平面向量习题整理

向量习题分类精选类型1. 向量的模点评：向量模的处理思路：几何法，平方，坐标 1. (2011·辽宁)若a ，b ，c 均为单位向量，且a·b ＝0，(a －c )·(b －c )≤0，则|a ＋b －c |的最大值为( B ) A.2－1 B ．1 C. 2 D ．22. 已知向量a ≠e ，|e |＝1，满足：对任意t ∈R ，恒有|a －t e |≥|a －e |，则( C )A ．a ⊥eB ．a ⊥(a －e )C ．e ⊥(a －e )D ．(a ＋e )⊥(a －e )3. (16上期中)若向量,a b 满足|||2|2a a b =+=,则a 在b 方向上的投影的最大值是________.4. 设a ，b ，c 为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满足a 与b 不共线，a ⊥c ，|a |＝|c |，则|b ·c |的值一定等于( A )A ．以a ，b 为邻边的平行四边形的面积B ．以b ，c 为邻边的平行四边形的面积C ．以a ，b 为两边的三角形的面积D ．以b ，c 为两边的三角形的面积 5. 【2013，安徽理9】在平面直角坐标系中，o 是坐标原点，两定点,A B 满足2,OA OB OA OB ===则点集,1,,|P OP OA OB R λμλμλμ==++≤∈所表示的区域的面积是 （ D ）A ．B ．C ．D ．6. 【 2013湖南6】已知,a b 是单位向量，0a b =r rg .若向量c 满足1,c a b c --=则的取值范围是r r r ( A )A ．⎤⎦B ．⎤⎦C ．1⎡⎤⎣⎦D ．1⎡⎤⎣⎦7. 【2015湖南理2】已知点A ，B ，C 在圆221x y +=上运动，且AB BC ⊥，若点P 的坐标为(2,0)，则PA PB PC ++的最大值为（ B ）A.6B.7C.8D.98. 【2013重庆，理10】在平面上，12AB AB ⊥，121OB OB ==,12AP AB AB =+.若12OP <，则OA 的取值范围是（ D ）A 、⎛ ⎝B 、C 、D 、 9. 【 2014湖南16】在平面直角坐标系中,O 为原点,()),0,3(),3,0(,0,1C B A -动点D 满足CD =1，则OA OB OD ++的最大值是_________.110. 【2015高考浙江，理15】已知12,e e 是空间单位向量，1212e e ⋅=，若空间向量b 满足1252,2b e b e ⋅=⋅=，且对于任意,x y R ∈，12010200()()1(,)b xe ye b x e y e x y R -+≥-+=∈，则0x =___．0y =__．b =__．1，2，22.11. 【2013高考重庆理第10题】在平面上，1AB ⊥2AB ，|1OB |＝|2OB |＝1，AP ＝1AB ＋2AB .若|OP |＜12，则|OA |的取值范围是( D )．A ．⎛ ⎝B ．C ．D ．12. 已知ABC ∆中，||3,||4AB AC ==，点O 是ABC ∆所在平面内一点.若||||||OA OB OC ==，且()12AO AB AC R λλλ-=+∈，则cos BAC ∠= . 13. （2017届武汉市二月调考.理11）已知,为两个非零向量，且2||=，2|2|=+，则|||2|n n m ++的最大值为（ D ）A ．24B ．33C ．237 D ．338 类型2. 平面向量基本定理，基底转化，双参数问题常见处理方法:线性运算（加、减、数乘）直接转化；待定系数法；方程组法。

14. 【2013年.浙江卷.理17】设21,e e 为单位向量，非零向量21e y e x +=，x ，y ∈R.若21,e e 的夹角为π6，则||b 的最大值等于__________．215. 如图，在△ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB 、AC 于不同的两点M 、N ，若AB →＝mAM →，AC →＝nAN →，则m ＋n 的值为________．2点评：三点共线经常作为隐含信息出现，不容易察觉。

16. 在边长为1的正ABC ∆中，向量,x =,y =0,0>>y x ，且,1=+y x 则⋅的最大值为________.点评：思路1.基底法.可选取,BC BA 为基底. 思路2.坐标法，关键是D,E 两点坐标表示.17. 如图所示，平面内有三个向量OA →、OB →、OC →，其中OA →与OB →的夹角为120°，OA →与OC →的夹角为30°.且|OA →|＝|OB →|＝1，|OC →|＝2 3.若OC →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，则λ＋μ的值为______．λ＋μ＝6.18. 给定两个长度为1的平面向量OA →和OB →，它们的夹角为120°.如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上变动．若OC →＝xOA →＋yOB →，其中x ，y ∈R ，则x ＋y 的最大值是________．2点评：思路1.利用||1OC =,得221x y xy +=+，基本不等式求得（有漏洞：x 、y 可能为负数！）.思路2.坐标法，设(cos ,sin )C θθ，得2cos ,[0,]3x y πθθθ+=+∈求解. 思路3.几何法，设AB 交OC 于T ，,[1,2]OC OT λλ=∈，由A 、T 、B 三点共线得x y λ+=.19. (2019届高一3月考16)在扇形中，,120,1 =∠==AOB OB OA 点P 为弧AB 上的动点，点P 可与点A 或B 重合，若y x +=，则y x 4+的最大值为 。

7220. (2017届武汉四月调考理科16)已知ABC ∆的外接圆圆心为O ，且 60=∠BAC ，若),(R AC AB AO ∈+=βαβα，则βα+的最大值为 .3221. 在ABC ∆中，已知9AB AC ⋅=,sin cos sin B A C =⋅,6∆=ABC S ，P 为线段AB 上的一点，且||||=⋅+⋅CA CBCP x y CA CB 则xy 的最大值为（ C ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4点评：由条件可得，CA=3，CB=4.由三点共线可得0310434x x yy ⎛≤≤⎫⎧+=⎨ ⎪≤≤⎩⎝⎭，再消元或凑基本不等式求解.22. 【2014天津，理8】已知菱形ABCD 的边长为2，120BAD?，点,E F 分别在边,BC DC 上，BE BC l =，DF DC m =．若1AE AF?，23CE CF?-，则l m +=（ C ） （A ）12 （B ）23（C ）56 （D ）71223. 【2013山东，理15】已知向量AB 与AC 的夹角为120°，且|AB |＝3，|AC |＝2，若AP ＝λAB ＋AC ，且AP ⊥BC ，则实数λ的值为__________．71224. 如右图，//OM AB ，点P 在由射线OM 、线段OB 及AB 的延长线围成的阴影区域内（不含边界）运动，且OP xOA yOB =+，则x 的取值范围是____0x <______，当12x =-时，y 的取值范围是____ 13(,)22______.类型3. 向量数量积、（三点）共线定理、投影常见处理方法:定义，几何意义（投影），坐标，向量转化（基底）25. 在△OAB 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OD 是AB 边上的高，若AD →＝λAB →，则实数λ等于( B )A.a ·(b －a )|a －b |2B.a ·(a －b )|a －b |2C.a ·(b －a )|a －b |D.a ·(a －b )|a －b | 26. 正ABC ∆边长等于3，点P 在其外接圆上运动，则AP PB 的取值范围是（ ）A. ]23,23[-B. ]21,23[- OABP MC.]23,21[-D. ]21,21[-27. 已知ABC ∆中，,4,120,3AB AC BC BAC BE EC ==∠==，若P 是边BC 上的动点，求AP AE ⋅的取值范围.210[,]33-点评：思路1.基底法.注意A 、B 、P 三点共线的运用以及所设未知数范围的确定. 思路2.坐标法，以BC 为x 轴. 28. 【2015高考天津，理14】在等腰梯形ABCD 中,已知//,2,1,60AB DC AB BC ABC ==∠= ,动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上,且,1,,9BE BC DF DC λλ==则AE AF ⋅的最小值为__________．291829. 【2015高考福建，理9】已知1,,AB AC AB AC t t⊥== ，若P 点是ABC ∆ 所在平面内一点，且4AB AC AP AB AC =+ ，则PB PC ⋅ 的最大值等于（ A ）A ．13B ．15C ．19D ．2130. 【2014江苏，理12】如图在平行四边形ABCD 中，已知8,5AB AD ==，3,2CP PD AP BP =⋅=，则AB AD ⋅的值是 .2231. (2012·江苏)如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝2，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若AB →·AF →＝2，则AE →·BF →的值是________．232. 已知ABC ∆中，,4,120,3AB AC BC BAC BE EC ==∠==，若P 是边BC 上的动点，求AP AE ⋅的取值范围.210[,]33-点评：思路1.基底法.注意A 、B 、P 三点共线的运用以及所设未知数范围的确定. 思路2.坐标法，以BC 为x 轴.33. 在边长为1的正ABC ∆中，向量,x =,y =0,0>>y x ，且,1=+y x 则BE CD ⋅的最大值为________.点评：思路1.基底法.可选取,BC BA 为基底. 思路2.坐标法，关键是D,E 两点坐标表示.34. (16上期中)如图所示，在ABC ∆中，AD AB ⊥，且3,||1BC BD AD ==，则AC AD ⋅=点评：思路1.基底法.可选取,AB AD 为基底. 思路2.坐标法，关键是C 点坐标表示.ADCBP思路3.几何法，过C 作AD 的垂线，运用投影意义.类型4. 三角形形状、面积问题35. 【2015高考安徽，理8】C ∆AB 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足2a AB =，C 2a b A =+，则下列结论正确的是（ D ）（A ）1b = （B ）a b ⊥ （C ）1a b ⋅= （D ）()4C a b +⊥B 36. 已知ABC ∆中，22,AC AB BC ===，P 是ABC ∆内部一点，且PBC PCA PABS S S PA PB PB PC PC PA∆∆∆==⋅⋅⋅，则PA PB PC ++=（余弦定理，面积公式，面积和，三项和平方公式）37. 已知ABC ∆的面积为S ，α是三角形的某个内角，O 是平面ABC 内一点，且满足sin cos 0OB OC αα++=，则下列判断正确的是（ ）A. AOC S ∆的最小值为12SB. AOB S ∆的最小值为1)S -C. AOCAOB S S ∆∆+的最大值为12S D. BOC S ∆的最小值为1)S38. 【2014山东.理12】 在ABC ∆中，已知tan AB AC A ⋅=，当6A π=时，ABC ∆的面积为________.1639. (2013辽宁，理9)已知点O(0,0)，A(0，b)，B(a ，a3)．若△OAB 为直角三角形，则必有( C )．A ．b ＝a3B ．31b a a =+C ．331()0b a b a a ⎛⎫---= ⎪⎝⎭D ．3310b a b a a -+--=40. 在四边形ABCD 中，(1,1)AB DC ==，3||||BA BCBD BA BC +=，则四边形ABCD 的面积为41. ABC ∆的三边,,a b c 满足a b c ≥≥且sin sin sin log sin log sin 2log sin A B C B C A +=，则ABC ∆的形状是( D )A.锐角三角形B. 直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形42. 设P 是ΔABC 所在平面内的一点，且5AP 2AB AC=0--，则ΔPAB 与ΔABC 的面积之比为( C )A.13 B. 14C. 15D. 16 43. 【2013年.浙江卷.理7】设△ABC ，P0是边AB 上一定点，满足P0B ＝14AB ，且对于边AB 上任一点P ，恒有PB ·PC ≥0P B ·0P C ，则( D )． A ．∠ABC ＝90° B ．∠BAC ＝90°C ．AB ＝ACD ．AC ＝BC44. 设P 是△ABC 内任意一点，S △ABC 表示△ABC 的面积，λ1＝S △PBC S △ABC ，λ2＝S △PCA S △ABC ，λ3＝S △P ABS △ABC ，定义f (P )＝(λ1，λ2，λ3)．若G 是△ABC 的重心，f (Q )＝(12，13，16)，则( A )A ．点Q 在△GAB 内 B ．点Q 在△GBC 内 C ．点Q 在△GCA 内D ．点Q 与点G 重合类型5. 三角形“三线”、“四心”45. 在ABC ∆中，15,6,cos ,O 5AB AC A ===是ABC ∆的内心，若OP xOA yOB =+，其中,[0,1]x y ∈，则动点P 的轨迹所覆盖的图形的面积为（ A ）B.C.D.46. 已知A ，B ，C 是平面上不共线上三点，动点P 满足⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-+-=→→→→OC OB OA OP )21()1()1(31λλλ)0(≠∈λλ且R .则P 的轨迹一定通过ABC ∆的( C )A .内心 B. 垂心 C.重心 D.AB 边的中点47. 在△OAB 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OD 是AB 边上的高，若AD →＝λAB →，则实数λ等于( B )A.a ·(b －a )|a －b |2B.a ·(a －b )|a －b |2C.a ·(b －a )|a －b |D.a ·(a －b )|a －b |48. 已知C 为线段AB 上一点，P 为直线AB 外一点，I 为PC 上一点，满足||||PA PB -4=，10||=-PB PA ，||||PB PA =，且)0||||>+=λλAP AC ，||BA （ B ）A. 2B.3C. 4D. 5AB AC + ⎪⎝⎭类型6. 创新题、知识点综合49. (2012·安徽)在平面直角坐标系中，点O (0,0)，P (6,8)，将向量OP →绕点O 按逆时针方向旋转3π4后得向量OQ →，则点Q 的坐标是( A )A ．(－72，－2)B ．(－72，2)C ．(－46，－2)D ．(－46，2) 点评：思路1.三角函数的一般定义及和差公式. 思路2.向量夹角公式.50. 【2014年.浙江卷.理8】记,max{,},x x y x y y x y ≥⎧=⎨<⎩，,min{,},y x yx y x x y≥⎧=⎨<⎩，设,a b 为平面向量，则（ D ）A.min{||,||}min{||,||}a b a b a b +-≤B.min{||,||}min{||,||}a b a b a b +-≥C.2222min{||,||}||||a b a b a b +-≥+D.2222min{||,||}||||a b a b a b +-≤+51. 【2014上海,理16】如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB 是一条侧棱，,...)2,1(=i P i 是上底面上其余的八个点，则...)2,1(=⋅→→i AP AB i的不同值的个数为（ A ）（A ）1 (B)2 (C)4 (D)8 52. 【2014上海,理17】已知),(111b a P 与),(222b a P是直线y=kx+1（k 为常数）上两个不同的点，则关于x 和y 的方程组112211a x b y a x b y +=⎧⎨+=⎩的解的情况是（ B ）（A)无论k ，21,P P 如何，总是无解 （B)无论k ，21,P P 如何，总有唯一解 （C ）存在k ，21,P P ，使之恰有两解 （D ）存在k ，21,P P ，使之有无穷多解53. 【2013上海,理18】在边长为1的正六边形ABCDEF 中，记为A 为起点，其余顶点为终点的向量分别为a 1、a 2、a 3、a 4、a 5；以D 为起点，其余顶点为终点的向量分别为d 1、d 2、d 3、d 4、d 5.若m 、M 份别为(a i ＋a j ＋a k )·(d r ＋d s ＋d t )的最小值、最大值，其中{i ，j ，k }⊆{1,2,3,4,5}，{r ，s ，t }⊆{1,2,3,4,5}，则m 、M 满足( D ) A ．m ＝0，M ＞0 B ．m ＜0，M ＞0 C ．m ＜0，M ＝0D ．m ＜0，M ＜0 54. 【2015江苏高考，14】设向量a k (cos ,sin cos )(0,1,2,,12)666k k k k πππ=+=，则11k =∑(a k a k +1)的值为55. 【2014，安徽理15】已知两个不相等的非零向量,,b a 两组向量54321,,,,x x x x x 和54321,,,,y y y y y 均由2个和3个b 排列而成．记5544332211y x y x y x y x y x S⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=，min S表示S 所有可能取值中的最小值．则下列命题的是_________（写出所有正确命题的编号）．②④．①S 有5个不同的值．②若,⊥则min S③若,b a ∥则min S 0min >S ．C⑤若2min||2||,8||b a Sa ==，则与的夹角为4π 56. 平面向量的集合A 到B 的映射由()2()f x x x a a =-确定，其中a 为常向量.若映射f 满足()()f x f y x y =对,x y A ∈恒成立，则a 的坐标不可能是（ ）A.(0,0)B.C.D. 1(2- 57. 设1234,,,A A A A 是平面直角坐标系中两两不同的四点，若13121412(),()A A A A R A A A A R λλμμ=∈=∈，且112λμ+=，则称34,A A 调和分割12,A A .已知点(,0),(,0)(,)C c D d c d R ∈调和分割点(0,0),(1,0)A B ，则下面说法正确的是（ ）A.C 可能是线段AB 的中点B.D 可能是线段AB 的中点C.,C D 可能同时在线段AB 上D.,C D 不可能同时在线段AB 的延长线上 58. 如图，四边形ABCD 的对角线AC 和BD 交于O 点，AO OC =，BO OD =，又以DC 边的中点P 为圆心，DP 长为半径作圆P ，用向量知识解答下列问题：（1）证明：四边形ABCD 是平行四边形；（2）若圆P 的一直径MN 两端可在圆周上滑动，问：当直径MN 在什么位置时，AM BN ⋅与值最大.59. 如图，在Rt △ABC 中，已知BC=a ，若长为2a 的线段PQ 以点A 为中点，问PQ BC 与的夹角θ取何值时BP CQ ⋅的值最大？并求出这个最大值.A BC。