九年级数学圆的对称性

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圆的对称性及周长计算

圆的对称性及周长计算一、圆的对称性【知识点一】圆是轴对称图形。

（1）轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合，则这个图形叫做轴对称图形。

这条直线就是它的对称轴。

（2）圆是轴对称图形，直径所在的直线是圆的对称轴。

【知识点二】圆的对称轴的画法。

（1）圆的对称轴的画法：把圆的直径两端无限延长，就得到圆的对称轴。

（2）圆有无数条对称轴，所以圆以圆心为旋转点旋转任意角度都与自身重合。

半圆只有一条对称轴。

【知识点三】根据对称轴画出给定图形的轴对称图形。

画指定图形的轴对称图形，应根据轴对称图形的性质，找到原图形的关键点或关键线段。

圆是曲线图形，它的关键点就是圆心，关键线段就是直径和半径。

画指定图形的轴对称图形的方法：（1）找出所给图形的关键点或关键线段，圆的关键点为圆心，关键线段为半径或直径。

（2）画出关键点或关键线段的对应点和对应线段。

（3）圆应以对应点为圆心，对应半径为半径画圆，圆以外图形应连结对应点和对应线段。

误区警示：（1）圆的直径是圆的对称轴，圆有无数条直径，圆有无数条对称轴。

这种说法完全正确。

（2）判断：在同一平面内，任意两个圆都成轴对称。

（√）练一练：1、画出下面图形的另一半。

2、两个大小不同的圆可以组成六种图形，请找出每个图形的对称轴，并说一说它们的对称轴有什么共同特点。

3、判断。

（1）只有圆是轴对称图形。

（）（2）圆有无数条对称轴。

（）二、圆的周长（1）圆的周长与直径有关，直径越长，周长越长。

（2）任意一个圆的周长与它的直径的比是一个固定的数，我们把它叫做圆周率。

用字母π表示。

在小学阶段，如果不做特殊要求，π一般取3.14。

（3）=⇒=⨯圆的周长圆周率圆的周长直径圆周率直径圆的周长计算公式：直径×圆周率或半径×2×圆周率。

如果用字母C 表示圆的周长，r 表示半径，d 表示直径。

圆的周长字母公式为：C=πd 或C=2πr.（4）圆的周长的变化与该圆半径、直径的关系：① 如果圆的半径、直径扩大若干倍，它的周长也扩大若干倍。

《圆的对称性》圆圆的对称性

自然界中
艺术家们也经常利用圆形的对称性来创作美丽的艺术作品，例如旋转对称的图案、镜像对称的图案等。
艺术创作
02
CHAPTER
圆的轴对称性
轴对称性是一种几何属性，指的是一个图形关于某一直线（称为“对称轴”）对称，即图形上的任意点到对称轴的距离相等，且在对称轴的两侧有相对应的点。
对称轴是一条直线，它把图形划分成两个部分，其中一个部分相对于对称轴折叠后能够与另一个部分重合。
感谢您的观看。
04
CHAPTER
圆的旋转对称性
旋转对称性是指一个图形在旋转一定角度后，仍然保持不变的形状和大小。
旋转对称轴是一条通过图形中心的直线，将图形旋转特定角度后，图形上的点与旋转前的点重合。
圆在绕其中心旋转任意角度时，其形状和大小均保持不变。
圆上任意一点在绕圆心旋转一定角度后，都会与原来的点重合。
雕塑中的应用
许多生物形状都表现出圆的对称性，如人的身体、树叶等。这种对称性有助于保持生物体的平衡，使其在运动时更加流畅、自然。
在天体运动中，圆的对称性也非常重要。例如，地球的自转和公转都是以圆形轨道进行的，这种圆形运动方式使得天体能够更加稳定地运动，避免了不必要的震动和变化。
生物形状
天体运动
THANKS
圆是一个具有轴对称性的图形，它的对称轴是经过圆心的任意一条直线。
圆上的任意一点到对称轴的距离相等，且在对称轴的两侧有相对应的点。
圆沿着对称轴折叠后，两侧的点能够完全重合。
通过圆的轴对称性，我们可以很容易地找到圆上任意一点的对称点，以及通过旋转和翻转等变换得到新的图形。
圆的轴对称性也是证明一些几何定理的重要工具，例如，利用圆的轴对称性可以证明圆中的垂径定理和切线长定理等。

初三数学全册基本知识点总结

初三数学全册基本知识点总结数学是被很多人称之拦路虎的一门科目,同学们在掌握数学知识点方面还很欠缺。

下面是小编为大家整理的关于初三数学基本知识点总结，希望对您有所帮助!初三数学知识总结圆的对称性1、圆的轴对称性圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。

2、圆的中心对称性圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。

弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理1、圆心角顶点在圆心的角叫做圆心角。

2、弦心距从圆心到弦的.距离叫做弦心距。

3、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦想等，所对的弦的弦心距相等。

推论：在同圆或等圆中，如果两个圆的圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。

、圆周角定理及其推论1、圆周角顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。

2、圆周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。

推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径。

推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

点和圆的位置关系设⊙O的半径是r，点P到圆心O的距离为d，则有：dd=r 点P在⊙O上;d>r 点P在⊙O外。

过三点的圆1、过三点的圆不在同一直线上的三个点确定一个圆。

2、三角形的外接圆经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆。

3、三角形的外心三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，它叫做这个三角形的外心。

4、圆内接四边形性质(四点共圆的判定条件)圆内接四边形对角互补。

初三数学轴对称知识点归纳1.轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，两个图形中的对应点叫做对称点，对应线段叫做对称线段。

2.轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。

九年级数学圆的对称性

• (4) 弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧（弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧.
A
P
O
B
5.在半径为30㎜的⊙O中，弦AB=36 5.在半径为30㎜在半径为30 ㎜，则O到AB的距离是= 24mm ， AB的距离是= 的距离是 OAB的余弦值的余弦值= ∠OAB的余弦值= 0.6 。 6.已知：如图，在以为圆心的两个同心已知：已知如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于交小圆于C，两点两点。圆中，大圆的弦交小圆于，D两点。你认为AC和有什么关系为什么？有什么关系？你认为和BD有什么关系？为什么？证明：证明：过O作OE⊥AB，垂足为，作 ⊥ ，垂足为E，则AE＝BE，CE＝DE。＝，＝。 O ∴ AE－CE＝BE－DE －＝－即 AC＝BD ＝ A C E 注意：解决有关弦的问题，注意：解决有关弦的问题，过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，弦的垂线，或作垂直于弦的直径，也是一种常用辅助线的添法．是一种常用辅助线的添法．
●
垂径定理的应用
• 例1 如图，一条公路的转变处是一段圆弧(即图中弧如图，一条公路的转变处是一段圆弧( CD,点是弧CD的圆心),其中CD=600m,E为弧CD CD的圆心),其中CD=600m,E为弧CD上的一 CD,点O是弧CD的圆心),其中CD=600m,E为弧CD上的一 OE⊥CD垂足为F,EF=90m.求这段弯路的半径垂足为F,EF=90m.求这段弯路的半径. 点,且OE⊥CD垂足为F,EF=90m.求这段弯路的半径. C 连接OC. 解:连接OC.
●
∴AM=BM,
⌒ AD=BD.
⌒
⌒ ⌒ AC =BC,

圆的对称性

圆的对称性温故知新：1.已知:如图,点O是∠EPF的平分线的一点,以O为圆心的圆和∠EPF的两边分别交于点A、B和C、D.求证: ∠OBA=∠OCD1、圆的对称性(1)圆是轴对称图形，它的对称轴是直径所在的直线。

(2)圆是中心对称图形，它的对称中心是圆心。

(3)圆是旋转对称图形。

2、垂径定理。

(1)垂直于弦的直径平分这条弦，且平分这条弦所对的两条弧。

(2)推论：平分弦(非直径)的直径，垂直于弦且平分弦所对的两条弧。

平分弧的直径，垂直平分弧所对的弦。

【例1】如图，AB、AC、BC是⊙O的弦，∠AOC＝∠BOC.∠ABC与∠BAC相等吗？为什么？【例2】如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝28°，以C为圆心，DE的度数．CA为半径的圆交AB于点D，交BC与点E．求⌒AD、⌒【例3】如图，在同圆中，若⌒AB＝2⌒CD，则AB与2CD的大小关系是( ) ．A. AB＞2CDB. AB＜2CDC. AB＝2CDD. 不能确定【例4】如图，已知在⊙O中，弦AB的长为8厘米，圆心O到AB的距离为3厘米，求⊙O的半径．【例5】如图，圆柱形水管内原有积水的水平面宽CD=10cm，水深GF=1cm，若水面上升1cm（EG=1cm），则此时水面宽AB为多少？【例6】有一座弧形的拱桥，桥下水面的宽度AB 为7.2米，拱顶高出水面CD ，长为2.4米，现有一艘宽3米，船舱顶部为长方形并且高出水面2米的货船要经过这里，此货船能顺利通过这座弧形拱桥吗？课堂练习1．如图，在⊙O 中，AB ︵＝AC ︵，∠AOB ＝122°，则∠AOC 的度数为( )A ．122°B ．120°C ．61°D ．58°2．下列结论中，正确的是( )A ．同一条弦所对的两条弧一定是等弧B ．等弧所对的圆心角相等C ．相等的圆心角所对的弧相等D ．长度相等的两条弧是等弧3．如图，在⊙O 中，若C 是AB ︵的中点，∠A ＝50°，则∠BOC 等于( )A ．40°B ．45°C ．50°D ．60°4．如图，已知BD 是⊙O 的直径，点A ，C 在⊙O 上，AB ︵＝BC ︵，∠AOB ＝60°，则∠COD 的度数是________．5．如图，AB 是⊙O 的直径，BC ︵＝CD ︵＝DE ︵，∠BOC ＝40°，则∠AOE ＝________°.6．在⊙O 中，若弦AB 的长恰好等于半径，则弦AB 所对的圆心角的度数为________．7．如图，在⊙O 中，AB ，CD 是两条直径，弦CE ∥AB ，EC ︵的度数是40°，求∠BOD的度数．8．已知：如图，在⊙O 中，弦AB 的长为8，圆心O 到AB 的距离为3.(1)求⊙O 的半径；(2)若P 是AB 上的一动点，试求OP 的最大值和最小值．9．如图，已知在以点O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于点C ，D.(1)求证：AC ＝BD ；(2)若大圆的半径R ＝10，小圆的半径r ＝8，且圆心O 到直线AB 的距离为6，求AC 的长．10．如图，已知在⊙O 中，AB 是弦，半径OC ⊥AB ，垂足为D.要使四边形OACB 为菱形，还需添加一个条件，这个条件可以是( )A ．AD ＝BDB ．OD ＝CDC ．∠CAD ＝∠CBDD ．∠OCA ＝∠OCB11．如图，AB 是⊙O 的弦，AB 的长为8，P 是⊙O 上一个动点(不与点A，B重合)，过点O作OC⊥AP于点C，OD⊥PB于点D，则CD的长为________．12．如图，AB是⊙O的直径，AB＝4，M是OA的中点，过点M的直线与⊙O交于C，D两点．若∠CMA＝45°，则弦CD的长为________．13．已知：如图，∠PAQ＝30°，在边AP上顺次截取AB＝3 cm，BC＝10 cm，以BC 为直径作⊙O交射线AQ于E，F两点，求：(1)圆心O到AQ的距离；(2)线段EF的长．14．如图，某地有一座圆弧形拱桥，圆心为O，桥下水面宽度AB为7.2 m，过点O作OC⊥AB于点D，交圆弧于点C，CD＝2.4 m．现有一艘宽3 m、船舱顶部为方形并高出水面2 m的货船要经过拱桥，则此货船能否顺利通过这座拱桥？15．如图，AB，CD是半径为5的⊙O的两条弦，AB＝8，CD＝6，MN是直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F，P为EF上的任意一点，试求PA＋PC的最小值．课后练习1．圆是轴对称图形，____________都是它的对称轴，因此圆有________条对称轴．2．如图，已知⊙O 的直径AB ⊥CD 于点E ，则下列结论中不一定正确的是( )A ．CE ＝DEB ．AE ＝OEC.BC ︵＝BD ︵ D ．△OCE ≌△ODE3．在⊙O 中，非直径的弦AB ＝8 cm ，OC ⊥AB 于点C ，则AC 的长为( )A ．3 cmB ．4 cmC ．5 cmD ．6 cm4．如图，AB 是⊙O 的弦，半径OC ⊥AB 于点D .若⊙O 的半径为5，AB ＝8，则CD 的长是( )A ．2B ．3C ．4D ．55．如图，⊙O 的直径CD 垂直弦AB 于点E ，且CE ＝2，DE ＝8，则AB 的长为( )A ．2B ．4C ．6D ．86．如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上的一点．若BC ＝6，AB ＝10，OD ⊥BC 于点D ，则OD 的长为________．7．如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，已知CD ＝6，EB ＝1，则⊙O 的半径为________．8．如图是一个古代车轮的碎片，小明为求其外圆半径，连接外圆上的两点A ，B ，外圆半径OC ⊥AB 于点D 交外圆于点C.测得CD ＝10 cm ，AB ＝60 cm ，则这个车轮的外圆半径是________cm .。

九年级数学圆的对称性知识点

九年级数学圆的对称性知识点圆是数学中一个非常重要的几何概念，它具有丰富的对称性质。

在九年级数学中，我们学习了许多有关圆对称性的知识点。

本文将围绕这一主题，探讨圆的对称性在数学中的应用和意义。

1. 点、线和面的对称性在数学中，几何图形可以根据其对称性质进行分类。

点对称性是最基本的对称性质，它是指图形绕着一个固定点旋转180度后能够重合。

线对称性是指图形相对于一条线对称，两侧对应部分完全一致。

面对称性则是指图形相对于一个面对称，两侧对应部分完全一致。

对称性在几何学中具有重要的应用，它能够帮助我们分析和解决许多问题。

2. 圆的旋转对称性圆具有旋转对称性，这是因为任何一个圆可以绕着其圆心旋转一定角度后得到一个与原圆完全一致的新圆。

这个旋转角度称为圆的旋转角，它可以是任意角度。

利用圆的旋转对称性，我们可以解决许多有关圆的问题，比如确定两个圆是否相等、快速计算圆的周长和面积等。

3. 圆的轴对称性除了旋转对称性，圆还具有轴对称性。

轴对称性是指圆相对于一条直线对称，即对于圆上的任意一点P，当P的关于直线L的对称点也在圆上时，称直线L为圆的轴线。

利用圆的轴对称性，我们可以判断一个图形是否关于某条直线对称，从而简化几何证明的过程。

4. 圆的纵轴对称性和横轴对称性圆的轴对称性可以进一步分为纵轴对称性和横轴对称性。

当圆相对于一条垂直于x轴的直线对称时，称这条直线为圆的纵轴线；当圆相对于一条垂直于y轴的直线对称时，称这条直线为圆的横轴线。

纵轴对称性和横轴对称性在解决一些几何问题时非常有用，可以帮助我们找到图形的对称性质，简化问题的分析。

5. 圆的切线与辅助线的对称性在与圆相关的问题中，切线和辅助线的对称性也是常见且有用的。

以圆的切线为例，对于圆上的任意一点P，过点P作一条切线，这条切线与半径的夹角为90度，且在切点处与圆相切。

利用切线的对称性，我们可以解决一些与圆的切线有关的几何问题，比如判断切线与圆的位置关系、计算切线的长度等。

《圆的对称性》

01
在古希腊和古埃及，数学家们开始研究圆的对称性，并探索其
几何性质。
欧几里得几何
02
在欧几里得几何中，圆被定义为所有到定点距离相等的点的集
合，这个定点被称为圆心。
反射对称性
03
圆的反射对称性是指，如果一个点在圆上，那么与它关于圆心
对称的点也在圆上。
圆的对称性的发展现状
微积分学的发展
在微积分学中，圆的对称性被进一步研究，并应用于解决各种问题。
更广泛的应用
随着科技的发展，圆的对称性将会在更多的领域得到应用，例如计算机图形学、人工智能等。
感谢您的观看
THANKS
。
03
工程学
在工程学中，圆的对称性被广泛应用于机械设计、建筑设计等领域。
例如，许多机械零件和建筑结构都采用了旋转对称性和反射对称性的
பைடு நூலகம்
原理进行设计和建造。
02
圆的基本性质
圆的定义
圆是平面上所有与给定点（称为圆心）的距离等于给定长度（称为半径）的点的集合。
圆的方程通常表示为(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2，其中(h, k)是圆心的坐标，r是半径。
测量与计算
圆的对称性在测量和计算中也经常用到，如计算圆的周长、面积等。
在物理学中的应用
运动学
圆的对称性在运动学中有着重要的应用，如物体做圆周运动时的向心力和离心力。
光学
圆的对称性在光学中也有着重要的应用，如各种光学仪器（如望远镜、显微镜等）的设计。
电磁学
在电磁学中，圆的对称性对于理解电磁场的分布和性质非常重要。
在日常生活中的应用
建筑设计
圆的对称性在建筑设计中有着广泛的应用，如圆形屋顶、圆形窗户等。

圆形对称图形的知识点总结

圆形对称图形的知识点总结
1. 圆的对称中心: 圆形是一种高度对称的图形，因此它的对称中心即为圆心。

无论是将圆
形沿着任何轴线进行翻转、旋转或倒影，都将得到一致的图形，因为圆形的每一点到圆心
的距离都相等。

2. 圆的轴对称: 圆形具有无数个轴对称轴线，这是因为圆形的任意一条直径都是它的轴对
称轴线。

将圆形沿着任意直径进行翻转、旋转或倒影，所得到的图形都与原图形完全一致。

3. 圆的中心对称: 圆形具有中心对称性，也就是说如果将圆形沿着圆心进行旋转180度，
那么所得到的图形与原图形将完全一致。

这是因为圆形的每一点到圆心的距离都相等，因
此无论如何旋转，都将得到一致的图形。

4. 圆形的旋转对称: 圆形在任意角度的旋转下都具有对称性，也就是说无论将圆形旋转多
少度，所得到的图形都与原图形完全一致。

这是因为圆形的每一点到圆心的距离都相等，
因此无论如何旋转，都将得到一致的图形。

5. 圆形的对称性质: 圆形的对称性质使得我们能够更好地理解和描述它的特征和性质。

通
过对称性的分析，我们可以得到许多重要的结论，例如圆形的面积公式和周长公式，圆形
的切线性质和弦的性质等等。

总之，圆形对称图形具有高度的对称性，包括轴对称、中心对称和旋转对称等多种对称性质。

这些对称性质使得我们能够更好地理解和描述圆形的特征和性质，为解决各种几何问
题提供了重要的理论基础。

因此，对圆形的对称性进行深入的研究和分析，有助于我们更
好地掌握几何学知识，提高解决问题的能力。

3.2+圆的对称性++课件++2023-2024学年北师大版数学九年级下册

第三章圆
3.2 圆的对称性
熊宝宝要过生日了！要把蛋糕平均分成四块，你会分吗？
1 圆的对称性
探究归纳问题1 圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是
什么？你能找到多少条对称轴？问题2 你是怎么得出结论的？用折叠的方法
圆的对称性：圆是轴对称图形，其对称轴 ●O 是任意一条过圆心的直线.
探究归纳问题3 将圆绕圆心旋转 180° 后，得到的图形与原图形重合吗？由此你得到什么结论呢？
弦AB与弦AB重合.
B O（O′） A
AB AB，AB AB.
B′ A′
知识要点弧、弦与圆心角的关系定理
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
B
O
A
①∠AOB =∠A′OB′
B′ A′
②AB AB ③AB = A′B′
知识要点
总结在同圆或等圆中：知一得二
圆心角相等
典例精析
例1 如图，AB，DE 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上的一点，
且A⌒D=C⌒E.BE 和 CE 的大小有什么关系？为什么？
解：BE = CE. 理由是： ∵∠AOD=∠BOE，
B
E
∴ AD BE. 又∵AD CE,
O·
C
∴ BE CE.
∴BE = CE.
D
A
例2 如图，AB是⊙O 的直径，BC=CD=DE，
∠COD=35°，求∠AOE 的度数．
ED
解：∵ BC=CD=DE，
C
BOC COD DOE=35 ，
A
·
B
O
75 .
针对训练填一填：如图，AB、CD是 ⊙O 的两条弦．
（1）如果 AB=CD，那么_A__B___A_C__，∠__A_O__B_=_∠__C__O_D__．

初中数学知识点精讲精析圆的对称性

第二节圆的对称性要点精讲一、圆的对称性：1.圆既是中心对称图形，又是轴对称图形.将圆周绕圆心旋转180°能与自身重合，因此它是中心对称图形，它的对称中心是圆心，将圆周绕圆心旋转任意一角度都能与自身重合，这说明圆具有旋转不变性，是旋转对称的特例.经圆心画任意一条直线，并沿此直线将圆对折，直线两旁的部分能够完全重合，所以圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是它的对称轴，所以圆有无数条对称轴.2.在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两弦的弦心距中，有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也分别相等.二、垂径定理及推论：（由圆的轴对称性得出的）1.定理：垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的优、劣弧.（常见辅助线，过圆心作弦的垂线）2.推论：平分（非直径的）弦的直径垂直于弦，且平分弦所对的两条弧.3.总结为：一条直线满足：（1）过圆心，（2）垂直于弦，（3）平分弦，（4）平分弦所对的优弧，（5）平分弦所对的劣弧，中的任意两点，则其他三点也成立.（注：①（1）与（3）结合使用时，弦为非直径弦.②（2）与（3）结合可找圆心，即两条弦的垂直平分线的交点.）③利用垂径定理及勾股定理对于（圆半径r、弦长a、弦心距d、弓开的高h中任意已知两个量可求得另两个量.相关链接像窗花一样，把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，称这两个图形轴对称,这条直线叫做对称轴，两个图形中的对应点叫做对称点.把一个图形沿着某一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够互相重合，那么称这个图形是轴对称图形，这条直线就是对称轴.典型分析1.如图所示，正方形ABCD内接于⊙O，直径MN∥AD，则阴影部分面积占圆面积（）A.1/2B.1/4C.1/6D.1/8【答案】B【解析】连接AM 、BM.∵MN ∥AD ∥BC ，OM=ON ，∴四边形AOBN 的面积=四边形AOBM的面积.再根据图形的轴对称性，得阴影部分的面积=扇形OAB 的面积=1/4圆面积.故选B.中考案例1.（2012内蒙古呼和浩特）如图所示，四边形ABCD 中，DC ∥AB ，BC=1，AB=AC=AD=2.则BD 的长为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】以A 为圆心，AB 长为半径作圆，延长BA 交⊙A 于F ，连接DF.根据直径所对圆周角是直角的性质，得∠FDB=90°；根据圆的轴对称性和DC ∥AB ，得四边形FBCD 是等腰梯形.∴DF=CB=1，BF=2+2=4.∴故选B.=针对训练1.以点A（3，0）为圆心，以5为半径画圆，则圆A与x轴交点坐标为（）A.（0，-2），（0，8）B.（-2，0），（8，0）C.（0，-8），（0，2）D.（-8，0），（2，0）2.如图，已知⊙O的弦AB，CD交于点P，且OP⊥CD，若CD=4，则AP•BP的值为（）A.2B.4C.6D.83.若⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离为4cm，那么点A与⊙O的位置关系是（）A.点A在圆外B.点A在圆上C.点A在圆内D.不能确定4.已知矩形ABCD的边AB=6，AD=8.如果以点A为圆心作⊙A，使B，C，D三点中在圆内和在圆外都至少有一个点，那么⊙A的半径r的取值范围是（）A.6＜r＜10B.8＜r＜10C.6＜r≤8D.8＜r≤105.下列命题中，正确的是（）①顶点在圆周上的角是圆周角；②圆周角的度数等于圆心角度数的一半；③90°的圆周角所对的弦是直径；④不在同一条直线上的三个点确定一个圆；⑤同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等.A.①②③B.③④⑤C.①②⑤D.②④⑤6.下列四个命题：①直径所对的圆周角是直角；②圆既是轴对称图形，又是中心对称图形；③在同圆中，相等的圆周角所对的弦相等；④三点确定一个圆.其中正确命题的个数为（）A.1B.2C.3D.47.下列命题正确的是（）A.顶点在圆周上的角叫做圆周角B.圆内接平行四边形一定是矩形C.平分弦的直径一定垂直于弦D.与直径垂直的直线是圆的切线8. 如图所示，A、B、C分别表示三个村庄，AB=1000米，BC=600米，AC=800米，在社会主义新农村建设中，为了丰富群众生活，拟建一个文化活动中心，要求这三个村庄到活动中心的距离相等，则活动中心P的位置应在（）A.AB中点B.BC中点C.AC中点D.∠C的平分线与AB的交点参考答案1.【答案】B【解析】因为圆心在x轴上，与x轴相交两点，∴两点的纵坐标都为0，∵圆的半径是5，∴两点的横坐标为3-5=-2，或3+5=8.即两点的坐标为（-2，0）、（8，0）.故选B.2.【答案】B【解析】由于OP⊥CD，可通过垂径定理得出CP=DP=2，再根据相交弦定理，AP•BP=CP•DP=2•2=4.故选B.3.【答案】C【解析】∵⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离为4cm，∴d＜r，∴点A与⊙O的位置关系是：点A在圆内，故选：C.4.【答案】A【解析】∵AB=6，AD=8，∴AC=10，∴点C一定在圆外，点B一定在圆内，∴⊙A的半径r 的取值范围是：6＜r＜10.故选A.5.【答案】B【解析】①、圆周角的特征：一是顶点在圆上，二是两边都和圆相交，故错误；②、必须是同弧或等弧所对的圆周角和圆心角，故错误；③、圆周角定理，故正确；④、符合确定圆的条件，故正确；⑤、符合圆周角定理，故正确；所以正确的是③④⑤.故选B.6.【答案】C【解析】A.是圆周角定理的推论，故正确；B.根据轴对称图形和中心对称图形的概念，故正确；C.根据圆周角定理的推论知：同圆中，相等的圆周角所对的弧相等，再根据等弧对等弦，故正确；D.应是不共线的三个点，故错误.故选C.7.【答案】B【解析】顶点在圆上，且两边都和圆相交的角叫圆周角，故A错误；根据平行四边形的对角相等和圆内接四边形的对角互补，可得圆的内接四边形的两组对角都是直角，故B正确.平分弦（不是直径）的直径一定垂直于弦，故C错误；过直径的一端与直径垂直的直线是圆的切线，故D错误.因此只有B选项是正确的.故选B.8.【答案】A【解析】因为AB=1000米，BC=600米，AC=800米，所以AB2=BC2+AC2，所以△ABC是直角三角形，∠C=90度.因为要求这三个村庄到活动中心的距离相等，所以活动中心P的位置应在△ABC三边垂直平分线的交点处，也就是△ABC外心处，又因为△ABC是直角三角形，所以它的外心在斜边AB的中点处，故选A.扩展知识轴对称及其应用在几何证题、解题时，如果是轴对称图形，则经常要添设对称轴以便充分利用轴对称图形的性质.譬如，等腰三角形经常添设顶角平分线；矩形和等腰梯形问题经常添设对边中点连线和两底中点连线；正方形，菱形问题经常添设对角线等等.另外，如果遇到的图形不是轴对称图形，则常选择某直线为对称轴，补添为轴对称图形，或将轴一侧的图形通过翻折反射到另一侧，以实现条件的相对集中.。

九年级下_3.2圆的对称性.

(2)请你再画出与上面图案不重复的与圆相关的两个轴对称图案，分析：(1)根据轴对称图形的定义作出判断，也就是看能否将图形沿某一条直线对折，使图形两部分能完全重合．若能，它就是轴对称图形，若不能，它就不是轴对称图形；(2)圆本身是轴对称图形，通过圆心的直线都是它的对称轴，所以在圆内任意画一个轴对称图形即可．如：正三角形，正六边形等．解：(1)根据轴对称图形的定义，应填①、②、③．根据要求可画出图案如下（答案不唯一）变式训练1．将一个圆形纸片对折后再对折，得到如图所示的图形，然后沿着图中的虚线剪开，得到两部分，其中一部分展开后的平面图形是参考答案：CO的一条直径．．等圆与等弧半径相等的圆叫等圆，在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫等弧．弦心距，弓形从圆心到弦的距离叫做弦心距，弦心距也可以说成是圆心到弦的垂线段的长．与O的弦，线段AC是直径构成了半圆O的直径，2．弧的中点：分一条弧成相等的两条弧的点，叫做这条弧的中点．如上图，点的中点．3．垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧．例4本市某居民区一处地下圆形管道破裂，修理人员准备更换一段新管道，如图①，污水面宽度为OC ⊥ AB 于点D ，交O 于点C 的方程，继而可解出的值表示污水水面，点O 为圆心，圆形管道的内径即为O 的半径．设半径为．根据垂径定理知，点是AB 的中点，=∴21BD例5 已知，如图，在⊙O 中M,N 分别为弦AB ，求证：∠AMN=CNM.分析：由弦AB 的中点M N 联想到垂径定理的推论连接变式训练1．要测量一个钢板上小孔的直径，通常采用间接测量的方法．如果将一个直径为测得钢珠顶端与小孔平面的距离参考答案：解：过点O 作MN⊥AB，O 于点M Rt△ACO 中，253),AC mm =-∴AB= 2AC=8(mm)2．如图，A 、B 、C 为⊙O 上三点，AFG∴∠=∠5．参考答案：B提示：第一幅和第四幅图是中心对称图形．知识点五：圆心角、弧、弦之间的关系12O O ，为等圆，连结1O 于A ，两点，求证：AB= CD.分析：要证两条弧相等，可以通过圆心角，弧，弦，弦心距之间的关系定理，只要证明这两条弧所对的弦的弦心距相等即可.证明：过点12,O O 分别作1O M AB ⊥，O 的半径，参考答案：证明：连接∴∠MOC=∠NOC．又∵M 、N 分别为．已知：如图，在⊙参考答案：证明：证法即,AD BC AD =∴= 证法2：如图②，连接，OB ，OC ，OD.∵AB =CD,∴∠AOB=∠COD.∴∠AOB -∠DOB=∠COD -A.6 dmB.8 dmC.10 dmD.12 dm分析！如图，油面AB上升接OA，OC由垂径定理，得设OE =x（dm），则OF=（x-1）O的弦，从圆上任意一点引弦O于点P分析：本题要证明两条弧证明点P为AB的中点，由此应联想到垂径定理，自然需连接解：连接OP∴∠DCP= ∠参考答案：3；相等提示：由点O 的半径，根据垂径定理的推论可知．..AE EC OE AC =⊥AD =x(cm)，则x=3．O 中，直径参考答案：解：过点∵AE =1 cm,EB =5 cm,∴AB=AE+EB=6(cm),).(321cm AB OA ==题型二：应用垂径定理作图例3图①为一自行车内胎的一部分，如何利用所学知识将它平均分给四个小朋友做玩具？AMB，可先画出垂直于弦AMB两等分，然后再用同样方法平分表示自行车内胎的一部分．参考答案：解：如图．题型三：圆心角、弧、弦之间关系的综合运用例4 已知：如图，∠AOB= 9075.2o =O 中，AB =2CD CD B ．AB 分析：由线段的倍分问题类比联想可以把变式训练如图，在△ABC 中，∠参考答案：解：过点D 作OD 于点H ，连接OH.O截△ABC∴则有DH=CFOD=OF.同理OD=OE1OBC=∠2.在同圆中，圆心角∠AOB=2A．AB =2 CD B．AB参考答案：A提示：取AB中点参考答案：证明：连结OC、OA.∵OF⊥CD．OE⊥A 在Rt△CFO和Rt△AEO中．CF=<∴OC OA OF OE OC,,.∴CF > AE,∴CD > AB. 即题型四：垂径定理的综合应用O中，AB如图①，当点P与圆心分析：第(1)题根据直径是半径的2倍易求出结果；第(2)题可利用垂径定理构建直角三角形再解直角三角形，代入数值求出结果；第(3)题可先设出变量，再参考第(2)问的解题方法代入变量，通过代数运．算求出结果，解：(1)设O的半径为R，则2222221(2)2 MP NP R RAB R++==⋅(2)过点 O作 OC⊥MN,则 MC=CN=4,PC=3.∵∠NPB =45°,:. OC=PC=3.|23ON=+O的一条弦，CE ⊥AB于点参考答案：解：a 值不随点2GO.MG= CG ．又∵∠MFG=∠CEG=90°．∠MGF=∠CGE，∴△MGF≌△CGE,∴MF= 为一定值．题型五：利用垂径定理解决实际问题例7 如右图，公路时，周围100m 以内会受到噪声的影响，那么拖拉机在公路上沿理由；如果受影响，那么学校受影响的时间为多长？（拖拉机的速度为解：过点A 作AB ⊥MN 于点B ．在∴学校会受到噪声影响．以点A 为圆心，以100m 为半径作拖拉机的速度为/(5360018000s m 故学校受噪声影响的时间为120÷，连接OA ，OC ．由垂径定理得=2AN 22ON OC CN =-解：(1)如图①所示，如果两条平行的弦在圆心两侧，过点∵EF ⊥AB,AB// CD ，∴CD.在Rt △AOE 中，2221086(cm)OE AE -=-=27,OM = (2)当AB ，CD 位于圆心的两侧时，如图②所示．过点OC..//,AB OM AB CD ON ⊥⊥.6,221===∴AB BM DC CN 又∵OB =OC =8,2222,OM OB ON CN OC =+=参考答案：解：如右图所示，连接MN 于点H ，则AB=7.2m ，CD=2.4m ∴点D 为AB ，EF 的中点．设OA =R(m)==-=21,)4.2(AB AD m R DC 在Rt△ODA 中，22OA AD =+2)4.2-R ，解得R=3.9．O 的直径，半径为上一动点．观察图形并思考，是否存在点参考答案：解：存在点P 使根据垂径定理，知MN 垂直平分B’三点在同一直线上时，PA+ PB’最小，此时对称，∴∠B'ON= ∠BON= 30°,∴∠AOB’= 90°．在二、能力点评2．（湖南怀化）如图，CD 是⊙O 的直径，AB 是弦（不是直径）论正确的是( )．A ．AE> BEB ．AB BC = C ．∠D=12∠AEC D ．△ADE ∽△O的直径，C.80°D.124．下列命题：①圆心不同，直径相等的两圆是等圆；②长度相等的两弧是等弧；③圆中最长的弦是直径；④圆的对称轴是圆的直径；⑤圆不是旋转对称图形．其中正确的有A.l个B.2个C.35．如图所示，在同心圆中，大圆的弦圆与小圆的半径之比是6．如图所示，点C的中点，CN⊥OB于点N O的半径为长等于_____7．如图所示，过点的直线过圆心D，请再添加一个条件，使弦CD与弦EF相等，添加的条件是8．如图所示，以ABCD的顶点能力提升9．如图所示，P为⊙0内一点，且A.2条B.3条C.4条 D10.（安徽芜湖）如图所示，在⊙内有折线OABC，其中OA=8 A．19 B.16 C11.如图是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为点0，直径ABm．OE⊥CD于点E，已测得12 13 =⋅(1)求半径OD的长；的速度下降，则经过多长时间才能将水排干？12.如图，在⊙0中，点A、B(1) OE与OF有什么关系？为什么？13.（湖南株洲）如图，点O上的三点，(1)证明：AC平分∠参考答案1．B 2．D3．C提示：C、D是BE的三等分点，9．C提示：过点P的最长弦为O的直径为P且弦长为9的有两条．10.D提示：延长AO交BC于点D，则AD =AB= =20.11.解：(1)∵OE⊥CD13．(1)证明：∵AB ∥ ∴∠BAC=∠OAC ，即(2)解：,OE AB ⊥又∵∠AOE =30°,∠PEA =90°,∴∠OAE = 60°.。

圆的对称性

知识点3.圆的对称性
圆的对称性包括：轴对称性、中心对称性、旋转不变性。

圆的轴对称性：圆是轴对称图形，它的任意一条直径所在的直线都是它的对称轴。

圆的中心对称性：圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。

旋转不变性：圆围绕着圆心旋转任意一个角度，都能够与原来的图形重合。

提醒：（1）圆的对称轴是一条直线，所以不能说“直径就是圆的对称轴”，而是要注意强调“直径所在的直线”是圆的对称轴。

（2）圆的对称轴有无数条。

例1如图所示的是两个相等的圆相交形成的图形，下列结论
正确的是（）
A、它既是中心对称图形，又是轴对称图形。

B、它是中心对称图形，但不是轴对称图形。

C、它是轴对称图形，但不是中心对称图形。

D、它既不是中心对称图形，也不是轴对称图形。

提醒：
应用上面的结论时应注意以下几点：
①因为给出一个已知能够得出三个结论，所以在具体运用时，可以根据需要选择结论中的有关部分，如“在等圆中，相等的弧所对的圆心角相等”。

②千万不能忽略了“在同圆或等圆中”这个前提条件，如果没有这个前提条件，
即使圆心角相等，所对弧、弦也不一定相等，如图所示，两个圆的圆心
相同，AB与对应同一个圆心角，但AB与不是等弧,AB≠。

③因为一条弦所对的弧有两条，所以由“弦相等”得出“弧相等”时，
这里的“弧相等”指的是对应劣弧与劣弧与劣弧相等，优弧与优弧相等。

例：如图所示⊙O的直径BC为一边作等边三角形ABC,AB,AC分别交⊙O于D,E两点。

求证BD=DE=EC 。

九年级数学下册圆的对称性

A B
o
C
D
下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？
如图： AOB= COD
A B
o
C
D
下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？
如图： AOB= COD
A B
☺
o
C
D
下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？
如图： AOB= COD
A B
o
C
D
下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？
④ OD=O′D′
结论
1、在一个圆中，假设圆心角相等，则它所对的弧相等，所对的弦相等。
2、在一个圆中，假设弧相等，则所对的圆心角相等，所对的弦相等。
3、在一个圆中，假如弦相等，则所对的圆心角相等，圆心角所对的弧相等。
B' O
A'
A
B
例题
⌒⌒ 例1.如图，在⊙O中AC=BD, ∠1=45°,求∠2的度数。
如图： ∠AOB=∠
A
COD
B
☺
o C
D
下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？
A
如图：
∠AOB=∠COD
B
o
C
D
下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？
如图： AOB= COD
A B
o
C
D
下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？
如图： AOB= COD
A
O
E
C
D
B
∠AOB=∠COD， AB=CD ，OE=OF ；

九年级数学圆的对称性

在a,d,r,h中，已知其中任意两个量,可以求出其它两个量.
做一做
8
驶向胜利的彼岸
• 在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示.若油面宽AB = 600mm，求油的最大深度.
A
O ┌ E
D
600
B
想一想
垂径定理的逆应用
9
驶向胜利的彼岸
• 在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示.若油面宽AB = 600mm，求油的最大深度.
想一想
7
已知：如图，直径CD⊥AB，垂足为E . ⑴若半径R = 2 ，AB = 2 3 , 求OE、DE 的长. ⑵若半径R = 2 ，OE = 1 ，求AB、DE 的长. ⑶由⑴ 、⑵两题的启发，你还能编出什么其他问题？
C
a 2 ⑴d + h = r ⑵ r d ( ) 2
2 2
O E A D B
2 2 2
R 300 R 90 . 解这个方程, 得R 545. 这段弯路的半径约为545 m.
随堂练习 3
赵州石拱桥
驶向胜利的彼岸
• 1.1300多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图)的桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对是弦的长)为 37.4 m,拱高 (弧的中点到弦的距离,也叫弓形高)为7.2m,求桥拱的半径(精确到0.1m).
O
做一做
5
船能过拱桥吗
驶向胜利的彼岸
• 2 . 如图,某地有一圆弧形拱桥,桥下水面宽为7.2米,拱顶高出水面2.4米.现有一艘宽3米、船舱顶部为长方形并高出水面2米的货船要经过这里,此货船能顺利通过这座拱桥吗？
• 相信自己能独立完成解答.

圆的对称知识点总结

圆的对称知识点总结一、基本概念圆是平面上所有点到一个固定点的距离都相等的集合。

这个固定点叫做圆心，相等的距离叫做半径。

圆通常用一个大写字母表示圆心，用一个小写字母r表示半径。

二、对称性圆具有很强的对称性，主要表现在以下几个方面：1. 中心对称：圆的中心是对称轴，圆上的每一个点关于圆心都有对称点。

2. 旋转对称：以圆心为中心，任意角度旋转圆都不变。

3. 轴对称：圆上的任意一条直径都是圆的轴对称线，即圆上的任意一点与圆心连线的垂直平分线。

三、对称性的运用圆的对称性在数学、几何学和物理学等领域都有着广泛的应用。

在几何学中，圆的对称性在解题过程中经常发挥重要作用，可以帮助我们简化问题、找到解题的突破口。

在建筑设计和艺术创作中，圆的对称性也常被运用，可以创造出和谐美观的作品。

四、圆的对称性性质圆的对称性具有以下性质：1. 对称轴上的任意两点的对称点也在对称轴上。

2. 对称轴上的点到对称轴的距离相等。

3. 对称变换保持了图形的大小和形状不变。

五、圆的对称性的应用圆的对称性在日常生活中也有着广泛的应用。

如镜子、会旋转的木马等等都具有对称性，因此在制作这些用具时，需要考虑图形的对称性，这样会使产品更加美观，使用起来也更加安全。

六、圆的对称图形圆拥有非常丰富的对称图形，例如：1. 圆形2. 半圆形3. 扇形4. 弧形5. 弦形这些对称图形在实际生活中都有着广泛的应用，如构造街道的拱门、钟表的表盘等。

七、圆的对称性的研究圆的对称性不仅仅在几何学中有重要的应用，在现代数学中也有着广泛的研究。

在拓扑学中，圆是一个最基本的几何图形，对称性是研究圆的基本属性的重要内容之一。

在几何结构、代数结构等领域中，圆的对称性也有着深入的研究和运用。

八、总结圆是一个非常特殊的几何图形，具有很强的对称性，对称性在数学、几何学和现实生活中都有着广泛的应用。

圆的对称性性质以及对称图形的研究都是数学领域的重要内容，对于学生来说，深入理解圆的对称性有助于提高他们的数学素养和数学思维能力。

九年级数学3.2 圆的对称性课件

知3－讲
例3 如图, AB，DE是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，且 AD=CE . BE与CE的大小有什么关系？为什么？
解：BE=CE. 理由是 ∵ ∠AOD=∠BOE, ∴ AD=BE .
又∵ AD=CE，
∴ BE=CE . ∴ BE=CE.
知3－练
︵ 1 A，B是⊙O上的两点，∠AOB= 120°，C是AB的中
知2－讲
例2 以下命题中，正确的选项是C ( ) ①顶点在圆心的角是圆心角；
②相等的圆心角所对的弧也相等；
③在等圆中，圆心角不等，所对的弦也不等．
A．①和②
B．②和③
C．①和③
D．①②③
知2－讲
导引：①根据圆心角的定义知，顶点在圆心的角是圆心角，故正确；②缺少条件，必须是在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧才相等，故错误；③根据弧、弦、圆心角之间的关系定理，可知在等圆中，假设圆心角相等，那么所对的弦相等，假设圆心角不等，那么所对的弦也不等，故正确．
知2－练
5 AB，CD是⊙O的直径，弦CE∥AB，∠COE＝ 40°，那么B︵D的度数是( D )
A．70°
B．110°
C．40°
D．70°或110°
知识点 3 相等圆心角、弧、弦之间的关系
知3－导
如图，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A1OB1的
位置，你能发现哪些等A1OB1
总结
知1－讲
将一个图形绕一个定点旋转时, 具有以下特性:一是旋转角度、方向相同，二是图形的形状、大小保持不变，因此此题圆中变换位置前后对应的弧、角、线段都相等．
知1－练
1 日常生活中的许多图案或现象都与圆的对称性有关，试举几例. 解：略.

九年级数学圆的对称性

圆的对称性及周长计算

《圆的对称性》圆圆的对称性

初三数学全册基本知识点总结

九年级数学圆的对称性

圆的对称性

九年级数学圆的对称性知识点

《圆的对称性》

圆形对称图形的知识点总结

3.2+圆的对称性++课件++2023-2024学年北师大版数学九年级下册

初中数学知识点精讲精析 圆的对称性

九年级下_3.2圆的对称性.

圆的对称性

九年级数学下册圆的对称性

九年级数学圆的对称性

圆的对称知识点总结

九年级数学3.2 圆的对称性课件

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