《集合间的基本关系》习题课
集合的基本关系课后作业含答案
§2 集合的基本关系1.下列各式中,正确的个数是( D )①∅={0} ②∅⊆{0} ③∅∈{0} ④0={0} ⑤0∈{0}⑥{1}∈{1,2,3} ⑦{1,2}⊆{1,2,3} ⑧{a ,b}⊆{a ,b}A.1B.2C.3D.42.集合M={x|x=m+61,m ∈Z },N={x|x=2n -31,n ∈Z },P={x=2p +61,p ∈Z },则M 、N 、P 之间的关系是( B ) A.M=N P B.M N=P C.M N P D.N P=M3.满足条件{1}⊆A {1,3,5}的集合A 的个数是( C )A.1B.2C.3D.44.已知集合A={0,2,3,4},B={0,1,2,3},非空集合M 满足M ⊆A 且M ⊆B ,则满足条件的集合M 的个数为( A )A.7B.8C.15D.165.同时满足(1)M ⊆{1,2,3,4,5},(2)若a ∈M ,则6-a ∈M 的非空集合M 有( C )A.32个B.15个C.7个D.6个6.已知集合A {0,1,2,3}且A 中至少有一个奇数,则这样的集合的个数为( A )A.11B.12C.15D.167.设M={x|x=a 2+1,a ∈N *},P={y|y=b 2-4b +5,b ∈N *},则下列关系正确的是( B )A.M=PB.M PC.P MD.M 与P 没有公共元素8.设集合M={x|x 2-x<0},N={x||x|<2},则( B )A.M ∩N=∅B.M ∩N=MC.M ∪N=MD.M ∪N=R9.已知集合A={x|x 2-2x-3=0},集合B={x|ax-1=0}.若B 是A 的真子集,则a 的值为___10,,13⎧⎫-⎨⎬⎩⎭______. 10.已知集合M={x|x=2k +41,k ∈Z },N={x|x=4k +21,k ∈Z },则M_________N. 11.在平面直角坐标系中,集合C={(x ,y )|y=x}表示直线y=x ,从这个角度看, 集合D={(x ,y )|⎩⎨⎧=+=-5412y x y x }表示直线2x-y=1和直线x+4y=5的交集,则集合C 、D 之间的关系为_D C ________,用几何语言描述这种关系为___点D 在直线y x =上______.12.定义集合A *B={x|x ∈A 且x ∉B},若A={1,3,5,7},B={2,3,5},则(1)A *B 的子集为____∅,__{}1_____{}7____{}1,7____________;(2)A *(A *B )=_________{}3,5__________________.13.已知集合A={1,2},B={1,2,3,4,5},且A M⊆B,写出满足上述条件的集合M. {}1,2,3,5,{}1,2,3,4,51,2,4,5,{}1,2,3,4,{}1,2,5,{}1,2,3,{}1,2,4,{}14.已知A={x|-3≤x≤4},B={x|2m-1≤x≤m+1},且B⊆A,求实数m的取值范围. {}1m m≥-。
集合间的基本关系教案及练习
1.2集合间的基本关系1.Venn图(1)定义:在数学中,经常用平面上封闭曲线的内部代表集合,这种图称为Venn图.(2)适用范围:元素个数较少的集合.(3)使用方法:把元素写在封闭曲线的内部.2.子集、真子集、集合相等的概念(1)子集的概念文字语言符号语言图形语言对于两个集合A,B,如果集合A中任意A⊆B(或B⊇A)一个元素都是集合B中的元素,就称集合A为集合B的子集集合A的任何一个元素都是集合B的元素,同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素,那么集合A与集合B相等,记作A=B. 也就是说,若A⊆B,且B⊆A,则A=B.(3)真子集的概念文字语言符号语言图形语言如果集合A⊆B,但存在元素x∈B,且A B(或B A)x∉A,就称集合A是集合B的真子集(1)定义:不含任何元素的集合叫做空集,记为∅.(2)规定:空集是任何集合的子集.4.集合间关系的性质(1)任何一个集合都是它本身的子集,即A⊆A.(2)对于集合A,B,C,若A⊆B且B⊆C,则A⊆C.1.集合A={-1,0,1},A的子集中,含有元素0的子集共有()A.2个B.4个C.6个D.8个B解析:根据题意,在集合A的子集中,含有元素0的子集有{0},{0,1},{0,-1},{-1,0,1}, 共4个,故选B.2.已知集合A={x|-1<x<2},B={x|0<x<1},则()A.A>B B.A<BC.B⊆A D.A⊆BC解析:用数轴表示集合A,B,如图所示,由图可知B⊆A.3.若{1,2}⊆B⊆{1,2,4},则B=________.{1,2}或{1,2,4}解析:由条件知B中一定含有元素1和2,故B可能是{1,2},{1,2,4}.【例1】指出下列各对集合之间的关系:(1)A={-1,1},B={(-1,-1),(-1,1),(1,-1),(1,1)};(2)A={x|x是等边三角形},B={x|x是等腰三角形};(3)A={x|-1<x<4},B={x|x-5<0};(4)M={x|x=2n-1,n∈N*},N={x|x=2n+1,n∈N*}.解:(1)集合A的元素是数,集合B的元素是有序实数对,故A与B之间无包含关系.(2)等边三角形是三边相等的三角形,等腰三角形是两边相等的三角形,故AB.(3)集合B={x|x<5},用数轴表示集合A,B,如图所示,由图可知A B.(4)由列举法知M={1,3,5,7,…},N={3,5,7,9,…},故N M.集合间基本关系的两种判定方法和一个关键提醒:注意元素与集合、集合与集合之间的关系和所用符号的区别.1.已知集合M={x|x2-3x+2=0},N={0,1,2},则集合M与N的关系是()A.M=NB.N MC.M ND.N⊆MC解析:解方程x2-3x+2=0得x=2或x=1,则M={1,2}.因为1∈M 且1∈N,2∈M且2∈N,所以M⊆N.又因为0∈N但0∉M,所以M N.2.已知集合M ={x |-1<x <5},N ={x |0<x <3},则正确表示M 和N 关系的Venn 图是( )B 解析:因为N M ,故选B.3.已知集合A =⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x =2n +13,n ∈Z ,B =⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x =2n3+1,n ∈Z ,则集合A ,B 的关系为________.A =B解析:A =⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x =13(2n +1),n ∈Z , B =⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x =13(2n +3),n ∈Z . 因为2n +1,n ∈Z 和2n +3,n ∈Z 都表示所有奇数,所以A =B .【例2】已知集合A ={x ∈Z|-2≤x <2},B ={y |y =x 2,x ∈A },则集合B 的子集的个数为( )A .7B .8C .15D .16B 解析:由题意得A ={-2,-1,0,1},B ={0,1,4},所以B 的子集有23=8(个),即∅,{0},{1},{4},{0,1},{0,4},{1,4},{0,1,4}.故选B.【例3】已知集合A ={x ∈R|x 2=a },使集合A 的子集个数为2的a 的值为( )A .-2B .4C .0D .以上答案都不是C 解析:由题意知,集合A 中只有1个元素,也即x 2=a 只有一个解; 若方程x 2=a 只有一个解,则有a =0.【例4】若A={2,3,4},B={x|x=m n,m,n∈A且m≠n},则集合B的非空真子集的个数为________.6解析:由题意A={2,3,4},B={x|x=m n,m,n∈A且m≠n},可知B={6,8,12},所以集合B的非空真子集个数为23-2=6.元素个数与集合子集个数的关系(1)探究.集合A集合A中元素的个数n集合A的子集个数∅0 1{a}1 2{a,b}2 4{a,b,c}38{a,b,c,d}416①A的子集有2n个.②A的非空子集有(2n-1)个.③A的非空真子集有(2n-2)个(n≥1).已知集合A={(x,y)|x+y=2,x,y∈N},试写出A的所有子集.解:∵A={(x,y)|x+y=2,x,y∈N},∴A={(0,2),(1,1),(2,0)}.∴A的子集有:∅,{(0,2)},{(1,1)},{(2,0)},{(0,2),(1,1)},{(0,2),(2,0)},{(1,1),(2,0)},{(0,2),(1,1),(2,0)}.探究题1 已知集合A ={x |-2≤x ≤5},B ={x |m +1≤x ≤2m -1,m 为常数},若B ⊆A ,求实数m 的取值范围.解:①若B =∅,满足B ⊆A , 则m +1>2m -1,解得m <2.②若B ≠∅,满足B ⊆A ,则⎩⎨⎧2m -1≥m +1,m +1≥-2,2m -1≤5,解得2≤m ≤3.综上,实数m 的取值范围为{m |m ≤3}.探究题2 已知集合A ={0,-4},集合B ={x |x 2+2(a +1)x +a 2-1=0},若B ⊆A ,试求a 的取值范围.解:因为A ={0,-4},所以B ⊆A 分以下三种情况:①当B =A 时,B ={0,-4},由此知0和-4是方程x 2+2(a +1)x +a 2-1=0的两个根,由根与系数的关系,得⎩⎨⎧Δ=4(a +1)2-4(a 2-1)>0,-2(a +1)=-4,a 2-1=0,解得a =1; ②当B ≠∅且BA 时,B ={0}或B ={-4},并且Δ=4(a +1)2-4(a 2-1)=0, 解得a =-1, 此时B ={0}满足题意;③当B =∅时,Δ=4(a +1)2-4(a 2-1)<0,解得a <-1. 综上所述,所求实数a 的取值范围是{a |a ≤-1或a =1}.已知两个集合之间的关系求参数时,要明确集合中的元素,对子集是否为空集进行分类讨论,做到不漏解.(1)若集合元素是一一列举的,依据集合间的关系,转化为方程(组)求解,此时注意集合中元素的互异性;(2)若集合表示的是不等式(组)的解集,常借助数轴求解,此时需注意端点值能否取到.1.已知集合A={x|-3≤x≤4},B={x|1<x<m}(m>1),且B⊆A,则实数m的取值范围是________.{m|1<m≤4}解析:由于B⊆A,结合数轴分析可知,m≤4,又m>1,所以1<m≤4.2.已知集合A={1,3,x2},B={1,x+2},是否存在实数x,使得集合B 是A的子集?若存在,求出A,B;若不存在,请说明理由.解:因为B⊆A,所以x+2=3或x+2=x2(即x-1或x=-1或x=2).当x=1时,A={1,3,1}不满足互异性,所以x=1(舍).当x=2时,A={1,3,4},B={1,4},满足B⊆A.当x=-1时,A={1,3,1}不满足互异性,所以x=-1(舍).综上,存在x=2使得B⊆A.此时,A={1,3,4},B={1,4}.集合间基本关系练习(30分钟60分)1.(5分)已知集合A ={x |x 2-9=0},则下列式子表示正确的有( ) ①3∈A ;②{-3}∈A ;③∅⊆A ;④{3,-3}⊆A . A .4个 B .3个 C .2个D .1个B 解析:根据题意,集合A ={x |x 2-9=0}={-3,3}. 3∈A ,3是集合A 的元素,故①正确; {-3}是集合,有{-3}⊆A ,故②错误; 空集是任何集合的子集,故③正确; 任何集合都是其本身的子集,故④正确.2.(5分)已知a 为给定的实数,那么集合M ={x |x 2-3x -a 2+2=0,x ∈R}的子集的个数为( )A .1B .2C .4D .不确定C 解析:因为方程x 2-3x -a 2+2=0的根的判别式Δ=1+4a 2>0, 所以方程有两个不相等的实数根,所以集合M 有2个元素,所以集合M 有22=4(个)子集.3.(5分)设A ={x |2≤x ≤6},B ={x |2a ≤x ≤a +3},若B ⊆A ,则实数a 的取值范围是( )A .{a |1≤a ≤3}B .{a |a ≥3}C .{a |a ≥1}D .{a |1<a <3}C 解析:因为A ={x |2≤x ≤6},B ={x |2a ≤x ≤a +3},且B ⊆A ,所以当B=∅时,2a >a +3,解得a >3;当B ≠∅时,⎩⎨⎧a +3≤6,2a ≥2,2a ≤a +3,解得1≤a ≤3.综上,a的取值范围是{a |a ≥1}.4.(5分)设集合M ={x |x =2k -1,k ∈Z},N ={x |x =4k ±1,k ∈Z},则( )A.M=NB.M NC.N MD.N⊆MA解析:方法一:(列举法)因为集合M={x|x=2k-1,k∈Z},所以其中的元素是奇数且M={…,-3,-1,1,3,…}.因为集合N={x|x=4k±1,k∈Z},所以其中的元素也是奇数且N={…,-3,-1,1,3,…}.所以它们之间的关系为M=N.方法二:(特征性质法)对于x=2k-1,k∈Z.当k为偶数,即k=2n,n∈Z 时,x=4n-1,n∈Z,当k为奇数,即k=2n+1,n∈Z时,x=4n+1,n∈Z,所以集合M=N.5.(5分)集合{(x,y)|x+y=3,x∈N,y∈N}的非空子集有________个.15解析:{(x,y)|x+y=3,x∈N,y∈N}={(0,3),(1,2),(2,1),(3,0)}共4个元素,故原集合的非空子集共有24-1=15(个).6.(5分)已知集合M={x|x=1+a2,a∈N*},P={x|x=a2-4a+5,a∈N*},那么M________P.(填“”“”或“=”)解析:对于任意.x∈M,有x=1+a2=(a+2)2-4(a+2)+5.∵a∈N*,∴a+2∈N*,∴x∈P.由子集的定义知,M⊆P.由a=2∈N*时,a2-4a+5=1∈P,而1+a2=1在a∈N*时无解,∴1∉M.综上所述,M P.7.(5分)已知集合P={x|x2=1},集合Q={x|ax=1},若Q⊆P,则a的取值是________.0,±1 解析:P ={-1,1}, 若Q =∅,则a =0,此时满足Q ⊆P .若Q ≠∅,则Q =⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x =1a .由题意知1a =1或1a =-1,解得a =±1.综上可知,a 的取值是0,±1.8.(5分)集合A =⎩⎨⎧⎭⎬⎫13,12,1,2,3,具有性质“若x ∈P ,则1x ∈P ”的所有非空子集的个数为________.7解析:根据题意,满足题意的子集有{1},⎩⎨⎧⎭⎬⎫12,2,⎩⎨⎧⎭⎬⎫13,3,⎩⎨⎧⎭⎬⎫1,12,2,⎩⎨⎧⎭⎬⎫1,13,3,⎩⎨⎧⎭⎬⎫2,3,12,13,⎩⎨⎧⎭⎬⎫1,2,12,13,3,共7个.9.(10分)已知集合A ={x |-5<x <5},B ={x |-2a <x ≤a +3},若B ⊆A ,求实数a 的取值范围.解:因为B ⊆A ,当B =∅时,-2a ≥a +3,解得a ≤-1;当B ≠∅时,⎩⎨⎧-2a <a +3,-2a ≥-5,a +3<5,解得-1<a <2.综上,实数a 的取值范围为{a |a <2}.10.(10分)已知集合A ={x |(x -a )·(x -a +1)=0},B ={x |(x -2)(x-b )=0,b ≠2},C ={x |1<2x -3<5}.(1)若A =B ,求b 的值; (2)若A ⊆C ,求a 的取值范围. 解:A ={a ,a -1},B ={2,b }, (1)若a =2,则A ={1,2}. 因为A =B ,所以b =a -1=1.若a -1=2,则a =3,A ={2,3},所以b =3. 综上,b 的值为1或3.(2)C ={x |2<x <4},因为A ⊆C ,所以⎩⎨⎧2<a <4,2<a -1<4,所以3<a <4. 所以a 的取值范围是{a |3<a <4}.。
集合间的基本关系和基本运算练习题
集合间的基本关系选择题1.集合}{Zx x x A ∈<≤=且30的真子集的个数为 ( )A.5B.6C.7D.8 2.已知集合}{{x B x x A =<<-=,21}10<<x ,则 ( )A.B A >B. B A ⊆C. AB D. BA3.已知}13,2,1{2--=a a M ,}3,1{=N ,若a M N M 则且,3⊄∈的取值为 ( ) A.1 B.4 C.-1或-3 D.-4或14.已知集合⎭⎬⎫∈⎩⎨⎧==Z k kx x A ,3,=B ⎭⎬⎫∈⎩⎨⎧=Z k kx x ,6,则( )A. A BB. B AC.B A =D. A 与B 关系不确定 5.满足Ma ⊆}{的集合},,,{d cb a M共有 ( )A.6个B.7个C.8个D.15个 6.已知集{}}{a x x B x x A <=<<=,21,满足AB ,则 ( ) A.2≥a B. 1≤a C.1≥a D. 2≤a一、填空题1.集合A 中有m 个元素,若在A 中增加一个元素,则它的子集增加的个数为____2. 设}1,1{},,3,1{2+-==a a B a A 若B BA ,则a 的取值为____________. 3.已知集合{}12==x x P ,集合{x Q = }1=ax ,若P Q ⊆,a 为正负1 4设{}===∈B x y y x A R y x ,),(,, 4.已知集合⎭⎬⎫∈⎩⎨⎧==Z k kx x A ,3,=B ⎭⎬⎫∈⎩⎨⎧=Z k kx x ,6,则( )⎭⎬⎫=⎩⎨⎧1),(x yy x ,则B A 间的关系为B 包含____ 5.已知集合}{{xB x x x A =>-<=,51或}4+<≤a x a ,若BA ,则实数a 的取值范围是____________ A二、 解答题 1.设集合}{{ax x x B x x A -==-=2,01}02=-,若B A ⊆,求a 的值.2.若集合{}==-+=N x x x M ,062}{0))(2(=--a x x x ,且N M ⊆,求实数a 的值.集合的基本运算一 选择题: 1. 设{}0,1,2,3,4,5,{1,3,6,9},{3,7,8}A B C ===,则()A B C 等于( ).A. {0,1,2,6}B. {3,7,8,}C. {1,3,7,8}D. {1,3,6,7,8}2. 设全集U =R ,集合2{|1}A x x =≠,则U C A =( )A. 1B. -1,1C. {1}D. {1,1}-3. 已知集合M ={(x,y)|x+y=2},N={(x,y)|x -y=4},那么集合M ∩N 为( )A.x =3,y =-1B.(3,-1)C.{3,-1}D.{(3,-1)}4. 已知A ={y |y =x 2-4x +3,x ∈R },B ={y |y =x-1,x ∈R },则A ∩B =( )A .{y |y=-1或0}B .{x |x=0或1}C .{(0,-1),(1,0)}D .{y |y ≥-1} 5. 已知集合M={x|x-a =0},N={x |a x-1=0},若M ∩N=M ,则实数a =( )A .1B .-1C .1或-1D .1或-1或0 二 填空题:6. 设A ={等腰三角形},B ={直角三角形},则A ∩B = ;7. 设{|}A x x a =>,{|03}B x x =<<,若A B =∅,求实数a 的取值范围是 ;8. 若集合A,B 满足A ∪B=A ∩B 则集合A,B 的关系是______________;9. 设U=R ,A={b x a x ≤≤|},C U A={x |x>4或x<3},则a =________,b =_________. 10. 定义A —B ={x |x ∈A ,且x ∉B },若M ={1,2,3,4,5},N ={2,4,8},则N —M = ;三 解答题:11.已知关于x 的方程3x 2+px -7=0的解集为A ,方程3x 2-7x +q =0的解集为B ,若A∩B ={-31},求A ∪B .12. 已知A={x|x 2-px+15=0},B={x|x 2-ax-b=0},且A ∪B={2,3,5},A ∩B={3},求p,a,b 的值。
集合间的基本关系练习题含答案
集合间的基本关系练习题(1)1. 如图,已知全集U=Z,集合A={−2, −1, 0, 1, 2},B={1, 2, 3, 4},则图中阴影部分所表示的集合是()A.{3, 4}B.{−2, −1, 0}C.{1, 2}D.{2, 3, 4}2. 已知集合A={−1, 0, 1},则含有元素0的A的子集的个数为()A.2B.4C.6D.83. 设集合A={−1, 1, 2},集合B={x|x∈A 且2−x∉A},则B=()A.{−1}B.{2}C.{−1, 2}D.{1, 2}4. 已知A={−2, 2011, x2−1},B={0, 2011, x2+3x},且A=B,则x的值为()A.1或−1B.0C.−2D.−15. 定义:设A,B是非空的数集,a∈A,b∈B,若a是b的函数且b也是a的函数,则称a与b是“和谐关系”.如等式b=a2,a∈[0, +∞)中a与b是“和谐关系”,则下列等中a与b是“和谐关系”的是()A.b=sin aa ,a∈(0,π2) B.b=a3+52a2+2a+1,a∈(−2,−23)C.(a−2)2+b2=1,a∈[1, 2]D.|a|+|b|=1,a∈[−1, 1]6. 已知集合:①{0};②{⌀};③{x|3m<x<m};④{x|a+2<x<a};⑤{x|x2+ 2x+5=0, x∈R}.其中,一定表示空集的是________(填序号).7. 当a满足________时,集合A={x|3x−a<0, x∈N+}表示集合{1}.8. 已知集合M={1, 2, 3, ..., n}(n>1, n∈N∗),则M的所有非空子集的元素和为________(只需写出数学表达式)=a+2},B={(x,y)|(a2−4)x+(a−2)y=7},若A∩9. 已知集合A={(x,y)|y−2x−1B=⌀,则实数a=________.10. 集合A={1, 2}共有________子集.11. 已知集合A={1,2,3,4}.(1)若M⊆A,且M中至少有一个偶数,则这样的集合M有多少个?(2)若B={x|ax−3=0},且B⊆A,求实数a的取值集合.12. 已知集合A={x|2m−10<x<m−1},B={x|2<x<6}.(1)若m=4,求A∩B;(2)若A⊆B,求m的取值范围.参考答案与试题解析集合间的基本关系练习题(1)一、选择题(本题共计 5 小题,每题 5 分,共计25分)1.【答案】A【考点】Venn图表达集合的关系及运算【解析】由阴影部分可知对应的集合为B∩∁U A,即可得到结论.【解答】解:阴影部分可知对应的集合为B∩(∁U A),∵全集U=Z,集合A={−2, −1, 0, 1, 2},B={1, 2, 3, 4},∴B∩(∁U A)={3, 4},故选A.2.【答案】B【考点】元素与集合关系的判断【解析】由集合子集的定义找出集合A的所有子集可得答案,【解答】已知集合A={−1, 0, 3},则由集合的子集定义可得A集合的所有子集为:⌀,{−1},{1},8},1},1},4,1},则含有元素0的A的子集为{6},{−1,{0,{−2,0,个数为4个,3.【答案】C【考点】集合的包含关系判断及应用【解析】本题的关键是认清集合B的研究对象,利用列举法写出集合B的元素即可.【解答】解:∵集合A={−1, 1, 2},集合B={x|x∈A 且2−x∉A},−1∈A,且2−(−1)=3∉A,故1∈B;1∈A,但2−1=1∈A,不满足题意;2∈A,且2−2=0∉A,故2∈B;故B={−1, 2}.故选C.4.【答案】D【考点】集合的相等【解析】直接应用集合相等则集合中的元素完全相同来解决问题.【解答】解:∵A=B,即A和B中的元素完全相同,∴有{x2−1=0x2+3x=−2,解得:x=−1.故选D.5.【答案】A【考点】元素与集合关系的判断【解析】只要判断所给出的函数单调即可.【解答】解:A.∵a∈(0,π2),则a>sin a,∴b′=a cos a−sin aa2=cos a(a−sin a)a2>0,因此函数b在a∈(0,π2)上单调递增,正确;B.∵a∈(−2,−23),b′=3a2+5a+2=(3a+2)(a+1),∴a∈(−2, −1)时单调递增;a∈(−1, −23)时单调递减,因此不符合题意;C.∵(a−2)2+b2=1,a∈[1, 2],∴b=±√1−(a−2)2,b不是a的函数,舍去;D.∵|a|+|b|=1,a∈[−1, 1],∴b=±(1−|a|),b不是a的函数,舍去.故选:A.二、填空题(本题共计 5 小题,每题 5 分,共计25分)6.【答案】④⑤【考点】空集的定义、性质及运算【解析】利用单元素集、空集的定义直接求解.【解答】①{0}是单元素集;②{⌀}是单元素集;③当m<0时,{x|8m<x<m}不是空集;④{x|a+2<x<a}是空集;⑤{x|x2+7x+5=0, x∈R}是空集.∴一定表示空集的是④⑤.7.【答案】【考点】集合的含义与表示【解析】先解不等式3x−a<0,得,根据已知条件需限制a为:1<≤2,解不等式即得a满足的条件.【解答】解3x−a<0得.根据已知条件知:x=1,∴1<.解得3<a≤6.8.【答案】(n2+n)⋅2n−2【考点】子集与真子集【解析】由题意可知,集合中的元素出现的次数都是相等的,从而确定每个元素出现的次数,从而利用等差数列求和公式求和.【解答】若M={1, 2, 3, ...n},则集合M的所有非空子集中,集合M中的任何一个元素出现的次数都是相等的;考查1出现的次数,可看成集合{2, 3, 4, ...n}的子集个数,故共有2n−1个1,故M的所有非空子集的元素和为2n−1(1+2+3+4+...+n)=(n2+n)⋅2n−29.【答案】【考点】集合关系中的参数取值问题【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答10.【答案】4【考点】子集与真子集【解析】对于有限集合,我们有以下结论:若一个集合中有n个元素,则它有2n个子集.【解答】解:集合A有2个元素,故有22=4个子集.故答案为:4.三、 解答题 (本题共计 2 小题 ,每题 5 分 ,共计10分 )11.【答案】解:(1)由M ⊆A ,且M 中至少有一个偶数,得满足条件的集合M 为:{2},{1,2},{2,3},{1,2,3},{4},{1,4},{3,4},{1,3,4},{2,4},{1,2,4},{2,3,4},{1,2,3,4},共12个.(2)因为B ⊆A ,所以集合B 有两种可能:B =⌀,B ≠⌀.当B =⌀时,显然a =0,当B ≠⌀时,则a ≠0,得x =3a ,则有3a =1或3a =2或3a =3或3a =4, 解得a =3或a =32或a =1或a =34.综上,实数a 的取值集合是{0,34,1,32,3}.【考点】集合的包含关系判断及应用【解析】此题暂无解析【解答】解:(1)由M ⊆A ,且M 中至少有一个偶数,得满足条件的集合M 为:{2},{1,2},{2,3},{1,2,3},{4},{1,4},{3,4},{1,3,4},{2,4},{1,2,4},{2,3,4},{1,2,3,4},共12个.12.【答案】解:(1)当m =4时,A ={x|2×4−10<x <4−1}={x|−2<x <3},B ={x|2<x <6},则A ∩B ={x|2<x <3}.(2)∵ A ⊆B ,当A ≠⌀时,{2m −10<m −12m −10≥2m −1≤6;解得,6≤m ≤7;当A =⌀时,由2m −10≥m −1得,m ≥9;故m 的取值范围为{m|m ≥9或6≤m ≤7}.【考点】交集及其运算集合的包含关系判断及应用【解析】(1)当m =3时,化简A ={x 2−3x −10≤0}=[−2, 5],B =(2, 7);从而求交集.(2)讨论当B ≠⌀时,{m −1<2m +1m −1≥−22m +1≤5;当B =⌀时,m −1≥2m +1,从而解得.【解答】解:(1)当m =4时,A ={x|2×4−10<x <4−1}={x|−2<x <3},B ={x|2<x <6},则A ∩B ={x|2<x <3}.(2)∵ A ⊆B ,当A ≠⌀时,{2m −10<m −12m −10≥2m −1≤6;解得,6≤m ≤7;当A =⌀时,由2m −10≥m −1得,m ≥9;故m 的取值范围为{m|m ≥9或6≤m ≤7}.。
1.1.2集合间的基本关系习题课 人教版必修一
集合间的基本关系习题课1、下列正确表示集合M={-1,0,1}和N={x|x2+x=0}关系的Venn 图是( )2.下列命题:①空集没有子集;②任何集合至少有两个子集;③空集是任何集合的真子集;④若∅A,则A≠∅.其中正确的个数是( )A.0 B.1 C.2 D.33.已知集合A={x|ax2+2x+a=0,a∈R},若集合A有且仅有2个子集,则a的取值是( )A.1 B.-1C.0,1 D.-1,0,14.已知集合M={x|2m<x<m+1},且M=∅,则实数m的取值范围是________.5.对于集合A,B,“A⊆B”不成立的含义是( )A.B是A的子集B.A中的元素都不是B的元素C.A中至少有一个元素不属于B D.B中至少有一个元素不属于A6.已知M ={x |x ≥22,x ∈R},给定下列关系:①π∈M ;②{π}M ;③πM ;④{π}∈M .其中正确的有________.(填序号) 7.集合M ={x |x =3k -2,k ∈Z},P ={y |y =3n +1,n ∈Z}, S ={z |z =6m +1,m ∈Z}之间的关系是( )A .S P MB .S =P MC .S P =MD .P =M S8.满足条件{1,2}M ⊆{1,2,3,4,5}的集合M 的个数是( )A .3B .6C .7D .89.已知集合A {2,3,7},且A 中至多有1个奇数,则这样的集合共有___个.10.设S 是非空集合,且满足两个条件:①S ⊆{1,2,3,4,5};②若a ∈S ,则6-a ∈S .那么满足条件的S 有 个11.已知集合A ={-1,3,2m -1},集合B ={3,m 2},若B ⊆A ,则实数m =________.12.已知集合A ={x |1<x <2},B ={x |x <a },若A B ,则实数a 的取值范围是________.13.已知集合{}{},1,12====ax x Q x P x 若P Q ⊆,则a 的值是( ) A 1 B -1 C 1或-1 D 0,1或-114设集合A={x|-3≤x≤2},B={x|2k-1≤x≤k+1}且B⊆A,求实数k的取值范围.15.已知集合A={x|2a-2<x≤a+2},B={x|-2≤x<3},且A⊆B,求实数a的取值范围.16.若集合A={x|x2+x-6=0},B={x|x2+x+a=0},且B⊆A,求实数a的取值范围.。
集合间的基本关系练习题
集合间的基本关系练习题集合间的基本关系一、选择题1.集合 $A=\{x\leq x<3 \text{ 且 } x\in Z\}$ 的真子集的个数为()A。
5 B。
6 C。
7 D。
82.已知集合 $A=\{x-1<x<2\}$,$B=\{x<x<1\}$,则()A。
$A>B$ B。
$A\subseteq B$ C。
$A\capB=\varnothing$ D。
$A$ 与 $B$ 的关系不确定3.已知 $M=\{1,2,a^2-3a-1\}$,$N=\{1,3\}$,若 $3\inM$ 且 $N\nsubseteq M$,则 $a$ 的取值为()A。
1 B。
4 C。
$-1$ 或 $-3$ D。
$-4$ 或 14.已知集合$A=\{x^3=3k,k\in Z\}$,$B=\{x^6=k,k\in Z\}$,则()A。
$A>B$ B。
$A\subseteq B$ C。
$A\capB=\varnothing$ D。
$A$ 与 $B$ 的关系不确定5.满足 $\{a\}\subseteq M\subseteq \{a,b,c,d\}$ 的集合$M$ 共有()A。
6个 B。
7个 C。
8个 D。
15个6.已知集合 $A=\{x_1<x<2\}$,$B=\{x<x<a\}$,满足$A\cap B\neq \varnothing$,则()A。
$a\geq 2$ B。
$a\leq 1$ C。
$a\geq 1$ D。
$a\leq 2$二、填空题1.集合 $A$ 中有 $m$ 个元素,若在 $A$ 中增加一个元素,则它的子集增加的个数为 $\underline{\qquad}$。
2.设 $A=\{1,3,a\}$,$B=\{1,a^2-a+1\}$,若 $B\subseteqA$,则 $a$ 的取值为 $\underline{\qquad}$。
3.已知集合 $P=\{x|x^2=1\}$,$Q=\{x|ax=1\}$,若$Q\subseteq P$,则 $a$ 的取值 $\underline{\qquad}$。
集合间的基本关系试题(含答案)
一、选择题1.对于集合A ,B ,“A ⊆B ”不成立的含义是( )A .B 是A 的子集B .A 中的元素都不是B 的元素C .A 中至少有一个元素不属于BD .B 中至少有一个元素不属于A[答案] C[解析] “A ⊆B ”成立的含义是集合A 中的任何一个元素都是B 的元素.不成立的含义是A 中至少有一个元素不属于B ,故选C.2.集合M ={(x ,y )|x +y <0,xy >0},P ={(x ,y )|x <0,y <0}那么( )A .P MB .M PC .M =PD .M P [答案] C[解析] 由xy >0知x 与y 同号,又x +y <0∴x 与y 同为负数∴⎩⎨⎧ x +y <0xy >0等价于⎩⎪⎨⎪⎧x <0y <0∴M =P . 3.设集合A ={x |x 2=1},B ={x |x 是不大于3的自然数},A ⊆C ,B ⊆C ,则集合C 中元素最少有( )A .2个B .4个C .5个D .6个[答案] C[解析] A ={-1,1},B ={0,1,2,3},∵A ⊆C ,B ⊆C ,∴集合C 中必含有A 与B 的所有元素-1,0,1,2,3,故C 中至少有5个元素.4.若集合A ={1,3,x },B ={x 2,1}且B ⊆A ,则满足条件的实数x 的个数是()A.1 B.2C.3 D.4[答案] C[解析]∵B⊆A,∴x2∈A,又x2≠1∴x2=3或x2=x,∴x=±3或x=0.故选C.5.已知集合M={x|y2=2x,y∈R}和集合P={(x,y)|y2=2x,y∈R},则两个集合间的关系是()A.M P B.P MC.M=P D.M、P互不包含[答案] D[解析]由于两集合代表元素不同,因此M与P互不包含,故选D.6.集合B={a,b,c},C={a,b,d};集合A满足A⊆B,A⊆C.则满足条件的集合A的个数是()A.8 B.2C.4 D.1[答案] C[解析]∵A⊆B,A⊆C,∴集合A中的元素只能由a或b构成.∴这样的集合共有22=4个.即:A=∅,或A={a},或A={b}或A={a,b}.7.设集合M={x|x=k2+14,k∈Z},N={x|x=k4+12,k∈Z},则()A.M=N B.M NC.M N D.M与N的关系不确定[答案] B[解析]解法1:用列举法,令k=-2,-1,0,1,2…可得M={…-34,-14,14,34,54…},N={…0,14,12,34,1…},∴M N,故选B.解法2:集合M的元素为:x=k2+14=2k+14(k∈Z),集合N的元素为:x=k4+1 2=k+24(k∈Z),而2k+1为奇数,k+2为整数,∴M N,故选B.[点评]本题解法从分式的结构出发,运用整数的性质方便地获解.注意若k是任意整数,则k+m(m是一个整数)也是任意整数,而2k+1,2k-1均为任意奇数,2k为任意偶数.8.集合A={x|0≤x<3且x∈N}的真子集的个数是()A.16 B.8C.7 D.4[答案] C[解析]因为0≤x<3,x∈N,∴x=0,1,2,即A={0,1,2},所以A的真子集个数为23-1=7.9.(09·广东文)已知全集U=R,则正确表示集合M={-1,0,1}和N={x|x2+x=0}关系的韦恩(Venn)图是()[答案] B[解析]由N={x|x2+x=0}={-1,0}得,N M,选B.10.如果集合A满足{0,2}A⊆{-1,0,1,2},则这样的集合A个数为() A.5 B.4C.3 D.2[答案] C[解析] 集合A 里必含有元素0和2,且至少含有-1和1中的一个元素,故A ={0,2,1},{0,2,-1}或{0,2,1,-1}.二、填空题11.设A ={正方形},B ={平行四边形},C ={四边形},D ={矩形},E ={多边形},则A 、B 、C 、D 、E 之间的关系是________.[答案] A D B C E[解析] 由各种图形的定义可得.12.集合M ={x |x =1+a 2,a ∈N *},P ={x |x =a 2-4a +5,a ∈N *},则集合M 与集合P 的关系为________.[答案] M P[解析] P ={x |x =a 2-4a +5,a ∈N *}={x |x =(a -2)2+1,a ∈N *}∵a ∈N * ∴a -2≥-1,且a -2∈Z ,即a -2∈{-1,0,1,2,…},而M ={x |x =a 2+1,a ∈N *},∴M P .13.用适当的符号填空.(∈,∉,⊆,⊇,,,=) a ________{b ,a };a ________{(a ,b )};{a ,b ,c }________{a ,b };{2,4}________{2,3,4};∅________{a }.[答案] ∈,∉,,, *14.已知集合A =⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x =a +16,a ∈Z , B ={x |x =b 2-13,b ∈Z },C ={x |x =c 2+16,c ∈Z }.则集合A ,B ,C 满足的关系是________(用⊆,,=,∈,∉,⃘中的符号连接A ,B ,C ).[答案] A B =C[解析] 由b 2-13=c 2+16得b =c +1,∴对任意c ∈Z 有b =c +1∈Z .对任意b ∈Z ,有c =b -1∈Z ,∴B =C ,又当c =2a 时,有c 2+16=a +16,a ∈Z .∴A C .也可以用列举法观察它们之间的关系.15.(09·北京文)设A 是整数集的一个非空子集,对于k ∈A ,如果k -1∉A ,那么k 是A 的一个“孤立元”.给定S ={1,2,3,4,5,6,7,8},由S 的3个元素构成的所有集合中,不含“孤立元”的集合共有______个.[答案] 6[解析] 由题意,要使k 为非“孤立元”,则对k ∈A 有k -1∈A .∴k 最小取2.k -1∈A ,k ∈A ,又A 中共有三个元素,要使另一元素非“孤立元”,则其必为k +1.所以这三个元素为相邻的三个数.∴共有6个这样的集合.三、解答题16.已知A ={x ∈R |x <-1或x >5},B ={x ∈R |a ≤x <a +4},若AB ,求实数a 的取值范围.[解析] 如图∵A B ,∴a +4≤-1或者a >5.即a ≤-5或a >5.17.已知A ={x |x <-1或x >2},B ={x |4x +a <0},当B ⊆A 时,求实数a 的取值范围.[解析] ∵A ={x |x <-1或x >2},B ={x |4x +a <0}={x |x <-a 4},∵A ⊇B ,∴-a 4≤-1,即a ≥4,所以a 的取值范围是a ≥4.18.A ={2,4,x 2-5x +9},B ={3,x 2+ax +a },C ={x 2+(a +1)x -3,1},a 、x ∈R ,求:(1)使A ={2,3,4}的x 的值;(2)使2∈B ,B A 成立的a 、x 的值;(3)使B =C 成立的a 、x 的值.[解析] (1)∵A ={2,3,4} ∴x 2-5x +9=3解得x =2或3(2)若2∈B ,则x 2+ax +a =2又B A ,所以x 2-5x +9=3得x =2或3,将x =2或3分别代入x 2+ax +a=2中得a =-23或-74(3)若B =C ,则⎩⎪⎨⎪⎧x 2+ax +a =1①x 2+(a +1)x -3=3② ①-②得:x =a +5 代入①解得a =-2或-6此时x =3或-1.*19.已知集合A ={2,4,6,8,9},B ={1,2,3,5,8},又知非空集合C 是这样一个集合:其各元素都加2后,就变为A 的一个子集,若各元素都减2后,则变为B 的一个子集,求集合C .[解析] 由题设条件知C ⊆{0,2,4,6,7},C ⊆{3,4,5,7,10},∴C ⊆{4,7},∵C ≠∅,∴C ={4},{7}或{4,7}.。
33091_《集合间的基本关系》同步练习8(人教A版必修1)
1.1.2集合间的基本关系 5分钟训练(预习类训练,可用于课前)1.判断下列说法是否正确,如果不正确,请加以改正.(1){∅}表示空集;(2)空集是任何集合的真子集;(3){1,2,3}不是{3,2,1};(4){0,1}的所有子集是{0},{1},{0,1};(5)如果A ⊇B 且A ≠B ,那么B 必是A 的真子集;(6)A ⊇B 与B ⊆A 不能同时成立.思路解析:对每个说法按照相关的定义进行分析,认真与定义中的要素进行对比,即能判断正误.在做关于集合的基本概念的辨析题时应严密,紧扣概念,对每个概念不仅要记住,而且要理解其本质.另外要注意的是:对于错误的说法,举一个反例即可.解:(1){∅}不表示空集,它表示以空集(∅)为元素的集合,所以(1)不正确.空集有专用的符号“∅”,不能写成{∅},也不能写成{}.(2)不正确.空集是任何非空集合的真子集;也就是说空集不能是它自身的真子集.这是因为空集与空集相等,而两个相等的集合不能说其中一个是另一个的真子集.由此也发现了,如果一个集合是另一个集合的真子集,那么这两个集合必不相等.(3)不正确.两个集合是不是相同,要看其中一个集合的每个元素在另一个集合中是不是都有相同的元素与之对应,而不必考虑各元素的顺序.(4)不正确.注意到∅是每个集合的子集.所以这个说法不正确.(5)正确.A ⊇B 包括两种情形:A ⊃B 和A=B.(6)不正确.A=B 时,A ⊇B 与B ⊆A 能同时成立.2.选用适当的符号(∈,∉,=,⊆,,⊇,)填空:32_________Q ;{32}_________Q ;Z _________N ;N _________N *. 思路解析:首先理解各种符号的意义.答案:∈3.已知集合M={0,1,2},则集合M 的全部子集有_______个,M 的非空真子集有______个. 思路解析:可用子集、真子集的个数公式来求解.M={0,1,2}中有3个元素,则子集数是23=8个,真子集数是23-1=7个,所以,非空真子集数是6个.答案:8610分钟训练(强化类训练,可用于课中)1.已知集合{2x ,x 2-x}有且只有4个子集,则实数x 的取值范围是()A.RB.(-∞,0)∪(0,+∞)C.{x|x ≠3,x ∈R }D.{x|x ≠0且x ≠3,x ∈R }思路解析:由已知{2x ,x 2-x}有且只有4个子集,可知2x ≠x 2-x.解得x ≠0且x ≠3.∴选D.答案:D2.集合{x ∈N |x=5-2n ,n ∈N }的真子集的个数是()A.9B.8C.7D.6思路解析:∵x ∈N ,n ∈N ,∴x=5-2n=5,3,1.∴集合{x ∈N |x=5-2n ,n ∈N }={1,3,5}.∴其真子集的个数是23-1=7.答案:C3.已知集合A {0,1,2,3}且A 中至少有一个奇数,则这样的集合的个数为()A.11B.12C.15D.16思路解析:集合{0,1,2,3}共有子集16个,去掉集合{0,2}的子集4个,再去掉{0,1,2,3}这个集合本身,共有16-4-1=11个.故选A.答案:A4.设M={x|x=a 2+1,a ∈N *},P={y|y=b 2-4b +5,b ∈N *},则下列关系正确的是() A.M=PB.M PC.P MD.M 与P 没有公共元素思路解析:∵a ∈N *,∴x=a 2+1=2,5,10,….∵b ∈N *,∴y=b 2-4b +5=(b-2)2+1=1,2,5,10,….∴MP.故选B.答案:B 5.已知集合P={x|x 2=1},集合Q ={x|ax=1},若Q ⊆P ,那么a 的取值为_________.思路解析:因为由x 2=1得x=±1,所以P={-1,1}.又因为Q ⊆P ,所以分Q=∅和Q ≠∅两种情况讨论.(1)若Q=∅,则a=0;(2)若Q ≠∅,则a ≠0,Q={x|x=a1},所以a=-1或1. 综合(1)(2),可知a 的值为0,1或-1.答案:0,1或-16.若S={x|x=2n+1,n ∈Z },T={x|x=4k ±1,k ∈Z },试判断S 与T 这两个集合之间存在怎样的关系.思路解析:考查两个集合的关系,即判别元素的异同,方法可列举,也可判别元素是否等价等. 解:方法一:∵S={…,-5,-3,-1,1,3,5,…},T={…,-5,-3,-1,1,3,5,…},∴S=T. 方法二:由2n+1=4k+1(n=2k )或4k-1(n=2k-1)(n 、k ∈Z ),可知S=T.方法三:S 为奇数集合,而T 中元素均为奇数,故有T ⊆S.任取x ∈S ,则x=2n+1.当n 为偶数2k 时,有x=4k+1∈T ;当n 为奇数2k-1时,仍有x=4k-1∈T ,∴S ⊆T.∴T ⊆S 且S ⊆T.故S=T.7.设集合A={-1,1},集合B={x|x 2-2ax+b=0},若B ≠∅,B ⊆A ,求a 、b 的值.思路解析:由B ≠∅,B ⊆A 可见B 是A 的子集.而A 的子集有三个:B={-1}或B={1}或B={-1,1}.所以B 要分三种情形讨论.解:由B ⊆A 知,B 中的所有元素都属于集合A ,又B ≠∅,故集合B 有三种情形:B={-1}或B={1}或B={-1,1}.当B={-1}时,B={x|x 2+2x+1=0},故a=-1,b=1;当B={1}时,B={x|x 2-2x+1=0},故a=b=1;当B={-1,1}时,B={x|x 2-1=0},故a=0,b=-1.综上所述,a 、b 的值为⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧==⎩⎨⎧=-=.1,01,11,1b a b a b a 或或 快乐时光打猎一个年轻的猎人来向老猎人请教如何猎熊.老猎人说,通常我都是先找到一个山洞,然后向洞里扔一块石头,如果听到有“呜呜……”的声音,那里面一定有熊.你就跳到洞口,向里面开枪,一定能打到熊的.过了几天,老猎人在医院里看到全身缠满绷带的年轻猎人,很惊讶.年轻猎人说,我去猎熊,先找到一个山洞,然后我向里面扔了一块石头,听到里面有“呜呜……”的声音,我就跳到洞口……可是,我还没来得及开枪,从山洞里开出一列火车!30分钟训练(巩固类训练,可用于课后)1.集合M={x|x=m+61,m ∈Z },N={x|x=2n -31,n ∈Z },P={x=2p +61,p ∈Z },则M 、N 、P 之间的关系是()A.M=N PB.M N=PC.M N PD.N P=M思路解析:思路一:可简单列举集合中的元素.思路二:从判断元素的共性和差异入手.M={x|x=616+m ,m ∈Z },N={x|x=61)1(3623+-=-n n ,n ∈Z },P={x|x=613+p ,p ∈Z }.由于3(n-1)+1和3p+1都表示被3除余1的数,而6m+1表示被6除余1的数,所以MN=P. 答案:B2.满足条件{1}⊆A {1,3,5}的集合A 的个数是()A.1B.2C.3D.4思路解析:A 中一定有元素1,最多的元素只能有1,3,5三个,所以A 可能为{1},{1,3},{1,5},{1,3,5}四种.答案:D3.已知集合A={0,2,3,4},B={0,1,2,3},非空集合M 满足M ⊆A 且M ⊆B ,则满足条件的集合M 的个数为()A.7B.8C.15D.16思路解析:给出此题一般的两种解决方法:(1)用列举法写出符合条件的集合;注意熟悉规律性,做到不重不漏.(2)M ⊆A 且M ⊆B ,则M ⊆(A ∩B )=N={0,2,3},进而求出集合N 的非空子集为23-1=7(个).答案:A4.同时满足(1)M ⊆{1,2,3,4,5},(2)若a ∈M ,则6-a ∈M 的非空集合M 有()A.32个B.15个C.7个D.6个思路解析:∵M ⊆{1,2,3,4,5},a ∈M ,则6-a ∈M.∴1、5应同属于M ,2、4也应同属于M ,3可单独出现.∴集合M 的情况有七种:{3},{1,5},{2,4},{1,3,5},{2,3,4},{1,2,4,5},{1,2,3,4,5}.答案:C5.(2006全国高考卷,文)设集合M={x|x 2-x<0},N={x||x|<2},则()A.M ∩N=∅B.M ∩N=MC.M ∪N=MD.M ∪N=R思路解析:M={x|x 2-x<0}={x|x(x-1)<0}={x|0<x<1},N={x|-2<x<2},可知M ⊆N ,所以有M ∩N=M. 答案:B6.已知集合A={x|x 2-2x-3=0},集合B={x|ax-1=0}.若B 是A 的真子集,则a 的值为_________. 思路解析:因集合A 是确定的,所以先求出集合A={-1,3}.B 是A 的真子集,需考虑两种情况:(1)B 是空集时,a=0;(2)B 不是空集时,a=-1或a=31.答案:0或-1或31 7.已知集合M={x|x=2k +41,k ∈Z },N={x|x=41+21,k ∈Z },则M_________N. 思路解析:用提公因式法解决此题,M 中元素为x=41412=+k (2k+1),k ∈Z .N 中元素为x=4k +21=41(k+2),k ∈Z .当k ∈Z 时,k+2∈Z ,2k+1属于奇数集.∴2k+1是奇数,k+2是整数.∴M ⊂N.答案:⊂ 8.在平面直角坐标系中,集合C={(x ,y )|y=x}表示直线y=x ,从这个角度看,集合D={(x ,y )|⎩⎨⎧=+=-5412y x y x }表示直线2x-y=1和直线x+4y=5的交集,则集合C 、D 之间的关系为_________,用几何语言描述这种关系为_________.思路解析:直线2x-y=1和直线x+4y=5的交点坐标为(1,1).答案:D ⊆C 点D 在直线y=x 上9.定义集合A *B={x|x ∈A 且x ∉B},若A={1,3,5,7},B={2,3,5},则(1)A *B 的子集为___________________________;(2)A *(A *B )=___________________________.思路解析:(1)A *B={1,7},其子集为∅,{1},{7},{1,7}.(2)A *(A *B )={3,5}.答案:(1)∅,{1},{7},{1,7}(2){3,5}10.已知集合A={1,2},B={1,2,3,4,5},且A M ⊆B ,写出满足上述条件的集合M.思路解析:要解决这个问题,关键是要搞清满足条件AM ⊆B 的集合M 是由哪些元素组成的.∵A M ,∴M 中一定含有A 的全部元素1、2,且至少含有一个不属于A 的元素.又∵M ⊆B ,∴M 中的元素除了含有B 的元素1、2外,还有元素3、4、5中的1个、2个或3个.故求M 的问题转化为研究集合{3,4,5}的非空子集的问题,显然所求集合M 有23-1=7个,按元素的多少把它们一一列举出来即可.答案:满足条件的集合M 是{1,2,3},{1,2,4},{1,2,5},{1,2,3,4},{1,2,3,5},{1,2,4,5},{1,2,3,4,5}.11.已知三个集合E={x|x 2-3x+2=0},F={x|x 2-ax+(a-1)=0},G={x|x 2-3x+b=0}.问:同时满足F E ,G ⊆E 的实数a 和b 是否存在?若存在,求出a 、b 所有值的集合;若不存在,请说明理由. 思路解析:将集合之间的关系转化为二元一次方程的解之间的关系,从而求得a 、b 的值. 解:(1)由已知,E={1,2},又∵F E ,∴F=∅或{1}或{2}.①当F=∅时,即方程x 2-ax+(a-1)=0无解.∴Δ=a 2-4(a-1)<0,即(a-2)2<0,矛盾.∴F 不可能为∅,即F ≠∅.②当F={1}时,即方程x 2-ax+(a-1)=0有两相等的实根为1,由根与系数的关系知⎩⎨⎧-=⨯--=+.111),(11a a∴⎩⎨⎧==.2,2a a ∴a=2,即a=2时,F E.③当F={2}时,即方程x 2-ax+(a-1)=0有两相等的实根为2, 由根与系数的关系知⎩⎨⎧-=⨯--=+.122),(22a a∴⎩⎨⎧==.5,4a a a ∴a 无解,即不存在a 的值使F E.综上,a=2时,F E.(2)当G ⊆E 且E={1,2},∴G=∅或{1}或{2}或{1,2}.①当G=∅时,即方程x 2-3x+b=0无解.∴Δ=9-4b <0.∴b >49.此时G ⊆E. ②当G={1}时,即方程x 2-3x+b=0有两相等的根为1.由根与系数的关系知⎩⎨⎧=⨯=+,11,321b 矛盾.③当G={2}时,同理矛盾.④当G={1,2}时,即方程x 2-3x+b=0有两异根为1、2.由根与系数的关系,知⎩⎨⎧=⨯=+.21,321b ∴b=2.综上,知b=2或b >49时,G ⊆E.综合(1)(2),知同时满足FE ,G ⊆E 的a 、b 的值存在.适合条件的a 、b 集合分别为{2}、{b|b=2或b >49}.。
集合的基本关系练习题(含答案解析)
一、选择题1.下列四个结论中,正确的是( )A.0={0}B.0∈{0}C.0⊆{0}D.0∈{∅}【解析】选B.{0}是含有1个元素0的集合,故0∈{0}.2.如果M={x|x+1>0},则( )A.∅∈MB.∅=MC.{0}∈MD.{0}⊆M【解析】选D.M={x|x+1>0}={x|x>-1},所以{0}⊆M.3.下列四个集合中,是空集的是( )A.{x|x+3=3}B.{(x,y)|y2=-x2,x,y∈R}C.{x|x2≤0}D.{x|x2-x+1=0,x∈R}【解析】选 D.对A,{x|x+3=3}={0};对B,{(x,y)|y2=-x2,x,y∈R}={(0,0)};对C,{x|x2≤0}={0};对D,由于Δ=(-1)2-4=-3<0,即方程x2-x+1=0无解,故{x|x2-x+1=0,x∈R}=∅.4.已知集合A={x|3≤x2≤5,x∈Z},则集合A的真子集个数为( )A.1个B.2个C.3个D.4个【解析】选C.由题意知,x=-2,2,即A={-2,2},故其真子集有3个. 【误区警示】本题易忽视真子集这一条件而误选D.5.已知集合M={x|y2=2x,y∈R}和集合P={(x,y)|y2=2x,y∈R},则两个集合间的关系是( )A.M PB.P MC.M=PD.M,P互不包含【解析】选D.由于两集合代表元素不同,即M表示数集,P表示点集,因此M与P互不包含,故选D.【误区警示】解答本题易忽视集合的属性而误选C.6.已知全集U=R,则正确表示集合M={-1,0,1}和N={x|x2+x=0}关系的Venn图是( )【解析】选B.由N={x|x2+x=0}={-1,0},得N M.7.设集合S={x|x≥2},T={x|x≤5},则S∩T= ( )A.{x|x≤5}B.{x|x≥2}C.{x|2<x<5}D.{x|2≤x≤5}【解析】选D.依题意计算得S∩T=,故选D.8.已知集合A={-2,0,2},B={x|x2-x-2=0},则A∪B= ( )A.∅B.{2}C.{0,-1,2}D.{-2,-1,0,2}【解析】选D.因为B={x|x2-x-2=0}={-1,2},A={-2,0,2},所以A∪B= {-2,-1,0,2}.9.设集合A={x∈N|1≤x≤10},B={x∈R︱x2+ x-6=0},则图中阴影表示的集合为( )A.{2}B.{3}C.{-3,2}D.{-2,3}【解析】选A.A={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},B={-3,2},由题意可知,阴影部分即为A∩B,故A∩B={2}.【补偿训练】若集合A={x|-2≤x≤3},B={x|x<-1或x>4},则集合A ∩B等于( )A.{x|x≤3或x>4}B.{x|-1<x≤3}C.{x|3≤x<4}D.{x|-2≤x<-1}【解析】选D.将集合A,B表示在数轴上,由数轴可得A∩B={x|-2≤x<-1},故选D.10.在集合{a,b,c,d}上定义两种运算⊕和⊗如下:那么d⊗(a⊕c)的运算结果为( )A.aB.bC.cD.d【解题指南】先计算(a⊕c)的结果,再计算d⊗(a⊕c)的值.【解析】选A.由上表可知:(a⊕c)=c,故d⊗(a⊕c)=d⊗c=a.11.设集合A={1,2},则满足A∪B={1,2,3}的集合B的个数是( )A.1B.3C.4D.8【解题指南】由并集中的元素可知集合B中至少含有一个元素3,由此分类求解.【解析】选C.因为A={1,2},A∪B={1,2,3},所以B={3}或{1,3}或{2,3}或{1,2,3},故选C.12.集合A={2n+1|n∈Z},集合B={4k±1|k∈Z},则A与B间的关系是( )A.A∈BB.A BC.A∉BD.A=B二、填空题1.已知集合A={x|x2-3x+2=0},B={1,2},C={x|x<8,x∈N},用适当符号填空:A B,A C,{2} C,2 C.【解析】A={1,2},B={1,2},C={0,1,2,3,4,5,6,7},所以A=B,A C,{2}C,2∈C.答案:= ∈2.已知集合A={x|-2≤x≤3},B={x|x≥m},若A⊆B,则实数m的取值范围为.【解题指南】根据集合间的关系,借助数轴求解.【解析】将集合A,B表示在数轴上,如图所示,所以m≤-2.答案:m≤-23.设x,y∈R,A={(x,y)|y=x},B=,则A,B的关系是.【解析】因为B=={(x,y)|y=x,且x≠0},故B A.答案:B A【误区警示】解答本题易忽视集合B中x≠0而误认为A=B.4.设集合A={5,a+1},集合B={a,b}.若A∩B={2},则A∪B= .【解题指南】由交集求出a,b,再求并集.【解析】因为A∩B={2},所以2∈A,故a+1=2,a=1,即A={5,2};又2∈B,所以b=2,即B={1,2},所以A∪B={1,2,5}.答案:{1,2,5}三、解答题1.已知集合A={(x,y)|x+y=2,x,y∈N},试写出A的所有子集.【解析】因为A={(x,y)|x+y=2,x,y∈N},所以A={(0,2),(1,1),(2,0)}.所以A的子集有:∅,{(0,2)},{(1,1)},{(2,0)},{(0,2),(1,1)}, {(0,2),(2,0)},{(1,1),(2,0)},{(0,2),(1,1),(2,0)}.2.若集合A={x|(k+1)x2+x-k=0}有且仅有两个子集,求实数k的值. 【解析】集合A有且仅有两个子集说明A中仅有一个元素,那么对于方程(k+1)x2+x-k=0,若k+1=0,即k=-1,方程即为x+1=0,x=-1,此时A={-1},满足题意;若k+1≠0,则需Δ=0,即12-4(k+1)(-k)=0,解得k=-,此时A={-1},满足题意.所以实数k的值为-1或-.3.已知M={1},N={1,2},设A={(x,y)|x∈M,y∈N},B={(x,y)|x∈N,y ∈M},求A∩B和A∪B.【解析】因为A={(1,2),(1,1)},B={(1,1),(2,1)}.所以A∩B={(1,1)},A∪B={(1,1),(1,2),(2,1)}.【误区警示】本题易忽视集合A,B是点集而致错.4.已知A={1,x,-1},B={-1,1-x}.(1)若A∩B={1,-1},求x.(2)若A∪B={1,-1,},求A∩B.(3)若B⊆A,求A∪B.【解析】(1)由条件知1∈B,所以1-x=1,所以x=0.(2)由条件知x=,所以A=,B=,所以A∩B=.(3)因为B⊆A,所以1-x=1或1-x=x,所以x=0或,当x=0时,A∪B={1,0,-1},当x=时,A∪B=.。
集合与集合间的基本关系习题课
例3.请用列举法表示下列集合 : (1) A = {( x, y ) | x + y = 4, x ∈ N * , y ∈ N *}; a b c ( 2) B = { x | x = + + , 其中a, b, c ∈ R}; |a| |b| |c| (3)C = {x | x ⊆ M }, 其中M = {0,1}.
例 4.(1)已知 A = {a + 2, (a + 1) 2 , a 2 + 3a + 3}, 且1 ∈ A , 求实数 a的值 ;
(2)已知M = {2, a, b}, N = {2a,2, b 2 }, 且M = N, 求a, b 的值.
6 例5.(1) M = {x ∈ N | ∈ Z }, 求M ; 1+ x 6 ∈ Z | x ∈ N }, 求C. (2)C = { 1+ x
集合与集合间的基本 关系习题课
1.子集、真子集的定义是什么?
(1) 对任意的 x ∈ A , 都有 x ∈ B , 则 A ⊆ B ;
( 2)若A ⊆ B, 且存在 x ∈ B, 但x ∉ A, 则A B.
2.空集有哪两个性质?子集有哪两个性质?
(1) Φ ⊆ A ; ( 2 ) 若 A ≠ Φ , 则 Φ A;
(3) A ⊆ A; (4)若A ⊆ B, B ⊆ C, 则A ⊆ C.
元素与集合的关系一般是什么? 3.元素与集合的关系一般是什么?集合 间的关系一般是什么? 间的关系一般是什么? 元素与集合的关系一般是属于与不属于 集合间的关系一般是包含与不包含。 集合间的关系一般是包含, Φ , { Φ } 的区别和关 系吗?
0 是一个数
,
{0}是一个集合 , 它含有 1个元素 0,
人教版高中数学必修一课件含例题1.2集合间的基本关系
A
=
B
⇔
A B
⊆ ⊆
B A
一个集合有多种表达形式.
牛刀小试:A x x 1 x 2 0 ,B 1, 2。集合A与B什么关系?
A=B
探究三 真子集
观察以下几组集合,并指出它们元素间的关系: (1)A={1,3,5}, B={1,2,3,4,5,6}
(2)A={四边形}, B={多边形}
3.集合相等:A=B AB且BA.
4.性质: ①A,若A非空, 则 A.
②AA. ③AB,BCAC.
解:集合的所有子集为 ,a,b,c, a,b, a,c,b,c,a,b, c
.
所有真子集为 ,a,b,c, a,b, a, c,b, c.
例2.判断下列各题中集合A是否为集合B的子集,并说明理由。 (1)A {1,2,3},B {x | x是8的约数}; (2)A {x | x是长方形},B {x | x是两条对角线相等的平行四边形}。
思考1:实数有相等,大小关系,如5=5,5<7,5>3等等,类比 实数之间的关系,你会想到集合之间有什么关系呢?
子集定义:
一般地,对于两个集合A、B,如果集合A中任 意一个元素都是集合B中的元素,我们就说这两个 集合有包含关系,称集合A为集合B的子集.
记作: A B (或B A )
读作:“A含于B” (或“B包含A”)
解:(1)因为3不是8的约数,所以集合A不是集合B的子集。
(2)因为若 x是长方形,则 x一定两条对角线相等的 平行四边形, 所以集合 A是集合B的子集。
回顾本节课你有什么收获?
1.子集:A B 任意x∈A x∈B.
2.真子集: A B A B,但存在 x0∈B且 x0 A.
{1,2}
第一章 1.1.3.4习题课
主目录
明目标、知重点
忆要点、固基础
探题型、提能力
探题型、提能力
习题课
题型四 :集合的实际应用
反思与感悟
解决这一类问题一般借用数形结合, 借助于 Venn 图, 把抽象
的数学语言与直观的图形结合起来,注意两个集合并集的元素个数不一定 等于两个集合的元素个数和.
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明目标、知重点
忆要点、固基础
探题型、提能力
忆要点、固基础
探题型、提能力
习题课 呈重点、现规律
1.要注意区分两大关系:一是元素与集合的从属关系,二是集合与集合的包含 关系. 2.在利用集合中元素相等列方程求未知数的值时,要注意利用集合中元素的互 异性这一性质进行检验, 忽视集合中元素的性质是导致错误的常见原因之一.
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明目标、知重点
忆要点、固基础
解析 由题意得,A∩B={3,4,5},阴影部分所表示的集合为集合 A 去 掉集合 A∩B 中的元素所组成的集合,所以为{1,2}.
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明目标、知重点
忆要点、固基础
探题型、提能力
忆要点、固基础
习题课
6.已知 P={x|x=a2+1,a∈R},Q={x|x=a2-4a+5,a∈R},则 P 与 Q
{(4,4)} ________.
解析
x-y=0, 由 2x-3y+4=0
x=4, 得 y=4.
∴A∩B={(4,4)}.
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明目标、知重点
忆要点、固基础
探题型、提能力
探题型、提能力
习题课
题型一 :集合的概念
反思与感悟
要解决集合的概念问题,必须先弄清集合中元素的性质,明
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明目标、知重点
人教版高中数学必修一集合间的基本关系练习题
1.1.2集合间的基本关系班级:__________姓名:__________设计人__________日期__________课后练习【基础过关】1.设,,若,则的取值范围是A. B. C. D.2.设集合,,则A.M =NB.M⊆NC.M ND.N3.已知集合,,若,求实数的值.4.满足条件{1,2,3}M{1,2,3,4,5,6}的集合的个数是A.8B.7C.6D.55.设集合和,那么与的关系为 .6.含有三个实数的集合,既可表示成,又可表示成,则.7.设集合,,求A∩B.8.已知M={x | x2-2x-3=0},N={x | x2+ax+1=0,a∈R},且N M,求a的取值范围.【能力提升】已知,,是否存在实数,使得对于任意实数,都有?若存在,求出对应的的值;若不存在,说明理由.答案【基础过关】1.D【解析】∵,∴a≥22.D【解析】本题考查集合间的基本关系.,;而;即N.选D.3.由A=B,可得,解得x=1.4.C【解析】本题考查子集.由题意得M={1,2,3,4},{1,2,3,5},{1,2,3,6},{1,2,3,4,5},{1,2,3,4,6},{1,2,3,6,5}共6个.选C.5.M=P【解析】∵xy>0,∴x,y同号,又x+y<0,∴x<0,y<0,即集合M表示第三象限内的点.而集合P表示第三象限内的点,故M=P.6.-1【解析】本题考查相等集合.由题意得,所以,即;此时,所以,,且,解得.所以.7.,解得;所以.【解析】本题考查集合的基本运算.8.解:M={x | x 2-2x -3=0}={3,-1};∵N M,当N=∅时,N M 成立,N={x | x 2+ax+1=0},∴a 2-4<0, ∴-2<a <2; 当N≠∅时,∵N M, ∴3∈N 或 -1∈N; 当3∈N 时,32-3a+1=0即a= -310,N={3,31},不满足N M;当-1∈N 时,(-1)2-a+1=0即a=2,N={-1},满足N M; ∴a 的取值范围是-2<a ≤2.【解析】本题考查集合间的基本关系.【能力提升】不存在.要使对任意的实数b 都有,则1,2是A 中的元素,又∵A ={a -4,a +4},∴或这两个方程组均无解,故这样的实数a 不存在.附赠材料答题六注意 :规范答题不丢分提高考分的另一个有效方法是减少或避免不规范答题等非智力因素造成的失分,具体来说考场答题要注意以下六点:第一,考前做好准备工作。
《集合间的基本关系》专题复习与训练
《1.2 集合间的基本关系》专题复习与训练【新课导入】1.Venn图的优点及其表示(1)优点:形象直观.(2)表示:通常用封闭曲线的内部代表集合.2.子集、真子集、集合相等的相关概念思考1:(1)任何两个集合之间是否有包含关系?(2)符号“∈”与“⊆”有何不同?提示:(1)不一定.如集合A={0,1,2},B={-1,0,1},这两个集合就没有包含关系.(2)符号“∈”表示元素与集合间的关系;而“⊆”表示集合与集合之间的关系.3.空集(1)定义:不含任何元素的集合叫做空集,记为∅.(2)规定:空集是任何集合的子集.思考2:{0}与∅相同吗?提示:不同.{0}表示一个集合,且集合中有且仅有一个元素0;而∅表示空集,其不含有任何元素,故{0}≠∅.4.集合间关系的性质(1)任何一个集合都是它本身的子集,即A⊆A.(2)对于集合A,B,C,①若A⊆B,且B⊆C,则A⊆C;②若A B,B C,则A C.(3)若A⊆B,A≠B,则A B.1.设集合M={1,2,3},N={1},则下列关系正确的是( )A.N∈M B.N∉MC.N⊇M D.N⊆MD[∵1∈{1,2,3},∴1∈M,又2∉N,∴N⊆M.]2.下列四个集合中,是空集的为( )A.{0}B.{x|x>8,且x<5}C.{x∈N|x2-1=0}D.{x|x>4}B[满足x>8且x<5的实数不存在,故{x|x>8,且x<5}=∅.]3.集合{0,1}的子集有________个.4[集合{0,1}的子集有∅,{0},{1},{0,1},共4个.]4.已知集合A={x|x2-3x+2=0},B={1,2},C={x|x<8,x∈N},用适当的符号填空:(1)A________B;(2)A________C;(3){2}________C;(4)2________C.(1)=(2)(3)(4)∈[集合A为方程x2-3x+2=0的解集,即A={1,2},而C={x|x<8,x∈N}={0,1,2,3,4,5,6,7}.故(1)A=B;(2)A C;(3){2} C;(4)2∈C.]【合作探究】集合间关系的判断【例1】判断下列各组中集合之间的关系:(1)A={x|x是12的约数},B={x|x是36的约数};(2)A={x|x是平行四边形},B={x|x是菱形},C={x|x是四边形},D={x|x 是正方形};(3)A={x|-1<x<4},B={x|x<5}.[解] (1)因为若x是12的约数,则必定是36的约数,反之不成立,所以A B.(2)由图形的特点可画出Venn图如图所示,从而D B A C.(3)易知A中的元素都是B中的元素,但存在元素,如-2∈B,但-2∉A,故A B.判断集合关系的方法.(1)观察法:一一列举观察.(2)元素特征法:首先确定集合的元素是什么,弄清集合元素的特征,再利用集合元素的特征判断关系.(3)数形结合法:利用数轴或Venn图.提醒:若A⊆B和A B同时成立,则A B更能准确表达集合A,B之间的关系.1.能正确表示集合M={x∈R|0≤x≤2}和集合N={x∈R|x2-x=0}关系的Venn图是( )B[解x2-x=0得x=1或x=0,故N={0,1},易得N M,其对应的Venn 图如选项B所示.]子集、真子集的个数问题【例2】已知集合M满足:{1,2}M⊆{1,2,3,4,5},写出集合M所有的可能情况.[解] 由题意可以确定集合M必含有元素1,2,且至少含有元素3,4,5中的一个,因此依据集合M的元素个数分类如下:含有3个元素:{1,2,3},{1,2,4},{1,2,5};含有4个元素:{1,2,3,4},{1,2,3,5},{1,2,4,5};含有5个元素:{1,2,3,4,5}.故满足条件的集合M为{1,2,3},{1,2,4},{1,2,5},{1,2,3,4},{1,2,3,5},{1,2,4,5},{1,2,3,4,5}.1.求集合子集、真子集个数的3个步骤2.与子集、真子集个数有关的4个结论假设集合A中含有n个元素,则有(1)A的子集的个数有2n个.(2)A的非空子集的个数有2n-1个.(3)A的真子集的个数有2n-1个.(4)A的非空真子集的个数有2n-2个.2.已知集合A={(x,y)|x+y=2,x,y∈N},试写出A的所有子集及真子集.[解] ∵A={(x,y)|x+y=2,x,y∈N},∴A={(0,2),(1,1),(2,0)}.∴A的子集有∅,{(0,2)},{(1,1)},{(2,0)},{(0,2),(1,1)},{(0,2),(2,0)},{(1,1),(2,0)},{(0,2),(1,1),(2,0)}.A的真子集有∅,{(0,2)},{(1,1)},{(2,0)},{(0,2),(1,1)},{(0,2),(2,0)},{(1,1),(2,0)}.由集合间的关系求参数[探究问题]集合A={x|1<x<b}中一定含有元素吗?当A中含有元素时,试用数轴表示其所包含的元素.提示:不一定.当b≤1时,A=∅,其不含有任何元素,当b>1时,集合A 中的元素用数轴可表示为:【例3】已知集合A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1},若B A,求实数m的取值范围.[思路点拨] B={x|m+1≤x≤2m-1}分B=∅和B≠∅列不等式组―→求m的取值范围――→结合数轴[解] (1)当B=∅时,由m+1>2m-1,得m<2.(2)当B≠∅时,如图所示.∴⎩⎨⎧m +1≥-2,2m -1<5,2m -1≥m +1或⎩⎨⎧m +1>-2,2m -1≤5,2m -1≥m +1,解这两个不等式组,得2≤m ≤3. 综上可得,m 的取值范围是{m |m ≤3}.1.若本例条件“A ={x |-2≤x ≤5}”改为“A ={x |-2<x <5}”,其他条件2.若本例条件“B A ”改为“A ⊆B ”,其他条件不变,求m 的取值范围. [解] 当A ⊆B 时,如图所示,此时B ≠∅.1.利用集合的关系求参数问题(1)利用集合的关系求参数的范围问题,常涉及两个集合,其中一个为动集合(含参数),另一个为静集合(具体的),解答时常借助数轴来建立变量间的关系,需特别注意端点问题.(2)空集是任何集合的子集,因此在解A ⊆B (B ≠∅)的含参数的问题时,要注意讨论A=∅和A≠∅两种情况,前者常被忽视,造成思考问题不全面.2.数学素养的建立通过本例尝试建立数形结合的思想意识,以及在动态变化中学会用分类讨论的思想解决问题.1.A⊆B隐含着A=B和A B两种关系.2.求集合的子集时,可按照子集元素个数分类,再依次写出符合要求的子集.3.由集合间的关系求参数问题的注意点及常用方法(1)注意点:①不能忽视集合为∅的情形;②当集合中含有字母参数时,一般需要分类讨论.(2)常用方法:对于用不等式给出的集合,已知集合的包含关系求相关参数的范围(值)时,常采用数形结合的思想,借助数轴解答.【课堂达标】1.思考辨析(1)空集中只有元素0,而无其余元素.( )(2)任何一个集合都有子集.( )(3)若A=B,则A⊆B或B⊆A.( )(4)空集是任何集合的真子集.( )[答案] (1)×(2)√(3)√(4)×2.集合A={x|0≤x<3,x∈N}的真子集的个数是( )A.16 B.8C.7 D.4C[易知集合A={0,1,2},含有3个元素,∴A的真子集有23-1=7个.] 3.已知集合A={-1,3,m},B={3,4},若B⊆A,则实数m=________.4[由B⊆A可知,m=4.]4.已知集合A={x|1≤x≤2},B={x|1≤x≤a,a≥1}.(1)若A B,求a的取值范围;(2)若B⊆A,求a的取值范围.[解] (1)若A B ,则集合A 中的元素都在集合B 中,且B 中有不在A 中的元素,则a >2.(2)若B ⊆A ,则集合B 中的元素都在集合A 中,则a ≤2. 因为a ≥1, 所以1≤a ≤2.《集合间的基本关系》专题练习[合格基础练]一、选择题1.已知集合A ={-1,0,1},则含有元素0的A 的子集的个数为( ) A .2 B .4 C .6D .8B [根据题意,含有元素0的A 的子集为{0},{0,1},{0,-1},{-1,0,1},共4个.]2.已知集合A ={2,-1},集合B ={m 2-m ,-1},且A =B ,则实数m 等于( )A .2B .-1C .2或-1D .4C [∵A =B ,∴m 2-m =2,∴m =2或m =-1.] 3.若x ,y ∈R ,A ={(x ,y )|y =x },B =⎩⎨⎧⎭⎬⎫(x ,y )⎪⎪⎪y x =1,则集合A ,B 间的关系为( )A .AB B .A BC .A =BD .A ⊆BB [∵B =⎩⎨⎧⎭⎬⎫(x ,y )⎪⎪⎪yx =1={(x ,y )|y =x ,且x ≠0},∴B A .] 4.已知集合B ={-1,1,4},满足条件∅M ⊆B 的集合M 的个数为( ) A .3 B .6 C .7D .8C [由题意可知集合M 是集合B 的非空子集,集合B 中有3个元素,因此非空子集有7个,选C.]5.①0∈{0};②∅{0};③{0,1}⊆{(0,1)};④{(a ,b )}={(b ,a )}.上面关系中正确的个数为( )A .1B .2C .3D .4B [①正确,0是集合{0}的元素;②正确,∅是任何非空集合的真子集;③错误,集合{0,1}含两个元素0,1,而{(0,1)}含一个元素点(0,1),所以这两个集合没关系;④错误,集合{(a ,b )}含一个元素点(a ,b ),集合{(b ,a )}含一个元素点(b ,a ),这两个元素不同,所以集合不相等.故选B.]二、填空题6.设A ={x |1<x <2},B ={x |x <a },若A B ,则实数a 的取值范围是________. {a |a ≥2} [如图,因为A B ,所以a ≥2,即a 的取值范围是{a |a ≥2}.]7.集合{(1,2),(-3,4)}的所有非空真子集是________.{(1,2)},{(-3,4)} [{(1,2),(-3,4)}的所有真子集有∅,{(1,2)},{(-3,4)},其非空真子集是{(1,2)},{(-3,4)}.]8.设a ,b ∈R ,集合A ={1,a },B ={x |x (x -a )(x -b )=0},若A =B ,则a =________,b =________.0 1 [A ={1,a },解方程x (x -a )(x -b )=0, 得x =0或a 或b ,若A =B ,则a =0,b =1.] 三、解答题9.设A ={x |x 2-8x +15=0},B ={x |ax -1=0}. (1)若a =15,试判定集合A 与B 的关系;(2)若B ⊆A ,求实数a 组成的集合C .[解] (1)A ={x |x 2-8x +15=0}={5,3},a =15时,B ={5},元素5是集合A ={5,3}中的元素,集合A ={5,3}中除元素5外,还有元素3,3在集合B 中没有,所以B A . (2)当a =0时,由题意B =∅,又A ={3,5},故B ⊆A ; 当a ≠0时,B =⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a ,又A ={3,5},B ⊆A ,此时1a =3或5,则有a =13或a =15.所以C =⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫0,13,15.10.已知集合A ={x |x <-1,或x >4},B ={x |2a ≤x ≤a +3},若B ⊆A ,求实数a 的取值范围.[解] (1)当B =∅时,2a >a +3,即a >3.显然满足题意. (2)当B ≠∅时,根据题意作出如图所示的数轴,可得⎩⎨⎧a +3≥2a ,a +3<-1或⎩⎨⎧a +3≥2a ,2a >4,解得a <-4或2<a ≤3.综上可得,实数a 的取值范围为{a |a <-4,或a >2}.[等级过关练]1.集合⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1,a ,b a ={0,a 2,a +b },则a 2 017+b 2 018的值为( )A .0B .1C .-1D .±1C[∵⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1,a ,b a ={0,a 2,a +b },又a ≠0,∴b a=0,∴b =0.∴a 2=1,∴a =±1.又a ≠1,∴a =-1,∴a 2 017+b 2 018=(-1)2 017+02 018=-1.] 2.若集合M =⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x =k 2+14,k ∈Z,集合N =⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x =k 4+12,k ∈Z ,则( )A .M =NB .N ⊆MC .M ND .以上均不对C [M =x ⎪⎪⎪x =k2+14,k ∈Z =x ⎪⎪⎪x =2k +14,k ∈Z .N =⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪ x =k 4+12,k ∈Z =⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪ x =k +24,k ∈Z . 又2k +1,k ∈Z 为奇数,k +2,k ∈Z 为整数,所以M N .]3.已知集合P ={x |x 2=1},集合Q ={x |ax =1},若Q ⊆P ,那么a 的取值是________.0或±1 [由题意得P ={-1,1},又因为Q ⊆P ,①若Q =∅,则a =0,此时满足Q ⊆P ;②若Q ≠∅,则Q =⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪ x =1a ,由题意知,1a =1或1a =-1,解得a =±1. 综上可知,a 的取值是0或±1.]4.集合A ={x |(a -1)x 2+3x -2=0}有且仅有两个子集,则a 的取值为________.1或-18[由集合有两个子集可知,该集合是单元素集,当a =1时,满足题意.当a ≠1时,由Δ=9+8(a -1)=0可得a =-18.] 5.设集合A ={x |-1≤x +1≤6},B ={x |m -1<x <2m +1}.(1)当x ∈Z 时,求A 的非空真子集的个数;(2)若A ⊇B ,求m 的取值范围.[解] 化简集合A 得A ={x |-2≤x ≤5}.(1)∵x ∈Z ,∴A ={-2,-1,0,1,2,3,4,5},即A 中含有8个元素,∴A 的非空真子集个数为28-2=254(个).(2)①当m -1≥2m +1,即m ≤-2时,B =∅⊆A ;②当m >-2时, B ={x |m -1<x <2m +1},因此,要B ⊆A ,则只要⎩⎨⎧ m -1≥-2,2m +1≤5,即-1≤m ≤2. 综上所述,知m 的取值范围是 {m |-1≤m ≤2或m ≤-2}.。
高中数学《集合间的基本关系》微课精讲+知识点+教案课件+习题
▼知识点:有关子集的几个等价关系①A∩B=A A B;②A∪B=B A B;③A B C uA C uB;④A∩CuB = 空集 CuA B;⑤CuA∪B=I A B。
《集合间的基本关系》知识点总结一、“包含”关系—子集注意:有两种可能(1)A是B的一部分;(2)A与B是同一集合。
反之:集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作AB或BA二、“相等”关系实例:设A={x|x²-1=0} B={-1,1}“元素相同则两集合相等”结论:对于两个集合A与B,如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,同时,集合B的任何一个元素都是集合A的元素,我们就说集合A等于集合B,即:A=B①任何一个集合是它本身的子集。
AA②真子集:如果AB,且A≠B那就说集合A是集合B的真子集,记作A图23B(或B图24A)③如果AB;BC;那么AC④如果AB;同时BA;那么A=B三、不含任何元素的集合叫做空集,记为∅规定:空集是任何集合的子集,空集是任何非空集合的真子集。
教案:教材分析类比实数的大小关系引入集合的包含与相等关系,了解空集的含义.本节内容是在学习了集合的概念、元素与集合的从属关系以及集合的表示方法的基础上,进一步学习集合与集合之间的关系,同时也为下一节学习集合的基本运算打好基础.因此本节内容起着承上启下的重要作用.教学目标【知识与能力目标】1.了解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集;2.理解子集、真子集的概念;3.能使用Venn图表达集合间的关系,体会直观图示对理解抽象概念的作用.【过程与方法目标】让学生通过观察身边的实例,发现集合间的基本关系,体验其现实意义.【情感态度价值观目标】感受集合语言在描述客观现实和数学问题中的意义.教学重难点【教学重点】集合间的包含与相等关系,子集与真子集的概念.【教学难点】属于关系与包含关系的区别.课前准备学生通过预习,观察、类比、思考、交流、讨论,发现集合间的基本关系.教学过程(一)创设情景,揭示课题复习回顾:1.集合有哪两种表示方法?2.元素与集合有哪几种关系?问题提出:集合与集合之间又存在哪些关系?(二)研探新知问题1:实数有相等、大小关系,如5=5,5<7,5>3等等,类比实数之间的关系,你会想到集合之间有什么关系呢?让学生自由发言,教师不要急于做出判断.而是继续引导学生;欲知谁正确,让我们一起来观察、研探.投影问题2:观察下面几个例子,你能发现两个集合间有什么关系了吗?(1);(2)设A为国兴中学高一(3)班男生的全体组成的集合,B为这个班学生的全体组成的集合;(3)设(4).组织学生充分讨论、交流,使学生发现两个集合所含元素范围存在各种关系,从而类比得出两个集合之间的关系:①一般地,对于两个集合A,B,如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素,我们就说这两个集合有包含关系,称集合A为B的子集.记作:读作:A含于B(或B包含A).②如果两个集合所含的元素完全相同,那么我们称这两个集合相等.教师引导学生类比表示集合间关系的符号与表示两个实数大小关系的等号之间有什么类似之处,强化学生对符号所表示意义的理解.并指出:为了直观地表示集合间的关系,我们常用平面上封闭曲线的内部代表集合,这种图称为Venn 图.如图1和图2分别是表示问题2中实例1和实例3的Venn图.图1图2投影问题3:与实数中的结论“若”相类比,在集合中,你能得出什么结论?教师引导学生通过类比,思考得出结论:若.问题4:请同学们举出几个具有包含关系、相等关系的集合实例,并用Venn图表示.学生主动发言,教师给予评价.(三)学生自主学习,阅读理解然后教师引导学生阅读教材的相关内容,并思考回答下例问题:(1)集合A是集合B的真子集的含义是什么?什么叫空集?(2)集合A是集合B的真子集与集合A是集合B的子集之间有什么区别?(3)0,{0}与三者之间有什么关系?(4)包含关系与属于关系之间有什么区别?试结合实例作出解释.(5)空集是任何集合的子集吗?空集是任何集合的真子集吗?(6)能否说任何一人集合是它本身的子集,即?(7)对于集合A,B,C,如果AB,BC,那么集合A与C有什么关系?教师巡视指导,解答学生在自主学习中遇到的困惑过程,然后让学生发表对上述问题看法.(四)巩固深化,发展思维1.学生在教师的引导启发下完成下列两道例题:例1.某工厂生产的产品在质量和长度上都合格时,该产品才合格.若用A表示合格产品,B表示质量合格的产品的集合,C表示长度合格的产品的集合.则下列包含关系哪些成立?试用Venn图表示这三个集合的关系.例2.写出集合{0,1,2)的所有子集,并指出哪些是它的真子集.2.学生做教材习题,教师及时检查反馈.强调能确定是真子集关系的最好写真子集,而不写子集.(五)归纳整理,整体认识1.请学生回顾本节课所学过的知识内容有建些,所涉及到的主要数学思想方法又那些.2.在本节课的学习过程中,还有那些不太明白的地方,请向老师提出.课件:练习:。
高一数学集合间的基本关系练习题及答案
1.集合{a, b}的子集有( )之巴公井开创作创作时间:二零二一年六月三十日A.1个B.2个C.3个 D.4个【解析】集合{a, b}的子集有Ø, {a}, {b}, {a, b}共4个, 故选D.【谜底】D2.下列各式中, 正确的是( )A.23∈{x|x≤3} B.23∉{x|x≤3}C.23⊆{x|x≤3} D.{23}{x|x≤3}【解析】23暗示一个元素, {x|x≤3}暗示一个集合, 但23不在集合中, 故23∉{x|x≤3}, A、C不正确, 又集合{23}⃘{x|x≤3}, 故D不正确.【谜底】B3.集合B={a, b, c}, C={a, b, d}, 集合A满足A⊆B, A⊆C.则集合A的个数是________.【解析】若A=Ø, 则满足A⊆B, A⊆C;若A≠Ø, 由A⊆B, A⊆C知A是由属于B且属于C的元素构成, 此时集合A可能为{a}, {b}, {a, b}.【谜底】44.已知集合A={x|1≤x<4}, B={x|x<a}, 若A⊆B, 求实数a的取值集合.【解析】将数集A暗示在数轴上(如图所示), 要满足A⊆B, 暗示数a的点必需在暗示4的点处或在暗示4的点的右边, 所以所求a的集合为{a|a≥4}.一、选择题(每小题5分, 共20分)1.集合A={x|0≤x<3且x∈Z}的真子集的个数是( )A.5 B.6C.7 D.8【解析】由题意知A={0,1,2}, 其真子集的个数为23-1=7个, 故选C.【谜底】C2.在下列各式中毛病的个数是( )①1∈{0,1,2};②{1}∈{0,1,2};③{0,1,2}⊆{0,1,2};④{0,1,2}={2,0,1}A.1 B.2C.3 D.4【解析】①正确;②错.因为集合与集合之间是包括关系而非属于关系;③正确;④正确.两个集合的元素完全一样.故选A.【谜底】A3.已知集合A={x|-1<x<2}, B={x|0<x<1}, 则( )A.A>B B.A BC.B A D.A⊆B【解析】如图所示,, 由图可知, B A.故选C.【谜底】C4.下列说法:①空集没有子集;②任何集合至少有两个子集;③空集是任何集合的真子集;④若ØA, 则A≠Ø. 其中正确的有( )A .0个B .1个C .2个D .3个【解析】 ①空集是它自身的子集;②当集合为空集时说法毛病;③空集不是它自身的真子集;④空集是任何非空集合的真子集.因此, ①②③错, ④正确.故选B.【谜底】 B二、填空题(每小题5分, 共10分)5.已知Ø{x|x 2-x +a =0}, 则实数a 的取值范围是________.【解析】 ∵Ø{x|x 2-x +a =0}, ∴方程x 2-x +a =0有实根,∴Δ=(-1)2-4a≥0, a≤14. 【谜底】 a≤146.已知集合A ={-1,3,2m -1}, 集合B ={3, m 2}, 若B ⊆A, 则实数m =________.【解析】 ∵B ⊆A, ∴m 2=2m -1, 即(m -1)2=0∴m=1, 当m =1时, A ={-1,3,1}, B ={3,1}满足B ⊆A.【谜底】 1三、解答题(每小题10分, 共20分)7.设集合A ={x, y}, B ={0, x 2}, 若A =B, 求实数x, y.【解析】 从集合相等的概念入手, 寻找元素的关系, 必需注意集合中元素的互异性.因为A =B, 则x =0或y =0.(1)当x =0时, x 2=0, 则B ={0,0}, 不满足集合中元素的互异性, 故舍去.(2)当y =0时, x =x 2, 解得x =0或x =1.由(1)知x =0应舍去.综上知:x =1, y =0.8.若集合M ={x|x 2+x -6=0}, N ={x|(x -2)(x -a)=0}, 且N ⊆M, 求实数a 的值.【解析】 由x 2+x -6=0, 得x =2或x =-3.因此, M ={2, -3}.若a =2, 则N ={2}, 此时N M ;若a =-3, 则N ={2, -3}, 此时N =M ;若a≠2且a≠-3, 则N ={2, a},此时N 不是M 的子集,故所求实数a 的值为2或-3.9.(10分)已知集合M ={x|x =m +16, m∈Z }, N ={x|x =n 2-13, n∈Z }, P ={x|x =p 2+16, p∈Z }, 请探求集合M 、N 、P 之间的关系.【解析】 M ={x|x =m +16, m∈Z } ={x|x =6m +16, m∈Z }.N ={x|x =n 2-13, n∈Z } =⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x|x =3n -26 n∈Z P ={x|x =p 2+16, p∈Z } ={x|x =3p +16, p∈Z }. ∵3n-2=3(n -1)+1, n∈Z .∴3n-2,3p +1都是3的整数倍加1, 从而N =P.而6m +1=3×2m+1是3的偶数倍加1, ∴M N =P.创作时间:二零二一年六月三十日。
《集合间的基本运算》习题
《集合的基本运算》习题一、选择题1下列表述中错误的是( )A .若 A B,则AIB AB. 若AUB B,则A BC. (AI B) u A u (AUB)D. ? u(A QB )= (?u A) U (? U B)2. 已知全集U = { - 1,0,1,2},集合A = { - 1,2} , B = {0,2},则(? u A) AB=( )A.{0}B.{2}C. {0,1}D.{ - 1,1}3. 若全集u = R,集合M = {x| - 2 w x < 2}N= {x|x 2- 3x< 0},贝V MA(?u N) =( )A. {x|x<0}B.{x| - 2 w x<0}C.{x|x>3}D.{x| - 2w x<3}4. 若集合M = {x € R|- 3<x<1} , N = {x € Z|- 1 w x w 2}则MQ N =( )A . { - 1} B.{0}C. { - 1,0}D. { - 1,0,1}5. 已知全集U = A U B中有m个元素,(?u A) U (?u B)中有n个元素.若A PB非空,则A PB 的元素个数为()A.mB.m + nC.m —nD.n —m6. 设U = {n|n是小于9的正整数} ,A = {n € U|n是奇数} ,B = {n € U|n是3的倍数},则?u(A U B) =( )A. {2,4}B. {2,4,8}C. {3,8}D. {1,3,5,7}二、填空题7. _________________________________________ 某班有学生55人,其中体育爱好者43人,音乐爱好者34人,还有4人既不爱好体育也不爱好音乐,则该班既爱好体育又爱好音乐的有人.& 若集合{(x , y)|x + y-2= 0 且x-2y + 4= 0}{(x , y)|y = 3x + b},则b = _____________ .9•已知集合A {x|ax23x 2 0}至多有一个元素,则a的取值范围是 ___________ ;若至少有一个元素,则a的取值范围是_____________ .三、解答题2 2 2 210.集合A x| x ax a 19 0 , B x |x 5x 6 0 ,C x |x 2x 8 0 ,满足Al B , Al c ,求实数a的值•11. (15 分)已知集合A ={x € Rlax2—3x + 2= 0}.(1) 若A =,求实数a的取值范围;(2) 若A是单元素集,求a的值及集合A.12. 设集合A= {x|x2—3x+2= 0},B={x|x2+2(a+1)x+(a2—5)= 0}.(1)若A QB = {2},求实数a的值;⑵若A U B=A,求实数a的取值范围、选择题1. C 解析:当 A B 时,AIB A AUB .2. A 解析:? u A = {0,1},故(?u A) AB = {0}.3. B 解析:根据已知得 MQ(?u N) = {x| — 2< x < 2} n {x|x 或 x>3} = {x| — 2< x<0}4. C 解析:因为集合 N = { — 1,0,1,2},所以 MQ N = { — 1,0}.5. C解析:••• U = A U B 中有m 个元素,(e u A) U (e u B) = e u (A n B 中有n 个元素,••• A nB 中有m — n 个元素. 6. B解析:U ={123,4,5,6,7,8} , A = {1,3,5,7} , B = {3,6} , • A U B = {1,3,5,6,7},则 e u (A U B) = {2,4,8}.、填空题7.26 解析:全班分4类人:设既爱好体育又爱好音乐的有x 人;仅爱好体育的有(43x )人;仅爱好音乐的有(34x )人;既不爱好体育又不爱好音乐的 有 4 人,• 43x34xx4=55 , • x=26.若a 刊 要使方程ax 2 — 3x + 2 = 0无解,则△= 9 — 8a<0,则a>;.9综上可知,若 A =,贝U a 的取值范围应为a>9.82 2⑵当a = 0时,方程ax 2— 3x + 2= 0只有一根x =3 A = {3}符合题意.b = 2.三、9. a | a 9,或a 0 ,8a| a9 8解析:当A 中仅有一个兀素时, a 0 ,或9 8a 0 ;当A 中有0个兀素时, 9 8a 0 ;当A 中有两个兀素时,答题 9 8a0.口10.解:B 2,3 , C 4,2 ,而 AI B,则2,3至少有一个兀素在 又 AI C ,• 2 A ,3 A , 即 9 3a a 219 0,得 a 5或a2,而a 5时,A B,与AIC矛盾,11解: (1)A 是空集, 即方程 ax 2 — 3x + 2 = 0 无解.若a = 0,方程有一解2x= 3, 不合题意.2.二aA 中.x = 0,8.2 解析:由得点(0,2)在y = 3x + b 上,• y = 2.9 4 4当a^0寸,=9—8a= 0,即a=-时,方程有两个相等的实数根= 孑,贝A = {-}.8 3 3综上可知,当12.解:由x2—3x + 2 = 0 得x= 1 或x = 2,故集合A ={1,2}.⑴•/ A QB = {2},二2€ B,代入 B 中的方程,得a2+ 4a+ 3= 0,解得a=—1 或a=—3.当a=— 1 时,B = {x|x2—4= 0} = { —2,2},满足条件;当a= — 3 时,B = {x|x2—4x + 4= 0} = {2},满足条件.综上,a的值为一1或一3.(2)对于集合B , △= 4(a+ 1)2—4(a2—5) = 8(a+ 3). v A U B = A, A BA.①当△ <Q即a< —3时,B =满足条件;②当△= 0,即a=—3时,B = {2}满足条件;③当△ >Q即a> —3时,B = A = {1,2}才能满足条件,则由根与系数的关系得5解得2矛盾.a2= 7,综上,a的取值范围是am 3.。