江苏省南京市三校2021届高三上学期期中联考数学试题

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江苏省南京市秦淮区2021届高三上学期期中三校联考数学试卷(解析版)

江苏省南京市秦淮区2020-2021学年度第一学期第一阶段质量检测（第三高级中学、第五高级中学、第二十七中学）期中联考高三数学一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）1．已知全集U=R ，集合M ={}13|<<-x x ，N ={}11|<<-x x ，则阴影部分表示的集合是（）A.[]11，- B ．(]13，- C ．(]13--， D ．()()∞+--∞-，，13 【答案】C【考点】集合的运算【解析】由题意阴影部分表示M 中去掉M ∩N 的部分，且M ∩N =N=()11，-，则阴影部分表示：(]13--，，故答案选C. 2．若复数i z -=1，则=-z z 1（） A ．1 B ．2 C ．22 D ．4【答案】B【考点】复数的运算【解析】由题意()211111111=+=--=-+=⋅-=-=-i i i i i i i i z z ，故答案选B. 3．已知函数()()x x f x x ln 22-+=的图象大致为（）【答案】B【考点】函数的图象【解析】由题意该函数()()()x f x x f x x =-+=--ln 22，为偶函数，且非三角函数类型，则排除D 选项；因为()022>+-x x ，而x ln 可以取到负数，则排除C 选项；去特殊值()01=f ，且当()+∞→+∞→x f x ，，则排除A ，故答案选B.4．()()()432111x x x +++++的展开式中，含x 2的系数是（） A ．1 B ．3C ．6D ．10【答案】D【考点】二项式定理展开式【解析】由题意()()()432111x x x +++++的展开式中，含x 2的系数为10242322=++C C C ，故答案选D.5．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥nB ．若α∥β，m ⊂α，n ⊂β，则m ∥nC ．若m ⊥α，m ∥n ，n ⊂β，则α⊥βD ．若α β=m ，n ⊂α，则n ⊥β【答案】C【考点】立体几何的位置关系判断：平行与垂直【解析】对于A 选项，m 与n 可相交、异面，则选项A 错误；对于B 选项，m 与n 可异面，则选项B 错误；对于C 选项，若m ⊥α，m ∥n ，可推导出n ⊥α，又由n ⊂β，利用面面垂直的判定定理可推出α⊥β，则选项C 正确；对于D 选项，n 与β可平行、相交，则选项D 错误；故答案选C.6．已知奇函数()x f 的图象关于直线x =3对称，当[]30，∈x 时，()x x f -=，则()=-16f （）A ．－2B ．－1C ．1D ．2【答案】D【考点】函数概念与基本性质【解析】由题意()x f 为奇函数，则()()x f x f -=-，又()x f 的图象关于直线x =3对称，则()()x f x f -=6，则有()()()x f x f x f --=-=6，即()()x f x f -=-6，所以()()()()()x f x f x f x f =--=--=-612，则周期为12，所以()()()()224416=-=-=-=-f f f f .故答案选D.7．历史上数列的发展，折射出很多有价值的数学思想方法，对时代的进步起了重要的作用，比如意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233……即F （1）=F （2）=1，F （n ）=F （n －1）＋F （n －2），()*3N n n ∈≥，．此数列在现代物理及化学等领域有着广泛的应用，若此数列被4整除后的余数构成一个新数列{}n b ，则b 2020=（）A ．3B ．2C ．1D ．0【答案】A【考点】文化题：利用周期性求数列的项【解析】由题意可知“兔子数列”被4整除后的余数构成一个新数列为：1，1，2，3，1，0，1，1，2，3，1，0，……则可得到周期为6，所以b 2020=b 4=3，故答案选A.8．已知函数[](()⎩⎨⎧∞+∈--∈+-，，，，0220211x x f x x ，若方程()a x x f +=在区间[]42，-内有3个不相等的实根，则实数a 的取值范围是（）A ．{}02|<<-a aB ．{}02|≤<-a aC ．{}2102|<<<<-a a a 或D ．{}102|=<<-a a a 或【答案】D【考点】函数的概念与性质、函数方程（零点）【解析】由题意方程()a x x f +=在区间[]42，-内有3个不相等的实根，可等价于函数()x f y =与函数a x y +=的图象在[]42，-内有三个交点.因为当[]02，-∈x 时，()11+-=x x f ，当(]20，∈x 时，(]022，-∈-x ，所以()()()11222--=-=x x f x f ，因为当()42，∈x 时，()202，∈-x ，所以()()()31422--=-=x x f x f ，如图，可画出函数()x f y =在[]42，-内的图象，有图象可知，当02<<-a 或a =1时，()x f y =与函数a x y +=的图象在[]42，-内有三个交点.二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．全部选对得5分，部分选对得3分，不选或有错选的得0分．9．比较甲、乙两名学生的数学学科素养的各项能力指标值（满分为5分，分值高者为优），绘制了如图所示的六维能力雷达图，例如图中甲的数学抽象指标值为4，乙的数学抽象指标值为5，则下面叙述正确的是（）A.甲的逻辑推理能力指标值优于乙的逻辑推理能力指标值B.甲的数学建模能力指标值优于乙的直观想象能力指标值C.乙的六维能力指标值整体水平优于甲的六维能力指标值整体水平D.甲的数学运算能力指标值优于甲的直观想象能力指标值【答案】AC【考点】信息统计与理解应用【解析】对于A选项，甲的逻辑推理能力指标值为4，乙的逻辑推理能力指标值为3，所以甲的逻辑推理能力指标值优于乙的逻辑推理能力指标值，故选项A 正确；对于B 选项，甲的数学建模能力指标值为3，乙的直观想象能力指标值为5，所以乙的数学建模能力指标值优于甲的直观想象能力指标值，故选项B 错误；对于C 选项，甲的六维能力指标值的平均值为()62343543461=+++++⨯，乙的六维能力指标值的平均值为()623434534561>=+++++⨯，所以乙的六维能力指标值整体水平优于甲的六维能力指标值整体水平，所以选项C 正确；对于D 选项，甲的数学运算能力指标值为4，甲的直观想象能力指标值为5，所以甲的数学运算能力指标值不优于甲的直观想象能力指标值，所以选项D 错误；故答案选AC.10．若将函数()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=122cos πx x f 的图象向左平移8π个单位长度，得到函数()x g 的图象，则下列说法正确的是（）A ．()x g 的最小正周期为πB ．()x g 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡20π，上单调递减C ．12π=x 不是函数()x g 图象的对称轴D ．()x g 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-66ππ，上的最小值为21- 【答案】ACD【考点】三角函数的图象与性质【解析】由题意可知()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=32cos 1282cos πππx x x g ，对于选项A ，()x g 的最小正周期为ππ=22，所以A 选项正确；对于选项B ，若()x g 单调递减，则[]Z k k k x ∈+∈+，，ππππ2232，解得Z k k k x ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-∈，，ππππ36，所以()x g 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡30π，上单调递减，在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡23ππ，上单调递增，所以B 选项错误；对于选项C ，当12π=x 时，103122cos 12±≠=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛πππg ，所以12π=x 不是函数()x g 图象的对称轴，故C 选项正确；对于选项D ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈66ππ，x ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈+32032ππ，x ，则()x g ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈121，，即()x g 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-66ππ，上的最小值为21-，故D 选项正确。

江苏省南京市三校2020-2021学年高一第一学期期中联考数学试卷含答案

9．设集合 M＝{x|a＜x＜3＋a}，N＝{x|x＜2 或 x＞4}，则下列结论中正确的是 ( )
A．若 a＜－1，则 MN
B．若 a＞4，则 MN
C．若 M∪N＝R，则 1＜a＜2
D．若 M∩N≠，则 1＜a＜2
10．设 a，b，c∈R，则下列说法中正确的是 A．若 ac2＞bc2，则 a＞b C．若 a＞b，c＞d，则 ac＞bd
C．“函数 f(x)在 R 上是增函数”的含义是“存在 x1，x2∈R，当 x1＜x2 时，f(x1)＜f(x2)”
D．对于非空集合 M，N，“MN”的充要条件是“对任意的 x∈M，都有 x∈N”
三、填空题：本大题共 4 小题；每小题 5 分，共 20 分．把答案填在答题卡中相应的横线上．
13．函数 y＝ x－1＋x－1 2的定义域为____▲______ ．
8．已知 x，y 满足 x＋y＝2，则下列结论中正确的是
A．xy 的最小值为 1
B．x2＋y2 的最小值为 2
C．x＋4x的最小值为 4
D．1x＋1y的最小值为 2
()
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符
合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．
14．函数 f (x)＝x22x＋－11，，xx≤＞00，的值域为____▲______．
15．“存在 x∈R，x2＝x”的否定是：____▲______．
16．若定义在 R 上的奇函数 y＝f(x)在区间（0，＋∞）是增函数，且 f(2)＝0，则满足不等式 f(x)＜0 的实数 x 的取值范围是____▲______．
19．(本题满分 12 分)设函数 f(x)＝(k2＋4k－5)x2＋2(1－k)x＋1，若对任意的 x∈R，都有 f(x) ＞0，求实数 k 的取值范围．

江苏省南京市溧水二高、秦淮中学2021届高三上学期期中联考数学(解析Word版)

2020-2021学年度第一学期高三期中三校联考数学试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号等填写在答题卡指定的位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合M ＝[1，3)，N ＝(2，5]，则M ∩N ＝A ．[1，5]B ．(2，3)C ．[1，2)D ．(3，5]【答案】B【考点】集合的运算【解析】由集合的交集定义即可解出答案. 2．已知i 是虚数单位，设复数a ＋b i ＝2－i2＋i，其中a ，b ∈R ，则a ＋b 的值为A ．57B ．57-C ．51D ．51-【答案】D【考点】复数的运算【解析】由题意a ＋b i ＝2－i 2＋i ()()()5452222ii i i -=-+-=，则求得51541-=+-==b a b a ，，，故答案选D.3．从5名同学中选若干名分别到图书馆、食堂做志愿者，若每个地方至少去2名，则不同的安排方法共有A ．20种B ．50种C ．80种D ．100种【答案】B 【考点】排列组合【解析】由题意可知到图书馆、食堂的志愿者选出4名或5名，根据分类计数原理可知，当选出4名同学时，为平均分配，即有3022222325=A A C C ；当选出5名同学时，可知一个地方为2名同学，一个地方为3名同学，则有20223325=A C C ，则每个地方至少去2名不同的安排方法共有30+20=50种，故答案选B.4．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”你的计算结果是A ．80里B ．86里C ．90里D ．96里【答案】D【考点】文化题中数列的基础计算【解析】翻译为：有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请计算此人第二天走的路程。

江苏省南京市三校联考高三上学期期中考试数学理试题

2020届江苏省南京市溧水区第二高级中学、第三高级中学等三校联考高三上学期期中考试数学理科注意事项：1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．2．答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内．试题的答案写在答题．．纸．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸．参考公式：锥体的体积公式：V ＝13Sh ，其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．已知集合A ＝{1，2，3，4}，B ＝{x |x 2－4x ＜0}，则A ∩B ＝ ▲ ． 2．若复数z 满足z i ＝1－3i ，其中i 为虚数单位，则z ＝ ▲ ．3．某校有教师300人，男学生1500人，女学生1200人，现用分层抽样的办法从全校师生中抽取200人进行某项调查，则应抽取的女学生人数为 ▲ ．4．执行如图算法框图，若输入a ＝4，b ＝12，则输出a 的值是 ▲ ． 5．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程为y ＝±3x ，则该双曲线的离心率为 ▲ ．6．任取x ∈{－2，2，4}，y ∈{－1，1，2}，则使得向量a ＝(2，1) 与b ＝(x ，y )平行的概率为 ▲ ．7．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时f (x )＝x ＋a ，a 为实数，则f (－4)的值是 ▲ ．8．已知数列{a n }是等比数列，且a 1a 3a 5＝8，a 7＝8，则a 1的值是 ▲ ．9．已知矩形ABCD 的边AB ＝4，BC ＝3，若沿对角线AC 折叠，使得平面DAC ⊥平面BAC ，则三棱锥D －ABC 的体积是 ▲ ．10．在平面直角坐标系xOy 中，过点P (－1，0)的直线l 与圆C ：x 2＋y 2－2x ＝0交于A ，B 两点，若CA ⊥CB ，则直线l 的斜率是 ▲ ．11．已知α∈(0，π2)，且P (4，3)是α－π6终边上一点，则cos α的值是 ▲ ． 12．实数x ，y 满足条件xy ＋1＝4x ＋y 且x ＞1，则(x ＋1)(y ＋2)的最小值是 ▲ ．13．已知AB 是半径为3的圆M 的直径，点C 是圆周上除A ，B 外一点，若点P 满足PC →＝2CM →，则PA →·PB →的值是 ▲ ．14．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ＋1－3，－1＜x ≤0，x ，0＜x ≤1，且g (x )＝f (x )－mx －m 在(－1，1]内有且仅有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是 ▲ ．二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．（本小题满分14分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知3b cos C ＝c sin B ．（1）求角C 的大小；（2）若c ＝27，a ＋b ＝10，求△ABC 的面积．16．（本小题满分14分）如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ⊥BC ，A 1B 与AB 1交于点D ，A 1C 与AC 1交于点E ．求证：（1）DE ∥平面B 1BCC 1；（2）平面A 1BC ⊥平面A 1ACC 1．17．（本小题满分14分）ED B 1A1C1CBA在平面直角坐标系xOy 中，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，且短轴长为2．（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆的上、下顶点分别为A ，B ，点C ，D 是椭圆上关于y 轴对称的两个不同的点，直线AC ，BD交x 轴分别于点M ，N ，求证：OM →·ON →为定值．18．（本小题满分16分）如图1，一艺术拱门由两部分组成，下部为矩形ABCD ．AB ，AD 的长分别为23m 和4m ，上部是圆心为O 的劣弧CD ，∠COD ＝2π3．图1 图2 图3 图4 （1）求图1中拱门最高点到地面的距离；（2）现欲以B 点为支点将拱门放倒，放倒过程中矩形ABCD 所在的平面始终与地面垂直，如图2、图3、图4所示．设BC 与地面水平线l 所成的角为θ．记拱门上的点到地面的最大距离为h ，试用θ的函数表示h ，并求出h 的最大值．19．（本小题满分16分）等差数列{a n }公差大于零，且a 2＋a 3＝52，a 22＋a 32＝134，记{a n }的前n 项和为S n ，等比数列{b n }各项均为正数，公比为q ，记{b n }的前n 项和为T n ．（1）求S n ；（2）若q 为正整数，且存在正整数k ，使得T k ，T 3k ∈{S 2，S 5，S 6}，求数列{b n }的通项公式；（3）若将S n 中的整数项按从小到大的顺序排列构成数列{c n }，求{c n }的一个通项公式．20．（本小题满分16分）已知函数f (x )＝x 2－(a ＋2)x ＋2，g (x )＝ln x ，a ∈R ．（1）若曲线y ＝g (x )在x ＝1处的切线恰与曲线y ＝f (x )相切，求a 的值；（2）不等式f (x )≥xg (x )对一切正实数x 恒成立，求a 的取值范围；（3）已知a ＜2，若函数h (x )＝f (x )＋ag (x )＋2a 在(0，2)上有且只有一个零点，求a 的取值范围．2019-2020学年度第一学期高三期中考试数学附加题注意事项：1．附加题供选修物理的考生使用． 2．本试卷共40分，考试时间30分钟．3．答题前，考生务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内．试题的答案写在答．题纸．．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸． 21．【选做题】在A 、B 、C 三小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答．卷纸指定区域内．．．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．选修4—2：矩阵与变换已知x ，y ∈R ，矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1y 0有一个属于特征值－2的特征向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1，（1）求矩阵A ；（2）若矩阵B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 6，求A －1B ．B ．选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，P 为曲线C 1：⎩⎨⎧x ＝cos θ，y ＝3sin θ，(θ为参数)上的动点，Q 为曲线C 2：⎩⎨⎧x ＝4－ 22t ，y ＝4＋ 2 2t ，(t 为参数)上的动点，求线段PQ 的最小值．C ．选修4—5：不等式选讲设a ，b ，c 为正实数，求证：a b ＋c ＋b c ＋a ＋c a ＋b ≥32．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答．卷卡指定区域内．．．．．．．作答．解答应写出文字说APFE CBD明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）如图，在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，AP ＝AB ＝1，F ，E 分别是PB ，PC 中点．（1）求DE 与平面PAB 所成角的正弦；（2）求平面ADEF 与平面PDE 所成锐二面角的值．23．（本小题满分10分）2020年6月，第十六届欧洲杯足球赛将在12个国家的13座城市举行.某体育网站组织球迷对德国、西班牙、法国、葡萄牙四支热门球队进行竞猜，每位球迷可从四支球队中选出一支球队，现有三人参与竞猜.（1）若三人中每个人可以选择任何一支球队，且选择每个球队都是等可能的，求四支球队中恰好有两支球队有人选择的概率；（2）若三人中有一名女球迷，假设女球迷选择德国队的概率为13，男球迷选择德国队的概率为25，记X为三人中选择德国队的人数，求X 的分布列和数学期望.南京市建邺高级中学、溧水第二高级中学期中考试高三数学参考答案 2019.11一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．{2，3} 2．-3+i 3．80 4．12 5．2 6．13 7．－2 8．1 9．245 10．±77 11．43－310 12．27 13．72 14．(－94，－2]∪(0，12]二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．解：（1）因为cos sin C c B =，由正弦定理可得：cos sin sin B C C B =所以tan C =4分又因为()0,C π∈…………5分所以3C π=…………6分（2）因为2222cos c a b ab C =+-2()3a b ab =+-…………8分所以 24ab =…………10分所以 1s i n 32ABCSab C ==14分 16．证明：（1）直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中， 1AA //1BB ，所以四边形11ABB A 是平行四边形，且11A B AB DE =所以D 为1A B 中点，…………2分同理E 为1A C 中点，所以//DE BC …………4分又因为DE ⊄平面11B BCC ，BC ⊂平面11B BCC ，ED B 1A 1C1CBA所以//DE 11B BCC …………6分（2）直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，1C C ⊥平面ABC ，因为BC ⊂平面ABC ，所以1C C BC ⊥，因为AC BC ⊥，1ACC C C =， 1AC C C ⊂、平面11A ACC所以BC ⊥平面11A ACC …………12分又因为BC ⊂平面1A BC所以平面1A BC ⊥平面11A ACC …………14分17．解：（1）2c a =，22b =…………2分解得：1a b c ===所以椭圆方程为：2212x y +=…………4分（2）设00(,)D x y ，00(,)C x y - 则AC l ：0011y y x x -=+-…………6分所以00(,0)1x M y -…………8分同理00(,0)1x N y +…………10分所以20201x OM ON y ⋅=-又因为220012x y +=，22002200212x x OM ON x y ⋅===---…………14分 18．解：（1）如图，过O 作与地面垂直的直线交AB ，CD 于点1O ，2O ，交劣弧CD 于点E ， 1O E 的长即为拱门最高点到地面的距离．在2Rt O OC ∆中，23O OC π∠=，2CO =所以21OO =，圆的半径2R OC ==．所以11225O E R O O OO =+-=．…………4分答：拱门最高点到地面的距离为5m ．（2）在拱门放倒过程中，过点O 作与地面垂直的直线与“拱门外框上沿”相交于点P ．当点P 在劣弧CD 上时，拱门上的点到地面的最大距离h 等于圆O 的半径长与圆心O 到地面距离之和；当点P 在线段AD 上时，拱门上的点到地面的最大距离h 等于点D 到地面的距离．连接OB由（1）知，在1Rt OO B ∆中，OB ==6分．以B 为坐标原点，水平直线l 为x 轴，建立如图所示的坐标系． ①当点P 在劣弧CD 上时，62ππθ<≤．由6OBx πθ∠=+，OB =得66O ππθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭则2)6h πθ=++． …………8分所以当62ππθ+=，即3πθ=时，h 取得最大值2+ …………10分②当点P 在线段AD 上时，06πθ≤≤．连接BD ，设CBD ϕ∠=，在Rt BCD ∆中，DB ==则sin7ϕ==，cos ϕ==．由DBx θϕ∠=+，得),))D θϕθϕ++．所以 )4sin h θϕθθ=+=+． …………13分又当06πθ<<时，4cos 4cos066h ππθ'=->-=>．所以4sin h θθ=+在0,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递增．所以当6πθ=时，h 取得最大值5．因为，所以h 的最大值为．…………15分综上，艺术拱门在放倒的过程中，拱门上的点到地面距离的最大值为（）m 。

2021届江苏省南京市高三第一学期期初联考数学试题Word版含解析

2021届江苏省南京市高三第一学期期初联考数学试题一、填空题1．已知集合A ＝{}12x x -<≤，B ＝{}0x x ≤，则A B ＝_______．【答案】{}10x x -<≤【解析】根据交集定义直接求得结果. 【详解】由交集定义可得：{}10A B x x ⋂=-<≤ 本题正确结果：{}10x x -<≤ 【点睛】本题考查集合运算中的交集运算，属于基础题. 2．已知复数z 31ii-=+（i 是虚数单位），则z 的虚部是 . 【答案】-2【解析】直接利用复数代数形式的除法运算化简，则复数z 的虚部可求．【详解】 ∵z ()()()()31324121112i i i ii i i i ----====-++-， ∴z 的虚部是﹣2．故答案为﹣2．【点睛】本题考查了复数代数形式的除法运算，考查了复数的基本概念，是基础题．3．对一批产品的质量（单位：克）进行抽样检测，样本容量为1600，检测结果的频率分布直方图如图所示．根据标准，单件产品质量在区间[25，30)内为一等品，在区间[15，20)，[20，25)和[30，35)内为二等品，其余为三等品．则样本中三等品件数为_______．【答案】200.【解析】根据频率分布直方图求得三等品对应频率，根据频数等于频率乘以总数求得结果. 【详解】由题意可知，单间产品质量在[)10,15和[)35,40的为三等品∴三等品对应的频率为：0.0125250.125⨯⨯= ∴三等品件数为：16000.125200⨯=本题正确结果：200 【点睛】本题考查根据频率分布直方图计算频数的问题，属于基础题.4．现有三张卡片，分别写有“1”、“2”、“3”这三个数字．将这三张卡片随机排序组成一个三位数，则该三位数是偶数的概率是_______．【答案】13. 【解析】计算出三位数个数和其中偶数个数，根据古典概型概率公式求得结果. 【详解】三张卡片随机排序组成一个三位数，共有：336A =个，其中偶数有：222A =个∴该三位数是偶数的概率：2163p == 本题正确结果：13【点睛】本题考查古典概型概率问题的求解，属于基础题. 5．函数21log y x =+______．【答案】1[,)2+∞【解析】直接由根式内部的代数式大于等于0，然后求解对数不等式得答案. 【详解】由201log 0x x >⎧⎨+≥⎩，得12x ≥，∴函数21log y x =+的定义域为1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.故答案为：1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 【点睛】本题考查了函数的定义域及其求法，考查对数不等式的解法，是基础题. 6．运行如图所示的伪代码，其结果为．【答案】17【解析】试题分析：第一次循环，I=1，S=1+1=2；第二次循环，I=3，S=2+3=5；第三次循环，I=5，S=5+5=10；第四次循环，I=7，S=10+7=17，结束循环输出S=17 【考点】循环结构流程图7．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线C ：222116x y a -=(a ＞0)的右顶点到双曲线的一条渐近线的距离为453，则双曲线C 的方程为_______．【答案】2212016x y -=.【解析】由方程得到顶点坐标和渐近线方程，利用点到直线距离公式构造方程求得2a ，从而得到所求方程. 【详解】由双曲线方程知，右顶点为(),0a ，渐近线方程为：4y x a=±，即40x ay ±-= ∴右顶点到双曲线渐近线距离2445316ad a ±=+220a =∴双曲线C 的方程为：2212016x y -=本题正确结果：2212016x y -=【点睛】本题考查双曲线标准方程的求解，关键是能够利用点到直线距离公式构造方程求得未知量.8．如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为自豪的发现．我们来重温这个伟大发现，圆柱的表面积与球的表面积之比为_______．【答案】32. 【解析】设球的半径为R ，可知圆柱高为2R ；根据圆柱表面积和球的表面积公式分别求得表面积，作比得到结果. 【详解】设球的半径为R ，则圆柱的底面半径为R ，高为2R∴圆柱的表面积2212226S R R R R πππ=+⋅=；球的表面积224S R π=∴圆柱的表面积与球的表面积之比为21226342S R S R ππ==本题正确结果：32【点睛】本题考查圆柱表面积和球的表面积公式的应用，属于基础题.9．函数()Asin()f x x ωϕ=+(A ＞0，ω＞0)的部分图象如图所示．若函数()y f x =在区间[m ，n ]上的值域为[2-2]，则n ﹣m 的最小值是_______．【答案】3.【解析】根据三角函数图象求得函数解析式()2sin 4f x x π=；利用()2f x =-()2f x =求得x 的取值，可知当12k k =时取最小值，从而得到结果. 【详解】由图象知：()max 2f x = 2A ∴=，又()22628T πω==⨯-= 4πω∴=()22sin 22f πϕ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭2k ϕπ∴=，k Z ∈()2sin 22sin 44f x x k x πππ⎛⎫∴=+= ⎪⎝⎭当()2f x =-1244x k πππ=-+或15244x k πππ=+，1k Z ∈ 181x k ∴=-或185x k =+，1k Z ∈当()2f x =时，2242x k πππ=+，2k Z ∈ 282x k ∴=+若n m -最小，则12k k = ()min 3n m ∴-= 本题正确结果：3 【点睛】本题考查利用三角函数图象求解函数解析式、根据值域求解定义域的问题；关键是能够通过特殊角三角函数值确定角的取值.10．在公比为q 且各项均为正数的等比数列{}n a 中，n S 为{}n a 的前n 项和．若121a q =，且527S S =+，则首项1a 的值为_______．【答案】14. 【解析】首先验证1q =时，不符合题意，可知1q ≠；利用()252317S S a q q-=++=和2311aa q ==可构造方程求得q ，代入求得结果. 【详解】当1q =时，由527S S =+得：11527a a =+，解得：173a = 与11a =矛盾，可知1q ≠()252345317S S a a a a q q -=++=++=，2311a a q ==260q q ∴+-=，又0q >，解得：2q114a ∴=本题正确结果：14【点睛】本题考查等比数列通项公式的应用，关键是能够利用已知等式构造出关于公比的方程.11．已知()f x 是定义在区间(﹣1，1)上的奇函数，当x ＜0时，()(1)f x x x =-．已知m 满足不等式2(1)(1)0f m f m -+-<，则实数m 的取值范围为_______．【答案】(0，1).【解析】根据二次函数性质和奇偶性可知()f x 在()1,1-上单调递减；将不等式变为()()211f m f m -<-，根据单调性和定义域可得不等式组，解不等式组求得结果. 【详解】()f x 为定义在()1,1-上的奇函数 ()00f ∴=(]1,0x ∴∈-时，()221124f x x x x ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭ ()f x ∴在(]1,0-上单调递减()f x 为奇函数 ()f x ∴在[)0,1上单调递减 ()f x ∴在()1,1-上单调递减由()()2110f m f m-+-<得：()()()22111f m f m f m-<--=-2211111111m m m m -<-<⎧⎪∴-<-<⎨⎪->-⎩，解得：01m <<，即m 的取值范围为：()0,1 本题正确结果：()0,1 【点睛】本题考查利用单调性和奇偶性求解函数不等式的问题，关键是能够将问题转化为函数值之间的比较，根据单调性将函数值的比较变为自变量的比较；易错点是忽略定义域的要求，造成求解错误.12．已知圆O ：x 2＋y 2＝4和圆O 外一点P(0x ，0y )，过点P 作圆O 的两条切线，切点分别为A ，B ，且∠AOB ＝120°．若点C(8，0)和点P 满足PO ＝λPC ，则λ的范围是_______．【答案】1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【解析】根据4PO =可知220016x y +=，利用PO PC λ=构造方程可求得0215x λ=-；根据044x -≤≤且0λ>可解不等式求得结果.【详解】120AOB ∠=，2OA OB == 4cos60AO PO ∴==，即22016x y += 又()22008PC x y =-+且PO PC λ= ()22200816x y λ⎡⎤∴-+=⎣⎦且0λ> 解得：20225115x λλλ-==-220016x y += 044x ∴-≤≤ 21454λ∴-≤-≤，解得：1,13λ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦本题正确结果：1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查直线与圆的综合应用问题，涉及到两点间距离公式的应用、点的轨迹方程的求解；关键是能够利用λ表示出动点的横坐标，从而根据横坐标范围构造不等式. 13．如图，已知梯形ABCD ，//AD BC ，23BC AD =，取BD 中点E ，连接AE 并延长交CD 于F ，若2AB AD FA CD ⋅=⋅，则ABAD=_______．【答案】33. 【解析】作//FG AD ，根据三角形相似得到比例关系证得34DF DC =；利用平面向量线性运算可用AD ，AB表示出CD，FA ，根据数量积的运算律可整理得到223122AB AD=，从而得到结果.【详解】作//FG AD，交BD于点GAED FEG∆∆GF EGAD DE∴=，又2FG GD DE EGBC BD DE+==又23BCAD=，可得：2DE EG=3344DF DG EGDC DB EG∴===2133CD CB BA AD DA BA AD AD AB=++=++=-()3313344344FA AD DF AD DC AD AD AB AD AB⎡⎤⎛⎫⎛⎫∴=-+=-+=-+-+=--⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦22133312234422FA CD AD AB AD AB AB AD AB AD⎛⎫⎛⎫∴⋅=-⋅--=+⋅-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭又2AB AD FA CD⋅=⋅223122AB AD∴=，即223122AB AD=3ABABAD AD∴==本题正确结果：33【点睛】本题考查平面向量的综合应用问题，涉及到向量的线性运算、向量数量积的运算律等知识；关键是能够用基底准确的表示向量，将数量积运算转化为模长之间的关系，属于较难题.14．已知函数()1ln,111,122x xf xx x+≥⎧⎪=⎨+<⎪⎩,若12x x≠，且()()122f x f x+=，则12x x+的取值范围是________.【答案】[32ln2,)-+∞【解析】首先可根据题意得出12x x、不可能同时大于1，然后令121x x，根据122f x f x即可得出122212ln x x x x ，最后通过构造函数12ln 1g xx x x 以及对函数12ln 1g x x x x 的性质进行分析即可得出结果。

江苏省南京市三校2021届高三第一学期期中联考数学试卷【含答案】

江苏省南京市三校2021届高三第一学期期中联考数学试卷注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡指定的位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合[1,3)M =，(2,5]N =，则M N =（）A. []1,5B. ()2,3C. [)1,2D. (]3,52. 已知i 是虚数单位，设复数22ia bi i-+=+，其中,a b ∈R ，则+a b 的值为（） A.75B. 75-C. 15D. 15-3. 从5名同学中选若干名分别到图书馆、食堂做志愿者，若每个地方至少去2名，则不同的安排方法共有（） A. 20种B. 50种C. 80种D. 100种4. 中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”你的计算结果是（） A. 80里B. 86里C. 90里D. 96里5. 若正数a 是一个不等于1的常数，则函数log a y x =与函数(0)a y x x =>在同一个坐标系中的图象可能是（）A. B. C. D.6. 设 2.10.3a =，0.32.1b =，0.3log 2.1c =， 2.1log 0.3d =，则a ，b ，c ，d 的大小关系为（） A. a b c d >>>B. d c b a >>>C. b a c d >>>D. b a d c >>>7. 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆22:9C x y +=及圆C 内的一点()1,2P ，圆C 的过点P 的直径为MN ，若线段AB 是圆C 的所有过点P 的弦中最短的弦，则()AM BN AB -⋅的值为（）A. 8B. 16C. 4D. 438. 设()f x 是定义在R 上的函数，()(1)g x f x =+．若函数()g x 满足下列条件：①()g x 是偶函数；②()g x 在区间[)0,+∞上是增函数；③()g x 有一个零点为2，则不等式(1)()x f x +>0的解集是（） A. (3,)+∞ B. (1,)+∞C. (,1)(1,)-∞-+∞ D. (,1)(3,)-∞-+∞二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.9. 在平面直角坐标系xOy 中，为了使方程2220x my +-=表示准线垂直于x 轴的圆锥曲线，实数m 的取值范围可以是（） A. (1,)+∞B. (,0)-∞C. (,)-∞+∞D. (0,)+∞10. 若将函数sin()y A x ωϕ=+的图象上所有的点向右平移3π个单位，再把得到的图象上各点的横坐标变为原来的3倍（纵坐标不变），最后得到函数22sin 33y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象，则实数ϕ的值可能是（） A.43πB.23π C. 23π-D. 43π-11. 设0a >，0b >，且24a b +=，则下列结论正确的是（） A.11a b+2 B.21a b+的最小值为2 C. 12a b+的最小值为94D.111b a a b +≥++ 12. 设常数R a ∈，N n *∈，对于二项式(1)n x +的展开式，下列结论中，正确的是（）A. 若1a n<，则各项系数随着项数增加而减小 B. 若各项系数随着项数增加而增大，则a n >C. 若2a =-，10n =，则第7项的系数最大D. 若2a =7n =，则所有奇数项系数和为239三、填空题：本大题共4小题；每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中相应的横线上.13. 在平面直角坐标系xOy 中，过抛物线2:C y mx =的焦点F 作斜率为1的直线，与抛物线C 交于A ，B 两点．若弦AB 的长为6，则实数m 的值为__________.14. 今年元旦，市民小王向朋友小李借款100万元用于购房，双方约定年利率为5%，按复利计算（即本年利息计入次年本金生息），借款分三次等额归还，从明年的元旦开始，连续三年都是在元旦还款，则每次的还款额是__________元．（四舍五入，精确到整数）15. 数学家研究发现，对于任意的x ∈R ，()357211sin (1)N 3!5!7!(21)!n n x x x x x x n n --*=-+-+⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅∈-，称为正弦函数的泰勒展开式．在精度要求不高的情况下，对于给定的实数x ，可以用这个展开式来求sin x 的近值．如图，百货大楼的上空有一广告气球，直径为6米，在竖直平面内，某人测得气球中心B 的仰角30BAC ∠=︒，气球的视角2α=︒，则该气球的高BC 约为_________米．（精确到1米）16. 如图所示，多面体ABCDEFGH 中对角面CDEF 是边长为6的正方形，//AB DC ，//HG DE ，且AB ，GH 到平面CDEF 的距离都是3，则该多面体的体积为___________.四、解答题：本题共6小题；共70分.将解答写在答题卡中相应的空白处.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 设函数2()434sin cos 1f x x x x =-+. （1）求()f x 最小正周期和值域；（2）在锐角ABC 中，设角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ．若()1f A =，1a =，求ABC 周长的取值范围．18. 阅读本题后面有待完善的问题，在下列三个关系①1112n n a a +=+，②12n n a a +=+，③21n n S a =-中选择一个作为条件，补充在题中横线标志的__________处，使问题完整，并解答你构造的问题．（如果选择多个关系并分别作答，在不出现逻辑混乱的情况下，按照第一个解答给分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，对任意的*N n ∈，都有_________；等比数列{}n b 中，对任意的*N n ∈，都有0n b >，2123n n n b b b ++=+，且11b =，问：是否存在*N k ∈，使得：对任意的*N n ∈，都有n k k n a b a b ≤？若存在，试求出k 的值；若不存在，试说明理由．19. 如图所示，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为1的正方形，PA ⊥底面ABCD ，点M 是侧棱PC 的中点，AM ⊥平面PBD ．（1）求PA 的长；（2）求棱PC 与平面AMD 所成角的正弦值．20. 在20人身上试验某种血清对预防感冒的作用，把他们一年中是否患感冒的人数与另外20名未用血清的人是否患感冒的人数作比较，结果如下表所示．未感冒感冒使用血清 17 3 未使用血清146（1）从上述患过感冒的人中随机选择4人，以进一步研究他们患感冒的原因．记这4人中使用血清的人数为X ，试写出X 的分布列；（2）有多大的把握得出“使用该种血清能预防感冒”的结论？你的结论是什么？请说明理由．附：对于两个研究对象Ⅰ（有两类取值：类A ，类B ）和Ⅱ（有两类取值：类1，类2）统计数据的一个2×2列联表：Ⅱ类1类2Ⅰ类Aab类Bcd有22()()()()()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++.临界值表（部分）()2P k χ≥0.50 0.40 0.25 015 0.10 0.05 0.025 0.010 0005 0.001k0.445 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.82821. 设M 是定义在R 上且满足下列条件的函数()f x 构成的集合： ①方程()0f x x -=有实数解； ②函数()f x 的导数fx 满足0()1f x '<<．（1）试判断函数sin ()24x x f x =+是否集合M 的元素，并说明理由；（2）若集合M 中的元素()f x 具有下面的性质：对于任意的区间[],m n ，都存在0[,]x m n ∈，使得等式()0()()()f n f m n m f x '-=-成立，证明：方程()0f x x -=有唯一实数解．（3）设1x 是方程()0f x x -=的实数解，求证：对于函数()f x 任意的23,x x R ∈，当211x x -<，311x x -<时，有()()322f x f x -<．22. 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆E 与双曲线22:13612y x C -=有共同的中心和准线，且双曲线C 的一条渐近线被椭圆E 截得的弦长为42 （1）求椭圆E 的方程；（2）若过点(0,)P m 存在两条互相垂直的直线都与椭圆E 有公共点，求实数m 的取值范围．（答案）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡指定的位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合[1,3)M =，(2,5]N =，则M N =（）A. []1,5B. ()2,3C. [)1,2D. (]3,5【答案】B2. 已知i 是虚数单位，设复数22ia bi i-+=+，其中,a b ∈R ，则+a b 的值为（） A.75B. 75-C. 15D. 15-【答案】D3. 从5名同学中选若干名分别到图书馆、食堂做志愿者，若每个地方至少去2名，则不同的安排方法共有（） A. 20种 B. 50种C. 80种D. 100种【答案】B4. 中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”你的计算结果是（） A. 80里 B. 86里C. 90里D. 96里【答案】D5. 若正数a 是一个不等于1的常数，则函数log a y x =与函数(0)a y x x =>在同一个坐标系中的图象可能是（）A. B. C. D.【答案】C6. 设 2.10.3a =，0.32.1b =，0.3log 2.1c =， 2.1log 0.3d =，则a ，b ，c ，d 的大小关系为（） A. a b c d >>> B. d c b a >>>C. b a c d >>>D. b a d c >>>【答案】C7. 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆22:9C x y +=及圆C 内的一点()1,2P ，圆C 的过点P 的直径为MN ，若线段AB 是圆C 的所有过点P 的弦中最短的弦，则()AM BN AB -⋅的值为（）A. 8B. 16C. 4D. 43【答案】B8. 设()f x 是定义在R 上的函数，()(1)g x f x =+．若函数()g x 满足下列条件：①()g x 是偶函数；②()g x 在区间[)0,+∞上是增函数；③()g x 有一个零点为2，则不等式(1)()x f x +>0的解集是（） A. (3,)+∞ B. (1,)+∞C. (,1)(1,)-∞-+∞D. (,1)(3,)-∞-+∞【答案】A二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.9. 在平面直角坐标系xOy 中，为了使方程2220x my +-=表示准线垂直于x 轴的圆锥曲线，实数m 的取值范围可以是（） A. (1,)+∞ B. (,0)-∞C. (,)-∞+∞D. (0,)+∞【答案】AB10. 若将函数sin()y A x ωϕ=+的图象上所有的点向右平移3π个单位，再把得到的图象上各点的横坐标变为原来的3倍（纵坐标不变），最后得到函数22sin 33y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象，则实数ϕ的值可能是（）A.43π B.23π C. 23π-D. 43π-【答案】AC11. 设0a >，0b >，且24a b +=，则下列结论正确的是（） A.11a b+的最小值为2 B.21a b+的最小值为2 C. 12a b+的最小值为94D.111b a a b +≥++ 【答案】BCD12. 设常数R a ∈，N n *∈，对于二项式(1)n a x +的展开式，下列结论中，正确的是（）A. 若1a n<，则各项系数随着项数增加而减小 B. 若各项系数随着项数增加而增大，则a n >C. 若2a =-，10n =，则第7项的系数最大D. 若2a =-，7n =，则所有奇数项系数和为239 【答案】BCD三、填空题：本大题共4小题；每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中相应的横线上.13. 在平面直角坐标系xOy 中，过抛物线2:C y mx =的焦点F 作斜率为1的直线，与抛物线C 交于A ，B 两点．若弦AB 的长为6，则实数m 的值为__________. 【答案】3±14. 今年元旦，市民小王向朋友小李借款100万元用于购房，双方约定年利率为5%，按复利计算（即本年利息计入次年本金生息），借款分三次等额归还，从明年的元旦开始，连续三年都是在元旦还款，则每次的还款额是__________元．（四舍五入，精确到整数）【答案】36720915. 数学家研究发现，对于任意的x ∈R ，()357211sin (1)N 3!5!7!(21)!n n x x x x x x n n --*=-+-+⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅∈-，称为正弦函数的泰勒展开式．在精度要求不高的情况下，对于给定的实数x ，可以用这个展开式来求sin x 的近值．如图，百货大楼的上空有一广告气球，直径为6米，在竖直平面内，某人测得气球中心B 的仰角30BAC ∠=︒，气球的视角2α=︒，则该气球的高BC 约为_________米．（精确到1米）【答案】8616. 如图所示，多面体ABCDEFGH 中对角面CDEF 是边长为6的正方形，//AB DC ，//HG DE ，且AB ，GH 到平面CDEF 的距离都是3，则该多面体的体积为___________.【答案】108四、解答题：本题共6小题；共70分.将解答写在答题卡中相应的空白处.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 设函数2()434sin cos 1f x x x x =-+. （1）求()f x 的最小正周期和值域；（2）在锐角ABC 中，设角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ．若()1f A =，1a =，求ABC 周长的取值范围．【答案】（1）T π=；[323,523]-++；（2）31,3]+.18. 阅读本题后面有待完善的问题，在下列三个关系①1112n n a a +=+，②12n n a a +=+，③21n n S a =-中选择一个作为条件，补充在题中横线标志的__________处，使问题完整，并解答你构造的问题．（如果选择多个关系并分别作答，在不出现逻辑混乱的情况下，按照第一个解答给分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，对任意的*N n ∈，都有_________；等比数列{}n b 中，对任意的*N n ∈，都有0n b >，2123n n n b b b ++=+，且11b =，问：是否存在*N k ∈，使得：对任意的*N n ∈，都有n k k n a b a b ≤？若存在，试求出k 的值；若不存在，试说明理由．【答案】答案见解析19. 如图所示，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为1的正方形，PA ⊥底面ABCD ，点M 是侧棱PC 的中点，AM ⊥平面PBD ．（1）求PA的长；（2）求棱PC与平面AMD所成角的正弦值．【答案】（1）1；（26 .20. 在20人身上试验某种血清对预防感冒的作用，把他们一年中是否患感冒的人数与另外20名未用血清的人是否患感冒的人数作比较，结果如下表所示．未感冒感冒使用血清17 3未使用血清14 6（1）从上述患过感冒的人中随机选择4人，以进一步研究他们患感冒的原因．记这4人中使用血清的人数为X，试写出X的分布列；（2）有多大的把握得出“使用该种血清能预防感冒”的结论？你的结论是什么？请说明理由．附：对于两个研究对象Ⅰ（有两类取值：类A，类B）和Ⅱ（有两类取值：类1，类2）统计数据的一个2×2列联表：Ⅱ类1 类2 Ⅰ类A a b类B c d有22()()()()()n ad bca b c d a c b dχ-=++++，其中n a b c d=+++.临界值表（部分）()2P k χ≥ 0.50 0.40 0.25 015 0.10 0.05 0.025 0.010 0005 0.001k0.445 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析.21. 设M 是定义在R 上且满足下列条件的函数()f x 构成的集合：①方程()0f x x -=有实数解；②函数()f x 的导数f x 满足0()1f x '<<．（1）试判断函数sin ()24x x f x =+是否集合M 的元素，并说明理由；（2）若集合M 中的元素()f x 具有下面的性质：对于任意的区间[],m n ，都存在0[,]x m n ∈，使得等式()0()()()f n f m n m f x '-=-成立，证明：方程()0f x x -=有唯一实数解．（3）设1x 是方程()0f x x -=的实数解，求证：对于函数()f x 任意的23,x x R ∈，当211x x -<，311x x -<时，有()()322f x f x -<．【答案】（1）是集合M 中的元素．理由见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.22. 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆E 与双曲线22:13612y x C -=有共同的中心和准线，且双曲线C 的一条渐近线被椭圆E 截得的弦长为42（1）求椭圆E 的方程；（2）若过点(0,)P m 存在两条互相垂直的直线都与椭圆E 有公共点，求实数m 的取值范围．【答案】（1）22196y x +=或2231248y x +=；（2）答案不唯一见解析.。

2020-2021学年南京一中、金陵中学、海安中学高三上学期期中数学试卷(含解析)

2020-2021学年南京一中、金陵中学、海安中学高三上学期期中数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1.已知i是虚数单位，a∈R.若复数a+2ia−2i的虚部为1，则a=()A. 14B. 1C. 2D. 2±2√22.已知集合，则等于()A. B. C. D.3.等差数列{a n}的前n项和为S n，S13=133π，则tana7=()A. √33B. √3 C. −√33D. −√34.包括甲、乙、丙3人的7名同学站成一排拍纪念照，其中丙站中间，甲不站在乙的左边，且不与乙相邻，则不同的站法有()A. 240种B. 252种C. 264种D. 288种5.函数y=xsinx+cosx的图象大致为()A. B.C. D.6.已知全集，，则()．A. B. C. D.7.在△ABC中，三边长a，b，c，满足a+c=3b，则tan A2tan C2的值为()A. 15B. 14C. 12D. 238.双曲线x2−3y2=3右顶点到渐近线的距离为()A. 12B. √32C. √3D. 2二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示，将f(x)的图象向右平移a(a>0)个单位长度，得到函数g(x)，若g(x)满足g(2π−x)=g(x)，则下列结论正确的是()A. ω=2B. φ=π2C. sin(2a−π3)=±1 D. a的最小值为5π1210.关于(√x−1)2020及其展开式，下列说法正确的有()A. 该二项展开式中第六项为C20206x1007B. 该二项展开式中非常数项的系数和为−1C. 该二项展开式中不含有理项D. 92020除以100的余数是111.下列不等式正确的为()A. 若a，b∈R+，a<b，则a+mb+m <abB. 若a，b∈R+，a+b=1，则1a +2b≥4√2C. 若ca >cb>0，则lg ba>0D. 若a，b∈R+，a+b=1，则a2+b2≥1212.2021年开始，我省将试行“3+1+2”的普通高考新模式，即除语文、数学，外语3门必选科目外，考生再从物理、历史中选1门，从化学、生物、地理、政治中选2门作为选考科目.为了帮助学生合理选科，某中学将高一每个学生的六门科目综合成绩按比例均缩放成5分制，绘制成雷达图.甲同学的成绩雷达图如图所示，下面叙述一定正确的是()A. 甲的物理成绩相对他其余科目领先年级平均分最多B. 甲有2个科目的成绩低于年级平均分C. 甲的成绩从高到低的前3个科目依次是物理、化学、地理D. 对甲而言，物理、化学、生物是最理想的一种选科结果三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.设抛物线y2=8x的焦点为F，过点F作直线l与抛物线分别交于A，B两点，若点M满足OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1 2(OA⃗⃗⃗⃗⃗ +OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )，过M作y轴的垂线与抛物线交于点P，若|PF|=4，则M点的横坐标为______．14.某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验收集到的数据如表：由最小二乘法求得回归方程为ŷ=0.67x+54.9，现发现表中有一个数据模糊不清，请你推断出该数据的值为______．零件数x1020304050加工时间y/min6275818915.已知南北回归线的纬度为23°26′，设地球表面某地正午太阳高度角为θ，δ为此时太阳直射纬度，φ为该地的纬度值，那么这三个量之间的关系是θ=90°−|φ−δ|.当地夏半年δ取正值，冬半年δ取负值，如果在北半球某地(纬度为φ0)的一幢高为ℎ0的楼房北面盖一新楼，要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡，两楼的距离应不小于______(结果用含有ℎ0和φ0的式子表示)．16.若一个球的体积为43π，则它的表面积等于______ ．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.(本小题满分12分)已知数列中，．(1)求证：是等比数列，并求的通项公式；(2)数列满足，数列的前n项和为，若不等式对一切恒成立，求的取值范围．18.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2ccosA+a=2b．(Ⅰ)求角C的值；(Ⅱ)若a+b=4，当c取最小值时，求△ABC的面积．19. 如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB⊥BC，D为AC的中点，AA1=AB=2，四棱锥B−AA1C1D的体积为3．(1)求证：AB1//平面BC1D.(2)求直线A1C1与平面BDC1所成角的正弦值．(3)求二面角C−BC1−D的正弦值．20. 以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数．乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X表示．(1)如果X=8，求乙组同学植树棵数的平均数和方差；(2)如果X=9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数为19的概率．(注：方差，其中为x 1，x 2，…，x n的平均数)21. 如图，已知A1，A2，B1，B2分别是椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的四个顶点，△A1B1B2是一个边长为2的等边三角形，其外接圆为圆M．(1)求椭圆C及圆M的方程；(2)若点D是圆M劣弧Â1B2上一动点(点D异于端点A1，B2)，直线B1D分别交线段A1B2，椭圆C于点E，G，直线B2G与A1B1交于点F．(Ⅰ)求GB1EB1的最大值；(Ⅱ)试问：E，F两点的横坐标之和是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．22. 已知函数f(x)=x3+|ax−3|−2，a>0．(1)当a=2时，求函数y=f(x)的单调递增区间；(2)若函数y=f(x)只有一个零点，求实数a的取值范围；(3)当0<a<1时，试问：过点P(2,0)存在几条直线与曲线y=f(x)相切？。

2020-2021学年南京市江宁区高三上学期期中数学试卷(含解析)

2020-2021学年南京市江宁区高三上学期期中数学试卷一、单空题（本大题共14小题，共70.0分）1.已知集合M={y|y=2x,x>0}，N={y|y=√2x−x2}，则M∩N等于______．2.若z=3−i1+i，则z+z−=______．3.甲、乙两名运动员在某项测试中的6次成绩的茎叶图如图所示，甲、乙运动员成绩的平均数都等于乙运动员成绩的众数，则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为______．4.求函数y=lg(4−x)√x2−2x−3的定义域．5.A=15，A=−A+5，最后A的值为______ ．6.(12)如图，在矩形中，，为中点，抛物线的一部分在矩形内，点为抛物线顶点，点在抛物线上，在矩形内随机地投放一点，则此点落在阴影部分的概率为________ ．7.如图，函数y=f(x)的图象在点P处的切线方程是y=−x+5，则f(3)+f′(3)=______．8.给出以下四个结论：①函数f(x)=3x−2x−1关于点(1,3)中心对称；②在△ABC中，“bcosA=acosB”是“△ABC为等腰三角形”的充要条件；③若将函数f(x)=sin(2x−π3)的图象向右平移Φ(Φ>0)个单位后变为偶函数，则Φ的最小值是π12；④已知数列{a n}是等比数列，S n是其前n项和，则当k为奇数时，S k，S2k−S k，S3k−S2k成等比数列．其中正确的结论是______ ．9.已知{a n}的前n项和为S n，且满足S n=32a n−3，则数列{a n}的通项公式是______．10.13.对任意实数x，若不等式|x+1|−|x−2|>k 2−k−5恒成立，则k的取值范围_________．11.已知奇函数f(x)与偶函数g(x)满足f(x)+g(x)=a x−a−x+2，且g(b)=a，则f(2)的值为______．12. 已知向量a ⃗ =(k,1)，b ⃗ =(4,−2)，若a ⃗ //b ⃗ ，则a ⃗ ⋅b ⃗ = ______ ．13. 已知实数x ，y 满足不等式{x ≥0y ≥0x +2y ≤2，则x −y 的最大值为______ ．14. 函数f(x)=√x 2−x 4|x−2|−2.给出函数f(x)下列性质：(1)函数的定义域和值域均为[−1,1]；(2)函数的图象关于原点成中心对称；(3)函数在定义域上单调递增；(4)A 、B 为函数f(x)图象上任意不同两点，则√2<|AB|≤2．请写出所有关于函数f(x)性质正确描述的序号______．二、解答题（本大题共6小题，共72.0分）15. 已知a ⃗ ,b ⃗ 为平面向量，a ⃗ =(2,−1)，2a ⃗ +b ⃗ =(1,2)，(1)求b ⃗ ；(2)求向量b ⃗ 在a⃗ 方向上的投影．16. 在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且2asinB =√3b.(Ⅰ)求角A 的大小；(Ⅱ)当a =2时，求△ABC 面积的最大值．17. 已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，点F 1(0,1)为焦点，过F 1且垂直于y 轴的直线交椭圆于S ，T 两点，且F 1S ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅F 1T ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−94，点P(√3,0)为x 轴上一点，直线y =y 0(y 0≠0)与椭圆C 交于不同的两点A ，B ．(1)求椭圆C 的方程；(2)直线PA ，PB 分别交y 轴于M ，N 两点，O 为坐标系原点，问：x 轴上是否存在点Q ，使得∠OQN +∠OQM =π2？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．18. 已知函数f(x)=me x −lnx −1．(1)设x =2，是f(x)的极值点，求m ，并求f(x)的单调区间；(2)当m >1，求证，f(x)>1；(3)当m>1，求证，f(x)>0．e19.设等比数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=2，且4S1，3S2，2S3成等差数列．(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式；(Ⅱ)设b n=|2n−5|⋅a n，求数列{b n}的前n项和T n．20.设函数f(x)=lnx−(a+1)x(a∈R)(1)当a=0时，讨论函数f(x)的单调性；(2)当a>−1时，函数f(x)有最大值且最大值大于−2时，求a的取值范围．【答案与解析】1.答案：⌀解析：解：集合M={y|y=2x,x>0}={y|y>1}，N={y|y=√2x−x2}={y|0≤y≤1}，故M∩N={y|y>1}∩{y|0≤y≤1}=⌀，故答案为：⌀．化简M={y|y>1}，N={y|0≤y≤1}，利用两个集合的交集的定义求出M∩N．本题考查集合的表示方法，两个集合的交集的定义和求法，求函数的值域，化简M和N，是解题的关键．2.答案：2解析：本题考查复数导数形式及运算，考查数学运算能力，属于基础题．首先把复数z化成导数形式，然后可求得z+z−值．解：∵z=3−i1+i =(3−i)(1−i)(1+i)(1−i)=1−2i，∴z+z−=1−2i+1+2i=2．故答案为：2．3.答案：746解析：解：根据茎叶图中的数据，得乙运动员成绩的众数为15，又甲、乙运动员成绩的平均数都等于乙运动员成绩的众数，甲运动员成绩的平均数是15，方差是 s21=16[(9−15)2+(14−15)2+2×(15−15)2+(16−15)2+(21−15)2]=746，乙运动员成绩的平均数是15，方差是 s22=16[(8−15)2+(13−15)2+2×(15−15)2+(17−15)2+(22−15)2]=1066， s21<s22．故答案为：746．计算甲、乙运动员成绩的方差、进行比较即可．本题考查了求数据的平均数与方差的应用问题，是基础题目．4.答案：解：函数y =√x 2−2x−3，要使函数y 有意义，可得{4−x >0x 2−2x −3>0，解得{x <4x <−1或x >3，即x <−1，所以函数y 的定义域为(−∞,−1)．解析：直接利用对数的真数大于0，分母不为0，列出不等式组求解即可．本题考查了函数的定义域求法问题，是基本知识的考查． 5.答案：−10解析：解：∵A =15，∴−A +5=−10故执行A =−A +5后A 的值为−10故答案为：−10根据赋值语句的功能，要先计算表达式的值，再将值赋给赋值号前面的变量，根据已知中A =15，A =−A +5，代入计算后即可得到结果．本题的考查的知识点是赋值语句，熟练掌握赋值语句的功能是解答本题的关键．6.答案：解析： 7.答案：1解析：解：在点P 处的斜率就是在该点处的导数，f′(3)就是切线y =−x +5的斜率，即f′(3)=−1， ∵f(3)=−3+5=2，∴f(3)+f′(3)=2−1=1故答案为1．在点P 处的斜率就是在该点处的导数，f′(3)就是切线y =−x +5的斜率，问题得解．。

2021届江苏省南京师大附中高三上学期期中数学试题(学生版)

A. B.
C. D.
9.某人退休前后各类支出情况如下，已知退休前工资收入为8000元月，退休后每月储蓄的金额比退休前每月储蓄的金额少1500元，则下面结论中正确的是()
A.该教师退休前每月储蓄支出2400元
B.该教师退休后的旅行支出是退休前旅行支出的3倍
C.该教师退休工资收入为6000元月
D.该教师退休后的其他支出比退休前的其他支出少
一、单项选择题
1.已知集合，，则 ()
A. B.
C. D.
2.设，则的虚部为()
A. B.
C. D.
3.已知，则“ ”是“抛物线的焦点在轴正半轴上”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
4.设为实数，已知向量 =(-1，2)， =(1， ).若，则向量 +2 与之间的夹角为()
南师附中2020-2021学年度第一学期高三期中考试
数学试题
注意事项:
1考试时间: 120分钟，试卷满分150分.
2.答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置上.
3.请用0.5术黑色墨水的签字笔按题号在答题纸上指定区域内作答:在其它位置作答一律无效;考试结束后，请将答题纸、卡交回.
A.
B. 三棱锥的体积与点位置有关系
C. 平面截正方体的截面面积为
D. 点到平面的距离为
12.已知函数，则下列说法正确有()
A. 直线y=0为曲线y=f(x)的一条切线
B.f(x)的极值点个数为3
C.f(x)的零点个数为 4
D. 若f( )=f( )( ≠ )，则 + =0

2020届江苏省南京市三校联考高三期中考试数学试题

2020届江苏省南京市三校联考高三期中考试数学★祝考试顺利★ 注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

锥体的体积公式：V ＝13Sh ，其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．已知集合A ＝{1，2，3，4}，B ＝{x |x 2－4x ＜0}，则A ∩B ＝ ▲ ． 2．若复数z 满足z i ＝1－3i ，其中i 为虚数单位，则z ＝ ▲ ．3．某校有教师300人，男学生1500人，女学生1200人，现用分层抽样的办法从全校师生中抽取2004．执行如图算法框图，若输入a ＝4，b ＝12，则输出5．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a 渐近线方程为y ＝±3x6．任取x ∈{－2，2，4}，y ∈{－1，1，2}与b ＝(x ，y )平行的概率为 ▲ ．7．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时f (x )＝x ＋a ，a 为实数，则f (－4)的值是 ▲ ．8．已知数列{a n }是等比数列，且a 1a 3a 5＝8，a 7＝8，则a 1的值是 ▲ ．9．已知矩形ABCD 的边AB ＝4，BC ＝3，若沿对角线AC 折叠，使得平面DAC ⊥平面BAC ，则三棱锥D －ABC 的体积是 ▲ ．10．在平面直角坐标系xOy 中，过点P (－1，0)的直线l 与圆C ：x 2＋y 2－2x ＝0交于A ，B 两点，若CA ⊥CB ，则直线l 的斜率是 ▲ ．11．已知α∈(0，π2)，且P (4，3)是α－π6终边上一点，则cos α的值是 ▲ ．12．实数x ，y 满足条件xy ＋1＝4x ＋y 且x ＞1，则(x ＋1)(y ＋2)的最小值是 ▲ ． 13．已知AB 是半径为3的圆M 的直径，点C 是圆周上除A ，B 外一点，若点P 满足PC →＝2CM →，则PA →·PB →的值是 ▲ ．14．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ＋1－3，－1＜x ≤0，x ，0＜x ≤1，且g (x )＝f (x )－mx －m 在(－1，1]内有且仅有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是 ▲ ．二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．（本小题满分14分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知3b cos C ＝c sin B ．（1）求角C 的大小；（2）若c ＝27，a ＋b ＝10，求△ABC 的面积．16．（本小题满分14分）如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ⊥BC ，A 1B 与AB 1交于点D ，A 1C 与AC 1交于点E ．求证：（1）DE ∥平面B 1BCC 1；（2）平面A 1BC ⊥平面A 1ACC 1．17．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，且短轴长为2．（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆的上、下顶点分别为A ，B ，点C ，D 是椭圆上关于y 轴对称的两个不同的点，直线AC ，BD 交x 轴分别于点M ，N ，求证：OM →·18．（本小题满分16分）如图1，一艺术拱门由两部分组成，下部为矩形ABCD ．AB ，AD 的长分别为23m 和4m，上部是圆心为O 的劣弧CD ，∠COD ＝2π3．图1 图2 图3 图4ED B 1A 1C 1CBA（1）求图1中拱门最高点到地面的距离；（2）现欲以B 点为支点将拱门放倒，放倒过程中矩形ABCD 所在的平面始终与地面垂直，如图2、图3、图4所示．设BC 与地面水平线l 所成的角为θ．记拱门上的点到地面的最大距离为h ，试用θ的函数表示h ，并求出h 的最大值．19．（本小题满分16分）等差数列{a n }公差大于零，且a 2＋a 3＝52，a 22＋a 32＝134，记{a n }的前n 项和为S n ，等比数列{b n }各项均为正数，公比为q ，记{b n }的前n 项和为T n ．（1）求S n ；（2）若q 为正整数，且存在正整数k ，使得T k ，T 3k ∈{S 2，S 5，S 6}，求数列{b n }的通项公式；（3）若将S n 中的整数项按从小到大的顺序排列构成数列{c n }，求{c n }的一个通项公式．20．（本小题满分16分）已知函数f (x )＝x 2－(a ＋2)x ＋2，g (x )＝ln x ，a ∈R ．（1）若曲线y ＝g (x )在x ＝1处的切线恰与曲线y ＝f (x )相切，求a 的值；（2）不等式f (x )≥xg (x )对一切正实数x 恒成立，求a 的取值范围；（3）已知a ＜2，若函数h (x )＝f (x )＋ag (x )＋2a 在(0，2)上有且只有一个零点，求a 的取值范围．2019-2020学年度第一学期高三期中考试数学附加题注意事项：1．附加题供选修物理的考生使用． 2．本试卷共40分，考试时间30分钟．3．答题前，考生务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内．试题的答案写在答题纸．．．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸． 21．【选做题】在A 、B 、C 三小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答．卷纸．．指定区域内．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—2：矩阵与变换已知x ，y ∈R ，矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1y 0有一个属于特征值－2的特征向量α＝⎣⎡⎦⎤ 1－1，（1）求矩阵A ；（2）若矩阵B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 6，求A －1B ．B ．选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，P 为曲线C 1：⎩⎨⎧x ＝cos θ，y ＝3sin θ，(θ为参数)上的动点，Q 为曲线C 2：⎩⎨⎧x ＝4－ 2 2t ，y ＝4＋ 22t ，(t 为参数)上的动点，求线段PQ 的最小值．APFECBDC ．选修4—5：不等式选讲设a ，b ，c 为正实数，求证：a b ＋c ＋b c ＋a ＋c a ＋b ≥32．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答．卷卡指定区域内．．．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）如图，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，AP ＝AB ＝1，F ，E 分别是PB ，PC 中点．（1）求DE 与平面P AB 所成角的正弦；（2）求平面ADEF 与平面PDE 所成锐二面角的值．23．（本小题满分10分）2020年6月，第十六届欧洲杯足球赛将在12个国家的13座城市举行.某体育网站组织球迷对德国、西班牙、法国、葡萄牙四支热门球队进行竞猜，每位球迷可从四支球队中选出一支球队，现有三人参与竞猜.（1）若三人中每个人可以选择任何一支球队，且选择每个球队都是等可能的，求四支球队中恰好有两支球队有人选择的概率；（2）若三人中有一名女球迷，假设女球迷选择德国队的概率为13，男球迷选择德国队的概率为25，记X 为三人中选择德国队的人数，求X 的分布列和数学期望.高三数学参考答案一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．{2，3} 2．-3+i 3．80 4．12 5．2 6．13 7．－2 8．1 9．24510．±77 11．43－310 12．27 13．72 14．(－94，－2]∪(0，12] 二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．解：（1）因为cos sin C c B =，由正弦定理可得：cos sin sin B C C B =所以tan C =4分又因为()0,C π∈…………5分所以3C π=…………6分（2）因为2222cos c a b ab C =+-2()3a b ab =+-…………8分所以 24ab =…………10分所以 1s i n 32ABCSab C ==14分所以四边形11ABB A 是平行四边形，且11A B AB DE =所以D 为1A B 中点，…………2分同理E 为1A C 中点，所以//DE BC …………4分又因为DE ⊄平面11B BCC ，BC ⊂平面11B BCC ，所以//DE 11B BCC …………6分（2）直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，1C C ⊥平面ABC ，因为BC ⊂平面ABC ，所以1C C BC ⊥，因为AC BC ⊥，1ACC C C =， 1AC C C ⊂、平面11A ACC所以BC ⊥平面11A ACC …………12分又因为BC ⊂平面1A BC所以平面1A BC ⊥平面11A ACC …………14分17．解：（1）c a =，22b =…………2分解得：1a b c ===所以椭圆方程为：2212xy +=…………4分（2）设00(,)D x y ，00(,)C x y - 则AC l ：0011y y x x -=+-…………6分所以00(,0)1x M y -…………8分同理00(,0)1x N y +…………10分所以20201x OM ON y ⋅=-又因为220012x y +=，22002200212x x OM ON x y ⋅===---…………14分18．解：（1）如图，过O 作与地面垂直的直线交AB ，CD 于点1O ，2O ，交劣弧CD 于点E ， 1O E 的长即为拱门最高点到地面的距离．在2Rt O OC ∆中，23O OC π∠=，2CO =所以21OO =，圆的半径2R OC ==．所以11225O E R O O OO =+-=．…………4分答：拱门最高点到地面的距离为5m ．（2）在拱门放倒过程中，过点O 作与地面垂直的直线与“拱门外框上沿”相交于点P ．当点P 在劣弧CD 上时，拱门上的点到地面的最大距离h 等于圆O 的半径长与圆心O 到地面距离之和；当点P 在线段AD 上时，拱门上的点到地面的最大距离h 等于点D 到地面的距离．连接OB由（1）知，在1Rt OO B ∆中，OB ==6分．以B 为坐标原点，水平直线l 为x 轴，建立如图所示的坐标系． ①当点P 在劣弧CD 上时，62ππθ<≤．由6OBx πθ∠=+，OB =得66O ππθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭则2)6h πθ=++． …………8分所以当62ππθ+=，即3πθ=时，h 取得最大值2+． …………10分②当点P 在线段AD 上时，06πθ≤≤．连接BD ，设CBD ϕ∠=，在Rt BCD ∆中，DB ==则sin7ϕ==，cos 7ϕ==．由DBx θϕ∠=+，得),))D θϕθϕ++．所以 )4sin h θϕθθ=+=+． …………13分又当06πθ<<时，4cos 4cos066h ππθ'=->-=>．所以4sin h θθ=+在0,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递增．所以当6πθ=时，h 取得最大值5．因为，所以h 的最大值为．…………15分综上，艺术拱门在放倒的过程中，拱门上的点到地面距离的最大值为（）m 。

江苏省南京市金陵中学、海安中学联考2020—2021学年度第一学期期中检测试题高三数学试题

20202021学年度第一学期期中检测试题高三数学一､单项选择题:本大题共8小题,每小题5分,共计40分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知复数z 满足()212i z i +=-i,其中i 为虚数单位,则z = A.1B.-1C.iD.-i2.已知集合2{||0}A x x x =->,则R A ∂= A.{|01}x x <<B.{|01}x xC.{|01}x x x <>或D.{|01}x x x 或3.在1,2,3,…,2020这2020个自然数中将能被2除余1,且被3除余1的数按从小到大的次序排成一列,构成数列{}n a ,则50a = A.289B.295C.301D.3074.重阳节,农历九月初九,二九相重,谐音是“久”,有长久之意,人们常在此日感恩敬老,是我国民间的传统节日某校在重阳节当日安排6位学生到两所敬老院开展志愿服务活动,要求每所敬老院至少安排2人,则不同的分配方案数是 A.35B.40C.50D.705.函数222xy x x -=+的图象大致为6.某校先后举办定点投篮比赛和定点射门比赛｡高()1三班的45名同学中,只参加了其中一项比赛的同学有20人,两项比赛都没参加的有19人,则两项比赛中参加人数最多的一项比赛人数不可能是 A.15B.17C.21D.267克罗狄斯托勒密()Ptlosy 所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理,其中涉及如下定理:任意凸四边形中,两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和,当且仅当对角互补时取等号｡根据以上材料,完成下题:如图,半圆O 的直径为2,A 为直径延长线上的一点,2OA =,B 为半圆上一点,以AB 为一边作等边三角形ABC,则当线段OC 的长取最大值时,AOC ∠=.30o AB.45︒C.60︒D.908已知双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的焦点为1F 2F ,其渐近线上横坐标为12的点P 满足120PF PF ⋅=,则a = A.14B.12C.2D.4二､选择题:本大题共4小题,每小题5分,共20分在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分. 9.下列四个函数中,以π为周期,且在区间3,24ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减的是A.||y sin x =⋅B.2y cos x =C.y tanx =-D.|2|y sin x =10.若2nx⎛⎝的展开式中第6项的二项式系数最大,则n 的可能值为A.9B.10C.11D.1211.已知0a >，0b >,且221a b +=,则 A.2a b+B.1222a b -<<C.12log log -D.221a b ->-12.我们知道,任何一个正实数N 都可以表示成()10110,nN a a n =⨯<∈Z . 定义: (),0,0,0,N n W N N n ≥⎧=⎨<⎩的整数部分的位数的非有效数字的个数如()21.2103W ⨯=,()1.23102W ⨯=,()23102W -⨯=,()13.001101W -⨯=,则下列说法正确的是A.当10>,1M>,1N >时,()()()W M N W M W N ⋅=+B.当10<时,()W M n =-C.若1002N =,20.301lg ≈,则()31W N =D.当*k ∈N 时,()()22k k W W -=三､填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分13.已知抛物线()220y px p =>上横坐标为1的点到焦点的距离为52,则p =___. 14.已知某品牌的新能源汽车的使用年限x(年)与维护费用y(千元)之间有如下数据:x 与y 之间具有线性相关关系,且y 关于x 的线性回归方程为(a 为常数)｡据此估计,使用年限为7年时,维护费用约为___千元.(参考公式:线性回归方程ˆybc a =+中的系数121()(),()niii nii x x y y b a y bx x x ==--==--∑∑)15.如图,水平广场上有一盏路灯挂在10m 长的电线杆上,记电线杆的底部为点A 把路灯看作一个点光源,身高1.5m 的女孩站在离点A5m 的点B 处.若女孩向点A 前行4m 到达点D,然后从点D 出发,沿着以BD 为对角线的正方形走一圈,则女孩走一圈时头顶(视为一点)的影子所围成封闭图形的面积为___2m .16.已知三棱锥P ABC -中,PA,PB,PC 两两垂直,且1PA PB PC ===,以P 为球心，2为半径的球面与该三棱锥表面的交线的长度之和为___.四､解答题:本大题共6小题,共70分解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分10分)已知公比q 大于1的等比数列{}n a 满足1310a α+=，24a =. (1)求{}n a 的通项公式;(2)设p b =_______,求数列{}n b 的前n 项和n S . 请在2;|2,9|n n a log a ⋅-①②;③()1(21)21nnn a -++这三个条件中选择一个,补充在上面的横线上,并完成解答.注:如果选择多个条件分别解答,则按第一个解答计分. 18.(本小题满分12分)在ABC ∠中,设角A,B,C 所对的边长分别为a,b,c,且()()()c b sinC a b sinA sinB -=-+. (1)求A;(2)若2b =,且ABC ∠为锐角三角形,求ABC ∠的面积S 的取值范围.19.(本小题满分12分)如图,四棱锥P ABCD -的底面为直角梯形,//AB CD ,AD CD ⊥,1AB AD ==,2CD =,PD ⊥平面ABCD.(1)求证:BC ⊥平面PBD;(2)已知2PD =,点E 为棱PB 的中点,求直线AE 与平面DCE 所成角的正弦值.20.(本小题满分12分)根据历史资料显示,某种慢性疾病患者的自然痊愈率为5%为试验一种新药,在有关部门批准后,医院将此药给10位病人服用,试验方案为:若这10人中至少有2人痊愈,则认为该药有效,提高了治愈率;否则,则认为该药无效.(1)如果在该次试验中有5人痊愈,院方欲从参加该次试验的10人中随机选2人了解服药期间的感受,记抽到痊愈的人的个数为X,求X 的概率分布及数学期望;(2)如果新药有效,将治愈率提高到了50%,求通过试验却认定新药无效的概率p,并根据p 的值解释该试验方案的合理性.(参考结论:通常认为发生概率小于5%的事件可视为小概率事件)21.(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率2,且经过点A ⎛ ⎝⎭. (1)求椭圆C 的方程;(2)设F 为椭圆C 的右焦点,直线l 与椭圆C 相切于点P(点P 在第一象限),过原点O 作直线l 的平行线与直线PF 相交于点Q,问:线段PQ 的长是否为定值?若是,求出定值;若不是,说明理由.22.(本小题满分12分) 已知函数()1x f x ae+=,()1xg x lna=-,其中0a >. (1)若1d =,在平面直角坐标系xOy 中,过坐标原点O 分别作函数()y f x =与()y g x =的图像的切线1l ,2l .求1l ,2l 的斜率之积;(2)若()()f x g x 在区间()0,+∞上恒成立,求a 的最小值.。

江苏省南京市高三数学上学期期中联考试题苏教版

高三数学试卷注意事项：1．本试卷由填空题和解答题两部分组成．满分160分，考试时间为120分钟． 2．答题前请您务必将自己的学校，姓名，考试号用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在答题卡上规定的地方． 3．答题时必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题卡上的规定位置，在其他位置做大一律无效．第I 卷（填空题）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1. 已知i 是虚数单位，复数z =12i34i+-，则 | z | = ．2. 若函数()f x =a 的值为 ________．3. 已知集合{}m P ,1-=，⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-=431x x Q ，若∅≠Q P ，则整数=m ．4. 已知向量的模为2，向量为单位向量，)(-⊥，则向量与的夹角大小为．5. 若命题“R x ∈∀，02≥+-a ax x ”为真命题，则实数a 的取值范围是． 6. 已知三角形的一边长为5，所对角为60，则另两边长之和的取值范围是________．7. 已知数列{a n }为等差数列，若561a a <-，则数列{|a n |}的最小项是第_____项． 8. 已知θ是第二象限角，且4sin 5θ=，则tan()24θπ-的值为________． 9. 已知函数()y f x =在点(2,(2))f 处的切线为由y =2x -1，则函数2()()g x x f x =+在点(2,(2))g 处的切线方程为．10. 等差数列{}n a 中，已知158≥a ，139≤a ，则12a 的取值范围是 . 11. 在锐角△ABC 中，tan A = t + 1，tan B = t - 1，则t 的取值范围是．12. 在平面直角坐标系xOy 中，点P 是第一象限内曲线y = x 3 1上的一个动点，以点P 为切点作切线与两个坐标轴交于A ，B 两点，则△AOB 的面积的最小值为．13. 已知等差数列{},{}n n a b 的前n 项和分别为n S 和n T ，若7453n n S n T n +=+，且2n nab 是整数，则n 的值为．14. 若关于x 的方程3x e x kx -=有四个实数根，则实数k 的取值范围是．第II 卷（解答题）二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定的区域内作答，解答时应写出文字说明、求证过程或演算步骤． 15. （本小题满分14分）已知π2sin()410A +=，ππ(,)42A ∈．（Ⅰ）求cos A 的值；（Ⅱ）求函数5()cos 2sin sin 2f x x A x =+的值域．16. （本小题满分14分）设(,1)a x =，(2,1)b =-，(,1)c x m m =--（,x m ∈∈R R ）．（Ⅰ）若a 与b 的夹角为钝角，求x 的取值范围；（Ⅱ）解关于x 的不等式a c a c +<-．17. （本小题满分15分）随着机构改革开作的深入进行，各单位要减员增效，有一家公司现有职员2a 人（140＜2a ＜420，且a 为偶数)，每人每年可创利b 万元. 据评估，在经营条件不变的前提下，每裁员．．．1人，则留岗职员每人每年．．．．多创利0.01b 万元，但公司需付下岗职员每人每年0.4b 万元的生活费，并且该公司正常运转所需人数不得小于现有职员的43，为获得最大的经济效益，该公司应裁员多少人？18. （本小题满分15分）已知函数()ln f x x x =．（I ）求函数()f x 的单调递减区间；（II ）若2()6f x x ax ≥-+-在(0,)+∞上恒成立，求实数a 的取值范围；（III ）过点2(,0)A e --作函数()y f x =图像的切线，求切线方程．19. （本小题满分16分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差,50,053=+≠S S d 且1341,,a a a 成等比数列．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n a b 是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{}n b 的前n 项和n T .20. （本小题满分16分）已知函数2()(1)xf x e x ax =++．（Ⅰ）若曲线()y f x =在点(2(2))f ，处的切线与x 轴平行，求a 的值；（Ⅱ）求函数()f x 的极值．2012-2013学年度第一学期期中考试高三数学附加卷21. （本小题满分10分）已知a 为整数，a 2是偶数，求证：a 也是偶数．22. （本小题满分10分）已知曲线()21ln 2222x y x x =++++在点A 处的切线与曲线()sin 2,22y x ππϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭在点B 处的切线相同,求ϕ的值.23. （本小题满分10分）数列{}n a 的前n 项和为n S ，存在常数A ，B ，C ，使得2n n a S An Bn C +=++对任意正整数n 都成立．若数列{}n a 为等差数列，求证：3A －B ＋C ＝０．24. （本小题满分10分）已知函数x x x x x f 2)1ln()1(2)(2--++=，[)+∞∈,0x ，求)(x f 的最大值.2012-2013学年度第一学期期中考试高三数学附加答题纸(理科类)21、 22、班级姓名考试号座位号23．24、参考答案1. 5 ；2.2 ；3. 0 ；4.3π； 5.[0,4]； 6.(]10,5 ； 7.6 ； 8.31； 9. 6x -y -5=0 ； 10.(]7,∞- ； 11.()+∞,2 ； 12.4233 ；13. 15 ； 14．()0,3e - ；15. 解：（Ⅰ）因为ππ42A <<，且πsin()410A +=，所以ππ3π244A <+<，πcos()410A +=-．因为ππππππcos cos[()]cos()cos sin()sin 444444A A A A =+-=+++35==．所以3cos 5A =． …………6 （Ⅱ）由（Ⅰ）可得4sin 5A =．所以5()cos 2sin sin 2f x x A x =+212sin 2sin x x =-+2132(sin )22x =--+，x ∈R ．因为sin [1,1]x ∈-，所以，当1sin 2x =时，()f x 取最大值32；当sin 1x =-时，()f x 取最小值3-．所以函数()f x 的值域为3[3,]2-． ……………………14分16. （1）由题知：210a b x ⋅=-<，解得12x <；又当2x =-时，a 与b 的夹角为π，所以当a 与b 的夹角为钝角时， x的取值范围为1(,2)(2,)2-∞-⋃-．…………………6分（2）由a c a c +<-知，0a c ⋅<，即(1)[(1)]0x x m ---<；……………………8分当2m <时，解集为{11}x m x -<<；………………………………10分当2m =时，解集为空集；………………………………12分当2m >时，解集为{11}x x m <<-．………………………………14分17. 解答：设裁员x 人，可获得的经济效益为y 万元，则ab x a x bbx bx b x a y 2])70(2[1004.0)01.0)(2(2+---=-+-= ……7分依题意 .21070,4202140.202432<<<<≤<∴⋅≥-a a ax a x a 又（1）当y a x a aa ,70,14070,2700-=≤<≤-<时即取到最大值；（2）当y ax a a a ,2,210140,270=<<>-时即取到最大值；……………13分答：当70<a<140，公司应裁员为a 70,经济效益取到最大值当140a 210,公司应裁员为a,2经济效益取到最大值……………14分18. 解答：（Ⅰ）'()ln 1f x x =+'()0f x ∴<得ln 1x <-2分10x e ∴<<∴函数()f x 的单调递减区间是1(0,)e； 4分（Ⅱ）2()6f x x ax ≥-+-即6ln a x x x≤++设6()ln g x x x x=++则2226(3)(2)'()x x x x g x x x +-+-== 7分当(0,2)x ∈时'()0g x <，函数()g x 单调递减；当(2,)x ∈+∞时'()0g x >，函数()g x 单调递增；∴()g x 最小值(2)5ln 2g =+∴实数a 的取值范围是(,5ln 2]-∞+； 10分（Ⅲ）设切点00(,)T x y 则0'()AT k f x =∴00002ln ln 11x x x x e=++即200ln 10e x x ++= 设2()ln 1h x e x x =++，当0x >时'()0h x >∴()h x 是单调递增函数 13分∴()0h x =最多只有一个根，又2222111()ln 10h e e e e =⨯++=∴021x e=由0'()1f x =-得切线方程是210x y e ++=. 15分19. 解：（Ⅰ）依题意得⎪⎩⎪⎨⎧+=+=⨯++⨯+)12()3(5025452233112111d a a d a d a d a …………………………………………3分解得⎩⎨⎧==231d a ， …………………………………………5分1212)1(23)1(1+=+=-+=-+=∴n a n n d n a a n n 即，．……………………………7分（Ⅱ）13-=n nna b ，113)12(3--⋅+=⋅=n n n n n a b …………………………………………8分 123)12(37353-⋅+++⋅+⋅+=n n n T n n n n n T 3)12(3)12(3735333132⋅++⋅-++⋅+⋅+⋅=- ……………………10分n n n n T 3)12(3232323212+-⋅++⋅+⋅+=--nnn n n 323)12(31)31(3231⋅-=+---⋅+=- ∴nn n T 3⋅= . ……………………………16分20. 解析：（1）22()(12)[(2)1]x x f x e x ax x a e x a x a '=++++=++++．因为曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线与x 轴平行，所以 (2)0f '=，即2(2)[42(2)1]0f e a a '=++++= 所以 3a =-． ……………4分（2）()(1)(1)xf x e x a x '=+++,令()0f x '=,则1--=a x 或1-=x ……5分①当11a +=，即0a =时，2()(1)0xf x e x '=+≥，函数()y f x =在()-∞+∞，上为增函数，函数无极值点； …………7分 ②当(1)1a -+<-，即0a >时．所以当1x a =--时，函数有极大值是1(2)a e a --+，当1x =-时，函数有极小值是2ae-； ………11分 ③当(1)1a -+>-，即0a <时．所以当1x =-时，函数有极大值是e，当1x a =--时，函数有极小值是1(2)a ea --+． ………15分综上所述，当0a =时函数无极值；当0a >时，当1x a =--时，函数有极大值是1(2)a e a --+，当1x =-时，函数有极小值是2a e -；当0a <时，当1x =-时，函数有极大值是2ae-，当1x a =--时，函数有极小值是1(2)a e a --+． ………16分21.假设a 是奇数，设a=2k+1(k ∈Z),则a 2=4k 2+4k+1,………………6分∵k ∈Z ，∴4k 2为偶数，4k 为偶数，∴4k 2+4k+1为奇数， ……8分从而a 2为奇数，这与a 2为偶数矛盾，∴假设不成立． ……………10分22.k 切=y ’=2221≥+++x x ,当且仅当x+2=1x+2,即x+2=1,x=-1时，取等号…2分又k 切=y ’=2)2cos(2≤+ϕx ，∴k 切=2，此时切点A(-1,-1),切线l ：y=2x+1…5分由)2cos(2ϕ+x =2得)2cos(ϕ+x =1，∴)2sin(ϕ+x =0，从而B(21-,0) …7分 ∴)1sin(ϕ+-=0, ϕ+-1=k π,Z k ∈,∴ϕ=k π+1,Z k ∈ …………………9分又22πϕπ<<-，∴ϕ= 123. 因为{}n a 为等差数列，设公差为d ，由2n n a S An Bn C +=++，得2111(1)(1)2a n d na n n d An Bn C +-++-=++，…………2分即2111()()()022dd A n a B n a d C -++-+--=对任意正整数n 都成立．…4分所以1110,210,20,d A a d B a d C ⎧-=⎪⎪⎪+-=⎨⎪--=⎪⎪⎩所以30A B C -+=． …………10分24. 证明：由2()2(1)ln(1)2f x x x x x =++--得()2ln(1)2f x x x '=+-，………2分令()2ln(1)2g x x x =+-，则22()211x g x x x -'=-=++，当10x -<<时，()0g x '>，()g x 在(1 0)-，上为增函数；当x ＞0时，()0g x '<，()g x 在(0)+∞，上为减函数，所以()g x 在x=0处取得极大值，且(0)0g =， ………6分故()0f x '≤（当且仅当0x =时取等号），所以函数()f x 为[)0+∞，上的减函数， ………8分则()(0)0f x f =≤，即()f x 的最大值为0． ………10分。

江苏省南京市2020-2021学年高三上学期期中考前训练数学试题

江苏省南京市2020-2021学年高三上学期期中考前训练数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知复数()123z i i +=- （其中i 是虚数单位），则z 在复平面内对应点在（） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 2．已知集合{}221,650A xB y y y x ⎧⎫=≥=-+≤⎨⎬⎩⎭，则=A B （） A ．(]0,5 B ．[]0,5C ．(]0,3D ．[]0,33．已知双曲线2222:1x y C a b-=(0,0)a b >>，则双曲线C 的渐近线方程为（）A ．20x y ±=B ．20x y ±=C 0y ±=D 0y ±= 4．函数()312xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的零点所在区间为（） A ．()1,0-B ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()1,2 5．函数()22()ln x x f x e e x -=+的部分图象大致为（）A ．B ．C ．D ．6．已知某超市为顾客提供四种结账方式:现金、支付宝、微信、银联卡.若顾客甲只会用现金结账，顾客乙只会用现金和银联卡结账，顾客丙与甲.乙结账方式不同，丁用哪种结账方式都可以若甲乙丙丁购物后依次结账，那么他们结账方式的组合种数共有（） A ．36种 B ．30种 C ．24种 D ．20种7．已知四边形ABCD 是边长为2的正方形，P 为平面ABCD 内一点，则()()PA PB PC PD +⋅+的最小值为（）.A ．1-B ．2-C ．4-D ．6-8．已知直线1:0l kx y +=()k R ∈与直线2:220l x ky k -+-=相交于点A ，点B 是圆22(2)(3)2x y +++=上的动点，则||AB 的最大值为（）A ．B ．C ．5+D ．3+二、多选题 9．某特长班有男生和女生各10人，统计他们的身高，其数据（单位：cm ）如下面的茎叶图所示，则下列结论正确的是（）A ．女生身高的极差为12B ．男生身高的均值较大C ．女生身高的中位数为165D ．男生身高的方差较小 10．已知函数()sin(3)f x x ϕ=+ 22ππϕ⎛⎫-<< ⎪⎝⎭的图象关于直线4x π=对称，则（） A ．函数12f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭为奇函数 B ．函数()f x 在123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递増 C ．若()()122f x f x -=，则12x x -的最小值为3π D ．函数()f x 的图象向右平移4π个单位长度得到函数cos3y x =-的图象 11．已知等比数列{a n }的公比23q =-，等差数列{b n }的首项b 1＝12，若a 9＞b 9且a 10＞b 10，则以下结论正确的有（）A ．a 9•a 10＜0B ．a 9＞a 10C ．b 10＞0D ．b 9＞b 1012．当1x >时，()41ln ln 3k x x x x --<-+恒成立，则整数k 的取值可以是（）. A ．2-B ．1-C ．0D ．1三、填空题13．已知α锐角，且cos π2α⎛⎫-= ⎪⎝⎭tan α=_______． 14．曲线()2x f x xe =+在点()()0,0f 处的切线方程为________． 15．在三角形ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，030A =，045C =，3c =，点P 是平面ABC 内的一个动点，若060BPC ∠=，则PBC ∆面积的最大值是__________．16．数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，1112n n n S a +⎛⎫=- ⎪⎝⎭，2log n n b a =，则数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T =_____．四、解答题17．已知△ABC 中，C ∠为钝角，而且8AB =，3BC =，AB（1）求B 的大小；（2）求cos 3cos AC A B +的值.18．2017年4月1日，新华通讯社发布:国务院决定设立河北雄安新区，消息一出，河北省雄县、容城、安新3县及周边部分区域迅速成为海内外高度关注的焦点.(1)为了响应国家号召，北京市某高校立即在所属的8个学院的教职员工中作了“是否愿意将学校整体搬迁至雄安新区”的问卷调查，8个学院的调查人数及统计数据如下:请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出变量y 关于变量x 的线性回归方程y bx a =+(b 保留小数点后两位有效数字)；若该校共有教职员工2500人，请预测该校愿意将学校整体搬迁至雄安新区的人数；(2)若该校的8位院长中有5位院长愿意将学校整体搬迁至雄安新区，现该校拟在这8位院长中随机选取4位院长组成考察团赴雄安新区进行实地考察，记X 为考察团中愿意将学校整体搬迁至雄安新区的院长人数，求X 的分布列及数学期望. 参考公式及数据：1221ni ii n i i x y n x y b xn x ==-⋅⋅=-⋅∑∑，a y b x =-⋅，8116310i i i x y ==∑，82120400i i x==∑.19．如图，在四棱锥S ABCD -中，ABCD 为直角梯形，//AD BC ，BC CD ⊥，平面SCD ⊥平面ABCD ，SCD ∆是以CD 为斜边的等腰直角三角形，224BC AD CD ===，E 为BS 上一点，且2BE ES =.（1）证明：直线//SD 平面ACE ；（2）求二面角S AC E --的余弦值.20．记n S 是正项数列{}n a 的前n 项和，1n a +是4和n S 的等比中项.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记11(1)(1)n n n b a a +=++，求数列{}n b 的前n 项和n T . 21．已知1F ，2F 分别为椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的左、右焦点，P 为C 上的动点，其中P 到1F 的最短距离为1，且当12PF F ∆的面积最大时，12PF F ∆恰好为等边三角形.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）以椭圆长轴为直径的圆叫做椭圆的“外切圆”，记椭圆C 的外切圆为E . （i ）求圆E 的方程；（ii ）在平面内是否存在定点Q ，使得以PQ 为直径的圆与E 相切，若存在求出定点Q 的坐标；若不存在，请说明理由22．已知函数()ln(2)f x x a =+ (0,0)x a >>曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线在y 轴上的截距为2ln 33-. （1）求a ；（2）讨论函数()()2g x f x x =- (0)x >和2()()21x h x f x x =-+(0)x >的单调性；（3）设125a =，1()n n a f a +=，求证：15212(2)2n n n n a +-<-≥.参考答案1．D【分析】先由复数的运算化简复数z ，再运用复数的几何表示可得选项.【详解】由已知得()()()()312317171+21+212555i i i i z i i i i ----====--，所以复数z 在复平面上所对应的点为17,55⎛⎫-⎪⎝⎭，在第四象限，故选：D.2．A【分析】先求得集合A 、B ，再由集合的并集运算可得选项.【详解】由21x ≥得210x -≥，即20x x-≥，解得02x <≤，由2650y y -+≤得()()150y y --≤，解得15y ≤≤，所以=(0,2],B=[1,5],A 所以=(0,5]A B .故选：A.3．B【分析】根据双曲线的离心率公式得到2211242c b b a a a ==⇒=⇒=±进而得到渐近线方程.【详解】已知双曲线2222:1x y C a b -= (0,0)a b >>的离心率为2即2211142c c b b a a a a ==+=⇒=⇒=±双曲线的渐近线方程为：12b y x y x a =±⇒=± 故答案为B.【点睛】这个题目考查了双曲线的离心率的求法，以及设计了离心率和渐近线的表达式间的关系，属于基础题.4．B【分析】由零点存在性定理运算即可得解.【详解】由题意，函数31()2x f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭是增函数并且是连续函数，因为()11230f -=--=-<，()00110f =-=-<，11028f ⎛⎫=< ⎪⎝⎭， ()1111022f =-=>，所以()1102f f ⎛⎫< ⎪⎝⎭，所以函数的零点在区间1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭．故选：B ．5．D【分析】利用排除法，先判断函数为偶函数，则图像关于y 轴对称，可排除B 选项，再由函数的变化情况，可排除A ，C 选项，从而可得答案【详解】根据题意，函数()f x 的定义域为{}0x x ≠，因为()()2222()ln ||ln ()x x x x f x e e x e e x f x ---=+-=+=，所以()f x 为偶函数，则其图像关于y 轴对称，所以排除B 选项，当1x >时，()0f x >；当01x <<时，()0f x <，排除A ，C 选项．故选：D【点睛】此题考查函数图像的识别，考查函数奇偶性的应用，属于基础题6．D【分析】分乙使用现金和银联卡两种方法，分类求结账方法的组合数.【详解】当乙用现金结算时，此时甲和乙都用现金结算，所以丙有3种方法，丁有4种方法，共有3412⨯=种方法；当乙用银联卡结算时，此时甲用现金结算，丙有2种方法，丁有4种方法，共有248⨯=种方法，综上，共有12820+=种方法.故选：D【点睛】本题考查分类和分步计数原理，意在考查分析问题和解决问问他的能力，属于基础题型. 7．C【分析】建立如图所示的直角坐标系，设(),P x y ，求出()()PA PB PC PD +⋅+224(1)4(1)4x y =-+--，即得解.【详解】建立如图所示的直角坐标系，则()0,0A ，()2,0B ，()2,2C ()0,2D .设(),P x y ，则(),PA x y =--，()2,PB x y =--，()2,2PC x y =--，(),2PD x y =--，所以()()()()()2222,222,422248PA PB PC PD x y x y x y y +⋅+=--⋅--=-+- 224(1)4(1)4x y =-+--.所以当1x =，1y =时，()()PA PB PC PD +⋅+取得最小值4-.故选：C【点睛】本题主要考查平面向量的坐标运算，考查平面向量的数量积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.8．C【分析】求出点A 的轨迹方程，确定A 点轨迹，然后通过几何意义求得最大值．【详解】由0220kx y x ky k +=⎧⎨-+-=⎩，消去参数k 得22(1(1)2x y -+-=），所以A 在以(1,1)C 为半径的圆上，又点B 是圆22(2)(3)2x y +++=上的动点，此圆圆心为(2,3)D --，5CD ==，∴AB 的最大值为5CD =+故选：C.【点睛】本题考查交轨法求轨迹方程，考查两点间的距离公式．由圆的性质知某点到圆上的点间距离的最大值可以转化为到圆心的距离与半径的和．9．AB【分析】从茎叶图上计算极差，中位数，而均值和方差可通过茎叶图估计即可（当做也可计算实际值）．【详解】女生的极差是173-161=12，A 正确；由茎叶图数据，女生数据偏小，男生平均值大于女生值，B 正确；女生身高中位数是166，C 错误；女生数据较集中，男生数据分散，应该是男生方差大，女生方差小，D 错．（也可实际计算均值和方差比较）．故选：AB. 【点睛】本题考查茎叶图，考查学生的数据处理能力．掌握样本数据特征如极差、方差、均值、中位数是解题基础． 10．AC 【分析】利用()sin(3)f x x ϕ=+的图象关于直线4x π=对称，即可求出ϕ的值，从而得出()f x 的解析式，再利用三角函数的性质逐一判断四个选项即可. 【详解】因为()sin(3)f x x ϕ=+的图象关于直线4x π=对称，所以()342k k Z ππϕπ⨯+=+∈ ，得4k πϕπ=-+，k Z ∈，因为 22ππϕ-<<，所以0,4k πϕ==-，所以()sin 34f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，对于A ：sin 3sin 312124f x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以12f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭为奇函数成立，故选项A 正确；对于B ：123x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，30,434x ππ⎡⎤⎢⎥⎣∈⎦-，函数()f x 在123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上不是单调函数；故选项B 不正确；对于C ：因为()max 1f x =，()min 1f x =-，又因为()()122f x f x -=，所以12x x -的最小值为半个周期，即21323ππ⨯=，故选项C 正确；对于D ：函数()f x 的图象向右平移4π个单位长度得到()sin 3sin 3sin344y x x x πππ⎡⎤⎛⎫=--=-=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，故选项D 不正确；故选：AC 【点睛】本题主要考查了利用三角函数的对称轴求函数解析式，考查了三角函数平移变换、三角函数的周期、单调性、最值，属于中档题 11．AD 【分析】设等差数列的公差为d ，运用等差数列和等比数列的通项公式分析A 正确，B 与C 不正确，结合条件判断等差数列为递减数列，即可得到D 正确．【详解】数列{a n }是公比q 为23-的等比数列，{b n }是首项为12，公差设为d 的等差数列，则8912()3a a =-，91012()3a a =-，∴a 9•a 1021712()3a =-＜0，故A 正确；∵a 1正负不确定，故B 错误；∵a 10正负不确定，∴由a 10＞b 10，不能求得b 10的符号，故C 错误；由a 9＞b 9且a 10＞b 10，则a 1（23-）8＞12+8d ，a 1（23-）9＞12+9d ，由于910,a a 异号，因此90a <或100a <故 90b <或100b <，且b 1＝12可得等差数列{b n }一定是递减数列，即d ＜0，即有a 9＞b 9＞b 10，故D 正确．故选：AD 【点睛】本题考查了等差等比数列的综合应用，考查了等比数列的通项公式、求和公式和等差数列的单调性，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题. 12．ABC 【分析】将()41ln ln 3k x x x x --<-+，当1x >时，恒成立，转化为13ln ln 4x k x x x ⎛⎫<++ ⎪⎝⎭，.当1x >时，恒成立，令()()3ln ln 1xF x x x x x=++>，利用导数法研究其最小值即可. 【详解】因为当1x >时，()41ln ln 3k x x x x --<-+恒成立，所以13ln ln 4x k x x x ⎛⎫<++ ⎪⎝⎭，当1x >时，恒成立，令()()3ln ln 1xF x x x x x=++>，则()222131ln 2ln x x xF x x x x x ---'=-+=. 令()ln 2x x x ϕ=--，因为()10x x xϕ-'=>，所以()x ϕ在()1,+∞上单调递增. 因为()10ϕ<，所以()0F x '=在()1,+∞上有且仅有一个实数根0x ，于是()F x 在()01,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，所以()()000min 00ln 3ln x F x F x x x x ==++.（*）因为()1ln 3309F -'=<，()()21ln 22ln 4401616F --'==>，所以()03,4x ∈，且002ln 0x x --=，将00ln 2x x =-代入（*）式，得()()0000min 00023121x F x F x x x x x x -==-++=+-，()03,4x ∈. 因为0011t x x =+-在()3,4上为增函数，所以713,34t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，即()min 1713,41216F x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. 因为k 为整数，所以0k ≤.故选：ABC 【点睛】本题主要考查函数与不等式恒成立问题，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于较难题.13【分析】由已知利用诱导公式求得α，进一步得到tan α的值．【详解】解：由πcos α22⎛⎫-=⎪⎝⎭，得sin α= α是锐角，α60∴=，则tan α=【点睛】本题考查三角函数的化简求值，考查由已知三角函数值求角，是基础题． 14．20x y -+= 【分析】本题首先可以求出曲线2x f xxe 的导函数，然后将0x =带入曲线2x f x xe 中计算出纵坐标，再然后将0x =带入曲线的导函数中求出曲线在这一点处的切线斜率，最后根据点斜式方程即可得出结果．【详解】因为曲线2x f xxe ，所以x x fxe xe将0x =带入曲线中可得()02f =，带入导函数中可得001f e ，所以曲线2x f x xe 在点()0,2处的切线方程为2y x -=，即20x y -+=．【点睛】本题考查了曲线的某一点处的切线方程的求法，首先可以根据曲线方程计算出切点坐标，然后根据曲线的导函数计算出切线斜率，最后根据点斜式方程即可得出切线方程，考查计算能力，考查对导数的理解，是简单题． 15．8【分析】由已知利用正弦定理计算得a,再在三角形PBC 中用余弦定理结合不等式求出BP 与PC 乘积的最大值，代入面积即可求解. 【详解】∵030A =，045C =，3c =，∴由正弦定理a c sinA sinC=，可得：a 13c sinA sinC ⨯⋅===．又060BPC ∠=，∴在三角形PBC 中，令PB=m ，令PC=n ，由余弦定理可得cos22922m n BPC mn+-∠==12， ∴2292m n +-=mn ≥2mn-92，（当且仅当m=n=2时等号成立） ∴mn 92≤，∴S=12mnsin BPC ∠=8．【点睛】本题主要考查了正、余弦定理在解三角形中的应用，考查了三角形的面积公式，属于中档题． 16．1nn + 【分析】利用1n n n a S S -=-可得{}n a 为等比数列，即可求出n a ，进而得出n b ，利用裂项相消法即可求出. 【详解】1112n n nS a +⎛⎫=- ⎪⎝⎭，2n ≥时，11112n n n S a --⎛⎫=-⎪⎝⎭，两式作差，得()111111222n n n n n a a a n +-⎛⎫⎛⎫=---≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，化简得()122n na n a +=≥，，检验：当1n =时，112122S a a ==⨯=，24a =，212a a =，所以数列{}n a 是以2为首项，2为公比的等比数列；2n n a =，22l 2log og nn n b a n ===，令()1111111n n n c b b n n n n +===-++， 111111111122334111n n T n n n n =-+-+-++-=-=+++. 故答案为：1nn +．【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：（1）对于等差等比数列，利用公式法可直接求解；（2）对于{}n n a b 结构，其中{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，用错位相减法求和；（3）对于{}+n n a b 结构，利用分组求和法；（4）对于11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭结构，其中{}na 是等差数列，公差为d ，则111111n n n n a a d a a ++⎛⎫=- ⎪⎝⎭，利用裂项相消法求和. 17．（1）π3；（2）8. 【分析】（1）利用三角形ABC 的面积相等，求出B 的大小；（2）由余弦定理得出AC ，以及cos A ，可得cos 3cos AC A B +的值．【详解】（1）由三角形面积可知11838sin 22B ⨯=⨯⨯⨯，sin B =，又因为B 是锐角，所以π3B ∠=.（2）由（1）可知2222cos 6492449AC AB BC AB BC B =+-⨯⨯=+-=，所以7AC =.又因为2226449913cos 228714AB AC BC A AB AC +-+-===⨯⨯⨯，因此113cos 3cos 378214AC A B +=⨯+⨯=. 【点睛】本题考查余弦定理在解三角形中的应用，考查三角形的面积公式，属于基础题． 18．（1）2000；（2）见解析【解析】试题分析：（1）依据公式计算回归方程，在根据求出的结果得到相应的预测值.（2）X 是离散型随机变量，它服从超几何分布，故根据公式计算出相应的概率，得到分布列后再利用公式计算期望即可.解析：（1）由已知有 1221163108453645,36,0.820400845ˆ54ni ii nii x y n x yx y bxn x ==-⋅⋅-⨯⨯====≈-⨯⨯-⋅∑∑，360.80450a =-⨯=,故变量 y 关于变量 x 的线性回归方程为0.8y x =，所以当 2500x =时， 25000.802000y =⨯=.（2）由题意可知X 的可能取值有1，2,3,4.()()132253534488131,2147C C C C P X P X C C ⋅⋅======，()()2145354488313,4714C C C P X P X C C ⋅======. 所以 X 的分布列为()1331512341477142E X =⨯+⨯+⨯+⨯= 19．（1）证明见解析（2）13【分析】（1）连接BD 交AC 于点F ,连接EF ,利用相似证得//EF SD ,进而得证；（2）以C 为坐标原点,,CD CB 所在的方向分别为y 轴、z 轴的正方向,与,CD CB 均垂直的方向作为x 轴的正方向,利用平面法向量求解二面角余弦值即可【详解】解：（1）连接BD 交AC 于点F ,连接EF , 因为//AD BC ,所以AFD ∆与BCF ∆相似,所以2BF BCFD AD ==, 又=2BE BFES FD=,所以//EF SD , 因为EF ⊂平面ACE ,SD ⊄平面ACE , 所以直线//SD 平面ACE（2）由题,因为平面SCD ⊥平面ABCD ,平面SCD平面ABCD CD =,BC ⊂平面ABCD ,BC CD ⊥,所以BC ⊥平面SCD ,以C 为坐标原点,,CD CB 所在的方向分别为y 轴、z 轴的正方向,与,CD CB 均垂直的方向作为x 轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系C xyz -,因为224BC AD CD ===,2BE ES =, 则(0,0,0)C ,(1,1,0)S ,(0,2,2)A ,224(,,)333E ,所以(0,2,2)CA =,(1,1,0)CS =,224(,,)333CE =, 设平面SAC 的一个法向量为(,,)m x y z =,则00m CA m CS ⎧⋅=⎨⋅=⎩,即00y z x y +=⎧⎨+=⎩, 令1z =,得1x =,1y =-,于是(1,1,1)m =-, 设平面EAC 的一个法向量为(,,)n x y z =,则00n CA n CE ⎧⋅=⎨⋅=⎩,即020y z x y z +=⎧⎨++=⎩, 令1z =,得1x =-,1y =-,于是(1,1,1)m =--, 设二面角S AC E --的平面角的大小为θ,则1cos 3m n m nθ⋅==, 所以二面角S AC E --的余弦值为13【点睛】本题考查线面平行的证明,考查利用空间向量求二面角余弦值,考查运算能力 20．（1）21n a n =-；（2）4(1)n nT n =+.【分析】（1）本小题先借n S 与n a 的关系判断数列{}n a 为等差数列，再求通项公式即可；（2）本小题直接运用裂项相消法求解即可. 【详解】（1）因为1n a +是4和n S 的等比中项，所以2(1)4n n a S +=①，当2n ≥时，211(1)4n n a S --+=②，由①②得：2211(1)(1)44n n n n a a S S --+-+=-，化简得221(1)(1)n n a a --=+，即111n n a a --=+或者11(1)0n n a a --++=（舍去），故12n n a a --=(2)n ≥，数列{}n a 为等差数列，因为211(1)4a S +=，解得11a =，所以数列{}n a 是首项为1、公差为2的等差数列，通项公式：21n a n =-. （2）∵ 111111(1)(1)2(22)41n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪++⋅++⎝⎭，∴12311111111(1)()()()42233414(1)n n nT b b b b n n n ⎡⎤=++++=-+-+-++-=⎢⎥++⎣⎦. 【点睛】本题考查数列通项公式的求法以及数列的前n 项和的求法，考查等差数列的判定，考查裂项相消法求和，考查推理能力与计算能力，是中档题.21．（1）22143x y +=（2）（i ）224x y +=（ii ）当定点Q 恰好为椭圆C 的焦点()1,0±时，符合题意【分析】（1）由题意联立方程组可解得2a =,1c =,b =即可得椭圆C 的方程.（2）（i ）因为椭圆长轴端点坐标为(2,0)-和(2,0),得出椭圆的“外切圆”E 的方程. （ii ）设定点Q ,根据以PQ 为直径的圆与E 相切,利用圆与圆的位置求解即可. 【详解】解：（1）由题意可知12a c a c -=⎧⎨=⎩,解得2a =,1c =,所以b =故椭圆C 的方程为22143x y +=;（2）（i ）因为椭圆长轴端点坐标为(2,0)-和(2,0), 所以椭圆的“外切圆”E 的方程为224x y += （ii ）解法一：假设存在满足条件的定点Q ,由题意可知定点Q 必在x 轴上,设(,0)Q m ,()00,P x y ,则2200143x y +=,由（i ）可知,圆E 的圆心为坐标原点O ,半径为2,设以PQ 为直径的圆的圆心为G ,半径为r ,则G 为线段PQ 的中点,||2PQ r =,即00,22x m y G +⎛⎫⎪⎝⎭,r =因为圆E 与圆G 相切,则||2OG r =-,2=-其中2200334y x =-,两边平方并整理：04mx -=化简得：()()220140m x --=, 上式对任意0[2,2]x ∈-恒成立, 故210m -=,解得：1m =±,所以当定点Q 恰好为椭圆C 的焦点时,符合题意. 解法二：假设存在满足条件的定点Q ,由题意可知定点Q 必在x 轴上,设(,0)Q m ,()00,P x y ,则2200143x y +=,由（i ）可知,圆E 的圆心为坐标原点O ,半径为2,设以PQ 为直径的圆的圆心为G ,半径为r ,则G 为线段PQ 的中点,||2PQ r =,即00,22x m y G +⎛⎫⎪⎝⎭,r =因为圆E 与圆G 相切,则||2OG r =-,2=-2=,4=,设(,0)Q m '-,则||4PQ PQ '+=又因为,点P 在椭圆22143x y +=上,设1F ,2F 分别为椭圆的左右焦点,则124PF PF +=, 故Q ,Q '分别与1F ,2F 重合,所以当定点Q 恰好为椭圆C 的焦点时,符合题意. 解法三：假设存在满足条件的定点Q , 由题意可知定点Q 必在x 轴上,由（i ）可知,圆E 的圆心为坐标原点O ,半径为2,设以PQ 为直径的圆的圆心为G ,半径为r ,则G 为线段PQ 的中点,||2PQ r =, 因为圆E 与圆G 相切,则||2OG r =-, 即||||22PQ OG =-, 所以2||||4OG PQ +=,设Q '为Q 关于原点的对称点,则OG 恰好为QQ P '∆的中位线, 所以2||OG PQ '=, 所以||4PQ PQ '+=又因为,点P 在椭圆22143x y +=上,设1F ,2F 分别为椭圆的左右焦点,则124PF PF +=, 故Q ,Q '分别与1F ,2F 重合,所以当定点Q 恰好为椭圆C 的焦点时,符合题意.解法四：假设存在满足条件的定点Q ,设(,)Q m n ,()00,P x y ,则2200143x y +=,由（i ）可知,圆E 的圆心为坐标原点O ,半径为2,设以PQ 为直径的圆的圆心为G ,半径为r ,则G 为线段PQ 的中点,||2PQ r =,即00,22x m y n G ++⎛⎫⎪⎝⎭,r =因为圆E 与圆G 相切,则||2OG r =-,2=,2=,4=,设(,)Q m n '--,则||4PQ PQ '+=又因为,点P 在椭圆22143x y +=上,设1F ,2F 分别为椭圆的左右焦点,则124PF PF +=, 故Q ,Q '分别与1F ,2F 重合,所以当定点Q 恰好为椭圆C 的焦点时,符合题意. 【点睛】本意考查求椭圆的标准方程和求圆的标准方程,以及根据圆与圆的位置关系求解点的坐标,属于中档题.22．（1）1a =；（2）()g x 0x >（）为减函数，()h x 0x >（）为增函数；（3）证明详见解析. 【分析】（1）求出导函数()'f x ，求出切方程，令0x =得切线的纵截距，可得a ；（2）求函数的导数，由导函数的正负确定单调性；（3）不等式152122n n n a +-<-变形为25nn a <，()g x 为减函数，得到()(0)0g x g <=，即()2f x x <，1()n n a f a +=，即12n n a a -<，依次得到2112122225nn n n n a a a a ---<<<=；120n a -<()h x 为增函数，()(0)0h x h >=，2()021x f x x >>+，得1111122()2n n f a a --⎛⎫-<- ⎪⎝⎭，22122111111122220222n n n n a a a a ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫-<-<-<<-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，得120n a -<. 【详解】（1）对()ln(2)f x x a =+求导，得.2()2f x x a'=+因此2(1)2f a'=+.又因为(1)ln(2)f a =+，所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为2ln(2)(1)2y a x a-+=-+ 即22ln(2)22y x a a a=++-++，由题意，22ln(2)ln 323a a +-=-+，显然1a =，适合上式，令2()ln(2)(0)2a a a aϕ=+->+，求导得212()02(2)a a a ϕ'=+>++，因此()a ϕ为增函数：故1a =是唯一解.（2）由（1）可知，()ln(21)2g x x x =+- (0)x >2()ln(21)21xh x x x =+-+ (0)x >，因为24()202121xg x x x '=-=-<++，所以()()2g x f x x =- (0)x >为减函数，因为22224()021(21)(21)xh x x x x '=-=>+++，所以2()()21xh x f x x =-+(0)x >为增函数. （3）证明：由125a =，1()ln(21)n n n a f a a +==+，易得0n a > 15212225n nn n n a a +-<-⇔< 由（2）可知，()()2g x f x x =-ln(21)2x x =+-在(0,)+∞上为减函数，因此，当0x >时，()(0)0g x g <=，即()2f x x <，令1n x a -= (2)n ≥，得11()2n n f a a --<，即12n n a a -<，因此，当2n ≥，12a =时，2112122225nn n n n a a a a ---<<<=，所以152122n n na +-<-成立. 下面证明：120na -<，由（2）可知，2()()21x h x f x x =-+2ln(21)21xx x =+-+在(0,)+∞上为增函数，因此，当0x >时，()(0)0h x h >=，即2()021xf x x >>+，因此111()2f x x<+，即11122()2f x x ⎛⎫-<- ⎪⎝⎭，令1n x a -= (2)n ≥，得1111122()2n n f a a --⎛⎫-<- ⎪⎝⎭，即1111222n n a a -⎛⎫-<- ⎪⎝⎭，当2n =时，()2111111222222ln1.85n a a f a f -=-=-=-=-⎛⎫ ⎪⎝⎭.因为1ln1.8ln 2>>=，所以120ln1.8-<，所以2120a -<，所以，当3n ≥时，22122111111122220222n n n n a a a a ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫-<-<-<<-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以，当2n ≥时，120na -<成立，综上所述，当2n ≥时，1521202n n na +-<-<成立. 【点睛】本题考查导数的几何意义，考查用导数研究函数的单调性，考查用导数证明不等式.本题中不等式的证明，考查了转化与化归的能力，把不等式变形后利用第（2）小题函数的单调性得出数列的不等关系12n n a a -<，1111222n n a a -⎛⎫-<- ⎪⎝⎭是最关键的一步，然后一步一步放缩即可证明，本题属于困难题.。

江苏省南京市中华中学2021-2022学年高三上学期期初考试数学试卷

）
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
6．已知 a＝log315，b＝log420，2c＝1.9，则（）
A．a＞c＞b
B．a＞b＞c
C．b＞a＞c
D．c＞a＞b
7．已知抛物线 C:y2＝8x 的焦点为 F，抛物线 C 上一点 A 满足|AF|＝5，则以点 A 为圆心，
AF 为半径的圆被 x 轴所截得的弦长为（）
x2＋3x＋c 所以[exf(x)]'＝2x＋3，则 exf(x)＝x2＋3x＋c，所以 f(x)＝ ex ，
c 因为 f(0)＝1，所以 f(0)＝e0＝c＝1，
x2＋3x＋1 所以 f(x)＝ ex ，
(2x＋3)ex－ex(x2＋3x＋1) －(x2＋x－2) －(x＋2)(x－1)
f'(x)＝
＝(1＋i)(1－i)＝1－i，所以复数 z 的虚部为－1；
3．A【详解】由题 2×(－2)－x＝0 得 x＝－4，所以 3a＋b＝3(2，1)＋(－4，－2)＝(2，1)，
所以|3a＋b|＝ 22＋12＝ 5
4．B【详解】分两步：（1）安排 2 名老师：共 A22＝2 种不同的参加方式；
（2）安排 4 名学生：又分两类：� 参加两项活动的学生人数为一项 3 人，一项 1 人：共
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10．已知函数 f(x)＝Asin(2x＋φ)(A＞0，|φ|＜π2)的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（） A．f(x)＝ 3sin(2x＋π3) B．函数 f(x)在[π6，23π]上单调递减 C．函数 f(x)的图象关于（51π2，0）中心对称 D．函数 g(x)＝ 3cos2x 的图象可由函数 f(x)的图象向左平移1π2个单位得到

2020-2021学年江苏省南京一中、金陵中学、海安中学高三(上)期中数学试卷

2020-2021学年江苏省南京一中、金陵中学、海安中学高三（上）期中数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1.已知复数z满足(2+i)z=1−2i，其中i为虚数单位，则z=()A. 1B. −1C. iD. −i2.已知全集U=R，集合M={x|x2−x>0}，则∁U M=()A. {x|0<x<1}B. {x|0≤x≤1}C. {x|x<0或x>1}D. {x|x≤0或x≥1}3.在1，2，3，…，2020这2020个自然数中将能被2除余1，且被3除余1的数按从小到大的次序排成一列，构成数列{a n}，则a50=()A. 289B. 295C. 301D. 3074.重阳节，农历九月初九，二九相重，谐音是“久”，有长久之意，人们常在此日感恩敬老，是我国民间的传统节日.某校在重阳节当日安排6位学生到两所敬老院开展志愿服务活动，要求每所敬老院至少安排2人，则不同的分配方案数是()A. 35B. 40C. 50D. 705.函数y=2x的图象大致为()x2+x−2A. B.C. D.6.某校先后举办定点投篮比赛和定点射门比赛.高三(1)班的45名同学中，只参加了其中一项比赛的同学有20人，两项比赛都没参加的有19人，则两项比赛中参加人数最多的一项比赛人数不可能是()A. 15B. 17C. 21D. 267.克罗狄斯托勒密(Ptolemy)所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当对角互补时取等号.根据以上材料，完成下题：如图，半圆O 的直径为2，A 为直径延长线上的一点，OA =2，B 为半圆上一点，以AB 为一边作等边三角形ABC ，则当线段OC 的长取最大值时，∠AOC =( )A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°8. 已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的焦点为F 1、F 2，其渐近线上横坐标为12的点P 满足PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，则a =( )A. 14B. 12C. 2D. 4二、多选题（本大题共4小题，共20.0分） 9. 下列四个函数中，以π为周期，且在区间(π2,3π4)上单调递减的是( )A. y =|sinx|B. y =cos2xC. y =−tanxD. y =sin|2x|10. 若(2x √x )n 的展开式中第6项的二项式系数最大，则n 的可能值为( )A. 9B. 10C. 11D. 1211. 已知a >0，b >0，且a 2+b 2=1，则( )A. a +b ≤√2B. 12<2a−b <2 C. log 2√a +log 2√b ≥−12D. a 2−b 2>−112. 我们知道，任何一个正实数N 都可以表示成N =a ×10n (1≤a <10,n ∈Z).定义：W(N)={N 的整数部分的位数,n ≥0,N 的非有效数字0的个数,n <0,如W(1.2×102)=3，W(1.23×10)=2，W(3×10−2)=2，W(3.001×10−1)=1，则下列说法正确的是( )A. 当n >0，M >1，N >1时，W(M ⋅N)=W(M)+W(N)B. 当n <0时，W(M)=−nC. 若N =2100，lg2≈0.301，则W(N)=31D. 当k ∈N ∗时，W(2k )=W(2−k )三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知抛物线y 2=2px(p >0)上横坐标为1的点到焦点的距离为52，则p = ． 14. 已知某品牌的新能源汽车的使用年限x(年)与维护费用y(千元)之间有如表数据：x 与y 之间具有线性相关关系，且y 关于x 的线性回归方程为y ̂=1.05x +a(a 为常数)．据此估计，使用年限为7年时，维护费用约为千元． (参考公式：线性回归方程y ^=b ^x +a ^中的系数b ̂=∑(n i=1x i −x −)(y i −y −)∑(n i=1x i −x −)2，a ̂=y −−b ̂x −)15. 如图，水平广场上有一盏路灯挂在10m 长的电线杆上，记电线杆的底部为点A ，把路灯看作一个点光源，身高1.5m 的女孩站在离点A 5m 的点B 处.若女孩向点A 前行4m 到达点D ，然后从点D 出发，沿着以BD 为对角线的正方形走一圈，则女孩走一圈时头顶(视为一点)的影子所围成封闭图形的面积为 m 2．16. 已知三棱锥P −ABC 中，PA ，PB ，PC 两两垂直，且PA =PB =PC =1，以P 为球心，√22为半径的球面与该三棱锥表面的交线的长度之和为．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知公比q 大于1的等比数列{a n }满足a 1+a 3=10，a 2=4．(1)求{a n }的通项公式；(2)设b n =______，求数列{b n }的前n 项和S n ．请在①n ⋅a n ；②|2log 2a n −9|；③a n(2n +1)(2n−1+1)这三个条件中选择一个，补充在上面的横线上，并完成解答．18. 在△ABC 中，设角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且(c −b)sinC =(a −b)(sinA +sinB)． (1)求A ；(2)若b=2，且△ABC为锐角三角形，求△ABC的面积S的取值范围．19.如图，四棱锥P−ABCD的底面为直角梯形，AB//CD，AD⊥CD，AB=AD=1，CD=2，PD⊥平面ABCD．(1)求证：BC⊥平面PBD；(2)已知PD=2，点E为棱PB的中点，求直线AE与平面DCE所成角的正弦值．20.根据历史资料显示，某种慢性疾病患者的自然痊愈率为5%.为试验一种新药，在有关部门批准后，医院将此药给10位病人服用，试验方案为：若这10人中至少有2人痊愈，则认为该药有效，提高了治愈率；否则，则认为该药无效．(1)如果在该次试验中有5人痊愈，院方欲从参加该次试验的10人中随机选2人了解服药期间的感受，记抽到痊愈的人的个数为X，求X的概率分布及数学期望；(2)如果新药有效，将治愈率提高到了50%，求通过试验却认定新药无效的概率p，并根据p的值解释该试验方案的合理性．(参考结论：通常认为发生概率小于5%的事件可视为小概率事件)21.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率√22，且经过点A(1,√22)．(1)求椭圆C的方程；(2)设F为椭圆C的右焦点，直线l与椭圆C相切于点P(点P在第一象限)，过原点O作直线l的平行线与直线PF相交于点Q，问：线段PQ的长是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由．22.已知函数f(x)=ae x+1，g(x)=ln xa−1，其中a>0．(1)若a=1，在平面直角坐标系xOy中，过坐标原点O分别作函数y=f(x)与y=g(x)的图象的切线l1，l2.求l1，l2的斜率之积；(2)若f(x)≥g(x)在区间(0,+∞)上恒成立，求a的最小值．答案和解析1.【答案】D【解析】【分析】本题考查了复数代数形式的四则运算，是基础题．根据复数代数形式的运算法则，计算即可．【解答】解：复数z满足(2+i)z=1−2i，所以z=1−2i2+i =(1−2i)(2−i)22−i2=−5i5=−i．故选：D．2.【答案】B【解析】【分析】此题考查了补集及其运算，熟练掌握补集的定义是解本题的关键．求出M中不等式的解集确定出M，根据全集U=R求出M的补集即可．【解答】解：由M中不等式变形得：x(x−1)>0，解得：x<0或x>1，即M={x|x<0或x>1}，∵全集U=R，∴∁U M={x|0≤x≤1}，故选：B．3.【答案】B【解析】解：在1，2，3，…，2020这2020个自然数中将能被2除余1的数为2n−1，被3除余1的数为3n−2，∴在1，2，3，…，2020这2020个自然数中将能被2除余1，且被3除余1的数为：a n=6n−5，∴a50=6×50−5=295．在1，2，3，…，2020这2020个自然数中将能被2除余1的数为2n−1，被3除余1的数为3n−2，由此得到在1，2，3，…，2020这2020个自然数中将能被2除余1，且被3除余1的数为a n=6n−5，由此能求出结果．本题考查等差数列的第50项的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4.【答案】C【解析】【分析】本题考查了排列组合，简单计数原理，分组分配，属于基础题．六位学生分配到两个敬老院，每所敬老院至少两人，则对六名学生进行分组分配即可．【解答】解：六名学生分成两组，每组不少于两人的分组，一组两人另一组4人，或每组3人，所以不同的分配方案为：C62A22+C63=50，故选：C．5.【答案】A【解析】【分析】本题考查了函数图象的识别，关键掌握函数的奇偶性和函数值的变化趋势，属于基础题．先判断函数的奇偶性，再根据函数值的变化趋势即可求出．【解答】，其定义域为{x|x≠0}，解：设y=f(x)=2xx2+x−2∴f(−x)=−2x=−f(x)，x−2+x2∴函数f(x)为奇函数，其图象关于原点对称，故排除BD，当x→+∞时，f(x)→0，故排除C，故选：A．【解析】解：设两项比赛都参加的人数为a，只参加投篮比赛的人数为b，则只参加定点射门比赛的人数为20−b，则由题意得：a+b+20−b+19=45，解得a=6，0≤b≤20．当b=9时，参加投篮人数为15，参加定点射门人数为17，当20−b=9时，参加投篮人数为17，参加定点射门人数为15，∴两项比赛中参加人数最多的一项比赛人数不可能是15，有可能是17；当b=5时，加投篮人数为11，参加定点射门人数为21，两项比赛中参加人数最多的一项比赛人数可能是21；当b=0时，加投篮人数为6，参加定点射门人数为26，两项比赛中参加人数最多的一项比赛人数可能是26．故选：A．设两项比赛都参加的人数为a，只参加投篮比赛的人数为b，则只参加定点射门比赛的人数为20−b，作出韦恩图求出a=6，0≤b≤20.由此能求出结果．本题考查命题真假的判断，考查对立事件、互斥事件的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7.【答案】C【解析】【分析】本题考查了四边形中的新定义，余弦定理，属于中档题利用制作弦表原理，OC ⋅AB ≤OA ⋅BC +OB ⋅AC ，可得到OC 的最大值，进而确定∠AOB 的大小，确定三角形ABC 的边长，在三角形AOC 中解出∠AOC ．【解答】解：由制作弦表原理，OC ⋅AB ≤OA ⋅BC +OB ⋅AC ，可知，OC ⋅AB ≤2AB +AB =3AB ，∴OC ≤3，当且仅当四边形OACB 的对角互补时取等号， ∴当线段OC 的长取最大值3时，∠ACB 与∠AOB 互补， ∵∠ACB =60°， ∴∠AOB =120°，在三角形AOB 中，AB 2=22+12−2×2×1×cos120°=7，在三角形AOC 中，OC =3，AC =√7，OA =2， cos∠AOC =22+32−72×2×3=12，∴∠AOC =60°，故选：C ．8.【答案】B【解析】【分析】本题考查双曲线的简单性质的应用，向量的数量积与向量的垂直关系，考查转化思想以及计算能力，是中档题．根据题意求出P 的坐标，利用已知条件列出方程，化简求解a 即可．【解答】解：双曲线x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的焦点为F 1(−c,0)，F 2(c,0)，渐近线上横坐标为12的点P ，不妨取P 在第一象限，可得P(12,b2a )因为点P 满足PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，所以PF 1⊥PF 2，所以(12+c)2+(b2a )2+(12−c)2+(b2a )2=4c 2，①c2=a2+b2，②解①得1+b2a2=4c2，将②代入可得：1+c2−a2a2=4c2，解得a=12．故选：B．9.【答案】AC【解析】【分析】本题主要考查三角函数的周期性和单调性，属于基础题．由题意利用三角函数的周期性和单调性，即可得出结论．【解答】解：∵y=|sinx|的最小正周期为2π2=π，且在区间(π2,3π4)上单调递减，故A满足条件;∵y=cos2x的最小正周期为2π2=π，且在区间(π2,3π4)上单调递增，故B不满足条件;∵y=−tanx的最小正周期为π，且在区间(π2,3π4)上单调递减，故C满足条件;∵y=sin|2x|没有周期性，故D不满足条件．故选：AC．10.【答案】ABC【解析】【分析】本题考查了二项式展开式的二项式系数的最值问题，属于中档题．根据选项分别令n=9，10，11，12，验证是否符合题意，进而可以求解．【解答】解：当n为偶数时，若n=10时，第6项的二项式系数最大，B正确，若n=12时，第7项的二项式系数最大，D错误，当n为奇数时，若n=9时，第5项或第6项的二项式系数最大，满足题意，A正确，若n=11时，第6项或第7项的二项式系数最大，满足题意，C正确，故选：ABC．11.【答案】ABD【解析】【分析】本题考查了不等式的性质，对数的运算，二倍角公式和三角函数的图象与性质，考查了转化思想，属于中档题．根据条件可知0<a<1，0<b<1，然后设a=sinα，b=cosα，其中α∈(0,π2)，将各选项中的式子转化后，利用三角函数的图象与性质，得到各式的范围，再判断即可．【解答】解：根据a>0，b>0，且a2+b2=1，可知0<a<1，0<b<1，设a=sinα，b=cosα，其中α∈(0,π2)．A.a+b=sinα+cosα=√2sin(α+π4)，∵α∈(0,π2)，∴α+π4∈(π4,3π4)，∴当α+π4=π2时，√2sin(α+π4)的最大值为√2，∴a+b≤√2，故A正确；B.a−b=sinα−cosα=√2sin(α−π4)，∵α∈(0,π2)，∴α−π4∈(−π4,π4)，∴√2sin(α−π4)∈(−1,1)，∴a−b∈(−1,1)，∴12<2a−b<2，故B正确；C.log2√a+log2√b=log2√ab=log2√sinαcosα=log2√12sin2α，∵α∈(0,π2)，∴2α∈(0,π)，∴√12sin2α∈(0,√12],∴log2√12sin2α≤−12，即log2√a+log2√b≤−12，故C错误；D.a2−b2=sin2α−cos2α=−cos2α，∵α∈(0,π2)，∴2α∈(0,π)，∴−cos2α∈(−1,1)，∴a2−b2>−1，故D正确．故选：ABD．12.【答案】BCD【解析】【分析】本题考查新定义问题，涉及指数与指数幂的运算，对数与对数运算，属于拔高题．先要通过列举，理解W(N)的意义，N∈[10n,10n+1)，(n∈N)时，N的整数部分的位数为n+1，当N∈[10n,10n+1)，(n=−1,−2,−3,…)，N的非有效数字0的个数为−n，然后通过举例可以否定A，通过一般性论证判定B，借助对数指数运算和不等式的性质判断CD．【解答】解：当N∈[10,100)时，N的整数部分位数为2，当N∈[100,1000)，N的整数部分位数为3，一般地N∈[10n,10n+1)，(n∈N)时，N的整数部分的位数为n+1，当N∈[0.1,1)时，N的非有效数字0的个数为1，当N∈[0.01,0.1)时，N的非有效数字0的个数为2，一般地，当N∈[10n,10n+1)，(n=−1,−2,−3,…)，N的非有效数字0的个数为−n．取M=102，N=10，则W(M)=3，W(N)=2，W(M⋅N)=W(103)=4，而W(M)+W(N)=5，∴W(M⋅N)≠W(M)+W(N)，所以选项A错误，当n<0时，∵1≤a<10，∴M=a×10n∈[10n,10n+1)，W(M)=W(a×10n)=−n，所以选项B正确，∵N=2100，lg2≈0.301，∴lg2100=100lg2≈30.1，1030≤N<1031，∴W(N)=31，所以选项C正确，当k∈N∗时，根据定义，由于2k为正整数，且不可能是10的倍数，∴存在m∈N，使得10m<2k<10m+1，此时W(2k)=m+1，而10−(m+1)<2−k<10−m，W(2−k)=m+1，故D正确．故选：BCD．13.【答案】3【解析】【分析】本题考查抛物线的定义的应用，属于基础题．由抛物线方程求得抛物线的准线方程，再由抛物线的定义列式求得p值．【解答】解：抛物线y2=2px(p>0)的准线方程为x=−p2，由题意结合抛物线的定义可得，1+p2=52，即p=3．故答案为：3．14.【答案】8.2【解析】【分析】本题考查线性回归方程的求法，是基础的计算题．由已知求得样本点的中心的坐标，代入线性回归方程求得a ，在线性回归方程中，取x =7求得y ^的值得答案．【解答】解：x −=2+4+5+6+85=5，y −=3+4.5+6.5+7.5+95=6.1，则样本点的中心的坐标为(5,6.1)，代入y ̂=1.05x +a ，得a =6.1−1.05×5=0.85，则y ̂=1.05x +0.85．取x =7，可得y ̂=1.05×7+0.85=8.2． ∴使用年限为7年时，维护费用约为8.2千元．故答案为：8.2．15.【答案】3200289【解析】【分析】本题考查函数模型的选择及应用，考查运算求解能力，是中档题．根据题意可知，女孩头顶影子的轨迹所围成的图形是一个对角线长为8017的正方形，则答案可求．【解答】解：如图，设女孩在点B、D两处头顶E、F的影子分别为M、N，则EF=BD=4，BE=DF=1.5，AD=1，由三角形相似，对应边成比例可得：AN−1AN =1.510，得AN=108.5，AM−5 AM =1.510，得AM=508.5，得MN=AM−AN=508.5−108.5=408.5=8017，∵女孩在运动过程中的比例关系不变，∴女孩走一圈时头顶的影子所围成封闭图形是对角线长为8017的正方形，∴女孩走一圈时头顶的影子所围成封闭图形的面积为12×8017×8017=3200289m2．故答案为：3200289．16.【答案】(9√2+4√6)π12【解析】【分析】本题考查了几何体的结构特征与计算问题，也考查了运算求解能力和空间想象能力，是难题．根据题意判断球面与三棱锥表面的交线，是各侧面内以P为圆心，以√22为半径3个四分之一圆弧和底面正三角形ABC内切圆，由此求出交线的长度之和即可．【解答】解：如图所示，设BC 、CA 、AB 的中点分别为D 、E 、F ， P 在平面ABC 内的射影为O 1，因为三棱锥P −ABC 中，PA ，PB ，PC 两两垂直，且PA =PB =PC =1，所以AB =BC =CA =√2，所以O 1是正三角形ABC 的中心， PD =PE =PF =√22， O 1D =O 1E =O 1F =13×√32×√2=√66；以P 为球心，√22为半径的球面与该三棱锥表面的交线，是各侧面内以P 为圆心，以√22为半径3个四分之一圆弧和底面正三角形ABC 内切圆；所以交线的长度之和为3×π2×√22+2π×√66=(9√2+4√6)π12．故答案为：(9√2+4√6)π12．17.【答案】解：(1)由题设可得：{a 1(1+q 2)=10a 1q =4，解得：{a 1=2q =2或{a 1=8q =12(舍)， ∴a n =2n ； (2)当选条件①时：由(1)可得：b n =n ⋅2n ，则S n =1×21+2×22+⋯+n ⋅2n ，又2S n =1×22+⋯+(n −1)⋅2n +n ⋅2n+1，两式相减得：−S n =2+22+⋯+2n−n ⋅2n+1=2(1−2n )1−2−n ⋅2n+1，整理得：S n =(n −1)⋅2n+1+2．当选条件②时：由(1)可得：b n =|2log 2a n −9|=|2n −9|，当n ≤4时，S n =7+5+⋯+9−2n =n(7+9−2n)2=n(8−n)；当n≥5时，S n=7+5+3+1+1+3+⋯+2n−9=16+(n−4)(1+2n−9)2=n2−8n+ 32，∴S n={8n−n 2,n≤4n2−8n+32,n≥5．当选条件③时：由(1)可得：b n=a n(2n+1)(2n−1+1)=2n(2n+1)(2n−1+1)=2(12n−1+1−12n+1)，∴S n=2(120+1−121+1+121+1−122+1+⋯+12n−1+1−12n+1)=2(12−12n+1)=1−22n+1．【解析】本题主要考查等比数列基本量的计算及错位相减法与裂项相消法在数列求和中的应用，属于中档题．(1)由题设求得等比数列{a n}的公比q与首项a1，即可求得其通项公式；(2)当选条件①时：先由(1)求得b n，再利用错位相减法求得其前n项和即可．当选条件②时：先由(1)求得b n，再对n分n≤4与n≥5两种情况分别求得其前n项和即可．当选条件③时：先由(1)求得b n，再利用裂项相消法求得其前n项和即可．18.【答案】解：(1)△ABC中，(c−b)sinC=(a−b)(sinA+sinB)，由正弦定理得(c−b)c=(a−b)(a+b)，整理得c2+b2−a2=bc，所以cosA=c2+b2−a22bc =bc2bc=12；又A∈(0,π)，所以A=π3；(2)由△ABC为锐角三角形，且A=π3，所以{0<C<π20<2π3−C<π2，解得π6<C<π2，因为b=2，由正弦定理得asinπ3=2sin(2π3−C)=csinC，所以c=2sinCsin(2π3−C)，所以△ABC 的面积为 S =12bcsinA =12×2×2sinCsin(2π3−C)×√32=√3sinC √32cosC+12sinC=√3√32tanC +12，由tanC >tan π6=√33，所以1tanC ∈(0,√3)，所以√32tanC +12∈(12,2)，所以√3√32tanC +12∈(√32,2√3)；即△ABC 面积S 的取值范围是(√32,2√3).【解析】本题考查了解三角形的应用问题，解题时应注意有关定理的转化作用和逻辑推理、数学运算等数学核心素养，是中档题．(1)由正弦定理把角化为边，利用余弦定理求出cos A 和A 的值；(2)由题意求出角C 的取值范围，利用正弦定理求得c ，再计算△ABC 的面积，求出面积S 的取值范围．19.【答案】(1)证明：∵PD ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面PBD ，∴PD ⊥BC ，由AD ⊥CD ，AB//CD ，得AB ⊥AD ，又AB =AD =1，∴BD =√2，∠ADB =45°， ∠BDC =45°，又CD =2，BD =√2， ∴BC =√4+2−2×2×√2×cos45°=√2， ∴BD 2+BC 2=CD 2，∴BC ⊥BD ，又PD ∩BD =D ，PD ⊂平面PBD ，BD ⊂平面PBD ， ∴BC ⊥平面PBD ．(2)解：以D 为原点，以DA ，DC ，DP 为坐标轴建立空间直角坐标系D −xyz ，如图所示，则A(1,0，0)，C(0,2，0)，B(1,1，0)，P(0,0，2)， ∵E 是PB 的中点，∴E(12,12,1)，∴AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−12,12,1)，DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2，0)，DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(12,12,1)，设平面CDE 的法向量为n⃗ =(x,y ，z)，则{n ⃗ ⋅DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{2y =012x +12y +z =0，令z =1可得n⃗ =(−2,0，1)， ∴cos <AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，n ⃗ >=AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗|AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |=√62×√5=2√3015，所以直线AE 与平面DCE 所成角的正弦值为2√3015．【解析】本题考查了线面垂直的判定，考查空间向量与线面角的计算，属于中档题． (1)利用勾股定理的逆定理证明BC ⊥BD ，根据PD ⊥平面ABCD 得出PD ⊥BC ，于是BC ⊥平面PBD ；(2)建立空间直角坐标系，求出平面CDE 的法向量n ⃗ ，运用向量法得出直线AE 与平面DCE 所成角的正弦值．20.【答案】解：(1)X 的取值为0，1，2，则P(X =0)=C 52C 50C 102=29，P(X =1)=C 51C 51C 102=59， P(X =2)=C 50C 52C 102=29，则分布列为：X 0 1 2 P 29 59 29则数学期望为E(X)=0×29+1×59+2×29=1，(2)通过实验却认定新药无效的概率为p ，则p =C 100(12)10+C 101(12)1(12)9=111024<0.05，故可认为新药无效是小概率事件，从而认为新药有效，故实验合理．【解析】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题．(1)随机变量X 的所有可能的取值为0，1，2，根据计数原理和概率乘法公式求解即可； (2)根据概率公式计算即可得到p <0.05，故说明实验合理．21.【答案】解：(1)由题意可得{ ca =√22a 2=b 2+c 21a 2+12b 2=1，解得a 2=2，b 2=1，c 2=1， ∴椭圆C 的方程为x 22+y 2=1；(2)设P(x 0,y 0)，直线l 的方程为x 0x +2y 0y =2，过原点O 且与直线l 平行的直线方程x 0x +2y 0y =0，则直线PF 的方程为y−y 00−y 0=x−x1−x 0，即y 0x −(x 0−1)y −y 0=0，联立{y 0x −(x 0−1)y −y 0=0x 0x +2y 0y =0，且x 02+2y 02=2，解得x =2y 022−x 0，y =−x 0y2−x 0，∴Q 坐标为(2y 022−x,−x 0y02−x)， ∴|PQ|=√(x 0−2y 022−x 0)2+(y 0+x 0y 02−x 0)2=√(2x 0−22−x 0)2+(2y 02−x 0)2=√4(x 0−1)2+4(1−x 022)(2−x 0)2=√2(x 0−2)2(2−x0)2=√2为定值．【解析】本题考查了椭圆的方程，直线和椭圆的位置关系，考查了运算能力和转化能力，属于中档题．(1)由题意可得{ c a =√22a 2=b 2+c 21a 2+12b 2=1，解得即可， (2)设P(x 0,y 0)，可得直线l 的方程为x 0x +2y 0y =2，过原点O 且与直线l 平行的直线方程x 0x +2y 0y =0，直线PF 的方程为y 0x −(x 0−1)y −y 0=0，联立方程组，求出点Q 的坐标，利用两点之间的距离公式即可求出．22.【答案】解：(1)a =1时，f(x)=e x+1，g(x)=lnx −1，设过坐标原点的直线分别切f(x)，g(x)于点P 1(x 1,y 1)，P 2(x 2,y 2)，f′(x)=e x+1，g′(x)=1x ，∴k l 1=e x 1+1，k l 2=1x 2，且{e x 1+1x 1=e x 1+1lnx 2−1x 2=1x 2，解得：{x 1=1x 2=e 2， ∴k l 1⋅k l 2=e 2⋅1e 2=1；(2)由ae x+1≥ln x a −1在(0,+∞)上恒成立，得a >0时，e x+1≥1a ln x a −1a ，xe x+1≥x a (ln x a −1)=(ln x a −1)⋅e ln x a (∗)，令F(x)=xe x+1，∴F(x)≥F(ln x a −1)，①当ln x a −1≤0时，(∗)左边>0，右边≤0，显然成立，②当ln x a −1>0，注意到F′(x)=(x +1)e x+1>0，∴F(x)在(0,+∞)递增，∴x ≥ln x a −1⇒a ≥(x e x+1)max ，令φ(x)=x e x+1，φ′(x)=1−x e x+1，令φ′(x)=0，得：0<x <1时，φ′(x)>0，φ(x)递增，当x >1时，φ′(x)<0，φ(x)递减，故φ(x)max =φ(1)=1e 2，∴a ≥1e 2．【解析】本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性，最值问题，考查导数的应用，是一道综合题．(1)代入a 的值，求出函数的导数，求出切线的斜率，作积即可；(2)问题转化为xe x+1≥xa (ln xa−1)=(ln xa−1)⋅e ln x a(∗)恒成立，令F(x)=xe x+1，得到F(x)≥F(ln xa−1)，结合函数的单调性求出a的范围即可．。

江苏省南京市金陵中学2021至2022学年高三上学期期中检测数学试卷

2022届高三第一学期数学学科期中检测考试时间：120分钟一、单项选择题（本大题共8小题，每题5分，共40分）1．用图形直观表示集合的运算关系，最早是由瑞士数学家欧拉所创，故将表示集合运算关系的图形称为“欧拉图”．后来，英国逻辑学家约翰•韦恩在欧拉图的基础上创建了世人所熟知的“韦恩图”．韦恩用图1中的四块区域Ⅰ，Ⅰ，Ⅰ，Ⅰ分别表示下列四个集合：AB ，()U A B ∩，()U A B ⋂，()()U U A B ⋂，则图2中的阴影部分表示的集合为（）A ．ABC ⋂⋂B ．()U A BC ⋂⋂ C ．()U A B C ⋂⋂D ．()U A B C ⋂⋂2．在复平面内，复数z 的对应点为()1,1-，则2z =（）AB ．C ．2i -D ． 2i3．已知单位向量,a b 的夹角为60°，则在下列向量中，与b 垂直的是（） A ． a ⃗+2b ⃗⃗ B ．2a ⃗+b ⃗⃗ C ． 2a ⃗−b⃗⃗ D ．a ⃗−2b⃗⃗ 4．著名数学家､物理学家牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为1C θ︒，空气温度为0C θ︒，则t 分钟后物体的温度θ（单位：C ︒）满足：()010kte θθθθ-=+-.若常数0.05k =，空气温度为30C ︒，某物体的温度从90C ︒下降到50C ︒，大约需要的时间为（）（参考数据：ln 3≈1.1） A ．16分钟B ．18分钟C ．20分钟D ．22分钟5．已知函数()1sin 1sin f x x x=++，定义域为R 的函数()g x 满足()()2g x g x -+=，若函数()y f x =与()y g x =图象的交点为()11,x y ，()22,x y ，…，()66,x y ，则()61i i i x y =+=∑（） A ．0B ．6C ．12D ．246．在四面体ABCD 中，AD ⊥底面ABC ，AB AC =2BC =，点G 为三角形ABC 的重心，若四面体ABCD 的外接球的表面积为2449π，则tan AGD ∠=（）A ．12B ．2C D 7．设12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x yC a b ab-=>>的左，右焦点，点P 在C 上，若123F PF π∠=，且||2OP a =(O 为坐标原点)，则C 的渐近线方程为（）A ．y x =±B ．y =C ．y =D ．2y x =±8．设2021ln2019a =，2020ln2020b =，2019ln2021c =，则（） A ．a b c >>B ．c b a >>C ．a c b >>D ．b a c >>二、多项选择题（本大题共4小题，每题5分，共20分.每题全选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9．为了解目前全市高一学生身体素质状况，对某校高一学生进行了体能抽测，得到学生的体育成绩()~70,100X N ，其中60分及以上为及格，90分及以上为优秀，则下列说法正确的是（）附：若()2~,X N μσ，则()0.6826P X μσμσ-≤<+=，()220.9544P X μσμσ-≤<+=.A ．该校学生体育成绩的方差为10B ．该校学生体育成绩的期望为70C ．该校学生体育成绩的及格率不到85%D ．该校学生体育成绩的优秀率超过4%10．等差数列{}n a 中，11a =，公差[]1,2d ∈，且391515a a a λ++=，则实数λ的可能取值为（）A ．13-B ．1917-C ．32-D ．2-11．设0x >，,x y R ∈，则（） A ．“x y >”⇒“||x y >” B ．“x y <”⇒“x y <” C ．“x y ≥”⇒“x y x y +≥+”D ．“x y >”⇒“x y x y +≥+”12．众所周知的“太极图”，其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，也被称为“阴阳鱼太极图”.如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”.整个图形是一个圆形224x y +=.其中黑色阴影区域在y 轴右侧部分的边界为一个半圆，给出以下命题: A 在太极图中随机取一点，此点取自黑色阴影部分的概率是12； B 当32a =-时，直线2y ax a =+与白色部分有公共点；C 黑色阴影部分（包括黑白交界处）中一点(),x y ，则x y +1；D 若点()0,1P ，MN 为圆224x y +=过点P 的直径，线段AB 是圆224x y +=所有过点P 的弦中最短的弦，则()AM BN AB -⋅的值为12. 其中所有正确结论的序号是（）三、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）13．在5221⎛⎫- ⎪⎝⎭ax x 的展开式中，若含2x -项的系数为40-，则正实数a =___________ 14．已知幂函数()233my m m x =--在()0,∞+上单调递减，则m =___________.15．沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时，如图，某沙漏由上下两个圆锥组成，圆锥的底而直径和高均为10cm ，细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的23（细管长度忽略不计）.若细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆，则此锥形沙堆的高度为___________.（精确到0. 01cm ）.16．法国著名的军事家拿破仑．波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这三个三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形的顶点”．在三角形ABC 中，角60A =，以,,AB BC AC 为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次为123,,O O O ，若三角形123O O O ABC 的周长最小值为___________四、解答题（本大题共6小题，共70分）17．（10分）三角测量法是在地面上选定一系列的点，并构成相互连接的三角形，由已知的点观察各方向的水平角，再测定起始边长，以此边长为基线，即可推算各点坐标的一种测量方法.在实际测量中遇到高大障碍物的测量，需要跨越时的测量，无法得到平距的测量都需要用到三角测量法.如图，为测量横截面为直角三角形的某模型的平面图△ABC ，由于实际情况，Rt △ABC （∠ACB =2π）的边和角无法测量，以下为可测量数据：①BD =2；②CD ；③∠BDC =6π；④∠BCD =4π.以上可测量数据中至少需要几个可以推算出Rt △ABC 的面积？请选择一组并写出推算过程.注：若选择不同的组合分别作答，则按第一个作答计分.18．（12分）已知各项均为正数的数列{}n a ，满足()22*1120,n n n n a a a a n N ++--=∈且1 2.a =（1）求数列{}n a 的通项公式（2）设12n n n b a log a =⋅，若n b 的前n 项和为n S ，求n S19．（12分）移动支付（支付宝及微信支付）已经渐渐成为人们购物消费的一种支付方式，为调查市民使用移动支付的年龄结构，随机对100位市民做问卷调查得到2×2列联表如下∶（1）将上2×2列联表补充完整，并请说明在犯错误的概率不超过0.10的前提下，认为支付方式与年龄是否有关？（2）在使用移动支付的人群中采用分层抽样的方式抽取10人做进一步的问卷调查，从这10人随机中选出3人颁发参与奖励，设年龄都低于35岁（含35岁）的人数为X ，求X 的分布列及期望.（参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++（其中n =a +b +c +d ）20．（12分）如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC ，90ABC ∠=︒，2PA =，AC =（1）求证：平面PBC ⊥平面PAB ；（2）若二面角P BC A --的大小为45︒，过点A 作AN PC ⊥于N ，求直线AN 与平面PBC 所成角的大小． 21．（12分）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左､右焦点分别为12,F F ，双曲线C 的右顶点A 在圆22:2O x y +=上，且122AF AF →→⋅=-. （1）求双曲线C 的标准方程；（2）动直线l 与双曲线C 恰有1个公共点，且与双曲线C 的两条渐近线分别交于点M ､N ，问(OMN O 为坐标原点)的面积是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，试说明理由.22．（12分）已知函数()()2x xf x ae x e =-.（1）若0a =，求()f x 的单调区间；（2）若对于任意的R x ∈，()10f x a+≤恒成立，求a 的最小值.数学期中测试参考答案17．解：至少需要3个可测量数据. 选择组合一：①③④或②③④ 在BCD △中，因为sin sin sin BC BD CDBDC BCD CBD==∠∠∠，所以BC =因为tan tan 2642ABC ACB πππ⎛⎫∠=+=∠= ⎪⎝⎭，所以tan AC BC ABC =⋅∠=故122ABCSAC BC =⋅= 选择组合二：①②③在BCD △中，因为2222cos 2BC BD CD BD CD BDC ∠=+-⋅⋅=，所以BC =结合正弦定理sin sin sin BC BD CD BDC BCD CBD ==∠∠∠，可求得7,412BCD CBD ππ∠=∠=.因为7tan tan 2122ABC ACB πππ⎛⎫∠=-=∠= ⎪⎝⎭，所以AC =故122ABCSAC BC =⋅= 选择组合三：①②④ 在BCD △中，因为sin sin BD CDBCD CBD=∠∠，所以sin CBD ∠=. 因为CBD ∠为钝角，所以712CBD π∠=.因为7tan tan 2122ABC ACB πππ⎛⎫∠=-=∠= ⎪⎝⎭，所以AC =故122ABCSAC BC =⋅= 18．（1）2n n a =；（2）()1122n n +-⋅-.19．（1）根据所给数据得到如下2×2列联表Ⅰ根据公式可得22100(40401010)36 2.70650505050K ⨯-⨯==>⨯⨯⨯所以在犯错误的概率不超过0.10的前提下，认为支付方式与年龄有关.（2）根据分层抽样知35岁以下（含35岁）的人数为8人，35岁以上的有2人，则X 的可能为1，2，3，12823108(1)120C C P X C ===211231056(2),120C C P X C ===3831056(3)120C P X C ===其分布列为()1231201201205E X =⨯+⨯+⨯= 20．（1）因为PA ⊥底面ABC ，所以PA BC ⊥，又90ABC ∠=︒，所以AB BC ⊥，又PA ，AB 为平面PAB 内的两条相交直线，所以BC ⊥平面PAB ，因为BC ⊂平面PBC ，所以平面PBC ⊥平面PAB ；（2）解法一：由（1）可知，ABP ∠为二面角P BC A --的平面角，所以45ABP ∠=︒，又2PA =，AC =90ABC ∠=︒，所以2AB BC ==，过点A 作AM PB ⊥于M ，则AM ⊥平面PBC 且M 为PB 中点，连接MN ，则ANM ∠为直线AN 与平面PBC 所成的角，在Rt ANM △中，AM =AN =所以sin AM ANM AN ∠==故60ANM ∠=︒，所以直线AN 与平面PBC 所成的角为60°．解法二：建立如图所示的空间直角坐标系，则由已知，可得()0,0,0B ，()2,0,0A ，()2,0,2P ，()0,2,0C ，设(),,N x y z ，PN PC λ=（01λ<<），则22x λ=-，2y λ=，22z λ=-，因为AN PC ⊥，()2,,AN x y z =-，()2,2,2PC =--，所以()22220x y z --+-=，解得13λ=，所以424,,333N ⎛⎫⎪⎝⎭，故224,,333AN ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，设平面PBC 的法向量为(),,a x y z =，因为()0,2,0BC =，()2,0,2BP =，由00a BC a BP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得20220y x z =⎧⎨+=⎩，令1x =，则1z =-，所以()1,0,1a =-为平面PBC 的一个法向量，所以24cos ,a AN --==，故直线AN 与平面PBC所以直线AN 与平面PBC 所成的角为60°．21．解：（1）设双曲线C 的半焦距为c ，由点(,0)A a 在圆22:2O x y +=上，得a =由221((2c c c AF AF →→⋅=-⋅=-=-2，得2c =，所以2222b a c =-=，所以双曲线C 的标准方程为22122x y -=. （2）设直线l 与x 轴相交于点D ，双曲线C 的渐近线方程为y x =±当直线l 的斜率在存在时，直线l为|x OD =|MN ==1||||2OMN S MN OD =⋅=2 当直线l 的斜率存在时，设其方程为y kx m =+，显然0k ≠，则,0m D k ⎛⎫- ⎪⎝⎭把直线l 的方程与22:2C x y -=联立得()221k x -2220,kmx m +++=由直线l 与轨迹C 有且只有一个公共点，且与双曲线C 的两条渐近线分别相交可知直线l 与双曲线的渐近线不平行，所以210k -≠，且0m ≠，于是得()()22222Δ4412010k m k m k ⎧=--+=⎪⎨-≠⎪⎩, 得()22210m k =->，得1k >或1k <-,设()()1122,,,M x y N x y ,由y kx m y x =+⎧⎨=⎩，得11m y k =-, 同理得21m y k=+,所以121||2OMN S OD y y =-221 2.2111m m m m k k k k =-==-+- 综上，OMN 的面积恒为定值2.22．解：（1）因为0a =，所以()x f x xe =-，()()1x f x x e '=-+.令()0f x '=，得1x =-.当(),1x ∈-∞-时，()0f x '>；当()1,x ∈-+∞时，()0f x '<.故()f x 的单调速增区间是(),1-∞-，单调递减区间是()1,-+∞.（2）()()()24114x x x x f x ae x e e x ae '=-+=-+-.因为R x ∀∈，()10f x a+≤，又()02f a =，所以120a a +≤，则0a <. 令()14x g x x ae =+-，则()g x 在R 上单调递增.因为当0x <时，()14g x x a <+-，所以()4141140g a a a -<-+-=.因为()1140g ae --=->，所以()041,1x a ∃∈--，使得()00g x =.且当()0,x x ∈-∞时，()0g x <，则()0f x '>，当()0,x x ∈+∞时，()0g x >，则()0f x '<，所以()f x 在()0,x -∞上单调递增，在()0,x +∞上单调递减.故()()00200max 2x x f x f x ae x e ==-.由()000140x g x x ae =+-=，得0014x x a e +=. 由()max 10f x a+≤，得0000200014e e e 2e 1x x x x x x x +-⋅≥+，即001421x x -≥+. 结合010x +<，得2018x -≤，所以031x -≤<-.令()()1314x x h x x e +=-≤<.则()04x x h x e -'=>，所以()h x 在[3,1)--上单调递增，所以()()332e h x h -≥-=，即32e a ≥-. 故a 的最小值为32e -.。