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《近世代数》PPT课件
– 剩余类的加法和乘法运算
a b a b ,(m m )o a b d a b(m m )o
10.01.2021
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18
2.2 多项式剩余类环和域
1.域上多项式的定义
– 多项式与码字的关系：桥梁；
• 多项式的系数表示
；
• x的幂次表示
；
– 域上的多项式
• 针对系数定义；
• 例如二进制系数多项式，称为二元域GF(2)上的 多项式。
编辑ppt
28
(1) 常数总是多项式的因子。
(2) 一个多项式 f(x) 是否为既约多项式 与所定义的域有关。
(3) 一个多项式既约的充要条件：多项 式Pl(x) 不能分解成两个次数低于Pl(x) 的多项式的乘积。
(4) 完全分解：n次多项式最多能分解成 n个一次多项式的乘积，被称为完全分 解。
(5) 一次多项式一定是既约的。
（3）加法和乘法之间满足如下分配率 (distributive) ：
a(bc) abac
(bc)a baca
则称F是一个域。
10.01.2021
编辑ppt
6
（1）域的阶（针对群中元素的个数），记 为q。
（2）有限域或伽逻华（Galois）域，表示为：
GF(q)。
–域将
10.01.2021
和
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联系在一起？
7
例2-3
– F1：有理数全体、实数全体对加法和乘法都 分别构成域，分别称为有理数域和实数域。
– F2：0、1两个元素模2加构成域；由于该域 中只有两个元素，记为GF(2)。
10.01.2021
编辑ppt
8
• 定理：
– 设p为质数，则整数全体关于p模的剩余类： 0，1，2，…，p-1，在模p的运算下（p模相 加和相乘），构成p阶有限域GF(p)。
a b a b ,(m m )o a b d a b(m m )o
10.01.2021
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18
2.2 多项式剩余类环和域
1.域上多项式的定义
– 多项式与码字的关系：桥梁；
• 多项式的系数表示
；
• x的幂次表示
；
– 域上的多项式
• 针对系数定义；
• 例如二进制系数多项式，称为二元域GF(2)上的 多项式。
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28
(1) 常数总是多项式的因子。
(2) 一个多项式 f(x) 是否为既约多项式 与所定义的域有关。
(3) 一个多项式既约的充要条件：多项 式Pl(x) 不能分解成两个次数低于Pl(x) 的多项式的乘积。
(4) 完全分解：n次多项式最多能分解成 n个一次多项式的乘积，被称为完全分 解。
(5) 一次多项式一定是既约的。
（3）加法和乘法之间满足如下分配率 (distributive) ：
a(bc) abac
(bc)a baca
则称F是一个域。
10.01.2021
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6
（1）域的阶（针对群中元素的个数），记 为q。
（2）有限域或伽逻华（Galois）域，表示为：
GF(q)。
–域将
10.01.2021
和
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联系在一起？
7
例2-3
– F1：有理数全体、实数全体对加法和乘法都 分别构成域，分别称为有理数域和实数域。
– F2：0、1两个元素模2加构成域；由于该域 中只有两个元素，记为GF(2)。
10.01.2021
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8
• 定理：
– 设p为质数，则整数全体关于p模的剩余类： 0，1，2，…，p-1，在模p的运算下（p模相 加和相乘），构成p阶有限域GF(p)。
《近世代数》课件
近世代数的重要性
近世代数是数学领域中的基础学科之 一，是学习其它数学分支的重要基础 。
它对于理解数学的抽象本质和掌握数 学的基本思想方法具有重要意义，有 助于培养学生的逻辑思维和抽象思维 能力。
课程大纲简介
本课程将介绍近世代数的基本概念和性质，包括集合、群、环、域等代数系统的 定义、性质和关系。
1.1 答案
对。因为$a^2$的定义是两个整数相乘，结果仍为整数。
第1章习题及解答
1.2 答案：（略）
1.3 答案：群的基本性质包括封闭性、结合律和存在单位元。
第2章习题及解答
2.1 判断题：若$a$是整数，则$a^3$也是整数。 2.2 选择题：下列哪个是环？
第2章习题及解答
要点一
2.3 简答题
编码理论中的应用
线性码
线性码是一类重要的纠错码，其生成矩阵和校验矩阵都是线性方程组的解。这 些矩阵的构造和性质都与代数理论紧密相关。
高斯-若尔当消元法
在编码理论中，经常使用高斯-若尔当消元法来求解线性方程组，这种方法在代 数中也有广泛的应用。
物理学中的应用
量子力学中的态空间
在量子力学中，态空间是一个复的向量空间，其基底对应于可观测物理量。这与代数学中的向量空间 概念非常相似。
如果E是F的一个子集，且E中的元素 都是方程f(x)=0的根，其中f(x)是F上 的一个多项式，那么E在F上形成一个 子域。
如果E是F的一个子集，且E中的元素 都是方程f(x)=0的根，其中f(x)是F上 的一个不可约多项式，那么E在F上形 成一个有限子域。
有限域
有限域的性质
有限域中的元素个数一定是某个素数的幂。
理想与商环
理想的定义与性质
介绍理想的定义，包括左理想、右理想、双边理想等 ，并讨论理想的封闭性、运算性质等。
《近世代数》PPT课件
定理1.5.1 假设一个集合A的代数运算 同时适合结合
律与交换律,那么在 a1a2 an中，元素的次序 可以调换.
例 判定下列有理数集Q上的代数运算 是否适合结合律，
交换律？
(1) a b a b ab (适合结合律和交换律 )
(2) ab(ab)2 (适合交换律，但不适合结合律)
(3) aba (适合结合律，但不适合交换律 )
定义1.9.2 设 是集合 A的代数运算. 若 是 A到 A的 一个同构映射(同态映射)，则称 是 A的一个自 同构 (自同态).
小结
同态是把代数运算考虑在内的映射，即是用来
比较两个代数结构的工具.
返回
在代数学中,两个同构的代数结构一般认为是相同的. 22
§1.10 等价关系与集合的分类
定义1.10.1 A设 是集合，D对，.错 一个 AA 到 D 的映射
注: 变换 是 A到A自身的一个映射.
小结
为了比较两个集合，我们引入了单射，满射，一
一映射和变换的概念.
返回
19
§1.8 同态
定义1.8.1 设 , 分别是集合的代数运算， : A A 是一个映
射,若 a,bA，有 (ab ) (a ) (b ),
则称 是 A到 A 的一个同态.
例1 A=Z (整数集)， 是普通加法； A ={1,-1}， 是普通乘法.
定义1.2.2 设 1 , 2是A到B的两个映射，若对 aA，
有 1(a)2(a), 则称 1 与 2 是相等的,记作 1 2.
注: 映射相等 构成映射的三要素（值域、定义域、对
应法则）全相同．
例5 设 AB 为正整数集 ．
定义 1 : ; a1 1 ( a ) ， a ,
近世代数精品课程25页PPT
近世代数精品课程
•
6、黄金时代是在我们的前面，而不在 我们的 后面。
•
7、心急吃不了热汤圆。
•
8、你可以很有个性，但某些时候请收 敛。
•
9、只为成功找方法，不为失败找借口 (蹩脚 的工人 总是说 工具不 好)。
•
10、只要下定决心克服恐惧，便几乎 能克服 任何恐 惧。因 为，请 记住， 除了在 脑海中 ，恐惧 无处藏 身。-- 戴尔． 卡耐基 。
6பைடு நூலகம்最大的骄傲于最大的自卑都表示心灵的最软弱无力。——斯宾诺莎 7、自知之明是最难得的知识。——西班牙 8、勇气通往天堂，怯懦通往地狱。——塞内加 9、有时候读书是一种巧妙地避开思考的方法。——赫尔普斯 10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。——笛卡儿
Thank you
•
6、黄金时代是在我们的前面，而不在 我们的 后面。
•
7、心急吃不了热汤圆。
•
8、你可以很有个性，但某些时候请收 敛。
•
9、只为成功找方法，不为失败找借口 (蹩脚 的工人 总是说 工具不 好)。
•
10、只要下定决心克服恐惧，便几乎 能克服 任何恐 惧。因 为，请 记住， 除了在 脑海中 ，恐惧 无处藏 身。-- 戴尔． 卡耐基 。
6பைடு நூலகம்最大的骄傲于最大的自卑都表示心灵的最软弱无力。——斯宾诺莎 7、自知之明是最难得的知识。——西班牙 8、勇气通往天堂，怯懦通往地狱。——塞内加 9、有时候读书是一种巧妙地避开思考的方法。——赫尔普斯 10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。——笛卡儿
Thank you
近世代数引论PPT课件
域是近世代数中的一个基本概念，它是一个加法群和 一个乘法半群的组合，具有一些重要的性质。
详细描述
域是一个非空集合，其中定义了两种运算：加法和乘法 ，满足一定的性质。在域中，加法和乘法都是可逆的， 即每个元素都有唯一的加法逆元和乘法逆元。此外，域 中的乘法满足结合律，且每个元素都有乘法单位元。
子域与扩域
环论在几何学中的应用
环论也是近世代数的一个重要分支，它在几何学中也有着广泛的应用。例如，在代数几 何中，环论被用于描述多项式环的结构；在解析几何中，环论也被用于描述函数的性质。
数论中的应用
域论在数论中的应用
域论是近世代数中一个重要的分支，它在数论中有着广泛的应用。例如，在代数数论中，域论被用于描述代数数 的性质；在数论中，域论也被用于研究整数的性质和结构。
分式域与函数域
总结词
分式域和函数域是两种特殊的域，它们在数学和物理 中有广泛的应用。分式域是由其整环的分式组成的域 ，而函数域则是基于函数的定义域和值域形成的域。
详细描述
分式域是由一个整环的分式组成的域。整环是一个只含 有限除数的环，也就是说，如果一个元素在整环中不能 被其他元素整除，则该元素被称为不可约元素。分式环 是由整环中所有分式组成的集合，它构成一个域。函数 域是基于函数的定义域和值域形成的域。具体来说，给 定一个函数f和一个集合D，函数域是由集合D中所有可 能的函数值组成的集合，它也构成一个域。
交叉学科的研究
近世代数与其他学科的交叉研究也是未来的一个重要方向，如 代数几何、代数数论、计算机科学等学科的交叉研究，可以促
进近世代数的发展和应用。
THANKS
感谢观看
环论
环的定义和性质
要点一
总结词
环是具有加法和乘法两种运算的代数系统，满足一定的性 质。
详细描述
域是一个非空集合，其中定义了两种运算：加法和乘法 ，满足一定的性质。在域中，加法和乘法都是可逆的， 即每个元素都有唯一的加法逆元和乘法逆元。此外，域 中的乘法满足结合律，且每个元素都有乘法单位元。
子域与扩域
环论在几何学中的应用
环论也是近世代数的一个重要分支，它在几何学中也有着广泛的应用。例如，在代数几 何中，环论被用于描述多项式环的结构；在解析几何中，环论也被用于描述函数的性质。
数论中的应用
域论在数论中的应用
域论是近世代数中一个重要的分支，它在数论中有着广泛的应用。例如，在代数数论中，域论被用于描述代数数 的性质；在数论中，域论也被用于研究整数的性质和结构。
分式域与函数域
总结词
分式域和函数域是两种特殊的域，它们在数学和物理 中有广泛的应用。分式域是由其整环的分式组成的域 ，而函数域则是基于函数的定义域和值域形成的域。
详细描述
分式域是由一个整环的分式组成的域。整环是一个只含 有限除数的环，也就是说，如果一个元素在整环中不能 被其他元素整除，则该元素被称为不可约元素。分式环 是由整环中所有分式组成的集合，它构成一个域。函数 域是基于函数的定义域和值域形成的域。具体来说，给 定一个函数f和一个集合D，函数域是由集合D中所有可 能的函数值组成的集合，它也构成一个域。
交叉学科的研究
近世代数与其他学科的交叉研究也是未来的一个重要方向，如 代数几何、代数数论、计算机科学等学科的交叉研究，可以促
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环论
环的定义和性质
要点一
总结词
环是具有加法和乘法两种运算的代数系统，满足一定的性 质。
近世代数ppt
8
第4讲 基本概念之与代数运算发生关系的映射 ——同态映射
1 同态映射 2 同态满射 3 同构映射 4 自同构映射 5 举例
9
第5讲 基本概念之等价关系与集合的分类 ——商集
1 商集 2 等价关系 3 集合的分类 4 集合A上的等价关系与 集合A的分类之间的联系
10
第三章 群
11
第1讲 代数系统
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第一章 绪 论
1
第1讲 绪 论
一 关于代数的观念 二 数学史的发展阶段 三 代数发展的阶段(数学发展史) 四 代数学发展的四个阶段 五 几类与近世代数的应用有关的实际
问题
2
第二章 基本概念
3
特权福利
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集合与元素的相关概念
集合的相关概念
集合的运算及运算律
集合的补充及说明
6
第2讲 基本概念之集合及其之间的关系 —对应关系(映射)(人造关系)
1 映射概念回忆
2 映射及相关定义 3 映射的充要条件
4 映射举例
5 符号说明
6 映射的合成及相关结论
7 映射及其映射相等概念的推广
8 集合及其之间的关系——特殊
第4讲 基本概念之与代数运算发生关系的映射 ——同态映射
1 同态映射 2 同态满射 3 同构映射 4 自同构映射 5 举例
9
第5讲 基本概念之等价关系与集合的分类 ——商集
1 商集 2 等价关系 3 集合的分类 4 集合A上的等价关系与 集合A的分类之间的联系
10
第三章 群
11
第1讲 代数系统
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第一章 绪 论
1
第1讲 绪 论
一 关于代数的观念 二 数学史的发展阶段 三 代数发展的阶段(数学发展史) 四 代数学发展的四个阶段 五 几类与近世代数的应用有关的实际
问题
2
第二章 基本概念
3
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集合与元素的相关概念
集合的相关概念
集合的运算及运算律
集合的补充及说明
6
第2讲 基本概念之集合及其之间的关系 —对应关系(映射)(人造关系)
1 映射概念回忆
2 映射及相关定义 3 映射的充要条件
4 映射举例
5 符号说明
6 映射的合成及相关结论
7 映射及其映射相等概念的推广
8 集合及其之间的关系——特殊
近世代数课件(全)--近世代数1-0 基本概念
2012-9-19
6. 数字通信的可靠性问题 现代通信中用数字代表信息，用电子设 备进行发送、传递和接收，并用计算机加以 处理。由于信息量大，在通信过程中难免会 出现错误。为了减少错误，除了改进设备 外，还可以从信息的表示方法上想办法。用 数字表示信息的方法称为编码。编码学就是 一 门 研 究 高 效 编 码 方 法 的 学 科 。 下面用两个简单的例子来说明检错码与 纠错码的概念。
2012-9-19
8. 代数方程根式求解问题 我们知道，任何一个一元二次代数方程 可用根式表示它的两个解。对于一元三次和 四次代数方程，古人们经过长期的努力也巧 妙地做到了这一点。于是人们自然要问：是 否任何次代数方程的根均可用根式表示？许 多努力都失败了，但这些努力促使了近世代 数的产生，并最终解决了这个问题：五次以 上代数方程没有根式解。
2012-9-19
2 3
1 8
4 5
7 6
例1 用黑白两种颜色的珠子做成有5颗珠子的项链
利用枚举法，得到一共8种不同类型的项链。 随着n、m的增加，用枚举法解决越来越难， 采用群论方法解决是最简单、有效的方法。
2012-9-19
2.分子结构的计数问题 在化学中研究由某几种元素可合成多少种 不同物质的问题，由此可以指导人们在大自 然中寻找或人工合成这些物质。 例2 在一个苯环上结合H原子或CH3原子团， 问可能形成多少种不同的化合物？ 如果假定苯环上相邻C原子 之间的键是互相等价的，则 此问题就是两种颜色6颗珠 子的项链问题。
2012-9-19
两种颜色 （红、绿） n=2
6面红 5面红、1面绿 4面红、2面绿 3面红、3面绿 2面红、4面绿 1面红、5面绿 6面绿
1 1 2 2 2 1 1
利用枚举法，得到一共10种不同的着色法。 对于一般的情况，目前只能用群论方法解决。
6. 数字通信的可靠性问题 现代通信中用数字代表信息，用电子设 备进行发送、传递和接收，并用计算机加以 处理。由于信息量大，在通信过程中难免会 出现错误。为了减少错误，除了改进设备 外，还可以从信息的表示方法上想办法。用 数字表示信息的方法称为编码。编码学就是 一 门 研 究 高 效 编 码 方 法 的 学 科 。 下面用两个简单的例子来说明检错码与 纠错码的概念。
2012-9-19
8. 代数方程根式求解问题 我们知道，任何一个一元二次代数方程 可用根式表示它的两个解。对于一元三次和 四次代数方程，古人们经过长期的努力也巧 妙地做到了这一点。于是人们自然要问：是 否任何次代数方程的根均可用根式表示？许 多努力都失败了，但这些努力促使了近世代 数的产生，并最终解决了这个问题：五次以 上代数方程没有根式解。
2012-9-19
2 3
1 8
4 5
7 6
例1 用黑白两种颜色的珠子做成有5颗珠子的项链
利用枚举法，得到一共8种不同类型的项链。 随着n、m的增加，用枚举法解决越来越难， 采用群论方法解决是最简单、有效的方法。
2012-9-19
2.分子结构的计数问题 在化学中研究由某几种元素可合成多少种 不同物质的问题，由此可以指导人们在大自 然中寻找或人工合成这些物质。 例2 在一个苯环上结合H原子或CH3原子团， 问可能形成多少种不同的化合物？ 如果假定苯环上相邻C原子 之间的键是互相等价的，则 此问题就是两种颜色6颗珠 子的项链问题。
2012-9-19
两种颜色 （红、绿） n=2
6面红 5面红、1面绿 4面红、2面绿 3面红、3面绿 2面红、4面绿 1面红、5面绿 6面绿
1 1 2 2 2 1 1
利用枚举法，得到一共10种不同的着色法。 对于一般的情况，目前只能用群论方法解决。
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《近世代数》精品课程
16、自己选择的路、跪着也要把它走 完。 17、一般情况下)不想三年以后的事， 只想现 在的事 。现在 有成就 ，以后 才能更 辉煌。
18、敢于向黑暗宣战的人，心里必须 充满光 明。 19、学习的关键--重复。
20、懦弱的人只会裹足不前，莽撞的 人只能 引为烧 身，只 有真只有永远躺在泥坑里的人，才不会再掉进坑里。——黑格尔 32、希望的灯一旦熄灭，生活刹那间变成了一片黑暗。——普列姆昌德 33、希望是人生的乳母。——科策布 34、形成天才的决定因素应该是勤奋。——郭沫若 35、学到很多东西的诀窍，就是一下子不要学很多。——洛克
《近世代数》精品课程25页PPT
《近世代数》精品课程
1、合法而稳定的权力在使用得当时很 少遇到 抵抗。 ——塞 ·约翰 逊 2、权力会使人渐渐失去温厚善良的美 德。— —伯克
3、最大限度地行使权力总是令人反感 ；权力 不易确 定之处 始终存 在着危 险。— —塞·约翰逊 4、权力会奴化一切。——塔西佗
5、虽然权力是一头固执的熊，可是金 子可以 拉着它 的鼻子 走。— —莎士 比
▪
26、要使整个人生都过得舒适、愉快，这是不可能的，因为人类必须具备一种能应付逆境的态度。——卢梭
▪
27、只有把抱怨环境的心情，化为上进的力量，才是成功的保证。——罗曼·罗兰
▪
28、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。——孔子
▪
29、勇猛、大胆和坚定的决心能够抵得上武器的精良。——达·芬奇
▪
上。——叔本华
谢谢！
25
1、合法而稳定的权力在使用得当时很 少遇到 抵抗。 ——塞 ·约翰 逊 2、权力会使人渐渐失去温厚善良的美 德。— —伯克
3、最大限度地行使权力总是令人反感 ；权力 不易确 定之处 始终存 在着危 险。— —塞·约翰逊 4、权力会奴化一切。——塔西佗
5、虽然权力是一头固执的熊，可是金 子可以 拉着它 的鼻子 走。— —莎士 比
▪
26、要使整个人生都过得舒适、愉快，这是不可能的，因为人类必须具备一种能应付逆境的态度。——卢梭
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27、只有把抱怨环境的心情，化为上进的力量，才是成功的保证。——罗曼·罗兰
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28、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。——孔子
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29、勇猛、大胆和坚定的决心能够抵得上武器的精良。——达·芬奇
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相关主题
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- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
31
第8讲 商域 1 构造域的方法 2 挖补定理 3 扩域定理 4 扩域的形式 5 商域的定义及结论 6 举例
32
第9讲 有限域
33
第五章 整环里的因子分解
34
第1讲 不可约元、素元、最大公因子 第2讲 唯一分解环 第3讲 特殊的唯一分解环
35
第1讲 不可约元、素元、最大公因子
1 整环的单位定义及性质 2 整除的定义及性质 3 相伴关系的性质 4 不可约元 5 最大公因子 6 最大公因子、互素的概念推广到多元的
第六章 群论补充Βιβλιοθήκη 39第1讲 共轭元与共轭子群 第2讲 群的直积 第3讲 群在集合上的作用 第4讲 西罗定理
40
第1讲 共轭元与共轭子群
研究群内一些特殊类型的元素和子群
1 中心和中心化子 2 共轭元和共轭子群 3 共轭子群与正规化子
映射的运算 映射及其相关概念的推广
8 集合及其之间的关系——特殊
的映射（代数运算）
9 集合及其之间的关系——一一
特殊映射
映射
6
第3讲 基本概念之代数运算适应的规则 ——运算律
1 与一种代数运算发生关系的运算律 （1）结合律 （2）交换律 （3）消去律 2 与两种代数运算发生关系的运算律 （1）第一分配律 （2）第二分配律
第一章 绪 论
1
第1讲 绪 论
一 关于代数的观念 二 数学史的发展阶段 三 代数发展的阶段(数学发展史) 四 代数学发展的四个阶段 五 几类与近世代数的应用有关的实际
问题
2
第二章 基本概念
3
第1讲 集合及其之间的关系 ——集合
第2讲 集合及其之间的关系 ——对应关系(映射)(人造关系)
第3讲 代数运算适应的规则——运算律 第4讲 与代数运算发生关系的映射——同态映射 第5讲 等价关系与分类
19
第9讲 特殊子群
1 循环群子群的一些结论 2 循环群概念的推广 3 特殊子群的几何意义探讨 4 子群的陪集 5 正规子群与商群
20
第10讲 群的同态与同构
1 群的同态的定义及举例 2 同态的性质及结论 3 同构的性质及结论 4 循环群的构造及循环群之间的同态 5 同态基本定理与同构定理
21
第11讲 群与对称的关系
集合与元素的相关概念
集合的相关概念
集合的运算及运算律
集合的补充及说明
5
第2讲 基本概念之集合及其之间的关系 —对应关系(映射)(人造关系)
1 映射概念回忆 2 映射及相关定义 3 映射的充要条件 4 映射举例
映射相关概念及举例
5 符号说明
6 映射的合成及相关结论
7 映射及其映射相等概念的推广
28
第5讲 子环、理想(主理想)及素理想和极大理想
1 子环 2 理想(主理想) 3 素理想和极大理想
29
第6讲 环的同态与同构
1 环的同态及同构的定义 2 环的同态的举例 3 环的同态基本性质 4 商环及环的同态基本定理 5 环的同构基本定理
30
第7讲 特殊环
1 矩阵环 2 多项式环 3 剩余类环
25
第2讲 特殊元素及性质
1 特殊元素之一—零元、负 元及单位元、逆元、零因子 2 零因子的性质 3 求环中的特殊元素——举例
26
第3讲 环的分类及特殊环的性质
1 特殊环的定义 2 除环的性质 3 有限环的几个相关结论 4 域中元素的计算方法 5 循环环的性质
27
第4讲 环的特征
1 环的特征的定义 2 特殊环的特征(数)及相关结论 3 举例
13
第3讲 群的定义及性质
1 群的第一定义 2 单位元及逆元的定义 3 群的第二定义 4 群的第三定义 5 群的第四定义 6 群的定义的等价证明 7 群的举例 8 群的重要性质
14
第4讲 有限群
1 群的分类及群的阶 2 有限群的判定定理 3 由有限集合上代数运算的运算表观 察代数运算的性质
15
第5讲 子群的定义及性质
情形 36
第2讲 唯一分解环 1 唯一分解元、唯一分解元的标准分
解式、唯一分解环、非唯一分解环 举例 2 最大公因子的存在性定理、不可约 元与素元的关系定理 3 唯一分解环的判定定理
37
第3讲 特殊的唯一分解环
1 主理想环 2 欧氏环 3 唯一分解环上的一元多项式环 4 因子分解与多项式的根
38
1 子群定义 2 子群的判别方法 3 子群的性质
16
第6讲 群中元素的阶
1 元素阶的定义 2 元素阶的举例 3 元素阶的性质
17
第7讲 循环群
1 循环群的定义及举例 2 循环群与元素阶的关系 3 循环群的一般形式 4 循环群的生成元的个数定理 5 循环群生成元的确定定理
18
第8讲 变换群
1 变换、满变换、单变换、一一变换 的定义及符号说明 2 特殊集合关于乘法的结论 3 变换群举例 4 特殊的变换群
7
第4讲 基本概念之与代数运算发生关系的映射 ——同态映射
1 同态映射 2 同态满射 3 同构映射 4 自同构映射 5 举例
8
第5讲 基本概念之等价关系与集合的分类 ——商集
1 商集 2 等价关系 3 集合的分类 4 集合A上的等价关系与 集合A的分类之间的联系
9
第三章 群
10
第1讲 代数系统
第2讲 半群
第3讲 群的定义及性质
第4讲 有限群
第5讲 子群的定义及性质
第6讲 元素的阶
第7讲 循环群 第8讲 变换群
特殊群
第9讲 特殊子群
第10讲 群的同态与同构
第11讲 群与对称的关系
11
第1讲 代数系统 1 代数系统及子代数系统的定义 2 代数系统的举例
12
第2讲 半群
1 半群、子半群、交换半群的定 义及判定定理 2 半群的举例 3 半群中幂的定义及性质
4
第1讲 基本概念之集合及其之间的关系 —集合
1 集合与集合元素的定义 2 集合与集合元素的表示符号 3 集合与集合元素之间的关系—— 属于关系 4 集合的分类标准及分类 5 集合的表示方法 6 集合之间的内在关系——包含关 系 7 集合运算 8 运算律 9 特殊集合的表示符号 10 集合的补充说明 11 包含与排斥原理
1 序言 2 几何对称 3 代数对称
22
第四章 环论
23
第1讲 环的定义及基本性质
第2讲 特殊元素及性质
第3讲 环的分类及特殊环的性质
第4讲 环的特征
第5讲 子环、理想(主理想)及素理想和极大理想
第6讲 环的同态与同构
第7讲 特殊环
第8讲 商域
第9讲 有限域
24
第1讲 环的定义及基本性质
1 环的定义 2 环的举例 3 环的初步性质
第8讲 商域 1 构造域的方法 2 挖补定理 3 扩域定理 4 扩域的形式 5 商域的定义及结论 6 举例
32
第9讲 有限域
33
第五章 整环里的因子分解
34
第1讲 不可约元、素元、最大公因子 第2讲 唯一分解环 第3讲 特殊的唯一分解环
35
第1讲 不可约元、素元、最大公因子
1 整环的单位定义及性质 2 整除的定义及性质 3 相伴关系的性质 4 不可约元 5 最大公因子 6 最大公因子、互素的概念推广到多元的
第六章 群论补充Βιβλιοθήκη 39第1讲 共轭元与共轭子群 第2讲 群的直积 第3讲 群在集合上的作用 第4讲 西罗定理
40
第1讲 共轭元与共轭子群
研究群内一些特殊类型的元素和子群
1 中心和中心化子 2 共轭元和共轭子群 3 共轭子群与正规化子
映射的运算 映射及其相关概念的推广
8 集合及其之间的关系——特殊
的映射（代数运算）
9 集合及其之间的关系——一一
特殊映射
映射
6
第3讲 基本概念之代数运算适应的规则 ——运算律
1 与一种代数运算发生关系的运算律 （1）结合律 （2）交换律 （3）消去律 2 与两种代数运算发生关系的运算律 （1）第一分配律 （2）第二分配律
第一章 绪 论
1
第1讲 绪 论
一 关于代数的观念 二 数学史的发展阶段 三 代数发展的阶段(数学发展史) 四 代数学发展的四个阶段 五 几类与近世代数的应用有关的实际
问题
2
第二章 基本概念
3
第1讲 集合及其之间的关系 ——集合
第2讲 集合及其之间的关系 ——对应关系(映射)(人造关系)
第3讲 代数运算适应的规则——运算律 第4讲 与代数运算发生关系的映射——同态映射 第5讲 等价关系与分类
19
第9讲 特殊子群
1 循环群子群的一些结论 2 循环群概念的推广 3 特殊子群的几何意义探讨 4 子群的陪集 5 正规子群与商群
20
第10讲 群的同态与同构
1 群的同态的定义及举例 2 同态的性质及结论 3 同构的性质及结论 4 循环群的构造及循环群之间的同态 5 同态基本定理与同构定理
21
第11讲 群与对称的关系
集合与元素的相关概念
集合的相关概念
集合的运算及运算律
集合的补充及说明
5
第2讲 基本概念之集合及其之间的关系 —对应关系(映射)(人造关系)
1 映射概念回忆 2 映射及相关定义 3 映射的充要条件 4 映射举例
映射相关概念及举例
5 符号说明
6 映射的合成及相关结论
7 映射及其映射相等概念的推广
28
第5讲 子环、理想(主理想)及素理想和极大理想
1 子环 2 理想(主理想) 3 素理想和极大理想
29
第6讲 环的同态与同构
1 环的同态及同构的定义 2 环的同态的举例 3 环的同态基本性质 4 商环及环的同态基本定理 5 环的同构基本定理
30
第7讲 特殊环
1 矩阵环 2 多项式环 3 剩余类环
25
第2讲 特殊元素及性质
1 特殊元素之一—零元、负 元及单位元、逆元、零因子 2 零因子的性质 3 求环中的特殊元素——举例
26
第3讲 环的分类及特殊环的性质
1 特殊环的定义 2 除环的性质 3 有限环的几个相关结论 4 域中元素的计算方法 5 循环环的性质
27
第4讲 环的特征
1 环的特征的定义 2 特殊环的特征(数)及相关结论 3 举例
13
第3讲 群的定义及性质
1 群的第一定义 2 单位元及逆元的定义 3 群的第二定义 4 群的第三定义 5 群的第四定义 6 群的定义的等价证明 7 群的举例 8 群的重要性质
14
第4讲 有限群
1 群的分类及群的阶 2 有限群的判定定理 3 由有限集合上代数运算的运算表观 察代数运算的性质
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第5讲 子群的定义及性质
情形 36
第2讲 唯一分解环 1 唯一分解元、唯一分解元的标准分
解式、唯一分解环、非唯一分解环 举例 2 最大公因子的存在性定理、不可约 元与素元的关系定理 3 唯一分解环的判定定理
37
第3讲 特殊的唯一分解环
1 主理想环 2 欧氏环 3 唯一分解环上的一元多项式环 4 因子分解与多项式的根
38
1 子群定义 2 子群的判别方法 3 子群的性质
16
第6讲 群中元素的阶
1 元素阶的定义 2 元素阶的举例 3 元素阶的性质
17
第7讲 循环群
1 循环群的定义及举例 2 循环群与元素阶的关系 3 循环群的一般形式 4 循环群的生成元的个数定理 5 循环群生成元的确定定理
18
第8讲 变换群
1 变换、满变换、单变换、一一变换 的定义及符号说明 2 特殊集合关于乘法的结论 3 变换群举例 4 特殊的变换群
7
第4讲 基本概念之与代数运算发生关系的映射 ——同态映射
1 同态映射 2 同态满射 3 同构映射 4 自同构映射 5 举例
8
第5讲 基本概念之等价关系与集合的分类 ——商集
1 商集 2 等价关系 3 集合的分类 4 集合A上的等价关系与 集合A的分类之间的联系
9
第三章 群
10
第1讲 代数系统
第2讲 半群
第3讲 群的定义及性质
第4讲 有限群
第5讲 子群的定义及性质
第6讲 元素的阶
第7讲 循环群 第8讲 变换群
特殊群
第9讲 特殊子群
第10讲 群的同态与同构
第11讲 群与对称的关系
11
第1讲 代数系统 1 代数系统及子代数系统的定义 2 代数系统的举例
12
第2讲 半群
1 半群、子半群、交换半群的定 义及判定定理 2 半群的举例 3 半群中幂的定义及性质
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第1讲 基本概念之集合及其之间的关系 —集合
1 集合与集合元素的定义 2 集合与集合元素的表示符号 3 集合与集合元素之间的关系—— 属于关系 4 集合的分类标准及分类 5 集合的表示方法 6 集合之间的内在关系——包含关 系 7 集合运算 8 运算律 9 特殊集合的表示符号 10 集合的补充说明 11 包含与排斥原理
1 序言 2 几何对称 3 代数对称
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第四章 环论
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第1讲 环的定义及基本性质
第2讲 特殊元素及性质
第3讲 环的分类及特殊环的性质
第4讲 环的特征
第5讲 子环、理想(主理想)及素理想和极大理想
第6讲 环的同态与同构
第7讲 特殊环
第8讲 商域
第9讲 有限域
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第1讲 环的定义及基本性质
1 环的定义 2 环的举例 3 环的初步性质