Navier-Stokes方程的一类矩形元逼近方法

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一类特殊形式的时间分数阶Navier-Stokes方程的解

摘
要：文考虑了一类特殊形式的时间分数阶Ｎａｉｒｔｋｓ方程的解，采用分离变量法对方程进本ｖｅ－ｏｅＳ行变量分离，得到仅关于空间变量和仅关于时间变量的两个方程，前者是一奇异的Ｓｕｍ．ｔｒＬｏｖｌｉｕｉｅ问题，利用Ｂｓｅ函数求解。后者则是一个关于时间的分数阶常微分方程，分别采用ｌｅｓｌ积分变换、算子方法和Ａｄｍｉｎ分解法对其求解，得到的解一致。ｏａ
者则是一个关于时间的分数阶方程，分别采用积分变换、算子方法和Ａｏａｄｍｉｎ分解法对其求解。最终得到了一致形式的级数解，从而易于近似计算。
２特殊形式的时间分数阶ＮａｉｒＳｏｅ方程ｖｅｏｔｋｓ．
考虑非线性时间分数阶Ｎａｉ－ｔｋｓ方程（ＦＥｖｅ－ｏｅｒＳＴＮＳ）
关键词：时间分数阶Ｎａｉ．ｔｋｓ方程；ＣａｕｏｖｅＳｏｅｒｐｔ导数；分离变量法；Ａｏａ分解法ｄｍｉｎ
分类号：ＡＭＳ２０）５３；６０（０３Ｑ０７Ｄ５０
中图分类号：７
古典Ｎｖｅ—ｔｋｓＮＳ模型有着非常广泛的用途，它模拟的是流体的正常扩散现象。然ａｉＳｏｅ（ — ）ｒ
９６３
工
程
数
学
学
报
第２卷５
段俊生在其博士论文［里借助于ＬｐａｅＭｉｉ４】ａｌ－ｌｎ变换给出了ｎ维空间中瞬时点源分数阶ｃｌ反常次扩散Ｎ— Ｓ模型在半无界区域上的Ｆｘ函数解。Ｅ．ｈｈｄ和Ｓｌｑｏ１ａｅ．Ｓａｍ［借助于Ｌｐａｅ变ｅ５］ａｌｃ换、有限Ｆｕｉｏｒｒ正弦变换和Ｈｎｅｅａｋｌ变换得到了时间分数阶反常次扩散模型ｆ）有界区２在域上解的积分表示。Ｐｖｔｎｏ】ｏｓｅｋ【借助于Ｌｐａｅ变换和Ｈｎｅ变换考虑了带脉冲源项零８ａｌｃａｋｌ初值条件及齐次Ｃｕｈ问题的反常次／扩散模型（）ａｃｙ超２的解析解。Ｍｏｎｍａｉ和ＯｉａＩ则ｄｂｔ）＂＿

流体力学方程组Navier-stokes方程组精确解

流体力学方程组Navier-stokes方程组精确解NS-MHD方程精确解1 (2)2， (3)3， (4)4， (4)5， (5)6， (6)7， (8)8， (8)9， (9)10 (10)11 (10)12, (11)13 (12)14 (12)15 (13)16 ................................................................................................................. ................. 错误！未定义书签。

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一维不可压缩navier_stokes方程_理论说明

一维不可压缩navier stokes方程理论说明1. 引言1.1 概述本文将讨论一维不可压缩Navier-Stokes方程的理论说明。

Navier-Stokes方程是描述流体运动的基本方程之一，其在各个领域都具有重要应用价值。

本文将从介绍Navier-Stokes方程的基本概念开始，逐步展开对一维流动特征和不可压缩流体模型假设的理论说明。

1.2 文章结构文章分为五个主要部分：引言、一维不可压缩Navier-Stokes方程理论说明、理论推导和分析、数值方法和模拟研究以及结论与展望。

其中，引言部分将概述文章的目标和结构，提供读者对整篇文章内容的预览。

1.3 目的本文旨在深入探讨一维不可压缩Navier-Stokes方程，并通过理论推导和数值模拟研究解析该方程对流体运动行为的描述能力。

通过阐明不同数值方法在求解此类方程时的差异和优劣，我们可以更好地了解该方程在实践中的应用，并为进一步研究提供展望。

以上是关于引言部分的详细内容，请根据需要进行修改或补充。

2. 一维不可压缩Navier Stokes方程理论说明2.1 Navier Stokes方程简介Navier Stokes方程是描述流体运动的基本方程之一，它由质量守恒和动量守恒两个方程组成。

同时考虑流体的黏性和压力力作用，Navier Stokes方程能够准确描述流体在各种复杂情况下的运动。

2.2 一维流动特征描述在一维流动中，流体只在一个空间方向上（通常为x轴）有速度分量变化，而在其余两个空间方向上（通常为y轴和z轴）没有速度分量变化。

这样简化后的一维问题可以更容易地推导出Navier Stokes方程的解析解，并且提供了更直观的物理图像。

2.3 不可压缩流体模型假设不可压缩流体是指在任何情况下密度保持不变，即密度是常数。

这个假设适用于许多情况下，例如液体的非常小压缩性以及稳态条件下气体的高马赫数等。

通过这个假设，我们可以将Navier Stokes方程进一步简化为不含密度项的形式，并且使问题更具可行性。

非定常Navier-Stokes方程的质量集中各向异性非协调有限元逼近

关键词：Ｎａｉ —ｔｋｓ方程；质量集中；各向异性；非协调元；误差估计．ｖｅＳｏｅｒ
ＭＲ（００主题分类：５１；５３中图分类号：２１１文献标识码：２０）６Ｎ５６Ｎ０Ｏ４．２Ａ文章编号：０３９８２１）４１１—２１０— ９（０００— ８１３０
能会在边界层或区域的拐角处呈现各向异性特征，即真解仅仅沿某一方向变化剧烈，此时标准的有限元方法会失去原有的精度．另一方面，在实际应用中许多问题都直接定义在窄边区域上，例如电机中定子和转子的间隙，若用正则性网格，计算量将非常大而无法承受．解决此问题的有效方法之一就是采用各向异性单元．然而在这种情况下，传统的ＢａｌＨｌｅｔｒｍｂｅｉｒ — ｂ引理在插值误差分析中已不再适用，而且对于非协调元来说，其传统边界估计技巧也不再适用，因为此时对单元的长边Ｆ上的估计将出现一个因子，可以趋于无穷大，从而导它
一
题，使得利用具有各向异性特征的单元，在较小的自由度下得到与传统单元同样的最优误差估计效果［－３１１】０．
本文主要考虑将Ｃｏｚｉ— ａｉｒ型非协调三角形元用于非定常Ｎａｉ—ｔｋｓ程．ｒｕｅＲｖａｔｘｖｅＳｏｅ方ｒ在不需要传统Ｒｔ—ｏｔｒａ影下，ｉＶｌｒ投ｚｅ通过引入两个辅助有限元空间对边界进行估计的方法，在不要求网格满足正则性及拟一致假设的前提下，导出了速度的模和能量模及压力的。模的误差估计．

5 Navier-Stokes方程的解(课堂PPT)

自1887年Navier-Stokes方程发表后，人们在很长一段时间中一直探索着 NavierStokes方程的精确解。然而，从20世纪50年代起，人们就不怎么热心于寻找 NavierStokes方程的精确解了。
主要原因有三个：
6
5 Navier-Stokes方程的解
ux 0 x
即：运动速度u与坐标轴x无关，
ux u u( y, z,t)
uy 0 uz 0
10
5.1 平行流动
为方便起见，忽略质量力，X＝Y＝Z＝0，将此代入N-S方程的y、z方向项：
u y t
ux
u y x
uy
u y y
uz
u y z
1
p y
2u y x 2
2u y y 2
②当B>0即时的流动称为顺压强梯度流动，压强沿流动方向逐渐降低，顺压梯度流动u>0；
③当B<0即时的流动称为逆压强梯度流动，逆压强梯度流动有可能出现回流；
19
5.1.1 Couette剪切流
④当B＝-1即时的逆压梯度流动是不产生回流的极限状况；
⑤当B<-1即时的逆压梯度流动开始产生回流；
⑥当B<-3即时，Q＝0，逆压梯度对流动的回流作用与上板拖动形成的流量相平衡。
(2) 充分发展的圆管层流流动
流动的N-S方程可写为
1 p 0
r
1 p 0
r
1 p 2u u 0 x r 2 rr
由上述可知，压强p只与x坐标有关而与(r, θ)坐标
无关， p＝p(x)
dp p
dx x
27
5.1.2 Poiseuille流动

纳维-斯托克斯方程

2.3 黏性流体动量平衡方程纳维-斯托克斯方程（Navier-Stokes equations）
⒍ 动量平衡方程的讨论
2 v x 2 v x 2 v x P v x v x v x v x vx vy vz gx 2 2 2 x y z y z x x
动量蓄积量
对流动量
黏性动量
压力
重力
（1）方程的物理意义：运动的流体能量守恒的表现
动量形式作用力形式
2.3 黏性流体动量平衡方程纳维-斯托克斯方程（Navier-Stokes equations）全微分 v v( ,x, y,z)
v v v v dv d dx dy dz x y z
作用力的合力 = 单位时间内动量的变化量
2.3 黏性流体动量平衡方程纳维-斯托克斯方程（Navier-Stokes equations）
稳定流动系统：
[动量传入量] [动量传出量] + [系统作用力的总和] = 0
动量收支差量
不稳定流动系统：
[动量传入量] [动量传出量] +[系统作用力的总和] = [动量蓄积量] 动量收支差量
以vx为准，元体对流动量收支差量为
同理，以vy、vz为准，元体对流动量收支差量为 vx vy、vz
2.3 黏性流体动量平衡方程纳维-斯托克斯方程（Navier-Stokes equations）
⑵ 黏性动量收支差量黏性动量通量同样由九个分量组成以vx为准，C、D面上的黏性动量通量为 zx
x方向的速度、x方向的动量通量
对流动量收支差量为
( v x v x ) dx dy dz x x x

NAVIR-STOKES方程

流体
动
动量
量平衡
2.3 黏性流体动量平衡方程纳维斯托克黏性流体动量平衡方程纳维-斯托克斯方程（斯方程（Navier-Stokes equations））
⑵ 适用条件黏性流体、不稳定流动、不可压缩流体(元体范围内)、层流流动
2.4 理想流体动量平衡方程欧拉方程理想流体动量平衡方程（Eular equations））
简化：
⑴ ⑵
µ = const
，牛顿黏性定律
ρ = const ，连续性方程
2.3 黏性流体动量平衡方程纳维斯托克黏性流体动量平衡方程纳维-斯托克斯方程（斯方程（Navier-Stokes equations））
∂vx ∂vx ∂vx ∂vx ∂2vx ∂2vx ∂2vx ∂p ) = µ( 2 + 2 + 2 ) − + ρgx +vy +vz ρ( +vx ∂τ ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z ∂x
2.3 黏性流体动量平衡方程纳维斯托克黏性流体动量平衡方程纳维-斯托克斯方程（斯方程（Navier-Stokes equations））
⒍ 动量平衡方程的讨论
∂2vx ∂2vx ∂2vx ∂P ∂vx ∂vx ∂vx ∂vx ρ + vx + vy + vz = µ 2 + 2 + 2 − ∂x + ρgx ∂x ∂y ∂z ∂y ∂z ∂τ ∂x
理想流体：没有黏性的流体
µ =0
思考
①
实际流体都具有黏性，提出理想流体的意义何在？
简化：
µ = 0 时，N-S方程简化为欧拉方程
∂v ∂τ = 0

navierstokes方程的三种迭代法

navierstokes方程的三种迭代法
Navier-Stokes方程是描述流体运动的基本方程，其解法通常涉及到数值计算。

以下是三种常见的迭代法：
有限差分法（Finite Difference Method）：
有限差分法是一种直接求解Navier-Stokes方程的方法。

它通过将连续的时间和空间离散化，将偏微分方程转化为差分方程，然后通过迭代求解这些差分方程来逼近原方程的解。

这种方法简单直观，但可能对初值敏感，且在处理复杂边界条件时可能遇到困难。

有限元法（Finite Element Method）：
有限元法是一种基于变分原理的数值方法。

它将连续的流体域离散为有限个小的子域（或称为“元”），然后在这些子域上定义近似函数。

通过最小化近似函数与真实解之间的误差，可以得到原方程的近似解。

这种方法能够处理复杂的边界条件，且对初值不敏感，但计算量较大。

有限体积法（Finite Volume Method）：
有限体积法是一种介于有限差分法和有限元法之间的方法。

它将流体域划分为一系列控制体积，并在每个控制体积上定义离散的数值格式。

通过求解这些离散方程，可以
得到原方程的近似解。

这种方法在处理复杂边界条件和流场变化时具有较好的适应性，且计算效率较高。

以上三种迭代法各有优缺点，可以根据具体问题选择适合的方法进行求解。

Navier-Stokes-Navier-Stokes耦合方程的数值解法

Navier-Stokes-Navier-Stokes耦合方程的数值解法Navier-Stokes/Navier-Stokes耦合方程的数值解法导言在流体力学领域中，Navier-Stokes方程是研究流体运动的基本方程。

然而，在某些特定的情况下，这一方程组的数值求解可能会变得相当困难。

针对这一问题，研究人员提出了一种耦合求解Navier-Stokes方程的方法，即Navier-Stokes/Navier-Stokes耦合方程。

本文将介绍该方程的数值解法。

一、方程模型的建立Navier-Stokes方程是一组描述流体连续性、动量守恒和能量守恒的偏微分方程。

在求解流体运动问题时，一般需要将流体领域划分为无限小的控制体，并对每个控制体应用质量、动量和能量守恒方程。

而Navier-Stokes/Navier-Stokes耦合方程则是在不同物理领域的控制体之间建立耦合关系，以实现多物理场的数值求解。

二、数值求解方法针对Navier-Stokes/Navier-Stokes耦合方程的数值求解，常用的方法包括有限元法、有限差分法和有限体积法等。

这些方法各自具有自身的特点和适用范围。

1. 有限元法有限元法是一种广泛应用于流体力学问题的数值求解方法。

在求解Navier-Stokes/Navier-Stokes耦合方程时，有限元法将流体领域离散成有限数量的单元，通过对每个单元内的方程进行近似求解，并通过单元之间的耦合关系得到整个流场的解。

有限元法的优势在于适用于复杂的几何形状和边界条件，并且能够处理非结构化网格。

然而，有限元法的计算量较大，对计算资源的需求较高。

2. 有限差分法有限差分法是一种利用离散化点上的函数值和函数导数之间的关系来近似求解微分方程的方法。

在求解Navier-Stokes/Navier-Stokes耦合方程时，有限差分法将流体领域离散成网格点，并通过有限差分近似来求解偏微分方程。

有限差分法的特点在于简单易懂、计算效率高，特别适用于规则网格和稠密网格的情况。

navier-stokes方程数学基础

navier-stokes方程数学基础下载温馨提示：该文档是我店铺精心编制而成，希望大家下载以后，能够帮助大家解决实际的问题。

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纳维-斯托克斯方程(Navier-Stokes equations)

纳维-斯托克斯方程(Navier-Stokes equations)名称由来Navier-Stokes equations描述粘性不可压缩流体动量守恒的运动方程。

简称N-S方程。

因1821年由C.-L.-M.-H.纳维和1845年由G.G.斯托克斯分别导出而得名。

该方程是可压缩流体的N-S方程。

其中，Δ是拉普拉斯算子；ρ是流体密度；pN-S方程意义后人在此基础上又导出适用于可压缩流体的N-S方程。

N-S方程反映了粘性流体（又称真实流体）流动的基本力学规律，在流体力学中有十分重要的意义。

它是一个非线性偏微分方程，求解非常困难和复杂，目前只有在某些十分简单的流动问题上能求得精确解；但在有些情况下，可以简化方程而得到近似解。

例如当雷诺数Re1时，绕流物体边界层外，粘性力远小于惯性力，方程中粘性项可以忽略，N-S方程简化为理想流动中的欧拉方程（=－Ñp+ρF）；而在边界层内，N-S方程又可简化为边界层方程，等等。

在计算机问世和迅速发展以后，N-S方程的数值求解才有了很大的发展。

基本假设在解释纳维-斯托克斯方程的细节之前，首先，必须对流体作几个假设。

第一个是流体是连续的。

这强调它不包含形成内部的空隙，例如，溶解的气体的气泡，而且它不包含雾状粒子的聚合。

另一个必要的假设是所有涉及到的场，全部是可微的，例如压强P，速度v，密度，温度Q，等等。

该方程从质量，动量，和能量的守恒的基本原理导出。

对此，有时必须考虑一个有限的任意体积，称为控制体积，在其上这些原理很容易应用。

该有限体积记为\Omega，而其表面记为\partial\Omega。

该控制体积可以在空间中固定，也可能随着流体运动。

纳维-斯托克斯方程（Navier-Stokes equations），以克劳德-路易·纳维(Claude-Louis Navier)和乔治·盖伯利尔·斯托克斯命名，是一组描述象液体和空气这样的流体物质的方程。

流体仿真知识点总结

流体仿真知识点总结流体仿真是指利用计算机模拟流体力学问题，通过数值方法研究流体的运动规律和流场性质。

它是一种重要的科学计算手段，广泛应用于航空航天、水利工程、环境工程、汽车工程、海洋工程等领域。

本文将对流体仿真的基本概念、数值方法、常见模型以及实际应用进行总结，以帮助读者全面了解流体仿真的知识体系。

一、基本概念1. 流体的基本性质流体是一种特殊的物质状态，具有不固定的形状和容易流动的特性。

其主要物理性质包括密度、压力、温度、速度、粘度等。

在流体力学中，通常将流体分为不可压缩流体和可压缩流体两种类型，分别对应于马赫数小于0.3和大于0.3的情况。

2. 流体力学基本方程流体力学基本方程包括连续方程、动量方程和能量方程。

其中连续方程描述了流体的质量守恒，动量方程描述了流体的动量守恒，能量方程描述了流体的能量守恒。

这些方程是描述流体运动规律的基础，也是流体仿真的数学模型基础。

3. 边界条件和初值条件流体力学问题的边界条件和初值条件对解的精度和稳定性有着重要影响。

边界条件指流场与固体边界的交界处的物理条件，通常包括速度、压力、温度等。

初值条件指初始时刻各物理量的数值分布。

确定合适的边界条件和初值条件是流体仿真的关键步骤之一。

二、数值方法1. 有限差分法有限差分法是一种基本的离散数值方法，它将求解区域分割成有限个离散点，通过差分逼近连续微分方程，将微分方程转化为代数方程组进而进行数值求解。

有限差分法在流体力学中得到了广泛应用，如Navier-Stokes方程、能量方程和扩散方程等都可以通过有限差分法进行离散求解。

2. 有限体积法有限体积法是将求解区域分割成有限个控制体，通过对控制体内部进行积分得到平均值，进而将微分方程转化为代数方程组。

有限体积法在流体力学中得到了广泛应用，特别适用于非结构网格和复杂流场的数值模拟。

3. 有限元法有限元法是一种通过拟合局部基函数的方法，将微分方程转化为代数方程组进而进行数值求解。

neuber方法

neuber方法
Neuber方法是一种用于解决不确定性和模糊性的数值方法,也被称为Navier-Stokes方程的数值解法。

它基于有限体积法(Finite Volume Method,FVM)和有限差分法(Finite Difference Method,FDM)两种数值方法,将Navier-Stokes方程组求解转化为一组数值积分,从而实现了对不确定性和模糊性的处理。

具体来说,Neuber方法通过将Navier-Stokes方程组离散化为一组基函数的形式,然后在离散化的点上通过基函数的迭代逼近来求解数值解。

具体来说,它包括以下步骤:
1. 定义基函数:Neuber方法使用一组基函数来表示
Navier-Stokes方程组中未知量的不确定性和模糊性。

这些基函数通常通过最小二乘法或随机化方法得到,并且需要满足一定的数学和物理条件。

2. 确定离散化位置:将实际空间中的连续体离散化为一组离散点,这些点需要满足一定的离散化规则,例如每一点的坐标必须满足一定的精度要求。

3. 离散化Navier-Stokes方程组:将Navier-Stokes方程组用基函数表示出来,并将其离散化为一组基函数方程。

4. 迭代逼近数值解:使用基函数方程对离散化的Navier-Stokes 方程进行迭代逼近,直到收敛为止。

5. 计算数值解:通过计算每个离散点上的数值解,可以得到一组数值解,并将它们用于后续的计算和分析。

Neuber方法在工业、航空航天、海洋、建筑和能源等领域具有广泛的应用,能够解决许多复杂的物理问题,但也存在一些局限性,例如数值稳定性和精度问题等。

偏微分方程求解算法研究及应用

偏微分方程求解算法研究及应用偏微分方程是描述自然现象和工程问题的重要工具。

从最简单的热传导方程到流体力学中的Navier-Stokes方程，这些方程的求解能够获得很多实际问题的解答。

随着计算机技术的飞速发展，可解决的偏微分方程问题的范围和复杂性也得到了提高。

在本文中，我们将讨论偏微分方程的一些求解算法及其应用，以及这些算法如何在实践中发挥作用。

第一部分：解析方法解析方程的基本思想是寻找满足特定条件的解析表达式。

在偏微分方程的求解中，常见的解析方法包括分离变量法、变量参数法和特征线方法等。

1.1 分离变量法分离变量法是解决大多数运筹学、物理学和工程学问题的重要方法。

它的基本思想是，假设找到一种函数形式，使得偏微分方程中的某些变量可以单独表示，这样就可以得到关于单个变量的一组普通微分方程。

通过求解这些方程，就可以获得原始问题的解。

例如，考虑一个双曲型偏微分方程：$$ \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}-\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}=0 $$我们可以假设$u(x,t)$的解有如下形式：$$ u(x,t)=X(x)T(t) $$将它代入原方程得到：$$ \frac{X''}{X}=\frac{T''}{T}=-\lambda $$其中$\lambda$是分离常数。

然后，我们可以解出关于$X$和$T$的两个普通微分方程：$$ X''+\lambda X=0, T''+\lambda T=0 $$这两个方程都是熟悉的谐振动方程，其解可以表示为正弦波和余弦波的线性组合。

因此，原方程的通解可以写成：$$ u(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}(A_n\cos(\sqrt{\lambda_n}x)+B_n\sin(\sqrt{\lambda_n}x))(C_n\cos(\sqrt{\lambda_n}t)+D_n\sin(\sqrt{\lambda_n}t)) $$其中，$A_n,B_n,C_n$和$D_n$是一些常数，根据边界条件和初始条件来确定。

6Navier_Stokes方程的解

2b 3 dx
umax 1.5V
6.1.2 Poiseuille流动
(2) 充分发展的圆管层流流动
管道内部流动是N-S方程精确解中最具实际意义的流动之一。由于粘性流体在管道入口的一段距离内存在着边界层发展的过程，流速在剖面上的分布是沿程变化的，下面只研究入口段以后充分发展了的管内层流流动。
ux 0 x
即：运动速度u与坐标轴x无关，
ux u u( y, z,t)
uy 0 uz 0
6.1 平行流动
为方便起见，忽略质量力，X＝Y＝Z＝0，将此代入N-S方程的y、z方向项：
u y t
ux
u y x
uy
u y y
uz
u y z
1

p y
充分发展的圆管层流流动
r0 r o
u (r) x
6.1.2 Poiseuille流动
(2) 充分发展的圆管层流流动
采用圆柱坐标系(r,θ ,x)，ur＝0，uθ ＝0，只有x 方向的流速ux＝u(r)不为零。
由连续性方程
可得
ur ur 1 u ux 0
r r r x
(1) 不可压缩粘性流体通过槽内的定常流动
流速分布为抛物线型。最大流速出现在两板中心
处(y＝0)
umax

b2
2
dp dx
单位宽度槽内流量为
q
b
u
b
dy

1
2
dp dx
b2 y

y3 3
b b
2b3 dp
3 dx
断面平均流速为
V q b2 dp

不可压Navier-Stokes方程的一阶有限元解法

Ｊｕ１．２０１３
文章编号：１６７４－２９７４（２０１３）０７ — ００４１ — ０５
不可压Ｎａｖｉｅｒ－Ｓｔｏｋｅｓ９ｂ－程的一阶有限元解法
卞正宁，罗建辉
（湖南大学土木工程学院，湖南长沙４１００８２）
ＢＩＡＮＺｈｅｎｇ－ｎｉｎｇ。ＬＵＯＪｉａｎ — ｈｕｉ
（ＣｏｌｌｅｇｅｏｆＣｉｖｉｌＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ。ＨｕｎａｎＵｎｉｖ，Ｃｈａｎｇｓｈａ，Ｈｕｎａｎ４１００８２。Ｃｈｉｎａ）
Ａｂｓｔｒａｃｔ：ＯｎｅｏｆｔｈｅｄｉｆｆｉｃｕｌｔｉｅｓｏｆｔｈｅｎｕｍｅｒｉｃａｌｓｏｌｕｔｉｏｎｏｆｉｎｃｏｍｐｒｅｓｓｉｂｌｅＮａｖｉｅｒ－Ｓｔｏｋｅｓｅｑｕａｔｉｏｎｓｉｓｔｈｅｄｅｔｅｒｍｉｎａｔｉｏｎｏｆｔｈｅｐｒｅｓｓｕｒｅｆｉｅｌｄａｎｄｔｈｅｆｕｌｆｉｌｌｍｅｎｔｏｆｔｈｅｉｎｃｏｍｐｒｅｓｓｉｂｉｌｉｔｙｃｏｎｄｉｔｉｏｎ．Ｉｎｆａｃｔ，ｔｈｅｐｒｅｓｓｕｒｅｖａｒｉａｂｌｅｉｓｎｏｔｐｒｅｓｅｎｔｉｎｃｏｎｔｉｎｕｉｔｙｅｑｕａｔｉｏｎ，ｂｕｔａｃｏｎｓｔｒａｉｎｔｆｏｒｔｈｅｖｅｌｏｃｉｔｙｆｉｅｌｄｉｓｐｒｅｓｅｎｔ．Ｉｎｔｈｉｓｐａｐｅｒ，ｔｈｅｂａｓｉｃｖａｒｉａｂｌｅｓｏｆｖｅｌｏｃｉｔｙａｎｄｓｔｒｅｓｓｗｅｒｅｐｒｏｐｏｓｅｄｆｏｒｉｎｃｏｍｐｒｅｓｓｉｂｌｅｖｉｓｃｏｕｓｆｌｕｉｄ，ａｏｎｅ－ｏｒｄｅｒｆｌｕｉｄｄｙｎａｍｉｃｓｅｑｕａｔｉｏｎｓｙｓｔｅｍｗｉｔｈｏｕｔｐｒｅｓｓｕｒｅｔｅｒｍｗａｓｐｒｏｐｏｓｅｄａｎｄｉｔｓｉｎｔｅｇｒａｌｆｏｒｍｗａｓｇｉｖｅｎ

定常Navier-Stokes方程的一种高效稳定有限元方法

方法得到的解具有同阶的收敛性，两层稳定有限元方法节省了大量的工作时间．但关键词：ｖｅ—ｔｋｓＮａｉＳｏｅ方程：定有限元方法；ｒ稳局部高斯积分方法；ｎ－ｕ条件；ｉｆｐｓ两层
有限元方法：
中图分类号：４．Ｏ２１１
文献标识码：Ａ
格上的精度，而且大大降低了问题的复杂性，节省了大量的工作时间．
§ 定常ＮＳ２ —方程的基本问题
设是Ｒ上的有界区域，其边界ｒ满足Ｌｐｅｉ￣续条件且进一步满足后面（）ｉｓｈｔｚＡ１的条件．定
常ＮＳ — 方程如下：
一
ｕｕｐ（・）＋￣ｉ）＝，力，Ａ＋＋ｕ（ｖｕｆ在中ｄｕ
收稿日期：０９０ — ８２０ —９２
基金项目：国家自科学基金（０００１；然１７１０）陕西省自然科学基础研究基金（Ｊ８４；Ｓ０Ａ１）宝鸡文理学院重点科研项目
基金（Ｋ０１）Ｚ９１
１２８
高校应用数学学报
第２卷第２５期
常ＮＳ —方程（－】最近，１１．３４两层简单格式的有限元方法取得了一些好的结果［９．６］－
对于定常ＮＳ —方程，本文提出的两层稳定有限元方法的主要思想如下：第一步：在粗网格上用稳定有限元方法（局部高斯积分稳定化算法）求解定常ＮＳ — 方程（元选方便简单１．第二步：在细网格上利用粗网格的解对原问题线性化ｆ非线性复杂性得以缓解１．本文的数值结果表明：采用两层稳定有限元方法求解ＮＳ —方程，不仅保持稳定化方法在细网

navier-stokes方程

navier-stokes方程
Navier-Stokes 方程是描述粘性流体运动的基本方程之一。

它由法国工程师Claude-Louis Navier 和英国物理学家Sir George Gabriel Stokes 在19 世纪末独立地推导得出，是流体动力学的基本方程之一。

Navier-Stokes 方程可以用来描述流体的力学特性，包括流体的流动、温度分布、压强分布等。

它主要用于研究粘性流体的力学特性，可以用来模拟流体在多种情况下的流动。

Navier-Stokes 方程的常见形式为：
$$\frac{\partial\mathbf{u}}{\partial
t}+\mathbf{u}\cdot\nabla\mathbf{u}=-\frac{1}{\rho}\nabla
p+\nu\nabla^2\mathbf{u}$$
其中，$\mathbf{u}$ 是流体的速度，$t$ 是时间，$\rho$ 是流体的密度，$p$ 是流体的压力，$\nu$ 是流体的粘滞系数。

Navier-Stokes 方程是一个偏微分方程组，通常使用有限差分法或有限元法来求解。

它在工程、物理、数学、经济等领域有广泛的应用。

Navier-Stokes系统降维模型中线性反馈控制的分析与逼近

第46卷第4期2020年12月延边大学学报(自然科学版)J o u r n a l o fY a n b i a nU n i v e r s i t y (N a t u r a l S c i e n c e )V o l .46N o .4D e c .2020收稿日期:20201021 基金项目:吉林省科技发展计划项目(20180101215J C )*通信作者:朴光日(1968 ),男,博士,教授,研究方向为数值计算.文章编号:1004-4353(2020)04-0295-07N a v i e r -S t o k e s 系统降维模型中线性反馈控制的分析与逼近赵锦玮, 朴光日*(延边大学理学院,吉林延吉133002)摘要:讨论了N a v i e r -S t o k e s 系统降维模型的线性反馈控制问题.首先介绍了特征正交分解方法(p r o p e r o r t h o g o n a l d e c o m p o s i t i o n ,P O D ),然后利用该方法建立了N a v i e r -S t o k e s 系统反馈控制问题的降维模型,最后运用R i t z -G a l e r k i n 方法估计了线性反馈控制问题的降维模型解与有限元解之间的误差,并给出了计算降维模型解和速度跟踪问题的算法.关键词:N a v i e r -S t o k e s 系统;降维模型;线性反馈控制中图分类号:O 242.21 文献标识码:AA n a l y s i s a n d a p pr o x i m a t i o no f l i n e a r f e e d b a c k c o n t r o l i n t h e r e d u c e dm o d e l i n g fo rN a v i e r -S t o k e s f l o w s Z H A OJ i n w e i , P I A O G u a n gr i *(C o l l e g e o f S c i e n c e ,Y a n b i a nU n i v e r s i t y ,Y a n ji 133002,C h i n a )A b s t r a c t :T h i s p a p e r d i s c u s s e s t h e l i n e a r f e e d b a c k c o n t r o l o fN a v i e r -S t o k e s f l o w s i n a r e d u c e d -o r d e rm o d e l i n g .F i r s t l y ,w e i n t r o d u c e t h e p r o p e r o r t h o g o n a l d e c o m po s i t i o n m e t h o d .A n d t h e n ,u s e t h em e t h o dt oe s t a b l i s ha r e d u c e d -o r d e rm o d e l i n g o f t h eN a v i e r -S t o k e s f l o w s f e e d b a c kc o n t r o l p r o b l e m.F i n a l l y ,w e e s t i m a t e t h e e r r o r b e t w e e n t h ef i n i t ee l e m e n ts o l u t i o na n dt h er e d u c e d -o r d e r m o d e l i n g s o l u t i o no ft h el i n e a rf e e d b a c kc o n t r o l p r o b l e m w i t h t h eR i t z -G a l e r k i nm e t h o d ,a n d p r o p o s e a l g o r i t h m s f o r c a l c u l a t i n g t h e s o l u t i o no f r e d u c e do r d e r m o d e l i n g a n dv e l o c i t y t r a c k i n gpr o b l e m.K e y w o r d s :N a v i e r -S t o k e s f l o w s ;r e d u c e d -o r d e rm o d e l i n g ;l i n e a r f e e d b a c kc o n t r o l 0 引言本文考虑如下N a v i e r -S t o k e s 系统的初边值问题: u t -νΔu +(u ㊃∇)u +∇p =f ,(0,T )ˑΩ;∇㊃u =0,(0,T )ˑΩ;u (x ,t )=0,(0,T )ˑ∂Ω;u (x ,0)=u 0,Ωìîíïïïïïï.(1)其中:Ω是有界开集;ν=R e -1,R e 为R e y n o l d s 数;u 表示流体速度向量;p 为压力;f 为体积力.N a v i e r -S t o k e s 方程能够反映黏性流体流动的基本力学规律,因此该方程常被用于解决工程技术中延边大学学报(自然科学版)第46卷的流体力学问题.近年来,许多学者研究了N a v i e r -S t o k e s 方程最优控制问题的数学逼近理论,并且给出了求解非定常流动控制问题的数值方法[1-4].在对N a v i e r -S t o k e s 方程求解时,若采用有限元方法,则会出现一个非常大的非线性代数方程组,计算难度较大,尤其是对于反馈控制或最优化控制的问题.研究表明,利用降维法不仅可以保证计算的精度,节省计算机的内存,而且还可以大幅度提高计算效率.特征正交分解法[5]作为降维方法的一种,其实质是在最小二乘的意义下找到能够代表已知数据的正交基.在对N a v i e r -S t o k e s 方程降维模型的相关研究中,目前大多只是对其进行了数值分析,而对其进行理论分析的较少;因此,本文运用P O D 方法讨论N a v i e r -S t o k e s 系统降维模型的线性反馈控制问题,估计了线性反馈控制问题的降维模型解与有限元解之间的误差,并给出了计算降维模型解和跟踪速度问题的算法.1 主要符号和N a v i e r -S t o k e s 方程的全离散格式本文使用的是S o b o l e v 空间H m (Ω),H m (Ω)的范数为㊃m,特别地H 0(Ω)=L 2(Ω),㊃0=㊃.定义H m 0(Ω)为C ɕ0(Ω)在范数㊃m之下的闭包,H -m (Ω)是H m0(Ω)的对偶空间,且定义L 20(Ω)={p ɪL 2(Ω):ʏΩp d x =0},无散度空间V (Ω)={u ɪH 10(Ω):∇㊃u =0}.设X 是Ω上的实H i l b e r t 空间.对于任意一个T ,本文定义在(0;T )ˑΩ上的时空函数空间L p ((0,T );X )={u ɪX ;ʏTu pX d t <ɕ},它的范数为u L p ((0,T );X )=(ʏT 0u pX d t )1p .为了定义N a v i e r -S t o k e s 系统的弱形式,下面给出2个双线性形式和1个三线性形式.2个双线性形式为:a 1(u ,v )=2ðni ,j =1ʏΩD i j (u )D i j (v )d x ,∀u ,v ɪH 1(Ω); a 2(v ,q )=-ʏΩq ∇㊃v dx ,∀q ɪL 2(Ω),∀v ɪH 1(Ω),其中D i j (u )=(∂u i /∂x j +∂u j/∂x i )/2.为了使给出的三线性形式具有反对称性[6],本文给出如下的三线性形式:a 3(w ;u ,v )=12ʏΩðni ,j =1w i∂u j∂xivj-w i∂v j ∂x iu æèçöø÷j dx ,∀w ,u ,v ɪH 1(Ω).上述三线性形式具有如下性质[6]: a 3(w ;u ,v )=-a 3(w ;v ,u ),a 3(w ;u ,u )=0,(2) M =s u p u ,v ,w ɪXa 3(w ;u ,v )∇u ∇v ∇w.(3)当U ɪU a d ={v :v ɪC ((0,T );H 2(Ω)ɘH 10(Ω)),∂t v ɪC ((0,T );H 1(Ω))},称U 为容许目标速度.本文将由U 产生的体积力定义为F (x ,t )=U t (x ,t )-νΔU (x ,t )+U ㊃∇U (x ,t ).(4)若X =H 10(Ω),u ɪL 2((0,T );X )㊁p ɪL 2(0,T ;L 20(Ω))和f (x ,t )ɪL 2((0,T );L 2(Ω))分别表示速度场㊁压力场的状态变量和分布控制,则状态变量u 和p 满足如下约束条件,即N a v i e r -S t o k e s 方程的弱形式: <∂u ∂t ,v >+a 1(u ,v )+a 2(u ,p )+a 3(u ;u ,v )=<f ,v >,∀v ɪX ;a 2(u ,q )=0,∀q ɪL 20(Ω)ìîíïïï.其中初始条件是u 0,边界条件等于零,<㊃,㊃>表示H 10(Ω)和H -1(Ω)之间的对偶配对.为了给出N a v i e r -S t o k e s 系统的全离散格式,本文根据文献[6-10]分别定义X 和L 20(Ω)的有限维692第4期赵锦玮,等:N a v i e r -S t o k e s 系统降维模型中线性反馈控制的分析与逼近子空间X h 和S h :X h ={v h ɪC 0(Ω)ɘX ;v h |K ɪP 2(K ),∀K ɪ췍h }, S h ={q h ɪC 0(Ω)ɘL 20(Ω);qh |K ɪP 1(K ),∀K ɪ췍h }.其中췍h 是췍Ω的三角剖分,P 2(K )和P 1(K )分别是在K 上次数不超过2和1的多项式.令时间步长Δt =T /N ,瞬时时间t n =n Δt (N 是正数,0ɤn ɤN ).给定T ,f ɪX h 和u 0ɪV (Ω),若(u (n )h ,p(n )h )ɪ(X h ˑS h )(n =1,2, ,N )满足以下系统: (u (n )h ,v h )+Δt νa 1(u (n )h ,v h )+Δt a 2(u (n )h ,p (n )h )+Δt a 3(u (n )h ;u (n )h ,v h )= (Δt f (n )+u(n -1)h ,v h ),v h ɪX h ;a 2(u (n )h ,q h )=0,∀qh ɪS h ìîíïïïï,(5)其中初始条件u (0)h =πh u 0,边界条件等于零,则称(u (n )h ,p (n )h )为N a v i e r -S t o k e s 系统时空全离散的广义解[11].2 P O D 基的构造构造P O D 基的方法[10]如下:给定f ㊁时间步长Δt 和空间步长h ,然后通过求解系统(5)得到解的集合;从集合中取L (L ≪N )个样本点u (n i )h (x )(1ɤn 1<n 2< <n L ɤN ),这些样本点即为P O D 方法中的瞬像.令u i (x )=u (n i )h (x )(1ɤi ɤL ),W =s p a n {u 1,u 2, ,u L },并称W 是由瞬像张成的空间,其中u {}i L i =1至少有一个非零元.若定义{ϕj }lj =1是W 的标准正交基,则有 u i =ðlj =1(u i ,ϕj )X ϕj ,i =1,2, ,L ,(6)其中(u i ,ϕj )X =(∇u (n i )h ,∇ϕj ),X =H 10(Ω).构造P O D 方法的目的是通过求标准正交基ϕj (j =1,2, ,L )使元素u i (1ɤi ɤL )与式(6)的d 项和之间的均方误差最小,即通过求标准正交基ϕj (j =1,2, ,L )使 m i n {ϕj }d j =11L ðLi =1u i -ðdj =1(u i ,ϕj )X ϕj2X,(7)满足(ϕi ,ϕj )X =δi j ,1ɤi ɤd ,1ɤj ɤi ,(8)其中u i2X=∇u (n i )h2.满足式(7)和式(8)的解{ϕj }dj =1称为秩等于d 的PO D 基.引入瞬像集{u i }Li =1对应的相关矩阵A =(A i j )L ˑL ,A i j =1L (u i ,u j )X .则A是秩为l 的非负正定矩阵.设矩阵A 的特征值为λ1ȡλ2ȡ ȡλl >0,特征值对应的标准正交特征向量为v 1,v 2, ,v l ,则秩为d ɤl 的P O D 基可以写成ϕi =1L λi ðLj =1(v i )j u j ,1ɤj ɤd ɤl ,其中(v i )j 表示特征向量v i 的第j 个分量.令X d =s p a n {ϕ1,ϕ2, ,ϕd },且定义R i t z 投影πh ʒX ңX h (如果πh被限制为是从X h 到X d 的R i t z 投影,则将其记为πd ,即πh |X h =πd ʒX h ңX d 和πhʒX \X h ңX h \X d ), (∇πhu ,∇v h )=(∇u ,∇v h ),∀v h ɪX h ,(9)其中u ɪX .线性算子πh 具有性质:∇(πhu )ɤ∇u ,∀u ɪX .引理1[10] 对于d (1ɤd ɤl)投影算子πd 有如下不等式成立: 1L ðLi =1∇(u (n )h -πd u (n )h )20ɤðld +1λj,792延边大学学报(自然科学版)第46卷1L ðLi =1u (n )h -πd u (n )h2ɤCh 2ðld +1λj,其中u (n )hɪW 是系统(5)的解.3 线性反馈控制问题的降维模型及其误差估计将X d 和S d 分别定义为X h 和S h 的有限维子空间,并用投影U d =πd U h (x ,t n )ɪX d逼近U .当U ɪH 2(Ω)ɘX 时,由近似理论[12]可知,存在一个常数C 1使得U (n )h -U (n )d ɤC 1h 2U (n )h 2.因此可将由U 生成的体积力写成如下形式:(F (n )d ,v d )=1Δt(U (n )d -U (n -1)d ,v d )+νa 1(U (n )d ,v d )+a 3(U (n )d ;U (n )d ,v d ).(10)给定一个T ,且当f (n )ɪX d 和u 0ɪV (Ω)时,若(u (n )d ,p(n )d )ɪ(X d ˑS d)(1ɤn ɤN )满足以下系统: (u (n )d ,v d )+Δt νa 1(u (n )d ,v d )+Δt a 2(u (n )d ,p (n )d )+Δt a 3(u (n )d ;u (n )d ,v d )= (Δt f (n )+u(n -1)d ,v d ),∀v d ɪX d;a 2(u (n )d ,q d )=0,∀qd ɪS dìîíïïïï,(11)其中初始条件u (0)d =πd u 0,边界条件等于零,则称(u (n )d ,p (n )d )为N a v ie r -S t o k e s 方程降维模型的广义解(降维解).本文运用如下的线性反馈控制律 f (n )d =F (n )d -γ(u (n )d -U (n )d )(12)追踪速度场U ,其中γ>H ,H =m a x {0,-C (ν-M ∇U Lɕ[(0,T );H 1(Ω)])},C 是P o i n c a r é常数.当系统(11)中的f (n )d 由式(12)定义时,根据文献[6]可知,使用稳态N a v i e r -S t o k e s 方程的标准方法即可证明系统(11)解的存在性.引理2[10] 若f ɪH -1(Ω),u 0ɤν-1/2fL 2(H -1),∇uL 2(L2)ɤν-1fL 2(H -1),则系统(11)有唯一的一组解u(n)dɪX d,且u (n)d 20+Δt νðni =1∇u i d 2ɤΔt ν-1ðni =1f i 2-1,其中fH-1=f-1=s u p v ɪH 10(Ω)(f ,v)∇v 0.引理3 对于a ,b >0,任意ε>0,1ɤp ɤɕ,1p +1q=1,有a b ɤεa p +C (ε,p )b q.引理4[11] 当系统(5)的解u (n )h ɪU a d ,有u (n )h -U (n )h 2ɤ(1+2κΔt )-n πh u 0-πh U 02,其中κ=γ+C (ν-M ∇U Lɕ[(0,T );H 1(Ω)])>0,C 为P o i n c a r é常数.定理1 若Δt =O (h ),L 2=O (N ),且均匀选取瞬像,则有限元解与降维模型解的误差估计为u(n )h-u(n )dɤCΔt +C (h 1/2ðlj =d +1λj )1/2,n =1,2, ,N .证明用式(5)减去式(11),并令v h =v d ɪX d ⊂X h 可得 (u (n )h -u (n )d ,v d )+Δt νa 1(u (n )h -u (n )d ,v d )+Δt a 3(u (n )h ;u (n )h ,v d )- Δt a 3(u (n )d ;u (n )d ,v d )=(u (n -1)h -u (n -1)d ,v d ).由无散度条件可知,上式中的压力项为0.令u (n )h -u (n )d =(u (n )h -πd u (n )h )+(πd u (n )h -u (n )d )=η(n )+ψ(n ),则对于a 3(u (n )h ;u (n )h ,v d )-a 3(u (n )d ;u (n )d ,v d )=a 3(u (n )h ;u (n )h ,v d )-a 3(u (n )d ;u (n )h ,v d )+a 3(u (n )d ;u (n )h ,v d )- a 3(u (n )d ;u (n )d ,v d )=a 3(η(n );u (n )h ,v d )+a 3(ψ(n );u (n )h ,v d )+a 3(u (n )d ;η(n ),v d )+a 3(u (n )d ;ψ(n ),v d ),有(η(n )+ψ(n ),v d )+Δt νa 1(η(n )+ψ(n ),v d )+Δt a 3(η(n );u (n )h ,v d )+Δt a 3(ψ(n );u (n )h ,v d )+ Δt a 3(u (n )d ;η(n ),v d )+Δt a 3(u (n )d ;ψ(n ),v d )=(η(n -1)+ψ(n -1),v d ).892第4期赵锦玮,等:N a v i e r -S t o k e s 系统降维模型中线性反馈控制的分析与逼近令v d =ψ(n ),则由式(9)和a 3(w ;u ,u )=0可得 (ψ(n ),ψ(n ))+Δt νa 1(ψ(n ),ψ(n ))=-(η(n ),ψ(n ))+(η(n -1),ψ(n ))+(ψ(n -1),ψ(n ))- Δt [a 3(η(n );u (n )h ,ψ(n ))+a 3(ψ(n );u (n )h ,ψ(n ))+a 3(u (n )d ;η(n ),ψ(n ))].(13)由S c h w a r t z 不等式㊁P o i n c a r é不等式㊁Y o u n g 不等式(a b ɤεa 2+14εb 2)以及文献[10]中的结果(πd u (n )h -u (n )h ɤC h ∇(πd u (n )h -u (n )h )可知,如果令Δt =O (h ),ε1=2/Δt ν,则有 (η(n -1),ψ(n ))ɤη(n -1)ψ(n )ɤC η(n -1)∇ψ(n)ɤC ε1η(n -1)2+14ε1∇ψ(n )2ɤC h 2Δt ν∇η(n -1)2+Δt ν8∇ψ(n)2ɤC h ∇η(n -1)2+Δt ν8∇ψ(n )2.(14)同理可得:(η(n ),ψ(n ))ɤC h ∇η(n )2+Δt ν8∇ψ(n )2,(15) (ψ(n -1),ψ(n ))ɤ12ψ(n -1)2+12ψ(n )2.(16)再由式(3)和Y o u n g 不等式可得a 3(η(n );u (n )h ,ψ(n ))ɤM ∇η(n )∇u(n )h∇ψ(n )ɤε∇ψ(n )2+M 24ε∇η(n )2∇u (n)h2.(17)同理可得a 3(u (n )d ;η(n ),ψ(n ))ɤε∇ψ(n )2+M 24ε∇η(n )2∇u (n)d2.(18)对于三线性形式,本文给出如下加强条件:a 3(ψ(n );u (n )h ,ψ(n ))ɤC ψ(n )1/2∇ψ(n)3/2∇u (n)h.对于上式,由P o i n c a r é不等式和引理3(其中p =43,q =14)可得a 3(ψ(n );u (n )h ,ψ(n ))ɤC ∇ψ(n )3/2ψ(n )1/2∇u (n)hɤε∇ψ(n)2+C (ε)(n )2∇u (n)h4ɤ[ε+C (ε)∇u (n )h4]∇ψ(n )2.(19)根据引理2,并假设∇u(n )hɤ1νðni =1f i-1ɤν/3M ,∇u (n )dɤν/3M ,且取ε=ν/12,则由式(14) (19)可得 12(n )2+νΔt 2-C (ε)ν4Δt 9M æèçöø÷4∇ψ(n )2ɤ (C h +2νΔt )∇η(n )2+C h ∇η(n -1)2+12ψ(n -1)2.当上式中的C (ε)充分小时可得νΔt 2-C (ε)ν4Δt 9M 4>0,进而有 ψ(n)2ɤC h ∇η(n)2+C h ∇η(n -1)2+ψ(n -1)2.(20)当n i -1ɤn ɤn i ɤN (i =1,2, ,L ;1ɤn ɤN ;n 0=0)时,将u (n )h 和u (n )d 在点t n i处泰勒展开得 u (n )h =u (n i )h ʃθi Δt u t h (ξi ),u (n )d =u (n i )d ʃθi Δt u t d (ζi ),t n i -1ɤξi ,ζi ɤt n i,(21)其中θi 是从t n 到t n i (i=1,2, ,L )的步长.如果均匀选取瞬像,则θi ɤN /L .对式(20)中的n 1, ,n i -1,n 求和并移项得ψ(n )2ɤC (Δt )2h (N /L )2+C h ðnj =n i∇η(j )2.当L 2=O (N ),Δt =O (h )时,由引理1可得992延边大学学报(自然科学版)第46卷ψ(n )2ɤC (Δt )2+C h L ðlj =d +1λj .进而由三角不等式㊁引理1,且当Δt =O (h ),L 2=O (N )=O (h -1)时有 u(n )h-u(n )dɤCΔt +C (h 1/2ðlj =d +1λj )1/2.定理2 当系统(11)的解u (n )d ɪU a d ,则对于n =1,2, ,N 有 u(n )d-U(n )dɤCΔt +C (h 1/2ðlj =d +1λj)1/2+(1+2κΔt )-n /2πh u 0-πh U 0,其中κ=γ+C (ν-M ∇ULɕ[(0,T );H 1(Ω)])>0,C 为P o i n c a r é常数.证明因根据定理1㊁引理4和三角不等式u (n )d -U (n )d ɤu (n )d -u (n )h +u (n )h -U (n )h +U (n )h -U (n )d 易证定理2,故省略证明过程.4 计算算法令ξN ={t n }Nn =0是(0,T )上的等距分划,t 0=0,t N =T ,时间步长Δt =T /N ,则系统(1)的线性反馈控制问题的降维格式可表示为(u (n )d -u (n -1)d ,v d )+Δt νa 1(u (n )d ,v d )+Δt a 2(u (n )d ,p (n )d )+ Δt a 3(u (n )d ;u (n )d ,v d )=Δt (F -γ(u (n )d -U (n )),v d ),v d ɪX d;a 2(u (n )d ,q d )=0,∀qd ɪS d ìîíïïïï.(22)其中n =1,2, ,N ,初始条件u (0)d =πd u 0(x ),边界条件等于零.如果U (n )d =πd U (n )h , (F (n ),v d )=1Δt(U (n )d -U (n -1)d ,v d )+νa 1(U (n )d ,v d )+a 3(U (n )d ;U (n )d ,v d ),(23)则系统(22)可以转化成 (w (n )d -w (n -1)d ,v d )+Δt νa 1(w (n )d ,v d )+Δt a 2(u (n )d ,p (n )d )+Δt a 3(w (n )d ;w (n )d ,v d )+ Δt a 3(w (n )d ;U (n )d ,v d )+Δt a 3(U (n )d ;w (n )d ,v d )+Δt (γw (n )d ,v d )=0,v d ɪX d;a 2(u (n )d ,q d )=0,∀qd ɪS d ìîíïïïï.(24)其中n =1,2, ,N ,初始条件w (0)d (x )=πd(u 0-U 0),边界条件等于零.为了求问题(22)的近似解,需将系统(22)线性化.系统(22)经线性化得 (u (n )d (k ),v d )+Δt νa 1(u (n )d (k ),v d )+σΔt a 3(u (n )d (k );u (n )d (k -1),v d )+ Δt a 3(u (n )d (k -1);u (n )d (k ),v d )+γΔt (u (n )d (k ),v d )+Δt a 2(u (n )d ,p (n )d )=(u (n -1)d (k ),v d )+ σΔt a 3(u (n )d (k -1);u (n )d (k -1),v d )+γΔt (U (n ),v d )+Δt (F (n ),v d ),v d ɪXd;a 2(u (n )d ,q d )=0,∀qd ɪS d ìîíïïïïïï.(25)其中初始条件u (0)d =πd u 0(x ),边界条件等于零.如果U (n )d =πd U (n )h ,且F (n )是由式(23)给定的,则系统(25)可转化成 (w (n )d (k ),v d )+Δt νa 1(w (n )d (k ),v d )+σΔt a 3(w (n )d (k );w (n )d (k -1),v d )+ Δt a 3(U (n )d ;w (n )d (k ),v d )+γΔt (w (n )d (k ),v d )+Δt a 2(u (n )d ,p (n )d )+ Δt a 3(w (n )d (k -1);w (n )d (k ),v d )+Δt a 3(w (n )d (k );U (n )d ,v d )= (w (n -1)d (k ),v d )+σΔt a 3(w (n )d (k -1);w (n )d (k -1),v d ),v d ɪX d;a 2(u (n )d ,q d )=0,∀qd ɪS d ìîíïïïïïïïï.(26)其中初始条件w (0)d (x )=πd(u 0-U 0),边界条件等于零.由文献[11]可知,将式(22) (26)中的u d ㊁w d ㊁v d ㊁p d ㊁X d ㊁S d分别用u h ㊁w h ㊁v h ㊁ph ㊁X h ㊁S h 代替,则其003103第4期赵锦玮,等:N a v i e r-S t o k e s系统降维模型中线性反馈控制的分析与逼近所得的离散格式与式(22) (26)相同[11].给定速度u(n-1)和一个整数m(这里m依赖于时间步长Δt,取2或3).在系统(25)和系统(26)中,当kɤm时,取σ=0;当k>m时,取σ=1.通过求解系统(25)可得到序列{u(n)(k),p(n)(k)}(k=1,2, ).在Ω上,当τȡm a x{u(n)d(k)-u(n)d(k-1)/|u(n)d(k)|}时,即可结束t n-1,t[]n时间段的算法(τ是给定的误差限).重复上述过程n次即可得到收敛于正确解的整体近似解.由上述计算过程可知,本文提出的算法结合了简单迭代法的全局收敛性(σ=0)和N e w t o n法的快速收敛性(σ=1),因此本文算法具有良好的应用价值.参考文献:[1] G U N Z B U R G E R M D,MA N S E R V I S I S.A n a l y s i s a n da p p r o x i m a t i o no f t h e v e l o c i t y t r a c k i n gp r o b l e mf o rN a v i e r-S t o k e s f l o w sw i t hd i s t r i b u t e d c o n t r o l[J].S I AMJ o u r n a l o nN u m e r i c a lA n a l y s i s,2000,37(5):1481-1512. 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