西安交通大学复变函数考试题及解答3

一. 填空（每题3分，共30分）

1． i 3＝

2． 0z ＝0是函数5

1

cos )(z

z z f -=

的 （说出类型，如果是极点，则要说明阶数）

3. i y xy yi x x z f 322333)(--+=,则()f z '＝

4. =]0,sin 1

[Re z

z s

5. 函数sin w z =在4

z π

=

处的转动角为

6. 幂级数∑∞

=0

)(cos n n z in 的收敛半径为R =____________

7. =⎰dz z z 1

sin

8．设C 为包围原点在内的任一条简单正向封闭曲线，则=⎰

dz z

e C

z

21

9．函数()1

4-=z z

z f 在复平面上的所有有限奇点处留数的和为___________ 10．

=++⎰

=

2

3||2

2)

4)(1(z z z dz

二．判断题（每题3分，共30分）

1．n

z z z f =)(在0=z 解析。【 】

2．)(z f 在0z 点可微，则)(z f 在0z 解析。【 】 3．z

e z

f =)(是周期函数。【 】

4． 每一个幂函数在它的收敛圆周上处处收敛。【 】 5． 设级数

∑∞

=0

n n

c

收敛，而

||0

∑∞

=n n

c

发散，则∑∞

=0

n n n z c 的收敛半径为1。【 】

6． 1

tan()z

能在圆环域)0(||0+∞<<<

z n z =成立。【 】

8．如果函数)(z f =ω在0z 解析，那末映射)(z f =ω在0z 具有保角性。【 】 9．如果u 是D 内的调和函数,则y

u i x u f ∂∂-∂∂=

是D 内的解析函数。【 】

10．

2122

33||||2

2

1

1

12|2(1)

1z z z z dz dz i i z z z z ππ==

=

=

==--⎰

⎰

。【 】 三．（8分）y e v px

sin =为调和函数，求p 的值，并求出解析函数iv u z f +=)(。

四．（8分） 求())

2)(1(--=

z z z

z f 在圆环域21<

五．（8分）计算积分

dx x x x

⎰∞

+∞-++54cos 22。

六．（8分）设⎰

-++=

C

d z

z f ξξξξ1

73)(2，其中C 为圆周3||=z 的正向，求(1)f i '+。

七．（8分）求将带形区域})Im(0|{a z z <<映射成单位圆的共形映射。

复变函数与积分变换(A)的参考答案与评分标准 (2007.7.5)

一.填空(各3分)

1.3

ln 2i k e +-π； 2. 三级极点 ；3. 2

3z ；4. 0 ；5. 0 ；6. e

1 ；7. 322)1(26+-s s ；8. 0；

9. 0 ；10. )]2()2()

2(1

)2(1[

21++-+++-ωπδωπδωωj j 。 二.判断1.错；2.错；3.正确； 4. 错 ；5.正确 ；6.错； 7.错 ；8. 错 ；9. 正确 ；10. 错 。 三(8分) 解: 1)在2||1<

11000111111

()()(()())()21222n n n n n n n n z z f z z z z z z z z +∞∞∞

+====-=--=-+--∑∑∑-----4分

2) 在1|2|z <-<∞

2

0111111

()(1)(1)(1)122122(2)(2)(1)2

n n n f z z z z z z z z ∞

+==+=+=+---+----+-∑--4分

四.(8分) 解:被积函数分母最高次数比分子最高次数高二次,且在实轴上无奇点,在上半平面有一个一级极点 -2+i, 故

]2,54[Re 25422i z z e s i dx x x e iz

ix +-++=++⎰∞

+∞-π --------3分

)2sin 2(cos 54))2((lim 22

2i e

z z e i z i iz i z -=+++--=+-→π

π --------6分 故 2cos 254Re 254cos 222e

dx x x e dx x x x ix π

=++=++⎰⎰∞+∞-∞+∞- ---------8分 五.(8分) 解: 22

371

()()C

f z d z ξξξξ++'=-⎰ -------3分 由于1+i 在3||=z 所围的圆域内, 故