圆的标准方程教案

2012级本科学生试讲

教

案

课题圆的标准方程

院部数学与信息科学学院

专业数学与应用数学

指导教师王亚雄

班级2012 级 1 班

姓名曾万春

学号20120241058

2015年5 月28日

§4.1.1圆的标准方程

教学目标：

1．知识目标 ①掌握圆的标准方程；

②会由圆的标准方程写出圆的半径和圆心坐标，能根据条件写出 圆的标准方程；

③利用圆的标准方程解决简单的实际问题. 2．能力目标 ①进一步培养学生用代数方法研究几何问题的能力；

②加深对数形结合思想的理解，加强对待定系数法的运用； ③增强学生应用数学知识的意识.

3．情感态度与价值观 ①培养学生主动探究知识、合作交流的意识；

②在体验数学美的过程中激发学生的学习兴趣.

教学重点与难点：

1.重点: 圆的标准方程的求法及其应用。

2.难点：①根据不同的已知条件及学会用待定系数法求圆的标准方程；

②选择恰当的坐标系解决与圆有关的实际问题.

教学方法

讲授法，问题驱动式教学方法等. 教学准备(教具)

直尺，圆规，彩色粉笔，多媒体课件等.

教学过程

（一） 回顾探索获得新知 首先回顾前几节课所学的知识 我们在前面学过，在平面直角坐标系中怎样确定直线以及直线方程的表示方法有哪些？

然后启发学生，圆的定义是什么？确定圆的基本要素是什么？

由此复习圆的定义：平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆 思考圆在直角坐标系下是怎样表示的？

在平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一个二元一次方程来表示，那么，圆是否也可用一个方程来表示呢？如果能，这个方程又有什么特征呢？

确定圆的基本条件为圆心和半径，设圆的圆心坐标为()b a A ,，半径为r 。（其中

r b a ,,都是常数，r >0）设()y x M ,为这个圆上任意一点，那么点M 满足的条件是（引

导学生自己列出）P ={M ||MA |=r },由两点间的距离公式让学生写出点M 适合的条

r = ①

化简可得：2

2

2

()()x a y b r -+-= ②

引导学生自己证明222()()x a y b r -+-=为圆的标准方程，得出结论。 方程②就是圆心为()b a A ,,半径为r 的圆的方程，我们把它叫做圆的标准方程。

思考：圆的方程形式有什么特点？当圆心在原点时，圆的方程是什么？ 方程特征：（1）二元二次方程，y x ,的系数均为1；

（2）含有r b a ,,三个参数；

（3）圆心()b a ,，半径为r （二） 应用举例巩固提高 I ．直接应用 内化新知

问题一 写出下列各圆的标准方程： （1）圆心在原点，半径为3； （2）经过点)1,5(P ，圆心在点)3,8(-C .

问题二 写出圆222)2()2(-=++y x 的圆心坐标和半径.

问题一是直接或间接的给出圆心坐标和半径求圆的标准方程，问题二是给出圆的标准方程求圆心坐标和半径，目的是先让学生熟练掌握圆的标准方程与两要素之间的关系，为后面的课本例题讲解及问题探究作准备。 II ．灵活应用 提升能力

例1：写出圆心为(2,3)A -

半径长等于5的圆的方程，并判断点12(5,7),(1)M M --是否在这个圆上。

222211122222A 2-35 (2)(3)25

(5,7)(2)(3)25(1)(2)(3)25x y M x y M M M x y M M -++=--++=--++=解：圆心是（，），半径长等于的圆的标准方程是把点的坐标代入方程，左右两边相等，

点的坐标适合圆的方程，所以点在这个圆上。

把点的坐标代入方程，左右两边不相等，点的坐标不适合圆的方程，所以点不在这个圆上。

例2.ABC ∆ 的三个顶点的坐标()()()8,2,3,7,1,5---C B A ，求它的外接圆的方程。

x

解：设所求圆的方程是r b y a x 2

2

2

)()

(=+--，因为()()()8,2,3,7,1,5---C B A 都

在圆上，所以将它们的坐标都代入方程（1），于是得到 所以所求圆的标准方程为：

25)3()

2(2

2

=++-y x （待定系数法）

想一想还有哪些方法可以求本题的圆的标准方程？

例3.已知圆心为C 的圆,L :01=+-y x 经过点()1,1A 和()2,2-B ,且圆心在L 上,求圆心为c 的圆的标准方程。

将例3作为本次课的作业，要求同学们运用例2的待定系数法和几何方法规范写出解题步骤。

（三）反馈训练形成方法

问题五.（1）圆心在 ｐ()3,2- ，半径长为4的圆的标准方程。

（2）求过原点和点),(11P ，且圆心在直线0132=++y x 上的圆的标准方程. 我设计两个小题作为巩固性训练，给学生一块“用武”之地，让每一位同学体验成功的喜悦，增强学习数学的信心。 （四）课堂小结

（1）通过本节课的学习，你学到了那些知识？ （2）通过本节课的学习，你最大的体验是什么？ （3）通过本节课的学习，你掌握了哪些技能？ 总结：1．掌握圆的标准方程是222()()x a y b r -+-=。

2．正确写出圆的标准方程以及指出点()r b a 、,分别表示圆心坐标和圆的半径； 3．掌握待定系数法和几何方法求圆的标准方程 （五） 布置作业:

巩固型作业：课本第120页例3，第124页习题1.4A 组第1、2题 思维拓展作业：想一想把圆的标准方程展开后是什么形式？

⎪⎩⎪⎨⎧=--+-=--+-=-+-222222222)8()2()3()7()1()5(r b a r b a r b a 23

5a b r =⎧⎪⇒=-⎨⎪=⎩