7-6高阶线性微分方程
高等数学-第七章-微分方程
在工程领域中，微分方程组被广泛应用于控制论、信号处理、流体力学等方面。通过求解微分方程组，可以优化工程 设计、提高系统性能等。
经济应用
在经济学中，微分方程组被用来描述经济系统的动态行为，如经济增长模型、金融市场模型等。通过求 解这些微分方程组，可以分析经济现象的发展趋势和内在机制。
05 微分方程的数值解法
常数变易法
对于某些特殊形式的高阶微分方程组，可以通过常 数变易的方法，将其转化为易于求解的方程或方程 组。
幂级数解法
对于某些高阶线性微分方程组，可以通过幂 级数展开的方法，将其转化为无穷级数进行 求解。
微分方程组的应用
物理应用
在物理学中，许多现象可以用微分方程组来描述，如力学中的运动方程、电磁学中的麦克斯韦方程等。通过求解这些 微分方程组，可以揭示物理现象的本质和规律。
非线性微分方程
不满足线性条件的微分方程，称为非线性微分方 程。
微分方程解的性质
唯一性定理 在一定条件下，微分方程的解是 唯一的。
边值问题 给定边界条件的微分方程求解问 题，称为边值问题。边值问题的 解可能不唯一，也可能不存在。
叠加原理
对于线性微分方程，若$y_1$和 $y_2$分别是方程的两个解，则 它们的线性组合 $c_1y_1+c_2y_2$（其中$c_1$ 和$c_2$是任意常数）也是方程 的解。
首次积分法
利用首次积分的方法，将一阶微 分方程组转化为可分离变量的方 程或可降阶的方程，然后求解得 到原方程组的解。
特征线法
对于一阶偏微分方程组，可以通 过引入特征线的概念，将偏微分 方程转化为常微分方程进行求解 。
高阶微分方程组法
变量代换法
通过适当的变量代换，将高阶微分方程组转 化为一阶微分方程组或可降阶的方程，然后 求解得到原方程组的解。
2.线性微分方程解的结构
推广 yi(： x)(i 若 1 ,2, .n)是 n阶齐线性微
y ( n ) p 1 ( x ) y ( n 1 ) p n 1 ( x ) y p n ( x ) y 0 ..( .2 ..) .
n
的解，则它们的线性组合 y(x) ciyi(x) 也是方程 (2) 的解。 i1
当且 c1c 仅 20时 当， c 1 y 1 (x 才 ) c 2 y 2 ( 有 x ) 0 ,x I， 则 y1(x)与 y2(x)在区 I上 间线性无关。
定义: 设 y 1 ( x ) y 2 ( , x ) , , y n ( x ) 是定义在区间 I 上的 n 个函数, 若存在不全为 0 的常数 k1,k2, ,kn,使得
由e x 函 的数 e 特 x (e x ) 点 (e x ) ： ， 即 可
例 1 .求(x 方 1 )y x 程 y y 0 的通解。
解： (x 1 因 ) x 1 为 0 ，所以，
yex是原方程的一个解。
又容易看出：yx 也是原方程的一个解。
利用y： 1(x) y2(x)
常数 y1(x)、 y2(x)线性无关
( 2 ) 若 1 P ( x ) Q ( x ) 0 , 则yex是它的一个; 特解 ( 3 ) 若 1 P ( x ) Q ( x ) 0 , 则yex是它的一个 ; 特
(4 )若 h (x ) p (x ) q (x ) 0 ，则方程
h ( x ) y p ( x ) y q ( x ) y 0 , 则yex是它的一个; 特解
第四节 二阶常系数线性微分方程
一、高阶线性微分方程的一般理论 二、二阶常系数齐线性微分方程的解 三、二阶常系数非齐线性微分方程的解
高阶线性微分方程的一般理论
微分方程常见解
微分方程常见解
微分方程的解可以分为常见解和特解两类。
常见解是指微分方程的一般解表达式，而特解是指满足特定初始条件或边界条件的解。
以下是一些常见微分方程的常见解：
1. 一阶线性常微分方程的常见解：
-可分离变量形式：dy/dx = f(x)g(y)，可以通过分离变量并积分得到解析解。
-齐次形式：dy/dx = f(y)/g(x)，可以通过变量代换或分离变量并积分得到解析解。
-线性形式：dy/dx + P(x)y = Q(x)，可以使用积分因子方法求解。
2. 二阶线性常微分方程的常见解：
-齐次线性方程：d²y/dx²+ p(x)dy/dx + q(x)y = 0，其中p(x)和q(x)为已知函数，可以使用特征方程法求解。
-非齐次线性方程：d²y/dx²+ p(x)dy/dx + q(x)y = f(x)，可以使用待定系数法或变异参数法求解。
3. 高阶线性常微分方程的常见解：
-特征方程法：将高阶微分方程变换为特征方程，并根据特征根的不同情况得到解析解。
-幂级数法：对于具有幂级数解形式的微分方程，可以将解表示为幂级数展开，并确定幂级数的系数。
需要注意的是，由于微分方程的多样性和复杂性，不同类型的方程可能需要不同的方法来求解，有些方程可能没有解析解而只能用数值方法进行近似求解。
此外，对于非线性微分方程或偏微分方程，其解的性质和求解方法更加复杂和多样。
高阶常系数线性微分方程欧拉方程基础教学
(2) 若 是单特征根，则
2 p q 0， 而 p ，即 2 p 0。此时，方程 (3) 为
2
u (2 p)u Pn (x)。
由多项式求导的特点可知，应有
u(x) xQn (x) x (b0 xn b1xn1 bn1x bn )，
故当 f (x) e xPn (x) 中的 是方程 (2) 的单特征根时，
所求通解为 y ex (C1 C2 x C3x2 ) 。
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20
例
在研究弹性地基梁时，遇到一个微分方程
d4
d x4
4
0，
( 0)。
试求此方程的通解。
4 4 (2 2 )2 22 2
解 特征方程 4 4 0，
特征根 所求通解为
1,2
2
(1
i)
，3，4
－
2
(1
i) ，
x
y e 2 (C1 cos
2
x
C2
sin
x)
2
x
e 2 (C3 cos
2
x
C4
sin
x)。
2
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21
三、二阶常系数非齐线性微分方程
形如 y p y q y f (x) (2)
的方程，称为二阶常系数非齐线性微分方程， 其中 p、q 为(实)常数。
它对应的齐方程为 y p y q y 0。 (1)
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9
二阶常系数齐线性微分方程 特征方程
y p y q y 0 2 p q 0。
特征根
1 2 (实根) 1 2 (实重根) 1,2 i (共轭复根 )
通解形式 y C1e1x C2e2 x y e1x (C1 C2 x)
7-6高阶线性微分方程.
的特解,
那么
y* 1
y* 2
就是原方程的特解.
解的叠加原
C1e
x
C2e2x
1 12
e5x
(C1 , C 2是任意常数)
是方程y 3 y 2 y e5x的通解.
定理 5. 给定 n 阶非齐次线性方程
无关特解, 的通解为
是对应齐次方程的 n 个线性 是非齐次方程的特解, 则非齐次方程
2. 阻力 R dx ;
dt
o x
x
F ma, m d 2 x cx dx ,
dt 2
dt
d 2 x 2n dx k 2 x 0 物体自由振动的微分方程
dt 2
dt
若受到铅直干扰力 F H sin pt,
d 2 x 2n dx k 2 x hsin pt 强迫振动的方程
解: y2 y1 与 y3 y1 是对应齐次方程的解, 且
y2 y3
y1 y1
ex x e2x x
常数
因而线性无关, 故原方程通解为
y C1(ex x) C2 (e2x x)
代入初始条件y(0) 1, y(0) 3, 得C1 1, C2 2, 故所求特解为 y 2e2x ex.
提示:
(89 考研 )
y1 y3, y2 y3 都是对应齐次方程的解,
二者线性无关 . (反证法可证)
例4. 已知微分方程 y p(x) y q(x) y f (x) 有三 个解 y1 x , y2 ex , y3 e2x , 求此方程满足初始条件 y(0) 1, y(0) 3 的特解 .
Y (x) y(x)
齐次方程通解 非齐次方程特解
例3. 设线性无关函数
都是二阶非齐次线
可降阶的高阶微分方程,高阶线性微分方程及其通解结构
原方程通解为 y C1 ln x C2 . 6
三、 y f ( y, y) 型的微分方程
特点： 不显含自变量 x.
解法： 令y dy p, 则y p d p ,
dx
dy
因y ( y) d ( y) dp
dx
dx
dpdy dy dx
pd p， dy
代入原方程,得 p d p f ( y, p) 这是一阶微分方程. dy
例4 求微分方程yy y2 0的通解.
解 设y p( y),则y p d p ,将y, y代入原方程得：yp d p p2 0，
dy
dy
在y
0、p
0时,
约去p并分离变量再积7 分得： dpp
d y， y
例4 求微分方程yy y2 0的通解.
解 设y p( y),则y p d p ,将y, y代入原方程得：yp d p p2 0，
dy dx
2y 1.
分离变量并两边积分得 2 y 1 x C.
将 y 1代入上面式子，C 1. x0
从而所求的特解为 2 y 1 x 1.
注意：在求特解的过程中， 出现任意常数后， 马上用初值条件 代入，确定任意常数， 可以使运算简化. 当出现几支函 数时，可根据已知条件定出其中一10 支.
10-3 可降阶的高阶微分方程
1
1. 可分离变量方程 分离变量法步骤:
复习
d y f (x)g( y) dx
1.分离变量;
2.两端积分-------隐式通解.
2.齐次方程 形如 dy ( y )的微分方程.
dx x
解法：作变量代换 u y , 即 y xu, 则 d y u x d u .
8
例5 求微分方程2 yy 1 y2满足初始条件 y 1,y 1
高阶微分方程的解法及应用
本科毕业论文(设计)题目：高阶微分方程的解法及应用毕业论文（设计）原创性声明本人所呈交的毕业论文（设计）是我在导师的指导下进行的研究工作及取得的研究成果。
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高阶线性方程解析
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例.
解方程
d4 w dx4
4w
0
(
0 ).
解: 特征方程:
(r2 2)2 2 2r2 0
即 ( r 2 2 r 2 )( r 2 2 r 2 ) 0
一、求通解 练 习 题
(提示:
线性无关的解)
三、降阶法与常数变易法
y P( x) y Q( x) y 0
(1)
1.已知齐次线性方程一个解,求与之线性无关的特解
代入(1)式, 得
解出 u(x) 得到 y2 通解为 (注：u(x)中不含常数)
y P( x) y Q( x) y 0
(1)
其根为
r1, 2
( 1 i ),
2
r3 , 4
(1i )
2
方程通解 :
we
x
2 ( C1 cos
2
x
C2
sin
x)
2
e
x
2 ( C3 cos
2
x
C4
sin
x)
2
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例. 解方程 y(4) 2 y y 0 .
解: 特征方程: r 4 2 r 2 1 0 即 (r2 1)2 0
一、概念的引入
例: 一弹簧下挂一重物, 使物体具有初始速
度
物体便离开平衡位置O,上下振动.
确定物体的振动规律
解 受力分析
物体自由振动的微分方程
2、 y py qy 0 的解法
特征方程法
将其代入上方程, 得
微分方程要点概要
4、 全微分方程（恰当方程 ）
M N M x, y dx N x, y dy 0, 其中 y x
必存在 F x, y 满足 dF x, y M x, y dx N x, y dy 可得解： F x, y c
或选折线 x0 , y0 x, y0 x, y 积分，得
x M x, y0 dx y N x, y dy c
0 0
x
y
若存在 x, y 使 (M )dx (N )dy 0 为全微分方程, 则称 ( x, y) 为积分因子。
由 M N , 得 y M M y x N N x y x
a1 x b1 y c1 dy 2、 f dx a2 x b2 y c2 a1 b1 若 , 令 u a2 x b2 y c2 a2 b2 a1x b1 y c1 0 a1 b1 若 , 先解 得唯一解 x0 , y0 a2 b2 a2 x b2 y c2 0 x X x0 dY Y 再令 , 原方程化为 g dX X y Y y0
(1) ( 2) y x k ex [ Rm ( x) cosx Rm ( x) sin x]
0 , 若 i 不是特征根； 其中k １ ， 若 i 是特征根．
R ( x) , R ( x) 为两ｍ次多项式， m maxl , n
(1) m ( 2) m
６、特殊代换
二、可降阶的高阶微分方程
一般 F x, y, y, y 0, 其中可求解形式为 y f x, y, y
1、 yn f x : 积分 n 次.
高阶齐次线性微分方程
第七章常微分方程7.8 高阶齐次线性微分方程数学与统计学院赵小艳1 2 高阶线性微分方程的概念1主要内容3 4 高阶齐次线性微分方程解的性质函数的线性相关与线性无关高阶齐次线性微分方程通解的结构1 2 高阶线性微分方程的概念1主要内容3 4 高阶齐次线性微分方程解的性质函数的线性相关与线性无关高阶齐次线性微分方程通解的结构解 受力分析 1 高阶线性微分方程的概念 例1 （弹簧的机械振动）如图，弹簧下挂一物体.设在垂直方向有一随时间变化的外力作用在物体上，物体将受外力驱使而上下振动，求物体的振动规律.pt H t f sin )(1= 以物体的平衡位置为坐标原点，x 轴的方向垂直向下. x xo )(1t f ;sin )()1(1pt H t f =外力;)2(kx f -=弹性力v f μ-=0)3(介质阻力,ma F =由x kx t f x m d d μ--=)(2可得.t x d d μ-= 设振动开始时刻为0，t 时刻物体离开平衡位置的位移为x (t ).,ma F =由x kx t f x m d d μ--=)(2可得t t 2d d 物体自由振动的微分方程.0,000====t t t x x d d 还应满足初始条件：一般地，称 )()()(2122t F x t P t x t P t x =++d d d d 为二阶线性微分方程， ,0)(时当≡t F 称为二阶齐次线性微分方程,,0)(时当≠t F 称为二阶非齐次线性微分方程. )()()()()()()()(1)1(1)(t F t x t P t x t P t x t P t x n n n n =++++-- n 阶线性(微分)方程 ,0)(时当≡t F n 阶齐次线性微分方程,t t 2d d .0,000====t t t x x d d 还应满足初始条件：物体自由振动的微分方程)1()()()()()()()()(1)1(1)(t F t x t P t x t P t x t P t x n n n n =++++-- n 阶线性(微分)方程,0)(时当≡t F n 阶齐次线性微分方程， ,0)(时当≠t F n 阶非齐次线性微分方程.其初始条件的一般形式为 )2(.)(,,)(,)()1(00)1(0000--===n n x t x x t x x t x 解的存在唯一性定理].,[,),()2()1(,],[)()(,),(),()1(021b a t t t x b a t F t P t P t P n ∈的解件存在唯一的满足初始条则方程上连续均在区间及中的系数若1 2 高阶线性微分方程的概念1主要内容3 4 高阶齐次线性微分方程解的性质函数的线性相关与线性无关高阶齐次线性微分方程通解的结构为线性微分算子. ),()()()()(1111t x t P t x t P t x t P t x x L n n n n n n ++++=---d d d d d d 记 称 )()()()(1111t P t t P t t P t L n n n n n n ++++=---d d d d d d 性质;0)0()1(=L ;),()()2(为任一常数C x CL Cx L =,x L C x L C x L C x C x C x C L n n n n )()()()()3(22112211+++=+++ .,,,为任意常数其中C C C 2 高阶齐次线性微分方程解的性质 )3(0)()()()()()()(1)1(1)(=++++--t x t P t x t P t xt P t x n n n n 0)(=x L定理1（解的叠和性） ,)3(,,,21的解均是齐次线性方程若n x x x ,)3(2211的解也是齐次线性方程则n n x C x C x C x +++= 问题： 例如 ,0=+x x,sin 1t x =t x sin 22=都是它的解， 也是它的解， 2211x C x C x +=.sin )2(21t C C x +=这是因为但不是该方程的通解. )3(0)()()()()()()(1)1(1)(=++++--t x t P t x t P t x t P t x n n n n .,,,21为任意常数其中n C C C 不一定！ 的通解呢？情况下才是方程个任意常数的解在什么具有)3(n 的通解？是否是)3(2211n n x C x C x C x +++=1 2 高阶线性微分方程的概念1主要内容3 4 高阶齐次线性微分方程解的性质函数的线性相关与线性无关高阶齐次线性微分方程通解的结构定义1（线性相关与线性无关） ,)(,),(),(21个函数内的为定义在区间设n I t f t f t f n 使得个不全为零的常数如果存在),,,2,1(n i C n i =0)()()(2211=+++t f C t f C t f C n n ),,2,1)((n i t f i =则称函数组,值均成立中任何对区间t I ,,,,21维向量是一组设n s ααα 的常数如果存在一组不全为零,02211=+++s s k k k ααα 使得,,,1s k k s ααα,,,21 则称.,则称它是线性无关的关一个向量组不是线性相.是线性相关的在区间 I 线性相关； ,),,2,1(全为零时成立若上式仅当n i C i =线性无关.I n i t f i 在区间则称函数组),,2,1)(( =定义1（线性相关与线性无关） ,)(,),(),(21个函数内的为定义在区间设n I t f t f t f n 使得个不全为零的常数如果存在),,,2,1(n i C n i =0)()()(2211=+++t f C t f C t f C n n ),,2,1)((n i t f i =则称函数组,值均成立中任何对区间t I 在区间 I 线性相关； ,),,2,1(全为零时成立若上式仅当n i C i =线性无关. I n i t f i 在区间则称函数组),,2,1)(( =例如 t t 22sin ,cos ,1线性相关； 一般地， ,)()(21常数上若在≠t y t y I 上在与则函数I t y t y )()(21线性无关. .,线性无关而te t例1 .,,,,112上线性无关在任何区间证明函数组I x x x n - 证 反证法. 零的常数 使得()0,1,2,,1,i C i n =-0112210=++++--n n x C x C x C C 对区间 I 上的所有x 都成立, 但以上n -1 次方程在实数范围内最多有n -1个根. .,,,,112上线性无关在任何区间所以，函数组I x x x n - 即方程有无穷多个根.例如 ,0=+x x,sin 1t x =t x sin 22=都是它的解， 是它的解， t C C x C x C x sin )2(212211+=+=但不是通解. 矛盾！.个线性无关的特解关键是求微分方程的n 则必存在n 个不全为 假设这n 个函数线性相关, ,要求微分方程的通解t t t e e e 2,,-是否线性无关？,),(时当∞+-∞∈t 例2 解 两边同时关于变量t 求一阶和二阶导数, 得:假设 02321=++-t t t e C e C e C 042321=++-t t t e C e C e C 022321=+--t t t e C e C e C 联立, t t t t t t t t t e e e e e e e e e D 22242----=4112111112-=t e ,0≠t e 26-=().,+∞∞-∈t 因此 ,0321===C C C 即tt t e e e 2,,-线性无关. ,),(时当∞+-∞∈t 321,,C C C 关于变量的线性方程组的系数行列式为1 2 高阶线性微分方程的概念1主要内容3 4 高阶齐次线性微分方程解的性质函数的线性相关与线性无关高阶齐次线性微分方程通解的结构定理2（解的线性无关判别法） 线性无关则)(,),(),(21t x t x t x n 0)()()()()()()()()()(0)1(0)1(20)1(100201002010≠=---t x t x t x t x t x t x t x t x t x t w n n n n n n使得中存在一点在,0t I ,)3()(,),(),(21的解的定义于区间是方程若I t x t x t x n 4 高阶齐次线性微分方程通解的结构)3(0)()()()()()()(1)1(1)(=++++--t x t P t x t P t x t P t x n n n n 行列式Wronski .)3(个线性无关的特解的关键是求n ,)3(的通解要求微分方程定理3（齐次线性微分方程通解的结构）个线性无关的解，的是微分方程若n t x t x t x n )3()(,),(),(21 )()()()(2211t x C t x C t x C t x n n +++= .,,,21为任意常数其中n C C C 证明 下证任一解 x (t ) 具有以上形式.由齐次方程解的叠加性质，可知上式中的 x (t ) 是(3)的解.任取(3)的解 x (t ) ，且满足初值条件.)(,,)(,)()1(00)1(0000--===n n x t x x t x x t x )3(0)()()()()()()(1)1(1)(=++++--t x t P t x t P t x t P t x n n n n 均可表示为则它的任一解x任取(3)的解 x (t ) ，且满足初值条件.)(,,)(,)()1(00)1(0000--===n n x t x x t x x t x 构造方程组 由于Wronski 行列式不等于零，所以以上方程组关于变量 n C C C ,,,21 且满足初值条件. )()()()(0202101t x C t x C t x C t x n n+++= 于是 .,,,00201nC C C )()()()(2211t x C t x C t x C t x n n +++= ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧)()()()(00220110t x C t x C t x C t x n n +++= )()()()(00220110t x C t x C t x C t x n n +++=)()()(0)1(0)1(110)1(t x C t x C t xn n n n n ---++=存在唯一一组解定理3（齐次线性微分方程通解的结构） )()()()(2211t x C t x C t x C t x n n +++= .,,,21为任意常数其中n C C C 均可表示为则它的任一解x .,0)(')(",21求其通解的解是方程已知=++y x a y x a y e x x 例1 解 ,011110)0(≠-==w 由于.,线性无关所以x e x ,21x e C x C y +=该方程的通解为.,21为任意常数其中C C 个线性无关的解，的是微分方程若n t x t x t x n )3()(,),(),(21 )3(0)()()()()()()(1)1(1)(=++++--t x t P t x t P t x t P t x n n n n。
7-6 高阶线性微分方程(高等数学)
§7.6 高阶线性微分方程教学内容：一．线性微分方程解的结构1. 二阶齐次线性微分方程通解的结构（1）定理：（叠加原理）如果1y 和2y 是二阶齐次线性微分方程0)()(=+'+''y x q y x p y 的两个解，则1122y C y C y =+也是方程0)()(=+'+''y x q y x p y 的解，其中1C ,2C 为任意常数.（2）定理：（二阶齐次线性微分方程通解的结构） 若12,y y 是二阶齐次线性微分方程0y py qy '''++=的两个线性无关的解，则1122y C y C y =+是0y py qy '''++=的通解，其中1C ,2C 为任意常数．2. 二阶非齐次线性微分方程通解的结构（1）定理：若12,y y 是二阶线性非齐次微分方程()y py qy f x '''++=的两个特解，则12y y y =-是其二阶线性齐次微分方程0y py qy '''++=的解．（2）定理：（二阶非齐次线性微分方程通解的结构） 若*y 是()y py qy f x '''++=的一个特解，c y 是0y py qy '''++=的通解，则二阶常系数非齐次线性微分方程()y py qy f x '''++=的通解是*c y y y =+．（3）定理：(叠加定理) 设二阶非齐次线性微分方程()y py qy f x '''++=的自由项可以写成两个函数之和12()()()f x f x f x =+, 即12()()y py qy f x f x '''++=+，若1*y 与2*y 分别是方程1()y py qy f x '''++=与2()y py qy f x '''++=的特解, 那么12**y y y =+就是方程'''()y py qy f x ++=的特解．二．二阶常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程0y py qy '''++=的通解求解过程： （1）将原方程化为标准型0y py qy '''++=；（2）写出0y py qy '''++=的特征方程20r pr q ++=，求得特征根12，r r ； （3）根据下表得到'''0y py qy ++=的通解.如果求特解，只需将初始条件代入通解确定12,C C 后，即可得到满足初始条件的特解*y ．三．二阶常系数非齐次线性微分方程1. ()()e x m f x P x λ=型：二阶常系数非齐次线性微分方程求解的基本步骤：（1）将原方程化为标准形式()'''y py qy f x ++=，按照表6.1求齐次方程'''0y py qy ++=的通解c y ； （2）按照表6.2确定()'''y py qy f x ++=的特解*y 形式并代入原方程最终求出特解*y ； （3）根据定理6.4求得()'''y py qy f x ++=的通解*c y y y =+；（4）将初始条件代入通解确定12,C C 后，即可得到满足初始条件的特解．2. ()e [()cos ()sin ]xl n f x P x x P x x λωω=+型自由项形式为()e [()cos ()sin ]xl n f x P x x P x x λωω=+，其中(),()l n P x P x 分别为x 的l 次和n 次多项式，,λω为常数. 一般的，非齐次方程(6.9)的特解可设为12e [()cos ()sin ]k x m m y x R x x R x x λωω*=+,其中12(),()m m R x R x 均为m 次待定实系数的多项式，max(,)m l n =, 特别注意特解中含有2(1)m +个待定实系数；当i λω+不是特征根时， 0k =；当i λω+是特征根时， 1k =.四．例题讲解例1．求下列微分方程.(1) 2''10'120y y y ++=; (2) ''2'50y y y -+=; (3) 初值问题''2'0y y y -+=, 0012x x y y =='==，.例2．求解微分方程(4)40y y ''+=．例3．求''5'667y y y x -+=+的一个特解．例4．求918y y '''+=的通解．例5．求方程''5'612e x y y y ++=满足初始条件000,0x x y y =='==的特解． 例6．求方程32e cos xy y y x -'''++=的一个特解.例7．求方程25e sin x y y y x '''-+=的通解.。
7-6高阶线性微分方程
非齐次方程通解为
y C1 y1 C 2 y2 y1 y2 f ( x ) y1 f ( x ) dx y2 dx . w( x ) w( x )
x 1 例 求方程 y y y x 1 的通解. 1 x 1 x x 1 解 1 0, 1 x 1 x
说明:
y C1 y1 ( x) C2 y2 ( x) 不一定是所给二阶方程的通解.
例如, 是某二阶齐次方程的解, 则
也是齐次方程的解 但是
并不是通解
为解决通解的判别问题, 下面引入函数的线性相关与
线性无关概念.
齐次线性方程解的叠加原理 函数的线性相关与线性无关：
定理1 如果函数y1(x)与
个解 y1 x , y2 e x , y3 e 2 x , 求此方程满足初始条件
y (0) 1, y(0) 3 的特解 .
解: y2 y1 与 y3 y1 是对应齐次方程的解, 且 x y2 y1 e x 2x 常数 y3 y1 e x 因而线性无关, 故原方程通解为
2
二阶线性微分方程
当 f ( x ) 0时， 二阶齐次线性微分方程 当 f ( x ) 0时，二阶非齐次线性微分方程n阶线微分方程y( n)
P1 ( x ) y
( n1 )
Pn1 ( x ) y Pn ( x ) y f ( x ).
二、二阶齐次线性微分方程的解的结构
x y e , 由刘维尔公式 对应齐方一特解为 1
x dx 1 x 1 x y2 e 2 x e dx x , e
对应齐方通解为 Y C1 x C2e x .
设原方程的通解为 y c1 ( x ) x c2 ( x )e x ,
高等数学高阶线性微分方程
(k )
(t , c1 ,, cn k )
第三步: 对上式求k次积分,即得原方程的通解
x (t , c1 ,, cn ), 这里c1 ,, cn为任常数
2007年8月 南京航空航天大学 理学院 数学系 15
d 5x 1 d 4x 0的通解. 例1 求方程 5 4 dt t dt d 4x 解 令 y, 则方程化为 4 dt dy 1 y0 dt t 这是一阶方程,其通解为 y ct, 4 d x 即有 ct, 4 dt
南京航空航天大学 理学院 数学系 14
2007年8月
F (t , x( k ) , x( k 1) ,, x( n ) ) 0
解题步骤:
(1)
令x ( k ) y, 则方程化为 第一步:
F (t , y, y ' ,, y ( n k ) ) 0
第二步: 即 求以上方程的通解
y (t , c1 ,, cnk )
2007年8月 南京航空航天大学 理学院 数学系 20
3 已知齐线性方程的非零特解,进行降阶
(1) 设x x1 0是二阶齐线性方程 d 2x dx p(t ) q(t ) x 0, 2 dt dt
的非零解 令
(3)
x x1 y
则
x x1 y x y
' ' ' 1
x x1 y 2 x y x y
d x k 恰好是将所要解的奇次方程中的 k 换成 dt
2007年8月 南京航空航天大学 理学院 数学系 5
k
特征方程的根
一个单实根 一个k阶重根 一对单复根 i
微分方程通解的对应项
ce x 对应一项
高阶常系数线性微分方程
y e x (C 1 cos x C 2 sin x)
可推广到高阶常系数线性齐次方程求通解 .
2.已知y1 e , y2 e 是二阶常系数线性齐次 方程
r1 x r2 x
的解，如何求微分方程 ？
特征根为 特征方程:
则齐次方程为 :
3.已知y xe 是二阶常系数线性齐次 方程的解，
推论.
是 n 阶齐次方程
的 n 个线性无关解, 则方程的通解为
y C1 y1 Cn yn (Ck 为任意常数)
三、二阶常系数齐次线性微分方程
① 和它的导数只差常数因子, 所以令①的解为 y e r x ( r 为待定常数 ), 代入①得
(r pr q ) e
2
rx
0 r 2 pr q 0
§7.4 高阶线性微分方程
一、二阶微分方程：
d2y dy P ( x ) Q( x ) y f ( x ) 2 dx dx
当 f ( x ) 0时， 二阶线性齐次微分方程 当 f ( x ) 0时，二阶线性非齐次微分方程
其中，P(x)、Q(x)、f(x)为x的已知函数；
当P(x)、Q(x)为常数时，称为常系数二阶线性 微分方程；否则为变系数二阶线性微分方程。
r1 x
3. 当 p 2 4 q 0 时, 特征方程有一对共轭复根
这时原方程有两个复数解:
y1 e ( i ) x e x (cos x i sin x ) y2 e ( i ) x e x (cos x i sin x )
利用解的叠加原理 , 得原方程的线性无关特解:
②
称②为微分方程①的特征方程, 其根称为特征根.
微分方程解法ppt课件
阶段汽车运动规律的函数S=S(t),应满足方程：
4
d 2s
dt2 4
(5)
及条件
S
t0
0, v t0
ds dt
t 0
10
(6)
对（5）式两端积分一次，得
v
ds dt
4t
c1
(7)
在积分一次，得S 2t 2 c1t c2
(8)
将条件v t0 10代入（7）式中，将条件S t0 0代入（8）式，
原方程，经整理得 C(x) ex
y C(x) 代入 x
解得
C(x) ex C
于是原方程的通解为 y 1 (ex C) x
方法二 直接利用非齐次方程的通解公式（5），得
23
y
e
1 x
dx
(
e
x
e
1 x
dx
dx
C
)
x
eln x ( e x eln xdx C) x
1 x
( exdx
b N
N Ceabt bN
于是
N
Cbeabt 1 Ceabt
1
b 1 eabt
C
这就是种群的生长规律 。
15
8.3 一阶线性微分方程
形如
y P(x)y Q(x)
(1)
的方程叫做一阶线性微分方程（linear differential equation of first
Order),它的特点为左端是关于未知函数y及一阶导数
curve).如 y x2 c 是方程（1）的积分曲线族,而 y x2 1只是其中过（1，2）点的一条积分曲线。
10
8.2 可分离变量的一阶微分方程
《高等数学Ⅰ》教学大纲
《高等数学Ⅰ》课程教学大纲一、课程简介课程名称：高等数学Ⅰ课程编号：4660123课程类别：通识课学分： 6学时：96授课系：基础部先修课程初等数学考核方式及各环节所占比例考试课：期末成绩占70%，平时成绩占30%课程概要高等数学是高等工科院校最重要的基础课程之一，又是重要的工具课．是培养学生理性思维和计算的重要载体，是提高学生文化素质和学习有关专业知识的重要基础。
通过本课程的教学，不但使学生具备学习后续其他数学课程和专业课程所需要的基本数学知识，而且还使学生在数学的抽象性、逻辑性与严密性方面受到必要的训练和熏陶，使他们具有理解和运用逻辑关系、研究和理解抽象事物、认识和利用数形规律的初步能力。
为本科生的后继课程及各专业课程打下必要的数学基础。
教学目的及要求通过各个教学环节，逐步培养学生具有抽象概括问题能力，逻辑推理能力，空间想象能力和自学能力，使学生具有比较熟悉的运算能力和综合运用所学知识去分析问题和解决问题的能力。
教材及主要参考书本课程选用同济大学数学系主编的《高等数学》（第六版，2007年）一书为教材；教学参考书选用：同济大学数学系主编的《高等数学习题全解指南》；二、课程章节主要内容及学时分配第一章函数与极限（讲课 18 学时，实验学时）内容：映射与函数；数列的极限；函数的极限；极限的运算；无穷大和无穷小；函数的连续性重点：用两个重要极限求极限。
掌握：函数的概念和的性质；基本初等函数的性质及其图形；极限四则运算法则；用两个重要极限求极限；无穷小的比较；函数连续的概念；会判断间断点类型了解：反函数和复合函数的概念；极限的ε-N，ε-δ定义；两个极限存在准则（夹挤准则，单调有界准则），无穷小、无穷大的概念，初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质。
内容：导数的概念与求导法则；高阶导数；隐函数及参数方程所确定函数的导数；函数的微分重点：初等函数的一、二阶导数掌握：导数和微分的概念；导数和微分的运算法则和导数的基本公式；初等函数的一、二阶导数；隐函数和参量方程确定的函数一、二阶导数了解：导数的几何意义及函数的可导性与连续性之间的关系；能用导数描述一些物理量；高阶导数的概念第三章微分中值定理与导数的应用（讲课 14 学时，实验学时）内容：微分中值定理；罗必塔（L′Hospital）法则；泰勒公式；函数的单调性与曲线的凹凸性；函数的极值与最值；函数图形的描绘重点：函数的极值、增减性、罗必塔（L′Hospital）法则掌握：罗尔（Rolle）定理，拉格朗日（Lagrange）定理；罗必塔（L′Hospital）法则；函数的极值概念及求法；简单的最大值和最小值的应用问题了解：柯西（Cauchy）定理和泰勒（Taylor）公式；函数图形的凹凸性；函数图形的拐点；描绘函数图形第四章不定积分（讲课 12 学时，实验学时）内容：不定积分的概念与性质；不定积分的换元积分与分部积分法；有理函数的积分重点：不定积分的换元法和分部积分法掌握：不定积分的概念及性质，不定积分的基本公式；不定积分的换元法和分部积分法了解：较简单的有理函数的积分。
7_6高阶线性微分方程
3. 定义: 设 y1(x) 与 y2(x) 是定义在某区间内的两个函数, y2(x) 如果存在不为零的常数 k, 使得 —— k 成立, y1(x) 则称 y1(x)与 y2(x) 在该区间内线性相关; 否则, 称 y1(x) 与 y2(x) 在该区间内线性无关。
4. 定理2 (齐次线性方程的通解结构): 如果函数 y1(x), y2(x)是方程(3)的两个线性无关解, 则函数: y C1 y1(x) C2 y2(x) 是方程 (3) 的通解, 其中 C1与 C2 为任意常数。
例4: y y x 2是二阶非齐次线性微分方程, 容易验证 y1 cosx 及 y2 sinx 是它对应的 齐次方程 y y 0 的两个特解, y2 sinx 且 — —— tanx 常数, 即它们是线性无关的。 y1 cosx 因此齐次方程的通解为 Y C1 cosx C2 sinx ； 同样地, 容易验证 y* x 2 2 是 y y x 2 的一个特解， 所以: y C1 cosx C2 sinx x 2 2 是方程 y y x 2 的通解。
2. 验证 y1 cos2x 及 y2 sin2x 都是方程 y 4 y 0 的解， 并写出该方程的通解。
作业
P 331 1(2)(3)(6)(10); 3; 4(1)(3)(6)
第六节 高阶线性微分方程
第七章
一、二阶线性微分方程举例
二、线性齐次方程解的结构
三、线性非齐次方程解的结构
*四、常数变易法
一、二阶线性微分方程举例
例1. 质量为m的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上, 当重力与弹力 抵消时, 物体处于 平衡状态, 若用手向下拉物体使它离开平衡 位置后放开, 物体在弹性力与阻力作用下作往复运动, 阻力的大小与运动速度成正比, 方向相反。 建立位移满足的微分方程. 解: 取平衡时物体的位置为坐标原点, 建立坐标系如图。 设时刻 t 物位移为 x(t). O (1) 自由振动情况： 物体所受的力有: 弹性恢复力：F = -c x (虎克定律) x dx 阻力: f dt d2 x dx x 据牛顿第二定律得: m 2 cx dt dt 2 c 令: 2 n , k , m m d2 x dx 则得有阻尼自由振动方程: 2n k2 x 0 d t2 dt
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故原方程通解为
四、小结
主要内容 线性方程解的结构； 线性相关与线性无关； 降阶法与常数变易法； 补充内容
y P ( x ) y Q( x ) y 0
例3. 设线性无关函数 都是二阶非齐次线 性方程 y P( x) y Q( x) y f ( x) 的解, C1 , C2 是任意 常数, 则该方程的通解是 ( D ).
( B) C1 y1 C2 y2 ( C1 C2 ) y3 ; (C ) C1 y1 C2 y2 (1 C1 C2 ) y3 ;
当 x 在该区间内有恒等式成立
k1 y1 k 2 y2 k n yn 0 ，
I 内线性相关．否则x ( , )时， 1， x, x 2 , 线性无关
1， cos2 x , sin2 x 线性相关
y1 ( x ) 常数， 特别地: 若在 I 上有 y2 ( x ) 则函数 y1 ( x ) 与 y 2 ( x ) 在 I 上线性无关.
(1) 若P ( x ) xQ( x ) 0,
可观察出 一个特解 特解 y x;
(2) 若1 P ( x ) Q( x ) 0, (3) 若1 P ( x ) Q( x ) 0,
特解 y e x ;
特解 y e x .
( x ) y1 c c1 2 ( x ) y2 f ( x )
(5)
( x ) y1 c c1 2 ( x ) y2 0 (4),(5)联立方程组 ( x ) y1 c c1 2 ( x ) y2 f ( x )
y1 y2 系数行列式 w( x ) 0, y y1 2
解 受力分析
1. 恢复力 f cx;
o
dx 2. 阻力 R ; dt
x x
d2x dx F ma , m 2 cx , dt dt
d2x dx 2 2 n k x 0 物体自由振动的微分方程 2 dt dt
若受到铅直干扰力F H sin pt ,
非齐次方程通解为
y C1 y1 C 2 y2 y1 y2 f ( x ) y1 f ( x ) dx y2 dx . w( x ) w( x )
x 1 例5 求方程 y y y x 1 的通解. 1 x 1 x x 1 解 1 0, 1 x 1 x
解: y2 y1 与 y3 y1 是对应齐次方程的解, 且 y2 y1 e x x 2x 常数 y3 y1 e x 因而线性无关, 故原方程通解为
y C1 (e x) C2 (e
x
2x
x)
代入初始条件y (0) 1, y(0) 3, 得 C1 1, C2 2 ,
第六节 高阶线性微分方程
一、二阶线性微分方程举例
第七章
二、线性齐次方程解的结构
三、线性非齐次方程解的结构 *四、常数变易法
一、概念的引入
例: 设有一弹簧下挂一重物,如果使物体具有一个初 始速度v0 0 , 物体便离开平衡位置 , 并在平衡位置 附近作上下振动.试确定物体的振动规律x x( t ) .
定理 2：如果 y1 ( x )与 y 2 ( x ) 是方程(1)的两个线 性无关的特解, 那么 y C1 y1 C 2 y2 就是方程(1) 的通解.
例如 y y 0,
y1 cos x, y2 sin x,
y C1 cos x C 2 sin x .
y2 且 tan x 常数, y1
x y e , 由刘维尔公式 对应齐方一特解为 1
x dx 1 x 1 x y2 e 2 x e dx x , e
对应齐方通解为 Y C1 x C2e x .
例6. 求方程 x 2 y ( x 2) ( x y y ) x 4 的通解.
解: 对应齐次方程为 x 2 y ( x 2) ( x y y ) 0
故所求特解为 y 2e 2 x e x .
三、降阶法与常数变易法
1.齐次线性方程求线性无关特解------降阶法
设y1是方程(1)的一个非零特解，
令 y2 u( x ) y1
代入(1)式, 得
P ( x ) y1 )u ( y1 P ( x ) y1 Q( x ) y1 )u 0, y1 u (2 y1 P ( x ) y1 )u 0, 即 y1 u (2 y1
(89 考研 )
提示:
y1 y3 , y2 y3 都是对应齐次方程的解,
二者线性无关 . (反证法可证)
例4. 已知微分方程 y p( x) y q( x) y f ( x) 有三
个解 y1 x , y2 e , y3 e , 求此方程满足初始条件
x 2x
y (0) 1, y(0) 3 的特解 .
1.二阶齐次方程解的结构:
y P ( x ) y Q( x ) y 0
(1)
定理 1 如果函数 y1 ( x ) 与 y2 ( x )是方程(1)的两个 解,那么 y C1 y1 C 2 y2 也是(1)的解.（C1 , C 2 是常 数）
问题:
y C1 y1 C2 y2一定是通解吗？
d x dx 2 2 n k x h sin pt 2 dt dt
2
强迫振动的方程
d 2 uc duc Em 2 Lc 2 2 0 uc sin t dt dt LC
串联电路的振荡方程
例. 设有一个电阻 R , 自感L ,电容 C 和电源 E 串
联组成的电路, 其中R , L , C 为常数 , 求电容器两两极板间电压 uc 所满足的微分方程 . R 提示: 设电路中电流为 i(t), 极板 上的电量为 q(t) , 自感电动势为 E L , 由电学知
说明:
y C1 y1 ( x) C2 y2 ( x) 不一定是所给二阶方程的通解.
例如, 是某二阶齐次方程的解, 则
也是齐次方程的解
但是 并不是通解
为解决通解的判别问题, 下面引入函数的线性相关与
线性无关概念.
n 定义：设 y1 , y2 ,, yn 为定义在区间 I 内的
n 个不全为零的常数，使得 个函数．如果存在
d uC d uC Em 2 2 0 uC sin t 2 dt LC dt 如果电容器充电后撤去电源 ( E = 0 ) , 则得 d 2 uC d uC 2 2 0 uC 0 2 dt dt
2
化为关于 uc 的方程:
故有
i E~
q ‖ q K
d y dy P ( x ) Q( x ) y f ( x ) 2 dx dx
由观察可知它有特解: y1 x , 令 y x u ( x) , 代入非齐次方程后化简得
u u x (二阶常系数非齐次方程)
此题不需再作变换. 特征根: r 0, r 1,
设⑦的特解为 代入⑦可得: 于是得⑦的通解:
⑦
u x( Ax B) A 1 , B 1 2
y P ( x ) y Q( x ) y f 1 ( x ) y P ( x ) y Q( x ) y f 2 ( x )
* * y y 的特解, 那么 1 2 就是原方程的特解.
解的叠加原理
例1. 练习题一. 例2. 验证 y C1e C 2e
令v u,
P ( x ) y1 )v 0, 则有 y1v (2 y1
P ( x ) y1 )v 0 y1v (2 y1
v 的一阶方程
降阶法
1 P ( x ) dx P ( x ) dx 1 解得 v 2 e , u 2e dx y1 y1
推论.
是 n 阶齐次方程
的 n 个线性无关解, 则方程的通解为
y C1 y1 Cn yn (Ck 为任意常数 )
2.二阶非齐次线性方程的解的结构:
定理 3 设 y 是二阶非齐次线性方程
*
y P ( x ) y Q( x ) y f ( x )
( 2)
的一个特解 , Y 是与(2) 对应的齐次方程 (1) 的通 解, 那么 y Y y * 是二阶非齐次线性微分方程(2) 的通解.
2
二阶线性微分方程
当 f ( x ) 0时， 二阶线性齐次微分方程 当 f ( x ) 0时，二阶线性非齐次微分方程
n阶线性微分方程
y
( n)
P1 ( x ) y
( n1 )
Pn1 ( x ) y Pn ( x ) y f ( x ).
二、线性微分方程的解的结构
x 2x
1 5x e (C1 , C 2是任意常数) 12
是方程y 3 y 2 y e5 x的通解.
定理 5. 给定 n 阶非齐次线性方程
是对应齐次方程的 n 个线性 无关特解, 的通解为 是非齐次方程的特解, 则非齐次方程
Y ( x) y ( x)
齐次方程通解 非齐次方程特解
‖ q K q
L C
i ~ E∼
根据回路电压定律:
在闭合回路中, 所有支路上的电压降为 0
di q E L Ri 0 dt C
d uC d 2 uC RC LC uC Em sin t 2 dt dt R R 1 令 , 0 2L LC L C 串联电路的振荡方程:
y c1 ( x ) y1 c2 ( x ) y2