运筹学第一章
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运 筹 学 课 件
12/3 4
z
1 2
x4
x5 42
x3
2 3
x4
1 3
x5
4
新典式
主元化 为1，主 元所在
x2
1 2
x4
6
列的其 余元素
x1
2 3
x4
1 3
x5
4
化为0
观察最后一个典式，所有检验数均为非负， 故其对应的基本可行解为最优解，即
X * 4,6,6,0,0T z* 42
去掉引入变量，得原问题的最优解为：
运筹学课件
目录
运筹学概论 第一章 线性规划基础 第二章 单纯形法 第三章 LP对偶理论 第四章 灵敏度分析 第五章 运输问题 第六章 整数规划 第七章 动态规划 第八章 网络分析
第二章 单纯形法
(SM-Simplex Method)
1947年，美国运筹学家Dantzig提出，原理是 代数迭代。
单纯形法中的单纯形的这个术语，与该方法毫 无关系，它源于求解方法的早期阶段所研究的一 个特殊问题，并延用下来。
CB B1b B1b
z
CB B1N CN X N X B B1NX N
CB B1b B1b
上述方程组的矩阵形式为
10
0 I
CB
B1N B1N
CN
z XB XN
CB B1b B1b
上式的系数增广阵称为对应于基B的单纯形表：
T(B)
CB B1b B1b
0 I
CB
B1N B1N
CN
形式的LP问题，必须解决三个问题： ⑴初始基本可行解的确定； ⑵解的最优性检验； ⑶基本可行解的转移规则。 这里先放一下⑴，研究⑵和⑶，为此，
《运筹学》课件 第一章 线性规划
10
解：令
xi=
1， Si被选中
min z= ci xi i 1 10
0， Si没被选中
xi 5
i 1
x1 x8 1 x7 x8 1
称为技术系数
b= (b1,b2, …, bm) 称为资源系数
2、非标准型
标准型
（1）Min Z = CX
Max Z' = -CX
（2）约束条件
• “≤”型约束，加松弛变量；
松弛变量
例如： 9 x1 +4x2≤360
9 x1 +4x2+ x3=360
• “≥”型约束，减松弛变量；
例、将如下问题化为标准型
数据模型与决策 (运筹学）
课程教材：
吴育华,杜纲. 《管理科学基础》，天津大学出版社。
绪论
一、运筹学的产生与发展
运筹学（Operational Research) 直译为“运作研究”。
• 产生于二战时期 • 60年代，在工业、农业、社会等各领域得到广泛应用 • 在我国，50年代中期由钱学森等引入
Min z x1 2x2 3x3
x1 x2 x3 7
s.t
.
x1 x2 x3 3x1 x2 2
x3
2
5
x1, x2 , x3 0
解：令 Min z Max z' (z' z) ，第一个约束加松弛变量x5，
第二个约束减松弛变量x6，得标准型：
Max z' x1 2x2 +3x3
x1 x2 x3 x4 7
s.t .
x1 x2 3x1
x3 x2
x5 2 2x3 5
x1 , , x5 0
运筹学(1)
一、绪论§1 运筹学的简史运筹学作为科学名称出现于20世纪30年代末。
英、美对付德国空袭，采用雷达，技术上可行，实际运用不好用。
如何合理运用雷达？“运用研究”（Operational Research）,我国1956年用“运用学”名词，1957年正式定名为运筹学。
运筹学小组在英、美军队中成立，研究：护航舰队保护商船队的编队问题、当船队遭受德国潜艇攻击时如何使船队损失最小问题、反潜深水炸弹的合理爆炸深度（德国潜艇被摧毁数增到400%）、船只在受敌机攻击时的逃避方法（大船急转向、小船缓转向，中弹数由47%降到29%）。
运筹学组织在英、美军队（RAND）中成立，研究：战略性问题、未来武器系统的设计和合理运用方法、美国空军各种轰炸机系统的评价、未来武器系统和未来战争战略、苏联军事能力及未来预报、苏联政治局计划的行动原则和未来战争的战略、到底发展哪种洲际导弹（50年代）、战略力量的构成和数量（60年代）。
运筹学在工业、农业、经济、社会问题等领域有应用。
运筹数学：数学规划（线性规划（丹捷格（G.B.Dantzig）1947，单纯形法；康托洛维奇1939解乘数法，1960《最佳资源利用的经济计算》，诺贝尔奖；列昂节夫1932投入产出模型；冯.诺意曼）、非线性规划、整数规划、目标规则、动态规划、随机规划等）、图论与网络、排队论（随机服务系统理论）(丹麦工程师爱尔朗（Erlang）1917提出一些著名公式)、存贮论、对策论（冯.诺意曼和摩根斯坦，1944《对策论与经济行为》）、决策论、维修更新理论、搜索论、可靠性和质量管理等。
运筹学领域的诺贝尔奖得主：阿罗、萨谬尔逊、西蒙（经济学家）、多夫曼、胡尔威茨、勃拉凯特（Blackett,美，物理学家）。
运筹学会的建立：英国（1948年）、美国（1952年）、法国（1956年）、日本（1957年）、印度（1957年）、中国（1980年），38个国家和地区。
国际运筹学联合会（IFORS）的成立：1959年，英、美、法发起成立，中国1982年加入。
运筹学-第一章-单纯形法基本原理
初始基本可行解：
X ( 0) ( x1 , x2 ,, xm ,0,0,...,0)T (b1 , b2 ,......,bm ,0,0,...,0)T
0
0
0
单纯形法基本原理
2、基变换 定义：两个基可行解称为相邻的，如果它们之间变换 且仅变换一个基变量。 初始基可行解的前m个为基变量，
X
凸集
顶点
凸集
不是凸集
顶点：如果凸集C中不存在任何两个不同的点X1，X2，使X 成为这两个点连线上的一个点
单纯形法基本原理
定理1：若线性规划问题存在可行解，则该问题的可行域是 凸集。 定理2：线性规划问题的基可行解X对应可行域(凸集)的顶 点。 定理3：若问题存在最优解，一定存在一个基可行解是最优 解。（或在某个顶点取得）
的左边变成一个单位矩阵，
b (b1 a1 j ,.,bl 1 al 1 j , , bl 1 al 1 j ,.,bm am1 j , ) ( x1 , x2 ,..., xl 1 , x j , xl 1 ,..., xm )
X
(1)
T
与X
( 0)
是相邻的基可行解。
M M bm 0 L
M M
M M
L 1 am,m1 L L 00
M , M amn m
bi 其中： i a kj 0 a kj
j c j ci aij c j z j
单纯形法的计算步骤
例1.12 用单纯形法求下列线性规划的最优解
max Z 3 x1 4 x 2 2 x1 x 2 40 x1 3 x 2 30 x , x 0 1 2
xi0 aij 0, aij 0,取值无限，
X ( 0) ( x1 , x2 ,, xm ,0,0,...,0)T (b1 , b2 ,......,bm ,0,0,...,0)T
0
0
0
单纯形法基本原理
2、基变换 定义：两个基可行解称为相邻的，如果它们之间变换 且仅变换一个基变量。 初始基可行解的前m个为基变量，
X
凸集
顶点
凸集
不是凸集
顶点：如果凸集C中不存在任何两个不同的点X1，X2，使X 成为这两个点连线上的一个点
单纯形法基本原理
定理1：若线性规划问题存在可行解，则该问题的可行域是 凸集。 定理2：线性规划问题的基可行解X对应可行域(凸集)的顶 点。 定理3：若问题存在最优解，一定存在一个基可行解是最优 解。（或在某个顶点取得）
的左边变成一个单位矩阵，
b (b1 a1 j ,.,bl 1 al 1 j , , bl 1 al 1 j ,.,bm am1 j , ) ( x1 , x2 ,..., xl 1 , x j , xl 1 ,..., xm )
X
(1)
T
与X
( 0)
是相邻的基可行解。
M M bm 0 L
M M
M M
L 1 am,m1 L L 00
M , M amn m
bi 其中： i a kj 0 a kj
j c j ci aij c j z j
单纯形法的计算步骤
例1.12 用单纯形法求下列线性规划的最优解
max Z 3 x1 4 x 2 2 x1 x 2 40 x1 3 x 2 30 x , x 0 1 2
xi0 aij 0, aij 0,取值无限，
运筹学第1章-线性规划
凸集的数学定义:设K为n维欧氏空间的一个点集，若K中任意两个 点X1和X2连线上的所有点都属于K，即“X =αX1+(1-α) X2 ∈ K(0≤a ≤ 1)”，则称K为凸集。设X(x1，x2，…，xn)，X1(u1， u2，...，un)，X2(v1，v2，…，vn)，如图1一5所示，“X =αX1+(1α) X2 ∈ K(0≤a ≤ 1)”的证明思路如下:
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图解法步骤：
（1）建立坐标系； （2）将约束条件在图上表示； （3）确立满足约束条件的解的范围； （4）绘制出目标函数的图形 （5）确定最优解
用图解法求解下列线性规划问题
max z 2x1 3x2
4x1 0x2 16
s.t
10xx11
4x2 2x2
12 8
x1, x2 0
1. 1.1问题举例
(1)生产计划问题。 生产计划问题是典型的已知资源求利润最大化的问题，对于此类
问题通常有三个假设:①在某一计划期内对生产做出的安排;②生产 过程的损失忽略不计;③市场需求无限制，即假设生产的产品全部 卖出。
下一页 返回
1.一般线性规划问题的数学模型
例1 用一块连长为a的正方形铁皮做一个容 器，应如何裁剪，使做成的窗口的容积为最 大？
解：设 x1, x2分别表示从A,B两处采购的原油量（单
位：吨），则所有的采购方案的最优方案为：
min z 200x1 290x2
0.15x1 0.50x2 150000
s.t
0.20x1 0.50x1
0.30x2 0.15x2
120000 120000
x1 0, x2 0
1. 1线性规划问题与模型
也可以写成模型(1-6)和模型(1-7)的形式，其中模型(1-7)较为常用。
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图解法步骤：
（1）建立坐标系； （2）将约束条件在图上表示； （3）确立满足约束条件的解的范围； （4）绘制出目标函数的图形 （5）确定最优解
用图解法求解下列线性规划问题
max z 2x1 3x2
4x1 0x2 16
s.t
10xx11
4x2 2x2
12 8
x1, x2 0
1. 1.1问题举例
(1)生产计划问题。 生产计划问题是典型的已知资源求利润最大化的问题，对于此类
问题通常有三个假设:①在某一计划期内对生产做出的安排;②生产 过程的损失忽略不计;③市场需求无限制，即假设生产的产品全部 卖出。
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1.一般线性规划问题的数学模型
例1 用一块连长为a的正方形铁皮做一个容 器，应如何裁剪，使做成的窗口的容积为最 大？
解：设 x1, x2分别表示从A,B两处采购的原油量（单
位：吨），则所有的采购方案的最优方案为：
min z 200x1 290x2
0.15x1 0.50x2 150000
s.t
0.20x1 0.50x1
0.30x2 0.15x2
120000 120000
x1 0, x2 0
1. 1线性规划问题与模型
也可以写成模型(1-6)和模型(1-7)的形式，其中模型(1-7)较为常用。
物流运筹学 第1章 绪论
第二节 物流与运筹学
物流是“物品从供应地到接收地的实体流动过程， 根据实际需要，将运输、储存、装卸、搬运、包 装、流通加工、配送、信息处理等基本功能实施 有机结合。” 物流系统 物流管理 物流系统适合用运筹学的方法进行研究，而且在 物流的发展过程中，运筹学的应用也从未停止过， 并起到了重要的推进作用。将运筹学与物流结合 是现代物流发展也是运筹学发展的产物。
第一章 绪
论
运筹学概述
物流与运筹学
物流运筹学的主要内容
知识目标
了解运筹学的基本涵义； 了解运筹学的发展过程； 理解物流和运筹学的关系； 了解物流运筹学的主要内容。
技能目标
掌握运筹学整体优化的基本思想。
第一节 运筹学概述
运筹学研究对象是有组织的系统,解决的是 其中的管理问题；运筹学应用的工具是科 学的方法、技术与工具；运筹学服务的对 象是决策者与执行者,提供一个有效、实用 的决策方案,作为其决策判断的依据；运筹 学的最终目的是使有组织系统中的人、财、 物和信息得到最有效的利用,使系统的产出 最大化。
第三节 物流运筹学的主要内容
规划论（包括线性规划、非线性规划、 整数规划和动态规划等） 图与网络分析 项目计划技术 决策论 对章主要介绍了运筹学的基本内涵、运筹学的发 展历史、物流与运筹学的关系以及物流运筹学的 基本内容。 运筹学是物流学科体系的重要基础之一，物流与 运筹学两者之间有着天然的历史联系，物流系统 适合用运筹学的方法进行研究，而且在物流的发 展过程中，运筹学的应用也从未停止过，并起到 了重要的推进作用。运筹学的基本思想与基本方 法以及研究问题的基本思路和程序适用于物流领 域。物流运筹学主要介绍运筹学理论与方法在物 流领域中的运用。
运筹学第一章
OR1
27
线性规划图解法例题
（无界解）
max z x 2 y x y 1 2 x 4 y 3 x 0, y 0
OR1
28
线性规划图解法例题
（无解）
min z x 2 y x y 2 2 x 4 y 3 x 0, y 0
第一章 线性规划与单纯形法
重点与难点：
1、线性规划的概念和模型，线性规划问题的标准型，线 性规划问题的标准化； 2、线性规划问题解的概念，图解法(解的几何表示)，基本 可行解的几何意义，线性规划求解思路(单纯形法思想)； 3、单纯形法的一般描述，表格单纯形法，一般线性规划 问题的处理，单纯形迭代过程中的注意事项； 4、线性规划建模，决策变量，约束不等式、等式，目标 函数，变量的非负限制。
某厂生产两种产品，需要三种资源，已知各产 品的利润、各资源的限量和各产品的资源消耗 系数如下表：问题：如何安排生产计划，使得 获利最多？ 产品A 产品B 资源限量 4 360 劳动力 9 5 200 设 备 4 10 300 原材料 3 120 利润元/kg 70
OR1
3
例题1建模
步骤：
1、确定决策变量：设生产A产品x1kg,B产品x2kg 2、确定目标函数：maxZ=70X1+120X2 3、确定约束条件：人力约束 9X1+4X2≤360 设备约束 4X1+5X2 ≤200 原材料约束3X1+10X2 ≤300 非负性约束X1≥0 X2≥0 综上所述，该问题的数学模型表示为：
OR1
1
第一章 线性规划与单纯形法
1.1 LP(linear programming)的基本概念 LP是在有限资源的条件下，合理分配和 利用资源，以期取得最佳的经济效益的优 化方法。 LP有一组有待决策的变量，（决策变量） 一个线性的目标函数， 一组线性的约束条件。
27
线性规划图解法例题
（无界解）
max z x 2 y x y 1 2 x 4 y 3 x 0, y 0
OR1
28
线性规划图解法例题
（无解）
min z x 2 y x y 2 2 x 4 y 3 x 0, y 0
第一章 线性规划与单纯形法
重点与难点：
1、线性规划的概念和模型，线性规划问题的标准型，线 性规划问题的标准化； 2、线性规划问题解的概念，图解法(解的几何表示)，基本 可行解的几何意义，线性规划求解思路(单纯形法思想)； 3、单纯形法的一般描述，表格单纯形法，一般线性规划 问题的处理，单纯形迭代过程中的注意事项； 4、线性规划建模，决策变量，约束不等式、等式，目标 函数，变量的非负限制。
某厂生产两种产品，需要三种资源，已知各产 品的利润、各资源的限量和各产品的资源消耗 系数如下表：问题：如何安排生产计划，使得 获利最多？ 产品A 产品B 资源限量 4 360 劳动力 9 5 200 设 备 4 10 300 原材料 3 120 利润元/kg 70
OR1
3
例题1建模
步骤：
1、确定决策变量：设生产A产品x1kg,B产品x2kg 2、确定目标函数：maxZ=70X1+120X2 3、确定约束条件：人力约束 9X1+4X2≤360 设备约束 4X1+5X2 ≤200 原材料约束3X1+10X2 ≤300 非负性约束X1≥0 X2≥0 综上所述，该问题的数学模型表示为：
OR1
1
第一章 线性规划与单纯形法
1.1 LP(linear programming)的基本概念 LP是在有限资源的条件下，合理分配和 利用资源，以期取得最佳的经济效益的优 化方法。 LP有一组有待决策的变量，（决策变量） 一个线性的目标函数， 一组线性的约束条件。
运筹学第1章：线性规划问题及单纯型解法
原料甲 原料乙 最低含量 VA 0.5 0.5 2 VB1 1.0 0.3 3 VB2 0.2 0.6 1.2 VD 0.5 0.2 2 0.3 0.5 单价
分别代表每粒胶丸中甲, 设 x1, x2分别代表每粒胶丸中甲, 乙两种原料的用量
5
例3,合理下料问题 , 分别代表采用切割方案1~8的套数, 的套数, 设 xj 分别代表采用切割方案 的套数
19
( f(x
)= 3
6
1.2.2 单纯型法的基本思路
确定初试基础可行解
检查是否为 最优解? 最优解?
是
求最优解的目标函数值
否 确定改善方向
求新的基础可行解
20
1.2.3 单纯型表及其格式
IV CB III XB II x1 b c1 a11 a21 c1′′= cn+1 xn+1 b1 c2′′= cn+2 xn+2 b2 x2 … xn c2 … cn a12 … a1n a22 … a2n I xn+1 cn+1 1 0 0 zn+1 xn+2 cn+2 0 1 0 zn+2 … … … … … … xn+m cn+m 0 0 1 zn+m
OBJ : max f ( x) = 6x1 + 4x2 2x1 + x2 ≤ 10 铜资源约束 x1 + x2 ≤ 8 铅资源约束 s.t. x2 ≤ 7 产量约束 x1, x2 ≥ 0 产量不允许为负值 最优解: x1 = 2, x2 = 6, max f ( x) = 36.
4
例2,配料问题(min, ≥) ,配料问题(
2 max 1 O 1 2 3 4 D 5 6 7 H 8
运筹学：第1章 线性规划 第3节 对偶问题与灵敏度分析
s.t.
4x1 3x1
5x2 200 10x2 300
x1, x2 0
9x1 4x2 360
s.t.
34xx11
5x2 10 x
200 2 300
3x1 10x2 300
x1, x2 0
则D为
min z 360y1 200y2 300y3 300y4
9 y1 4 y2 3y3 3y4 7 s.t.4 y1 5y2 10 y3 10 y4 12
amn xn bm ym xn 0
机会成本 a1 j y1 a2 j y2 aij yi amj ym
表示减少一件产品所节省的可以增加的利润
（3）对偶松弛变量的经济解释——产品的差额成本
机会成本
利润
min w b1 y1 b2 y2 bm ym
a11 y1
st
a12
y1
a1n y1
max z CX
（P）
AX b
s
.t
.
X
0
（D）
min w Yb
s.t.
YA C Y 0
• （2）然后按照（D）、（P）式写出其对偶
例：写出下面线性规划的对偶规划模型：
max z 2x1 3x2
min w 3 y1 5y2 1y3
x1 2x2 3 y1 0
s.t.
2xx11
例如，在前面的练习中已知
max z 2.5x1 x2 的终表为
3x1 5x2 15 s.t.5x1 2x2 10
x1, x2 0
0 x3 9 2.5 x1 2
0 19 1 - 3
5
5
1
2
0
1
5
运筹学第1章
（第三版）《运筹学》教材编写组编清华大学出版社运筹学第1章线性规划与单纯形法第1节线性规划问题及其数学模型二.线性规划与目标规划第1章线性规划与单纯形法第2章对偶理论与灵敏度分析第3章运输问题第4章目标规划第1章线性规划与单纯形法第1节线性规划问题及其数学模型第2节线性规划问题的几何意义第3节单纯形法第4节单纯形法的计算步骤第5节单纯形法的进一步讨论第6节应用举例第1节线性规划问题及其数学模型•1.1 问题的提出•1.2 图解法•1.3 线性规划问题的标准形式•1.4 线性规划问题的解的概念第1节线性规划问题及其数学模型线性规划是运筹学的一个重要分支。
线性规划在理论上比较成熟，在实用中的应用日益广泛与深入。
特别是在电子计算机能处理成千上万个约束条件和决策变量的线性规划问题之后，线性规划的适用领域更为广泛了。
从解决技术问题的最优化设计到工业、农业、商业、交通运输业、军事、经济计划和管理决策等领域都可以发挥作用。
它已是现代科学管理的重要手段之一。
解线性规划问题的方法有多种，以下仅介绍单纯形法。
1.1 问题的提出从一个简化的生产计划安排问题开始例1某工厂在计划期内要安排生产Ⅰ、Ⅱ两种产品，已知生产单位产品所需的设备台时及A、B两种原材料的消耗，如表1-1所示。
资源产品ⅠⅡ拥有量设备 1 2 8台时原材料A40 16kg原材料B0 4 12kg续例1该工厂•每生产一件产品Ⅰ可获利2元，•每生产一件产品Ⅱ可获利3元，•问应如何安排计划使该工厂获利最多?如何用数学关系式描述这问题，必须考虑称它们为决策变量。
产品的数量，分别表示计划生产设II I,,21x x ∙12416482212121≤≤≤+∙x ;x ;x x ,x ,x 这是约束条件。
即有量的限制的数量多少，受资源拥生产021≥∙x ,x ,即生产的产品不能是负值这是目标。
最大如何安排生产，使利润,∙数学模型⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤≤≤++=0124164823221212121x ,x x x x x :x x z max 约束条件目标函数例2. 简化的环境保护问题靠近某河流有两个化工厂(见图1-1)，流经第一化工厂的河流流量为每天500万立方米，在两个工厂之间有一条流量为每天200万立方米的支流。
运筹学教学课件(全)
实用举例
某公司通过市场调研，决定生产高中档新型拉杆箱。 某分销商决定买进该公司3个月内的全部产品。拉杆箱生 产需经过原材料剪裁、缝合、定型、检验和包装4过程。
通过分析生产过程，得出：生产中档拉杆箱需要用 7/10小时剪裁、5/10小时缝合、1小时定型、1/10小时检 验包装；生产高档拉杆箱则需用1小时剪裁、5/6小时缝合、 2/3小时定型、1/4小时检验包装。由于公司生产能力有限， 3月内各部的最大生产时间为剪裁部630小时、缝合部600 小时、定型部708小时、检验包装部135小时。
D {x | Ax b, x (x1,, xi ,, xn ) 0}
是凸集（凸多面体）。
引理2.1：线性规划的可行解 x (x1 ,, xn )T 为基本可行解的 充分必要条件是x的正分量所对应的系数列向量是线性无关的， 即每个正分量都是一个基变量。
定理2.2：线性规划问题的基本可行解x对应于可行域的顶点
通过分析生产过程，得出：生产中档拉杆箱需要用
7/10小时可剪裁以、通5/1过0小线时性缝合规、划1小求时定解型！、1/10小时
检验包装；生产高档拉杆箱则需用1小时剪裁、5/6小时 缝合、2/3小时定型、1/4小时检验包装。由于公司生产 能力有限，3月内各部的最大生产时间为剪裁部630小时、 缝合部600小时、定型部708小时、检验包装部135小时。
x2
L1：x1=6 L3：2x1+3x2=18
B 可行域
L2：x2=4 最优解
x1
4x1+3x2
解的特殊情况——解的特殊情况——无界解
线性规划的基本性质
若线性规划有最 优解，则最优解必在可 行域的顶点上达到。
X
可行域内部的点 • 可行解? 是 • 最优解? 不
运筹学第一章
2
②全体可行解-可行域 ③可行域没有和目标函数发生关系
f
1
x1 2 x2 5
1 2 3 4 5 6
x1
O
x1 2 x2 0
目标函数等于0， 该线为等值线
目标函数等于-5， 等值线互相平行
特点：最优解在 可行域顶点上出 现。所以求解注 意力转移到在顶 点上寻找。 如果求极大化， 最优解如何取？
指明求解方向：搜索最优解，可以 直接在顶点上搜索，大大减少了搜 索范围和工作量。
总结前面研究思路
x2
6
2、将线形规划标准化（LP）后， 求出可行域顶点坐标，观察顶点坐 标特征：n个变量中含有n-m个0
x1 x2 3
5
4
2 x1 3x2 6
3
3、于是提醒我们将LP的n个决策 变量中n-m个取0。通过m个线形 约束方程组可能求得于是Cnm组解。 称为LP的基本解。
x1 2 x2 5
1 2 3 4 5 6
x1
O
x1 2 x2 0
• 线性规划几何特征给我们的启示：
1、图解法不是算法，目的是给算法的设计 找到方向 2、线性规划如果存在最优解，一定有一个 最优解在 K 的顶点上实现。所以如果以 后设计算法要搜索最优解，不需要在可行 域内部搜索，可以直接在顶点上搜索，大 大减少了搜索范围和工作量。
m
IB
无序
n m 非基本变量
I D , j
j ID , x j 0
基本解
X Bi bi
0, i 1m
特别的，当
bi 0, i 1m
，n个坐标结合在一起组成基本可行解。
对应LP几何特征中K的顶点。
②全体可行解-可行域 ③可行域没有和目标函数发生关系
f
1
x1 2 x2 5
1 2 3 4 5 6
x1
O
x1 2 x2 0
目标函数等于0， 该线为等值线
目标函数等于-5， 等值线互相平行
特点：最优解在 可行域顶点上出 现。所以求解注 意力转移到在顶 点上寻找。 如果求极大化， 最优解如何取？
指明求解方向：搜索最优解，可以 直接在顶点上搜索，大大减少了搜 索范围和工作量。
总结前面研究思路
x2
6
2、将线形规划标准化（LP）后， 求出可行域顶点坐标，观察顶点坐 标特征：n个变量中含有n-m个0
x1 x2 3
5
4
2 x1 3x2 6
3
3、于是提醒我们将LP的n个决策 变量中n-m个取0。通过m个线形 约束方程组可能求得于是Cnm组解。 称为LP的基本解。
x1 2 x2 5
1 2 3 4 5 6
x1
O
x1 2 x2 0
• 线性规划几何特征给我们的启示：
1、图解法不是算法，目的是给算法的设计 找到方向 2、线性规划如果存在最优解，一定有一个 最优解在 K 的顶点上实现。所以如果以 后设计算法要搜索最优解，不需要在可行 域内部搜索，可以直接在顶点上搜索，大 大减少了搜索范围和工作量。
m
IB
无序
n m 非基本变量
I D , j
j ID , x j 0
基本解
X Bi bi
0, i 1m
特别的，当
bi 0, i 1m
，n个坐标结合在一起组成基本可行解。
对应LP几何特征中K的顶点。
运筹学 第01章 线性规划问题
线性规划建模步骤
设定决策变量 明确约束条件并用决策变量的线性等式或 不等式表示 用变量的线性函数表示要达到的目标，并 确定是求极小还是求极大 根据变量的物理性质确定变量是否具有非 负性 注：其中最关键是设定决策变量这一步
生产计划问题(1)
某工厂用三种原料生产三种产品，已知的 条件如下表所示，试制订总利润最大的日 生产计划
线性规划问题解的有关概念(2)
基本解：令模型中所有非基变量的值等于零后，由 模型的约束方程组得到的一组解。 基本可行解：满足非负条件的基本解称为基本可行 解。 可行基：对应于基本可行解的基称为可行基。 退化解：基本可行解的非零分量个数小于m时，称 为退化解。 最优基：若对应于基B的基本可行解X是线性规划的 最优解，则称B为线性规划的最优基
人员安排问题(1)
医院护士24小时值班，不同时段需要的护 士人数不等（见下表）。每个护士每天连 续值班8小时，在各时段开始时上班。问最 少需要多少护士？
序号 1 2 3 4 时段 06—10 10—14 14—18 18—22 最少人数 60 70 60 50
5 6
22—02 02—06
20 30
人员安排问题(2)
设xj为第j时段开始值班的护士人数
目标函数为：使人数最少，则有
min f ( X ) x1 x2 x3 x4 x5 x6 x6 x1 60 x x 70 1 2 x2 x3 60 s.t. x3 x4 50 x x 20 5 4 x5 x6 30 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 0且为整数
运筹学
第一章 线性规划问题
本章重点
线性规划建模 线性规划的图解法 线性规划的标准形式 单纯形法 两阶段法 大M法
运筹学第一章
AX ≤ b (D) λA ≤ C
令u − v = λ(m维)
min S = CX
虽然u, v ≥ 0
AX ≥ b − AX ≥ −b
但λ为自由变量
X≥0
(u, v )(2m维) min S = CX
−AAX≥−bb
u(m维) v(m维)
X≥0
m(ua,xv)Z−=AA(u≤, vC) −bb(uu==A−u(−ubvv)−−AAvv≤≤)bbCC
AX = b
定理1-9：
X≥0
(D)max Z = λb λA ≤ C
设 X 0 , λ0分别是 ( P )和( D )的可行解，则
X 0 , λ0分别是 ( P )和( D )的最优解
(C −λ0A)X0 = 0
证明：
(C j
−
λ0 Pj
)X
0 j
=
0
j = 1,2,L, n
设 X 0 , λ0分别是 ( P )和( D )的可行解，由 TH 1 − 8有
对偶单纯形法是保持 C−CBB−1A≥0 使迭代向实现 B−1b≥0进行。
基本思想： (P)minS = CX AX = b X≥0
对偶可行解，正则基：
(D)maxZ = λb λA ≤ C
若(P)的一个基B,使得单纯形乘子 λ = CB B−1是(D)
的可行解(C
X
=
B−1b 0
设 X 0 , λ0分别是 ( P )和( D )的可行解，则
X 0 , λ0分别是 ( P )和( D )的最优解
(C −λ0A)X0 = 0
松紧关系(互补松弛条件):
(C j
−
λ
0
运筹学第一章
产品Ⅱ生产x2件。
4x1
≤ 16
这里z为利润函数，
4x2 ≤ 12
max z:表示求z的最大值。
x1，x2 ≥ 0
1
[eg.2]污水处理问题
环保要求河水含污低于2‰，河水可自身净化20%。 问：化工厂1、2每天各处理多少污水，使总费用最少？
分析：
500万m3
化工厂1
2万m3 1000元/万m3 化工厂2
(2)不等式(≤，≥) 对于“≤”情况：在“≤”左边加上一个松弛变量（非
负），变为等式； 对于“≥”情况：在“≥”左边减去一个剩余变量（非
负），变为等式。 注意：松弛变量、剩余变量在目标函数中的价值系数为0。
(3)无约束变量 令xk = xk’ - xk”，xk’,xk” ≥ 0，代入即可。
13
[eg.7]将下述问题化为标准型
22
3、人工基
[eg.10]max z = x1 + 2x2 + 3x3
x1 + 3x2 + 2x3 = 3 2x1 + x2 + x3 = 4 x1,x2,x3 ≥ 0 分析： A= 1 3 2 211 ∵ 找不到单位矩阵基 ∴ 引入人工变量为初始基变量（2个）
23
3.2 最优性的检验与解的判别
min z = -x1+2x2-3x3 x1+ x2+ x3 ≤ 7 ① x1- x2+ x3 ≥ 2 ②
-3x1+ x2+2x3 = 5 ③ x1,x2 ≥ 0，x3无约束
解：令x3 = x3’-x3”，x3’,x3” ≥ 0；
①式加上一个松弛变量x4；②式减去一个剩余变量x5； 令z’ = -z
运筹学第一章
max z = - x1’ +2x2 +3（ x3’ - x3” ） - x1’ +x2 – ( x3’ - x3” )-x4 = 9 st. 3x1’ +2x2 -4 ( x3’ - x3” )-x5= 7 x1’ +2x2 - 3 ( x3’ - x3” ) = 6 x1’ ≥ 0, x2 ≥ 0, x3’ ≥0 x3” ≥0
3.线性规划问题的标准形式 线性规划问题的标准形式 max z =- x1-2x2 -3x3 2 x1’+x2 +(x3’ - x3” )+ x4 = 9 3 x1’ +x2 +2 (x3’ - x3” ) –x5 = 4 st. -4 x1’ +2x2 +3 (x3’ - x3” ) =6 x1’ ≥ 0, x2 ≥0, x3’ ≥0 x3” ≥0
例1-1-2 ---1 min z = x1+2x2 +3x3 ﹣2 x1+x2 +x3 ≤9 st. ﹣3 x1+x2 +2x3 ≥ 4
4 x1－2x2 － 3x3 =﹣6
x1 ≤0, x2 ≥0, x3 无约束。 （1）min z = x1+2x2 +3x3 令Z=-Z’ min Z=min（-z ’）=max z ’
第一章 讲解内容
第一节： 第一节：线性规划问题及其数学模型 第二节： 第二节：线性规划问题的几何意义 第三节：单纯形法 第三节： 第四节： 第四节：单纯形法的计算过程 第五节： 第五节：单纯形法的进一步讨论 第六节： 第六节：应用案例
第一章 线性规划问题及其数学模型 1. 问题的提出 2.图解法（重点） 3. 线性规划问题的标准形式 4.线性规划问题的解的概念（重点、难点）
3.线性规划问题的标准形式 线性规划问题的标准形式 max z =- x1-2x2 -3x3 2 x1’+x2 +(x3’ - x3” )+ x4 = 9 3 x1’ +x2 +2 (x3’ - x3” ) –x5 = 4 st. -4 x1’ +2x2 +3 (x3’ - x3” ) =6 x1’ ≥ 0, x2 ≥0, x3’ ≥0 x3” ≥0
例1-1-2 ---1 min z = x1+2x2 +3x3 ﹣2 x1+x2 +x3 ≤9 st. ﹣3 x1+x2 +2x3 ≥ 4
4 x1－2x2 － 3x3 =﹣6
x1 ≤0, x2 ≥0, x3 无约束。 （1）min z = x1+2x2 +3x3 令Z=-Z’ min Z=min（-z ’）=max z ’
第一章 讲解内容
第一节： 第一节：线性规划问题及其数学模型 第二节： 第二节：线性规划问题的几何意义 第三节：单纯形法 第三节： 第四节： 第四节：单纯形法的计算过程 第五节： 第五节：单纯形法的进一步讨论 第六节： 第六节：应用案例
第一章 线性规划问题及其数学模型 1. 问题的提出 2.图解法（重点） 3. 线性规划问题的标准形式 4.线性规划问题的解的概念（重点、难点）
运筹学第一章
第一章、 线性规划和单纯形法1.1 线性规划的概念一、线性规划问题的导出1．(引例) 配比问题——用浓度为45%和92%的硫酸配置100t 浓度为80%的硫酸。
取45%和92%的硫酸分别为x1和x2t,则有： 求解二元一次方程组得解。
目的相同，但有5种不同浓度的硫酸可选（30%，45%，73%，85%，92%）会出现什么情况？设取这5种硫酸分别为 x1、x2、x3、x4、x5 t, 则有： ⎩⎨⎧⨯=++++=++++1008.092.085.073.045.03.01005432154321x x x x x x x x x x 请问有多少种配比方案？为什么？哪一种方案最好？假设5种硫酸价格分别为：400，700，1400，1900，2500元/t ，则有：2.生产计划问题如何制定生产计划，使三种产品总利润最大？考虑问题：⎩⎨⎧⨯=+=+1008.092.045.01002121x x x x ⎪⎩⎪⎨⎧=≥⨯=++++=++++++++=5,,2,1,01008.092.085.073.045.03.0100..250019001400700400543215432154321 j x x x x x x x x x x x t s x x x x x MinZ j（1）何为生产计划？（2）总利润如何描述？（3）还要考虑什么因素？（4）有什么需要注意的地方（技巧）？（5）最终得到的数学模型是什么？二、线性规划的定义和数学描述（模型）1．定义：对于求取一组变量xj (j =1,2,......,n)，使之既满足线性约束条件，又使具有线性表达式的目标函数取得极大值或极小值的一类最优化问题称为线性规划问题，简称线性规划。
2.配比问题和生产计划问题的线性规划模型的特点：用一组未知变量表示要求的方案，这组未知变量称为决策变量；存在一定的限制条件，且为线性表达式；有一个目标要求（最大化，当然也可以是最小化），目标表示为未知变量的线性表达式，称之为目标函数； 对决策变量有非负要求。
运筹学第一章线性规划
线性规划解的概念 ——[3]基可行解
[3.1.2]基变量XB和非基变量XN
线性代数: 被表示变量 表示变量
2 x2 x4 x1 2 x2 x3 2 x4 1 x1 2 基变量： 2 x x x1 x 2 x1 4 x2 x3 x4 5 2 x3 41 待解的 4 2 1 x4 变量 x3
X=αx1+βx2 或C=αA +βB y=αy1+βy2
类似的我们有凸组合的概念
线规几何意义: 凸组合
设X1,X2,…XK为n维空间中的k个
点。若下式成立， 显然， X X 1 X例：阴影中任 原点,Q1,Q4的凸 2 ... K X K 类似的，上面X1,X2,…XK的 1 2 C=αA 组合则表示三角 +βB 一点，可表示 0 i 1, i 1 （ 0≤α,β≤1，α+β=1） 凸组合X，则表示由它们圈定 为：原点、 形(O,Q1,Q4)内 则称X为X1,X2,…XK的凸组合。 的封闭空间中任意一点。 是凸组合的一个特例，同时AB的凸 Q1、Q2、Q3、 的任一点 组合C表示AB连线上任一点。 Q4的凸组合
线性规划解的概念
——[3]基可行解 根据基解的定义，我们有：
在基解中
基变量 非零分量（待求变量） 非基变量 零分量（自由变量）
线性规划解的概念
——[3]基可行解
基可行解的定义：
定义1：可行的基解。 定义2：各分量均大于零的基解。
基可行解（m个方程，n个变量） 基可行解 基变量 正分量（待求变量） 正分量个数=m=方程个数=R(A) 非基变量 =n-m 零分量个数 零分量（自由变量）
运筹学第一章 1.4 大M法和两阶段法(章节优讲)
优质教学
10
要求：
xx15
3 6
x2 x3 x4 3x2 6x3
0 x4
0
于是：
xx22
3/1
6/3
x2
min3/1,6 / 3
如果x2的系数列变成P2’=（-1，0）T,则用非 基变量表示基变量的表达式就变成；
x1 3 x2 x3 x4 0
x5
6 0x2
6x3
②W最优值=0——但人工变量中有等于0的基 变量，构成退化的基本可行解，可以转化为情 况①；如何转化？
选一个不是人工变量的非基变量进基， 把在基中的人工变量替换出来
优质教学
27
③W最优值>0——至少有一个人工变量取值 >0,说明基变量中至少有1个人工变量,表明原 问题没有可行解,讨论结束。
试比较
MinZ xn1 xn2 … xnm
优质教学
7
一般（经过若干次迭代），对于基B，
用非基变量表出基变量的表达式 为：
n
xni bi' ai'j x j , j 1
i 1,2, m
用非基变量表示目标函数的表达式：
n
Z Z0 jxj j1
m
j cj z j cj cniai'j i1
优质教学
8
（2）最优性判别定理
优质教学
25
（2） 两阶段法
第一阶段：建立辅助线性规划并求解， 以判断原线性规划是否存在基本可行解。
辅助线性规划的结构：目标函数W为所有 人工变量之和，目标要求是使目标函数极 小化，约束条件与原线性规划相同。
优质教学
26
求解结果
①W最优值=0——即所有人工变量取值全为0 （为什麽？），均为非基变量，最优解是原线 性规划的一个基本可行解，转入第二阶段；
相关主题
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按方案实施的次数，可分为一次性决策与重复性决策。 按方案的阶段性，可分为单级决策与序贯决策。 按方案的可数程度，可分为离散方案决策与连续方案决 策。
26
2014-4-17
1.2 一般决策问题
(4)按环境因素状态分类
管 理 决 策 方 法 课 件
按状态的性质，可分为竞争状态决策与自 然状态决策。 按状态的可数程度，可分为离散状态决策 与连续状态决策。 按照决策者对自然状态发生规律的认识程 度，可分为确定型决策、不确定型决策、 概率型决策。
目标体系
方案体系
约束条 件体系
相关参量
决策问题概念模型的核心
19 2014-4-17
1.2 一般决策问题
1.2.2 决策方案 管 理 决 策 方 法 课 件
决策方案（行动方案），是管理者管理客 观事物的抓手或杠杆。 辨识决策方案是决策问题建模的核心工作。
20
2014-4-17
1.2 一般决策问题
25 2014-4-17
1.2 一般决策问题
(2)按目标分类
管 理 决 策 方 法 课 件
按目标的个数，可分为单目标决策与多目标决策。 按目标达成的时间性，可分为远期决策、中期决策、近 期决策。 按目标的重要性，可分为战略决策与战术决策。 按目标达到的程度，可分为最优决策与满意决策。
(3)按决策方案分类
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2014-4-17
1.3 决策目的描述模型
管 理 决 策 方 法 课 件
这样我们有生产成本函数： C（y1，y2，...，ym）= p1y1+p2y2+...+pmym 同时不难理解，有 y1= a11 x1+ a12 x2+...+ a1n xn y2= a21 x1+ a22 x2+...+ a2n xn ... ym= am1 x1+ am2 x2+...+ amn xn
第6章 综合案例分析
第6章 综合案例分析
2 2014-4-17
管 理 决 策 方 法 课 件
各位使用本教材及课件的老师和同学：
感谢您选用本教材。 如果您在使用过程中对本教材或 课件有任何建议或发现错误，恳请您 能和我们联系。
3
2014-4-17
第1章
管理决策概述
引例
例1-1
管 理 决 策 方 法 课 件
24
2014-4-17
1.2 一般决策问题
1.2.4 决策问题的分类 管 理 决 策 方 法 课 件
根据决策问题的概念模型及相关的要素属性特 征，可对决策问题作出以下多种形式的分类：
(1)按决策者分类
按决策者的地位，可分为高层决策、中层决策、基层 决策；或分为宏观决策、中观决策、微观决策。 按决策者的人数，可分为个人决策与集体决策(如委 员会决策)。 按决策者的岗位，可分为领导决策、专家咨询决策、 群众决策(如职工代表大会决策)。 按决策者对风险所持态度，可分为避险型决策、趋险 型决策、中立型决策。
21 2014-4-17
1.2 一般决策问题
1.2.3 决策的约束条件
管 理 决 策 方 法 课 件
管理决策活动：以客观事物系统的内在 运行规律为依据，以系统所处的社会、 经济、自然和文化环境为背景的人为活 动。
决策约束条件：人们不可以也不能够违 背客观规律，能力和可用资源永远是有 限的。所以，管理决策活动是有约束的 活动，并称这种约束为决策约束条件。
5 2014-4-17
1.1 基本概念
1.1.1 什么是管理决策 管 理 决 策 方 法 课 件
人们的社会经济实践活ຫໍສະໝຸດ ，本质上就 是认识相关的客观事物特征及其变化规律， 和认知自身的活动目的性或建立相应目标， 利用客观规律按照设定的目标改造客观世 界的过程。
管理决策就是有关目的性设定、规律 及限制条件辨识和活动方案选择的行为活 动。
10 2014-4-17
1.1 基本概念
1.1.3 什么是运筹学 管 理 决 策 方 法 课 件
运筹学（Operations Research/作业研究）
是一门应用数学和形式科学去寻找复杂问题 中的最佳或近似最佳的解决方案的科学。 经常用于解决现实社会经济生活实践中的复 杂问题，特别着重点是改善或优化现有系统 的效能。 首要特点就是能提供科学决策的依据，因此 运筹学是管理科学的重要基础，是实行科学 管理的强有力工具。
23
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1.2 一般决策问题
管 理 决 策 方 法 课 件
决策约束和决策目标也是辩证统一的，在 某些决策问题中，约束可以变成目标，反 之目标也可以变为约束。 决策约束条件除了要辨识必要的内在和外 在的制约因素外，就是要科学准确地估计 相应因素的状态值。决策约束条件辨识与 科学设定也是决策问题建模的核心工作。
22 2014-4-17
1.2 一般决策问题
管 理 决 策 方 法 课 件
决策约束条件一般可分为内在和外在约束 两类
内在约束条件：主要反映客观事物系统的 内在规律性的制约，它由内因素决定。 外在约束条件：主要是指客观事物系统所 处的社会、经济、自然和文化等环境中， 决策者不可控的环境因素状态的制约。
27
2014-4-17
1.2 一般决策问题
(5)按准则与方法分类
管 理 决 策 方 法 课 件
按准则可分为悲观决策、乐观决策和折衷决策。 按方法可分为线性规划、非线性规划、整数规划和 网络分析等问题。
(6)按决策问题的形式化程度分类
按决策问题的清晰或形式化程度，可分为程序化决 策与非程序化决策；或分为完全结构化决策、部分 结构化决策、非结构化决策。
6 2014-4-17
1.1 基本概念
管 理 决 策 方 法 课 件
夫运筹帷幄之中，决胜于千里之外，吾 不如子房。—— 《史记· 高祖本纪》 Decision Making——巴纳德和斯特恩 管理就是决策——西蒙
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1.1 基本概念
管 理 决 策 方 法 课 件
广义来说，决策是为实现某一特定目标， 借助一定的科学手段和方法，从两个或两 个以上的可行方案中选择一个最优方案， 并组织实施的全部行为过程。 详细的说，决策是为了按预期的目的去完 成某项任务或解决某个问题，运用各种方 法，在系统地分析了主客观条件之后，考 虑到未来的状态，根据决策准则，对提出 的多种可行方案，进行优选评比，选择合 理方案的一种分析过程。
管 理 决 策 方 法 课 件
有界无限方案类型：通过数学模型、优化方 法去探求，关键是选择和确定决策变量，界 定相应的上、下界值。 有限可数的方案类型：根据期望指标，采用 多准则决策方法求解。关键是进行市场调研， 发掘列举每一种可选方案并获取相应的性能 指标值及市场价格。 定性描述可枚举的方案类型：策划或创造多 种方案辨识,通过逐一评估，完成选择决策。
管 理 决 策 方 法 课 件
模型:客观事物属性及其变化的抽象表述，任何模 型首先必须以概念模型为基础 概念模型:一个实际的管理决策问题必然面向一个 客观事物系统，关于这个系统的概念、内外属性 及测度和属性的结构关系就是概念模型 约束条件（决策限制因素）：以概念模型为基础 分析，不可控的客观环境或内在规律 决策变量（决策的因素）:可控的属性因素 目标函数（管理决策的目的性测度）:有关如何控 制或调整这个系统向什么状态变化期望的系统状 态的描述
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1.1 基本概念
管 理 决 策 方 法 课 件
运筹学是应用科学的方法、技术和工具来 研究系统中的各种运行问题，以便能为决 策者提供这些问题的最优方案。 ——彻尔齐曼、艾柯夫和阿诺夫 运筹学是一种应用的决策理论，是运用科 学的、数学的或逻辑的方法，帮助决策者 克服他所面临的难题，以求达成理想的决 策 ——米勒和斯塔尔
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1.2 一般决策问题
Text
管 理 决 策 方 法 课 件
决策主体 系统 决策者 •参谋者 •实施执行 者
•
决策理论 决策方法与技术 决策信息 决策手段系统
决策客体 系统
• •
决策环境
决策对象
系统科学中管理决策问题模型
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1.2 一般决策问题
管 理 决 策 方 法 课 件
管理决策方法
——问题、模型与决策
课件目录
工商管理系列教材 配套课件
第 章 管理决策概述 管理决策概述 第1 1章
管 理 决 策 方 法 课 件
第 章 数学规划方法 数学规划方法 第2 2章 第 章 网络分析 网络分析 第3 3章
第 4 章 预测和仿真 第4章 预测和仿真
第5章 决策分析
第5章 决策分析
13 2014-4-17
1.1 基本概念
1.1.4 什么是预测 管 理 决 策 方 法 课 件
在管理决策的活动中经常需要了解和依据 客观事物系统的内在因素及外在环境未来可能 的状态进行活动方案的选择，这种对不确定的 内在因素及外在环境未来可能的状态进行预估 和测度的活动就是预测。 预测是管理决策活动的重要组成部分。预 测过程就是一种科学的分析过程，是借助对客 观事物系统过去的探讨和现状的研究，求得对 未来的了解，以减少不确定性对自己活动的影 响。 经验预测（定性预测） 预测 科学定量预测
9
2014-4-17
1.1 基本概念