ＝64. 又θ∈(0，π2)，∴sin θ＝1－cos 2θ＝104， ∴f (3π4－θ)＝3sin(π－θ)＝3sin θ＝304.。
高中数学北师大版必修4第三章两角和与差的正弦、余弦
两角和与差的正弦、余弦函数一.教学目标1.知识与技术：（1）能够推导两角差的余弦公式；（2）能够利用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦公式、两角和的正、余弦公式；（3）能够运用两角和的正、余弦公式进行化简、求值、证明；（4）揭露知识背景，引发学生学习兴趣；（5）创设问题情景，激发学生分析、探求的学习态度，强化学生的参与意识.2.进程与方式：通过创设情境：通过向量的手腕证明两角差的余弦公式，让学生进一步体会向量作为一种有效手腕的同时掌握两角差的余弦函数，然后通过诱导公式导出两角差的正弦公式、两角和的正、余弦公式；讲解例题，总结方式，巩固练习.3.情感态度价值观：通过本节的学习，使同窗们对两角和与差的三角函数有了一个全新的熟悉；理解掌握两角和与差的三角的各类变形，提高逆用思维的能力.二.教学重、难点 ：重点: 公式的应用.难点: 两角差的余弦公式的推导.三.学法与教学用具学法：(1)自主性学习法：通过自学掌握两角差的余弦公式.(2)探讨式学习法：通过度析、探索、掌握两角差的余弦公式的进程.(3)反馈练习法：以练习来查验知识的应用情形，找出未掌握的内容及其存在的差距.教学用具:电脑、投影机.四.教学进程（一）、温习：一、写出两角和与差的余弦公式，说说它是如何推导的。
二、写出两角和与差的正弦公式，说说它是如何推导的。
3、说说公式结构的特征。
（二）、例题解析：例1、利用和（差）角公式计算下列各式的值（1）sin 72cos 42cos72sin 42-；（2）cos 20cos70sin 20sin 70-；解：分析：解此类题第一要学会观察，看题目当中所给的式子与咱们所学的两角和与差正弦、余弦和正切公式中哪个相象.（1）()1sin 72cos 42cos72sin 42sin 7242sin 302-=-==；（2）()cos 20cos70sin 20sin 70cos 2070cos900-=+==；例2、已知3sin ,5αα=-是第四象限角，求sin ,cos 44ππαα⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值.解：因为3sin ,5αα=-是第四象限角，得4cos 5α===，，于是有 43sin sin cos cos sin 44455πππααα⎛⎫⎛⎫-=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭43cos cos cos sin sin 444252510πππααα⎛⎫⎛⎫+=-=⨯-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 例3、已知4sin 5α=，5,,cos ,213παπββ⎛⎫∈=- ⎪⎝⎭是第三象限角，求()cos αβ-的值.解：因为,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，4sin 5α=由此得3cos 5α===-又因为5cos ,13ββ=-是第三象限角，所以12sin 13β===- 所以3541233cos()cos cos sin sin 51351365αβαβαβ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+=-⨯-+⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭点评：注意角α、β的象限，也就是符号问题.例4x x -解：此题与咱们所学的两角和与差正弦、余弦和正切公式不相象，但咱们可否发觉规律呢？)()1cos sin 30cos cos30sin 22sin 302x x x x x x x ⎫-==-=-⎪⎪⎭试探：=别离等于12. （三）、小结：本节咱们学习了两角和与差正弦、余弦公式，咱们要熟记公式，在解题进程中要擅长发觉规律，学会灵活运用.（四）作业：习题3-2 A组第2,3题．五、课后反思：。
北师大版高中数学必修四两角和与差的正弦教案
教学目标：通过练习掌握两角和的正弦公式的应用教学重点：通过练习掌握两角和的正弦公式的应用教学过程1 在△ABC 中，已知cosA =135，cosB =54，则cosC 的值为（ A ） （A ）6516 （B ）6556 （C ）65566516或 （D ）6516- 解：因为C = π - (A + B)， 所以cosC = - cos(A + B)又因为A,B ∈(0, π), 所以sinA =1312, sinB =53, 所以cosC = - cos(A + B) = sinAsinB - cosAcosB =651654135531312=⨯-⨯ 2已知434παπ<<，40πβ<<，53)4cos(-=+απ，135)43sin(=+βπ， 求sin(α + β)的值解：∵434παπ<< ∴παππ<+<42 又53)4cos(-=+απ ∴54)4sin(=+απ ∵40πβ<< ∴πβππ<+<4343 又135)43sin(=+βπ ∴1312)43cos(-=+βπ ∴sin(α + β) = -sin[π + (α+ β)] = )]43()4sin[(βπαπ+++- )]43sin()4cos()43cos()4[sin(βπαπβπαπ+++++-= 6563]13553)1312(54[=⨯--⨯-= 3已知sin α + sin β = 22，求cos α + cos β的范围 解：设cos α + cos β = t ， 则(sin α + sin β)2 + (cos α + cos β)2=21+ t 2∴2 + 2cos (α - β) = 21+ t 2 即 cos(α - β) = 21t 2 -43 又∵-1≤cos(α - β)≤1 ∴-1≤21t 2 -43≤1 ∴214-≤t ≤214 4已知sin(α+β) =21，sin(α-β) =101，求βαtan tan 的值 解：由题设：⎪⎩⎪⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-=+51sin cos 103cos sin 101sin cos cos sin 21sin cos cos sin βαβαβαβαβαβα 从而：235103sin cos cos sin tan tan =⨯==βαβαβα 或设：x =βαtan tan ∵5)sin()sin(=-+βαβα ∴5111tan tan 1tan tan tan tan tan tan cos cos )sin(cos cos )sin(=-+=-+=-+=-+x x βαβαβαβαβαβαβαβα ∴x =23 即βαtan tan =23 5．求证：cosx+sinx=2cos(x 4π-) 证：左边= 2(22cosx+22sinx)=2( cosxcos 4π+sinxsin 4π) =2cos(x 4π-)=右边又证：右边=2( cosxcos 4π+sinxsin 4π)=2(22cosx+22sinx)课堂练习：第147页练习A、B 课后作业：略。
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第2课时两角和与差的正弦、余弦
1.会用向量的数量积推导两角差的余弦公式.
2.能够利用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦公式、两角和的正、余弦公式.
3.能够运用两角和的正、余弦公式进行简单的化简、求值、证明.
我们在第一章学习了任意三角函数的概念,知道一些特殊角的三角函数值,如cos 45°=,cos 30°=,由此我们能否得到cos 15°=cos(45°-30°)的值?大家可以猜想,是不是等于cos 45°-cos 30°呢?
问题1:cos 15°=cos(45°-30°)=cos 45°-cos 30°(填“是”或“是不”)成立的,如果不成立,那么不查表求得cos 15°的值是.
问题2:如何用向量的方法探究cos(α-β)的表达式?
如图,在直角坐标系xOy内作单位圆O,分别作α、β,它们的终边分别与单位圆O交于A、B点,则=(cos α,sin α),=(cos β,sin β).
∴·=cos αcos β+sin αsin β,设与的夹角为θ,则
·=||·||·cos θ=cos θ.
∴cos(α-β)=cos θ= .
问题3:两角和的余弦、两角和与差的正弦公式的推导
(1)cos(α+β)=cos[α-(-β)]
=cos αcos(-β)+sin αsin(-β)
= ;
(2)sin(α+β)=cos[-(α+β)]
=cos[(-α)-β]= ;
(3)sin(α-β)=sin[α+(-β)]
=sin αcos(-β)+cos αsin(-β)
= .
问题4:C(α-β)、C(α+β)、S(α+β)、S(α-β)公式间的特点
两角和与差的余弦公式的特点:同名积、符号反、任意角.
两角和与差的正弦公式的特点:、、.
1.不查表,求co s 75°的值为().
A.B.C.D.
2.已知sin α=,α∈(,π),cos β=-,β是第三象限角,则sin(α-β)、sin(a+β)的值分别是().
A.、
B.、-
C.-、
D.-、-
3.已知α、β是锐角,且sin α=,cos(α+β)=-,则sin β= .
4.已知cos α=-,α∈(,π),求cos(-α)的值.
利用两角和与差的三角函数公式进行化简或求值
化简或计算下列各题:
(1)sin cos-sin sin;
(2)cos(α-35°)cos(25°+α)+sin(α-35°)sin(25°+α).
已知角的三角函数值或关系式求相关角的三角函数值
已知θ是第二象限角,sin θ=,求cos(+θ)的值.
两角和与差的三角函数公式在三角形问题中的应用
已知角A,B,C为△ABC的内角,且cos A=,sin B=,求cos C的值.
求cos 43°cos 77°+sin 43°cos 167°的值.
已知sin α+sin β+sin γ=0,cos α+cos β+cos γ=0,求cos(β-γ)的值.
在△ABC中,已知cos A·cos B>sin A·sin Β,则△ABC一定是钝角三角形吗?
1.cos 40°cos 70°+cos 20°cos 50°的值为().
A.0
B.
C.
D.-。