北京市海淀区北师特学校2013届高三第四次月考 理科数学

北师特学校2012—2013年度第一学期第四次月考

理科数学试题

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的

1、已知集合}|{2x y y M ==，}2|{22=+=y x y N ，则N M =（ ） A 、)}1,1(),1,1{(- B 、}1{ C 、]1,0[ D 、]2,0[

【答案】D

【解析】2

{|}{0}M y y x y y ===≥

，2

2

{|2}{N y x y y y =+==≤

，所以

{0M N y y =≤ ，选D.

2、已知复数

i z

z

=-+11，则z 的虚部为（ ）

A 、1

B 、1-

C 、i

D 、i - 【答案】A

【解析】由

i z

z

=-+11得

1(1)Z Z i

+=-，设

Z a

=+，则

1(1)(a b i a

b i i a i b ++=--=-+，所以11a b a b +=⎧⎨-=⎩，解得0

1a b =⎧⎨=⎩

，所以虚部为1，选A. 3、已知一个几何体是由上下两部分构成的组合体，其三视图如下，若图中圆的半径为1，等

（ ） A.

43π B.2π C.83π D.103

π

【答案】A

【解析】由三视图可知，该几何体上部分是一个圆锥，下部分是个半球，球半径为1，圆锥的

高为2h =

==，所以圆锥的体积为12233ππ⨯⨯=，半球的体积为2

3

π，所

以几何体的总体积为224333

πππ+=，选A. 4、方程2x xy x +=的曲线是 （ ）

A ．一个点

B ．一条直线

C ．两条直线

D ．一个点和一条直线 【答案】C

【解析】由2x xy x +=得(1)0x x y +-=，即010x x y =+-=或，为两条直线，选C. 5、已知正项数列{}n a 中，11=a ，22=a ，222112(2)n n n a a a n +-=+≥，则6a 等于

（A ）16 （B ）8 （C ）22 （D ）4 【答案】D

【解析】由222112(2)

n n n a a a n +-=+≥可知数列2{}n a 是等差数列，且以

211a =为首项，公差2221413d a a =-=-=，所以数列的通项公式为213(1)32n a n n =+-=-，所以26362=16a =⨯-，即64a =。选D.

6、已知双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>，过其右焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于

,M N 两点，O 为坐标原点.若OM ON ⊥，则双曲线的离心率为

（A （B （C （D

【答案】D

【解析】由题意知三角形OMN 为等腰直角三角形，所以MF OF c ==，所以点(,)M c c ，

代入双曲线方程22221c c a b -=，当x c =时，22221c y a b -=，得2b y a =，所以由2

b y

c a

=

=，

的2

b a

c =，即2222

,0c a ac c ac a -=--=，所以2

10e e --=，解得离心率e =

，

选

D.

7、△ABC 外接圆的半径为1，圆心为O ，且2O A A B A C

++=0

， ||||OA AB =

，则C A C B

⋅ 等于 （A ）3

2

（B

（C ）3 （D

）【答案】C

【解析】由2OA AB AC ++=0 得0OA AB OA AC OB OC +++=+=

，所以OB OC CO =-= ，即O 时BC 的中点，所以BC 为外接圆的直径,2BC =。则90BAC ∠= ，

因为OA AB = ，所以ABO ∆为正三角形，所以60,30ABO ACB ∠=∠=

，

且AC =

所以

cos30232CA CB CA CB === ，选C. 8、定义在R 上的函数⎪⎩

⎪

⎨⎧=≠-=)

2(1)2(2

1)(x x x x f ，则)(x f 的图像与直线1=y 的交点为

),(11y x 、),(22y x 、),(33y x 且321x x x <<，则下列说法错误的是（ ）

A 、142

32221=++x x x B 、0132=-+x x C 、431=+x x D 、2312x x x >+

【答案】D 【解析】由

1

12

x =-，得

21

x -=，解得

1

x =或

3

x =，当

2

x =时

1=y 。又3

21x x x <<，

所以

1231,2,3x x x ===，所以 13242x x x +==，所以D 错误，选D.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

9、已知点(2,)P t 在不等式组40,

30

x y x y --≤⎧⎨

+-≤⎩表示的平面区域内，则点(2,)P t 到直线

34100x y ++=距离的最大值为____________．

【答案】4

【解析】因为点(2,)P t 可行域内，所以做出可行域，由图象可知当当点P 位于直线30x y +-=时，即(2,1)P ，此时点P

到直线的距离最大为20

45

d =

=

=。

10、在△ABC

中，若π

,4

B b ∠==，则

C ∠= ． 【答案】712

π

【解析】根据正弦定理可得

sin sin a b A B =，

即s i n s i n 4

a A π

=，解得1sin 2A =，因

为b a =>，所以A B <，所以6

A π

=

，所以712

C A B ππ=--=

。 11、如图，BC 是半径为2的圆O 的直径，点P 在BC 的延长线上，PA 是圆O 的切线，点

A 在直径BC 上的射影是OC 的中点，则ABP ∠= ；

PB PC ⋅= ．

【答案】,126

π