概率3-2(荣)

例如， 例如，
n =10000, p = 0.001, k =10,
n k
[
03-01-52 概率论
]
1 10 E( X ) =10000 1−0.999 − ≈1100 <<10000 10
数理统计
绪论
概率论
00-06
17世纪中叶，法国有一位热衷于掷骰子游戏 世纪中叶， 世纪中叶 的贵族德·梅耳 发现了这样的事实： 梅耳， 的贵族德 梅耳，发现了这样的事实：将一枚骰子连掷四 次至少出现一个六点的机会比较多， 次至少出现一个六点的机会比较多，而同 时将两枚骰子掷24次，至少出现一次双六的机会却很少。 时将两枚骰子掷 次 至少出现一次双六的机会却很少。 这是什么原因呢？后人称此为著名的德·梅耳问题 梅耳问题。 这是什么原因呢？后人称此为著名的德 梅耳问题。 又有人提出了“分赌注问题” 又有人提出了“分赌注问题”： 两个人决定赌若干局，事先约定谁先赢得6局便算赢 两个人决定赌若干局，事先约定谁先赢得 局便算赢 如果在一个人赢3局 另一人赢4局时因故终止赌博 局时因故终止赌博， 家。如果在一个人赢 局，另一人赢 局时因故终止赌博， 应如何分赌本？ 应如何分赌本？ 对于许多诸如此类的需要计算可能性大小的赌博问题， 对于许多诸如此类的需要计算可能性大小的赌博问题， 他们自己无法给出答案。 他们自己无法给出答案。
概率论
方差的计算
由定义知， 由定义知，方差是随机变量 X 的函数 g(X)=[X-E(X)]2 的数学期望 .
2 ∑[xk − E( X )] pk , V ( X ) = k=1 ∞ [x − E( X )]2 f (x)dx, ∫−∞
X为连续型，X概率密度 为连续型， 概率密度 概率密度f(x) 为连续型
∞
X为离散型， 为离散型， 为离散型 分布率 P{X=xk}=pk
概率论
计算方差的一个简化公式 V(X)=E(X2)-[E(X)]2 证：V(X)=E[X-E(X)]2 =E{X2-2XE(X)+[E(X)]2} =E(X2)-2[E(X)]2+[E(X)]2 =E(X2)-[E(X)]2 利用期望 性质 展开
概率论
定义3 定义3.10 离差(dispersion) 离差(dispersion) 为一个随机变量， 设 X 为一个随机变量，若 E(X) 存在， 存在 ， 则称 X−E(X) 为随机变量 X 离差。 的离差。
概率论
方差(variance) 方差(variance) 设 X 为一个随机变量，若E{[X−E(X)]2} 为一个随机变量， E{[X− 存在， 方差或 存在，则称之为随机变量 X 的方差或总体 方差(population variance)， V(X)， 方差(population variance)，记作 V(X)，即 V(X)=E{[X− V(X)=E{[X−E(X)]2}
k
= (k +1) − k(1− p)
k
数理统计
n k ) E( X ) = ∑E( Xi ) = (k +1 − k(1− p) k i=1 1 k = n1− (1− p) − k (1− p)k − 1 > 0, 若 则E (X ) < n k
概率论
第二节
方差的定义 方差的计算 方差的性质
方差
概率论
上一节我们介绍了随机变量的数学期望， 上一节我们介绍了随机变量的数学期望， 它体现了随机变量取值的平均水平， 它体现了随机变量取值的平均水平，是随机变 量的一个重要的数字特征. 量的一个重要的数字特征
但是在一些场合，仅仅知道平均值是不够的 但是在一些场合，仅仅知道平均值是不够的.
c 4红或4白 红或4 奖 元 若卖完，店主大约获利多少？ 问，若卖完，店主大约获利多少？
数理统计
03-01-48 概率论
课后讨论题（最佳普查方案） 课后讨论题（最佳普查方案） 在共有n 个人的人群中， 在共有 n 个人的人群中 ， 普查某 种疾病（ 如甲肝） 种疾病 （ 如甲肝 ） ， 就需要对某地 区大量人群进行血检。 区大量人群进行血检。 次检验， 若逐个验血就需作 n 次检验 ， 现问能否用概率的思想方法来减少 检验的工作量？ 检验的工作量？
数理统计
03-01-50 03-01-45 概率论
2. 若把这n个人分组，每组k个人， 若把这n个人分组，每组k个人， 把这k个人的血样混合， 把这k个人的血样混合，首先检验混合血 样。 如果结果呈阴性，则不需再检验， 如果结果呈阴性，则不需再检验， 平均每人验血1/k次 平均每人验血1/k次； 如果结果呈阳性，则再逐个血样检 如果结果呈阳性， 即共需k+1次 验，即共需k+1次，平均每人需验 （k＋1）/k次。 /k次
概率论
方差刻划了随机变量的取值对于其数学期望的 离散程度 . 的取值比较集中， 较小； 若X的取值比较集中，则方差 的取值比较集中 则方差V(X)较小； 较小 的取值比较分散， 较大. 若X的取值比较分散，则方差 的取值比较分散 则方差V(X)较大 较大 因此， 是刻画X的取值偏离平均值的平均偏离 因此，V(X)是刻画 的取值偏离平均值的平均偏离 是刻画 程度，它是衡量 取值分散程度的一个尺度 取值分散程度的一个尺度。 程度，它是衡量X取值分散程度的一个尺度。
概率论
方差的性质
1. 设C 是常数 则 V(C)=0 ; 是常数, 2. 若 C 是常数 则 V(CX)=C2 *V(X) ; 是常数, 3. 设 X，Y 是两个独立的随机变量，则 是两个独立的随机变量， V(X+Y)=V(X)+V(Y) V(XV(X-Y)=V(X)+V(Y) 可以推广到n 可以推广到n个。
数理统计
03-01-51 概率论
解:为简单计，设 n 是 k 的倍数， 为简单计， 的倍数， 为简单计 设共分成 n / k 组 组需化验的次数为X 第 i 组需化验的次数为 i Xi P 1 k+1
k
(1− p)
1− (1− p)
k
k
E( Xi ) = (1− p) + (k +1)[1− (1− p) ]
概率论
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
例 测量了甲、乙两人射击五次的环数，结果如 测量了甲、 下： 10. 甲 9.7 10.1 9.9 9.8 9.8 乙 9.9 9.7 9.9 10.5 9.1 10. 试分析甲、乙两人技术水平高低。 试分析甲、乙两人技术水平高低。
概率论
由此可见,研究随机变量与其均值的偏离程度是十 由此可见 研究随机变量与其均值的偏离程度是十 分必要的.那么 用怎样的量去度量这个偏离程度呢?容易 那么,用怎样的量去度量这个偏离程度呢 分必要的 那么 用怎样的量去度量这个偏离程度呢 容易 看到
2
概率论
四、预习 实验 第四章
作业： 作业：P79 习题三 ， 6，7 习题三,2， ，
§3.3 大数定律与中心极限定理
本节要解决的问题 1. 为何能以某事件发生的频率 作为该事件的 概率的估计？ 2. 为何能以样本均值作为总体 期望的估计？ 3. 为何正态分布在概率论中占 有极其重要的地位？ 4. 大样本统计推断的理论基础 是什么？
E{ X − E( X) }
能度量随机变量与其均值E(X)的偏离程度 但由于 的偏离程度. 能度量随机变量与其均值 的偏离程度 上式带有绝对值,运算不方便 运算不方便,通常用量 上式带有绝对值 运算不方便 通常用量
E{[X − E( X )]2 }
来度量随机变量X与其均值 的偏离程度. 来度量随机变量 与其均值E(X)的偏离程度 与其均值 的偏离程度 这个数字特征就是我们这一讲要介绍的 方差
概率论
三、几个常见随机变量的方差 1. 二点分布 2. 二项分布 3. Poisson分布 Poisson分布 4. 均匀分布 5. 指数分布 6. 正态分布
V(X)=pq =1− V(X)=pq (q=1−p) 设 X~B(n,p)，则 V(X)=npq X~B(n V(X)=npq 设 X~P(λ)，则 V(X)=λ X~P( V(X)=λ 设 X~U[a,b]，则 V(X)=(b-a)2 / 12 X~U[ 设 X~E(λ)，则 V(X)=1/ λ 2 X~E( 设 X~N(µ ,σ 2)，则 V(X)=σ
数理统计
03-01-49 03-01-45 概率论
设某地区化验呈阳性的概率为 p， 且每个人是否为阳性是相互独立的. 且每个人是否为阳性是相互独立的. 已知需要检查n个人的血， 已知需要检查n个人的血，采用的方 法可以是： 法可以是： 1. 如果逐人验血，则共需要检验n 如果逐人验血，则共需要检验n 次，平均每人一次。 平均每人一次。
概率论
答复
大数 定律 中心极 限定理
数理统计
03-01-48 概率论
讨论题（促销方案） 讨论题（促销方案） 某服装店以100元 件进货100件衣服 件衣服， 某服装店以100元/件进货100件衣服， 希望以下面的方式促销： 希望以下面的方式促销： 1.卖 元 /件 。 2.买一件可以参加一次抽奖，规则： 买一件可以参加一次抽奖，规则： 箱子有8 一次抽4 箱子有8球，4红4白，一次抽4个。 抽到 a. 2红2白 奖 元 b 3红一白或3白一红 奖 元 红一白或3
概率论
例 设 X 的概率函数如下表，试求V(X)。 的概率函数如下表，试求V(X)。
X P
−1 0.1
0 0.2
1 0.4
2 0.3
概率论
标准差(standard 标准差(standard deviation) 设随机变量 X 的方差为 V(X)，则称 V(X ) V(X)， 标准差， SD。 为随机变量 X 的标准差，记为 SD。