第五章 电磁波的辐射-5
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g wn c
三、辐射压力
例2 书上P.223页 解：
__
__
g c wi
其中 wi 为入射波平均能量密度。
gn g cos gt g sin
（法向） （切向）
三、辐射压力
则 gc wi 的法向分量为
wi cos
这部分动量实际入射于导体表面
1
cos
的面积上，因
此，w__i cos 是与传播方向垂直的单位面积上的动量的
二、电磁场的动量密度和动量流密度
f dV
g dV
T dV
V
V t
V
f dV d
g dV dS T
V
dt V
S
（7.6）
V f dV 等于整个电荷系统的动量变化率；
d dt
V
g
dV
是电磁场的动量变化率；
SdS T
由V外通过界面S 流进V 内的动量流。 或者说是单位时间内从S面流进的动量。
p p1i p2 j p3k S T
这就是通过面元ΔS 流出的动量。因此通过闭合 曲面S上流出的总动量为
二、电磁场的动量密度和动量流密度
dS T
（7.12）
张量
T
的分量
Tij
的意义是通过垂直于i
轴的单位面
积流过的动量的j 分量
二、电磁场的动量密度和动量流密度
例1 求平面电磁波的动量流密度张量
V
dt V
V
S
从上式可以看出，只有从边界面向区域内流进动量，
才能使区域V内的电荷和电磁场的动量都增加。因此
我们把
T
叫做动量流密度张量。
二、电磁场的动量密度和动量流密度
3、能流密度与动量密度之间的关系
S E H
g
0E
B
00E
H
1 c2
S
B iB
t
E ik E i n E
c E B
0
E t
(1)
又由 D 得
二、电磁场的动量密度和动量流密度
D 0 E
（2）
f
0
(
E
)E
1
0
(
B
)
B
0
E t
B
（7.2）
B 0 ， E B t
二、电磁场的动量密度和动量流密度
f
0
(
E
)E
0
(
E
)
E
1
0
(
B )B
1
0
( B)
B
0
E t
B
0 ( E ) E
0
二、电磁场的动量密度和动量流密度
单位时间传入的动量 =V 内电荷动量的变化率+V 内电磁场的动量变化率
2、动量守恒定律的数学表达式
f E J B
(7.1)
其中f 是单位体积中的电荷所受的力，叫做力密度。 根据牛顿第二定律
二、电磁场的动量密度和动量流密度
F ma d (mv ) d p
等式右边：g 是电磁场的动量密度，积分为整 个电磁场的动量，整个等式的右端为整个电磁场的 动量的减少率。
因此上式的意义为：电磁场对整个电荷体系的 作用力，等于电磁场的动量的减少率。
二、电磁场的动量密度和动量流密度
可见，整个系统的动量守恒。另外，当S 不是在无限远时
f dV d
g dV T dV dS T
二、电磁场的动量密度和动量流密度
当空间为整个空间时，S 在无穷远处，在它上面， dS·T 等于零。
f
dV
d dt
g dV
等式左边 f 为单位体积中电荷所受的电磁场的作用力， 而整个积分表示了整个空间中的电荷所受的电磁场的 作用力，也等于整个空间中电荷动量的变化率。
二、电磁场的动量密度和动量流密度
t
（7.8）
二、电磁场的动量密度和动量流密度
i n E i B
c B 1nE
c
g 0 Re(E * B )
2
0 Re[E * 1 (n E )]
2
c
0 | E |2 n
2c
(7.9)
二、电磁场的动量密度和动量流密度
S E H 1 E B 1 E (n E )
第五章 电磁波的辐射
§7 电磁场的动量
一、电磁场具有动量 二、电磁场的动量密度和动量流密度 三、辐射压力
一、电磁场具有动量
动量守恒定律和能量守恒定律 1900年，列别捷夫已经从实验上证实光压的 存在。
二、电磁场的动量密度和动量流密度
1、动量守恒定律
由于动量守恒，单位时间从区域外通过界面S 传入V 内的动量，应等于V 内电荷的动量的变化率 加上V 内电磁场的动量变化率。即
B与界面相切，设n为指向导体的法线 n·E =0，n ⊥E n·B =0，n ⊥E
n
T
1 2
n(
1
0
B
2)
2
0
Bi 2
cos2
n
__
2 wi
cos2
n
__
P 2wi cos2
I 0E
2)
( 1
0
BB
1
20
IB
2)
T
0EE
1
0
BB
1 2
I ( 0E
2
1
0
B
2)
（7.5）
g 0E B
f
T
g
t
f
g
T
t
（7.4） （7.6）
二、电磁场的动量密度和动量流密度
f 等于电荷系统的动量密度的变化率；
T
是流出单位体积表面的东西，-
T
是流
进单位体积表面的东西；
g 一定是与电磁场的动量相联系的，叫做电磁场 的动量密度。
0
c0
1
c0
E
2n
0 c0 0
E
2n
c 0E
2n
c(1 2
0E
2
1
20
B
2 )n
cwn
g
1 c2
S
w c
n
（7.10）
二、电磁场的动量密度和动量流密度
电磁场量子化以后，可以看成是由光子组成的， 每个光子的能量为
式中 h
2
h h 2
，h为普郎克常数，ν为光子的频率
n n k
c
c
__
P w cos2
__
__
w 2wi
__
P w 3
P
1
2 __
w cos2 d
2 0
（7.16）
三、辐射压力
n×(E2- E1)=0 n·(B2- B1)=0 设Ei垂直入射，在完全反射的情 形中，有Erຫໍສະໝຸດ Baidu-Ei，因而界面上的 总场强 E =0。总磁场为
B =2Bicosθ
三、辐射压力
1
0
B
2B
1 2
B ( 0E
2
1
0
B
2
)
0
T E T B 0
二、电磁场的动量密度和动量流密度
由此可见
T
仅有沿ekek方向的分量。
kE kB 0
k
T
T k
1 2
k ( 0E
2
1
0
B
2
)
wk
T wekek
（7.14）
二、电磁场的动量密度和动量流密度
T
0EE
1
0
BB
1 2
( 0E
2
1
0
B
2
)
I
解：平面电磁波E，B，k 是三个互相正交的矢
量，我们就用这三个方向来分解
T
的各分量，由
于E•B=0则
E
T
0E
2E
1 2
E
( 0E
2
1
0
B
2)
(
1 2
0E
2
1
20
B
2
)E
（7.13）
二、电磁场的动量密度和动量流密度
0E 2
1
0
B2
ET 0
B
T
0
(B
E
)E
1 2
B ( 0E
2
1
0
B
2
)
1
0
(B
B )B
(
E
)E
0 (
E
)
E
1
0
(
B )B
1
0
( B) B
0
E t
B
0
B t
E
[ 0
(
E
)E
0
(
E
)
E
1
0
(
B )B
1
0
(
B)
B]
0
t
(E
Β)
（7.3）
二、电磁场的动量密度和动量流密度
( E ) E E ( E ) 1 E 2 (E )E 2
0 ( E )E 0 ( E ) E
0eieiE 2
1
0
e je jB 2
1 2
( 0E 2
1
0
B 2 )(eiei
e je j
ekek )
二、电磁场的动量密度和动量流密度
0eieiE
2
1
0
e
je
jB
2
0E
2eiei
1
0
B 2e je j
0E 2ekek
0E 2ekek
1
0
B 2ekek
wekek
cgekek
若选k方向为z
( I E2)
(e1
x1
e2
x 2
e3
)
x 3
(e1e1E 2 e2e2E 2 e3e3E 2 )
e1
E 2 x1
e2
E 2 x 2
e3
E 2 x 3
1 ( B)B 1 ( B) B
0
0
( 1 BB
1
I B2)
0
20
二、电磁场的动量密度和动量流密度
(0ΕΕ
1 2
k n
c
二、电磁场的动量密度和动量流密度
4、动量流密度张量
T
意义
设ABC为一面元ΔS，其在三个 坐标面上的投影分别为：
x坐标面：ΔS1，ΔOBC
y坐标面：ΔS2，ΔOCA
z坐标面：ΔS3，ΔOAB
二、电磁场的动量密度和动量流密度
通过界面ΔS1的单位面积流入体积内的动量的三 个分量为
T11，T12，T13，
0
(
E
)E
0
(E
)E
1 2
0E
2
(
0EE
)
1 2
(
0
I
E
2
)
(
0EE
1 2
0
I
E
2
)
二、电磁场的动量密度和动量流密度
其中
I
是单位张量。
I e1e1 e2e2 e3e3
v I I v v
（I.45）
E 2
E 2
e1
E 2 x1
e2
E 2 x 2
e3
E 2 x 3
二、电磁场的动量密度和动量流密度
dt
dt
即物体所受的合外力等于物体的动量对时间的变化 率。
由此可知，（7.1）式的左端等于单位体积中的 电荷的动量变化率，即电荷系统的动量密度变化率。
二、电磁场的动量密度和动量流密度
动量密度：单位体积中的动量叫做动量密度。 电荷系统的动量密度； 电磁场的动量密度。
H
J
0
E t
J
H
0
E t
1
0
B
通过界面ΔS2的单位面积流入体积内的动量的 三个分量为
T21，T22，T23，
二、电磁场的动量密度和动量流密度
通过界面ΔS3的单位面积流入体积内的动量的三 个分量为
T31，T32，T33，
设从面元ΔS上流出的动量的分量分别为 Δp1, Δp2, Δp3
二、电磁场的动量密度和动量流密度
p1 S1T11 S2T21 S3T31 P2 S1T12 S2T22 S3T32 p3 S1T13 S2T23 S3T33
E Ei Er E 2 Ei 2 Er 2 2Re (Ei Er )
上式的最后一项为干涉项，它表现为导体表面外强弱 相间的能量分布，对空间各点平均后此项贡献为零。 因此导体表面附近总平均能量密度 w 等于入射波能 量密度 wi 加上反射波能量密度 wr 。
三、辐射压力
在全部反射情形中，即等于入射能量密度的2倍。
轴，则
T
只有T33
cg
二、电磁场的动量密度和动量流密度
例2 对于静电场，它是不随时间变化的，场是不运
动的，故（ ）.
A.
S 0, T 0
；
C.
S
0,
T
0
；
B.
S
0, T 0
；
D.
S 0, T 0
.
三、辐射压力
由于电磁波具有动量，它入射于物体上时，会 对物体施加一定的压力，这种压力称为辐射压力。 由电磁波动量密度（7.10）式
垂直分量，这些动量碰到导体面上的面积为 1 ，
cos
面积变大了，因此每秒入射于导体单位面积上的动量
的法向分量为
三、辐射压力
__
wi 1
__
cos wi cos2
cos
2wi cos2
由动量守恒定律，导体表面上所受的辐射的压强为
__
p 2wi cos2
（7.15）
三、辐射压力
在导体外部，总电场为入射波电场Ei加上反射波 电场Er,
三、辐射压力
例2 书上P.223页 解：
__
__
g c wi
其中 wi 为入射波平均能量密度。
gn g cos gt g sin
（法向） （切向）
三、辐射压力
则 gc wi 的法向分量为
wi cos
这部分动量实际入射于导体表面
1
cos
的面积上，因
此，w__i cos 是与传播方向垂直的单位面积上的动量的
二、电磁场的动量密度和动量流密度
f dV
g dV
T dV
V
V t
V
f dV d
g dV dS T
V
dt V
S
（7.6）
V f dV 等于整个电荷系统的动量变化率；
d dt
V
g
dV
是电磁场的动量变化率；
SdS T
由V外通过界面S 流进V 内的动量流。 或者说是单位时间内从S面流进的动量。
p p1i p2 j p3k S T
这就是通过面元ΔS 流出的动量。因此通过闭合 曲面S上流出的总动量为
二、电磁场的动量密度和动量流密度
dS T
（7.12）
张量
T
的分量
Tij
的意义是通过垂直于i
轴的单位面
积流过的动量的j 分量
二、电磁场的动量密度和动量流密度
例1 求平面电磁波的动量流密度张量
V
dt V
V
S
从上式可以看出，只有从边界面向区域内流进动量，
才能使区域V内的电荷和电磁场的动量都增加。因此
我们把
T
叫做动量流密度张量。
二、电磁场的动量密度和动量流密度
3、能流密度与动量密度之间的关系
S E H
g
0E
B
00E
H
1 c2
S
B iB
t
E ik E i n E
c E B
0
E t
(1)
又由 D 得
二、电磁场的动量密度和动量流密度
D 0 E
（2）
f
0
(
E
)E
1
0
(
B
)
B
0
E t
B
（7.2）
B 0 ， E B t
二、电磁场的动量密度和动量流密度
f
0
(
E
)E
0
(
E
)
E
1
0
(
B )B
1
0
( B)
B
0
E t
B
0 ( E ) E
0
二、电磁场的动量密度和动量流密度
单位时间传入的动量 =V 内电荷动量的变化率+V 内电磁场的动量变化率
2、动量守恒定律的数学表达式
f E J B
(7.1)
其中f 是单位体积中的电荷所受的力，叫做力密度。 根据牛顿第二定律
二、电磁场的动量密度和动量流密度
F ma d (mv ) d p
等式右边：g 是电磁场的动量密度，积分为整 个电磁场的动量，整个等式的右端为整个电磁场的 动量的减少率。
因此上式的意义为：电磁场对整个电荷体系的 作用力，等于电磁场的动量的减少率。
二、电磁场的动量密度和动量流密度
可见，整个系统的动量守恒。另外，当S 不是在无限远时
f dV d
g dV T dV dS T
二、电磁场的动量密度和动量流密度
当空间为整个空间时，S 在无穷远处，在它上面， dS·T 等于零。
f
dV
d dt
g dV
等式左边 f 为单位体积中电荷所受的电磁场的作用力， 而整个积分表示了整个空间中的电荷所受的电磁场的 作用力，也等于整个空间中电荷动量的变化率。
二、电磁场的动量密度和动量流密度
t
（7.8）
二、电磁场的动量密度和动量流密度
i n E i B
c B 1nE
c
g 0 Re(E * B )
2
0 Re[E * 1 (n E )]
2
c
0 | E |2 n
2c
(7.9)
二、电磁场的动量密度和动量流密度
S E H 1 E B 1 E (n E )
第五章 电磁波的辐射
§7 电磁场的动量
一、电磁场具有动量 二、电磁场的动量密度和动量流密度 三、辐射压力
一、电磁场具有动量
动量守恒定律和能量守恒定律 1900年，列别捷夫已经从实验上证实光压的 存在。
二、电磁场的动量密度和动量流密度
1、动量守恒定律
由于动量守恒，单位时间从区域外通过界面S 传入V 内的动量，应等于V 内电荷的动量的变化率 加上V 内电磁场的动量变化率。即
B与界面相切，设n为指向导体的法线 n·E =0，n ⊥E n·B =0，n ⊥E
n
T
1 2
n(
1
0
B
2)
2
0
Bi 2
cos2
n
__
2 wi
cos2
n
__
P 2wi cos2
I 0E
2)
( 1
0
BB
1
20
IB
2)
T
0EE
1
0
BB
1 2
I ( 0E
2
1
0
B
2)
（7.5）
g 0E B
f
T
g
t
f
g
T
t
（7.4） （7.6）
二、电磁场的动量密度和动量流密度
f 等于电荷系统的动量密度的变化率；
T
是流出单位体积表面的东西，-
T
是流
进单位体积表面的东西；
g 一定是与电磁场的动量相联系的，叫做电磁场 的动量密度。
0
c0
1
c0
E
2n
0 c0 0
E
2n
c 0E
2n
c(1 2
0E
2
1
20
B
2 )n
cwn
g
1 c2
S
w c
n
（7.10）
二、电磁场的动量密度和动量流密度
电磁场量子化以后，可以看成是由光子组成的， 每个光子的能量为
式中 h
2
h h 2
，h为普郎克常数，ν为光子的频率
n n k
c
c
__
P w cos2
__
__
w 2wi
__
P w 3
P
1
2 __
w cos2 d
2 0
（7.16）
三、辐射压力
n×(E2- E1)=0 n·(B2- B1)=0 设Ei垂直入射，在完全反射的情 形中，有Erຫໍສະໝຸດ Baidu-Ei，因而界面上的 总场强 E =0。总磁场为
B =2Bicosθ
三、辐射压力
1
0
B
2B
1 2
B ( 0E
2
1
0
B
2
)
0
T E T B 0
二、电磁场的动量密度和动量流密度
由此可见
T
仅有沿ekek方向的分量。
kE kB 0
k
T
T k
1 2
k ( 0E
2
1
0
B
2
)
wk
T wekek
（7.14）
二、电磁场的动量密度和动量流密度
T
0EE
1
0
BB
1 2
( 0E
2
1
0
B
2
)
I
解：平面电磁波E，B，k 是三个互相正交的矢
量，我们就用这三个方向来分解
T
的各分量，由
于E•B=0则
E
T
0E
2E
1 2
E
( 0E
2
1
0
B
2)
(
1 2
0E
2
1
20
B
2
)E
（7.13）
二、电磁场的动量密度和动量流密度
0E 2
1
0
B2
ET 0
B
T
0
(B
E
)E
1 2
B ( 0E
2
1
0
B
2
)
1
0
(B
B )B
(
E
)E
0 (
E
)
E
1
0
(
B )B
1
0
( B) B
0
E t
B
0
B t
E
[ 0
(
E
)E
0
(
E
)
E
1
0
(
B )B
1
0
(
B)
B]
0
t
(E
Β)
（7.3）
二、电磁场的动量密度和动量流密度
( E ) E E ( E ) 1 E 2 (E )E 2
0 ( E )E 0 ( E ) E
0eieiE 2
1
0
e je jB 2
1 2
( 0E 2
1
0
B 2 )(eiei
e je j
ekek )
二、电磁场的动量密度和动量流密度
0eieiE
2
1
0
e
je
jB
2
0E
2eiei
1
0
B 2e je j
0E 2ekek
0E 2ekek
1
0
B 2ekek
wekek
cgekek
若选k方向为z
( I E2)
(e1
x1
e2
x 2
e3
)
x 3
(e1e1E 2 e2e2E 2 e3e3E 2 )
e1
E 2 x1
e2
E 2 x 2
e3
E 2 x 3
1 ( B)B 1 ( B) B
0
0
( 1 BB
1
I B2)
0
20
二、电磁场的动量密度和动量流密度
(0ΕΕ
1 2
k n
c
二、电磁场的动量密度和动量流密度
4、动量流密度张量
T
意义
设ABC为一面元ΔS，其在三个 坐标面上的投影分别为：
x坐标面：ΔS1，ΔOBC
y坐标面：ΔS2，ΔOCA
z坐标面：ΔS3，ΔOAB
二、电磁场的动量密度和动量流密度
通过界面ΔS1的单位面积流入体积内的动量的三 个分量为
T11，T12，T13，
0
(
E
)E
0
(E
)E
1 2
0E
2
(
0EE
)
1 2
(
0
I
E
2
)
(
0EE
1 2
0
I
E
2
)
二、电磁场的动量密度和动量流密度
其中
I
是单位张量。
I e1e1 e2e2 e3e3
v I I v v
（I.45）
E 2
E 2
e1
E 2 x1
e2
E 2 x 2
e3
E 2 x 3
二、电磁场的动量密度和动量流密度
dt
dt
即物体所受的合外力等于物体的动量对时间的变化 率。
由此可知，（7.1）式的左端等于单位体积中的 电荷的动量变化率，即电荷系统的动量密度变化率。
二、电磁场的动量密度和动量流密度
动量密度：单位体积中的动量叫做动量密度。 电荷系统的动量密度； 电磁场的动量密度。
H
J
0
E t
J
H
0
E t
1
0
B
通过界面ΔS2的单位面积流入体积内的动量的 三个分量为
T21，T22，T23，
二、电磁场的动量密度和动量流密度
通过界面ΔS3的单位面积流入体积内的动量的三 个分量为
T31，T32，T33，
设从面元ΔS上流出的动量的分量分别为 Δp1, Δp2, Δp3
二、电磁场的动量密度和动量流密度
p1 S1T11 S2T21 S3T31 P2 S1T12 S2T22 S3T32 p3 S1T13 S2T23 S3T33
E Ei Er E 2 Ei 2 Er 2 2Re (Ei Er )
上式的最后一项为干涉项，它表现为导体表面外强弱 相间的能量分布，对空间各点平均后此项贡献为零。 因此导体表面附近总平均能量密度 w 等于入射波能 量密度 wi 加上反射波能量密度 wr 。
三、辐射压力
在全部反射情形中，即等于入射能量密度的2倍。
轴，则
T
只有T33
cg
二、电磁场的动量密度和动量流密度
例2 对于静电场，它是不随时间变化的，场是不运
动的，故（ ）.
A.
S 0, T 0
；
C.
S
0,
T
0
；
B.
S
0, T 0
；
D.
S 0, T 0
.
三、辐射压力
由于电磁波具有动量，它入射于物体上时，会 对物体施加一定的压力，这种压力称为辐射压力。 由电磁波动量密度（7.10）式
垂直分量，这些动量碰到导体面上的面积为 1 ，
cos
面积变大了，因此每秒入射于导体单位面积上的动量
的法向分量为
三、辐射压力
__
wi 1
__
cos wi cos2
cos
2wi cos2
由动量守恒定律，导体表面上所受的辐射的压强为
__
p 2wi cos2
（7.15）
三、辐射压力
在导体外部，总电场为入射波电场Ei加上反射波 电场Er,