考研高等数学复习提纲

考研高等数学复习提纲第一讲函数、连续与极限三、补充习题（作业）1.3cos 11lim0-=---->-xx xe x x （洛必达） 2.)1sin 1(lim 0xx ctgx x ->- （洛必达或Taylor ） 3.11lim 22=--->-⎰x xt x edte x （洛必达与微积分性质）第二讲 导数、微分及其应用一、理论要求1.23)0('',11ln)(2-=+-=y x x x f 求 2.曲线012)1,0(2cos 2sin =-+⎪⎩⎪⎨⎧==x y te y te x tt处切线为在 3.ex y x x e x y 1)0)(1ln(+=>+=的渐进线方程为4.证明x>0时22)1(ln )1(-≥-x x x证：令3222)1(2)('''),(''),(',)1(ln )1()(xx x g x g x g x x x x g -=---= 02)1(''0)1(')1(>===g g g ，00'),,1(0'),1,0(0''2'',0'''),,1(2'',0'''),1,0(>∴⎩⎨⎧>∞∈<∈⇒>⇒⎭⎬⎫>>+∞∈><∈g g x g x g g g x g g x第三讲 不定积分与定积分二、题型与解法1.⎰+---=C x x x x dx x xcot 2sin ln cot sin sin ln 2 2.⎰+-+dx x x x 136523.⎰dx x x arcsin第四讲 向量代数、多元函数微分与空间解析几何1.yx zx y g y x xy f z ∂∂∂+=2),(),(求2.xz x y g y x xy f z ∂∂+=求)),(,( 3.dz xyy x u u z 求,arctan ,ln ,22=+==ϕϕ第五讲 多元函数的积分一、理论要求 1.重积分熟悉二、三重积分的计算方法（直角、极、柱、球）⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎪⎩⎪⎨⎧=Dr r b a x y x y rdr r f d dy y x f dx dxdy y x f 21)(2)(1)(2)(1),(),(),(θθθθθθ ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=Vr r z z z z z r z r b a x y x y y x z y x z dr r r f d d rdr z r f d dz dz z y x f dy dx dxdydz z y x f βαθϕθϕϕθϕθθθθθϕϕθϕθθθ)(2)(1),(2),(1221)(2)(1),(2),(1)(2)(1),(2),(1sin ),,(),,(),,(),,(会用重积分解决简单几何物理问题（体积、曲面面积、重心、转动惯量）⎰⎰++=⇒=Dy x dxdy z z A y x f z 22''1),(2.曲线积分理解两类曲线积分的概念、性质、关系，掌握两类曲线积分的计算方法⎰⎰⎰⎰⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+⇒=+⇒⎩⎨⎧==+⇒==Lt t ba x d r r r r f r r L dt y x t y t x f t y y t x x L dx y x y x f x y y L dl y x f βαβαθθθθ22222')sin ,cos ()(:''))(),(()()(:'1))(,()(:),(熟悉Green 公式，会用平面曲线积分与路径无关的条件3.曲面积分理解两类曲面积分的概念（质量、通量）、关系 熟悉Gauss 与Stokes 公式，会计算两类曲面积分⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⋅⨯∇=⋅⋅∇=⋅++==LSS VDxy y x y x z z S S d F r d F Stokes dV E S d E Gauss dxdy z z y x z y x f dS z y x f 旋度）通量，散度）()(:(:''1)),(,,(),,(22),(:二、题型与解法A.重积分计算1.Ω+=⎰⎰⎰Ω,)(22dV y x I 为平面曲线⎩⎨⎧==022x zy 绕z 轴旋转一周与z=8的围域。

解：31024)(2022080222822πθπ==+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰≤+zzy x rdr r d dz dxdy y x dz I 2.⎰⎰--+=DD dxdy y x a y x I ,422222为)0(22>-+-=a x a a y 与x y -=围域。

（)2116(22-=πa I 3.⎩⎨⎧≤≤≤≤=其他,00,21,),(2xy x y x y x f ，求⎰⎰≥+Dx y x D dxdy y x f 2:,),(22 (49/20)B.曲线、曲面积分 4.⎰-++-=Lx x dy ax y e dx y x b y e I )cos ())(sin ()0,0(2)0,2(2O x ax y a A L 至沿从-= 解：令A y O L 至沿从01= 3220112)22()()(a b a dx bx dxdy a b I aDL L L ππ-+=---=-=⎰⎰⎰⎰⎰+5.⎰+-=L y x ydxxdy I 224,为半径的圆周正向为中心，为以)1()0,1(>R L 。

解：取包含(0,0)的正向⎩⎨⎧==θθsin cos 2:1r y r x L ，π==∴=-=⎰⎰⎰⎰⎰-1110L LL LL L第六讲 常微分方程一、理论要求 1.一阶方程 熟练掌握可分离变量、齐次、一阶线性、伯努利方程求法 2.高阶方程会求))(')(',('')),(')(',(''),()(y p y y y f y x p y y x f y x f yn =====3.二阶线性常系数⎪⎩⎪⎨⎧+=→±=+=→=+=→≠⇒=++⇒=++)sin cos ()(00'''2112112121121221x c x c e y i e x c c y e c e c y q p q py y x xxx βββαλλλλλλλαλλλ(齐次) ⎪⎩⎪⎨⎧=→==→==→≠⇒=x n x n xn x n e x x Q y and xe x Q y or e x Q y e x P x f ααααλλαλλαλα22212212)()()()()((非齐次)⎪⎩⎪⎨⎧=+=→=±+=→≠±⇒+=),max((sin )(cos )((sin )(cos )(()sin )(cos )(()(22j i n x x r x x q xe y i xx r x x q e y i x x p x x p e x f n n xn n xj i x ββλβαββλβαββααα(非齐次)二、题型与解法 A.微分方程求解1.求0)2()23(222=-+-+dy xy x dx y xy x 通解。

（)322c x y x xy =-- 2.利用代换xu y cos =化简xe x y x y x y =+-cos 3sin '2cos ''并求通解。

（xe x c x x c y e u u xxcos 5sin 2cos 2cos ,4''21++==+） 3.设)(x y y =是上凸连续曲线，),(y x 处曲率为2'11y +，且过)1,0(处切线方程为y=x+1，求)(x y y =及其极值。

解：2ln 211,2ln 211|)4cos(|ln 01'''max 2+=++-=⇒=++y x y y y π三、补充习题（作业）1.已知函数)(x y y =在任意点处的增量)1(,)0(),(12y y x o xxy y 求π=∆++∆=∆。

(4ππe ） 2.求x e y y 24''=-的通解。

（xx xxe e c ec y 2222141++=-） 3.求0)1(),0(0)(22=>=-++y x xdy dx y x y 的通解。

（)1(212-=x y ）4.求1)0(')0(,0'2''2===--y y ey y x 的特解。

（x e x y 2)23(4141++=）第七讲 无穷级数一、理论要求1.收敛性判别 级数敛散性质与必要条件常数项级数、几何级数、p 级数敛散条件正项级数的比较、比值、根式判别法交错级数判别法2.幂级数 幂级数收敛半径、收敛区间与收敛域的求法幂级数在收敛区间的基本性质（和函数连续、逐项微积分）Taylor 与Maclaulin 展开3.Fourier 级数了解Fourier 级数概念与Dirichlet 收敛定理会求],[l l -的Fourier 级数与],0[l 正余弦级数第八讲 线性代数一、理论要求1.行列式会用按行（列）展开计算行列式 2.矩阵 几种矩阵（单位、数量、对角、三角、对称、反对称、逆、伴随）矩阵加减、数乘、乘法、转置，方阵的幂、方阵乘积的行列式矩阵可逆的充要条件，会用伴随矩阵求逆矩阵初等变换、初等矩阵、矩阵等价用初等变换求矩阵的秩与逆理解并会计算矩阵的特征值与特征向量理解相似矩阵的概念、性质及矩阵对角化的冲要条件掌握将矩阵化为相似对角矩阵的方法掌握实对称矩阵的特征值与特征向量的性质3.向量 理解n 维向量、向量的线性组合与线性表示掌握线性相关、线性无关的判别理解并向量组的极大线性无关组和向量组的秩了解基变换与坐标变换公式、过渡矩阵、施密特方法了解规范正交基、正交矩阵的概念与性质4.线性方程组 理解齐次线性方程组有非零解与非齐次线性方程组有解条件理解齐次、非齐次线性方程组的基础解系及通解掌握用初等行变换求解线性方程组的方法5.二次型二次型及其矩阵表示，合同矩阵与合同变换二次型的标准形、规范形及惯性定理掌握用正交变换、配方法化二次型为标准形的方法了解二次型的对应矩阵的正定性及其判别法第九讲 概率统计初步一、理论要求1.随机事件与概率了解样本空间（基本事件空间）的概念，理解随机事件的关系与运算 会计算古典型概率与几何型概率 掌握概率的加减、乘、全概率与贝叶斯公式 2.随机变量与分布理解随机变量与分布的概念 理解分布函数、离散型随机变量、连续型变量的概率密度 掌握0-1、二项、超几何、泊松、均匀、正态、指数分布，会求分布函数 3.二维随机变量理解二维离散、连续型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布 理解随机变量的独立性及不相关概念 掌握二维均匀分布、了解二维正态分布的概率密度 会求两个随机变量简单函数的分布 4.数字特征理解期望、方差、标准差、矩、协方差、相关系数的概念 掌握常用分布函数的数字特征，会求随机变量的数学期望 5.大数定理了解切比雪夫不等式，了解切比雪夫、伯努利、辛钦大数定理 了解隶莫弗-Laplace 定理与列维-林德伯格定理 6.数理统计概念理解总体、简单随机样本、统计量、样本均值、样本方差及样本矩 了解2χ分布、t 分布、F 分布的概念和性质，了解分位数的概念 了解正态分布的常用抽样分布 7.参数估计掌握矩估计与极大似然估计法 了解无偏性、有效性与一致性的概念，会验证估计量的无偏性 会求单个正态总体的均值和方差的置信区间 8.假设检验掌握假设检验的基本步骤 了解单个及两个正态总体的均值和方差的假设检验 第十讲 总结1.极限求解 变量替换（∞1作对数替换），洛必达法则，其他（重要极限，微积分性质，级数，等价小量替换） 1.2//10)arccos 2(lim ππ->-=e x x x (对数替换) 2.2tan 1)2(lim xx x π->-3.21)63(lim -∞>-++x x x x 2.导数与微分复合函数、隐函数、参数方程求导 1.]')()()[(b a x a x x b b a 2.0)sin(arctan =--+y x x x y ，求dy/dx 3.⎪⎩⎪⎨⎧==t e y t e x t t sin cos 决定函数)(x y y =，求dy 4.bx x v v u e y u sin ,ln 31,32===,求x y ' 3.一元函数积分1.求函数⎰+-+=x dt t t t x I 02113)(在区间]1,0[上的最小值。