《高等数学A(下)》期中复习试题(A)

合集下载

高等数学期中A考卷及答案海大

专业课原理概述部分一、选择题（每题1分，共5分）1. 微分学的中心概念是（）A. 极限B. 导数C. 微分D. 积分2. 函数f(x)在x=a处可导，那么f'(a)等于（）A. f(a)的值B. f(x)在x=a处的斜率C. f(a)的极限D. f(a)的平均变化率3.下列函数中，奇函数是（）A. f(x) = x²B. f(x) = x³C. f(x) = cos(x)D. f(x) = e^x4. 不定积分∫(1/x)dx的结果是（）A. ln|x| + CB. x + CC. 1/x + CD. e^x + C5. 多元函数f(x, y)的偏导数f_x表示（）A. 仅对x求导B. 对x和y同时求导C. x和y的乘积求导D. f对x的积分二、判断题（每题1分，共5分）1. 极限存在的充分必要条件是左极限和右极限相等。

（）2. 一切初等函数在其定义域内都可导。

（）3. 若函数f(x)在区间[a, b]上单调增加，则f'(x)≥0。

（）4. 二重积分可以转化为累次积分。

（）5. 泰勒公式是麦克劳林公式的推广。

（）三、填空题（每题1分，共5分）1. 函数f(x)在点x=a处的极限为______，记作______。

2. 若f(x) = 3x² 5x + 2，则f'(x) =______。

3. 不定积分∫sin(x)dx的结果是______。

4. 二重积分∬D dA表示______的面积。

5. 泰勒公式中，f(n)(a)表示______。

四、简答题（每题2分，共10分）1. 简述导数的定义。

2. 解释什么是函数的极值。

3. 简述定积分的基本思想。

4. 举例说明如何应用微分方程解决实际问题。

5. 简述多元函数求导的基本法则。

五、应用题（每题2分，共10分）1. 求函数f(x) = x²e^x的导数。

2. 计算定积分∫(从0到π) sin(x)dx。

《高等数学》期中考试A

甘肃石化技师学院《高等数学》课程期中考试试题A 卷一、单项选择题（每题选一个正确答案，填在该题后括号内。

每小题4分，共16分）1. 函数sincos32x y x =+的周期为（） A. π; B. 4π; C. 23π; D. 6π. 2. 下列函数对中为同一个函数的是（） A. 212,x y x y x==;B. 12,y x y ==C. 212,y x y ==;D. 12,y x y ==3. 设21cos ,2x x αβ=-=，则当0x →时（）A. α与β是同阶但不等价的无穷小；B. α与β是等价无穷小；C. α是β的高阶无穷小；D. β是α的高阶无穷小. 4. 1lim sinx x→∞=（） A. 1; B. 0; C. ∞; D. 不存在.二、填空题（答案填写在横线上，每小题4分，共24分）1. 若223lim 12x x x a x →-+=-，则a = . 2. 2f (x)=的定义域为 . 3. sin 2lim x x x→∞== . 4. ()x α'= ， '(tanx)= .5.y 31x =+的反函数是 .6.1lim(1z)zz →∞+= .三、计算题（答案填写在空白处，每小题6分，共36分）1. 求3113lim()11x x x →---.2. 求.201cos limx x x→-.3. 设(1)(12)(13)y x x x =+++，求y ''.4. 用定义验证lim 0n n q →∞= (1q <).5.求0sin limsin x x x x x→-6.设x (t sint)(1cost)a y a =-⎧⎨=-⎩，求22d y dx .四、简答题（答案填写在空白处，每小题6分，共24分）1. 设()f x x =，讨论()f x 在点0x =处的连续性与可导性.2. 设曲线通过点（2,3），且其上任一点的切线斜率等于这点的横坐标，求此曲线方程.3. 设231cos ,0,()01,1.x x f x x x x x --∞<<⎧⎪=≤<⎨⎪≤<+∞⎩，讨论()f x 在0x =和1x =处的可导性.4. 求椭圆曲线22124x y +=上点处的切线方程和法线方程.。

大一高等数学a期中试题及答案

大一高等数学a期中试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 函数f(x)=x^2在x=0处的导数是（）。

A. 0B. 1C. 2D. 0答案：B2. 极限lim(x→0) (sin x)/x的值是（）。

A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B3. 以下哪个选项是不定积分∫x^2 dx的解（）。

A. x^3B. x^3 + CC. 3x^2 + CD. 3x^2答案：C4. 以下哪个选项是定积分∫(0 to 1) x dx的值（）。

A. 0C. 1D. 2答案：B5. 函数y=e^x的原函数是（）。

A. e^xB. e^x + CC. ln(x)D. ln(x) + C答案：B6. 以下哪个选项是微分方程dy/dx + y = 0的通解（）。

A. y = e^(-x)B. y = e^xC. y = sin(x)D. y = cos(x)答案：A7. 以下哪个选项是函数y=x^3的二阶导数（）。

A. 3x^2B. 6xC. 18xD. 6答案：B8. 以下哪个选项是函数y=ln(x)的一阶导数（）。

B. xC. ln(x)D. e^x答案：A9. 以下哪个选项是函数y=x^2 - 4x + 4的最小值（）。

A. 0B. 1C. 4D. -4答案：A10. 以下哪个选项是函数y=x^3 - 3x的拐点（）。

A. x = 0B. x = 1C. x = -1D. x = 2答案：B二、填空题（每题4分，共20分）1. 函数f(x)=x^3的一阶导数是____。

答案：3x^22. 函数f(x)=x^2+2x+1的极值点是____。

答案：x = -13. 函数f(x)=sin(x)的不定积分是____。

答案：-cos(x) + C4. 函数y=e^x的二阶导数是____。

答案：e^x5. 函数y=ln(x)的二阶导数是____。

答案：1/x^2三、解答题（每题10分，共50分）1. 求函数f(x)=x^3-6x+8在x=2处的切线方程。

高等数学期中A考卷及答案海大

专业课原理概述部分一、选择题（每题1分，共5分）1. 微分学的中心概念是（）。

A. 极限B. 导数C. 微分D. 积分A. f(x) = |x|B. f(x) = x^2 + 1C. f(x) = 1/xD. f(x) =√x3. 不定积分∫(1/x)dx的结果是（）。

A. ln|x| + CB. x + CC. x^2/2 + CD. e^x + C4. 多元函数f(x, y) = x^2 + y^2在点(1, 1)处的偏导数f_x'是（）。

A. 0B. 1C. 2D. 35. 线性方程组Ax=b有唯一解的条件是（）。

A. A为满秩矩阵B. A为方阵C. A为可逆矩阵D. A为零矩阵二、判断题（每题1分，共5分）1. 极限存在的充分必要条件是左极限等于右极限。

（）2. 任何连续函数都一定可导。

（）3. 二重积分可以转换为累次积分。

（）4. 拉格朗日中值定理是罗尔定理的推广。

（）5. 两个矩阵的乘积一定是方阵。

（）三、填空题（每题1分，共5分）1. 函数f(x) = e^x在x=0处的导数f'(0)等于______。

2. 若函数f(x)在区间[a, b]上连续，则该函数在该区间上______。

3. 微分方程y'' y = 0的通解是______。

4. 矩阵A的行列式记作______。

5. 向量组线性相关的充分必要条件是______。

四、简答题（每题2分，共10分）1. 请简要说明罗尔定理的内容。

2. 什么是函数的极值？如何求函数的极值？3. 简述泰勒公式的意义。

4. 什么是特征值和特征向量？5. 简述空间解析几何中直线的方程。

五、应用题（每题2分，共10分）1. 计算极限lim(x→0) (sin x)/x。

2. 求函数f(x) = x^3 3x的导数。

3. 计算不定积分∫(cos x)dx。

4. 求解微分方程y' = 2x。

5. 计算二重积分∬D (x^2 + y^2) dxdy，其中D是由x轴，y轴和直线x+y=1围成的区域。

(完整版)高等数学(A)06-07下期中试卷参考答案及评分标准

高等数学（ A）06-07-3 期中试卷参考答案及评分标准
一．填空题（本题共 5 小题，每小题 4 分，满分 20 分）
xyz 1 1．曲线 x y 2 在点 (1,1,1) 处的切线方程为
x1 2
y1
z 1； 3
2．方程 xyz x2 y 2 z2
2 所确定的函数 z z(x, y) 在点 (1,0, 1) 处的全微分
为 dz dx 2dy ；
3．交换二次积分的积分次序
0
2
2
0
dy f (x, y)dx ＝ dx f ( x, y)dy ；
1
1y
1
1x
4．设曲线 C : x cost , y sin t, z
3,0 t
，则
x2 y2 z2ds 2 ；
C
ò 5．设曲面
:x
y z 1 ，则
(x
y )dS
4 3.
3
0
0
1
y y2
（ A ） dy
f(x, y)dx
0
0
1
1 y2
（ B） dy
f(x, y)dx
0
0
1
1
（ C） dx f(x, y)dy
0
0
1
x x2
（ D） dx
f(x, y)dy
0
0
8．设由 3 x2 y 2 z, z 1 x 2 所围成，则
f ( x, y, z)dv
[
[D] C]
1
1 4x2
f (i) 2 e 1 i （ 1 分） 13. 计算 zdv ，其中
( x, y, z) R 3 z x2 y2 z2 2z .

高等数学(下)期中考试题及答案

f ( x, y ) d x + ∫ d y ∫ y 2 f ( x, y ) d x ．
0 2
v
2
2
二、记 x − y = u ， ln x = v ，则 x = e ， y = e − u ，代入右端，得
f (u , v ) =
即
u u −2 v e ， v
x x −2 y e ． y ∂f 1 + x x −2 y ∂f x(1 + 2 y ) x−2 y = e ， =− e ． y y2 ∂x ∂y
五、设 F ( x, y, z ) = xyz + λ ( x + y + z − 5r ) ，令
3 2 2 2 2
Fx = yz 3 + 2λ x = 0 , Fy = xz 3 + 2λ y = 0 , Fz = 3 xyz 2 + 2λ z = 0 , x 2 + y 2 + z 2 = 5r 2 ,
x +1 y − 3 z = = 相交 1 1 2
参考答案
一、
⎡ ⎤ 2x 2y 1． d z |(1,2) = ⎢ dx+ d y⎥ 2 2 2 2 1+ x + y ⎣1 + x + y ⎦ 1 2 = dx+ d y． 3 3
2 2
3 2 a ．因此 4
M = ∫∫∫ z d V = ∫∫ d x d y ∫
Ω
D
a2 − x2 − y 2 a− a2 − x2 − y2
zdz =
1 [ 2a a 2 − x 2 − y 2 − a 2 ] d x d y ∫∫ 2 D
a 5 1 2π d θ ∫ 2 [ 2 a a 2 − ρ 2 − a 2 ] ρ d ρ = πa 4 ． ∫ 0 2 0 24 G G 2 八、(1) τ = 1,−2t ,3t ， n = (0 , 3 , 2 ) ． G G 令 τ ⋅ n = 0 ，得 t1 = 0 ， t 2 = 1 ，即 G G τ 1 = (1 , 0 , 0 ) ， τ 2 = (1 , − 2 , 3 ) ．

高数下期中考(2007)A答案

解:
16．设，是由曲面与所围成的闭区域，在上连续．试分别将此三重积分表示成直角坐标、柱坐标和球坐标下的三次积分．
解:直角坐标系：
柱坐标系：
球坐标系：
8．若则（A）
（A）（B）
（C）（D）
9．设函数连续，区域，则等于（D）
（A）（B）
（C）（D）
10．设为连续函数，且，其中是由围成的区域，则等于（C）
（A）（B）（C）（D）
三．解答题：本大题共6小题,每小题10分共60分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
二．选择题：本大题共5小题,每小题4分,共20分．
6．直线与平面的位置关系是（C）
（A）直线在平面内；（B）平行但不在平面内；
（C）垂直；（D）相交但不垂直．
7．函数在点处连续是它在该点偏导数存在的（B）
(A)充分必要条件；(B)既非充分又非必要条件；
(C)必要而非充分条件；(D)充分而非必要条件．
11．求与两直线及都平行且过原点的平面方程．
解:平面方程为：
12．证明不存在．
解:由于与有关，所以原式极限不存在。
13．已知，其中具有二阶连续偏导数，具有二阶连续导数，求．
解: ．
14．求抛物线和直线之间的最短距离．
解:
令ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
（1）+（2）得，。代入（3）得
所以最短距离：
15．求其中是由圆和所围成的平面区域．

高数下期中试题及答案

高数下期中试题及答案高数下期中试题及答案高数的选择题，在推导和演算的基础上对选项做出选择。

下面是小编收集整理的高数下期中试题及答案，希望对您有所帮助！高数下期末试题《高等数学》试卷结构(一)考试内容与要求执行全国高校网络教育考试委员会于2010年制定的考试大纲相应部分，见《高等数学》(2010年修订版)。

(二)试卷分值试卷满分为100分。

(三)试题类型试题的类型全部为选择题，在推导和演算的基础上对选项做出选择。

每套试卷为20小题，每小题均为5分。

其中“二选一”共10道题，对命题作“正确”或“不正确”的选择。

“四选一”共10道题，在四个备选答案中选出一个符合题目要求的答案。

“四选一”的题目包括对运算结果的选择、对运算过程正确性的判定等多种形式。

(四)试题难度试题难度分为容易题、中等题和较难题，其分值比例为5:4:1。

(五)试题内容比例一元函数微积分约90%，常微分方程约10%。

(六)考试方式与时间考试方式为机考、闭卷。

考试时间为90分钟。

答卷时应该注意以下一些问题：1、要认真阅读试卷和试题的指导语，弄清答题的要求和方式。

要正确解答二选一的题，首先必须把有关知识弄清楚，其次还有必要掌握一定的解题方法。

以下是几种比较常用的解答二选一的`题的方法。

分析推理：即根据有关的数学知识，通过分析推理，作出判断。

计算求解：即根据题目的条件，通过计算等过程，求出正确答案，再作判断。

寻找反例：即从反面思考，看看是否存在与题目所说相反的情况。

如有，只要找出一个相反的例子，就能断定原题是错的。

假设验证：有些二选一的题，如果直接判断有困难，有时可以假设一个或几个具体的数，验证结论是否成立，再作出判断。

在实际解答二选一的题时，究竟选用哪种方法，要根据题目的具体特点来决定。

有些题目可以用不同的方法来判断，又有些题目可以把某两种方法结合起来判断。

四选一的题常用的方法有淘汰法和直接法：淘汰法的特点是，根据已学知识经过判断去掉不合题意者，剩下的一个就是正确的答案;直接法的特点是，根据已学知识经过推论或计算得出答案，以此答案对照各备选答案，相同者为正确答案，解题时找到一个正确答案后，剩下部分可以不再考虑。

高等数学第二学期期中考试试卷及答案(优选.)

卷号：（A ）（年月日）机密学年第2学期2010级计算机专业《高等数学》期中考试试卷A 卷一、选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分） 1.下列方程所示曲面是双叶旋转双曲面的是( )(A) 1222=++z y x (B) z y x 422=+(C) 14222=+-z y x (D) 1164222-=-+z y x 2.二元函数 222214y x y x z +++=arcsin ln的定义域是( )(A) 4122≤+≤y x (B) 4122≤+<y x (C) 4122<+≤y x (D) 4122<+<y x3.已知),(y x f 在点),(00y x 处连续,且两个偏导数),(00y x f x ,),(00y x f y 存在是),(y x f 在该点可微的( )(A) 充分条件,但不是必要条件; (B) 必要条件,但不是充分条件;(C) 充分必要条件 ; (D) 既不是充分条件,也不是必要条件. 4. 下列直线中平行xOy 坐标面的是________ ．（A ）．233211+=+=-z y x ；（B ）．⎩⎨⎧=--=--04044z x y x ；（C ）．10101zy x =-=+；（D ）．3221=+=+=z t y t x ，，． 5.函数z y x u sin sin sin =满足),,(0002>>>=++z y x z y x π的条件极值是( )(A) 1 ; (B) 0 ; (C) 61 ; (D) 81 . 二、填空题（本大题共10个填空题，每空3分，共30分）1.已知52==||,||b a 且,),(3π=∠b a则_______)()(=+⋅-b a b a 32.2.通过曲线⎩⎨⎧=-+=++0562222222y z x z y x ,且母线平行于y 轴的柱面方程是_________________. 3.若),ln(222z y x u ++=则._________________=du4. 已知球面的一直径的两个端点为()532，，-和()314-，，，则该球面的方程为______________________________．.5. 函数2223u x y z z =++-在点()01,1,2M -的梯度为___________及沿梯度方向上函数的方向导数为_________.6．设二元函数y x xy z 32+=，则=∂∂∂yx z2_______________． 7．设⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0 , 00 , ),(2222222y x y x y x y x y x f ,求),(y x f x =___________________________.8.xy y x y x +→)2,1(),(lim=___________.y xy y x )tan(lim )0,2(),(→=___________.三、解下列微分方程（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 1．给定一阶微分方程dydx= 3x （1）求它的通解；（2）求过点（2，5）的特解；（3）求出与直线y = 2x – 1 相切的曲线方程。

高数期中考试(下)(A)参考答案

由实际问题的最小值存在，故点 (− （本题也可用几何方法求解）七、令 f x ( x, y ) = λ (e − 1) cos x + sin x cos 2 y = 0
y
2 14
,
1 14
,
6 14
) 即为所求点
f y ( x, y ) = λe y sin x + 2 cos x sin 2 y = 0
π
8
（也可以用柱坐标）
广东工业大学试卷用纸，共
页，第
页
五、
∫∫ x[1 + yf (x
D
2
+ y 2 dxdy = ∫∫ xdxdy + ∫∫ xyf ( x 2 + y 2 )dxdy
D
1 1
)]
D
1 1 1 xdx ∫ 3 f ( x 2 + y 2 )d ( x 2 + y 2 ) x 2 ∫−1
D −1
)]
2 dy ＝ − （本题也可以用挖补法求解） 5
六、设曲面上点 ( x, y , z ) 到平面的距离为 d ，则 d =
x − 2 y + 3z − 1 14
14d 2 = ( x − 2 y + 3 z − 1) 2 ，且 z = 2 + x 2 + 4 y 2
令 F = ( x − 2 y + 3 z − 1) + λ ( 2 + x + 4 y − z )
3．（用球坐标） Ω ： 0 ≤ θ ≤ 2π 由对称性
π
4
0 ≤ r ≤1
∫∫∫ (x + z )dV ＝ ∫∫∫ zdxdydz
Ω Ω

武汉理工大学学年第二学期高等数学A下期中试卷精编版

4、计算曲线积分：，其中为椭圆上从点到点的弧段.
5、计算曲面积分，其中为平面上的曲线绕轴旋转一周而成，其上法向量与轴的夹角为锐角。
6、求幂级数的收敛区间及其和函数 .
…………试卷装订线………………装订线内不要答题，不要填写考生信息………………试卷装订线…………
…………试卷装订线………………装订线内不要答题，不要填写考生信息………………试卷装订线…………
武汉理工大学学年第二学期高等数学A下期中试卷精编版
…………试卷装订线………………装订线内不要答题，不要填写考生信息………………试卷装订线…………
姓名
学号
专业班级
学院
武汉理工大学考试试卷（A卷）
2014~2015学年2学期高等数学A（下）课程任课教师
80学时，5学分，闭卷，总分100分，占总评成绩70%，2015年07月7日
3、曲线，，在点处的法平面方程为()
(A) (B) (C) (D)
4、设，其中是圆域位于第象限的部分，则有（C）
(A) (B) (C) (D)
5、设，且，则级数 ()
(A)条件收敛(B)绝对收敛(C)发散(D)收敛性根据所给条件不能确定
得分
二、填空题（本题共5小题，每小题3分）
1、微分方程满足条件的特解为.
2、曲面上与平面平行的切平面方程为.
3、若函数由方程确定，则 .
4、设有球面，则 .
5、已知级数，则 .
得分
三、计算题（本题共6小题，每小题8分）
1、求通过直线的两个相互垂直的平面和，使其中一个平面
通过点 .
2、设函数，其中有二阶连续偏导数，求 .
3、计算二重积分，其中为， .

高等数学下册期中考试题(答案)

K b
= 19 ，
K a
+
K b
= 24 ，则
K a
−K b=． Nhomakorabea2、设 x2 + 2xy + y + zez = 1，则 dz =
.
(0,1)
∫ ∫ e
ln x
3、设 f (x, y) 为连续函数，交换积分次序： dx f (x, y)dy =
1
0
.
y
4、函数 f (x, y, z) = x z 的梯度为 grad f (x, y, z) =
所求的最大值为 f (1, 0) = 4 ，最小值为 f (−1, 0) = −4 ……………….………..….【12】
2
2009－2010 学年第二学期华侨大学 09 级高等数学 A(下册)期中考试试题参考解答与评分标准
3
六、【9 分】解：由 ∂z = x , ∂z = y 得 1+ ( ∂z )2 + ( ∂z )2 = 2 ….….….….….【3】
.
∫∫ 5、设 D = {(x, y) | x2 + y2 ≤ 4 } ，则 ( x2 + y2 )dxdy =
D2 3
.
※以下各题在答题纸上作答，答题时必须写出详细的解答过程，并在每张答题纸写上：班级、姓名、学号。
二．试解下列各题：（本题共 5 小题，每小题 7 分，满分 35 分）
1、【7
分】已知直线
2
５、解： lim (x, y)→(0,0)
xy 2 − exy
= lim xy( −1 (x,y)→(0,0)
2 − exy 1− exy
+ 1)
……………….....

高等数学第二学期期中考试试卷及答案

卷号：（A ）（年月日）机密学年第2学期2010级计算机专业《高等数学》期中考试试卷A 卷一、选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分） 1.下列方程所示曲面是双叶旋转双曲面的是( )(A) 1222=++z y x (B) z y x 422=+(C) 14222=+-z y x (D) 1164222-=-+z y x 2.二元函数 222214y x y x z +++=arcsin ln的定义域是( )(A) 4122≤+≤y x (B) 4122≤+<y x (C) 4122<+≤y x (D) 4122<+<y x3.已知),(y x f 在点),(00y x 处连续,且两个偏导数),(00y x f x ,),(00y x f y 存在是),(y x f 在该点可微的( )(A) 充分条件,但不是必要条件; (B) 必要条件,但不是充分条件;(C) 充分必要条件 ; (D) 既不是充分条件,也不是必要条件. 4. 下列直线中平行xOy 坐标面的是________ ．（A ）．233211+=+=-z y x ；（B ）．⎩⎨⎧=--=--04044z x y x ；（C ）．10101zy x =-=+；（D ）．3221=+=+=z t y t x ，，． 5.函数z y x u sin sin sin =满足),,(0002>>>=++z y x z y x π的条件极值是( )(A) 1 ; (B) 0 ; (C) 61 ; (D) 81 . 二、填空题（本大题共10个填空题，每空3分，共30分）1.已知52==||,||b a ϖϖ且,),(3π=∠b a ϖϖ则_______)()(=+⋅-b a b a ρϖϖϖ32.2.通过曲线⎩⎨⎧=-+=++0562222222y z x z y x ,且母线平行于y 轴的柱面方程是_________________. 3.若),ln(222z y x u ++=则._________________=du4. 已知球面的一直径的两个端点为()532，，-和()314-，，，则该球面的方程为______________________________．.5. 函数2223u x y z z =++-在点()01,1,2M -的梯度为___________及沿梯度方向上函数的方向导数为_________.6．设二元函数y x xy z 32+=，则=∂∂∂yx z2_______________． 7．设⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0 , 00 , ),(2222222y x y x y x y x y x f ,求),(y x f x =___________________________.8.xy y x y x +→)2,1(),(lim=___________.y xy y x )tan(lim )0,2(),(→=___________.三、解下列微分方程（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 1．给定一阶微分方程dydx= 3x （1）求它的通解；（2）求过点（2，5）的特解；（3）求出与直线y = 2x – 1 相切的曲线方程。

XXX《高等数学(A)》期中试卷(含答案)

XXX《高等数学(A)》期中试卷(含答案)的区域为圆盘D，半径为t。

根据题意，有：limtx2y2t2f(x2y2)dxdyt4limtDf(x2y2)dxdyt4limt2t(t2r2) f(r2) rdrdt4limt2t(t2r2) f(r2) rdrt4limt2t(1(r/t)2) f(r2) rdr t2令u=r/t，则上式变为：limt2t(1u2) f(t2u2) tdu t221(1u2) f(u2t2) du22f(0)limt01(1u2) du2f(0)因此，所求极限为f(0)。

2、解：eydydx = ∫e^x [y]0^1 dx = ∫e^x (3x) dx = 3∫x e^x dx 3[xe^x - ∫e^x dx] = 3xe^x - 3e^x + C因此，所求积分为3xe^x - 3e^x + C。

3、解：根据题意，有：xyz + x^2 + y^2 + z^2 = 2对两边同时求全微分，得：zdx + ydx + 2xdy + 2zdz = 0因此，有：dz = -(zdx + ydx + 2xdy) / (2z)在点(1.0.-1)处，有：z = f(x。

y) = 1 - x^2 - y^2y = 0，dx = 1，有：dz| (1,0,-1) = -dx / 2 = -1/2因此，所求导数为-1/2.4、解：根据题意，有：D: y = 4 - x^2.y = 2x - x^2.x + y = 0将y = 4 - x^2和y = 2x - x^2相减，得：2x - 4 = 0因此，x = 2，y = -2.将其带入原式，有：D (x^2 + y^2) dxdy = ∫0^2 ∫2x-x^2^4-x^2 dxdy 0^2 [(2x^3/3 - 2x^5/5) - (x^5/5 - x^7/21)] dx 16/15因此，所求积分为16/15.5、解：根据题意，有：z^2 = x^2 + y^2.z = 1将z带入第一个方程，得：x^2 + y^2 = 1因此，所求积分为：x^2 + z) dV = ∫0^2∫0^1 ∫0^(1-z^2) (x^2 + z) r dr dz d 0^2∫0^1 [(r^4/4 + r^2z^2/2) |0^(1-z^2)] dz d0^2 [(1/20)(1-z^2)^(5/2) + (1/6)(1-z^2)^(3/2)] dz2/15)(2 2 - 1)因此，所求积分为(2/15)(2 2 - 1)。

高等数学a2期中测试题及答案

高等数学a2期中测试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 极限lim(x→0)(sinx/x)的值是多少？A. 0B. 1C. 2D. -1答案：B2. 函数f(x)=x^2+3x+2在x=-1处的导数是多少？A. -4B. -2C. 4D. 2答案：A3. 以下哪个选项是正确的不定积分？A. ∫x dx = x^2 + CB. ∫e^x dx = e^x + CC. ∫sin(x) dx = cos(x) + CD. ∫cos(x) dx = sin(x) + C答案：B4. 以下哪个级数是收敛的？A. 1 + 1/2 + 1/4 + ...B. 1 - 1/2 + 1/4 - ...C. 1 + 2 + 3 + ...D. 1/2 + 1/3 + 1/4 + ...答案：B二、填空题（每题5分，共20分）5. 设函数f(x)=3x^2-2x+1，求f'(x)。

答案：6x-26. 计算定积分∫(0 to 1) x^2 dx。

答案：1/37. 求函数y=ln(x)的反函数。

答案：e^y8. 计算二重积分∬(D) xy dA，其中D为x^2+y^2≤1的区域。

答案：π/8三、解答题（每题10分，共60分）9. 求极限lim(x→∞) (x^3-1)/(x^2+1)。

解：lim(x→∞) (x^3-1)/(x^2+1) = lim(x→∞) (x^3/x^2) =lim(x→∞) x = ∞10. 求函数f(x)=x^3-6x+8的极值点。

解：首先求导数f'(x)=3x^2-6，令f'(x)=0，解得x=±√2。

检查二阶导数f''(x)=6x，当x=√2时，f''(x)>0，因此x=√2是极小值点；当x=-√2时，f''(x)<0，因此x=-√2是极大值点。

11. 计算定积分∫(0 to π/2) sin(x) dx。

高数下期中复习卷(A)

e
x
1 1 e
.
1 ( x) n n 0 n!
n

s
1 s
1 1 1 1 1 1 1 1 e (1) 2! 3! 4! 5! 6! n! n 0
1
1 9. 1 n x n的收敛区间是 (, ) ,和函数是 3 n! n0
2 2 2 x 4 y ( a x ) 46 6. z0
2.
D
3.
D
4.
D
5.
D
6.
B
7.
B
7.
14
x e3
8. 1 e 1 9. ( , ),
10. 绝对收敛
一,选择题
1. 设函数 z f ( x, y )在( x0 , y0 )的某邻域内有定义, f x ( x0 , y0 ) ( C ) A. B. C. D. f ( x0 x, y0 y ) f ( x0 , y0 ) lim x 0 x f ( x0 x, y ) f ( x0 , y0 ) lim x 0 x f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 ) lim x 0 x f ( x0 x, y ) lim x 0 x
1 5. 0 un , 则下列级数中一定收敛的是( D ) n A.
un
n 1

B. (1) n un
n 1

C.

n 1

un
2 D. (1) n un n 1

1 1 2 0 un un 2 n n 1 收敛 2 n 1 n
2 un 收敛 2 (1)nun 绝对收敛 n 1 n 1

高数下期中复习题

高数下期中复习题# 高数下期中复习题第一部分：微分学# 1. 极限的概念与性质- 极限的定义：数列极限、函数极限- 极限的性质：唯一性、有界性、保号性- 极限存在的条件：夹逼定理、单调有界定理# 2. 极限的计算- 直接代入法- 夹逼定理- 单调有界定理- 洛必达法则（0/0型和∞/∞型）- 无穷小的比较# 3. 连续性- 连续的定义- 连续函数的性质- 间断点的分类：第一类间断点、第二类间断点# 4. 导数的概念- 导数的定义：几何意义、物理意义- 导数的几何意义：切线斜率- 导数的物理意义：速度、加速度# 5. 导数的运算法则- 基本导数公式- 导数的四则运算法则- 复合函数的求导法则（链式法则）- 反函数的求导法则- 高阶导数# 6. 微分- 微分的定义- 微分与导数的关系- 微分的几何意义：局部线性逼近# 7. 导数的应用- 切线与法线- 函数的单调性- 函数的极值- 曲线的凹凸性- 函数的渐近线第二部分：积分学# 1. 不定积分- 不定积分的定义- 基本积分公式- 换元积分法：第一类换元法、第二类换元法- 分部积分法- 有理函数的积分# 2. 定积分- 定积分的定义- 定积分的性质- 微积分基本定理- 定积分的计算方法：数值积分法、几何法# 3. 定积分的应用- 面积的计算- 体积的计算：旋转体体积- 平均值问题- 物理中的应用：功、质心、转动惯量# 4. 反常积分- 反常积分的定义- 无穷区间上的积分- 无界函数的积分第三部分：级数# 1. 数项级数- 级数的定义：收敛、发散- 正项级数的收敛性判别：比较判别法、比值判别法、根值判别法- 交错级数的收敛性判别：莱布尼茨判别法# 2. 幂级数- 幂级数的定义- 幂级数的收敛半径- 幂级数的收敛区间# 3. 函数的幂级数展开- 泰勒级数- 麦克劳林级数- 常见函数的幂级数展开# 4. 函数的一致连续性和一致收敛性- 一致连续性的定义- 一致收敛性的定义- 一致收敛级数的性质第四部分：多元函数微分学# 1. 多元函数的极限与连续性- 多元函数的极限定义- 多元函数的连续性# 2. 偏导数与全微分- 偏导数的定义- 全微分的定义- 可微性与可导性的关系# 3. 多元函数的极值- 极值的定义- 拉格朗日乘数法# 4. 方向导数与梯度- 方向导数的定义- 梯度的定义第五部分：多元函数积分学# 1. 二重积分- 二重积分的定义- 二重积分的计算方法：直角坐标系、极坐标系# 2. 三重积分- 三重积分的定义- 三重积分的计算方法：直角坐标系、柱坐标系、球坐标系# 3. 曲线积分- 第一类曲线积分- 第二类曲线积分# 4. 曲面积分- 第一类曲面积分- 第二类曲面积分# 5。

高数下A试题及答案

高等数学A （下）课程考试试题参考解答一、单项选择题(满分15分，每小题3分，共5道小题),请将合适选项填在括号内．1.函数3y z x e =-的全微分dz =【C 】．(A) 22y x dx e dy -； (B)23y x dx e dy +；(C) 23y x dx e dy -； (D)23y e dx x dy -．2.球面2x 3.设区域4.级数n ∞=5.曲线⎧⎪⎨⎪⎩(C) 4； (D)4-．二、填空题(满分15分，每小题3分，共5道小题)，请将答案填在横线上． 1.dx xy dy I y ⎰⎰=551ln 1=4. 2.设L 是圆周222R y x =+，曲线积分()22L xy ds +⎰=32R π.3.设⎪⎩⎪⎨⎧≤<≤≤=πππx x x f 20201)(可以展开为正弦级数，此正弦级数在4x π=处收敛于1. 解由于4π=x 是)(x f 的连续点，则)(x f 的正弦级数在4π=x 收敛于1)4(=πf ． 4.微分方程20y y y '''-+=的通解为12()x y c c x e =+.5.函数33(,,)3f x y z z xyz y =-+在点(1,2,3)处的梯度为(18,3,21)-. 三．2解1z f x∂=∂四.L ⎰解 x P -=22,y xQ x =∂∂-，由格林公式，得20d π=⎰五．。

解：因为=t e 则∞==2n t e 六．其中∑是上半球面221y x z --=的上侧.解添加辅助曲面*∑：0=z 取下侧，使*,∑∑构成封闭曲面，记所围成的空间闭区域为Ω，由高斯公式,得， ()()()323232*P Q R x z dydz y x dzdx z y dxdy dxdydz x y z Ω∑+∑⎛⎫∂∂∂+++++=++ ⎪∂∂∂⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰()⎰⎰⎰Ω++=dxdydz z y x 2223πϕϕθππ56sin 31042020==⎰⎰⎰dr r d d ，七.（满分12分）设()y x 是一个连续函数，且满足0()cos 2()sin x y x x y t tdt =+⎰，求()y x 。