数学理.(福建)

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福建省厦门市高二数学下学期期末试卷理(含解析)-人教版高二全册数学试题

2015-2016学年某某省某某市高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题：每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z=（1+i）（a+2i）（i为虚数单位）是纯虚数，则实数a等于（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．22．双曲线x2﹣=1的一个顶点到一条渐近线的距离是（）A．B．C．D．3．已知随机变量X服从正态分布N（1，4），P（﹣1＜X＜3）=0.6826，则下列结论正确的是（）A．P（X＜﹣1）=0.6587 B．P（X＞3）=0.1587C．P（﹣1＜X＜1）=0.3174 D．P（1＜X＜3）=0.18264．已知函数f（x）的导函数是f′（x），且满足f（x）=2xf′（e）﹣lnx，则f′（e）等于（）A．1 B．﹣1 C．e D．5．由曲线y=，直线y=x及x=3所围成的图形的面积是（）A．4﹣ln3 B．8﹣ln3 C．4+ln3 D．8+ln36．三棱柱ABC﹣A1B1C1中，△ABC是等边三角形，AA1⊥底面ABC，AB=2，AA1=，则异面直线AC1与B1C所成的角的大小是（）A．30° B．60° C．90° D．120°7．假设有两个分类变量X和Y的2×2列联表为：Yy1y2总计Xx1 a 10 a+10x2 c 50 c+50总计40 60 100对同一样本，以下数据能说明X与Y有关系的可能性最大的一组是（）A．a=10，c=30 B．a=15，c=25 C．a=20，c=20 D．a=30，c=108．甲、乙、丙、丁四个人去旅游，可供选择的景点有3个，每人只能选择一个景点且甲、乙不能同去一个景点，则不同的选择方案的种数是（）A．54 B．36 C．27 D．249．“m＜1”是“函数y=x2+在[1，+∞）单调递增”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件10．甲、乙、丙三人，一人在看书，一人在画画，一人在听音乐．已知：①甲不看书；②若丙不画画，则乙不听音乐；③若乙在看书，则丙不听音乐．则（）A．甲一定在画画 B．甲一定在听音乐C．乙一定不看书 D．丙一定不画画11．函数f（x）=e|x|cosx的图象大致是（）A． B．C．D．12．已知中心在坐标原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左、右焦点分别是F1、F2，这两条曲线在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形，若|PF1|=8，椭圆与双曲线的离心率分别为e1，e2，则+的取值X围是（）A．（1，+∞）B．（1，4）C．（2，4）D．（4，8）二、填空题：每小题5分，共20分．13．（2x+）n的二项式系数的和是32，则该二项展开式中x3的系数是（用数字填写答案）．14．已知m∈R，p：方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆；q：在复平面内，复数z=1+（m ﹣3）i对应的点在第四象限．若p∧q为真，则m的取值X围是．15．抛物线y2=4x的焦点为F，A为抛物线上在第一象限内的一点，以点F为圆心，1为半径的圆与线段AF的交点为B，点A在y轴上的射影为点N，且|ON|=2，则线段NB的长度是．16．设函数f（x）在R上的导函数是f′（x），对∀x∈R，f′（x）＜x．若f（1﹣a）﹣f （a）≤﹣a，则实数a的取值X围是．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．某工厂为了增加其产品的销售量，调查了该产品投入的广告费用x与销售量y的数据，如表：广告费用x（万元） 2 3 4 5 6销售量y（万件） 5 7 8 9 11由散点图知可以用回归直线=x+来近似刻画它们之间的关系．（Ⅰ）求回归直线方程=x+；（Ⅱ）在（Ⅰ）的回归方程模型中，请用相关指数R2说明，广告费用解释了百分之多少的销售量变化？参考公式： =， =﹣；R2=1﹣．18．函数f（x）=x3+ax2+bx﹣在x=2处的切线方程为x+y﹣2=0．（Ⅰ）某某数a，b的值；（Ⅱ）求函数f（x）的极值．19．如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面为菱形，且∠ABC=60°，AB=PC=2，AP=BP=．（Ⅰ）求证：平面PAB⊥平面ABCD；（Ⅱ）求二面角A﹣PC﹣D的平面角的余弦值．20．某工厂有甲乙两个车间，每个车间各有3台机器．甲车间每台机器每天发生故障的概率均为，乙车间3台机器每天发生故障的概率分别为，，．若一天内同一车间的机器都不发生故障可获利2万元，恰有一台机器发生故障仍可获利1万元，恰有两台机器发生故障的利润为0万元，三台机器发生故障要亏损3万元．（Ⅰ）求乙车间每天机器发生故障的台数的分布列；（Ⅱ）由于节能减排，甲乙两个车间必须停产一个．以工厂获得利润的期望值为决策依据，你认为哪个车间停产比较合理．21．已知圆C1：x2+y2=4与x轴左右交点分别为A1、A2，过点A1的直线l1与过点A2的直线l2相交于点D，且l1与l2斜率的乘积为﹣．（Ⅰ）求点D的轨迹C2方程；（Ⅱ）若直线l：y=kx+m不过A1、A2且与轨迹C2仅有一个公共点，且直线l与圆C1交于P、Q 两点．求△POA1与△QOA2的面积之和的最大值．22．已知函数f（x）=lnx﹣cx2（c∈R）．（Ⅰ）讨论函数f（x）的零点个数；（Ⅱ）当函数f（x）有两个零点x1，x2时，求证：x1•x2＞e．2015-2016学年某某省某某市高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z=（1+i）（a+2i）（i为虚数单位）是纯虚数，则实数a等于（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．2【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接由复数代数形式的乘法运算化简复数z，又已知复数z是纯虚数，得到，求解即可得答案．【解答】解：复数z=（1+i）（a+2i）=（a﹣2）+（a+2）i，又∵复数z是纯虚数，∴，解得a=2．故选：D．2．双曲线x2﹣=1的一个顶点到一条渐近线的距离是（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据双曲线的方程求出一个顶点和渐近线，利用点到直线的距离公式进行求解即可．【解答】解：由双曲线的方程得a=1，b=，双曲线的渐近线为y=x，设双曲线的一个顶点为A（1，0），渐近线为y=x，即x﹣y=0，则顶点到一条渐近线的距离d==，故选：C．3．已知随机变量X服从正态分布N（1，4），P（﹣1＜X＜3）=0.6826，则下列结论正确的是（）A．P（X＜﹣1）=0.6587 B．P（X＞3）=0.1587C．P（﹣1＜X＜1）=0.3174 D．P（1＜X＜3）=0.1826【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】根据对称性，由P（﹣1＜X＜3）可求出P（X＞3）．【解答】解：∵随机变量X服从正态分布N（1，4），∴曲线关于x=1对称，∵P（﹣1＜X＜3）=0.6826，∴P（X＞3）=0.5﹣0.3413=0.1587．故选：B．4．已知函数f（x）的导函数是f′（x），且满足f（x）=2xf′（e）﹣lnx，则f′（e）等于（）A．1 B．﹣1 C．e D．【考点】导数的运算．【分析】求函数的导数，直接令x=e进行求解即可．【解答】解：∵f（x）=2xf′（e）﹣lnx，∴函数的导数f′（x）=2f′（e）﹣，令x=e，则f′（e）=2f′（e）﹣，即f′（e）=，故选：D5．由曲线y=，直线y=x及x=3所围成的图形的面积是（）A．4﹣ln3 B．8﹣ln3 C．4+ln3 D．8+ln3【考点】定积分在求面积中的应用．【分析】作出对应的图象，确定积分的上限和下限，利用积分的应用求面积即可．【解答】解：作出对应的图象，由得x=1，则阴影部分的面积S=∫（x﹣）dx=（x2﹣lnx）|=（﹣ln3）﹣（﹣ln1）=4﹣ln3，故选：A6．三棱柱ABC﹣A1B1C1中，△ABC是等边三角形，AA1⊥底面ABC，AB=2，AA1=，则异面直线AC1与B1C所成的角的大小是（）A．30° B．60° C．90° D．120°【考点】异面直线及其所成的角．【分析】取中点连接，由异面直线所成角的概念得到异面直线AC1与B1C所成的角，求解直角三角形得到三角形边长，再由余弦定理得答案．【解答】解：如图，分别取AC、B1C1、CC1、BC的中点E、F、G、K，连接EF、EG、FG、EK、FK，EK=，FK=，则EF=，EG=，．在△EFG中，cos∠EGF=．∴异面直线AC1与B1C所成的角的大小是90°．故选：C．7．假设有两个分类变量X和Y的2×2列联表为：Yy1y2总计Xx1 a 10 a+10x2 c 50 c+50总计40 60 100对同一样本，以下数据能说明X与Y有关系的可能性最大的一组是（）A．a=10，c=30 B．a=15，c=25 C．a=20，c=20 D．a=30，c=10【考点】独立性检验的应用．【分析】当ad与bc差距越大，两个变量有关的可能性就越大，检验四个选项中所给的ad与bc的差距，前三个选项都一样，只有第四个选项差距大，得到结果．【解答】解：根据观测值求解的公式可以知道，当ad与bc差距越大，两个变量有关的可能性就越大，选项A，|ad﹣bc|=200，选项B，|ad﹣bc|=500，选项C，|ad﹣bc|=800，选项D，|ad﹣bc|=1400，故选D8．甲、乙、丙、丁四个人去旅游，可供选择的景点有3个，每人只能选择一个景点且甲、乙不能同去一个景点，则不同的选择方案的种数是（）A．54 B．36 C．27 D．24【考点】排列、组合及简单计数问题．【分析】间接法：先求所有可能分派方法，先求所有可能的分派方法，甲、乙、丙、丁四个人去旅游，可供选择的景点有3个，共有34=81种情况，甲、乙同去一个景点有33=27种情况，相减可得结论．【解答】解：间接法：先求所有可能的分派方法，甲、乙、丙、丁四个人去旅游，可供选择的景点有3个，共有34=81种情况，甲、乙同去一个景点有33=27种情况，∴不同的选择方案的种数是81﹣27=54．故选：A9．“m＜1”是“函数y=x2+在[1，+∞）单调递增”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】充要条件；函数的单调性与导数的关系．【分析】若函数y=x2+在[1，+∞）单调递增，则y′=2x﹣≥0在[1，+∞）上恒成立，求出m的X围，进而根据充要条件的定义，可得答案．【解答】解：∵函数y=x2+在[1，+∞）单调递增，∴y′=2x﹣≥0在[1，+∞）上恒成立，即m≤2，故“m＜1”是“函数y=x2+在[1，+∞）单调递增”的充分不必要条件，故选：A．10．甲、乙、丙三人，一人在看书，一人在画画，一人在听音乐．已知：①甲不看书；②若丙不画画，则乙不听音乐；③若乙在看书，则丙不听音乐．则（）A．甲一定在画画 B．甲一定在听音乐C．乙一定不看书 D．丙一定不画画【考点】进行简单的合情推理．【分析】由①开始，进行逐个判断，采用排除法，即可得到答案．【解答】解：由①可知：甲可能在画画或在听音乐，由③可知，乙在看书，丙在画画，甲只能在听音乐，由②丙可以听音乐或看书，乙只能看书或画画，结合①③可知：甲听音乐，乙画画，丙看书，所以甲一定在听音乐，故选：B．11．函数f（x）=e|x|cosx的图象大致是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】根据函数的奇偶性，排除B；根据函数在（0，）上，为增函数，在（，）上，为减函数，排除A；再根据在（，）上，为增函数，f（）＞f（），排除C，可得结论．【解答】解：由于函数函数f（x）=e|x|cosx为偶函数，它的图象关于y轴对称，故排除B．当x＞0时，f（x）=e x•cosx，f′（x）=e x•cosx﹣e x•sinx=2x（cosx﹣sinx），故函数在（0，）上，f′（x）＞0，f（x）为增函数；在（，）上，f′（x）＜0，f（x）为减函数，故排除A．在（，）上，f′（x）＞0，f（x）为增函数，且f（）＞f（），故排除C，只有D满足条件，故选：D．12．已知中心在坐标原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左、右焦点分别是F1、F2，这两条曲线在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形，若|PF1|=8，椭圆与双曲线的离心率分别为e1，e2，则+的取值X围是（）A．（1，+∞）B．（1，4）C．（2，4）D．（4，8）【考点】双曲线的简单性质．【分析】利用待定系数法设出双曲线和椭圆的方程，根据双曲线和椭圆的定义得到a1=4+c，a2=4﹣c，然后利用离心率的公式进行转化求解即可．【解答】解：设椭圆与双曲线的标准方程分别为：，．（a1，a2，b1，b2＞0，a1＞b1）∵△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形，|PF1|=8，∴8+2c=2a1，8﹣2c=2a2，即有a1=4+c，a2=4﹣c，（c＜4），再由三角形的两边之和大于第三边，可得2c+2c＞8，可得c＞2，即有2＜c＜4．由离心率公式可得+====，∵2＜c＜4，∴＜＜，则2＜＜4，即2＜+＜4，故+的取值X围是（2，4），故选：C二、填空题：每小题5分，共20分．13．（2x+）n的二项式系数的和是32，则该二项展开式中x3的系数是80 （用数字填写答案）．【考点】二项式系数的性质．【分析】由题意可得：2n=32，解得n．再利用其通项公式即可得出．【解答】解：由题意可得：2n=32，解得n=5．∴的通项公式T r+1=（2x）5﹣r=25﹣r x5﹣2r，令5﹣2r=3，解得r=1．∴该二项展开式中x3的系数=24=80．故答案为：80．14．已知m∈R，p：方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆；q：在复平面内，复数z=1+（m﹣3）i对应的点在第四象限．若p∧q为真，则m的取值X围是（2，3）．【考点】复合命题的真假．【分析】利用椭圆的标准方程、复数的几何意义、复合命题的真假的判定方法即可得出．【解答】解：p：方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆，则m＞2；q：在复平面内，复数z=1+（m﹣3）i对应的点在第四象限，∴m﹣3＜0，解得m＜3．∵p∧q为真，∴p与q都为真命题．∴2＜m＜3．则m的取值X围是（2，3）．故答案为：（2，3）．15．抛物线y2=4x的焦点为F，A为抛物线上在第一象限内的一点，以点F为圆心，1为半径的圆与线段AF的交点为B，点A在y轴上的射影为点N，且|ON|=2，则线段NB的长度是 3 ．【考点】抛物线的简单性质．【分析】求出N，B的坐标，利用两点间的距离公式，即可得出结论．【解答】解：由题意，A（3，2），N（0，2），以点F为圆心，1为半径的圆的方程为（x﹣1）2+y2=1，直线AF的方程为y=（x﹣1）联立直线与圆的方程可得（x﹣1）2=，∴x=或，∴B（，），∴|NB|==3故答案为：3．16．设函数f（x）在R上的导函数是f′（x），对∀x∈R，f′（x）＜x．若f（1﹣a）﹣f （a）≤﹣a，则实数a的取值X围是a≤．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】令g（x）=f（x）﹣x2，求出g（x）的单调性，问题等价于f（1﹣a）﹣（1﹣a）2≤f（a）﹣a2，根据函数的单调性得到关于a的不等式，解出即可．【解答】解：令g（x）=f（x）﹣x2，则g′（x）=f′（x）﹣x，而f′（x）＜x，∴g′（x）=f′（x）﹣x＜0，故函数g（x）在R递减，∴f（1﹣a）﹣f（a）≤﹣a等价于f（1﹣a）﹣（1﹣a）2≤f（a）﹣a2，即g（1﹣a）≤g（a），∴1﹣a≥a，解得a≤，故答案为：a≤．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．某工厂为了增加其产品的销售量，调查了该产品投入的广告费用x与销售量y的数据，如表：广告费用x（万元） 2 3 4 5 6销售量y（万件） 5 7 8 9 11由散点图知可以用回归直线=x+来近似刻画它们之间的关系．（Ⅰ）求回归直线方程=x+；（Ⅱ）在（Ⅰ）的回归方程模型中，请用相关指数R2说明，广告费用解释了百分之多少的销售量变化？参考公式： =， =﹣；R2=1﹣．【考点】线性回归方程．【分析】（Ⅰ）由数据求得样本中心点，利用最小二乘法求得系数，由线性回归方程过样本中心点，代入即可求得，即可求得回归直线方程；（Ⅱ）分别求得1， 2…，5，根据相关指数公式求得相关指数R2，即可求得广告费用解释了百分之多少的销售量变化．【解答】解：（Ⅰ） =×（2+3+4+5+6）=5， =×（5+7+8+9+11）=11，==1.4，=﹣=8﹣1.4×4=2.4，∴回归直线方程=1.4x+2.4；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：=1.4×2+2.4=5.2；1=1.4×3+2.4=6.6；2=1.4×4+2.4=8；3=1.4×5+2.4=9.4；4=1.4×6+2.4=10.8；5R2=1﹣=0.98，∴广告费用解释了98%的销售量变化．18．函数f（x）=x3+ax2+bx﹣在x=2处的切线方程为x+y﹣2=0．（Ⅰ）某某数a，b的值；（Ⅱ）求函数f（x）的极值．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求导数得到f′（x）=x2+2ax+b，这样根据函数在切点处导数和切线斜率的关系以及切点在函数图象上便可得出关于a，b的方程组，解出a，b即可；（Ⅱ）上面已求出a，b，从而可以得出导函数f′（x），这样判断导数的符号，从而便可得出函数f（x）的极值．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=x2+2ax+b；由题意可得，切点为（2，0），切线斜率为k=﹣1；∴；解得；（Ⅱ）由上面得，f′（x）=x2﹣4x+3=（x﹣1）（x﹣3）；∴x＜1时，f′（x）＞0，1＜x＜3时，f′（x）＜0，x＞3时，f′（x）＞0；∴x=1时，f（x）取极大值，x=3时，f（x）取极小值．19．如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面为菱形，且∠ABC=60°，AB=PC=2，AP=BP=．（Ⅰ）求证：平面PAB⊥平面ABCD；（Ⅱ）求二面角A﹣PC﹣D的平面角的余弦值．【考点】用空间向量求平面间的夹角；平面与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法．【分析】（I）取AB中点E，连PE、CE，由等腰三角形的性质可得PE⊥AB．再利用勾股定理的逆定理可得PE⊥CE．利用线面垂直的判定定理可得PE⊥平面ABCD．再利用面面垂直的判定定理即可证明．（II）建立如图所示的空间直角坐标系．利用两个平面的法向量的夹角即可得到二面角．【解答】（Ⅰ）证明：如图1所示，取AB中点E，连PE、CE．则PE是等腰△PAB的底边上的中线，∴PE⊥AB．∵PE=1，CE=，PC=2，即PE2+CE2=PC2．由勾股定理的逆定理可得，PE⊥CE．又∵AB⊂平面ABCD，CE⊂平面ABCD，且AB∩CE=E，∴PE⊥平面ABCD．而PE⊂平面PAB，∴平面PAB⊥平面ABCD．（Ⅱ）以AB中点E为坐标原点，EC所在直线为x轴，EB所在直线为y轴，EP所在直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．则A（0，﹣1，0），C（，0，0），D（，﹣2，0），P（0，0，1），=（，1，0），=（，0，﹣1），=（0，2，0）．设是平面PAC的一个法向量，则，即．取x1=1，可得，．设是平面PCD的一个法向量，则，即．取x2=1，可得，．故，即二面角A﹣PC﹣D的平面角的余弦值是．20．某工厂有甲乙两个车间，每个车间各有3台机器．甲车间每台机器每天发生故障的概率均为，乙车间3台机器每天发生故障的概率分别为，，．若一天内同一车间的机器都不发生故障可获利2万元，恰有一台机器发生故障仍可获利1万元，恰有两台机器发生故障的利润为0万元，三台机器发生故障要亏损3万元．（Ⅰ）求乙车间每天机器发生故障的台数的分布列；（Ⅱ）由于节能减排，甲乙两个车间必须停产一个．以工厂获得利润的期望值为决策依据，你认为哪个车间停产比较合理．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）乙车间每天机器发生故障的台数ξ，可以取0，1，2，3，求出相应的概率，即可求乙车间每天机器发生故障的台数的分布列；（Ⅱ）设甲车间每台机器每天发生故障的台数η，获得的利润为X，则η～B（3，），求出甲乙的期望，比较，即可得出结论．【解答】解：（Ⅰ）乙车间每天机器发生故障的台数ξ，可以取0，1，2，3，P（ξ=0）=（1﹣）×（1﹣）×（1﹣）=，P（ξ=1）=C21××（（1﹣）×（1﹣）2+（1﹣）×=，P（ξ=2）=C21××（（1﹣）×+（）2×（1﹣）=，P（ξ=3）=××=，∴乙车间每天机器发生故障的台数ξ的分布列；ξ0 1 2 3P（Ⅱ）设甲车间每台机器每天发生故障的台数η，获得的利润为X，则η～B（3，），P（η=k）=（k=0，1，2，3），∴EX=2P（η=0）+1×P（η=1）+0×P（η=2）﹣3×P（η=3）=，由（Ⅰ）得EY=2P（ξ=0）+1×P（ξ=1）+0×P（ξ=2）﹣3×P（ξ=3）=，∵EX＜EY，∴甲车间停产比较合理．21．已知圆C1：x2+y2=4与x轴左右交点分别为A1、A2，过点A1的直线l1与过点A2的直线l2相交于点D，且l1与l2斜率的乘积为﹣．（Ⅰ）求点D的轨迹C2方程；（Ⅱ）若直线l：y=kx+m不过A1、A2且与轨迹C2仅有一个公共点，且直线l与圆C1交于P、Q 两点．求△POA1与△QOA2的面积之和的最大值．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）设点D的坐标为（x，y），求出A1、A2的坐标，由题意和斜率公式列出方程化简，可得点D的轨迹C2的方程；（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2），联立直线方程和C2的方程消去y，由条件可得△=0并化简，联立直线l与圆C1的方程消去x，利用韦达定理写出表达式，由图象和三角形的面积公式表示出，化简后利用基本不等式求出△POA1与△QOA2的面积之和的最大值．【解答】解：（Ⅰ）设点D的坐标为（x，y），∵圆C1：x2+y2=4与x轴左右交点分别为点A1（﹣2，0），A2（2，0），且l1与l2斜率的乘积为﹣，∴，化简得，∴点D的轨迹C2方程是；（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2），联立得，（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0，由题意得，△=64k2+16﹣16m2=0，化简得，m2=4k2+1，联立消去x得，（1+k2）y2﹣2my+1=0，∴△=4m2﹣4（1+k2）=12k2＞0，y1+y2=，＞0，则y1，y2同号，由r=2得，+=+====≤=，当且仅当3=1+4k2，即k=时取等号，∴的最大值是．22．已知函数f（x）=lnx﹣cx2（c∈R）．（Ⅰ）讨论函数f（x）的零点个数；（Ⅱ）当函数f（x）有两个零点x1，x2时，求证：x1•x2＞e．【考点】利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理．【分析】（Ⅰ）求出函数的定义域，函数的导数，通过a≤0时，f'（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上单调递增；a＞0时，求出极值点，然后通过导数的符号，判断函数的单调性，从而求出函数的零点的个数；（Ⅱ）设x1＞x2，求出关于c的表达式，利用分析法证明x1x2＞e，转化为证明ln＞（x1＞x2＞0），令=t，则t＞1，设g（t）=lnt﹣=lnt+﹣1（t＞1），利用函数的导数求解函数的最小值利用单调性证明即可．【解答】解：（Ⅰ）定义域为（0，+∞），f′（x）=﹣2cx=，当c≤0时，f'（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上单调递增，x→0时，f（x）→﹣∞，x→+∞时，f（x）→+∞，f（x）有且只有1个零点；当c＞0时，由f'（x）=0，得x=，当0＜x＜时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，当x＞时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，∴f（x）最大值=f（）=ln﹣，令ln﹣＞0，解得：c＞，∴c＞时，f（x）有2个零点，c=时，f（x）有1个零点，0＜c＜时，f（x）没有零点，综上：c≤0或c=时，f（x）有1个零点，0＜c＜时，f（x）没有零点，c＞时，f（x）有2个零点．（Ⅱ）证明：设x1＞x2，∵lnx1﹣cx12=0，lnx2﹣cx22=0，∴lnx1+lnx2=cx12+cx22，lnx1﹣lnx2=cx12﹣cx22，则c=，欲证明x1x2＞e，即证lnx1+lnx2＞1，因为lnx1+lnx2=c（x12+x22），∴即证c＞，∴原命题等价于证明＞，即证：ln＞（x1＞x2＞0），令=t，则t＞1，设g（t）=lnt﹣=lnt+﹣1（t＞1），∴g′（t）=≥0，∴g（t）在（1，+∞）单调递增，又因为g（1）=0，∴g（t）＞g（1）=0，∴lnt＞，所以x1x2＞e．。

2022年福建省福州市成考专升本数学(理)自考真题(含答案带解析)

2022年福建省福州市成考专升本数学(理)自考真题(含答案带解析) 学校:________ 班级:________ 姓名:________ 考号:________一、单选题(30题)1.函数：y=2x的图像与函数x=log2y的图像( )A.关于x轴对称B.关于y轴对称C.关于直线y=x对称D.是同-条曲线2.3.A.A.AB.BC.CD.D4.A.{2，-1，-4}B.{-2，1，-4}C.{2，-1，0}D.{4，5，-4}5. A.A，B、D三点共线B.A．B、C三点共线C.B、C、D三点共线D.A，C、D三点共线6.7.8.A.A.p/4B.p/2C.PD.2p9. A.xx-4y+25=0 B.xx+4y+25=0 C.xx-4y-25=0 D.xx+4y-25=010.已知甲打中靶心的概率为0．8，乙打中靶心的概率为0．9，两人各独立打靶一次，则两人都打不中靶心的概率为（）A.A.0.01B.0.02C.0.2xD.0.7211.12.下列函数中，为奇函数的是（）A.B.y=-2x+3C.y=x2-3D.y=3cosx13.14.使函数y＝x2－2x－3为增函数的区间是（）A.A.(1，＋∞)B.(－∞，3)C.(3，＋∞)D.(－∞．1)15.16.已知在平行六面体ABCD-A'B'C'D'中，AB=5，AD=3，AA'=6，∠BAD=∠BAA’=∠DAA’=60°,AC’=（）A.B.133C.70D.6317.乙：sinx=1，则（）A.A.甲是乙的必要条件，但不是乙的充分条件B.甲是乙的充分条件，但不是乙的必要条件C.甲不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件D.甲是乙的充分必要条件1x.19.两个盒子内各有3个同样的小球，每个盒子中的小球上分别标有1，2，3三个数字.从两个盒子中分别任意取出一个球，则取出的两个球上所标数字的和为3的概率是()A.1/9B.2/9C.1/3D.2/320.A.A.3：1B.4：1C.5：1D.6：121.22.A.A.m=3，n=1B.m=-3，n=1C.D.23.24.25.（）A.A.3－4iB.3＋4iC.4－3iD.4＋3i26.从点M(x，3)向圆(x+2)2+(y+2)2=1作切线，切线长的最小值等于A.4B.2√6C.5D.√2627.设0＜a＜b,则（）A.1/a＜1/bB.a3＞b3C.log2a＞log2bD.3a＜3b28.已知m，n是不同的直线，a，β是不同的平面，且m⊥a，,则()A.若a∥β，则m⊥nB.若a⊥β，则m∥nC.若m⊥n，则a∥βD.若n∥a，则β∥a29.函数y＝log5(x＞0)的反函数是（）A.A.y＝x5(x∈R)B.y＝x(x∈R)C.y＝5x(x∈R)D.30.sin42°sin72°+cos42°cos72°等于（）A.A.sin60°B.cos60°C.cos114°D.sin114°二、填空题(20题)31.32.33.设a是直线Y=-x+2的倾斜角，则a=__________34.球的体积与其内接正方体的体积之比为_________．35.圆心在y轴上，且与直线x+y-3=0及x-y-1=0都相切的圆的方程为______.36.经验表明，某种药物的固定剂量会使心率增加，现有8个病人服用同一剂量的这种药，心率增加的次数分别为13 15 14 10 812 13 11,则该样本的样本方差为________37.3x.39.40.41.42.某射手有3发子弹，射击一次，命中率是0．x，如果命中就停止射击，否则一直射到子弹用完为止，那么这个射手用子弹数的期望值是__________.43.正方体ABCD—AˊBˊCˊDˊ中，AˊCˊ与BˊC所成的角为__________44.不等式1≤|3－x|≤2的解集是_________．45.设函数f(x)=x+b，且f(2)=3，则f(3)=______。

福建省莆田第一中学2019届高三上学期期末考试数学(理)试题 Word版含答案

2018-2019学年莆田一中高三上学期期末理科数学考试2019-1-27命题人：钱剑华审核人：曾献峰一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若21zi i=-+(i 为虚数单位)，则复数z 在复平面内对应的点在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 2. 已知{|12}A x x =-<<，2{|20}B x x x =+<，则A B = ( )A. (0,2)B. (1,0)-C. (2,0)-D. (2,2)-3.下列叙述中正确的是( )A.命题“a 、b 都是偶数，则a +b 是偶数”的逆否命题为“a +b 不是偶数，则a 、b 都是奇数”B.“方程221Ax By +=表示椭圆”的充要条件是“A B ≠”C.命题“2,0x R x ∀∈>”的否定是“200,0x R x ∃∈≥”D. “m =2”是“1l ：()2140x m y +++=与2l ： 320mx y +-=平行”的充分条件4．已知等差数列{a n }的公差为5，前n 项和为S n ，且a 1，a 2，a 5成等比数列，则S 6＝( )A ．80B ．85C ．90D ．955.《九章算术》一书中，第九章“勾股”中有如下问题:今有勾八步，股一十五步.问勾中容圆径几何?其意思是,今有直角三角形，短的直角边长为8步，长的直角边长为15步，问该直角三角形能容纳圆的直径最大是多少？通过上述问题我们可以知道，当圆的直径最大时，该圆为直角三角形的内切圆，则往该直角三角形中随机投掷一点，该点落在此三角形内切圆内的概率为( ) A.320π B.310π C.4π D 5π6．如图，小方格是边长为1的正方形，图中粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( ) A ．8－4π3 B ．8－π C ．8－2π3D ．8－π37．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的部分图象如图所示，若将f (x )图象上的所有点向右平移π6个单位长度得到函数g (x )的图象，则函数g (x )的单调递增区间为( )A.⎣⎡⎦⎤k π－π4，k π＋π4，k ∈Z B.⎣⎡⎦⎤2k π－π4，2k π＋π4，k ∈Z C.⎣⎡⎦⎤k π－π3，k π＋π6，k ∈ZD.⎣⎡⎦⎤2k π－π3，2k π＋π6，k ∈Z 8．函数f (x )＝ln|x －1||1－x |的图象大致为( )9．平行四边形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝2，∠BAD ＝120°，P 是平行四边形ABCD 内一点，且AP ＝1，若AP →＝xAB →＋yAD →，则3x ＋2y 的最大值为( ) A ．4B ．5C ．2D ．1310．已知定义在R 上的可导函数f (x )的导函数为()f x '，若对于任意实数x ，有f (x )＞()f x '，且y ＝f (x )－1为奇函数，则不等式f (x )＜e x 的解集为( )A ．(－∞，0)B ．(0，＋∞)C ．(－∞，e 4)D ．(e 4，＋∞)11．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，且|F 1F 2|＝2c ，若椭圆上存在点M 使得1221sin sin a c MF F MF F =∠∠，则该椭圆离心率的取值范围为( ) A ．(0，2－1) B.⎝⎛⎭⎫22，1C.⎝⎛⎭⎫0，22 D ．(2－1,1)12.抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是抛物线上的两个动点，若x 1＋x 2＋4＝233|AB |，则∠AFB 的最大值为 ( )A.π3B.3π4C.5π6D.2π3二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）13.若⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥622y x y x ，则目标函数y x z 3+=的取值范围是 .14. ()()6221x x -+的展开式中4x 的系数为 .15．2016年9月3日，二十国集团(G20)工商峰会在杭州开幕，为了欢迎二十国集团政要及各位来宾的到来，杭州市决定举办大型歌舞晚会．现从A 、B 、C 、D 、E 5名歌手中任选3人出席演唱活动，当3名歌手中有A 和B 时，A 需排在B 的前面出场(不一定相邻)，则不同的出场方法有 .16．已知函数f (x )＝(3x ＋1)e x ＋1＋mx ，若有且仅有两个整数使得f (x )≤0，则实数m 的取值范围是 .三．解答题(本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17. （本小题满分12分）在等比数列}{n a 中，首项81=a ，数列}{n b 满足n n a b 2log =，且15321=++b b b .（1）求数列}{n a 的通项公式；（2）记数列}{n b 的前n 项和为n S ，又设数列}1{n S 的前n 项和为n T ，求证：43<n T . 18．(本小题满分12分)如图，在四棱锥S —ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，AD ∥BC ，AD ⊥DC ，平面SAD ⊥平面ABCD ，P 为AD 的中点，SA ＝SD ＝2，BC ＝12AD ＝1，CD ＝3.(1)求证：SP ⊥AB ； (2)求直线BS 与平面SCD 所成角的正弦值； (3)设M 为SC 的中点，求二面角S —PB —M 的余弦值． 19.（本小题满分12分）某学校研究性学习小组对该校高三学生视力情况进行调查，在高三的全体1000名学生中随机抽取了100名学生的体检表，并得到如图的频率分布直方图.(1)若直方图中后四组的频数成等差数列，试估计全年级视力在5.0以下的人数；(2)学习小组成员发现，学习成绩突出的学生，近视的比较多，为了研究学生的视力与学习成绩是否有关系，对年级名次在1—50名和951—1000名的学生进行了调查，得到表格中的数据，试问：能否在犯错的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系？ (3)在(2)中调查的100名学生中，按照分层抽样在不近视的学生中抽取9人，进一步调查他们良好的养眼习惯，并且在这9人中任抽取3人，记名次在1—50名的学生人数为X ，求X 的分布列和数学期望.20. (本小题满分12分)已知点C 为圆22(1)8x y ++=的圆心，P 是圆上的动点，点Q 在圆的半径CP 上，且有点A (1,0)和AP 上的点M ，满足0MQ AP ⋅=，2AP AM =.（1）当点P 在圆上运动时，求点Q 的轨迹方程；（2）若斜率为k 的直线l 与圆221x y +=相切，与（1）中所求点Q 的轨迹交于不同的两点,F H ,O 是坐标原点，且2334OF OH ≤⋅≤时，求k 的取值范围. 21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝a ln x －x ＋1x ，其中a ＞0. (1)若f (x )在(2，＋∞)上存在极值点，求a 的取值范围； (2)设∀x 1∈(0,1)，∀x 2∈(1，＋∞)，若f (x 2)－f (x 1)存在最大值，记为M (a )，则当a ≤e ＋1e 时，M (a )是否存在最大值？若存在，求出其最大值；若不存在，请说明理由．请考生在第（22）、（23）题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号。

2020届福建省高三毕业班3月质量检测考试数学(理)试题(解析版)

2．若复数满足
,则
A．
B．
C．
D．1
【答案】D
【解析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简求得 z，再由复数模的计
算公式求解．
【详解】
由（z+1）i＝1+i，得 z+1
，
∴z＝﹣i，则|z|＝1．
故选：D．
【点睛】
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．
3．经统计,某市高三学生期末数学成绩
则
，解得 n
，
∵CC′∥BB′，
∴S△BB′C′＝S△BB′C
，
令 f（k）
（k
），则 f′（k）
，
令 f′（k）＝0 可得 k
或 k （舍），
∴当 k
时，f′（k）＞0，当
k
时，f′（k）＜0，
∴当 k
时，f（k）取得最大值 f（）
．
故选：D．
【点睛】本题考查了余弦定理，函数单调性判断与最值计算，考查了用解析法解决几何问题的方法，属于较难题．
2020 届福建省高三毕业班 3 月质量检测考试数学（理）试题
一、单选题
1．已知集合
,
,则
A．
B．
C．
【答案】C
【解析】可求出集合 A，B，然后进行交集的运算即可．
【详解】
= D．
，
；
∴A∩B＝{x|1＜x≤2}．故选：C．【点睛】
考查描述法的定义，对数函数的定义域，一元二次不等式的解法，交集的运算．
14．若【答案】60
展开式的二项式系数之和为 64,则展开式中的常数项是______.
【解析】由题意利用二项式系数的性质求得 n 的值，在二项展开式的通项公式中，令 x

2021届数学大一轮复习【福建专用,理】课时作业, 第2讲等差数列及其前n项和 Word版含答案

第2讲等差数列及其前n 项和一、选择题1． {a n }为等差数列，公差d ＝－2，S n 为其前n 项和．若S 10＝S 11，则a 1＝( ) A ．18 B ．20C ．22D ．24解析由S 10＝S 11得a 11＝S 11－S 10＝0，a 1＝a 11＋(1－11)d ＝0＋(－10)×(－2)＝20. 答案 B2．设等差数列{a n }的前n 项和为S n .若a 1＝－11，a 4＋a 6＝－6，则当S n 取最小值时，n 等于( )． A ．6B ．7C ．8D ．9解析由a 4＋a 6＝a 1＋a 9＝－11＋a 9＝－6，得a 9＝5，从而d ＝2，所以S n ＝－11n ＋n (n －1)＝n 2－12n ＝(n －6)2－36，因此当S n 取得最小值时，n ＝6. 答案 A3．已知{a n }为等差数列，a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99，则a 20等于( )． A ．－1B ．1C ．3D ．7解析两式相减，可得3d ＝－6，d ＝－2.由已知可得3a 3＝105，a 3＝35，所以a 20＝a 3＋17d ＝35＋17×(－2)＝1. 答案 B4．在等差数列{a n }中，S 15>0，S 16<0，则使a n >0成立的n 的最大值为( )． A ．6B ．7C ．8D ．9解析依题意得S 15＝15(a 1＋a 15)2＝15a 8>0，即a 8>0；S 16＝16(a 1＋a 16)2＝8(a 1＋a 16)＝8(a 8＋a 9)<0，即a 8＋a 9<0，a 9<－a 8<0.因此使a n >0成立的n 的最大值是8，选C. 答案 C5．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，公差d ＝2，S k ＋2－S k ＝24，则k ＝( )． A ．8B ．7C ．6D ．5解析由a 1＝1，公差d ＝2得通项a n ＝2n －1，又S k ＋2－S k ＝a k ＋1＋a k ＋2，所以2k ＋1＋2k ＋3＝24，得k ＝5. 答案 D6．已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且A n B n ＝7n ＋45n ＋3，则使得a nb n为整数的正整数的个数是( )． A ．2B ．3C ．4D ．5解析由A n B n ＝7n ＋45n ＋3得：a n b n ＝A 2n －1B 2n －1＝14n ＋382n ＋2＝7n ＋19n ＋1，要使a n b n 为整数，则需7n ＋19n ＋1＝7＋12n ＋1为整数，所以n ＝1,2,3,5,11，共有5个．答案 D 二、填空题7．已知数列{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和，a 7－a 5＝4，a 11＝21，S k ＝9，则k ＝________. 解析 a 7－a 5＝2d ＝4，d ＝2，a 1＝a 11－10d ＝21－20＝1，S k ＝k ＋k k －12×2＝k 2＝9.又k ∈N *，故k ＝3.答案 38．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 412－S 39＝1，则公差为________．解析依题意得S 4＝4a 1＋4×32d ＝4a 1＋6d ，S 3＝3a 1＋3×22d ＝3a 1＋3d ，于是有4a 1＋6d 12－3a 1＋3d9＝1，由此解得d ＝6，即公差为6. 答案 69．在等差数列{a n }中，a 1＝－3,11a 5＝5a 8－13，则数列{a n }的前n 项和S n 的最小值为________．解析 (直接法)设公差为d ，则11(－3＋4d )＝5(－3＋7d )－13，所以d ＝59，所以数列{a n }为递增数列．令a n ≤0，所以－3＋(n －1)·59≤0，所以n ≤325，又n ∈N *，前6项均为负值，。

2010年高考试题——数学理(福建卷)解析版

2010年高考试题——数学（理）（福建卷）解析第I 卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题。

每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．cos13计算sin43cos 43-sin13的值等于（）A ．12B ．33C ．22D ．32【答案】A【解析】原式=1sin (43-13)=sin 30=2，故选A 。

【命题意图】本题考查三角函数中两角差的正弦公式以及特殊角的三角函数，考查基础知识，属保分题。

2．以抛物线24y x =的焦点为圆心,且过坐标原点的圆的方程为( )A ．22x +y +2x=0B ．22x +y +x=0C ．22x +y -x=0D ．22x +y -2x=0【答案】D【解析】因为已知抛物线的焦点坐标为（1，0），即所求圆的圆心，又圆过原点，所以圆的半径为r=1，故所求圆的方程为22x-1)+y =1（，即22x -2x+y =0，选D 。

【命题意图】本题考查抛物线的几何性质以及圆的方程的求法，属基础题。

3．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若111a =-,466a a +=-,则当n S 取最小值时,n 等于A ．6B ．7C ．8D ．9【答案】A【解析】设该数列的公差为d ，则461282(11)86a a a d d +=+=⨯-+=-，解得2d =，所以22(1)11212(6)362n n n S n n n n -=-+⨯=-=--，所以当6n =时，n S 取最小值。

【命题意图】本题考查等差数列的通项公式以及前n 项和公式的应用，考查二次函数最值的求法及计算能力。

4．函数2x +2x-3,x 0x)=-2+ln x,x>0f ⎧≤⎨⎩（的零点个数为 ( ) A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C【解析】当0x ≤时，令2230x x +-=解得3x =-；当0x >时，令2ln 0x -+=解得100x =，所以已知函数有两个零点，选C 。

2007年高考试题——数学理(福建卷)

2007年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类）（福建卷）第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．复数21(1i)+等于（）A ．12B ．12-C ．1i 2D ．1i 2-2．数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1(1)n a n n =+，则5S 等于（）A ．1B ．56C ．16D ．1303．已知集合{}{12}A x x a B x x =<=<<，，且()A B =R R ð，则实数a 的取值范围是（） A ．1a ≤ B ．1a < C ．2a ≥ D ．2a > 4．对于向量，，a b c 和实数λ，下列命题中真命题是（）A ．若=0 a b ，则0a =或0b =B ．若λ0a =，则0λ=或=0aC ．若22=a b ，则=a b 或-a =bD ．若a b =a c ，则b =c 5．已知函数()sin (0)f x x ωωπ⎛⎫=+> ⎪3⎝⎭的最小正周期为π，则该函数的图象（） A ．关于点0π⎛⎫ ⎪3⎝⎭，对称B ．关于直线x π=4对称 C ．关于点0π⎛⎫ ⎪4⎝⎭，对称D ．关于直线x π=3对称 6．以双曲线221916x y -=的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是（） A ．221090x y x +-+= B ．2210160x y x +-+= C ．2210160x y x +++=D ．221090x y x +++=7．已知()f x 为R 上的减函数，则满足1(1)f f x ⎛⎫<⎪⎝⎭的实数x 的取值范围是（）A ．(11)-，B ．(01)，C ．(10)(01)- ，，D ．(1)(1)-∞-+∞ ，， 8．已知m n ，为两条不同的直线，αβ，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（） A ．m n m n ααββαβ⊂⊂⇒，，∥，∥∥ B ．m n m n αβαβ⊂⊂⇒∥，，∥ C ．m m n n αα⇒⊥，⊥∥D ．n m n m αα⇒∥，⊥⊥9．把21(1)(1)(1)nx x x +++++++ 展开成关于x 的多项式，其各项系数和为n a ，则21lim1n n na a ∞-+→等于（）A ．14B ．12C ．1D ．210．顶点在同一球面上的正四棱柱ABCD A B C D ''''-中，1AB AA '==，则A C ，两点间的球面距离为（） A ．π4B ．π2C．4π D．2π 11．已知对任意实数x ，有()()()(f x f x g x g x -=--=，，且0x >时，()0()f x g x ''>>，，则0x <时（）A ．()0()0f x g x ''>>，B ．()0()0f x g x ''><，C ．()0()0f x g x ''<>，D ．()0()0f x g x ''<<，12．如图，三行三列的方阵中有9个数(123123)ij a i j ==，，；，，，从中任取三个数，则至少有两个数位于同行或同列的概率是（）A ．37B ．47C ．114D ．1314第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卡的相应位置．111213212223313233a a a a a a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭13．已知实数x y ，满足2203x y x y y +⎧⎪-⎨⎪⎩≥，≤，≤≤，则2z x y =-的取值范围是________．14．已知正方形ABCD ，则以A B ，为焦点，且过C D ，两点的椭圆的离心率为______．15．两封信随机投入A BC ，，三个空邮箱，则A 邮箱的信件数ξ的数学期望E ξ= ．16．中学数学中存在许多关系，比如“相等关系”、“平行关系”等等．如果集合A 中元素之间的一个关系“-”满足以下三个条件：（1）自反性：对于任意a A ∈，都有a a -；（2）对称性：对于a b A ∈，，若a b -，则有b a -；（3）传递性：对于a b c A ∈，，，若a b -，b c -，则有a c -．则称“-”是集合A 的一个等价关系．例如：“数的相等”是等价关系，而“直线的平行”不是等价关系（自反性不成立）．请你再列出三个等价关系：______．三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）在ABC △中，1tan 4A =，3tan 5B =．（Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）若ABC △18．（本小题满分12分）如图，正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都为2，D 为1CC 中点．（Ⅰ）求证：1AB ⊥平面1A BD ；（Ⅱ）求二面角1A A D B --的大小；（Ⅲ）求点C 到平面1A BD 的距离．19．（本小题满分12分）某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a 元（35a ≤≤）的管理费，预计当每件产品的售价为x 元（911x ≤≤）时，一年的销售量为2(12)x -万件．（Ⅰ）求分公司一年的利润L （万元）与每件产品的售价x 的函数关系式；（Ⅱ）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L 最大，并求出L 的最大值()Q a ．ABCD1A1C1B20．（本小题满分12分）如图，已知点(10)F ，，直线:1l x =-，P 为平面上的动点，过P 作直线l 的垂线，垂足为点Q ，且QP QF FP FQ =．（Ⅰ）求动点P 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）过点F 的直线交轨迹C 于A B ，两点，交直线l 于点M ，已知1MA AF λ=，2MB BF λ=，求12λλ+的值；21．（本小题满分12分）等差数列{}n a 的前n项和为1319n S a S ==+，（Ⅰ）求数列{}n a 的通项n a 与前n 项和n S ；（Ⅱ）设()nn S b n n*=∈N ，求证：数列{}n b 中任意不同的三项都不可能成为等比数列． 22．（本小题满分14分）已知函数()e x f x kx x =-∈R ，（Ⅰ）若e k =，试确定函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若0k >，且对于任意x ∈R ，()0f x >恒成立，试确定实数k 的取值范围；（Ⅲ）设函数()()()F x f x f x =+-，求证：12(1)(2)()(e 2)()n n F F F n n +*>+∈N ．福建数学试题（理工农医类）参考答案一、选择题：本大题考查基本概念和基本运算，每小题5分，满分60分． 1．D 2．B 3．C 4．B 5．A 6．A 7．C 8．D 9．D 10．B11．B 12．D二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算，每小题4分，满分16分． 13．[57]-，14115．2316．答案不唯一，如“图形的全等”、“图形的相似”、“非零向量的共线”、“命题的充要条件”等等．三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．本小题主要考查两角和差公式，用同角三角函数关系等解斜三角形的基本知识以及推理和运算能力，满分12分．解：（Ⅰ）π()C A B =-+ ，1345tan tan()113145C A B +∴=-+=-=--⨯．又0πC << ，3π4C ∴=．（Ⅱ）34C =π ，AB ∴边最大，即AB =又tan tan 0A B A B π⎛⎫<∈ ⎪2⎝⎭，，，，∴角A 最小，BC 边为最小边．由22sin 1tan cos 4sin cos 1A A A A A ⎧==⎪⎨⎪+=⎩，，且π02A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，得sin 17A =．由sin sin AB BC C A =得：sin sin A BC AB C ==所以，最小边BC ．18．本小题主要考查直线与平面的位置关系，二面角的大小，点到平面的距离等知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力．满分12分．解法一：（Ⅰ）取BC 中点O ，连结AO ． ABC △为正三角形，AO BC ∴⊥．正三棱柱111ABC A B C -中，平面ABC ⊥平面11BCC B ，AO ∴⊥平面11BCC B ．连结1B O ，在正方形11BB C C 中，O D ，分别为1BC CC ，的中点，1B O BD ∴⊥， 1AB BD ∴⊥．在正方形11ABB A 中，11ABA B ⊥， 1AB ∴⊥平面1A BD ．（Ⅱ）设1AB 与1A B 交于点G ，在平面1A BD 中，作1GF AD ⊥于F ，连结AF ，由（Ⅰ）得1AB ⊥平面1A BD ．1AF A D ∴⊥，AFG ∴∠为二面角1A A D B --的平面角．在1AA D △中，由等面积法可求得AF =，又112AG AB ==sin AG AFG AF ∴===∠ 所以二面角1A A D B --的大小为arcsin4．（Ⅲ）1A BD △中，111A BD BD A D A B S ===∴=△1BCD S =△．在正三棱柱中，1A 到平面11BCC B设点C 到平面1A BD 的距离为d ．由11A BCD C A BD V V --=得11133BCD A BD S S d =△△， ABCD1A 1C1BOF12BCD A BD d S ∴==△△．∴点C 到平面1A BD的距离为2．解法二：（Ⅰ）取BC 中点O ，连结AO ． ABC △为正三角形，AO BC ∴⊥．在正三棱柱111ABC A B C -中，平面ABC ⊥平面11BCC B ，AD ∴⊥平面11BCC B ．取11B C 中点1O ，以O 为原点，OB ，1OO ，OA的方向为x y z ，，轴的正方向建立空间直角坐标系，则(100)B ，，，(110)D -，，，1(02A，(00A ，1(120)B ，，，1(12AB ∴= ，，(210)BD =-，，，1(12BA =- ． 12200AB BD =-++= ，111430AB BA =-+-=， 1AB BD ∴ ⊥，11AB BA ⊥．1AB ∴⊥平面1A BD ．（Ⅱ）设平面1A AD 的法向量为()x y z =，，n ．(11AD =-，，1(020)AA = ，，． AD ⊥n ，1AA ⊥n ，100AD AA ⎧=⎪∴⎨=⎪⎩ ，，nn 020x y y ⎧-+-=⎪∴⎨=⎪⎩，，0y x =⎧⎪∴⎨=⎪⎩，．令1z =得(=，n 为平面1A AD 的一个法向量．由（Ⅰ）知1AB ⊥平面1A BD ，1AB ∴为平面1A BD 的法向量．cos <n，111AB AB AB >===n n ． ∴二面角1A A D B --的大小为（Ⅲ）由（Ⅱ），1AB为平面1A BD 法向量，1(200)(12BC AB =-=，，，，．∴点C 到平面1A BD的距离112BC AB d AB === ． 19．本小题考查函数、导数及其应用等知识，考查运用数学知识分析和解决实际问题的能力，满分12分．解：（Ⅰ）分公司一年的利润L （万元）与售价x 的函数关系式为：2(3)(12)[911]L x a x x =---∈，，．（Ⅱ）2()(12)2(3)(12)L x x x a x '=-----(12)(1823x a x =-+-．令0L '=得263x a =+或12x =（不合题意，舍去）． 35a ≤≤，2288633a ∴+≤≤．在263x a =+两侧L '的值由正变负．所以（1）当28693a +<≤即932a <≤时，2max (9)(93)(129)9(6)L L a a ==---=-．（2）当2289633a +≤≤即952a ≤≤时， 23max2221(6)63126433333L L a a a a a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+---+=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以399(6)32()1943532a a Q a a a ⎧-<⎪⎪=⎨⎛⎫⎪- ⎪⎪⎝⎭⎩， ≤，， ≤≤ 答：若932a <≤，则当每件售价为9元时，分公司一年的利润L 最大，最大值()9(6)Q a a =-（万元）；若952a ≤≤，则当每件售价为263a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭元时，分公司一年的利润L 最大，最大值31()433Q a a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（万元）．20．本小题主要考查直线、抛物线、向量等基础知识，考查轨迹方程的求法以及研究曲线几何特征的基本方法，考查运算能力和综合解题能力．满分14分．解法一：（Ⅰ）设点()P x y ，，则(1)Q y -，，由QP QF=(10)(2)(1)(2)x y x y y +-=-- ，，，，，化简得2:4C y x =（Ⅱ）设直线AB 的方程为：1(0)x my m =+≠．设11()A x y ，，22()B x y ，，又21M m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，，联立方程组241y x x my ⎧=⎨=+⎩，，，消去x 得：2440y my --=，2(4)120m ∆=-+>，故121244y y m y y +=⎧⎨=-⎩，．由1MA AF λ= ，2MB BF λ=得：1112y y m λ+=-，2222y y mλ+=-，整理得： 1121my λ=--，2221my λ=--， 12122112m y y λλ⎛⎫∴+=--+ ⎪⎝⎭121222y y m y y +=--2424m m =--- 0=．解法二：（Ⅰ）由QP QF FP FQ = 得：()0FQ PQ PF +=， ()()0PQ PF PQ PF ∴-+= ，220PQ PF ∴-= ， PQ PF ∴= ．所以点P 的轨迹C 是抛物线，由题意，轨迹C 的方程为：24y x =．（Ⅱ）由已知1MA AF λ= ，2MB BF λ=，得120λλ< ．则：12MA AF MB BFλλ=- ．…………①过点A B ，分别作准线l 的垂线，垂足分别为1A ，1B ，则有：11MA AA AFMB BB BF== ．…………②由①②得：12AF AFBF BFλλ-= ，即120λλ+=．21．本小题考查数列的基本知识，考查等差数列的概念、通项公式与前n 项和公式，考查等比数列的概念与性质，考查化归的数学思想方法以及推理和运算能力．满分12分解：（Ⅰ）由已知得111339a a d ⎧=⎪⎨+=+⎪⎩，2d ∴=，故21(n n a n S n n =-=．（Ⅱ）由（Ⅰ）得nn S b n n==．假设数列{}n b 中存在三项p q r b b b ，，（p q r ，，互不相等）成等比数列，则2q p r b b b =．即2((q p r =．2()(20q pr q p r ∴-+--=p q r *∈N ，，，2020q pr q p r ⎧-=∴⎨--=⎩，，22()02p r pr p r p r +⎛⎫∴=-=∴= ⎪⎝⎭，，．与p r ≠矛盾．所以数列{}n b 中任意不同的三项都不可能成等比数列．22．本小题主要考查函数的单调性、极值、导数、不等式等基本知识，考查运用导数研究函数性质的方法，考查分类讨论、化归以及数形结合等数学思想方法，考查分析问题、解决问题的能力．满分14分．解：（Ⅰ）由e k =得()e e x f x x =-，所以()e e xf x '=-．由()0f x '>得1x >，故()f x 的单调递增区间是(1)+∞，，由()0f x '<得1x <，故()f x 的单调递减区间是(1)-∞，．（Ⅱ）由()()f x f x -=可知()f x 是偶函数．于是()0f x >对任意x ∈R 成立等价于()0f x >对任意0x ≥成立．由()e 0x f x k '=-=得ln x k =．①当(01]k ∈，时，()e 10(0)x f x k k x '=->->≥．此时()f x 在[0)+∞，上单调递增．故()(0)10f x f =>≥，符合题意．②当(1)k ∈+∞，时，ln 0k >．当x 变化时()()f x f x '，的变化情况如下表：由此可得，在[0)+∞，上，()(ln )ln f x f k k k k =-≥．依题意，ln 0k k k ->，又11e k k >∴<<，．综合①，②得，实数k 的取值范围是0e k <<．（Ⅲ）()()()e e x x F x f x f x -=+-=+ ， 12()()F x F x ∴=12121212121212()()e e e e e e 2e 2x x x x x x x x x x x x x x +-+--++-+++++>++>+， 1(1)()e 2n F F n +∴>+，11(2)(1)e 2()(1)e 2.n n F F n F n F ++->+>+由此得，21[(1)(2)()][(1)()][(2)(1)][()(1)](e 2)n n F F F n F F n F F n F n F +=->+ 故12(1)(2)()(e2)n n F F F n n +*>+∈N ，．。

高考福建理科数学试题及答案(高清版)

2019年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(福建卷)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．理科：第Ⅱ卷第21题为选考题，其他题为必考题，满分150分．第Ⅰ卷一、选择题：(理科)本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．(文科)本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．下列命题中，真命题是( )A ．x 0∈R ， 0e 0x≤ B ．x ∈R ， 2x ＞x 2 C ．a ＋b ＝0的充要条件是1ab=- D ．a ＞1， b ＞1是ab ＞1的充分条件2．一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等，那么这个几何体不可以是( ) A ．球 B ．三棱锥 C ．正方体 D ．圆柱3．若复数z 满足z i ＝1－i ，则z 等于( )A ．－1－iB ．1－iC ．－1＋iD ．1＋i A ．3＋4i B ．5＋4i C ．3＋2i D ．5＋2i4．等差数列{a n }中， a 1＋a 5＝10， a 4＝7，则数列{a n }的公差为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 5．下列不等式一定成立的是( )A ．lg(x 2＋14)＞lg x (x ＞0) B ．sin x ＋1sin x≥2(x ≠k π， k ∈Z )C ．x 2＋1≥2|x |(x ∈R )D ．2111x >+(x ∈R ) 6．如图所示，在边长为1的正方形OABC 中任取一点P ，则点P 恰好取自阴影部分的概率为( )A ．14 B ．15 C ．16 D ．177．设函数1,()0,x D x x ⎧=⎨⎩为有理数，为无理数，则下列结论错误的是( )A ．D (x )的值域为{0,1}B ．D (x )是偶函数C ．D (x )不是周期函数 D ．D (x )不是单调函数8．已知双曲线22214x y b-=的右焦点与抛物线y 2＝12x 的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于( )AB． C ．3 D ．59．若函数y ＝2x 图象上存在点(x ， y )满足约束条件30,230,,x y x y x m +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩则实数m 的最大值为( )A ．12 B ．1 C ．32D ．2 10．函数f (x )在［a ， b ］上有定义，若对任意x 1， x 2∈［a ， b ］，有()()12121()22x x f f x f x +≤［＋］，则称f (x )在［a ， b ］上具有性质P ．设f (x )在［1,3］上具有性质P ，现给出如下命题：①f (x )在［1,3］上的图象是连续不断的；②f (x 2)在［1，］上具有性质P ；③若f (x )在x ＝2处取得最大值1，则f (x )＝1， x ∈［1,3］； ④对任意x 1， x 2， x 3， x 4∈［1,3］，有12341()44x x x x f +++≤［f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)＋f (x 4)］．其中真命题的序号是( )A ．①②B ．①③C ．②④D ．③④第Ⅱ卷二、填空题：(理科)本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．(文科)本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡的相应位置．11．(a＋x)4的展开式中x3的系数等于8，则实数a＝________．12．阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的s值等于________．13．已知△ABC的等比数列，则其最大角的余弦值为________．14．数列{a n}的通项公式πcos12nna n=+，前n项和为S n，则S2 012＝________．15．对于实数a和b，定义运算“*”：22*.a ab a ba bb ab a b⎧-≤=⎨->⎩，，，设f(x)＝(2x－1)*(x－1)，且关于x的方程f(x)＝m(m∈R)恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3，则x1x2x3的取值范围是__________．三、解答题：(理科)本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．(文科)本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关．某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年．现从该(1)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求其首次出现故障发生在保修期内的概率；(2)若该厂生产的轿车均能售出，记生产一辆甲品牌轿车的利润为X1，生产一辆乙品牌轿车的利润为X2，分别求X1，X2的分布列；(3)该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌的轿车．若从经济效益的角度考虑，你认为应生产哪种品牌的轿车？说明理由．17．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：①sin213°＋cos217°－sin13°cos17°；②sin215°＋cos215°－sin15°cos15°；③sin218°＋cos212°－sin18°cos12°；④sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos48°；⑤sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos55°．(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．18．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，E为CD中点．(1)求证：B1E⊥AD1．(2)在棱AA1上是否存在一点P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的长；若不存在，说明理由．(3)若二面角A－B1E－A1的大小为30°，求AB的长．19．如图，椭圆E：22221x ya b+=(a＞b＞0)的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率12e=．过F1的直线交椭圆于A、B两点，且△ABF2的周长为8．(1)求椭圆E的方程；(2)设动直线l：y＝kx＋m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x＝4相交于点Q．试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．20．已知函数f(x)＝e x＋ax2－e x，a∈R．(1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，求函数f(x)的单调区间；(2)试确定a的取值范围，使得曲线y＝f(x)上存在唯一的点P，曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点P．21．(1)选修4－2：矩阵与变换设曲线2x2＋2xy＋y2＝1在矩阵1ab⎛⎫= ⎪⎝⎭A(a＞0)对应的变换作用下得到的曲线为x2＋y2＝1．①求实数a，b的值；②求A2的逆矩阵．(2)选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l上两点M，N的极坐标分别为(2,0)，π2⎫⎪⎪⎝⎭，圆C的参数方程为22cos,2sinxyθθ=+⎧⎪⎨=⎪⎩(θ为参数)．①设P为线段MN的中点，求直线OP的平面直角坐标方程；②判断直线l与圆C的位置关系．(3)选修4－5：不等式选讲已知函数f(x)＝m－|x－2|，m∈R，且f(x＋2)≥0的解集为［－1,1］．①求m的值；②若a，b，c∈R＋，且11123ma b c++=，求证：a＋2b＋3c≥9．22．(文)已知函数f(x)＝ax sin x－32(a∈R)，且在［0，π2］上的最大值为π32-．(1)求函数f(x)的解析式；(2)判断函数f(x)在(0，π)内的零点个数，并加以证明．1．A由z i＝1－i，得221i(1i)i i i i+11ii i11z---=====----．2．B∵a1＋a5＝10＝2a3，∴a3＝5．故d＝a4－a3＝7－5＝2．3．D∵a＞1＞0，b＞1＞0，∴由不等式的性质得ab＞1，即a ＞1， b ＞1⇒ab ＞1．4． D ∵圆柱的三视图中有两个矩形和一个圆， ∴这个几何体不可以是圆柱．5． C ∵x 2＋1≥2|x |⇔x 2－2|x |＋1≥0，∴当x ≥0时， x 2－2|x |＋1＝x 2－2x ＋1＝(x －1)2≥0成立；当x ＜0时， x 2－2|x |＋1＝x 2＋2x ＋1＝(x ＋1)2≥0成立．故x 2＋1≥2|x |(x ∈R )一定成立．6． C ∵由图象知阴影部分的面积是31220121211)d ()032326x x x x =⋅-=-=⎰，∴所求概率为11616=．7． C ∵D (x )是最小正周期不确定的周期函数， ∴D (x )不是周期函数是错误的．8． A 由双曲线的右焦点与抛物线y 2＝12x 的焦点重合，知32pc ==， c 2＝9＝4＋b 2，于是b 2＝5，b =．因此该双曲线的渐近线的方程为2y x =±，即20y ±=．故该双曲线的焦点到其渐近线的距离为d ==．9． B 由约束条件作出其可行域如图所示：由图可知当直线x ＝m 经过函数y ＝2x的图象与直线x ＋y －3＝0的交点P 时取得最大值，即得2x＝3－x ，即x ＝1＝m ．10． D ①如图1，图1在区间［1,3］上f (x )具有性质P ，但是是间断的，故①错．②可设f (x )＝|x －2|(如图2)，当x ∈［1,3］时易知其具有性质P ，但是f (x 2)＝|x 2－2|＝222,1x x x x ⎧-≤≤⎪⎨-<≤⎪⎩P (如图3)．故②错．图2图3③任取x 0∈［1,3］，则4－x 0∈［1,3］， 1＝f (2)＝004()2x x f +-≤12［f (x 0)＋f (4－x 0)］．又∵f (x 0)＝1， f (4－x 0)≤1， ∴12［f (x 0)＋f (4－x 0)］≤1． ∴f (x 0)＝f (4－x 0)＝1．故③正确．④3412123422()()42x x x x x x x x f f ++++++= ≤34121()+()222x x x x f f ++⎡⎤⎢⎥⎣⎦≤14［f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)＋f (x 4)］，故④正确．11．答案：2解析：∵T r ＋1＝4C r a r x 4－r ， ∴当4－r ＝3，即r ＝1时， T 2＝14C ·a ·x 3＝4ax 3＝8x 3．故a ＝2．12．答案：－3解析：(1)k ＝1,1＜4， s ＝2×1－1＝1； (2)k ＝2,2＜4， s ＝2×1－2＝0； (3)k ＝3,3＜4， s ＝2×0－3＝－3； (4)k ＝4，直接输出s ＝－3．13．答案：4-解析：设△ABC 的最小边长为a (m ＞0)，， 2a ，故最大角的余弦值是2222cos 4θ===-． 14．答案：3 018 解析：∵函数πcos 2n y =的周期2π4π2T ==，∴可用分组求和法：a 1＋a 5＋…＋a 2 009＝50311+1=503++14243个…； a 2＋a 6＋…＋a 2 010＝(－2＋1)＋(－6＋1)＋…＋(－2 010＋1)＝－1－5－…－2 009＝503(12009)2--＝－503×1 005；a 3＋a 7＋…＋a 2 011＝50311+1=503++14243个…； a 4＋a 8＋…＋a 2 012＝(4＋1)＋(8＋1)＋…＋(2 012＋1)＝503(52013)2⨯+＝503×1 009；故S 2 012＝503－503×1 005＋503＋503×1 009 ＝503×(1－1 005＋1＋1 009)＝3 018． 15．答案：， 0) 解析：由已知，得()22200x x x f x x x x ⎧≤⎪⎨⎪⎩－，，＝－＋，＞，作出其图象如图，结合图象可知m 的取值范围为0＜m ＜14，当x ＞0时，有－x 2＋x ＝m ，即x 2－x ＋m ＝0，于是x 1x 2＝m ．当x ＜0时，有2x 2－x －m ＝0，于是314x =．故123(14m x x x =．设h (m )＝m (1，∵h ′(m )＝(1＋［m()］＝10<，∴函数h (m )单调递减．故x 1x 2x 3的取值范围为(116， 0)． 16．解：(1)设“甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内”为事件A ，则231()5010P A +==． (2)依题意得， X 1X 2的分布列为(3)由(2)得， E (X 1)＝1×125＋2×50＋3×10＝50＝2.86(万元)，E (X 2)＝1.8×110＋2.9×910＝2.79(万元)．因为E (X 1)＞E (X 2)，所以应生产甲品牌轿车．17．解：方法一：(1)选择②式，计算如下：sin 215°＋cos 215°－sin15°cos15°＝1－12sin30°＝13144-=． (2)三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin α·cos(30°－α)＝34．证明如下： sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α) ＝sin 2α＋(cos30°cos α＋sin30°sin α)2－sin α·(cos30°cos α＋sin30°sin α)＝sin 2α＋34cos 2α＋2sin αcos α＋14sin 2α－2sin α·cos α－12sin 2α＝34sin 2α＋34cos 2α＝34．方法二：(1)同方法一．(2)三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin α·cos(30°－α)＝34．证明如下： sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝1cos21cos(602)22αα-+︒-+－sin α(cos30°cos α＋sin30°sin α)＝12－12cos2α＋12＋12(cos60°·cos2α＋sin60°sin2α)sin αcos α－12sin 2α＝12－12cos2α＋12＋14cos2ααα－14(1－cos2α)＝11131cos2cos24444αα--+=．18．解：(1)以A 为原点， AB u u u r ， AD u u ur， 1AA u u u r 的方向分别为x 轴， y 轴， z 轴的正方向建立空间直角坐标系(如图)．设AB ＝a ，则A (0,0,0)， D (0,1， 0)， D 1(0,1,1)， E (2a， 1,0)， B 1(a,0,1)，故1AD u u u u r ＝(0,1,1)， 1B E u u u r ＝(2a -， 1，－1)， 1AB u u u r ＝(a,0,1)， AE u u u r ＝(2a， 1,0)．∵1AD u u u u r ·1B E u u u r ＝2a -×0＋1×1＋(－1)×1＝0，∴B 1E ⊥AD 1．(2)假设在棱AA 1上存在一点P (0,0， z 0)，使得DP ∥平面B 1AE ．此时DP u u u r＝(0，－1， z 0)．又设平面B 1AE 的法向量n ＝(x ， y ， z )． ∵n ⊥平面B 1AE ，∴n ⊥1AB u u u r ， n ⊥AE u u u r ，得00.2ax z ax y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，取x ＝1，得平面B 1AE 的一个法向量n ＝(1， 2a-，－a )．要使DP ∥平面B 1AE ，只要n ⊥DP u u u r ，有2a －az 0＝0，解得012z =．又DP 平面B 1AE ， ∴存在点P ，满足DP ∥平面B 1AE ，此时12AP =．(3)连接A 1D ， B 1C ，由长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1及AA 1＝AD ＝1，得AD 1⊥A 1D ．∵B 1C ∥A 1D ， ∴AD 1⊥B 1C ．又由(Ⅰ)知B 1E ⊥AD 1，且B 1C ∩B 1E ＝B 1，∴AD 1⊥平面DCB 1A 1．∴1AD u u u u r 是平面A 1B 1E 的一个法向量，此时1AD u u u u r＝(0,1,1)．设1AD u u u u r 与n 所成的角为θ，则1212·2cos ||||214a a AD AD aa θ--==++u u u u r u u u u r n n ． ∵二面角A －B 1E －A 1的大小为30°，∴|cos θ|＝cos30°，3a=，解得a ＝2，即AB 的长为2．19．解：方法一：(1)因为|AB |＋|AF 2|＋|BF 2|＝8，即|AF 1|＋|F 1B |＋|AF 2|＋|BF 2|＝8，又|AF 1|＋|AF 2|＝|BF 1|＋|BF 2|＝2a ，所以4a ＝8， a ＝2．又因为12e =，即12c a =，所以c ＝1．所以b故椭圆E 的方程是22143x y +=． (2)由22143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，，得(4k 2＋3)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0．因为动直线l 与椭圆E 有且只有一个公共点P (x 0， y 0)，所以m ≠0且∆＝0，即64k 2m 2－4(4k 2＋3)(4m 2－12)＝0，化简得4k 2－m 2＋3＝0．(*)此时024443km k x k m =-=-+， y 0＝kx 0＋m ＝3m ，所以P (4k m -， 3m )．由4x y kx m =⎧⎨=+⎩，，得Q (4,4k ＋m )．假设平面内存在定点M 满足条件，由图形对称性知，点M 必在x 轴上．设M (x 1,0)，则0MP MQ ⋅=u u u r u u u u r对满足(*)式的m ， k 恒成立．因为MP u u u r ＝(14k x m --， 3m )， MQ u u u u r ＝(4－x 1,4k ＋m )，由0MP MQ ⋅=u u u r u u u u r，得211141612430kx k k x x m m m-+-+++=，整理，得(4x 1－4)km＋x 12－4x 1＋3＝0．(**)由于(**)式对满足(*)式的m ， k 恒成立，所以1211440,430,x x x -=⎧⎨-+=⎩解得x 1＝1．故存在定点M (1,0)，使得以PQ 为直径的圆恒过点M ．方法二：(1)同方法一．(2)由22143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，，得(4k 2＋3)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0．因为动直线l 与椭圆E 有且只有一个公共点P (x 0， y 0)，所以m ≠0且∆＝0，即64k 2m 2－4(4k 2＋3)(4m 2－12)＝0，化简得4k 2－m 2＋3＝0．(*)此时024443km k x k m =-=-+， y 0＝kx 0＋m ＝3m ，所以P (4k m -， 3m )．由4x y kx m =⎧⎨=+⎩，，得Q (4,4k ＋m )．假设平面内存在定点M 满足条件，由图形对称性知，点M 必在x 轴上．取k ＝0，m =，此时P (0，， Q (4，，以PQ 为直径的圆为(x －2)2＋(y2＝4，交x 轴于点M 1(1,0)， M 2(3,0)；取12k =-， m ＝2，此时P (1， 32)， Q (4,0)，以PQ 为直径的圆为225345()()2416x y -+-=，交x 轴于点M 3(1,0)， M 4(4,0)．所以若符合条件的点M 存在，则M 的坐标必为(1,0)．以下证明M (1,0)就是满足条件的点：因为M 的坐标为(1,0)，所以MP u u u r ＝(41k m --， 3m)， MQ u u u u r ＝(3,4k ＋m )，从而1212330k k MP MQ m m ⋅=--++=u u u r u u u u r ，故恒有MP MQ ⊥u u u r u u u u r，即存在定点M (1,0)，使得以PQ 为直径的圆恒过点M ．20．解：(1)由于f ′(x )＝e x ＋2ax －e ，曲线y ＝f (x )在点(1， f (1))处切线斜率k ＝2a ＝0，所以a ＝0，即f (x )＝e x －e x ．此时f ′(x )＝e x －e ，由f ′(x )＝0得x ＝1．当x ∈(－∞， 1)时，有f ′(x )＜0；当x ∈(1，＋∞)时，有f ′(x )＞0．所以f (x )的单调递减区间为(－∞， 1)，单调递增区间为(1，＋∞)．(2)设点P (x 0， f (x 0))，曲线y ＝f (x )在点P 处的切线方程为y ＝f ′(x 0)(x －x 0)＋f (x 0)，令g (x )＝f (x )－f ′(x 0)(x －x 0)－f (x 0)，故曲线y ＝f (x )在点P 处的切线与曲线只有一个公共点P 等价于函数g (x )有唯一零点．因为g (x 0)＝0，且g ′(x )＝f ′(x )－f ′(x 0)＝e x －e x 0＋2a (x －x 0)．(1)若a ≥0，当x ＞x 0时， g ′(x )＞0，则x ＞x 0时， g (x )＞g (x 0)＝0；当x ＜x 0时， g ′(x )＜0，则x ＜x 0时， g (x )＞g (x 0)＝0．故g (x )只有唯一零点x ＝x 0．由P 的任意性， a ≥0不合题意．(2)若a ＜0，令h (x )＝e x －e x 0＋2a (x －x 0)，则h (x 0)＝0， h ′(x )＝e x ＋2a ．令h ′(x )＝0，得x ＝ln(－2a )，记x ′＝ln(－2a )，则当x ∈(－∞， x *)时， h ′(x )＜0，从而h (x )在(－∞， x *)内单调递减；当x ∈(x *，＋∞)时， h ′(x )＞0，从而h (x )在(x *，＋∞)内单调递增．①若x 0＝x *，由x ∈(－∞， x *)时， g ′(x )＝h (x )＞h (x *)＝0；x ∈(x *，＋∞)时， g ′(x )＝h (x )＞h (x *)＝0，知g (x )在R 上单调递增．所以函数g (x )在R 上有且只有一个零点x ＝x *．②若x 0＞x *，由于h (x )在(x *，＋∞)内单调递增，且h (x 0)＝0，则当x ∈(x *， x 0)时有g ′(x )＝h (x )＜h (x 0)＝0， g (x )＞g (x 0)＝0；任取x 1∈(x *， x 0)有g (x 1)＞0．又当x ∈(－∞， x 1)时，易知g (x )＝e x ＋ax 2－［e ＋f ′(x 0)］x －f (x 0)＋x 0f ′(x 0)＜e x 1＋ax 2－［e ＋f ′(x 0)］x －f (x 0)＋x 0f ′(x 0)＝ax 2＋bx ＋c ，其中b ＝－［e ＋f ′(x 0)］， c ＝e x 1－f (x 0)＋x 0f ′(x 0)．由于a ＜0，则必存在x 2＜x 1，使得ax 22＋bx 2＋c ＜0．所以g (x 2)＜0．故g (x )在(x 2， x 1)内存在零点，即g(x)在R上至少有两个零点．③若x0＜x*，仿②并利用3e6xx>，可证函数g(x)在R上至少有两个零点．综上所述，当a＜0时，曲线y＝f(x)上存在唯一点P(ln(－2a)，f(ln(－2a)))，曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点P．21．(1)选修4－2：矩阵与变换解：①设曲线2x2＋2xy＋y2＝1上任意点P(x，y)在矩阵A对应的变换作用下的像是P′(x′，y′)．由1x ay b'⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪'⎝⎭⎝⎭x axy bx y⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，得,.x axy bx y'=⎧⎨'=+⎩又点P′(x′，y′)在x2＋y2＝1上，所以x′2＋y′2＝1，即a2x2＋(bx＋y)2＝1，整理得(a2＋b2)x2＋2bxy＋y2＝1．依题意得222,22,a bb⎧+=⎨=⎩解得1,1,ab=⎧⎨=⎩或1,1,ab=-⎧⎨=⎩因为a＞0，所以1,1. ab=⎧⎨=⎩②由①知，1 01 1⎛⎫= ⎪⎝⎭A，21 0 1 0 1 01 1 1 12 1⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭A，所以|A2|＝1，(A2)－1＝1 02 1⎡⎤⎢⎥-⎣⎦．(2)选修4－4：坐标系与参数方程解：①由题意知，M，N的平面直角坐标分别为(2,0)，(0，)．又P为线段MN的中点，从而点P的平面直角坐标为(1，)，故直线OP的平面直角坐标方程为y x=．②因为直线l上两点M，N的平面直角坐标分别为(2,0)，(0，)，所以直线l30y+-=．又圆C的圆心坐标为(2，)，半径r＝2，圆心到直线l的距离32d r==<，故直线l与圆C相交．(3)选修4－5：不等式选讲解：①因为f(x＋2)＝m－|x|，f(x＋2)≥0等价于|x|≤m，由|x|≤m有解，得m≥0，且其解集为{x|－m≤x≤m}．又f(x＋2)≥0的解集为［－1,1］，故m＝1．②由①知111123a b c++=，又a，b，c∈R＋，由柯西不等式得a＋2b＋3c＝(a＋2b＋3c)(11123a b c ++)≥29＝．。

2021届数学大一轮复习【福建专用,理】课时作业,第二章第8讲函数与方程 Word版含答案

第8讲函数与方程一、选择题1．“a<－2”是“函数f(x)＝ax＋3在区间[－1,2]上存在零点x0”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件解析当a<－2时，函数f(x)＝ax＋3在区间[－1,2]上单调递减，此时f(－1)＝3－a>0，f(2)＝3＋2a<0，所以函数f(x)＝ax＋3在区间[－1,2]上存在零点x；当函数f(x)＝ax＋3在区间[－1,2]上存在零点x0时，有f(－1)f(2)<0，即2a2－3a－9>0，解得a>3或a<－3 2 .答案 A2．下列函数图像与x轴均有公共点，其中能用二分法求零点的是( )解析能用二分法求零点的函数必需在含零点的区间(a，b)内连续，并且有f(a)·f(b)＜0.A、B、D中函数不符合．答案 C3．函数f(x)＝2x－2x－a的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是()．A．(1,3) B．(1,2)C．(0,3) D．(0,2)解析由条件可知f(1)f(2)<0，即(2－2－a)(4－1－a)<0，即a(a－3)<0，解之得0<a<3. 答案 C 4．已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x<2时，f(x)＝x3－x，则函数y＝f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点的个数为()．A．6 B．7 C．8 D．9解析当0≤x<2时，令f(x)＝x3－x＝0，得x＝0或x＝1.依据周期函数的性质，由f(x)的最小正周期为2，可知y＝f(x)在[0,6)上有6个零点，又f(6)＝f(3×2)＝f(0)＝0，∴f(x)在[0,6]上与x轴的交点个数为7.答案 B5．函数f(x)＝x－cos x在[0，＋∞)内()．A．没有零点B．有且仅有一个零点C．有且仅有两个零点D．有无穷多个零点解析令f(x)＝0，得x＝cos x，在同一坐标系内画出两个函数y＝x与y＝cos x的图象如图所示，由图象知，两个函数只有一个交点，从而方程x＝cos x只有一个解．∴函数f(x)只有一个零点．答案 B6．已知函数f(x)＝x e x－ax－1，则关于f(x)零点叙述正确的是( )．A．当a＝0时，函数f(x)有两个零点B．函数f(x)必有一个零点是正数C．当a＜0时，函数f(x)有两个零点D．当a＞0时，函数f(x)只有一个零点解析f(x)＝0⇔e x＝a＋1x在同一坐标系中作出y＝e x与y＝1x的图象，。

2013年高考数学真题(理)-福建

2013年高考数学真题（理）-福建（2013 福建理 1）已知复数z 的共轭复数12z i =+（i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D【解析】z 的共轭复数12z i =+，则12z i =-，对应点的坐标为(1,2)-，故答案为D 。

（2013 福建理 2）已知集合{}1,A a =，{}1,2,3B =,则“3a =”是“A B ⊆”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】3,a A B =⇒⊆2A B a ⊆⇒=，或3，因此是充分不必要条件。

（2013 福建理 3）双曲线2214x y -=的顶点到其渐近线的距离等于（） A.25 B.45C.D.【答案】C【解析】2214x y -=的顶点坐标为(2,0)±，渐近线为2204x y -=，即20x y ±=。

带入点到直线距离公式d ==。

（2013 福建理 4）某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分成6组：[40,50), [50,60), [60,70), [70,80), [80,90), [90,100)加以统计，得到如图所示的频率分布直方图。

已知高一年级共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为（）A.588B.480C.450D.120 【答案】B【解析】由图知道60分以上人员的频率为后4项频率的和，由图知道(0.030.0250.0150.01)*100.8P =+++=，故分数在60以上的人数为600×0.8=480人。

（2013 福建理 5）满足{},1,0,1,2a b ∈-，且关于x 的方程220ax x b ++=有实数解的有序数对(,)a b 的个数为（）A.14B.13C.12D.10 【答案】B【解析】方程220ax x b ++=有实数解，分析讨论：①当0a =时，很显然为垂直于x 轴的直线方程，有解．此时b 可以取4个值．故有4种有序数对。

福建省福州市高二数学下学期3月月考试卷理(含解析)

福建省福州市高二数学下学期3月月考试卷理（含解析）一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的1．一个物体的运动方程为s=1﹣t+t2其中s的单位是米，t的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是（）A．7米/秒B．6米/秒C．5米/秒D．8米/秒2．若f'（x）=3，则等于（）A．3 B．C．﹣1 D．13．若曲线y=x2+ax+b在点（1，b）处的切线方程是x﹣y+1=0，则（）A．a=1，b=2 B．a=﹣1，b=2 C．a=1，b=﹣2 D．a=﹣1，b=﹣24．设f（x）=xlnx，若f′（x0）=2，则x0=（）A．e2B．e C． D．ln25．下列积分不正确的是（）A．B．C． D．6．已知函数f（x）=x3+ax2+（a+6）x+1有极值，则a的取值范围是（）A．﹣1＜a＜2 B．﹣3＜a＜6 C．a＜﹣3或a＞6 D．a＜﹣1或a＞27．设P为曲线C：y=x2+2x+3上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围是，则点P横坐标的取值范围是（）A．B．[﹣1，0] C．[0，1] D．[，1]8．若函数f（x）=x3+ax﹣2在区间（1，+∞）内是增函数，则实数a的取值范围是（）A．[﹣3，+∞）B．（﹣3，+∞）C．[0，+∞）D．（0，+∞）9．设曲线在点（3，2）处的切线与直线ax+y+1=0垂直，则a=（）A．2 B．C．D．﹣210．曲线y=ln（2x﹣1）上的点到直线2x﹣y+8=0的最短距离是（）A．B．2 C．3 D．011．设f（x）、g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x＜0时，f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＞0，且g（﹣3）=0，则不等式f（x）g（x）＜0的解集是（）A．（﹣3，0）∪（3，+∞）B．（﹣3，0）∪（0，3）C．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）D．（﹣∞，﹣3）∪（0，3）12．已知二次函数f（x）=ax2+bx+c的导数为f′（x），f′（0）＞0，对于任意实数x，有的最小值为（）A．2 B．C．3 D．二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分．13．函数y=x2﹣lnx的单调递减区间为．14．已知函数f（x）=f′（）sinx+cosx，则f（）= ．15．由y2=4x与直线y=2x﹣4所围成图形的面积为．16．已知函数f（x）的定义域为[﹣1，5]，部分对应值如表，f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图示．x ﹣1 0 4 5 f（x） 1 2 2 1下列关于f（x）的命题：①函数f（x）的极大值点为0，4；②函数f（x）在[0，2]上是减函数；③如果当x∈[﹣1，t]时，f（x）的最大值是2，那么t的最大值为4；④当1＜a＜2时，函数y=f（x）﹣a有4个零点；⑤函数y=f（x）﹣a的零点个数可能为0、1、2、3、4个．其中正确命题的序号是．三、解答题：共6小题，共70分，解答写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知等差数列{a n}满足a3=6，a4+a6=20（1）求通项a n；（2）设{b n﹣a n}是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{b n}的通项公式及其前n项和T n．18．在三角形ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，若bcosC=（2a﹣c）cosB （Ⅰ）求∠B的大小（Ⅱ）若、a+c=4，求三角形ABC的面积．19．已知椭圆=1（a＞b＞0）的一个顶点为A（0，1），离心率为，过点B（0，﹣2）及左焦点F1的直线交椭圆于C，D两点，右焦点设为F2．（1）求椭圆的方程；（2）求△CDF2的面积．20．设f（x）=ax3+bx2+cx的极小值为﹣8，其导函数y=f′（x）的图象经过点，如图所示，（1）求f（x）的解析式；（2）若对x∈[﹣3，3]都有f（x）≥m2﹣14m恒成立，求实数m的取值范围．21．已知函数f（x）=ln（ax+1）+，x≥0，其中a＞0．（Ⅰ）若f（x）在x=1处取得极值，求a的值；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）若f（x）的最小值为1，求a的取值范围．22．已知函数，g（x）=x+lnx，其中a＞0．（1）若x=1是函数h（x）=f（x）+g（x）的极值点，求实数a的值；（2）若对任意的x1，x2∈[1，e]（e为自然对数的底数）都有f（x1）≥g（x2）成立，求实数a的取值范围．2016-2017学年福建省福州市文博中学高二（下）3月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的1．一个物体的运动方程为s=1﹣t+t2其中s的单位是米，t的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是（）A．7米/秒B．6米/秒C．5米/秒D．8米/秒【考点】62：导数的几何意义．【分析】求导数，把t=3代入求得导数值即可．【解答】解：∵s=1﹣t+t2，∴s′=﹣1+2t，把t=3代入上式可得s′=﹣1+2×3=5由导数的意义可知物体在3秒末的瞬时速度是5米/秒，故选C2．若f'（x）=3，则等于（）A．3 B．C．﹣1 D．1【考点】6F：极限及其运算．【分析】由=﹣=﹣×f'（x0），由题意，即可求得答案．【解答】解：=﹣=﹣×f'（x0）=﹣×3=﹣1，故选C．3．若曲线y=x2+ax+b在点（1，b）处的切线方程是x﹣y+1=0，则（）A．a=1，b=2 B．a=﹣1，b=2 C．a=1，b=﹣2 D．a=﹣1，b=﹣2【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】由y=x2+ax+b，知y′=2x+a，再由曲线y=x2+ax+b在点（1，b）处的切线方程为x ﹣y+1=0，求出a和b．【解答】解：∵y=x2+ax+b，∴y′=2x+a，∵y′|x=1=2+a，∴曲线y=x2+ax+b在点（1，b）处的切线方程为y﹣b=（2+a）（x﹣1），∵曲线y=x2+ax+b在点（1，b）处的切线方程为x﹣y+1=0，∴a=﹣1，b=2．故选B．4．设f（x）=xlnx，若f′（x0）=2，则x0=（）A．e2B．e C． D．ln2【考点】65：导数的乘法与除法法则．【分析】利用乘积的运算法则求出函数的导数，求出f'（x0）=2解方程即可．【解答】解：∵f（x）=xlnx∴∵f′（x0）=2∴lnx0+1=2∴x0=e，故选B．5．下列积分不正确的是（）A．B．C． D．【考点】68：微积分基本定理．【分析】利用微积分基本定理即可得出．【解答】解：A. = =ln3，因此正确；B．∵=2．故B不正确．==，因此正确；D. = = =．因此正确．综上可知：只有B不正确．故选B．6．已知函数f（x）=x3+ax2+（a+6）x+1有极值，则a的取值范围是（）A．﹣1＜a＜2 B．﹣3＜a＜6 C．a＜﹣3或a＞6 D．a＜﹣1或a＞2【考点】6D：利用导数研究函数的极值．【分析】求出函数的导数，利用导数有两个不相等的实数根，通过△＞0，即可求出a的范围．【解答】解：函数f（x）=x3+ax2+（a+6）x+1，所以函数f′（x）=3x2+2ax+（a+6），因为函数有极值，所以导函数有两个不相等的实数根，即△＞0，（2a）2﹣4×3×（a+6）＞0，解得：a＜﹣3或a＞6，故选：C．7．设P为曲线C：y=x2+2x+3上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围是，则点P横坐标的取值范围是（）A．B．[﹣1，0] C．[0，1] D．[，1]【考点】62：导数的几何意义．【分析】根据题意知，倾斜角的取值范围，可以得到曲线C在点P处斜率的取值范围，进而得到点P横坐标的取值范围．【解答】解：设点P的横坐标为x0，∵y=x2+2x+3，∴y′=2x0+2，利用导数的几何意义得2x0+2=tanα（α为点P处切线的倾斜角），又∵，∴0≤2x0+2≤1，∴．故选：A．8．若函数f（x）=x3+ax﹣2在区间（1，+∞）内是增函数，则实数a的取值范围是（）A．[﹣3，+∞）B．（﹣3，+∞）C．[0，+∞）D．（0，+∞）【考点】6A：函数的单调性与导数的关系．【分析】由已知，f′（x）=3x2≥0在[1，+∞）上恒成立，可以利用参数分离的方法求出参数a的取值范围．【解答】解：f′（x）=3x2+a，根据函数导数与函数的单调性之间的关系，f′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，即a≥﹣3x2，恒成立，只需a大于﹣3x2的最大值即可，而﹣3x2在[1，+∞）上的最大值为﹣3，所以a≥﹣3．即数a的取值范围是[﹣3，+∞）．故选A．9．设曲线在点（3，2）处的切线与直线ax+y+1=0垂直，则a=（）A．2 B．C．D．﹣2【考点】62：导数的几何意义．【分析】（1）求出已知函数y在点（3，2）处的斜率；（2）利用两条直线互相垂直，斜率之间的关系k1•k2=﹣1，求出未知数a．【解答】解：∵y=∴y′=﹣∵x=3∴y′=﹣即切线斜率为﹣∵切线与直线ax+y+1=0垂直∴直线ax+y+1=0的斜率为﹣a．∴﹣•（﹣a）=﹣1得a=﹣2故选D．10．曲线y=ln（2x﹣1）上的点到直线2x﹣y+8=0的最短距离是（）A．B．2 C．3 D．0【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程；3H：函数的最值及其几何意义；IT：点到直线的距离公式．【分析】在曲线y=ln（2x﹣1）上设出一点，然后求出该点处的导数值，由该导数值等于直线2x﹣y+8=0的斜率求出点的坐标，然后由点到直线的距离公式求解．【解答】解：设曲线y=ln（2x﹣1）上的一点是P（ m，n），则过P的切线必与直线2x﹣y+8=0平行．由，所以切线的斜率．解得m=1，n=ln（2﹣1）=0．即P（1，0）到直线的最短距离是d=．故选B．11．设f（x）、g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x＜0时，f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＞0，且g（﹣3）=0，则不等式f（x）g（x）＜0的解集是（）A．（﹣3，0）∪（3，+∞）B．（﹣3，0）∪（0，3）C．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）D．（﹣∞，﹣3）∪（0，3）【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】先根据f’（x）g（x）+f（x）g’（x）＞0可确定[f（x）g（x）]'＞0，进而可得到f（x）g（x）在x＜0时递增，结合函数f（x）与g（x）的奇偶性可确定f（x）g（x）在x＞0时也是增函数，最后根据g（﹣3）=0可求得答案．【解答】解：设F（x）=f （x）g（x），当x＜0时，∵F′（x）=f′（x）g（x）+f （x）g′（x）＞0．∴F（x）在当x＜0时为增函数．∵F（﹣x）=f （﹣x）g （﹣x）=﹣f （x）•g （x）=﹣F（x）．故F（x）为（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数．∴F（x）在（0，+∞）上亦为增函数．已知g（﹣3）=0，必有F（﹣3）=F（3）=0．构造如图的F（x）的图象，可知F（x）＜0的解集为x∈（﹣∞，﹣3）∪（0，3）．故选D12．已知二次函数f（x）=ax2+bx+c的导数为f′（x），f′（0）＞0，对于任意实数x，有的最小值为（）A．2 B．C．3 D．【考点】63：导数的运算；3R：函数恒成立问题；7F：基本不等式．【分析】由对于任意实数x，f（x）≥0成立求出a的范围及a，b c的关系，求出f（1）及f′（0），作比后放缩去掉c，通分后利用基本不等式求最值．【解答】解：∵f（x）≥0，知，∴c．又f′（x）=2ax+b，∴f′（0）=b＞0，f（1）=a+b+c．∴≥1+=≥1+=2．当且仅当4a2=b2时，“=”成立．故选A．二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分．13．函数y=x2﹣lnx的单调递减区间为（0，1] ．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】根据题意，先求函数的定义域，进而求得其导数，即y′=x﹣=，令其导数小于等于0，可得≤0，结合函数的定义域，解可得答案．【解答】解：对于函数，易得其定义域为{x|x＞0}，y′=x﹣=，令≤0，又由x＞0，则≤0⇔x2﹣1≤0，且x＞0；解可得0＜x≤1，即函数的单调递减区间为（0，1]，故答案为（0，1]14．已知函数f（x）=f′（）sinx+cosx，则f（）= 0 ．【考点】63：导数的运算．【分析】求函数的导数，先求出f′（）的值即可得到结论．【解答】解：函数的导数为f′（x）=f′（）cosx﹣sinx，令x=，得f′（）=f′（）cos﹣sin=﹣1，则f（x）=﹣sinx+cosx，则f（）=﹣sin+cos=，故答案为：0．15．由y2=4x与直线y=2x﹣4所围成图形的面积为9 ．【考点】67：定积分．【分析】先联立方程，组成方程组，求得交点坐标，可得被积区间，再用定积分表示出曲线yy2=4x与直线y=2x﹣4所围成的封闭图形的面积，即可求得结论【解答】解：联立方程组，解得或，∴曲线y=x2与直线y=x围成的封闭图形的面积为S=（y+2﹣y2）dy=（y2+2y﹣）|=9，故答案为：916．已知函数f（x）的定义域为[﹣1，5]，部分对应值如表，f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图示．x ﹣1 0 4 5 f（x） 1 2 2 1下列关于f（x）的命题：①函数f（x）的极大值点为0，4；②函数f（x）在[0，2]上是减函数；③如果当x∈[﹣1，t]时，f（x）的最大值是2，那么t的最大值为4；④当1＜a＜2时，函数y=f（x）﹣a有4个零点；⑤函数y=f（x）﹣a的零点个数可能为0、1、2、3、4个．其中正确命题的序号是①②⑤．【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6D：利用导数研究函数的极值．【分析】由导数图象可知，函数的单调性，从而可得函数的极值，故可得①，②正确；因为在当x=0和x=4，函数取得极大值f（0）=2，f（4）=2，要使当x∈[﹣1，t]函数f（x）的最大值是4，当2≤t≤5，所以t的最大值为5，所以③不正确；由f（x）=a知，因为极小值f（2）未知，所以无法判断函数y=f（x）﹣a有几个零点，所以④不正确，根据函数的单调性和极值，做出函数的图象如图，即可求得结论．【解答】解：由导数图象可知，当﹣1＜x＜0或2＜x＜4时，f'（x）＞0，函数单调递增，当0＜x＜2或4＜x＜5，f'（x）＜0，函数单调递减，当x=0和x=4，函数取得极大值f（0）=2，f（4）=2，当x=2时，函数取得极小值f（2），所以①正确；②正确；因为在当x=0和x=4，函数取得极大值f（0）=2，f（4）=2，要使当x∈[﹣1，t]函数f（x）的最大值是4，当2≤t≤5，所以t的最大值为5，所以③不正确；由f（x）=a知，因为极小值f（2）未知，所以无法判断函数y=f（x）﹣a有几个零点，所以④不正确，根据函数的单调性和极值，做出函数的图象如图，（线段只代表单调性），根据题意函数的极小值不确定，分f（2）＜1或1≤f（2）＜2两种情况，由图象知，函数y=f（x）和y=a的交点个数有0，1，2，3，4等不同情形，所以⑤正确，综上正确的命题序号为①②⑤．故答案为：①②⑤．三、解答题：共6小题，共70分，解答写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知等差数列{a n}满足a3=6，a4+a6=20（1）求通项a n；（2）设{b n﹣a n}是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{b n}的通项公式及其前n项和T n．【考点】8E：数列的求和．【分析】（1）由已知条件，利用等差数列的通项公式列出方程组，求出等差数列的首项和公差，由此能求出等差数列的通项公式．（2）由a n=2n，{b n﹣a n}是首项为1，公比为3的等比数列，利用等比数列的通项公式，能求出数列{b n}的通项公式，再利用分组求和法能求出数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（1）∵等差数列{a n}满足a3=6，a4+a6=20，∴，解得，∴．（2）∵a n=2n，{b n﹣a n}是首项为1，公比为3的等比数列，∴，∴，∴．18．在三角形ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，若bcosC=（2a﹣c）cosB （Ⅰ）求∠B的大小（Ⅱ）若、a+c=4，求三角形ABC的面积．【考点】HR：余弦定理；HP：正弦定理．【分析】（Ⅰ）根据正弦定理得： ===2R解出a、b、c代入到已知条件中，利用两角和的正弦函数的公式及三角形的内角和定理化简，得到cosB的值，然后利用特殊角的三角函数值求出B即可；（Ⅱ）要求三角形的面积，由三角形的面积公式S=acsinB知道就是要求ac的积及sinB，由前一问的cosA的值利用同角三角函数间的基本关系求出sinA，可根据余弦定理及、a+c=4可得到ac的值，即可求出三角形的面积．【解答】解（Ⅰ）由已知及正弦定理可得sinBcosC=2sinAcosB﹣cosBsinC∴2sinAcosB=sinBcosC+cosBsinC=sin（B+C）又在三角形ABC中，sin（B+C）=sinA≠0∴2sinAcosB=sinA，即，得（Ⅱ）∵b2=7=a2+c2﹣2accosB∴7=a2+c2﹣ac又∵（a+c）2=16=a2+c2+2ac∴ac=3∴即19．已知椭圆=1（a＞b＞0）的一个顶点为A（0，1），离心率为，过点B（0，﹣2）及左焦点F1的直线交椭圆于C，D两点，右焦点设为F2．（1）求椭圆的方程；（2）求△CDF2的面积．【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】（1）根据椭圆的基本概念和平方关系，建立关于a、b、c的方程，解出a=，b=c=1，从而得到椭圆的方程；（2）求出F1B直线的斜率得直线F1B的方程为y=﹣2x﹣2，与椭圆方程联解并结合根与系数的关系算出|x1﹣x2|=，结合弦长公式可得|CD|=，最后利用点到直线的距离公式求出F2到直线BF1的距离d，即可得到△CDF2的面积．【解答】解：（1）∵椭圆=1（a＞b＞0）的一个顶点为A（0，1），离心率为，∴b==1，且=，解之得a=，c=1可得椭圆的方程为；…（2）∵左焦点F1（﹣1，0），B（0，﹣2），得F1B直线的斜率为﹣2∴直线F1B的方程为y=﹣2x﹣2由，化简得9x2+16x+6=0．∵△=162﹣4×9×6=40＞0，∴直线与椭圆有两个公共点，设为C（x1，y1），D（x2，y2），则∴|CD|=|x1﹣x2|=•=•=又∵点F2到直线BF1的距离d==，∴△CDF2的面积为S=|CD|×d=×=．20．设f（x）=ax3+bx2+cx的极小值为﹣8，其导函数y=f′（x）的图象经过点，如图所示，（1）求f（x）的解析式；（2）若对x∈[﹣3，3]都有f（x）≥m2﹣14m恒成立，求实数m的取值范围．【考点】6D：利用导数研究函数的极值；36：函数解析式的求解及常用方法；3R：函数恒成立问题．【分析】（1）求出y=f'（x），因为导函数图象经过（﹣2，0）和（，0），代入即可求出a、b、c之间的关系式，再根据图象可知函数的单调性，而f（x）极小值为﹣8可得f（﹣2）=﹣8，解出即可得到a、b、c的值；（2）根据函数增减性求出函数在区间[﹣3，3]的最小值大于等于m2﹣14m，即可求出m的范围．【解答】解：（1）∵f'（x）=3ax2+2bx+c，且y=f'（x）的图象经过点（﹣2，0），，∴∴f（x）=ax3+2ax2﹣4ax，由图象可知函数y=f（x）在（﹣∞，﹣2）上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，由f（x）极小值=f（﹣2）=a（﹣2）3+2a（﹣2）2﹣4a（﹣2）=﹣8，解得a=﹣1∴f（x）=﹣x3﹣2x2+4x（2）要使对x∈[﹣3，3]都有f（x）≥m2﹣14m恒成立，只需f（x）min≥m2﹣14m即可．由（1）可知函数y=f（x）在[﹣3，﹣2）上单调递减，在上单调递增，在上单调递减且f（﹣2）=﹣8，f（3）=﹣33﹣2×32+4×3=﹣33＜﹣8∴f（x）min=f（3）=﹣33﹣33≥m2﹣14m⇒3≤m≤11故所求的实数m的取值范围为{m|3≤m≤11}．21．已知函数f（x）=ln（ax+1）+，x≥0，其中a＞0．（Ⅰ）若f（x）在x=1处取得极值，求a的值；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）若f（x）的最小值为1，求a的取值范围．【考点】6D：利用导数研究函数的极值；6B：利用导数研究函数的单调性；6E：利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（Ⅰ）对函数求导，令f′（1）=0，即可解出a值．（Ⅱ）f′（x）＞0，对a的取值范围进行讨论，分类解出单调区间．a≥2时，在区间（0，+∞）上是增函数，（Ⅲ）由（2）的结论根据单调性确定出最小值，当a≥2时，由（II）知，f（x）的最小值为f（0）=1，恒成立；当0＜a＜2时，判断知最小值小于1，此时a无解．当0＜a＜2时，（x）的单调减区间为，单调增区间为【解答】解：（Ⅰ），∵f′（x）在x=1处取得极值，f′（1）=0即 a+a﹣2=0，解得 a=1（Ⅱ），∵x≥0，a＞0，∴ax+1＞0①当a≥2时，在区间（0，+∞）上f′（x）＞0．∴f（x）的单调增区间为（0，+∞）②当0＜a＜2时，由f′（x）＞0解得由∴f（x）的单调减区间为，单调增区间为（Ⅲ）当a≥2时，由（II）知，f（x）的最小值为f（0）=1当0＜a＜2时，由（II）②知，处取得最小值，综上可知，若f（x）的最小值为1，则a的取值范围是[2，+∞）22．已知函数，g（x）=x+lnx，其中a＞0．（1）若x=1是函数h（x）=f（x）+g（x）的极值点，求实数a的值；（2）若对任意的x1，x2∈[1，e]（e为自然对数的底数）都有f（x1）≥g（x2）成立，求实数a的取值范围．【考点】6D：利用导数研究函数的极值；6B：利用导数研究函数的单调性；6E：利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）通过、x=1是函数h（x）的极值点及a＞0，可得，再检验即可；（2）通过分析已知条件等价于对任意的x1，x2∈[1，e]都有[f（x）]min≥[g（x）]max．结合当x∈[1，e]时及可知[g（x）]max=g（e）=e+1．利用，且x∈[1，e]，a＞0，分0＜a＜1、1≤a≤e、a＞e三种情况讨论即可．【解答】解：（1）∵，g（x）=x+lnx，∴，其定义域为（0，+∞），∴．∵x=1是函数h（x）的极值点，∴h′（1）=0，即3﹣a2=0．∵a＞0，∴．经检验当时，x=1是函数h（x）的极值点，∴；（2）对任意的x1，x2∈[1，e]都有f（x1）≥g（x2）成立等价于对任意的x1，x2∈[1，e]都有[f（x）]min≥[g（x）]max．当x∈[1，e]时，．∴函数g（x）=x+lnx在[1，e]上是增函数．∴[g（x）]max=g（e）=e+1．∵，且x∈[1，e]，a＞0．①当0＜a＜1且x∈[1，e]时，，∴函数在[1，e]上是增函数，∴．由1+a2≥e+1，得a≥，又0＜a＜1，∴a不合题意；②当1≤a≤e时，若1≤x＜a，则，若a＜x≤e，则．∴函数在[1，a）上是减函数，在（a，e]上是增函数．∴[f（x）]min=f（a）=2a．由2a≥e+1，得a≥，又1≤a≤e，∴≤a≤e；③当a＞e且x∈[1，e]时，，∴函数在[1，e]上是减函数．∴．由≥e+1，得a≥，又a＞e，∴a＞e；综上所述：a的取值范围为．。

福建高三上学期开学考试理科数学试卷

福建省连城高三上学期开学考试数学（理）试卷(全卷满分150分，考试时间120分钟．)一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中有且只有一项是符合题目要求的，把答案填在答题卡的相应位置．） 1．设i 是虚数单位，则2(1)ii--等于（）A 、0B 、4C 、2D 2.运行如图所示的算法框图，则输出的结果S 为（）A ．1-B ．1C ．2-D ．23．由曲线12-=x y ，直线0=x ，2=x 和x 轴围成的封闭图形的面积（如图）可表示为（）A ．⎰-22)1(dx xB ．⎰-202|1|dx xC ．|)1(|22⎰-dx xD ．122201(1)(1)x dx x dx -+-⎰⎰4．已知直线l ⊥平面α，直线m β平面⊂，给出下列命题： ①α∥;l m β⇒⊥ ②l ⇒⊥βα∥m ; ③l ∥m ;αβ⇒⊥ ④α⇒⊥m l ∥;β其中正确的命题是（） A ．①②③ B．②③④ C．②④ D ．①③5.定义区间[,]a b 的长度为b a -.若,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦是函数 ()()(0,||)f x sin x ωϕωϕπ=+><一个长度最大的单调递减区间，则( ) A ．8ω=,2πϕ=B ．8ω=,2πϕ=-C ．4ω=,2πϕ=D ．4ω=,2πϕ=-6．如图所示是一个几何体的三视图，若该几何体的体积为12，则主视图中三角形的高x 的值为 ( )A.12B.34C. 1D.327．已知A ，B ，C 三点的坐标分别是(3,0)A ，(0,3)B ，(cos ,sin )C αα，3,22ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，若1AC BC ⋅=-，则21tan 2sin sin 2ααα++的值为（） A ．59-B ．95-C ．2D ．38.抛物线24y x =的焦点为F ,点(,)P x y 为该抛物线上的动点,又点(1,0)A -,则||||PF PA 的最小值是（） A ．12B．2C．2D．39．已知函数()(ln )f x x x ax =-有两个极值点,则实数a 的取值范围是( ）A ．(,0)-∞B ．1(0,)2C ．(0,1)D ．(0,)+∞10.设()x f 是定义在R 上的偶函数,且当0≥x 时,()xf x e =.若对任意的[,1]x a a ∈+,不等式()()2f x a f x +≥恒成立,则实数a 的最大值是(）A.32-B.23-C.34- D.2二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置． 11．已知cos ,0,4()()_____.(1)1,0.3x x f x f f x x π⎧==⎨-+>⎩≤则12. 已知O 是坐标原点，点A (1,0)，若点M (,)x y 为平面区域212x y x y +≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩上的一个动点，则||OA OM +的最小值是 .14．已知点P 为ABC ∆的外心，且||=4，则AP AC ∙等于． 15.对于函数()f x ，若存在区间[],M a b =，使得{}|(),y y f x x M M =∈=，则称区间M 为函数()f x 的一个“好区间”．给出下列4个函数：①()sin f x x =；②()21x f x =-；③3()3f x x x =-；④()lg 1f x x =+．其中存在“好区间”的函数是．（填入所有满足条件函数的序号）三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答写在答题卡相应位置，应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本题满分13分）已知函数2()2sin cos f x x x x ωωω=+0ω>）的最小正周期为π．（Ⅰ）求函数)(x f 的单调增区间；（Ⅱ）将函数)(x f 的图象向左平移6π个单位，再向上平移1个单位，得到函数()y g x =的图象．若()y g x = 在[0,](0)b b >上至少含有10个零点，求b 的最小值． 17.（本小题满分13分）某市为了了解今年高中毕业生的体能状况，从本市某校高中毕业班中抽取一个班进行铅球测试，成绩在8.0米(精确到0.1米)以上的为合格.把所得数据进行整理后，分成6组画出频率分布直方图的一部分(如图)，已知从左到右前5个小组的频率分别为0.04，0.10，0.14，0.28，0.30 ，第6小组的频数是7 ．(I) 求这次铅球测试成绩合格的人数；(II) 用此次测试结果估计全市毕业生的情况.若从今年的高中毕业生中随机抽取两名，记X 表示两人中成绩不合格．．．的人数，求X 的分布列及数学期望； (III) 经过多次测试后，甲成绩在8～10米之间，乙成绩在9.5～10.5米之间，现甲、乙各投掷一次，求甲比乙投掷远的概率18．(本题满分13分）如图，三棱柱111C B A ABC -中，2=BC ，21=BC ，21=CC ，ABC ∆是以BC 为底边的等腰三角形，平面⊥ABC 平面11B BCC ，F E ,分别为棱AB 、1CC 的中点（1）求证：//EF 平面11BC A ；（2）若A 到面1BCC 的距离为整数，且EF 与平面11A ACCB AAC --1的余弦值．19．（本题满分13分）设点)0,(1c F -)0,(2c F 分别是椭圆)1(1:222>=+a y ax C 的左、右焦点,P 为椭圆C 上任意一点,且21PF PF ⋅的最小值为0. （I ）求椭圆C 的方程;（II ）设直线12:,:l y kx m l y kx n =+=+（直线1l 、2l 不重合）,若1l 、2l 均与椭圆C 相切，试探究在x 轴上是否存在定点Q ,使点Q 到1l 、2l 的距离之积恒1? 若存在,请求出点Q 坐标;若不存在,请说明理由.20．（本题满分14分）已知函数2()(2)ln .f x x a x a x =-++ (Ⅰ)当1a =时，求函数()f x 的极小值；(Ⅱ)当1a =-时，过坐标原点O 作曲线()y f x =的切线，设切点为(,)P m n ，求实数m 的值；(Ⅲ)设定义在D 上的函数()y g x =在点00(,)P x y 处的切线方程为:(),l y h x = 当0x x ≠时，若()()0g x h x x x ->-在D 内恒成立，则称P 为函数()y g x =的“转点”．当8a =时，试问函数()y f x =是否存在“转点”.若存在,请求出“转点”的横坐标,若不存在,请说明理由．21．本题设有（1）、（2）、（3）三个选答题，每小题7分，请考生任选2个小题作答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题记分．作答时，先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中. （1）（本小题满分7分）选修4—2：矩阵与变换如图，单位正方形区域OABC 在二阶矩阵M 的作用下变成平行四边形11OAB C 区域．（Ⅰ）求矩阵M ；（Ⅱ）求2M ，并判断2M 是否存在逆矩阵？若存在，求出它的逆矩阵．（2）（本小题满分7分）选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C 的极坐标方程为θθρcos 4sin 2=，直线l 的参数方程为cos ,(1sin x t t y t αα=⎧⎨=+⎩为参数，πα<≤0）．（Ⅰ）化曲线C 的极坐标方程为直角坐标方程；（Ⅱ）若直线l 经过点)0,1(，求直线l 被曲线C 截得的线段AB 的长．（3）（本小题满分7分）选修4—5：不等式选讲设不等式21|x |->的解集与关于x 的不等式20x ax b -+>的解集相同．（Ⅰ）求a ，b 的值；（Ⅱ）求函数()f x =x 的值.参考答案及评分标准一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分)1.D2.A3.B4.D5. D6. C7. B8.B9.B 10.C 二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．11.3212．223 13 14. 8 15. ②③④三、解答题(本大题共6小题，共80分) 16．解：（Ⅰ）由题意得()f x =22sin cos x x x ωωω+sin 222sin(2)3x x x πωωω==-由周期为π，得1ω=. 得()2sin(2)3f x x π=-由正弦函数的单调增区间得222232k x k πππππ-≤-≤+，得5,1212k x k k Z ππππ-≤≤+∈ 所以函数)(x f 的单调增区间是5[,],Z 1212k k k ππππ-+∈ …………6分（Ⅱ）将函数)(x f 的图象向左平移6π个单位，再向上平移1个单位，得到2sin 21y x =+的图象，所以()2sin 21g x x =+ 令()0g x =，得：712x k ππ=+或11(Z)12x k k ππ=+∈ 所以在每个周期上恰好有两个零点，若()y g x =在[0,]b 上有10个零点，则b 不小于第10个零点的横坐标即可，即b 的最小值为115941212πππ+=…………13分 17．（I ）解：：(I)第6小组的频率为1－(0.04＋0.10＋0.14＋0.28＋0.30)＝0.14，∴此次测试总人数为7500.14=(人). …………（2分）∴第4、5、6组成绩均合格，人数为(0.28＋0.30＋0.14)×50＝36(人) ………（4分）（II ）X 的可能取值为0，1，2，此次测试中成绩不合格的概率为1475025=, ∴X ～7(2,)25B . …………5分218324(0)()25625P X ===12718252(1)()()2525625P X C ===，2749(2)()25625P X ===. ………7分所求的X 的分布列为714()22525E X =⨯=18. 解（1）2,211===BC BC CC ，B CC 1∆∴是以BC 为斜边的等腰直角三角形, 取BC 的中点O ，连接O C AO 1,,设b OA =，则11,BC O C BC AO ⊥⊥面⊥ABC 面11B BCC ，且面⋂ABC 面BC B BCC =11，⊥∴AO 面11B BCC ，⊥O C 1面ABC以O 为坐标原点，以OC 、1OC 、OA 为z y x ,,轴建立空间直角坐标系)0,0,1(),,1,1(),,0,0(),0,1,0(),0,0,1(11--∴B b A b A C CxyzO)0,21,21(),2,0,21(F b E -∴)2,21,1(),,0,1(),0,1,1(111b EF b C A BC -=-==∴ 设平面11BC A 的一个法向量为)1,,(b b n -= 022=--=⋅∴bbb EF n ⊥∴，又⊄EF 面11BC A //EF ∴面11BC A …………6分（2）设平面11A ACC 的一个法向量为),,(1111z y x n = 又),0,1(),0,1,1(1b CC -=-= 则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0011111n C A n CC ，⎩⎨⎧=-=+-001111bz x y x ，令11=z ，则)1,,(1b b n =又)2,21,1(bEF -=EF n ><∴1,cos =324451222=++b b b 解得,1=b 或210=b ， AC 为整数 1=∴b 所以)1,1,1(1= 同理可求得平面B AA 1的一个法向量)1,1,1(2-=n ,c o s2121n n >=<∴=31又二面角B AA C --1为锐二面角，故余弦值为31…………13分 19. 【解析】（I ）设),(y x P ,则有),(1y c x F +=,),(2y c x F -=[]a a x c x aa c y x PF PF ,,11222222221-∈-+-=-+=⋅ 由21PF PF ⋅最小值为0得210122=⇒=⇒=-a c c ,∴椭圆C 的方程为1222=+y x ………（4分）（II ）把1l 的方程代入椭圆方程得222(12)4220k x mkx m +++-=∵直线1l 与椭圆C 相切,∴2222164(12)(22)0k m k m ∆=-+-=,化简得2212m k =+ 同理可得:2212n k =+∴22m n =,若m n =,则12,l l 重合,不合题意, ∴m n =-,即0m n += 设在x 轴上存在点)0,(t Q ,点Q 到直线12,l l 的距离之积为1,则1=,即2222||1k t m k-=+,把2212k m+=代入并去绝对值整理, 22(3)2k t-=或者22(1)0k t-=前式显然不恒成立;而要使得后式对任意的k R∈恒成立则210t-=, 解得1t=±;综上所述,满足题意的定点Q存在,其坐标为(1,0)-或(1,0)………（13分）20．【解析】(I)当1=a时，()xxxxxxxxxf)12)(1(1321322'--=+-=+-=，当210<<x时，()0'>xf；当121<<x时()0'<xf；当1>x时()0'>xf.所以当1=x时，()xf取到极小值2-。

福建省2023年高二下学期数学(理)期末试卷(附答案)

福建省高二下学期数学（理）期末试卷3.独立性检验的临界值表：P(K 2≥k) 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0.4550.7801.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828第I 卷（100分）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。

每题有且只有一个选项是正确的，请把答案填在答卷相应位置上）1．已知随机变量ξ的数学期望E ξ=0.05且η=5ξ+1，则Eη等于 A. 1.15 B. 1.25 C. 0.75 D. 2.52. 某射击选手每次射击击中目标的概率是0.8，如果他连续射击5次，则这名射手恰有4次击中目标的概率是A.40.80.2⨯B.445C 0.8⨯ C.445C 0.80.2⨯⨯ D. 45C 0.80.2⨯⨯ 3.6个人排成一排，其中甲、乙不相邻的排法种数是A.288B.480C.600D.6404.一工厂生产的100个产品中有90个一等品，10个二等品，现从这批产品中抽取4个，则其中恰好有一个二等品的概率为A ．41004901C C - B ．4100390110490010C C C C C + C ．4100110C C D ．4100390110C C C5. 已知服从正态分布2(,)N μσ的随机变量在区间(,)μσμσ-+，(2,2)μσμσ-+和(3,3)μσμσ-+内取值的概率分别为68.3%，95.4%和99.7%。

某校高一年级1000名学生的某次考试成绩服从正态分布2(90,15)N ，则此次成绩在(60,120)范围内的学生大约有A.997B.972C.954D.683人6．某车间加工零件的数量x 与加工时间y 的统计数据如下表：零件数x （个） 10 20 30 加工时间y （分钟）213039现已求得上表数据的回归方程ˆˆˆy bx a =+中的ˆb 值为0.9，则据此回归模型可以预测，加工100个零件所需要的加工时间约为A ．84分钟B ．94分钟C ．102分钟D ．112分钟7. 先后抛掷红、蓝两枚骰子，事件A ：红骰子出现3点，事件B ：蓝骰子出现的点数为奇数，则(|)P A B =A.61B.31C.21D.365 8.甲、乙、丙、丁四个人排成一行，则乙、丙两人位于甲同侧的排法总数是A.16B.12C.8D.6二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）9. 6名同学坐成一排，其中甲、乙必须坐在一起的不同坐法是________种.10.若5(1)ax -展开式中各项系数和为32，其中a R ∈，该展开式中含2x 项的系数为_________.11.已知某一随机变量X 的概率分布列如下，且E （X ）=7，求D （X ） . 12.给出下列结论：（1）在回归分析中，可用相关指数R 2的值判断模型的拟合效果，R 2越大，模型的拟合效果越好；（2）某工产加工的某种钢管，内径与规定的内径尺寸之差是离散型随机变量；（3）随机变量的方差和标准差都反映了随机变量的取值偏离于均值的平均程度，它们越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小；（4）甲、乙两人向同一目标同时射击一次，事件A ：“甲、乙中至少一人击中目标”与事件B ：“甲，乙都没有击中目标”是相互独立事件。

2022-2023学年福建省泉州市成考专升本数学(理)自考测试卷(含答案带解析)

2022-2023学年福建省泉州市成考专升本数学(理)自考测试卷(含答案带解析) 学校:________ 班级:________ 姓名:________ 考号:________一、单选题(30题)1.A.A.10B.9C.8D.72.设甲：a>b;乙：|a|>|b|则()A.甲是乙的充分条件B.甲是乙的必要条件C.甲是乙的充要条件D.甲不是乙的充要条件3.A.A.甲是乙的必要条件，但不是乙的充分条件B.甲是乙的充分条件，但不是乙的必要条件C.甲不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件D.甲是乙的充分必要条件4.直线x-y-3=0与x-y+3=0之间的距离为（）A.B.C.D.65.正六边形的中心和顶点共7个点，从中任取三个点恰在一条直线上的概率是（）A.3/35B.1/35C.3/32D.3/706.设集合M={x|x≥-3}，N={x|x≤1}，则MnN=（）A.RB.(-∞，-3]u[1，+∞)C.[一3，1]D.φ7.已知f(x)是偶函数，且其图像与x轴有四个交点，则方程f(x)=0的所有根之和为A.4B.2C.1D.08.已知α、β为锐角，cosα>sinβ则，9.盒中有3个红球和4个白球，从中随机抽取3球，其中最多有一个白球的概率是（）A.A.B.C.D.10.在点x＝0处的导数等于零的函数是（）A.A.y＝sinxB.y＝x－1C.y＝ex－xD.y＝x2－x11.设a＞b＞1，则（）A.A.log a2＞log b2B.log2a＞log2bC.log0.5a＞log0.5bD.log b0.5＞log a0.512.已知复数z1=2+i，z2=l-3i，则3z1-z2＝（）A.A.5+6iB.5-5iC.5D.713.A.A.B.C.D.14.已知在平行六面体ABCD-A'B'C'D'中，AB=5，AD=3，AA'=6，∠BAD=∠BAA’=∠DAA’=60°,AC’=（）A.B.133C.70D.6315.A.A.m=3，n=1B.m=-3，n=1C.D.16.（）A.A.-√3/2B.√3/2C.3/4D.-3/417.（）A.A.4B.2C.1D.18.已知复数Z=a+bi，其中a,b∈R，且b≠0,则A.|z2|≠|z|2=z2B.|z2|=|z|2=z2C.|z2|=|z|2≠z2D.|z2|=z2≠|z|219.已知a＞b＞l，则（）A.log2a＞log2bB.C.D.20.A.A.B.C.D.√721.函数y = 6sinxcosx的最大值为（）。

2022-2023学年福建省福州市成考专升本数学(理)自考真题(含答案带解析)

2022-2023学年福建省福州市成考专升本数学(理)自考真题(含答案带解析) 学校:________ 班级:________ 姓名:________ 考号:________一、单选题(30题)1.已知点义(4，1)，5(2,3)，则线段八5的垂直平分线方程为（）。

A.x - y + 1 = 0B.x + y - 5 = 0C.x - y -1 = 0D.x - 2y + 1 = 02.圆x2+y2+2x﹣6y﹣6=0的半径为()。

A.B.4C.D.163.5名高中毕业生报考3所院校，每人只能报-所院校，则有( )A.P33B.53C.35D.C134.5.若函数f(x)＝log2(5x＋1)，则其反函数y＝f－1(x)的图像过点（）A.A.(2，1)B.(3，2)C.(2，3)D.(4，3)6.对满足a>b的任意两个非零实数，下列不等式成立的是7.点（2,4)关于直线y=x的对称点的坐标为（）。

A.(4,2)B.(-2,-4)C.(-2，4)D.(-4,-2)8.若a<b<0,则下列不等式中不成立的是9.已知a，b∈R+，且ab=a+b+3，则ab的取值范围是（）A.A.ab≤9B.ab≥9C.3≤ab≤9D.ab6≥310.11.下列()成立12. A.2 B.3 C.4 D.513.已知a＞b＞l，则（）A.log2a＞log2bB.C.D.14.正三棱柱的每条棱长都是a，则经过底面一边和相对顶点的截面面积是()15.i25+i15+i40+i80=（）A.1B.-1C.-2D.216.17.A.0B.-7C.3D.不存在18.若a＝(2x，1，3)，b＝(1，－2y，9)，如果a与b为共线向量，则（）A.A.x＝1，y＝1B.C.D.19.下列成立的式子是( )A.0.8-0.1＜log30.8B.0.8-0.1＞0.8-0.2C.log30.8＜log40.8D.30.1＜3020.一个科研小组共有8名科研人员，其中有3名女性.从中选出3人参加学术讨论会，选出的人必须有男有女，则有不同选法()A.56种B.45种C.10种D.6种21.若是三角形的--个内角，则必有( )A.sinα/2＜0B.cosα＞0C.cotα/2＞0D.tanα＜022.使函数y＝x2－2x－3为增函数的区间是（）A.A.(1，＋∞)B.(－∞，3)C.(3，＋∞)D.(－∞．1)23.由5个1、2个2排成含7项的数列，则构成不同的数列的个数是A.21B.25C.32D.4224.25.若直线x+y=r和圆相切，那么r等于（）A.1/2B./2C.2D.26.直三棱柱的每个侧面的面积为5,底面积是10,全面积是（）A.15B.20C.25D.3527.28.双曲线的焦距为（）。

福建晋江养正中学2022高三上学期第一次抽考-数学理

福建晋江养正中学2022高三上学期第一次抽考-数学理数学试题 (理科)（完卷时刻120分钟满分150分命卷：郑明铿高三数学备课组）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的. 1.已知集合{}0≥=x x A ，{}2,1,0=B ，则（）（A ）B A ⊆ （B ）A B ⊆ （C ）B B A = （D ）∅=B A 2．若函数)1lg(2)(x x f -=，则函数)(x f 的定义域是（）A. ),1(+∞B. ),1()1,0(+∞⋃C.)0,1()1,(-⋃--∞D. )1,0()0,(⋃-∞3. 若x R ∈，则“12x -≤≤”是“1x <”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4.的切线方程是上的点过曲线)21(13，xx y +=( ) A ．x y 2= B ．32+=x y C ．24-=x y D ．32-=x y5．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()2,(3)x f x f =-则的值是（） A ．18B ．18- C ．8D ．-86. 已知幂函数()f x 图象过点)2,2(P ，则)5(f 等于（）A ．10B ．16C ．25D ．32 7. 已知函数Kx A y ++=)sin(ϕω的一部分图象如右图所示，假如2||,0,0πϕω<>>A ，则( )A ．A=4B ．K=4C ．1=ωD ．6πϕ=8. 将函数x y 2sin =的图象向右平移4π个单位，所得函数图象对应的解析式为( )A ．sin(2)4y x π=- B ．sin 2y x =- C ．cos 2y x =- D ．cos 2y x =9．函数13)(||+-=x x f 的图象大致是( )10. 关于非空集合A 、B,定义运算}.,|{B A x B A x x B A ⋂∉⋃∈=⊕且已知两个开区间),(b a M =,),(d c N =，其中d c b a ,,,满足0,<=+<+cd ab d c b a ，则N M ⊕=（）A ．),(),(d c b a ⋃ B. ),(),(d b c a ⋃ C. ),(),(c b d a ⋃ D. ),(),(b d a c ⋃ 二、填空题（每小题4分，共20分）11. 已知sin 2cos =αα，那么tan 2α的值为．12．如图，角θ的始边OA 落在ox 轴上，其始边、终边与单位圆分别交于点C A ,， θ∈(0,2π), 且△AOB 为等边三角形.若点C 的坐标为(532,513)，则BOC ∠cos 的值为____． 13．设a =⎰+π)cos (sin dxx x ，则二项式6)1(xx a -展开式中2x 的系数为 .（用数字作答）14. 若x ∆趋近于0时，xx ∆-∆+--332)2(趋近于定数M ，则M 的值为 .15. 已知定义域为),0(+∞的单调函数)(x f ,若对任意),0(+∞∈x ，都有3)log )((21=+x x f f ，则方程x x f +=2)(的解的个数是_________.三、解答题（解答请写出详细的过程和步骤，共80分）： 16. 已知函数()=x f .cos sin sin 32x x x +（Ⅰ）求函数)(x f 在区间],2[ππ上的零点；（Ⅱ）设x x f x g 2sin 3)()(-=，求函数)(x g 的图象的对称轴方程.17. 甲、乙两班参加数学知识竞赛，每班出3人组成代表队，每人一道必答题，答对为本队得1分，答错或不答得0分，假如甲队每人答对的概率均为32，乙队3人答对的概率分别为32、32、21，且每人回答正确与否相互之间没有阻碍，用ξ表示甲队总得分数.（Ⅰ）求随机变量ξ的分布列与均值)(ξE ；（Ⅱ）用A 表示事件“甲、乙两队得分和为3”，B 表示事件“甲队得分大于乙队得分”，求P(AB) ．18. 已知函数()=x f 1cos 5sin cos 352++x x x . （Ⅰ）求函数()x f 的周期及()x f 的最大值和最小值；（Ⅱ）求()x f 在[]π,0上的单调递增区间.19．某工厂生产某种产品，每日的成本C (单位：元）与日产里x (单位:吨）满足函数关系式x C 2010000+=，每日的销售额R (单位:元）与日产量x 满足函数关系式⎪⎩⎪⎨⎧≥<<++-=.120,20400,1200,29030123x x x ax x R已知每日的利润C R y -=，且当30=x 时100-=y . (I)求a 的值；(II)当日产量为多少吨时，毎日的利润能够达到最大,并求出最大值.20. 已知函数32()23f x ax x =-，其中0>a ．（Ⅰ）求证：函数)(x f 在区间(,0)-∞上是增函数；（Ⅱ）若函数[]()()()(0,1)g x f x f x x '=+∈在0x =处取得最大值，求a 的取值范畴．21. 已知函数axx a a x x f 2ln )2143(21)(22-++=，R a ∈.(Ⅰ)当21-=a 时，求函数)(x f 的极值点； (Ⅱ)若函数)(x f 在导函数)(x f '的单调区间上也是单调的，求a 的取值范畴； (Ⅲ) 当810<<a 时，设xa x a x a a x f x g )12()21(ln )12143()()(22+++-++-=，且21,x x 是函数)(x g 的极值点，证明：2ln 23)()(21->+x g x g .高三第一次月考数学试题 (理科) 答案一、选择题：BDBAD CDCAB 二、填空题 11. 34-12． 10613- 13．－192 14.163- 15. 2 三、解答题 16.解：（Ⅰ）法一：令0)(=x f ，得0)cos sin 3(sin =+x x x ………………2分因此,0sin =x 或33tan -=x . ……………………4分由].,2[,0sin ππ∈=x x 得π=x ……………………6分由33tan -=x ，].,2[ππ∈x 得65π=x …………8分综上，)(x f 的零点为π=x 或65π=x .法二：23)32sin(2sin 21)2cos 1(23)(+-=+-=πx x x x f …………3分令0)(=x f ，得23)32sin(-=-πx ………5分因为],,2[ππ∈x 因此]35,32[32πππ∈-x ……7分因此，当3432ππ=-x ，或3532ππ=-x 时，0)(=x f ……8分综上，)(x f 的零点为π=x 或65π=x . （Ⅱ）xx x x g 2sin 21cos sin )(==，……9分由2()2x k k Z ππ=+∈得：,()24k x k Z ππ=+∈……12分即函数()g x 的图象的对称轴方程为： ,()24k x k Z ππ=+∈……13分17.解：（Ⅰ）ξ的可能取值为0，1，2，3；…………… 1分而P(ξ=0)=271，P(ξ=1)=92，P(ξ=2)=94，P(ξ=3)=278 …………… 5分因而ξ的分布列为…………… 6分)(ξE =2…………… 8分（Ⅱ）P(AB)= 24334………… 13分18.解：（Ⅰ）()=x f 122cos 152sin 235cos 6sin sin cos 3522++⋅+=++xx x x x x …2分2762sin 5272cos 52sin 35+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=πx x x ………………………4分ππ==∴22T …………………5分 ()23,217-为的最大值和最小值分别x f ………………7分（Ⅱ）()x f 的单调递增区间为226222πππππ+≤+≤-k x k ……………9分63ππππ+≤≤-∴k x k ……………10分60,63,0πππ≤≤∴≤≤-∴=x x k 令……11分ππππ≤≤∴≤≤=x x k 32,6732,1……12分因此，[]π,0上的单调递增区间为⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡πππ,32,6,0……………13分19．解：由题意可得：⎪⎩⎪⎨⎧≥-<<-++-=.120,2010400,1200,1000027030123x x x x ax x y (2)分20.（Ⅰ）证明：)1(666)(2-=-='ax x x ax x f ．因为0>a 且0<x ，因此0)(>'x f ．因此函数)(x f 在区间()0,∞-上是增函数． ………6分（Ⅱ）由题意[]32()2(63)6,0,1g x ax a x x x =+--∈.则22()62(63)66(21)1g x ax a x ax a x '⎡⎤=+--=+--⎣⎦. …………8分令0)(='x g ，即2(21)10ax a x +--=. ①由于0142>+=∆a ，可设方程①的两个根为1x ，2x ，由①得ax x 121-=，由于，0>a 因此021<x x ，不妨设210x x <<，12()6()()g x a x x x x '=--．当102<<x 时，)(2x g 为极小值，因此在区间[]1,0上，()g x 在0=x 或1=x 处取得最大值；当2x ≥1时，由于)(x g 在区间[]1,0上是单调递减函数，因此最大值为)0(g ，综上，函数)(x g 只能在0=x 或1=x 处取得最大值． …………11分又已知)(x g 在0=x 处取得最大值，因此)0(g ≥)1(g ，即0≥98-a ，解得a ≤89，又因为0>a ，因此∈a （89,0］． ………14分 21. 解: (Ⅰ)f(x)= 12 x 2- 116 lnx+x （0>x ）f ’(x)=x - 116x + 1=16x 2+16x-116x=0 ∴x 1=-2- 5 4 ，x 2=-2+ 54 ………1分 ∵(0，-2+5 4]单调减 [-2+ 54 ，+∞)单调增……… 2分∴f(x)在x= -2+ 54 时取极小值………3分(Ⅱ)解法一：f’(x)=x 2-2ax+ 34 a 2+ 12 ax)0(>x ………4分令g(x)=x 2-2ax+ 34 a 2+ 12 a ， △=4a 2-3a 2-2a=a 2-2a ，设g(x)=0的两根)(,2121x x x x <10当△≤0时即0≤a ≤2，f’(x)≥0∴f(x)单调递增，满足题意………5分20当△>0时即a<0或a>2时(1)若210x x <<，则 34 a 2+ 12 a<0 即- 23 <a<0时,)(x f 在),0(2x 上减，),(2+∞x 上增f’(x)=x+ 34 a 2 + 12 a x -2a ,f’’(x)=1- 34 a 2 + 12 ax 2≥0 ∴f ’(x) 在(0，+∞)单调增，不合题意………6分(2)若021<<x x 则⎪⎩⎪⎨⎧<≥+021432a a a ,即a ≤- 23 时f(x)在(0，+∞)上单调增，满足题意。

福建省高二数学下学期期末试题理(含解析)(2021年整理)

【解答】解：设此射手每次射击命中的概率为p，
∵一射手对同一目标独立地射击四次，至少命中一次的概率为 ,
∴ ，
解得p= ．
∴此射手每次射击命中的概率为．
故选：C．
5．有3个兴趣小组,甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为( )
A． B． C． D．
②用数学归纳法证明 + +…+ ＞（n∈N＊）的过程中,由n=k推导到n=k+1 时，左边增加的项为 + ，没有减少的项；
③演绎推理的结论一定正确;
④（ + ）18的二项展开式中,共有4个有理项;
⑤从分别标有1，2，…，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张．则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是．
二、填空题:本大题有6小题,每个空格5分，共30分,把答案填在答卷的相应位置。
13．一批产品的二等品率为0。02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次．X表示抽到的二等品件数，则DX=．
14．(1+x）2（x﹣ )7的展开式中，含x3的项的系数为．
15．为了研究某班学生的脚长x（单位：厘米）和身高y（单位:厘米）的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系,设其回归直线方程为 = x+ ．已知 =225， =1600， =4．该班某学生的脚长为24，据此估计其身高．
最高气温
［10，15）
[15，20）
［20，25）
[25,30)
［30，35）
［35，40）
天数
2
16
36
25
7
4

福建卷,高考数学理科卷

2010年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试··理科数学(福建卷)第Ⅰ卷一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2010福建,理1)计算sin43°cos13°-cos43°sin13°的结果等于A.21 B.33 C.22 D.23答案:A2.(2010福建,理2)以抛物线y 2=4x 的焦点为圆心,且过坐标原点的圆的方程为A.x 2+y 2+2x =0 B.x 2+y 2+x =0 C.x 2+y 2-x =0 D.x 2+y 2-2x =0答案:D3.(2010福建,理3)设等差数列{a n }的前n 项和为S n .若a 1=-11,a 4+a 6=-6,则当S n 取最小值时,n 等于A.6B.7C.8D.9答案:A4.(2010福建,理4)函数f (x )=⎩⎨⎧>+−≤−+0,ln 2,0,322x x x x x 的零点个数为A.0B.1C.2D.3答案:C5.(2010福建,理5)阅读下图所示的程序框图,运行相应的程序,输出的i 值等于A.2B.3C.4D.5答案:C6.(2010福建,理6)如图,若Ω是长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1被平面EFGH 截去几何体EFGHB 1C 1后得到的几何体,其中E 为线段A 1B 1上异于B 1的点,F 为线段BB 1上异于B 1的点,且EH ∥A 1D 1,则下列结论中不正确．．．的是1A.EH ∥FG B.四边形EFGH 是矩形C.Ω是棱柱 D.Ω是棱台答案:D7.(2010福建,理7)若点O 和点F (-2,0)分别为双曲线22ax -y 2=1(a >0)的中心和左焦点,点P为双曲线右支上的任意一点,则OP ·FP 的取值范围为A.［3-23,+∞］B.［3+23,+∞］C.［-47,+∞］ D.［47,+∞)答案:B8.(2010福建,理8)设不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+−≥x y y x x ,032,1所表示的平面区域是Ω1,平面区域Ω2与Ω1关于直线3x -4y -9=0对称.对于Ω1中的任意点A 与Ω2中的任意点B ,|AB |的最小值等于A.528 B.4 C.512 D.2答案:B9.(2010福建,理9)对于复数．．a ,b ,c ,d ,若集合S ={a ,b ,c ,d }具有性质“对任意x ,y ∈S ,必有xy∈S ”,则当⎪⎩⎪⎨⎧===b c b a 22,1,1时,b +c +d 等于A.1B.-1C.0D.i 答案:B10.(2010福建,理10)对于具有相同定义域D 的函数f (x )和g (x ),若存在函数h (x )=kx +b (k ,b 为常数),对任给的正数m ,存在相应的x 0∈D ,使得当x ∈D 且x >x 0时,总有⎩⎨⎧<−<<−<,)()(0,)()(0m x g x h m x h x f 则称直线l :y =kx +b 为曲线y =f (x )与y =g (x )的“分渐近线”.给出定义域均为D ={x |x >1}的四组函数如下:①f (x )=x 2,g (x )=x ;②f (x )=10-x +2,g (x )=xx 32−;③f (x )=x x 12+,g (x )=x x x ln 1ln +;④f (x )=122+x x ,g (x )=2(x -1-e -x ).其中,曲线y =f (x )与y =g (x )存在“分渐近线”的是A.①④ B.②③ C.②④ D.③④答案:C第Ⅱ卷二、填空题:本大题共5小题,每小题4分,共20分.11.(2010福建,理11)在等比数列{a n }中,若公比q =4,且前3项之和等于21,则该数列的通项公式a n =_______.答案:4n -112.(2010福建,理12)若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示,则其表面积．．．等于_______.答案:6+2313.(2010福建,理13)某次知识竞赛规则如下:在主办方预设的5个问题中,选手若能连续．．正确回答出两个问题,即停止答题,晋级下一轮.假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8,且每个问题的回答结果相互独立,则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于_______.答案:0.12814.(2010福建,理14)已知函数f (x )=3sin(ωx -6π)(ω>0)和g (x )=2cos(2x +φ)+1的图象的对称轴完全相同.若x ∈［0,2π］,则f (x )的取值范围是_______.答案:［-23,3］15.(2010福建,理15)已知定义域为(0,+∞)的函数f (x )满足:(1)对任意x ∈(0,+∞),恒有f (2x )=2f (x )成立;(2)当x ∈(1,2］时,f (x )=2-x .给出如下结论:①对任意m ∈Z ,有f (2m )=0;②函数f (x )的值域为［0,+∞);③存在n ∈Z ,使得f (2n +1)=9;④“函数f (x )在区间(a ,b )上单调递减”的充要条件是“存在k ∈Z ,使得(a ,b )⊆(2k ,2k +1)”.其中所有正确结论的序号是_______.答案:①②④三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.(2010福建,理16)设S 是不等式x 2-x -6≤0的解集,整数m ,n ∈S .(1)记“使得m +n =0成立的有序数组．．．．(m ,n )”为事件A ,试列举A 包含的基本事件;(2)设ξ=m 2,求ξ的分布列及其数学期望E ξ.解:(1)由x 2-x -6≤0,得-2≤x ≤3,即S ={x |-2≤x ≤3}.由于m ,n ∈Z ,m ,n ∈S ,且m +n =0,所以A 包含的基本事件为:(-2,2),(2,-2),(-1,1),(1,-1),(0,0).(2)由于m 的所有不同取值为-2,-1,0,1,2,3,所以ξ=m 2的所有不同取值为0,1,4,9,且有P (ξ=0)=61,P (ξ=1)=62=31,P (ξ=4)=62=31,P (ξ=9)=61.故ξ的分布列为:ξ0149P61313161所以E ξ=0×61+1×31+4×31+9×61=619.17.(2010福建,理17)已知中心在坐标原点O 的椭圆C 经过点A (2,3),且点F (2,0)为其右焦点.(1)求椭圆C 的方程;(2)是否存在平行于OA 的直线l ,使得直线l 与椭圆C 有公共点,且直线OA 与l 的距离等于4?若存在,求出直线l 的方程;若不存在,说明理由.解法一:(1)依题意,可设椭圆C 的方程为22a x +22by =1(a >b >0),且可知左焦点为F ′(-2,0),从而有⎩⎨⎧=+=′+==,853||||2,2F A AF a c 解得⎩⎨⎧==.4,2a c 又a 2=b 2+c 2,所以b 2=12.故椭圆C 的方程为162x +122y =1.(2)假设存在符合题意的直线l ,其方程为y =23x +t .由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=,11216,2322y x t x y 得3x 2+3tx +t 2-12=0.因为直线l 与椭圆C 有公共点,所以Δ=(3t )2-4×3(t 2-12)≥0.解得-43≤t ≤43.另一方面,由直线OA 与l 的距离d =4可得149||+t =4,从而t =±213.由于±213∉［-43,43］,所以符合题意的直线l 不存在.解法二:(1)依题意,可设椭圆C 的方程为22a x +22b y =1(a >b >0),且有⎪⎩⎪⎨⎧=−=+4,1942222b a ba 解得b 2=12或b 2=-3(舍去).从而a 2=16.所以椭圆C 的方程为162x +122y =1.(2)同解法一.18.(2010福建,理18)如图,圆柱OO 1内有一个三棱柱ABC —A 1B 1C 1,三棱柱的底面为圆柱底面的内接三角形,且AB 是圆O 的直径.1(1)证明:平面A 1ACC 1⊥平面B 1BCC 1;(2)设AB =AA 1,在圆柱OO 1内随机选取一点,记该点取自于三棱柱ABC —A 1B 1C 1内的概率为p .①当点C 在圆周上运动时,求p 的最大值;②记平面A 1ACC 1与平面B 1OC 所成的角为θ(0°<θ≤90°).当p 取最大值时,求cos θ的值.解法一:(1)∵A 1A ⊥平面ABC ,BC ⊂平面ABC ,∴A 1A ⊥B C.∵AB 是圆O 的直径,∴BC ⊥A C.又AC ∩A 1A =A ,∴BC ⊥平面A 1ACC 1.而BC ⊂平面B 1BCC 1,∴平面A 1ACC 1⊥平面B 1BCC 1.(2)①设圆柱的底面半径为r ,则AB =AA 1=2r ,故三棱柱ABC —A 1B 1C 1的体积V 1=21AC ·BC ·2r =AC ·BC ·r .又∵AC 2+BC 2=AB 2=4r 2,∴AC ·BC ≤222BC AC +=2r 2.当且仅当AC =BC =2r 时等号成立,从而V 1≤2r 3,而圆柱的体积V =πr 2·2r =2πr 3,故p =V V 1≤3322r r π=π1,当且仅当AC =BC =2r ,即OC ⊥AB 时等号成立.所以,p 的最大值等于π1.②由①可知,p 取最大值时,OC ⊥AB .于是,以O 为坐标原点,建立空间直角坐标系O —xyz (如图),则C (r ,0,0),B (0,r ,0),B 1(0,r ,2r ).∵BC ⊥平面A 1ACC 1,∴BC =(r ,-r ,0)是平面A 1ACC 1的一个法向量.设平面B 1OC 的法向量n =(x ,y ,z ),由⎪⎩⎪⎨⎧⊥⊥1,OB OC n n 得⎩⎨⎧=+=,02,0rz ry rx 故⎩⎨⎧−==.2,0z y x 取z =1,得平面B 1OC 的一个法向量为n =(0,-2,1).∵0°<θ≤90°,∴cos θ=|cos 〈n ,〉||||BC BC n |=|r r 252⋅|=510.解法二:(1)同解法一.(2)①设圆柱的底面半径为r ,则AB =AA 1=2r ,故三棱柱ABC —A 1B 1C 1的体积V 1=21AC ·BC ·2r =AC ·BC ·r .设∠BAC =α(0°<α<90°),则AC =AB cos α=2r cos α,BC =AB sin α=2r sin α.由于AC ·BC =4r 2sin αcos α=2r 2sin2α≤2r 2,当且仅当sin2α=1,即α=45°时等号成立,故V 1≤2r 3.而圆柱的体积V =πr 2·2r =2πr 3,故p =V V 1≤3322r r π=π1.当且仅当sin2α=1,即α=45°时等号成立.所以,p 的最大值等于π1.②同解法一.解法三:(1)同解法一.(2)①设圆柱的底面半径为r ,则AB =AA 1=2r ,故圆柱的体积V =πr 2·2r =2πr 3.因为p =VV 1,所以当V 1取得最大值时,p 取得最大值.又因为点C 在圆周上运动,所以当OC ⊥AB 时,△ABC 的面积最大.进而,三棱柱ABC —A 1B 1C 1的体积V 1最大,且其最大值为21·2r ·r ·2r =2r 3.故p 的最大值为π1.②同解法一.19.(2010福建,理19)某港口O 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上,在小艇出发时,轮船位于港口O 北偏西30°且与该港口相距20海里的A 处,并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶.假设该小艇沿直线方向以v 海里/小时的航行速度匀速行驶,经过t 小时与轮船相遇.(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小,则小艇航行速度的大小应为多少?(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时,试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小),使得小艇能以最短时间与轮船相遇,并说明理由.解法一:(1)设相遇时小艇航行的距离为S 海里,则S =°°⋅⋅⋅−+30-90cos(203024009002t t =4006009002+−t t =300)31(9002+−t .故当t =31时,S min =103,此时v =31310=303,即小艇以303海里/小时的速度航行,相遇时小艇的航行距离最小.(2)设小艇与轮船在B 处相遇,则v 2t 2=400+900t 2-2·20·30t ·cos(90°-30°),故v 2=900-t 600+2400t.∵0<v ≤30,∴900-t 600+2400t ≤900,即22t -t 3≤0,解得t ≥32.又t =32时,v =30,故v =30时,t 取得最小值,且最小值等于32.此时,在△OAB 中,有OA =OB =AB =20.故可设计航行方案如下:航行方向为北偏东30°,航行速度为30海里/小时,小艇能以最短时间与轮船相遇.解法二:(1)若相遇时小艇的航行距离最小,又轮船沿正东方向匀速行驶,30 oAC O则小艇航行方向为正北方向.设小艇与轮船在C 处相遇,在Rt △OAC 中,OC =20cos30°=103,AC =20sin30°=10,又AC =30t ,OC =vt ,此时,轮船航行时间t =3010=31,v =31310=303,即小艇以303海里/小时的速度航行,相遇时小艇的航行距离最小.(2)猜想v =30时,小艇能以最短时间与轮船在D 处相遇,此时AD =DO =30t .又∠OAD =60°,所以AD =DO =OA =20,解得t =32.据此可设计航行方案如下:航行方向为北偏东30°,航行速度的大小为30海里/小时,这样,小艇能以最短时间与轮船相遇.证明如下:如图,由(1)得OC =103,AC =10,30 oAC DOθ 故OC >AC ,且对于线段AC 上任意点P ,有OP ≥OC >A C.而小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时,故小艇与轮船不可能在A ,C 之间(包含C )的任意位置相遇.设∠COD =θ(0°<θ<90°),则在Rt △COD 中,CD =103tan θ,OD =θcos 310.由于从出发到相遇,轮船与小艇所需要的时间分别为t =30tan 31010θ+和t =θcos 301v ,所以30tan 31010θ+=θcos 301v .由此可得,v =)30sin(315°+θ.又v ≤30,故sin(θ+30°)≥23.从而,30°≤θ<90°.由于θ=30°时,tan θ取得最小值,且最小值为33.于是,当θ=30°时,t =30tan 31010θ+取得最小值,且最小值为32.解法三:(1)同解法一或解法二.(2)设小艇与轮船在B 处相遇,依据题意得:v 2t 2=400+900t 2-2·20·30t ·cos(90°-30°),(v 2-900)t 2+600t -400=0.(1)若0<v <30,则由Δ=360000+1600(v 2-900)=1600(v 2-675)≥0,得v ≥153.从而,t =90067520300-22−−±v v ,v ∈［153,30］.①当t =90067520300-22−−−v v 时,令x =6752−v ,则x ∈［0,15),t =225203002−+−x x =1520-−x ≥34,当且仅当x =0,即v =153时等号成立.②当t =90067520300-22−−+v v 时,同理可得32<t ≤34.由①②得,当v ∈［153,30］时,t >32.(2)若v =30,则t =32;综合(1)(2)可知,当v =30时,t 取最小值,且最小值等于32.此时,在△OAB 中,OA =OB =AB =20,故可设计航行方案如下:航行方向为北偏东30°,航行速度为30海里/小时,小艇能以最短时间与轮船相遇.20.(2010福建,理20)(1)已知函数f (x )=x 3-x ,其图象记为曲线C.①求函数f (x )的单调区间;②证明:若对于任意非零实数x 1,曲线C 与其在点P 1(x 1,f (x 1))处的切线交于另一点P 2(x 2,f (x 2)),曲线C 与其在点P 2处的切线交于另一点P 3(x 3,f (x 3)),线段P 1P 2,P 2P 3与曲线C 所围成封闭图形的面积分别记为S 1,S 2,则21S S 为定值;(2)对于一般的三次函数g (x )=ax 3+bx 2+cx +d (a ≠0),请给出类似于(1)②的正确命题,并予以证明.解法一:(1)①由f (x )=x 3-x ,得f ′(x )=3x 2-1=3(x -33)(x +33),当x ∈(-∞,-33)和(33,+∞)时,f ′(x )>0;当x ∈(-33,33)时,f ′(x )<0.因此,f (x )的单调递增区间为(-∞,-33)和(33,+∞),单调递减区间是(-33,33).②曲线C 在点P 1处的切线方程为y =(3x 12-1)(x -x 1)+x 13-x 1,即y =(3x 12-1)x -2x 13,由⎪⎩⎪⎨⎧−=−−=,,2)13(33121x x y x x x y 得x 3-x =(3x 12-1)x -2x 13,即(x -x 1)2(x +2x 1)=0,解得x =x 1或x =-2x 1,故x 2=-2x 1.进而有S 1=|∫112x x (x 3-3x 12x +2x 13)d x |=|(41x 4-23x 12x 2+2x 13x )112x x −|=427x 14.用x 2代替x 1,重复上述计算过程,可得x 3=-2x 2和S 2=427x 24.又x 2=-2x 1≠0,所以S 2=41627×x 14≠0.因此有21S S =161.(2)记函数g (x )=ax 3+bx 2+cx +d (a ≠0)的图象为曲线C ′,类似于(1)②的正确命题为:若对于任意不等于-ab 3的实数x 1,曲线C ′与其在点P 1(x 1,g (x 1))处的切线交于另一点P 2(x 2,g (x 2)),曲线C ′与其在点P 2处的切线交于另一点P 1(x 3,g (x 3)),线段P 1P 2,P 2P 3与曲线C ′所围成封闭图形的面积分别记为S 1,S 2,则21S S 为定值.证明如下:因为平移变换不改变面积的大小,故可将曲线y =g (x )的对称中心(-a b 3,g (-a b 3))平移至坐标原点,因而不妨设g (x )=ax 3+hx ,且x 1≠0,类似(1)②的计算可得S 1=427ax 14,S 2=41627×ax 14≠0.故21S S =161.解法二:(1)同解法一.(2)记函数g (x )=ax 3+bx 2+cx +d (a ≠0)的图象为曲线C ′,类似于(1)②的正确命题为:若对于任意不等于-ab 3的实数x 1,曲线C ′与其在点P 1(x 1,g (x 1))处的切线交于另一点P 2(x 2,g (x 2)),曲线C ′与其在点P 2处的切线交于另一点P 3(x 3,g (x 3)),线段P 1P 2,P 2P 3与曲线C ′所围成封闭图形的面积分别记为S 1,S 2,则21S S 为定值.证明如下:由g (x )=ax 3+bx 2+cx +d (a ≠0),得g ′(x )=3ax 2+2bx +c ,所以曲线C ′在点(x 1,g (x 1))处的切线方程为y =(3ax 12+2bx 1+c )x -2ax 13-bx 12+d .由⎪⎩⎪⎨⎧+−−++=+++=,2)23(,213112123d bx ax x c bx ax y d cx bx ax y 得(x -x 1)2［a (x +2x 1)+b ］=0,∴x =x 1或x =-a b -2x 1,即x 2=-a b -2x 1.故S 1=|∫12x x ［ax 3+bx 2-(3ax 12+2bx 1)x +2ax 13+bx 12］d x |=34112)(3ab ax +.用x 2代替x 1,重复上述计算过程,可得x 3=-a b -2x 2和S 2=34112)(3a b ax +.又x 2=-a b -2x 1,且x 1≠-ab 3,所以S 2=34112)(3a b ax +=34112)26(a b ax −−=34112)3(16a b ax +≠0.故21S S =161.21.(2010福建,理21)(1)选修4—2:矩阵与变换已知矩阵M =⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛1 1b a ,N=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛d c 02 ,且MN =⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−0 20 2 .①求实数a ,b ,c ,d 的值;②求直线y =3x 在矩阵M 所对应的线性变换作用下的像的方程.解法一:①由题设得:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+−=+=+=+.02,20,02,20d b bc ad c 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==−=−=.2,2,1,1d c b a ②因为矩阵M 对应的线性变换将直线变成直线(或点),所以可取直线y =3x 上的两点(0,0),(1,3),由⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−1 11 1 ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛00=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛00,⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−1 11 1 ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛31=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−2 2点(0,0),(1,3)在矩阵M 所对应的线性变换作用下的像是点(0,0),(-2,2).从而,直线y =3x 在矩阵M 所对应的线性变换作用下的像的方程为y =-x .解法二:①同解法一.②设直线y =3x 上的任意点(x ,y )在矩阵M 所对应的线性变换作用下的像是点(x ′,y ′),由⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛′′y x =⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−1 11 1 ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛y x =⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+−−y x y x =⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−x x 2 2,得y ′=-x ′,即点(x ′,y ′)必在直线y =-x 上.由(x ,y )的任意性可知,直线y =3x 在矩阵M 所对应的线性变换作用下的像的方程为y =-x .(2)选修4—4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=−=t y t x 225,223(t 为参数).在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位,且以原点O 为极点,以x 轴正半轴为极轴)中,圆C 的方程为ρ=25sin θ.①求圆C 的直角坐标方程;②设圆C 与直线l 交于点A ,B ,若点P 的坐标为(3,5),求|PA |+|PB |.解法一:①由ρ=25sin θ,得x 2+y 2-25y =0,即x 2+(y -5)2=5.②将l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程,得(3-22t )2+(22t )2=5,即t 2-32t +4=0.由于Δ=(32)2-4×4=2>0,故可设t 1,t 2是上述方程的两实根.所以⎩⎨⎧=⋅=+.4,232121t t t t 又直线l 过点P (3,5),故由上式及t 的几何意义得|PA |+|PB |=|t 1|+|t 2|=t 1+t 2=32.解法二:①同解法一.②因为圆C 的圆心为(0,5),半径r =5,直线l 的普通方程为y =-x +3+5.由⎪⎩⎪⎨⎧++−==−+53,5)5(22x y y x 得x 2-3x +2=0.解得⎩⎨⎧+==52,1y x 或⎩⎨⎧+==.51,2y x 不妨设A (1,2+5),B (2,1+5),又点P 的坐标为(3,5),故|PA |+|PB |=8+2=32.(3)选修4—5:不等式选讲已知函数f (x )=|x -a |.①若不等式f (x )≤3的解集为{x |-1≤x ≤5},求实数a 的值;②在①的条件下,若f (x )+f (x +5)≥m 对一切实数x 恒成立,求实数m 的取值范围.解法一:①由f (x )≤3,得|x -a |≤3,解得a -3≤x ≤a +3.又已知不等式f (x )≤3的解集为{x |-1≤x ≤5},所以⎩⎨⎧=+−=−,53,13a a 解得a =2.②当a =2时,f (x )=|x -2|.设g (x )=f (x )+f (x +5),于是g (x )=|x -2|+|x +3|=⎪⎩⎪⎨⎧>+≤≤−−<−.2,12,23,5,3,12-x x x x x 所以当x <-3时,g (x )>5;当-3≤x ≤2时,g (x )=5;当x >2时,g (x )>5.综上可得,g (x )的最小值为5.从而,若f (x )+f (x +5)≥m ,即g (x )≥m 对一切实数x 恒成立,则m 的取值范围为(-∞,5］.解法二:①同解法一.②当a=2时,f(x)=|x-2|,设g(x)=f(x)+f(x+5).由|x-2|+|x+3|≥|(x-2)-(x+3)|=5(当且仅当-3≤x≤2时等号成立)得,g(x)的最小值为5.从而,若f(x)+f(x+5)≥m,即g(x)≥m对一切实数x恒成立,则m的取值范围为(-∞,5).。