广东省普宁市第二中学2017届高三数学上学期期末考试试题文

广东省普宁市第二中学2017届高三数学上学期期末考试试题 文
注意事项：
1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答题卷上。

2.用2B 铅笔将选择题答案在答题卷对应位置涂黑；答案不能答在试卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内的相应位置上；不准使用铅笔或涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4.考生必须保持答题卷的整洁。

第Ⅰ卷 （选择题 共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的．把正确选项涂在答题卡的相应位置上．）
1．设集合{}
2
320M x x x =++>，集合{}2,1,0,1,2--=N ,则=⋂N M ……………（ ）
A ．{}1,2--
B ． {}2,1,0
C ．{}2,1,0,1-
D ． {}2,1,0,1,2--
2．已知命题:p “,10x
x e x ∃∈--≤R ”，则p ⌝为………………………………………( ） A ． ,10x
x e x ∃∈--≥R
B ．,10
x x e x ∃∈-->R C ．,10
x x e x ∀∈-->R
D ． ,10x
x e x ∀∈--≥R
3．计算4cos15cos75sin15sin 75︒︒-︒︒=……………………………………………………（ ） A ．0
B ．
21
C ．
43
D ．
2
3 4. 已知复数z 满足2zi i x =+()x R ∈，若z 的虚部为2，则z =…………………………（ ）．
A ． 2
B ．D 5．已知①1-=x x ,②2-=x x ,③3-=x x , ④4-=x x
在如右图所示的程序框图中，如果 输入10=x ，而输出4=y ，则在空白处可填入………………………………………（ ）．
A ．①②③
B ．②③
C ．③④
D ．②③④
6.已知数列
{}n a 是等差数列，且74326,2a a a -==，则公差
=d ………………………………………………………( )
A
． B ．4 C ．8 D ．16
7．在四面体错误！未找到引用源。

中，2,=
=⊥BC AB BC AB 2===SB SC SA 错误！未找
到引用源。

，则该四面体外接球的表面积是………………………………………………¡­……………………………………（ ）
A ．π34
B ．错误！未找到引用源。

π38
C ．
π310 D ．π3
16 8．某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的表面积是………………………………（ ） A
．1．2 C
．
22
．32
9．已知函数32,
2()(1),2x f x x x x ⎧≥⎪=⎨⎪-<⎩
，若关于x 的方程()f x k =有两个不同的实根，则实数k 的取值范围
是……………………………………………………( ) A ．(1,1)- B ．(0,1) C ．(0,1] D ．(1,0)- 10．已知抛物线2:8C y x =与直线()()20y k x k =+>相交于,A B 两点，F 为C 的焦点，若2FA FB =，则
k =……………………………………………………………………………………………( )
A ． 13 B
C ．23 D
11．函数||ln 2
x x y -=在]2,2[-的图像大致为…………………………………………（ ）
正视图
俯视图
侧视图
12．已知双曲线()22
22:1,0x y C a b a b
-=>的左右焦点分别为1F ，2F ，过2F 的直线与双曲线C 的右支
相交于,P Q 两点，若1PQ PF ⊥，且1PF PQ =，则双曲线的离心率e =………………（ ） A ．
1
B
．1
C
D
一、填空题（20分，每题5分）
13．f （x ）=x 2
+lnx ，则f （x ）在x=1处的切线方程为 ．
14．已知△ABC 面积S 和三边a ，b ，c 满足：S=a 2
﹣（b ﹣c ）2
，b+c=8，则△ABC 面积S 的最大值为 ． 15．S n 为{a n }前n 项和对n ∈N *
都有S n =1﹣a n ，若b n =log 2a n ，恒成立，
则m 的最小值为 ．
16．已知函数y=f （x ）是定义在R 上的奇函数，对∀x ∈R 都有f （x ﹣3）=f （x ﹣1）成立，当，x ∈（0，1]且x 1≠x 2时，有
＜0，给出下列命题：
（1）f （x ）在[﹣2，2]上有5个零点
（2）点（2016，0）是函数y=f （x ）的一个对称中心 （3）直线x=2016是函数y=f （x ）图象的一条对称轴 （4）f （9.2）＜f （π） 则正确的是 ．
二、解答题（70分） 17、（本小题满分12分）
已知过点()0 2A ，
的直线l 与椭圆2
2:13x C y +=交于P ，Q 两点. （Ⅰ）若直线l 的斜率为k ，求k 的取值范围；
A B C D
（Ⅱ）若以PQ 为直径的圆经过点()1 0E ，
，求直线l 的方程. 18．（12分）（2015秋•常德校级月考）某中学对甲、乙两文班进行数学测试，按照120分及以上为优秀，否则为非优秀统计成绩得下表：
（1）用分层抽样的方法在优秀学生中选取5人，甲班抽多少人？
（2）从上述5人中选2人，求至少有1名乙班学生的概率；
（3）有多大的把握认为“成绩与班级有关”？
19.（本小题满分12分）
如图，三棱柱111ABC A B C =中，平面11AA B B ABC ⊥平面，D 是AC 的中点.
（Ⅰ）求证：11B C A BD ∥平面；
（Ⅱ）若160A AB ACB ∠=∠=︒，1 2 AB BB AC ==，，1BC =，求三棱錐1A ABD -的体积. 20、（1）函数（a ＞0且a ≠1）的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx+ny+1=0上，
其中mn ＞0．求的最小值．
（2）已知
且xy=﹣1．求
的最小值．
21.（12分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为
2x y αα
⎧=⎪⎨=+⎪⎩（其中α为参数），
曲线()2
22:11C x y -+=，以坐标原点O 为极点，x 轴的在半轴为极轴建立极坐标系.
（Ⅰ）求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的极坐标方程；
（Ⅱ）若射线6
π
θ=()0ρ>与曲线12 C C ，
分别交于A ，B 两点，求AB .
22.（10分）选修4—5：不等式选讲
已知函数()a a x x f +-=2．（Ⅰ）若不等式()6≤x f 的解集为{}32|≤≤-x x ，求实数a 的值； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若存在实数n 使()()n f m n f --≤成立，求实数m 的取值范围．
普宁市第二中学2017届高三级上学期·期末考试 文科数学参考答案
一、1.B 2. C 3. A 4. B 5. D 6. B 7.D 8.A 9.B 10. B 11. A 12.D 二、13、3x ﹣y ﹣2=0． 14、
15、1 16、（1）（2）（4）
三、
17、本小题主要考查直线与圆锥曲线、直线与圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、函数与方程思想，分类与整合思想等，满分12分. 解：（Ⅰ）依题意，直线l 的方程为2y kx =+， 由2
213
x y ⎧+=⎨⎩，消去y 得()
22311290k x kx +++=， 令()()
2
21236310k k ∆=-+>， 解得1k >或1k <-，
所以k 的取值范围是()() -1 1 +-∞∞ ，
，. （Ⅱ）当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为0x =，则()()0 1 0 1P Q -，，，，此时以PQ 为直径的圆过点()1 0E ，
，满足题意. 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为()()11222 y kx P x y Q x y =+，
，，，，又()1 0E ，， 所以()()11221 1 EP x y EQ x y =-=-
，，，.
由（Ⅰ）知，1212
22129
3131
k x x x x k k +=-
=++，， 所以()()121211EP EQ x x y y ⋅=--+
()()()121212122x x x x kx kx =-+++++ ()()()212121215k x x k x x =++-++
()
()22291122153131k k k k k +⎛⎫
=+--+ ⎪++⎝⎭
21214
31
k k +=
+.
因为以PQ 为直径的圆过点()1 0E ，，所以0EP EQ ⋅= ，即21214
031k k +=+，
解得7
6k =-，满足0∆>.
故直线l 的方程为7
26
y x =-+.
综上，所求直线l 的方程为0x =或7
26
y x =-+.
18、解：（1）优秀学生比例为3：2，∴用分层抽样的方法在优秀学生中选取5人，甲班抽3人； （2）从上述5人中选2人，有
=10种方法，至少有1名乙班学生的概率为1﹣
=0.7；
（3）k 2
=
=4＞3.841，
∴有95%的把握认为“成绩与班级有关”．
19.本小题主要考查几何体的体积及直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想等，满分12分. 解法一：（Ⅰ）连结1AB 交1A B 于点O ，则O 为1AB 的中点，
∵D 是AC 的中点， ∴1OD B C ∥.
又1OD A BD ⊂平面，11B C A BD ⊄平面， ∴11B C A BD ∥平面.
（Ⅱ）∵2AC =，1BC =，60ACB ∠=︒， ∴2222cos 3AB AC BC AC BC ACB =+-⋅⋅∠=，
∴AB =取AB 中点M ，连结1A M ，
∵11AB BB AA ==，160A AB ∠=︒， ∴1ABA △为等边三角形， ∴1A M AB ⊥，且132
A M =
， 又∵平面11AA B B ABC ⊥平面，平面11AA B B ABC AB = 平面， 111A M AA B B ⊂平面，
∴1A M ABC ⊥平面，
∵12ABD ABC S S =
=
△△，
∴1113A ABD ABD S S A M -=⋅=△.
解法二：（Ⅰ）取11A C 中点1D ，连结11B D ，1CD ，1DD ，
∵111112A D A C =
，1
2
CD AC =，11A C AC ∥， ∴11A D CD ∥
， ∴四边形11A DCD 为平行四边形， ∴11CD A D ∥，
又11A D A BD ⊂平面，11CD A BD ⊄平面， ∴11CD A BD ∥平面. ∵111BB AA DD ∥∥，
∴四边形11D DBB 为平行四边形， ∴11B D BD ∥，
又1BD A BD ⊂平面，111B D A BD ⊄平面，
∴111B D A BD ∥平面. 又1111CD B D D = ， ∴平面111B CD A BD ∥平面. 又1B C ⊂平面11B CD ， ∴1B C ∥平面1A BD .
（Ⅱ）∵ 2 1 60AC BC ACB ==∠=︒，，， ∴2222cos 3AB AC BC AC BC ACB =+-⋅⋅∠=，
∴AB =∴222AC AB BC =+， ∴BC AB ⊥.
又∵平面11AA B B ⊥平面ABC ，平面11AA B B 平面ABC AB =. ∴11BC AA B B ⊥平面.
∵11160 A AB AB BB AA ∠=︒==，，
∴1AA =,
∴1111sin 2A AB S AB AA A AB =
⋅⋅∠=
△∵D 是AC 中点，
∴1111111223A ABD D A AB C A AB A AB V V V S BC ---===⨯⋅=△20、
解：（1）函数（a ＞0且a ≠1）的图象恒过定点A （﹣2，﹣1），
点A 在直线mx+ny+1=0上，则，2m+n=1，mn ＞0．
=（
）（2m+n ）=3+
，当且仅当n=m ，并且2m+n=1时取等号．
表达式的最小值为：3．
（2）解：
=
=，
∵xy=﹣1，∴x 2y 2
=1，
∴s==1+，
∵12x 2+3y 2≥2
=12， ∴s ≥1+=， 当且仅当“12x 2=3y 2”即x=﹣
，y=或x=，y=﹣时“=”成立， 表达式的最小值为： 21.选修4-4：坐标系与参数方程
本小题主要考查参数方程、极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想等，满分10分.
解：（Ⅰ）由
2x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩得2x y αα
⎧=⎪⎨-=⎪⎩，
所以曲线1C 的普通方程为()2
227x y +-=.
把cos x ρθ=，sin y ρθ=，代入()2211x y -+=，
得()()22cos 1sin 1ρθρθ-+=，
化简得，曲线2C 的极坐标方程为2cos ρθ=. （Ⅱ）依题意可设12 66A B ππρρ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，，，. 因为曲线1C 的极坐标方程为24sin 30ρρθ--=， 将()06π
θρ=>代入曲线1C 的极坐标方程得2230ρρ--=，
解得13ρ=.
同理将()06π
θρ=>代入曲线2C 的极坐标方程得2ρ=.
所以123AB ρρ=-=22.解：（Ⅰ）由62≤+-a a x 得a a x -≤-62，∴a a x a -≤-≤-626，即33≤≤-x a ， ∴23-=-a ，∴1=a ．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知()112+-=x x f ，令()()()n f n f n -+=ϕ，
则，()⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧>+≤<--≤-=+++-=21
,422121,421,4221212n n n n n n n n ϕ ∴()n ϕ的最小值为4，故实数m 的取值范围是[)+∞,4．。