2013年高中数学解题思维一点通：均值不等式求最值策略
例说利用均值不等式求函数最值的几种技巧
例说利用均值不等式求函数最值的几种技巧利用均值不等式求函数最值是数学中常用的一种方法，通过这种方法，可以简单地确定函数的最大值和最小值。
本文将介绍几种利用均值不等式求函数最值的常用技巧。
1.权值平均：使用均值不等式时，通过给定变量的权重，我们可以找到一个平均值，该平均值应该落在函数的最大值和最小值之间。
例如，如果我们要找出一个函数f(x)在一些闭区间[a,b]上的最大值，我们可以找到一个适当的c，使得a<c<b，并应用以下均值不等式：f(a)≤f(c)≤f(b)然后，我们可以将函数的值乘以相应的权重（比如(a-c)和(b-c)），并利用均值不等式得出结论。
2.凸函数和凹函数：对于凸函数而言，任意两个点之间的连线位于这两个点所对应的函数值之上。
如果我们要找到函数f(x)在一些闭区间上的最大值，我们可以在该区间上找到两个点，判断这两个点的连线是否位于这个函数值之上。
如果是，那么函数值将成为该区间的最大值。
对于凹函数来说，与凸函数类似，只是方向相反。
3.形象化问题：通过将问题形象化，我们可以更好地理解利用均值不等式求函数最值的思路。
例如，我们有一个数轴上的几个点，我们想找到距离它们最近和最远的点。
我们可以将这些点放在数轴上，并根据它们的位置找到距离最近和最远的点。
同样地，在函数的最大值和最小值问题中，我们可以通过绘制图形并观察函数曲线来找到函数的最大值和最小值。
4.极值问题：利用均值不等式求函数最值时，我们可以寻找函数的极值点。
当函数的导数为0时，函数可能取得最大值或最小值。
我们可以计算导数，找到可能的极值点，并对这些极值点应用均值不等式，从而确定函数的最大值和最小值。
5.多元函数：均值不等式也可以应用于多元函数的情况。
在多元函数的情况下，我们可以将问题转化为一元函数的情况，并使用上述方法解决。
综上所述，利用均值不等式求函数最值是一个实用的方法。
通过使用权值平均、凸函数和凹函数特性、形象化问题、极值问题和多元函数等技巧，我们可以更好地利用均值不等式来确定函数的最大值和最小值，从而解决数学中的一些问题。
用均值不等式最值的方法和技巧
用均值不等式最值的方法和技巧均值不等式是数学中的一种重要的不等式关系，用于描述一组数据的平均值与其他性质之间的关系。
它可以应用于各种问题，如最值问题、优化问题等。
使用均值不等式来求解最值问题的方法和技巧有以下几个方面。
1.确定使用哪种均值不等式：均值不等式有许多种，如算术均值不等式、几何均值不等式、平方均值不等式等。
不同的均值不等式适用于不同的情况。
在解题时，要根据具体情况选择适合的均值不等式。
通常，当问题中涉及到平方和、乘积、根号等运算时，选择平方均值不等式；当问题中涉及到和、平均数等运算时，选择算术均值不等式；当问题中涉及到几何平均数、平方根等运算时，选择几何均值不等式。
2.清晰确定问题的条件和目标：在解决最值问题时，首先要清晰地确定问题的条件和目标。
条件是指问题中已知的信息，目标是指要求解的最值。
只有明确了条件和目标，才能有针对性地选择适合的均值不等式，并通过变换和推导进行求解。
3.运用不等式性质进行变换：在使用均值不等式进行求解时，可以根据题目中给出的条件进行变换，使得问题更容易求解。
如将含有平方和的表达式进行整理，将含有乘积的表达式进行拆分等。
变换后可利用不等式的性质，如对称性、单调性、对数性质等来推导和求解。
4.找到合适的等号成立条件：根据均值不等式的性质，等号成立的条件通常与数据的性质相关。
找到合适的等号成立条件不仅是验证结果的正确性，还可以通过这些条件求解最值问题。
例如，在求解两个数的平方和的最小值时，可通过设等号成立条件来求解。
5.结合其他方法进行求解：在使用均值不等式解决最值问题时，有时候也需要结合其他方法和技巧进行求解。
例如，可以结合求导、代数方法、几何方法等来解决一些复杂的最值问题。
这样可以提高问题的求解效率和准确性。
综上所述，运用均值不等式求解最值问题需要根据题目的条件和目标选择合适的不等式，进行变换和推导，并找到合适的等号成立条件。
同时，也可以结合其他方法和技巧进行求解。
用均值不等式求最值的方法和技巧
用均值不等式求最值的方法和技巧一、几个重要的均值不等式①，、)(222222R b a b a ab ab b a ∈+≤⇔≥+当且仅当a = b 时，“=”号成立； ②，、)(222+∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤⇔≥+R b a b a ab ab b a 当且仅当a = b 时，“=”号成立； ③，、、)(33333333+∈++≤⇔≥++R c b a c b a abc abc c b a 当且仅当a = b = c 时,“=”号成立；④)(3333+∈⎪⎭⎫ ⎝⎛++≤⇔≥++R c b a c b a abc abc c b a 、、 ,当且仅当a= b = c 时,“=”号成立.注：① 注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“等”；② 熟悉一个重要的不等式链：ba 112+2a b +≤≤≤222b a +。
二、用均值不等式求最值的常见的方法和技巧 1、求几个正数和的最小值。
例1、求函数21(1)2(1)y x x x =+>-的最小值。
解析：21(1)2(1)y x x x =+>-21(1)1(1)2(1)x x x =-++>-21111(1)222(1)x x x x --=+++>-1≥312≥+52=，当且仅当211(1)22(1)x x x -=>-即2x =时，“=”号成立，故此函数最小值是52。
评析：利用均值不等式求几个正数和的最小值时，关键在于构造条件，使其积为常数。
通常要通过添加常数、拆项（常常是拆底次的式子）等方式进行构造。
2、求几个正数积的最大值。
例2、求下列函数的最大值：①23(32)(0)2y x x x =-<< ②2sin cos (0)2y x x x π=<<解析：①30,3202x x <<->∴，∴23(32)(0)(32)2y x x x x x x =-<<=⋅⋅-3(32)[]13x x x ++-≤=，当且仅当32x x =-即1x =时，“=”号成立，故此函数最大值是1。
高中数学：用均值不等式求最值的常用技巧
高中数学：用均值不等式求最值的常用技巧运用均值不等式求最值要同时满足条件：一正、二定、三相等，缺一不可。
多数求最值的问题具有隐蔽性，需要进行适当地变形才能用均值不等式求解。
掌握一些常见的变形技巧，可以更好地使用均值不等式求最值。
1. 凑系数例1 当时，求的最大值。
利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，本题是积的形式，但其和不是定值。
注意到为定值，故需将“x”项凑上一个系数即可。
解：由，知，当且仅当时取等号。
其最大值是8。
小结：本题无法直接运用均值不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用均值不等式求最大值。
2. 凑项例2 求的最值。
分析：由题意知，首先要调整符号，而不是定值，需对进行凑项才能得到定值，然后用均值不等式。
解：∵，∴，即。
，当且仅当，即时等号成立。
∴函数有最大值。
3. 分离例3 经过长期观测可知，在交通繁忙的时段内，某路段汽车的车流量（千辆/小时）与汽车的平均速度（千米/小时）之间的函数关系式为。
在该时段内，当汽车的平均速率为多大时车流量最大？最大车流量为多少？（精确到0.1千辆/小时）分析：只要把分子上的变量分离出来，转化到分母上就可以用均值不等式求解。
解：依题意得：。
当且仅当，即时，上式等号成立。
∴当时，（千辆/小时）。
4. 平方例4 求函数的最大值。
分析：注意到与的和为定值，只要对解析式两边取平方，即可用均值不等式求解。
解：。
当且仅当，即时取等号。
又，可知，故。
5. 统一例5 已知正数，满足，求的最大值。
分析：把所求式的变量x都移到根号里，同时凑系数满足已知条件使和为常数，用均值不等式求积的最大值。
解：∵，∴。
∴。
当且仅当且时等号成立，又因，为正值，可解得，时等号成立。
故有最大值为。
6. 代换例6 已知正数、满足，求的最小值。
分析：将看作，1用已知条件整体代换，可用均值不等式求解。
解：。
由题意知，当且仅当且时等号成立，又因、为正数，解得，，故最小值是18。
7. 构造例7 已知，求的最小值。
如何利用均值不等式求最值的解题思路
文章标题：深度剖析：如何利用均值不等式求最值的解题思路在解决数学中的最值问题时，均值不等式是一种十分重要的工具。
通过合理运用均值不等式，我们可以更加简洁地解决各种最值问题。
在本文中，我们将深入探讨如何利用均值不等式来求解最值问题，并且通过具体的例子和理论分析，逐步揭示其中的奥妙。
1. 了解均值不等式的基本概念我们需要了解均值不等式的基本概念。
均值不等式是数学中的一个重要定理，它指出了若干个非负数的算术平均数大于等于它们的几何平均数，而几何平均数又大于等于它们的调和平均数。
这一定理为我们解决最值问题提供了重要的数学基础。
2. 利用均值不等式求解具体问题接下来，我们将通过具体的例题来展示如何利用均值不等式来求解最值问题。
假设我们需要求解一个函数的最小值，而这个函数必须满足一定的条件。
这时，我们可以首先利用均值不等式对这个函数进行变形，使得我们可以更加方便地找到最小值点。
通过逐步展开和演算，我们可以将问题简化，最终得到最小值的具体解。
3. 回顾与总结在本文中，我们深入探讨了如何利用均值不等式来求解最值问题。
通过分析均值不等式的基本概念和具体应用，我们可以更好地理解这一数学工具的作用和价值。
通过丰富的例题和细致的论证，我们可以清晰地掌握利用均值不等式解题的思路和方法。
在我们的个人观点中，我们强调了均值不等式在解决最值问题中的重要性，并指出了在实际运用中需要注意的细节和技巧。
总结起来，通过本文的阅读，读者可以更加深入地理解利用均值不等式求解最值的思路，并且能够更加灵活地应用到具体的数学问题中。
希望本文能够为读者提供有益的启发和帮助，使他们在数学学习和解题过程中更加游刃有余。
深入剖析：如何利用均值不等式求最值的解题思路在数学问题中，求最值是一个常见的问题。
而在解决最值问题时，均值不等式无疑是一个重要的工具。
它不仅可以帮助我们更加简洁地解决最值问题，还可以提高我们的解题效率。
在本文中，我们将进一步深入地探讨如何利用均值不等式来求解最值问题，并结合具体的例子和理论分析来展示其奥妙之处。
用均值不等式最值的方法和技巧
用均值不等式最值的方法和技巧均值不等式是一个常用的不等式工具，在解决很多求最值问题时会起到很大的帮助。
它的核心思想是通过找到相应的均值来构造不等式，从而得到最值的估计。
下面，我将详细介绍均值不等式的方法和技巧。
1.算术平均-几何平均不等式（AM-GM不等式）：AM-GM不等式是最常见的均值不等式，它表明对于任意非负实数x1,x2, ..., xn，有如下不等式成立：(x1 + x2 + ... + xn) / n ≥ √(x1 * x2 * ... * xn)这个不等式的意义在于，对于一组非负实数的和，取平均值一定大于等于这组数的乘积的正平方根。
这个不等式常常被用于证明其他数学结论的基础。
2.幂平均不等式：幂平均不等式是一组关于算术平均和几何平均之间关系的不等式。
对于任意非负实数x1, x2, ..., xn，以及实数p，q，有如下不等式成立：[(x1^p + x2^p + ... + xn^p) / n]^(1/p) ≥ [(x1^q + x2^q + ... + xn^q) / n]^(1/q)这个不等式是一个广义的不等式，AM-GM不等式就是其特例（p=q=1）。
使用幂平均不等式可以推导出很多常见的不等式，如柯西不等式、余弦不等式等。
3.杨辉不等式：杨辉不等式是一组与二项式系数相关的不等式。
对于任意自然数n，以及实数a，b，有如下不等式成立：(a+b)^n≥C(n,0)*a^n*b^0+C(n,1)*a^(n-1)*b^1+...+C(n,n)*a^0*b^n这个不等式是二项式定理的推广，它可以用来证明其它不等式，如二项式不等式、二项式平均不等式等。
4.切比雪夫不等式：切比雪夫不等式是一组关于平均值和取值范围之间关系的不等式。
对于任意一组具有有限均值μ的实数x1, x2, ..., xn，有如下不等式成立：P(，x1-μ，≥k)≤(σ/k)^2其中，σ是x1, x2, ..., xn的标准差，即σ^2 = [(x1 - μ)^2 + (x2 - μ)^2 + ... + (xn - μ)^2] / n这个不等式的意义在于，对于平均值给定的一组数，其离平均值较远的数出现的概率是受标准差的限制的。
用均值不等式求最值的方法和技巧
用均值不等式求最值的方法和技巧均值不等式（Mean Inequality）是数学中常用的一种方法和技巧，用于求解包含均值的不等式问题。
它的核心思想是通过求解众多数据的平均值来确定问题的最值范围。
1.均值不等式的基本形式均值不等式分为均值-均值不等式和均值-次方均值不等式两种基本形式。
均值-均值不等式：对于任意给定的两个非负实数a和b，以及两个实数λ和μ满足λ+μ≠0，有：√(λa^2+μb^2)≥，λa+μb，/√(λ+μ)均值-次方均值不等式：对于任意给定的n个非负实数x₁，x₂，…，xₙ，以及实数p≥q>0，有：((x₁^p+x₂^p+…+xₙ^p)/n)^(1/p)≥((x₁^q+x₂^q+…+xₙ^q)/n)^(1/q)2.求解最值的一般步骤步骤1：根据不等式问题的具体情况，确定合适的均值不等式形式，即选择均值-均值不等式还是均值-次方均值不等式。
步骤2：根据题目给出的条件，选取合适的数据进行计算和代入，找到不等式中的系数和指数。
步骤3：应用均值不等式，将不等式转化为计算均值的形式。
步骤4：通过简化计算和代入数值，利用均值不等式得到最终的结果。
3.常见应用场景和例题分析均值不等式常用于求解最值问题，特别是在高中数学中的函数极值和数列极限中经常用到。
例如，求解非负整数a，b，c的最小值问题，已知条件是ab+bc+ca=8，可以利用均值不等式进行求解。
解题思路：设S=a+b+c，则利用均值-均值不等式可得：(S^2 + S^2 + S^2) / 3 ≥ (ab+bc+ca+a^2+b^2+c^2) / 6代入条件ab+bc+ca=8，化简后可得：S^2≥(8+a^2+b^2+c^2)/4而根据平方平均不等式可得：(a^2+b^2+c^2)/3≥((a+b+c)^2)/9将其代入上式化简，可得：S^2≥20/3同时，由于a，b，c都是非负整数，所以可以得到S=√(a^2+b^2+c^2)的最小整数部分为4因此，a+b+c的最小整数部分为44.注意事项和常见误区在应用均值不等式求解最值问题时，需要注意一些常见的误区和陷阱。
均值不等式求最值的十种方法
均值不等式求最值的十种方法用均值不等式求最值的方法和技巧一、几个重要的均值不等式①，、)(222222R b a ba ab ab b a ∈+≤⇔≥+当且仅当a = b 时，“=”号成立；②，、)(222+∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤⇔≥+R b a b a ab ab b a 当且仅当a = b 时，“=”号成立； ③，、、)(33333333+∈++≤⇔≥++R c b a c b a abc abc c ba 当且仅当a =b =c 时,“=”号成立；④)(3333+∈⎪⎭⎫⎝⎛++≤⇔≥++R c b a c b a abc abc c b a 、、 ,当且仅当a = b = c时,“=”号成立.注：① 注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“等”；② 熟悉一个重要的不等式链：ba112+2a b ab +≤≤≤222b a +。
一、拼凑定和通过因式分解、纳入根号内、升幂等手段，变为“积”的形式，然后以均值不等式的取等条件为出发点，均分系数，拼凑定和，求积的最大值。
例１ (1) 当时，求(82)y x x =-的最大值。
(2) 已知01x <<，求函数321y xx x =--++的最大值。
解：()()()()()()222111111y xx x x x x x =-+++=+-=+-()()311111322241422327x x x x x x ++⎛⎫++- ⎪++=•••-≤=⎪ ⎪⎝⎭。
当且仅当112x x +=-，即13x =时，上式取“=”。
故max3227y=。
评注：通过因式分解，将函数解析式由“和”的形式，变为“积”的形式，然后利用隐含的“定和”关系，求“积”的最大值。
例2 求函数)2101y xx x =-<<的最大值。
解：()()2242214122x x y x x x =-=•••-因()()32222221122122327x x x x x x ⎛⎫++- ⎪••-≤=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，当且仅当()2212x x =-，即6x =时，上式取“=”。
用均值不等式求最值的方法和技巧
用均值不等式求最值的方法和技巧均值不等式是数学中常用的一种求最值的方法和技巧，它通过将数列中各个数的和与它们的平均值相比较，从而得到最值的估计。
本文将详细介绍均值不等式的定义、性质、应用以及解题步骤，以帮助读者更好地理解和运用这一重要的不等式求解问题。
一、均值不等式的定义均值不等式是数学中一类关于平均值的不等式，通常用来对一组具有其中一种关系的数值进行比较。
假设有n个非负实数a1、a2、…、an，则它们的平均值和它们的几何平均值之间存在以下关系：(a1+a2+…+an)/n ≥ √(a1*a2*…*an) 或(a1+a2+…+an)/n ≥(a1+a2+…+an)/n ≥ ∛(a1*a2*…*an)其中，等号当且仅当a1=a2=…=an时成立。
二、均值不等式的性质1.单变量均值不等式：对于任意n个非负实数a1、a2、…、an，有(a1^p+a2^p+…+an^p)/n ≥ [(a1+a2+…+an)/n]^p其中，p为实数且p≥12.双变量均值不等式：对于任意两个非负实数a和b以及实数p≥1，有[(a^p+b^p)/2]^1/p≥[(a^q+b^q)/2]^1/q其中，p≥q且p、q均不等于0。
3.形式化均值不等式：设f(x)是定义在[a,b]上的连续函数，则对于任意无穷个非负实数a1、a2、…，有f(∫(a1→∞)f(x)dx) ≤ ∫(a1→∞)f(x)dx/lna1其中，a1为自然对数的底数。
三、均值不等式的应用均值不等式在数学中有着广泛的应用，特别是在求最值、证明不等式和优化问题中。
以下是几个常见的应用场景：1.证明不等式：通过应用均值不等式，可以证明很多重要的不等式，如柯西不等式、霍尔德不等式和克劳斯不等式等。
2.求极值：通过应用均值不等式，可以求解一些极值问题，如求最大面积、最小周长和最优化问题等。
3.优化设计：在工程和经济学中，均值不等式可以帮助优化设计，如在材料使用、成本控制和资源分配等方面。
用均值不等式求最值的类型及方法
用均值不等式求最值的类型及方法均值不等式是基本不等式之一，常用于寻找函数最值。
一般来说，使用均值不等式求最值的方法可以分为以下几种类型。
一、切分法：切分法的思路是将原函数分割成若干个子函数，并通过均值不等式来确定这些子函数的最值，最后通过求和或求积的方式得到原函数的最值。
常用的方法有以下几种：1.等量切割法：将原函数的定义域分割为若干等距的小区间，然后对每个小区间内的子函数应用均值不等式，求得每个小区间的函数最值，最后通过求和或求积得到原函数的最值。
2.不等量切割法：将原函数的定义域按照实际情况进行分割，使得函数在每个小区间上的性质较为简单，然后对每个小区间内的子函数应用均值不等式，求得每个小区间的函数最值，最后通过求和或求积得到原函数的最值。
二、二次函数法：二次函数法的思路是将原函数通过二次函数的形式进行逼近，然后使用二次函数的性质求得原函数的最值。
常用的方法有以下几种：1.利用平均值定理：原函数的图像与二次函数的图像在一点处相切，通过求解相切点的横坐标，可以得到原函数的最值。
2.利用顶点性质：原函数的图像与二次函数的图像的顶点相对应，通过求解顶点的横坐标，可以得到原函数的最值。
三、积分法：积分法的思路是将原函数表示为一个积分的形式，然后利用积分的性质和均值不等式求得原函数的最值。
常用的方法有以下几种：1.利用积分的几何意义：将原函数表示为一个曲线的长度或面积，然后利用均值不等式求得原函数的最值。
2.利用积分的均值定理：将原函数表示为一个函数在一定区间上的平均值与变化量之积，然后利用均值不等式求得原函数的最值。
四、极限法：极限法的思路是将原函数表示为一个极限的形式，然后利用极限的性质和均值不等式求得原函数的最值。
常用的方法有以下几种：1.利用函数极限的定义：通过对原函数的极限进行变形，然后利用均值不等式求得变形后函数的最值，再通过极限的性质得到原函数的最值。
2.利用函数导数的定义：通过对原函数的导数进行变形，然后利用均值不等式求得变形后函数的最值，再通过导数的性质得到原函数的最值。
均值不等式求最值的方法
均值不等式求最值的方法均值不等式是数学中常用的一种方法，用于求解最值问题。
它基于一组数的算术平均数和几何平均数之间的关系，通过比较大小来确定最大值或最小值。
接下来，我将详细介绍均值不等式及其应用方法，并给出几个实际问题的解析。
一、均值不等式的基本形式在介绍具体的应用方法之前，我们首先来看一下均值不等式的基本形式。
对于一组非负实数a1, a2, …, an，均值不等式可以表示为：1.算术平均数（AM）和几何平均数（GM）之间的关系：AM≥GM其中，AM = (a1 + a2 + … + an)/n，GM = (a1 * a2 * … *an)^(1/n)。
2.算术平均数（AM）和谐均值（HM）之间的关系：AM≥HM其中，HM = n/(1/a1 + 1/a2 + … + 1/an)。
二、均值不等式的应用方法1.求最小值：如果我们需要求解一组非负实数的最小值，可以利用均值不等式中的几何平均数和谐均值。
根据AM≥GM和AM≥HM的关系，我们可以得到以下不等式：GM≤AM≤HM即，几何平均数不大于算术平均数不大于谐均值。
因此，当我们需要求解最小值时，可以通过计算几何平均数和谐均值，然后将这两个值与给定的实数进行比较，取其中较小的值作为最小值。
2.求最大值：类似地，如果我们需要求解一组非负实数的最大值，可以利用均值不等式中的几何平均数和算术平均数。
根据AM≥GM的关系，我们可以得到以下不等式：AM≥GM即，算术平均数不小于几何平均数。
因此，当我们需要求解最大值时，可以通过计算几何平均数和算术平均数，然后将这两个值与给定的实数进行比较，取其中较大的值作为最大值。
三、均值不等式的实际应用以下是几个实际问题，利用均值不等式进行求解的示例。
问题一：求证面积最大假设有一个固定的周长为2l的矩形，我们需要求解矩形的面积最大值。
解析：设矩形的长和宽分别为a和b，根据题意，有2(a+b)=2l，即a+b=l。
我们需要求解面积S=a*b的最大值。
用均值不等式求最值的方法和技巧
用均值不等式求最值的方法和技巧-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII用均值不等式求最值的方法和技巧一、几个重要的均值不等式①，、)(222222R b a b a ab ab b a ∈+≤⇔≥+当且仅当a = b 时，“=”号成立； ②，、)(222+∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤⇔≥+R b a b a ab ab b a 当且仅当a = b 时，“=”号成立； ③，、、)(33333333+∈++≤⇔≥++R c b a c b a abc abc c b a 当且仅当a = b = c 时,“=”号成立；④)(3333+∈⎪⎭⎫ ⎝⎛++≤⇔≥++R c b a c b a abc abc c b a 、、 ,当且仅当a = b = c 时,“=”号成立.注：① 注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“等”；② 熟悉一个重要的不等式链：ba 112+2a b+≤≤≤222b a +。
二、用均值不等式求最值的常见的方法和技巧 1、求几个正数和的最小值。
例1、求函数21(1)2(1)y x x x =+>-的最小值。
解析：21(1)2(1)y x x x =+>-21(1)1(1)2(1)x x x =-++>-21111(1)222(1)x x x x --=+++>-1≥312≥+52=，当且仅当211(1)22(1)x x x -=>-即2x =时，“=”号成立，故此函数最小值是52。
评析：利用均值不等式求几个正数和的最小值时，关键在于构造条件，使其积为常数。
通常要通过添加常数、拆项（常常是拆底次的式子）等方式进行构造。
2、求几个正数积的最大值。
例2、求下列函数的最大值：①23(32)(0)2y x x x =-<< ②2sin cos (0)2y x x x π=<<解析：①30,3202x x <<->∴，∴23(32)(0)(32)2y x x x x x x =-<<=⋅⋅-3(32)[]13x x x ++-≤=，当且仅当32x x =-即1x =时，“=”号成立，故此函数最大值是1。
利用均值不等式求最值的技巧
利用均值不等式求最值的技巧
利用均值不等式求最值的技巧是一种常用的数学技巧，它可以帮助我们在解决数学问题时给出一个最优解。
均值不等式是一个基本的数学定理，它表明任何一个序列的平均值大于或等于它的最小值。
因此，可以利用这个定理来求解最大值或最小值。
首先，要使用均值不等式求最值，我们需要确定问题中的变量。
通常情况下，均值不等式求最大值或最小值时，有两个变量：最大值x和最小值y。
确定变量之后，我们需要根据题目给出的信息确定均值不等式的右侧。
对于求最大值的情况，右侧的值将是最小值y；而求最小值的情况下，右侧的值将是最大值x。
接下来，需要计算左侧的值，也就是均值。
计算均值的方法是：将所有数字相加，然后除以总数。
有时，问题中会给出一些数字，我们也可以将它们相加再除以总数算出均值。
有时，问题中会给出一些表达式，我们可以将它们计算出来，再把结果相加得出均值。
接下来，我们可以将左右两边的值代入均值不等式，解出最大值x或最小值y。
如果题目中有多个变量，我们可以分别解出每个变量，然后将它们带入原来的数学表达式，求出最终的最大值和最小值。
最后，要注意的是，均值不等式只能求出最大值或最小值，而不能求出其他值。
因此，在使用均值不等式求最值的时候，要确保问题中的变量正确，并且计算出来的均值也是正确的。
总之，利用均值不等式求最值的技巧是一种有效的数学技巧，能够帮助我们解决许多有关最大值和最小值的问题，提高我们解决问题的效率。
(整理版)均值不等式求最值的对策
均值不等式求最值的对策运用均值不等式求最值是一种常用方法，其约束条件苛刻，情况复杂，现就如何求最值问题试作分析一．注意均值定理应满足条件均值不等式具有将“和式〞转化为“积式〞与将“积式〞转化为“和式〞的功能，但一定注意应用的前提：“ 一正〞“二定〞“三相等〞。
所谓“一正〞是指“正数〞，“二定〞指应用定理求最值时，和或积为定值，“三相等〞是指等号成立.例1．10<<x ，求xy lg 4lg +=的最大值 分析：此题满足4lg 4lg =⋅xx 为定值，但因为0lg ,10<<<x x ，所以此时不能直接应用均值不等式，需将负数化正后再使用均值不等式。
解：442)lg 4()lg (0lg ,0lg 10=≥-+-=-∴>-<∴<<xx y x x x 即4-≤y 。
当且仅当xx lg 4lg -=-即1001=x 时等号成立，故4max -=y二．连用均值定理要注意成立的条件一致有些题目要屡次用不等式才能求出最后结果，针对这种情况，连续使用此定理要切记等号成立的条件要一致。
例2．假设y x ,是正数，那么22)21()21(xy y x +++的最小值是〔 〕 A.3 B 27 C4 D 29 解析:由题意,4141(2)141()21)(21(2)21()21(22=+⋅≥++=++≥+++xyxy xy xy x y y x x y y x “＝〞成立的条件412121{=+=+xy xy y x 不矛盾，故“＝〞能成立，答案〔)c三．均值不等式“失效〞时的对策有些题目，直接用均值定理求最值，并不满足应用条件，但可以通过添项，别离常数，平方等手段使之能运用均值定理.例3．25≥x ，那么4254)(2-+-=x x x x f 有 〔 〕 A 最大值45 B 最小值45 C 最大值1 D 最小值1.分析：此题看似无法使用均值不等式，但对函数式进行别离，便可创造出使用均值不等式的条件。
高中数学总结归纳点拨 均值不等式求最值的对策
均值不等式求最值的对策运用均值不等式求最值是一种常用方法，其约束条件苛刻，情况复杂，现就如何求最值问题试作分析一．注意均值定理应满足条件均值不等式具有将“和式”转化为“积式”与将“积式”转化为“和式”的功能，但一定注意应用的前提：“ 一正”“二定”“三相等”。
所谓“一正”是指“正数”，“二定”指应用定理求最值时，和或积为定值，“三相等”是指等号成立.例1．已知10<<x ，求xy lg 4lg +=的最大值 分析：本题满足4lg 4lg =⋅xx 为定值，但因为0lg ,10<<<x x ，所以此时不能直接应用均值不等式，需将负数化正后再使用均值不等式。
解：442)lg 4()lg (0lg ,0lg 10=≥-+-=-∴>-<∴<<xx y x x x Θ即4-≤y 。
当且仅当x x lg 4lg -=-即1001=x 时等号成立，故4max -=y 二．连用均值定理要注意成立的条件一致有些题目要多次用不等式才能求出最后结果，针对这种情况，连续使用此定理要切记等号成立的条件要一致。
例2．若y x ,是正数，则22)21()21(xy y x +++的最小值是（ ） A.3 B27 C4 D 29 解析:由题意 ,4141(2)141()21)(21(2)21()21(22=+⋅≥++=++≥+++xyxy xy xy x y y x x y y x“＝”成立的条件412121{=+=+xy xy y x 不矛盾，故“＝”能成立，答案（)c三．均值不等式“失效”时的对策有些题目，直接用均值定理求最值，并不满足应用条件，但可以通过添项，分离常数，平方等手段使之能运用均值定理.例3．已知25≥x ，则4254)(2-+-=x x x x f 有 （ ） A 最大值45 B 最小值45 C 最大值1 D 最小值1.分析：本题看似无法使用均值不等式，但对函数式进行分离，便可创造出使用均值不等式的条件。
均值不等式求最值策略
均值不等式求最值策略应用平均值不等式求最值时，要把握平均值不等式成立的三个条件“一正二定三相等”。
忽略了任何一个条件，就会导致解题失败，若出现问题，又怎样另辟蹊径，寻求新方法来求最值呢？本文提出一些思路。
1. 调整符号，化负为正，使之适合“一正”条件，过第一关例1. 已知45<x ，求函数54414-+-=x x y 的最值。
解：因为45<x 所以054<-x故045>-x 所以54414-+-=x x y 0454)45(24]454)45[(4=-⋅--≤-+--=xx xx 当且仅当x x 45445-=-，即47=x 或43=x 时，等号成立，但4547>不合条件，舍去，故当43=x 时，0m ax =y 2. 拆添配凑，变动为定，使之适合“二定”条件，过第二关利用均值不等式求最值，变形构造出“定值”是难点，其方法如下：（1）变形法例2. 求函数)(1222R x x x y ∈++=的最小值。
解：因为R x ∈ 所以0112>≥+x故11111)1(2222+++=+++=x x x x y 2111222=+⋅+≥x x 当且仅当11122+=+x x ，即0=x 时，2min =y（2）配凑法 例3. 已知3>x ，求函数382-+=x x y 的最小值。
解：因为3>x 则有038062>->-x x ，所以63862382+-+-=-+=x x x x y 14638)3(22638)3(2=+-⋅-≥+-+-=x x x x 当且仅当38)3(2-=-x x ，即5=x 时，14min =y3. 分离常数（1）拆项法 例4. 当1->x 时，求1132++-=x x x y 的最小值。
解：因为1->x所以01>+x 所以15)1(5)1(2+++-+=x x x y552515)1(2515)1(-=-+⋅+≥-+++=x x x x 当且仅当5)1(2=+x ，即15-=x 取等号 另一解151-<--=x （舍去） 所以552min -=y（2）倒数法例5. 若0>x ，求函数12++=x x x y 的最大值。
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均值不等式求最值策略
应用平均值不等式求最值时，要把握平均值不等式成立的三个条件“一正二定三相等”。
忽略了任何一个条件，就会导致解题失败，若出现问题，又怎样另辟蹊径，寻求新方法来求最值呢？本文提出一些思路。
1. 调整符号，化负为正，使之适合“一正”条件，过第一关
例1. 已知45<
x ，求函数54414-+-=x x y 的最值。
解：因为4
5<x 所以054<-x
故045>-x
所以54414-+
-=x x y 0454)45(24]454)45[(4=-⋅--≤-+
--=x
x x
x 当且仅当x x
45445-=-，即47=x 或43=x 时，等号成立，但4547>不合条件，舍去，故当43=x
时，0max =y
2. 拆添配凑，变动为定，使之适合“二定”条件，过第二关
利用均值不等式求最值，变形构造出“定值”是难点，其方法如下：
（1）变形法
例2. 求函数)(12
22R x x x y ∈++=的最小值。
解：因为R x ∈ 所以
0112>≥+x 故11111
)1(2222+++=+++=x x x x y
211
1222=+⋅+≥x x
当且仅当11
122+=+x x ，即0=x 时，2min =y
（2）配凑法
例3. 已知3>x ，求函数382-+=x x y 的最小值。
解：因为3>x 则有038062>->-x x ，
所以63
862382+-+-=-+=x x x x y 14638)3(22638)3(2=+-⋅-≥+-+
-=x x x x 当且仅当3
8)3(2-=
-x x ，即5=x 时，14min =y
3. 分离常数
（1）拆项法 例4. 当1->x 时，求1
132++-=x x x y 的最小值。
解：因为1->x
所以01>+x 所以1
5)1(5)1(2+++-+=x x x y 5
52515)1(251
5)1(-=-+⋅+≥-++
+=x x x x 当且仅当5)
1(2=+x ，即15-=x 取等号 另一解151-<--=x
（舍去） 所以552min
-=y
（2）倒数法
例5. 若0>x ，求函数12++=
x x x y 的最大值。
解：因为0>x 311112≥++=++=x
x x x x y 所以310≤<
y 故31max
=y
（3）平方法
例6. 已知
2521≤≤x ，求函数x x y 2512-+-=的最大值。
解：)25)(12(225122x x x x y --+-+-=
84)2
3(4245
1242422≤+--+=-+-+=x x x 由于0>y 所以22≤y 当且仅当]2
521[23，∈=x 时取等号，所以22max =y 4. 化归转化，寻求相等，过第三关
例7. 设0>x ，求)1)(12(x x
y ++=的最小值。
解：因为0>x
2232123123)1)(12(+=⋅+≥++=++=x x
x x x x y 当且仅当
x x 21=，即221=x 时取等号 所以322min +=y 点评：若x
12+与x +1分别利用平均值不等式，再相乘求最值，问题出现在：前后取
等条件不一致。
例8. 已知+∈R b a ，，且1=+b
a ，求)1)(1(
b b a a y ++=的最小值。
解：因为+∈R b a ，，且1=+b
a 所以)1)(1(b
b a a y ++= 4
25)23142()314()1(2)1(122
2=
+⋅-⋅
≥-+=+=++≥+++
=b a ab ab ab ab ab ab
ab ab
ab b
a a
b ab ab 5. “三关”难过，前进受阻，应另辟蹊径
（1）利用代数、三角换元
例9. 若a ，b 为正实数，且1=+b
a ，求)11)(11(
b a y ++=的最小值。
解：因为0>b a ，，且1=+b
a 所以可设)20(cos sin 22πααα，，，∈==
b a
则)cos 11)(sin 11(22αα++
=y 9
cot tan 451
)cot (tan 24)tan 2)(cot 2()cos cos sin 1)(sin cos sin 1(222222222222=⋅+≥+++=++=++++=ααααααα
ααααα
当且仅当αα22cot tan =，即41tan 2παα==，时取等号，这时21==b a ，满足1=+b a ，所以9min =y
（2）引入参数，巧渡难关
例10. 已知+∈R y x ，，且
191=+y x ，求P ＝x ＋y 的最小值。
解：设0>λ，由已知有0)191(=-+y
x λ 所以)191(-+++=+=y
x y x y x P λ λ
λλλλλλλ-=-⋅+⋅≥-+++=8922)9()(y
y x x y
y x x 欲取等号，当且仅当y
y x x λλ9==，时，有λλ3==y x ， 代入191=+y
x 中16=λ，此时168=-λλ 所以16min =P 说明：请读者用三角换元解此题，可令
)20(sin 9cos 122πααα，，，∈==y x （3）利用函数单调性
例11. 求)(4522R x x x y
∈++=的最小值。
解：设242≥+=x λ
则)2(14522≥+
=++=λλλx x y 易知λλλ1)(+
=f 在)2[∞+∈，λ上单调递增，所以2=λ时，
25212)2()(min =+
==f f λ 此时
242=+x 即0=x 时，2
5min =y。