第九章 设定误差与测量误差
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计量经济学
第 九 章
设定误差与测量误差
引子： 简单一定胜于复杂吗? 简单一定胜于复杂吗?
西方国家盛行“Occam`s razor”原则，意思是 “简单优于复杂”的节约性原则。经济模型永远无法 完全把握现实，在建立模型中一定的抽象和简化是 不可避免的。 在研究进口与国内生产总值的关系时，考虑到时 间趋势，建立并估计了以下模型 IM=-172.42+0.271GDP-949.12T+160.73T2-10.18T3 t=(-0.177)(5.67) (-2.22) (2.20) (-2.74) (1) R2=0.991 F=272.95 DW=1.97
因此，有可能： 因此，有可能：
)2
)2
RSSv (n − 2) > RSSu (n − 3);
15
不相关， （2）若 X 3与 X 2 不相关，有 r = 0 和 ∑ x2i x3i ) ) ˆ E (α 2 ) = β 2 ;Var ( β 2 ) = Var (α 2 ); 似乎分别有： 似乎分别有：
(1) 若 X 3与 X 2 相关， r ≠ 0，显然，Var (α2 ) ≠ Var β2
2 23
)
( )
)
似乎有：Var (α2 ) < Var β2 ; 但实际情形并不完全如此。 但实际情形并不完全如此。
的计算： 可以注意到残差平方和 RSS 的计算：
)
( )
)
ον = RSS v ( n − 2) ≠ RSS u ( n − 3) = ο u ;
2 x2i ∑
σ
2
ˆ Var(β2 ) =
∑ x2i x3i ) 2 ∑ x2i (1− x2 x2 ∑ 2i ∑ 3i
σ2
=
2 2 x2i (1− r23 ) ∑
σ2
如果X3与X2相关，显然有 如果X3与X2不相关，也有
ˆ ˆ Var(α2 ) ≠ Var(β2 )
ˆ ˆ Var (α2 ) ≠ Var (β2 )
yi = β2 x2i + β2 x3i + (ui − u )
Yi = α1 + α 2 X 2i +ν i 进行回归,得
取期望
∑ x x + ∑ x (u − u ) ˆ α =β +β ∑x ∑x ) ∑ x2i x3i + ∑ x2i (ui − u ) E (α2 ) = E β2 + β3 2 2 ∑ x2i ∑ x2i
n →∞ n →∞
即OLS估计量在小样本下有偏，在大样本下非一致。 (2) 如果X3与X2不相关，则α2的估计满足无偏性与 一致性；但这时α1的估计却是有偏的。
12
ˆ ˆ (3) α2 的方差是 β 2 方差的有偏估计：
由 Y=α1+α2X2+v 得
ˆ Var (α 2 ) =
由 Y=β1+β2X2+β3X3+u 得
2 23
2 x2i = 0； ∑
若这两个等式成立， 若这两个等式成立，意味着尽管变量 X 3 ，在理论上分析是有 关的变量，但从所选模型中略去似乎也不会导致什么危害。 关的变量，但从所选模型中略去似乎也不会导致什么危害。 这种认识实际也不正确。 这种认识实际也不正确。 因为
σu RSSu n − 3 ) ˆ σv RSSv n − 2 ) ) Var (α2 ) = = 是 Var (β2 ) = x2 = 2 2 2 x2i ∑ 2i ∑ ∑ x2i ∑ x2i ) ) ) ) 的有偏估计， 不相关， 的有偏估计，即使 X 3 与 X 2 不相关，也有 Var ( β 2 ) ≠ Var (α 2 )，
13
(4) 遗漏变量 X 3 式中的随机扰动项 v i 的方差估计量 )2 )2 E ο v ≠ ο u2 ο v = RSS v ( n − 2) 将是有偏的，即：
( )
（5）与方差相关的检验，包括假设检验、区间估计 等，在关于参数的统计显著性方面，都容易导出错误 的结论。
14
特别注意的两点：
2
有人根据“简单优于复杂”原则，得到以下方程： IM=-217.186+0.173GDP t= (-0.5) (16.94) (2) R2=0.960 F=286.95 DW=0.735 进行比较： 两个方程的检验结果都较理想； 方程（2）GDP的t检验值似乎优于方程（1）； 方程（2）函数形式也更为简单；
2 2 3 2 i 3i 2 2i 2i i 2 2i
11
遗漏变量设定误差的后果
两边取概率极限，有：
^
Cov ( X 2i , X 3i ) Cov ( X 2i , ui ) p lim α 2 = β2 + β3 + Var ( X 2i ) Var ( X 2i ) n →∞
由此可以看出，X3的遗漏将产生如下后果： (1) 如果漏掉的X3与X2相关，则分别在小样本下求期 望、在大样本下求概率极限，有： ) ) ) ) E (α1 ) ≠ β1 , E (α 2 ) ≠ β2且 p lim(α1 ) ≠ β1; p lim(α 2 ) ≠ β 2
9
二、变量设定误差的后果
当模型设定出现误差时，模型估计结果也会与 “实际”有偏误； 偏误的性质与程度与模型设定误差的类型密切 相关； 从实质上看，变量设定误差的主要后果，是一 个或多个解释变量与随机扰动项之间存在着 相关性，进而影响参数估计的统计特性。
10
1、遗漏相关变量（欠拟合）偏误
采用遗漏了重要解释变量的模型进行估计而带来的 偏误，称为遗漏相关变量偏误。 设正确的模型为： Yi = β1 + β 2 X 2i + β 3i X 3i + ui 正确模型离差形式为 却对：
7
2、无关变量的误选
(Including Irrevelant Variables)
例如，Leabharlann Baidu果“真实模型”为：
Yi = β 1 + β 2 X 2 i + β 3 X 3 i + µ i
但我们却将模型设定为
Yi = α 1 + α 2 X 2 i + α 3 X 3 i + α 4 X 4 i + ν i
20
21
第二节 设定误差的检验
对变量设定误差进行检验必须在经济理论指导 下进行，不可抛弃经济理论而进行假设检验。 对于是否误选无关变量的检验，只要针对无关 变量系数的期望值为零的假设，用t检验或F检 验，对无关变量系数作显著性检验即可。 对于遗漏变量设定误差的检验有多种方法，例 如DW检验、拉格朗日乘数检验、豪斯曼检验 、RESET 一般性检验等。 这里只讨论设定误差的一些最常用的检验方法。
22
一、 DW检验 检验
ˆ α2 = β2 +
2 (∑x3i )(∑x2i (ui −u)) −(∑x2i x3i )(∑x3i (ui −u)) 2 2 x2i ∑x3i −(∑x2i ∑x3i )2 ∑
ˆ 求期望： E (α 2 ) = β 2
方差： Var (α ) = ˆ2
∑
σ v2
2 2 x 2 i (1 − r23 )
所有这些，计量经济学中被统称为设定误差。
5
设定误差的类型
从误差来源看，设定误差主要包括： （1）变量的设定误差，包括相关变量的遗漏（欠拟 合）、无关变量的误选（过拟合）； （2）变量数据的测量误差； （3）模型函数形式的设定误差； （4）随机扰动项设定误差。 本章主要讨论的两类变量设定误差: （1）相关变量的遗漏（欠拟合）； （2）无关变量的误选（过拟合）。
18
无关变量的设定误差的后果
1. 可以证明，（2）式参数的OLS估计量是无偏，且 ) 为一致性的。即： E (α 2 ) = β 2 , p lim α 2 = β 2 ˆ n→ ∞ 同理，可证明： ) ) ) ) E(α1 ) = β1 , E(α3 ) = β3 = 0, p limα1 = β1和 p limα3 = β3 = 0
即设定模型时，多选了一个无关解释变量。这 类错误称为无关变量的误选（“过拟合”）。 无关变量的误选（ 过拟合” 无关变量的误选
8
设定误差的原因
●数据来源渠道可能不畅。例如，数据很难取得被 迫将具有重要的经济意义变量排斥在模型之外。 ●不知道变量应当以什么确切的函数形式出现在回 归模型中。 ●事先并不知道所研究的实证数据中所隐含的真实 模型究竟是什么。 设定误差在建模中较容易出现。设定误差的存在可能 会对模型形成不良的后果。
6
1、相关变量的遗漏（Omitting Relevant Variables）
例如，如果“正确”的模型为
Yi = β1 + β 2 X 2 i + β 3 X 3i + µi
而我们将模型设定为
Yi = α 1 + α 2 X 2 i + ν i
即设定模型时漏掉了一个相关的解释变量。 这类错误称为遗漏相关变量（“欠拟合”）。 遗漏相关变量（ 欠拟合” 遗漏相关变量
)2
致使假设检验程序很有可能是可疑的。 致使假设检验程序很有可能是可疑的。 必须清楚，一旦根据相关理论把模型建立起来， 必须清楚，一旦根据相关理论把模型建立起来，再从中遗漏变量 需要充分地谨慎。 需要充分地谨慎。
16
)2
2、包含无关变量偏误
定义:模型中包括了不重要的解释变量，即采用误选了 无关解释变量的模型进行估计而带来的偏误，称为包 含无关变量偏误。 设正确模型: 但却估计了: Y= β1 + β2X2 + µ Y= α1 +α2X2 + α 3X3+ v (1) (2)
n→∞ n→∞
ˆ 2. α 2
ˆ V ar (α 2 ) 1 不是有效估计量： = 2 ˆ ) (1 − r23 ) Var ( β 2
ˆ 此结论对 α1 也成立； )2 2 E (οv ) = οu ，随机误差项的方差的估计仍为无偏估计。 3. ˆ 4. 通常的区间估计和假设检验程序依然有效，但 α 2 的方差增大，接受错误假设的概率会较高。
19
遗漏相关变量和误选无关变量的比较
遗漏相关变量——将导致参数估计量和假设检验有偏 将导致参数估计量和假设检验有偏 遗漏相关变量 且不一致； 且不一致； 误选无关变量——虽参数估计量具无偏性、一致性， 虽参数估计量具无偏性、一致性， 误选无关变量 虽参数估计量具无偏性 又会损失有效性。 又会损失有效性。 注重检验的无偏性、一致性 注重检验的无偏性、 ——宁愿误选无关变量也不愿遗漏相关变量； 宁愿误选无关变量也不愿遗漏相关变量； 宁愿误选无关变量也不愿遗漏相关变量 注重估计量的有效性——宁愿删除相关变量。 宁愿删除相关变量。 注重估计量的有效性 宁愿删除相关变量 通常误选无关变量不如遗漏相关变量的后果严重。 通常误选无关变量不如遗漏相关变量的后果严重。 因此，模型的设定实际是对偏误与有效进行权衡， 因此，模型的设定实际是对偏误与有效进行权衡，偏 爱哪一方取决于模型的研究目的。 爱哪一方取决于模型的研究目的。
如果α 3=0，则(2)与(1)相同，因此，可将(1)式 视为以α 3=0为约束的(2)式的特殊形式。 采用OLS法对（2）进行估计，有：
17
ˆ α2 =
2 x2 i yi ∑ x3i − ∑ x3i yi ∑ x2 i x3i ∑
∑x ∑x
2 2i
2 3i
− (∑ x2 i ∑ x3i )
2
将（1）式的离差形式 yi = β2 x2i + (ui − u ) 代入，整理得：
然而，能否根据“Occam’s razor”原则， 判断方程（2）比方程（1）好？
3
对模型的设定是计量经济研究的重要环节。 前面各章除了对随机扰动项 ui 分布的基本假定以外， 还强调: 假定设定的模型对变量和函数形式的设定是正 确地描述被解释变量与解释变量之间的真实关系， 假定模型中的变量没有测量误差。 但是在实际的建模实践中，对模型的设定不一定能 够完全满足这样的要求，从而会使模型出现设定误 差。
4
第一节
设定误差
一、设定误差及类型
计量经济模型是对变量间经济关系因果性的设想， 若所设定的回归模型是“正确”的，主要任务是所 选模型参数的估计和假设检验。但是如果对计量模 型的各种诊断或检验总不能令人满意，这时应把注 意力集中到模型的设定方面： 考虑所建模型是否遗漏了重要的变量？ 是否包含了多余的变量？ 所选模型的函数形式是否正确？ 随机扰动项的设定是否合理？ 被解释变量和解释变量的数据收集是否有误差？
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计量经济学
第 九 章
设定误差与测量误差
引子： 简单一定胜于复杂吗? 简单一定胜于复杂吗?
西方国家盛行“Occam`s razor”原则，意思是 “简单优于复杂”的节约性原则。经济模型永远无法 完全把握现实，在建立模型中一定的抽象和简化是 不可避免的。 在研究进口与国内生产总值的关系时，考虑到时 间趋势，建立并估计了以下模型 IM=-172.42+0.271GDP-949.12T+160.73T2-10.18T3 t=(-0.177)(5.67) (-2.22) (2.20) (-2.74) (1) R2=0.991 F=272.95 DW=1.97
因此，有可能： 因此，有可能：
)2
)2
RSSv (n − 2) > RSSu (n − 3);
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不相关， （2）若 X 3与 X 2 不相关，有 r = 0 和 ∑ x2i x3i ) ) ˆ E (α 2 ) = β 2 ;Var ( β 2 ) = Var (α 2 ); 似乎分别有： 似乎分别有：
(1) 若 X 3与 X 2 相关， r ≠ 0，显然，Var (α2 ) ≠ Var β2
2 23
)
( )
)
似乎有：Var (α2 ) < Var β2 ; 但实际情形并不完全如此。 但实际情形并不完全如此。
的计算： 可以注意到残差平方和 RSS 的计算：
)
( )
)
ον = RSS v ( n − 2) ≠ RSS u ( n − 3) = ο u ;
2 x2i ∑
σ
2
ˆ Var(β2 ) =
∑ x2i x3i ) 2 ∑ x2i (1− x2 x2 ∑ 2i ∑ 3i
σ2
=
2 2 x2i (1− r23 ) ∑
σ2
如果X3与X2相关，显然有 如果X3与X2不相关，也有
ˆ ˆ Var(α2 ) ≠ Var(β2 )
ˆ ˆ Var (α2 ) ≠ Var (β2 )
yi = β2 x2i + β2 x3i + (ui − u )
Yi = α1 + α 2 X 2i +ν i 进行回归,得
取期望
∑ x x + ∑ x (u − u ) ˆ α =β +β ∑x ∑x ) ∑ x2i x3i + ∑ x2i (ui − u ) E (α2 ) = E β2 + β3 2 2 ∑ x2i ∑ x2i
n →∞ n →∞
即OLS估计量在小样本下有偏，在大样本下非一致。 (2) 如果X3与X2不相关，则α2的估计满足无偏性与 一致性；但这时α1的估计却是有偏的。
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ˆ ˆ (3) α2 的方差是 β 2 方差的有偏估计：
由 Y=α1+α2X2+v 得
ˆ Var (α 2 ) =
由 Y=β1+β2X2+β3X3+u 得
2 23
2 x2i = 0； ∑
若这两个等式成立， 若这两个等式成立，意味着尽管变量 X 3 ，在理论上分析是有 关的变量，但从所选模型中略去似乎也不会导致什么危害。 关的变量，但从所选模型中略去似乎也不会导致什么危害。 这种认识实际也不正确。 这种认识实际也不正确。 因为
σu RSSu n − 3 ) ˆ σv RSSv n − 2 ) ) Var (α2 ) = = 是 Var (β2 ) = x2 = 2 2 2 x2i ∑ 2i ∑ ∑ x2i ∑ x2i ) ) ) ) 的有偏估计， 不相关， 的有偏估计，即使 X 3 与 X 2 不相关，也有 Var ( β 2 ) ≠ Var (α 2 )，
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(4) 遗漏变量 X 3 式中的随机扰动项 v i 的方差估计量 )2 )2 E ο v ≠ ο u2 ο v = RSS v ( n − 2) 将是有偏的，即：
( )
（5）与方差相关的检验，包括假设检验、区间估计 等，在关于参数的统计显著性方面，都容易导出错误 的结论。
14
特别注意的两点：
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有人根据“简单优于复杂”原则，得到以下方程： IM=-217.186+0.173GDP t= (-0.5) (16.94) (2) R2=0.960 F=286.95 DW=0.735 进行比较： 两个方程的检验结果都较理想； 方程（2）GDP的t检验值似乎优于方程（1）； 方程（2）函数形式也更为简单；
2 2 3 2 i 3i 2 2i 2i i 2 2i
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遗漏变量设定误差的后果
两边取概率极限，有：
^
Cov ( X 2i , X 3i ) Cov ( X 2i , ui ) p lim α 2 = β2 + β3 + Var ( X 2i ) Var ( X 2i ) n →∞
由此可以看出，X3的遗漏将产生如下后果： (1) 如果漏掉的X3与X2相关，则分别在小样本下求期 望、在大样本下求概率极限，有： ) ) ) ) E (α1 ) ≠ β1 , E (α 2 ) ≠ β2且 p lim(α1 ) ≠ β1; p lim(α 2 ) ≠ β 2
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二、变量设定误差的后果
当模型设定出现误差时，模型估计结果也会与 “实际”有偏误； 偏误的性质与程度与模型设定误差的类型密切 相关； 从实质上看，变量设定误差的主要后果，是一 个或多个解释变量与随机扰动项之间存在着 相关性，进而影响参数估计的统计特性。
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1、遗漏相关变量（欠拟合）偏误
采用遗漏了重要解释变量的模型进行估计而带来的 偏误，称为遗漏相关变量偏误。 设正确的模型为： Yi = β1 + β 2 X 2i + β 3i X 3i + ui 正确模型离差形式为 却对：
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2、无关变量的误选
(Including Irrevelant Variables)
例如，Leabharlann Baidu果“真实模型”为：
Yi = β 1 + β 2 X 2 i + β 3 X 3 i + µ i
但我们却将模型设定为
Yi = α 1 + α 2 X 2 i + α 3 X 3 i + α 4 X 4 i + ν i
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第二节 设定误差的检验
对变量设定误差进行检验必须在经济理论指导 下进行，不可抛弃经济理论而进行假设检验。 对于是否误选无关变量的检验，只要针对无关 变量系数的期望值为零的假设，用t检验或F检 验，对无关变量系数作显著性检验即可。 对于遗漏变量设定误差的检验有多种方法，例 如DW检验、拉格朗日乘数检验、豪斯曼检验 、RESET 一般性检验等。 这里只讨论设定误差的一些最常用的检验方法。
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一、 DW检验 检验
ˆ α2 = β2 +
2 (∑x3i )(∑x2i (ui −u)) −(∑x2i x3i )(∑x3i (ui −u)) 2 2 x2i ∑x3i −(∑x2i ∑x3i )2 ∑
ˆ 求期望： E (α 2 ) = β 2
方差： Var (α ) = ˆ2
∑
σ v2
2 2 x 2 i (1 − r23 )
所有这些，计量经济学中被统称为设定误差。
5
设定误差的类型
从误差来源看，设定误差主要包括： （1）变量的设定误差，包括相关变量的遗漏（欠拟 合）、无关变量的误选（过拟合）； （2）变量数据的测量误差； （3）模型函数形式的设定误差； （4）随机扰动项设定误差。 本章主要讨论的两类变量设定误差: （1）相关变量的遗漏（欠拟合）； （2）无关变量的误选（过拟合）。
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无关变量的设定误差的后果
1. 可以证明，（2）式参数的OLS估计量是无偏，且 ) 为一致性的。即： E (α 2 ) = β 2 , p lim α 2 = β 2 ˆ n→ ∞ 同理，可证明： ) ) ) ) E(α1 ) = β1 , E(α3 ) = β3 = 0, p limα1 = β1和 p limα3 = β3 = 0
即设定模型时，多选了一个无关解释变量。这 类错误称为无关变量的误选（“过拟合”）。 无关变量的误选（ 过拟合” 无关变量的误选
8
设定误差的原因
●数据来源渠道可能不畅。例如，数据很难取得被 迫将具有重要的经济意义变量排斥在模型之外。 ●不知道变量应当以什么确切的函数形式出现在回 归模型中。 ●事先并不知道所研究的实证数据中所隐含的真实 模型究竟是什么。 设定误差在建模中较容易出现。设定误差的存在可能 会对模型形成不良的后果。
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1、相关变量的遗漏（Omitting Relevant Variables）
例如，如果“正确”的模型为
Yi = β1 + β 2 X 2 i + β 3 X 3i + µi
而我们将模型设定为
Yi = α 1 + α 2 X 2 i + ν i
即设定模型时漏掉了一个相关的解释变量。 这类错误称为遗漏相关变量（“欠拟合”）。 遗漏相关变量（ 欠拟合” 遗漏相关变量
)2
致使假设检验程序很有可能是可疑的。 致使假设检验程序很有可能是可疑的。 必须清楚，一旦根据相关理论把模型建立起来， 必须清楚，一旦根据相关理论把模型建立起来，再从中遗漏变量 需要充分地谨慎。 需要充分地谨慎。
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)2
2、包含无关变量偏误
定义:模型中包括了不重要的解释变量，即采用误选了 无关解释变量的模型进行估计而带来的偏误，称为包 含无关变量偏误。 设正确模型: 但却估计了: Y= β1 + β2X2 + µ Y= α1 +α2X2 + α 3X3+ v (1) (2)
n→∞ n→∞
ˆ 2. α 2
ˆ V ar (α 2 ) 1 不是有效估计量： = 2 ˆ ) (1 − r23 ) Var ( β 2
ˆ 此结论对 α1 也成立； )2 2 E (οv ) = οu ，随机误差项的方差的估计仍为无偏估计。 3. ˆ 4. 通常的区间估计和假设检验程序依然有效，但 α 2 的方差增大，接受错误假设的概率会较高。
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遗漏相关变量和误选无关变量的比较
遗漏相关变量——将导致参数估计量和假设检验有偏 将导致参数估计量和假设检验有偏 遗漏相关变量 且不一致； 且不一致； 误选无关变量——虽参数估计量具无偏性、一致性， 虽参数估计量具无偏性、一致性， 误选无关变量 虽参数估计量具无偏性 又会损失有效性。 又会损失有效性。 注重检验的无偏性、一致性 注重检验的无偏性、 ——宁愿误选无关变量也不愿遗漏相关变量； 宁愿误选无关变量也不愿遗漏相关变量； 宁愿误选无关变量也不愿遗漏相关变量 注重估计量的有效性——宁愿删除相关变量。 宁愿删除相关变量。 注重估计量的有效性 宁愿删除相关变量 通常误选无关变量不如遗漏相关变量的后果严重。 通常误选无关变量不如遗漏相关变量的后果严重。 因此，模型的设定实际是对偏误与有效进行权衡， 因此，模型的设定实际是对偏误与有效进行权衡，偏 爱哪一方取决于模型的研究目的。 爱哪一方取决于模型的研究目的。
如果α 3=0，则(2)与(1)相同，因此，可将(1)式 视为以α 3=0为约束的(2)式的特殊形式。 采用OLS法对（2）进行估计，有：
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ˆ α2 =
2 x2 i yi ∑ x3i − ∑ x3i yi ∑ x2 i x3i ∑
∑x ∑x
2 2i
2 3i
− (∑ x2 i ∑ x3i )
2
将（1）式的离差形式 yi = β2 x2i + (ui − u ) 代入，整理得：
然而，能否根据“Occam’s razor”原则， 判断方程（2）比方程（1）好？
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对模型的设定是计量经济研究的重要环节。 前面各章除了对随机扰动项 ui 分布的基本假定以外， 还强调: 假定设定的模型对变量和函数形式的设定是正 确地描述被解释变量与解释变量之间的真实关系， 假定模型中的变量没有测量误差。 但是在实际的建模实践中，对模型的设定不一定能 够完全满足这样的要求，从而会使模型出现设定误 差。
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第一节
设定误差
一、设定误差及类型
计量经济模型是对变量间经济关系因果性的设想， 若所设定的回归模型是“正确”的，主要任务是所 选模型参数的估计和假设检验。但是如果对计量模 型的各种诊断或检验总不能令人满意，这时应把注 意力集中到模型的设定方面： 考虑所建模型是否遗漏了重要的变量？ 是否包含了多余的变量？ 所选模型的函数形式是否正确？ 随机扰动项的设定是否合理？ 被解释变量和解释变量的数据收集是否有误差？