2013-2017年高考数学(文)分类汇编解析：第5章-平面向量
2013年高考试题分项版解析数学(文) 专题05 平面向量(Word精析版)
第五章 平面向量一．基础题组1.【2013年普通高等学校统一考试试题大纲全国文科】已知向量(1,1)m λ=+，(2,2)n λ=+，若()()m n m n +⊥-，则λ=（ ）A ．-4B ．-3C ．-2D ．-1 【答案】B【解析】∵()()m n m n +⊥-，∴()()0m n m n +∙-=.∴22||||0m n -=，即22(1)1[(2)4]0λλ++-++=，∴3λ=-.故选B.【考点定位】向量的坐标运算2.【2013年普通高等学校招生全国统一考试(陕西卷) 文科】 已知向量 (1,),(,2),a m b m ==,若a b ∥则实数m 等于（ ）(A) (D) 0【答案】C【解析】2(1,),(,2)//12=,C a m b m a b m m ==⇔⨯=由，故选择。
【考点定位】本题主要考查向量共线定理的基本运用，属于容易题. 3.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）文科】已知点()()1,3,4,1,A B AB -则与向量同方向的单位向量为（ ）（A ）3455⎛⎫ ⎪⎝⎭，-（B ）4355⎛⎫ ⎪⎝⎭，-（C ）3455⎛⎫- ⎪⎝⎭， （D ）4355⎛⎫- ⎪⎝⎭， [答案]A [解析] 2134==(3,-4)=(,-)5553AB e AB，故选A[考点定位]本题考查单位向量的定义和坐标运算.4.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）文科】已知点(1,1)A -、(1,2)B 、(2,1)C --、(3,4)D ，则向量AB 在CD 方向上的投影为（ ）A．2 BC．2-D． [答案] A[解析] ||cos ||2||||AB CD AB AB AB CD θ⋅===, 选A. [考点定位] 本题考查投影的定义及数量积的运算，考查概念的理解及基本运算能力.5.【2013年全国高考新课标（I ）文科】已知两个单位向量a ，b 的夹角为60，(1)=+-c ta t b ，若0⋅=b c ，则t =_____. 【答案】2；【解析】因为(1)0b c ta b t b b =+-=，故(1)02tt +-=，故2t =. 【考点定位】本题考查向量的数量积运算，考查学生的基本运算能力.6.【2013年高考新课标Ⅱ数学（文）卷】 已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE BD ⋅ =_______. 【答案】2【解析】以点B 为原点，直线BC 为x 轴，建立平面直角坐标系，则A （0，2），E （2，1），D （2，2）， B （0，0），所以(2,1),(2,2)AE BD =-=，所以AE BD ⋅=2.【考点定位】本小题主要考查平面向量的数量积，难度不大，熟练平面向量的数量积的定义以及平面向量的坐标运算是解答好本类题目的关键.7.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）文科】如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，AB AD AO λ+=，则λ=____________.【答案】2【解析】如图，2AB AD AC AO +==，所以2λ=，故填2. 【易错点】对数乘向量的几何表示不理解！【考点定位】本题考查平面向量的线性运算以及运算的几何表示.8.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）文科】在平面直角坐标系xOy 中，已知(1,)OA t =-，(2,2)OB =，若90o ABO ∠=，则实数t 的值为_____.【答案】5【解析】()3,2AB OB OA t =-=-,0,OB AB ⋅=所以()()2,23,20, 5.t t ⋅-==【考点定位】本题考查平面向量的加减坐标运算和数量积坐标运算，考查转化思想和运算能力. 本题通过0OB AB ⋅=进行运算极易想到，但求AB 时往往出现坐标的“倒减”，虽然不影响运算的结果，被填空题型所掩盖，但在解答题中就会被发现.二．能力题组9.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）文科】在四边形()()1,2,4,2,ABCD AC BD ==-中，则该四边形的面积为（ ）A B ． C ．5 D ．10 [答案]C[解析]注意到两向量的纵坐标都为2，所以借助坐标系如图，1(14)*252S =+=.或者注意到0AC BD =分为四个小直角三角形算面积.[考点定位]本题的处理方法主要是向量的平移，所以向量只要能合理的转化还是属于容易题.10.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）】 已知,a b 是单位向量，0a b =.若向量c 满足1,c a b c --=则的取值范围是（ ）A ．⎤⎦B ．⎤⎦C ．1⎡⎤⎣⎦D ．1⎡⎤⎣⎦【答案】A【解析】因为1c a b --=，()1c a b -+=，做出图形可知，当且仅当c 与()a b +方向相反且1c a b -+=时，c 取到最大值；最大值为1；当且仅当c 与()a b +方向相同且1a b c +-=时，c 取到最小值；1.【考点定位】本题考查向量的加法，考查学生数形结合的能力. 11.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）文科】已知点()()()30,0,0,,,.ABC ,O A b B a a ∆若为直角三角形则必有A ．3b a =B ．31b a a=+ C ．()3310b a b a a ⎛⎫---= ⎪⎝⎭ D ．3310b a b a a-+--= [答案]C[解析]由点B 的坐标可知B 点在3=y x 的图象上，由此可知=90=90A B ∠∠或者若=90A ∠，则3=b a ，若=90B ∠，则31=+b a ，二者为或的关系，故选C 若非零向量,a b 满足32a b a b ==+，则,a b 夹角的余弦值为【答案】3-【解析】等式平方得：2222944a b a b a b ==++⋅,则22244||||cos a a b a b θ=++⋅，即220443||cos b b θ=+⋅, 得1cos 3θ=-.【考点定位】考查向量模长，向量数量积的运算，向量最基本的化简.13. 【2013年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷文科）】已知点(1,1)A -，(3,0)B ，(2,1)C ，若平面区域D 由所有满足AP AB AC λμ=+（12λ≤≤，01μ≤≤）的点P 组成，则D 的面积为__________. [答案]3[解析]()2,1AB =,()1,2AC =，()()()2,11,22,2AP AB AC λμλμλμλμ=+=+=++，设(),P x y ，则()1,1AP x y =-+，所以12,12,x y λμλμ-=+⎧⎨+=+⎩即23,323.3y x x y μλ-+⎧=⎪⎪⎨--⎪=⎪⎩因为12λ≤≤，01μ≤≤，所以23013y x -+≤≤且23123x y --≤≤，即230,20,260,290.x y x y x y x y --≤⎧⎪-≥⎪⎨--≥⎪⎪--≤⎩画出平面区域，如下图所示，||CD =E 到直线230x y --=，故四边形BDCE 的面积为3.【考点定位】本题考查两条直线的位置关系、考查了点到直线的距离、平面向量的线性运算、坐标运算，线性规划问题.难度较大.14.【2013年全国高考统一考试天津数学（文）卷】在平行四边形ABCD 中, AD = 1, 60BAD ︒∠=, E 为CD的中点. 若·1AC BE =, 则AB 的长为 . 【答案】12【解析】设AB 的长为x ，因为AC =AB BC +，BE =BC CE +，所以·AC BE = ()AB BC +⋅()BC CE +=2AB BC AB CE BC BC CE ⋅+⋅++⋅=1cos18022x x x +⋅+1+1cos1202x⋅=1，解得12x =，所以AB 的长为12. 【考点定位】本小题主要考查平面向量的数量积等基础知识，熟练平面向量的基础知识是解答好本类题目的关键.15.【2013年普通高等学校统一考试江苏卷】设D 、E 分别是ABC ∆的边AB ，BC 上的点，12AD AB =，23BE BC =. 若12DE AB AC λλ=+（12,λλ为实数），则12λλ+的值是 . [答案] 12[解析]依题意，121212()232363DE DB BE AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=-+，∴121263AB AC AB AC λλ-+=+，∴116λ=-，223λ=，故12121632λλ+=-+=.[考点定位]平面向量的加法、减法法则.分析、计算能力.中等题.16.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）文】已知正方形ABCD 的边长为1．记以A 为起点，其余顶点为终点的向量分别为1a 、2a 、3a ；以C 为起点，其余顶点为终点的向量分别为1c 、2c 、3c ．若{},,,1,2,3i j kl ∈且,i j k l ≠≠，则()()i j k l a a c c +⋅+的最小值是 ．【答案】-2【解析】画图易得最小值为-2【考点定位】考查向量的运算，重点考查思维能力，综合分析及应用能力，属偏难题. 17.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）文科】设12,e e 为单位向量，非零向量12,,b xe ye x y R =+∈、 若12,e e 的夹角为6π，则||||x b 的最大值等于_______. 【答案】2【解析】此题考查了向量中最常用的一个结论，即22||a a =，很多问题中要求向量的模都是通过求向量的平方来求解的.此题中利用22||a a =求出2||b ，然后求出2||()||x b 的表达式，最后利用函数最值的求法即可求出答案.由已知得到：22222212||()||22b b xe ye b x y xy ==+⇒=++⨯⇒22222||x x bx x==+22min21(1)4||y x t t x b =∴++=∴的最大值为4，所以答案是2.【考点定位】此题考查向量的数量积的计算和性质，考查二次函数的性质和换元法的应用.三．拔高题组18.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）文科】设a 是已知的平面向量且≠0a ，关于向量a的分解，有如下四个命题：①给定向量b ，总存在向量c ，使=+a b c ；②给定向量b 和c ，总存在实数λ和μ，使λμ=+a b c ；ks5u③给定单位向量b 和正数μ，总存在单位向量c 和实数λ，使λμ=+a b c ； ④给定正数λ和μ，总存在单位向量b 和单位向量c ，使λμ=+a b c ； 上述命题中的向量b ，c 和a 在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是 A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】利用向量加法的三角形法则，易的①是对的；利用平面向量的基本定理，易的②是对的；以a 的终点作长度为μ的圆，这个圆必须和向量λb 有交点，这个不一定能满足，③是错的；利用向量加法的三角形法则，结合三角形两边的和大于第三边，即必须=+λμλμ+≥b c a ，所以④是假命题.综上，本题选B.【考点定位】平面向量的基本定理和向量加法的三角形法则. 19.【2013年普通高等学校统一考试江苏卷】已知)si n ,(cos )si n ,(cos ββαα=b a ，＝，0βαπ<<<. （1）若2||=-b a ，求证：b a ⊥；（2）设)1,0(=c ，若c b a =+，求α，β的值.[答案] （1）由题意， 22-=|a b |，即（a -2=）b 2222-=a a b+b ，又因为|1=|a |=|b ，∴222-ab=，即a b 0=，∴a ⊥b .（2）a +b (cos cos ,sin sin )(0,1)αβαβ=++=，∴cos cos 0sin sin 1αβαβ+=⎧⎨+=⎩，由此得 cos cos()απβ=-，由0βπ<<，得0πβπ<-<，又0απ<<，故απβ=-，代入sin sin 1αβ+=得1sin sin 2αβ==，而αβ>，∴56πα=，6πβ=. [解析]（1）先由向量的加法法则求a -b ，再利用2||=-b a 求得a b 0=.（2）利用两个向量相等，则对应坐标相等，得出关于sin α、cos α、sin β、cos β的等式，结合0βαπ<<<求得结果.向量的坐标运算、数量积，向量的垂直与平行，是高考重点考查的；向量与三角函数的交汇是高考的热点，解题是要选准公式，特别注意角的取值范围.[考点定位]本小题主要考查平面向量的加法、减法、数量积、三角函数的基本关系、诱导公式等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力.。
2013---2017近五年全国1卷高考理科数学分类汇编---平面向量
2013---2017近五年全国1卷高考理科数学分类汇编---平面向量
1.已知向量a，b的夹角为60°，|a|=2，|b|=1，则|a+2b|=23.
2.设向量a=(m,1)，b=(1,2)，且|a+b|2=|a|2+|b|2，则m=-2.
3.设D为ABC所在平面内一点,BC=3CD，则AD=-
AB+AC。
4.已知A,B,C是圆O上的三点，若AO=AB+AC，则AB 与AC的夹角为。
5.已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c=ta+(1-t)b，若b•c=0，则t=1/2.
解析：
1.根据向量加法公式，
|a+2b|=√[(2+2cos60°)²+(2sin60°)²]=23.
2.根据向量的数量积及坐标运算，|a+b|²=(m+1)²+(1+2)²，|a|²=m²+1，|b|²=5，代入得到m=-2.
3.根据向量的加法和减法，
AD=AC+CD=AC+BC=AC+(AC-AB)=-AB+AC。
4.根据向量的减法和模长的定义，
AO²=AB²+BO²=AB²+AC²+2AB·ACcos∠BAC，代入得到cos∠BAC=(AB²+AC²-AO²)/(2AB·AC)，再利用余弦定理求出∠BAC。
5.根据向量的线性运算和数量积的定义，b•c=t(b•a)+(1-t)(b•b)=tcos60°+(1-t)=1/2-t/2，令其为0解得t=1/2.。
2017-2018-2019年三年高考数学文科真题分类汇编(解析版) 专题05 平面向量
专题五 平面向量（2019·全国Ⅰ文科）已知非零向量a ，b 满足a =2b ，且（a –b ）⊥b ，则a 与b 的夹角为 A.π6B.π3C.2π3D.5π6【答案】B【分析】本题主要考查利用平面向量数量积数量积计算向量长度、夹角与垂直问题，渗透了转化与化归、数学计算等数学素养．先由()a b b -⊥得出向量,a b 的数量积与其模的关系，再利用向量夹角公式即可计算出向量夹角．【详解】因为()a b b -⊥，所以2()a b b a b b -⋅=⋅-=0，所以2a b b ⋅=，所以cos θ=22||12||2a b b a b b ⋅==⋅，所以a 与b的夹角为3π，故选B ． 【点睛】对向量夹角的计算，先计算出向量的数量积及各个向量的摸，在利用向量夹角公式求出夹角的余弦值，再求出夹角，注意向量夹角范围为[0,]π． （2019·全国Ⅱ文科）已知向量a =(2，3)，b =(3，2)，则|a –b |=A.B. 2D. 50【答案】A【分析】本题先计算a b -，再根据模的概念求出||-a b ． 【详解】由已知，(2,3)(3,2)(1,1)-=-=-a b ，所以||-==a b 故选A【点睛】本题主要考查平面向量模长的计算，容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查．由于对平面向量的坐标运算存在理解错误，从而导致计算有误；也有可能在计算模的过程中出错．（2019·全国Ⅲ文科）已知向量(2,2),(8,6)a b ==-，则cos ,a b <>=___________.【答案】10-【分析】根据向量夹角公式可求出结果.【详解】详解：22826cos ,102a b a b a b⨯-+⨯<>===-+． 【点睛】本题考点为平面向量的夹角，为基础题目，难度偏易．不能正确使用平面向量坐标的运算致误，平面向量的夹角公式是破解问题的关键．（2019·天津文科）在四边形ABCD 中，AD BC ∥，AB =，5AD = ，30A ∠=︒ ，点E 在线段CB 的延长线上，且AE BE =，则BD AE ⋅=__________. 【答案】-1.【分析】可利用向量的线性运算，也可以建立坐标系利用向量的坐标运算求解。
13大市2013年高三历次考试数学试题分类汇编5：平面向量
【推荐】江苏省13大市2013年高三历次考试数学试题分类汇编5：平面向量一、填空题1 ．（苏北三市（徐州、淮安、宿迁）2013届高三第二次调研考试数学试卷）如图,在等腰三角形ABC 中,已知F E A AC AB ,,120,1︒===分别是边AC AB ,上的点,且,,AC n AF AB m AE ==其中),1,0(,∈n m 若BC EF ,的中点分别为,,N M 且,14=+n m 则MN 的最小值是_____.【答案】772 ．（南通市2013届高三第一次调研测试数学试卷）在△ABC 中,若AB =1,AC =3,||||AB AC BC +=u u u r u u u r u u u r ,则||BA BC BC ⋅u u u r u u u r u u u r =________. 【答案】答案:12. 本题主要考查向量与解三角形的有关知识.满足||||AB AC BC +=u u u r u u u r u u u r 的A ,B ,C 构成直角三角形的三个顶点,且∠A 为直角,于是BA BC ⋅u u u r u u u r =2BA u u u r =13 ．（南京市、淮安市2013届高三第二次模拟考试数学试卷）在ABC ∆中,已知AB=2,BC=3,60ABC ∠=︒,BD ⊥AC,D 为垂足,则BD BC ⋅u u u r u u u r 的值为____. 【答案】277 4 ．（苏州市2012-2013学年度第一学期高三期末考试数学试卷）已知向量a r ,b r ,满足1a =r ,()(2)0a b a b +-=r r r r g ,则b r 的最小值为___________. 【答案】12AB M N ECF 第14题图5 ．（江苏省苏锡常镇四市2013届高三教学情况调研(一)数学试题）在平面直角坐标系xOy中,(1,0)A ,函数x y e =的图像与y 轴的交点为B ,P 为函数xy e =图像上的任意一点,则OP AB u u u r u u u r g 的最小值_______.【答案】16 ．（江苏省苏锡常镇四市2013届高三教学情况调研(一)数学试题）已知向量a r ,b r 的夹角为045,且1a =r ,210a b -=r r ,则b =r ________. 【答案】327 ．（南京市、盐城市2013届高三第三次模拟考试数学试卷）在平面直角坐标系xOy 中,已知OA →=(3,-1),OB →=(0,2).若OC →·AB →=0,AC →=λOB →,则实数λ的值为________.【答案】28 ．（常州市2013届高三教学期末调研测试数学试题）已知向量a r ,b r 满足()22,4a b +=-r r ,()38,16a b -=-r r ,则向量a r ,b r 的夹角的大小为______.【答案】p9 ．（镇江市2013届高三上学期期末考试数学试题）已知向量(12,2)a x =-r ,()2,1b -r=,若a b ⊥r r ,则实数x =______.【答案】0;10．（江苏省盐城市2013届高三年级第二次模拟考试数学试卷）若1e ,2e 是两个单位向量,212e e a -=,2145e e b +=,且a ⊥b ,则1e ,2e 的夹角为________.【答案】23π 11．（连云港市2012-2013学年度第一学期高三期末考试数学试卷）在平面直角坐标系xOy 中,已知圆(x -1)2+(y -1)2=4,C 为圆心,点P 为圆上任意一点,则OP CP ⋅u u u r u u u r 的最大值为____.【答案】4+22;12．（江苏省泰州、南通、扬州、宿迁、淮安五市2013届高三第三次调研测试数学试卷）在平面四边形ABCD 中,点E ,F 分别是边AD ,BC 的中点,且AB 1=,2EF =,CD 3=.若15AD BC ⋅=uuu r uu u r ,则AC BD ⋅uuu r uu u r 的值为______.【答案】1313．（扬州、南通、泰州、宿迁四市2013届高三第二次调研测试数学试卷）在平面直角坐标系中,已知向量AB uur = (2,1),向量AC uuu r = (3,5),则向量BC uu u r 的坐标为____.【答案】(1,4)14．（江苏省无锡市2013届高三上学期期末考试数学试卷）已知向量a=(-2,2), b= (5,k).若|la+b|不超过5,则k 的取值范围是________.【答案】[6,2]-15．（扬州市2012-2013学年度第一学期期末检测高三数学试题）已知向量()()k b a ,1,1,2-==,若b a ⊥,则k 等于____.【答案】216．（南京市、盐城市2013届高三年级第一次模拟考试数学试题）如图, 在等腰三角形ABC中, 底边2=BC , DC AD =, 12AE EB =u u u r u u u r , 若12BD AC ⋅=-u u u r u u u r , 则AB CE ⋅= .【答案】017．（镇江市2013届高三上学期期末考试数学试题）在菱形ABCD中,23AB =,23B π∠=,3BC BE =u u u r u u u r ,3DA DF =u u u r u u u r ,则EF AC ⋅=u u u r u u u r ______. 【答案】12-;18．（2012-2013学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）数学试题）已知向量a r ,b r 满足2a =r ,1b =r ,且对一切实数x ,a xb a b +≥+r r r r 恒成立,则a r 与b r 的夹角大小为______.【答案】34π 二、解答题 19．（江苏省泰州市2012-2013学年度第一学期期末考试高三数学试题）已知向量a=(cos λθ,cos(10)λθ-),b=(sin(10)λθ-,sin λθ),,R λθ∈(1)求22a b +r r 的值; (2)若a b ⊥r r ,求θ;(3)20πθ=,求证:a b r r P 【答案】(1)∵|a ρ|=cos 2λθ+cos 2(10-λ)θ ,|b ρ|=sin 2(10-λ)θ+sin 2λθ (算1个得1分)|a ρ|2+|b ρ|2=2,(2)∵a ρ⊥b ρ,∴cos λθ·sin(10-λ)θ +cos(10-λ) θ·sin λθ=0∴sin((10-λ) θ+λθ)=0,∴sin10θ=0∴10θ=k π,k ∈Z,∴θ=10πk ,k ∈Z (3)∵θ=20π, cos λθ·sin λθ-cos(10-λ) θ·sin[(10-λ) θ] =cos 20λπ·sin 20λπ-cos(2π-20λπ)·sin(2π-20λπ) =cos 20λπ·sin 20λπ-sin 20λπ·cos 20λπ=0, ∴a ρ∥b ρ。
2017高考数学试题分类汇编 平面向量 解析版
2017高考分类汇编 平面向量解析版1、（2017北京文理）设m ,n 为非零向量，则“存在负数，使得”是“”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若，使，则两向量反向，夹角是，那么；若，那么两向量的夹角为，并不一定反向，即不一定存在负数，使得，所以是充分而不必要条件，故选A.2、（2017江苏卷）．如图，在同一个平面内，向量，，的模分别为1，1，与的夹角为，且=7，与的夹角为45°．若，则 ▲ ．【答案】3【解析】由可得，根据向量的分解，易得，即，即，即得，所以．3、（2017山东理）（12）已知12,e e与的夹角为60︒，则实数的值是.λλ=m n 0<⋅m n 0λ∃<λ=m n ,m n 180︒cos1800⋅=︒=-<m n m n m n 0⋅<m n (]90,180︒︒λλ=m n OA OB OCOA OC αtan αOB OC OC mOA nOB =+(,)m n ∈R m n +=tan 7α=sin α=cos 10α=cos 45cos sin 45sin 0n m n m αα⎧︒+=⎪⎨︒-=⎪⎩0210n m =⎪-=⎪⎩510570n m n m +=⎧⎨-=⎩57,44m n ==3m n +=12-e 12λ+e e λ4、（2017山东文）（11）已知向量a =（2,6）,b =(1,)λ- ,若∥a b ,则λ= . 【答案】3- 【解析】由∥a b 可得162 3.λλ-⨯=⇒=-5、（2017天津）（13）在中，，，．若，，且，则的值为___________．【答案】【解析】由题可得，则．6、（2017浙江）10．如图，已知平面四边形ABCD ，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝AD ＝2，CD ＝3，AC 与BD 交于点O ，记，，，则ABC △60A =︒∠3AB =2AC =2BD DC = ()AE AC AB λλ∈=-R 4AD AE ⋅=-λ3111232cos 603,33AB AC AD AB AC ⋅=⨯⨯︒==+12()33AD AE AB AC ⋅=+2123()34934333311AC AB λλλλ-=⨯+⨯-⨯-⨯=-⇒= 1·I OAOB ＝2·I OB OC ＝3·I OC OD＝（第10题图）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】因为，，，所以，故选C ．7、（2017全国1卷理）已知向量a ，b的夹角为60︒，2a = ，1b = ，则2a b += ________．【答案】【解析】()22222(2)22cos602a b a b a a b b+=+=+⋅⋅⋅︒+221222222=+⨯⨯⨯+444=++12=∴2a b + 8、（2017全国2卷理）【题目12】(2017·新课标全国Ⅱ卷理12)12.已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+的最小值是（）A.2-B.32-C. 43- D.1- 【命题意图】本题主要考查等边三角形的性质及平面向量的线性运算﹑数量积，意在考查考生 转化与化归思想和运算求解能力 【解析】解法一：建系法连接PC ∴∴∴最小值为解法二：均值法∵2PC PB PO += ，∴ ()2PA PC PB PO PA ⋅+=⋅123I I I <<132I I I <<312I I I <<213I I I <<90AOB COD ∠=∠> OA OC <OB OD <0OB OC OA OB OC OD ⋅>>⋅>⋅由上图可知：OA PA PO =- ；两边平方可得()()2232PA PO PA PO =+-⋅∵()()222PA POPA PO +≥-⋅ ，∴ 322PO PA ⋅≥-∴ ()322PA PC PB PO PA ⋅+=⋅≥- ，∴最小值为32-解法三：配凑法 ∵2PC PB PO +=∴ ()()()()()222232222PO PA PO PAPO PA AOPA PC PB PO PA +--+-⋅+=⋅==≥-∴最小值为32-9、(2017全国卷2文)4.设非零向量a ，b 满足+=-b b a a 则A. a ⊥bB. =b aC. a ∥bD. >b a解析：ba b a b a b a b a b a ⊥⇒=⋅⇔-=+⇔-=+022选A10、（2017全国3卷理）12．在矩形ABCD 中，1AB =，2AD =，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP AB AD λμ=+，则λμ+的最大值为（） A ．3 B． CD ．2 【答案】A【解析】由题意，画出右图．设BD 与C 切于点E ，连接CE ． 以A 为原点，AD 为x 轴正半轴， AB 为y 轴正半轴建立直角坐标系， 则C 点坐标为(2,1)． ∵||1CD =，||2BC =．∴BD ∵BD 切C 于点E ． ∴CE ⊥BD ．∴CE 是Rt BCD △中斜边BD 上的高．12||||22||||||BCD BC CD S EC BD BD ⋅⋅⋅====△()A O Dxy BP gCE即C． ∵P 在C 上．∴P 点的轨迹方程为224(2)(1)5x y -+-=．设P 点坐标00(,)x y ，可以设出P 点坐标满足的参数方程如下：0021x y θθ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ 而00(,)AP x y = ，(0,1)AB = ，(2,0)AD =． ∵(0,1)(2,0)(2,)AP AB AD λμλμμλ=+=+=∴0112x μθ==，01y λθ==． 两式相加得：112)2sin()3λμθθθϕθϕ+=++=+=++≤(其中sin ϕ=，cos ϕ=当且仅当π2π2k θϕ=+-，k ∈Z 时，λμ+取得最大值3． 11、（2017全国卷3文）13．已知向量(2,3),(3,)a b m =-=，且a ⊥b ，则m =. 【答案】2【解析】由题意可得：2330,2m m -⨯+=∴=.。
2017年高考数学试题分项版—平面向量(解析版)
2017年高考数学试题分项版—平面向量（解析版）一、选择题1．(2017·全国Ⅱ文，4)设非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |，则( ) A ．a ⊥b B ．|a |＝|b | C ．a ∥b D ．|a |>|b |1．【答案】A【解析】方法一 ∵|a ＋b |＝|a －b |， ∴|a ＋b |2＝|a －b |2.∴a 2＋b 2＋2a·b ＝a 2＋b 2－2a·b . ∴a·b ＝0.∴a ⊥b . 故选A.方法二 利用向量加法的平行四边形法则． 在▱ABCD 中，设AB →＝a ，AD →＝b ， 由|a ＋b |＝|a －b |知|AC →|＝|DB →|，从而四边形ABCD 为矩形，即AB ⊥AD ，故a ⊥b . 故选A.2．(2017·北京文，7)设m ，n 为非零向量，则“存在负数λ，使得m ＝λn ”是“m·n <0”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 2．【答案】A【解析】方法一 由题意知|m |≠0，|n |≠0. 设m 与n 的夹角为θ. 若存在负数λ，使得m ＝λn ， 则m 与n 反向共线，θ＝180°， ∴m ·n ＝|m ||n |cos θ＝－|m ||n |＜0.当90°＜θ＜180°时，m ·n ＜0，此时不存在负数λ，使得m ＝λn . 故“存在负数λ，使得m ＝λn ”是“m ·n ＜0”的充分而不必要条件． 故选A.方法二 ∵m ＝λn ，∴m ·n ＝λn ·n ＝λ|n |2. ∴当λ＜0，n ≠0时，m ·n ＜0.反之，由m ·n ＝|m ||n |cos 〈m ，n 〉<0⇔cos 〈m ，n 〉＜0⇔〈m ，n 〉∈⎝⎛⎦⎤π2，π，当〈m ，n 〉∈⎝⎛⎭⎫π2，π时，m ，n 不共线．故“存在负数λ，使得m ＝λn ”是“m ·n ＜0”的充分而不必要条件． 故选A.3．(2017·全国Ⅱ理，12)已知△ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则P A →·(PB →＋PC →)的最小值是( ) A ．－2 B ．－32C ．－43D ．－13．【答案】B【解析】方法一 (解析法)建立坐标系如图①所示，则A ，B ，C 三点的坐标分别为A (0，3)， B (－1,0)，C (1,0)．设P 点的坐标为(x ，y )， 则P A →＝(－x ，3－y )，PB →＝(－1－x ，－y )， PC →＝(1－x ，－y )，∴P A →·(PB →＋PC →)＝(－x ，3－y )·(－2x ，－2y )＝2(x 2＋y 2－3y )＝2[x 2＋⎝⎛⎭⎫y －322－34]≥2×⎝⎛⎭⎫－34＝－32. 当且仅当x ＝0，y ＝32时，P A →·(PB →＋PC →)取得最小值，最小值为－32. 故选B.方法二 (几何法)如图②所示，PB →＋PC →＝2PD →(D 为BC 的中点)，则P A →·(PB →＋PC →)＝2P A →·PD →.要使P A →·PD →最小，则P A →与PD →方向相反，即点P 在线段AD 上，则(2P A →·PD →)min ＝－2|P A →||PD →|，问题转化为求|P A →||PD →|的最大值． 又|P A →|＋|PD →|＝|AD →|＝2×32＝3，∴|P A →||PD →|≤⎝⎛⎭⎪⎫|P A →|＋|PD →|22＝⎝⎛⎭⎫322＝34， ∴[P A →·(PB →＋PC →)]min ＝(2P A →·PD →)min ＝－2×34＝－32.故选B.4．(2017·全国Ⅲ理，12)在矩形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP →＝λAB →＋μAD →，则λ＋μ的最大值为( ) A ．3 B ．2 2C. 5D ．24．【答案】A【解析】建立如图所示的直角坐标系，则C 点坐标为(2,1)．设BD 与圆C 切于点E ，连接CE ，则CE ⊥BD . ∵CD ＝1，BC ＝2， ∴BD ＝12＋22＝5， EC ＝BC ·CD BD ＝25＝255，即圆C 的半径为255，∴P 点的轨迹方程为(x －2)2＋(y －1)2＝45.设P (x 0，y 0)，则⎩⎨⎧x 0＝2＋255cos θ，y 0＝1＋255sin θ(θ为参数)，而AP →＝(x 0，y 0)，AB →＝(0,1)，AD →＝(2,0)． ∵AP →＝λAB →＋μAD →＝λ(0,1)＋μ(2,0)＝(2μ，λ)， ∴μ＝12x 0＝1＋55cos θ，λ＝y 0＝1＋255sin θ.两式相加，得λ＋μ＝1＋255sin θ＋1＋55cos θ＝2＋sin(θ＋φ)≤3⎝⎛⎭⎫其中sin φ＝55，cos φ＝255，当且仅当θ＝π2＋2k π－φ，k ∈Z 时，λ＋μ取得最大值3.故选A.5．(2017·北京理，6)设m ，n 为非零向量，则“存在负数λ，使得m ＝λn ”是“m ·n <0”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件5．【答案】A【解析】方法一 由题意知|m |≠0，|n |≠0. 设m 与n 的夹角为θ.若存在负数λ，使得m ＝λn ，则m 与n 反向共线，θ＝180°， ∴m ·n ＝|m ||n |cos θ＝－|m ||n |＜0.当90°＜θ＜180°时，m ·n ＜0，此时不存在负数λ，使得m ＝λn . 故“存在负数λ，使得m ＝λn ”是“m ·n ＜0”的充分而不必要条件． 故选A.方法二 ∵m ＝λn ，∴m ·n ＝λn ·n ＝λ|n |2. ∴当λ＜0，n ≠0时，m ·n ＜0.反之，由m ·n ＝|m ||n |cos 〈m ，n 〉＜0⇔cos 〈m ，n 〉＜0⇔〈m ，n 〉∈⎝⎛⎦⎤π2，π， 当〈m ，n 〉∈⎝⎛⎭⎫π2，π时，m ，n 不共线．故“存在负数λ，使得m ＝λn ”是“m ·n ＜0”的充分而不必要条件， 故选A. 二、填空题1．(2017·全国Ⅰ文，13)已知向量a ＝(－1,2)，b ＝(m,1)．若向量a ＋b 与a 垂直，则m ＝________. 1．【答案】7【解析】∵a ＝(－1,2)，b ＝(m,1)， ∴a ＋b ＝(－1＋m,2＋1)＝(m －1,3)． 又a ＋b 与a 垂直，∴(a ＋b )·a ＝0， 即(m －1)×(－1)＋3×2＝0， 解得m ＝7.2．(2017·全国Ⅲ文，13)已知向量a ＝(－2,3)，b ＝(3，m )，且a ⊥b ，则m ＝________. 2．【答案】2【解析】∵a ＝(－2,3)，b ＝(3，m )，且a ⊥b ， ∴a·b ＝0，即－2×3＋3m ＝0，解得m ＝2.3．(2017·天津文，14)在△ABC 中，∠A ＝60°，AB ＝3，AC ＝2，若BD →＝2DC →，AE →＝λAC →－AB →(λ∈R )，且AD →·AE →＝－4，则λ的值为________． 3．【答案】311【解析】由题意，知|AB →|＝3，|AC →|＝2， AB →·AC →＝3×2×cos 60°＝3，AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋23BC →＝AB →＋23(AC →－AB →)＝13AB →＋23AC →， ∴AD →·AE →＝⎝⎛⎭⎫13AB →＋23AC →·(λAC →－AB →) ＝λ－23AB →·AC →－13AB →2＋2λ3AC →2＝λ－23×3－13×32＋2λ3×22＝113λ－5＝－4，解得λ＝311. 4．(2017·山东文，11)已知向量a ＝(2,6)，b ＝(－1，λ)，若a ∥b ，则λ＝________. 4．【答案】－3【解析】∵a ∥b ，∴2λ－6×(－1)＝0，解得λ＝－3.5．(2017·浙江，15)已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，则|a ＋b |＋|a －b |的最小值是________，最大值是________． 5．【答案】4 2 5【解析】设a ，b 的夹角为θ， ∵|a |＝1，|b |＝2，∴|a ＋b |＋|a －b |＝(a ＋b )2＋(a －b )2＝5＋4cos θ＋5－4cos θ. 令y ＝5＋4cos θ＋5－4cos θ. 则y 2＝10＋225－16cos 2θ. ∵θ∈[0，π]，∴cos 2θ∈[0,1]， ∴y 2∈[16,20]，∴y ∈[4,25]，即|a ＋b |＋|a －b |∈[4,25]．6．(2017·浙江，10)如图，已知平面四边形ABCD ，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝AD ＝2，CD ＝3，AC 与BD 交于点O ，记I 1＝OA →·OB →，I 2＝OB →·OC →，I 3＝OC →·OD →，则( )A ．I 1＜I 2＜I 3B ．I 1＜I 3＜I 2C ．I 3＜I 1＜I 2D ．I 2＜I 1＜I 36．【答案】C【解析】∵I 1－I 2＝OA →·OB →－OB →·OC →＝OB →·(OA →－OC →)＝OB →·CA →， 又OB →与CA →所成角为钝角， ∴I 1－I 2＜0，即I 1＜I 2.∵I 1－I 3＝OA →·OB →－OC →·OD →＝|OA →||OB →|cos ∠AOB －|OC →||OD →|cos ∠COD ＝cos ∠AOB (|OA →||OB →|－|OC →||OD →|)， 又∠AOB 为钝角，OA ＜OC ，OB ＜OD ， ∴I 1－I 3＞0，即I 1＞I 3. ∴I 3＜I 1＜I 2， 故选C.7．(2017·江苏，12)如图，在同一个平面内，向量OA →，OB →，OC →的模分别为1,1，2，OA →与OC →的夹角为α，且tan α＝7，OB →与OC →的夹角为45°.若OC →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R )，则m ＋n＝________.7．【答案】3【解析】方法一 因为tan α＝7， 所以cos α＝210，sin α＝7210. 过点C 作CD ∥OB 交OA 的延长线于点D ，则OC →＝OD →＋DC →，∠OCD ＝45°. 又因为OC →＝mOA →＋nOB →， 所以OD →＝mOA →，DC →＝nOB →， 所以|OD →|＝m ，|DC →|＝n .在△COD 中，由正弦定理得|DC →|sin α＝|OD →|sin ∠OCD ＝|OC →|sin ∠ODC ，因为sin ∠ODC ＝sin(180°－α－∠OCD )＝sin(α＋∠OCD )＝45，即n 7210＝m 22＝245， 所以n ＝74，m ＝54，所以m ＋n ＝3.方法二 由tan α＝7可得cos α＝152，sin α＝752，则152＝OA →·OC →|OA →||OC →|＝m ＋nOA →·OB →2，由cos ∠BOC ＝22可得22＝OB →·OC →|OB →||OC →|＝mOA →·OB →＋n 2，cos ∠AOB ＝cos(α＋45°)＝cos αcos 45°－sin αsin 45° ＝152×22－752×22＝－35，则OA →·OB →＝－35，则m －35n ＝15，－35m ＋n ＝1，则25m ＋25n ＝65，则m ＋n ＝3. 8．(2017·全国Ⅰ理，13)已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |＝2，|b |＝1，则|a ＋2b |＝________. 8．【答案】2 3 【解析】方法一 |a ＋2b |＝(a ＋2b )2 ＝a 2＋4a ·b ＋4b 2＝22＋4×2×1×cos 60°＋4×12 ＝12＝2 3. 方法二(数形结合法)由|a |＝|2b |＝2知，以a 与2b 为邻边可作出边长为2的菱形OACB ，如图，则|a ＋2b |＝||.又∠AOB ＝60°，所以|a ＋2b |＝2 3.9．(2017·天津理，13)在△ABC 中，∠A ＝60°，AB ＝3，AC ＝2.若BD →＝2DC →，AE →＝λAC →－AB →(λ∈R )，且AD →·AE →＝－4，则λ的值为________． 9．【答案】311【解析】由题意知|AB →|＝3，|AC →|＝2， AB →·AC →＝3×2×cos 60°＝3，AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋23BC →＝AB →＋23(AC →－AB →)＝13AB →＋23AC →，∴AD →·AE →＝⎝⎛⎭⎫13AB →＋23AC →·(λAC →－AB →) ＝λ－23AB →·AC →－13AB →2＋2λ3AC →2＝λ－23×3－13×32＋2λ3×22＝113λ－5＝－4，解得λ＝311. 10．(2017·山东理，12)已知e 1，e 2是互相垂直的单位向量，若3e 1－e 2与e 1＋λe 2的夹角为60°，则实数λ的值是________． 10．【答案】33【解析】由题意知|e 1|＝|e 2|＝1，e 1·e 2＝0，|3e 1－e 2|＝(3e 1－e 2)2＝3e 21－23e 1·e 2＋e 22＝3－0＋1＝2. 同理|e 1＋λe 2|＝1＋λ2.所以cos 60°＝(3e 1－e 2)·(e 1＋λe 2)|3e 1－e 2||e 1＋λe 2|＝3e 21＋(3λ－1)e 1·e 2－λe 2221＋λ2＝3－λ21＋λ2＝12，解得λ＝33.。
高考复习之平面向量
各地解析分类汇编:平面向量1.【云南省昆明一中2013届高三新课程第一次摸底测试理】已知点(5,6)(1,2),3M a MN a -=-=-和向量若，则点N 的坐标为A ．（2，0）B ．（-3，6）C ．（6，2）D ．（—2，0）【答案】A【解析】33(1,2)(3,6)MN a =-=--=-，设(,)N x y ,则(5,(6))(3,6)MN x y =---=-，所以5366x y -=-⎧⎨+=⎩，即2=0x y =⎧⎨⎩，选A. 2.【云南省玉溪一中2013届高三第四次月考理】如右图,在△ABC 中, 13AN NC =,P 是BN 上的一点,若29AP m AB AC −−→−−→−−→=+,则实数m 的值为( )A.19 B 31C. 1D. 3 【答案】A【解析】因为13AN NC =，所以14AN AC=设BP BN λ=，则()AP AB BP AB BN AB AB AN λλ=+=+=+-(1)(1)4AB AN AB AC λλλλ=+-=+-,又29AP m AB AC −−→−−→−−→=+，所以有2491m λλ⎧-=⎪⎨⎪+=⎩，即8919m λ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，选A.3.【云南省玉溪一中2013届高三第四次月考理】定义行列式运算1234a a a a =3241a a a a -．将函数sin 2()cos 2x f x x=6π个单位，以下是所得函数图象的一个对称中心是 （ ） A ．,04π⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．(,0)2π C ．,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．,012π⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】由行列式的定义可知sin 2()cos 2x f x x=sin 222sin(2)3x x x π==-，函数的图象向左平移6π个单位，得到的函数为()2sin[2()]2sin 263g x x x ππ=+-=，所以有()2s i n (2)2s i n 022g πππ=⨯==，所以(,0)2π是函数()g x 的一个零点，选B. 4.【天津市天津一中2013届高三上学期一月考 理】已知向量,,a b c 中任意两个都不共线,且a b +与c 共线, b c +与a 共线,则向量a b c ++ A.a B.bC.cD.0【答案】D【解析】因为a b +与c 共线，所以有a b mc +=，又b c +与a 共线,所以有b c na +=，即b mc a =-且b c na =-+，因为,,a b c 中任意两个都不共线，则有11m n =-⎧⎨=-⎩，所以b mc a c a =-=--，即0a b c ++=，选D.5.【天津市新华中学2012届高三上学期第二次月考理】已知a =（-3，2），b =（-1，0），向量a λ+b 与a -2b 垂直，则实数λ的值为A. -71 B. 71 C. -61 D. 61【答案】A 【解析】(31,2),2(1a b a b λλλ+=---=-，因为向量a λ+b 与a -2b 垂直，所以()(2)0a b a b λ+-=，即3140λλ++=，解得17λ=-，选A.6.【山东省烟台市2013届高三上学期期中考试理】已知向量b a 、，其中2=a ，2=b ，且a b)a ⊥-（，则向量a 和b 的夹角是 A ．4πB ．2πC ．43πD ．π【答案】A【解析】由题意知.2,02)(2=⋅∴=⋅-=⋅-=⋅-设a 与b 的夹角为θ，则.4,22c o s πθθ===故选A ，. 7.【山东省烟台市2013届高三上学期期中考试理】在ABC ∆中，P 是BC 边中点，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若0cAC aPA bPB ++=，则ABC ∆的形状为A. 等边三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.等腰三角形但不是等边三角形.【答案】A【解析】如图，由AC c +aPA bPB +=知b c c a b a c )()()(-+-=-+-=，而与为不共线向量，0=-=-∴b c c a ，.c b a ==∴故选A.8.【山东省泰安市2013届高三上学期期中考试数学理】已知a 、b 均为单位向量，它们的夹角为3π，那么3a b +等于D.4【答案】C【解析】因为2223323a b a b a b +=++，所以231923cos 133a b π+=++⨯=，所以313a b +=，选C.9.【山东省泰安市2013届高三上学期期中考试数学理】如图，已知正六边形P 1P 2P 3P 4P 5P 6下列向量的数量积中最大的是A.1213PP PP ⋅B.1214PP PP ⋅C.1215PP PP ⋅D.1216PP PP ⋅【答案】A 【解析】设正六边形的边长为1，则12131133cos3032PP PP PP PP ===,121412141cos 60212PP PP PP PP ==⨯=,12151215cos900PP PP PP PP ==,121612161cos1202PP PP PP PP ==-,所以数量积最大的选A.10.【山东省实验中学2013届高三第一次诊断性测试理】已知向量(3,1),(0,1),(,3),2,a b c k a b c k ===+=若与垂直则A ．—3B ．—2C ．lD ．－l【答案】A【解析】因为2a b c +与垂直，所以有2=0a b c +（），即2=0a c b c +0=，解得3k =-，选A.11.【山东省师大附中2013届高三12月第三次模拟检测理】非零向量,a b 使得||||||a b a b -=+成立的一个充分非必要条件是（ ） A . //a b B. 20a b += C. ||||a ba b =D. a b = 【答案】B【解析】要使||||||a b a b -=+成立，则有,a b 共线且方向相反，所以当20a b +=时，满足2a b =-，满足条件，所以选B.12.【山东省济南外国语学校2013届高三上学期期中考试 理科】已知向量a =（2,1），b =（-1，k ），a ·（2a -b ）=0，则k=（ ）A. -12B. -6C. 6D. 12 【答案】D【解析】因为(2)0a a b -=，即(2,1)(5,2)0k -=，所以10+20k -=，即12k =，选D.13.【山东省聊城市东阿一中2013届高三上学期期初考试 】已知向量25,10),1,2(=+=⋅=→→→→→b a b a a ，则=→b （ ）A. 5B.10C.5D.25 【答案】C【解析】因为222a (2,1),ab 10,a b (a b)50a 2a b b →→→→→→→→→→→=⋅=+=+==++，解得可知=→b 5，选C14.【山东省临沂市2013届高三上学期期中考试理】设,,x y ∈R 向量(,1),(1,),(2,4),a xb yc a c b c a b===-⊥+且则A B C ．D ．10【答案】B【解析】因为,a c ⊥所以240x -=，解得2x =，又//,b c 所以240y +=，所以2y =-，所以(1,1)(3,1)a b x y +=++=-，所以||10a b +=，选B. 15.【山东省临沂市2013届高三上学期期中考试理】在△ABC 中，AB=4，∠ABC=30°，D 是边BC 上的一点，且,AD AB AD AC ⋅=⋅则AD AB ⋅的值等于A ．—4B ．0C ．4D ．8【答案】C【解析】由,A D A B A D A C ⋅=⋅得()0AD AB AC AD CB ⋅-=⋅=,即AD CB ⊥，所以2,60A D B A D =∠=,所以14242AD AB ⋅=⨯⨯=，选C. 16.【山东省青岛市2013届高三上学期期中考试理】已知非零向量a 、b ，满足a b ⊥，则函数2()()f x ax b =+(R)x ∈是A. 既是奇函数又是偶函数B. 非奇非偶函数C. 偶函数D. 奇函数 【答案】C【解析】因为a b ⊥，所以0a b =，所以2222()()f x ax b a x b =+=+，所以2()()f x ax b =+为偶函数，选C.17.【山东省实验中学2013届高三第一次诊断性测试理】已知点O 为△ABC 内一点，且230,OA OB OC ++=则△A OB 、△AOC、△BOC 的面积之比等于A ．9：4：1B ．1：4：9C ．3：2：1D ．1：2：3【答案】C【解析】,延长OB 到'B ，使'2OB OB =,延长OC 到'C ，使'3OC OC =，连结''B C ,取''B C 的中点'A ，则232',OB OC OA OA +==-所以,,'A O A 三点共线且O 为三角形''AB C 的重心，18.【山东省青岛市2013届高三上学期期中考试理】已知O 是ABC △所在平面内一点，D 为BC 边中点，且20OA OB OC ++=，则A ．2AO OD =B ．AO OD =C ．3AO OD = D ．2AO OD =【答案】B【解析】因为D 为BC 边中点，所以由20OA OB OC ++=得22OB OC OA AO +=-=，即22OD AO =,所以AO OD =，选B.19.【 山东省滨州市滨城区一中2013届高三11月质检数学理】已知向量a ，b ，则0=∙b a是a ⊥b 的（ ）条件 A ．充分不必要 B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要【答案】B【解析】因为向量,a b r r中有可能为零向量，所以0a b ⋅=r r 时，推不出a b ⊥r r 。
高考复习文科数学之平面向量
各地解析分类汇编:平面向量1.【云南省玉溪一中2013届高三第四次月考文】已知平面向量,a b满足3,2,a b a b == 与的夹角为60°，若(),a mb a -⊥则实数m 的值为（ ）A.1B.32C.2D.3【答案】D【解析】因为(),a mb a -⊥ 所以()0a mb a -= ，即20a m a b -=，所以2cos600a m a b -=，解得3m =，选D.2【云南省玉溪一中2013届高三上学期期中考试文】在△ABC 中，若2···AB AB AC BA BC CA CB =++ ，则△ABC 是( )A.等边三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.直角三角形 【答案】D 【解析】因为2···()AB AB AC BA BC CA CB AB AC BC CA CB =++=-+AB AB CA CB =+ ,所以0CA CB = ，即C A C B⊥ ，所以三角形为直角三角形，选D.3【山东省实验中学2013届高三第一次诊断性测试 文】已知向量(0,1),(2,a b c k a b c k ===+=若与垂直则A ．—3B ．—2C ．lD ．－l【答案】A【解析】因为2a bc + 与垂直，所以有2=0a b c + （），即2=0a c b c +，所以30++=，解得3k =-，选A.4【云南省昆明一中2013届高三新课程第一次摸底测试文】已知点(5,6)(1,2),M a M N a -=-=-和向量若，则点N 的坐标为A ．（2，0）B ．（-3，6）C ．（6，2）D ．（—2，0）【答案】A【解析】33(1,2)(3,6)MN a =-=--=- ，设(,)N x y ,则(5,(6))(3,6)MN x y =---=-，所以5366x y -=-⎧⎨+=⎩，即2=0x y =⎧⎨⎩，选A.5【山东省济南外国语学校2013届高三上学期期中考试 文科】 已知向量a =（2,1），b =（-1，k ），a ·（2a -b ）=0，则k=（ ）A. -12B. -6C. 6D. 12 【答案】D【解析】因为(2)0a a b -= ，即(2,1)(5,2)0k -= ，所以10+20k -=，即12k =，选D.6【山东省聊城市东阿一中2013届高三上学期期初考试 】已知向量25,10),1,2(=+=⋅=→→→→→b a b a a ，则=→b （ ）A. 5B.10C.5D.25 【答案】C【解析】因为222a (2,1),ab 10,a b (a b)50a 2a b b →→→→→→→→→→→=⋅=+=+==++ ，解得可知=→b 5，选C7【山东省临沂市2013届高三上学期期中考试 数学文】如图，已知4,,,3AP AB OA OB OP OP = 用表示则等于A ．1433OA OB -B ．1433OA OB +C ．1433OA OB -+D ．1433OA OB --【答案】C【解析】OP OA AP =+ 4414()3333OA AB OA OB OA OA OB =+=+-=-+,选C.8 【山东省青岛市2013届高三上学期期中考试数学（文）】已知非零向量a 、b ，满足a b ⊥，则函数2()()f x ax b =+ (R)x ∈是A. 既是奇函数又是偶函数B. 非奇非偶函数C. 奇函数D. 偶函数 【答案】D【解析】因为a b ⊥ ，所以0a b =，所以2222()()f x ax b a x b =+=+ ，所以2()()f x ax b =+ 为偶函数，选D.9 【山东省青岛市2013届高三上学期期中考试数学（文）】已知O 是ABC △所在平面内一点，D 为BC 边中点，且20OA OB OC ++=，则A ．2AO OD =B ．AO OD =C ．3AO OD =D ．2AO OD =【答案】B【解析】因为D 为BC 边中点，所以由20OA OB OC ++= 得22OB OC OA AO +=-=，即22OD AO = ,所以AO OD =，选B.10 【山东省烟台市2013届高三上学期期中考试文】若向量)6,12(),2,4(),6,3(--==-=,则下列结论中错误的是A ．v u ⊥B ．w v //C ．v u w 3-=D ．对任一向量，存在实数b a ,，使v b u a AB +=【答案】C【解析】因为0=⋅v u ，所以v u ⊥；又因0)12(2)6(4=---⨯，所以w v //；u 与v 为不共线向量，所以对任一向量AB ，存在实数b a ,，使v b u a AB +=. 故选C.11 【天津市新华中学2013届高三上学期第一次月考数学（文）】若向量a 与不共线，0≠⋅b a ，且()a a c a b a b=-，则向量a 与c 的夹角为（ ）A. 0B.6π C.3π D.2π 【答案】D【解析】因为()a a c a ba b =- ，所以222[()]0a a c a a b a a a b =-=-=，所以a c ⊥ ，即向量夹角为2π，选D.12 【山东省烟台市2013届高三上学期期中考试文】已知向量),sin ,(cos θθ=a 向量),1,3(-=b 则|2|b a -的最大值、最小值分别是A ．24 ，0B ．4， 24C ．16，0D ．4，0 【答案】D【解析】)6cos(88)sin cos 3(44444|2|222πθθθ+-=--+=⋅-+=-b a b a b a ，故|2|-的最大值为4，最小值为0.故选D.13 【山东省师大附中2013届高三12月第三次模拟检测文】已知平面内一点P 及ABC ∆，若AB PC PB PA =++，则点P 与ABC ∆的位置关系是A.点P 在线段AB 上B.点P 在线段BC 上C.点P 在线段AC 上D.点P 在ABC ∆外部【答案】C【解析】由AB PC PB PA =++得PA PC AB PB AP +=-=，即2PC AP PA AP =-= ，所以点P 在线段AC 上，选C.14 【山东省烟台市莱州一中20l3届高三第二次质量检测 （文）】若()1,a b a a b ==⊥- 且，则向量,a b的夹角为A.45°B.60°C.120°D.135°【答案】A【解析】因为()a ab ⊥- ，所以()0a ab -= ，即20a ab -= ，即2ab a =，所以向量,a b的夹角为2cos ,2a a b a b a b a b<>====，所以,45a b <>= ，选A. 15 【云南师大附中2013届高三高考适应性月考卷（三）文】已知(2,)a m = ，(1,)b m =-，若(2)a b b -⊥ ，则||a ＝A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】B【解析】因为(2a b b -⊥ )，所以(20a b b -⋅=)，即250m -+=，即25m =，所以||3a == ，故选B ． 16. 【山东省师大附中2013届高三上学期期中考试数学文】如图，正六边形ABCDEF 中，BA CD EF ++=A.0B.BEC.ADD.CF【答案】D【解析】因为BA DE =,所以B AC D E F C D D E E ++=++=,选 D.17 【山东省师大附中2013届高三12月第三次模拟检测文】平面向量a 与b 的夹角为060，)0,2(=a，1=b ，则=+b aA ．9BC ．3D ． 7 【答案】B【解析】2a =,1cos ,2112a b a b a b =<>=⨯⨯= ,所以22224127a b a b a b +=++=++= ，所以a b += B.18. 【山东省德州市乐陵一中2013届高三10月月考数学（文）】已知向量a ),2(x =，b)8,(x =，若a ∥b，则x =A.4-B.4C.4±D.16【答案】C【解析】因为//a b，所以2160x -=，即4x =±，选C.19 【天津市新华中学2012届高三上学期第二次月考文】若向量)2,1(),1,1(),1,1(--=-==c b a ，则=cA. b a 2321--B. b a 2321+-C. b a 2123-D. b a 2123+- 【答案】D【解析】设c xa yb =+ ，则(1,2)(1,1)(1,1)(,)x y x y x y --=+-=+-，所以12x y x y +=-⎧⎨-=-⎩，解得3212x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即3122c a b =-+ ，选D.20 【山东省实验中学2013届高三第一次诊断性测试 文】已知点O 为△ABC 内一点，且230,OA OB OC ++=则△A OB 、△AOC、△BOC 的面积之比等于A ．9：4：1B ．1：4：9C ．3：2：1D ．1：2：3【答案】C【解析】延长OB 到'B ，使'2OB OB =,延长OC 到'C ，使'3OC OC =，连结''B C ,取''B C 的中点'A ，则232',OB OC OA OA +==-所以,,'A O A 三点共线且O 为三角形''AB C 的重心，则可以证明''''=AOB AOC B OC S S S ∆∆∆=。
2013年全国高考数学试题分类汇编平面向量的概念及线性运算、平面向量的基本定理
第五章平面向量
5.1平面向量的概念及线性运算、平面向量的基本定理
考点一向量的线性运算及几何意义
1.(2013四川,12,5分)如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC与BD交于点O,＋＝λ,则λ＝.
答案 2
考点二平面向量的基本定理及向量的坐标运算
2.(2013陕西,2,5分)已知向量a＝(1,m),b＝(m,2),若a∥b,则实数m等于( )
A.－
B.
C.－或
D.0
答案 C
3.(2013辽宁,3,5分)已知点A(1,3),B(4,－1),则与向量同方向的单位向量为( )
A. B.
C. D.
答案 A
4.(2013广东,10,5分)设a是已知的平面向量且a≠0.关于向量a的分解,有如下四个命题:
①给定向量b,总存在向量c,使a＝b＋c;
②给定向量b和c,总存在实数λ和μ,使a＝λb＋μc;
③给定单位向量b和正数μ,总存在单位向量c和实数λ,使a＝λb＋μc;
④给定正数λ和μ,总存在单位向量b和单位向量c,使a＝λb＋μc.
上述命题中的向量b,c和a在同一平面内且两两不共线,则真命题的个数是( )
A.1
B.2
C.3
D.4
答案 B。
2017年新课标全国理数高考试题汇编：平面向量—老师专用(最新整理)
2017年新课标全国理数高考试题汇编：平面向量1．【2017全国高考新课标II 卷理数·12T 】已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，ABC △P ABC 则的最小是（ ）()PA PB PC ⋅+ A ．B ．C ． D ．2-32-43-1-【答案】B解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决．2．【2017全国高考新课标III 卷理数·12T 】在矩形ABCD 中，AB =1，AD =2，动点P 在以点C 为圆心且与BD相切的圆上。
若= +，则+的最大值为AP λAB μAD λμA ．3B ．CD ．2【答案】A试题解析：如图所示，建立平面直角坐标系设 ,()()()()()0,1,0,0,2,0,2,1,,A B C D P x y 根据等面积公式可得圆的半径，即圆C 的方程是 ，r =()22425x y -+=【考点】 平面向量的坐标运算；平面向量基本定理【名师点睛】(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算。
(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决。
3．【2017全国高考新课标I 卷理数·13T 】已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |=2，|b |=1，则| a +2b |= .【答案】试题解析：，所以222|2|||44||4421cos 60412+=+⋅+=+⨯⨯⨯+= a b a a b b.|2|+==a b 秒杀解析：利用如下图形，可以判断出的模长是以2为边长，一夹角为60°的菱形的对角线的2+a b长度，则为【考点】平面向量的运算【名师点睛】平面向量中涉及有关模长的问题时，常用到的通法是将模长进行平方，利用向量数量积的知识进行解答，很快就能得出答案；另外，向量是一个工具型的知识，具备代数和几何特征，在做这类问题时可以使用数形结合的思想，会加快解题速度.（4.【2017全国高考天津卷理数·13T 】在中，，，.若，ABC △60A =︒∠3AB =2AC =2BD DC = ，且，则的值为___________.()AE AC AB λλ∈=-R 4AD AE ⋅=- λ【答案】 3115．【2017全国高考浙江卷理数·15T 】已知向量a ，b 满足1,2,==a b 则++-a b a b 的最小值是________，最大值是_______．【答案】4，【解析】试题解析：设向量,a b 的夹角为θ，由余弦定理有：a b -== ，a b +== ，则：a b a b ++-=+ ，令y =，则[]21016,20y =+，据此可得：())max min 4a b a b b a b ++-==++-== ，即a b a b ++- 的最小值是4，最大值是．【考点】平面向量模长运算【名师点睛】本题通过设向量,a b 的夹角为θ，结合模长公式， 可得a b a b ++-= ，再利用三角函数的有界性求出最大、最小值，属中档题，对学生的转化能力和最值处理能力有一定的要求．6.【2017全国高考江苏卷理数·12T 】如图，在同一个平面内，向量,,,的模分别为1,1OA OB O C与的夹角为，且tan =7，与的夹角为45°。
江苏2013届高三数学(文)试题分类汇编： 平面向量
广东省13大市2013届高三上期末考数学文试题分类汇编平面向量 一、选择、填空题1、（潮州市2013届高三上学期期末）平面四边形ABCD 中0AB CD +=，()0AB AD AC -=⋅，则四边形ABCD 是A ．矩形B ．菱形C ．正方形D ．梯形 答案：B2、（东莞市2013届高三上学期期末）已知平面向量(2,4)a = ，32(4,8)a b +=，则a b ⋅=A ．-10B ．10C ．-20D ．20 答案：A3、（佛山市2013届高三上学期期末）已知(1,2)=a ，(0,1)=b ，(,2)k =-c ，若(2)+⊥a b c ，则k =A ．2B ． 2-C ．8D ．8-答案：C4、（广州市2013届高三上学期期末）已知向量a ，b 都是单位向量，且 a b 12=，则2-a b 的值为 . 答案：35、（惠州市2013届高三上学期期末）已知向量p ()23=-，，q ()6x =，，且//p q ，则p q +的值为（ ）A ．5 B ．13 C ．5 D ．13答案：B 6、（江门市2013届高三上学期期末）如图2，平行四边形ABCD 中，E 是BC 的中点，F 是AE的中点，若 a AB =， b AD =，则= AFA ． 41 21b a +B ． 2141b a +C ． 41 21b a -D ． 21 41b a -答案：A7、（茂名市2013届高三上学期期末）已知向量(1,2),(2,1)a x b =-= ，则a b ⊥ 的充要条件是（ ） A ．12x =-B ．1x =-C ．5x =D ．x =0答案：D8、（汕头市2013届高三上学期期末）若向量)1,1(),0,2(==b a，则下列结论正确的是( )．A ．1=⋅b aB .||||b a =C ．b b a ⊥-)(D ．b a // 答案：C 9、（增城市2013届高三上学期期末）设M 是平行四边形ABCD 的对角线的交点，O 为任意一点，则=+++OD OC OB OAA ．OMB ．OM 2C ．OM 3D ．OM 4答案：D 10、（湛江市2013届高三上学期期末）已知向量m ＝（x ，1），n ＝（1，2），且m ∥n ，则x ＝＿＿＿ 答案：1211、（肇庆市2013届高三上学期期末）已知平面向量()1,2=-a ， ()2,y =b ， 且//a b ，则32+=a b ( )A ．()1,7- B ．()1,2- C ．()1,2 D ．()1,2-答案：D 解析：//a b4y ⇒=-，∴32+=a b (3,6)(4,8)(1,2)-+-=-12、（中山市2013届高三上学期期末）已知直线0=++cby ax 与圆1:22=+y x O 相交于,A B 两点，且,3=AB 则OB OA ⋅的值是（ ）A ．12- B ．12C ．34-D ．0答案：A13、（珠海市2013届高三上学期期末）已知a 、b 均为单位向量，)2()2(b a b a -⋅+=233-，a与b 的夹角为A ．30°B ．45°C ．135°D ．150°答案：A14、（茂名市2013届高三上学期期末）设向量12(,)a a a = ，12(,)b b b =，定义一运算：12121122(,)(,)(,)a b a a b b a b a b ⊗=⊗=已知1(,2)2m = ，11(,sin )n x x = 。
2013年高考真题解析分类汇编(理科数学)5：平面向量
2013高考试题解析分类汇编（理数）5：平面向量一、选择题1 ．（2013年高考上海卷（理））在边长为1的正六边形ABCDEF 中,记以A 为起点,其余顶点为终点的向量分别为12345,,,,a a a a a ;以D 为起点,其余顶点为终点的向量分别为12345,,,,d d d d d .若,m M 分别为()()i j k r s t a a a d d d ++⋅++的最小值、最大值,其中{,,}{1,2,3,4,5}i j k ⊆,{,,}{1,2,3,4,5}r s t ⊆,则,m M 满足（ ）A ．0,0m M =>B ．0,0m M <>C ．0,0m M <=D ．0,0m M <<D ．【解答】作图知，只有0AF DE AB DC ⋅=⋅>，其余均有0i r a d ⋅≤，故选D ．2 ．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD 版））已知点()()1,3,4,1,A B AB -则与向量同方向的单位向量为（ ）A ．3455⎛⎫ ⎪⎝⎭，- B ．4355⎛⎫ ⎪⎝⎭，-C ．3455⎛⎫- ⎪⎝⎭，D ．4355⎛⎫- ⎪⎝⎭，A(3,4)AB =-，所以||5AB =，所以同方向的单位向量是134(,)555AB =-，选A.3 ．（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD 版））设0,P ABC ∆是边AB 上一定点,满足AB B P 410=,且对于边AB 上任一点P ,恒有C P B P00∙≥∙.则（ ）A ．090=∠ABCB ．090=∠BAC C ．AC AB =D ．BC AC =D以AB 所在的直线为x 轴，以AB 的中垂线为y 轴建立直角坐标系，设AB=4，C （a ，b ），P （x ，0）则BP 0=1，A （﹣2，0），B （2，0），P 0（1，0） 所以=（1，0），=（2﹣x ，0），=（a ﹣x ，b ），=（a ﹣1，b ）因为恒有所以（2﹣x ）（a ﹣x ）≥a ﹣1恒成立整理可得x 2﹣（a+2）x+a+1≥0恒成立所以△=（a+2）2﹣4（a+1）≤0即△=a 2≤0所以a=0，即C 在AB 的垂直平分线上 所以AC=BC故△ABC 为等腰三角形 故选D4 ．（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD 版））在四边形ABCD中,(1,2)AC =,(4,2)BD =-,则四边形的面积为 （ ）A B ．C ．5D ．10C由题意，容易得到AC BD ⊥．设对角线交于O 点，则四边形面积等于四个三角形面积之和 即S=11(****)(*)22AO DO AO BO CO DO CO BO AC BD +++=．容易算出AC BD ==，则算出S=5．故答案C5 ．（2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD 版））在平面直角坐标系中,O 是坐标原点,两定点,A B 满足2,OA OB OA OB ===则点集{}|,1,,P O PO A O B R λμλμλμ=++≤∈所表示的区域的面积是（ ）A ．B ．C ．D ． D1,,,,=++=μλμλ其中是线外一点则三点共线若P C B A .在本题中，32cos 4cos ||||πθθθ=⇒==⋅⋅=⋅.建立直角坐标系，设A(2,0),).(10,0).31(含边界内在三角形时，，则当OAB P B ≤+≥≥μλμλ344=⨯=的面积三角形的面积根据对称性，所求区域OAB S所以选D6 ．（2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））在平面上,12AB AB ⊥,121OB OB ==,12AP AB AB =+.若12OP <,则OA 的取值范围是 （ ）A ．⎛ ⎝⎦B ．⎝⎦C ．⎝D ．⎝ D【命题立意】本题考查平面向量的应用以及平面向量的基本定理。
-2017年高考文科数学真题汇编：平面向量高考题老师版(可编辑修改word版)
学科教师辅导教案学员姓名 年 级 高三 辅导科目数 学授课老师课时数 2h第次课授课日期及时段2018 年月日：—：历年高考试题集锦——平面向量a b1．（2012 四川）设 a 、b 都是非零向量，下列四个条件中，使| | = | |成立的充分条件是（ C ）a b A 、 a = -b B 、 a // b C 、 a = 2b D 、 a // b 且| a |=| b |2.（2014 新标 1 文）设 D , E , F 分别为∆ABC 的三边 BC , C A , AB 的中点，则 EB + FC = （ A ） 11 A. ADB.AD C.BC D. BC223. （2014 福建文）设 M 为平行四边形 ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形 ABCD 所在平面内任意一点，则OA + OB + OC + OD 等于 （ D ） A B .2 C . D .4 .OM OM 3OM OM4.（2012 大纲） ∆ABC 中， AB 边上的高为CD ，若CB = a , CA = b , a ⋅ b = 0,| a |= 1,| b |= 2 ，则 AD =1 12 23 34 4 A. a - b B ． a - b C ． a - b D ． a - b3 3 3 3 5 5 5 5 2 54 5【简解】由 a ⋅ b = 0 可得∠ACB = 90︒ ，故 AB = 5 ，用等面积法求得CD = ，所以 AD = ，故5 54 4 4 4AD = AB = (CB - C A ) = a - b ，故选答案 D5 5 5 55.(2012 浙江) 设 a ， b 是两个非零向量．A ．若| a + b |=| a |-| b |，则 a ⊥ b ；B ．若 a ⊥ b ，则| a + b |=| a |-| b |C ．若| a + b |=| a |-| b |，则存在实数 λ，使得 a =λ bD ．若存在实数 λ，使得 a =λ b ，则| a + b |=| a |-| b |【解析】| a + b |=| a |-| b |，两边平方得到 a ⋅ b =-| a || b |,则 a 与b 反向，选 C6．(2013 → → →四川) 在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 交于点 O ，AB ＋AD ＝λAO ，则 λ＝2 .1 07.(2014 新标 1 理) 已知 A ，B ，C 是圆 O 上的三点，若 AO = ( A B + AC ) ，则 AB 与 AC 的夹角为 902.8．（2012 安徽文）设向量 a = (1, 2m ), b = (m +1,1), c = (2, m ) ，若(a + c ) ⊥ b ,则 a =29．（2014 北京文）已知向量 a = (2, 4) ， b = (-1,1) ，则2a - b = （ A ）A. (5, 7)B. (5, 9)C. (3, 7)D. (3, 9)10．（2012 广东）若向量 = (2,3) ， = (4,7) ，则= （ A ）BA CA BCA . (-2,-4)B . (2,4)C . (6,10)D . (-6,-10) 11．（2014 广东文）已知向量 a = (1, 2) ， b = (3,1) ，则b - a = （B ）A.(-2,1)B.(2, -1)C.(2, 0)D.(4, 3)12．（2013 湖北）已知点 A (-1, 1) 、 B (1, 2) 、C (-2, - 1) 、 D (3, 4) ，则向量 在方向上的投影为（ AB CDA ）A ．3 2B ．3 15 C ． -3 2 D ． -3 15222213．（2012 辽宁文）已知向量 a = (1,—1)， b = (2,x).若 a · b = 1,则 x =（ D ）1 1(A) —1(B) —(C)(D)122→14．（2013 辽宁）已知点 A (1,3)，B (4，－1)，则与向量 A B 同方向的单位向量为( A )A.(3 － )B.( ，－ )C.(－ ， )D.(－ ， )4 4 3 3 4 4 3， 5 5 5 5 5 5 5 515．（2013 福建）在四边形 ABCD 中， AC = (1, 2) ， BD = (-4, 2) ，则四边形的面积为（ C ）A ． 5B ． 2 5C ．5D ．10116．（2013 安徽文）若非零向量 a , b 满足 a = 3 b = a + 2b ，则 a , b 夹角的余弦值为- . 317．（2013 辽宁）设向量a ＝( 3sin x ，sin x )，b ＝(cos x ，sin x )，x ∈[0，2].→ → π→ → → →(1)若|a |＝|b |，求 x 的值； (2)设函数 f (x )＝a ·b ，求 f (x )的最大值．π 3【答案】 (1) .； (2) .6 2→ → → → →18．（2014 大纲文）已知a 、b 为单位向量，其夹角为 60 ︒ ，则（2a －b ）·b =( B )10 6 AP A CCP 3PD ，A P BPAB ADA. －1B. 0C. 1D.219.(2013新标1理) 已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c ＝t a ＋(1－t)b ，若b ·c =0，则t = 2 .→ →→ →→ →→→20.(2014 新标 2) 设向量a ,b 满足|a +b |= ，|a -b |= ，则a ·b = ( A ) A. 1B. 2C. 3D. 5→ → 21.(2013 新标 2) 已知正方形 ABCD 的边长为 2，E 为 CD 的中点，则AE ·BD ＝2 .22.（2012 湖南文）如图，在平行四边形 ABCD 中 ，AP⊥BD，垂足为 P， AP = 3 且 = 18 .【解析】设 AC BD = O ，则 AC = 2( AB + BO ) ， AP AC = AP 2( AB + BO ) = 2 2 A P AB + 2 A P BO = 2 A P AB = 2 A P ( AP + PB ) = 2 A P =18 .23.（2012 江苏）如图，在矩形 ABCD 中，AB=，BC=2，点 E 为 BC 的中点，点 F 在边 CD 上，若=，则的值是 ．24.（2014 江苏）如图，在□ABCD 中，已知， AB = 8 ，A D = 5 ，= ⋅ = 2 ，则 ⋅ 的值是．13【简解】 AP - AC =3( AD - AP ), AP = AD + 4 AB ; BP = AD - 4 AB ;列式解得结果 22a25.（2015 北京文）设 ， b 是非零向量，“ a ⋅ b = a b ”是“ a//b ”的（ A ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3 32 A230．（2012 A ． x 29．（2012 22 2 2年安徽文） 27.（2015 ① a= + BE =在平面直角坐标系 x O y 中，已知四边形 AB CD 是平行四边形， A B= (1, -2) ， AA D = (2,1) ，则 D ⋅ A C = （ D ）A ． 2B ． 3C ． 4D ． 5→ → ∆ABC 是边长为 2 的等边三角形，已知向量 a 、b 满足 AB = 2a ， AC = 2a + b ，则下列结论中正确的是①④⑤ 。
2017高考十年高考文数分项版(新课标2专版)专题05 平面向量(解析版) 含解斩
一．基础题组1。
【2014全国2，文4】设向量b a ,满足10||=+b a ,6||=-b a，则=⋅b a （）A.1 B 。
2 C 。
3 D. 5【答案】A【解析】由已知得,22210a a b b +⋅+=,2226a a b b -⋅+=，两式相减得，44a b ⋅=,故1a b ⋅=．2。
【2010全国新课标，文2】a ，b 为平面向量，已知a ＝（4，3），2a ＋b ＝（3，18）,则a ，b 夹角的余弦值等于( )A 。
865B ．865－ C 。
6516 D ．－6516【答案】：C3。
【2007全国2，文6】在∆ABC 中,已知D 是AB 边上一点，若AD =2D B ,CD =CBCA λ+31，则λ=()（A)32 （B ）31 (C ） 31- （D)32-【答案】：A【解析】AD=2DB ，所以D 为AB 三等分点,令CE=1/3CA ，E 在CA 上，则，E 为CA 三等分点，DE//CB ，由向量的加法规律,有CF=2/3CB ，使得CEDF 为一平行四边形，所以λ=2/3。
4. 【2006全国2，文1】已知向量a ＝（4，2）,向量b ＝（x ，3)，且a //b ，则x ＝(）（A）9 (B)6 （C）5 (D）3【答案】B【解析】因为向量a＝（4，2），向量b＝(x，3)，且a//b，根据向量共线的充要条件得4×3=2x，x=6，故答案为:6．5。
【2012全国新课标,文15】已知向量a，b夹角为45°，且|a｜＝1,|2a－b｜＝10,则|b|＝__________．【答案】：326。
【2005全国3,文14】已知向量(,12),(4,5),(,10)===-，且A、OA k OB OC kB、C三点共线,则k= 。
【答案】2-37。
【2015新课标2文数】已知()a b a( ）b，则(2)+⋅==-a，()1,2=-1,1A．1-B．0C．1D．2【答案】C【解析】试题分析：由题意可得2112a,123,=+=a b所以⋅=--=-()222431+⋅=+⋅=-=a b a a a b .故选C.【考点定位】本题主要考查向量数量积的坐标运算.【名师点睛】全国卷中向量大多以客观题形式出现，属于基础题。
2017高考数学数学(文)精练五 平面向量 含解析
高三单元滚动检测卷·数学考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(填空题)和第Ⅱ卷(解答题)两部分，共4页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．3．本次考试时间120分钟，满分160分． 4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．单元检测五 平面向量第Ⅰ卷一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填在题中横线上)1．(2015·湖北宜昌一中模拟)已知向量a ＝(4,2)，向量b ＝(x,3)，且a 平行b ，则x ＝________. 2．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(0,1)，c ＝(k ，－2)，若(a ＋2b )⊥c ，则k ＝________.3．(2015·广东广雅中学模拟)在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，AB →＝(2,4)，AC →＝(1,3)，则用坐标表示DA →＝________.4．(2015·南昌调研)设e 1，e 2是平面内两个不共线的向量，AB →＝(a －1)e 1＋e 2，AC →＝b e 1－2e 2(a >0，b >0)，若A ，B ，C 三点共线，则ab 的最大值是________．5．(2015·资阳模拟)已知a ，b 为平面向量，若a ＋b 与a 的夹角为π3，a ＋b 与b 的夹角为π4，则|a ||b |＝________. 6．(2015·南通模拟)如图，已知圆M ：(x －3)2＋(y －3)2＝4，四边形ABCD 为圆M 的内接正方形，E ，F 分别为边AB ，AD 的中点，当正方形ABCD 绕圆心M 转动时，ME →·OF →的最大值是________．7．(2014·四川)平面向量a ＝(1,2)，b ＝(4,2)，c ＝m a ＋b (m ∈R )，且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m ＝________.8．向量BA →＝(4，－3)，向量BC →＝(2，－4)，则△ABC 的形状是__________三角形． 9．(2015·芜湖模拟)已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°.AC ＝3，BC ＝4，P 为线段AB 上的点，且CP →＝x ·CA →|CA →|＋y ·CB →|CB →|，则xy 的最大值为________．10．如图为函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ) (ω>0)的部分图象，B ，C 分别为图象的最高点和最低点，若AB →·BC →＝|AB →|2，则ω＝________.11．(2015·开封高级中学检测)已知向量OA →＝(3，－1)，OB →＝(0,2)，若OC →·AB →＝0，AC →＝λOB →，则实数λ的值为________．12．(2015·攸县一中模拟)若等边△ABC 的边长为1，平面内一点M 满足CM →＝13CB →＋12CA →，则MA →·MB →＝________.13.如图所示，在平面四边形ABCD 中，若AC ＝3，BD ＝2，则(AB →＋DC →)·(AC →＋BD →)＝________.14．已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AD ＝2，BC ＝1，P 是腰DC 上的动点，则|P A →＋3PB →|的最小值为________．第Ⅱ卷二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(14分)已知向量a ＝(sin θ，cos θ－2sin θ)，b ＝(1,2)． (1)若a ∥b ，求tan θ的值； (2)若|a |＝|b |,0<θ<π，求θ的值．16．(14分)(2015·惠州二调)设向量a ＝(3sin x ，sin x )，b ＝(cos x ，sin x )，x ∈[0，π2]．(1)若|a |＝|b |，求x 的值；(2)设函数f (x )＝a ·b ，求f (x )的最大值．17.(14分)在直角坐标系xOy 中，已知点A (1,1)，B (2,3)，C (3,2)，点P (x ，y )在△ABC 三边围成的区域(含边界)上，且OP →＝mAB →＋nAC →(m ，n ∈R )． (1)若m ＝n ＝23，求|OP →|；(2)用x ，y 表示m －n ，并求m －n 的最大值．18．(16分)(2015·苏州模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ， 且2cos 2A －B 2cos B －sin(A －B )sin B ＋cos(A ＋C )＝－35.(1)求cos A 的值；(2)若a ＝42，b ＝5，求向量BA →在BC →方向上的投影．19.(16分)(2015·德州高三期末)已知a ，b ，c 分别为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，向量m ＝(sin A,1)，n ＝(cos A ，3)，且m ∥n . (1)求角A 的大小；(2)若a ＝2，b ＝22，求△ABC 的面积．20．(16分)(2015·河南天一大联考)已知向量m ＝⎝⎛⎭⎫3sin x 4，1，n ＝⎝⎛⎭⎫cos x 4，cos 2x4，记f (x )＝m·n .(1)若f (α)＝32，求cos ⎝⎛⎭⎫2π3－α的值； (2)将函数y ＝f (x )的图象向右平移2π3个单位得到y ＝g (x )的图象，若函数y ＝g (x )－k 在⎣⎡⎦⎤0，7π3上有零点，求实数k 的取值范围．答案解析1．6解析 由题意得4×3－2x ＝0得到x ＝6. 2．8解析 因为a ＝(1,2)，b ＝(0,1)，所以a ＋2b ＝(1,4)，又(a ＋2b )⊥c ，c ＝(k ，－2)， 所以(a ＋2b )·c ＝0⇒k －8＝0⇒k ＝8. 3．(1,1)解析 ∵AC →＝AB →＋BC →，∴BC →＝AC →－AB →，而DA →＝－BC →＝－(AC →－AB →)＝－(－1，－1)＝(1,1)． 4.12解析 若A ，B ，C 三点共线，则AB →＝λAC →，∴(a －1)e 1＋e 2＝λ(b e 1－2e 2)，即⎩⎪⎨⎪⎧a －1＝λb ，1＝－2λ，∴b ＝2－2a . ∴ab ＝a (2－2a )＝2a (1－a )≤[a ＋(1－a )]22＝12，当且仅当a ＝12，b ＝1时，(ab )max ＝12.5.63解析 如图所示．在平行四边形ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ， AC →＝a ＋b ，∠BAC ＝π3，∠DAC ＝∠ACB ＝π4.在△ABC 中，由正弦定理得|a ||b |＝sin π4sin π3＝2232＝63. 6．6解析 由题意可得ME →⊥MF →，所以ME →·MF →＝0.又易知|ME →|＝2，|OM →|＝32，所以ME →·OF →＝ME →·(OM →＋MF →)＝ME →·OM →＋ME →·MF →＝ME →·OM →＝6cos(π－∠OME )，当∠OME ＝π时，ME →·OF →取得最大值6. 7．2解析 c ＝m a ＋b ＝(m ＋4,2m ＋2)， 由题意知a ·c |a |·|c |＝b ·c |b |·|c |，即(1，2)·(m ＋4，2m ＋2)12＋22＝(4，2)·(m ＋4，2m ＋2)42＋22，即5m ＋8＝8m ＋202，解得m ＝2.8．直角解析 ∵BA →＝(4，－3)，BC →＝(2，－4)， ∴AC →＝BC →－BA →＝(－2，－1)， ∴CA →·CB →＝(2,1)·(－2,4)＝0，∴∠C ＝90°，且|CA →|＝5，|CB →|＝25，|CA →|≠|CB →|. ∴△ABC 是直角三角形． 9．3解析 CP →＝CA →＋AP →＝CA →＋λAB →＝CA →＋λ(CB →－CA →)＝(1－λ)CA →＋λCB →(0≤λ≤1)，又CP →＝x 3CA →＋y 4CB →，∴⎩⎨⎧1－λ＝x 3，λ＝y 4.∴xy ＝12(1－λ)λ＝－12⎝⎛⎭⎫λ－122＋3≤3，当且仅当λ＝12时取“＝”，∴xy 的最大值是3. 10.π6解析 由题意知|BC →|＝2|AB →|，由AB →·BC →＝|AB →|2知－|AB →|·|BC →|cos ∠ABC ＝|AB →|2，得cos ∠ABC ＝－12，则∠ABC ＝120°，过B 作BD 垂直于x 轴于D ，则|AD →|＝3，所以T 4＝3， 则T ＝12，ω＝2πT ＝π6.11．2解析 设OC →＝(x ，y )，∵AB →＝(－3,3)，∴由向量的运算可知， OC →·AB →＝－3x ＋3y ＝0，∴x ＝y ，AC →＝(x －3，y ＋1)＝λOB →＝(0,2λ)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －3＝0，y ＋1＝2λ， ∴λ＝2.12．－29解析 MA →·MB →＝(CA →－CM →)·(CB →－CM →) ＝(12CA →－13CB →)·(23CB →－12CA →) ＝12CA →·CB →－14(CA →)2－29(CB →)2＝－29. 13．5解析 由于AB →＝AC →＋CB →，DC →＝DB →＋BC →， 所以AB →＋DC →＝AC →＋CB →＋DB →＋BC → ＝AC →－BD →.(AB →＋DC →)·(AC →＋BD →)＝(AC →－BD →)·(AC →＋BD →)＝|AC →|2－|BD →|2＝9－4＝5. 14．5解析 建立如图所示的平面直角坐标系，设DC ＝m ，P (0，t ) (t ∈[0，m ])， 由题意可知，A (2,0)，B (1，m )，所以P A →＝(2，－t )，PB →＝(1，m －t )，P A →＋3PB →＝(5,3m －4t )，所以|P A →＋3PB →|＝52＋(3m －4t )2≥5，当且仅当t ＝34m 时取等号，故|P A →＋3PB →|的最小值为5.15．解 (1)因为a ∥b ，所以2sin θ＝cos θ－2sin θ. 于是4sin θ＝cos θ，故tan θ＝14.(2)由|a |＝|b |知，sin 2θ＋(cos θ－2sin θ)2＝12＋22， 所以1－2sin 2θ＋4sin 2θ＝5. 从而－2sin 2θ＋2(1－cos 2θ)＝4， 即sin 2θ＋cos 2θ＝－1， 于是sin(2θ＋π4)＝－22.又由0<θ<π知，π4<2θ＋π4<9π4，所以2θ＋π4＝5π4或2θ＋π4＝7π4.所以θ＝π2或θ＝3π4.16．解 (1)由|a |＝(3sin x )2＋(sin x )2＝2sin 2x ，|b |＝(cos x )2＋(sin x )2＝1，及|a |＝|b |，得sin 2x ＝14.又x ∈[0，π2]，从而sin x ＝12，所以x ＝π6.(2)f (x )＝a ·b ＝3sin x ·cos x ＋sin 2x＝32sin 2x －12cos 2x ＋12＝sin(2x －π6)＋12. 当x ∈[0，π2]时，2x －π6∈[－π6，5π6]，所以当2x －π6＝π2，即x ＝π3时，sin(2x －π6)取得最大值1，所以f (x )的最大值为32.17．解 (1)∵m ＝n ＝23，AB →＝(1,2)，AC →＝(2,1)，∴OP →＝23(1,2)＋23(2,1)＝(2,2)，∴|OP →|＝22＋22＝2 2.(2)∵OP →＝m (1,2)＋n (2,1)＝(m ＋2n,2m ＋n )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m ＋2n ，y ＝2m ＋n ，两式相减，得m －n ＝y －x .令y －x ＝t ，由图知，当直线y ＝x ＋t 过点B (2,3)时，t 取得最大值1，故m －n 的最大值为1. 18．解 (1)由2cos 2A －B 2cos B －sin(A －B )sin B ＋cos(A ＋C )＝－35， 得[cos(A －B )＋1]cos B －sin(A －B )sin B －cos B ＝－35，∴cos(A －B )cos B －sin(A －B )sin B ＝－35，∴cos(A －B ＋B )＝－35，即cos A ＝－35.(2)由cos A ＝－35，0<A <π，得sin A ＝45，由正弦定理，有a sin A ＝bsin B ，所以sin B ＝b sin A a ＝22.由题意知a >b ，则A >B ，故B ＝π4.根据余弦定理，有(42)2＝52＋c 2－2×5c ×(－35)，解得c ＝1或c ＝－7(舍去)．故向量BA →在BC →方向上的投影为|BA →|cos B ＝22.19．解 (1)根据m ∥n ，可得到tan A ＝33. 注意到A ∈(0，π)，得到A ＝π6.(2)由正弦定理可得：sin B ＝b sin A 2＝22， 因为a <b ，所以A <B ，所以B ＝π4或3π4.当B ＝π4时，sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A ·sin B ＝2(1＋3)4， 所以S △ABC ＝12ab sin C ＝1＋3；当B ＝3π4时，sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A ·sin B ＝2(3－1)4，所以S △ABC ＝12ab sin C ＝3－1.故△ABC 的面积为1＋3或3－1.20．解 f (x )＝3sin x 4cos x 4＋cos 2x4＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π6＋12.(1)由已知f (α)＝32，得sin ⎝⎛⎭⎫α2＋π6＋12＝32， 于是α＝4k π＋2π3，k ∈Z ，所以cos ⎝⎛⎭⎫2π3－α＝cos ⎝⎛⎭⎫2π3－4k π－2π3＝1 (k ∈Z )． (2)将函数y ＝f (x )图象向右平移2π3个单位得到函数g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π6＋12的图象，当x ∈⎣⎡⎦⎤0，7π3时，－π6≤12x －π6≤π，所以－12≤sin ⎝⎛⎭⎫12x －π6≤1，所以0≤sin ⎝⎛⎭⎫12x －π6＋12≤32，若函数y ＝g (x )－k 在⎣⎡⎦⎤0，7π3上有零点，则k ∈⎣⎡⎦⎤0，32.。
2014-2017高考真题-第五章---平面向量
第五章 平面向量考点1 平面向量的概念及坐标运算1.（2015·新课标全国Ⅰ,7)设D 为△ABC 所在平面内一点，错误!＝3错误!，则（ ）A.AD ，→＝－错误!错误!＋错误!错误!B.错误!＝错误!错误!－错误!错误!C.错误!＝错误!错误!＋错误!错误! D 。
错误!＝错误!错误!－错误!错误!1.A ［∵错误!＝3错误!，∴错误!－错误!＝3(错误!－错误!)，即4错误!－错误!＝3错误!， ∴错误!＝－错误!错误!＋错误!错误!.]2。
（2015·湖南，8）已知点A ,B ，C 在圆x 2＋y 2＝1上运动，且AB ⊥BC .若点P 的坐标为（2，0)，则|错误!＋错误!＋错误!｜的最大值为( )A.6 B 。
7 C.8 D.92。
B ［由A ,B ，C 在圆x 2＋y 2＝1上，且AB ⊥BC ,∴AC 为圆直径,故错误!＋错误!＝2错误!＝(－4，0),设B (x ，y ），则x 2＋y 2＝1且x ∈［-1,1］，错误!＝（x －2，y ），所以错误!＋错误!＋错误!＝(x —6，y ）.故|错误!＋错误!＋错误!｜＝错误!，∴x ＝－1时有最大值错误!＝7,故选B.]3。
(2014·福建，8)在下列向量组中，可以把向量a ＝（3,2）表示出来的是( )A 。
e 1＝（0,0),e 2＝(1，2) B.e 1＝（－1,2)，e 2＝（5，－2)C.e 1＝(3,5),e 2＝（6,10）D.e 1＝(2,－3)，e 2＝（－2,3）3.B [法一 若e 1＝(0，0)，e 2＝(1，2），则e 1∥e 2,而a 不能由e 1，e 2表示，排除A ；若e 1＝(－1，2），e 2＝(5，－2)，因为错误!≠错误!，所以e 1，e 2不共线，根据共面向量的基本定理,可以把向量a ＝（3，2）表示出来，故选B.法二 因为a ＝(3，2)，若e 1＝(0，0），e 2＝（1，2)，不存在实数λ，μ，使得a ＝λe 1＋μe 2,排除A;若e 1＝(－1，2)，e 2＝（5，－2),设存在实数λ,μ，使得a ＝λe 1＋μe 2，则(3，2)＝(－λ＋5μ，2λ－2μ)，所以错误!解得错误!所以a＝2e1＋e2,故选B.]4.(2014·安徽,10)在平面直角坐标系xOy中，已知向量a，b，|a｜＝|b|＝1，a·b＝0，点Q满足错误!＝错误!（a＋b）。
2017高考十年高考数学(文科)分项版 专题05 平面向量(浙江专版)(解析版) 含解析
一．基础题组1。
【2012年。
浙江卷.文7】设a，b是两个非零向量，( ）A．若|a＋b|＝｜a｜－｜b|，则a⊥bB．若a⊥b，则｜a＋b｜＝|a｜－｜b｜C．若｜a＋b｜＝|a|－|b|，则存在实数λ,使得b＝λaD．若存在实数λ，使得b＝λa，则｜a＋b｜＝|a｜－|b｜【答案】C【解析】由｜a＋b｜＝|a|－|b|两边平方可得，｜a|2＋2a·b ＋｜b｜2＝｜a｜2－2|a||b|＋｜b|2，即a·b＝－｜a｜｜b｜，所以cos<a，b〉＝－1，即a与b反向，根据向量共线定理，知存在实数λ，使得b＝λa．2。
【2012年.浙江卷。
文15】在△ABC中，M是BC的中点,AM＝3,BC＝10，则AB AC⋅=__________．【答案】—16【解析】AM＋AM·MC＋AM·MB＋AB·AC＝（AM＋MB）·(AM＋MC）＝2MB·MC＝|AM｜2＋(MB＋MC)·AM＋｜MB｜｜MC｜cosπ＝9－25＝－16．3。
【2011年。
浙江卷.文15】若平面向量α，β满足｜α｜=1，｜β|≤1，且以向量α,β为邻边的平行四边形的面积为12，则α与β的夹角θ的取值范围是 。
【答案】]65,6[ππ4. 【2010年。
浙江卷。
文13】已知平面向量,,1,2,(2),αβαβααβ==⊥-则2a β+的值是【答案】10【解析】：10，由题意可知()-20ααβ•=,结合4122==βα，,解得12αβ•=，所以22a β+=22448210ααββ+•+=+=，∴2a β+=10，本题主要考察了平面向量的四则运算及其几何意义,属中档题。
5。
【2009年.浙江卷。
文5】已知向量(1,2)=a ，(2,3)=-b ．若向量c 满足()//+c a b ，()⊥+c a b ，则c = （ ）A ．77(,)93B ．77(,)39-- C ．77(,)39D ．77(,)93-- 【答案】D【解析】不妨设(,)C m n =，则()1,2,(3,1)a c m n a b +=+++=-，对于()//c a b +，则有3(1)2(2)m n -+=+；又()c a b ⊥+，则有30m n -=,则有77,93m n =-=-6。
2017年高考全国名校试题数学分项汇编 专题05 平面向量(解析版) Word版含解析
一、填空题1. 【2016高考冲刺卷（9）【江苏卷】】如图所示，三个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，边33C B 上有10个不同的点1021,,,P P P ，记i i AP AB M ⋅=2 （10,,2,1 =i ），则=+++1021M M M .其中10,,2,1 =i ，故1133)116(3ii M i ⨯+-=18=，从而1801021=+++M M M 2. 【2016高考冲刺卷（7）【江苏卷】】在ABC ∆中，点D 满足34BD BC =，当点E 在射线AD （不含点A ）上移动时，若AE AB AC λμ=+，则1λμ+的最小值为________．【解析】由34BD BC =，得3()4AD AB AC AB -=-，即1344AD AB AC =+，因为点E 在射线AD （不含点A ）上移动，所以344t tAE t AD AB AC ==+，又因为AE AB AC λμ=+，所以)0(43,4>==t tt μλ，则3323123441=≥+=+t t μλ（当且仅当t t 344=，即334=t 时取等号）；故填3． 3. 【江苏省苏中三市（南通、扬州、泰州）2016届高三第二次调研测试数学试题】如图，在同一平面内，点A 位于两平行直线,m n 的同侧，且A 到,m n 的距离分别为1，3．点,B C 分别在,m n ，5AB AC +=，则AB AC ⋅的最大值是 ． 【答案】4214. 【2016高考冲刺卷（3）【江苏卷】】已知向量a ，b ，c 满足||=2a ，||3b a b =⋅=，若(2)(23)0c a b c -⋅-=，则||b c -的最大值是 ．5. 【2016高考冲刺卷（1）【江苏卷】】已知△ABC 是等边三角形，有一点D 满足12AB AC AD +=，且||3CD =，那么DA DC ⋅= ． 【答案】3【解析】设正ABC ∆边长为a ，11()22DC AC AD AC AB AC AC AB =-=-+=-， 所以22214DC AC AC AB AB =-⋅+2221cos 43a a a π=-+，即2334a =，即2a =，则11()()22DA DC AB AC AC AB ⋅=-+⋅-22213344AB AC a =-==．6. 【2016高考押题卷（2）【江苏卷】】在平面直角坐标系中，点A （1，0），B （0，1），点C 在第二象限内，若65π=∠AOC ,OC OA OB λμ=+,2=OC ,则λμ= 【答案】3-【解析】由条件得(,)OC λμ=,故65cos2πλ=，52sin 6πμ=，得1,3=-=μλ，从而3-=λμ7. 【南京市2016届高三年级第三次模拟考试】如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝4，AD ＝3，CD ＝2，2AM MD =．若AC BM ⋅＝－3，则AB AD ⋅＝ ▲ ． 【答案】32【解析】试题分析：因为122()()23233AC BM AD AB AB AD AB AD ⋅=+⋅-+=--⋅=-，所以3.2AB AD ⋅=8. 【江苏省苏锡常镇四市2016届高三教学情况调研（二）数学试题】在平面直角坐标系xOy中，设点(1 0)A ，，(0 1)B ，，( )C a b ，，( )D c d ，，若不等式2(2)()()CD m OC OD m OC OB OD OA -⋅+⋅⋅⋅≥对任意实数a b c d ，，，都成立，则实数m 的最大值是 ▲ ． 【答案】51-9. 【2016高考冲刺卷（4）【江苏卷】】在平面直角坐标系xOy 中，设M 是函数24()x f x x+=(x>0)的图象上任意一点，过M 点向直线y=x 和y 轴作垂线，垂足分别是A ，B ，则MA MB ⋅= ▲ ． 【答案】2- 【解析】 试题分析：设(,),(,)M x y A m m ，则(0,)B y ，因此2(,)(,0)MA MB m x m y x x mx⋅=--⋅-=-，又22411222MAy m x k y x m x m x mx x m x -+=-⇒=-⇒=-+⇒=-+⇒-=--，因此2.MA MB ⋅=-10. 【2016高考冲刺卷（2）【江苏卷】】设四边形ABCD 为平行四边形，6AB =，4AD =.若点M ，N 满足3BM MC =，2DN NC =，则AM NM ⋅= ▲ ． 【答案】9 【解析】试题分析：根据题意点M 为BC 上靠近点C 的四等分点，点N 为DC 上靠近点C 的三等分点,所以34AM AB AD =+,11133434NM AB AD AB AD ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭,所以：AM NM =22133191936169344316316AB AD AB AD AB AD ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=-=-⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,所以9AM NM =.11. 【2016高考押题卷（3）【江苏卷】】设二次函数c bx ax x f ++=2)(的图象经过点)2,(t C ，且与x 轴交于B A ,两点，若ACB ∠是钝角，则实数a 的取值范围是 ．12. 【2016年第一次全国大联考【江苏卷】】在ABC ∆中，3,4AB AC ==,N 是AB 的中点，边AC （含端点）上存在点M ，使得BM CN ⊥，则cos A 的取值范围为_______. 【答案】3[,1)8【解析】以A 为原点，直线AB 为x 轴建立平面直角坐标系，则3(30)(4cos ,4sin ),(,0)2B C A A N ，，，设(04),AM t t =≤≤则(cos ,sin ),M t A t A 从而由3(cos 3)(4cos )(sin )(4sin )02BM CN t A A t A A ⋅=--+-=得155cos (8)38A t =-+，为[0,4]增函数，因此341cos [,]836A ∈，又ABC ∆中，cos (1,1)A ∈-，故cos A 的取值范围为3[,1)8. 13. 【2016年第四次全国大联考【江苏卷】】在ABD ∆中，13112,,343AB AD AE AD BC BD BE AC ====⋅=，，则BAD ∠的值为_______.【答案】34π 【解析】因为131,443AC AB AD BE AE AB AD AB =+=-=-, 所以2222112112||||||||cos 443443BE AC AB AD AB AD AB AD AB AD BAD ⋅=-+-⋅=-+-⋅∠，因此1121148222cos 4433BAD -⨯+⨯-⨯⨯∠=，即2cos 2BAD ∠=-， 因为(0,)BAD π∠∈，所以3.4BAD π∠=14. 【2016年第四次全国大联考【江苏卷】】扇形AOB 中，弦1AB =，C 为劣弧AB 上的动点，AB 与OC 交于点P ，则OP BP ⋅的最小值是_______. 【答案】116-15. 【2016年第三次全国大联考【江苏卷】】已知Rt △ABC 的面积为2，︒=∠90C ，点P 是Rt △ABC 所在平面的一点，满足CACA CBCB CP 94=,则PB PA ⋅的最大值是 . 【答案】73【解析】法一：以点C 为原点，CB 所在直线为x 轴，CA 所在直线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设点B 坐标为)0)(0,(>t t ，则由122CA CB ⨯=得点A 坐标为)4,0(t ，又点P 坐标为)9,4(，于是)94,4(--=tPA ，)9,4(--=t PB从而)94(9)4(4----=⋅t t PB PA t t 36497--=，因24364≥+t t ，当且仅当364=t t，即t=3时取等号. 故7336497≤--tt ，即当3=t 时，PB PA ⋅有最大值73.法二：4=,0=⋅CB CA . 因CP CA PA -=CA CB CA 94-=,CP CB PB -=CA CB CB 94--=,故PB PA ⋅=94(CA CB CA 94(CA CB CB --732129797=⨯-≤--=.16. 【 2016年第二次全国大联考（江苏卷）】在三角形ABC 中，13,23BC BD AB AC A π=⋅=∠=，，则||AD 的最小值为_______.二、解答题1. 【2016高考押题卷（1）【江苏卷】】（本小题满分14分）已知(cos ,sin ),(cos ,sin )a b ααββ==．（1）若67πβα=-，求a b ⋅的值； （2）若4,58a b πα⋅==，且⎪⎭⎫⎝⎛-∈-0,2πβα，求tan()αβ+的值． 【答案】（1）2-（2）7 【解析】解：（1）∵)sin ,(cos ),sin ,(cos ββαα==b a ，∴()2367cos cos -==-=⋅πβαb a .。
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uuur 1， PM
uuur MC ，
uuur 2
则 BM 的最大值是（
）.
43
A.
4
49
7. （ 2017 天 津 文 14 ） 在 △ ABC 中 ， A 60 ， AB 3 ， AC 2 . 若 BD 2DC ，
AE AC AB R ，且 AD AE 4 ，则 的值为
.
7.解析 解法一： 如图所示，以向量 AB ， AC 为平面向量的基底，则依题意可得
1
AB AC AB AC cos60 3 2
则
.
D
C
O
A
B
2.分析 根据向量加法的平行四边形法则及向量数乘的几何意义求解
.
解析 由向量加法的平行四边法则，得 AB AD AC .又 O 是 AC 的中点，所以
AC 2 AO ，所以 AC 2 AO ，所以 AB AD 2 AO .又 AB AD AO ，所以 2 .
3.（ 2014 福建文 10）设 M 为平行四边形 ABCD 对角线的交点， O 为平行四边形 ABCD 所在平面内
B 3,0 ， C 1, 3 ， 则 可 得 A D
AB
2 BD 3
5 ,A
2 B
，
3 B
C
33
AE AC AB
5 3, 3 ，于是有 4 AD AE
3
11
32
5，
3
3
解得
11 .
题型 64 向量共线的应用
y
C
D
A
B
x
1.（ 2015 北京文 6）设 a ， b 是非零向量，“ a b = a b ”是“ a//b ”的（ ） .
3.
2
又因为 BD 2DC ，则
C D
A
B
2
2
2
1
AD AB BD AB BC AB AC AB AC AB .
3
3
3
3
又因为 AE AC AB ，则
2
21
2
4 AD AE
AC AB
2 AC AB
2
22 1 32 3
2 11 5 ，
3
3
33
3
3
33 3
3
即得
.
11
解法二： 以点 A 为坐标原点， 以 AB 所在直线为 x 轴建立直角坐标系 (如图所示 ).依题意易得 A 0,0 ，
DE 用 AB ， AC 表示出来，对照已知条件，求出
1，
2 的值即可 .
解析 由题意 DE
BE BD
2
1
Hale Waihona Puke BC BA2 AC
AB
3
2
3
于是 1
1, 2
2
.故 1
6
3
1
2
.
2
1 AB
2
1 AB
2 AC ，
6
3
2.（ 2013 四川文 12）如图，在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 交于点 O ，AB AD AO ，
3, 4
AB 5
题型 63 平面向量的线性运算
D.
4，3
55
34
,
.故选 A.
55
1.（ 2013 江苏 10）设 D ， E 分别是 △ ABC 的边 AB， BC 上的点， AD
1 2
AB
，
BE
2 3
BC
，
若 DE 1 AB 2 AC （ 1， 2 为实数），则 1 2 的值为
.
1.分析 利用平面向量的加、减法的运算法则将
若 a//b，则 a, b 0 或 π.所以 “a b a b ”是 “a//b ”的充分而不必要条件 .故选 A.
题型 65 平面向量基本定理及应用
1．（ 2013 广东文 10）设 a 是已知的平面向量且 a ①给定向量 b ，总存在向量 c，使 a b c ；
0 ．关于向量 a 的分解，有如下四个命题：
第五章 平面向量
第 1 节 平面向量的概念、基本定理及坐标运算
题型 62 向量的概念及共线向量
1. （ 2013 辽宁文 3）已知点 A 1，3 ， B 4， 1 ，则与向量 AB 同方向的单位向量为（
）.
A. 3， 4 55
B. 4， 3 55
C. 3，4 55
AB 1
1.解析 AB (3, 4), 则与其同方向的单位向量 e
1.分析 利用向量的平行四边形法则或三角形法则、平面向量基本定理进行判断
.
解析 对于①，若向量 a, b确定，因为 a b 是确定的，故总存在向量 c，满足 c a b ，
即 a b c，故正确；
对于②，因为 c和 b 不共线，由平面向量基本定理知， 总存在唯一的一对实数
, ，满足 a
b c，
故正确；
对于③， 如果 a b c ，则以 a , b , c 为三边长可以构成一个三角形， 如果 b 和正数 确定，
则一定存在单位向量 c和实数 满足 a b c ，故正确；
对于④， 如果给定的正数 和 不能满足 “ a , b , c 为三边长可以构成一个三角形” 这时单位向
量 b 和 c就不存在，故错误 .故选 C.
A ．若 确定，则 a 唯一确定 B ．若 确定，则 b 唯一确定
C．若 a 确定，则 唯一确定 D ．若 b 确定，则 唯一确定
6.（ 2017 全国 2 文 4）设非零向量 a ， b 满足 a+b = a b ，则（ ）.
Aa b
B. a = b
C. a // b
D. a b
6.解析 由 | a b | | a b | 平方得 a2 2a b b2 a2 2a b b2 ，即 a b 0 ，则 a b .故选 A.
②给定向量 b 和 c，总存在实数 和 ，使 a b c ；
③给定向量 b 和正数，总存在单位向量 c，使 a b c .
④给定正数 和 ，总存在单位向量 b 和单位向量 c，使 a b c .
上述命题中的向量 b 、 c和 a ， 在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数
A． 1
B． 2
C． 3
D．4
任意一点，则 OA OB OC OD 等于（
）.
A. OM
B. 2OM
C. 3OM
D. 4OM
4（. 2014 新课标Ⅰ文 6）设 D, E, F 分别为 △ ABC 的三边 BC, CA, AB 的中点，则 EB FC （ ）.
A. AD
1 B. AD
2
C. BC
1 D. BC
2
5.（ 2014 浙江文 9）设 为两个非零向量 a, b 的夹角， 已知对任意实数 t ， b t a 的 最小值为 （ ）.
A. 充分而不必要条件
B. 必要而不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
1.解析 由 a b a b cos a, b ，若 a b a b ，则 cos a, b 1，即 a, b 0 ，
因此 a//b.反之，若 a//b ，并不一定推出 a b a b ，而是 a b a b ，原因在于：