Lebesgue积分与Riemann积分的区别

Lebesgue 积分与Riemann 积分的区别Lebesgue 积分与Riemann 积分是非常重要的两种积分，在数学发展史上发挥过巨大的作用。

Riemann 积分是近代数学的核心，lebesgue 积分是现代实变函数论的核心。

在有界函数范围内，R 积分存在以下缺陷。

1）R 积分与极限可交换的条件太严；2）积分运算不完全是微分运算的逆运算；3）不适宜于无界区间：R 积分只能用来在有界区间内对函数进行积分； 4）缺乏单调收敛。

1 积分的定义 1.1 L 积分的定义 定义1：设()f x 是()n E R mE ⊂<∞上的非负可测函数。

定义()f x是E 上的Lebesgue积分()()()()sup x Eh x f x E E f x dx h x dx ∈≤⎧⎫⎪⎪=⎨⎬⎪⎪⎩⎭⎰⎰，()h x是n R 上的非负可测简单函数，积分可以是+∞；若()Ef x dx <∞⎰，则称()f x在E 上是Lebesgue 可积的。

设()f x是n E R ⊂上的可测函数，若积分()Ef x dx+⎰、()Ef x dx-⎰中至少有一个是有限值，则称()()()EEEf x dx f x dx f x dx+-=-⎰⎰⎰为()f x在E 上的Lebesgue 积分；当上式右端两个积分值结尾有限时，则称()f x在E 上Lebesgue 可积的。

定义2：设E 是一个Lebesgue 可测集，mE <∞，()f x是定义在E 上的Lebesgue 可测函数，又设()f x 是有界的，就是说是否存在l 及μ，使得()(),f x l μ⊂，在[],l μ中任取一分点组D01n l l l l μ=<<<=记()()11max k k k nD l l δ-≤≤=- ()()1k k k E E l f x l -=≤≤并任取i k E ζ∈（约定当k E =Φ时，()()0i k f m E ζ=），作和()()()1ni k k S D f m E ζ==∑如果对任意的分法与i ζ的任意取法，当()0D δ→时，()S D 趋于有限的极限，则称它为()f x在E 上关于勒贝格测度的积分，记作()EJ f x dx=⎰定义3：设()f x 是nE R ⊂（mE <∞）是的有界可测函数。

作E 的任意分割D ：1n ii E E ==，其中i E 为互不相交的非空可测子集。

设()()sup ,inf iii i x E x E B f x A f x ∈∈==，则D 的大和及小和为11,n nD i i D i ii i S B mE s A mE ====∑∑。

设()f x在E 上的上下积分为()()sup ,inf D DDDEEf x dx s f x dx S -=-=⎰⎰若()()EEf x dx f x dx-=⎰⎰则称()f x 在E 上是可积的，且称该共同值为()f x在E 上的Lebesgue 积分，记为()Ef x dx⎰。

定义1 定义L 积分的方法称为逼近法，即从特征函数的积分入手，然后用简单可测函数来逼近可测函数的方法；定义2、3定义L 积分的方法可称为划分法，划分法类似于R 积分的定义法，先对可测集进行划分，在此基础上再给出L 积分。

1.2 黎曼积分的定义定义1：S 是函数f 在闭区间[a,b]上的黎曼积分，当且仅当对于任意的0ε>，都存在0δ>，使得对于任意的取样分割1,,,o n x x x ；11,,,o n t t t -，只要它的子区间长度最大值λδ≤，就有：()()11n ii i i f t xx s s-+=--<∑也就是说，对于一个函数f ，如果在闭区间[a,b]上，无论怎样进行取样分割，只要它的子区间长度最大值足够小，函数f 的黎曼和都会趋向于一个确定的值，那么f 在闭区间[a,b]上的积分存在，并且定义为黎曼和的极限，则称函数f 为黎曼可积的。

该定义的缺陷缺乏可操作性，要检验所有的取样分割是很难的。

定义2（达布积分）：设()f x是定义[a,b]上的有界函数，任取一分点组T012n a x x x x b =<<<<=将区间[a,b]分成n 部分，在每个小区间1[,]i i x x -上任取一点i ζ，1,2,3,i =。

做和()()11ni i i i S f x x ζ-==-∑令()11max i i i nr x x -≤≤=-，如果对任意的分发与i ζ的任意取法，当0r →时，S 趋于有限的极限，则称它()f x在[a,b]上的黎曼积分，记为()baI R f x =⎰定义3：S 是函数f 在闭区间[a,b]上的黎曼积分，当且仅当对于任意的0ε>，都存在一个取样分割1,,,o n y y y 和1,,,o n s s s ，都有：()()11m ii i i f s yy s ε-+=--<∑如果有一个S 满足了其中的一个定义，那么它也满足另一个。

首先，如果有一个S 满足第一个定义，那么只需要在子区间长度最大值λδ≤的分割中任取一个。

对于比其精细的分割，自取件长度最大值显然也会小于δ，于是满足：()()11m ii i i f s yy s ε-+=--<∑1.3 区别R 积分是“竖”着分割区间[a,b]，而L 积分是“横”着分割值域[L,M]。

前者的优点是1[,]i i i x x -∆=的度量容易给出，但当分法的细度T 充分小时，函数()f x在i ∆上的振幅()()sup inf iii x x f x f x δ→∆∈∆=-仍可能较大；后者的优点是函数()f x在k E 上的振幅()()()sup inf kkk x E x E f x f x D δδ∈∈=-≤较小，但k E 一般不再是区间，而是可测集。

其度量()k m E 的值一般不易给出。

对定义域与对值域的分割是R 积分与L 积分的本质区别。

对值域进行分割求积分的方法使E 中的点分成几大类。

另外，L 积分理论是在测度理论的基础上建立的，测度是平面上度量的推广，这一理论可以处理有界函数和无界函数的情形。

而且把函数定义在更一般的点集上，而不仅仅限于[a,b]上。

这种差别是的Lebesgue 积分具备了很多黎曼积分所不具备的良好性质。

2 Lebesgue 积分与Riemann 积分的计算符号约定：设f 是[a,b]上的有界函数，V 是非退化区间，记()()sup{|[,]}f M V f x x V a b =∈⋂，()()inf{|[,]}f m V f x x V a b =∈⋂()()f M V m V ω=-()()inf{|}f x V V x V ωω=∈是开区间，且称()f V ω是f 在[],V a b ⋂上的振幅，()f xω是f 在x 处的振幅。

当函数f 确定时，()f V ω与()f x ω简记为()V ω与()xω。

几个定理：定理1：设f 是定义在[a,b]上的函数，0δ>，则 （1）对任意[],x a b ∈，f 在点x 连续当且仅当()0x ω=；（2）集合(){}[,]|x a b x ωδ∈≥是闭集。

定理2：区间[a,b]上的有界函数f 黎曼可积的充要条件是集合(){}[,]|0x a b x ω∈≥的测度为0。

定理3：若有界函数f 在[a,b]上黎曼可积，则f 在[a,b]上也是勒贝格可积，且积分值相等，即()()()[,]ba ab R f x dx f x =⎰⎰定理2说明L 积分是R 积分的推广，定理3说明对于非负函数而言L 积分也是R 反常积分的推广，但是一般情况下L 积分并不是R 反常积分的推广，这主要因为L 积分是绝对收敛的积分而收敛的R 反常积分并不一定绝对收敛。

所以不能一味L 积分包括了R 积分就得出L 积分比R 积分优越的结论。

然而L 积分对于Ｒ积分来讲确实有着本质上的进步。

Eg1: 设[]0,π上函数()[][]sin 0,\ 0,x x Q f x x x Q ππ⎧∈⎪=⎨∈⋂⎪⎩计算()[0,]f x dxπ⎰。

解：因[]0,Q π⋂是零测集，故在[]0,π上()sin f x x= a.e.所以，()()[0,][0,][0,]sin sin 1f x dx xdx R xdx πππ===⎰⎰⎰Eg2：令()sin ,01, 0 xx f x xx ⎧>⎪=⎨⎪=⎩ 则()f x 在[)0,+∞上的R 反常积分收敛且()0sin 2x R dx x π+∞=⎰但是，()()[)()0,0221n L f x dx n π∞++∞===+∞+∑⎰；同理，()()[)0,L f x dx -+∞=+∞⎰。

所以()f x 在[)0,+∞上不是积分确定的，当然不然L 可积。

3. 从极限理论上比较分析Lebesgue 积分和Riemann 积分的优缺点 3.1 Lebesgue 测度与L 积分控制收敛定理Lebesgue 可测：Lebesgue 测度是赋予欧几里得空间的子集一个长度、面积、或者体积的标准方法。

它广泛应用于实分析，特别是用于定义Lebesgue 积分。

可以赋予一个体积的集合被称为Lebesgue 可测；勒贝格可测集A 的体积或者说测度记作()Aλ。

一个值为∞的Lebesgue 测度是可能的，但是即使如此，在假设选择公理成立时，n R 的所有子集也不都是Lebesgue 可测的。

Lebesgue 控制收敛定理：设(),,s E μ为一个测度空间，()0n f ≥是一个实值的可测函数列。

如果（n f ）逐点收敛于一个函数f ，并存在一个Lebesgue 可积函数1g L ∈，使得对每个0n ≥，任意对每个0n ≥，任意x s ∈，都有()()n f x g x ≤则：1. f 也是Lebesgue 可积的，f L ∈；2.lim lim n n ss sn n fd f d f d μμμ→∞→∞==⎰⎰⎰其中的g 函数一般取为正值函数。

函数列（n f ）0n ≥的逐点收敛和()()n f x g x ≤的性质可以减弱μ为几乎处处成立。

3.2 Lebesgue 积分的优点1）在R 积分中逐项积分问题，也就是积分与极限过程交换顺序问题，条件非常苛刻，要求被积函数一致收敛，极限才能通过积分号。

而L 积分比R 积分要求的条件小得多，对非负函数项级数几乎可无条件地逐项积分，就L 控制收敛定理而言，只须存在控制函数()F x，使得()()f x F x <即可，因此在极限换序上L积分比R 积分灵便得多。

Eg: 狄克莱函数[][]1 0,10 0,1x Q D x Q ⎧∈⋂⎪=⎨∈⋂⎪⎩把[0,1]上的有理点一次排列成：12n r r r ====作函数列()11 0 nn x r r x ϕ===⎧=⎨⎩当其余情况则()n x ϕ处处收敛于()D x ，且()()0n x D x ϕ≤≤，1,2,n =在L 积分意义下有Lebesgue控制收敛定理()()()[0,1][0,1][0,1]limlim 0nn n n x dx x dx D x dx ϕϕ→∞→∞===⎰⎰⎰（α）但()D x 不是R 可积，尽管在R 积分意义下，有：()100,1,2,n R x dx n ϕ==⎰，（α）不成立。