2017-2018年广东省广州市华南师大附中高一上学期数学期中试卷带答案

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华南师大附中高一数学第一学期期中考试及其答案

华南师大附中高一数学第一学期期中考试一、选择题（本大题共 12小题，每小题5分，共60分，每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知全集：二丨幕：， -，则（）.A.B. ： IC. ：l J:D.【答案】B【解析】由题意二 1::二，又.■- - {- ■ _，故选 B.2. 若函数的一个正数零点的附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下:那么方程x'' - \ ' \ '■ ：i 的一个近似根（精确到■■: f ）为（）. A. B. C. V D. I -【答案】C【解析】试题分析：由二分法知，：X = J : ＞的零点在区间芒严；，所以精确到时，方程的近似根为；，故答案为；.考点：函数的零点A. B. I - IC. |D. :「1厲【答案】D【解析】对于函数，则、,；肯"，且，]解得，故定义域为，故选.4.设集合，集合，下列对应关系中是从集合到集合的映射的是（3. 1函数、的定义域为（). ).A.| ■ B. ：------- C. (x- iy【答案】CC.在区间；「I 内有零点，在区间 -内无零点D.在区间内无零点，在区间 -内有零点【答案】Dr【解析】由题得■' ?■'=,，令2：:;得：，3x 令「：厂|；得厶「*：:;得：，所以函数在区间上为减函数，在区间'为增函数,【解析】因为-<■',而匸|.;,集合中的元素在集合中没有像，故选项对于选项，集合中的元素在集合中没有像，故选项不是映射.对于选项，集合中的所有元素在集合中都有唯一的像和它对应，故选项对于选项，由于函数的定义域不是，故选项不是映射，故选.5.若抹一,「上込―；；=1咨二，算=匕;；、，则，，，的大小关系是A. .■卜....B. ■ ■ I ： ■ .： ■ "C. .. ■.卜D. ■■ < ■;：. <-不是映射.是映射. ).【答案】A【解析】由于函数在十庁；上是减函数，故有：'I-- 再由，―小’:二1，可得■'I"- ■- ■■：，故选.6.设函数若是奇函数，则-的值是().tg(xXx<QI 1A. B. ■'! C.D.斗4【解析】由是奇函数得；；一，当时，,_x 1：.・：：•：时，U ,2X11即:=.一，，故选.24A.在区间；丨i , ■ J •二-内均有零点 -内均无零点B.在区间在点弋处有极小值：，所以在区间丄二内无零点，在区间：I.「内有零点，故选 .e8. 已知函数：： = /■与函数' n.i的图象关于直线■/-.：：对称，则不等式ii I ■的解集为（）.A. .. IB. .. IC. ■- . I ■- | ■-D. J 1【答案】B【解析】因为中函数有定义，则，即;]-则排除，，，故选.io.已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（）.A. B. C. D.j _或【答案】C【解析】因为函数-与函数p—仁的图象关于直线n对称,9.)_ ^,即I i ，二1 -函数侶：一「科-广T的大致图象是（).2••一,点睛：分段函数的单调性问题，要分别单调和整体单调同时满足。

【数学】广东省华南师范大学附属中学2018-2019学年高一上学期测试题（B组）（解析版）

【数学】广东省华南师范大学附属中学2018-2019学年高一上学期测试题（B组）（解析版）广东省华南师范大学附属中学2018-2019学年高一上学期数学测试题（B组）一、选择题：本大题12小题，每题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】已知，借助数轴，易知，故选B.2.是一次函数，且，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意,设f（x）=ax+b,则解得,故f(x)=x-,故选C.3.函数的定义域是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】要使二次根式有意义，则，由①得：（x+2）（1-x）≥0且x≠1，解得：-2≤x＜1，解②得：x≤-1或x≥2．故原函数的定义域为{x|-2≤x≤-1}．故选：A.4.下列函数中在上单调递减的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】A中在（-∞，-1）和（-1，+∞）上是增函数，B中，y=1-x2在（-∞，0）上是增函数，C中，y=x2+x=，在（-∞，-）上是减函数，在（-，+∞）上是增函数，D中，y=，定义域为（-∞，1],根据复合函数的单调性，函数在（-∞，1]是减函数，故选：D.5.已知，则（）A. 3B. 4C.D.【答案】C【解析】已知则，易知f（x）+f（）=1，故=+3=.故选C.6.设,则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】根据函数y=0.6x在R上单调递减，可知,即y2＜y3，根据函数y=在（0，+∞）上是增函数，可知，即y1＜y2，综上，，故选B.7.函数的零点所在的区间是()A. B. C. D.【答案】B【解析】易知函数f（x）=在定义域上连续，且f()=<0 , f（1）= -1<0,f(2)=,,根据函数零点存在性定理，可知零点所在区间为，故选B.8.设函数，若对任意的都满足成立，则函数可以是（）A. B.C. D. 不存在这样的函数【答案】B【解析】当x为无理数时，f（x）=0，xf（x）≤g（x）?0≤g （x），当x为有理数时，f（x）=1，xf（x）≤g（x）?x≤g（x），若g（x）=x，当x= -时，g（x）<0，即A不正确，若g（x）=，已知对任意实数，x≤，且故当x为有理数或无理数时，不等式恒成立，即B正确；若g（x）=x2，当x=，则g（）=，，即C不正确；故选B.9.已知方程有两个正根，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为方程有两个正根，所以，选D.10.已知函数，若，则（）A. B.C. D. 与的大小关系无法确定【答案】A【解析】f（x1）-f（x2）=（ax12+2ax1+4）-（ax22+2ax2+4）=a（x1-x2）（x1+x2）+2a（x1-x2）=a（x1-x2）（x1+x2+2），因为a＞0，x1＜x2，x1+x2=0，所以x1-x2＜0，x1+x2+2＞0，所以f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）．故选A.11.设整数,集合.令集合，且三条件恰有一个成立},若和都在中,则下列选项正确的是( )A. B.C. D.【答案】B【解析】取x=2，y=3，z=4，w=1，显然满足（x，y，z）和（z，w，x）都在S中，此时（y，z，w）=（3，4，1）∈S，（x，y，w）=（2，3，1）∈S，故A、C、D错误, 故选B12.设函数，则下列命题中正确的个数是（）①当时，函数在上是单调增函数；②当时，函数在上有最小值；③函数的图象关于点对称；④方程可能有三个实数根.A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】=,当b>0时,结合一元二次方程根与系数的关系，可判断y=，在（-，0 ）上是增函数，y=，在[0,+)上是增函数，且x=0时，函数图象连续，故f（x）在R上是单调增函数.故①正确；当b＜0时，f（x）的值域是R，没有最小值，故②错误；若f（x）=|x|x+bx，f（-x）=-f（x），故函数f（x）是奇函数，即函数f（x）的图象关于（0，0）对称．而函数f（x）=|x|x+bx+c的图象是由函数f（x）=|x|x+bx的图象向上（下）平移个单位，故图象一定是关于（0，c）对称的，故③正确；令b=-2，c=0，则f（x）=|x|x-2x=0，解得x=0，2，-2．所以④正确．故选C.二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分.13.设集合，集合，则集合中有____个元素．【答案】6【解析】由题意，B={2，3，4，5，6，8}；共有6个元素.14.若函数，则__________．【答案】-1【解析】令t=2x+1，则x=, 则f（t）=﹣2=，∴, ∴f（3）=﹣1.故填：.15.已知函数分别是定义在上的偶函数和奇函数，且它们在上的图象如图所示，则不等式在上的解集是________.【答案】【解析】将不等式转化为f（x）g(x)0且g（x）0，满足不等式的解集为：（1,2] ，∵y=f（x）是偶函数，y=g（x）是奇函数，∴f（x）g（x）是奇函数,故在y轴左侧，满足不等式的解集为(-3,-2](-1,0)，故不等式在上的解集是(-3,-2](-1,0)（1,2] .16.已知函数的值域为，若关于的不等式的解集为，则实数的值为_____.【答案】9【解析】∵函数f（x）=x2+ax+b（a，b∈R）的值域为[0，+∞），∴f（x）=x2+ax+b=0只有一个根，即△=a2-4b=0，则b=，∵不等式f（x）=x2+ax+＜c的解集为（m，m+6），则x2+ax+-c=0的两个根为x1=m，x2=m+6，x1+x2=-a，x1x2=-c，∴|m+6-m|=，解得c=9.三、解答题：本大题共6题，共70分, 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.计算：（1）；（2）．解：(1) 原式= ..18.已知全集.（1）求；（2）求．解：（1）A∩B＝［－1，3］∩［－2，2）＝［－1，2），A∪B＝［－1，3］∪［－2，2）＝［－2，3］；（2）＝（－∞，－1）∪［2，＋∞），＝（－∞，－2）∪（3，＋∞）.19.设，若，求实数的取值范围.解：若A=?，则a＜-2，故B=C=?，满足C B；若A?，即a-2，由在上是增函数，得，即，①当时，函数在上单调递减，则，即，要使,必须且只需，解得，这与矛盾；②当时，函数在上单调递减，在上单调递增，则，即，要使,必须且只需，解得；③当时，函数在上单调递减，在上单调递增，则，即，要使,必须且只需，解得；综上所述，的取值范围是.20.某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体成员从居住地到工作地的平均用时．某地上班族中的成员仅以自驾或公交方式通勤．分析显示：当中的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间是（单位：分钟），而公交群体的人均通勤时间不受影响，恒为40钟，根据上述分析结果回答下列问题：（1）请你说明，当在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？（2）求该地上班族的人均通勤时间的表达式；讨论的单调性，并说明其实际意义．解：由题意知，当0＜x30时,f(x)=30<40, 公交群体的人均通勤时间恒大于自驾群体的人均通勤时间；当30＜x＜100时，>40, 即x2-65x+900＞0，解得x＜20(舍去)或x＞45，∴当x∈（45，100）时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间.（2）当0＜x≤30时，g（x）=30?x%+40（1-x%）=40-，当30＜x＜100时，；∴，∵当0＜x≤30时, g（x）=40-是单调递减函数，g（30）=37，当30＜x＜100时，，且g（30）=37，∴当0＜x＜32.5时，g（x）单调递减；当32.5＜x＜100时，g （x）单调递增；实际意义：说明该地上班族S中小于32.5%的人自驾时，随着自驾占比增大，人均通勤时间是递减的；大于32.5%的人自驾时，随着自驾占比增大，人均通勤时间是递增的；当自驾人数为32.5%时，人均通勤时间最短.21.已知是定义在上的奇函数，且，若且时，有成立．（1）判断在上的单调性，并用定义证明；（2）解不等式；（3）若对所有的恒成立，求实数的取值范围．解：任取x1，x2∈[－1,1]且x1<x2，则－x2∈[－1,1]，< p=""> ∵f(x)为奇函数，∴f(－x2)= -f(x2),∴f(x1)－f(x2)＝f(x1)＋f(－x2)=，由已知得>0，<0,∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，∴f(x)在[－1,1]上单调递增．< p="">(2)∵f(x)在[－1,1]上单调递增，∴，解得.(3)∵f(1)＝1，f(x)在[－1,1]上单调递增，∴在[－1,1]上，f(x)≤1.问题转化为m2－2am＋1≥1，即m2－2am≥0，对a∈[－1,1]恒成立．设g(a)＝－2m·a＋m2.①若m＝0，则g(a)＝0≥0，对a∈[－1,1]恒成立．②若m≠0，则g(a)为a的一次函数，若g(a)≥0，对a∈[－1,1]恒成立，必须g(－1)≥0，且g(1)≥0，∴m≤－2或m≥2.∴m的取值范围是m＝0或m≤－2或m≥2.22.对于定义域为的函数，如果同时满足以下三条：①对任意的，总有；②；③若，都有成立，则称函数为理想函数．(1) 若函数为理想函数，求的值；(2)判断函数是否为理想函数，并予以证明；(3) 若函数为理想函数，假定，使得，且，求证：．解：（1）取x1=x2=0，可得f（0）≥f（0）+f（0）?f（0）≤0，由此可求出f（0）的值．（2）g（x）=2x-1在[0，1]满足条件：①g（x）≥0，也满足条件；②g（1）=1．若x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1，满足条件③，收此知故g（x）理想函数．（3）由条件③知，任给m、n∈[0，1]，当m＜n时，由m＜n知n-m∈[0，1]，f（n）=f（n-m+m）≥f （n-m）+f（m）≥f（m）．由此能够推导出f（x0）=x0.</f(x2)，∴f(x)在[－1,1]上单调递增．<></x2，则－x2∈[－1,1]，<>。

2019-2020学年广东省华南师大附中高一上学期期中数学试题及答案解析版

2019-2020学年广东省华南师大附中高一上学期期中数学试题及答案解析版一、单选题1．已知全集{}{}{}U=0,1,2,3,0,1,2,0,2,3A B ==集合集合，则U A C B 等于A ．{}1B ．{}2,3C ．{}0,1,2D ．Φ 【答案】A 【解析】解：因为{}{}{}{}U=0,1,2,3,0,1,2,0,2,31==∴=集合集合U A B C B故U AC B ={}12．函数211y x =+的值域是（） A ．[1,)+∞B ．(0,1]C ．(,1]-∞D ．(0,)+∞【答案】B【解析】根据倒数性质求值域. 【详解】因为211x +≥，所以21011x <≤+,选B. 【点睛】本题考查函数值域，考查基本分析求解能力，属基本题. 3．下列函数中，定义域是R 且为增函数的是（） A ．x y e -=B ．3y x =C ．ln y x =D ．y x =【答案】B【解析】分别求出选项中各函数的定义域，并判断其单调性，从而可得结论. 【详解】对于A ，1xxy e e -⎛⎫== ⎪⎝⎭，是R 上的减函数，不合题意；对于B ，3y x =是定义域是R 且为增函数，符合题意；对于C ，ln y x =，定义域是()0,∞+，不合题意；对于D ，y x =，定义域是R ，但在R 上不是单调函数，不合题，故选B. 【点睛】本题主要考查函数的定义域与单调性，意在考查对基础知识的掌握与灵活运用，属于基础题. 4．下列各不等式中成立的是（）A ． 2.531.9 1.9>B ．0.10.20.60.6-->C ．0.3 3.11?.60.9> D ．2 log 1.010< 【答案】C【解析】本题考查指数函数，对数函数的单调性及应用. 函数 1.9x y =是增函数， 2.531.9 1.9;<函数0.6x y =是减函数，0.10.20.60.6;--<函数 1.6x y =是增函数，0.31.61;>函数0.9x y =是减函数， 3.10.91;<所以0.3 3.11.60.9>；函数2log y x =是增函数，2log 1.010;>故选C5．函数()()3log 320,1a y x a a =+->≠的图象过定点（）A ．110,3⎛⎫⎪⎝⎭B ．()1,0C ．()1,3D ．2,33⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】C【解析】根据对数函数log a y x =恒过()1,0,令321x -=计算即可. 【详解】令321x -=有1x =.代入1x =得()3log 323a y =+-=. 故函数()()3log 320,1a y x a a =+->≠的图象过定点()1,3. 故选：C 【点睛】本题主要考查了对数函数过定点的问题,属于基础题型. 6．已知函数2log ,(0)(){3,(0)x x x f x x >=≤，则[(1)]f f =（）A ．0B ．1C ．3D ．13【答案】B 【解析】【详解】因为2log ,(0)(){3,(0)x x x f x x >=≤，所以[(1)](0)1f f f ==. 故选：B. 7．函数212()log (4)f x x =-的单调递增区间为( )A ．()0,?+∞B ．(),0-∞C ．()2,+∞D ．(),2-∞-【答案】D【解析】先求出函数的定义域，然后根据复合函数的单调性满足“同增异减”的结论求解即可．【详解】由240x ->可得2x <-或2x >，∴函数()f x 的定义域为()(),22,∞-∞-⋃+．设()24t x x =-，则()t x 在(),2-∞-上单调递减，又函数12log y t=为减函数， ∴函数()()212log 4f x x =-在(),2-∞-上单调递增，∴函数()f x 的单调递增区间为(),2-∞-．故选D ．【点睛】（1）复合函数的单调性满足“同增异减”的结论，即对于函数()()y f g x =来讲，它的单调性依赖于函数()y f t =和函数()t g x =的单调性，当两个函数的单调性相同时，则函数()()y f g x =为增函数；否则函数()()y f g x =为减函数．（2）解答本题容易出现的错误是忽视函数的定义域，误认为函数的单调递增区间为(),0-∞．8．设()f x 在R 上的奇函数，()()2f x f x +=-，当01x ≤≤时，()f x x =，则()5.5f 等于（）A ．5.5B ．0.5C ．0.5-D ． 5.5-【答案】B【解析】利用奇偶性与()()2f x f x +=-将()5.5f 中的自变量变换到01x ≤≤中再求解即可. 【详解】由()()2f x f x +=-得()5.5(3.5)(1.5)(0.5)f f f f =-==--. 又()f x 为奇函数故(0.5)(0.5)0.5f f --==. 故选：B 【点睛】本题主要考查了根据函数性质求解函数值的问题,需要根据题意将自变量根据性质变换到已知解析式的定义域内.属于中等题型.9．已知实数0a >且1a ≠，则在同一直角坐标系中，函数()()0a f x x x =>，()log a g x x =的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】根据幂函数与对数函数的图像分情况判断即可. 【详解】由题,当01a <<时, ()()0af x x x =>为增函数且图像往上凸,()log a g x x =为减函数且过()1,0.易得D 满足条件.当1a >时,()()0af x x x =>为增函数且图像往下凸,()log a g x x =为增函数且过()1,0.无对应选项.故选：D 【点睛】本题主要考查了对数函数与幂函数的图像,属于基础题型.10．f(x)是R上的偶函数，f(x＋2)＝f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x2，则函数y＝f(x)－|log5x|的零点个数为()A．4 B．5C．8 D．10【答案】B【解析】由题意得函数()f x的周期为2，再结合函数为偶函数可画出函数()f x的图象，然后根据函数()f x的图象和函数5=的图象的公共点的个数进行判断即可．y log x【详解】∵f(x＋2)＝f(x)，∴函数()f x的周期为2．由题意可得()5=，f x log x在同一坐标系内画出函数()=的图象，如下y log x=和5y f x图，由图象得，两函数图象有5个交点，所以函数y＝f(x)－|log5x|共有5个零点．故选B．【点睛】本题考查函数的性质和函数零点的综合，解题的关键是将问题转化为函数图象公共点的个数问题出处理，画图时要结合函数的性质求解，不要忘了函数的奇偶性和周期性的应用．11．对于函数()f x 和()g x ，设(){|0}x f x α∈=，(){|0}x g x β∈=，若存在α，β，使得1αβ-，则称()f x 与()g x 互为“零点相邻函数”．若函数()12x f x ex -=+-与()23g x x ax a =--+互为“零点相邻函数”，则实数a 的取值范围为（） A ．[]2,4 B ．72,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．7,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．[]2,3【答案】D【解析】先得出函数f （x ）＝e x ﹣1+x ﹣2的零点为x ＝1．再设g （x ）＝x 2﹣ax ﹣a +3的零点为β，根据函数f （x ）＝e x ﹣1+x ﹣2与g （x ）＝x 2﹣ax ﹣a +3互为“零点关联函数”，利用新定义的零点关联函数，有|1﹣β|≤1，从而得出g （x ）＝x 2﹣ax ﹣a +3的零点所在的范围，最后利用数形结合法求解即可．【详解】函数f （x ）＝e x ﹣1+x ﹣2的零点为x ＝1．设g （x ）＝x 2﹣ax ﹣a +3的零点为β，若函数f （x ）＝e x ﹣1+x ﹣2与g （x ）＝x 2﹣ax ﹣a +3互为“零点关联函数”，根据零点关联函数，则|1﹣β|≤1， ∴0≤β≤2，如图由于g（x）＝x2﹣ax﹣a+3必过点A（﹣1，4），故要使其零点在区间[0，2]上，则()()0020022gga⎧>⎪>⎪⎪⎨∆≥⎪⎪≤≤⎪⎩或()()020g g⋅≤，解得2≤a≤3，故选D【点睛】本题主要考查了函数的零点，考查了新定义，主要采用了转化为判断函数的图象的零点的取值范围问题，解题中注意体会数形结合思想与转化思想在解题中的应用二、填空题12．如果奇函数f（x）在[3,7]上是增函数且最小值是5，那么f（x）在[-7,-3]上是_________.①减函数且最小值是-5；②减函数且最大值是-5；③增函数且最小值是-5；④增函数且最大值是-5【答案】④【解析】由题意结合奇函数的对称性和所给函数的性质即可求得最终结果．【详解】奇函数的函数图象关于坐标原点中心对称，则若奇函数f （x ）在区间[3，7]上是增函数且最小值为5，那么f （x ）在区间[﹣7，﹣3]上是增函数且最大值为﹣5．故答案为：④．【点睛】本题考查了奇函数的性质，函数的对称性及其应用等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中等题． 13．已知幂函数()f x 的图像经过点(，则()4f 的值等于______. 【答案】2 【解析】设幂函数()af x x =,再代入点(进而求得a 与()4f 即可. 【详解】设幂函数()af x x =,132aa =⇒=.故()12f x x =.所以()12442f ==.故答案为：2 【点睛】本题主要考查了幂函数的解析式与求值,属于基础题型. 14．已知()2122f x x x +=++，则()f x =_____【答案】21x +【解析】令1t x =+得1x t =-，可得()()()2212121f t t t t =-+-+=+，从而可得到所求的函数解析式. 【详解】由题意1t x =+，得1x t =-，因为()2122f x x x +=++，则()()()2212121f t t t t =-+-+=+，()21f x x ∴=+，故答案为21x +.【点睛】本题主要考查函数解析式的求法，属于中档题.求函数的解析式常见题型有以下几种：（1）根据实际应用求函数解析式；（2）换元法求函数解析式，利用换元法一定要注意，换元后参数的范围；（3）待定系数法求函数解析式，这种方法适合求已知函数名称的函数解析式；（4）消元法求函数解析式，这种方法求适合自变量互为倒数或相反数的函数解析式.15．函数()()lg 1f x x +的定义域是__________．【答案】{}2x x ≥【解析】根据函数解析式的特征得到关于自变量x 的不等式组，解不等式组可得结果．【详解】要使函数有意义，需满足2010x x -≥⎧⎨+>⎩，解得2x ≥，所以函数的定义域为{}2x x ≥．故答案为{}2x x ≥．【点睛】求函数的定义域时，要根据函数解析式的特点得到关于自变量的不等式（组），解不等式（组）后即可得到所求的定义域，特别注意要把定义域写成集合或区间的形式． 16．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x ≥时，()21x f x x -=+，若对任意实数1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都有()()10f t a f t +-->恒成立，则实数a 的取值范围是．【答案】()(),30,-∞-⋃+∞ 【解析】试题分析：当0x >时，()()21111x f x f x x x -==-∴++在()0,+∞上单调递增，由()()10f t a f t +-->得，()()1f t a f t +>-又()f x 是定义在R 上的偶函数，()()1f t a f t +>-，则1t a t +>-，两边平方得()22210a t a ++->对任意实数1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦都有()()10f t a f t +-->恒成立，∴对任意实数1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦都有()22210a t a ++->恒成立，则()()2222122100{{3243022210a a a a a o a a a a a ++->+>∴∴><-++>++->或，则实数a 的取值范围是．【考点】恒成立问题【思路点睛】利用奇偶性、单调性综合解题，尤其要重视利用偶函数（轴对称函数）与单调性综合街函数不等式和比较大小．本题中，函数为偶函数，且给出了当0x ≥时的解析式，从而可以判断出单调性，然后利用函数的偶函数的性质()()f x f x -=，即可得到一个不等式组，解不等式组即可得到所求答案．三、解答题17．计算：()513log 383353log 48π-⎛⎫--+ ⎪⎝⎭【解析】根据指数幂以及对数的运算求解即可. 【详解】原式(2222131233333=--+=++--+=【点睛】本题主要考查了指数幂以及对数的运算.属于基础题型. 18．已知集合{}2120A x x x =--<，{}|211B x m x m =-≤≤+. （1）当3m =-时，求集合AB ；（2）当B A ⊆时，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）{}|32AB x x =-<≤-；（2）()1,-+∞【解析】(1)根据集合的基本运算求解即可. (2)分B =∅和B ≠∅两种情况讨论求解即可. 【详解】{}|34A x x =-<<（1）当3m =-时{}|72B x x =-≤≤-,{}|32A B x x =-<≤-（2）∵B A ⊆∴应分B =∅和B ≠∅两种情况讨论当B =∅时,有211m m ->+,即2m >；当B ≠∅时,有211,213,14,m m m m -≤+⎧⎪->-⎨⎪+<⎩,即12m -<≤.综上所述,所求实数m 的取值范围是()1,-+∞. 【点睛】本题主要考查了集合间的基本运算,同时也考查了根据集合的关系求参数的问题,属于中等题型.19．已知定义在R 上的偶函数()y f x =，当0x ≥时，()1=+xf x x ；（1）求函数()f x 的表达式；（2）判断函数()f x 在[)0,+∞上的单调性，并用单调性定义证明. 【答案】（1）(),01,01xx x f x x x x ⎧≥⎪⎪+=⎨⎪<⎪-⎩；（2）函数()f x 在[)0,+∞上单调递增，理由见解析【解析】(1)根据偶函数的性质求解当0x <时的解析式即可. (2) 任取1x ,[)20,x ∈+∞,12x x >,再计算()()12f x f x -的正负即可. 【详解】（1）因为()f x 为R 上的偶函数,设0x <,则有0x ->, 故0x <时,有()()11x xf x f x x x -=-==-+-,故(),01,01xx x f x x x x ⎧≥⎪⎪+=⎨⎪<⎪-⎩ （2）函数()f x 在[)0,+∞上单调递增, 证明：任取1x ,[)20,x ∈+∞,12x x >,∴()()()()12121212121111x x x x f x f x x x x x --=-=++++因为1x ,[)20,x ∈+∞,12x x >,所以120x x ->,()()12110x x ++>,∴()()12f x f x >∴函数()f x 在[)0,+∞上单调递增【点睛】本题主要考查了根据奇偶性求解函数解析式的方法以及根据定义求解函数单调性的问题,属于中等题型. 20．某种树木栽种时高度为A 米(A 为常数)，记栽种x 年后的高度为()f x ，经研究发现，()f x 近似地满足()x9Af x a bt =+，(其中1t=a ，b为常数，x N)∈，已知()f 0A =，栽种三年后该树木的高度为栽种时高度的3倍．（Ⅰ）求a ，b 的值；（Ⅱ）求栽种多少年后，该树木的高度将不低于栽种时的5倍(参考数据：lg20.3010=，lg304771)=．【答案】（Ⅰ）a 1=，b 8=；（Ⅱ）5年.【解析】(Ⅰ)由()f 0A =及()f 33A =联立解方程组可得；(Ⅱ)解不等式()f x 5A ≥，利用对数知识可得．【详解】(Ⅰ()x9A )f x a bt =+，()9Af 0A a b∴==+，a b 9∴+= ①，又()f 33A =，即39A3A a t b =+，3a t b 3∴+=②，联立①②解得a 1=，b 8=，(Ⅱ)由(Ⅰ)得()x9Af x 18t =+，由()f x 5A ≥得x 1t 10≤，1xlgt lg110≤=-， 1133x 4.981lgt lg40.6020lg43--∴≥===≈-．故栽种5年后，该树木的高度将不低于栽种时的5倍．【点睛】本题考查了函数解析式的求解及对数的运算，考查了函数的实际应用问题，属于中档题．21．已知函数f(x)＝log 4(4x ＋1)＋kx(k ∈R)是偶函数． (1)求k 的值；(2)设g(x)＝log 44•23xa a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦－，若函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点，求实数a 的取值范围．【答案】（1）k ＝－12.（2）{－3}∪(1，＋∞)．【解析】(1)由函数f(x)是偶函数，可知f(x)＝f(－x)， ∴log 4(4x ＋1)＋kx ＝log 4(4－x ＋1)－kx.log 44141x x －＋＋＝－2kx ，即x ＝－2kx 对一切x ∈R 恒成立，∴k＝－12.(2)函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点，即方程log 4(4x ＋1)－12x ＝log 44•23x a a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦－有且只有一个实根，化简得方程2x＋12x＝a·2x－43a有且只有一个实根．令t ＝2x >0，则方程(a －1)t 2－43at －1＝0有且只有一个正根．①a ＝1t ＝－34，不合题意；②a≠1时，Δ＝0a ＝34或－3.若a ＝34t ＝－2，不合题意，若a ＝－3t ＝12；③a≠1时，Δ>0，一个正根与一个负根，即11a --<0a>1.综上，实数a 的取值范围是{－3}∪(1，＋∞)．22．已知函数2()21(0)g x ax ax b a =-++>在区间[]2,3上有最大值4和最小值1.设()()g x f x x=（1）求,a b 的值（2）若不等式22(log )2log 0f x k x -≥在[]2,4x ∈上有解,求实数k 的取值范围; （3）若2(21)3021x x f kk -+-=-有三个不同的实数解,求实数k 的取值范围.【答案】（1）1,0a b ==.（2）(],1-∞（3）(0,)+∞【解析】(1)由函数2()(1)1,0g x a x b a a =-++->,所以()g x 在区间[2,3]上是增函数,故(2)1(3)4g g =⎧⎨=⎩,由此解得a b 、的值; (2)由(1)可得1()2f x x x=+-,所以()22log 2log 0f x k x -≥在[2,4]x ∈上有解,等价于2221log 22log log x k x x+-≥在[2,4]x ∈上有解, 即()2221221log log k xx ≤-+在[2,4]x ∈上有解, 令21log t x=,则2221k t t ≤-+,即可求得k 的取值范围;(3)原方程可化为221(32)21(21)0xx k k --+⋅-++=,令21xt -=则(0,)t ∈+∞,2(32)(21)0t k t k -+++=有两个不同的实数解12,t t ,其中1201,1t t <<>,或1201,1t t <<=,即可求得实数k 的取值范围.【详解】(1)函数2()(1)1g x a x b a =-++-,0a >,∴ ()g x 在区间[]2,3上是增函数,故:(2)1(3)4g g =⎧⎨=⎩,解得1,0a b ==. (2)由(1)可得1()2f x x x=+-, ∴ ()22log 2log 0f x k x -≥在[2,4]x ∈上有解等价于2221log 22log log x k x x+-≥在[2,4]x ∈上有解即()2221221log log k x x ≤-+在[2,4]x ∈上有解令21log t x=,则2221k t t ≤-+[2,4]x ∈,故1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦记2()21t t t ϕ=-+,112t ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭max 1()4t ϕ∴=∴ k 的取值范围为1,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦(3)原方程可化为221(32)21(21)0xx k k --+⋅-++=令21xt -=则(0,)t ∈+∞2(32)(21)0t k t k -+++=有两个不同的实数解12,t t其中1201,1t t <<>,或1201,1t t <<= 记2()(32)(21)h t t k t k =-+++则210(1)0k h k +>⎧⎨=-<⎩——①,解得0k > 或210(1)032012k h k k ⎧⎪+>⎪=-=⎨⎪+⎪<<⎩——②,不等式组②无实数解.+∞.∴实数k的取值范围为(0,)【点睛】本题考查根据函数零点求参数取值范围,解题关键是掌握利用零点存在的判定定理构建不等式求解,分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解,如果涉及由几个零点时,还需考虑函数的图像与参数的交点个数,考查了分析能力和计算能力.。

高一上学期期中考试数学试卷含答案(共3套,新课标版)

高一级第一学期期中调研考试数学考生注意：1．本试卷分选择题和非选择题两部分。

满分150分，考试时间120分钟。

2．考生作答时，请将答案答在答题卡上。

选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题．．．．区域书写的答案无效．．．．．．．．．，在试题卷．．．．、草稿纸上作答无效．．．．．．．．。

3．本卷命题范围：新人教版必修第一册第一章～第四章。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若集合{123}A =，，，{}223B x x x =->，则A B =A ．{12}，B ．∅C ．{23}，D ．{1}2．命题“R x ∃∈，||0x ”的否定是A ．R x ∀∈，||0x ≥B ．R x ∃∈，||0x <C ．R x ∀∈，||0x <D ．R x ∃∉，||0x <3．若a b >，则下列不等式中成立的是 A ．11<a bB ．33a b >C ．22a b >D ．a b >4．函数y =的定义域为 A ．(12)-，B ．(02)，C ．[12)-，D ．(12]-，5．某企业一个月生产某种商品x 万件时的生产成本为2()410C x x x =++（万元）。

一万件售价是30万元，若商品能全部卖出，则该企业一个月生产该商品的最大利润为 A ．139万元B ．149万元C ．159万元D ．169万元6．已知集合2{Z |Z}1A x x =∈∈-，则集合A 的真子集的个数为 A ．13B ．14C ．15D ．167．若0.33a =，3log 0.3b =，13log 3c =，则a ，b ，c 的大小关系为 A ．b c a <<B ．c a b <<C ．a b c <<D ．b a c <<8．若函数()f x 是奇函数，且在定义域R 上是减函数，(2)3f -=，则满足3(3)3f x -<-<的实数x 的取值范围是 A ．(15)，B ．(24)，C ．(36)，D ．(25)，二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

高一数学-广东省广州市华南师大附中高一(上)期中数学试卷

2021-2022学年广东省广州市华南师大附中高一（上）期中数学试卷一、单选题：本大共8小，每小题3分，满分24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1．（3分）函数f（x）=+1−1的定义域是（）A．R B．[﹣1，+∞）C．（﹣∞，0）∪（0，+∞）D．[﹣1，0）∪（0，+∞）2．（3分）已知全集U＝{1，2，3，4，5，6}，集合A＝{1，2，4，6}，集合B＝{1，5}，则A∩（∁U B）＝（）A．{2，4}B．{2，4，6}C．{2，3，4，5}D．{1，2，3，4，5}3．（3分）已知函数op=2+1，≤0，−2，＞0，若f（x0）＝5，则x0的取值集合是（）A．{﹣2}B．{−52，2}C．{﹣2，2}D．{−2，2，−52} 4．（3分）函数f（x）为R上奇函数，且op=+1(＞0)，则当x＜0时，f（x）＝（）A．−+1B．−−−1C．−+1D．−−1 5．（3分）下列命题中为假命题的是（）A．∃x∈R，x2＜1B．a2＝b2是a＝b的必要不充分条件C．集合{（x，y）|y＝x2}与集合{y|y＝x2}表示同一集合D．设全集为R，若A⊆B，则（∁R B）⊆（∁R A）6．（3分）函数y＝x+−2的值域是（）A．[0，+∞）B．[2，+∞）C．[4，+∞）D．[2，+∞）7．（3分）已知偶函数f（x）在[0，+∞）上单调递增，则对任意实数a、b，“|a|＞|b|”是“f （a）＞f（b）”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件8．（3分）已知a＞0，且a2﹣b+4＝0，则2r3r（）A．有最大值176B．有最大值145C．有最小值176D．有最小值145二、多选题：本大题共4小题，每小题3分，满分12分．在每小题给出的四个项中，有多项符合要求，全部选对得3分，选对但不全的得1分，有选错的得0分．（多选）9．（3分）下列函数中为奇函数的有（）A．f（x）＝x2+1B．op=1C．f（x）＝2x D．f（x）＝|x|（多选）10．（3分）小王从甲地到乙地往返的速度分别为a和b（a＜b），其全程的平均速度为v，则（）A．＜＜B B．=B C．B＜＜r2D．=2B r（多选）11．（3分）函数f（x）＝ax2+2x+1与函数g（x）＝x a在同一个坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．（多选）12．（3分）定义一个集合A的所有子集组成的集合叫做集合A的幂集，记为P（A），用n（A）表示有限集A的元素个数，则下列命题中正确的是（）A．对于任意集合A，都有A∈P（A）B．若n（A）﹣n（B）＝1，则n（P（A））＝2×n（P（B））C．若A∩B＝∅，则P（A）∩P（B）＝∅D．若A⊆B，则P（A）⊆P（B）三、填空题：本大题共4小题，每小题3分，满分12分．13．（3分）函数f（x）＝3﹣x2的单调减区间是．14．（3分）函数f（x）=2r2在区间[2，4]上的最小值为．15．（3分）已知幂函数f（x）＝x2m+1过点（3，27），若f（k2+3）+f（9﹣8k）＜0，则实数k的取值范围是．16．（3分）若区间[a，b]满足：①函数f（x）在[a，b]上有定义且单调；②函数f（x）在[a，b]上的值域也为[a，b]，则称区间[a，b]为函数f（x）的共鸣区间．请完成：（1）写出函数op=13的一个共鸣区间；（2）若函数op=2+1−存在共鸣区间，则实数k的取值范围是．四、解答题：本大共6小题，满分52分．解答应写出文字记明、证明过程或演算过程．17．（8分）（1）化简(214)12−(−9.6)0−(338)13；（2）若12+−12=6，求x2+x﹣2的值．18．（8分）已知集合M＝{x|x2﹣x﹣6＜0}，N＝{x|x﹣a＞0}．（1）当a＝2时，求M∩N，M∪N；（2）若x∈N是x∈M的必要不充分条件，求实数a的取值范围．19．（8分）已知函数op=2+2．（1）求f（1），f（2）的值；（2）设a＞b＞1，试比较f（a），f（b）的大小，并说明理由；（3）若关于x的不等式o−1)≥2(−1)+2K1+恒成立，求实数m的取值范围．20．（8分）已知二次函数f（x）＝x2﹣mx+m﹣1（m∈R）．（1）若f（x）是偶函数，求m的值；（2）函数在区间[﹣1，1]上的最小值记为g（m），求g（m）的最大值．21．（10分）提高隧道的车辆通行能力可改善附近路段高峰期间的交通状况．在一般情况下，隧道内的车流速度v（单位：千米/小时）和车流密度x（单位：辆/千米）满足关系式：= 50，0＜≤2060−140−，20＜≤120(∈p．研究表明：当隧道内的车流密度达到120辆/千米时造成堵塞，此时车流速度是0千米/小时．（1）若车流速度v不小于40千米/小时，求车流密度x的取值范围；（2）隧道内的车流量y（单位时间内通过隧道的车辆数，单位：辆/小时）满足y＝x⋅v，求隧道内车流量的最大值（精确到1辆/小时），并指出当车流量最大时的车流密度（精确到1辆/千米）．22．（10分）设函数y＝f（x）与函数y＝f（f（x））的定义域的交集为D，集合M是由所有具有性质：“对任意的x∈D，都有f（f（x））＝x”的函数f（x）组成的集合．（1）判断函数f（x）＝3x﹣2，g（x）=−1是不是集合M中的元素？并说明理由；（2）设函数h（x）＝kx+a（k≠1），φ（x）＝x+，且h（x）∈M，若对任意x1∈（﹣∞，1]，总存在x2∈[1，+∞），使12h（x1）＝φ（x2）成立，求实数a的取值范围．2021-2022学年广东省广州市华南师大附中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单选题：本大共8小，每小题3分，满分24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1．（3分）函数f（x）=+1−1的定义域是（）A．R B．[﹣1，+∞）C．（﹣∞，0）∪（0，+∞）D．[﹣1，0）∪（0，+∞）【解答】解：函数f（x）=+1−1中，令+1≥0≠0，解得≥−1≠0，所以函数f（x）的定义域是[﹣1，0）∪（0，+∞）．故选：D．2．（3分）已知全集U＝{1，2，3，4，5，6}，集合A＝{1，2，4，6}，集合B＝{1，5}，则A∩（∁U B）＝（）A．{2，4}B．{2，4，6}C．{2，3，4，5}D．{1，2，3，4，5}【解答】解：∵全集U＝{1，2，3，4，5，6}，集合A＝{1，2，4，6}，集合B＝{1，5}，∴∁U B＝{2，3，4，6}，则A∩（∁U B）＝{2，4，6}．故选：B．3．（3分）已知函数op=2+1，≤0，−2，＞0，若f（x0）＝5，则x0的取值集合是（）A．{﹣2}B．{−52，2}C．{﹣2，2}D．{−2，2，−52}【解答】解：根据题意，函数op=2+1，≤0，−2，＞0，若f（x0）＝5，当x0≤0时，则f（x0）＝（x0）2+1＝5，解可得x0＝±2，又由x0≤0，则x0＝﹣2，当x0＞0时，则f（x0）＝﹣2x0＝5，解可得x0=−52，综合可得：x0＝﹣2，则x0的取值集合是{﹣2}；故选：A．4．（3分）函数f（x）为R上奇函数，且op=+1(＞0)，则当x＜0时，f（x）＝（）A．−+1B．−−−1C．−+1D．−−1【解答】解：函数f（x）为R上奇函数，可得f（﹣x）＝﹣f（x），又op=+1(＞0)，则当x＜0时，﹣x＞0，f（x）＝﹣f（﹣x）＝﹣（−+1）=−−−1．即x＜0时，f（x）=−−−1．故选：B．5．（3分）下列命题中为假命题的是（）A．∃x∈R，x2＜1B．a2＝b2是a＝b的必要不充分条件C．集合{（x，y）|y＝x2}与集合{y|y＝x2}表示同一集合D．设全集为R，若A⊆B，则（∁R B）⊆（∁R A）【解答】解：A．∃x∈R，取x=12，则x2=14＜1，因此是真命题；B．由a＝b⇒a2＝b2，反之不成立，例如取a＝1，b＝﹣1，满足a2＝b2，但是a≠b，因此a2＝b2是a＝b的必要不充分条件，因此是真命题；C．集合{（x，y）|y＝x2}表示点的集合，而集合{y|y＝x2}表示数的集合，它们不表示表示同一集合，因此是假命题；D．全集为R，若A⊆B，则（∁R B）⊆（∁R A），是真命题．故选：C．6．（3分）函数y＝x+−2的值域是（）A．[0，+∞）B．[2，+∞）C．[4，+∞）D．[2，+∞）【解答】解：函数的定义域为[2，+∞），又函数为单调增函数，当x＝2时，取得最小值为2．∴值域是[2，+∞）．故选：B．7．（3分）已知偶函数f（x）在[0，+∞）上单调递增，则对任意实数a、b，“|a|＞|b|”是“f （a）＞f（b）”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：偶函数f（x）在[0，+∞）上单调递增，则对任意实数a、b，“|a|＞|b|”是“f（a）＞f（b）”的充要条件，故选：C．8．（3分）已知a＞0，且a2﹣b+4＝0，则2r3r（）A．有最大值176B．有最大值145C．有最小值176D．有最小值145【解答】解：由a2﹣b+4＝0，得b＝a2+4，则a+b＝a2+a+4，即=2+r4，又a＞0，所以2r3r=3−r=3−2+r4=3−1r4+1≥3=3−15=145，当且仅当a=4，即a＝2，b＝8时等号成立，所以2r3r有最小值145，无最大值，故选：D．二、多选题：本大题共4小题，每小题3分，满分12分．在每小题给出的四个项中，有多项符合要求，全部选对得3分，选对但不全的得1分，有选错的得0分．（多选）9．（3分）下列函数中为奇函数的有（）A．f（x）＝x2+1B．op=1C．f（x）＝2x D．f（x）＝|x|【解答】解：由f（x）＝x2+1为偶函数，故A不符题意；由f（x）=1为奇函数，故B符合题意；由f（x）＝2x为奇函数，故C符合题意；由f（x）＝|x|为偶函数，故D不符题意．故选：BC．（多选）10．（3分）小王从甲地到乙地往返的速度分别为a和b（a＜b），其全程的平均速度为v，则（）A．＜＜B B．=B C．B＜＜r2D．=2B r 【解答】解：根据题意，设甲、乙两地之间的距离为s，则全程所需的时间为+，则全程的平均速度=2+=2B r，D正确，又由b＞a＞0，由基本不等式可得B＜r2，则=2B r 2B=B，同时=2B r＜2(r2)2r=r2，−=2B r−=B−2r＞2−2r=0，v＞a，则＜＜B，A正确，故选：AD．（多选）11．（3分）函数f（x）＝ax2+2x+1与函数g（x）＝x a在同一个坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．【解答】解：对于A选项，函数y＝x a正确，可得出a＜0，此时二次函数图象开口向下，对称轴x=−12＞0，所给图象符合这一特征，故可能是A；不可能是B；对于选项C，函数y＝x a正确，可得出a＞0，此时二次函数图象开口向上，对称轴x=−12＜0，所给图象符合这一特征，故可能是C；对于选项D，函数y＝x a正确，可得出a＞0，此时二次函数图象开口向上，对称轴x=−12＜0，所给图象符合这一特征，故可能是D；故选：ACD．（多选）12．（3分）定义一个集合A的所有子集组成的集合叫做集合A的幂集，记为P（A），用n（A）表示有限集A的元素个数，则下列命题中正确的是（）A．对于任意集合A，都有A∈P（A）B．若n（A）﹣n（B）＝1，则n（P（A））＝2×n（P（B））C．若A∩B＝∅，则P（A）∩P（B）＝∅D．若A⊆B，则P（A）⊆P（B）【解答】解：由P（A）的定义可知A正确，D正确，若A∩B＝∅，则P（A）∩P（B）＝{∅}，故C错误，若n（A）﹣n（B）＝1，即A中元素比B中元素多1个，则n（P（A））＝2n（P（B）），故B正确，故选：ABD．三、填空题：本大题共4小题，每小题3分，满分12分．13．（3分）函数f（x）＝3﹣x2的单调减区间是（0，+∞）．【解答】解：根据二次函数的性质可知，f（x）＝3﹣x2的单调减区间[0，+∞）．故答案为：[0，+∞）．14．（3分）函数f（x）=2r2在区间[2，4]上的最小值为1．【解答】解：∵f（x）=2r2=2(r2)−4r2=2−4r2，∴函数f（x）在[2，4]上单调递增，则函数f（x）在区间[2，4]上的最小值为f（2）=2×22+2=1．故答案为：1．15．（3分）已知幂函数f（x）＝x2m+1过点（3，27），若f（k2+3）+f（9﹣8k）＜0，则实数k的取值范围是（2，6）．【解答】解：∵幂函数f（x）＝x2m+1过点（3，27），∴32m+1＝33，∴m＝1，幂函数f（x）＝x3，显然f（x）是奇函数，且在R上单调递增．若f（k2+3）+f（9﹣8k）＜0，则不等式即f（k2+3）＜f（8k﹣9），∴k2+3＜8k﹣9，∴2＜k＜6，故答案为：（2，6）．16．（3分）若区间[a，b]满足：①函数f（x）在[a，b]上有定义且单调；②函数f（x）在[a，b]上的值域也为[a，b]，则称区间[a，b]为函数f（x）的共鸣区间．请完成：（1）写出函数op=13的一个共鸣区间[0，1]；（2）若函数op=2+1−存在共鸣区间，则实数k的取值范围是[1，2）．【解答】解：（1）∵op=13，∴f（0）＝0，f（1）＝1，且函数f（x）在[0，1]上单调递增，故函数op=13的一个共鸣区间为[0，1]；（2）函数op=2+1−在其定义域[﹣1，+∞）是单调递增，∵函数op=2+1−存在共鸣区间，∴2+1−k＝x在[﹣1，+∞）有两个不同的解，即（+1−1）2＝2﹣k在[﹣1，+∞）有两个不同的解，故+1=1+2−或+1=1−2−，故0＜2−≤1，故1≤k＜2；故答案为：（1）[0，1]，（2）[1，2）．四、解答题：本大共6小题，满分52分．解答应写出文字记明、证明过程或演算过程．17．（8分）（1）化简(214)12−(−9.6)0−(338)13；（2）若12+−12=6，求x2+x﹣2的值．【解答】解：（1）原式=32−1−32=−1．（2）∵12+−12=6，∴(12+−12)2=x+2+x﹣1＝6，∴x+x﹣1＝4，∴（x+x﹣1）2＝x2+2+x﹣2＝16，∴x2+x﹣2＝14．18．（8分）已知集合M＝{x|x2﹣x﹣6＜0}，N＝{x|x﹣a＞0}．（1）当a＝2时，求M∩N，M∪N；（2）若x∈N是x∈M的必要不充分条件，求实数a的取值范围．【解答】解：M＝{x|x2﹣x﹣6＜0}＝{x|（x+2）（x﹣3）＜0}＝{x|﹣2＜x＜3}，N＝{x|x＞a}，（1）当a＝2时，N＝{x|x﹣2＞0}＝{x|x＞2}，则M∩N＝{x|2＜x＜3}，M∪N＝{x|x＞﹣2}；（2）因为x∈N是x∈M的必要不充分条件，所以M⫋N，则a≤﹣2．19．（8分）已知函数op=2+2．（1）求f（1），f（2）的值；（2）设a＞b＞1，试比较f（a），f（b）的大小，并说明理由；（3）若关于x的不等式o−1)≥2(−1)+2K1+恒成立，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）函数op=2+2，所以f（1）＝1+2＝3，f（2）＝4+1＝5；（2）f（a）﹣f（b）=2+2−2−2=(+p(−p+2(Kp B=（a﹣b）（a+b−2B），因为a＞b＞1，则a﹣b＞0，a+b＞2，0＜2B＜2，所以+−2B＞0，则f（a）﹣f（b）＞0，所以f（a）＞f（b）；（3）因为f（x﹣1）=(−1)2+2K1，所以不等式o−1)≥2(−1)+2K1+恒成立，等价于(−1)2+2K1≥2(−1)+2K1+m恒成立，整理可得x2﹣4x+3﹣m≥0恒成立，所以Δ＝（﹣4）2﹣4（3﹣m）≤0，解得m≤﹣1，所以实数m的取值范围是（﹣∞，﹣1]．20．（8分）已知二次函数f（x）＝x2﹣mx+m﹣1（m∈R）．（1）若f（x）是偶函数，求m的值；（2）函数在区间[﹣1，1]上的最小值记为g（m），求g（m）的最大值．【解答】解：（1）二次函数f（x）＝x2﹣mx+m﹣1（m∈R），若f（x）是偶函数，可得f（x）的对称轴为y轴，即有2=0，解得m ＝0；（2）f （x ）的对称轴为x =2，当2≤−1，即m ≤﹣2时，f （x ）在[﹣1，1]上递增，可得g （m ）＝f （﹣1）＝2m ；当﹣1＜2＜1，即﹣2＜m ＜2时，f （x ）的最小值为g （m ）＝f （2）＝m ﹣1−24；当2≥1，即m ≥2时，f （x ）在[﹣1，1]上递减，可得g （m ）＝f （1）＝0．所以g （m ）=2，≤−2−1−24，−2＜＜20，≥2，当m ≤﹣2时，g （m ）≤﹣4；当﹣2＜m ＜2时，g （m ）=−(K2)24∈（﹣4，0）；当m ≥2时，g （m ）＝0．综上可得，g （m ）的最大值为0．21．（10分）提高隧道的车辆通行能力可改善附近路段高峰期间的交通状况．在一般情况下，隧道内的车流速度v （单位：千米/小时）和车流密度x （单位：辆/千米）满足关系式：=50，0＜≤2060−140−，20＜≤120(∈p ．研究表明：当隧道内的车流密度达到120辆/千米时造成堵塞，此时车流速度是0千米/小时．（1）若车流速度v 不小于40千米/小时，求车流密度x 的取值范围；（2）隧道内的车流量y （单位时间内通过隧道的车辆数，单位：辆/小时）满足y ＝x ⋅v ，求隧道内车流量的最大值（精确到1辆/小时），并指出当车流量最大时的车流密度（精确到1辆/千米）．【解答】解：（1）由题意，当x ＝120（辆/千米）时，v ＝0（千米/小时），代入=60−140−，得0＝60−140−120，解得k ＝1200．∴=50，0＜≤2060−1200140−，20＜≤120，当0＜x ≤20时，v ＝50≥40，符合题意；当20＜x ≤120时，令60−1200140−≥40，解得x ≤80，∴20＜x≤80．综上，0＜x≤80．故车流速度v不小于40千米/小时，车流密度x的取值范围为（0，80]；（2）由题意得，=50，0＜≤2060−1200140−，20＜≤120，当0＜x≤20时，y＝50x为增函数，∴y≤20×50＝1000，等号当且仅当x＝20时成立；当20＜x≤120时，y=60−1200140−=60(−20140−)=60[+20(140−p−2800140−]=60(20+2800140−(140−p−2800140−]≤60(160−=60(160−407)≈3250．当且仅当140﹣x=2800140−，即x＝140﹣207≈87∈（20，120]时成立，综上，y的最大值约为3250，此时x约为87．故隧道内车流量的最大值为3250辆/小时，车流量最大时的车流密度87辆/千米．22．（10分）设函数y＝f（x）与函数y＝f（f（x））的定义域的交集为D，集合M是由所有具有性质：“对任意的x∈D，都有f（f（x））＝x”的函数f（x）组成的集合．（1）判断函数f（x）＝3x﹣2，g（x）=−1是不是集合M中的元素？并说明理由；（2）设函数h（x）＝kx+a（k≠1），φ（x）＝x+，且h（x）∈M，若对任意x1∈（﹣∞，1]，总存在x2∈[1，+∞），使12h（x1）＝φ（x2）成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）f（x）不是集合M的元素，g（x）是集合M的元素．理由如下：因为对任意的x∈R，f（f（x））＝3（3x﹣2）﹣2＝9x﹣8≠x，所以f（x）＝3x﹣2∉M；因为对于任意的x∈（﹣∞，0）∪（0，+∞），g（g（x））=−11−=，所以g（x）=−1∈M．（2）因为h（x）∈M，且h（x）＝kx+a（k≠1），则h（h（x））＝k（kx+a）+a＝x，即2=1B+=0，解得k＝1，a＝0（舍）或k＝﹣1，a∈R，故h（x）＝﹣x+a，当x≤1时，h（x）≥a﹣1，则12h（x）≥K12，则函数12h（x）的值域为[K12，+∞），因为对任意x1∈（﹣∞，1]，总存在x2∈[1，+∞），使12h（x1）＝φ（x2）成立，、则[K12，+∞）为φ（x）在[1，+∞）上值域的子集，φ（x）＝x+，当a≤1时，φ（x）在[1，+∞）上单调递增，所以φ（x）≥a+1，即φ（x）在[1，+∞）上的值域为[a+1，+∞），所以[K12，+∞）⊆[a+1，+∞），故1+≤K12≤1，解得a≤﹣3；当a＞1时，φ（x）在[1，]上单调递减，在[，+∞）上单调递增，所以φ（x）≥φ（）＝2，则φ（x）在[1，+∞）上的值域为[2，+∞），所以[K12，+∞）⊆[2，+∞），故2≤K12＞1，解得≥9+45．综上所述，实数a的取值范围为(−∞，3]∪[9+45，+∞)．。

广东省广州市普通高中2017-2018学年高一上学期数学期中模拟试题05PDF版含答案

广州市2017-2018学年上学期高一数学期中模拟试题05一、选择题：共10小题，每小题3分，计30分。

1．下列集合中，只有一个子集．．的集合是最新试卷多少汗水曾洒下，多少期待曾播种，终是在高考交卷的一刹尘埃落地，多少记忆梦中惦记，多少青春付与流水，人生，总有一次这样的成败，才算长大。

A ．2{|0}x x B ．3{|0}x xC ．2{|0}x xD ．22{|11}y yxx 2．若函数3)(x x f （R x ），则函数)(x f y 在其定义域是A ．单调递减的偶函数B ．单调递增的奇函数C ．单调递增的偶函数D ．单调递减的奇函数3．2log 13a，则a 的取值范围是.A ．20,1,3B ．2,3C ．2,13D ．220,,334．若a=0.32，b=log 20.3，c=20.3，则a 、b 、c 的大小关系是A ．a<c<bB ．a<b<cC ．b<a<cD ．b<c<a5．己知函数2y x 的值域是［1，4］，则其定义域不．可能是A ．［1，2］B ．［32，2］C ．［－2，－1］D ．[－2，－1)∪｛1｝6．设函数1201120122013f x x x ()()()，则()0f x A ．在定义域内无解B ．存在两个解，且分别在(,2011)、(2012,)内C ．存在两个解，且分别在(,2010)、(2010,)内D ．存在两个解，都在(2011,2012)内7．对任意实数x ，规定)(x f 取14,1,(5)2x x x 三个值中的最小值，则函数)(x f A ．有最大值2，最小值 1 B ．有最大值2，无最小值C ．有最大值1，无最小值D ．无最大值，无最小值8．如图所示的是某池塘中的浮萍蔓延的面积(2m )与时间t (月)的关系：tya ，有以下叙述：①这个指数函数的底数是2；②第5个月时,浮萍的面积就会超过230m ；③浮萍从24m 蔓延到212m 需要经过 1.5个月；④浮萍每个月增加的面积都相等．其中正确的是A ．①②③B ．①②③④C ．②③④D ．①②9．函数y ＝f(x)与y ＝g(x)的图象如所示，则函数y ＝f(x)·g(x)的图象可能为10．已知定义在R 上的奇函数)(x f ，满足(4)()f x f x ，且在区间[0,2]上是增函数，则A ．(25)(11)(80)f f f B ．(80)(11)(25)f f f C ．(11)(80)(25)f f f D ．(25)(80)(11)f f f 二、填空题：共7小题，每小题4分，计28分。

2017-2018学年广东省实验中学高一数学上期中考试试卷

广东实验中学2017 —2018学年（上）高一级模块考试数学本试卷共4页.满分为150分。

考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答卷上，并用2B铅笔填涂学号.2•选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，不能答在试题卷上.3•非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液•不按以上要求作答的答案无效.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1•设A ={a|a ::: 1},则()B . {0} A C. {0}』A D .⑺；A2B中3在A中对应的原象是（）2.已知集合A到B的映射f : x— y =2x 1,那么集合A. 0B. 1C. -1D. -13. 下列四个函数中，在(0「：)上是增函数的是( )2 1A. f(x)=3-2xB. f(x)二x -3x C . f (x) D . f(x) = -|x|x +1/ 1 \ X -(-),X <04. 设函数f(x)=«0, x=0 ，且f (x)为奇函数，则g(2)=( )g(x), XAO11A .-B .C . 4D . -4445.函数f (x)=X2 - 2x的零点个数为（)A . 0B . 1C . 2D . 36.已知点在幕函数f（x）的图象上，则f (x)是(A .奇函数B .偶函数C.定义域内的减函数 D .定义域内的增函数。

2017-2018年广东省广州市华南师大附中高一(上)数学期中试卷和答案

2017-2018学年广东省广州市华南师大附中高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）全集U=Z；A={﹣2，﹣1，1，2}，B={x|x2﹣3x+2=0}，则A∩∁U B=（）A．{﹣1，﹣2}B．{1，2}C．{﹣2，1}D．{﹣1，2}2．（5分）若函数f（x）=x3+x2﹣2x﹣2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：那么方程x3+x2﹣2x﹣2=0的一个近似根（精确到0.1）为（）A．1.2 B．1.3 C．1.4 D．1.53．（5分）函数f（x）=+lg（10﹣x）的定义域为（）A．R B．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）C．[1，10] D．（1，10）4．（5分）设集合A=R，集合B={y|y＞0}，下列对应关系中是从集合A到集合B 的映射的是（）A．x→y=|x|B．x→y=C． D．5．（5分）若a=log 23，b=log32，c=2，d=log2，则a，b，c，d的大小关系是（）A．a＜b＜c＜d B．d＜b＜c＜a C．d＜c＜b＜a D．c＜d＜a＜b6．（5分）设函数f（x）=若f（x）是奇函数，则f（﹣2）的值是（）A．B．4 C．D．﹣47．（5分）设函数f（x）=xlnx（x＞0），则y=f（x）（）A．在区间（，1），（1，e）内均有零点B．在区间（，1），（1，e）内均无零点C．在区间（，1）内有零点，在区间（1，e内无零点D．在区间（，1）内无零点，在区间（1，e）内有零点8．（5分）已知函数y=2x与函数y=f（x）的图象关于直线y=x对称，则不等式f （﹣1﹣）≤0的解集为（）A．（﹣2，﹣1]B．[﹣2，﹣1]C．（﹣∞，﹣1]∪[0，+∞）D．（﹣2，0）9．（5分）函数f（x）=log2|x﹣1|的图象大致是（）A．B．C．D．10．（5分）已知函数f（x）=在R上单调递增，则实数a的取值范围是（）A．0＜a≤3 B．a≥2 C．2≤a≤3 D．0＜a≤2或a≥311．（5分）设函数f（x）定义在实数集上，f（1+x）=f（1﹣x），且当x≥1时，，则有（）A．B．C．D．12．（5分）已知函数f（x）=，若f（x1）=f（x2）=f（x3）（x1、x2、x3互不相等），且x1+x2+x3的取值范围为（1，8），则实数m的值为（）A．0 B．﹣1 C．1 D．2二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知函数g（x）=（a+1）x﹣2+1（a＞0）的图象恒过定点A，则点A的坐标为．14．（5分）已知幂函数f（x）=x（m∈Z）的图象关于y轴对称，并且f （x）在第一象限是单调递减函数，则m=．15．（5分）函数f（x）=（x2﹣2x﹣3）的单调递增区间为．16．（5分）已知函数f（x）=|log2x|，正实数m，n满足m＜n，且f（m）=f（n），若f（x）在区间[m2，n]上的最大值为2，则n+m=．三、解答题（本大题共6小题，满分70分．解答应写出文字说明、演算步骤和推证过程）17．（10分）（1）计算0.064﹣（﹣）0+[（﹣2）3]+|﹣0.01|；（2）lg25+2+lg（2）．18．（12分）设集合A={y|y=2x，1≤x≤2}，B={x|0＜lgx＜1}，C={x|t+1＜x＜2t，t∈R}．（1）求A∩B；（2）若A∩C=C，求t的取值范围．19．（12分）已知函数f（x）=是定义在（﹣1，1）上的奇函数，且=﹣．（1）确定函数f（x）的解析式；（2）当x∈（﹣1，1）时判断函数f（x）的单调性，并证明；（3）解不等式f（2x﹣1）+f（x）＜0．20．（12分）提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．（Ⅰ）当0≤x≤200时，求函数v（x）的表达式；（Ⅱ）当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）f（x）=x•v（x）可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/时）．21．（12分）函数f（x）对一切实数x、y均有f（x+y）﹣f（y）=x（x+2y+1）成立，且f（1）=0．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式．（Ⅱ）解不等式f（|x﹣3|）＜4（Ⅲ）对任意的x1∈（0，），x2∈（0，），都有f（x1）+2＜log a（x2），求实数a的取值范围．22．（12分）定义：对于函数f（x），若在定义域内存在实数x，满足f（﹣x）=﹣f（x），则称f（x）为“局部奇函数”．（1）已知二次函数f（x）=ax2+2x﹣4a（a∈R），试判断f（x）是否为定义域R 上的“局部奇函数”？若是，求出满足f（﹣x）=﹣f（x）的x的值；若不是，请说明理由；（2）若f（x）=2x+m是定义在区间[﹣1，1]上的“局部奇函数”，求实数m的取值范围．（3）若f（x）=4x﹣m•2x+1+m2﹣3为定义域R上的“局部奇函数”，求实数m的取值范围．2017-2018学年广东省广州市华南师大附中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）全集U=Z；A={﹣2，﹣1，1，2}，B={x|x2﹣3x+2=0}，则A∩∁U B=（）A．{﹣1，﹣2}B．{1，2}C．{﹣2，1}D．{﹣1，2}【解答】解：∵全集U=Z，B={x|x2﹣3x+2=0}={1，2}，B={x|x∈Z，且x≠1，x≠2}，∴C∪又A={﹣2，﹣1，1，2}，B={﹣2，﹣1}．则A∩C∪故选：A．2．（5分）若函数f（x）=x3+x2﹣2x﹣2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：那么方程x3+x2﹣2x﹣2=0的一个近似根（精确到0.1）为（）A．1.2 B．1.3 C．1.4 D．1.5【解答】解：由图中参考数据可得f（1.43750）＞0，f（1.40625）＜0，又因为题中要求精确到0.1，所以近似根为1.4故选：C．3．（5分）函数f（x）=+lg（10﹣x）的定义域为（）A．R B．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）C．[1，10] D．（1，10）【解答】解：要使函数有意义，则，得，即1＜x＜10，即函数的定义域为（1，10），故选：D．4．（5分）设集合A=R，集合B={y|y＞0}，下列对应关系中是从集合A到集合B 的映射的是（）A．x→y=|x|B．x→y=C． D．【解答】解：∵|0|=0，而0∉R+，集合A中的元素0在集合B中没有像，故选项A 不是映射．对于选项B，集合A中的元素1在集合B中没有像，故选项B不是映射．对于选项C，集合A中的所有元素在集合B中都有唯一的像和它对应，故选项C 是映射．对于选项D，由于函数的定义域不是R，故选项D不是映射．故选：C．5．（5分）若a=log 23，b=log32，c=2，d=log2，则a，b，c，d的大小关系是（）A．a＜b＜c＜d B．d＜b＜c＜a C．d＜c＜b＜a D．c＜d＜a＜b【解答】解：∵log23＞log22=1，而0＜log32＜log33=1∴0＜b＜1＜a又∵﹣1=＜＜0，∴c∈（﹣1，0）∵＜=﹣1，∴d＜﹣1综上所述，得d＜﹣1＜c＜0＜b＜1＜a，即d＜c＜b＜a故选：C．6．（5分）设函数f（x）=若f（x）是奇函数，则f（﹣2）的值是（）A．B．4 C．D．﹣4【解答】解：∵f（x）=且f（x）是奇函数，∴f（﹣2）=﹣f（2）=﹣22=﹣4故选：D．7．（5分）设函数f（x）=xlnx（x＞0），则y=f（x）（）A．在区间（，1），（1，e）内均有零点B．在区间（，1），（1，e）内均无零点C．在区间（，1）内有零点，在区间（1，e内无零点D．在区间（，1）内无零点，在区间（1，e）内有零点【解答】解：令函数f（x）=xlnx=0，解得x=1，∴函数f（x）有唯一的零点x=1，故选：B．8．（5分）已知函数y=2x与函数y=f（x）的图象关于直线y=x对称，则不等式f （﹣1﹣）≤0的解集为（）A．（﹣2，﹣1]B．[﹣2，﹣1]C．（﹣∞，﹣1]∪[0，+∞）D．（﹣2，0）【解答】解：∵函数y=2x与函数y=f（x）的图象关于直线y=x对称，∴f（x）=log2x，∴f（﹣1﹣）≤0⇔log2（﹣1﹣）≤0．∴0＜﹣1﹣≤1．∴﹣2≤．解得﹣2＜x≤﹣1．故选：A．9．（5分）函数f（x）=log2|x﹣1|的图象大致是（）A．B．C．D．【解答】解：原函数可化为y=log2|x﹣1|=由复合函数的单调性知x＜1时函数y=log2（1﹣x）单调递减，x＞1时函数y=log2（x﹣1）单调递增，且f（）=＜0，只有图象B符合，故选：B．10．（5分）已知函数f（x）=在R上单调递增，则实数a的取值范围是（）A．0＜a≤3 B．a≥2 C．2≤a≤3 D．0＜a≤2或a≥3【解答】解：当x≤1时，f（x）=﹣x2+ax﹣2的对称轴为x=，由递增可得，1≤，解得a≥2；当x＞1时，f（x）=log a x递增，可得a＞1；由x∈R，f（x）递增，即有﹣1+a﹣2≤log a1=0，解得a≤3．综上可得，a的范围是2≤a≤3．故选：C．11．（5分）设函数f（x）定义在实数集上，f（1+x）=f（1﹣x），且当x≥1时，，则有（）A．B．C．D．【解答】解：由f（1+x）=f（1﹣x），得函数f（x）关于x=1对称，当x≥1时，，为减函数，则当x≤1时，函数f（x）为增函数，∵f（2）=f（1+1）=f（1﹣1）=f（0），∴f（0）＜f（）＜f（），即f（2）＜f（）＜f（），故选：D．12．（5分）已知函数f（x）=，若f（x1）=f（x2）=f（x3）（x1、x2、x3互不相等），且x1+x2+x3的取值范围为（1，8），则实数m的值为（）A．0 B．﹣1 C．1 D．2【解答】解：作出f（x）的图象，如图所示，可令x1＜x2＜x3，则有图知点（x1，0），（x2，0），关于直线x=﹣对称，所以x1+x2=﹣1，又x1+x2+x3的取值范围为（1，8），所以2＜x3＜9，由于f（x1）=f（x2）=f（x3）（x1、x2、x3互不相等），结合图象可知点A的坐标为（9，3），代入函数解析式，得3=log2（9﹣m），解得m=1．故选：C．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知函数g（x）=（a+1）x﹣2+1（a＞0）的图象恒过定点A，则点A 的坐标为（2，2）．【解答】解：函数g（x）=（a+1）x﹣2+1（a＞0）的图象恒过定点A，令x﹣2=0，得x=2，则g（2）=（a+1）0+1=2，所以函数g（x）的图象恒过定点A（2，2）．故答案为：（2，2）．14．（5分）已知幂函数f（x）=x（m∈Z）的图象关于y轴对称，并且f （x）在第一象限是单调递减函数，则m=1．【解答】解：∵幂函数f（x）=x（m∈Z）的图象关于y轴对称，∴函数f（x）=x（m∈Z）是偶函数，∴m2﹣2m﹣3为偶数，∴m2﹣2m为奇数，又f（x）在第一象限是单调递减函数，∴m2﹣2m﹣3＜0，又m∈Z，∴m=1．故答案为：1．15．（5分）函数f（x）=（x2﹣2x﹣3）的单调递增区间为（﹣∞，﹣1）．【解答】解：函数的定义域为{x|x＞3或x＜﹣1}令t=x2﹣2x﹣3，则y=因为y=在（0，+∞）单调递减t=x2﹣2x﹣3在（﹣∞，﹣1）单调递减，在（3，+∞）单调递增由复合函数的单调性可知函数的单调增区间为（﹣∞，﹣1）故答案为：（﹣∞，﹣1）16．（5分）已知函数f（x）=|log2x|，正实数m，n满足m＜n，且f（m）=f（n），若f（x）在区间[m2，n]上的最大值为2，则n+m=．【解答】解：∵f（x）=|log2x|，且f（m）=f（n），∴mn=1∵若f（x）在区间[m2，n]上的最大值为2∴|log 2m2|=2∵m＜n，∴m=∴n=2∴n+m=故答案为：三、解答题（本大题共6小题，满分70分．解答应写出文字说明、演算步骤和推证过程）17．（10分）（1）计算0.064﹣（﹣）0+[（﹣2）3]+|﹣0.01|；（2）lg25+2+lg（2）．【解答】解：（1）0.064﹣（﹣）0+[（﹣2）3]+|﹣0.01|=﹣1+（﹣2）﹣4+0.01=0.4﹣1+=﹣．（2）lg25+2+lg（2）==（lg5+lg2）+3==．18．（12分）设集合A={y|y=2x，1≤x≤2}，B={x|0＜lgx＜1}，C={x|t+1＜x＜2t，（2）若A∩C=C，求t的取值范围．【解答】解：（1）∵集合A={y|y=2x，1≤x≤2}={y|2≤y≤4}，B={x|0＜lgx＜1}={x|1＜x＜10}，∴A∩B={x|2≤x＜10}．（2）∵C={x|t+1＜x＜2t，t∈R}，A∩C=C，∴C⊆A，若C是空集，则2t≤t+1，得到t≤1，若C非空，则，得1＜t≤2，综上所述，t≤2，即t的取值范围是（﹣∞，2]．19．（12分）已知函数f（x）=是定义在（﹣1，1）上的奇函数，且=﹣．（1）确定函数f（x）的解析式；（2）当x∈（﹣1，1）时判断函数f（x）的单调性，并证明；（3）解不等式f（2x﹣1）+f（x）＜0．【解答】解：（1）根据题意，f（x）=是奇函数，则有f（﹣x）=﹣f（x），则有=﹣，解可得b=0；∴f（x）=．∵f（﹣）=﹣，解可得a=1.∴f（x）=；（2）f（x）在（﹣1，1）上为增函数；证明如下：设﹣1＜x1＜x2＜1，则f（x1）﹣f（x2）=﹣=，∵﹣1＜x1＜x2＜1，则有（1+x12）＞0，（1+x22）＞0，（1﹣x1x2）＞0，x1﹣x2＜0，（3）∵f（2x﹣1）+f（x）＜0，∴f（2x﹣1）＜﹣f（x），又f（x）是定义在（﹣1，1）上的奇函数，∴f（2x﹣1）＜f（﹣x），则有，解可得：0＜x＜；故不等式f（2x﹣1）+f（x）＜0的解集为（0，）．20．（12分）提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．（Ⅰ）当0≤x≤200时，求函数v（x）的表达式；（Ⅱ）当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）f（x）=x•v（x）可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/时）．【解答】解：（Ⅰ）由题意：当0≤x≤20时，v（x）=60；当20＜x≤200时，设v（x）=ax+b再由已知得，解得故函数v（x）的表达式为．（Ⅱ）依题并由（Ⅰ）可得当0≤x＜20时，f（x）为增函数，故当x=20时，其最大值为60×20=1200当20≤x≤200时，所以，当x=100时，f（x）在区间（20，200]上取得最大值．综上所述，当x=100时，f（x）在区间[0，200]上取得最大值为，即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大值，最大值约为3333辆/小时．答：（Ⅰ）函数v（x）的表达式（Ⅱ）当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大值，最大值约为3333辆/小时．21．（12分）函数f（x）对一切实数x、y均有f（x+y）﹣f（y）=x（x+2y+1）成立，且f（1）=0．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式．（Ⅱ）解不等式f（|x﹣3|）＜4（Ⅲ）对任意的x1∈（0，），x2∈（0，），都有f（x1）+2＜log a（x2），求实数a的取值范围．【解答】（Ⅰ）注意到f（1）=0，故令y=1，代入原式得到f（x+1）﹣f（1）=x （x+2×+1）=x2+3x，即f（x+1）=x2+3x，令x+1=t，则x=t﹣1，代入上式，得到f（t）=（t﹣1）2+3（t﹣1）=t2+t﹣2，即f（x）=x2+x﹣2．（Ⅱ）由f（x）＜4，即x2+x﹣2＜4，解得﹣3＜x＜2，则由f（|x﹣3|）＜4得到，﹣3＜|x﹣3|＜2，又|x﹣3|≥0恒成立，故﹣3＜|x﹣3|＜2等价于|x﹣3|＜2，解得﹣2＜x﹣3＜2，则1＜x＜5，即不等式解集为（1，5）．（Ⅲ）令log a x2=g（x2），则对任意的，，都有f（x1）+2＜log a（x2）=g（x2）恒成立，即[f（x1）+2]max＜g（x2）min，而函数，在上单调递增，故[f（x1）+2]max的极限为，则题目转化为在区间上恒成立，①当0＜a＜1时，函数g（x2）在区间上单调递减，故g（x2）min的极限为，即，由，得到，即；又0＜a＜1，则；②当a＞1时，函数g（x 2）在上单调递增，此时g（x2）min趋近于，不符的题意，故舍去；综上所述，实数a的取值范围为，即；22．（12分）定义：对于函数f（x），若在定义域内存在实数x，满足f（﹣x）=﹣f（x），则称f（x）为“局部奇函数”．（1）已知二次函数f（x）=ax2+2x﹣4a（a∈R），试判断f（x）是否为定义域R 上的“局部奇函数”？若是，求出满足f（﹣x）=﹣f（x）的x的值；若不是，请说明理由；（2）若f（x）=2x+m是定义在区间[﹣1，1]上的“局部奇函数”，求实数m的取值范围．（3）若f（x）=4x﹣m•2x+1+m2﹣3为定义域R上的“局部奇函数”，求实数m的取值范围．【解答】解：f（x）为“局部奇函数”等价于关于x的方程f（﹣x）=﹣f（x）有解．（1）当f（x）=ax2+2x﹣4a（a∈R），时，方程f（﹣x）=﹣f（x）即2a（x2﹣4）=0，有解x=±2，所以f（x）为“局部奇函数”．…（3分）（2）当f（x）=2x+m时，f（﹣x）=﹣f（x）可化为2x+2﹣x+2m=0，因为f（x）的定义域为[﹣1，1]，所以方程2x+2﹣x+2m=0在[﹣1，1]上有解．…（5分）设g（t）=t+，则g'（t）=，当t∈（0，1）时，g'（t）＜0，故g（t）在（0，1）上为减函数，当t∈（1，+∞）时，g'（t）＞0，故g（t）在（1，+∞）上为增函数．…（7分）所以t∈[，2]时，g（t）∈[2，]．所以﹣2m∈[2，]，即m∈[﹣，﹣1]．…（9分）（3）当f（x）=4x﹣m2x+1+m2﹣3时，f（﹣x）=﹣f（x）可化为4x+4﹣x﹣2m（2x+2﹣x）+2m2﹣6=0．t=2x+2﹣x≥2，则4x+4﹣x=t2﹣2，从而t2﹣2mt+2m2﹣8=0在[2，+∞）有解即可保证f（x）为“局部奇函数”．…（11分）令F（t）=t2﹣2mt+2m2﹣8，1°当F（2）≤0，t2﹣2mt+2m2﹣8=0在[2，+∞）有解，由当F（2）≤0，即2m2﹣4m﹣4≤0，解得1﹣≤m≤1+；…（13分）2°当F（2）＞0时，t2﹣2mt+2m2﹣8=0在[2，+∞）有解等价于，解得1+≤m≤2．…（15分）（说明：也可转化为大根大于等于2求解）综上，所求实数m的取值范围为1﹣≤m≤2．…（16分）。

广东高一上学期期中数学试题(解析版)

一、单选题1．已知集合，，则（） {}2,0,1M =-{}12N x x =-<<M N ⋂=A ． B ． {}2,1,0,1,2--{}0,1C ． D ．{}22x x -<<{}11x x -<<【答案】B【分析】根据交集的定义计算即可.【详解】因为，，所以. {}2,0,1M =-{}12N x x =-<<{}0,1M N = 故选：B.2．函数的零点所在的一个区间是 ()25x g x x =+A ．(0，1) B ．(1，2) C ．(一1，0) D ．(一2，一1)【答案】C【分析】判断函数的单调性，根据函数零点的判断条件即可得到结论．【详解】函数g （x ）单调递增，∵g （﹣1）＝2﹣1﹣5＜0，g （0）＝1＞0， ∴g （﹣1）g （0）＜0，即函数g （x ）在（﹣1，0）内存在唯一的零点，故选C ．【点睛】本题主要考查函数零点区间的判断，根据函数零点存在的条件是解决本题的关键． 3．下列函数中在其定义域内既是奇函数又是增函数的为（） A ．B ．()f x x =-()3xf x =C ．D ．()2f x x =()f x 【答案】D【分析】根据一次函数、指数函数、幂函数的单调性与奇偶性即可判断. 【详解】是奇函数，在R 上是减函数，A 不符；()f x x =-是非奇非偶函数，在R 上为增函数，B 不符；()3x f x =时偶函数，在定义域内不单调，C 不符；()2f x x =为奇函数，在R 上为增函数，D 符合题意.()13f x x ==故选：D.4．已知a=0.60.6，，c=1.50.6，则a ，b ，c 的大小关系是（） 0.2log 3b =A ．a<b<c B ．a<c<b C ．b<a<c D ．b<c<a【答案】C【分析】根据指数函数和对数函数的单调性比较大小即可.【详解】，，，所以. 0.600.61a <=<0.2log 30b =<0.61.51c =>b a c <<故选：C.5．不等式的解集为，则函数的图象为（）20ax x c -->{}21x x -<<2y ax x c =+-A ． B ． C ．D ．【答案】C【分析】由题意可得不等式对应的二次函数开口向下，对应的一元二次方程的两个根20ax x c -->为，即可求解得到，代入新函数分析开口和与轴的交点，即得解 122,1x x =-=1,2a c =-=-x 【详解】由题意，不等式的解集为 20ax x c -->{}21x x -<<故对应的二次函数开口向下2y ax x c =--对应的一元二次方程的两个根为20ax x c --=122,1x x =-=解得0,121,21,a a c a ⎧⎪<⎪⎪∴-+=⎨⎪⎪-⨯=-⎪⎩1,2,a c =-⎧⎨=-⎩则函数， 222(2)(1)y ax x c x x x x =+-+-+=-=-+为开口向下的二次函数，且与轴的交点为 x (1,0),(2,0)-故选：C 6．已知，且是第四象限角，则的值为（） 3π3cos()25α+=-αcos(3π)α-+A ．B ．C ．D ．4545-45±35【答案】B【分析】由诱导公式化简得，再由.3sin 5α=-cos(3π)cos αα-+=-=【详解】∵， 3π3cos()25α+=-∴．由是第四象限角，3sin 5α=-α∴．4cos(3π)cos 5αα-+=-=-故选：B.【点睛】本题主要考查了诱导公式及同角三角函数关系，属于基础题.7．若“函数的图象与轴正半轴相交”是“”的必要不充分条件，则实数的取223y x x a =-+-y a m >m 值范围是（） A ． B ． C ． D ．2m <m>21m >3m >【答案】D【分析】由二次函数的性质列不等式求函数与轴正半轴相交对应a 的范围，根据必要不充分关系y 即可得m 的范围.【详解】由的图象与轴正半轴相交，则，即， 223y x x a =-+-y 0|30x y a ==->3a >所以是的必要不充分条件，则. 3a >a m >3m >故选：D8．设函数是定义在实数集上的奇函数，在区间上是增函数，且，则有 ()f x [1,0)-(2)()f x f x +=-A ．B ．13()()(1)32f f f <<31(1)(()23f f f <<C ．D ．13(1)()()32f f f <<31((1)(23f f f <<【答案】A【分析】由题意可得，，再利用函数在11f f ,f (1)f (1)33⎛⎫⎛⎫=--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3112222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭区间上是增函数可得答案.[1,0)-【详解】解：为奇函数，， ()f x ()()f x f x ∴-=-又(2)()f x f x +=-，，11f f ,f (1)f (1)33⎛⎫⎛⎫∴=--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3112222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭又，且函数在区间上是增函数，1111023--<-<-≤ …[1,0)-，11f (1)f f 023⎛⎫⎛⎫∴-<-<-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11f (1)f f 23⎛⎫⎛⎫∴-->-->-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，31(1)23f f f ⎛⎫⎛⎫∴>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选A.【点睛】本题考查利用函数的单调性、奇偶性比较函数值的大小，考查利用知识解决问题的能力.二、多选题9．下列判断或计算正确的是（） A ．，使得 B ． 0x ∃∈R 02cos 3x =cos652sin(108)0︒-︒<C ．D ．()()sin 45cos 45αα︒-=︒+tan sin θ=【答案】BC【解析】对于A ，由余弦函数的值域进行判断；对于B ，利用诱导公式和三角函数的符号进行判断；对于C ，利用诱导公式进行判断；对于D ，利用同角三角函数的关系化简即可判断【详解】解：对于A ，由得，而，所以无解，所以A 错02cos 3x =03cos 2x =cos [1,1]x ∈-03cos 2x =误；对于B ，，所以B 正确； cos652sin(108)cos(68)(sin108)cos68sin1080︒-︒=-︒⋅-︒=-︒⋅︒<对于C ，，所以C 正确； ()()sin 45cos[90(45)]cos 45ααα︒-=︒-︒-=︒+对于D ，，所以D 错误， tan tan tan cos θθ=⋅故选：BC10．下列说法正确的有（）A ．函数在其定义域内是减函数 1()f x x=B ．命题“”的否定是“” 2,10x R x x ∃∈++>2,10x R x x ∀∈++≤C ．两个三角形全等是两个三角形相似的必要条件D ．若为R 上的奇函数，则为R 上的偶函数 ()y f x =()y xf x =【答案】BD【分析】直接结合函数的定义域，利用函数的单调性和奇偶性判断AD 的正误，利用命题的否定判断B 的正误，利用充分条件和必要条件的定义判断C 的正误. 【详解】选项A 中，函数定义域是，如图所示， 1()f x x=()(),00,∞-+∞U函数在定义域内不是连续的，在上是减函数，在上是减函数，不能说在定义域内是(),0∞-()0,∞+减函数，故错误；选项B 中，根据含有一个量词的命题的否定可知，命题“”的否定是是“2,10x R x x ∃∈++>”，故正确；2,10x R x x ∀∈++≤选项C 中，“两个三角形全等”，可推出“两个三角形相似”，反过来，“两个三角形相似”推不出“两个三角形全等”，故“两个三角形全等”是“两个三角形相似”的充分不必要条件，故错误；选项D 中，若为奇函数，则满足，故函数中，()y f x =()()f x f x -=-()()y g x xf x ==，故是偶函数，故正确.[]()()()()()g x xf x x f x xf x g x -=--=--==()()y g x xf x ==故选：BD.11．下列在(0，2π)上的区间能使cos x >sin x 成立的是（） A ．(0，) B ．(，) 4π4π54πC ．(，2π) D ．(，)∪(π，) 54π4π2π54π【答案】AC【解析】在同一平面直角坐标系中画出正、余弦函数的图象，用图像法解.【详解】在同一平面直角坐标系中画出y =sin x 和y = cos x 的图象，在(0，2π)上，当cos x ＝sin x 时，x ＝或x4π＝，结合图象可知满足cos x >sin x 的是(0，)和(，2π). 54π4π54π故选：AC ．【点睛】方法点睛：解不等式的常见类型： (1)一元二次不等式用因式分解法或图像法；(2)指对数型不等式化为同底的结构，利用单调性解不等式； (3)解抽象函数型不等式利用函数的单调性； (4)三角函数型不等式用图像法.12．已知定义在上的函数的图象是连续不断的，且满足以下条件：①，R ()f x x ∀∈R ()()f x f x -=；②，当时，都有；③.下列选项成立的（）12,(0,)x x ∀∈+∞12x x ≠()()12210f x f x x x ->-(1)0f -=A ． B ．若，则 (3)(4)>-f f (1)(2)-<f m f (,3)∈-∞m C ．若，则 D ．，，使得()0f x x>(,1)(0,1)x ∈-∞-⋃x ∀∈R ∃∈M R ()f x M ≤【答案】ACD【分析】由已知条件知在上为偶函数，且在上单调递减，即上单调递增，且()f x R (0,)+∞(,0)-∞上，上，最大值，即可判断各项的正误.(1,1)-()0f x >(,1)(1,)-∞-+∞ ()0f x <max ()(0)f x f =【详解】由①②知：在上为偶函数；在上单调递减，即上单调递增； ()f x R (0,)+∞(,0)-∞上，上，最大值.(1,1)x ∈-()0f x >(,1)(1,)x ∈-∞-⋃+∞()0f x <max ()(0)f x f =∴对于A ：，故正确；(3)(3)(4)f f f =->-对于B ：知，或，即或，故错误； (1)(2)-<f m f 12m ->12m -<-3m >1m <-对于C ：由时，有，故正确； ()0f x x>(,1)(0,1)x ∈-∞-⋃对于D ：上函数的图象是连续不断，可知，使有，故R ()f x max ()(0)M f x f ∃==x ∀∈R ()f x M ≤正确. 故选：ACD【点睛】关键点点睛：由题设的函数性质，确定函数的奇偶性、单调区间、函数值的符号以及最值，进而根据各选项的描述判断正误.三、填空题13．______． sin 300︒=【答案】【分析】利用三角函数的诱导公式化简，结合三角函数特殊值，即可求得答案. 【详解】sin 300sin(300360)sin(60)sin 60︒=︒-︒=-︒=-︒=故答案为：. 14．已知，求_________ tan 3α=sin(4)3cos()92sin()sin(7)2παπαπαπα-+--=-+-+【答案】-6【分析】根据诱导公式和同角三角函数基本公式化简求值即可. 【详解】原式=.sin 3cos tan 33362cos sin 2tan 23αααααα------===--+-+-+故答案为：-6.15．当时，不等式恒成立，则实数的最大值是___________． 1x >121x m x +≥-m【答案】## 2+2【分析】利用基本不等式求出的最小值，由此可得出实数的最大值. 121x x +-m 【详解】当时，，则1x >10x ->()1122122211xx x x +=-++≥=+--当且仅当 1x =因为当时，不等式恒成立，则1x >121x m x +≥-min1221m x x ⎛⎫≤+=+ ⎪-⎝⎭故答案为：.2+16．已知函数．若在上单调递减，则实数a 的取值范围是()()22log 4f x ax ax =-+()f x 1,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭________；【答案】[)2,0-【分析】根据复合函数的单调性和对数函数定义域的要求得到函数在上单调24y ax ax =-+1,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭递减，且在上恒成立，然后列不等式求解即可.240ax ax -+>1,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭【详解】当时，，不成立；0a =()2f x =当时，因为在上单调递减，0a ≠()f x 1,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭所以函数在上单调递减，且在上恒成立，24y ax ax =-+1,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭240ax ax -+>1,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭又的对称轴为, 24y ax ax =-+12x =所以，解得. 202240a a a <⎧⎨⨯-+≥⎩20a -≤<故答案为：.[)2,0-四、解答题17．已知集合，. {}27|A x x =-<<{}|121B x m x m =+≤≤-（1）当时，求，； 4m =A B ⋂A B ⋃（2）若，求实数m 的取值范围.A B A ⋃=【答案】（1），；（2）. {}57A B x x ⋂=≤<(2,7]A B ⋃=-(),4-∞【分析】（1）根据集合的交集、并集运算即得解；（2）转化为，分，两种情况讨论，列出不等式控制范围，求解即可 A B A ⋃=B A ⊆B =∅B ≠∅【详解】（1）当时，可得集合，， 4m ={}27A x x =-<<{}57B x x =≤≤根据集合的运算，可得，. {}57A B x x ⋂=≤<(2,7]A B ⋃=-（2）由，可得，A B A ⋃=B A ⊆①当时，可得，解得；B =∅121m m +>-2m <②当时，则满足，解得，B ≠∅12112217m m m m +≤-⎧⎪+>-⎨⎪-<⎩24m ≤<综上实数的取值范围是.m (),4-∞18．已知函数最小正周期为，图象过点.()()2sin (0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<π4π⎛ ⎝（1）求函数解析式()f x （2）求函数的单调递增区间.()f x 【答案】（1）；（2）. ()2sin(2)4f x x π=+()3,88k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦【分析】（1）利用周期公式可得,将点代入即得解析式;（2）由ω4π⎛ ⎝计算即可求得单调递增区间.()222242k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈【详解】（1）由已知得，解得. 2ππ=ω2ω=将点，可知4π⎛ ⎝2sin 24πϕ⎛⎫=⨯+ ⎪⎝⎭cos ϕ=由可知，于是.0ϕπ<<4πϕ=()2sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（2）令()222242k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈解得， ()388k x k k Z ππππ-+≤≤+∈于是函数的单调递增区间为. ()f x ()3,88k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查正弦函数的图像和性质,基础题. 19．已知函数是定义在上的函数． ()21xf x x =+()1,1-(1)判断并证明函数的奇偶性；()f x (2)判断函数的单调性，并用定义法证明； ()f x 【答案】(1)奇函数，证明见解析(2)f （x ）在（－1，1）上为单调递增函数，证明见解析【分析】（1）根据奇偶性的定义判断和证明即可；（2）根据单调性的定义判断和证明即可. 【详解】（1）函数f （x ）为奇函数证明如下：函数f （x ）的定义域为， ()1,1-. 2()()1xf x f x x --==-+所以函数f （x ）为奇函数.（2）f （x ）在上为单调递增函数 ()1,1-证明如下：设－1＜x 1＜x 2＜1，则. 1221121222221212()(1)()()11(1)(1)x x x x x x f x f x x x x x ---=-=++++因为－1＜x 1＜x 2＜1，，所以，222112120,10,(1)(1)0><>x x x x x x --++则.12)<)((f x f x 故f （x ）在上为单调递增函数. ()1,1-20．已知函数.()π2sin 226f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭(1)若，且，求的值；()3f α=()0,πα∈α(2)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()3f x m >-m 【答案】(1)π3(2) (),4-∞【分析】（1）根据已知条件求得，结合即可求解；1sin 262απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭()0,πα∈（2）根据的范围求得的范围，只需即可求解.x ()f x ()min 3f x m >-【详解】（1）因为，所以，即，()3f α=π2sin 2236α⎛⎫++= ⎪⎝⎭1sin 262απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭又由，得，()0,πα∈132666απππ<+<所以，解得. π5π266α+=π3α=（2）对，有， ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦2ππ7π2366x ≤+≤所以，可得1sin 226απ⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭()12f x ≤≤所以要使对任意的恒成立，()3f x m >-ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦只需， ()min 3f x m >-所以，解得：.31m -<4m <故所求实数的取值范围为.m (),4-∞21．某公司对两种产品A ，B 的分析如下表所示：产品类别年固定成本每件产品成本每件产品销售价格每年最多可生产的件数A20万元 m 万元 10万元 200件 B40万元 8万元 18万元 120件其中年固定成本与年生产的件数无关，m 为常数，且．另外，销售A 产品没有附加税，年[6,8]m ∈销售x 件，B 产品需上交万元的附加税．假定生产出来的产品都能在当年销售出去，并且该20.05x 公司只选择一种产品进行投资生产．（1）求出该公司分别投资生产A ，B 两种产品的年利润（单位：万元）与年生产相应产品的12,y y 件数x 之间的函数解析式，并指出定义域；（2）分别求出投资生产这两种产品的最大年利润，比较最大年利润，决定投资方案，该公司投资生产哪种产品可获得最大年利润？【答案】（1），其中；，其中1(10)20y m x =--{|0200,}x x x ∈N ……220.051040y x x =-+-；（2）答案见解析．{|0120,}x x x ∈N ……【分析】（1）利润等于单件产品的盈利与件数的乘积；（2）分别根据函数的类型确定单调性求出最大值，作差比较二者大小即得．【详解】（1），其中1(10)20y m x =--{|0200,}x x x ∈N ……，其中22210400.050.051040y x x x x =--=-+-{|0120,}x x x ∈N ……（2）∵，∴，∴在定义域上是增函数68m ……100m ->1y ∴当时，200x =()1max (10)200201980200y m m =--=-又，∴当时，220.05(100)460y x =--+100x =()2max 460y =()()12max max 19802004601520200y y m m -=--=-当时，即时，投资A 产品可获得最大年利润．15202000m ->67.6m <…当时，即时，投资A 或B 产品可获得最大年利润．15202000m -=7.6m =当时，即时，投资B 产品可获得最大年利润．15202000m -<7.68m <…22．已知,当时，. a R ∈0x >21()log f x a x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（1）若函数的图象过点，求此时函数的解析式；()f x (1,1)()f x （2）若函数只有一个零点，求实数a 的值.2()()2log g x f x x =+【答案】(1) (2) 或. 21()log 1f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭0a ≥14a =-【分析】（1）由计算；(1)1f =（2）只有一个解，由对数函数性质转化为方程只有一个正根，分，()0g x =210ax x +-=0a =和讨论． 0∆=0∆>【详解】（1）,当时，. a R ∈ 0x >21()log f x a x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭函数的图象过点，()f x (1,1)，解得，2(1)log (1)1f a ∴=+=1a =此时函数. 21()log 1f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（2）2()()2log g x f x x =+， ()22221log 2log log a x x ax x ⎛⎫=++=+ ⎪⎝⎭∵函数只有一个零点，2()()2log g x f x x =+只有一个正解，21ax x ∴+=∴当时，，满足题意；0a =1x =当时，只有一个正根，若，解得，此时，满足题0a ≠210ax x +-=214(1)0a ∆=-⨯-=14a =-2x =意；若方程有两个相异实根，则两根之积为，此时方程有一个正根，符合题210ax x +-=100a a-<>，意；综上，或. 0a ≥14a =-【点睛】本题考查函数零点与方程根的分布问题．解题时注意函数的定义域，在转化时要正确确定　方程根的范围，对多项式方程，要按最高次项系数为0和不为0进行分类讨论．。

广东高一高中数学期中考试带答案解析

广东高一高中数学期中考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.化为弧度制为（）A．B．C．D．2.已知角的终边经过点P(4，－3)，则的值等于( )A．B．C．D．3.函数的定义域为（）A．R B．[1，10]C．D．（1，10）4.函数是（）A．最小正周期为的奇函数B．最小正周期为的偶函数C．最小正周期为的奇函数D．最小正周期为的偶函数5.已知向量，向量，且与的夹角为，则在方向上的投影是（）A．B．C．D．6.为了得到函数的图象，只需把函数的图象（）A．向左平移个长度单位B．向右平移个长度单位C．向左平移个长度单位D．向右平移个长度单位7.设，则（）A．B．C．D．8.在中，有命题①；②；③若，则为等腰三角形；④若，则为锐角上述命题正确的是（）A①② B①④ C②③ D②③④9.设是定义域为，最小正周期为的函数。

若，则等于（）A．1B．C．0D．10.数列的通项公式，其前项和为，则等于( )A．1006B．2012C．503D．0二、填空题1.某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高一年级抽取 _ ；2.已知，则________；3.已知，,且,则；4.函数在区间上的最小值为________；5.如图，在中，，，则= ，= ；三、解答题1.如图，设、是平面内相交成角的两条数轴，、分别是与轴、轴正方向同向的单位向量。

若向量，则把有序实数对叫做向量在坐标系中的坐标。

若，则=2.已知（1）若的夹角为45°，求；（2）若，求与的夹角．3.已知．（1）化简；（2）若，且是第二象限角，求的值．4.设函数（1）求解析式；（2）求函数的单调递减区间；（3）在给出的直角坐标系中用“五点作图法”画出函数在上的图像．（要求列表、描点、连线）5.已知等差数列首项，公差为，且数列是公比为4的等比数列，（1）求；（2）求数列的通项公式及前项和；（3）求数列的前项和．6.已知函数．（1）求函数的零点；（2）若方程在上有解，求实数的取值范围．7.已知数列的前项和为，且．(1)求数列的通项公式；(2)令，数列的前项和为，若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围．广东高一高中数学期中考试答案及解析一、选择题1.化为弧度制为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为180度是π弧度，那么可知故答案为A.【考点】弧度制与角度制的互化点评：本试题考查了弧度制的概念，以及弧度和角度的互化，同时考查了运算能力，属于基础题。

2017-2018广东省广州市天河区华南师范大学附属中学高一上期中(含解析)数学真题卷

华南师大附中 2017-2018 学年度第一学期期中考试高一数学（必修一）第一卷（选择题共 60 分）一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知全集U =Z ，{}2,1,1,2A =--，{}2|320B x x x =-+=，则()U A B = ð（）． A ．{}1,2B ．{}1,2--C ．{}1,2-D ．{}1,2-【答案】B【解析】{}2|320B x x x =-+=，2320x x -+=， (1)(2)0x x --=，11x =，22x =，∴{}1,2B =，又{}2,1,1,2A =--， ∴{}()1,2U A B =-- ð．故选B ．2．若函数32()22f x x x x =+--的一个正数零点的附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：那么方程32220x x x +--= A ．1.2 B ．1.3 C ．1.4 D ．1.5【答案】C【解析】由图中参考数据可得(1.43750)0f >，(1.40625)0f <，又因为题中要求精确到0.1，所以近似根为1.4．故选C ．3．函数()lg(10)f x x =-的定义域为（）．A ．RB ．(,1)(1,)-∞-+∞C ．[1,10]D ．(1,10)【答案】D【解析】本题主要考查函数的定义域．对于函数2()lg(10)f x x =-，0≠，10x ->且100x ->，故定义域为{}|110x x <<．故选D ．4．设集合A =R ，集合{}|0B y y =>，下列对应关系中是从集合A 到集合B 的映射的是（）．A ．||x y x →=B ．21(1)x y x →=-C ．12xx y ⎛⎫→= ⎪⎝⎭D ．x y →=【答案】C【解析】∵|0|0=，而0+∉R ，集合A 中的元素0在集合B 中没有像，故选项A 不是映射．对于选项B ，集合A 中的元素1在集合B 中没有像，故选项B 不是映射．对于选项C ，集合A 中的所有元素在集合B 中都有唯一的像和它对应，故选项C 是映射．对于选项D ，由于函数的定义域不是R ，故选项D 不是映射．故选C ．5．若2log 3a =，3log 2b =，1log 23c =，21log 3d =，则a ，b ，c ，d 的大小关系是（）．A ．a b c d <<<B ．d b c a <<<C ．d c b a <<<D ．c d a b <<< 【答案】A【解析】由于函数0.5log y x =在(0,)+∞上是减函数，故有0a b <<．再由01c <<，0.30221d =>=，可得a b c d <<<．故选A ．6．设函数2,0()(),0x x f x g x x ⎧>=⎨<⎩若()f x 是奇函数，则(2)f -的值是（）．A ．14B ．4C ．14-D ．4-【答案】C 【解析】由()f x 是奇函数得()()f x f x =--，再由0x <时，()2x f x =，求出()g x 的解析式，再求出(2)g 的值． ∵()f x 为奇函数，0x <时，()2x f x =，∴0x >时，1()()22xxf x f x -=--=-=-，即1()2x g x =-，1(2)4f =-．故选C ．7．设函数1()ln (0)3f x x x x =->，则()y f x =（）．A ．在区间1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭，(1,e)内均有零点B ．在区间1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭，(1,e)内均无零点C ．在区间1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭内有零点，在区间(1,e)内无零点D ．在区间1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭内无零点，在区间(1,e)内有零点【答案】D【解析】由题得3()3x f x x -'=，令()0f x '>得3x >，令()0f x '<得03x <<，()0f x '=得3x =，故知函数()f x 在区间(0,3)上为减函数，在区间(3,)+∞为增函数，在点3x =处有极小值1ln 30-<，又1(1)03f =>，e(e)103f =-<，1110e 3ef ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭．故选D ．8．已知函数2x y =与函数()y f x =的图象关于直线y x =对称，则不等式210f x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭≤的解集为（）．A ．(2,1]--B ．[2,1]--C ．(,1][0,)-∞-+∞D ．(2,0)-【答案】B【解析】∵函数2x y =与函数()y f x =的图象关于直线y x =对称， ∴2()log f x x =，∴221010f x x ⎛⎫⎛⎫--⇔-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≤≤，∴2011x <--≤，∴221x-<-≤，解得21x -<-≤．故选B ．9．函数2()log |1|f x x =-的大致图象是（）．A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】2()log |1|f x x =-中函数有定义，则|1|0x ->，即{}|1x x x ∈≠，则排除B ，C ，D ．故选A ．10．已知函数22,1()log ,1a x ax x f x x x ⎧-+-⎪=⎨>⎪⎩≤在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是（）．A ．03a <≤B ．2a ≥C ．23a ≤≤D ．02a <≤或3a ≥【答案】C【解析】当1x ≤时，2()2f x x ax =-+-的对称轴为2ax =，由递增可得，12a≤，解得2a ≥，当1x >时，()log a f x x =递增，可得1a >，由x ∈R ，()f x 递增，即有12log 10a a -+-=≤，解得3a ≤．综上可得，a 的范围是23a ≤≤．故选C ．11．设函数()f x 定义在实数集上，(1)(1)f x f x +=-，且当1x ≥时，1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则有（）．A ．11(2)32f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．11(2)23f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．11(2)23f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．11(2)32f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】D【解析】由(1)(1)f x f x +=-，得函数()f x 关于1x =对称，当1x ≥时，1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，为减函数，则当1x ≤时，函数()f x 为增函数， ∵(2)(11)f f =+ (11)f =- (0)f =，∴11(0)32f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即11(2)32f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选D ．12．已知函数2|21|,1()log (),1x x f x x m x +<⎧=⎨->⎩，若123()()()f x f x f x ==（1x 、2x 、3x 互不相等），且123x x x ++的取值范围为(1,8)，则实数m 的值为（）． A ．0B ．1-C ．1D ．2【答案】C【解析】作出()f x 的图象，如图所示，可令123x x x <<，则有图知点1(0)x ，2(,0)x关于直线12x =-对称，所以121x x +=-，又12318x x x <++<，所以329x <<，由于123()()()f x f x f x ==（1x 、2x 、3x 互不相等），结合图象可知点A 的坐标为(9,3)，代入函数解析式，得23log (9)m =-，解得1m =．故选C ．第二卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知函数2()(1)1(0)x g x a a -=++>的图象恒过定点A ，则点A 的坐标为__________．【答案】(2,2)A【解析】解：令20x -=得2x =，则0(2)(1)12g a =++=，所以函数()g x 的图象恒过定点(2,2)A ．14．已知幂函数223()()mm f x x m --=∈Z 的图象关于y 轴对称，并且()f x 在第一象限是单调递减函数，则m =__________．【答案】1【解析】因为幂函数223()()m m f x x m --=∈Z 的图象关于y 轴对称，所以函数()f x 是偶函数， ∴223m m --为偶数， ∴22m m -为奇数，故1m =．15．函数212()log (23)f x x x =--的单调递增区间为__________．【答案】(,1)-∞-【解析】函数的定义域为{}|31x x x ><-或，令223t x x =--，则12log y t=，因为12log y t=在(0,)+∞单调递减223t x x =--在(,1)-∞-单调递减，在(3,)+∞单调递增，由复合函数的单调性可知函数的单调增区间为(,1)-∞-．故答案为：(,1)-∞-．16．已知函数2()|log |f x x =，正实数m ，n 满足m n <，且()()f m f n =，若()f x 在区间2[,]m n 上的最大值为2，则n m +=__________．【答案】52【解析】由对数函数的性质知 ∵2()|log |f x x =正实数m ，n 满足m n <，且()()f m f n =， ∴01m n <<<，以及1mn =，又函数在区间2[,]m n 上的最大值为2，由于()()f m f n =，2()2()f m f m =，故可得2()2f m =，即22|log |2m =，即22log 2m =-，即214m =，可得12m =，2n =，则52m n +=．三、解答题（本大题共6小题，满分70分．解答应写出文字说明、演算步骤和推证过程） 17．（本小题满分10分）（1）计算0141333270.064[(2)]|0.01|8-⎛⎫--+-+- ⎪⎝⎭．（2）2log 33lg2524++．【答案】见解析．【解析】（1）0141333270.064[(2)]|0.01|8-⎛⎫--+-+- ⎪⎝⎭4113323320.41(2)0.01⎛⎫⨯-⨯⨯ ⎪⎝⎭=-+-+41170.41(2)0.1121616-=-+-+=-+=-．综上所述，结论是：716-．（2）2log 33lg2524++原式3232lg53lg 24=⨯⨯++3(lg5lg2)32=++ 39322=+=．18（本小题满分12分）设集合{}|2,12xA y y x ==≤≤，{}|0ln 1B x x =<<，{}|12,C x t x t t =+<<∈R ．（1）求A B ．（2）若A C C = ，求t 的取值范围．【答案】见解析．【解析】（1）{}|24A y y =≤≤，{}|1e B x x =<<，所以{}|2e A B t t =< ≤．（2）因为A C C = ，所以C A ⊆，若C 是空集，则21t t +≤，得到1t ≤，若C 非空，则122412t t t t +⎧⎪⎨⎪+<⎩≥≤，得12t <≤，综上所述，2t ≤，即t 的取值范围是(,2]-∞． 19．（本小题满分12分）已知函数2()1ax bf x x +=+是定义在(1,1)-上的奇函数，且1225f ⎛⎫= ⎪⎝⎭．（1）确定函数()f x 的解析式．（2）当(1,1)x ∈-时判断函数()f x 的单调性，并证明．【答案】见解析．【解析】解：（1）由题意可知()()f x f x -=-，∴2211ax b ax bx x-++=-++， ∴0b =， ∴2()1axf x x =+，又∵1225f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴1a =，∴2()1xf x x =+．（2）当(1,1)x ∈-时，函数()f x 是增函数，证明如下：对于任意1x 、2(1,1)x ∈-，且12x x <，则22221221112211221222222211212()(1)()()11(1)(1)(1)(1)x x x x x x x x x x x x f x f x x x x x x x +-----=-==++++++， ∵1211x x -<<<， ∴210x x ->，1210x x ->，又∵2110x +>，2210x +>， ∴21122212()(1)0(1)(1)x x x x x x -->++， ∴21()()0f x f x ->，所以在(1,1)-上单调递增． 20．（本小题满分12分）提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v （单单位：千米/小时）是车流密度x （单位：辆/千米）的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当20200x ≤≤时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数．（Ⅰ）当0200x ≤≤时，求函数()v x 的表达式．（Ⅱ）当车流密度x 为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）()()f x x v x =⋅可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/小时）．【答案】见解析．【解析】（Ⅰ）由题意：当020x ≤≤时，()60v x =；当20200x <≤时，设()v x ax b =+，再由已知得20002060a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得132003a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故函数()v x 的表达式60,020()1(200),202003x v x x x <⎧⎪=⎨-⎪⎩≤≤≤．（Ⅱ）依题并由（Ⅰ）可得60,020()1(200),202003x x f x x x x <⎧⎪=⎨-⎪⎩≤≤≤，当020x ≤≤时，()f x 为增函数，故当20x =时，其最大值为60201200⨯=，当20200x ≤≤时，211(200)10000(20)33(0)32x x x f x x +-⎡⎤-=⎢⎥⎣=⎦≤，当且仅当200x x =-，即100x =时，等号成立．所以，当100x =时，()f x 在区间(20,200]上取得最大值100003．综上所述，当100x =时，()f x 在区间[0,200]上取得最大值为1000033333≈。

广东省华南师范大学附属中学2016-2017学年高一上学期期末考试数学试题Word版含解析

A． π 6
B． π 3
【答案】 B
【解析】设 a 与 b 的夹角是 a ，
C． 2π 3
D． 5π 6
∵ (a 2b) a ，
∴ (a 2b) a 0 ，即 | a |2 2a b 0 ，①
又∵ (b 2a) b ，∴ (b 2a ) b 0 ，即 | b |2 2a b 0 ．②，
由①②知 | a | |b | ， a b 1 | a |2 1 | b |2 ，
对于 D ，由于符合向量的加法法则，那么可知结论成立，选
D．
2．已知角 600 的终边上有一点 ( 4,a) ，则 a 的值是（）．
A． ห้องสมุดไป่ตู้ 3
B． 4 3
C． 4 3
【答案】 B
【解析】解：因为 tan 600 a tan(540 60 ) tan60
3，
4
所以 a 4 3 ，故选 B ，故答案为： B ．
)|
π | 的图象向左平移
π个单位后得到
2
6
y sin 2x π 3
| | π， 2
因为其图像关于原点对称，故 sin π
B
G
D
A
O
C
1 A．
5 【答案】 C
1 B．
2
【解析】本题主要考查平面向量的运算．
有 CD
AD
1 AC AB (
1)AC ，
5
因为 BG
2GO ，则 OG
1 OB ，
3
有 AG AO OG ，
6 C．
5
D． 2
1
1
1
2
1
1
AO OB AO (OA AB) AB AO AB AC ，

广东省广州市华南师大附中2018_2019学年高一数学上学期10月月考试题(含解析)

广东省广州市华南师大附中2018-2019学年高一数学上学期10月月考试题（B卷）（含解析）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用集合的交集的定义求A∩B.【详解】已知,借助数轴,易知故选B【点睛】利用交集定义求集合的交集，可借助数轴或韦恩图直接解答.2.f（x）是一次函数且2f（1）+3f（2）=3，2f（-1）-f（0）=-1，则f（x）等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：设f(x)=ax+b，∵2f（1）＋3f（2）＝3，2f（－1）－f（0）＝－1，∴8a+5b=3,2a-b=1，解得a=，∴f（x）=，故选C考点：本题考查了函数解析式的求法点评：当函数的特征已知时，常常用待定系数法求解函数的解析式，属基础题3.函数的定义域是（）A. B. C. D.【解析】【分析】根据二次根式被开方数大于等于0，求解分式不等式和一元二次不等式，最后将解得的x的范围取交集.【详解】要使二次根式有意义，则，由①得：（x+2）（1-x）≥0且x≠1，解得：-2≤x＜1，解②得：x≤-1或x≥2．故原函数的定义域为{x|-2≤x≤-1}．故选：A【点睛】本题考查了函数的定义域，考查了分式不等式和一元二次不等式的解法，注意原函数的定义域为两个不等式解集的交集 .4.下列函数中在上单调递减的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】结合初等基本函数在区间上单调性判断.【详解】A中在（-∞，-1）和（-1，+∞）上是增函数，B中，y=1-x2在（-∞，0）上是增函数，C中，y=x2+x=，在（-∞，-）上是减函数，在（-，+∞）上是增函数，D中，y=，定义域为（-∞，1],根据复合函数的单调性，函数在（-∞，1]是减函数，故选：D【点睛】本题考查函数的单调性的判断，涉及基本初等函数的性质；判断复合函数的单调性，可依据“同增异减”判断，即两个函数单调性不一致，其复合函数为减函数.5.已知，那么=（）A. 3B.C. 4D.【解析】【分析】本题首先可以根据题意判断出的函数解析式，得出，然后再根据计算出的值即可得出结果.【详解】因为，所以，因为，所以，，，因为，所以，故选B.【点睛】本题考查函数的相关性质，在解题的过程中要注意发现规律，比如本题中的，考查计算能力，锻炼了学生的观察能力，是简单题.6.设,则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据函数y=0.6x在R上单调性，可得y2＜y3．再根据函数y=的单调性，可得y1＜y2，即可得解.【详解】根据函数y=0.6x在R上单调递减，可知,即y2＜y3，根据函数y=在（0，+∞）上是增函数，可知，即y1＜y2综上，，故选B【点睛】本题考查了幂的大小比较问题，若底数相同，指数不同，可通过指数函数的单调性比较；若指数相同，底数不同，可利用幂函数的单调性比较.7.函数的零点所在的区间是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】应用函数零点存在性定理判断. 【详解】易知函数f（x）=在定义域上连续，且f()=<0 , f（1）= -1<0 , f(2)= , ,根据函数零点存在性定理，可知零点所在区间为，故选B.【点睛】本题考查了函数零点的判定定理的应用，判断函数零点所在区间有三种常用方法，①直接法，解方程判断，②定理法，③图象法.8.设函数，若对任意的都满足成立，则函数可以是（）A. B.C. D. 不存在这样的函数【答案】B【解析】【分析】分情况讨论，得不等式，进而依次判断即可.【详解】当x为无理数时，f（x）=0，xf（x）≤g（x）⇔0≤g（x），当x为有理数时，f（x）=1，xf（x）≤g（x）⇔x≤g（x），若g（x）=x，当x= -，时g（x）<0，即A不正确若g（x）=，已知对任意实数，x≤，且故当x为有理数或无理数时，不等式恒成立，即B正确；若g（x）=x2，当x=，则g （）=，，即C不正确；故选B【点睛】本题考查了分段函数、函数恒成立问题，考查了分析问题解决问题的能力．难度一般．9.已知方程有两个正根，则实数的取值范围是（）A. B. C.D.【答案】D【解析】【分析】首先根据方程有两个正根得到、以及，进而构造出关于的不等式组，然后通过解不等式组并取交集即可求出实数的取值范围．【详解】若方程有两个正根，由韦达定理可得：，，解得，又由得，解得或者，故，故选D.【点睛】本题考查的知识点是二次函数的性质以及一元二次方程的根与系数的关系，其中通过韦达定理（一元二次方程根与系数的关系）结合题目给出的条件构造出关于的不等式组，是解答本题的关键.10.已知函数，若，，则（）A. B.C. D. 与的大小不能确定【答案】A【解析】【分析】判断f（x1）-f（x2）的正负即可【详解】f（x1）-f（x2）=（ax12+2ax1+4）-（ax22+2ax2+4）=a（x1-x2）（x1+x2）+2a（x1-x2）=a（x1-x2）（x1+x2+2）因为a＞0，x1＜x2，x1+x2=0所以x1-x2＜0，x1+x2+2＞0所以f（x1）-f（x2）＜0即f（x1）＜f（x2）．故选A【点睛】本题考查了函数值作差法比较大小，作差，判断式子的正负，也是判断函数单调性的一种常用方法.11.设整数，集合,令集合，且三条件,、恰有一个成立．若和都在中，则下列选项正确的是（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】B【解析】【分析】本题可以采用特殊值排除法，可以取、、、，然后根据题意即可判断出以及与的关系，即可排除错误选项，得出答案.【详解】取、、、，显然满足和都在中，此时，，故A、C、D均错误，只有B成立，故选B．【点睛】本题考查简单的合情推理，能否正确的取用特殊值并采用特殊值验证法是解决问题的关键，考查推理能力，锻炼了学生的阅读理解能力，是简单题.12.设函数，则下列命题中正确的个数是（）①当时，函数在上是单调增函数；②当时，函数在上有最小值；③函数的图象关于点对称；④方程可能有三个实数根.A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】【分析】将转化为分段函数，进而分别判断.【详解】= ,当b>0时,结合一元二次方程根与系数的关系，可判断y=，在（-，0 ）上是增函数，y=，在[0,+)上是增函数，且x=0时，函数图象连续，故f（x）在R上是单调增函数.故①正确；当b＜0时，f（x）的值域是R，没有最小值，故②错误；若f（x）=|x|x+bx，f（-x）=-f（x），故函数f（x）是奇函数，即函数f（x）的图象关于（0，0）对称．而函数f（x）=|x|x+bx+c的图象是由函数f（x）=|x|x+bx的图象向上（下）平移个单位，故图象一定是关于（0，c）对称的，故③正确；令b=-2，c=0，则f（x）=|x|x-2x=0，解得x=0，2，-2．所以④正确．故选C.【点睛】本题考查了分段函数的单调性、对称性和最值问题，若题目中含有绝对值，通常采取去绝对值的方法，进行分类讨论；函数的对称性问题一般转化为分析函数的奇偶性，再根据函数图象的平移进行判断；存在性的命题，一般可通过特殊值法来解决．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.设集合，集合，则集合中的元素个数为______．【答案】6【解析】【分析】本题首先可以根据题意可知、、，然后依次计算出的所有可能的值并消去相同的结果，即可得出答案.【详解】因为，，，所以的可能结果有种，依次是，所以中有个元素，故答案.【点睛】本题考查了集合与元素之间的关系，考查了推理能力与计算能力，在计算集合中的元素的个数的时候，需要注意元素的互异性，属于基础题.14.已知，则=______．【答案】【解析】【分析】本题首先可以根据题意令，求出，再将带入中进行计算，即可得出的值.【详解】因为，令，解得，所以，故答案为.【点睛】本题考查了函数的解析式的相关性质，考查了如何利用函数的解析式求函数值，考查了计算能力，体现了基础性，提高了学生对函数的理解，是基础题目.15.已知函数分别是定义在上的偶函数和奇函数，且它们在上的图象如图所示，则不等式在上的解集是________.【答案】【解析】【分析】不等式的解集，与f（x）g(x)0且g（x）0的解集相同，观察图象选择函数值同号的部分，再由f（x）是偶函数，g（x）是奇函数，得到f（x）g（x）是奇函数，从而求得对称区间上的部分解集，最后两部分取并集即可.【详解】将不等式转化为f（x）g(x)0且g（x）0，如图所示：满足不等式的解集为：（1,2]∵y=f（x）是偶函数，y=g（x）是奇函数∴f（x）g（x）是奇函数,故在y轴左侧，满足不等式的解集为(-3,-2](-1,0)故不等式在上的解集是(-3,-2](-1,0)（1,2]【点睛】本题考查了函数的奇偶性在解不等式中的应用，考查了数形结合，转化，分类讨论等思想方法，根据函数奇偶性的性质以及数形结合是解决本题的关键.16.已知函数的值域为，若关于的不等式的解集为，则实数的值为______.【答案】9【解析】【分析】本题首先可以根据“函数的值域为”判断出函数的，并根据判断出与的关系，然后通过“不等式的解集为”即可得出方程的两根之差为并写出以及的值，最后通过即可得出结果.【详解】因为函数的值域为，所以，，因为不等式的解集为，所以，，所以方程的两根之差为，因为，，，所以，，，综上所述，实数的值为.【点睛】本题考查函数的相关性质，主要考查函数的根与函数所对应的的方程的之间的关系，考查韦达定理的应用，考查函数方程思想，考查了化归与转化思想，考查了学生的计算能力，是中档题.三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.（）计算．（）．【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：根据实数指数幂和对数的运算公式，即可化简求得各式的值．试题解析：（）．综上所述，结论是：．（）原式．18.已知全集.（1）求；（2）求．【答案】（1）；（2），. 【解析】【分析】（1）根据交集、并集的概念求解即可；（2）根据（1）的解和补集的概念求解即可.【详解】（1）A∩B＝［－1，3］∩［－2，2）＝［－1，2），A∪B＝［－1，3］∪［－2，2）＝［－2，3］；（2）＝（－，－1）∪［2，＋），＝（－，－2）∪（3，＋）.【点睛】本题考查的是集合的运算，在解题的过程中，需要明确集合的运算法则，注意对应集合与元素的关系，从而求得结果．19.已知集合,,，且,求的取值范围.【答案】解：，当时，，而则这是矛盾的；当时，，而，则；当时，，而，则；∴【解析】【分析】先分类讨论A是否是空集，再当A不是空集时，分-2≤a＜0，0≤a≤2，a＞2三种情况分析a 的取值范围，综合讨论结果，即可得到a的取值范围【详解】若A=∅，则a＜-2，故B=C=∅，满足C B；若A∅，即a-2，由在上是增函数，得，即①当时，函数在上单调递减，则，即，要使,必须且只需，解得，这与矛盾；②当时，函数在上单调递减，在上单调递增，则，即，要使,必须且只需，解得；③当时，函数在上单调递减，在上单调递增，则，即，要使,必须且只需，解得；综上所述，的取值范围是.【点睛】本题考查了通过集合之间的关系求参数问题，考查了分类讨论的数学思想，要明确集合中的元素，对集合是否为空集进行分类讨论，做到不漏解．20.某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时．某地上班族中的成员仅以自驾或公交方式通勤．分析显示：当中（）的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为（单位：分钟），而公交群体的人均通勤时间不受影响，恒为分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：（1）当在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？（2）求该地上班族的人均通勤时间的表达式；讨论的单调性，并说明其实际意义．【答案】(1) 时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间;(2)见解析.【解析】【分析】（1）由题意知求出f（x）＞40时x的取值范围即可；（2）分段求出g（x）的解析式，判断g（x）的单调性，再说明其实际意义．【详解】（1）由题意知，当时，，即，解得或，∴时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间；（2）当时，；当时，；∴；当时，单调递减；当时，单调递增；说明该地上班族中有小于的人自驾时，人均通勤时间是递减的；有大于的人自驾时，人均通勤时间是递增的；当自驾人数为时，人均通勤时间最少．【点睛】本题考查了分段函数的应用问题，也考查了分类讨论与分析问题、解决问题的能力．21.已知是定义在上的奇函数，且，若，时，有成立．（1）判断在上的单调性，并证明；（2）解不等式：；（3）若对所有的恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）在上单调递增，证明见解析；（2）；（3）或或．【解析】试题分析：（1）由单调性和奇偶性的定义可得,可证在上单调递增；（2）由（1）得,再由定义域解得的取值范围；（3）由（1）可得在有最大值,不等式转化为对恒成立,令,分类讨论:可得结论．试题解析：（1）任取，且，则∵为奇函数，∴由已知，又，∴，即．∴在上单调递增．（2）∵在上单调递增．∴，∴故原不等式的解集为．（3）∵，在上单调递增．∴在上，，问题转化，即对恒成立，设， ①若，则，对恒成立，②若，则为的一次函数，若对恒成立，必须，且，∴或综上，实数的取值范围是或或．考点：函数的奇偶性；函数的单调性；不等式的恒成立问题．【易错点睛】本题主要考查了函数的定义域；函数的单调性．对于函数的单调性的考察首先一定要注意对函数的定义域的考虑,对于函数奇偶性的考察也要注意这个问题．其次对于单调性的应用:函数的单调性,的大小,的大小,三者之间若知其二,则可得到第三个结论．函数的单调性是函数的重要性质,是高考的重点和热点内容．22.对于定义域为的函数，如果同时满足以下三条：①对任意的，总有；②；③若，都有成立，则称函数为理想函数． (1) 若函数为理想函数，求的值；(2)判断函数是否为理想函数，并予以证明； (3) 若函数为理想函数，假定，使得，且，求证：．【答案】（1）．（2）理想函数．【解析】本题考查函数值的求法，解题时要认真审题，注意挖掘题设的中的隐含条件，注意性质的灵活运用．（1）取x1=x2=0可得f（0）≥f（0）+f（0）⇒f（0）≤0，由此可求出f（0）的值．（2）g（x）=2x-1在[0，1]满足条件①g（x）≥0，也满足条件②g（1）=1．若x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1，满足条件③，收此知故g（x）理想函数．（3）由条件③知，任给m、n∈[0，1]，当m＜n时，由m＜n知n-m∈[0，1]，f（n）=f（n-m+m）≥f（n-m）+f（m）≥f（m）．由此能够推导出f（x0）=x0。

广东省广州市华南师大附中2018_2019学年高一数学上学期10月月考试题(含解析)

广东省华南师范大学附属中学2016-2017学年高一上学期期末考试数学试题 Word版含解析

华南师大附中2016-2017学年第一学期期末考试高一年级数学考试（考试时间：120分钟，满分：100分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是复核题目要求的．）1．下列命题中正确的是（）． A ．OA OB AB -=B ．0AB BA +=C ．00AB ⋅=D ．AB BC CD AD ++=【答案】D【解析】对于A ，由于两个向量共起点，因此OA OB BA -=，因此错误，对于B ，由于向量的首尾相接，因此可知和向量为起始向量的起点，指向终向量的终点的向量，故可知结果为零向量，不是数，而是向量，错误．对于C ，由于零与任何向量的数量积为零向量，因此错误．对于D ，由于符合向量的加法法则，那么可知结论成立，选D ．2．已知角600︒的终边上有一点(4,)a -，则a 的值是（）．A ．B ．-C ．±D 【答案】B【解析】解：因为tan 600tan(54060)tan 604a︒==︒+︒=︒=-所以a =-B ，故答案为：B ．3．函数2π3cos 56y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的最小正周期是（）．A ．2π5B ．5π2C ．2πD ．5π【答案】D【解析】∵23cos 56x y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，25ω=，∴2π5πT ω==．4．函数1sin (0π)2y x ϕϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭≤≤是R 上的偶函数，则ϕ的值是（）．A ．0B ．π4C ．π2D ．π【答案】C【解析】解：∵1sin 2y x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭是R 上的偶函数，则11sin sin 22x x ϕϕ⎛⎫⎛⎫-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即sin cos cos sin sin cos cos sin 2222x x x xϕϕϕϕ-+=+，即2sin cos 02xϕ=成立，∴cos 0ϕ=，又∵0πϕ≤≤， ∴π2ϕ=． ∴选C ．5．已知向量(cos ,sin )a θθ=，向量(3,1)b =-，则|2|a b -的最大值，最小值分别是（）．A ．0B ．4，C ．16，0D ．4，0【答案】D【解析】本题主要考查平面向量的数量积和坐标运算．设|2|y a b =-，则2222π|2|4488sin 3y a b a b a b θ⎛⎫=-=+-⋅=+- ⎪⎝⎭，因为[]πsin 1,13θ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，所以2y 的最大值为16，最小值为0，即|2|a b -的最大值为4，最小值为0．故本题正确答案为D ．6．已知ABC △是锐角三角形，sin sin P A B =+，cos cos Q A B =+，则（）．A ．P Q >B ．P Q <C ．P Q =D ．P 与Q 的大小不能确定【答案】A【解析】(sin sin )(cos cos )2sincos 2cos cos 2222A B A B A B A BP Q A B A B +-+--=+-+=-，2cossin 2cos 222A B A B A B -++⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由于是锐角三角形18090A B C +=︒->︒，所以452A B+>︒， sin2cos 22A B A B++>， 0A <，90B <︒，所以45452A B--︒<<︒， cos02A B->，综上，知P Q P Q ->>．7．曲线sin (0,0)y A x a A ωω=+>>在区间2π0,ω⎡⎤⎢⎥⎣⎦上截直线2y =及1y =-所得的弦长相等且不为0，则下列对A ，a 的描述正确的是（）．A ．12a =，32A >B ．12a =，32A ≤ C ．1a =，1A ≥ D ．1a =，1A ≤ 【答案】A【解析】由题意可知2y =，1y =-关于函数中心轴对称，所以中心轴12y =，即12a =，弦长不为0，所以12y =，2y =的距离小于A ， ∴32A >．8．若a ，b 是非零向量且满足(2)a b a -⊥，(2)b a b -⊥，则a 与b 的夹角是（）．A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6【答案】B【解析】设a 与b 的夹角是a ， ∵(2)a b a -⊥， ∴(2)0a b a -⋅=，即2||20a a b -⋅=，①又∵(2)b a b -⊥，∴(2)0b a b -⋅=，即2||20b a b -⋅=．②，由①②知||||a b =，2211||||22a b a b ⋅==， ∴221||12cos ||||||2a ab a b a α===． ∴a 与b 的夹角为π3．9．已知函数()y f x =的图象上的每一点的纵坐标扩大到原来的4倍，横坐标扩大到原来的2倍，然后把所得的图象沿x 轴向右平移π2个单位，这样得到的曲线和2sin y x =的图象相同，则已知函数()y f x =的解析式为（）．A ．1()sin 22f x x =B ．1()cos22f x x =C ．1()sin 2f x x =D ．1()cos 2f x x =【答案】【解析】10．如图，在ABC △中，BO 为边AC 上的中线，2BG GO =，设CD AG ∥，若1()5AD AB AC λλ=+∈R ，则λ的值为（）． D ABCOGA ．15B ．12C ．65D ．2【答案】C【解析】本题主要考查平面向量的运算．有1(1)5CD AD AC AB AC λ=-=+-，因为2BG GO =，则13OG OB =，有AG AO OG =+，111211()333333AO OB AO OA AB AB AO AB AC =+=++=+=+，由CD AG ∥可知1131153λ-=，解得65λ=．故本题正确答案为C ．11．函数π()sin(2)||2f x x ϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭的图象向左平移π6个单位后关于原点对称，则函数()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为（）． A．B ．12-C ．12D【答案】A【解析】由已知，将π()sin(2)||2f x x ϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭的图象向左平移π6个单位后得到ππsin 2||32y x ϕϕ⎛⎫⎛⎫=++< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，因为其图像关于原点对称，故πsin 03ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则ππ3k ϕ+=，ππ3k ϕ=-，因为π||2ϕ<，故π3ϕ=-，则π()sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，因为π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故ππ2π2333x --≤≤，所以函数()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为πsin 3⎛⎫-= ⎪⎝⎭．12．已知a 为常数，函数()sin sin3f x x x a =-在(]0,πx ∈内有且只有一个零点，则常数a 的值形成的集合是（）． A ．{}1,1-B ．10,2⎧⎫-⎨⎬⎩⎭C ．{}1-D ．[)(]1,00,1-【答案】C【解析】()sin sin3f x x x a =-，(0,π)x ∈，sin sin3a x x =(0,π)，[]sin sin(2)x x x =+，sin (sin cos2cos sin 2)x x x x x =+， 2sin cos2sin cos sin 2x x x x x =+，221sin cos2sin 22x x =⨯+，21cos21cos2sin 222x x x -=+， 22111cos2cos 2sin 2222x x x =-+， 22111cos2cos 2(1cos 2)222x x x =-+-， 211cos2cos 222x x =-+， 211cos 2cos222x x =-++，0πx <<， 022πx <≤，1cos21x -≤≤，令cos2x t =，21122y t t =-++，11t -≤≤，21122y t t =-++，[]1,1t ∈-，14t =．2max11114242y ⎛⎫=-+⨯+ ⎪⎝⎭， 916=， min 1y =-，91,16a ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦， ∵零点只有一个，∴函数y a =与sin sin3y x x =只有一个交点，此时，1t =-， 1y a =-=．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分．） 13．计算2πtan cos 24π2cos 4ααα⎛⎫- ⎪⎝⎭=⎛⎫+ ⎪⎝⎭__________．【答案】1【解析】解：原式2ππtan sin 242ππ2cos 24ααα⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎡⎤⎛⎫-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，2πsin ππ42sin cos π44cos 4π2sin 4ααααα⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭⋅-- ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭- ⎪⎝⎭=⎛⎫- ⎪⎝⎭，1=．因此，本题正确答案是：1．14．函数3π()22sin sin(π)2f x x x x ⎛⎫++- ⎪⎝⎭的单调增区间是__________．【答案】5π11ππ,π1212k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z【解析】解：3π()22sin sin(π)2f x x x x ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭，2cos sin sin 2x x x x x =-=-，π2sin 23x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，由ππ3π2π22π232k x k +-+≤≤，计算得出5π11πππ1212k x k ++≤≤，因此函数()f x 的单调递增区间为：5π11ππ,π1212k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ．15．已知向量11(,)a x y =，22(,)b x y =，若||2a =，||3b =，6a b ⋅=-，则1122x y x y ++的值为__________．【答案】23-【解析】本题考查了共线向量的坐标运算及等比性质． ∵||2a =，||3b =，6a b ⋅=-， ∴向量a 与b 平行，且23a b =-，∴1111222223x y x y x y x y +===-+．16．已知()y f x =是定义在R 上的奇函数，且π2y f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭为偶函数，对于函数()y f x =有下列几种描述：①()y f x =是周期函数；②πx =是它的一条对称轴； ③(π,0)-是它图象的一个对称中心； ④当π2x =时，它一定取最大值；其中描述正确的是__________．【答案】①③【解析】本题主要考察函数的图像与性质，考查了逻辑推理能力．因为π2y f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭为偶函数，所以图像关于直线0x =对称，所以()y f x =的图像关于直线π2x =-对称，又因为()y f x =是定义在R 上的奇函数，所以()y f x =的图像关于直线π2x =对称，因此函数()y f x =的图像的对称轴为直线ππ()2x k k =+∈Z ，且是周期函数，则①正确，②错误；又因为(0)0f =，所以(π)0f -=，则③正确；因为直线π2x =是函数()y f x =的图像的一条对称轴，所以当π2x =时，它取最大值或最小值，也可能不是最值，故④错误．三、解答题： 17．（本题满分7分）如图，平行四边形ABCD 中，E ，F 分别是BC ，DC 的中点，G 为BF 与DE 的交点，若AB a =,AD b =，试以a ，b 为基底表示DE 、BF 、CG ．【答案】见解析【解析】解：由题意，如图1122DE DC CE AB CB a b =+=+=-，1122BF BC CF AD AB a b =+=-=-+，连接BD ，则G 是BCD △的重心，连接AC 交BD 于点O ，则O 是BD 的中点， ∴点G 在AC 上，∴22211()33323CG CO OC AC a b ==-=-⨯=-+，故答案为：12DE a b =-；12BF a b =-+；∴1()3CG a b =-+．18．（本题满分7分）已知函数2()sin cos )2f x x x x +-．（1）用五点法作出()f x 在一个周期上的简图．（按答题卡上所给位置作答）（2）求()f x 在π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时的值域．【答案】见解析【解析】解：（1）2()sin cos )f x x x x =+212sin cos )x x x =-+，sin 2)x x =+，2222x x ⎫+⎪⎪⎝⎭， πsin 24x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．五点作图法的五点：π,08⎛⎫- ⎪⎝⎭，π,18⎛⎫ ⎪⎝⎭，3π,08⎛⎫ ⎪⎝⎭，5π,18⎛⎫- ⎪⎝⎭，7π,08⎛⎫⎪⎝⎭．（2）当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，ππ5π(2),444x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，∴max ()1f x =，此时，ππ242x +=，即π8x =，min ()f x =，此时，π5π244x +=，即π2x =，∴()f x 在π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时的值域为⎡⎤⎢⎥⎣⎦．19．（本题满分9分）已知A 、B 、C 的坐标分别为(3,0)A ，(0,3)B ，(cos ,sin )C αα，π3π,22α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．（1）若||||AC BC =，求α的值．（2）若1AC BC ⋅=-，求22sin sin 21tan ααα++的值．【答案】见解析【解析】（1）∵||||AC BC =，化简得tan 1α=， ∵π3π,22α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， ∴5π4α=．（2）∵1AC BC ⋅=-，∴(cos 3,sin )(cos ,sin 3)1αααα-⋅-=-， ∴2sin cos 3αα+=， ∴52sin cos 9αα=-， ∴22sin sin 22sin cos (sin cos )52sin cos 1tan sin cos 9ααααααααααα++===-++．20．（本题满分9分）在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A 、B 在y 轴的正半轴上，点(,0)C x 在x 轴的正半轴上．若||6OA =，||4OB =．（1）求向量CA ，CB 夹角的正切值．（2）问点C 在什么位置时，向量CA ，CB 夹角最大？【答案】【解析】21．（本题满分10分）在平面直角坐标系中，已知O 为坐标原点，点A 的坐标为(,)a b ，点B 的坐标为(cos ,sin )x x ωω，其中220a b +≠且0ω>．设()f x OA OB =⋅．（1）若a =1b =，2ω=，求方程()1f x =在区间[]0,2π内的解集．（2）若函数()f x 满足：图象关于点π,04⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，在π2x =处取得最小值，试确定a 、b 和ω应满足的与之等价的条件．【答案】见解析【解析】解：（1）根据题意()sin cos f x OA OB b x a x ωω=⋅=+，当a =1b =，2ω=时，π()sin 222sin 213f x x x x ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭，π1sin 232x ⎛⎫⇒+= ⎪⎝⎭，则有ππ22π36x k +=+或π5π22π36x k +=+，k ∈Z ．即ππ12x k =-或ππ4x k =+，k ∈Z ．又因为[]0,2πx ∈，故()1f x =在[]0,2π内的解集为π11π5π23π,,,412412⎧⎫⎨⎬⎩⎭．（2）解：因为2())f x OA OB a x ωφ=⋅=+，设周期2πT ω=．因为函数()f x 须满足“图象关于点π,03⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，且在π6x =处()f x 取得最小值”．因此，根据三角函数的图象特征可以知道，ππ3642T nT -=+，故有π2π2164n ω+=⋅，∴63n ω=+，n ∈N ，又因为，形如())f x x ωφ=+的函数的图象的对称中心都是()f x 的零点，故需满足πsin 03ωφ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，而当63n ω=+，n ∈N 时，因为π(63)2ππ3n n φφ++=++，n ∈N ；所以当且仅当πk φ=，k ∈Z 时，()f x 的图象关于点π,03⎛⎫⎪⎝⎭对称；此时，sin 0cos 1φφ⎧==⎪⎪⎨⎪==±⎪⎩，∴0a =，1||bb =±．（i ）当0b >，0a =时，()sin f x x ω=，进一步要使π6x =处()f x 取得最小值，则有ππsin 166f ω⎛⎫⎛⎫=⋅=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴ππ2π62k ω⋅=-，故123k ω=-，k ∈Z ．又0ω>，则有123k ω=-，k ⨯∈N ，因此，由63,123,n n k k ωω=+∈⎧⎨=-∈⎩N N 可得129m ω=+，m ∈N ．（ii ）当00b a <=时，()sin f x x ω=-，进一步要使π6x =处()f x 取得最小值，则有ππππsin 12π126662f k k ωωω⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⋅=-⋅=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；又0ω>，则有123k ω=+，k ∈N ．因此，由63,123,n n k k ωω=+∈⎧⎨=+∈⎩N N，可得123m ω=+，m ∈N ．综上，使得函数()f x 满足“图象关于点π,03⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，且在π6x =处()f x 取得最小值的充要条件”是“0b >，0a =时，129m ω=+，m ∈N ；或当00b a <=时，123m ω=+，m ∈N ”．22．（本题满分10分）设()f x 是定义在[]1,1-上的偶函数，()g x 的图象与()f x 的图象关于直线1x =对称，且当[]2,3x ∈时，2()2(2)4(2)g x a x x =---．（1）求()f x 的解析式．（2）若()f x 在(]0,1上为增函数，求a 的取值范围．（3）是否存在正整数a ，使()f x 的图象的最高点落在直线12y =上？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由．【答案】见解析【解析】解：（1）当[]1,0x ∈-时，[]22,3x -∈，3()(2)24f x g x ax x =-=-+；当(]0,1x ∈时，3()()24f x f x ax x =-=-，∴3324,10()24,0 1.ax x x f x ax x x ⎧-+-⎪=⎨-<⎪⎩≤≤≤，（2）由题设知，()0f x '>对(]0,1x ∈恒成立，即22120a x ->对(]0,1x ∈恒成立，于是，26a x >，从而2max (6)6a x >=．（3）因为()f x 为偶函数，故只需研究函数3()24f x ax x =-在(]0,1x ∈的最大值．令2()2120f x a x '=-=，计算得出x =（1(]0,1，即06a <≤，3max |()|24212f x f a a ==<⎝⎭⎝⎭，故此时不存在符合题意的a ．（21>，即6a >，则()f x 在(]0,1上为增函数，于是[]max ()(1)24f x f a ==-．令2412a -=，故8a =．综上，存在8a =满足题设．。

广东省华南师大附中2018-2019学年高一上学期数学必修一(A组)测试题(解析版)

广东省华南师大附中2018-2019学年高一上学期数学必修一（A组）测试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设全集2，3，4，5，6，7，，集合2，3，，4，，则图中的阴影部分表示的集合为A. B. C. 3， D. 6，7，【答案】B【解析】解：全集2，3，4，5，6，7，，集合2，3，，4，，图中的阴影部分表示的集合为：4，，6，7，．故选：B．图中的阴影部分表示的集合为，由此能求出结果．本题考查集合的求法，考查交集、补集、维恩图等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．2.函数的定义域为A. B.C. D.【答案】A【解析】解：由题意得：，解得：或，故函数的定义域是，故选：A．根据对数函数的性质求出函数的定义域即可．本题考查了求函数的定义域问题，考查对数函数的性质，是一道常规题．3.下列四个函数中，在上为增函数的是A. B. C. D.【答案】C【解析】解：根据题意，依次分析选项：对于A，，为指数函数，在R上为减函数，则，在R上为减函数，不符合题意；对于B，，在上为减函数，在上为增函数，不符合题意；对于C，，为反比例函数，则上为增函数，符合题意；对于D，，在上为减函数，不符合题意；故选：C．根据题意，依次分析选项中函数的单调性，综合即可得答案．本题考查函数单调性的判定，关键是掌握常见函数的单调性，属于基础题．4.下列四组函数中，表示同一函数的是A. 与B. 与C. 与D. 与【答案】C【解析】解：对于A，函数，与的对应关系不同，不是同一函数；对于B，函数，与的定义域不同，不是同一函数；对于C，函数，与的定义域相同，对应关系也相同，是同一函数；对于D，函数，与的定义域不同，不是同一函数．故选：C．根据两个函数的定义域相同，对应法则也相同，即可判断它们是同一函数．本题考查了判断两个函数是否为同一函数的应用问题，是基础题．5.函数的零点所在的大致区间是A. B. C. D.【答案】B【解析】解：函数满足，，，根据函数的零点的判定定理可得函数的零点所在的大致区间是，故选：B．由函数的解析式可得，再利用函数的零点的判定定理可得函数的零点所在的大致区间．本题主要考查函数的零点的判定定理的应用，属于基础题．6.若函数是函数且的反函数，且的图象经过点，则A. B. C. D.【答案】B【解析】解：函数是函数且的反函数，图象经过点，，解得．故选：B．由于函数是函数且的反函数，可得把点代入即可得出a．本题考查了反函数的求法、指数函数与对数函数的运算法则，属于基础题．7.若函数且的图象经过第二、三、四象限，则有A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】A【解析】解：指数函数过定点，而且函数且的图象经过第二、三、四象限，所以此函数一定单调递减，且是由指数函数向下平移大于1个单位得到，如图所示：，．故选：A．函数是由指数函数变换而来的，所以可根据条件作出图象，即可判断．本题主要考查基本函数的变换，明确一些变换，能丰富知识及其应用，是学以致用，更重要的是一种学习方法．8.若，则下列结论正确的是A. B. C. D.【答案】D【解析】解：由于，则，，，则，故选：D．运用幂函数、指数函数和对数函数的单调性，先与0比较，再与1比较，即可判断．本题考查幂函数、指数函数和对数函数的单调性的运用：比较大小，考查运算能力，属于基础题．9.已知，，，且，在同一坐标系中画出其中两个函数在第Ⅰ象限的图象，正确的是A. B.C. D.【答案】B【解析】解：幂函数的图象一定经过，当时经过原点；指数函数的图象经过点，当时，图象递增，当时，图象递减；对数函数的图象经过点，当时，图象递增，当时，图象递减，对于A，其中指数底数应大于1，而幂函数的指数应小于0，故A不对；对于B，其中幂函数的指数大于1，对数函数的底数也应大于1，故B对；对于C，其中指数函数图象递增，其底数应大于1，而对数函数图象递减，其底数小于1，故C不对；对于D，其中幂函数的图象递增，递增的越来越快，指数函数的图象递减，故幂函数的指数应大于1，而指数函数的底数小于1，故D不对．故选：B．考查题设条件，此三个函数分别为幂函数，指数函数与对数函数，由于其中的参数是指数与对数函数的底数，故分与两类讨论验证即可．本题考查的知识点是指数函数的图象和性质，对数函数的图象和性质，幂函数的图象和性质，熟练掌握三个基本初等函数的图象和性质是解答本题的关键．10.若函数在上是奇函数，则的解析式为A. B. C. D.【答案】A【解析】解：根据题意，函数在上是奇函数，则有，即，解可得，又由为上是奇函数，则有，即，分析可得：，则；故选：A．根据题意，由奇函数的性质可得，即，解可得，结合奇函数的定义可得，分析可得b的值，即可得答案．本题考查函数奇偶性的性质以及应用，注意掌握奇函数的定义，属于基础题．11.函数与的图象有4个交点，则实数a的取值范围是A. B. C. D.【答案】C【解析】解：函数与的图象有4个交点，由图可知：实数a的取值范围是：，故选：C．分别作函数与的图象，观察可得解本题考查了作图能力，考查了方程的根与函数的零点，属简单题．12.已知函数，若a，b，c互不相等，且，则的取值范围为A. B. C. D.【答案】B【解析】解：作出函数的图象如图，不妨设，，，由图象可知，当a变大时，b变小，c也变大，当a变小时，b变大，c也变小，故的取值范围为故选：B．画出函数的图象，根据，不妨，结合图象求出的范围即可．本题主要考查分段函数、对数的运算性质以及利用数形结合解决问题的能力解答的关键是图象法的应用，即利用函数的图象交点研究方程的根的问题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.函数f的图象恒过定点______．【答案】【解析】解：令，解得，此时，故得此点与底数a的取值无关，故函数且的图象必经过定点故答案为由指数函数的定义可知，当指数为0时，指数式的值为1，故令指数，即可求出本题考点是指数型函数，考查指数型函数过定点的问题解决此类题通常是令指数为0取得定点的坐标属于指数函数性质考查题．14.设则的值为______．【答案】3【解析】解：由分段函数知，，故答案为：3．利用分段函数直接带入进行求值即可．本题主要考查分段函数的应用，利用分段函数的取值范围直接带入进行求解即可比较基础．15.函数的单调递增区间是______．【答案】【解析】解：解得，；令，该函数的对称轴为，该函数的单调减区间为；又函数函数为减函数，原函数是由和函数复合而成；原函数的单调递增区间为．故答案为：．先求该函数的定义域，利用复合函数的单调性，求解原函数的单调递增区间．考查对数函数的单调性，二次函数的单调性，及复合函数的定义，二次函数以及复合函数单调区间的求法．16.若关于x的方程在上有两个不等实根，则m的取值范围为______．【答案】【解析】解：关于x的方程在上有两个不等实根，等价于，的图象与直线有两个交点，由图可知：，即，故答案为：．先由方程与函数的关系，将关于x的方程在上有两个不等实根转化为，的图象与直线有两个交点，再作图观察即可本题考查了方程与函数的关系及作图与观察能力，属中档题三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.设全集为实数集R，，，．Ⅰ求及；Ⅱ如果，求a的取值范围．【答案】解：Ⅰ集合，，故A，此时，或，故分Ⅱ若，由数轴可知a的范围为分【解析】解二次不等式，可求出A，进而由集合交，并，补运算法则，可求出求及；Ⅱ如果，则数轴表示两个集合的图象没有公共部分，进而得到a的取值范围．本题考查的知识点是集合的交并补运算，利用数据分析和解答是此类问题的常用方法，一定要熟练掌握．18.已知a，b为常数，且，，，方程有两个相等的实根．求函数的解析式；当时，求的值域；若，试判断的奇偶性，并证明你的结论．【答案】解：已知，由，得，即，方程，即，即有两个相等实根，且，，，代入得．．由知．显然函数在上是减函数，时，；时，．时，函数的值域是，定义域关于原点对称，是奇函数．证明：定义域关于原点对称，，是奇函数．【解析】把代入解析式，有两个相等实根，即判别式等于零，解方程可得a，b的值，进而得到函数的解析式；根据所求的解析式，判断上的单调性，然后求解值域即可；根据奇偶函数的定义进行判断和证明．本题主要考查函数的奇偶性和二次函数在闭区间上的值域问题，属于中档题．19.某工厂生产一种电脑元件，每月的生产数据如表：为估计以后每月该电脑元件的产量，以这三个月的产量为依据，用函数或b为常数，且来模拟这种电脑元件的月产量y千件与月份的关系，请问：用以上哪个模拟函数较好？说明理由．【答案】解：将，分别代入模拟函数和，解得，和，当时，，，用函数b为常数，且来模拟这种电脑元件的月产量y千件与月份的关系更合适．【解析】分别求出对应的a，b值，再去验证模拟效果即可．考察了函数模型的选择，可以用验证的方法求出答案．20.已知是定义在R上的偶函数，且时，．求，；求函数的表达式；若，求a的取值范围．【答案】解：由题意可得，．设，则，．再根据是定义在R上的偶函数，可得．综上可得，．由题意可得，函数在上是增函数，在上是减函数．，即，，平方后化简求得．【解析】直接根据函数的解析式求得的值，再根据函数的奇偶性，可得，再根据根据函数的解析式求得的值．设，则，可得，再根据是定义在R上的偶函数，求得的解析式综合可得结论．由题意可得，函数在上是增函数，在上是减函数故由所给的不等式可得，平方后化简求得a的范围．本题主要考查对数函数的图象和性质，函数的奇偶性和单调性的应用，体现了转化的数学思想，属于基础题．21.已知函数，且．Ⅰ求a，b的值；Ⅱ判断并证明函数在区间上的单调性．【答案】解：Ⅰ，，由，，又，，，；Ⅱ由得，函数在单调递增．证明：任取，且，，，，，，即，故函数在上单调递增．【解析】Ⅰ由，，，从而求出，；Ⅱ由得，得函数在单调递增从而求出的解析式，进而证明函数在上单调递增．本题考察了函数的单调性，导数的应用，求参数的范围，不等式的证明，是一道综合题．22.已知函数且．Ⅰ求a的值；Ⅱ若函数有零点，求实数k的取值范围．Ⅲ当时，恒成立，求实数m的取值范围．【答案】解：Ⅰ对于函数，由，求得，故．Ⅱ若函数有零点，则函数的图象和直线有交点，，求得．Ⅲ当时，恒成立，即恒成立．令，则，且．由于在上单调递减，，．【解析】Ⅰ由函数的解析式以及，求得a的值．Ⅱ由题意可得，函数的图象和直线有交点，故有，求得k的范围．Ⅲ由题意可得当时，恒成立令，则，且利用单调性求得，从而可得m的范围．本题主要考查指数函数的性质综合应用，函数的恒成立问题，体现了转化的数学思想，属于基础题．。

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