常微分方程ppt (3)

( x ≠ 0) 后，方程化为：
1 dx d 2 2 1 d x 1 dx x dt − 2 = = 0. 2 x dt x dt dt
1 dx 故有 = c1 x dt
即可解得
。
x = c2e , (c 2 ≠ 0)，
c1t
x ≠ 0,而 x = 0 显然也是方程的解，故可去掉 c2 ≠ 0 的限制 而得到原方程的全部解为 x = c ec1t . 2
即
（3.1.15）
为了使点M有可能追上点P,我们假设 此时,由(3.1.15)得到追线方程为:
由于初始点 时, ,因此得:
在追线上, 即当
从而得追线方程:
当
时,就得到相遇点的坐标是
追上所需的时间是
例 ２. 悬链线问题 有一绳索悬挂在A和B两点(不一定是在同一 水平线),如图3.2所示.设绳索是均匀的,柔 软的,仅受绳本身的重量作用,它弯曲如图中的 形状,试确定该绳索在平衡状态时的形状. 解: 设C是其最低点,选取坐标系 且 轴通过C点. 如图中所示,
B A C O
图3.2
考虑绳索在最低点C与点
之间的一段,
这一段在下面三个力的作用下平衡: (1)在点P的张力T,方向沿着P点的切线方向; (2)在点C的水平张力H; (3)CP段的垂直的重量,记为 ,设它作用
在某一点Q处,不一定是CP的中心,见图3.3由于 平衡关系,这些力在 为0,在 轴(水平)方向的代数和
阅读材料: 阅读材料: 最速降线问题
确定一个连 接二定点A,B的曲 线,使质点在这曲 线上用最短的时 间由A滑至B点(忽 略摩擦力和阻 力)。
背景
restart: printlevel:=0: with(plots): animate({[n*2*Pi+0.2*sin(t),-n*2*Pi+0.2*cos(t),t=0..2*Pi], [s,-s,s=0..2*Pi]}, # animate({[ (n*2*Pi)^2/2/Pi+0.2*sin(t), # -n*2*Pi+0.2*cos(t),t=0..2*Pi],[s^2/2/Pi,-s,s=0..2*Pi]}, # animate({[2*Pi+2*Pi*cos((1+n/2)*Pi)+0.2*sin(t), # 2*Pi*sin((1+n/2)*Pi)+0.2*cos(t),t=0..2*Pi], # [2*Pi+2*Pi*cos(s),2*Pi*sin(s),s=Pi..3*Pi/2]}, n=0..1, frames=200, scaling=constrained);
F x, x ',L, x = 0. (3.1.4) 此时，用 y = x '作为新的未知函数，而把 x
当作新的自变量， 则
(
( n)
)
dx d 2 x dy dy dx dy = y, = = =y , 2 dt dt dt dx dt dx dy dy d y d y 2 3 dx dx dy d2 y dx = dx = y 2 = , +y 3 2 dt dt dx dt dx dx
5
4
d4x ，则方程化为 解： 令 4 = y dt
dy 1 − y =0 dt t
这是一个一阶方程,其通解为
y = ct ，即有
d x = ct 4 dt
积分四次得原方程的通解
4
x = c1 t + c2t + c3t + c4t + c5
5 3 2
3.1.2 不显含自变量 t 的方程
不显含自变量的方程的一般形式是
计算结果
这样就把一个最速降线问题摆在我们面前: 时间T的表达式是一个泛函的极值问题，利用极值的思 想去解决。
最速降线满足的方程
时间计算： 时间计算：
restart: t1:=fsolve(t-sin(t)=1-cos(t),t,0.1..3); c:=1/(1-cos(t1)); x:=c*(t-sin(t));x1:=diff(x,t); y:=c*(1-cos(t));y1:=diff(y,t); z1:=sqrt(1+(y1/x1)^2); z2:=sqrt(2*9.8*y); z:=z1/z2*x1; time_of_dropping:=int(z,t=0..t1); 通过数值积分得到的下滑时间为 0.583193
此外,在乘积分因子时,我们限制
3.1.4 可降阶的高阶方程的应用举例
例１. 追线问题 在 轴上有一点P以常速度a沿着 轴
正向移动;在
平面上另有一点M,它以常
速度V运动，方向永远指向P点,求M点的运动 轨迹. 解: 首先我们建立点M运动时所满足的微分 方程模型.
图3.1
以 记点M在时刻t的坐标，以X记 点P在时刻t的横坐标， 表示P点在t=0的横坐 标,根据条件有 （3.1.8） （3.1.9）
轴(垂直)方向的代数和也必须为0. T Q H C
图3.3
现将张力Ｔ分解为两个分力：水平方向分 力为 ，垂直方向分力为 向右；在 ．此时，在 轴方向，
轴方向Ｈ向左而 向下而
向上，按平衡关系有：
Hale Waihona Puke 两式相除，并利用关系式 线斜率）得：
（为Ｐ点的切
Ｈ是在最低点处的张力，是常数，但 依赖于 ，将上式两边对 微分得 （3.1.1６） 其中 表示在水平方向上， 每增加单位
F(t, x, x ',L, x ) = 0
( n)
(3.1.1)
3.1.1 不显含未知函数x的方程
x 不显含未知函数 ，或更一般地，不显含未知 函数及其直到 k −1( k ≥1)阶导数的方程是
F(t, x , x
( k)
( k) ( k +1)
,L, x ) = 0
( n)
(3.1.2)
若令 x = y ，就可把上述方程化为关于 的 n − k 阶方程
t
dx dn x d dx dn−1x F t, x, ,L, n = Φt, x, ,L, n−1 . dt dt dt dt dt
则称(3.1.6)是全微分方程，显然 全微分方程， 全微分方程
n−1 dx d x Φt, x, ,L, n−1 = c1 (3.1.7) dt dt 方程(3.1.7)是n−1阶的，若能求出(3.1.7)的全部解 x = ϕ ( t, c1, c2,L, cn)
距离时，ＣＰ段弧所增加的重量．设绳索的密度 为 ，则有 长，我们需要求出 ．其中Ｓ表示从Ｃ点算起的弧 ，因为
或 又由于
故
从而方程（3.1.16）化为： （3.1.1７）
记 则有：
为绳索最低点Ｃ到坐标原点的距离，
（3.1.1７）是一个不显含自变量 程，令
的方
则方程（3.1.1７）化为
分离变量，积分得：
用数学归纳法易得，x
( k)
dy d k−1 y 可用 y, ,L, k−1 ( k ≤ n) dx dx
来表达.将这些表达式代入 (3.1.4) 可得
2 dy dy d2 y 2 F x, y, y , y + y ,L, = 0. 2 dx dx dx
由图3.1知,在点M未追上点P之前,点P的横 坐标总大于点M 的横坐标,即当 所以积分上式得: 即 时
假设开始追逐是,点 P 和 M 同在一条平行于 轴的直线上,并记它们的位置为 显然有 ,由此得 及
,从而得: （3.1.13）
由上式得: （3.1.14） (3.1.13)减去(3.1.14)得:
（3.1.8） 把（3.1.6）代入（3.1.8），并记 得: 把 上式两边关于 作为自变量， 求导得 （3.1.9） 即
又由
得: （3.1.10）
由（3.1.9）和（3.1.10）得到M的追线方程 （3.1.11） 令 则
于是（3.1.11）变为
由此得 从 讨论 得解
（3.1.12） ,即点M沿Ox轴移动.
第3章
二阶及高阶微分方程
前一章介绍了一些一阶微分方程的解法,在 实际的应用中，我们常常遇到高阶微分方程，如 数学摆的方程就是一个二阶微分方程就是一个二 阶微分方程。这一章讨论二阶及二阶以上的微分 方程，即高阶微分方程的求解方法和理论。 在微分方程的理论中，线性微分方程理论 占有非常重要的地位，这不仅因为线性微方程最 简单、它的一般理论已被研究的十分清楚，而且 线性微分方程是研究非线性微分方程的基础。
2
2
的解。
d(xx ') = 0。故有 xx ' = c1 解：可将原方程写成 dt
即
xdx = c1dt
积分后可得通解为
x = c1t + c2 。
2
2 2
d x dx 例 3.1.4 求方程 x 2 − = 0 的解。 dt dt
1 解：这个方程不是全微分方程,但乘上因子 µ = 2 x
dy dn−1 y 即有新方程 G x, y, ,L, n−1 = 0. (3.1.5) dx dx
注意：(3.1.5)它比原来的方程(3.1.4)降低了 一阶。
例 3.1.2 求方程 解：令 原方程化为 ，并取
的解。 作为新的自变量，于是 从而可得 和
这两方程的全部解为 再代回原变量得 即
沿直线下滑
沿抛物线下滑
沿圆弧下滑
解：建立坐标系
利用Maple计算 利用Maple计算 Maple
printlevel:=0: y:=x; #y:=sqrt(1-x^2); #y:=sqrt(x); y1:=diff(y,x); y2:=sqrt(1+y1^2)/sqrt(2*9.8*y); t:=int(y2,x=0..1); evalf(t); 沿着3 沿着3条曲线下落的时间分别是 0.638877, 0.584395, 0.592262