1.3概率论

练习1.3.6 练习 n 个人随机地坐成一排，其中甲和乙不愿意坐在 个人随机地坐成一排， 一起，问他们没有相邻而坐的概率是多少？ 一起，问他们没有相邻而坐的概率是多少？ 提示：把甲、 提示：把甲、乙相邻作为同一个人考虑 答案： 答案： (n-2)! Cn-12 2!/n!=1 – (2/n )
练习1.3.7 练习
例如， 个班里， 例如，把 15 个学生平均分到 3 个班里，每班 15 ! 5 个，则所有不同的分配方案有：__________ 则所有不同的分配方案有： 5 !×5 !×5 ! × ×
个不同的元素里， 个元素， 从n个不同的元素里，每次取出 个元素，元素可以重复选取，不管 个不同的元素里 每次取出m个元素 元素可以重复选取， 重复组合 怎 样的顺序并成一组，叫做从 个元素里每次取 个元素的重复组合， 个元素里每次取m个元素的重复组合 样的顺序并成一组，叫做从n个元素里每次取 个元素的重复组合，其组 ,n， 合 ~m m
圆排列问题
n 个人随机沿着圆桌坐下，所有不同方法是多少？ 个人随机沿着圆桌坐下，所有不同方法是多少？ 提示： 提示：考虑一个圆排列对应多少不同的线排列 答案： 答案：n! /n=(n – 1 ) ！
(II) 古典概率模型的例 掷一颗均匀骰子. 例1 掷一颗均匀骰子. :A表示所掷结果为 表示所掷结果为“ 设:A表示所掷结果为“四点或五 点”. 表示所掷结果为“偶数点” B表示所掷结果为“偶数点”. 求:P(A)和P(B)∴ P(A)=2/6=1/3 :P(A)和 n=6， 解: n=6，n(A)=2 N(B)=3 ∴ P(B)=3/6=1/2
n Anm = n×( n – 1 )×…×( n – m +1 ) = ——! × × × —— 个字母排列， 例如从 26 个英文字母中任取 2 个字母排列， 所有不同的方式一共有 A262 = 26×25 = 650。 × 。 (n–m)!
有限制放球模型 ⇔ 不可重复排列 不同的小球随机地放进 把 m 个不同的小球随机地放进 n 个不同的盒子 每个盒子里的小球最多只能有一个 最多只能有一个。 中，每个盒子里的小球最多只能有一个。 所有不同的放法一共有 Anm 种。 假定 40 个人的生日都是随机地分布在 一年的 365天中 天中， 没有两个人的生日相同” 365天中，则“ 没有两个人的生日相同” 所包含 的不同排列方式一共有 A36540 。
古典概型问题中， 古典概型问题中，样本空间的构造必须 保证其中的每个样本点发生的可能性都相同。 保证其中的每个样本点发生的可能性都相同。 练习1.3.1 练习 抛一枚均匀硬币三次，计算P { 恰好出现一次正面 }。 抛一枚均匀硬币三次，计算 。 这里可以用两种不同的形式来构造样本空间 ① 以随机试验的全部结果构造 S1 = { HHH，HHT，HTH，HTT，THH， ， ， ， ， ， THT，TTH，TTT } 因此 P (A ) = 3/8 ； ， ， ② 若以正面出现的次数构造 S2 = { 0，1，2，3 } 因此 P (A ) = 1/4 。 ， ， ， 这种计算是否正确？ 这种计算是否正确？ □
n −1 n C n −1 C N
所以共有有利场合数为： 所以共有有利场合数为：
0 1 2 2 3 n −1 n n m1 = C n −1C 1 + C n −1C N + C n −1C N + L + C n −1 C N = C N + n −1 N
.
(1) 排列与组合的区别在于： 排列与组合的区别在于： 排列必须考虑顺序，而组合不考虑顺序。 排列必须考虑顺序，而组合不考虑顺序。 一个接一个取：排列；一次取若干个： 一个接一个取：排列；一次取若干个：组合 (2) 介绍的 4 种排列组合方式都具有等可能性 。 (3) 排列与组合都可以用来构造样本空间。 排列与组合都可以用来构造样本空间。 古典概率的计算， 古典概率的计算，一般是先求出样本空间里的样本点 总数，再从中挑选出随机事件包含的样本点个数。 总数，再从中挑选出随机事件包含的样本点个数。
城市甲
：2 ：4 ：3
城市乙
则从甲城市到乙城市一共有： ＋ ＋ 则从甲城市到乙城市一共有：2＋4＋3 = 9 条线路
乘法原理 假设做一件事必须经过 A 与 B 两个 不同的步骤， 不同的步骤，步骤 A 包含了 n 种不同的 方法， 种不同的方法。 方法，步骤 B 包含了 m 种不同的方法。 则完成这件事情一共有 n×m 种不同 × 的方法 。 如果有若干个步骤， 如果有若干个步骤，就把所有步骤的各种方 法全部相乘
。
n m n + m 5 ∑ i k − i = k i =0
。 k
n n n 2n 6 + + ⋅⋅⋅ + = 0 1 n n
(3)
二项式组合
个不同元素中不允许放回， 从 n 个不同元素中不允许放回，任意取 m 个 ( m ≤ n )来构成一个集合，称为 n 取 m 的组合。 来构成一个集合， 的组合。 来构成一个集合 构成这个集合的不同的组合方法一共有 Cnm 。 Cn
m
n! Anm = —————— = —— m !( n – m ) ! m!
。
n n n n 3 + + ⋅⋅⋅ + = 2 0 1 n n n 。 n + 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + n = n2n−1 4 n 1 2
~n n P = C N / N n = C N +n−1 / N n
解法二：现按另一思路求解。取出的 个数中间可设 个间壁。 解法二：现按另一思路求解。取出的n个数中间可设 个间壁。 个数中间可设n-1个间壁
0 当取出的n个数全部相同时，可以看成中间没有间壁， 当取出的 个数全部相同时，可以看成中间没有间壁，故间壁有C n −1 种取法 个数全部相同时
无限制放球模型 ⇔ 允许重复排列
不同的小球随机地放进 不同的盒子中 把 m 个不同的小球随机地放进 n 个不同的盒子中， 每个盒子里的小球个数不加任何限制 个数不加任何限制。 每个盒子里的小球个数不加任何限制。 所有不同的放法一共有 nm 种。
假定 40 个人的生日都是随机地分布在 一年的 365 天中，则所有不同的排列方式一共有 365 40 。 天中，
(4)
多项式组合
二项式组合的推广
个部分， 把 n 个不同的元素分成 k 个部分，各个部分 包含的元素个数分别是： 包含的元素个数分别是：m1，m2，…，mk ； ， 则全部不同的分配方式一共有： 则全部不同的分配方式一共有：
m1 n m2 n! = ... mk m1 ! × m2 ! × ... × mk !
几个基本的组合公式： 几个基本的组合公式： ， Cn0 = Cnn = 1 ( x + y )n = ∑mn= 0 [ Cnm xm yn – m ]
n n 1 = r n − r n −1 n −1 。 n 2 = r r −1 + r
Cn = Cn+ m−1
种数记为 . 这个公式的证明思路是，把n个不同的元素编号为 1 2,L 这个公式的证明思路是， 个不同的元素编号为 , 再把重复组合的每一组中数从小到大排列， 再把重复组合的每一组中数从小到大排列，每个数依次加上 0,1,L , m − 1 则这一组数就变成了从 1,2,L, n + m − 1中，取出 个数的不重复组合中 取出m个数的不重复组合中 的一组，这种运算构成两者之间一一对应。 的一组，这种运算构成两者之间一一对应。
这时只需取一个数字， 这时只需取一个数字，有 C 1 N
0 种取法； 种取法；这种场合的种数有 C n−1C 1 N
1 2 个数由小大两个数填上， 种取法； 当n个数由小大两个数填上，而间壁的位置有 C n−1 种取法；数字有 C N 个数由小大两个数填上
1 2 种取法； 种取法；这种场合的种数有 C n −1C N
(2) 允许重复的排列
个不同元素中允许放回， 从 n 个不同元素中允许放回，任意取 m 个出来 排成有顺序的一列( 排成有顺序的一列 即取出的这些元素可以相同 )。 。 所有不同的排列方式一共有 n×n×…×n = nm × × × m 例如， 位数字， 例如，一个城市的电话号码是 8 位数字，那么 理论上这个城市可以容纳 108 ，即一亿门电话。 即一亿门电话。 种可能等等。 足球彩票有 313 种可能等等。
：2 城市甲 ：4 城市乙
：3 3 从甲城市到丙乡村的线路 一共有： 一共有：9 ×5 条。 乡村丙 2
2. 基本的排列组合公式 (1) 不可重复的排列
个不同的物体中， 从 n 个不同的物体中，无放回地任意取出 m 个 ( 1 ≤ m ≤ n ) 排成有顺序的一列，称为 n 取 m 的不 排成有顺序的一列， 又称为： 可重复排列 (又称为：选排列 ) 。 又称为 不同的排列方法一共有： 不同的排列方法一共有：
例
个不同的数中有放回的取出n个号码按上升 从N个不同的数中有放回的取出 个号码按上升（不一定严格）次序 个不同的数中有放回的取出 个号码按上升（不一定严格） 排列，与上题同理可得，一个重复组合对应一种按上升次序的排列 排列，与上题同理可得，一个重复组合对应一种按上升次序的排列,
~n 种按上升次序的排列， 所以共有C N 种按上升次序的排列，总可能场合数为 N n
第三节 古典概率模型
古典概型(等可能概型 等可能概型) 一.古典概型 等可能概型
满足： 如果一个随机试验 E 满足： (1) 试验的样本空间 只包含有限个样本点， 只包含有限个样本点，
(2) 每一个样本点发生的可能性相同。 每一个样本点发生的可能性相同。 这种随机试验就称为等可能概型，或古典概型。 这种随机试验就称为等可能概型，或古典概型。 古典概率的计算公式 随机事件 A 包含的样本点个数 P (A ) = ——————————————— 样本空间 包含的样本点总数
当n个数由三样数构成时，可得场合种数为 个数由三样数构成时， 个数由三样数构成时
2 3 C n−1C N n−
种等等
n −1源自文库
最后， 个数均为不同数字时， 个间壁， 最后，当n个数均为不同数字时，有n-1个间壁，有 C n −1 个数均为不同数字时 个间壁 种取法； 种取法；数字有
C
n N
种取法； 种取法；这种场合种数的
。
2
2
2
( x + 1) ( x + 1) = ( x + 1)
n m
比较两边
n+m
x 的系数
k
例1.3.5
某人的 10 张100元纸币中有 3 张假钞，现在 元纸币中有 张假钞，
从中随机抽出 4 张。 则所有不同的取法一共有： 则所有不同的取法一共有： 10×9×8×7 × × × C104 = —————— = 210 种， 4! 恰好只取出一张假钞的所有取法一共有： 恰好只取出一张假钞的所有取法一共有： × × C31×C73 = 3× ———— = 105 种， × 7×6×5 3! 恰好只取出一张假钞的概率为 105 / 210 = 0.5 ， 同理， 同理，取到的全是真币的概率为 C74 / C104 =35 / 210 =1/6 假如这是一个赌局。 张都是真币， 思考 ： 假如这是一个赌局。当取到的 4 张都是真币， 则归你所有；否则输100元。你是否愿意参加？ 则归你所有；否则输 元 你是否愿意参加？
二 . 排列组合的有关知识
1. 加法原理与乘法原理 加法原理 两类不同的方式， 假设做一件事情可以采用 A 或 B 两类不同的方式， A 方式有 n 种不同的方法可以完成这件事， B 方式 种不同的方法可以完成这件事， 种不同的方法可以完成这件事。 有 m 种不同的方法可以完成这件事。 则完成这件事情一共有 n＋m 种不同的方法 。 ＋ 如果有若干类方式， 如果有若干类方式，就把所有方式的各种方法全部相加