概率论与数理统计练习册答案(1-4)全解

概率论与数理统计练习册答案（1-4单元）
第一单元 A 卷
1解（1）有两种可能性30 30 10，50 10 10 P=
2
11
252
53
3
10
357
12024
C C
C C
C ?
=
=
（2）用对立事件做 P=1
1
153
2
310
314
C C C
C
创-
=
2解： 由题意
产品的合格率为96%
合格产品中的一等品率为75%
则出厂产品的一等品率P=96%*75%=72%
所以在该厂产品中任取一件是一等品的概率为72%。

3解： 乙选手输掉一分有两种情况：
第一种是乙第一次回球就失误，所以P1=0.3;
第二种是乙第二次回球才失误，所以P2=0.7*0.6*0.5=0.21; 因此乙选手输掉一分的概率P=P1+P2=0.51。

4. 解： P(AUBUC)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(AC)+P(ABC) =1/4+1/4+1/4-1/6-1/6=5/12
则A 、B 、C 全不发生的概率为1-P(AUBUC)=1-5/12=7/12。

5解：令事件B 为被射中
事件A 1表示甲射中乙没中 事件A 2表示乙射中甲没中 事件A 3表示俩人都中 则
P （
13()A A B
+）=
13()()
()
P A B P A B P B +=
1133112233()()()()
()()()()()()
P B A P A P B A P A P B A P A P B A P A P B A P A ? ?? =
0.60.60.50.40.5
0.60.5
?? =0.75
7.解：设A i 为第一次抽到的新球个数。

B 为3只球为新球。

P （A 0）=0396315C C C ，P （A 1）=12
96315C C
C
P （A 2）=2196315C C C ´，P （A 3）=3096
3
15
C C C ´
P （0A B ）=
3
1539C
C
，P （1
A B ）=
3
1538C
C
P （2
A B ）=
3
15
37C
C
，P （3
A B ）=
3
15
36C
C
P （B ）=P （0
A B ）´P （A 0
）＋P （1
A B ）´P （A 1
）＋P （2
A
B ）´P （A 2）
＋P （
3
A
B ）´P （A 3）＝0.089
四．1．证明重要公式：P(A-B)=P(A)P - (AB);(或P(AB)=P(A) -P(AB));
2．设P(A)=0.7，P(A -B)=0.3，求P(AB ) 解：1．证明：因为A=A B ÈAB
所以P （AB ）= P （AB AB È）= P （AB ）+P （AB ）P - (AB Ç
AB)
又因为AB
Ç
AB=Æ
所以P （A ）= P （AB ）+P （AB ）
所以P （AB ）= P （A ）- P （AB ）即P （A -B ）=P （A ）-P （AB ） 2．由1可得，P （AB ）= P （A ）-P （A -B ）=0.4 所以P(AB )=1-P(AB)=0.6（画图可帮助解题）
五．解：设事件A 为取到白球
球分放在箱子中一共有四种情况：
I. 一只箱子中没球，另一只箱子中4个球：P （A ）=1/2*2/4=1/4 II. 一只箱子中1只白球，另一只箱子中其他三只球：P （A ）
=1/2+1/2*1/3=7/12
III. 一只箱子中一只黑球，另一只箱子中其他三只球：P （A ）
=1/2*2/3=1/3
IV.
一只箱子中2只白球，另一只箱子中两只黑球：P （A ）=1/2
B 卷
三、计算题
1、① P=C 110C 4924/C 206=0.52 先从10双中取1双，再从剩下的9双中取4双，最后从4双中取每双中的一只
② P=1-C 61026/C 620=0.653 考虑对立面，即没有两只能够配成对，先从10双中取6双，再从6双取每双的一只
2解：由P(B|A )=
)
()(A P A B P =
1
.0)(A B P =0.4
得()
A B P =0.04，又由)(A B P =P(B)-P(AB)=0.75-P(AB)=0.04 故 P （AB ）=0.71
3、解：记“甲获胜”为事件A,“乙获胜”为事件B 由题意得P(A)=
23211151515
()()()()...()()6666666
n n -++++ P(B)= 223315151515()()()()()()...()()66666666
n n
++++
两式相比得()5()6P A P B =故65
(),()1111P A P B ==
4解：若采用第一种 设A 为“不产出废品”
P(A ）=97%⨯96%⨯95%=0.88464
若采用第二种 设B 为“不产出废品” P(B)=93%⨯93%=0.8649
P(A)>P(B) 应采用第一种 5 P （A 0）=
1
2
1
2
1
1
2
2
1
1
2
2
()()
n
n
n n m n m n
m n m n ?
++++
1
2
1
2
1
2
1
2
11
1
2
2
1
1
22
1
1
2
2
()()()
P m n n
m m n n m A m n m n
m n m n
m n m n +=??
++++++ 1
2
1
2
21
1
2
2
1
1
2
2
()()()
P m m m m A m n m n
m n m n =
?++++ )|(0A B P =0)|(1A B P =2
1
1)|(2=A B P P(B)=
)
(0A P )|(0A B P +
)
|()()|()(2211A A A A B P P B P P +=
121
2
2
1
1
1
2
2
22()()
m m m n m n m n m n +
+++
6．解：设1A 表示取出的一只元件为正品，2A 表示取出的为次品。

B 表示一只元件经检验为正品的事件。

C 表示产品能出厂。

则 ()()()121296%,4%(|)0.99,|0.05
P A P A P B A P B A ====
()()()()()112296%0.994%0.05
0.9524P B P A P B A P A P B A =+=??
由题可知，产品要出厂则三只元件皆需被检验为正品。

则()()()()30.95240.8639P C P B P B P B === 答：这批产品能出厂的概率为0.8639。

四．设事件A 、B 满足0<()P A <1,()P B >0，()()P B A P B A =，证明A 、B 独立。

证明：由题()()||P B A P B A =()()
()()P BA P AB P A P A ?
由公式可知：
()()()()()
1P B A P B P AB P A P A =-=-
代入式子中可得：
()()()()
()
1P AB P B P AB P A P A -=
- ⇒ ()()()()()()()P A P B P A P AB P AB P A P AB -=- ⇒ ()()()P AB P A P B = 则A 、B 独立得证。

五解：（1）设A i 为第i 个箱子，i=1,2；P(A 1)=1/2 P(A 2)=1/2
B 为先取出的零件是一等品 P(
A
1
|B)=1/5 P(
A
2
|B)=3/5
故p=P(B)=P(A 1)P(A 1|B )+P(A 2)P(A 2|B )=2/5
（2）设C 为在先取出的零件是一等品的条件下，第二次取出的零件仍
然是一等品 q=P(C/B)=P(BC)/P(B)
P(BC)=P(BC|A 1)+P(BC|A 2)=1/2*1/5*9/49+1/2*3/5*17/29 故q=(1/2*1/5*9/49+1/2*3/5*17/29)/(2/5)=0.4856
C 卷
1解：（1）1P =
10
9
6
4
26C =0.0984 （2）2P =
10
6
6
10
A =0.1512
（3）3P =
()
1211314106994896
10
C C C C C C A ++=0.4982
（4）4P =1-2P =0.8488
分析：一位乘客离开有10种方式，6位乘客就有106
种可能。

（1）从6位乘客中选出2位在指定的一层中离开，另外4人各有9种方式离开。

（2）6位乘客分别在不同楼层离开，从10层中有顺序选出6个。

（3）恰有两位在同一层离开，从6个人中选出两个在10层中的任一层离开。

其余四个可在同一层离开，或三个人一起离开另外一个独自走，或四个人各自在不同层离开。

（4）是（2）的对立事件。

2.解；一枚色子（骰子）掷两次，其基本事件总数为36.方程组有实根的充分必要条件是
B 平方>=4
C 或 C<=B 平方/4 易见
-------------------------------------------------------------- B 1 2 3 4 5 6 -------------------------------------------------------------- 满足B 平方>=4C 的基本事件个数 0 1 2 4 6 6 -------------------------------------------------------------- 满足 C<=B 平方/4 的基本事件个数 0 1 0 1 0 0 -------------------------------------------------------------- 由此可见，使方程有实根的基本事件的个数为 1＋2＋4＋6＋6＝19， 因此
该方程有实根的概率P1=19/36
方程有重根的充分必要条件是 B 平方=4C 或 C=B 平方/4 满足此条件的基本事件共有2个，因此 该方程有重根的概率P2=2/36=1/18 3.所以具体求解如下：
设i A 表示“含主对角线上的第i 个元素”（i=1,2,3....,n ）,则P(i A )=
1n ,P(i j A A )=P(i A )P(|j i A A )=1
n
*11
1(1)
n n n =--,P(i j k A A A )=1
(1)(2)n n n --,....,P(12...n A A A )=1!n ,故P(1A +2...n A A ++)=1
n
åP(i A )—
1()
i j i j n
P A A ? å
+
1()
i j k i j n
P A A A ? å
+....+
112(1)(...)
n n p A A A --=1—
11111
...(1)2!3!4!!
n n -+-++-
二．求下列概率
1、解：设正方形的边长为a ，则可得
记事件A=“该点位于给定圆内接正方形内” 则P （A ）=
S S 正圆
=222R R
p =2p 2、解：记随机取的两数分别为x ，y 则可得如下的图
三．设P(A)=P(B)=P(C)=p ，P(AB)=P(BC)=P(AC)=q ，P(ABC)=r,且2p-q 1，求P(C|B A )。

解.P(C B A )=P(C)-P(C(A+B))=P(C)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)=p-2q+r P(B A )=1-P(A ÈB)=1-2p+q \P(C|B A )=P(C B A )
P(B A )=
212p q r
q p
-++-
四. 解.设A 为取出第一件为正品，B 为取出第二件为正品 P (|)AB A B È=()
()
P AB P A B È
P （B A ）=
432109
15? P （A B È）=1-6
510
9´
=3
2 \P (|)AB A B È=
()()P AB P A B È=5
1
五、解：由题得：(|)1(|)(|)P A B P A B P A B =-=
()()()()
()()1()
P AB P AB P A P AB P B P B P B -\
==-
满足两数之和超过13的是S =12S S - 21111
23318
S =创= 记事件A=“两数之和超过13
”
则 P(A)=
1
S S =1
1181
-
=1718
()[1()]()[()()]
()()()()()()()
()()()P AB P B P B P A P AB P AB P AB P B P B P A P AB P B P AB P A P B A B \-=-\-=-\=\与相互独立
六、解：（1）设事件A ：“有机床需要工人照管” P （A ）=1-0.8*0.9*0.6=0.568
(2)机床会停工是因为只有一人照管三台机床，如果两台以上机床需照管就会导致人手不够。

设事件B ：“机床因无人照管而停工”
P(B)=0.2*0.1*0.6+0.2*0.9*0.4+0.8*0.1*0.4+0.2*0.1*0.4 =0.12+0.072+0.032+0.008 =0.124
七．解：令A 1表示第二次后白球在甲袋中 A 2表示第二次后白球在乙袋中 B 表示黑球最后出现在甲袋中
P （A １）＝(0.9)2+(0.1)2=0.82 P(A 2)=1-P(A 1)=0.18 P(1|B A )=0.9 P(2
A
B )=0.1
P(B)=P(
1
A B )´
P(A 1)+P(
2
A
B )´P(A 2)=0.820.9
0.180.1? =0八
解：设Hi 表示“报名表是第i 个地区考生的”（i=1,2,3），
Aj 表示“第j 次抽到的男生的报名表”（j=1,2），则
（1） p=P(A 1)=3
1
()(|)Hi Hi i p p A =å=0.0642
0.0642\先抽到的一份是女生表的概率为
(2)P(2H |A)=
22()(|)
0.009()
H H P P A P A =
0.009\先抽到的一份是女生表的概率为
九证明：父亲 母亲 儿子三者，儿子的实力最强，父亲与母亲的实力未知，为方便计算假设父亲与母亲的实力相当。

设儿子胜父亲、母亲的概率为1/a,父亲胜母亲的概率为1/2，父亲、母亲胜儿子的概率为1/b （1/a+1/b=1且1/a>1/b ）。

父亲胜的概率：1/2×1/b=1/2b 母亲胜的概率：1/2×1/b=1/2b 儿子胜的概率：1/a ×1/a=1/a 2
若第一局就分出胜负，无论哪两个人先比赛，每人的胜率为定值（如上）。

所有决策无效。

（II ）
若第一轮未分出胜负，进入第二轮则决策生效，按照父亲的决策，最后的胜者非父即母。

首先第一局未决出胜负的概率为：1-1/b-1/a 2 此局父胜与母胜的概率均为1/2。

则此种情况下父亲为最后胜者的概率为1/2（1-1/b-1/a 2） 母亲为最后胜者的概率为1/2（1-1/b-1/a 2）
综上所述，此种决策下父亲的胜率为：1/2（1-1/b-1/a 2）+1/2b=1/2-1/2a 2
另： 若父子先比赛，父亲的胜率为：1/b （1-1/b-1/a 2）+1/2b
若母子先比赛，父亲的胜率为：1/2b
第二单元 A 卷
一、单项选择题
1、解： （A ）事件A 、B 独立⇒P(AB)=P （A ）P(B)
因为事件A 、B 独立与A 、B 同时发生没有必然关系。

所以事件A 、B 同时发生的概率P(AB)=0不能推出A 、B 独立
(B) A,B 对立⇒P(AB)=0但P(AB)=0不能推出AB 对立。

（C ）A,B 互不相容⇒P(AB)=0 但P(AB)=0不一定能推出AB 互不相容，
因为概率为零的事件不一定是不可能事件。

（D ）若A 、B 是连续型随机变量，A ⋂B 为一个点，则P(AB)=0
所以P （AB ）=0 时，A 、B 可能相容。

所以选D 2、解： 因为X 1和X 2是两个连续型随机变量，
则()11f x dx +∞-∞
=⎰
，()21f x dx +∞
-∞
=⎰
;0≤F 1(x)≤1,0≤F 2(x)≤1
（A ） ()()()()1212[]2f x f x dx f x dx f x dx +∞+∞+∞
-∞
-∞
-∞
+=+=⎰⎰⎰
∴()()12f x f x +不可能为某随机变量的概率密度 （B ）设 ()120
20x
x f x e
x -≤⎧⎪=⎨>⎪⎩ ()20
00
x
x f x xe x -⎧≤⎪=⎨
>⎪⎩
则1230
0()()20
x
x f x f x xe
x -≤⎧⎪=⎨>⎪⎩
()()03120
2x f x f x dx odx xe dx +∞
+∞
--∞
-∞
∴=+⎰
⎰⎰
3333300000
22222231
333999x
x x x x xde xe e dx e d x e +∞+∞
+∞+∞+∞-----=-=-+=--=-=≠⎰⎰⎰∴()()12f x f x 不一定为某随机变量的概率密度。

(C) 正确
（D ）0≤F 1(x)+ F 2 (x) ≤2，所以12()()F x F x +不一定为某随机变量的概率分布函数。

所以选C 3、解：()()()12110.50.30.8P x p x p x ≤≤==+==+=
()000.2
010.7121
2
x x F X x x <⎧⎪≤<⎪=⎨
≤<⎪⎪≥⎩
()()3100.2F F ==
综上，选B 4、解 ()f x 为非负数，即()f x >0 ()cos 0f x x a x b ∴=>≤≤在处成立 ∴排除B 、C ()F X 为概率
()F X =sin a x x b ∴≤≤在处成立
∴排除D
综上，选A 5、解： X 服从正态分布N （μ，σ2）
∴
σ
μ
-X ~N (0, 1)
又 P{|X-μ|<σ}, 即,σμ- <X<σμ+
∴-1<
σ
μ
-X <1~N (0,1)
∴ P{|X-μ|<σ}=P{-1<
σ
μ
-X <1}=)1()1(-Φ-Φ是定
∴ 概率P{|X-μ|<σ}=)1()1(-Φ-Φ，保持不变。

故选C 。

6、解： F Y (y)= P{Y ≤y}=P{2X y ≤}=P{X ≤y 2
1
}
∴()Y f y = [F Y (y)]’= X f (y 21) 21⨯=12
102
y e
y y -⎧>⎪⎨⎪
≤⎩
故选A 。

二、填空题
1、解：X 服从泊松分布
)2,1,0(!
)(⋅⋅⋅==
=∴-k e k k x P k
λλ
{}{}21===∴X P X P
λλ
λλ--=
∴e e
2
2
2=∴λ
{}22334
623e
e X P ===∴-
2、解：()),2,1,0(54
54511
⋅⋅⋅==⋅
⎪
⎭
⎫
⎝⎛==-k k X P k
k
3、解：dx e a dx ae
x F x
x
x
x ⎰⎰+∞
∞-+-+∞
∞
-+-==222
2)(
令1+=t x
⎰⎰+∞
∞
--+∞
∞
-+-=+=dt e ae t d e a x F t t 2
2)1()(1=1=πae
∴e
a π1
=
4、解：⎪⎩⎪⎨⎧=，，051)(x f 其他6
1≤≤x ⇒ ⎪⎩⎪⎨⎧-=，
，
，1510)(x x F 6611>≤≤<x x x 方程012=++Xx x 有实根 ∴042≥-=∆X ∴2-≤X 或 2≥X
∴}{5
4
511)2(12,2=-=-=≥-≤F X X P ； 5、解：(1,9)N
13μσ∴==
111(
)2()33c c ---Φ=Φ ⇒11
()33
c -Φ= ()()
12
()0.66
33
x X c Φ-=Φ-Φ== 10.430.293
c
c -=⇒=- 6、解：()sin 1f x A xdx ∞
-∞
==⎰
20()cos 11
f x A x A π
=-=∴= 1
()()sin 6662
F F πππ--== 三、计算下列各题 1、解：
F ()x =⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧1
8721810
P {}1≤x = F(1)=
8
7 P {}5.11<<-x =F ()5.1—F ()1-=
87—81=86=4
3 p {}2|0<≥x x ={}{}220<<≤x P x P =)
2()0()2(F F F -=8
786
=76
2、解： 因为()840105P X ==
= ()288
110945P X ==⨯=
()211
210945
P X ==⨯=
所以，X 的概率分布为：
X 0 1 2
P 45 845 1
45
X 的分布函数为：
()00401
5
44124512
X X F X X X <⎧⎪⎪≤<⎪=⎨
⎪≤<⎪⎪≥⎩
3、解：（1）P ==}{κχk C 5(
41)κ(4
3)k
n - (k=0,1,2,3,4,5) (2)一道题也没答对的概率为：P 0=C 50(
41)0(43)5=(4
3)5
x<-1
-1≤x<0
0≤x<1
1≤x<2 x ≥2
则至少答对一道题的概率为：1-P 0=1-(
4
3)5 (3)至少答对三道题的概率为：
P 3+P 4+P 5=C 35(41)3(43)2+C 45(41)4(431)+C 5
5
(41)5(4
3)0
4、解：（1）由题意得： ()22
cos 21f x dx A xdx A π
π+∞-∞
-===⎰⎰ 1
2
A ⇒=
（
2
）
()()2
222
22
020cos 2
2
0cos 02
x
x
x x
dx x F x f x dx dx A xdx
x dx A xdx dx x πππππππ
π
π
π
-∞
--∞
-∞-
--∞-⎧≤-⎪⎪⎪⎪==+-
<<
⎨⎪
⎪⎪++≥
⎪⎩⎰⎰
⎰⎰⎰⎰⎰
=02
1
1sin 2
22
2
12
x x x x π
π
π
π
⎧≤-⎪⎪
⎪+
-
<<⎨⎪⎪≥
⎪⎩
(3)P {4
4
x π
π
-
≤≤
}=F(
4π)-F(4π-)=2
2
5、解：()1 X 是连续型随机变量
∴lim ∞
→x F(x) = 2(Be )lim x x A -→∞
+ = A =1
F(x) 在x= 0 处连续
∴F(0)=A+B=0 ∴B=-1
()2 F(x)=2100
x
e x x -⎧
->⎪⎨
≤⎪⎩
()2200
x e
x f x x -⎧>⎪=⎨
≤⎪⎩
(3) P {|X|1≥}=P {1-≤x or x 1≥}
=F (-1) + 1-F (1)
=2e - 6、解：由题意得：X~N(170,62) 6
)
170(-x ~N (0, 1)
事件“男子碰头的概率不超过1%”的概率可表示为P{X>h}≤1%
P(X>h) = P {6)170(-X >6)170(-h } =1-6
)
170((-Φh )01.0≤
∴
6
)
170(-h 33.2≥ ⇒ h ≥183.98 答：门的高度h 最少用应为183.98。

四、解：已知X 服从（0，1）上的均匀分布，
∴⎪⎩
⎪
⎨
⎧<<=其他
0101)(x x f
)1(}1{}1{
}{)(y
F y X P y X P y Y P y F X Y =≤=≤=≤= 两边同时对y 求导得
⎪⎩
⎪⎨⎧≤>=⎪⎩⎪⎨⎧<<=-=1
011011011)1()(222y y y
y y y y f y f X Y 其他 五、 解：该题用对立面做更为简单。

在200小时内，每个元件不出现问题的概率 P=200
()f x dx ∞⎰
=3
1-
e
所以 至少有一只元件坏掉的概率为 1- 3
31)(-e =1-1-e
B 卷
一、单项选择题 1、解：由题意得：
12P P =211
9045
P == 4445
P =
∴选A 2、解：由题意得：
22001012()11(2)1212212x x x x o F x x x x x x <⎧
⎪
⎪≤≤⎪⎪
=⎨⎪-+<<⎪⎪
≥⎪⎩
=2200101212112212x x x x x x x <⎧
⎪⎪≤≤⎪⎨⎪--<<⎪⎪≥⎩
P={}{}7
1.5 1.50.8758
x <==
= ∴选D 3、解：()00F X -=()0F X 表示()F X 在点0X 处左连续。

()()000F X F X +=表示()F X 在点0X 处右连续。

∴{}()0x x x 0P X F ==-00（）-F ∴选C 4、 解： x 服从二项分布：
∴ 有{}()n k
k k
n
x k 1P C P P -==-
{}{}x 11x=0P P ≥=-()2
00
2
11C P P =--()2
11P =--5
9
= 01P <<13
P ∴=
{}{}110P y P y ≥=-=()
4
00
4
11C P P =--4
213⎛⎫=- ⎪⎝⎭
65
81= ∴ 选A
5、解 由题意得：
{}P X x >={}{}P X x P X x >+<-
={}()11P X x x -<+-Φ=22()x -Φ=a
∴()12
a
x Φ=-
112a x -⎛⎫
∴=Φ- ⎪⎝⎭
∴选B
6、解：由题意得：
{}()1
441(1)1(1)444x x P P X P P μμμμμ--⎧⎫--⎧⎫
=≤-=≤=≤-=Φ-=-Φ⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭ {}()()255111115555Y Y Y P P Y P P P μμμμμμ+-⎧⎫---⎧⎫⎧⎫
=≥+=≥=≥-=-≤=-Φ⎨⎬⎨⎬⎨
⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭
∴12P P = 选A
7、解：为单调函数
Y X Y ∴+-=3
2
()2
3
--
==y y h x ()[]⎪⎭
⎫
⎝⎛--=23y f y h f X X
()2
1
'=
y h ∴()()()y h y h f y f X Y '][==
⎪⎭
⎫ ⎝⎛--2321y f X 二、填空题
1、解：由题，每次命中率为0.6,不中的概率就为0.4.，
若射击一次就命中，则概率为0.6； 射击两次后命中，则概率为0.6*0.4; 射击三次后命中，则概率为0.6*(0.4)2; 射击四次后命中，则概率为0.6*(0.4)3;
4
2、解：
3、解：⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧≥+<=⎰⎰⎰-∞
-∞
-0
00
0)(00x d xe d x d
x F x x
x x x x
⎪⎩⎪
⎨⎧≥<=⎰-0
00
x d xe x x x
x
x x
x x
x x x
x x
x d e xe de x d xe ⎰⎰⎰----+-=-=0
1)(0
+--=-+-=----x x x
x x e xe e xe
⎪⎩⎪
⎨
⎧≥+--<=∴--0
10
0)(x e xe x x F x
x
4、解： Φ（
σ
2
）-0.5=0.3
∴8.0)2
(=Φσ
2.08.01)2
(1)2(=-=Φ-=-Φσ
σ
5、解：2
0,02F()(),010
1,1
x
x x xdx x f x dx x x x -∞
≤⎧⎧⎪⎪===<<⎨⎨⎪⎪⎩≥⎩⎰⎰ 4
121F =∴）（
{}6494316134341C 2Y P 1
223=⨯⨯=⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==∴ 三、计算下列各题
1、解：（1）
X 0 1 2
P 51 53 5
1
P{x=0} =64⨯5342⨯=51
P{x=1} =6453⨯⨯42⨯3=53
P{x=2} =64c 234152⨯⨯⨯=51
(2)
X 0 1 2 3
P 278 94 92 271
P{x=o} =323232⨯⨯=278
P{x=1} =94
3646462=⨯⨯⨯
P{x=2} =92
3646262=⨯⨯⨯
P{x=3} =27
1
626262=⨯⨯
2、解：
详解：
样本空间：4*4*4=43
信箱号 信封数 概率
X=1 时 1 C 13⨯3⨯3
2 C 2
3⨯3 =
37
64
3 1
X=2 时 1 C 13⨯2⨯
2
2 C 23⨯2 =
19
64
3
1
X=3时 1 C 13⨯1
2 C 2
3⨯1 =764
3
1
X=4时 3 1 =164
3、解：因为离散型随机变量在未标明点处的概率为0
所以P{X=1}=0
P{X=2}=0.5-0.2=0.3
X 的分布律：
4、解：因为随机变量X 和Y 同分布
所以P （X>a ）=P(Y>a) 即P(A)=P(B)
因为A 、B 独立 所以P(A)*P(B)=P(AB)=P(A)*P(A)
所以P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A)+P(A)-P(A) *P(A)=3
4
所以P(A)=1
2
因为23031
88
X x dx x =⎰ (0<x<2)
所以P （A ）=1-F(a)= 1-318a =1
2
因为0<a<2 所以a= 1-318a =1
2
(0<a<2)
所以
5、解：设x ～N(),,(2σμ
129090(90)1(),()0.97725268460(60)()0.8403
5269060;2(1),1(2)127010155
0.2947526
7870
{78}1(
)10.80.21190.294710
P X P X P P X μμ
σσμ
σμμ
σ
σμσ-->=
=-ΦΦ=-<==Φ=--=====
=-≥=-Φ=-Φ=<查表知由（），（）知：，，
（）所以，该考生在被录用之列。

6、解：（1）P(甲、乙两人都未中)=220.30.40.0144⨯=
P(甲、乙两人各中一球)=(0.70.32)(0.60.42)0.2016⨯⨯⨯⨯= P(甲、乙都中两球)=220.70.60.1764⨯=
综上所述P （两人进球数相等）=0.0144+0.2016+0.1764=0.3924
（2）P(甲中一球，乙没中)=0.70.30.40.420.0672⨯⨯⨯⨯= P （甲中两球，乙没中）=220.70.40.0784⨯= P （甲中两球，乙中一球）=20.70.60.420.2352⨯⨯⨯=
综上所述P （甲比乙进球数多）=0.0672+0.0784+0.2352=0.3808
四、解：（1）因为y=g （x ）=2x 在（0,1）上有g （x ）导数大于0，其反函数x=h （y ）=y
所以，f Y (y)=f X (y )∙2
11
2y -=1
所以，f Y (y)= ⎪⎩
⎪
⎨
⎧<<其他
01
01x
（2）Y F （y ）=P(Y<=y)=P(2x <=y)=P(
-≤x
≤
(Φ
-Φ
所以，
()Y f y
=12
1
2
X
y
ϕ-∙
+(
1212
X y ϕ-∙
=00
e e
y y ⎧⎡+>⎢⎢⎥⎣
⎦
<⎪⎩
五、解：设A1表示电源电压不超过200伏，A2表示电源电压在200到240伏，
A3表示电源电压超过240伏; A 表示电子元件损坏。

P(A1)=P(X ≤200)=P {22020
2525
x -≤-}=Φ(-0.8)=1-Φ(0.8)=0.212 P (A2) =P {}2022020220200X 240P (-)P -0.80.825252525x x --⎧⎫⎧⎫
<≤=<<=<<⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭
2(0.8)-10.576=Φ=
P (A3) =P {}220X 240P 0.81-(0.8)0.21225x -⎧⎫
>=>=Φ=⎨⎬⎩⎭
（1）P(A)=∑==⨯+⨯+⨯=⨯3
1
0624.02.0212.0001.0576.01.0212.0)()(i Ai A p Ai p
（2）P(2A A )=
2()()P A A P A =22()()()
P A P A A P A =0.576009.00642.0001.0=÷⨯
第三单元 A 卷
一、单项选择题
1、选（D ） 解：
P{X<Y}=P{X=1,Y=1.5}+P{X=1,Y=2.5}+P{X=1,Y=3.5}+P{X=2,Y=2.5}+P{X=2,Y=3.
5}+P{X=3,Y=3.5}=0.1+0.05+0.1+0.15+0.2+0.05=0.65 ２、选（C ） P{X>1,Y>2}=1-+-)2()1(F F Y X F (1,2)
解：P{X>1,Y>2}=1 – P1·–(P •1 +P •••2) + P{X ≤1,Ｙ≤
2 }=1-+-)2()1(F F Y X F (1,2) 3、D A
Pi *p.j=pij
Pi *p.j=pij C. f Z (x) =(,)f x y dy +∞-∞
⎰
=501
5
0dy ⎧⎪
⎨⎪⎩⎰ =1
⎧⎨⎩
F r (y)= (,)f x y dy +∞
-∞
⎰
=1/5
0⎧⎨⎩
F(x,y)= f Z (x)* F r (y) 所以是独立的
D
1≤x ≤2 其他
f Z (x)=2
1
(y)1/20
x dy xy y ⎧+=+⎪⎨⎪⎩⎰1
0==x+1/2
F r (y)=1
2
0()1/20
x y dx x xy ⎧+=+⎪⎨⎪⎩
⎰1
0=y+1/2
F(x,y)=x+y ≠(x+1/2)(y+1/2)
所以不独立 4、C
1
由图 选c 二、填空题
1、解：由图可知X 的边缘分布为
所以a ＋ｂ＝１－31－31＝3
1
因为X 与Y 独立，所以
所以
32*(9
1
+a)=a a= 2/9 同理b=1/9 2、二维随机变量（X ，Y ）在区域D 内服从均匀分布，所以其概率密度为
面积的倒数。

所以f(x,y)= 01
8
⎧⎪
⎨⎪⎩
求P ｛X —Y>2｝时，可知Y<X —2，画上图，把它看成X 型，所以可以计算 P ｛X —Y>2｝=5
231
18x dx dy -⎰⎰
=5321()1
8x y dx -⎰=52313
()168x x dx -⎰=0.25
3、解：∵ ∴
Ｙ
Ｘ
１ ３ ２ １
２
31
61 9
1 18
1 b
a
p.j
2
1 18
1+b 9
1+a 3
2 31 ｐi.
其他
x ≥y,y ≥1,x ≤5
4、解：
三、 解：（1) Y 0 1 Px. P(x=0,y=1)=2/10×8/9=8/45 X P(x=0,y=0)=2/10×1/9=1/45 0 1/45 8/45 1/5 P(x=1,y=0)=8/10×2/9=8/45 1 8/45 28/45 4/5 P(x=1,y=1)=8/10×7/9=28/45 P.y 1/5 4/5
(2)
X F (1x ,2x )=1/45U(x)U(y)+8/45U(x-1)U(y)+8/45U(x)U(y-1)+28/45U(x-1)U(y-
1)
四、设随机变量X 与Y 相互独立，下表列出二维随机变量(X,Y)联合分布律及关于X 和关于Y 的边缘分布律中部分数值，试将其余数值填入表中空白处。

Y
X 1y 2y 3y i P
1x 1/24 1/8 1/12 1/4
2x 1/8 3/8 1/4 3/4
j P 1/6 1/2 1/3 1
1/6-1/8=1/24 , 1/24÷1/6=1/4 , 1/4-1/24-1/8=1/12 , 1/8÷1/4=1/2 , 1/2-1/8=3/8
1-1/6-1/2=1/3 , 1/3-1/12=1/4 , 1-1/4=3/4
2()
2()20
22()
202()
0(1)1(,)()(0)22
(01)14444
42(2)(),0,00,0,4()0,x y x y y
y x y x X x y c c dy f x y dx dy ce
dx dy e e dy c c c e c e
e f x dy x x e
fY y +∞+∞+∞+∞+∞
+∞
-+-++∞
--∞
-∞
-+∞
0+∞-+-+∞-+=
=
=
-∣=---∣=--===⎧⎧-⎪=<<+∞=<<+∞
⎨⎨⎩⎪⎩=⎰⎰⎰
⎰⎰
⎰⎰⎰五其他其他
{}2()
21
2()0
11
1
2()2()10
01
1
2
22
2222
01
1
2,0,00,(3)144(2)(2)2222(0)3x y y x y X
x y x y x x
x e dx y y P X Y dx
e
dy dx e dy
dx e
dx e e dx e
dx e x e e e e
-+-+∞
+∞+∞
-+-+∞
-++∞
-++∞
-+∞
---1
-+∞
---⎧⎧⎪<<+∞=<<+∞
⎨⎨⎩⎪⎩+>=+
=-∣+-∣=+
=∣-∣=--=⎰⎰
⎰
⎰⎰⎰⎰⎰其他其他
六、解：∵X 和Y 相互独立
2
326
26
,,016
3216
6
226
6
()()0,,0
()0
0()(,)(
)
y
x x y x y z x y X Y z
z x
x y z
z
z
x y x y Z z e x y x y z z z dxdy
dx
e
dy
z x z x dx e
dx e
d e
e e
φφφφφφ+-
+-
-->≤-+-
++--
-⎧⎪∴=⎨
≤⎪⎩≤=>≤≤==-==-=-∣=-+⎰⎰⎰⎰
⎰⎰⎰ Z x+y z
（x,y ）=当z 0时，F 当时，P(Z z)=P(X+Y )=
(x,y)由此可得：32
,0
()0,0
y
y
z Z e e z z z φ---⎧⎪-+>∴=⎨
≤⎪⎩
}{{}{}{}121212max(,),,(1,2,3)
k k k k k k k P =X ==P X X ==P X =X ≤+P X <X ==解：}{{}{}1212111
111110339
P X ==P X =X ≤+P X <X ==⨯+=，，
}{{}{}121212111
2222233333P X ==P X =X ≤+P X <X ==⨯+⨯=，，
}{{}{}12121215
3333313339
P X ==P X =X ≤+P X <X ==⨯+⨯=，，
}{{}{}{}121212Y min(,),,(1,2,3)k k k k k k k P ===P X X ==P X =X ≥+P X >X ==
}{{}{}12121215
1111113339P X ==P X =X ≥+P X >X ==⨯+⨯=，，
}{{}{}121212111
2222233333P X ==P X =X ≥+P X >X ==⨯+⨯=，，
}{{}{}1212111
333330339
P X ==P X =X ≥+P X >X ==⨯+=，，
1
(,)20
f x y ⎧⎪⎪=⎨⎪⎪⎩ 02,01x y ≤≤≤≤
设}{()F s P S s =≤为S 的分布函数
其他
当2s ≤时， S F (s)=0 当02s <<时
()}{}{S F s P S s P XY s =≤=≤ }{212
11
12112
1112
21
1(ln )
21
1(2ln 2ln )
2111
ln 2ln 222
s s
x s
P XY s dxdy
dx dy
dx y s x
x s x s s s s x s s s s =->=-=-=-=--=---+=+-⎰⎰⎰⎰⎰
'()()
11111
ln 2(ln )222211ln 2ln 22
S f s F s s s s s ∴==+-+⋅=- 当2s ≥时，S F (s)=1
()1
1ln 2ln 22
0s f s ⎧-⎪
∴=⎨⎪⎩ 02s << B 卷
一、单项选择题
1、答案选B
()001
001
0004,01,01,4,1,01
4,01,11x y
y x
du uvdv x y F x y du uvdv x y du uvdv x y ⎧⎪≤≤≤≤⎪⎪⎪
=≥≤≤⎨⎪⎪≤≤≥⎪⎪⎩⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 因为所求的为()0.5,2F
其他
，其他
所以只需算01,1x y ≤≤≥时，(),F x y =212
20
(2)2x
x
x uv
du udu u x ===⎰⎰
即()0.5,2F =20.5=0.25 2、代入公式X+Y~N(1+
2，
12 +
22 )即可
3、解：答案C 2Z=X+Y Y=－X+2Z
22()00
()z z x
x y Z F z dx e dy --+=⎰⎰
2()
20
0220
220
22()()
21
z
x y z x z
z x
z x z
z z e dx e e dx e x e ze e -+-------⎡⎤=-⎣⎦
=-+=--=--+⎰⎰ 222()22(2)2z z z Z f z e ze e ---=---+
24z ze -=
24,0
()0,0
z Z ze z f z z -⎧>∴=⎨
≤⎩
）=（1,0） （X,Y ）=（1,1） 分别Z=MAX(X,Y)=1,1,1,0
分别P(Z=1)=**3=,P(Z=0)= *= 所以选C 二、填空题
(1). (X,Y)的联合概率分布：
(2).P{X>Y}=O.075+0.2=0.275 2、
()X X U 3,51f x 2
⎧⎪
∴⎨⎪⎩ 解： 【】
X Y y
X Y f x y f x f y 1e
2
0-∴⋅⎧⎪⎨⎪⎩ 与相互独立
（，）=（）（）
=
5
35353531P{X<Y}=2
1
()|21
21
()
2
y
x y x
y x x
x x
d e d d e e d e e +∞--+∞---=-==--⎰⎰
⎰⎰
∴ 4、解：
3≤x ≤5 其它
3≤x ≤5，y>0 其它
(11c ==
1c ∴= (
))
(
))
()
40
(),1sin 1cos Y f y f x y dx
x y dx x y π+∞-∞
+∞-∞
==+=-
+⎰⎰
=)
1cos cos 4y y π⎡⎤⎛⎫
-
+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
)
1cos 22y y y ⎤=-
--⎥⎣⎦
三、解：（1）由题意：两封信投入三个邮箱中的基本事件数为：3^2=9
P(X,Y)=P(0,0)=1/9; P(X,Y)=P(1,1)=2/9;
P(X,Y)=P(0,1)=2/9; P(X,Y)=P(1,0)=2/9;
P(X,Y)=P(0,2)=1/9; P(X,Y)=P(2,0)=1/9; P(X,Y)=P(2,1)=P(1,2)=P(2,2)=0;
()()()
440
440
404
,1
sin cos cos cos 4sin sin 4sin sin sin sin 0244f x y dxdy c dx x y dy
c x y dx
c x x dx
c x x c π
ππππ
ππππππ+∞+∞
-∞
-∞
=∴+=-+⎡⎤⎛⎫=-+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎡⎤⎛⎫=-+- ⎪⎢⎥
⎝⎭⎣⎦
⎡⎤
=----⎢⎥
⎣⎦
⎰⎰
⎰⎰⎰⎰
(2) Z=2X+Y
S=XY 四、（1）
解：(1) P(X+Y>1)=xydy x dx x 3
1
1
02
12+⎰⎰-
=dx xy y x x 212102|6
1-+⎰ =xdx x x 21
65343210++⎰
=1
0243|4124594x x x ++
=41
24594++
=72
65 P(X>Y)=xydy x dx x 31
1022+⎰⎰
=dx xy y x x 22102|61
+⎰ =xdx x x 32
2672310++-⎰ =4247x -+1
023|3132x x + =
31
32247++- =24
17
P （X<21,21<Y ）=dy xy x dx ⎰⎰+21021
02)3
1
(
=dx x x ⎰
+21
2)24
121( =（2348161x x +）|21
0 =1925 P(X<21)=dy xy x dx ⎰⎰+21
0202)31( =dx x x ⎰+21
02)322( =2
1
023|)3
132(x x + =61
P ⎭⎬⎫⎩
⎨⎧
<<21|21X Y =
61/1925=325 0 1 2 3 4 P Z 1/9 2/9 1/3 2/9 1/9
（2）①当X<0或Y<0时， F （X,Y ）=0
②当0≤X<1，0≤Y<2时，F （X,Y ）=dxdy xy x x
y
⎰⎰+
002)31(=dx xy y x y
x )|6
1(0
022⎰+ =223121
31y x y x +
③当0≤X<1，Y 2≥时，F （X,Y ）=dxdy xy x x ⎰⎰+0202)31(=2331
32x x +
④当,1≥X 0≤Y<2时，F （X,Y ）=dxdy xy x y ⎰⎰+1002)31(=212
1
31y y +
⑤当,1≥X Y 2≥时，F （X,Y ）=dxdy xy x ⎰⎰+10202)3
1
(=1
综上：F （X,Y ）=⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪
⎨⎧≥≥<≤≥+≥<≤+<≤<≤+<<2
,1,120,1,121312,10,313
2
2
0,10,1213
10
0,0223223Y X Y X y y Y X x x Y X y x y x Y X 或
五、解：(1) 由题：P{XY ≠0}=0. P(-1,1)=P(1,1)=0
(2) P .i *P j .≠P ij
∴ X 1与X 2不独立.
六、解：（1）⎰⎰+∞
+∞
+-=0
)2(1dy Ae dx y x
⎰∞
++-∞+-∴0
)2(0]2
[dx
e A y x =
dx e A
x -⎰∞+2
=-e A
2
∞
+-x
0 1
-1 0 1 1/4 0 0 1/2
1/4 0 P .i P j .
1/2 1/2
1/4 1/2 1/4
X 1 X 2
=
2
A
=1 2=∴A (2) F （x,y ）=⎰
⎰
∞-∞
-y
x dxdy y x f ),(
=⎰-x
x
dx e 0
⎰-y
y dy e 0
22 =(-x e -)
0x (y e 2--)0
y
=(1-e x -)(1-e y 2-) ∴F(X,Y)=⎩⎨
⎧>>----其他
,00,0),1)(1(2y x e e y x (3) F ）（z Z =P{Z z ≤}=p{X+2Y z ≤}=⎰⎰+Y
2X dxdy y x f ），（
当Z ≤0时，F ）（z Z =0
当Z>0时，F
）
（z Z =
⎰
⎰
-+-z
o
20
)2(2dx x z y x dy e =
dx x
z e y x z
2)2(0
--+-⎰
=
dx e e
z
x
z
)(0
---⎰
=(-e
-
-e
z
-x)0
z
=-e 1+---z z ze
Z(z)f ∴=⎩⎨⎧≤>-0
,00
,Z Z ze z
七、3241X X X X X -=
∴
八、
{}}{}{{}{}{}的联合概率分布为：
与即同理可得又212
212
1
21211211,1,0,1,01,0,
1)1(12,10,000
1)(0
0)(X X e
x x p e e x x p x x p e F Y p Y Y p x x p y y e y F y y e y f y y
------===-======-==≤=≤≤===⎩⎨
⎧≤>-=∴⎩⎨
⎧≤>=
九、解：
11
220022Y f(x,y)=f(x)f(y)
,0,01
f(x,y)=0,F 211()(1)002111221
()()()2x x x
Yz Yz z z X e x y Yz e dx e y dy e dy y e
z e z
z
f Z
z F Z e z λλλλλλλλλλλλλ-------∴*⎧><<∴⎨
⎩≤≤≤=-=--=+=+
-
'''∴==-⎰⎰⎰⎰ 12Yz 00与相互独立其他
X
（Z ）=P(Z z)=P(z)=P(X 2Yz)
2Y
F(Z)=dy 12222
2222222
1111(
)(2)22222111(12)2222z z z z z z z e z e z
z e e ze e z z z z
λλλλλλλλλλλ
λλλλλλ---------'=*--+-=-+=--
第四单元 A 卷
一． 单项选择 1.由题意得：
E(X)=U=0 D(X)=2σ=1
E(Y)=E(2X-1)=2E(X)-1= -1 D(Y)=D(2X-1)=4D(X)= 4
∴Y ~N(-1,4) 即选A
2．⎩
⎨⎧==13)(')(2
x x F x f ⎭⎬
⎫>≤≤110x x
dx x dx x x x E ⎰⎰==1
321
33)(
即选D
3． X~B(N,P) 由题意得：
E(X)=n p=2.4 a D(X)=n p q=1.44 b 将a b 两式联立可得： Q=0.6 ∴p=0.4 n=6 ∴选B
4 . 采用排除法比较简便
A: =)(X E 6.27.032.021.01=⨯+⨯+⨯ 排除 C: 9.12.035.023.01)(=⨯+⨯+⨯=X E 排除 D: 1.23.035.022.01)(=⨯+⨯+⨯=X E 排除 B: 3.25.033.022.01)(=⨯+⨯+⨯=X E 正确 9.55.093.042.01)(2=⨯+⨯+⨯=X E
[]61.03.29.5)()()(22
2=-=-=X E X E X D 正确
∴选B
5.解：由题意得：戏票总额事件为X,则共有三种情况即6（2+2+2）,9(2+2+5)和12（2+5+5），
则概
X 6 9 12 p C 3
8/C 3
10 C C 1
52
8/C 3
10 C C 2
21
8/C 3
10 经计算：答案为C 二． 填空题 1 .解：D(X )=E(X 2
)-E(X )
2
=1⨯0.3+1⨯0.3=0.6
E(X 2
)=1⨯0.3+1⨯0.3=0.6
E(X )
2
=(0.3+0.3)
2
=0.36
所以D(X )=0.6-0.36=0.24
2. 解：题目为二项分布： E(x)=np=10⨯0.4=4
D(x)=npq=10⨯0.4⨯0.6=2.4 又D(x)=E(x 2
)- E(x)
2
= E(x
2
)-16=2.4
所以E(x
2
)=1λ8.4
3. 解：X 服从泊松分布因而 E(x)=λ D(x)= λ E(x
2
)= D(x)- E(x)
2
= λ-λ
2
E[(x-1)(x-2)] =E(x
2
-3x+2)=E(x
2
)-3 E(x)+2
= λ-2λ-3λ+2
=1 又λ>0 所以λ=1
-2x -2x
+0
+-2x
-3x
-3x
1133
-2x -2x
434.E(x+) =E(x)+E()E(x )=xf(x)dx ()
10
E()=0
E(x+) =E(x)+E()=e e e e
e
e e x x x
x dx x dx e e e ∞+∞
---∞
+∞==-+=+∞=-=∴⎰
⎰
⎰
解：
5.解：
21021
0221
1
1
02121
121
2ln 121|)1ln(1
21)4,2(1)1()1()24(1
|arctan 1)1(2arctan 1
)1(1
1)1(1)1(11})
1,(min{πππ
ππππ
πππ
πππππ+=++=-+++++-=+++=+++++=⎰⎰⎰
⎰⎰⎰∞
+-∞
-∞
+--∞-x x x d x dx x x x dx x dx x x dx x x E
6.解：
()()()[][]
01
1)()(}
)({)]()[(32
)(1)(11)(1D(x))]([)()(21
)()(,2,1)(11
)(1)(2
22
22
222
21=-=-=-=-=-=∴-==-=-=====-=x E x E x E x E x E x E x E x E x E x E x E x D x E x E k k x E x D x E k
又阶远点矩已知
综上所述，x 的一阶原点矩为-1，二阶原点矩为2，一阶中心矩为0.，二阶中心矩为1。

⇓
E(2X )=0.398+22⨯0.092+32⨯0.006=0.82 D(X)= E(2X )_[]()E X 2=0.82-0.36=0.46
四． 解：
()()()()00551
14522
3
5
3324415
50555100.20.80.32768
50.20.80.4096
00.20.80.2048
20.20.80.20.80.20.80.05792
P X C P X C P X C P X C C C ==========-=++=
()100.3276850.409620.05792 5.20896 E X=⋅+⋅-⋅=
答：一周内期望利润是5.20896万元
五．解：由图：
x -1 0 1/2 1 2
p 1/3 1/6 1/6 1/12 1/4 x-1 -2 -1 -1/2 0 1
2
x 1 0 1/4 1 4
1
3
1
-x
-1/4 -1 2 1/2 1/5
∴E(X)=(-1)⨯1
3
+0+11
26
⨯+1
12
+2⨯1
4
=1
3
E(1
X-)=(-2)⨯1
3
+(-1)⨯1
6
+(-1
2
)112
643
01
⨯++⨯=-E(2
x)35
11111
34612424
1014
=⨯++⨯+⨯+⨯=
7
111111111
3143662125440
()(1)2
X
E
-
=-⨯+-⨯+⨯+⨯+⨯=
2
2
297
24
3572
1
(1)()()
3
()
()
D X D X
E E x
x
-==-=-=
4
44425
1111
1
()()2
E x=+⨯++⨯=
2
2
24425255012251325
96576576
35
2
()()()
()
D E E
x x x-
=-=-==六．
2
2
4
22
44
2
1
11
x
2
111
1
N
E(x)=2
()
t x=2t
t
()(2t)
()
x
x x
x
x
x
x
E dx dx
dx
E d
E
e e
e e e
e e
-+-
+∞+∞
-----
-∞-∞
+∞
-∞
+∞
-----
-∞
--
=
∴
==
==
∴==⨯=
∴=
⎰⎰
⎰2-
解：（2
，
x
令，，已知e。