投影图在分子结构及晶体结构学习中的应用
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密堆积 中空隙的分布情况。下面从 ４ 个方面举例说明。
１ 分 子对称 性
分子点群的判断是分子对称性学习中的重点和难点， 特别是 Ｄ类点群中的 ｃ 副轴 ， 学生 往往不容易找到。利用分子沿主轴方向的投影图可以很好地解决此问题。如图 １ 所示的分子
０ ２ ｃ 轴
图 １ 属于 Ｄ： 点群的分子及其投影 图
中心与 １３层 中 的碳 原 子 重 合 ， 围 有 ３根 实 线 和 ３根 虚 线 ； 一 类 周 围 只有 ３根 虚 线 。 所 、 周 另
以， 在石墨的周期性结构中， 存在 ４类环境不 同的碳原子。将点阵点放在 １２３ 、、 层都有原子 的 位置 ， 划出一个如图 ４ 粗线所示 的平行四边形单位 ， 即为一个石墨晶胞沿 ｃ 向的投影 图。从 方
图 ４ 石 墨沿 ｃ方向的投影图
图４ 是石墨沿 ｃ 方向的投影 图。第 １３层的碳原子中心完全重合 ， 、 为了区别 ， 分别用小黑 球和 白 球代表 ， 碳原子 间用实线相连 ； ２ 中的碳原子用大黑球代表 ， 第 层 碳原子间用虚线相 连。 可 以看出， １３层中的碳原子分为两类， 第 、 一类 中心与第 ２层原子重合 ， 围有 ３根实线和 ３ 周 根虚线 ； 另一类没有与第 ２层原子重合 ， 周围只有 ３根实线。第 ２层碳原子也分 为两类 ， 一类
习时往往不容易掌握 ， 尤其是手边没有模型时。如对于六方晶系的金属镁和石墨 ， 为什么金属 镁中 ２ 个镁原子为一个结构基元 ， 石墨中 ４ 个碳原子为一个结构基元？按照点阵的定义 ， 点阵
６ ５
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Ｈ
（ Ｄ）
Ｏ ２ Ｃ 轴
／ Ｃ Ｃ 、 ． Ｃ ｃ ｃ Ａ ，Ｈ ＼ 、
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第２卷 第３ １ 期
大 学 化 学
２６ 月 ０ 年６ ０
雠 图子 及 结 投 在 结 晶构 影 分 构 体
学 习 中 的应 用
钱民协 段连运
北京 １０７ ） ０８ １
朱月香
（ 北京 大学化学 与分子工程学院
摘要
介绍投影 图在展示分子及 晶体 中的对称元素 、 点阵抽取及 了解密堆积 中空隙分布情况
对称 元 素没有 画出 。 ４ 密 堆积 中的 空隙
图３ 所示 的金属镁 为六方密堆积结构。可通过此投影 图分析密堆积中空隙的种类 、 数量 和分布。先看四面体空隙。四面体可由 ３ 白球和 １ 个 个黑球或 ３个黑球和 １ 白球组成 ， 个 只
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是四面体的顶点一个 向里 ， 一个向外。因此 ， 投影图上所有球心的位置也是 四面体空隙中心的
属于 Ｄ 点群 ， 沿通过两个苯环连线的 ｃ轴投影 ， 可以很清楚地展示两个副轴的位置。图 ２中 Ａ— ｃ所示属于 Ｄ 点群的分子也都可从 图 ２Ｄ中所示 的投影图看出其 ｃ轴的分布。 一
２ 点阵 的抽 取
周期性结构点阵的抽取和结构基元的划分是晶体结构学习中最基本的内容 ， 学生开始学
原子周围有 ６个原子 ， 但沿 ｃ 向的原子排布不 同。Ａ层原子周 围的 ３个 Ｂ层原子组成一个 方
向下的三角形 ， Ｂ 而 层原子周围的 Ａ层原子组成一个 向上 的三角形。由此可知 ， 金属镁 的晶
体中存在两类环境不同的原子。将点阵点放在 Ａ层原子所在 的位置 ， 划分出一个只含一个点 阵点的平行 四边形单位 ， 即可看为金属镁一个六方晶胞沿 ｃ 向的投影 图。其 中含有位于晶 方
个八面体空隙。而八面体空隙是由 ６ 个球组成的， 以 １ 所 个球平均 占有 １ 个八面体空隙。
６ ７
图 ２ 属于 Ｄ：点群 的分 子及其投影 圈
点所处的环境要完全相 同。利用这两种晶体沿 ｃ 方向的投影 图可以很清楚地看 出各原子所处 的环境 ， 将点阵点放在环境完全相同的一类原子上 ， 便可抽 出点阵 ， 划分 出只含一个点阵点的 点阵单位 ， 就可确定结构基元 。
图３ 是金属镁沿 ｃ 方向的投影图。可以看 出， 虽然每层中镁原子 的环境都 相同， 都是每个
中可以看出， 晶胞中含有 ４ 个碳原子 ， 坐标分别为 ： ， ， ； ，，／ ； ３ ２３ ０ ２３ １３ １２ ０ ０ ０ ０ ０ １２ １ ，／ ， ；／ ， ，／ 。 ／ ／ 这４ 个碳原子组成一个结构基元。
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３ 晶胞中对称元素的位置
个 四面体 空 隙。
用同样 的方法可分析八面体空隙的情况。八面体空隙由 ６ 个球紧密堆积形成 ， 个在上 ， ３
３个在下 ， 相互错开 ６ 。 Ｏ 。图３中由 ３ 白球组成的三角形空隙中心 ， 个 也是 ６螺旋轴的位置 ， ， 即
为八面体 中心的位置 ， 如图中虚线所示。１ 白球周围有 ３个这样 的位置 ， 个 也就是说 ， 个 白球 １ 与上层黑球之 间有 ３ 个八面体空隙 ， 与下层黑球之间也有 ３ 个八面体空隙， １ 即 个球周围有 ６
胞顶点位置的一个镁原子和一个位 于晶胞 内部坐标为 （／ ，／ ， ２ 的镁 原子 ， 即为金属 １３ ２３ １ ） ／ 此 镁周期性结构的结构基元。
白球代表 Ａ 层原子 ，黑球代表 Ｂ层原子
小黑球代表第 １ 原子 ， 层 大黑球代表第 ２层原子 白球代表第 ３ 层原子
６ 旋转轴 ３
图 ３ 金属镁沿 ｃ方向的投影图
Ｏ Ｏ ● ●
Ｏ １４ ／ ２４ ， ３４ ／
◆ ４螺旋轴 １
４螺旋轴 ３
图 ５ 金刚石沿 ｃ 向的投影图 方
数 字为各 球在 ｃ 轴上 的坐标
图５ 是金 刚石沿 ｃ 向的投影图。球的颜色深浅代表原子在 ｃ 向上的坐标。从图 ５可 方 方 以看 出， 在左右 中线 ４个原子的中心点周 围的 ４ 个原子相互错 开 ９ 。原子在 ｃ 向上的坐标 Ｏ， 方 沿逆时针方向由 Ｏ ／ —２４ ／ 一１４ ／ ４逐渐增加， 因此 ， 通过这两点平行 ｃ 向的轴即为 ４螺旋 方 。 轴。与此类似 ， 通过上下中线 ４ 个原子的中心点平行 ｃ 向的轴为 ４螺旋轴。其他位置上 的 方 ，
等方 面的应用 。
分子结构和晶体结构是结构化学的主要内容， 对称性概念和原理对 于探讨分子及晶体 的
结构和性质至关重要。研究分子及 晶体 的对称性 ， 需要 了解分子及 晶体 中原子的空间排布和
几何构型 ， 常常需要借助具体模 型才容易找到其 中的对称元素及有关信息。我们在教学过程 中发现 ， 利用投影图可以很清楚地展示分子及晶体中的对称元素， 也有助于点阵的抽取和了解
位置。以一个 Ａ层球为例 ， 它与上面 Ｂ层球之间共有 ４个四面体空隙 ， 中３ 其 个是由３ 白球 个 和１ 个黑球组成、 ＇ 中１ ５ 、 在黑球位置 的向上的四面体 ； 还有 １ 个是 由 ３个黑球和 １ 白球组成、 个 中心在 白球位置的向下的四面体。同理 ， 个 Ａ层球与下面 Ｂ层球之间也有 ４个 四面体空隙。 １ 这样 ， 个球周围有 ８ 四面体空隙， １ 个 而四面体空隙是由 ４ 个球组成 的， 所以 １ 个球平均占有 ２
利用投影 图还可以清楚地看出晶胞 中对称元素的位置。仍以图 ３ 为例。金属镁 中有 ６螺 ， 旋轴， 通过图中由３ 白球组成 的三角形 的中心 ， 个 平行 ｃ 。由图 ３可以看 出， 轴 在此三角形中
心的周围还有 由３ 个黑球组成 的一个向上的三角形 。由白球组成的三角形绕通过其 中心 、 平 行于 ｃ 向的轴旋转 ６ 。 方 Ｏ 即与 由３个黑球组成 的三角形重合， 而黑球与 白球在 ｃ 方向上相差 １２ １３６ 所 以此轴为 ６螺旋轴。其他位置上的对称元素没有画出。 ／ ，Ｉ／ ， ／ ］ ，
１ 分 子对称 性
分子点群的判断是分子对称性学习中的重点和难点， 特别是 Ｄ类点群中的 ｃ 副轴 ， 学生 往往不容易找到。利用分子沿主轴方向的投影图可以很好地解决此问题。如图 １ 所示的分子
０ ２ ｃ 轴
图 １ 属于 Ｄ： 点群的分子及其投影 图
中心与 １３层 中 的碳 原 子 重 合 ， 围 有 ３根 实 线 和 ３根 虚 线 ； 一 类 周 围 只有 ３根 虚 线 。 所 、 周 另
以， 在石墨的周期性结构中， 存在 ４类环境不 同的碳原子。将点阵点放在 １２３ 、、 层都有原子 的 位置 ， 划出一个如图 ４ 粗线所示 的平行四边形单位 ， 即为一个石墨晶胞沿 ｃ 向的投影 图。从 方
图 ４ 石 墨沿 ｃ方向的投影图
图４ 是石墨沿 ｃ 方向的投影 图。第 １３层的碳原子中心完全重合 ， 、 为了区别 ， 分别用小黑 球和 白 球代表 ， 碳原子 间用实线相连 ； ２ 中的碳原子用大黑球代表 ， 第 层 碳原子间用虚线相 连。 可 以看出， １３层中的碳原子分为两类， 第 、 一类 中心与第 ２层原子重合 ， 围有 ３根实线和 ３ 周 根虚线 ； 另一类没有与第 ２层原子重合 ， 周围只有 ３根实线。第 ２层碳原子也分 为两类 ， 一类
习时往往不容易掌握 ， 尤其是手边没有模型时。如对于六方晶系的金属镁和石墨 ， 为什么金属 镁中 ２ 个镁原子为一个结构基元 ， 石墨中 ４ 个碳原子为一个结构基元？按照点阵的定义 ， 点阵
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／ Ｃ Ｃ 、 ． Ｃ ｃ ｃ Ａ ，Ｈ ＼ 、
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大 学 化 学
２６ 月 ０ 年６ ０
雠 图子 及 结 投 在 结 晶构 影 分 构 体
学 习 中 的应 用
钱民协 段连运
北京 １０７ ） ０８ １
朱月香
（ 北京 大学化学 与分子工程学院
摘要
介绍投影 图在展示分子及 晶体 中的对称元素 、 点阵抽取及 了解密堆积 中空隙分布情况
对称 元 素没有 画出 。 ４ 密 堆积 中的 空隙
图３ 所示 的金属镁 为六方密堆积结构。可通过此投影 图分析密堆积中空隙的种类 、 数量 和分布。先看四面体空隙。四面体可由 ３ 白球和 １ 个 个黑球或 ３个黑球和 １ 白球组成 ， 个 只
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是四面体的顶点一个 向里 ， 一个向外。因此 ， 投影图上所有球心的位置也是 四面体空隙中心的
属于 Ｄ 点群 ， 沿通过两个苯环连线的 ｃ轴投影 ， 可以很清楚地展示两个副轴的位置。图 ２中 Ａ— ｃ所示属于 Ｄ 点群的分子也都可从 图 ２Ｄ中所示 的投影图看出其 ｃ轴的分布。 一
２ 点阵 的抽 取
周期性结构点阵的抽取和结构基元的划分是晶体结构学习中最基本的内容 ， 学生开始学
原子周围有 ６个原子 ， 但沿 ｃ 向的原子排布不 同。Ａ层原子周 围的 ３个 Ｂ层原子组成一个 方
向下的三角形 ， Ｂ 而 层原子周围的 Ａ层原子组成一个 向上 的三角形。由此可知 ， 金属镁 的晶
体中存在两类环境不同的原子。将点阵点放在 Ａ层原子所在 的位置 ， 划分出一个只含一个点 阵点的平行 四边形单位 ， 即可看为金属镁一个六方晶胞沿 ｃ 向的投影 图。其 中含有位于晶 方
个八面体空隙。而八面体空隙是由 ６ 个球组成的， 以 １ 所 个球平均 占有 １ 个八面体空隙。
６ ７
图 ２ 属于 Ｄ：点群 的分 子及其投影 圈
点所处的环境要完全相 同。利用这两种晶体沿 ｃ 方向的投影 图可以很清楚地看 出各原子所处 的环境 ， 将点阵点放在环境完全相同的一类原子上 ， 便可抽 出点阵 ， 划分 出只含一个点阵点的 点阵单位 ， 就可确定结构基元 。
图３ 是金属镁沿 ｃ 方向的投影图。可以看 出， 虽然每层中镁原子 的环境都 相同， 都是每个
中可以看出， 晶胞中含有 ４ 个碳原子 ， 坐标分别为 ： ， ， ； ，，／ ； ３ ２３ ０ ２３ １３ １２ ０ ０ ０ ０ ０ １２ １ ，／ ， ；／ ， ，／ 。 ／ ／ 这４ 个碳原子组成一个结构基元。
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３ 晶胞中对称元素的位置
个 四面体 空 隙。
用同样 的方法可分析八面体空隙的情况。八面体空隙由 ６ 个球紧密堆积形成 ， 个在上 ， ３
３个在下 ， 相互错开 ６ 。 Ｏ 。图３中由 ３ 白球组成的三角形空隙中心 ， 个 也是 ６螺旋轴的位置 ， ， 即
为八面体 中心的位置 ， 如图中虚线所示。１ 白球周围有 ３个这样 的位置 ， 个 也就是说 ， 个 白球 １ 与上层黑球之 间有 ３ 个八面体空隙 ， 与下层黑球之间也有 ３ 个八面体空隙， １ 即 个球周围有 ６
胞顶点位置的一个镁原子和一个位 于晶胞 内部坐标为 （／ ，／ ， ２ 的镁 原子 ， 即为金属 １３ ２３ １ ） ／ 此 镁周期性结构的结构基元。
白球代表 Ａ 层原子 ，黑球代表 Ｂ层原子
小黑球代表第 １ 原子 ， 层 大黑球代表第 ２层原子 白球代表第 ３ 层原子
６ 旋转轴 ３
图 ３ 金属镁沿 ｃ方向的投影图
Ｏ Ｏ ● ●
Ｏ １４ ／ ２４ ， ３４ ／
◆ ４螺旋轴 １
４螺旋轴 ３
图 ５ 金刚石沿 ｃ 向的投影图 方
数 字为各 球在 ｃ 轴上 的坐标
图５ 是金 刚石沿 ｃ 向的投影图。球的颜色深浅代表原子在 ｃ 向上的坐标。从图 ５可 方 方 以看 出， 在左右 中线 ４个原子的中心点周 围的 ４ 个原子相互错 开 ９ 。原子在 ｃ 向上的坐标 Ｏ， 方 沿逆时针方向由 Ｏ ／ —２４ ／ 一１４ ／ ４逐渐增加， 因此 ， 通过这两点平行 ｃ 向的轴即为 ４螺旋 方 。 轴。与此类似 ， 通过上下中线 ４ 个原子的中心点平行 ｃ 向的轴为 ４螺旋轴。其他位置上 的 方 ，
等方 面的应用 。
分子结构和晶体结构是结构化学的主要内容， 对称性概念和原理对 于探讨分子及晶体 的
结构和性质至关重要。研究分子及 晶体 的对称性 ， 需要 了解分子及 晶体 中原子的空间排布和
几何构型 ， 常常需要借助具体模 型才容易找到其 中的对称元素及有关信息。我们在教学过程 中发现 ， 利用投影图可以很清楚地展示分子及晶体中的对称元素， 也有助于点阵的抽取和了解
位置。以一个 Ａ层球为例 ， 它与上面 Ｂ层球之间共有 ４个四面体空隙 ， 中３ 其 个是由３ 白球 个 和１ 个黑球组成、 ＇ 中１ ５ 、 在黑球位置 的向上的四面体 ； 还有 １ 个是 由 ３个黑球和 １ 白球组成、 个 中心在 白球位置的向下的四面体。同理 ， 个 Ａ层球与下面 Ｂ层球之间也有 ４个 四面体空隙。 １ 这样 ， 个球周围有 ８ 四面体空隙， １ 个 而四面体空隙是由 ４ 个球组成 的， 所以 １ 个球平均占有 ２
利用投影 图还可以清楚地看出晶胞 中对称元素的位置。仍以图 ３ 为例。金属镁 中有 ６螺 ， 旋轴， 通过图中由３ 白球组成 的三角形 的中心 ， 个 平行 ｃ 。由图 ３可以看 出， 轴 在此三角形中
心的周围还有 由３ 个黑球组成 的一个向上的三角形 。由白球组成的三角形绕通过其 中心 、 平 行于 ｃ 向的轴旋转 ６ 。 方 Ｏ 即与 由３个黑球组成 的三角形重合， 而黑球与 白球在 ｃ 方向上相差 １２ １３６ 所 以此轴为 ６螺旋轴。其他位置上的对称元素没有画出。 ／ ，Ｉ／ ， ／ ］ ，