第六讲 趋势外推法
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Λ
yt , t = 0,1,2,L3n −1
S1 = ∑yt , S2 = ∑yt , S3 = ∑yt
t =0 t =n t =2n n−1 2n−1 3n−1
于是得A、B、K的估计式为
1 Λ S3 − S2 n B = S −S 2 1 Λ B−1(S2 − S1 ) Λ A= 2 Λn B −1 Λn Λ Λ B −1 1 1 S − S2 − S1 K = S − A 1 = 1 Λn Λ n n B−1 B −1
修正指数曲线预测模型 1）模型的形式
ˆ yt = K + ab t
2）模型的识别
例4 我国卫生机构人员总数如表4.13所示，试预 测2003年我国卫生机构总人数。 解: 绘制散点图，如图4.13所示。
得:
所以我国卫生机构总人数修正指数曲线模型为:
yt = 615.641 − 205.667 × (0.9172)t
差分法： 利用差分法把数据修匀，使非平稳序列达到平 稳序列。 差分法可分为普通差分法和广义差分法两类。 一阶、二阶、k阶差分 广义差分法就是先计算时间序列的广义差分 (时间序列的倒数或对数的差分,以及相邻项的比率 或差分的比率等),然后,根据算得的时间序列差分 的特点,选择适宜的数学模型。
差分法识别标准：
Λ
Λ
yt = 14.8768e0.1098t
预测1999年的产量 y = 14.8768e0.1098×7 = 32.1 1999
曲线的拟合优度分析
实际的预测对象往往无法通过图形直观确认某种 模型，而是与几种模型接近。这时，一般先初选 几个模型，待对模型的拟合优度分析后再确定究 竟用哪一种模型。 评判拟合优度的好坏一般使用标准误差来作 为 优度好坏的指标：
为计算方便,仍然约定
∑t = 0
Λ ∑tYt = ∑t ln yt b= ∑t 2 ∑t 2 Λ 1 a = 1 ∑Yt = T ∑ln yt T
于是
A= e
Λ
Λ a
Λ
yt = Ae
Λ
Λ
bt
例2:某自行车厂最近几年产量数据如下表所列,试预测
该厂1999年的产量。 1993 1994 1995 1996 1997 1998 年份 -5 -3 -1 1 3 5 t值 产量yt (万 8.7 10.6 13.3 16.5 20.6 26.0 辆) _ 1.2 1.3 1.2 1.2 1.3 环比 指数曲线预测模型:
2
ˆ (4) 进行指数曲线模型拟合。对模型 yt = aebt 两边取对数：ln yt = ln a + bt ˆ 产生序列 ln yt ，之后进行普通最小二乘估计该 模型,最终得到估计模型为：
ˆ y t = 303.69 × e 0.0627 t
F =632.6> F (1 则方程 ,30) 其中调整的 0.05 ， 通过显著性检验，拟合效果很好。标准误差为： 175.37。
R 2 = 0.9547 ，
（5）通过以上两次模型的拟合分析，我们发现采用 二次曲线模型拟合的效果更好。因此，运用方程： 进行预测将会取得较好的效果。
ˆ yt = 577.24 − 44.33t + 3.29t 2
修正指数曲线模型的参数估计及应用
对于修正指数曲线模型 yt = K + ABt 一般0<B<1, y=K为其渐进线水平。 用三段总和法来估计参数,设时间序列的数据为
∇yt yt − yt −1 = =B ∇yt −1 yt −1 − yt −2
当时间序列算得的一阶差分比率大致相等时,就可以 配修正指数曲线模型进行预测。
指数曲线模型的参数估计及应用
bt 对指数曲线模型 yt = Ae 取对数,作变换,转化为直线模型。 Λ
l yt = l A + bt n n Yt = l yt , a = l A n n Yt = a + bt
二 、趋势模型的种类 多项式曲线外推模型： 一次（线性）预测模型：
ˆ y t = b 0 + b1t
y t = b 0 + b1 t + b 2 t 2 二次（二次抛物线）预测模型： ˆ
yt = b0 + bt + b2t 2 + b3t3 三次（三次抛物线）预测模型： ˆ 1
一般形式：
ˆ y t = b0 + b1t + b2 t 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + bk t k
yt = 7.54 + 0.67t
1999年对应的t=5 预测该年的工业总产值
Λ
y1999 = 7.54 + 0.67 × 5 = 10.89
指数曲线趋势外推法
一、常见的指数曲线模型 指数曲线预测模型： Λ
yt = Ae
bt
修正指数曲线预测模型:
Λ
yt = K + AB
t
二、模型的选择 广义差分法 对于指数曲线,一阶差比率(也称环比)为常数 对修正的指数曲线,一阶差分比率
倒数的一阶差分比率为
1 1 − y t yt −1
1 1 = e−b − y t−1 yt −2
令
1 1 a −bt = + e yt L L
则有
1 1 a Yt = , K = , A = , B = e−b yt L L
Yt = K + ABt
可套用修正指数曲线的参数估计公式。 于是,可套用修正指数曲线的参数估计公式 于是 可套用修正指数曲线的参数估计公式 注意,L是生长曲线的上限,有时通过定性分析或专家咨询所定的 L值往往比由公式计算得到的L值更接近实际,预测效果更好。
套用参数估计公式,注意到,yt一般都是等间隔的时期或时点 指标值,它与时间t并无严格的因果关系。时间t的取值只起 到一种标明事物发展先后次序的作用,只要保持t的等间隔性 及其先后次序,我们可以给t赋以任何数值。通常让t的T个取 值以原点为对称,从而有 tyt 化简公式为 Λ
∑t = 0
∑ b= ∑t a = 1 ∑y T
总额 （ yt ） 604.5 638.2 670.3 732.8 770.5 737.3 801.5 858.0 929.2 1023.3 1106.7
年份 1974 1975 1976 1977 1978 1979 1980 1981 1982 1983
时序 （t） 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32
指数曲线预测模型： 一般形式 ：
ˆ yt = ae
bt
修正的指数曲线预测模型 ：
ˆ yt = a + bc
t
对数曲线预测模型：
ˆ yt = a + b ln t
生长曲线趋势外推法： 皮尔曲线预测模型 ：
L yt = 1 + a e − bt
龚珀兹曲线预测模型 ：
ˆ yt = ka
bt
三、趋势模型的选择方法 经验法: 数学和经济分析结合,选定模型 图形识别法： 这种方法是通过绘制散点图来进行的，即将 时间序列的数据绘制成以时间t为横轴，时序观察 值为纵轴的图形，观察并将其变化曲线与各类函 数曲线模型的图形进行比较，以便选择较为合适 的模型。 有时所绘图形与几种数学模型的曲线相近,可 试算,计算回溯拟合值,选择均方差最小的模型。
_
0.6
0.5
0.7 0.6 0.8 0.6 0.8 0.8
解:若画出散点图,看出,时间序列呈明显的线性趋势。 计算一阶差分,基本上接近一个常数,其波动范围在 0.5～0.8之间。因此,可配一元线性时间回归模型进行 预测。 Λ Λ 利用如上公式,易得 b = 0.67, a = 7.54 回归模型为 Λ
解:描散点图,初步确定模型; 计算一阶差分比率,进一步验证选用修正指数曲线模型是否合适; 估计模型参数。
Λ
所求修正指数曲线预测模型: 预测2000年的社会总需求量:
yt = 73.1738 − 22.2719× 0.5556t yt = 73.1738 − 22.2719× 0.55569 = 73.1
∧
将 t = 19 代入模型,得到2003年我国卫生机构总 人数的预测值:
y19 = 615.641− 205.667 × (0.9172)19 = 575.832
∧
例5:某商品1991年投放市场以来,社会总需求量统计资料如下表
所列,试预测2000年的社会总需求量。
年份 总需求量 一阶差分 一阶差分 比率 1991 50.0 _ _ 1992 1993 60.0 10 _ 68.0 8 0.8 1994 69.6 1.6 0.2 1995 71.1 1.5 0.94 1996 71.7 0.6 0.4 1997 72.3 0.6 1.0 1998 72.8 0.5 0.83 1999 73.2 0.4 0.8
总额 （ yt ） 276.8 348.0 381.1 392.2 461.0 474.2 548.0 638.0 696.9 607.7 604.0
年份 1963 1964 1965 1966 1967 1968 1969 1970 1971 1972 1973
时序 （t） 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22
2 Λ
t
例1:某市最近几年工业总产值资料如下表所列,试预测
1999年该市的工业总产值。 年份 t值 值 工业总 产值y 产值 t 一阶差 分
1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5.0
5.6
6.1
6.8
7.4
8.2
8.8
9.6 10.4
总额 （ yt ） 1163.6 1271.1 1339.4 1432.8 1558.6 1800.0 2140.0 2350.0 2570.0 2849.4
（1）对数据画折线图分析，以社会商品零售总额为 y轴，年份为x轴。
（2）从图形可以看出大致的曲线增长模式，较符合 的模型有二次曲线和指数曲线模型。但无法确 定哪一个模型能更好地拟合该曲线，则我们将 分别对该两种模型进行参数拟合。 适用的二次曲线模型为：
趋势外推法
一、趋势外推法概念： 如果通过对时间序列的分析和计算, 能找 到一条比较合适的函数曲线来近似反映社会经 济变量y关于时间t的变化和趋势,那么当有理 由相信这种规律和趋势能够延伸到未来时,便 可用此模型对该社会经济现象的未来进行预测, 这就是趋势外推法。
趋势外推法的两个假定： （1）社会经济现象的发展过程是渐进的,没有跳跃 式突变； （2）社会经济现象未来与过去的发展变化规律基本 一致。
ˆ yt = b0 + bt + b2t 2 1
适用的指数曲线模型为：
ˆ yt = aebt
2 （3）进行二次曲线拟合。首先产生序列 t ，得到 估计模型为： yt = 577.24 − 44.33t + 3.29t 2 ˆ
其中调整的 R = 0.9524 ， F = 290 > F0.05 (2, 29)， 则方程通过显著性检验，拟合效果很好。标准误 差为151.7。
差分特性 一阶差分相等或大致相等 二阶差分相等或大致相等 三阶差分相等或大致相等 环比相等或大致相等 一阶差分比率相等或大致相等 使用模型 一次线性模型 二次线性模型 三次线性模型 指数曲线模型 修正指数曲线模型
多项式趋势预测模型及应用
特别:直线(一元时间回归)模型参数估计的简捷算法
Λ
yt = a + bt
Λ
生长曲线趋势外推法
介绍两种能够较好地描述产品或技术生命周期 规律的典型S型生长曲线模型: 皮尔曲线和龚珀兹曲线模型。
一、皮尔曲线模型及其应用
皮尔(Pearl)是美国生物学家和人口统计学家,提出了著 名的S型生长曲线模型: 其中,参数L、a、b为正数。
L yt = − bt 1 + ae
皮尔曲线适用于生物繁殖、人口发展统计与预测;尤其适合处于 皮尔曲线适用于生物繁殖、人口发展统计与预测; 成熟期的商品或技术的发展趋势分析与预测。 成熟期的商品或技术的发展趋势分析与预测
SE = ( y − y)2 ∑ ˆ n
例3:下表是我国1952年到1983年社会商品零售
总额(按当年价格计算），分析预测我国社会商 品零售总额 。
年份 1952 1953 1954 1955 1956 1957 1958 1959 1960 1961 1962
时序 （t） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
yt , t = 0,1,2,L3n −1
S1 = ∑yt , S2 = ∑yt , S3 = ∑yt
t =0 t =n t =2n n−1 2n−1 3n−1
于是得A、B、K的估计式为
1 Λ S3 − S2 n B = S −S 2 1 Λ B−1(S2 − S1 ) Λ A= 2 Λn B −1 Λn Λ Λ B −1 1 1 S − S2 − S1 K = S − A 1 = 1 Λn Λ n n B−1 B −1
修正指数曲线预测模型 1）模型的形式
ˆ yt = K + ab t
2）模型的识别
例4 我国卫生机构人员总数如表4.13所示，试预 测2003年我国卫生机构总人数。 解: 绘制散点图，如图4.13所示。
得:
所以我国卫生机构总人数修正指数曲线模型为:
yt = 615.641 − 205.667 × (0.9172)t
差分法： 利用差分法把数据修匀，使非平稳序列达到平 稳序列。 差分法可分为普通差分法和广义差分法两类。 一阶、二阶、k阶差分 广义差分法就是先计算时间序列的广义差分 (时间序列的倒数或对数的差分,以及相邻项的比率 或差分的比率等),然后,根据算得的时间序列差分 的特点,选择适宜的数学模型。
差分法识别标准：
Λ
Λ
yt = 14.8768e0.1098t
预测1999年的产量 y = 14.8768e0.1098×7 = 32.1 1999
曲线的拟合优度分析
实际的预测对象往往无法通过图形直观确认某种 模型，而是与几种模型接近。这时，一般先初选 几个模型，待对模型的拟合优度分析后再确定究 竟用哪一种模型。 评判拟合优度的好坏一般使用标准误差来作 为 优度好坏的指标：
为计算方便,仍然约定
∑t = 0
Λ ∑tYt = ∑t ln yt b= ∑t 2 ∑t 2 Λ 1 a = 1 ∑Yt = T ∑ln yt T
于是
A= e
Λ
Λ a
Λ
yt = Ae
Λ
Λ
bt
例2:某自行车厂最近几年产量数据如下表所列,试预测
该厂1999年的产量。 1993 1994 1995 1996 1997 1998 年份 -5 -3 -1 1 3 5 t值 产量yt (万 8.7 10.6 13.3 16.5 20.6 26.0 辆) _ 1.2 1.3 1.2 1.2 1.3 环比 指数曲线预测模型:
2
ˆ (4) 进行指数曲线模型拟合。对模型 yt = aebt 两边取对数：ln yt = ln a + bt ˆ 产生序列 ln yt ，之后进行普通最小二乘估计该 模型,最终得到估计模型为：
ˆ y t = 303.69 × e 0.0627 t
F =632.6> F (1 则方程 ,30) 其中调整的 0.05 ， 通过显著性检验，拟合效果很好。标准误差为： 175.37。
R 2 = 0.9547 ，
（5）通过以上两次模型的拟合分析，我们发现采用 二次曲线模型拟合的效果更好。因此，运用方程： 进行预测将会取得较好的效果。
ˆ yt = 577.24 − 44.33t + 3.29t 2
修正指数曲线模型的参数估计及应用
对于修正指数曲线模型 yt = K + ABt 一般0<B<1, y=K为其渐进线水平。 用三段总和法来估计参数,设时间序列的数据为
∇yt yt − yt −1 = =B ∇yt −1 yt −1 − yt −2
当时间序列算得的一阶差分比率大致相等时,就可以 配修正指数曲线模型进行预测。
指数曲线模型的参数估计及应用
bt 对指数曲线模型 yt = Ae 取对数,作变换,转化为直线模型。 Λ
l yt = l A + bt n n Yt = l yt , a = l A n n Yt = a + bt
二 、趋势模型的种类 多项式曲线外推模型： 一次（线性）预测模型：
ˆ y t = b 0 + b1t
y t = b 0 + b1 t + b 2 t 2 二次（二次抛物线）预测模型： ˆ
yt = b0 + bt + b2t 2 + b3t3 三次（三次抛物线）预测模型： ˆ 1
一般形式：
ˆ y t = b0 + b1t + b2 t 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + bk t k
yt = 7.54 + 0.67t
1999年对应的t=5 预测该年的工业总产值
Λ
y1999 = 7.54 + 0.67 × 5 = 10.89
指数曲线趋势外推法
一、常见的指数曲线模型 指数曲线预测模型： Λ
yt = Ae
bt
修正指数曲线预测模型:
Λ
yt = K + AB
t
二、模型的选择 广义差分法 对于指数曲线,一阶差比率(也称环比)为常数 对修正的指数曲线,一阶差分比率
倒数的一阶差分比率为
1 1 − y t yt −1
1 1 = e−b − y t−1 yt −2
令
1 1 a −bt = + e yt L L
则有
1 1 a Yt = , K = , A = , B = e−b yt L L
Yt = K + ABt
可套用修正指数曲线的参数估计公式。 于是,可套用修正指数曲线的参数估计公式 于是 可套用修正指数曲线的参数估计公式 注意,L是生长曲线的上限,有时通过定性分析或专家咨询所定的 L值往往比由公式计算得到的L值更接近实际,预测效果更好。
套用参数估计公式,注意到,yt一般都是等间隔的时期或时点 指标值,它与时间t并无严格的因果关系。时间t的取值只起 到一种标明事物发展先后次序的作用,只要保持t的等间隔性 及其先后次序,我们可以给t赋以任何数值。通常让t的T个取 值以原点为对称,从而有 tyt 化简公式为 Λ
∑t = 0
∑ b= ∑t a = 1 ∑y T
总额 （ yt ） 604.5 638.2 670.3 732.8 770.5 737.3 801.5 858.0 929.2 1023.3 1106.7
年份 1974 1975 1976 1977 1978 1979 1980 1981 1982 1983
时序 （t） 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32
指数曲线预测模型： 一般形式 ：
ˆ yt = ae
bt
修正的指数曲线预测模型 ：
ˆ yt = a + bc
t
对数曲线预测模型：
ˆ yt = a + b ln t
生长曲线趋势外推法： 皮尔曲线预测模型 ：
L yt = 1 + a e − bt
龚珀兹曲线预测模型 ：
ˆ yt = ka
bt
三、趋势模型的选择方法 经验法: 数学和经济分析结合,选定模型 图形识别法： 这种方法是通过绘制散点图来进行的，即将 时间序列的数据绘制成以时间t为横轴，时序观察 值为纵轴的图形，观察并将其变化曲线与各类函 数曲线模型的图形进行比较，以便选择较为合适 的模型。 有时所绘图形与几种数学模型的曲线相近,可 试算,计算回溯拟合值,选择均方差最小的模型。
_
0.6
0.5
0.7 0.6 0.8 0.6 0.8 0.8
解:若画出散点图,看出,时间序列呈明显的线性趋势。 计算一阶差分,基本上接近一个常数,其波动范围在 0.5～0.8之间。因此,可配一元线性时间回归模型进行 预测。 Λ Λ 利用如上公式,易得 b = 0.67, a = 7.54 回归模型为 Λ
解:描散点图,初步确定模型; 计算一阶差分比率,进一步验证选用修正指数曲线模型是否合适; 估计模型参数。
Λ
所求修正指数曲线预测模型: 预测2000年的社会总需求量:
yt = 73.1738 − 22.2719× 0.5556t yt = 73.1738 − 22.2719× 0.55569 = 73.1
∧
将 t = 19 代入模型,得到2003年我国卫生机构总 人数的预测值:
y19 = 615.641− 205.667 × (0.9172)19 = 575.832
∧
例5:某商品1991年投放市场以来,社会总需求量统计资料如下表
所列,试预测2000年的社会总需求量。
年份 总需求量 一阶差分 一阶差分 比率 1991 50.0 _ _ 1992 1993 60.0 10 _ 68.0 8 0.8 1994 69.6 1.6 0.2 1995 71.1 1.5 0.94 1996 71.7 0.6 0.4 1997 72.3 0.6 1.0 1998 72.8 0.5 0.83 1999 73.2 0.4 0.8
总额 （ yt ） 276.8 348.0 381.1 392.2 461.0 474.2 548.0 638.0 696.9 607.7 604.0
年份 1963 1964 1965 1966 1967 1968 1969 1970 1971 1972 1973
时序 （t） 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22
2 Λ
t
例1:某市最近几年工业总产值资料如下表所列,试预测
1999年该市的工业总产值。 年份 t值 值 工业总 产值y 产值 t 一阶差 分
1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5.0
5.6
6.1
6.8
7.4
8.2
8.8
9.6 10.4
总额 （ yt ） 1163.6 1271.1 1339.4 1432.8 1558.6 1800.0 2140.0 2350.0 2570.0 2849.4
（1）对数据画折线图分析，以社会商品零售总额为 y轴，年份为x轴。
（2）从图形可以看出大致的曲线增长模式，较符合 的模型有二次曲线和指数曲线模型。但无法确 定哪一个模型能更好地拟合该曲线，则我们将 分别对该两种模型进行参数拟合。 适用的二次曲线模型为：
趋势外推法
一、趋势外推法概念： 如果通过对时间序列的分析和计算, 能找 到一条比较合适的函数曲线来近似反映社会经 济变量y关于时间t的变化和趋势,那么当有理 由相信这种规律和趋势能够延伸到未来时,便 可用此模型对该社会经济现象的未来进行预测, 这就是趋势外推法。
趋势外推法的两个假定： （1）社会经济现象的发展过程是渐进的,没有跳跃 式突变； （2）社会经济现象未来与过去的发展变化规律基本 一致。
ˆ yt = b0 + bt + b2t 2 1
适用的指数曲线模型为：
ˆ yt = aebt
2 （3）进行二次曲线拟合。首先产生序列 t ，得到 估计模型为： yt = 577.24 − 44.33t + 3.29t 2 ˆ
其中调整的 R = 0.9524 ， F = 290 > F0.05 (2, 29)， 则方程通过显著性检验，拟合效果很好。标准误 差为151.7。
差分特性 一阶差分相等或大致相等 二阶差分相等或大致相等 三阶差分相等或大致相等 环比相等或大致相等 一阶差分比率相等或大致相等 使用模型 一次线性模型 二次线性模型 三次线性模型 指数曲线模型 修正指数曲线模型
多项式趋势预测模型及应用
特别:直线(一元时间回归)模型参数估计的简捷算法
Λ
yt = a + bt
Λ
生长曲线趋势外推法
介绍两种能够较好地描述产品或技术生命周期 规律的典型S型生长曲线模型: 皮尔曲线和龚珀兹曲线模型。
一、皮尔曲线模型及其应用
皮尔(Pearl)是美国生物学家和人口统计学家,提出了著 名的S型生长曲线模型: 其中,参数L、a、b为正数。
L yt = − bt 1 + ae
皮尔曲线适用于生物繁殖、人口发展统计与预测;尤其适合处于 皮尔曲线适用于生物繁殖、人口发展统计与预测; 成熟期的商品或技术的发展趋势分析与预测。 成熟期的商品或技术的发展趋势分析与预测
SE = ( y − y)2 ∑ ˆ n
例3:下表是我国1952年到1983年社会商品零售
总额(按当年价格计算），分析预测我国社会商 品零售总额 。
年份 1952 1953 1954 1955 1956 1957 1958 1959 1960 1961 1962
时序 （t） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11