求导法则
四则运算求导法则
四则运算求导法则四则运算求导法则是微积分中十分重要的一个概念，它是求导数的基础，也是后续复杂函数求导的基础之一。
在这篇文章中，我们将深入探讨四则运算的求导法则，帮助大家掌握这一重要概念。
首先，我们需要了解什么是导数。
导数是用来描述一个函数在某一点处的变化率的数值，它是函数在该点的切线斜率。
我们可以通过求导数的方法来求得某一点的导数。
四则运算包含了加、减、乘、除四个基本运算。
那么，如何求导呢？加法求导法则：两个函数的和的导数等于这两个函数的导数的和。
例如：f(x) = u(x) + v(x) ，则f'(x) = u'(x) + v'(x)。
减法求导法则：两个函数的差的导数等于这两个函数的导数的差。
例如：g(x) = u(x) - v(x)，则g'(x) = u'(x) - v'(x)。
乘法求导法则：两个函数的积的导数等于这两个函数分别求导后再相乘再加上另一个函数分别求导后再相乘的和。
例如：h(x) = u(x)v(x)，则h'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)。
除法求导法则：两个函数的商的导数等于被除函数的导数乘以除数减去除函数乘以被除数的导数后，再除以除数的平方。
例如：q(x) = u(x) / v(x)，则q'(x) = [u'(x)v(x) -u(x)v'(x)] / v(x)^2。
以上就是四则运算的求导法则，可以应用于各种函数的求导。
但需要注意的是：在进行四则运算时，要按照先乘除后加减的顺序进行，使得计算更加准确。
在实际应用中，我们可根据四则运算法则对函数进行逐层求导，以求出函数在某一点的导数和导函数。
导函数不仅可以帮助我们更好地理解函数的性质，还是后续求极值、凸凹性等问题的基础工具。
最后，再次强调：四则运算是微积分求导的基础，掌握好四则运算的求导法则，才能更好地掌握后续的高等数学知识，更好地理解微积分的精髓。
函数的求导法则
例 4 求函数 y＝arcsin x 的导数。
解：
y arcsin x 是 x sin y 的反函数 其中： x [1,1] ，y [ , ] 2 2 dx 而 cos y 1 sin 2 y 1 x 2 dy
由反函数求导法则：当 x 1 时
证:
在 x 处给增量
d y
因此
例 3 求函数 y＝e 的导数。
解：
x
y e x 是 x ln y 的反函数，而 x ln y 在 (0,) 内导数存在，且不为零 .
1 1 (e ) ＝y e x . (ln y ) 1 y
x
x 可推出 a ＝a ln a
(log a x)
sec x tan x
1 x ln a 1
1 x
2
(cot x) csc 2 x (csc x) csc x cot x
(a x ) a x ln a
( e x ) e x
(ln x)
1 x
(arcsin x) (arctan x)
1 1 例 8 设f ( x )＝ln x 1 －x －ln 2 ， 求 f 及 f ； 2 2 1 解： f ( x) ln x ln(1 x 2 ) ln 2 2 1 1 2x 1 x f ( x) 2 2 x 2 1 x x 1 x
y f (u ) , u ( x)
dy dy d u f (u ) ( x) dx d u dx
4. 初等函数在定义区间内可导, 且导数仍为初等函数
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六、分段函数求导举例
3sin x＋x 2cos 1 ，x 0 例1 证明 f ( x)＝ x ，x＝ 0 0 在 x＝ 0 点可导，但 f ( x) 在 x＝ 0 点不连续。
导数的四则运算法则
一、复习回顾
1、基本求导公式 : ' 1
(1)C 0(C为常数)
(2)( x ) x
x ' x
(为常数）
(3)(a ) a lna(a 0, 且a 1)
1 (4)(log a x ) (a 0, 且a 1) xlna 1 ' x ' x (6)(lnx) (5)(e ) e x
2
(2)求函数g ( x) x x x 2的导数.
3 2
法则 2: 两个函数的积的导数，等于第一
个函数的导数乘以第二个函数加上第一个 函数乘以第二个函数的导数．即：
[ f ( x) g ( x)] f ( x) g ( x) f ( x) g ( x).
例2： (1)求函数h( x) x sin x的导数. (2)求函数f ( x) x ln x的导数.
法则3:
[Cf ( x)] Cf ( x).(C为常数)
3 2 (3)求函数g ( x) x x 6 x 2的导数. 2
3
(4)求函数f ( x) 2 x ln x的导数.
法则4 :两个函数的商的导数，等于分子的 导数与分母的积，减去分母的导数与分子 的积，再除以分母的平方,即：
f ( x) f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) [ ] ( x) 0
t 1 例3 ： (1)求函数s(t ) 的导数. t
2
x (2)求函数f(x) x 的导数. e
练 习
2. 求 y (2x 3)(3x 2)的导数
1.求 y 2x 3x 5x 4 的导数
2
3
常用的基本求导法则与导数公式
常用的基本求导法则与导数公式求导是微积分中的重要概念，它是计算函数变化率的一种方法。
在求导过程中，我们需要掌握一些基本的求导法则与导数公式。
在本文中，我将介绍一些常用的基本求导法则与导数公式，并给出一些示例来帮助读者更好地理解。
在微积分中，函数的导数表示函数在给定点处的变化率。
函数的导数可以通过各种求导法则与导数公式来确定。
接下来，让我们来看一些常用的求导法则与导数公式。
1.常数规则：如果函数是一个常数，那么它的导数等于零。
例如，如果f(x)=5，那么f'(x)=0。
2.幂规则：如果函数是幂函数，那么它的导数可以通过以下公式来计算：a.若f(x)=x^n，其中n是一个正常数，那么f'(x)=n*x^(n-1)。
例如，如果f(x)=x^2，那么f'(x)=2x。
b.若f(x)=a^n，其中a是一个常数，那么f'(x)=0。
因为常数的导数等于零。
3.乘积法则：如果函数是两个函数的乘积，那么它的导数可以通过以下公式来计算：若f(x)=g(x)*h(x)，那么f'(x)=g'(x)*h(x)+g(x)*h'(x)。
例如，如果 f(x) = x^2 * sin(x)，那么 f'(x) = 2x * sin(x) +x^2 * cos(x)。
4.商规则：如果函数是两个函数的商，那么它的导数可以通过以下公式来计算：若f(x)=g(x)/h(x)，那么f'(x)=(g'(x)*h(x)-g(x)*h'(x))/h^2(x)。
例如，如果f(x)=(3x^2+1)/(2x)，那么f'(x)=(6x-3)/(2x^2)。
5.反函数法则：如果函数是另一个函数的反函数，那么它的导数可以通过以下公式来计算：若f(g(x))=x，那么f'(g(x))*g'(x)=1，因此f'(g(x))=1/g'(x)。
常用的基本求导公式
常用的基本求导公式1. 乘法法则（Product Rule）：如果y = u(x)v(x)，其中u(x)和v(x)是关于x的函数，则y' = u'v + uv'。
2. 商法则（Quotient Rule）：如果y = u(x)/v(x)，其中u(x)和v(x)是关于x的函数，则y' = (u'v - uv')/v²。
3. 链式法则（Chain Rule）：如果y=f(g(x))，其中g(x)是关于x的函数，f(u)是关于u的函数，则y'=f'(g(x))*g'(x)。
4.幂函数法则：如果y=xⁿ，其中n为常数，则y'=n*xⁿ⁻¹。
5.指数函数法则：如果y = aˣ，其中a为常数，x为变量，则y' = ln(a) * aˣ。
6.对数函数法则：如果y = logₐ(x)，其中a为常数，x为变量，则y' = (1/ln(a)) * (1/x)。
7.反三角函数法则：(1) 如果y = sin⁻¹(x)，则y' = 1/√(1-x²)。
(2) 如果y = cos⁻¹(x)，则y' = -1/√(1-x²)。
(3) 如果y = tan⁻¹(x)，则y' = 1/(1+x²)。
8.双曲函数法则：(1) 如果y = sinh(x)，则y' = cosh(x)。
(2) 如果y = cosh(x)，则y' = sinh(x)。
(3) 如果y = tanh(x)，则y' = sech²(x)。
9.导数的性质：(1) 常数的导数为0，即d/dx(c) = 0。
(2) 变量的导数为1，即d/dx(x) = 1(3) 导数的线性性质，即d/dx(c₁f(x) + c₂g(x)) = c₁f'(x) +c₂g'(x)，其中c₁和c₂为常数，f(x)和g(x)是关于x的函数。
常用的基本求导法则与导数公式
常用的基本求导法则与导数公式在微积分中，求导是一项重要的基本操作。
通过求导，我们可以计算一个函数在给定点的斜率，求得函数的极值和拐点，以及解决各种实际问题。
本文将介绍一些常用的基本求导法则与导数公式，帮助大家更好地理解求导的过程与应用。
一、导数的定义导数描述的是一个函数在某点附近的变化率。
对于函数y = f(x)，其在点x处的导数表示为f'(x)或dy/dx。
导数的定义为：f'(x) = lim┬(h→0)〖(f(x+h)-f(x))/h〗二、常用的基本求导法则1. 常数法则若C为常数，则d(C)/dx = 0。
2. 幂函数法则对于函数y = x^n，其中n为任意实数，使用幂函数法则可以得到其导数：d(x^n)/dx = nx^(n-1)3. 四则运算法则对于两个可导函数f(x)和g(x)，使用四则运算法则可以得到它们的和、差、积和商的导数：若h(x) = f(x) ± g(x)，则h'(x) = f'(x) ± g'(x)若h(x) = f(x) * g(x)，则h'(x) = f'(x) * g(x) + f(x) * g'(x)若h(x) = f(x) / g(x)，则h'(x) = (f'(x) * g(x) - f(x) * g'(x)) / g^2(x)，其中g(x)≠04. 反函数法则若y = f(x)的反函数为x = g(y)，且g(y)在y点可导，则有：d(g(y))/dy = 1 / f'(x)5. 复合函数法则若y = f(u)和u = g(x)是可导函数，则复合函数y = f(g(x))的导数为：(d(f(u))/du) * (d(g(x))/dx)6. 指数函数法则对于函数y = a^x，其中a为常数且a>0，使用指数函数法则可以得到其导数：d(a^x)/dx = ln(a) * a^x三、导数公式1. 常见函数的导数公式- 常数函数导数为0- 幂函数导数为nx^(n-1)- 指数函数导数为a^x * ln(a)- 对数函数ln(x)的导数为1/x- 正弦函数sin(x)的导数为cos(x)- 余弦函数cos(x)的导数为-sin(x)- 正切函数tan(x)的导数为sec^2(x)2. 反函数的导数公式若y = f(x)的反函数为x = g(y)，且f'(x)和g'(y)均存在且不为0，则有以下关系：f'(x) = 1 / g'(y)3. 链式法则对于复合函数y = f(u)和u = g(x)，使用链式法则可以得到复合函数的导数：dy/dx = (df/du) * (du/dx)四、应用示例1. 求函数f(x) = 3x^2 - 2x + 1在x = 2处的导数。
求导数的方法法则与公式
例5
函数，
ln x , y ln x 号，为分段
x 0, x 0.
1 当 x 0时， y (ln x ) (ln x ) , x 1 ( x ) 当 x 0时， y (ln x ) [ln( x )] , x x 1 综上， (ln x ) . x
第二节 求导数的方法
一、求导法则
法则与公式
主要内容：
二、基本初等函数的求导公式
一、求导法则
1. 函数和、差、积、商的求导法则：
如果函数u( x )、v ( x )在点x处可导，则它们 的和、差、积、商（分母不为零）在点x处也 可导，并且
(1) [ u ( x ) v ( x )] u ( x ) v ( x ).
于是方程两边对x求导数有 y 2 x y 0, y 2 xy 从而 y . y 1
二、基本初等函数的求导公式
1. 幂函数 x ( R )的导数
取对数求导法
对等式 y x 的两边取自然对数，有
y 两端对 x求导得 , y x y x 1 ( x ) x . 于是 y , x x
当u( x ) 1时,
0
1 (1)v ( x ) 1 v ( x ) v ( x ) 2 . [ ] 2 v ( x) v( x ) v ( x)
u( x ) u ( x ) 不可以为 [ ] . v( x ) v ( x )
1 v ( x ) ] 2 特别的， [ v( x ) v ( x)
设隐函数y关于x可导，我们可以利用复合 函数求导法则，求出y关于x的导数.
下面我们用例题来说明这种解法：
导数的四则运算法则
1 2
xsinx + = = -
1 2 x x
cosx = -
2xsinx + cosx 2x x
cosx + 2xsinx 2x x
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1 x 例6．求y=f（x）= 的导函数,f'(1). 3 x
2 2 1 x (1 x ) (3 x ) (1 x )(3 x ) 解： y ' ( )' 3 x (3 x 2 )2
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证明：令y=f(x)+g(x)，则
Δy = f(x +Δx)+ g(x +Δx)-[f(x)+ g(x)] =[f(x +Δx)- f(x)]+[g(x +Δx)- g(x)]= Δf +Δg
Δy Δf Δg = + Δx Δx Δx Δy Δf Δg Δf Δg lim = lim + = lim + lim Δx→0 Δx Δx→0 Δx Δx Δx→0 Δx Δx→0 Δx
练习：求下列函数导函数 （1）y= e2x (2) 答案:（e2x）'=2e2x ,
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y=cos2x (cos2x)'= -sin2x
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练习题 1．若f(x)与g(x)是定义在R上的两个可导 函数，且f(x)，g(x)满足f ’(x)=g’(x)，则f(x) 与g(x)满足（ B ） （A）f(x)＝g(x) （B）f(x)－g(x)为常数函数
(1) y 2 x 3x 8
5 2
(2) y ( x 2x)( x 2)
导数的四则运算法则
导数的四则运算法则1.求和规则：如果f(x)和g(x)都是可导函数，则它们的和的导数等于各自函数的导数之和。
即：(f+g)'(x)=f'(x)+g'(x)2.差规则：如果f(x)和g(x)都是可导函数，则它们的差的导数等于各自函数的导数之差。
即：(f-g)'(x)=f'(x)-g'(x)3.乘法规则：如果f(x)和g(x)都是可导函数，则它们的乘积的导数等于第一个函数的导数乘以第二个函数加上第一个函数乘以第二个函数的导数。
即：(f*g)'(x)=f'(x)*g(x)+f(x)*g'(x)4.除法规则：如果f(x)和g(x)都是可导函数且g(x)不等于零，则它们的商的导数等于第一个函数的导数乘以第二个函数减去第一个函数乘以第二个函数的导数，再除以第二个函数的平方。
即：(f/g)'(x)=(f'(x)*g(x)-f(x)*g'(x))/(g(x))^2这些四则运算法则可以用于计算复杂函数的导数。
下面通过一些简单的例子来说明这些规则的具体应用。
例子1：计算函数f(x)=x^3+2x^2-3x+1的导数。
解：对于这个函数，可以按照求和规则和乘法规则分别对各项进行求导。
f'(x)=(x^3)'+(2x^2)'+(-3x)'+(1)'=(3x^2)+(4x)+(-3)=3x^2+4x-3例子2：计算函数g(x)=(2x^2+3x-1)/(x+2)的导数。
解：应用乘法规则和除法规则对该函数进行求导。
g'(x)=((2x^2+3x-1)'*(x+2)-(2x^2+3x-1)*(x+2)')/(x+2)^2=(((4x+3)*(x+2))-((2x^2+3x-1)*1))/(x+2)^2=(4x^2+11x+6-2x^2-3x+1)/(x+2)^2=(2x^2+8x+7)/(x+2)^2通过这两个简单的例子，我们可以看到四则运算法则在计算导数中的应用。
数学求导公式大全
数学求导公式大全以下是一些常用的数学求导公式：1. 基本求导法则：- 常数函数：$f(x) = c$，其中 $c$ 是常数，$f'(x) = 0$- 幂函数：$f(x) = x^n$，其中 $n$ 是常数，$f'(x) = nx^{n-1}$ - 指数函数：$f(x) = a^x$，其中 $a$ 是常数且 $a > 0$，$f'(x) = \ln(a) \cdot a^x$- 对数函数：$f(x) = \log_a(x)$，其中 $a$ 是常数且 $a > 0$，$f'(x) = \frac{1}{x \cdot \ln(a)}$- 三角函数：- 正弦函数：$f(x) = \sin(x)$，$f'(x) = \cos(x)$- 余弦函数：$f(x) = \cos(x)$，$f'(x) = -\sin(x)$- 正切函数：$f(x) = \tan(x)$，$f'(x) = \sec^2(x)$- 反三角函数：- 正弦函数的反函数：$f(x) = \arcsin(x)$，$f'(x) =\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$- 余弦函数的反函数：$f(x) = \arccos(x)$，$f'(x) = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$- 正切函数的反函数：$f(x) = \arctan(x)$，$f'(x) =\frac{1}{1+x^2}$2. 基本运算法则：- 常数乘法规则：$[cf(x)]' = c \cdot f'(x)$，其中 $c$ 是常数- 加法法则：$[f(x) + g(x)]' = f'(x) + g'(x)$- 减法法则：$[f(x) - g(x)]' = f'(x) - g'(x)$- 乘法法则：$[f(x) \cdot g(x)]' = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdotg'(x)$- 除法法则：$[f(x) / g(x)]' = \frac{f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdotg'(x)}{g^2(x)}$，其中$g(x) ≠ 0$- 复合函数法则：$[f(g(x))]' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$3. 高阶导数：- 一阶导数：$[f(x)]'$- 二阶导数：$[f(x)]''$ 或 $f''(x)$- n阶导数：$[f(x)]^{(n)}$ 或 $f^{(n)}(x)$这只是一些常用的数学求导公式，实际上数学求导有很多不同类型的公式和规则。
高中求导公式运算法则
高中求导公式运算法则
求导公式和运算法则是高中微积分中用于求导数的基本规则，下面是一些常见的求导公式和运算法则：
1. 常数的导数为0：(C)' = 0，其中C为常数。
2. 幂函数的导数：(x^n)' = nx^(n-1)，其中n为常数。
3. 对数函数的导数：(ln x)' = 1/x。
4. 指数函数的导数：(a^x)' = a^x * ln a，其中a为常数。
5. 三角函数的导数：
- (sin x)' = cos x
- (cos x)' = -sin x
- (tan x)' = sec^2 x
- (csc x)' = -csc x * cot x
- (sec x)' = sec x * tan x
- (cot x)' = -csc^2 x
其中sin x表示正弦函数，cos x表示余弦函数，tan x表示正切函数，csc x表示余割函数，sec x表示正割函数，cot x表示余切函数。
6. 乘法法则：(uv)' = u'v + uv'。
7. 除法法则：(u/v)' = (u'v - uv')/v^2。
8. 函数的复合：若y = f(g(x))，则y' = f'(g(x)) * g'(x)。
9. 指数函数的链式法则：若y = f(u) = a^u，其中u = g(x)，则y' = f'(u) * g'(x) * ln a。
以上仅为常见的求导公式和运算法则，实际求导时还会涉及到其他的规则和技巧。
函数的求导法则
函数的求导法则函数的求导法则主要包括常数法则、简单函数的求导法则、函数和的求导法则、函数积的求导法则、函数商的求导法则、复合函数的求导法则、反函数的求导法则、隐函数的求导法则等。
下面我将对这些求导法则进行详细地介绍。
一、常数法则对于常数函数y=C，其中C是一个常数，它的导数为0。
这是因为常数函数的图像是一条水平直线，其斜率为0，所以导数为0。
二、一元函数的求导法则对于幂函数y = x^n，其中n是一个实数，它的导数为y' = nx^(n-1)。
这个结果可以通过导数的定义进行推导。
对于指数函数y = a^x，其中a是一个正数且不等于1，它的导数为y' = a^x * ln(a)。
这个结果可以通过对数的求导法则得到。
对于对数函数y = log_a(x)，其中a是一个正数且不等于1，它的导数为y' = 1 / (x * ln(a))。
这个结果可以通过指数函数的求导法则得到。
(1) 正弦函数的导数：y' = cos(x)(2) 余弦函数的导数：y' = -sin(x)(3) 正切函数的导数：y' = sec^2(x)(4) 余切函数的导数：y' = -csc^2(x)(5) 反正弦函数的导数：y' = 1 / sqrt(1-x^2)(6) 反余弦函数的导数：y' = -1 / sqrt(1-x^2)(7)反正切函数的导数：y'=1/(1+x^2)三、函数和的求导法则对于两个函数u(x)和v(x)的和u(x)+v(x)，它的导数为(u(x)+v(x))'=u'(x)+v'(x)。
这个结果可以通过导数的性质进行证明。
四、函数积的求导法则对于两个函数u(x)和v(x)的积u(x)*v(x)，它的导数为(u(x)*v(x))'=u'(x)*v(x)+u(x)*v'(x)。
这个结果也可以通过导数的性质进行证明。
三个求导法则.
及y
(7)
。
y ( 7) 0 。
2、由参数方程所确定的函数的二阶导数
2 x a cost , d y 例 5、设函数 。 (0 t 2 ) ，求 y （或 2 ） dx y b sin t
d y d dy dx ( )/ 2 dt dx dt dx
2
解： (a cost ) a sin t ， (b sin t ) a cost ，
2、隐函数的显化
由 x y 3 1 0 ，解得 y 3 1 x 。
有些隐函数不可能显化： e y xy 0 。
3、隐函数的求导法
由于由方程 F(x，y)＝0 所确定的函数 y＝y(x)，能使 F(x，y(x)) 0 成为关于 x 的恒等式。因此，由方程 F(x，y)＝0 求 y 对 x 的导数时，只要把其中的 y 看成 是 x 的函数 y( x ) ，同时利用复合函数的求导法则，对 等式两端求对 x 的导数，然后由得出的含 x、y、 y 的等式中解出 y 就可以了。
d2y 记作 f (x)， y ，或 2 ， dx
f ( x x ) f ( x ) 即 f (x)＝ lim 。 x 0 x
y =(y)，
f (x)＝[f(x)]，
类似的，y＝f(x)的二阶导数的导数叫做y＝f(x)的三阶导数；
y＝f(x)的三阶导数的导数叫做y＝f(x)的四阶导数； … y＝f(x)的(n-1)阶导数的导数叫做y＝f(x)的n阶导数，
它们分别记作
d dy ＝ ( )。 dx 2 dx dx
d2y
y ，
或 f (x) ，
y(4) ，
… ， … ，
y (n) ；
求导法则
(uv)′ = u′v + uv′
推论: 1) ( C u )′ = C u′ ( C为常数 )
2) ( uvw )′ = u ′vw + uv′w + uvw′
′ ln x 1 3) ( log a x )′ = = ln a x ln a
推论:
(
C ′ − C v′ ) = 2 ( C为常数 ) v v
2 ′ 例2. 求证(tan x ) = sec x ,
证:
=
(sin x)′ cos x
=
sin x
2
=
sin x
2
类似可证:
二、反函数的求导法则
定理2.
y 的某邻域内单调可导, d y 1 1 或 = dx −1 dx [ f ( y )]′
3. 复合函数求导法则
(C u )′ = C u ′ ( C为常数 ) u ′ u ′v − u v′ (v ≠ 0 ) ( )= 2 v v
说明: 最基本的公式 (C )′ = 0
y = f (u ) , u = ϕ ( x)
dy d y d u = ⋅ = f ′(u ) ⋅ ϕ ′( x) dx d u dx
此法则可推广到任意有限项的情形. 例如,
例如 , (u + v − w)′ = u′ + v′ − w′
证（２）
[u( x + ∆x )v ( x + ∆x )] − u( x )v ( x ) [u( x )v ( x )]′ = lim ∆x → 0 ∆x u( x + ∆x ) − u( x ) v ( x + ∆x ) − v ( x ) = lim [ v ( x + ∆x ) + u( x ) ] ∆ x →0 ∆x ∆x u( x + ∆x ) − u( x ) = lim lim v ( x + ∆x ) ∆ x →0 ∆x → 0 ∆x v ( x + ∆x ) − v ( x ) + u( x ) lim ] ∆x → 0 ∆x = u′( x )v ( x ) + u( x )v ′( x )
求导运算法则
求导运算法则求导运算法则是极为重要的数学研究内容，它是计算一个或多个自变量变化时函数值变化率的重要方法。
求导运算本质上是求解变量之间彼此关系的过程，其结果是函数变化量或函数的导数。
求导运算法则可以分为常数链法则、线性函数法则、指数函数法则、对数函数法则、三角函数法则、求和法则、求积法则、极限法则等。
首先，常数链法则是求导运算法则中最基本最简单的法则。
它告诉我们，如果函数中只有常数，则其导数为零。
也就是说：如果y=C （C是常数），那么dy/dx=0。
其次，线性函数法则是求导的基本法则，它告诉我们，一个线性函数的导数是它斜率的常数，其偏导数也是它斜率的常数。
也就是说：如果y=ax+b（a,b是常数），那么dy/dx=a。
紧接着，指数函数法则也是一个重要的求导法则，它告诉我们，一个指数函数的导数等于它本身乘以它的指数函数的对数函数，也就是dy/dx=ax^(a-1)，其中a是指数函数的指数。
此外，对数函数法则也是重要的求导法则，它告诉我们，一个对数函数的导数等于其底数的倒数。
也就是说：如果y=loga x（a是任意正数），那么dy/dx=1/xa。
接下来，三角函数法则是特别重要的求导法则，它告诉我们，所有三角函数及它们的反函数（例如正弦函数，余弦函数，正切函数，反正切函数）的导数，其导数都可以用其反函数的导数表达式替代。
例如：如果y=sinx，那么dy/dx=cosx。
此外，求和法则和求积法则也是求导的重要法则。
求和法则指出，如果函数为一个加法运算，那么函数的导数等于其所有加数的导数的和；而求积法则则指出，如果函数为一个乘法运算，那么函数的导数等于其所有乘数的导数的积。
最后，极限法则也列入求导运算法则，它是求取函数导数最常用的方法之一。
极限法则指出，函数的导数等于当自变量趋近无限时，函数值变化率趋近于某一值。
综上所述，求导运算法则是应用极为广泛的数学研究主题之一，其规则包括常数链法则、线性函数法则、指数函数法则、对数函数法则、三角函数法则、求和法则、求积法则以及极限法则等。
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1 1 x 1 x + ( ⋅ − ⋅ 2 2 4 1+ x2 +1 1+ x2 1+ x −1 1+ x
1 1 1 x − 2 ) ( = 2 2 1+ x2 2 + x x −1 = 3 2 (2x + x ) ln( x + x2 +1) − ln( 1+ x2 −1) 1+ 1
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此法则可推广到任意有限项的情形. 例如,
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(2) (uv)′ = u′v + u v′
证: 设 f (x) = u(x)v(x) , 则有
f (x + h) − f (x) u(x + h)v(x + h) − u(x)v(x) f ′(x) = lim = lim h→0 h→0 h h
u(x + h) −u(x) v(x + h) + u(x) v(x + h) − v(x) = lim h→0 h h
= u′(x)v(x) + u(x)v′(x)
故结论成立.
推论: 推论 1) (Cu )′ = Cu′ ( C为常数 )
2) ( uvw)′ = u′vw+ uv′w+ uvw′ ′ ln x = 1 3) ( loga x )′ = ln a xln a
e − e ′ ex + e−x = ch x (3) (sh x)′ = ( )= 2 2 说明: 说明 类似可得 1 (ch x)′ = sh x ; (th x)′ = 2 ; (ax )′ = ax lna . ch x sh x ex − e−x ax = ex lna th x = sh x = ch x 2
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2) 设 y = a (a > 0 , a ≠ 1) , 则 x = loga y , y ∈( 0 , + ∞)
x
1 = = (loga y)′
1
1 yln a
= yln a
特别当 a = e 时, ( ex )′ = ex 小结: 小结
( arcsin x)′ = ( arctan x)′ =
e −e sh x = 2 的反函数
(arshx)′ =
1 x2 +1
其它反双曲函数的导数见 P94例16. 例
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四、初等函数的求导问题
1. 常数和基本初等函数的导数 (P94)
(C)′ = 0 (sin x)′ = cos x (tanx)′ = sec2 x (secx)′ = sec xtan x (ax )′ = ax ln a
第二节 函数的求导法则
一、四则运算求导法则 二、反函数的求导法则 三、复合函数求导法则 四、初等函数的求导问题
第二章
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思路: 思路
( 构造性定义 ) 本节内容
(C )′ = 0 ( sin x )′ = cos x 证明中利用了 1 两个重要极限 ( ln x )′ = x
初等函数求导问题
求导法则 其它基本初等 函数求导公式
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一、四则运算求导法则
定理1. 定理 的和、 积、 (除分母 差、 商 为 0的点外) 都在点 x 可导, 且
(v(x) ≠ 0)
下面分三部分加以证明, 并同时给出相应的推论和 例题 .
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(1) (u ± v)′ = u′ ± v′ 证: 设 f (x) = u(x) ± v(x) , 则 f (x + h) − f (x) f ′(x) = lim h→0 h [ u(x + h) ± v(x + h) ] −[ u(x) ± v(x) ] = lim h→0 h u(x + h) − u(x) v(x + h) − v(x) = lim ± lim h→0 h→0 h h = u′(x) ± v′(x) 故结论成立.
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例1. y = x ( x − 4cos x − sin1) ,
3
3 解: y′ = ( x )′ ( x − 4cos x − sin1)
( x3 − 4cos x − sin1)′ + x
2 x 1 y′ x=1 = (1− 4cos1− sin1) + (3 + 4sin1) 2 7 7 = + sin1− 2cos1 2 2
说明: 说明 最基本的公式 (C)′ = 0
y = f (u) , u = ϕ(x)
dy dy du = ⋅ = f ′(u) ⋅ϕ′(x) dx du dx
(sin x)′ = cos x
(ln x)′ =
1 x
4. 初等函数在定义区间内可导 由定义证 , 其它公式 初等函数在定义区间内可导, 用求导法则推出. 且导数仍为初等函数
u(x + h) u(x) − v(x + h) v(x)
h
v(x + h) − v(x) u(x + h) − u(x) v(x) − u(x) h h = lim
h→0
v(x + h)v(x)
u′(xuv(xv(xu(x) v′(x) ± ) (x)) − ) = 故结论成立. 2 u(x + h)v(x) −u(v )(x) + h) x v(x C ′ − C v′ h 推论: ( ) ( 推论 v(x + h) v=x) 2 ( C为常数 ) v v
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=
1
( x3 − 4cos x − sin1) + x ( 3 x2 + 4sin x )
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(3) (
证: 设
u ′ u′v − u v′ ) = v v2
u( x) f (x) = v(x) , 则有
f (x + h) − f (x) f ′(x) = lim = lim h→0 h→0 h
ax
解: y′ = a x
a aa −1
⋅ axa−1 + a ln a
xa
+ a ln a⋅ ax ln a
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ax
例9. y = e 解:
sin x2
arctan x2 −1 ,求
y′ .
y′ = (e
sin x2
⋅ cos x2 ⋅ 2x) arctan x2 −1 1 sin x2 1 ⋅ ⋅ 2x ) +e ( 2 x 2 x2 −1
关键: 搞清复合函数结构, 由外向内逐层求导.
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例4. 求下列导数: 解: (1) (x )′ = (e
µ µ ln x
)′
⋅ (µ ln x)′
⋅
µ
x
= µ xµ−1
(2) (xx )′ = (ex ln x )′
x −x
⋅ (xln x)′ = xx ( ln x +1)
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x +1 − x −1 求 ′ 例7. y = , y. x +1 + x −1
2x − 2 x −1 = x − x2 −1 解: ∵ y = 2 1 x ∴ y′ =1 − ⋅ (2x) =1− 2 x2 −1 x2 −1
2
例8. 设 y = x
aa
+a
xa
+ a (a > 0),求 y′.
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例2. 求证
′ sin x (sin x)′ cos x − sin x (cos x)′ 证: (tan x)′ = = cos 2 x cos x
cos x + sin2 x = sec2 x = 2 cos x ′ 1 − (sin x)′ − cos x = (cscx)′ = = 2 2 sin x sin x sin x
)
内容小结
求导公式及求导法则 (见 P94) ′ u ≠ u′ 注意: 注意 1) (uv)′ ≠ u′v′, v v′ 2) 搞清复合函数结构 , 由外向内逐层求导 .
思考与练习
1.
3 ′ 1 1 4 = x x x
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dy
例3. 求反三角函数及指数函数的导数. 解: 1) 设 则
∴ cos y > 0 , 则
y ∈(− , ) , 2 2
1 1− sin y
2
π π
1 = = (sin y)′ cos y
利用 π arccos x = − arcsin x 2 类似可求得
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2
= −csc xcot x
′ = −csc2 x , (sec x)′ = sec x tan x . 类似可证: (cot x)
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二、反函数的求导法则
f −1( y) 在 定理2. 定理 设 y = f (x)为x = f ( y) 的 函 , 反 数
y 的某邻域内单调可导, 且 [ f −1( y)]′ ≠ 0 dy 1 f ′(x) = −1 或 = d1 x dx [ f ( y)]′
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