13级：第一讲(二)(2)：绝对值不等式的解法

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绝对值不等式的解法步骤

绝对值不等式的解法步骤一、绝对值的定义在开始讨论绝对值不等式的解法步骤之前，首先要了解绝对值的定义。

绝对值是指一个数与零之间的距离，表示为|a|，其中a为实数。

绝对值的定义如下：当a≥0时，|a|=a；当a<0时，|a|=-a。

二、绝对值不等式的基本形式绝对值不等式是指包含绝对值符号的不等式，常见的形式有以下两种：1. |x|<a，表示x与0的距离小于a；2. |x|>a，表示x与0的距离大于a。

三、解绝对值小于形式的不等式1. 当|a|<b时，有两种情况：a) a>0时，解为-b<a<b；b) a<0时，解为空集。

2. 当|a|≤b时，有两种情况：a) a>0时，解为-a≤x≤a；b) a<0时，解为x=0。

四、解绝对值大于形式的不等式1. 当|a|>b时，有两种情况：a) a>0时，解为x<-b或x>b；b) a<0时，解为解为x<-b或x>b。

2. 当|a|≥b时，有两种情况：a) a>0时，解为x≤-b或x≥b；b) a<0时，解为解为x≤-b或x≥b。

五、解绝对值不等式的注意事项在解绝对值不等式时，需要注意以下几点：1. 对于绝对值不等式中的常数a和b，要根据实际情况判断其正负性，以正确确定解的范围。

2. 在解绝对值不等式时，需要根据绝对值的定义，将不等式分解为两个简单的不等式，并分别求解。

3. 在进行不等式的运算过程中，要根据不等式的性质进行合理的变形，确保解的正确性。

4. 在解绝对值不等式时，可以通过画数轴的方式来辅助理解和确定解的范围。

六、绝对值不等式的应用绝对值不等式在实际问题中有着广泛的应用。

例如，在求解含有变量的不等式时，往往需要通过绝对值不等式的知识来确定变量的取值范围。

另外，在求解数列极限、证明不等式等数学问题中，也常常需要运用绝对值不等式的知识。

解绝对值不等式的步骤包括了绝对值的定义、绝对值不等式的基本形式、解绝对值小于形式的不等式、解绝对值大于形式的不等式以及解绝对值不等式的注意事项。

绝对值不等式的解题方法与技巧

绝对值不等式的解题方法与技巧绝对值不等式是指形式为|ax + b| < c或|ax + b| > c的不等式，其中a、b、c为实数且a不等于0。

解绝对值不等式的方法和技巧如下：1. 分类讨论法，对于形如|ax + b| < c或|ax + b| > c的绝对值不等式，可以根据ax + b的正负情况分别讨论。

当ax + b大于等于0时，即ax + b >= 0，此时不等式化简为ax + b < c或ax + b > c；当ax + b小于0时，即ax + b < 0，此时不等式化简为-(ax + b) < c或-(ax + b) > c。

分别解出这两种情况下的不等式，得到的解集合再取并集即为原不等式的解集合。

2. 图像法，可以将|ax + b|看作一个以点(-b/a, 0)为中心，以c为半径的圆形，|ax + b| < c对应的是圆心到直线ax + b = c的距离小于c的区域，|ax + b| > c对应的是圆心到直线ax + b = c的距离大于c的区域。

通过绘制图像，可以直观地找到不等式的解集合。

3. 代数法，对于形如|ax + b| < c或|ax + b| > c的绝对值不等式，可以通过代数方法将其转化为一元一次不等式进行求解。

例如，对于|2x 3| < 5，可以分别得到-5 < 2x 3 < 5，进而得到-2 < x < 4，即解集合为(-2, 4)。

4. 绝对值性质法，利用绝对值的性质，如|a| < b等价于-b <a < b，可以将绝对值不等式转化为一元一次不等式进行求解。

总之，解绝对值不等式的方法和技巧有很多种，可以根据具体的不等式形式和题目要求选择合适的方法进行求解，需要灵活运用代数、几何和逻辑推理等知识。

希望以上回答能够帮助到你。

绝对值与不等式的解法

绝对值与不等式的解法绝对值和不等式是高中数学中重要的概念和解题方法。

绝对值常常出现在不等式中，对于解决这类问题，我们需要掌握一些基本的解法和技巧。

本文将介绍绝对值与不等式的解法，包括绝对值不等式和绝对值方程两个方面。

一、绝对值不等式的解法绝对值不等式是指形如|f(x)| ≤ g(x)，或|f(x)| ≥ g(x) 这样的数学不等式。

解决这类问题的关键在于将绝对值不等式转化为不等式组或分段函数。

下面以一个具体的例子来说明解答绝对值不等式的步骤。

例题：解不等式 |2x - 3| ≤ 5首先，我们需要根据绝对值的定义进行分情况讨论。

当 2x - 3 ≥ 0 时，|2x - 3| = 2x - 3；当 2x - 3 < 0 时，|2x - 3| = -(2x - 3)。

针对每一种情况，我们可以得到以下两个不等式：当 2x - 3 ≥ 0 时，2x - 3 ≤ 5，解得x ≤ 4；当 2x - 3 < 0 时，-(2x - 3) ≤ 5，解得x ≥ -1。

因此，综合两种情况的解集，得到最终的解为 -1 ≤ x ≤ 4。

二、绝对值方程的解法绝对值方程是指形如 |f(x)| = g(x) 的方程。

解决这类问题的关键在于将绝对值方程转化为分段函数，并通过分析不同情况求解。

下面以一个具体的例子来说明解答绝对值方程的步骤。

例题：解方程 |4x - 7| = 3同样地，我们根据绝对值的定义进行分情况讨论。

当4x - 7 ≥ 0 时，|4x - 7| = 4x - 7；当 4x - 7 < 0 时，|4x - 7| = -(4x - 7)。

针对每一种情况，我们可以得到以下两个方程：当 4x - 7 ≥ 0 时，4x - 7 = 3，解得 x = 2；当 4x - 7 < 0 时，-(4x - 7) = 3，解得 x = 1/4。

因此，综合两种情况的解集，得到最终的解为 x = 2 或 x = 1/4。

绝对值不等式的解法

绝对值不等式的解法绝对值不等式在数学中有着广泛的应用，它们涉及到了绝对值的概念和不等式的解法。

本文将介绍几种常见的绝对值不等式的解法，并给出相应的例子进行说明。

一、绝对值不等式的基本性质在解绝对值不等式之前，我们先来了解一些绝对值的基本性质。

对于任意实数a，有以下三个性质：1. 非负性质：|a| ≥ 0绝对值表示的是一个数距离原点的距离，因此它始终是非负的。

2. 正负性质：如果a > 0，则 |a| = a；如果a < 0，则 |a| = -a这是绝对值的定义，即当a为正时，取a的值；当a为负时，取-a 的值。

3. 三角不等式：对于任意实数a和b，有|a + b| ≤ |a| + |b|这是绝对值的三角不等式，它表明两个数的绝对值之和不超过它们的绝对值的和。

有了以上基本性质的了解，我们可以利用它们来解决绝对值不等式。

二、1. 绝对值的定义法义来解决不等式。

例如，对于不等式 |2x - 3| ≤ 5，我们可以通过以下步骤来求解：（1）当2x - 3 ≥ 0时，|2x - 3| = 2x - 3，此时原不等式可以转化为2x - 3 ≤ 5，解得x ≤ 4。

（2）当2x - 3 < 0时，|2x - 3| = -(2x - 3) = -2x + 3，此时原不等式可以转化为 -2x + 3 ≤ 5，解得x ≥ -1。

综合以上两种情况的解集，最终得到该不等式的解集为 -1 ≤ x ≤ 4。

2. 绝对值的范围法当绝对值中的表达式的取值范围已知时，我们可以利用绝对值的非负性质来解决不等式。

例如，对于不等式 |x - 3| > 2，我们可以通过以下步骤来求解：（1）当 x - 3 > 0 时，|x - 3| = x - 3，此时原不等式可以转化为 x -3 > 2，解得 x > 5。

（2）当 x - 3 < 0 时，|x - 3| = -(x - 3) = -x + 3，此时原不等式可以转化为 -x + 3 > 2，解得 x < 1。

绝对值不等式的解法

绝对值不等式的解法绝对值不等式是数学中常见的一类不等式，对于绝对值不等式的解法，我们可以通过以下几种方法来进行求解。

在本文中，将介绍绝对值不等式的图像法、符号法、分情况讨论法以及代数法等几种常用解法。

一、图像法图像法是一种直观的解法，通过绘制图像来确定不等式的解集。

例1：解不等式 |x - 2| > 3。

首先，我们可以将其转化为两个方程：x - 2 > 3 或 x - 2 < -3解得：x > 5 或 x < -1将这两个解集对应的区间在数轴上标出，即可得到图像。

通过观察图像，我们可以得出原不等式的解集为 x < -1 或 x > 5。

二、符号法符号法是一种抽象的解法，通过符号的转换来确定不等式的解集。

例2：解不等式 |2x - 3| ≤ 4。

根据绝对值的定义，我们可以将不等式分解为以下两个条件：2x - 3 ≤ 4 且 2x - 3 ≥ -4解得：x ≤ 7/2 且x ≥ -1/2将这两个解集取交集，即可得到原不等式的解集为 -1/2 ≤ x ≤ 7/2。

三、分情况讨论法分情况讨论法是一种特殊的解法，通过考虑不同情况来确定不等式的解集。

例3：解不等式 |3x + 2| > 5。

根据绝对值的定义，我们可以得到以下两个不等式：3x + 2 > 5 或 3x + 2 < -5解得：x > 1 且 x < -7/3因此，我们可以根据不同的情况得出原不等式的解集为 x < -7/3 或x > 1。

四、代数法代数法是一种基础的解法，通过代数运算来确定不等式的解集。

例4：解不等式 |x - 4| ≥ 2。

根据绝对值的定义，我们可以得到以下两个不等式：x - 4 ≥ 2 或 x - 4 ≤ -2解得：x ≥ 6 或x ≤ 2因此，原不等式的解集为x ≤ 2 或x ≥ 6。

综上所述，绝对值不等式的解法包括图像法、符号法、分情况讨论法以及代数法等几种常用方法。

绝对值不等式的解法和步骤

绝对值不等式的解法和步骤嘿，咱今儿就来唠唠绝对值不等式这玩意儿的解法和步骤哈！你说这绝对值不等式啊，就像是个调皮的小精灵，有时候藏得深，有时候又蹦跶得欢。

那怎么对付它呢？咱先说说简单点的情况。

就好比一个数的绝对值小于另一个数，那这时候就相当于这个数在以另一个数为中心的一个小范围内蹦跶呢。

比如说，|x|＜5，那这 x 不就是在-5 和 5 之间嘛，简单不？这就好像你找东西，知道它就在那一块儿，范围缩小了，就好找多啦！再说说复杂点的，要是一个绝对值大于另一个数呢？那就像是这个数得跑到离中心更远的地方去啦。

比如说，|x|＞3，那 x 要么比 3 大很多，要么比-3 小很多呀，是不是挺形象的？那要是遇到多个绝对值凑一块儿的呢？这就有点像打小怪兽啦，得一个一个来解决。

先把每个绝对值里的情况分析清楚，再综合起来看。

比如说，|x-1|+|x+2|＜5，咱就得分情况讨论咯。

当 x＜-2 时，那这两个绝对值里的式子都得变号，然后再解不等式；当-2≤x＜1 时，只有一个绝对值变号，另一个不变，再接着解；当x≥1 时，两个都不变号啦，继续解。

是不是感觉像在走迷宫，得找对路才行呀！解绝对值不等式啊，就像是在解题的海洋里航行，有时候风平浪静，有时候波涛汹涌。

但只要咱掌握了方法，那就能稳稳地向前开。

咱再举个例子哈，|2x-3|≤7，这时候咱就可以把它分成-7≤2x-3≤7 来解呀，先加 3，再除以 2，答案不就出来啦！哎呀，这绝对值不等式啊，其实没那么可怕。

只要咱多练练，多琢磨琢磨，就一定能把它拿下！就像爬山一样，虽然过程有点累，但等爬到山顶，看到那美丽的风景，就觉得一切都值啦！所以啊，大家别害怕绝对值不等式，勇敢地去解它，你会发现其中的乐趣和成就感的！加油吧，朋友们！相信自己，绝对能行！。

解绝对值不等式的方法

解绝对值不等式的方法绝对值不等式是数学中常见且重要的一种不等式类型。

解绝对值不等式可以帮助我们确定变量的取值范围，从而求解问题。

本文将介绍三种常用的方法来解绝对值不等式。

一、符号法符号法是解绝对值不等式最简单直观的方法之一。

当我们遇到简单的一元一次绝对值不等式时，可以通过考虑绝对值的取正负两种情况来解决。

例如，对于不等式|x-2|<5，我们可以先考虑取正的情况：x-2<5 --> x<7然后再考虑取负的情况：-（x-2）<5 --> x>-3综合两个不等式的解集，我们得到-3<x<7，即解为(-3,7)。

二、区间法区间法是一种更加系统和严谨的方法，适用于更复杂的绝对值不等式。

该方法基于绝对值的定义，将不等式转化为分段函数的形式。

例如，对于不等式|2x-1|≥3，我们可以先将其拆分为两个情况：1. 当2x-1≥0时，不等式变为2x-1≥3，解得x≥2。

2. 当2x-1<0时，不等式变为-(2x-1)≥3，解得x≤-1。

综合两个情况的解集，我们得到解为x≤-1或x≥2。

三、平方法平方法是解决带有二次项的绝对值不等式的常用方法。

该方法的关键是利用平方的非负性。

例如，对于不等式|x^2-4|<3，我们可以先对不等式进行拆分：1. 当x^2-4≥0时，不等式变为x^2-4<3，解得-1<x<3。

2. 当x^2-4<0时，不等式变为-(x^2-4)<3，展开后得到x^2-4>-3，解得-√7<x<√7。

综合两个情况的解集，我们得到解为-√7<x<-1或1<x<√7。

绝对值不等式的解方法还有其他变种，上述仅是其中常用的三种方法。

在解题过程中，我们需要根据不等式的形式和特点选择合适的方法。

此外，需要注意绝对值不等式的符号翻转和取等问题。

总结起来，解绝对值不等式的方法有符号法、区间法和平方法等。

绝对值不等式的解法

绝对值不等式的解法什么是绝对值不等式？绝对值不等式是数学中一类常见的不等式类型，它涉及到绝对值函数(|x|)。

绝对值函数定义了一个实数的非负值，即对于实数x，|x|的值总是与x的符号无关，而只与x的大小有关。

绝对值不等式的一般形式为：|f(x)| ≤ a 或|f(x)| ≥ a，其中f(x)是一个函数，a是一个正实数。

绝对值不等式的求解方法当遇到绝对值不等式时，我们需要找到使得不等式成立的x 的范围，也就是求解不等式的解集。

下面将介绍几种常见的绝对值不等式的解法。

1. 图形法图形法是解决绝对值不等式的直观方法。

我们可以通过绘制函数y = f(x)的图像来分析绝对值不等式。

对于不等式|f(x)| ≤ a，我们可以绘制函数y = f(x)的图像，并考察函数值在y轴上的绝对值是否小于等于a。

如果在x的某个范围内，函数图像位于y轴上的绝对值小于等于a，则该范围内的x属于解集。

对于不等式|f(x)| ≥ a，同样可以绘制函数y = f(x)的图像。

但在该情况下，我们需要考察函数图像位于y轴上的绝对值是否大于等于a。

如果在x的某个范围内，函数图像位于y轴上的绝对值大于等于a，则该范围内的x属于解集。

2. 分情况讨论法绝对值不等式的另一种解法是通过分情况讨论来找到解集的范围。

对于不等式|f(x)| ≤ a，我们可以将绝对值函数分为两种情况进行讨论： - 当f(x) ≥ 0 时，原不等式可以简化为f(x) ≤ a。

- 当 f(x) < 0 时，原不等式可以简化为 -f(x) ≤ a，进一步化简为f(x) ≥ -a。

上述两种情况分别给出了绝对值不等式的解集范围。

我们需要根据具体函数f(x)和给定的a值来确定最终的解集。

对于不等式|f(x)| ≥ a，同样可以采用类似的分情况讨论法：- 当f(x) ≥ 0 时，原不等式可以简化为f(x) ≥ a。

- 当 f(x) < 0 时，原不等式可以简化为 -f(x) ≥ a，进一步化简为f(x) ≤ -a。

总结解绝对值不等式的方法与技巧

总结解绝对值不等式的方法与技巧绝对值不等式是数学中常见的一类不等式，涉及到绝对值的性质和运算。

解绝对值不等式要灵活运用各种技巧和方法，下面将总结解绝对值不等式的一些常用技巧和方法。

一、基本性质与运算法则1. 绝对值的定义：对于任意实数x，其绝对值|x|的值分两种情况讨论，当x≥0时，|x|=x；当x<0时，|x|=-x。

2. 绝对值的非负性：对于任意实数x，有|x|≥0。

3. 绝对值的等价关系：对于任意实数x和y，若|x|=|y|，则x=y或x=-y。

4. 绝对值的三角不等式：对于任意实数x和y，有|x+y|≤|x|+|y|和|x-y|≥|x|-|y|。

5. 绝对值的运算法则：对于任意实数x和y，有以下运算法则：(a) |x·y|=|x|·|y|(b) |x/y|=|x|/|y|（其中y≠0）(c) |x^n|=|x|^n（n为正整数）二、绝对值不等式的解法1. 以不等式符号为界限：(a) 若|x|<a，则-a<x<a；(b) 若|x|>a，则x<-a或x>a；(c) 若|x|≤a，则-a≤x≤a；(d) 若|x|≥a，则x≤-a或x≥a。

2. 分情况讨论法：(a) 当x≥0时，将不等式去掉绝对值符号得到等价不等式，再继续求解；(b) 当x<0时，反号后去掉绝对值符号得到等价不等式，再继续求解。

3. 使用绝对值性质：(a) 应用绝对值的非负性和等价关系来转化不等式，例如将|x-a|<b 转化为-a<x-a<b+a；(b) 应用绝对值的三角不等式来转化不等式，例如将|2x-3|≥5转化为2x-3≥5或2x-3≤-5。

4. 求解多个绝对值不等式的交集或并集：(a) 对于交集，解两个不等式分别得到解集A和B，最后求A和B 的交集；(b) 对于并集，解两个不等式分别得到解集A和B，最后求A和B的并集。

三、绝对值不等式的应用技巧1. 与多项式结合：对于包含绝对值的多项式不等式，可以将其拆分成多个简化的不等式，再求解。

绝对值不等式的解法

S(x)=2(|x-10|+|x-20|)，要求问题化归为求该函数的最小值，可用绝对值三角不等式求解。
补充练习
: a b a b ,n a b a b , 则 m , n 之间的
1 .已知 a b , m 大小关系是 A.m n
2 .如果实数则
( D ) B.m n C.m n D.m n
B)
例2 两个施工队分别被安排在公路沿线的两个地点施工，这两个地点分别位于公路路碑的第 10km和第20km处。现要在公路沿线建两个施工队的共同临时生活区，每个施工队每天在生活区和施工地点之间往返一次。要使两个施工队每天往返的路程之和最小，生活区应该建于何处？
分析：假设生活区建在公路路碑的第xkm处，两个施工队每天往返的路程之和为S(x)km，则有
分ab>0和ab<0两种情形讨论：
（1）当ab>0时，如下图可得|a+b|=|a|+|b|
x
O
a
b
a+b
a+b
b
a
O
x
（2）当ab<0时，也分为两种情况：如果a>0,b<0，如下图可得：|a+b|<|a|+|b|
b
a+b
O
a
x
如果a<0, b>0，如下图可得：|a+b|<|a|+|b|
a
O
a+b
不等式
二、绝对值不等式
1、绝对值三角不等式
实数a的绝对值|a|的几何意义是表示数轴上坐标为a的点A到原点的距离：
|a|
A O a
x

解绝对值不等式的方法总结

解绝对值不等式的方法总结绝对值不等式是数学中常见的一类不等式，它涉及到绝对值的大小关系。

解绝对值不等式的关键是确定不等式中的变量可能取的范围，并结合绝对值的性质进行推导。

下面将从基本方法、分析方法和图像法等角度给出解绝对值不等式的方法总结。

一、基本方法1.消去绝对值：当绝对值不等式中只有一个绝对值符号时，我们可以通过将绝对值号内的条件进行分类讨论来消去绝对值。

例如，对于不等式，x-2，<3，我们可以将其分类讨论为两种情况：x-2>0时，不等式可转化为x-2<3，即x<5；x-2<0时，不等式可转化为-(x-2)<3，即-x+2<3，即x>-1、因此，原不等式的解集为-1<x<52.分离绝对值：当绝对值不等式中有两个绝对值符号时，我们可以通过分离绝对值的方法将其转化为一个带有正负号的二次不等式。

例如，对于不等式，x-2，>，x+3，由于绝对值的性质，我们有两种情况：x-2>x+3，即-5>0，这个情况显然不成立；x-2<-(x+3)，即-2x-1>0，即x<-1/2、综上所述，原不等式的解集为x<-1/23.基本不等式法：针对绝对值不等式中的特殊形式，f(x)，>c或，f(x)，<c，其中c是正实数，通过化简找到f(x)的取值范围。

例如，对于不等式，2x-3，>5，我们可以将其转化为两个不等式：2x-3>5和2x-3<-5、从第一个不等式中解得x>4，从第二个不等式中解得x<-1、因此，原不等式的解集为x<-1或x>4二、分析方法1. 区间法：对于绝对值不等式，ax+b， < c （或 > c），我们可以通过给定 a、b 和 c 的符号情况来确定 x 的取值范围。

例如，对于不等式，4x+5， < 3，我们可以根据 4x+5 和 -4x-5 的正负号进行分类讨论。

绝对值不等式的解法

绝对值不等式的解法绝对值不等式是数学中非常常见和重要的一类不等式，它的解法依赖于绝对值函数的性质以及不等式的具体形式。

本文将系统地介绍绝对值不等式的解法方法，以帮助读者更好地理解和运用。

一、绝对值不等式的定义和性质绝对值是一个数在不考虑其正负的情况下的实际值。

在数学中，绝对值函数可以表示为|a|，其中a是一个数。

绝对值函数的性质如下：1. 非负性：|a|≥0，即绝对值函数的值永远大于等于0。

2. 正数性：|a|>0当且仅当a≠0。

绝对值函数在a不等于0时取正数。

3. 三角不等式：|a+b|≤|a|+|b|，即两个数的绝对值之和的绝对值不大于这两个数的绝对值的和。

二、绝对值不等式的解法思路对于绝对值不等式，我们通常采用以下思路进行求解：1. 分析绝对值的取值范围和条件：根据不等式的形式，判断绝对值函数的取值范围和条件，将不等式分解成几个子情况。

2. 分别求解子情况：对于每个子情况，利用绝对值函数的性质和数学方法求解不等式。

3. 综合得出最终结果：将所有子情况的解合并起来，得出最终的不等式解集。

下面将结合具体的例子，来展示绝对值不等式解法的具体步骤。

例一：|x+2|<5首先，我们根据不等式的形式可知，存在两种情况：情况一：x+2>0时，即x>-2将不等式转化为：x+2<5，即x<3根据不等式的合并规则，结合情况一和情况二的解集，最终得到：-2<x<3例二：|2x-1|≥3同样地，我们根据不等式的形式可以得到两种情况：情况一：2x-1≥0时，即x≥1/2将不等式转化为：2x-1≥3，即2x≥4，x≥2情况二：2x-1<0时，即x<1/2将不等式转化为：-(2x-1)≥3，即-2x+1≥3，-2x≥2，x≤-1根据不等式的合并规则，结合情况一和情况二的解集，最终得到：x≤-1或x≥2综上所述，通过分析绝对值的取值范围和条件，以及分别求解子情况并综合得出最终结果的步骤，我们可以解决各种形式的绝对值不等式。

绝对值不等式求解方法

绝对值不等式求解方法宝子们，今天咱们来唠唠绝对值不等式的求解方法呀。

绝对值不等式呢，长着一副有点吓人的样子，就像数学世界里的小怪兽。

不过别怕，咱有办法对付它。

如果是最简单的那种，比如x < a（a>0）这种类型的。

那这个时候呀，x就像是被关在一个小范围里啦。

它的解就是 -a < x < a。

就好像x被限定在 -a和a这两个小边界之间，不能跑出去呢。

比如说x < 3，那x就只能在 -3和3之间晃悠，也就是-3 < x < 3。

再有一种呢，是x > a（a>0）。

这时候的x就比较“野”啦，它可以跑到 -a的左边，也可以跑到a的右边。

解就是x < -a或者x > a。

就像x是个调皮的小娃，要么在 -a的左边远远的，要么就在a的右边远远的。

像x > 2，那x要么小于 -2，要么大于2。

要是遇到稍微复杂一点的，像ax + b < c（c>0）这种。

咱们就把它当成一个整体，先按照前面简单的那种来处理。

变成 -c < ax + b < c。

然后呢，再像解普通不等式一样，把ax单独解出来。

这就像是给这个小复杂的式子“脱衣服”，一层一层剥开，最后找到x的范围。

还有ax + b > c（c>0）的情况，那也是先变成ax + b < -c或者ax + b > c，再去解x的范围。

宝子们呀，做绝对值不等式的时候，可别慌神。

就把绝对值符号当成一个小笼子，咱们要做的就是根据不同的情况，把里面的“小动物”（也就是x）的活动范围找出来。

多做几道题，你就会发现，其实这小怪兽也没那么可怕啦，就像玩游戏闯关一样，每解出一道题，就像闯过了一关，超有成就感的哟！。

绝对值不等式(绝对值三角不等式与绝对值不等式的解法)知识讲解

1.求 x 3 的x最大9 值 2.求 x 3 的x最 9小值
3.若变为|x+1|+|x-2|>k恒成立，则k的取值范围是 4.若变为不等式|x-1|+|x-3|<k的解集为空集，则k的取值范围是
3、已知 0, x a , y b ,
求证 2x 3y 2a 3b 5
绝对值不等式的解法（一）
2x 4， x 1
例1. 解不等式|x-1|+|x+2|≥5
y
2x 6, x 2 y 2， 2 x 1
2x 4， x 1
如图,作出函数的图象,
函数的零点是-3,2.
-2 1
-3
2x
-2
由图象可知,当x 3或x 2时,y 0,
∴原不等式的解集为{x|x≤-3 或 x≥2}.
取值范围是-(------,--2-]
3.解不等式1<|2x+1|<3. 答案:(-2,-1)∪(0,1)
4.解不等式|x+3|+|x-3|>8. 答案: {x|x<-4或x>4}.
5.解不等式：|x-1|>|x-3|. 答案: {x|x>2}.
6.解不等式|5x- 6|<6-x. 答案:(0,2)
思考四：若变为不等式|x-1|+|x+2|<k的解集为，则k的取值范围是 k 3
练习：解不等式│x+1│–│x–2│≥1
x | x 1
作出f (x) │x +1│–│x – 2│的图像，并思考f (x)的最大和最小值
│x +1│–│x – 2│ k恒成立，k的取值范围是 │x +1│–│x – 2│ k恒成立，k的取值范围是

1 2 2绝对值不等式的解法

(5)方法 1：分类讨论求解． (ⅰ)当 2x<0 时，即 x<0. ∵x2－12≥0 对任意 x∈R 恒成立， ∴x2－12>2x 恒成立． ∴x<0 是原不等式的解． (ⅱ)当 2x＝0 时，即 x＝0. ∵x2－12＝0－12＝12>0， ∴x＝0 是原不等式的解．
(ⅲ)当 2x>0 时，即 x>0.
4．解含绝对值不等式的核心任务解含绝对值不等式的核心任务是：去绝对值，将不等式恒等变形为不含绝对值的常规不等式，然后利用已经掌握的解题方法求解；注意不可盲目平方去绝对值符号.
课堂互动探究
剖析归纳触类旁通
典例剖析【例 1】解下列不等式： (1)|x－1|≤2； (2)|2x－1|<2－3x； (3)3≤|x－2|<4； (4)|x＋2|>|x－1|； (5)x2－12>2x.
解 (1)|3－2x|－4≥0⇔|2x－3|≥4⇔2x－3≥4 或 2x－3≤－ 4⇔2x≥7 或 2x≤－1⇔x≥72或 x≤－12.所以原不等式的解集为 x|x≤－12或x≥72.
(2)2<|3x－1|<3 ⇔2<3x－1<3 或－3<3x－1<－2 ⇔3<3x<4 或－2<3x<－1
⇔1<x<43或－23<x<－13. 所以原不等式的解集为 x|－23<x<－13或1<x<43. (3)|x2－1|>3⇔x2－1>3 或 x2－1<－3 ⇔x2>4 或 x2<－2(无解) ⇔|x|>2⇔x>2 或 x<－2. 所以原不等式的解集为{x|x<－2 或 x>2}．

解绝对值不等式的方法总结

解绝对值不等式的方法总结绝对值不等式是数学中一类重要的问题，它涉及到不等式的解法和绝对值函数的性质。

下面是解绝对值不等式的方法总结：一、定义法绝对值的定义是：|a|=a(a>0)，|a|=-a(a<0)，|a|=0(a=0)。

利用这个定义，我们可以将绝对值不等式转化为普通不等式，然后求解。

例如，解不等式|x-3|>4，我们可以转化为解不等式x-3>4或x-3<=-4，即x>7或x<=1。

二、实数性质法利用实数的性质，我们知道对于任意实数a和b，有|a+b|<=|a|+|b|。

这个性质可以用来解一些含有绝对值的三角不等式。

例如，解不等式|x+y|<=|x|+|y|，我们可以令x=a, y=b，得到|a+b|<=|a|+|b|，即-|a+b|<=|a|-|b|<=|a+b|，从而得到-1<=cosθ<=1，其中θ为a和b的夹角。

三、平方法对于形如|ax+b|>c的不等式，我们可以利用平方法将其转化为普通不等式。

具体地，我们先将ax+b的绝对值平方，得到a^2x^2+2abx+b^2>c^2，然后解这个普通不等式。

例如，解不等式|x+3|>4，我们先将x+3的绝对值平方，得到x^2+6x+9>16，即x^2+6x-7>0。

然后解这个不等式得到x<1或x>7。

四、零点分段法对于形如|f(x)|>g(x)的不等式，我们可以先令f(x)=0，找到可能使不等式成立的x的取值范围，然后在这些范围内分别讨论g(x)的符号情况，从而得到不等式的解集。

例如，解不等式|x^2-3x+2|>x+1，我们先令x^2-3x+2=0，得到x=1或x=2。

在区间(-∞,1)内，f(x)=-x^2+3x-2<0，所以在这个区间内不等式不成立。

在区间[1,2)内，f(x)=-x^2+3x-2>0且g(x)=x+1<0，所以在这个区间内不等式成立。

含绝对值不等式的解法规律

含绝对值不等式的解法规律含有绝对值的不等式解法可以分为以下三种情况：
情况一：绝对值函数的值大于等于零，即|a|≥0。

对于这种情况，不等式的解集就是所有满足条件的实数集，即解集为全体实数集R。

情况二：绝对值函数的值与另一函数的值比较，即|a|≤b或|a|≥b。

对于这种情况，我们需要将不等式转化为一个或多个不含绝对值的不等式。

具体的转化方法如下：
对于|a|≤b这种形式的不等式，可分为a≤b和-a≤b两种情况，即：
*当a≥0时，原不等式转化为a≤b；
*当a<0时，原不等式转化为-a≤b。

对于|a|≥b这种形式的不等式，可分为a≥b和-a≥b两种情况，即：
*当a≥0时，原不等式转化为a≥b；
*当a<0时，原不等式转化为-a≥b。

情况三：绝对值函数的值与另两个函数的值比较，即|a-b|≤c 或|a-b|≥c。

对于这种情况，我们同样需要将不等式转化为一个或多个不含绝对值的不等式。

具体的转化方法如下：
对于|a-b|≤c这种形式的不等式，可分为a-b≤c和b-a≤c两种情况，即：
*当a≥b时，原不等式转化为a≤b+c；
*当a<b时，原不等式转化为b-a≤c，即a-b≥-c。

对于|a-b|≥c这种形式的不等式，可分为a-b≥c和b-a≥c两种情况，即：
*当a≥b时，原不等式转化为a≥b+c；
*当a<b时，原不等式转化为b-a≥c，即a-b≤-c。

需要注意的是，在进行不等式的转化时，必须考虑绝对值内部的数值正负情况，以找到正确的不等式形式。

高中数学第一讲不等式和绝对值不等式二2.绝对值不等式的解法教案(含解析)新人教A版选修4_5

2．绝对值不等式的解法1．|ax ＋b |≤c ，|ax ＋b |≥c (c >0)型不等式的解法只需将ax ＋b 看成一个整体，即化成|x |≤a ，|x |≥a (a >0)型不等式求解．|ax ＋b |≤c (c >0)型不等式的解法：先化为－c ≤ax ＋b ≤c ，再由不等式的性质求出原不等式的解集．不等式|ax ＋b |≥c (c >0)的解法：先化为ax ＋b ≥c 或ax ＋b ≤－c ，再进一步利用不等式性质求出原不等式的解集．2．|x －a |＋|x －b |≥c 和|x －a |＋|x －b |≤c 型不等式的解法(1)利用绝对值不等式的几何意义求解，体现数形结合思想，理解绝对值的几何意义，给绝对值不等式以准确的几何解释是解题关键．(2)以绝对值的零点为分界点，将数轴分为几个区间，利用“零点分段法”求解，体现分类讨论的思想．确定各个绝对值符号内多项式的正、负性，进而去掉绝对值符号是解题关键．(3)通过构造函数，利用函数的图象求解，体现函数与方程的思想，正确求出函数的零点并画出函数图象(有时需要考查函数的增减性)是解题关键．|f (x )|≥g (x )和|f (x )|≤g (x )型不等式的解法(1)1<|x －2|≤3； (2)|2x ＋5|>7＋x ； (3)1x 2－2≤1|x |. [思路点拨] (1)可利用公式转化为|ax ＋b |>c (c >0)或|ax ＋b |<c (c >0)型不等式后逐一求解，也可利用绝对值的定义分两种情况去掉绝对值符号，还可用平方法转化为不含绝对值的不等式；(2)可利用公式法转化为不含绝对值的不等式； (3)可分类讨论去掉分母和绝对值． [解] (1)法一：原不等式等价于不等式组⎩⎪⎨⎪⎧|x －2|>1，|x －2|≤3，即⎩⎪⎨⎪⎧x <1或x >3，－1≤x ≤5，解得－1≤x <1或3<x ≤5，所以原不等式的解集为[－1,1)∪(3,5]．法二：原不等式可转化为：①⎩⎪⎨⎪⎧x －2≥0，1<x －2≤3，或②⎩⎪⎨⎪⎧x －2<0，1<－(x －2)≤3，由①得3<x ≤5，由②得－1≤x <1，所以原不等式的解集是[－1,1)∪(3,5]．法三：原不等式的解集就是1<(x －2)2≤9的解集，即⎩⎪⎨⎪⎧(x －2)2≤9，(x －2)2>1，解得⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤5，x <1或x >3，∴－1≤x <1或3<x ≤5.∴原不等式的解集是[－1,1)∪(3,5]． (2)由不等式|2x ＋5|>7＋x ，可得2x ＋5>7＋x 或2x ＋5<－(7＋x )，整理得x >2或x <－4.∴原不等式的解集是(－∞，－4)∪(2，＋∞)．(3)①当x 2－2<0且x ≠0，即－2<x <2，且x ≠0时，原不等式显然成立． ②当x 2－2>0时，原不等式可化为x 2－2≥|x |，即|x |2－|x |－2≥0， ∴|x |≥2，∴不等式的解为|x |≥2，即x ≤－2或x ≥2.∴原不等式的解集为(－∞，－2]∪(－2，0)∪(0，2)∪[2，＋∞)．含绝对值不等式的常见类型及其解法(1)形如|f (x )|<a ，|f (x )|>a (a ∈R)型不等式此类不等式的简单解法是等价命题法，即 ①当a >0时，|f (x )|<a ⇒－a <f (x )<a ； |f (x )|>a ⇔f (x )>a 或f (x )<－a . ②当a ＝0时，|f (x )|<a 无解； |f (x )|>a ⇔f (x )≠0.③当a <0时，|f (x )|<a 无解． |f (x )|>a ⇔f (x )有意义． (2)形如|f (x )|<|g (x )|型不等式此类问题的简单解法是利用平方法，即 |f (x )|<|g (x )|⇔[f (x )]2<[g (x )]2⇔[f (x )＋g (x )][f (x )－g (x )]<0.(3)形如|f (x )|<g (x )，|f (x )|>g (x )型不等式此类不等式的简单解法是等价命题法，即 ①|f (x )|<g (x )⇔－g (x )<f (x )<g (x )；②|f (x )|>g (x )⇔f (x )>g (x )或f (x )<－g (x )(其中g (x )可正也可负)．若此类问题用分类讨论法来解决，就显得较复杂． (4)形如a <|f (x )|<b (b >a >0)型不等式此类问题的简单解法是利用等价命题法，即a <|f (x )|<b (0<a <b )⇔a <f (x )<b 或－b <f (x )<－a .(5)形如|f (x )|<f (x )，|f (x )|>f (x )型不等式此类题的简单解法是利用绝对值的定义，即 |f (x )|<f (x )⇔x ∈∅， |f (x )|>f (x )⇔f (x )<0.1．解下列不等式： (1)|3－2x |<9； (2)4＜|3x －2|＜8； (3)|x 2－3x －4|>x ＋1.解：(1)∵|3－2x |<9，∴|2x －3|<9. ∴－9<2x －3<9. 即－6<2x <12. 解得－3<x <6.∴原不等式的解集为{x |－3<x <6}．(2)由4＜|3x －2|＜8，得⎩⎪⎨⎪⎧|3x －2|＞4，|3x －2|＜8⇒⎩⎪⎨⎪⎧3x －2＜－4或3x －2＞4，－8＜3x －2＜8⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＜－23或x ＞2，－2＜x ＜103.∴－2＜x ＜－23或2＜x ＜103.∴原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－2＜x ＜－23或2＜x ＜103.(3)不等式可转化为x 2－3x －4>x ＋1或x 2－3x －4<－x －1， ∴x 2－4x －5>0或x 2－2x －3<0. 解得x >5或x <－1或－1<x <3，∴不等式的解集为(－∞，－1)∪(－1,3)∪(5，＋∞).|x －a |＋|x －b |≥c 和|x －a |＋|x －b |≤c 型不等式的解法[思路点拨] 解该不等式，可采用三种方法： (1)利用绝对值的几何意义； (2)利用各绝对值的零点分段讨论； (3)构造函数，利用函数图象分析求解．[解] 法一：|x ＋7|－|x －2|可以看成数轴上的动点(坐标为x )到－7对应点的距离与到2对应点的距离的差，先找到这个差等于3的点，即x ＝－1.由图易知不等式|x ＋7|－|x －2|≤3的解为x ≤－1，即x ∈(－∞，－1]．法二：令x ＋7＝0，x －2＝0得x ＝－7，x ＝2. ①当x ＜－7时，不等式变为－x －7＋x －2≤3， ∴－9≤3成立，∴x ＜－7.②当－7≤x ≤2时，不等式变为x ＋7＋x －2≤3，即2x ≤－2，∴x ≤－1，∴－7≤x ≤－1. ③当x ＞2时，不等式变为x ＋7－x ＋2≤3，即9≤3不成立，∴x ∈∅.∴原不等式的解集为(－∞，－1]．法三：将原不等式转化为|x ＋7|－|x －2|－3≤0，构造函数y ＝|x ＋7|－|x －2|－3，即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－12，x ＜－7，2x ＋2，－7≤x ≤2，6，x ＞2.作出函数的图象，由图可知，当x ≤－1时，有y ≤0，即|x ＋7|－|x －2|－3≤0， ∴原不等式的解集为(－∞，－1]．|x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的三种解法：分区间(分类)讨论法、图象法和几何法．分区间讨论的方法具有普遍性，但较麻烦；几何法和图象法直观，但只适用于数据较简单的情况．2．解不等式|2x＋1|－|x－4|>2.解：法一：令y＝|2x＋1|－|x－4|，则y＝⎩⎪⎨⎪⎧－x－5，x≤－12，3x－3，－12<x<4，x＋5，x≥4.作出函数y＝|2x＋1|－|x－4|与函数y＝2的图象，它们的交点为(－7,2)和⎝⎛⎭⎪⎫53，2.∴|2x＋1|－|x－4|>2的解集为(－∞，－7)∪⎝⎛⎭⎪⎫53，＋∞.法二：当x≥4时，(2x＋1)－(x－4)>2，解得x>－3，∴x≥4.当－12≤x<4时，(2x＋1)＋(x－4)>2，解得x>53，∴53<x<4.当x<－12时，－(2x＋1)＋(x－4)>2，解得x<－7，∴x<－7.综上可知，不等式的解集为(－∞，－7)∪⎝⎛⎭⎪⎫53，＋∞.3．解不等式|x－1|＋|2－x|＞3＋x.解：把原不等式变为|x－1|＋|x－2|＞3＋x，①当x≤1时，∴原不等式变为－(x－1)－(x－2)＞3＋x，解得x＜0；②当1＜x≤2时，∴原不等式变为x－1－(x－2)＞3＋x，解得x∈∅；③当x＞2时，∴原不等式变为x－1＋x－2＞3＋x，解得x＞6.综上，原不等式解集为(－∞，0)∪(6，＋∞).含绝对值不等式的恒成立问题[例3](1)若不等式有解；(2)若不等式解集为R；(3)若不等式解集为∅.[思路点拨] 解答本题可以先根据绝对值|x－a|的意义或绝对值不等式的性质求出|x ＋2|－|x＋3|的最大值和最小值，再分别写出三种情况下m的取值范围．[解] 法一：因为|x＋2|－|x＋3|的几何意义为数轴上任意一点P(x)与两定点A(－2)，B(－3)距离的差．即|x＋2|－|x＋3|＝|PA|－|PB|.由图象知(|PA|－|PB|)max＝1，(|PA|－|PB|)min＝－1.即－1≤|x＋2|－|x＋3|≤1.(1)若不等式有解，m只要比|x＋2|－|x＋3|的最大值小即可，即m<1，m的取值范围为(－∞，1)．(2)若不等式的解集为R，即不等式恒成立，m只要比|x＋2|－|x＋3|的最小值小即可，即m＜－1，m的取值范围为(－∞，－1)．(3)若不等式的解集为∅，m只要不小于|x＋2|－|x＋3|的最大值即可，即m≥1，m的取值范围为[1，＋∞)．法二：由|x＋2|－|x＋3|≤|(x＋2)－(x＋3)|＝1，|x＋3|－|x＋2|≤|(x＋3)－(x＋2)|＝1，可得－1≤|x＋2|－|x＋3|≤1.(1)若不等式有解，则m∈(－∞，1)．(2)若不等式解集为R，则m∈(－∞，－1)．(3)若不等式解集为∅，则m∈[1，＋∞)．问题(1)是存在性问题，只要求存在满足条件的x即可；不等式解集为R或为空集时，不等式为绝对不等式或矛盾不等式，属于恒成立问题，恒成立问题f (x )<a 恒成立⇔f (x )max <a ，f (x )>a 恒成立⇔f (x )min >a .4．把本例中的“>”改成“<”，即|x ＋2|－|x ＋3|<m ，其他条件不变时，分别求出m 的取值范围．解：由例题知－1≤|x ＋2|－|x ＋3|≤1，所以(1)若不等式有解，m 只要比|x ＋2|－|x ＋3|的最小值大即可，即m ∈(－1，＋∞)． (2)若不等式的解集为R ，即不等式恒成立，m 只要比|x ＋2|－|x ＋3|的最大值大即可，即m ∈(1，＋∞)．(3)若不等式的解集为∅，m 只要不大于|x ＋2|－|x ＋3|的最小值即可，即m ∈(－∞，－1]．5．把本例中的“－”改成“＋”，即|x ＋2|＋|x ＋3|>m ，其他条件不变时，分别求出m 的取值范围．解：|x ＋2|＋|x ＋3|≥|(x ＋2)－(x ＋3)|＝1，即|x ＋2|＋|x ＋3|≥1.(1)若不等式有解，m 为任何实数均可，即m ∈R. (2)若不等式解集为R ，即m ∈(－∞，1)． (3)若不等式解集为∅，这样的m 不存在，即m ∈∅.1．若不等式|ax ＋2|<6的解集为(－1,2)，则实数a 的取值为( ) A ．8 B ．2 C ．－4D ．－8解析：选C 原不等式化为－6<ax ＋2<6，即－8<ax <4. 又∵－1<x <2，∴验证选项易知a ＝－4适合． 2．不等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2－x >x 2－x的解集是( )A ．{x |0<x <2}B ．{x |x <0或x >2}C ．{x |x <0}D ．{x |x >2}解析：选B 由⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2－x >x 2－x，可知x 2－x <0，∴x <0或x >2.3．若关于x 的不等式|x ＋1|≥kx 恒成立，则实数k 的取值范围是( ) A ．(－∞，0] B ．[－1,0] C ．[0,1]D ．[0，＋∞)解析：选C 作出y ＝|x ＋1|与l 1：y ＝kx 的图象如图所示，当k <0时，直线一定经过第二、四象限，从图看出明显不恒成立；当k＝0时，直线为x 轴，符合题意；当k >0时，要使|x ＋1|≥kx 恒成立，只需k ≤1.综上可知k ∈[0,1]．4．如果关于x 的不等式|x －a |＋|x ＋4|≥1的解集是全体实数，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，3]∪[5，＋∞)B ．[－5，－3]C ．[3,5]D ．(－∞，－5]∪[－3，＋∞)解析：选D 在数轴上，结合绝对值的几何意义可知a ≤－5或a ≥－3. 5．不等式|x ＋2|≥|x |的解集是________．解析：∵不等式两边是非负实数，所以不等式两边可以平方，两边平方得(x ＋2)2≥x 2，∴x 2＋4x ＋4≥x 2.即x ≥－1.∴原不等式的解集为{x |x ≥－1}．答案：{x |x ≥－1}6．不等式|2x －1|－x <1的解集是__________．解析：原不等式等价于|2x －1|<x ＋1⇔－x －1<2x －1<x ＋1⇔⎩⎪⎨⎪⎧3x >0，x <2⇔0<x <2.答案：{x |0<x <2}7．若关于x 的不等式|x ＋2|＋|x －1|＜a 的解集为∅，则a 的取值范围为________．解析：法一：由|x ＋2|＋|x －1|＝|x ＋2|＋|1－x |≥|x ＋2＋1－x |＝3，知a ≤3时，原不等式无解．法二：数轴上任一点到－2与1的距离之和最小值为3.所以当a ≤3时，原不等式的解集为∅. 答案：(－∞，3]8．解不等式|2x －4|－|3x ＋9|<1. 解：(1)当x >2时，原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧x >2，(2x －4)－(3x ＋9)<1，解得x >2.(2)当－3≤x ≤2时，原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧ －3≤x ≤2，－(2x －4)－(3x ＋9)<1，解得－65<x ≤2.(3)当x <－3时，原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧x <－3，－(2x －4)＋(3x ＋9)<1，解得x <－12.综上所述，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫xx <－12或x >－65.9．已知函数f (x )＝|x －2|－|x ＋1|. (1)解不等式f (x )>1；(2)当x >0时，函数g (x )＝ax 2－x ＋1x(a >0)的最小值大于函数f (x )，试求实数a 的取值范围．解：(1)当x >2时，原不等式可化为x －2－x －1>1，解集为∅. 当－1≤x ≤2时，原不等式可化为2－x －x －1>1，即－1≤x <0；当x <－1时，原不等式可化为2－x ＋x ＋1>1，即x <－1. 综上，原不等式的解集是{x |x <0}． (2)因为g (x )＝ax ＋1x－1≥2a －1，当且仅当x ＝aa时等号成立，所以g (x )min ＝2a －1，当x >0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－2x ，0<x ≤2，－3，x >2，所以f (x )∈[－3,1)，所以2a －1≥1，即a ≥1，故实数a 的取值范围是[1，＋∞)． 10．已知f (x )＝|ax －2|＋|ax －a |(a ＞0)． (1)当a ＝1时，求f (x )≥x 的解集；(2)若不存在实数x ，使f (x )＜3成立，求a 的取值范围．解：(1)当a＝1时，f(x)＝|x－2|＋|x－1|≥x，当x≥2时，原不等式可转化为x－2＋x－1≥x，解得x≥3；当1＜x＜2时，原不等式可转化为2－x＋x－1≥x，解得x≤1，∴x∈∅；当x≤1时，原不等式可转化为2－x＋1－x≥x，解得x≤1.综上可得，f(x)≥x的解集为{x|x≤1或x≥3}．(2)依题意，对∀x∈R，都有f(x)≥3，则f(x)＝|ax－2|＋|ax－a|≥|(ax－2)－(ax－a)|＝|a－2|≥3，∴a－2≥3或a－2≤－3，∴a≥5或a≤－1(舍去)，∴a的取值范围是[5，＋∞)．。

二绝对值不等式(2)——绝对值不等式的解法

绝对值不等式的解法目的要求：会利用绝对值的几何意义解绝对值不等式重点难点：绝对值不等式的解法。

教学设计：一、复习：复习：如果a>0，则|x|<a 的解集是(-a, a)；|x|>a 的解集是(-∞,-a)∪(a,+∞)二、型不等式的解法和c b ax c b ax ≥+≤+||||学生自己解决|ax+b|<c 和|ax+b|>c(c>0)型不等式比较： .2|13|3≤-x 解不等式例,2132,2|13|≤-≤-≤-x x 得由解得解,131≤≤-x .131,⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤-x x 原不等式的解集为因此.102.1,3231,3231,32|13|,所示如图合的点的集离不大于的点的距标为它的解集是数轴上到坐得两边除以如果将从几何上看-≤-≤-x x ().的不等式可以解一些含有绝对值式及绝对值的几何意义利用上述*()型不等式的解法和c b ax c b ax ≥+≤+||||192.1-图a x x <-||1a x x >-||1()我们有或对于绝对值不等式一个正实数是例如而得到通过转化为上述不等式值不等式的解一般可以即其他绝对的基础是解其他绝对值不等式上述绝对值不等式,)||(||,,.,,11a x x a x x a >-<-*⇔>--<-⇔>-a x x a x x a x x 111,||或.,11a x x a x x +>-<或.92.1,,,||11所示如图数轴上表示出来以上不等式的解可以在所以的点的距离为的点与坐标标为的几何意义是数轴上坐由于绝对值--x x x x .7|32|4≥-x 解不式例;5||||,1.5,,111=+B A A A A A B A 这时有位到点个单向左移动将点的点的距离之和为点关键要在数轴上找出与为了求出不等式的解;5||||,1,111=+B B A B B B 这时也有个单位到点向右移动将点同理的的左边或点点和都小于的距离之之间的任何点到点与点点从数轴上可以看到1111;5,,B A B A BA [].1,2,3,,1,2,112.1都不是原不等式的解上的数因此区间两点的距离是那么为对应的点分别设数轴上与如图解法一---B A B A .5,的距离之和都大于右边的任何点到B A (][).,23,,+∞⋃-∞-原不等式的解集是所以.,.5,,,1,2,112.1.,以得出不等式的解就可点的位置确定出具有上述特点的所以我们只要在数轴上数的点所对应的实两点的距离之和不小于的解就是数轴上到那么不等式对应的点分别是设数轴上与如图分析我们从它的几何意义来式比较复杂分析：这个绝对值不等B A B A --1B 112.1-图不等式的解法和三、c b x a x c b x a x ≤-+-≥-+-.5|2||1|5≥++-x x 解不等式例①利用绝对值不等式的几何意义②零点分区间法③构造函数法四、小结总结两种绝对值不等式的常用解法，以及各自的几何意义.(]()[).,,,1,1,2,2,,1,2,5|2||1|,,等式的解集们综合在一起就得到不把后然况的情解的三个区间上讨论不等式分别在这先集分成了三个区间实数把的点对应数轴上与时解可以发现解法述上分析+∞--∞--≥++-B A x x ..,,,,,因此我们有如下解法绝对值的不等式为不含绝对值不等式可以转化在这三个区间上将数分为三个区间为分界点以点事实上B A (][)(][)∞+⋃-∞-+∞≥≥++-≥≥≥++--<<--∞--≤≥+----≤，，x x x x ，x x x x x x ，x ：23 ,2 ,2,5)2()1( ,1 ,53,5)2()1( ,123, ,3,5)2()1( ,22的解集为综上所述可知原不等式此时不等式的解集为解得原不等式可以化为时当此时不等式的解集为矛盾即原不等式可以化为时当此时不等式的解集为解得原不等式可以化为时当解法φ()()().,,.,0,数图象求不等式的解集利用函点我们也可以从函数的观类似地根近似程的可以利用函数图象求方的关系的根的零点与方程由函数时我们知道在学习函数知识==x f x f y (][)+∞⋃-∞-⎪⎩⎪⎨⎧≥<<--=-++-=≥-++-,23,1 x , 4-2x 1x 2- 2,-,6252105213解集为由图象可知原不等式的作出函数图象即构造函数将原不等式转化为解法，x y ，x x y x x：122.1-图型不等式的解法和c b x a x c b x a x ≤-+-≥-+-。