广东省惠阳高级中学2017-2018学年高二下学期期中考试 数学(文) Word版含答案

惠高实验学校2019届高二文科数学中段考试题（2018.5）参考公式：圆锥的侧面积S rl π=，圆柱的侧面积2S rl π=,l 为圆锥的母线 一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）．1．已知集合A={x|x ＞0}，B={x|﹣1≤x ≤2}，则A ∪B=（ ） A ．{x|x ≥﹣1} B ．{x|x ≤2} C ．{x|0＜x ≤2} D ．{x|﹣1≤x ≤2}2.已知复数i i z 2310-+=(其中i 是虚数单位)，则=z ( )A.32B.22C.23D.333.已知命题q p ,，则“p ⌝为假命题”是“q p ∧是真命题”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.已知 1.22a =，8.02=b ，51log 5c =，则,,a b c 的大小关系为（ ）A.c b a <<B.c a b <<C.b a c <<D.b c a <<5.如右下图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为 （ ） A.20π B . 24π C. 28π D. 32π 6．某程序框图如下图所示，该程序运行输出的k 值是( )A. 9B. 8C. 7D. 67．若x ，y 满足，则z=x+2y 的最大值为（ ）A ．1B ．3C ．5D ．98．在区间[-1,2]上随机取一个数x ，则1x ≤的概率为（ ）A ．13B ．12 C ．14 D ．239．已知F 是双曲线C ：2x ﹣=1的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，点A 的坐标是（1，3），则△APF 的面积为（ ） A．B ．C ．D ．10. 已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是（ ） A.16π B.20π C.24π D.32π 11．函数()()1cos 0f x x x x x x ππ⎛⎫=--≤≤≠ ⎪⎝⎭且的图象可能为 （ ）12．已知函数f （x ）满足f （1）=1，且f （x ）的导函数f ′（x ）＜，则f （x ）＜+的解集为（ ） A ．{x|﹣1＜x ＜1}B ．{x|x ＜﹣1}C ．{x|x ＜﹣1或x ＞1}D ．{x|x ＞1}二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）． 13．若4sin ,tan 05θθ=->，则tan()πθ+=_______ 14．已知ABC △中，3,6a b C π==∠=，则角A 等于_______15已知平面向量=（1，﹣2），=（4，m ），且⊥，则向量5﹣3= _______ 16．曲线()x f x e x =+在0x =处的切线方程为_______三．解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17．（ 12分）已知等差数列{}n a 的公差不为0，前n 项和为n S ()*∈N n ，255=S 且32=a（1）求n a 与n S ； （2）设11+=n n n S S b ，求证：1321<+⋅⋅⋅+++n b b b b ．18．（ 12分）某志愿者到某山区小学支教，为了解留守儿童的幸福感，该志愿者对某班40名学生进行了一次幸福指数的调查问卷，并用茎叶图表示如图（注：图中幸福指数低于70，说明孩子幸福感弱；幸福指数不低于70，说明孩子幸福感强）．（1）根据茎叶图中的数据完成2×2列联表，并判断能否有95%的把握认为孩子的幸福感强与是否是留守儿童有关？5人，又在这5人中随机抽取2人进行家访，求这2个学生中恰有一人幸福感强的概率．附：2×2列联表随机变量．P （K2≥k ）与k 对应值表：19.（12分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，ABC ∆为正三角形，16AA AB ==，D 为AC 的中点．（1）求证： BD ⊥平面11A ACC ； （2）求三棱锥1C BC D -的体积．20．（ 12分）在平面直角坐标系xoy 中，过点()2,0C 的直线与抛物线24y x =相交于点A 、B 两点，设()11,A x y ，()22,B x y .（1）求证：12y y ⋅为定值；（2）是否存在平行于y轴的定直线被以AC 为直径的圆截得的弦长为定值？如果存在，求出该直线方程和弦长，如果不存在，说明理由．21．（ 12分）已知函数f （x ）=lnx ﹣（a ∈R ，a ≠0）． （1）当a=﹣1时，讨论f （x ）在定义域上的单调性； （2）若f （x ）在区间[1，e]上的最小值是，求实数a 的值．（二）选考题：共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答。

如果多做，则按所做的第一题计分。

答题时请写清题号并将相应信息点涂黑。

已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x 轴非负半轴重合，直线l 的参数方程为：（t 为参数），曲线C 的极坐标方程为：ρ=4cos θ． （1）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程； （2）设直线l 与曲线C 相交于P ，Q 两点，求|PQ|的值．（23）（本题满分10分）[选修4-5：不等式选讲]已知函数()()331,412f x x a x g x x x =-++=--+. （1）求不等式()6g x <的解集；（2）若存在12,x x R ∈，使得()1f x 和()2g x 互为相反数，求a 的取值范围.惠高实验学校2019届高二文科数学中段考试题参考答案一． 1.A 2.C 3.B 4.A 5.C 6.A 7.D 8.D 9.D 10.C 11.D 12.D二． 13．43 14．6π15．()7,16-- 16．210x y -+=三．17、【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，则由525S =可得35a =，得125a d +=……① ……2分13a d +=……②联立①②，解得11,2a d == ……4分 所以2(121)12(1)21,2n n n n a n n S n +-=+-=-== ……6分（2）由（1）得111)1(1+-=+=n n n n b n ……8分所以123n b b b b ++++）（）（）（11131212111+-++-+-=n n ……10分111+-=n 又*∈N n ，∴1111<+-n ，即得证． ……12分 18．解：（Ⅰ）根据题意，填写列联表如下：∴计算，…（4分）∴有95%的把握认为孩子的幸福感强与是否是留守儿童有关．…（6分） （Ⅰ）按分层抽样的方法可抽出幸福感强的孩子2人，记作：a 1，a 2； 幸福感弱的孩子3人，记作：b 1，b 2，b 3．…（8分） “抽取2人”包含的基本事件有（a 1，a 2），（a 1，b 1），（a 1，b 2），（a 1，b 3），（a 2，b 1），（a 2，b 2），（a 2，b 3），（b 1，b 2），（b 1，b 3），（b 2，b 3）共10个； …（9分） 事件A ：“恰有一人幸福感强”包含的基本事件有（a 1，b 1），（a 1，b 2），（a 1，b 3），（a 2，b 1），（a 2，b 2），（a 2，b 3）共6个； …（10分）故所求的概率为．…（12分）19．解：（Ⅰ）证明：因为1AA ⊥底面ABC ，所以1AA BD ⊥……………2分因为底面ABC 正三角形， D 是AC 的中点,所以BD AC ⊥……………4分 因为A AC AA =⋂1，所以BD ⊥平面11ACC A ………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知ABC ∆中，BD AC ⊥，sin 60BD BC =︒=所以132BCD S ∆=⨯⨯=………………………………9分所以11163C BC D C C BD V V --===………………………12分 20、解：（Ⅰ）（解法1）当直线AB 垂直于x 轴时，22,2221-==y y ,因此821-=y y (定值) ……………………2分 当直线AB 不垂直于x 轴时，设直线AB 的方程为)2(-=x k y 由⎩⎨⎧=-=xy x k y 4)2(2得0842=--k y ky 821-=∴y y 因此有821-=y y 为定值 …………………… 4分（解法2）设直线AB 的方程为2-=x my由⎩⎨⎧=-=xy x my 422得0842=--my y 821-=∴y y(2)设存在直线l ：a x =满足条件，则 AC 的中点)2,22(11y x E +，2121)2(y x AC +-= 因此以AC 为直径的圆的半径421)2(2121212121+=+-==x y x AC r E 点到直线a x =的距离|22|1a x d -+=……………………7分 所以所截弦长为212122)22()4(4122a x x d r -+-+=- 2121)22(4a x x -+-+=2148)1(4a a x a -+--= ……………………10分当01=-a 即1=a 时，弦长为定值2，这时直线方程为1=x …………………… 12分 21．解：（1）当a=﹣1时，，∴∵x ＞0，∴f （x ）在区间（0，1）上递减，在区间（1，+∞）上递增．（6分） （2）由已知，①当a ≥﹣1时，而x ≥1，∴x +a ≥a +1≥0，∴f （x ）在[1，e ]上递增，于是，有不成立（8分）②当a ≤﹣e 时，而x ≤e ， ∴x +a ≤e +a ≤0，∴f （x ）在[1，e ]上递减，于是，有不成立．（10分）③当﹣e ＜a ＜﹣1时，在区间[1，﹣a ]上，a +1≤x +a ≤0，则f'（x ）≤0， ∴f （x ）递减，在区间（﹣a ，e ]上，0＜x +a ≤a +e ，则f'（x ）＞0， ∴f （x ）递增，∴，∴（12分）综上所述得：实数∵ρ2=x 2+y 2，ρcosθ=x ，∴x 2+y 2=4x ，所以曲线C 的直角坐标方程为（x ﹣2）2+y 2=4，由（t 为参数）消去t 得：．所以直线l 的普通方程为．（2）把代入x 2+y 2=4x 得：t 2﹣3t +5=0．设其两根分别为t 1，t 2，则t 1+t 2=3，t 1t 2=5．所以|PQ |=|t 1﹣t 2|==．23.解：（1）由题意可得()33,2151,24133,4x x g x x x x x ⎧⎪-+≤-⎪⎪=---<<⎨⎪⎪-≥⎪⎩，当2x ≤-时，336x -+<，得1x >-，无解； 当124x -<<时，516x --<，得75x >-，即7154x -<<； 当14x ≥时，336x -<，得134x ≤<，综上，()6g x <的解集为7|35x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭. （2）因为存在12,x x R ∈，使得()()12f x g x =-成立， 所以(){}(){}|,|y g ,y y f x x Ry x x R =∈=-∈≠∅，又()()()331333131f x x a x x a x a =-++≥--+=+， 由（1）可知()9,4g x ⎡⎫∈-+∞⎪⎢⎣⎭，则()9,4g x ⎛⎤-∈-∞ ⎥⎝⎦，所以9314a +≤，解得1351212a -≤≤.故a 的取值范围为惠高实验学校2019届高二文科数学中段考答题卷（2018.5）二：填空题（每小题5分，共20分）13．_______________ 14. __________________ 15.__________________ 16.__________________三：解答题（共70分）17.(本小题满分12分)18. (本小题满分12分)19. (本小题满分12分)20. (本小题满分12分)21. (本小题满分12分)22. (本小题满分10分)。