广义Zakharov-Kuznetsov方程的对称及精确解
Zakharov-Kuznetsov型方程的一类周期行波解
Ｖ ） 『 ｆ Ｑ ，］， ∈ （ ＝ 丢ｆ （ ）ｓ ｕ Ｈ ｕ ＋ ｓ ｄＶ ｕ ．
即可得 引理 １ 。 引 理 １ Ｖ（ ｕ）在 Ｈ 上 的 临 界 点 必 是 问 题 （ ）的 解 ． ７
重 点研 究方 程 （ ）如下形 式 的行波 解 ｕ ｘ， ￡ 一 Ｕ（） ｓ ＋ｂ １ （ ；） ｓ， 一 ｙ—ｗ 这里 １＞ ０ ｂ 是实 常数． ｔ． ２ ，， 自然地 ， 设 ｇ（ ； 假 ， ）一 ｇ （） ｇ ｌｓ ， ｌ∈ ｃ Ｒ）． （
将 上式 代入 原方 程 ， 过直 接计算 可 知 ， 程 （ ） 通 方 １ 可化 为如 下 三阶常 微方 程 ：
摘 要 ： 变分方法研究一类 Ｚ 用 Ｋ型方程周期行波解的存在性 ， 不必要求非线性项 ＿ “ 具有单调性 厂 ） （
关键 词 ： 变分方法 ；Ｋ方程 ； 期行 波解 Ｚ 周 中 图 分 类 号 ： １５２ Ｏ ７． 文献 标识码 ： Ａ
Ｚ ｋ ａｏ — ｚｅｓ ｖ Ｚ ＿ 方 程 是 Ｋ Ｖ 方程口 在二 维情 形 的 两种 典 型 推广 之 一 ；另一 个 是 Ｋａ ｏ — ａ ｈ ｒｖＫｕ ｎ ｔｏ （ Ｋ）１ ］ ｄ ］ ｄ ｍｔ
１ 问题 的简 化
考 虑下 面 的非齐次 Ｚ 方程 ： Ｋ
“ ＋ ａ — ＋ Ｕ ＋ （ （ ） ＝ 厂 Ｍ） ＝ ＝ｇ（ ；）（ ）∈ Ｒ。 ｔ 三 ． ｘ， ￡ ， ，三 三０ （） １
这里 厂∈ Ｃ （ ， Ｒ）ａ＞ ０ ≥ ０是 给定 的 常数 ， ， 而表示 ， ｔ ， 的实 函数．
ｓｖＰ ｔｉ ｈ ｉ （ ）方程 口 ．由于这两类 方 程在 物理 领域 有许 多重要 应 用 ， 期 以来 众 多学者 对有 关它 们 ｅ — ｅｖａ ｖｌ ＫＰ ｓ ｉ ３ 长 的课题 进行 了广 泛 的研 究见 文献 Ｅ —１ ］ ４ ｏ ．在文 献 ［ １ １ ］ １ ， ２ 中，Ａｉｃ ｖｃ 等 人 应 用单 调 方 法 和 Ｓ ｈ ｕ ｅ 不 ｚ ｏｉ ｉ ｉ ｃａ ｄ ｒ
非线性传输线中修正的zakharov-kuznetsov方程的尖峰孤波解
hes
o
l
i
t
a
r
l
u
t
i
onso
ft
hemZKequa
t
i
on,
i
nc
l
ud
i
ngtwok
i
nds
y waveso
[
３
Ｇ
９]
收稿日期:
２０２０
Ｇ
０１
Ｇ
１５
基金项目:中国矿业大学越崎学者(
１０２５０４１８０００４);江苏省 ３３３ 工程项目(
BRA２０１８３２０)
作者简介:杨小军(
１９８１－ ),男,研究员,博士,博士生导师,主要从事应用数学与力学研究 ．
o
l
i
t
a
r
o
l
u
t
i
ons,
haveno
tbe
enr
epo
r
t
ed．
Byt
hemo
t
i
va
t
i
ono
ft
hei
de
a,
t
hea
imo
ft
h
i
spape
r
pe
y waves
i
st
os
t
udyt
hepe
akeds
o
l
i
t
a
r
o
l
u
t
i
onso
ft
hemZKequa
t
i
on．
y waves
２ Pe
ak
e
l
【国家自然科学基金】_jacobi椭圆函数解_基金支持热词逐年推荐_【万方软件创新助手】_20140729
2011年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
2011年 科研热词 推荐指数 辅助方程 2 解的非线性叠加公式 2 精确解 2 三角函数解 2 非线性演化方程 1 非线性发展方程 1 雅可比函数解 1 辅助方程法 1 白噪声泛函分析 1 无穷序列解 1 无穷序列精确解 1 改进的jacobi椭圆函数展开法 1 孤立波解 1 孤立子 1 吴消元法 1 变系数组合kdv方程 1 变形浅水波方程组 1 代数方法 1 wick型随机广义sinh(sine)-gordon方程 1 sine-gordon型方程 1 jacobi椭圆函数解 1 hermite变换 1 f扩张法 1 f扩展方法 1 fan子方程法 1
2010年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
科研热词 推荐指数 精确解 3 jacobi椭圆函数 3 非线性叠加公式 2 辅助方程法 2 孤波解 2 周期解 2 非线性方程 1 辅助方程 1 解的叠加公式 1 无穷序列精确解 1 新的形式解 1 扩展的jacobi椭圆函数展开法 1 函数变换 1 三角函数型辅助方程 1 klein-gordon方程 1 klein-gordon-zakharov方程 1 f-展开法 1 (n+1)维双sine-gordon方程 1 (2+1)维davey-stewartson方程 1
2009年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
科研热词 辅助方程 精确解 孤波解 复mkdv方程 周期解 变系数非线性发展方程 分解和相容解 函数变换 nls方程 f-展开法 2+1维 (2+1)维nizhnik-novikov-veselov方程组
Zakharov方程组的非齐次初边值问题
作者签名： 日 期：
引言
在等离子体研究领域，用来描述电磁波、朗缪尔波与离子声波相互作用的控 制方程就是Zakharov方程组[1] ，当横电磁波穿过等离子体时，会激发朗缪尔波， 即等离子体中电子密度的疏密波，它和荷电粒子相互作用的结果会产生调制不稳 定性，由调制不稳定性所控制的朗缪尔湍动称为强朗缪尔湍动，Zakharov方程组 在研究强朗缪尔湍动方面发挥了重要的作用[2–4] 。在研究激光与等离子体的相互 作用中，Zakharov方程组也有广泛的应用，激光等离子体是一种多自由度的不稳 定系统，激光在等离子体临界面附近传播时，可激发朗缪尔波和离子声波[2] ，在 激光等离子体临界面处有电磁波、朗缪尔波与离子声波相互作用，其研究的模型 是Zakharov方程组[1] 。 近几十年来，对于Zakharov方程组定解问题的研究引起了人们广泛的兴趣， 获得了许多研究结果。 如1982年，郭柏灵、沈隆钧在文献[7]中研究了一维Zakharov方程周期初值问 题整体古典解的存在性和唯一性。 ¨ 1983年，郭柏灵在文献[8]中研究了Schrodinger 场和Boussinesq型自洽相互作 用下一类方程组的整体解，得到了一维空间变量情形整体光滑解的存在唯一性。 1988年～1992年，郭柏灵、沈隆钧、Li Yongsheng等分别在文献[9–11]中讨 论了二维空间变量情形整体光滑解的存在唯一性。 1994年，郭柏灵在文献[17]中研究了广义Zakharov方程组的初边值问题，解 决了一维第三初边值问题、二维第一初边值问题的广义解的存在性。 2001年，Vincent Masselin 在文献[21]中研究了Zakharov方程组三维空间变 量情形的Blow-up问题。 2004年，郭柏灵、Li Yongsheng 在文献[18]中证明了Zakharov方程组球外区 域径向对称解整体吸引子的存在性。 1
Zakharov方程Fourier谱方法的一致收敛性
￡ Ｎ一 Ｎ＝ （ ｔ Ｅ Ｌ 。 ） ，
初始 条件 为
（ １ ． ２ ）
（ １ ． ３ ）
Ｅ（ ｘ ， ０ ） ＝Ｅ ｏ （ ｚ ） ，Ｎ（ ｘ ， ０ ） ＝Ｎ ｏ （ ） ，Ｏ ￣ Ｎ（ ｘ ， ０ ） ＝Ｎ １ （ ｚ ） ，
Ｊ ７ ｖ ｆ ） 满足 如 下相容 性条 件
法有所增加． Ｇ ｌ ａ ｓ ｓ ｅ ｓ Ｊ 考虑了 Ｚ ａ ｋ ｈ ａ ｒ ｏ ｖ 方程初边值问题的隐式差分格式，并采用能量
范数证 明了其收敛性． Ｃ ｈ ａ ｎ ｇ 等人 ［ ５ － ６ 】 构造了一个依赖于参数选取的隐式或半显式差分方 法，并证明了其收敛性． Ｂ ａ ｏ 等人 ［ ３ － ４ ］ 介绍了有效的时间分裂谱方法 （ Ｔ Ｓ Ｓ Ｐ ） 和离散奇异 卷积方 法 （ ＤＳ Ｃ — Ｒ Ｋ４ ） ， 数值算例 表 明这两 种方法 在 空间方 向具有谱 精度 ，时 间方 向有 二阶 或 四阶精度 ．随后 ， Ｊ ｉ ｎ等人 ［ ９ － １ ｏ ］ 提 出了时 间分裂谱 方法 的改进 算法 ，该方 法具 有无条 件稳 定性 ．最 近 ， Ｘ ｉ ａ等人 ＿ ｌ ４ ＿ 构 造了 局部 间断 Ｇ ａ ｌ ｅ ｒ ｋ ｉ ｎ方法 （ Ｌ ＤＧ） 求解 Ｚ ａ ｋ ｈ ａ ｒ ｏ ｖ 方 程 ，且该 计算 格式保持 能 量守恒 ． 本文对 方程 （ １ ． １ ） 一（ １ ． ３ ） 的Ｆ ｏ ｕ ｒ ｉ ｅ ｒ 谱逼 近给 出了严 格的 日 模 最优误 差估 计 ，特别 获得 了关 于参数 Ｅ的一致 收敛性 结果 ．数 值结果 与理 论分 析相 吻合 ．另外 ，还对 一 些相关 的 方 程 ： Ｋｌ ｅ ｉ ｎ — Ｇ ｏ ｒ ｄ ｏ ｎ — Ｓ ｃ ｈ ｒ ６ ｄ ｉ ｎ ｇ ｅ ｒ 方 程和 Ｋｌ ｅ ｉ ｎ — Ｇｏ ｒ ｄ ｏ ｎ — Ｚ ａ ｋ ｈ ａ ｒ ｏ ｖ方 程建立 了 Ｆ ｏ ｕ ｒ ｉ ｅ ｒ 谱逼近 ， 时间方 向离散考虑 了稳 定性 好 且便于 实施 的半 隐半 显格式 ，在计 算效率 上具有 优势 ．最后 ， 通过 与其 他数值方 法 比较 ，验证 了该方 法 的有效性 ．
KdV方程和Zakharov-Kuznetsov方程新的椭圆函数解
ｂ ｏ ｓ ｕ ｔｎ ｕ ｅ ｘｅ ｄ ｄ Ｊ ｃ ｂ ｌ ｐ ｉ ｆ ｕ ｃ ｉｎ ．Ｗ ｉ ｈ ｉ ｆＭａｈ ｍａｉ ａ ｓ ｆ ａ ｅ ａ ｓ ｒ ｓ ｏ ｅ ｘ ｃ ｙ ｃ ｎ ｔ ｃ ｉ ｇ ｆ ｒ ｎ ｗ ｅ ｔｎ ｅ ａ ｏ ｉ ｌ ｔ ｏ ｎ ｔ ｓ ｒ ｏ ｅｉ ｃ ｏ ｔ ｔ ｅ ａ ｄ ｏ ｔ ｅ ｔ ｏｔ ｒ ， ｅｉ ｆｎ ｗ ｅ ａ ｔ ｈ ｃ ｗ ｅ
第 ８卷 第 １ 期 ２１ ０ ０年 ３月
南 京 程 学 院 学 报 （自然 科 学 版 ）
Ｊｕｎ ｌ ｆ ｎｉｇＩｓｔｔ ｆ ｅｈ ｏｏｙ Ｎ ｔｒｌ ｃ ｎｅＥ ｉｏ ） ｏ ｒａ ｊ ｎｔｕｅｏ ｃ ｎｌｇ （ ａｕａ Ｓ ｉ ｃ ｄｔ ｎ ｏ Ｎａ ｎ ｉ Ｔ ｅ ｉ
ｗａ ｅ ｓ ｌ ｔｏ ｓ ａ ｄ ｔ ｉ ｇ ｅ ｔｉ ｇｅ ｆ ｎｃｉ ｏ ｕ ｉｎｓｗｅｅ ｐｒ ｄｕ ｅｄ ｖ ｏ ｕ ｉｎ ｎ ｈｅ ｓｎ ｌ ｒａｎ ｌ ｕ ｔ ｏｎ ｓ ｌ ｔｏ ｒ ｏ ｃ ．
Ｋｅ ｒ ｓ Ｋｄ ｅ ｕ ｔ ｎ Ｚ ｋ ａｏ — ｚ ｅｓ ｖ ｅ ｕ ｔ ｎ ｅ ｔｎ ｅ ａ ｏ ｉｅｌ ｔ ｕ ｃｉｎ ｅ ｐ ｎ ｉｎ ｍｅｈ ｄ ｅ ａ ｔ ｙ ｗｏ ｄ ： Ｖ ｑ ａｉ ； ａ ｈ ｒｖＫｕ ｎ ｔｏ ｑ ａｉ ； ｘｅ ｄ ｄ Ｊ ｃ ｂ ｌｐ ｉ ｆｎ ｔ ｘ ａ ｓ ｔｏ ； ｘ ｃ ｏ ｏ ｉ ｃ ｏ ｏ
ｓｌ ｉｎ ｏｕｔｏ
寻求非 线性 发 展方 程 的解 析解 尤其 是孤 立 子解 是 非线 性 科 学 的重 要 组 成部 分 ． 目前 人 们 已经 发现 许
多 有效 的求 解 方 法 ， ： 散 射 方 法 … 、 ａｋｕ ｄ变 换 法 、 ｉｃｔ方 程 法 如 反 Ｂ ｃ｜ｎ Ｒ ｃａｉ 、 展 开 法 及 其 广 义 形 Ｆ一
【国家自然科学基金】_多辛格式_基金支持热词逐年推荐_【万方软件创新助手】_20140803
2013年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29
科研热词 辛欧拉方法 数值实验 守恒律 多辛拟谱格式 半显式 保结构 dirac方程 计算效率 薄圆板 耗散 指数runge-kutta方法 拟谱方法 广义多辛 孤立子波 多辛算法 多辛格式 多辛方法 多辛守恒律 多辛
2012年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
科研热词 推荐指数 有限差分方法 1 微扰landau-ginzburg-higgs方程 1 广义多辛 1 广义zakharov-kuznetsov方程 1 孤子解 1 多辛算法 1 哈密尔顿 1 保结构 1 preissmann格式 1 hamiton系统 1
2014年 序号 1 2 3 4
2014年 科研热词 稳态解 无穷维hamilton系统 动量通量 保结构 推荐指数 1 1 1 1
2011年 科研热词 推荐指数 多辛格式 2 多辛方程组 2 四阶nsl方程 2 高斯光束 1 饱和非线性薛定谔方程 1 非线性"good"boussinesq方程 1 薛定谔方程 1 耦合kdv方程组 1 组合kdv-mkdv方程 1 泊松方程 1 显式多辛格式 1 数值模拟 1 局部1维多辛格式 1 孤立波试验 1 多辛算法 1 多辛方程式 1 多辛守恒律 1 多辛哈密尔顿系统 1 多辛 1 分裂方法. 1 分裂方法 1 preissmann格式 1 fourier拟谱格式 1 fourier拟谱方法 1 euler-box格式 1
2009年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23
聊城大学2010届毕业研究生论文发表统计
张树杰学院233浅论旋律听写的心理过程与心理训练论文艺术百家中文核心234杨锐人文主义思潮对文艺复兴音乐的影响论文时代文学核心23520世纪音乐多元化现象成因分析论文作家杂志核心236“音乐”至高无上，《魔笛》古今悠扬论文时代文学核心237论威尼斯画派人性化的体现论文作家核心238明清戏剧之艺术审美特征论文文艺生活省级239Substituent Effect on the Meso-Substituted Porphyrins:Theoretical Screening ofSensitizer Candidates For Dye-Sensitized Solar Cells研究论文J.Phys.Chem.A2009,113,10119-10124SCI240Theoretical Screening of -NH2-, -OH-研究论文J.Phys.Chem.A2010,114,1973-1979SCI241穆建帅Spectroscopic study on acid-induced u研究论文Spectrochimica Acta Part A: Mo SCI 242赵肖娟The novel example of organotin(IV) m研究论文Inorg. Chem. Comm., 2010, 13,SCI 243(Methoxo-κO)oxidobis(quinolin-8-olato-κ2N,O)vanadium(V)研究论文Acta Cryst.E65,m1074SCI244Di-μ-oxido-bis[(4-formyl-2-methoxyphenolato-κO1)oxido(1,10-phenanthroline-κ2N,N )vanadium(V)]研究论文Acta Cryst.E65,m1114SCI245Aqua{6,60--dimethoxy-2,20-[ethane-1,2-diylbis(nitrilomethylidyne)]diphen olato}-nickel(II)研究论文Acta Cryst.E65,m1158SCI2461-(Hydroxyiminomethyl)-2-naphthol 研究论文Acta Cryst.E64,m568SCI247马荣娜Direct electrochemistry of glucose oxidase on the hydroxyapatite /Nafion composite film modified electrode and its application for glucose biosensing研究论文SCI CHINA SER B SCI248New organoantimony complexes with the isomers ofchlorophenylacetic acid:Syntheses, characterizations andcrystal structures of 1D polymeric chain, 2Dnetwork structure and 3D framework论文Inorganica Chimica Acta SCI249二维网状有机锑对氨基苯乙酸酯的合成、表征及晶体结构研究论文无机化学学报SCI 250Bis(4-aminobenzoato-kO)triphenylantimony(V)论文Acta Cryst.E64,m1426SCI 251Catena-Poly[[trimethyltin(IV)]-μ-2,5-difluorobenzoato- k2O:O’]论文Acta Cryst.E65,m29SCI 252Catena-Poly[[trimethyltin(IV)]-μ-2,4,6-trichlorobenzoato]论文Acta Cryst.E65,m30SCI温丽媛兰辛王楠马瑞敏郭铮桦253catena-Poly[[trimethyltin(IV)]-μ-2-(2-chlorophenyl)acetato]论文Acta Cryst.E65,m1261SCI 254N’-[(E )-3-Pyridylmethylidene]benzohydrazi de论文Acta Cryst.E65,o2623SCI255Bis(2-amino-4-chlorobenzoato)triphenylantimony (V)论文Acta Cryst.E65,m1442SCI256Bis(5-amino-2-chlorobenzoato-κO)triphenylantimony(V)论文Acta Cryst. E65, m1443SCI 2573-[(3-Oxo-1,3-dihydroisobenzofuran-1-yl)amino]benzoic acid论文Acta Cryst.E65,o2579SCI 2583-Ethoxy-2-(1,3-thiazol-2-yl)isoindolin-1-one论文Acta Cryst.E65,o2594SCI259Octabutylbis{(E)-2-[4-(2-hydroxybenzylideneamino)phenyl]acetato}di-l2-methoxo-di-l3-oxido-tetratin(IV)论文Acta Cryst.E65,m1268SCI260(E)-2-(Isonicotinoylhydrazonomethyl)-benzoic acid methanol monosolvate论文Acta Cryst. E65, o2578SCI261l-2-Aminoterephthalato-j2O1:O4-bis-[triphenyltin(IV)]论文Acta Cryst.E65,m1451SCI 262(E)-2-Methoxy-6-(thiazol-2-yliminomethyl)phenol论文Acta Cryst.E65,o2675SCI 263Study on the Interaction of Matrine w 研究论文Macromolecular Research SCI 264Enthalpic interactions of anti-tumor d 研究论文J Therm Anal Calorim SCI 265无水烟酸钾的合成、表征及热化学研究论文化学学报SCI 266 Low temperature heat capacities and 研究论文Thermochimica Acta SCI 267Thermochemistry on the Solid State C 研究论文Z. Phys. Chem.SCI 268 Low-Temperature Heat Capacities an 研究论文J.Chem.Eng.Data.SCI 269Crystal structure and thermochemical 12H 28NCl)(s)研究论文Thermochimica Acta SCI 270Investigation on Phase Transitions an 研究论文Int. J. Thermophys.SCI271Crystal Structure, Phase Transition, an 研究论文Chinese Journal of ChemistrySCI 272徐香玉Study on the thermodynamic behavior 研究论文Thermochimica Acta SCI273豆立甲双子阳离子表面活性剂溶致液晶的流变性质的研究研究论文聊城大学学报国内公开期刊274烟酸钠Na(C6H5NO2)(s)的低温热容和热化学研究论文高等学校化学学报SCI李文宽孙祥军孔玉霞化工学院400.00。
【国家自然科学基金】_多辛算法_基金支持热词逐年推荐_【万方软件创新助手】_20140730
科研热词 推荐指数 多辛算法 2 保结构 2 薄圆板 1 耗散 1 广义多辛 1 孤立子波 1 多辛方法 1 多辛 1 哈密顿 1 哈密尔顿偏微分方程 1 哈密尔顿 1 冲击荷载 1 保结构算法 1 五阶饱和非线性薛定谔方程 1 sine-gordon方程 1 leap-frog格式 1
2014年 序号 1 2 3 4
推荐指数 3 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2010年 序号
科研热词 1 等谱akns方程组 2 孤子解 3 多辛
推荐指数 1 1 1
2011年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8
2011年 科研热词 多辛格式 四阶nsl方程 高斯光束 饱和非线性薛定谔方程 多辛算法 分裂方法. 分裂方法 euler-box格式 推荐指数 2 2 1 1 1 1 1 1
2012年 序号 1 2 3 4 5 6 7
科研热词 推荐指数 辛算法 1 谱元法 1 广义zakharov-kuznetsov方程 1 多辛算法 1 地震波模拟 1 preissmann格式 1 hamiton系统 1
2013年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
2008年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
科研热词 推荐指数 数值模拟 2 多辛积分 2 preissmann格式 2 钟状孤波解 1 移动荷载 1 混合态 1 方程 1 广义多辛算法 1 广义kdv-mkdv方程 1 广义benjamin-bona-mahoney方程 1 守恒律 1 孤波解 1 孤子解数值模拟 1 多辛算法 1 多辛 1 两带ginzburg-landau 1 preissman多辛格式 1
广义Zakharov-Kuznetsov方程的新精确解
D O I :10.3969/j.i s s n .1001-5337.2023.4.053 *收稿日期:2022-04-17作者简介:张宁,男,1995-,硕士,助教;研究方向:非线性偏微分方程理论及应用;E -m a i l :1174309284@q q.c o m.广义Z a k h a r o v -K u z n e t s o v 方程的新精确解张 宁(新疆农业大学数理学院,830052,新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市) 摘要:应用扩展到负次幂的(G '/G 2)展开法对广义Z a k h a r o v -K u z n e t s o v 方程进行求解.在不同条件下得到广义Z a k h a r o v -K u z n e t s o v 方程的9组新精确解,包含双曲函数解㊁三角函数解和有理函数解.对精确解中的参数赋值,利用符号计算软件M a pl e 给出部分解的数值模拟图,并对怪波现象产生的原因进行分析.扩展的(G '/G 2)展开法有计算简单㊁直接的特点,可以应用于其它非线性偏微分方程的求解研究中.关键词:扩展的(G '/G 2)展开法;广义Z a k h a r o v -K u z n e t s o v 方程;精确解;怪波中图分类号:O 175.29 文献标识码:A 文章编号:1001-5337(2023)04-0053-050 引 言非线性偏微分方程在非线性科学中具有重要的研究价值,其精确解可以用来解释非线性现象,同时也是可积系统的主要研究内容.近年来,随着计算机技术的发展,非线性偏微分方程精确解的求解方法也越来越多,如齐次平衡法[1]㊁T a n h 函数展开法[2]㊁J a c o b i 椭圆函数展开法[3]㊁(G '/G )展开法[4]以及在(G '/G )展开法的基础上提出来的(G '/G 2)展开法[5-6]㊁G '/(G +G ')展开法[7]等.本文引入并介绍(G '/G 2)展开法及步骤,将(G '/G 2)展开法扩展到负次幂并利用扩展的(G '/G 2)展开法求解广义Z a k h a r o v -K u z n e t s o v 方程.广义Z a k h a r o v -K u z n e t s o v 方程[8]为u t +a u n u x +b (u x x +u y y )x =0.(1) 当n =1时,方程(1)化为Z a k h a r o v -K u z n e t s o v 方程[9];n =12时,方程(1)化为修正的Z a k h a r o v -K u z n e t s o v 方程[10];n =p 2(p ȡ1)时,方程(1)化为广义修正的Z a k h a r o v -K u z n e t s o v 方程[11].广义Z a k h a r o v -K u z n e t s o v 方程在物理学中有着广泛的应用,对其精确解的研究也备受关注.1 研究方法考虑给定的非线性偏微分方程P (u ,u x ,u y ,u t ,u x t ,u y t ,u x x ,u y y ,u t t , )=0,(2)其中u =u (x ,y ,t ).第1步:对方程(2)作行波变换u (x ,y , ,t )=u (ξ),ξ=x +y + -ct ,(3)得到常微分方程Q (u ,u ',-c u ',u ᵡ,-c u ᵡ,c 2u ᵡ, )=0.(4) 第49卷 第4期2023年10月 曲阜师范大学学报J o u r n a l o f Q u f u N o r m a l U n i v e r s i t yV o l .49 N o .4O c t .2023其中u '=d u d ξ,u ᵡ=d 2ud ξ2, ,c 为波速.第2步:假定方程(4)的解有如下形式u (ξ)=ðm i =0a i G 'G 2æèçöø÷i +ðmi =1b i G'G 2æèçöø÷-i,(5)其中G =G (ξ)满足G 'G 2æèçöø÷'=μ+λG 'G 2æèçöø÷2,(6)其中a i (i =0,1,2, ,m )㊁b i (i =1,2, ,m )㊁μ㊁λ是待定常数,m 可以根据齐次平衡法确定.第3步:将式(5)代入方程(4),结合方程(6)合并G 'G2的同次幂项,取各次幂项系数为零,得到关于a i (i =0,1,2, ,m )㊁b i (i =1,2, ,m )㊁μ㊁λ㊁c 的代数方程组,使用符号计算软件M a p l e 求解此代数方程组.第4步:将方程(6)的解和代数方程组的解代入式(5)得到非线性偏微分方程(2)的精确解.2 广义Z a k h a r o v -K u z n e t s o v 方程的精确解使用上述方法求解广义Z a k h a r o v -K u z n e t s o v 方程,令u (x ,y ,t )=u (ξ),ξ=x +y -ct ,(7)将式(7)代入方程(1)中,再对ξ积分一次并取积分常数为0得到-cu +a n +1u n +1+2b u ᵡ=0.(8)作变换u (ξ)=[v (ξ)]1n ,并代入方程(8)中,得-c n 2(n +1)v 2+a n 2v 3+2b n (n +1)v v ᵡ-2b (n 2-1)(v ')2=0.(9)平衡方程(9)中的最高阶导数项v v ᵡ和非线性最高次项v 3可得m =2,因此可设方程(9)的解具有如下形式v (ξ)=a 0+a 1G 'G2+a 2G 'G 2æèçöø÷2+b 1G 'G 2æèçöø÷-1+b 2G 'G 2æèçöø÷-2,(10)其中,a i (i =0,1,2)㊁b i (i =1,2)为待定常数,G =G (ξ)满足二阶常微分方程(6).将式(10)代入方程(9),利用方程(6)化简合并G 'G 2的同次幂项,并取各次幂项系数为零,得到关于a 0㊁a 1㊁a 2㊁b 1㊁b 2㊁λ㊁μ㊁c 的代数方程组,利用符号计算软件M a pl e 求解该代数方程组得到3组解.第1组:a 0=-4b μλ(n 2+3n +2)a n 2,a 1=b 1=b 2=0,a 2=-4b λ2(n 2+3n +2)a n 2,c =-8b μλn 2;(11) 第2组:a 0=-8b μλ(n 2+3n +2)a n 2,a 1=b 1=0,a 2=-4b λ2(n 2+3n +2)a n 2,b 2=-4b μ2(n 2+3n +2)a n 2,c =-32b μλn 2;(12) 第3组:a 0=-4b μλ(n 2+3n +2)a n 2,a 1=a 2=b 1=0,b 2=-4b μ2(n 2+3n +2)a n 2,c =-8b μλn 2.(13)将式(12)代入式(10),根据方程(6)的解可以得到以下情形.情形1 当μλ>0时,45 曲阜师范大学学报(自然科学版) 2023年v 1(ξ)=-8b μλ(n 2+3n +2)a n 2-4b λ2(n 2+3n +2)a n 2μλΔ1æèçöø÷2-4b μ2(n 2+3n +2)a n 2μλΔ1æèçöø÷-2,(14)u 1(ξ)=-8b μλ(n 2+3n +2)a n 2-4b λ2(n 2+3n +2)a n 2μλΔ1æèçöø÷2-4b μ2(n 2+3n +2)a n 2μλΔ1æèçöø÷-2éëêêùûúú1n ,(15)其中Δ1=E c o s μλξ()+D s i n μλξ()E s i n μλξ()-D c o s μλξ(),ξ=x +y +32b μλn 2t ,E ㊁D 为任意常数.情形2 当μλ<0时,v 2(ξ)=-8b μλ(n 2+3n +2)a n 2-4b λ2(n 2+3n +2)a n 2μλΔ2æèçöø÷2-4b μ2(n 2+3n +2)a n 2μλΔ2æèçöø÷-2,(16)u 2(ξ)=-8b μλ(n 2+3n +2)a n 2-4b λ2(n 2+3n +2)a n 2μλΔ2æèçöø÷2-éëêê4b μ2(n 2+3n +2)a n 2μλΔ2æèçöø÷-2ùûúú1n ,(17)其中Δ2=E s i n h μλξ()+D c o s h μλξ()E c o s h μλξ()+D s i n h μλξ(),ξ=x +y +32b μλn 2t ,E ㊁D 为任意常数.情形3 当μ=0,λʂ0时,v 3(ξ)=-8b μλ(n 2+3n +2)a n 2-4b λ2(n 2+3n +2)a n 2(Δ3)2-4b μ2(n 2+3n +2)a n2(Δ3)-2,(18)u 3(ξ)=-8b μλ(n 2+3n +2)a n 2-4b λ2(n 2+3n +2)a n 2(Δ3)2-4b μ2(n 2+3n +2)a n 2(Δ3)-2éëêêùûúú1n ,(19)其中Δ3=-EλE (x +y )+D λ,E ㊁D 为任意常数.将式(11)㊁(13)代入式(10),结合方程(6)的解可以得到方程(1)的其余6组解,比较文献[12]利用扩展的(G '/G )展开法得到广义Z a k h a r o v -K u z n e t s o v 方程的6组精确解,可以看出本文得到的9组解是广义Z a -k h a r o v -K u z n e t s o v 方程的新精确解,丰富了广义Z a k h a r o v -K u z n e t s o v 方程的解系.对于方程(1),只要n >0都可以求得上述精确解.特别地,当取n =1,n =12和n =p 2(p >1)时,可以分别得到Z a k h a r o v -K u z n e t s o v 方程㊁修正的Z a k h a r o v -K u z n e t s o v 方程和广义修正的Z a k h a r o v -K u z n e t s o v 方程的精确解.考虑广义Z a k h a r o v -K u z n e t s o v 方程的两组解u 1和u 2,以r =x +y 和t 为自变量,借助M a p l e 通过数值模拟得到u 1和u 2在不同参数下的图像(见图1,图2),并对出现的怪波进行分析.从图1可以看出,在较短时间内,广义Z a k h a r o v -K u z n e t s o v 方程的周期解出现在比较大的区域内.破坏特性在一定时期内可能是渐近的㊁周期性的,从解的表达式分析,当分母趋于0时,函数值趋于无穷大,会出现爆破现象.从图2可以看出,在短时间内,广义Z a k h a r o v -K u z n e t s o v 方程的孤波解主要出现在小的窄区域内,可能会发生怪波的突变情况,而爆炸现象的出现和解u 1怪波出现原因相同.55第4期 张宁:广义Z a k h a r o v -K u z n e t s o v 方程的新精确解图1 参数a =-1㊁b =2㊁λ=3㊁μ=2㊁n =1㊁E =1㊁D =1时的u1图2 参数a =2㊁b =-0.2㊁λ=-0.1㊁μ=2㊁n =1㊁E =-8㊁D =4时的u 23 结束语本文使用扩展的(G '/G 2)展开法研究了广义Z a k h a r o v -K u z n e t s o v 方程,通过将(G '/G 2)展开法扩展到负次幂,得到了广义Z a k h a r o v -K u z n e t s o v 方程的双曲函数解㊁三角函数解和有理函数解.给出了部分精确解的数值模拟图像,并对怪波产生的原因进行了分析.通过对n 取值,还可以得到Z a k h a r o v -K u z n e t s o v 方程㊁修正的Z a k h a r o v -K u z n e t s o v 方程㊁广义修正的Z a k h a r o v -K u z n e t s o v 方程的新精确解.根据求解过程,对比(G '/G )展开法,(G '/G 2)展开法具有计算简便㊁直接等优点.扩展的(G '/G 2)展开法在求解非线性偏微分方程方面具有重要的应用价值.参考文献:[1]李志斌.非线性数学物理方程的行波解[M ].北京:科学出版社,2006:12-40.[2]T I A N Y.Q u a s i h y p e r b o l i c f u n c t i o ne x p a n s i o nm e t h o da n d t a n h -f u n c t i o nm e t h o d f o r s o l v i n g v i b r a t i n g s t r i n g e q u a t i o na n d e l a s t i c r o de q u a t i o n [J ].J o u r n a l o fL o wF r e q u e n c y No i s e ,V i b r a t i o na n dA c t i v eC o n t r o l ,2019,38(1/4):1455-1465.[3]X I A N GCH.J a c o b i e l l i p t i c f u n c t i o n e x p a n s i o nm e t h o d f o r t h e n o n l i n e a rV a k h n e n k o e q u a t i o n [J ].J o u r n a l o fA p pl i e dM a t h -e m a t i c s a n dP h ys i c s ,2020,8(5):793-798.65 曲阜师范大学学报(自然科学版) 2023年[4]WA N G M L ,L IXZ ,Z HA N GJL .T h e (G '/G )-e x p a n s i o n m e t h o da n dt r a v e l l i n g w a v es o l u t i o n so fn o n l i n e a re v o l u t i o n e q u a t i o n s i nm a t h e m a t i c a l p h y s i c s [J ].P h ys i c sL e t t e r sA ,2008,372(4):417-423.[5]冯庆江,肖绍菊.应用改进的G '/G 2展开法求Z a k h a r o v 方程的精确解[J ].量子电子学报,2015,32(1):40-45.[6]王思源,陈浩.求解K d V 方程mK d V 方程的新方法:(g '/g 2)展开法[J ].华南师范大学学报(自然科学版),2014,46(1):42-45.[7]石兰芳,聂子文.应用全新G '/(G +G ')展开方法求解广义非线性S c h r d i n g e r 方程和耦合非线性S c h r d i n g e r 方程组[J ].应用数学和力学,2017,38(5):539-552.[8]HUJY.C l a s s i f i c a t i o no f s i n g l e t r a v e l l i n g w a v es o l u t i o n st ot h e g e n e r a l i z e dZ a k h a r o v -K u z n e t s o ve q u a t i o n [J ].P r a m a n a J o u r n a l o fP h y s i c s ,2013,80(5):771-783.[9]杨征,马松华,方建平.(2+1)维Z a k h a r o v -K u z n e t s o v 方程的精确解和孤子结构[J ].物理学报,2011,60(4):99-103.[10]MO N R OS ,P A R K E SEJ .S t a b i l i t y o f s o l i t a r y w a v e s o l u t i o n s t oam o d i f i e dZ a k h a r o v -K u z n e t s o ve q u a t i o n [J ].JP l a s m a P h ys ,2000,64(3):411-426.[11]Y UJ ,WA N G DS ,S U N Y ,e t a l .M o d i f i e d m e t h o do f s i m p l e s t e q u a t i o nf o ro b t a i n i n g ex a c t s o l u t i o n so f t h eZ a k h a r o v -K u z n e t s o v e q u a t i o n ,t h em o d i f i e dZ a k h a r o v -K u z n e t s o ve q u a t i o n ,a n dt h e i r g e n e r a l i z e df o r m s [J ].N o n l i n e a rD yn a m i c s ,2016,85(4):2449-2465.[12]李灵晓,张金良.扩展的(G '/G )-展开法和g Z K 方程的精确解[J ].四川师范大学学报(自然科学版),2010,33(5):626-629.N e we x a c t s o l u t i o n s o f g e n e r a l i z e dZ a k h a r o v -K u z n e t s o v e qu a t i o n Z HA N G N i n g(S c h o o l o fM a t h e m a t i c s a n dP h y s i c s ,X i n j i a n g A g r i c u l t u r a lU n i v e r s i t y ,830052,U r u m q i ,X i n j i a n g,P R C )A b s t r a c t :T h e g e n e r a l i z e dZ a k h a r o v -K u z n e t s o ve q u a t i o ni ss o l v e db y u s i n g t h e (G '/G 2)e x pa n s i o n m e t h o de x t e n d e d t o n e ga t i v e p o w e r .U n d e r d i f f e r e n t c o n d i t i o n s ,n i n e n e we x a c t s o l u t i o n s o f t h e g e n e r a l i z e d Z a k h a r o v -K u z n e t s o v e q u a t i o n a r e ob t a i n e d ,i nc l ud i n g h y pe r b o l i cf u n c t i o n s o l u t i o n s ,t r i go n o m e t r i c f u n c t i o n s o l u t i o n s a n d r a t i o n a l f u n c t i o n s o l u t i o n s .F o r t h e p a r a m e t e r a s s i gn m e n t i n t h e e x a c t s o l u t i o n ,t h en u m e r i -c a l s i m u l a t i o nd i a g r a m o f t h e p a r t i a l s o l u t i o n i s g i v e nb y u s i n g t h es y m b o l i c c a l c u l a t i o ns o f t w a r e M a pl e ,a n d t h e c a u s e s o f t h e r o g u ew a v e p h e n o m e n o n a r e a n a l y z e d .T h e e x t e n d e d (G '/G 2)e x pa n s i o nm e t h o dh a s t h e c h a r a c t e r i s t i c s o f s i m p l ea n dd i r e c t c a l c u l a t i o n ,a n dc a nb ea p p l i e dt ot h es o l u t i o no fo t h e rn o n l i n e a r p a r t i a l d i f f e r e n t i a l e qu a t i o n s .K e y wo r d s :e x t e n d e d (G '/G 2)e x p a n s i o nm e t h o d ;g e n e r a l i z e dZ a k h a r o v -K u z n e t s o v e q u a t i o n ;e x a c t s o l u -t i o n ;n o n l i n e a r p a r t i a l d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n ;r o gu ew a v e 75第4期 张宁:广义Z a k h a r o v -K u z n e t s o v 方程的新精确解。
具5次强非线性项的广义对称正则长波方程的显式精确解
具5次强非线性项的广义对称正则长波方程的显式精确解尚亚东
【期刊名称】《石油化工高等学校学报》
【年(卷),期】1999(012)004
【摘要】考虑了一类具5次强非线性项的广义对称正则长波方程的精确可解性问题.首先将求此方程孤立波解的问题归结为求解具5次强非线性项的Lienard方程u″(ξ)+lu(ξ)+mu3(ξ)+nu5(ξ)=0,接着通过变换u(ξ)=√φ(ξ)得到φ(ξ)满足的方程2φ(ξ)φ″(ξ)-φ′2(ξ)+4lφ2(ξ)+4mφ3(ξ)+4nφ4(ξ)=0,最后通过两种假设
φ(ξ)=Aeα(ξ+ξ0)/[(1+eα(ξ+ξ0))2+Beα(ξ+ξ0)]和
φ(ξ)=Aeα(ξ+ξ0)/(1+eα(ξ+ξ0))获得了5次Lienard方程的二类显式精确解.据此求出了具5次非线性项的广义对称正则长波方程的钟状和扭状孤立波解,并且获得此方程的两类奇异行波解和三角函数型周期波解.
【总页数】1页(P84)
【作者】尚亚东
【作者单位】西安石油学院基础部,陕西西安,710065
【正文语种】中文
【中图分类】O175.29
【相关文献】
1.具任意次幂非线性项的组合KdV方程和广义Boussinesq方程的精确解 [J], 李勇;朝鲁
2.具耗散项的对称正则长波方程的显式精确解 [J], 王可升
3.具有任意阶非线性项的广义对称正则长波方程的显式行波解 [J], 姬天富
4.广义对称正则长波方程的显式精确解析解 [J], 尚亚东
5.具耗散项的对称正则长波方程的定性分析及显式解 [J], 张卫国;任迎春;刘刚因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
（3＋1）维Zakharov-Kuznetsov方程的Wronskian形式解
（3＋1）维Zakharov-Kuznetsov方程的Wronskian形式解崔艳英;吕大昭;刘长河【摘要】基于Wronskian行列式的形式和结构,提出了Wronskian形式展开法,通过这一方法求出了（3＋1）维Zakharov-Kuznetsov（ZK）方程的双孤子解、双三角函数解、Complexiton解、Matveev解和Jacobi椭圆函数解.%In this paper,based on the forms and structures of Wronskian determinant,a Wronskian form expansion method is presented to find out double soliton solutions,double trigonometric function solutions,Complexiton solutions,Matveev solutions and Jacobi elliptic function solutions of the（3＋1）-Dimensional Zakharov-Kuznetsov equation.【期刊名称】《北京建筑工程学院学报》【年(卷),期】2012(028)002【总页数】4页(P68-71)【关键词】Zakharov-Kuznetsov（ZK）方程;Wronskian;Complexiton解;Matveev解【作者】崔艳英;吕大昭;刘长河【作者单位】北京工业大学耿丹学院,北京101301;北京建筑工程学院理学院,北京100044;北京建筑工程学院理学院,北京100044【正文语种】中文【中图分类】O29寻找非线性演化方程的精确解一直是物理学家和数学家的重点课题之一.在众多有效的方法［1－4］当中，Wronskian 技巧［5－8］特别受人青睐，它应用广、效率高.这得益于Wronskian行列式本身良好的性质:后一列是前一列的导数.这使得Wronskian行列式的导数只是由少数几个同阶行列式的和构成，与行列式的阶数无关.所以在把解代入到双线性方程或Bäcklund变换中进行验证时，其过程往往比较简单.如，对于KdV方程:如果取:那么根据传统的W ronskian技巧［5］知:是KdV方程(1)的解.这种方法简称为孤立子方程的Wronskian技巧.但W ronskian技巧也有缺点:Wronskian行列式的元素常常满足一组特定的线性偏微分方程组.因此，如果找不到这样的特定线性偏微分方程组，那么人们又该如何获得Wronskian形式解呢?另一方面，隐藏在传统的Wronskian技巧背后的一个重要性质是:以KdV方程为例，当i≠j时，ki和kj相互独立.即，ki不是kj的函数:ki≠ki(kj);并且kj也不是ki 的函数:kj≠kj(ki).许多其它孤立子方程如 KP 方程［5］、Boussinesq 方程［6］、AKNS 方程组［8］等也具有这样良好的性质，因此它们都能用传统的Wronskian 技巧来求解.然而，本文研究的(3+1)维Zakharov－Kuznetsov(ZK)方程却不具有这样良好的性质，那么人们又该如何获得这一类型方程的Wronskian形式解呢?为了解决上述两个难题，本文提出了一种新的Wronskian形式展开法，运用这一方法求得了(3+1)维Zakharov－Kuznetsov(ZK)方程的双孤子解、双三角函数解、Complexiton解、Matveev解和Jacobi椭圆函数解.1 W ronskian形式展开法和(3+1)维ZK方程的W ronskian解(3+1)维 Zakharov－Kuznetsov(ZK)方程为:因为这个方程与波动现象密切相关，所以它不断出现在众多物理学研究领域之中.由于(3+1)维ZK方程不能用反散射方法求解，于是人们通过各种方法［9－15］来研究它.其中刘宏准［15］指出林麦麦等［14］的结论是错误的:即(3+1)维ZK方程不具有双线性形式.通过Maple的验证程序，直接检验林麦麦等［14］的结论确实是错误的.这就进一步增加了求(3+1)维ZK方程多孤子解的难度.利用P ainlevé截断展开方法，可以得到(3+1)维ZK方程(4)如下形式的Bäcklund 变换:本文以二阶W ronskian行列式为例来说明W ronskian形式展开法，即f=W(φ1，φ2).如果我们取:那么利用变换(5)，可以得到(3+1)维ZK方程(4)具有如下形式的解:其中 ai，ki，li，ri，λi待定.现在把(7)式代入到(4)式，可以得到一个关于双曲函数的方程，然后进行约化，合并同幂次项，最后令它们的系数为零，则获得一个超定代数方程组，在吴文俊消元法［16］的帮助下，解此代数方程组，得到 ai，ki，li，ri，λi的值，再把该值代回到(7)式，我们就能获得双孤子解:和注1:本文所获得的所有解都被Maple程序验证过，确实是原始(3+1)维ZK方程(4)的解.注 2: 我们很容易地看到 k1、l1、r1、λ1 和 k2、l2、r2、λ2不是互相独立的，因此无论φi取什么函数，一般情况下f=W(φ1，φ2，…，φN)轻易不是(3+1)维ZK 方程(4)的解.所以用传统的 Wronskian技巧［5－8］不能获得(3+1)维 ZK 方程(4)的 Wronskian解.相似地，如果我们取:那么，利用上面的步骤，我们得到:和如果取:那么得 Complexiton 解［7］:如果取:那么得 Matveev解［17］:若取:则得到另一种类型的Matveev解:注3:我们也能获得高阶Wronskian形式解.例如，取:我们获得了三阶的Complexiton解:但是，Wronskian行列式阶数越高，利用吴文俊消元法解代数方程组就越困难.注4:求各种行波解对我们来说是一件非常容易的事.例如，仅仅取:其中snξ≡sn(ξ，m)是模数为 m的 Jacobi椭圆函数，则有:显然，我们的Wronskian形式展开法比以前求行波解的方法，比如:Jacobi椭圆函数展开法［18］、Tanh 函数展开法［19］、双曲函数展开法［20］、三角函数展开法［21］、指数函数展开法［22］、范子方程方法［23］、F ～展开法［24］、G'/G 展开法［25］、Riccati方程展开法［26］等等，更加高效，广泛. 注5:事实上，在该方法中，也可以取其它类型的函数得到其它类型的相互作用解，限于篇幅，我们不再一一列举.2 结论本文提出W ronskian形式展开法，通过这一方法求得了(3+1)维Zakharov－Kuznetsov(ZK)方程的双孤子解、双三角函数解、Complexiton解、Matveev解和Jacobi椭圆函数解.该方法也能应用到其它孤立子方程.3 验证解u1的M aple执行程序＞restart:＞ xi［1］:=(9):＞ xi［2］:=(10):＞u:=(8):＞ ZK:=diff(u，t)+6*u*diff(u，x)+diff(u，x$3)+3*diff(u，x，y$2)+3*diff(u，x，z$2):＞numer(ZK):＞simplify(%)参考文献:［1］ Ablowitz M J，Clarkson PA.Soliton，nonlinear evolution equations and inverse scattering［M］.Cambridge:Cambridge University Press，1991:40－87［2］ Matveev V B，Salle M A.Darboux transformations and solitons ［M］.Berlin:Springer－Verlag，1991:55 －79［3］Miura R M.Bäcklund transformation［M］.Berlin:Springer，1978:23 － 89［4］ Hirota R.Direct method in soliton theory［M］.Cambridge:Cambridge University Press，2004:80－120［5］ Freeman N C，Nimmo J J C.Soliton solutions of the korteweg－de vries and kadomtsev－petviashvili equations:thewronskian technique ［J］.Phys.Lett.A，1983(95):1－3［6］ Nimmo JJC，Freeman N C.A method of obtainning the soliton solution of the Boussinesq equation in terms of a Wronskain［J］.Phys.Lett.A，1983(95):4 －6［7］ MaW plexiton solutions to the Korteweg－de Vries equation ［J］.Phys.Lett.A，2002(301):35 －44［8］陈登远，张大军，毕金钵.AKNS方程的新双Wronskian解［J］.中国科学A辑:数学，2007(37):1335－1348［9］ Shukla P K.Nonlinear waves and structures in dusty plasmas ［J］.Phys.Plamas，2003(10):1619 － 1627［10］ Duan W S.Nonlinear waves propagating in the electrical transmission line［J］.Euro.Phys.Lett.，2004(66):192－197［11］ Li B，Chen Y，Zhang H Q.Exact travelling wave solutions for a generalized Zakharov－Kuznetsov equation［J］.Appl.Math.and Compu.，2003(146):653 －666［12］ Wazwaz A M.Nonlinear dispersive special type of the Zakharov－Kuznetsov equation ZK(n，n)with compact and noncom pact structures ［J］.Appl.Math.and Compu.，2005(161):577－590［13］ Wazwaz A M.Exact solutions with solitons and periodic structures for the Zakharov－Kuznetsov(ZK)equation and its modified form［J］.Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation，2005(10):597－606［14］林麦麦，段文山，吕克璞.(3+1)维ZK方程的N孤子解［J］.西北师范大学学报:自然科学版，2006(42):41－45［15］刘宏准.孤子理论若干问题研究［D］.浙江大学博士学位论文，2007:34－35［16］吴文俊.关于代数方程组的零点——Ritt原理的一个应用［J］.科学通报，1985，30(12):881－883［17］ Matveev V B.Generalized Wronskian formula for solutions of the KdV equations:first applications［J］.Phys.Lett.A，1992(166):205－208 ［18］刘式适，傅遵涛，刘式达，等.Jacobi椭圆函数展开法及其在求解非线性波动方程中的应用［J］.物理学报，2001(50):2068－2073［19］ MalflietW.Solitary wave solutions of nonlinear wave equations ［J］.Amer.J.Phys.，1992(60):650 －654［20］黄定江，张鸿庆.扩展的双曲函数法和Zakharov方程组的新精确孤立波解［J］.物理学报，2004(53):2434－2438［21］ Yan C T.A simple transformation for nonlinear waves［J］.Phys.Lett.A，1996(224):77－84［22］ He JH，Wu X H.Exp－function method for nonlinear wave equations［J］.Chaos，Solitons and Fractals，2006(30):700－708［23］ Zhang S，Xia T C.A further improved extended Fan sub－equation method and its application to the(3+1)－dimensional Kadomstev－Petviashvili equation［J］.Phys.Lett.A，2006(2):119－123［24］ Peng Y Z.Exact solutions for some nonlinear partial differential equations［J］.Phys.Lett.A，2003(314):401－408［25］李帮庆，马玉兰，徐美萍.(G'/G)展开法与高维非线性物理方程的新分形结构［J］.物理学报，2010(59):1409－1415［26］ Chen Y，Wang Q.Multiple Riccati equations rational expansion method and complexiton solutions of the Whitham－Broer－Kaup equation［J］.Phys.Lett.A，2005(4):215－227。
Analytical solution for the Zakharov-Kuznetso
Analytical solution for the Zakharov-Kuznetsov equations by differential transform methodSaeideh Hesam,Alireza Nazemi and Ahmad HaghbinAbstract—This paper presents the approximate analytical solution of a Zakharov-Kuznetsov ZK(m,n,k)equation with the help of the differential transform method(DTM).The DTM method is a powerful and efficient technique forfinding solutions of nonlinear equations without the need of a linearization process.In this approach the solution is found in the form of a rapidly convergent series with easily computed components.The two special cases,ZK(2,2,2)and ZK(3,3,3),are chosen to illustrate the concrete scheme of the DTM method in ZK(m,n,k)equations.The results demonstrate reliability and efficiency of the proposed method.Keywords—Zakharov-Kuznetsov equation,differential transform method,closed form solution.I.I NTRODUCTIONI N this paper the applied DTM is used to solve theZakharov-Kuznetsov ZK(m,n,k)equations of the formu t+a(u m)x+b(u n)xxx+c(u k)yyx=0,m,n,k=0,(1) where a,b,c are arbitrary constants and m,n,k are inte-gers.This equation governs the behavior of weakly nonlinear ion-acoustic waves in plasma comprising cold ions and hot isothermal electrons in the presence of a uniform magnetic field[1]-[2].The ZK equation wasfirst derived for describing weakly nonlinear ion-acoustic waves in strongly magnetized lossless plasma in two dimensions[3].Wazwaz[4]used extended tanh method for analytic treat-ment of the ZK equation,the modified ZK equation,and the generalized forms of these equations.Huang[5]applied the polynomial expansion method to solve the coupled ZK equations.Zhao et al.[6]obtained numbers of solitary waves, periodic waves and kink waves using the theory of bifurcations of dynamical systems for the modified ZK equation.Inc[7] solved nonlinear dispersive ZK equations using the Adomian decomposition method,and Biazar et al.[8]applied the ho-motopy perturbation method to solve the Zakharov-Kuznetsov ZK(m,n,k)equations.In the present work,we are concerned with the application of the DTM for the ZK equations.The DTM is a numerical method based on a Taylor expansion.This method constructs an analytical solution in the form of a polynomial.The concept of DTM wasfirst proposed and applied to solve linear and nonlinear initial value problems in electric circuit analysis by Saeideh Hesam and Alireza Nazemi(Corresponding author)are with the Department of Mathematics,School of Mathematical Sciences, Shahrood University of Technology,P.O.Box3619995161-316,Tel-Fax No:+98273-3392012,Shahrood,Iran.email:taranome2009@,e-mail:nazemi20042003@.Ahmad Haghbin is with the Department of Mathematics,Islamic Azad University of Ghorghan,Ghorghan,Iran.email: Ahmadbin@.[9].Unlike the traditional high order Taylor series method which requires a lot of symbolic computations,the DTM isan iterative procedure for obtaining Taylor series solutions. This method will not consume too much computer time when applying to nonlinear or parameter varying systems. This method gives an analytical solution in the form of a polynomial.But,it is different from Taylor series method that requires computation of the high order derivatives.The DTMis an iterative procedure that is described by the transformed equations of original functions for solution of differential equations.Recently,the application of DTM is successfully extended to obtain analytical approximate solutions to various linear and nonlinear problems.For instance see[10]-[16].The paper is organized as follows.In Section2,theoretical aspects of the method are discussed.In Section3,several examples with analytical solutions will be given to show the impressiveness of the suggested method.A proof of solution is exhibited in section4.Finally,conclusions are given in Section 5.II.D IFFERENTIAL TRANSFORM METHOD2.1Two-dimensional differential transformThe basic definition and the fundamental theorems of the DTM and its applicability for various kinds of differential equations are given in[17]-[20].For convenience of the reader,we present a review of the DTM.The differential transform function of the function w(x,y)is the following form:W(k,h)=1k!h,(2) where w(x,y)is the original function and W(k,h)is the transformed function.The inverse differential transform of W(k,h)is defined asw(x,y)=∞k=0∞h=0W(k,h)(x−x0)k(y−y0)h.(3) Combining Eq.(2)and Eq.(3),it can be obtained thatW(k,h)=∞k=0∞h=01k!h(x−x0)k(y−y0)h.(4)When(x0,y0)are taken as(0,0),the function w(x,y)in Eq. (4)is expressed as the followingW(k,h)=∞∞ 1k!hx k y h,(5)TABLE IT HE OPERATIONS FOR THE TWO -DIMENSIONAL DIFFERENTIAL TRANSFORM METHOD .Original functionTransformed functionw (x,y )=u (x,y )∓v (x,y ),W (k,h )=U (k,h )∓V (k,h )w (x,y )=αu (x,y )W (k,h )=αU (k,h )w (x,y )=∂u (x,y )∂x W (k,h )=(k +1)U (k +1,h )w (x,y )=∂u (x,y )∂y W (k,h )=(h +1)U (k,h +1)w (x,y )=∂(r +s )u (x,y )∂x r ∂y sW (k,h )=(k +1)(k +2)...(k +r )(h +1)(h +2)...(h +s )U (k +r,h +s )w (x,y )=u (x,y )v (x,y )W (k,h )=k r =0 hs =0U (r,h −s )V (k −r,s )w (x,y )=x m y n W (k,h )=δ(k −m,h −n )=δ(k −m )δ(h −n ),where δ(k −m )={1,k =m,h =n0,otherwisew (x,y )=∂u (x,y )∂x ∂v (x,y )∂yW (k,h )= k r =0 hs =0(k −r +1)(h −s +1)U (k −r +1,s )V (r,h −s +1)w (x,y )=u (x,y )v (x,y )z (x,y )W (k,h )= k r =0 k −r t =0h s =0 h −s p =0U (r,h −s −p )V (t,s )Z (k −r −t,p )w (x,y )=u (x,y )∂v (x,y )∂x ∂z (x,y )∂x W (k,h )= k r =0 k −r t =0 h s =0h −sp =0(t +1)(k −r −t +1)U (r,h −s −p )V (t +1,s )Z (k −r −t +1,p )w (x,y )=u (x,y )∂v 2(x,y )∂x 2W (k,h )=kr =0hs =0(k −r +2)(k −r +1)U (r,h −s )V (k −r +2,s )w (t )=t W (k )=δ(k −1)w (x,y )=x m e at W (k,h )=a hh !δ(k −m ).w (x,y )=e y −xW (k,h )=1h h !(−1)k k !and Eq.(3)is shown asw (x,y )=∞ k =0∞ h =0W (k,h )x k y h .(6)In real applications,the function w (x,y )by a finite seriesof Eq.(6)can be written asw (x,y )=n k =0m h =0W (x,y )x k y h .(7)The fundamental mathematical operations performed by two dimensional differential transform method can readily be ob-tained and are listed in Table 1.2.2Three-dimensional differential transformBy using the same theory as in two-dimensional differential transform,we can reach the three-dimensional case.The basic definitions of the three-dimensional differential transform are shown as below.Given a w function which has three components such as x,y,t.Three-dimensional differential transform function of the function w (x,y,t )is definedW (k,h,m )=1[∂(k +h +m )W (x,y,t )](0,0,0),(8)where w (x,y,t )is the original function and W (k,h,m )is thetransformed function.The inverse differential transform of W (k,h,m )is defined asw (x,y,t )=∞k =0∞ h =0∞ m =0W (k,h,m )x k y h t m ,(9)and from Eqs.(8)and (9)can be concludedw (x,y,t )=∞k =0∞ h =0∞ m =01k !h !m x k y h t m .(10)The fundamental mathematical operations performed by threedimensional differential transform method are listed in Table 2.III.N UMERICAL RESULTSIn this part,DTM will be applied for solving two spe-cial equations,namely ZK(2,2,2)and ZK(3,3,3)with specific initial conditions.The results reveal that the method is very effective and simple.Example 3.1:We consider the following ZK(2,2,2)equa-tion:u t −(u 2)x +18(u 2)xxx +18(u 2)yyx =0,(11)the exact solution to Eq.(11)subject to the initial condition u (x,y,0)=43λsinh 2(12(x +y )),(12)where λis an arbitrary constant.Using the DTM,we obtain the following relations:(m +1)U (k,h,m +1)+2kr =0h s =0m p =0(k −r +1)U (r,h −s,m −p )U (k −r +1,s,p )+34kr =0hs =0mp =0(r +1)U (r +1,h −s,m −p )(k −r +1)(k −r +2)U (k −r +2,s,p )+14kr =0h s =0mp =0U (r,h −s,m −p )TABLE IIT HE OPERATIONS FOR THE THREE -DIMENSIONAL DIFFERENTIAL TRANSFORM METHOD .Original functionTransformed functionw (x,y,t )=u (x,y,t )∓v (x,y,t )W (k,h,m )=U (k,h,m )∓V (k,h,m )w (x,y,t )=αu (x,y,t )W (k,h,m )=αU (k,h,m )w (x,y,t )=∂u (x,y,t )∂x W (k,h,m )=(k +1)U (k +1,h,m )w (x,y,t )=∂u (x,y,t )∂y W (k,h,m )=(h +1)U (k,h +1,m )w (x,y,t )=∂u (x,y,t )∂tW (k,h,m )=(m +1)U (k,h,m +1)w (x,y,t )=∂(r +s +p )u (x,y,t )∂x r ∂y s ∂t pW (k,h,m )=(k +1)(k +2)...(k +r )(h +1)(h +2)...(h +s )(m +1)(m +2)...(m +p )U (k +r,h +s,m +p )w (x,y,t )=u (x,y,t )v (x,y,t )W (k,h,m )= k r =0 h s =0 m p =0U (r,h −s,m −p )V (k −r,s,p )w (x,y,t )=u (x,y,t )v (x,y,t )q (x,y,t )W (k,h,m )= k r =0k −r t =0 hs =0 h −s p =0 m q =0m −qn =0U (r,h −s −p,m −q −n )V (t,s,q )Q (k −r −t,p,n )w (x,y,t )=∂u (x,y,t )∂x ∂v (x,y,t )∂yW (k,h,m )=k r =0h s =0mp =0(k −r +1)(h −s +1)U (k −r +1,s,p )V (r,h −s +1,m −p )(k −r +1)(k −r +2)(k −r +3)U (k −r +3,s,p )+12kr =0h s =0mp =0(h −s +1)U (r,h −s +1,m −p )(s +1)(k −r +1)U (k −r +1,s +1,p )+14kr =0h s =0mp =0(r +1)U (r +1,h −s,m −p )(s +1)(s +2)U (k −r,s +2,p )+14k r =0h s =0mp =0U (r,h −s,m −p )(k −r +1)(s +1)(s +2)U (k −r +1,s +2,p )=0,(13)andU (k,h,0)=−23λδ(k )δ(h )+13(−1)k (−1)h k !h !λ+131k !h !λ.(14)Substituting Eq.(14)into Eq.(13)and by a recursive method,the results are listed as follows:If k +h +m =odd,U (k,h,m )=0,except U (0,0,0)=0,OtherwiseU (2,0,0)=λ3,U (1,1,0)=2λ3,U (0,2,0)=λ3,U (2,2,0)=λ6,...U (1,0,1)=−2λ23,U (0,1,1)=−2λ23,U (2,1,1)=−λ23,U (1,2,1)=−λ23,...U (0,0,2)=λ33,U (2,0,2)=λ36,U (1,1,2)=λ33,U (0,2,2)=λ36,U (2,2,2)=λ312,...Consequently substituting all U (k,h,m )into Eq.(9)and aftersome manipulations,we obtain the closed form series solutionasu (x,y,t )=∞ k =0∞ h =0∞ m =0U (k,h,m )x k y h t m =43λsinh 2(12(x +y −λt )),which is the exact solution of this problem.Example 3.2:Now we consider the ZK(2,2,2)equation:u t −(u 2)x +18(u 2)xxx +18(u 2)yyx =0,(15)the exact solution to Eq.(15)subject to the initial conditionu (x,y,0)=−43λcosh 2(12(x +y )),(16)where λis an arbitrary constant.Employing the DTM,we obtain the following relations:(m +1)U (k,h,m +1)+2k r =0h s =0m p =0(k −r +1)U (r,h −s,m −p )U (k −r +1,s,p )+34kr =0hs =0mp =0(r +1)U (r +1,h −s,m −p )(k −r +1)(k −r +2)U (k −r +2,s,p )+14k r =0h s =0mp =0U (r,h −s,m −p )(k −r +1)(k −r +2)(k −r +3)U (k −r +3,s,p )+12kr =0h s =0mp =0(h −s +1)U (r,h −s +1,m −p )(s +1)(k −r +1)U (k −r +1,s +1,p )+14kr =0h s =0mp =0(r +1)U (r +1,h −s,m −p )(s +1)(s +2)U (k −r,s +2,p )+14kr =0h s =0mp =0U (r,h −s,m −p )(k −r +1)(s +1)(s+2)U(k−r+1,s+2,p)=0,(17) andU(k,h,0)=−23λδ(k)δ(h)−13(−1)k(−1)hλ−131λ.(18)Substituting Eq.(18)into Eq.(17)and by a recursive method,the results are listed as follows:If k+h+m=odd,U(k,h,m)=0,OtherwiseU(0,0,0)=−4λ3,U(2,0,0)=−λ3,U(1,1,0)=−2λ3,U(0,2,0)=−λ3,U(2,2,0)=−λ6,...U(1,0,1)=2λ23,U(0,1,1)=2λ23,U(2,1,1)=λ23,U(1,2,1)=λ2 3,...U(0,0,2)=−λ33,U(2,0,2)=−λ36,U(1,1,2)=−λ33,U(0,2,2)=−λ36,U(2,2,2)=−λ312,...Consequently substituting all U(k,h,m)into Eq.(9)we achieve the closed form series solution asu(x,y,t)=∞ k=0∞h=0∞m=0U(k,h,m)x k y h t m=−43λcosh2(12(x+y−λt)),which is the exact solution of the problem.Example 3.3:Consider the ZK(3,3,3)equation in the following form:u t−(u3)x+2(u3)xxx+2(u3)yyx=0,(19) subject to the initial condition:u(x,y,0)=3λ2Sinh16(x+y),(20)whereλis an arbitrary constant.Utilizing the DTM,we attain(m+1)U(k,h,m+1)+3kr=0k−rt=0hs=0h−sp=0mq=0m−qn=0(k−r−t+1)U(r,h−s−p,m−q−n)U(t,s,q)U(k−r−t+1,p,n)−12kr=0k−rt=0hs=0h−sp=0mq=0m−qn=0(r+1)U(r+1,h−s−p,m−q−n)(t+1)U(t+1,s,q)(k−r−t+1)U(k−r−t+1,p,n)−36kr=0k−rt=0hs=0h−sp=0mq=0m−qn=0U(r,h−s−p,m−q−n) (t+1)U(t+1,s,q)(k−r−t+2)(k−r−t+1)U(k−r−t+2,p,n)−6kr=0k−rt=0hs=0h−sp=0mq=0m−qn=0U(r,h−s−p,m−q−n)U(t,s,q) (k−r−t+3)(k−r−t+2)(k−r−t+1)U(k−r−t+3,p,n)−12kr=0k−rt=0hs=0h−sp=0mq=0m−qn=0(r+1) U(r+1,h−s−p,m−q−n)(s+1)U(t,s+1,q)(p+1)U(k−r−t,p+1,n)−24kr=0k−rt=0hs=0h−sp=0mq=0m−qn=0U(r,h−s−p,m−q−n)(s+1) U(t,s+1,q)(k−r−t+1)(p+1)U(k−r−t+1,p+1,n)−12kr=0k−rt=0hs=0h−sp=0mq=0m−qn=0U(r,h−s−p,m−q−n) (t+1)U(t+1,s,q)(p+2)(p+1)U(k−r−t,p+2,n)−6kr=0k−rt=0hs=0h−sp=0mq=0m−qn=0U(r,h−s−p,m−q−n)U(t,s,q) (p+3)(p+2)(p+1)U(k−r−t,p+3,n)=0,(21)andU(k,h,0)=−1232√−16k−16hk!h!−16k16hk!h!.(22)Substituting Eq.(22)into Eq.(21),the results are summa-rized as follows:If k+h+m=even,U(k,h,m)=0,OtherwiseU (1,0,0)=√λ2√6,U (0,1,0)=√λ2√6,U (2,1,0)=√λ144√6,U (1,2,0)=√λ144√6,...U (0,0,1)=−λ322√6,U (2,0,1)=−λ32144√6,U (1,1,1)=−λ3272√6,U (0,2,1)=−λ32144√6,U (2,2,1)=−λ52144√6,...U (1,0,2)=λ52144√6,U (0,1,2)=λ52144√6,U (2,1,2)=λ5210368√6,U (1,2,2)=λ5210368√6,...Consequently substituting all U (k,h,m )into Eq.(9)and aftersome manipulations,we obtain the closed form series solution asu (x,y,t )= 3λ2Sinh 16(x +y −λt ),which is the exact solution of the problem.Example 3.4:Finally,we exam the following ZK (3,3,3)equation:u t −(u 3)x +2(u 3)xxx +2(u 3)yyx =0,(23)subject to the initial condition:u (x,y,0)= −3λ2Cosh 16(x +y ),(24)where λis an arbitrary constant.Using the DTM,we have(m +1)U (k,h,m +1)+3k r =0k −r t =0h s =0h −s p =0m q =0m −qn =0(k −r −t +1)U (r,h −s −p,m −q −n )U (t,s,q )U (k −r −t +1,p,n )−12k r =0k −r t =0h s =0h −s p =0m q =0m −qn =0(r +1)U (r +1,h −s −p,m −q −n )(t +1)U (t +1,s,q )(k −r −t +1)U (k −r −t +1,p,n )−36k r =0k −r t =0h s =0h −s p =0m q =0m −qn =0U (r,h −s −p,m −q −n )(t +1)U (t +1,s,q )(k −r −t +2)(k −r −t +1)U (k −r −t +2,p,n )−6k r =0k −r t =0h s =0h −s p =0m q =0m −qn =0U (r,h −s −p,m −q −n )U (t,s,q )(k −r −t +3)(k −r −t +2)(k −r −t +1)U (k −r −t +3,p,n )−12k r =0k −r t =0h s =0h −s p =0m q =0m −q n =0(r +1)U (r +1,h −s −p,m −q −n )(s +1)U (t,s +1,q )(p +1)U (k −r −t,p +1,n )−24k r =0k −r t =0h s =0h −s p =0m q =0m −qn =0U (r,h −s −p,m −q −n )(s +1)U (t,s +1,q )(k −r −t +1)(p +1)U (k −r −t +1,p +1,n )−12k r =0k −r t =0h s =0h −s p =0m q =0m −qn =0U (r,h −s −p,m −q −n )(t +1)U (t +1,s,q )(p +2)(p +1)U (k −r −t,p +2,n )−6k r =0k −r t =0h s =0h −s p =0m q =0m −qn =0U (r,h −s −p,m −q −n )U (t,s,q )(p +3)(p +2)(p +1)U (k −r −t,p +3,n )=0,(25)andU (k,h,0)=12−32λ −16k −16hk !h !+16k 16h k !h !.(26)Substituting Eq.(26)into Eq.(25)and by recursive method,the result is listed as follows:If k +h +m =odd,U (k,h,m )=0,OtherwiseU (0,0,0)=−3λ2,U (2,0,0)=√−λ24√6,U (1,1,0)=−√−λ12√6,U (0,2,0)=√−λ24√6,U (2,2,0)=√−λ1728√6,...U (1,0,1)=(−λ)3/212√6,U (0,1,1)=(−λ)3/212√6,U (2,1,1)=(−λ)3/2864√6,U (1,2,1)=(−λ)3/2864√6,...U (0,0,2)=(−λ)5/224√6,U (2,0,2)=(−λ)5/21728√6,U (1,1,2)=(−λ)5/2864√6,U (0,2,2)=(−λ)5/21728√6,U (2,2,2)=(−λ)5/2124416√6,...Consequently substituting all U (k,h,m )into Eq.(9)and after some manipulations,we obtain the closed form series solution asu (x,y,t )= −3λ2Cosh 16(x +y −λt ),which is the exact solution of the problem.IV.P ROOF OF SOLUTIONA Mathematica program is given as an example to verify that u (x,y,t )solutions of the Eq.(1),is as follows:If a =1thenu = 2λn Sin 12 a n −1 (x +y −λt )2 1n −1,Simplify [D [u,t ]−D u 3,x +2D u 3,{y,2},{x,1} +2D u 3,{x,3} ].If a =−1thenu = 2λn a (n +1)Sinh 12 a b +c n −1n(x +y −λt )2 1n −1,Simplify [D [u,t ]−D u 3,x +2D u 3,{y,2},{x,1} +2D u 3,{x,3} ].V.C ONCLUSIONIn this work,we have successfully developed DTM to obtain an approximation to the solution of the Zakharov equation.It is apparent that this method is a very influential and efficient technique.There is no need for linearization or perturbations;large computational work and round-off errors are avoided.The results obtained demonstrate the reliability of the algorithm and its applicability to some partial differential equations.It provides more realistic series solutions that converge very rapidly in real physical problems.It may be also concluded that DTM is very powerful and reliable in finding analytical as well as numerical solutions for wide classes of nonlinear differential equations.R EFERENCES[1]S.Monro,E.J.Parkes,The derivation of a modified ZakharovKuznetsovequation and the stability of its solutions,Journal of Plasma Physics,62(3)(1999)305–317.[2]S.Monro,E.J.Parkes,Stability of solitary-wave solutions to a modifiedZakharovKuznetsov equation,Journal of Plasma Physics,64(3)(2000)411–426.[3]V .E.Zakharov,E.A.Kuznetsov,On three-dimensional solitons,SovietPhysics,39(1974)285-288.[4] A.M.Wazwaz,The extended tanh method for the Zakharov-Kuznetsov(ZK)equation,the modified ZK equation,and its generalized forms,Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation ,13(2008)1039–1047.[5]W.Huang,A polynomial expansion method and its application inthe coupled Zakharov-Kuznetsov equations,Chaos Solitons Fractals 29(2006)365–371.[6]X.Zhao,H.Zhou,Y .Tang,H.Jia,Travelling wave solutions for modifiedZakharov-Kuznetsov equation,Applied Mathematics and Computation,181(2006)634–648.[7]M.Inc,Exact solutions with solitary patterns for the Zakharov-Kuznetsovequations with fully nonlinear dispersion,Chaos Solitons Fractals 33(15)(2007)1783-1790.[8]J.Biazar,F.Badpeimaa,F.Azimi,Application of the homotopy pertur-bation method to Zakharov-Kuznetsov equations,Computers and Math-ematics with Applications 58(2009)2391–2394.[9]X.Zhou,Differential Transformation and its Applications for ElectricalCircuits .Huazhong University Press,Wuhan,China,1986(in Chinese).[10]L.Zou,Z.Zong,Z.Wang,S.Tian,Differential transform method forsolving solitary wave with discontinuity,Physics Letters A,374(2010)3451–3454.[11] D.Nazari,S.Shahmorad,Application of the fractional differentialtransform method to fractional-order integro-differential equations with nonlocal boundary conditions,Journal of Computational and Applied Mathematics,234(2010)883–891.[12]M.Thongmoon,S.Pusjuso,The numerical solutions of differentialtransform method and the Laplace transform method for a system of differential equations,Nonlinear Analysis:Hybrid Systems,4(2010)425–431.[13]J.Biazar,M.Eslami,Analytic solution for Telegraph equation bydifferential transform method,Physics Letters A,374(2010)2904–2906.[14]V .S.Ert ¨u rk,S.Momani,Z.Odibat,Application of generalized differ-ential transform method to multi-order fractional differential equations,Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation,13,(2008)1642–1654.[15] A.Al-rabtah,V .S.Ert ¨u rk,S.Momani,Solutions of a fractional oscillatorby using differential transform method,Computers &Mathematics with Applications,59(2010)1356–1362.[16]M.Kurulay,M.Bayram,Approximate analytical solution for the frac-tional modified KdV by differential transform method,Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation,15(2010)1777–1782.[17] C.K.Chen,S.H.Ho,Solving partial differential equations by two di-mensional differential transform,Applied Mathematics and Computation,106(1999)171-179.[18]M.J.Jang,C.L.Chen,Y .C.Liu,Two-dimensional differential transformfor partial differential equations,Applied Mathematics and Computation,121(2001)261-270.[19] F.Ayaz,On the two-dimensional differential transform method,AppliedMathematics and Computation,143(2003)361–374.[20] F.Ayaz,Solutions of the system of differential equations by differentialtransform method,Applied Mathematics and Computation,147(2004)547-567.。
Zakharov-Kuznetsov方程的精确分式解
Zakharov-Kuznetsov方程的精确分式解
刘常福;李世云;林清梅
【期刊名称】《文山学院学报》
【年(卷),期】2008(021)004
【摘要】文章综合应用试探函数法,借助Maple软件,获得了Zakharov-Kuznetsov方程的精确分式解,包括有理函数解、三角函数周期解、孤立波解、Jacobi椭圆函数双周期解.并对部分解给出了数字图像.
【总页数】3页(P89-91)
【作者】刘常福;李世云;林清梅
【作者单位】文山师范高等专科学校数理系,云南,文山,663000;文山师范高等专科学校数理系,云南,文山,663000;文山师范高等专科学校数理系,云南,文山,663000【正文语种】中文
【中图分类】O174
【相关文献】
1.（2＋1）维扩展Zakharov-Kuznetsov方程的对称、约化和精确解 [J], 李康;刘希强;
2.（2+1）维扩展Zakharov-Kuznetsov方程的对称、约化和精确解 [J], 李康;刘希强
3.(2+1)维扩展Zakharov-Kuznetsov方程的对称、r约化和精确解 [J], 李会会;刘希强
4.广义(3+1)维Zakharov-Kuznetsov方程的r对称约化、精确解和守恒律 [J],
张丽香;刘汉泽;辛祥鹏
5.改进的Zakharov-Kuznetsov方程的精确分式解 [J], 刘常福;戴正德;林清梅因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
(2+1)维扩展Zakharov-Kuznetsov方程的对称、r约化和精确解
(2+1)维扩展Zakharov-Kuznetsov方程的对称、r约化和精确解李会会;刘希强【摘要】应用经典李群方法得到了扩展Zakharov-Kuznetsov方程的对称和约化方程.通过求解得到的约化方程,结合(G′/G)展开方法、幂级数解法以及Riccati辅助函数法,求出了该方程的一些精确解,包括行波解、有理函数解、幂级数解等.最后,通过对称,进一步求出了该方程的守恒律.【期刊名称】《聊城大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2017(030)004【总页数】8页(P1-7,32)【关键词】扩展Zakharov-Kuznetsov方程;经典李群方法;精确解;守恒律【作者】李会会;刘希强【作者单位】聊城大学数学科学学院 ,山东聊城 252059;聊城大学数学科学学院 ,山东聊城 252059【正文语种】中文【中图分类】O175.20 引言科学技术的迅速发展, 使得人们对自然现象的了解不断地深入. 许多学者在自然科学与工程技术等许多领域提出了大量具有重要意义的非线性数学模型, 用以描述相关领域的复杂现象. 由于非线性发展方程在工程技术、物理、化学等领域中应用越来越广泛, 而非线性发展方程的精确解在分析各种物理现象中发挥着非常重要的作用, 因此非线性发展方程的求解就成为了数学家和物理学家研究的重要课题之一. 经过众多学者多年研究, 已经发展了许多不同的有效的求解方法, 例如反散射法[1], Painlevé截断分析方法[2], 指数函数展开法[3,4], 经典李群方法[5,6], Jacobi椭圆函数展开法[7,8], 齐次平衡法[9], tanh函数展开法[10,11], Hirota方法[12], (G′/G)展开方法[13]等. 利用这些方法, 可以得到非线性发展方程丰富的精确解, 如孤立波解、周期解、紧致类解等. 其中, 经典李群方法是研究非线性偏微分方程的有力工具之一. 本文运用经典李群方法对下述扩展Zakharov-Kuznetsov方程进行分析研究ut+uux+u2ux+uxxx+uxyy=0.(1)非线性Zakharov-Kuznetsov (ZK)方程是Korteweg-de-Vries (KdV)方程在二维空间的一种推广形式. KdV方程是荷兰科学家Korteweg及其学生de Vries于1894年提出的, 该方程是用以描述潜水波单向运动的数学模型; 继而Zakharov和Kuznetsov为了描述均匀磁场中由冷离子和热等温电子组成的等离子体弱非线性离子声波, 于1974年提出ZK方程作为相应的物理模型. 文献[14]利用推广的(w/g)展开法, 研究了(2+1)维ZK方程, 得到了单循环孤立子解、三角函数解等; 文献[15]利用改进的Riccati方程映射法, 得到了(2+1)维ZK方程的新显示精确解, 并研究了其特殊孤子结构.本文主要分为以下几部分: 第1部分, 借助经典李群方法求出方程(1)的李点对称以及群不变解; 第2部分, 通过解特征方程组, 求出了方程(1)的相似约化方程, 并结合幂级数展开法、(G′/G)展开法和Riccati辅助函数法求出一些精确解; 第3部分, 利用得出的对称, 得到了该方程的伴随方程和守恒律; 最后, 对本文做出简要的总结.1 扩展Zakharov-Kuznetsov方程的对称和群不变解考虑一个单参数李群的无穷小变换x→x+εξ(x,y,t,u),y→y+εη(x,y,t,u),t→x+ετ(x,y,t,u),u→x+εφ(x,y,t,u),其中ε是无穷小参数. 上述变换群的单参数向量场表示为如下形式:(2)其中ξ(x,y,t,u),η(x,y,t,u),τ(x,y,t,u),φ(x,y,t,u)是待定的系数函数.根据李群理论, 若向量场(2)是方程(1)的李点对称, 则V必须满足以下条件Pr(3)V(Δ)|Δ=0=0,其中Pr(3)V是V的三阶延拓,且其中Δ=ut+uux+u2ux+uxxx+uxyy.因此利用可以得到φt+(u+u2)φx+(1+2u)uxφ+uxxx+φxyy=0.利用李群方法可以得到:(3)其中ci(i=1,2,3,4)是任意常数, 由此可得到方程(1)的不变群的生成元为(4)同时也能够得到方程(1)的相似对称(5)根据李群分析, 方程(1)的所有向量场可以表示为不变群的全体生成元构成一个四维李代数V1V2V3V4V1016V4-V2-13V3-13V4V2-16V4+V2000V313V3000V413V4000 与它们相应的单参数变换群g1∶(x,y,t,u)→(x,y,t+ε,u);g1∶(x,y,t,u)→(x,y+ε,t,u);g1∶(x,y,t,u)→(x+ε,y,t,u).由上述单参数不变群可知, 如果u(x,y,t)是方程(1)的解, 则以下u(1),u(2),u(3),u(4)也是方程(1)的解u(2)=u(x,y,t-ε);u(3)=u(x,y-ε,t);u(4)=u(x-ε,y,t);其中ε是任意常数.2 扩展Zakharov-Kuznetsov方程的相似约化和精确解利用方程(1)和σ=0的相容性, 对方程(1)的进行相似约化, 并进一步求得该方程的精确解. 为了获取方程(1)的不变解, 考虑方程(1)对称所对应的特征方程组(6)下面分情况讨论情况1 若c1≠0,c2=c3=c4=0,通过求解相应的特征方程, 可得如下的相似变换将其代入方程(1)得到相似约化方程-f+ηfη-ξfξ+3f2fξ+3fξξξ+3fξηη=0.(7)首先对上面方程作行波变换f(ξ,η)=f(ω),ω=kξ+lη,并代入(7)式中得-f+lηf′-kξf′+3kf2f′+3k3f‴+3kl2f‴=0.对上式进行整理f‴+k1f2f′-k2ωf′-k2f=0,(8)其中下面利用幂级数展开方法求解方程(8). 假设方程(8)有下述形式的解(9)由方程(9), 可以得到f‴(10)把方程(10)代入方程(8), 得到(11)比较系数, 得到一般地, 当n≥1时, 可以得到(12)事实上, 方程(7)的解为(13)即可得到方程(1)的精确解.情况2 若c1=0,c2≠0,c3≠0,c4≠0,通过解相应的特征方程可得将其代入到方程(1)得到约化方程(14)作行波变换f(ξ,η)=f(ω),ω=kξ+lη,并将其代入(14)式中得‴+kl2f‴=0,其中k,l是任意非零常数. 对上式关于ω积分一次, 且令积分常数为C得(15)为求方程(15)的解, 下面应用(G′/G)展开方法进行求解, 假设方程(15)有如下形式的解(16)其中αn≠0,αn为待定常数, 同时G=G(ω)满足G″+λG′+μG=0.由齐次平衡原理, 可以确定m=1,故方程(15)有如下形式的解(17)将(17)式代入(15)式, 同时结合G满足的方程, 合并(G′/G)的各阶偏导数的同次幂项，并令其系数为零, 可得其中k,l,λ是任意常数, 且α1满足所以(16)式可表示为(18)现在将(17)式的解代入(18)可得到方程(1)的三种形式的行波解:当λ2-μ>0时其中C1,C2为任意常数.若C2=0,此时的u11可以转化为扭结孤立波解其中当λ2-μ=0时,当λ2-μ<0时,若C2=0,此时的u14可以转化为其中情况3 若c1=c4=0,c2≠0,c3≠0,通过解对应的特征方程,得到将其代入到方程(1), 得到相似约化方程(19)利用Riccati辅助方程求解上式. 作行波变换f(ξ,η)=f(ω),ω=kξ+lη,将其代入到方程(19)中, 得到如下变系数微分方程‴+kl2f‴=0,(20)其中k,l是任意常数. 通过平衡方程(20)中最高阶导数项以及非线性项, 可以得到方程(20)应该有如下形式的解：f=q0+q1Ψ(ω)+q-1Ψ-1(ω),(21)其中Ψ=Ψ(ω)满足Riccati辅助方程Ψ′=h0+h1Ψ+h2Ψ2,(22)其中q0,q1,q-1是待定常数,h0,h1,h2是任意常数. 将式(21)、(22)代入式(20), 令Ψ的同次幂项的系数为零, 可得下面四种情况:第一组:第二组:第三组:第四组:其中A满足(6k2+6l2)A2+1=0;B满足B2+6k2+6l2=0.由此可以得到在这里, 我们以第四组数据为例对方程进行求解：当时,则方程(1)的解为其中为任意常数.3 扩展Zakharov-Kuznetsov方程的守恒律守恒律在非线性数学物理科学中有着广泛的应用, 同时它在分析非线性数学物理量的稳定性和存在唯一性起着十分重要的作用. 在这一部分, 利用方程(1)以及对应的伴随方程和对称, 对方程(1)的守恒律进行研究. 方程(1)的共轭方程vt+uvx+vux+u2vx+2uvux+vxxx+vxyy=0.(23)最高阶拉氏量为:L=v(ut+uux+u2ux+uxxx+uxyy).(24)定理1 每个李点对称、李贝克隆变换和方程(1)的对称都给出了扩展的Zakharov-Kuznetsov方程及其共轭方程的一个守恒律,且守恒向量由下式给出其中由Ibragimov[16]给出的结论, 方程向量场的通式.V=ξ1(x,y,t,u)+ξ2(x,y,t,u)+ξ3(x,y,t,u)+η1(x,y,t,u),则方程(1)的守恒律将由守恒方程Dt(C1)+Dx(C2)+Dy(C3)=0决定, 其中向量场C=(C1,C2,C3)由下面的式子决定由对称可得从而上述守恒向量C=(C1,C2,C3)包含着共轭方程(23)的任意解, 因此以上守恒向量给出了方程(1)的无穷多个守恒律.4 结论本文中利用李群方法得到了扩展Zakharov-Kuznetsov方程的对称, 并利用对称得到了该方程的相似约化方程, 将(2+1)维偏微分方程直接约化常微分方程以及(1+1)维偏微分方程. 通过利用齐次平衡法, 再结合幂级数展开法、(G′/G)展开法和Riccati辅助函数法, 求解约化方程, 得到了原方程大量的精确解, 其中有包含幂级数解、行波解等. 这表明这几种方法是实用有效的, 我们以后更应该多加采用. 最后, 利用得到的对称以及共轭方程, 获取了该方程的守恒律.参考文献【相关文献】[1] Aktosun T. Solitons and inverse scattering transform [J]. Contemporary Mathematics, 2005, 379:47.[2] Hirota R, Satsuma J. Soliton solutions of a coupled Korteweg-de Vries equation[J], Phy Lett A,1981,85:407-408.[3] He J H, Wu X H. Exp-function method for nonlinear wave equation [J]. Chaos Solitons and Fractals, 2006, 3: 700-708.[4] Wadati M. Wave propagation in nonlinear lattice II [J]. Phys Soc Jpn, 1975, 38: 681-686.[5] Chen M, Liu X Q, Wang M. Exact solutions and conservation laws of symmetric regularized long wave equations[J]. Chinese Journal of Quantum Electronics, 2011, 29(1): 21-26.[6] 田畴. 李群及其在微分方程中的应用[M]. 北京: 科学出版社, 2001.[7] Zhao X Q, Zhi H Y, Zhang H Q, et al. Improved Jacobi-function method with symbolic computation to construct new double-periodic solutions for the generalized Ito system[J]. Chaos, Solitions and Fractals, 2006, 28(1): 112-126.[8] Zhang H Q. Extended Jacobi elliptic function expansion method and its applications[J]. Commun Nonlinear Sci Numer Simul, 2007, 12(5): 627-635.[9] 张辉群. 齐次平衡方法的扩展及应用[J]. 数学物理学报, 2001, 21(3): 321-325.[10] 李德生, 张鸿庆. 构造孤子方程的Weierstrass 椭圆函数解的一个新方法[J]. 物理学报, 2005, 54(12): 5540-5543.[11] Wazwaz A M. The extended tanh method for the Zakharov-Kuznetsov (ZK) equation, the modified ZK equation, and its generalized forms[J]. Commun Nonlinear Sci Numer Simul, 2008, 13(16): 1 039-1 047.[12] Hriota R, Satsuma J. A variety of nonlinear network equations generated from theBäcklund transformatio n for the Toda lattice[J]. Progress of Theoretical Physics Supplement, 1975, 59: 64-100.[13] Wang M L, Li X Z, Zhang J. The(G′/G) expansion method and travelling solutions of nonlinear evolution equations in mathematical physics[J]. Physics Letters A, 2008,372(4):417-423.[14] 王振立, 李康. (w/g)展开法求解(2+1)维ZK方程的显示解[J]. 聊城大学学报: 自然科学版, 2014, 27(2): 13-17.[15] 杨征, 马松华, 方建平.(2+1)维Zakharov-Kuznetsov方程的精确解和孤子结构[J]. 物理学报, 2011, 60(4):92-96.[16] Ibragimov N H. A new conservation theorem[J]. Journal of Mathematical Analysis Applications, 2007, 333(1):311-328.。
变系数Zakharov-Kuznetsov方程的类周期孤波解
变系数Zakharov-Kuznetsov方程的类周期孤波解
刘芝镗;斯仁道尔吉
【期刊名称】《应用数学》
【年(卷),期】2018(31)1
【摘要】借助Maple符号计算系统,在(2+1)维变系数Zakharov-Kuznetsov方程双线性形式的基础上,引入新的测试函数推广拓展同宿试验法而给出(2+1)维变系数Zakharov-Kuznetsov方程的几种精确解,其中包含类周期孤波解、类孤波解和类周期波解.
【总页数】5页(P55-59)
【关键词】非线性微分方程;(2+1)维变系数Zakharov-Kuznetsov方程;精确解;拓展同宿试验法
【作者】刘芝镗;斯仁道尔吉
【作者单位】内蒙古师范大学数学科学学院
【正文语种】中文
【中图分类】O175.29
【相关文献】
1.(2+1)维变系数广义Kadomtsev-Petviashvili方程的类孤波解 [J], 陈凤娟;张解放
2.变系数广义KdV方程新的类孤波解和解析解 [J], 毛杰健;杨建荣;董添文
3.两类变系数KdV方程的新精确孤波解 [J], 杨先林;唐驾时
4.变系数广义KdV方程新的类孤波解和精确解 [J], 毛杰健;杨建荣
5.变系数KP方程新的类孤波解和解析解 [J], 毛杰健;杨建荣
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
Yu-Toda-Sasa-Fukuyama方程的对称、约化和精确解
Yu-Toda-Sasa-Fukuyama方程的对称、约化和精确解刘勇;刘希强【摘要】利用经典李群法得到了YTSF方程的对称、约化，通过解约化方程得到了该方程的一些精确解，其中包括双曲函数解、三角函数解、有理函数解、Jacobi 椭圆函数解等。
%Using the classical Lie group method,the symmetries and the reductions of (3 +1 )-Dimensional Yu-Toda-Sasa-Fukuyama (YTSF for short)equation are obtained.At the same time,a great many of solutionsare derived by solving the reduction equations, including the rational functions,hyperbolic functions,the trigonometric functions,Jacobi elliptic function and so on.【期刊名称】《昆明学院学报》【年(卷),期】2014(000)003【总页数】6页(P9-14)【关键词】经典李群法;YTSF方程;对称;约化;精确解【作者】刘勇;刘希强【作者单位】聊城大学数学科学学院，山东聊城252059;聊城大学数学科学学院，山东聊城252059【正文语种】中文【中图分类】O175.2随着科技的发展，人们发现非线性发展方程可以广泛的描述众多领域的复杂现象，如物理学、化学等．因此，越来越多的研究者致力于找寻解决非线性发展方程的方案，并且提出了许多有效方法，如扩展的Tanh函数展开法[1-2]、F-函数展开法[3]、指数函数展开法方法[4]、Jacobi椭圆函数展开法[5]、齐次平衡方法[6]、经典和非经典李群方法[7-9]等，其中经典李群方法是一种有效的方法．本文利用经典李群方法考虑Yu-Toda-Sasa-Fukuyama(YTSF)方程：-4uxt+uxxxz+4uxuxz+2uzuxx+3uyy=0.(1)YTSF方程是由Yu，Toda，Sasa和Fukuyama等人研究了Bogoyavlenskii-Schiff方程[10]后提出的，该方程有很多变换形式，例如：当z=x时，可转化为KP方程[11-13]；当uy=0，则可转化为KdV方程[14]．白成林等[15]利用Backlund变换得到了该方程的多孤子解．在文献[16]中，作者利用指数函数法得到了该方程的孤子解和三角周期解．1 YTSF方程的对称首先，考虑一个单参数李群的无穷小变换：x→x+εξ(x,y,t,u),y→y+εη(x,y,t,u),z→z+εζ(x,y,t,u),t→t+ετ(x,y,t,u),u→u+εθ(x,y,t,u),其中ε是无穷小参数．上述变换群的向量场可以表示如下：其中ξ,η,τ和φ是待定的系数函数．由李群理论，得到四阶延拓Pr(4)V=V+φx+φz+φyy+φxx+φxt+φxz+φzxxx，其中φx,φz,φyy,φxx,φxt,φxz和φzxxx可以通过ξ,η,τ,ζ,φ表示出来．利用Pr(4)(Δ)|△=0=0,便有-4φxt+φxxxz+4φxuxz+4uxφxz+2φzuxx+2uzφxx+3φyy=0，其中Δ=uyt+uxxxy-3uxxuy-3uxuxy.利用李群法，可得ξ=(2c3-c1)x+α(t),η=c3y+c4,ζ=(3c1-4c3)z+c5,τ=c1t+c2,φ=-(2c3-c1)u-2zα′(t)+β(t)，其中c1,c2,c3和c4是任意常数，α(t),β(t)是关于t的任意函数.得到方程(1)的生成元：由于α(t),β(t)是关于t的任意函数，这里取α(t)=c6t+c7,β(t)=c8t+c9，其中c1,c2,c3,c4,c5,c6,c7,c8和c9是任意常数，相应的生成元为：(2)由(2)可得,,,,,,,算子关系见表1．表1 李括号运算结果[Vi,vj]V1V2V3V4V5V6V7V8V9V10-V200-3V52V6-V70-V9V2V20000V70V90V3000-V44V5-2V6-2V72V82V9V400V4000000V53V50-4V500-2V9000V6-2V6-V72V602V90000V7V702V7000000V80-V9-2V8000000V9V90-2V9000000 由表1可知，相应于方程(1)不变群的无限维李代数包括一个九维李子代数．利用Vi(i=1,…,9)可以得到方程(1)的单参数群gi(i=1,…,9)如下：g1:(teε,xe-ε,y,ze3ε,ueε),g2:(t+ε,x,y,z,u),g3:(t,xe2ε,yeε,ze-4ε,ue-2ε),g4:(t,x,y+ε,z,u),g5:(t,x,y,z+ε,u),g6:(t,x+tε,y,z,u-2zε),g7:(t,x+ε,y,z,u),g8:(t,x,y,z,u+tε),g9:(t,x,y,z,u+ε).由上述过程，有下述对称群定理．定理1 如果f是方程(1)的解，那么下列ui(i=1,…,9)都是方程(1)的解，u1=f(te-ε,xeε,y,ze-3ε)eε,u2=f(t-ε,x,y,z),u3=f(t,xe-2ε,ye-ε,ze4ε)e-2ε,u4=f(t,x,y-ε,z),u5=f(t,x,y,z-ε),u6=f(t,x-tε,y,z)-2zε,u7=f(t,x-ε,y,z),u8=f(t,x,y,z)+tε,u9=f(t,x,y,z)+ε,其中ε是参数.利用定理1，可以推广相应的已知解，从而建立了YTSF方程的新旧解之间的关系．若选取文献[16]中方程(1)的一组双曲函数解其中k,c,ξ0都是任意常数．我们可以利用u1和u3得到方程(1)新的精确解，和因此，利用文献[16]中得到的YTSF方程的解，得到大量新的精确解，继而推广了文献[16]中的结果．2 YTSF方程的相似约化和精确解为了求出方程(1)的相似约化和精确解，利用(2)式求解以下特征方程组：(3)通过解特征方程组(3)得到了方程(1)的经典相似约化，见表2．表2 方程(1)的经典相似约化情况参数取值不变量相似约化方程1c1=c2=c3=0,c4=c5=1,α(t)=0,β(t)≠0ξ=x,η=y-z,τ=t,u=f(ξ,η,τ)+β(t)y4fξτ-fξξξη-4fξfξη-2fηfξξ-3fηη=02c1=c2=c3=c5=0,c4=1,α(t)=1,β(t)≠0ξ=x-y,η=z,τ=t,u=f(ξ,η,τ)+β(t)y4fξτ-fξξξη-4fξfξη-2fηfξξ-3fξξ=03c1=c3=c4=c5=0,c2=1,α(t)=1,β(t)≠0ξ=x-t,η=y,τ=z,u=f(ξ,η,τ)+∫β(t)dt4fξξ+fξξξτ+4fξfξτ+2fτfξξ+3fηη=04c1=c3=c5= 0,c2=c4=1,α(t)≠0,β(t)=0ξ=x-∫α(t)dt,η=y-t,τ=z,u=f(ξ,η,τ)-2zα(t)4fξη+fξξξτ+4fξfξτ+2fτfξξ+3fηη=05c1=c3=c4=0,c2=c5=1,α(t)=0,β(t)≠0ξ=x,η=y,τ=z-t,u=f(ξ,η,τ)+∫β(t)dt4fξτ+fξξξτ+4fξfξτ+2fτfξξ+3fηη=06c1=c3=0,c2=c4=c5= 1,α(t)=0,β(t)≠0ξ=x,η=y-t,τ=z-t,u=f(ξ,η,τ)+∫β(t)dt4fξη+4fξτ+fξξξτ+4fξfξτ+2fτfξξ+3fηη=07c1=c3=c4=0,c 2=c5=1,α(t)=1,β(t)≠0ξ=x-t,η=y,τ=z-t,u=f(ξ,η,τ)+∫β(t)dt4fξξ+4fξτ+fξξξτ+4fξfξτ+2fτfξξ+3fηη=08c1=c3=c5=0,c 2=c4=1,α(t)=1,β(t)≠0ξ=x-t,η=y-t,τ=z,u=f(ξ,η,τ)+∫β(t)dt4fξξ+4fξη+fξξξτ+4fξfξτ+2fτfξξ+3fηη=09c1=c3=c4 =c5=0,c2=1,α(t)=1,β(t)≠0ξ=x-t,η=y-t,τ=z-t,u=f(ξ,η,τ)+∫β(t)dt4fξξ+4fξη+4fξτ+fξξξτ+4fξfξτ+2fτfξξ+3fηη=010c1=c3= c4=c5=0,c2=1,α(t)≠0,β(t)=0ξ=x-∫α(t)dt,η=y,τ=z,u=f(ξ,η,τ)-2zα(t)fξξξτ+4fξfξτ+2fτfξξ+3fηη=011c1=c2=c3=c4=0,c5=1,α(t)=1,β(t)=0ξ= x-z,η=y,τ=t,u=f(ξ,η,τ)4fξτ+fξξξξ+6fξfξξ-3fηη=012c1=c2=c3=c4=0,c5=1,α(t)=1,β(t)=1ξ=x-z,η=y,τ=t,u=f(ξ,η,τ)+z4fξτ+fξξξξ+6fξfξξ-2fξξ-3fηη=013c1=c2=c3=0,c4=c5=1,α(t)=1,β(t)≠0ξ=x-z,η=y-z,τ=t,u=f(ξ,η,τ)+β(t)y4fξτ+fξξξξ+fξξξη+6fξfξξ-4fξfξη+2fξξfη-3fηη=0注：经过李点对称变换，可知文献[16]为本文的特殊情况．由于表2中的13种情况部分方程的主项相同，只有个别的项不同．为了便于方程(1)求精确解，将表2中的13种情况归纳为以下4种情况．情况1 (含表2中的情况1～2) 4fξτ-fξξξη-4fξfξη-2fηfξξ-pfηη-qfξξ=0．(4)为了得到方程(4)的解，这里选用(G′/G)展开法求解．做行波变换f(ξ,η,τ)=f(ζ),ζ=ξ+η-kτ，代入到(4)式中得到(2k-2p-2q)f″-f′′′′-2f′f″=0,(5)设方程(5)有如下形式的解(6)平衡(5)式中的f′′′′与f′f′′，m+4=2m+3,即有m=1.由(6)式得(7)而且满足二阶常微分方程(8)把(7)式和(8)式带入(5) 式，令相同次数的系数为0，得到相关的代数方程组，解之得情况1．1 当λ2-4μ>0,方程组(1)有一组双曲函数解：情况1．2 当λ2-4μ<0,方程组(1)有一组三角函数解：情况1．3 当λ2-4μ=0,方程组(1)有一组有理函数解：其中ζ=ξ+ηλ2-μ，e1和e2是任意常数．情况2 (含表2中的情况3～10) pfξξ+qfξη+rfξτ+fξξξτ+4fξfξτ+2fτfξξ+3fηη=0．(9)为了得到方程(9)更多的解, 这里选用广义代数法求解．做行波变换f(ξ,η,τ)=f(ζ),ζ=ξ+η-kτ，并且令f′(ζ)=ω(ζ)，代入到(9)式中得到(2pk+q+r+3)ω′-ω′′′-2ωω′=0,(10)设方程(10)有如下形式的解(11)平衡(10)式中的ω′′′与ω′ω得到n+3=2n+1,即有n=2.由(11)式得ω=q0+q1φ+q2φ2,(12)其中φ=φ(η),而且φ满足二阶的常微分方程(13)其中h0,h1,h2,h3和h4是任意实数．把(12)式和(13)式带入(10) 式，令φ相同次数的系数为0，得到相关的代数方程组，解之得情况2．1 有理函数解.当h0=h2=0,有一组有理函数解：ζ;情况2．2 Jacobi椭圆函数解.当h2=2m2-1，有4组Jacobi椭圆函数解：情况2．3 组合的Jacobi椭圆函数解．当，有1组组合的Jacobi椭圆函数解：情况2．4 双曲函数解．当h0=0,h2>0,h4<0时，当,h2<0,h4>0时,情况2．5 三角函数解．当h0=0,h2<0,h4>0时，当,h2>0,h4<0时，情况3 (含表2中的情况3～10) 4fξτ+fξξξξ+6fξfξξ-3fηη=0．(14)令f(ξ,η,τ)=θ(ξ,τ)+kη代入到方程(14)中可得4fξτ+fξξξξ+6fξfξξ=0．(15)再令v(ξ,τ)=fξ(ξ,τ)，则方程转化为4vτ+vξξξ+6vvξ=0．(16)方程(16)即著名的KdV型方程，其精确解参见文献[17]．情况4 (含表2中的情况11～13)4fξτ+fξξξξ+pfξξξη+6fξfξξ+qfξfξη+rfξξfη+hfξξ-3fηη=0．(17)做行波变换f(ξ,η,τ)=f(ζ),ζ=ξ+η-kτ，代入到(17)式中得到(4k+h-3)f′′+(1+p)f′′′′+(6+q+r)f′f′′=0,(18)当时, 方程(18)转化为：(1+p)f′′′′+(6+q+r)f′f′′=0.(19)再令fξ(ξ,τ)(ξ,τ)，并且方程两边同时作一次积分可得v′′=12v2+g2，(20)两边同时乘以v′且再积分一次可得v′2=4v3+g2v+g3，(21)其中g2和g3是积分常数．方程(21)就是著名的Weierstrass椭圆函数方程[18]，其部分解如下：．其中为Jacobi椭圆函数的模数，ei(i=1,2,3;e1≥e2≥e3)是方程4z3+g2z+g3=0的根．当m→1时，即e2→e1时，cn(η;m)→sech(η),于是得到方程(17)的一个新解：3 结论本文利用经典李群方法得到了YTSF方程的对称群理论，建立了新、旧解之间的关系，根据定理1，推广了文献[16]中相应的结果．同时得到了该方程的约化方程，通过解约化方程获得了YTSF方程的若干精确解，希望所得的解能为动力学研究提供帮助．[参考文献]【相关文献】[1]WAZWAZ A M．The tanh method for travelling wave solution of nonlinear wave equations[J]．Appl Math Comput，2007，187：1131-1142．[2]CHEN L B，XIA Z，LI H Z．Some new solutions derived from the nonlinear (2+1)-dimensional Toda equation-an efficient method of creating solutions[J]．Chinese Physics B，2009，18(2)：475-481．[3]ABDOU M A．The extended F-expansion method and its application for a class of nonlinear evolution equations[J]．Chaos，Solitons & Fractals，2007，31(1)：95-104．[4]HE J H，WU X H．Exp-function method for nonlinear wave equations[J]．Chaos，Solitons & Fractals，2006，30(3)：700-708．[5]FAN E，ZHANG J．Applications of the Jacobi elliptic function method to special-type nonlinear equations[J]．Physics Letters A，2002，305(6)：383-392．[6]WANG M．Exact solutions for a compound KdV-Burgers equation[J]．Physics Letters A，1996，213(5)：279-287．[7]LIU X Q．New explicit solutions to the 2+1 dimensional Broer-Kaupequations[J]．Journal of Partial Differential Equations，2004，17：1-11．[8]NA L，XI Q L．Similarity reductions and similarity solutions of the (3+1)-dimensional Kadomtsev-Petviashvili equation[J]．Chinese Physics Letters，2008，25(10)：3527．[9]LING W，XI Q L，ZHONG Z D．Study of (2+1)-dimensional higher-order Broer-Kaup system[J]．Communications in Theoretical Physics，2007，47(3)：403-409．[10]YU S J，TODA K，SASA N，et al．N soliton solutions to the Bogoyavlenskii-Schiff equation and a quest for the soliton solution in (3+1) dimensions[J]．Journal of Physics A：Mathematical and General，1998，31(14)：3337-3341．[11]KHALFALLAH M．New exact traveling wave solutions of the (3+1) dimensional Kadomtsev-Petviashvili (KP) equation[J]．Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation，2009，14(4)：1169-1175．[12]MA W X，ABDELJABBAR A，ASAAD M G．Wronskian and grammian solutions to a(3+ 1)-dimensional generalized KP equation[J]．Applied Mathematics and Computation，2011，217(24)：10016-10023．[13]TANG X，LOU S，ZHANG Y．Localized excitations in (2+1)-dimensionalsystems[J]．Physical Review E，2002，66(4)：66-72．[14]毛杰健，杨建荣．(3+1)维KdV方程新的精确解和孤子解[J]．原子与分子物理学报，2008，25(4)：957-961．[15]BAI C L，LIU X Q，ZHAO H．Bäcklund transformation and multiple soliton solutions for (3+1)-dimensional potential-YTSF equation[J]．Commun Theor Phys，2004，42：827-830．[16]ZAYED E M E，HODA I S A．The two variable (G′/G, 1/G)-expansion method for finding exact traveling wave solutions of the (3+1)-dimensional nonlinear potential Yu-Toda-Sasa-Fukuyama equation[C]//2013 International Conference on Advanced Computer Science and Electronics Information．Amsterdam：Atlantis Press，2013．[17]ADEM A R，KHALIQUE C M．Symmetry reductions, exact solutions and conservation laws of a new coupled KdV system[J]．Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation，2012，17(9)：3465-3475．[18]LAWDEN D F．Elliptic functions and applications[M]．Berlin：Springer，1989．。