高数整理

0 0
> 0，当 x ∈
时，有 g x ≠ u0 ，则 limx →x 0 f g(x) =
limu →u 0 f u = A。
第六节 极限存在准则 两个重要极限
准则 I 如果数列 xn ， yn 及 zn 满足下列条件:
(1) yn x n z n ( 2) lim yn a ,
n
即 例
0, 0,当0 x xo 时，有 f ( x) A .
c c, 此处 c 为一常数. 证明 xlim xo
解：这里
f ( x) A c c 0,因此 0, 可任取 0,当0 x xo 时，
f ( x) A c c 0 成立。所以 lim c c.
x (−1)n n x 1 1 (−1)n n
= 0, ∴ 数列
是当n → ∞时的无穷小
*注意（1）无穷小是变量,不能与很小的数混淆;
（2）零是可以作为无穷小的唯一的数. 2、无穷小与函数极限的关系: 定理1 在自变量的同变化过程x → x0 (或x → ∞)中， 函数f(x) 具有极限A的充分必要条件是f(x) = A + α ， 其中α 是无穷小 。 二、无穷大 定义2 设函数f(x)在x0 的某一处去心邻域内有定义(或|x|大 于某一正数是有定义).如果对于任意给定的正数M(不论它
f ( x) A . 的极限，记作 lim x
即 例
0, X 0,当 x X时，有 f ( x) A .
证明 lim x
1 0 x
解： 0, 要证X 于 1 或 x
x
x X 1
1 0，当 x X时，不等式 0 成立.因这个不等式相当 x
2x+1 x 2x+1 x 1 x
= limx →∞ (2 + ) = 2
第五节 极限运算法则
定理 1 有限个无穷小的和也是无穷小。 定理 2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小。 （有界函数：三 角函数，反三角函数） 推论 1 常数与无穷小的乘积是无穷小。
推论 2 有限个无穷小的乘积也是无穷小。 定理 3 如果limf(x) = A，limf(x) = B那么 （1） lim f(x) ± g(x) = limf x ± limg x = A ± B （2） lim f(x) ∙ g(x) = limf x ∙ limg x = A ∙ B （3） 若又有B ≠ 0,则 lim f(x) limf(x) A = = g(x) limg(x) B
多么大),总存在正数δ (或正数X)，只要x适合不等式 0 < |������ − x0 | < δ (或|x| > ������),对应的函数值f(x)总满足不等 式|f(x)| > ������ 则称函数f(x)为当x→ x0 (或x → ∞)时无穷大。 例：证明limx →1 解：设∀M > 0 要使 |
A B xn yn n
=
=
。
定理 5 如果φ x ≥ δ x ，而 limφ x = a，limδ x = b，那么 a ≥ b。 例：求limx →2
x 3 −1 x 2 −5x+3
.
解：这里分母极限不为零，故
lim( x 3 − 1) lim x 3 − lim 1 x3 − 1 x →2 x →2 lim 2 = x →22 = 2 x →2` x − 5x + 3 lim(x − 5x + 3) limx − 5limx + lim3
推论 1 如果limf(x)存在， 而 c 为常数， 则lim cf(x) = climf(x)。 推论 2 如果limf x 存在，而 n 为正整数，则lim f(x) limf(x) n 。 定理 4 设有数列 xn 和 yn 。如果 limn →∞ xn = A， limn →∞ yn = B，那么 （1） limn →∞ (xn ± yn ) = A ± B； （2） limn →∞ xn ∙ yn = A ∙ B ； （3） 当yn ≠ 0 n = 1，2， ⋯ 且 B ≠ 0 时， limn →∞
x xo
能使不等式 定义 2
设函数 f(x)当{x}大于某一正数时有定义。如果存
在常数 A，对于任意给定的正数 （不论它多么小） ，总存在 着正数 X，使得当 x 满足不等式 x X 时，对应的函数值 f(x)
都满足不等式
f ( x) A , 那么常数 A 就叫函数 f(x)当 x 时
第四节 无穷小与无穷大
一、无穷小 1、定义: 极限为零的变量称为无穷小. 定义1 如果对于任意给定的正数ε (不论它多么小),总存 在正数δ ( 或正数X ), 使得对于适合不等式 0< ������−������ ������ < ������ (或 x > ������)的一切x,对应的函数值f (x)都满 足不等式 ������ (������) < ������ , 那么 称函数 f (x)当x → x0 (或x→ ∞)时为无穷小, 记作 limx →x 0 f x = 0(或 limx →∞ f x = 0 例：∵ limx →0 sinx = 0，∴ 函数 sin x 是x → 0时的无穷小 ∵ limx →∞ = 0 , ∴ 函数 是当x → ∞时的无穷小 ∵ limx →∞

1

。由此可知，如果 X= 1 ，那么当

1 时，不等式 0 x
0。 成立，这就证明了 lim x
1 x
二．函数极限的定义 定理 1（函数极限的唯一性） 限唯一。 定理 2（函数极限的局部有界性）
f ( x) =A，那么存 如果 xlim xo f ( x) 存在，那么这极 如果 xlim xo
。
1 x sin x x
解：当x → ∞时， 为无穷小, 而sin x是有界函数 ∴ limx →∞ =0
定理 6 （复合函数的极限运算法则） 设函数 y = f g(x) 是由函数 u = g x 与函数 y = f u 复合而成，f g x 在点x0 的某去心领域内有定义，若 limx →x n g x = u0 ， limu →u 0 f u = A，且存在δ U x 0 ，δ
( n 1,2,3) lim z n a ,
n
那么数列xn 的极限存在, 且limn →∞ xn = a 准则Ⅰ′如果当 x U ( x0 , ) (或 x > ������)时,有
(1) g ( x ) f ( x ) h( x ), ( 2) x lim g ( x ) A, lim h( x ) A, x x x
第二节 数列的极限
一．数列函数极限的定义 定义 设{Xn}为一数列，如果存在常数 a，对于任意给定的
正数 （不论它多么小） ，总存在正整数 N，使得当 n>N 时， 不等式 Xn a 都成立， 那么就称常数 a 是数列{Xn}的极限， 或者称数列{Xn}收敛于 a,记为 Xn a(a ) 即 例
定理 3（收敛数列的保号性） 如果 lim Xn=a,且 a>0(或 a<0), n 那么存在正整数 N>0，当 n>N 时，都有 Xn>0(或 Xn<0)。 定理 4（收敛数列与其子数列间的关系） 如果数列{Xn}收
敛于 a，那么它的任一子数列也收敛，且极限也是 a。
第三节 函数的极限
一．函数极限的定义 定义 1 设函数 f(x)在点 Xo 的某一去心邻域内有定义，如
x →x 0 x →x 0
⋯ + an = f x 又设F x =
x →x 0 P x Q x
，且Q(x) ≠ 0，则有 limx →x 0 P x =
P x ， lim Q x = Q x ； 如果Q x = 0，则商的法则不能运用。 求极限方法举例：消去零因子；无穷小因子分出（以分母中 自变量的最高次幂除分子，分母，以分出无穷小，然后再求 极限。）
定理 4（函数极限与数列的关系）
f ( x) 存在， 如果极限 xlim xo
{xn}为函数 f(x)的定义域内任一收敛于 xo 的数列， 且满足： xn xo(n N )，那么相应的函数值数列{f(xn)}必收敛，且
lim f ( xn ) lim f ( x)
n x xo
( x )
0

( x )
0
那么lim 应用：
x →x 0 （x →∞）
f(x)存在, 且等于 A.
sinx x
limx →0
=1
sinx < ������ < ������������������������
cos x <
sin x x
<1
*准则Ι
及准则 Ι ’称为夹逼准则
准则������������ 单调有界数列必有极限 如果 xn 满足条件x1 ≤ x2 ≤ x3 ≤ ⋯ ≤ xn ≤ xn+1 ≤ ⋯， 就称 数列 xn 是单调增加的； 如果 xn 满足条件x1 ≥ x2 ≥ x3 ≥ ⋯ ≥ xn ≥ xn+1 ≥ ⋯ ，就 称数列 xn 是单调减少的。 单调增加单调减少的数列统称为单调数列。 例：求limx →∞ (1 − )x
在常数 M>0 和 >0，使得当 0< x xo 时，有 定理 3(函数极限的局部保号性)
f ( x) M.
f ( x) =A， 如果 xlim 且 A>0(或 xo
A<0),那么存在常数 >0,使得当 0< x xo 时，有
f ( x) 0(或f ( x) 0) 。
果存在常数 A,对于任意给定的正数 （不论它多么小） ，总存 在正数 ，使得当 x 满足不等式 0< x xo 时，对应的函数值 f(x)都满足不等式