2.5-1 电荷系静电能

静电场的能量5

W球面 <W球体 e e
课堂讨论
13.5 静电场的能量 (electrostatic energy)
定义：定义：把系统从当前状态无限分裂到彼此相距无限远的状态中静电场力作的功，限远的状态中静电场力作的功，叫作系统在当前状态时的静电势能。简称静电能。在当前状态时的静电势能。简称静电能。或：把这些带电体从无限远离的状态聚合到当前状态过程中，外力克服静电力作的功。前状态过程中，外力克服静电力作的功。
r
比较均匀带电球面和均匀带电球体所储存的能量。比较均匀带电球面和均匀带电球体所储存的能量。
q
0 E = q 4 r2 πε0
R
R
r <R r >R
q
R
r q 4 ε R π0 3 E = q 4 ε0r2 π
∞
r <R r >R
1 1 2 2 2 2 W = ∫ ε0E ⋅ 4 r dr +∫ ε0E ⋅ 4 r dr π π e 2 2 0 R
3.电容器储存的能量电容器储存的能量
K
a
b
开关倒向a，电容器充电。开关倒向，电容器充电。开关倒向b，电容器放电。开关倒向，电容器放电。
灯泡发光
←电容器释放能量
←电源提供
计算电容器带有电量Q，相应电势差为U 计算电容器带有电量，相应电势差为时所具有的能量。具有的能量。
电容器中的能量是在充电过程中建立起来的。程中建立起来的。充电过程，充电过程，使电容器的两极板分别带上等量的正负电荷，板分别带上等量的正负电荷，这相当于将某一极板上的电荷拉到另一极板上。另一极板上。这是电荷在两极板间的搬迁过程。间的搬迁过程。搬迁过程中，搬迁过程中，随着极板上电荷的累积，要做的功越来越大，荷的累积，要做的功越来越大，这就像粮仓中粮食的囤积过程，这就像粮仓中粮食的囤积过程，粮越来越高，再往上倒，粮越来越高，再往上倒，就越来越困难。越困难。

静电场能量公式的等价性证明

恒定律。静电场能量具有两种表达方式可以证明两种表达方式是等价的。
关键词
电荷系统
静电场能量
做功
等价
中图分类号：０４４１０引言文献标识码：Ａ
电场在所在处的总电荷势。上式不管在真空中还是在介质中都是正确的。当有介质时，仍然是自由点电荷，为介质中的电势。
＝
』
垡』阜１２
限远处，此时它们之间的相互作用力无限近似为零，并规定在该状态时系统的电势能为零。现在将ｑ从无限远处
移到ｂ点，在这个过程中，外力需要克服ｑ，的电场对：的电
场力做功，则
去Ｉｆａｖｅｒ＂
电脑连・２０１３年３（上）ｌ８３
赫
将公式（８）、（９）转化一下并代入公式（７）得到下式
（１０）
＝
２静电场能量表达式的等价性证明的相关说明由第二部分不同电荷系统模型的静电场能量表达式
÷，＝ ÷Ｉ￣ＥｄｅｏＥｄＳ
一
＿（６）
将式（６）积分可知，一对相距ｒ的正负点电荷的静电能应为他们之间的电势能为
＝
丢一（７）
Ｗ＝士业
叶０
，
一（１）
１－３连续分布的带电体的静电能第二种表达方式
下面我们可以假设有一块点电荷连续分布的带电体，
÷啦，ｄＳ＝ｆｄＶＥＥ一（１】）

第五讲静电场中的能量

1 1 m 2, W Q1U1 Q2U 2 2 2
r
Q2
U1 为 Q1 , Q2 1球面处电势的代数和 Q1 Q 1 Q1 在1球面处电势： Q1在2球面处电势： 4 0 r 4 0 R1
U1
4 0 R1
Q1

4 0 r
Q2
U 2 为 Q1 , Q2 2球面处电势的代数和
U j 是由 Q j 和 Q j 以外的全部电荷在 Q j 处产生的
电势，该式是导体系的总静电能。
1 n W qiVi 2 i 1
u i 是由 q i 以外的电荷在 q i处产生的电势，该式是
点电荷系总静电能的一部分------相互作用能。
4、带电电容器的储能
电容器静电能：充电过程将元电荷dq从一板搬到另一 u(t ) 板，电场力做元功：
导体球总能量
W
Q2 8 0 R
解2：利用带电体系静电场能量公式
r R, E 0 r r, E Q 4 0 r 2
R
r
dr
作厚度为 dr 的球壳，球壳内的电场能量：
1 dW dV 0 E 2 dV 2 dV 4r 2 dr
球的总电场能量
W

R
设带电体电量为Q，元电荷dq从无穷远整个电荷过程中外界反抗电场力做元功：
dA udq
A dA udq
0 Q
电场力的功转化成带电体系的静电自能
W udq
0
Q
自能本质：各部分电荷之间的相互作用能，这是带电体自身有的能量。
3、电荷连续分布的带电体系的静电能：自能&元以外的全部电荷共同产生带电导体组的总静电能
第五讲静电场中的能量

静电场公式整理

221r q q k F =r r q q Fˆ412210πε=rr q E ˆ420πε=304d d r qr E πε =⎰=E E dq F E =E qF ii ⋅=∑0E dqF Q ⋅=⎰0电通量：0d cos εθiSq S E S E Φ∑=⋅=⋅=⎰⎰(高斯定理)点电荷在高斯面外，0d =⋅=⎰⎰SS E Φ有限长均匀带电直线：j E i E E y x+=？？==y x E E无限长均匀带电直线：r rEˆ20πελ=均匀带电圆环轴线上：23220)(4R x iqx E +=πε无限大均匀带电平面：02εσ=E 垂直于带电面 =+=-+E E Eεσ平行板内的场强：0εσ=E 板间电势差：Ed V =平行板的的静电能：Sd E VQ W e 22121ε==半径为R 带电为q 的均匀带电球面的电场：24d επq r E S E S∑=⋅=⋅⎰204r qE πε∑=∴r < R 时，高斯面无电荷，0=E ；r > R 时，高斯面包围电荷q ，204rq πε=E两平行板间两平行板外侧半径为R 带电量为Q 的均匀带电球体的电场：R r r 30<ερ=ER r r 13R 203>ερ无限长均匀带电圆柱面圆柱半径为R 沿轴线方向单位长度带电量为λ的电场：⎰⎰⎰⋅+⋅=⋅上下底面侧面S d E S d E S d E srl E π2⋅=2επ∑=⋅q rl Er < R 时，l q λ=∑ ，rE 02πελ=r > R 时，0=∑q ，0=E静电场力所做的功：)11( π4d π40020末初末初r r qq r r qq W r r -==⎰εεBA B A U q V q V q 000-=-=单位：V静电场力做功与路径无关电势零点选择方法：对于有限长带电体以无穷远为电势零点，实际问题中常选择地球电势为零；对于无限长均匀带电直线，只能选有限远点为电势零点；对无限大均匀带点平面，也只能选有限远点为电势零点。

2.5介质中的静电场方程

S
ˆ qr D 4r 2
在 a<r<a+b
在r>a+b
D E

ˆ qr E 4r 2 ˆ qr E 4 0 r 2
a b qdr qdr q 1 r 1 (a) E dl ( ) 2 2 4r a b 4 0 r 4 a a b a a
D E
介质的结构方程
r
与坐标无关，是常数－－均匀介质与坐标有关，是函数－－非均匀介质
(r )
与电场大小无关－－线性介质与电场大小有关——非线性介质 ( E )
与方向无关——各向同性介质与方向有关——各向异性介质
各向异性介质的介电常数不是标量，而是矩阵
Dx 11 12 13 Ex D E y 21 22 23 y Dz 31 32 33 Ez
D(r ) dS q
S
积分形式
静电场高斯定理
E 0
D
微分形式
E dl 0
l
D E
E
电位方程
E
为常数时

2
图示平行板电容器中放入一块介质后，其D 线、E 线和P 线的分布。
1 1 ' ( 1) D
r
r
无源区的均匀介质中
' 0
r
4.高斯定律的积分形式
D
V 散度定理
DdV

S
V
dV
D dS q
D 的通量与介质无关，但不能认为D 的分布与介质无关。

物理-静电场的能量

力需克服静电场力作的功dw;
再计算电量由0累积到Q的过程，外力的总功：
Q
dW 0 dW
如：前面例1（均匀带电球面的静电能）
Q
W
q
dq Q2
0 4 0 R
8 0R
++ +
+O
+Q
+ +
+R +
+++
三、连续分布电荷系统的静电能
思路(二)：考察带电体上所电荷元间
的相互作用能带电体上任到一个电荷元dq，设
4 0r
q1q2
4 0
dr r r2
q1q2
4 0r
一、电荷系统的自能与相互作用能
3、带电体系的总静电能
q2 q3 q1
qi
qn
某电荷系统A
每个带电体的自能电荷系统的总能
所有带电体的相互作用能
一、电荷系统的自能与相互作用能
例3：求两个半径分别为 R1、R2，电量为 Q1、Q2，相距为 d(d R1, R2 ) 的两个均匀带电球面的静电能。
Q1 + +
+ +
O1
+ + +
+ R1 +
+++
d( R1, R2 )
+ +
+
+ O2
+ Q2
+ +
+ R2 +
+++
自能：
W1
Q1 8 0R1
W2
Q2 8 0R2
;
相互作用能： W12

高二物理竞赛静电场的能量课件

0 ×10-8C 的点电荷从A点移到B点，外力克服电场力做多少功？
解：(1) 平面1和平面2之间的电场为：
点电荷例：真空中一个均匀带电球体 (R，q)，试利用电场能量公式求此带电系统的静电能。
适用于静电场的一般情况
原来该带电体的静电能（自能）
注意：一个电荷在外电场中的电势能是属于该电荷和产生电场的电荷系所共有的，是一种相互作用能
A 点与平面2相距5.
0cm，B点与平面2相距7.
电荷连续分布的带电体：电荷元
此电场的能量密度多大？
例：真空中一个均匀带电球体 (R，q)，试利用电场能量公式求此带电系统的静电能。
q R r W wdV wdV w dV V e
rR e1
rR e2
o
dr R 0E12 4r2dr 0E22 4r2dr
02
R2
W0R20(4q0R r3)24r2drR 20(4q0r2)24r2dr
230q20R
另： W 1 dq 2q
带电球体的电场强度分布：
q
E1 40R3 r
q
E2 40r2 er
rR rR
球内距球心为r，厚度为dr的球壳处的电势：
R
r E1 dr R E2 dr
R
3.7 静电场的能量
一. 电荷系的静电能
设 n 个静止电荷所组成的电荷系，将各电荷从现有位置彼此分散到无限远时，它们之间的静电力所做的功－－电荷系在原来状态的静电能（互能）
W
1 2
n i1
qii
推导见3.6节
其中： i 为 qi 所在处由 qi 以外的其他电荷产生的电
势。
电荷连续分布的带电体：电荷元原来该带电体的静电能（自能）

电容和静电场的能量

o
P
x d−x
d
x
三
电容器的并联和串联
C1
＋
1 电容器的并联
C = C1 + C 2
C2
−
2 电容器的串联
1 1 1 = + C C1 C 2
＋
−
C1
C2
静电场的能量
一
电荷系的静电能
q1不动，将q2移到无限远的过程中，q2受到的电场力作的功为
1、两个点电荷的静电能
r r v v ∞ A12 = ∫ F2 ⋅ dl = ∫ q2 E1 ⋅ dl
1 λ2 R2 We = λU = ln 2 4 π ε0 R1
λ
Eb =
λmax
l _ _ _
+ + + +
_
R1
R2
2 πε0 R1 λ = λmax = 2 π ε 0 E b R1
_
R2 2 2 W e = π ε 0 E b R1 ln R1
+ ++ _ + + +++ _
_
R2 W e = π ε 0 E R ln R1 dWe R2 2 = π ε0 Eb R1 (2 ln − 1) = 0 dR1 R1 R2 −3 R1 = ≈ 6.07 ×10 m e R2 Eb R2 U max = Eb R1 ln = R1 2 e
电容、电容、电容器
一
孤立导体的电容
孤立导体带电荷与其电势孤立导体带电荷Q与其电势的比值导体带电荷与其电势V的比值
Q C = V
单位：单位：1 F = 1 C/V 6 12 1 F = 10 µF = 10 pF

电荷的基本概念与性质

电荷的基本概念与性质电荷，是物体所具有的基本性质之一。

它是物质微观粒子中的一种属性，表征物体与电磁相互作用的程度。

电荷分为正电荷和负电荷，它们之间相互吸引，相同电荷之间相互排斥。

本文将从电荷的基本概念以及电荷的性质两个方面进行论述。

1. 电荷的基本概念电荷的概念最早由英国物理学家本杰明·富兰克林提出。

根据实验可知，当物体摩擦时，会发生电荷的转移。

富兰克林将所发现的现象归纳为正电荷和负电荷的存在。

正电荷表示电荷的失去，而负电荷则表示电荷的获得。

2. 电荷的性质2.1 电荷守恒定律电荷守恒定律，即在一个孤立系统中，电荷的总量始终保持不变。

当两个物体发生摩擦时，一个物体失去的电荷等于另一个物体获得的电荷。

这一定律为电荷的转移和使用提供了基本规律，并在电磁学理论中起到了重要作用。

2.2 电荷的量子化电荷的量子化是指电荷的数值只能是电荷基本单位的整数倍。

电子的负电荷和质子的正电荷是电荷的最小单位，也是量子化电荷的基本单位。

根据普朗克常数和元电荷的比值，可以得出电荷的量子化公式。

2.3 电荷的作用力电荷之间的相互作用力称为库仑力。

根据库仑定律，两个电荷之间的作用力与它们的电荷量成正比，与它们之间的距离的平方成反比。

正电荷与负电荷之间相互吸引，正电荷之间、负电荷之间相互排斥。

库仑力是电磁相互作用的重要表现形式。

2.4 电荷的传导性电荷的传导性是指电荷能够在导体中自由传输和流动。

导体中的自由电子能够在外加电场的作用下受力运动，从而导致电荷的传导。

导体的良好导电性使得电荷可以快速流动，并在电路中传输能量。

2.5 电荷的静电效应电荷的静电效应是指带电物体对周围环境的影响。

当带电物体靠近其他物体时，会产生静电感应，从而使得其他物体也带电，并发生相应的吸引或排斥现象。

静电效应在实际生活中广泛应用，如电子设备的防静电措施等。

总结：本文对电荷的基本概念和性质进行了阐述。

电荷的基本概念包括电荷的正负性和电荷的转移现象。

物理电磁学第20讲静电场的能量

[例] 真空中的均匀带电的球体，半径为 R，电荷的体密度为 r，用电场的能量公式求此体系的静电能。解：利用高斯定理，可得
r E r 3 0
W
R1
all space
r R
rR
rR 3 E e ˆ 2 r 3 0 r
r R
r R
R
3 2
wedV wedV wedV
[例] 巧克力碎屑的秘密 III 每个工人相对于被取作零电势的地面约有 7.0 kV 的电势。 (1) 假定每个工人实际等效于一具有典型电容200pF的电容器，求该等效电容器所储存的能量。(2) 如果工人与任一接地的导体之间的一个单一的火化能使工人带的电中和，则那个能量将传送给火花。根据测量，能点燃巧克力碎屑粉尘云，并从而引起爆炸的火花必须至少 150 mJ 的能量。来自工人的火花能够引起在送料箱里粉尘云的爆炸吗？解： (1) E = CU2/2 = (20010-12 F)(7.0 103 V)2/2 = 4.9 10-3 J << 150 mJ (2)来自工人的火花不能够引起在送料箱里粉尘云的爆炸
或电势：导体是等势体
表面是等势面电荷只分布在表面
P 0 r 1 E D 0 r E E S q0 int S D d P e ˆn
电容器的电容 C Q U
电容器的电容 C Q U
电容器贮存的电场能量
1 Q 电能是定域在电场中的！ W 2C
§2.5.3 静电场的能量、能量密度以平行板电容器为例：
2
Q
C
?
能量的载体是谁
单位体积内的电能 —— 电能密度各项同性

静电能

U (r ) U i (r ) U (r ),
(i )

(r )U
e i 1 Vi
N
1 2
(i )
(r )dV
(r )U (r )dV ,
e i i 1 Vi
N
1 2
可写成：其中，
We W自 W互 ,
(i ) 自
W自 W
i 1
N
N
1 (i ) e (r )U (r )dV , 叫自能 i 1 2 Vi
n
n
因此，状态参量取为rij（i, j = 1,2,…,N），初始时刻，相互作用的库仑力为零，它们之间的静电相互作用消失，很自然地取这种状态的相互作用能为零。下面，我们用一种类似于数学归纳法的办法来计算由N 个点电荷组成的静电体系的静电能。
两个点电荷时
n n
一个点电荷q在外电场U中的电势能W=qU 设电势U是由另一个点电荷Q产生的, 于是点电荷q具有的电势能可以写作
■
e 2 2 U 3 a r , 6 0
2 U a / 2 0 ，故当a 0 它在球心处取极大值 m e
0 即 U 0 。于是， U1(r) ≈ U(r) 时有 U m
1 We e (r )U (r )dV . 2 V
(3.2.2)
静电能的定义
建立一个带电系统的过程中，总伴随着电荷相对运动，需要外力克服电荷间的相互作用而作功。外力作功所消耗的能量将转换为带电系统的能量，该能量定义为带电系统的静电能。显然，静电能应由系统的电荷分布决定。例如，第一章中已讲到的点电荷在外电场中的电势能就是静电能。这是静电场为保守力场的必然结果。

第二章静电场中的导体与电介质

第二章静电场中的导体与电介质2.1 导体与电介质的区别：（1）宏观上，它们的电导率数量级相差很大（相差10多个数量级，而不同导体间电导率数量级最多就相差几个数量级）。

（2）微观上导体内部存在大量的自由电子，在外电场下会发生定向移动，产生宏观上的电流而电介质内部的电子处于束缚状态，在外场下不会发生定向移动（电介质被击穿除外）。

2.2静电场中的导体1. 导体对电场的响应：静电场中的导体，其内部的自由电子会发生定向漂移，电荷分布会发生变化，这是导体对电场的响应方式称为静电感应，导体表面会产生感应电荷，感应电荷激发的附加场会在导体内部削弱外电场直至导体内部不再有自由电子定向移动，导体内电荷宏观分布不再随时间变化，这时导体处于静电平衡状态。

2. 导体处于静电平衡状态的必要条件:0i E =（当导体处于静电平衡状态时，导体内部不再有自由电子定向移动，导体内电荷宏观分布不再随时间变化，自然其内部电场（指外场与感应电荷产生的电场相叠加的总电场）必为0。

3. 静电平衡下导体的电学性质：（1）导体内部没有净电荷，电荷（包括感应电荷和导体本身带的电荷）只分布在导体表面。

这个可以由高斯定理推得：ii sq E ds ε⋅=⎰⎰，S 是导体内“紧贴”表面的高斯面，所以0i q =。

（2）导体是等势体，导体表面是等势面。

显然()()0b a b i a V V E dl -=⋅=⎰，a,b 为导体内或导体表面的任意两点，只需将积分路径取在导体内部即可。

（3）导体表面以处附近空间的场强为：0ˆEn δε=，δ为邻近场点的导体表面面元处的电荷密度，ˆn为该面元的处法向。

简单的证明下：以导体表面面元为中截面作一穿过导体的高斯柱面，柱面的处底面过场点，下底面处于导体内部。

由高斯定理可得：12i s s dsE ds E ds δε⋅+⋅=⎰⎰⎰⎰，1s ,2s 分别为高斯柱面的上、下底面。

因为导体表面为等势面所以ˆE En=，所以1s E ds Eds ⋅=⎰⎰而i E =0所以0ds Eds δε=，即0ˆE n δε=（0δ>E 沿导体表面面元处法线方向，0δ<E 沿导体表面面元处法线指向导体内部）。

第三章静电能

r r 1 We = ∫∫ σ e (r )u ( r ) dS 2 S
3．线电荷分布 1 在 λe dl 处，电场 ∝ r ，所以其在自身所在处产生的电势不仅不会趋于零，而且会按ln r （r为离线元dl 的距离 u 元 ∝ ln r ）趋于无穷，即:
1 这时静电能既不能写成： W = e ∫L ηe (l )u1 (l )dl 2 也不能写成：
σe u( z) = 2ε 0
(R
2
+z − z
2
)
面元半径。当a → 0时，则dS → 0，所以u → 0。因此我们 r ) 可以忽略 u1 (r （从总电势中扣除面电荷元的贡献）和总电 r 势 u (r ) 的差别，相应求得面电荷分布的静电能为：
式中积分区域S代表所有带电面。这时不考虑扣除面 r 电荷元 σ e ( r )dS 的贡献
4πε 0 rij
而且其中距离rij显然等于rji，所以
1 W中的q i u ji 可以用 ( qi u ji + q j u ij ) 代替。 2 N 1 N 1 N N qi q j W = ∑ qi ∑ u ji = ∑∑ r = W互 2 i =1 j =1 8πε 0 i =1 j =1 ij
4πR 3 ρ e Q= 3
例二．一孤立带电导体球电量为q，半径为R，求其 1 N 静电能（自能）。 W互 = ∑ qi ui 2 i =1 解： q C = 4πε 0 R 对于孤立导体球，有： u = , C 3 ⎛ Q2 ⎞ 这时电荷只分布在球面上。 We = ⎜ ⎟ 5 ⎝ 4πε 0 R ⎠ 2 所以 1 1 1⎛ q ⎞
静电能----对一个带电体系而言，其带电过程总伴随着电荷相对运动。在这个过程中，外力必须克服电荷间的相互作用而作功，外界作功所消耗的能量转换为带电系统的能量，就称作该带电体系的静电能，其由系统的电荷分布所决定。本章我们将对带电系统的静电能作进一步分析 1．讨论点电荷组和连续带电体的静电能、有电介质存在时的损耗、电荷体系在外电场中的静电能、电场的能量和能量密度等； 2．介绍由静电能求静电力的方法（虚功原理法）。

静电能量的分析和计算

静电能量的分析和计算*蔡新华（湖南文理学院物理与电子科学系，湖南常德 415000）摘要：通过分析静电能量的内在含义，对静电能量的几个主要计算公式及其应用条件进行了细致的比较。

指出了电势零点的选择对计算公式表述形式的影响。

关键词：电荷体系；静电能量；电势零点Analysis and calculation of the electrostatic energyCai Xinhua(Department of Physics and Electronics, Hunan University of Arts and Science, Changde 415000)Abstract: Through analyzing the physics meaning of the electrostatic energy, some main calculating formulae of the electrostatic energy and their applied conditions are compared in detail. It is indicated that the expression forms of the calculation formulae of electrostatic energy are influenced by the selection of zero potential.Keywords: electric charge system; electrostatic energy; zero potential静电能量的分析与计算是电磁理论研究的重要问题之一。

在电磁学中，存在着多个形式不同的静电能计算公式，正确的区分这些公式所表达的物理意义和应用条件，是电磁学教学和研究中应特别引起重视的问题。

本文通过分析电磁能量的基本定义，对几个不同形式计算公式的应用条件进行了细致的比较，并讨论了电势零点的选择对计算公式表述形式的影响。

电荷间相互作用能静电的能量

V1是q2和q3在q1 所在处产生的电势，余类推。
点电荷间的相互作用能
1.3 多个点电荷
推广至由n个点电荷组成的系统，其相互作用能（电势能）为
1 n W qiVi 2 i 1
Vi是除qi外的其它所有电荷在qi 所在处产生的电势。
电荷连续分布时的静电能
2. 电荷连续分布时的静电能
以体电荷分布为例，设想不断把体电荷元dV从无穷远处迁移到物体上，系统的静电能为
任一带电体系的总能量
1 W we dV DEdV V V 2
静电场的能量
例题9-8 如图所示，在一边长为d的立方体的每个顶点上放有一个点电荷-e，立方体中心放有一个点电荷+2e。求此带电系统的相互作用能量。
e e
e
+2e
eቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
e
e e
e
静电场的能量
解一
相邻两顶点间的距离为d，八个顶点上负电荷分别与
所以铜板插入后的电容C’
为
0S q C VA －VB d d
2）由上式可见，C’ 的值与d1和d2无关（ d1增大时， d2减小。 d1+ d2=d-d' 不变），所以铜板离极板的距离不影响C’ 的值
静电场的能量
（ 3 ）铜板未抽出时，电容器被充电到 U=300V ，此时所带电荷量Q=C’ U，电容器中所储静电能为
空气的电容率取为板极上带电q时所储的电能为两极板的间距为d和2d时平行板电容器的电容分别为静电场的能量静电场的能量2设两极板之间的相互吸引力为f拉开两极板时所加外力应等于f外力所作的功afd所以故两极板的间距拉开到2d后电容器中电场能量的增量为静电场的能量静电场的能量例911平行板空气电容器每极板的面积s3102板极间的距离d31031103m的铜板平行地插入电容器内

静电能

§ 1.8 静电能 ELECTROSTATIC ENERGE （教材 P101）1.静电互作用能电荷之间的相互作用必然伴随着能量转移，由于电荷的相互作用通过电场传递，因此，能量转移必然通过电场对电荷作功来实现.我们在1.5节已经指出，静电场的保守性质，决定了它是有势场。

任何两点之间的电势差，等于电场力（或克服电场力）将单位正电荷从一点移至另一点所作的功，这功将转化为单位正电荷静电势能的改变量.因此，电势零点一经确定，任何一点的电势U ，就相当于单位正电荷在该点具有的静电势能.电势函数 U （x,y,z）在空间的分布构成标量场。

让我们设想，在其它电荷产生的外电场E 中，某点P的电势为U（x,y,z）= U（x），我们以黑体字母x 表示该点的位置矢量.当电场力（或克服电场力）将点电荷q从电势零点移至P点，电荷q就具有了势能：(1.8-1)这能量显然反映着外电场与电荷q 的相互作用，因此，这是电场与电荷q 的相互作用能。

如果我们对上式求负梯度，我们马上会得到(1.8-2)这正是外电场E 作用于电荷q的库仑力.如果一个体积为V 的电荷体系处于其它电荷的外电场E 中，设这体系的电荷密度函数为r (x) ,某个电荷元dq = r (x) d V 所在处外电场的电势为U（x）,则这电荷元与外场的静电互作用能为显然，这电荷体系与外电场的静电互作用能，就是V 内所有电荷元与外电场的静电互作用能之和，它由下述积分给出：(1.8-3)现在，我们考虑两个点电荷之间的静电互作用能.设P1和P2两点分别存在着点电荷q1和q2，两者的距离r12= r21.对于q2，q1的电场就是外电场，它在q2所在点的电势为于是， q1对q2的静电互作用能是同理，对于q1，q2的电场就是外电场，同样可得到q1对q2的静电互作用能我们看到：两个理想点电荷的静电相互作用能与它们的相互距离成反比；而且,W12= W21，即它们的相互作用能存在空间平移对称性——两者互换位置，相互作用能量不变.这从能量守恒定律可以得到解释.根据上面两式，我们现在将两个点电荷的静电互作用能写成：(1.8-4)这里，Ui是一个点电荷在另一个点电荷所在处产生的电势.这结果显然可以推广至 n个点电荷的相互作用能：(1.8-5)其中(1.8-6)是其它点电荷在第 i 个电荷所在处产生的电势之代数和2.外电场对电偶极子的作用（教材 P39 和 P109）当电矩为p = ql 的电偶极子处于外电场E中,它将与外电场发生相互作用而具有一定的势能.由（1.8-1），两个电荷的势能分别是W += qU+W-= -qU-故电偶极子的总势能为（1.8-7）即（1.8-8）其中，q 是电矩矢量p 的方向与外电场E 的方向之间的夹角.显然，q = 0 即当电矩矢量p 的方向与外场E一致的状态，是电偶极子的能量最低状态，因而也是最稳定的状态.而q = p 即p 与外场方向相反的状态，则是电偶极子的能量最高状态，即最不稳定的状态.据（1.8-2）和（1.8-7），电偶极子受到外电场的作用力为(1.8-9)可见，若外电场是均匀场，即当E与坐标无关时，则▽E = 0，于是电偶极子受到的净作用力F =0 .从组成电偶极子的两个电荷+q和-q受到的力来看，分别是 F+ = +qE 和 F-= - qE ,因此，当外电场是均匀的，电偶极子受到的合力F= F++ F-= 0.这告诉我们，处于均匀电场中的电偶极子不会出现平移运动.但是，如果外电场是非均匀场，则▽E ≠0， F ≠0，外场力将把电偶极子拉向场强较高的方向.处于非均匀电场中的电介质(dielectric)小颗粒或轻微物体，将被极化而成为电偶极子，并被吸向场强较高的地方.例如，静电吸尘及静电选矿，就是利用这个原理.从（1.8-8）式我们看到，q≠0的状态，并非电偶极子的稳定状态.事实上，由于F+和F-两者不共线，故必定会对电偶极子形成一个净力矩，并使电偶极子朝着q = 0 即外电场的方向转动.我们记电场作用于电偶极子的力矩矢量为L，L的方向亦即转轴的方向必定垂直于p 和E 线构成的平面.我们设想在这力矩作用下，q 有微小改变δ q ，从而使电偶极子的势能W 减小，即（1.8-10）（“虚功原理”，见教材P110）两边除以δ q ，并取δ q →0的极限，有（1.8-11）将代入并求导数，我们得到(1.8-12 )实际上，转动是朝着q 减小的方向、也就是(1.8-10)式中δq < 0的方向进行的，因此力矩矢量L的绝对值应为(1.8-13)考虑及此，力矩矢量应当为(1.8-14)读者也可以从上图中，通过计算两个电荷相对于中点0 所受的力矩之和，来检验（1.8-14）.——动手算一算两个电荷相对于中点0 所受的力矩矢量之和为[例1-18] 两个电偶极子的相互作用能[解] 设两电偶极子的距离为r，电矩为p1的电偶极子处于坐标原点o并沿z轴，电矩为p2的电偶极子与p1的夹角为a ，如图所示. 由（1.7-19）我们知道 p1在p2所在处产生的场强为：(1.8-15)而矢量p1可分解成球坐标下的两个分量（两个黄色箭头）：(1.8-16)即p1在p2所在处产生的场强E 可写成(1.8-17)据（1.8-7）,两者的相互作用能为(1.8-18)大家看到,两个电偶极子的相互作用能量的数值不仅与它们距离r 的3次方成反比，还与两者的相互取向有关.如果我们对上式求负梯度（在球坐标下进行），将给出两者之间的相互作用力，显然，这力与r4成反比.------ 你能否动手计算一下？现在，让我们考察如下比较特殊的几种情形：(1) 当两者共线，例如 p2也处于 z 轴，并且相同的取向，即q = 0 ,a = 0 ，此情形下两者将互相吸引，（1.8-18）给出相互作用能为负值；如果两者共线但取向相反，即q = 0 ,a = p 时, （1.8-18）给出W 将是一个正值，表示两者互相排斥.(2) 当q = p/ 2 ,a = 0 ,即两者平行且方向相同，将互相排斥，此时为正值；如果q = p/ 2 ,a = p ,两者平行但方向相反上式将变为负值,此时两者将互相吸引.上述结果对于我们今后讨论电介质（dielectric）问题显得很重要.由于组成介质的分子一般都是电中性的（总电量为零），而其电荷分布大都偏离球对称性，因此必定会出现分子电多极矩——主要是分子电偶极矩和四极矩,因此,如果从电学的角度看,电介质内部分子之间的相互作用,主要是电偶极矩以及四极矩之间的相互作用.从例1-16和例1-17读者已经看到:电偶极子的电势与 r 的2次方成反比,它们之间的相互作用势能与距离 r 的3次方成反比，电四极子的电势则与 r 的3次方成反比，它们之间的相互作用势能应当与距离 r 的4次方成反比，因此,一般情况下分子之间的电相互作用，主要地是电偶极作用.自习内容教材 P41[例5] P105 [例1] P106 [例2]3.电荷体系的静电能量（自能量） (教材P107)电荷之间存在着相互作用能，意味着带电体自身必然具有一定能量.现在,我们就来考虑任意一个电荷体系的静电能量，亦即它的自能量.我们在前面的(1.8-5)式，已经表示出n 个点电荷的静电互作用能：其中是其它点电荷在第i个电荷qi所在处产生的电势之代数和.应当主意，上式没有包括每一个电荷自身的能量.现在，我们设体积V内连续分布着电荷，电荷密度为r(x)，一个很小的体积元dV内的电荷就是dq =r (x) dV .根据电势叠加原理，每一个很小的体积元dV内的电势U (x)，应当是dV内部的电荷自己产生的电势Us （x）与dV外部的其它电荷产生的电势Ue（x）之和：U(x) = Us （x）+Ue（x）因此，dV内的电荷所具有的静电能，包含着它内部电荷的互作用能以及它与外部其它电荷的互作用能之和：于是，这带电体的总静电能量就是(1.8-19)积分体积V遍及整个电荷分布区域.4.静电场的能量和能量密度（可参阅教材P207，但讲法不同）大家知道，电荷分布稳定的带电体产生静电场，这电场与带电体不可分割地联系在一起.因此，我们把带电体的静电场叫做它的自有场.现在我们设想，通过某种方法使一个半径为a的薄球壳带上电荷q，例如，利用电源的一个电极与导体球壳接触使之带电，这过程电源作了功，然后将电极拿开，达到稳定平衡状态后，电荷均匀地分布在球壳表面上，电荷密度为如你们所知，这带电球壳的场强分布为( r≥a)E = 0 (r < a)即这球壳的电场连续地分布于整个球外区域.而球壳表面的电势则是一个常数（r = a）由于电荷只是分布于球面上，因此根据（1.8-19），将被积函数对整个球面积分，便给出这球壳的总静电能（1.8-20）一个非常重要的问题是：这个带电体的静电能究竟以什么形式存在？大家已经知道，电荷之间的相互作用是通过电场传递的.如果我们在这带电球壳外部某点放进一个试验电荷q0，它必将受到电场力的作用而改变运动状态，这意味着q从电场中获得了一定的能量！因此电场必定具有能量.让我们假设,电场的能量密度——单位体积内电场的能量为(焦耳/米3 ) （1.8-21）对于这个带电球壳而言，电场是分布在球外区域的。

静电正常范围

静电正常范围
静电是指物体表面带电的现象，通常由于摩擦、摩擦电效应、离子吸附等原因引起。

静电的电压大小通常以伏特（V）为单位表示，而电荷量大小则以库仑（C）为单位表示。

在工业生产和日常生活中，静电的正常范围通常被定义为静电电压不超过10,000伏特，电荷量不超过0.1微库仑（即10^-6库仑）。

在这个范围内，静电对人体和设备的影响较小，不会造成严重的安全隐患和生产事故。

然而，当静电电压超过10,000伏特或电荷量超过0.1微库仑时，就会对人体和设备造成危害。

例如，高电压静电可能会引起电击、火灾等危险，而高电荷量静电则可能会引起静电放电、静电吸附、静电击穿等问题，对电子元器件、精密仪器等设备造成损害。

因此，在工业生产和日常生活中，需要采取一系列措施来控制和消除静电，例如接地、使用静电消除器、采用导电材料等，以确保生产和工作环境的安全和稳定。

静电能

产品介绍
产品介绍
对于一个带电体系的静电能，应包括每个带电体的自能和带电体间相互作用能。所谓“自能”就是将一个带电体看成无穷个带电微元，将这些无穷多个带电体微元从无限分散状态聚集成该带电体，外力所做功的大小。所谓“互能”则是将带电体系统中，各带电体从位置彼此分开至无穷远时，它们之间的静电力所做的功。
静电能包括自能和互能.点电荷的自能是无穷大，一般在静电学问题中都不考虑点电荷的自能。
点电荷系点ຫໍສະໝຸດ 荷系由一电场和一个被搬运电荷构成的体系的静电能电场力搬运电荷做功提升或消耗了体系的势能。在电场中搬运一个正电荷的过程中，无论电场力做正功还是负功，都表明了电场具有能的属性。电场力做正功则降低了体系的势能，做负功则提升了体系的势能，若用W表示电场力做功，则电场力对电荷的做功可由下式计量若 A点取在无限远处，即，若，则，负号表示“电场力做负功，也就是外力克服电场力做正功”。这一份功对于电荷与电场这个体系的能量是建设性的，具有提升其势能的作用，就如同我们将一个重物提升高度而提升了重力势能一样。由上所述不难理解，电场力做功与体系的电势能完全遵守“功能原理”而互相转化，若用外W表示外力做功，其转换关系就是即外力做功积累或提升了体系的电势能。上述讨论的目的是要搞清楚“外力做功”、“电场力做功”及“电势能”三者之间的关系，明白了三者之间的关系自然就能理解“外力对搬运电荷做功提升或消耗了带电体系的静电能”这个道理。两个相距为r的点电荷q1、q2构成的系统的静电能一个真空中的电荷系统可以看作是由若干彼此相距无限远的点电荷汇聚到一起形成的。
带电体系
带电体系
设空间某一区域，有一电荷任意分布的带电体系（由有限个带电体组成），其稳定的最终状态的电荷体密度为ρ（x,y,z），电荷面密度为σ（x,y,z），电势为U(x,y,z)。因为静电场是保守力场，所以系统的总能量取决于系统的最终状态，而与系统形成的过程无关。故设想：每一个带电体的电量都同时从零开始，按同一比例k缓慢地增加到最终值，设初值为0，终值为1，根据场的叠加原理，空间各点的电势亦按同一比值k增加，即 kU(x,y,z)