2014高考数学一轮一课双测A B精练(十八)同角三角函数的基本关系与诱导公式文

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【三维设计】2014届高考数学一轮(基础知识+高频考点+解题训练)同角三角函数的基本关系与诱导公式教学案

第二节同角三角函数的基本关系与诱导公式[知识能否忆起]1．同角三角函数的基本关系式(1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1(α∈R )．(2)商数关系：tan α＝sin αcos α⎝ ⎛⎭⎪⎫α≠k π＋π2，k ∈Z . 2．六组诱导公式对于角“2±α”(k ∈Z )的三角函数记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，“奇变偶不变”是指“当k 为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k 为偶数时，函数名不变”．“符号看象限”是指“在α的三角函数值前面加上当α为锐角时，原函数值的符号”．[小题能否全取]1．sin 585°的值为( ) A ．－22 B.22 C ．－32D.32解析：选A sin 585°＝sin(360°＋225°) ＝sin 225°＝sin(180°＋45°)＝－sin 45° ＝－22.2．(教材习题改编)已知sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，|θ|<π2，则θ等于( )A ．－π6B ．－π3C.π6D.π3解析：选D ∵sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)， ∴－sin θ＝－3cos θ，∴tan θ＝ 3. ∵|θ|<π2，∴θ＝π3.3．已知tan θ＝2，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ－cos π－θsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ－sin π－θ＝( )A ．2B ．－2C ．0D.23解析：选B 原式＝cos θ＋cos θcos θ－sin θ＝21－tan θ＝21－2＝－2.4．(教材习题改编)如果sin(π＋A )＝12，那么cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－A 的值是________．解析：∵sin(π＋A )＝12，∴－sin A ＝12.∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π－A ＝－sin A ＝12.答案：125．已知α是第二象限角，tan α＝－12，则cos α＝________.解析：由题意知cos α<0，又sin 2α＋cos 2α＝1， tan α＝sin αcos α＝－12.∴cos α＝－255.答案：－255应用诱导公式时应注意的问题(1)利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负号—脱周期—化锐角．特别注意函数名称和符号的确定．(2)在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号． (3)注意求值与化简后的结果要尽可能有理化、整式化．典题导入[例1] (1)(2012²江西高考)若tan θ＋1tan θ＝4，则sin 2θ＝( )A.15B.14C.13D.12(2)已知sin(3π＋α)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α，则sin α－4cos α5sin α＋2cos α＝________.[自主解答] (1)∵tan θ＋1tan θ＝4， ∴sin θcos θ＋cos θsin θ＝4， ∴sin 2θ＋cos 2θcos θsin θ＝4，即2sin 2θ＝4， ∴sin 2θ＝12.(2)法一：由sin(3π＋α)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α得tan α＝2.原式＝tan α－45tan α＋2＝2－45³2＋2＝－16.法二：由已知得sin α＝2cos α. 原式＝2cos α－4cos α5³2cos α＋2cos α＝－16.[答案] (1)D (2)－16在(2)的条件下，sin 2α＋sin 2α＝________.解析：原式＝sin 2α＋2sin αcos α＝sin 2α＋2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α＋2tan αtan 2α＋1＝85. 答案：85由题悟法1．利用sin 2α＋cos 2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用sin αcos α＝tan α可以实现角α的弦切互化．2．应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二(参阅本节题型技法点拨)．3．注意公式逆用及变形应用：1＝sin 2α＋cos 2α，sin 2α＝1－cos 2α，cos 2α＝1－sin 2α.以题试法1．(1)(2012²长沙模拟)若角α的终边落在第三象限，则cos α1－sin 2α＋2sin α1－cos 2α的值为( )A ．3B ．－3C ．1D ．－1(2)已知sin α＝2sin β，tan α＝3tan β，则cos α＝________. 解析：(1)由角α的终边落在第三象限得sin α<0，cos α<0，故原式＝cos α|cos α|＋2sin α|sin α|＝cos α－cos α＋2sin α－sin α＝－1－2＝－3.(2)∵sin α＝2sin β，tan α＝3tan β， ∴sin 2α＝4sin 2β，① tan 2α＝9tan 2β，②由①÷②得：9cos 2α＝4cos 2β，③ ①＋③得：sin 2α＋9cos 2α＝4， ∵cos 2α＋sin 2α＝1，∴cos 2α＝38，即cos α＝±64.答案：(1)B (2)±64典题导入[例2] (1)tan π＋αcos 2π＋αsin ⎝⎛⎭⎪⎫α－3π2cos －α－3πsin －3π－α＝________.(2)已知A ＝sin k π＋αsin α＋cos k π＋αcos α(k ∈Z )，则A 的值构成的集合是( )A ．{1，－1,2，－2}B ．{－1,1}C ．{2，－2}D ．{1，－1,0,2，－2}[自主解答] (1)原式＝tan αcos αsin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π＋⎝⎛⎭⎪⎫α＋π2cos 3π＋α[－sin 3π＋α]＝tan αcos αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α－cos αsin α＝tan αcos αcos α－cos αsin α＝－tan αcos αsin α＝－sin αcos α²cos αsin α＝－1.(2)当k 为偶数时，A ＝sin αsin α＋cos αcos α＝2；k 为奇数时，A ＝－sin αsin α－cos αcos α＝－2.[答案] (1)－1 (2)C由题悟法利用诱导公式化简求值时的原则(1)“负化正”，运用－α的诱导公式将任意负角的三角函数化为任意正角的三角函数．(2)“大化小”，利用k ²360°＋α(k ∈Z )的诱导公式将大于360°的角的三角函数化为0°到360°的三角函数．(3)“小化锐”，将大于90°的角化为0°到90°的角的三角函数．(4)“锐求值”，得到0°到90°的三角函数后，若是特殊角直接求得，若是非特殊角可由计算器求得．以题试法2．(1)(2012²滨州模拟)sin 600°＋tan 240°的值等于( ) A ．－32B.32C.3－12D.3＋12(2)已知f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx －β)，其中α，β，a ，b 均为非零实数，若f (2 012)＝－1，则f (2 013)等于________．解析：(1)sin 600°＋tan 240°＝sin(720°－120°)＋tan(180°＋60°)＝－sin 120°＋tan 60°＝－32＋3＝32. (2)由诱导公式知f (2 012)＝a sin α＋b cos β＝－1，∴f (2 013)＝a sin(π＋α)＋b cos(π－β)＝－(a sin α＋b cos β)＝1. 答案：(1)B (2)1典题导入[例3] 在△ABC 中，若sin(2π－A )＝－2sin(π－B )，3cos A ＝－2cos (π－B )，求△ABC 的三个内角．[自主解答] 由已知得sin A ＝2sin B ，3cos A ＝2cos B 两式平方相加得2cos 2A ＝1，即cos A ＝22或cos A ＝－22. (1)当cos A ＝22时，cos B ＝32，又角A 、B 是三角形的内角， ∴A ＝π4，B ＝π6，∴C ＝π－(A ＋B )＝7π12.(2)当cos A ＝－22时，cos B ＝－32，又角A 、B 是三角形的内角，∴A ＝3π4，B ＝5π6，不合题意．综上知，A ＝π4，B ＝π6，C ＝7π12.由题悟法1．诱导公式在三角形中经常使用，常用的角的变形有：A ＋B ＝π－C,2A ＋2B ＝2π－2C ，A 2＋B 2＋C 2＝π2等，于是可得sin(A ＋B )＝sin C ，cos A ＋B 2＝sin C2等； 2．求角时，通常是先求出该角的某一个三角函数值，再结合其范围，确定该角的大小．以题试法3．在三角形ABC 中， (1)求证：cos2A ＋B2＋cos 2C2＝1； (2)若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π＋B tan (C －π)<0，求证：三角形ABC 为钝角三角形．证明：(1)在△ABC 中，A ＋B ＝π－C ，则A ＋B 2＝π2－C2，所以cos A ＋B2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－C 2＝sin C 2，故cos2A ＋B2＋cos 2C2＝1. (2)若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π＋B tan (C －π)<0，则(－sin A )(－cos B )tan C <0，即sin A cos B tan C <0，∵在△ABC 中，0<A <π，0<B <π，0<C <π，∴sin A >0，⎩⎪⎨⎪⎧cos B <0，tan C >0或⎩⎪⎨⎪⎧tan C <0，cos B >0，∴B 为钝角或C 为钝角，故△ABC 为钝角三角形．1．已知sin(θ＋π)<0，cos(θ－π)>0，则下列不等关系中必定成立的是( ) A ．sin θ<0，cos θ>0 B ．sin θ>0，cos θ<0 C ．sin θ>0，cos θ>0D ．sin θ<0，cos θ<0解析：选B sin(θ＋π)<0，∴－sin θ<0，sin θ>0. ∵cos(θ－π)>0，∴－cos θ>0.∴cos θ<0.2．(2012²安徽名校模拟)已知tan x ＝2，则sin 2x ＋1＝( ) A ．0 B.95 C.43D.53解析：选B sin 2x ＋1＝2sin 2x ＋cos 2x sin 2x ＋cos 2x ＝2tan 2x ＋1tan 2x ＋1＝95. 3．(2012²江西高考)若sin α＋cos αsin α－cos α＝12，则tan 2α＝( )A ．－34B.34 C ．－43D.43解析：选B ∵sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1＝12，∴tan α＝－3.∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝34. 4．(2013²淄博模拟)已知sin 2α＝－2425，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，0，则sin α＋cos α＝( ) A ．－15B.15 C ．－75D.75解析：选B (sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝1＋sin 2α＝125，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，0，sin α＋cos α>0，所以sin α＋cos α＝15.5．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－φ＝32，且|φ|<π2，则tan φ＝( )A ．－33B.33C ．－ 3D. 3解析：选D cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－φ＝sin φ＝32，又|φ|<π2，则cos φ＝12，所以tan φ＝ 3.6．已知2tan α²sin α＝3，－π2＜α＜0，则sin α＝( )A.32B ．－32C.12D ．－12解析：选B 由2tan α²sin α＝3得，2sin 2αcos α＝3，即2cos 2α＋3cos α－2＝0，又－π2＜α＜0，解得cos α＝12(cos α＝－2舍去)，故sin α＝－32. 7．cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－17π4－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－17π4的值是________．解析：原式＝cos 17π4＋sin 17π4＝cos π4＋sin π4＝ 2.答案： 28．若sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝2，则sin(θ－5π)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－θ＝________.解析：由sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝2，得sin θ＋cos θ＝2(sin θ－cos θ)，两边平方得：1＋2sin θcos θ＝4(1－2sin θcos θ)，故sin θcos θ＝310，∴sin(θ－5π)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－θ＝sin θcos θ＝310. 答案：3109．(2013²中山模拟)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝23，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－2π3＝________. 解析：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－2π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－23. 答案：－2310．求值：sin(－1 200°)²cos 1 290°＋cos(－1 020°)²sin(－1 050°)＋tan 945°.解：原式＝－sin 1 200°²cos 1 290°＋cos 1 020°²(－sin 1 050°)＋tan 945° ＝－sin 120°²cos 210°＋cos 300°²(－sin 330°)＋tan 225° ＝(－sin 60°)²(－cos 30°)＋cos 60°²sin 30°＋tan 45° ＝32³32＋12³12＋1＝2. 11．已知cos(π＋α)＝－12，且α是第四象限角，计算：(1)sin(2π－α)；(2)sin [α＋2n ＋1π]＋sin [α－2n ＋1π]sin α＋2n πcos α－2n π(n ∈Z )．解：∵cos(π＋α)＝－12，∴－cos α＝－12，cos α＝12.又∵α是第四象限角， ∴sin α＝－1－cos 2α＝－32. (1)sin(2π－α)＝sin [2π＋(－α)]＝sin(－α) ＝－sin α＝32； (2)sin [α＋2n ＋1π]＋sin [α－2n ＋1π]sin α＋2n π²cos α－2n π＝sin 2n π＋π＋α＋sin －2n π－π＋αsin 2n π＋α²cos －2n π＋α＝sin π＋α＋sin －π＋αsin α²cos α＝－sin α－sin π－αsin α²cos α＝－2sin αsin αcos α＝－2cos α＝－4.12．(2012²信阳模拟)已知角α的终边经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫45，－35.(1)求sin α的值；(2)求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αsin α＋π²tan α－πcos 3π－α的值．解：(1)∵|OP |＝1， ∴点P 在单位圆上．由正弦函数的定义得sin α＝－35.(2)原式＝cos α－sin α²tan α－cos α＝sin αsin α²cos α＝1cos α，由余弦函数的定义得cos α＝45.故所求式子的值为54.1．已知1＋sin x cos x ＝－12，那么cos xsin x －1的值是( )A.12 B ．－12C ．2D ．－2解析：选A 由于1＋sin x cos x ²sin x －1cos x ＝sin 2x －1cos 2x ＝－1，故cos x sin x －1＝12. 2．若角α的终边上有一点P (－4，a )，且sin α²cos α＝34，则a 的值为( ) A ．4 3B ．±4 3C ．－43或－433D. 3解析：选C 依题意可知角α的终边在第三象限，点P (－4，a )在其终边上且sin α²cos α＝34易得tan α＝3或33，则a ＝－43或－433. 3．已知A 、B 、C 是三角形的内角，3sin A ，－cos A 是方程x 2－x ＋2a ＝0的两根． (1)求角A ；(2)若1＋2sin B cos B cos 2B －sin 2B ＝－3，求tan B . 解：(1)由已知可得，3sin A －cos A ＝1.① 又sin 2A ＋cos 2A ＝1，所以sin 2A ＋(3sin A －1)2＝1，即4sin 2A －23sin A ＝0，得sin A ＝0(舍去)或sin A ＝32，则A ＝π3或2π3，将A ＝π3或2π3代入①知A ＝2π3时不成立，故A ＝π3.(2)由1＋2sin B cos B cos 2B －sin 2B ＝－3，得sin 2B －sin B cos B －2cos 2B ＝0， ∵cos B ≠0，∴tan 2B －tan B －2＝0，∴tan B ＝2或tan B ＝－1.∵tan B ＝－1使cos 2B －sin 2B ＝0，舍去，故tan B ＝2.1．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝m ，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α等于( ) A ．mB ．－m C.1－m 2D ．－1－m 2解析：选A ∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝m ，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝m .2．求证：sin θ(1＋tan θ)＋cos θ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1tan θ＝1sin θ＋1cos θ. 证明：左边＝sin θ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋sin θcos θ＋cos θ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋cos θsin θ＝sin θ＋sin 2θcos θ＋cos θ＋cos 2θsin θ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ＋cos 2θsin θ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫cos θ＋sin 2θcos θ ＝sin 2θ＋cos 2θsin θ＋cos 2θ＋sin 2θcos θ＝1sin θ＋1cos θ＝右边． 3．已知sin(π－α)－cos(π＋α)＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫π2<α<π.求下列各式的值： (1)sin α－cos α；(2)sin 3⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＋cos 3⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α.解：由sin(π－α)－cos(π＋α)＝23，得sin α＋cos α＝23，① 将①两边平方，得1＋2sin α²cos α＝29，故2sin α²cos α＝－79.又π2<α<π，∴sin α>0，cos α<0.(1)(sin α－cos α)2＝1－2sin α²cos α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－79＝169，∴sin α－cos α＝43.(2)sin 3⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＋cos 3⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos 3α－sin 3α＝(cos α－sin α)(cos 2α＋cosα²sin α＋sin 2α)＝－43³⎝ ⎛⎭⎪⎫1－718＝－2227.。

高考数学一轮复习专题4.2同角三角函数的基本关系与诱导公式知识点讲解理科版含解析

的值为________．
11π
9π
cos（－α）·sin（＋α）
2
2
3 【答案】－
4
（－sin α）sin α
【解析】原式＝
＝tan α，
（－sin α）cos α
3 根据三角函数的定义得 tan α＝－。
4
高频考点二同角三角函数的基本关系及应用
【例 2】（2020·新课标Ⅰ）已知 (0, π) ，且 3cos2 8cos 5 ，则 sin （）
5 ，
5
故选 B。
【方法技巧】同角三角函数关系式的应用方法
(1)利用
sin2α＋cos2α＝1
sinα 可实现α的正弦、余弦的互化，利用＝tanα可以实现角α的弦切互
cosα
化．
(2)由一个角的任一三角函数值可求出这个角的另外两个三角函数值，因为利用“平方关系”公式，需
求平方根，会出现两解，需根据角所在的象限判断符号，当角所在的象限不明确时，要进行分类讨论．
α＋3cos
α ＝5，则
cos2α＋1sin
2α的值
3cos α－sin α
2
是( )
3
3
A.
B．－
5
5
C．－3
D．3
【答案】A
sin 【解析】由
α＋3cos
α
tan
＝5 得
α＋3 ＝5，可得
tan
α＝2，则
cos2α＋1sin
2α＝cos2α＋sin
3cos α－sin α
3－tan α
2
cos2α＋sin αcos α 1＋tan α 3
sin α α≠kπ＋π，k∈Z

【人教版】2014届高三数学(理)第一轮夯实基础《同角三角函数基本关系与诱导公式》

1 D．－2
1 解析：sin210° ＝sin(180° ＋30° )＝－sin30° ＝－2. 答案：D
2．sin2(π＋α)－cos(π＋α)· cos(－α)＋1 的值为( A．1 B．2sin2α C．0 D．2
)
解析：原式＝(－sinα)2－(－cosα)· cosα＋1 ＝sin2α＋cos2α＋1＝2. 答案：D
即 α＋k·2π(k∈Z)，－α，π±α 的三角函数值，等于 α 的同名函数值，前面加上一个把 α 看成⑲______时原函数值的符号； π α 2± 的正弦(余弦)函数值，分别等于 α 的余弦(正弦)函数值，前面加上一个把 α 看成锐角时原函数值的符号．
答案：①sin α＋cos α sinα
3．2 同角三角函数基本关系与诱导公式考纲点击 π 1.能利用单位圆中的三角函数线推导出2± α，π±α 的正弦、余弦、正切的诱导公式. sinx 2 2 2.理解同角三角函数的基本关系式：sin x＋cos x＝1，cosx ＝tanx.
考点梳理 1.同角三角函数的基本关系式基本关系式：①__________＝1，tanα＝②__________. 2．诱导公式
k 2．三角函数诱导公式 f2π＋α(k∈Z)的本质 k 三角函数诱导公式 f2π＋α(k∈Z)的本质是：奇变偶不变，
符号看象限．
对诱导公式口诀“奇变偶不变，符号看象限”含义的理解：即 π 诱导公式的左边为2· k＋α(k∈Z)的正弦或余弦函数，当 k 为奇数时，右边的函数名称正余互变；当 k 为偶数时，右边的函数名称不改变，这就是“奇变偶不变”的含义，再就是将 α“看成”锐角(可能并不是锐角，也可能是大于锐角也可能小于锐角还有可能是任意角)，然 π 后分析 · k＋α(k∈Z)为第几象限角，再判断公式左边这个三角函数 2 (原函数)在此象限是正还是负，也就是公式右边的符号．诱导公式的应用是：一是求任意角的三角函数值，其一般步骤： ①负角变正角，再写成 2kπ＋α，0≤α＜2π；②转化为锐角.

高考数学大一轮复习课时作业18同角三角函数的基本关系式与诱导公式理95

课时作业(十八) 第18讲同角三角函数的基本关系式与诱导公式时间 / 45分钟分值 / 100分基础热身1.sin 585°的值为 ( ) A .√22B .-√22C .√32 D .-√322.已知sin (π3-α)=13,则cos (5π6-α)= ( )A .13B .-13C .2√23D .-√233.[2018·湖北八校联考] 已知sin(π+α)=-13,则tan (π2-α)的值为 ( ) A .2√2 B .-2√2 C .√24D .±2√24.[2018·重庆一中月考] 已知2sin α-cos α=0,则sin 2α-2sin αcos α的值为( )A .-35 B .-125 C .35D .1255.已知θ∈(-π2,0),若cos θ=√32,则sin θ= .能力提升6.在△ABC 中,若sin(A+B-C )=sin(A-B+C ),则△ABC 必是 ( )A .等腰三角形B .直角三角形C .等腰三角形或直角三角形D .等腰直角三角形7.[2018·湖北七市联考] 已知α∈(0,π),且cos α=-513,则sin (π2-α)·tan α=( )A .-1213B .-513C .1213 D .5138.[2018·柳州联考] 已知tan θ=4,则sin α+cos α17sin α+sin 2α4的值为 ( )A .1468 B .2168 C .6814 D .68219.[2019·安阳一模] 若1+cos αsin α=3,则cos α-2sin α= ( )A .-1B .1C .-25D .-1或-2510.[2018·合肥质检] 在平面直角坐标系中,若角α的终边经过点P (sin 5π3,cos5π3),则sin(π+α)=( ) A .-√32B .-12C .12D .√3211.[2018·贵州凯里一中月考] 若sin θ-cos θ=43,且θ∈(34π,π),则sin(π-θ)-cos(π-θ)= ( )A .-√23B .√23C .-43 D .4312.[2019·咸宁联考] 已知cos(π-α)=15,则sin (α+π2)= . 13.已知α∈(0,π2),tan α=3,则sin 2α+2sin αcos α= .14.已知α为第二象限角,则cos α√1+tan 2α+sin α√1+1tan 2α= .15.(10分)已知-π<x<0,sin(π+x )-cos x=-15.(1)求sin x-cos x 的值; (2)求sin2α+2sin 2α1−tan α的值.16.(10分)已知关于x 的方程2x 2-(√3+1)x+m=0的不相同的两根为sin θ和cos θ,θ∈(0,2π).(1)求sin 2αsin α-cos α+cos α1−tan α的值; (2)求m 的值;(3)求方程的两根及此时θ的值. 难点突破17.(5分)[2018·浙江名校协作体模拟] 已知sin -π2-αcos (-7π2+α)=1225,且0<α<π4,则sinα= ,cos α= .18.(5分)设函数f (x )(x ∈R)满足f (x+π)=f (x )+sin x ,当0≤x<π时,f (x )=0,则f (23π6)= .课时作业(十八)1.B [解析] sin 585°=sin(360°+225°)=sin(180°+45°)=-sin 45°=-√22,故选B . 2.B [解析] 由题意知cos (5π6-α)=cos [π2+(π3-α)]=-sin (π3-α)=-13.故选B .3.D [解析] ∵sin(π+α)=-13,∴sin α=13,∴cos α=±2√23,∴tan (π2-α)=cos αsin α=±2√2,故选D .4.A [解析] 由2sin α-cos α=0,得tan α=12,所以sin 2α-2sin αcosα=sin 2α-2sin αcos αsin 2α+cos 2α=tan 2α-2tan αtan 2α+1=(12)2-2×12(12)2+1=-35.故选A .5.-12[解析] 因为sin 2θ+cos 2θ=1,所以sin 2θ=1-cos 2θ=1-34=14.因为θ∈(-π2,0),所以sin θ=-12.6.C [解析] ∵A+B=π-C ,A+C=π-B ,∴sin(A+B-C )=sin(π-2C )=sin 2C ,sin(A-B+C )=sin(π-2B )=sin 2B ,则sin 2B=sin 2C ,∴B=C 或2B=π-2C ,即B=C 或B+C=π2,∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形,故选C .7.C [解析] 由α∈(0,π),且cos α=-513,可得sin α=1213,α∈(π2,π),故sin (π2-α)·tanα=cos α·sin αcos α=sin α=1213.8.B [解析]sin α+cos α17sin α+sin 2α4=tan α+117tan α+sin 2α4(sin 2α+cos 2α)=tan α+117tan α+tan 2α4(tan 2α+1)=4+168+1668=2168,故选B .9.C [解析] 由已知得3sin α=1+cos α>0,∴cos α=3sin α-1,两边平方得cos 2α=1-sin 2α=(3sin α-1)2,解得sin α=35,∴cos α-2sin α=3sin α-1-2sin α=sin α-1=-25,故选C .10.B [解析] 因为sin5π3=sin (2π−π3)=-sin π3=-√32,cos5π3=cos (2π−π3)=cos π3=12,所以P (-√32,12),所以sin α=12√(-√32)2+(12)2=12,则sin(π+α)=-sin α=-12.11.A [解析] 由sin θ-cos θ=43,得1-2sin θcos θ=169,所以2sin θcos θ=-79<0. 因为θ∈(34π,π),所以sin(π-θ)-cos(π-θ)=sin θ+cos θ=-√(sin α+cos α)2=-√1+2sin αcos α=-√23.故选A .12.-15 [解析] ∵cos(π-α)=15,∴cos α=-15,∴sin (α+π2)=cos α=-15.13.32 [解析] sin 2α+2sin αcos α=sin 2α+2sin αcos αsin 2α+cos 2α=tan 2α+2tan αtan 2α+1=9+69+1=32.14.0 [解析] 原式=cos α√sin 2α+cos 2αcos 2α+sin α√sin 2α+cos 2αsin 2α=cos α|cos α|+sin α|sin α|,因为α是第二象限角,所以sin α>0,cos α<0,所以cos α|cos α|+sin α|sin α|=-1+1=0. 15.解:(1)由已知得sin x+cos x=15,两边同时平方得sin 2x+2sin x cos x+cos 2x=125,整理得2sin x cos x=-2425,∴(sin x-cos x )2=1-2sin x cos x=4925.由-π<x<0知sin x<0, 又sin x+cos x>0,∴cos x>0,∴sin x-cos x<0,故sin x-cos x=-75. (2)sin2α+2sin 2α1−tan α=2sin α(cos α+sin α)1−sin αcos α=2sin αcos α(cos α+sin α)cos α-sin α=-2425×1575=-24175.16.解:(1)由题意知,sin θ≠cos θ, 且sin θ+cos θ=√3+12, 所以原式=sin 2αsin α-cos α+cos α1−sin αcos α=sin 2αsin α-cos α+cos 2αcos α-sin α=sin 2α-cos 2αsin α-cos α=sin θ+cos θ=√3+12. (2)由题意知,sin θ+cos θ=√3+12,sin θ·cos θ=α2.因为sin 2θ+2sin θcos θ+cos 2θ=1+2sin θcos θ=(sin θ+cos θ)2, 所以1+m=(√3+12)2, 解得m=√32.(3)由{sin α+cos α=√3+12,sin α·cos α=√34,得{sin α=√32,cos α=12或{sin α=12,cos α=√32.又θ∈(0,2π),所以θ=π3或θ=π6.17.35 45 [解析] 易知sin (-π2-α)cos (-7π2+α)=-cos α·(-sin α)=sin αcos α=1225.因为0<α<π4,所以0<sin α<cos α,故由{sin αcos α=1225,sin 2α+cos 2α=1,可得{sin α=35,cos α=45. 18.12 [解析] 由f (x+π)=f (x )+sin x ,得f (x+2π)=f (x+π)+sin(x+π)=f (x )+sin x-sinx=f (x ),所以f (23π6)=f (11π6+2π)=f (11π6)=f (π+5π6)=f (5π6)+sin5π6.因为当0≤x<π时,f (x )=0,所以f (23π6)=0+12=12.。

高三一轮复习精题组同角三角函数基本关系与诱导公式(有详细的答案解析)..

§4.2 同角三角函数基本关系及诱导公式1．同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1. (2)商数关系：sin αcos α＝tan α.2．下列各角的终边与角α的终边的关系3.1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角．( × )(2)六组诱导公式中的角α可以是任意角．( × )(3)若cos(n π－θ)＝13(n ∈Z )，则cos θ＝13.( × ) (4)已知sin θ＝m －3m ＋5，cos θ＝4－2m m ＋5，其中θ∈[π2，π]，则m <－5或m ≥3.( × )(5)已知θ∈(0，π)，sin θ＋cos θ＝3－12，则tan θ的值为－3或－33.( × )(6)已知tan α＝－12，则1＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α的值是－13.( √ )2．已知sin(π－α)＝log 814，且α∈(－π2，0)，则tan(2π－α)的值为( ) A ．－255B.255C ．±255D.52答案 B解析 sin(π－α)＝sin α＝log 814＝－23，又α∈(－π2，0)，得cos α＝1－sin 2α＝53， tan(2π－α)＝tan(－α)＝－tan α＝－sin αcos α＝255.3．若tan α＝2，则2sin α－cos αsin α＋2cos α的值为________．答案 34解析原式＝2tan α－1tan α＋2＝34.4．已知cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝23，则sin ⎝⎛⎭⎫α－2π3＝________. 答案－23解析 sin ⎝⎛⎭⎫α－2π3＝sin ⎣⎡⎦⎤－π2－⎝⎛⎭⎫π6－α ＝－sin ⎣⎡⎦⎤π2＋⎝⎛⎭⎫π6－α＝－cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝－23. 5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2cos π3x ，x ≤2 000，x －15，x >2 000，则f [f (2 015)]＝________.答案－1解析 ∵f [f (2 015)]＝f (2 015－15)＝f (2 000)， ∴f (2 000)＝2cos 2 000π3＝2cos 23π＝－1.题型一同角三角函数关系式的应用例1 (1)已知cos(π＋x )＝35，x ∈(π，2π)，则tan x ＝________.(2)已知tan θ＝2，则sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ等于( ) A ．－43B.54C ．－34D.45思维启迪 (1)应用平方关系求出sin x ，可得tan x ； (2)把所求的代数式中的弦转化为正切，代入可求．答案 (1)43(2)D解析 (1)∵cos(π＋x )＝－cos x ＝35，∴cos x ＝－35.又x ∈(π，2π)， ∴sin x ＝－1－cos 2x ＝－1－(－35)2＝－45，∴tan x ＝sin x cos x ＝43. (2)sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ＝sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝sin 2θcos 2θ＋sin θcos θcos 2θ－2sin 2θcos 2θ＋1＝tan 2θ＋tan θ－2tan 2θ＋1＝22＋2－222＋1＝45. 思维升华 (1)利用sin 2α＋cos 2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用sin αcos α＝tan α可以实现角α的弦切互化．(2)应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二．(3)注意公式逆用及变形应用：1＝sin 2α＋cos 2α，sin 2α＝1－cos 2α，cos 2α＝1－sin 2α.(1)已知1＋sin x cos x ＝－12，那么cos xsin x －1的值是( )A.12B ．－12C ．2D ．－2(2)已知tan θ＝2，则sin θcos θ＝________. 答案 (1)A (2)25解析 (1)由于1＋sin x cos x ·sin x －1cos x ＝sin 2x －1cos 2x ＝－1，故cos xsin x －1＝12.(2)sin θcos θ＝sin θ·cos θsin 2θ＋cos 2θ＝tan θtan 2θ＋1＝222＋1＝25.题型二诱导公式的应用例2 (1)已知cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝33，求cos ⎝⎛⎭⎫5π6－α的值； (2)已知π<α<2π，cos(α－7π)＝－35，求sin(3π＋α)·tan ⎝⎛⎭⎫α－72π的值．思维启迪 (1)将π6＋α看作一个整体，观察π6＋α与5π6－α的关系．(2)先化简已知，求出cos α的值，然后化简结论并代入求值．解 (1)∵⎝⎛⎭⎫π6＋α＋⎝⎛⎭⎫5π6－α＝π， ∴5π6－α＝π－⎝⎛⎭⎫π6＋α. ∴cos ⎝⎛⎭⎫5π6－α＝cos ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π6＋α ＝－cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝－33，即cos ⎝⎛⎭⎫5π6－α＝－33. (2)∵cos(α－7π)＝cos(7π－α) ＝cos(π－α)＝－cos α＝－35，∴cos α＝35.∴sin(3π＋α)·tan ⎝⎛⎭⎫α－72π ＝sin(π＋α)·⎣⎡⎦⎤－tan ⎝⎛⎭⎫72π－α ＝sin α·tan ⎝⎛⎭⎫π2－α ＝sin α·sin ⎝⎛⎭⎫π2－αcos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝sin α·cos αsin α＝cos α＝35.思维升华熟练运用诱导公式和基本关系式，并确定相应三角函数值的符号是解题的关键．另外，切化弦是常用的规律技巧．(1)已知sin ⎝⎛⎭⎫α＋π12＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋7π12的值为________． (2)已知sin α是方程5x 2－7x －6＝0的根，α是第三象限角，则sin (－α－32π)cos (32π－α)cos (π2－α)sin (π2＋α)·tan 2(π－α)＝________.答案 (1)－13 (2)－916解析 (1)cos ⎝⎛⎭⎫α＋7π12＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α＋π12＋π2 ＝－sin ⎝⎛⎭⎫α＋π12＝－13. (2)∵方程5x 2－7x －6＝0的根为－35或2，又α是第三象限角，∴sin α＝－35，∴cos α＝－1－sin 2α＝－45，∴tan α＝sin αcos α＝－35－45＝34，∴原式＝cos α(－sin α)sin α·cos α·tan 2α＝－tan 2α＝－916.题型三三角函数式的求值与化简例3 (1)已知tan α＝13，求12sin αcos α＋cos 2α的值；(2)化简：tan (π－α)cos (2π－α)sin ⎝⎛⎭⎫－α＋3π2cos (－α－π)sin (－π－α).思维启迪三角函数式的化简与求值，都是按照从繁到简的形式进行转化，要认真观察式子的规律，使用恰当的公式．解 (1)因为tan α＝13，所以12sin αcos α＋cos 2α＝sin 2α＋cos 2α2sin αcos α＋cos 2α＝tan 2α＋12tan α＋1＝23.(2)原式＝－tan α·cos α·(－cos α)cos (π＋α)·(－sin (π＋α)) ＝tan α·cos α·cos α－cos α·sin α＝sin αcos α·cos α－sin α＝－1.思维升华在三角函数式的求值与化简中，要注意寻找式子中的角，函数式子的特点和联系，可以切化弦，约分或抵消，减少函数种类，对式子进行化简．(1)若α为三角形的一个内角，且sin α＋cos α＝23，则这个三角形是( )A ．正三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．钝角三角形(2)已知tan α＝2，sin α＋cos α<0，则sin (2π－α)·sin (π＋α)·cos (π＋α)sin (3π－α)·cos (π－α)＝________.答案 (1)D (2)－255解析 (1)∵(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝49，∴sin αcos α＝－518<0，∴α为钝角．故选D.(2)原式＝－sin α·(－sin α)·(－cos α)sin α·(－cos α)＝sin α，∵tan α＝2>0，∴α为第一象限角或第三象限角．又sin α＋cos α<0，∴α为第三象限角，由tan α＝sin αcos α＝2，得sin α＝2cos α代入sin 2α＋cos 2α＝1，解得sin α＝－255.方程思想在三角函数求值中的应用典例：(5分)已知sin θ＋cos θ＝713，θ∈(0，π)，则tan θ＝________.思维启迪利用同角三角函数基本关系，寻求sin θ＋cos θ，sin θ－cos θ和sin θcos θ的关系．规范解答解析方法一因为sin θ＋cos θ＝713，θ∈(0，π)，所以(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝49169，所以sin θcos θ＝－60169.由根与系数的关系，知sin θ，cos θ是方程x 2－713x －60169＝0的两根，所以x 1＝1213，x 2＝－513.因为θ∈(0，π)，所以sin θ>0，cos θ<0. 所以sin θ＝1213，cos θ＝－513.所以tan θ＝sin θcos θ＝－125.方法二同法一，得sin θcos θ＝－60169，所以sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝－60169.弦化切，得tan θtan 2θ＋1＝－60169，即60tan 2θ＋169tan θ＋60＝0，解得tan θ＝－125或tan θ＝－512.又θ∈(0，π)，sin θ＋cos θ＝713>0，sin θcos θ＝－60169<0. 所以θ∈(π2，3π4)，所以tan θ＝－125.方法三解方程组⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＋cos θ＝713sin 2θ＋cos 2θ＝1得，⎩⎨⎧sin θ＝1213cos θ＝－513或⎩⎨⎧sin θ＝－513cos θ＝1213(舍)．故tan θ＝－125.答案－125温馨提醒三种解法均体现了方程思想在三角函数求值中的应用．利用已知条件sin θ＋cos θ＝713和公式sin 2θ＋cos 2θ＝1可列方程组解得sin θcos θ，sin θ－cos θ，也可以利用一元二次方程根与系数的关系求sin θ、cos θ.各解法中均要注意条件θ∈(0，π)的运用，谨防产生增解.方法与技巧同角三角恒等变形是三角恒等变形的基础，主要是变名、变式．1．同角关系及诱导公式要注意象限角对三角函数符号的影响，尤其是利用平方关系在求三角函数值时，进行开方时要根据角的象限或范围，判断符号后，正确取舍．2．三角求值、化简是三角函数的基础，在求值与化简时，常用方法有：(1)弦切互化法：主要利用公式tan x ＝sin xcos x 化成正弦、余弦函数；(2)和积转换法：如利用(sin θ±cos θ)2＝1±2sinθcos θ的关系进行变形、转化；(3)巧用“1”的变换：1＝sin 2θ＋cos 2θ＝cos 2θ(1＋tan 2θ)＝sin 2θ⎝⎛⎭⎫1＋1tan 2θ＝tan π4＝…. 失误与防范1．利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负—脱周—化锐．特别注意函数名称和符号的确定．2．在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号． 3．注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化.A 组专项基础训练 (时间：35分钟，满分：57分)一、选择题1． α是第四象限角，tan α＝－512，则sin α等于 ( )A.15B ．－15C.513D ．－513答案 D解析 ∵tan α＝sin αcos α＝－512，∴cos α＝－125sin α，又sin 2α＋cos 2α＝1，∴sin 2α＋14425sin 2α＝16925sin 2α＝1.又sin α<0，∴sin α＝－513.2．已知α和β的终边关于直线y ＝x 对称，且β＝－π3，则sin α等于( ) A ．－32B.32C ．－12D.12答案 D解析因为α和β的终边关于直线y ＝x 对称，所以α＋β＝2k π＋π2(k ∈Z )．又β＝－π3，所以α＝2k π＋5π6(k ∈Z )，即得sin α＝12.3．已知sin(π－α)＝－2sin(π2＋α)，则sin α·cos α等于( )A.25B ．－25C.25或－25D ．－15答案 B解析由sin(π－α)＝－2sin(π2＋α)得sin α＝－2cos α，所以tan α＝－2，∴sin α·cos α＝sin α·cos αsin 2α＋cos 2α＝tan α1＋tan 2α＝－25，故选B. 4．已知f (α)＝sin (π－α)·cos (2π－α)cos (－π－α)·tan (π－α)，则f ⎝⎛⎭⎫－25π3的值为( )A.12B ．－12C.32D ．－32答案 A解析 ∵f (α)＝sin αcos α－cos α·(－tan α)＝cos α，∴f ⎝⎛⎭⎫－25π3＝cos ⎝⎛⎭⎫－25π3 ＝cos ⎝⎛⎭⎫8π＋π3＝cos π3＝12.5．已知A ＝sin (k π＋α)sin α＋cos (k π＋α)cos α(k ∈Z )，则A 的值构成的集合是 ( )A ．{1，－1,2，－2}B ．{－1,1}C ．{2，－2}D ．{1，－1,0,2，－2} 答案 C解析当k ＝2n (n ∈Z )时，A ＝sin (2n π＋α)sin α＋cos (2n π＋α)cos α＝2；当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，A ＝sin (2n π＋π＋α)sin α＋cos (2n π＋π＋α)cos α＝－2. 故A 的值构成的集合为{－2,2}．二、填空题6．化简：sin ⎝⎛⎭⎫α＋3π2·tan (α＋π)sin (π－α)＝________. 答案－1解析原式＝－cos α·tan αsin α＝－sin αsin α＝－1. 7．如果cos α＝15，且α是第一象限的角，那么cos(α＋3π2)＝________. 答案 265 解析 ∵cos α＝15，α为第一象限角， ∴sin α＝1－cos 2α＝ 1－(15)2＝265， ∴cos(α＋3π2)＝sin α＝265. 8．化简：sin 2(α＋π)·cos (π＋α)·cos (－α－2π)tan (π＋α)·sin 3(π2＋α)·sin (－α－2π)＝________.答案 1解析原式＝sin 2α·(－cos α)·cos αtan α·cos 3α·(－sin α)＝sin 2αcos 2αsin 2αcos 2α＝1. 三、解答题9．已知sin θ＝45，π2<θ<π. (1)求tan θ的值；(2)求sin 2θ＋2sin θcos θ3sin 2θ＋cos 2θ的值．解 (1)∵sin 2θ＋cos 2θ＝1，∴cos 2θ＝925. 又π2<θ<π，∴cos θ＝－35. ∴tan θ＝sin θcos θ＝－43. (2)由(1)知，sin 2θ＋2sin θcos θ3sin 2θ＋cos 2θ＝tan 2θ＋2tan θ3tan 2θ＋1＝－857. 10．已知sin θ，cos θ是关于x 的方程x 2－ax ＋a ＝0(a ∈R )的两个根，求cos 3(π2－θ)＋sin 3(π2－θ)的值．解由已知原方程的判别式Δ≥0，即(－a )2－4a ≥0，∴a ≥4或a ≤0.又⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＋cos θ＝asin θcos θ＝a，(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ，则a 2－2a －1＝0，从而a ＝1－2或a ＝1＋2(舍去)，因此sin θ＋cos θ＝sin θcos θ＝1－ 2.∴cos 3(π2－θ)＋sin 3(π2－θ)＝sin 3θ＋cos 3θ ＝(sin θ＋cos θ)(sin 2θ－sin θcos θ＋cos 2θ)＝(1－2)[1－(1－2)]＝2－2.B 组专项能力提升(时间：25分钟，满分：43分)1．已知sin θ＝－13，θ∈(－π2，π2)，则sin(θ－5π)sin(32π－θ)的值是 ( ) A.229B ．－229C ．－19 D.19 答案 B解析 ∵sin θ＝－13，θ∈(－π2，π2)， ∴cos θ＝1－sin 2θ＝223. ∴原式＝－sin(π－θ)·(－cos θ)＝sin θcos θ＝－13×223＝－229. 2．当0<x <π4时，函数f (x )＝cos 2x cos x sin x －sin 2x的最小值是 ( )A.14B.12 C ．2 D ．4 答案 D解析当0<x <π4时，0<tan x <1， f (x )＝cos 2x cos x sin x －sin 2x ＝1tan x －tan 2x，设t ＝tan x ，则0<t <1，y ＝1t －t 2＝1t (1－t )≥1[t ＋(1－t )2]2＝4. 当且仅当t ＝1－t ，即t ＝12时等号成立． 3．已知cos ⎝⎛⎭⎫π6－θ＝a (|a |≤1)，则cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋θ＋sin ⎝⎛⎭⎫2π3－θ的值是________．答案 0解析 cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋θ＝cos ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π6－θ ＝－cos ⎝⎛⎭⎫π6－θ＝－a .sin ⎝⎛⎭⎫2π3－θ＝sin ⎣⎡⎦⎤π2＋⎝⎛⎭⎫π6－θ＝cos ⎝⎛⎭⎫π6－θ＝a ， ∴cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋θ＋sin ⎝⎛⎭⎫2π3－θ＝0. 4．已知f (x )＝cos 2(n π＋x )·sin 2(n π－x )cos 2[(2n ＋1)π－x ](n ∈Z )． (1)化简f (x )的表达式； (2)求f (π2 014)＋f (503π1 007)的值．解 (1)当n 为偶数，即n ＝2k (k ∈Z )时，f (x )＝cos 2(2k π＋x )·sin 2(2k π－x )cos 2[(2×2k ＋1)π－x ]＝cos 2x ·sin 2(－x )cos 2(π－x )＝cos 2x ·(－sin x )2(－cos x )2＝sin 2x ；当n 为奇数，即n ＝2k ＋1(k ∈Z )时，f (x )＝cos 2[(2k ＋1)π＋x ]·sin 2[(2k ＋1)π－x ]cos 2{[2×(2k ＋1)＋1]π－x }＝cos 2[2k π＋(π＋x )]·sin 2[2k π＋(π－x )]cos 2[2×(2k ＋1)π＋(π－x )]＝cos 2(π＋x )·sin 2(π－x )cos 2(π－x )＝(－cos x )2sin 2x (－cos x )2＝sin 2x ，综上得f (x )＝sin 2x .(2)由(1)得f (π2 014)＋f (503π1 007) ＝sin 2π2 014＋sin 21 006π2 014 ＝sin 2π2 014＋sin 2(π2－π2 014) ＝sin 2π2 014＋cos 2π2 014＝1. 5．已知在△ABC 中，sin A ＋cos A ＝15. (1)求sin A cos A 的值；(2)判断△ABC 是锐角三角形还是钝角三角形；(3)求tan A 的值．解 (1)∵sin A ＋cos A ＝15，①∴两边平方得1＋2sin A cos A ＝125， ∴sin A cos A ＝－1225. (2)由sin A cos A ＝－1225<0，且0<A <π，可知cos A <0，∴A 为钝角，∴△ABC 是钝角三角形．(3)∵(sin A －cos A )2＝1－2sin A cos A ＝1＋2425＝4925，又sin A >0，cos A <0，∴sin A －cos A >0，∴sin A －cos A ＝75.② ∴由①，②可得sin A ＝45，cos A ＝－35， ∴tan A ＝sin A cos A ＝45－35＝－43.。

高考数学第一轮基础复习同角三角函数的基本关系及诱导公式课件

解法 2：设 tanα1＝185，α1 为锐角，如图在 Rt△ABC 中，由 tanα1＝185，设 AC＝8，BC＝15，则 AB＝17， ∴sinα1＝187，
∵α 为第二象限角，∴sinα>0，从而 sinα＝187. 解法 3：∵α 是第二象限角，∴sinα>0，排除 B、D，又 tanα＝csionsαα＝－185，由勾股数组 8,15,17 知排除 A， ∴选 C.
已知
tan2α ＝－ 2
2
，
且
满
足
π 4
<α<
π 2
，
则
2cos2α2－sinα－1 2sinπ4＋α
的值为(
)
A. 2
B．－ 2
C．－3＋2 2
D．3－2 2
解析：2cos22sα2i－nπ4si＋nαα－ 1＝csionsαα＋－csoinsαα＝1ta－nαta＋nα1. 又 tan2α＝－2 2＝1－2tatannα2α
cos2
sin2
＝sinα2＋cosα2 －sinα2－cosα2
α2为第二象限角 α2为第四象限角
∴原式＝± 2sinα2＋π4. 答案：± 2sinα2＋π4
利用诱导公式进行化简求值
[例 3] 设 f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋α)，其中 a，b，
α∈R，且 ab≠0，α≠kπ (k∈Z)．若 f(2009)＝5，则 f(2010)
答案：C
点评：本题中由 sinθ＋cosθ＝ 32－1两边平方扩大了 θ 的取值范围会引起增解，必须结合 0<θ<π 与 0<sinθ＋ cosθ<1 得出π2<θ<π，进而得出|sinθ|>|cosθ|来去掉增解 tanθ ＝－ 33，故变换时必须要等价，使用不等价变换时，一定要检验．

高考数学一轮复习第2讲同角三角函数的基本关系与诱导公式

第2讲同角三角函数的基本关系与诱导公式1．同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系：01sin 2α＋cos 2α＝1.(2)商数关系：02sinαcosα＝tan α.2．六组诱导公式公式一二三四五六角 2k π＋ α(k ∈Z ) π＋α －α π－α π2－απ2＋α正弦 sin α －sin α －sin α sin α cos α cos α 余弦 cos α －cos α cos α －cos α sin α －sin α 正切 tan αtan α－tan α－tan α－－口诀函数名不变，符号看象限函数名改变，符号看象限同角三角函数基本关系式的常用变形 (sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α； (sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝2； (sin α＋cos α)2－(sin α－cos α)2＝4sin αcos α； sin α＝tan αcos α⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α≠π2＋kπ，k∈Z ；sin2α＝sin2αsin2α＋cos2α＝tan2αtan2α＋1；cos2α＝cos2αsin2α＋cos2α＝1tan2α＋1.1．若cosα＝13，α∈⎝⎛⎭⎪⎪⎫－π2，0，则tanα等于()A．－24B．24C．－22D．22答案 C解析由已知得sinα＝－1－cos2α＝－1－19＝－223，所以tanα＝sinαcosα＝－22，选C.2．(2021·大同模拟)若角600°的终边上有一点(－4，a)，则a的值是() A．－43B．±43C.3D．43答案 A解析∵tan600°＝a－4＝tan(540°＋60°)＝tan60°＝3，∴a＝－43.故选A.3．已知sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，|θ|＜π2，则θ等于()A．－π6B．－π3C ．π6D ．π3答案 D解析 ∵sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，∴－sin θ＝－3cos θ，∴tan θ＝3.∵|θ|＜π2，∴θ＝π3.4．(2020·杭州学军中学模拟)已知cos31°＝a ，则sin239°·tan149°的值为( ) A.1－a2aB ．1－a2C.a2－1aD ．－1－a2答案 B解析 sin239°tan149°＝sin(270°－31°)tan(180°－31°)＝－cos31°·(－tan31°)＝sin31°＝1－a2.5．化简cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫α－π2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫5π2＋αsin(α－π)cos(2π－α)的结果为________.答案－sin 2α 解析原式＝sinαcosα(－sin α)cos α＝－sin 2α.6．已知α是第二象限的角，tan α＝－12，则cos α＝________.答案－255解析因为α是第二象限的角，所以sin α>0，cos α<0，由tan α＝－12，得sin α＝－12cos α，代入sin 2α＋cos 2α＝1中，得54cos 2α＝1，所以cos α＝－255.考向一诱导公式的应用例1 (1)化简：错误!＝________. 答案－1 解析原式＝错误!＝tanαcosαsi n ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2＋α－cosαsinα＝tanαcosαcosα－cosαsinα＝－tanαcosαsinα＝－sinαcosα·cosαsinα＝－1.(2)已知cos(75°＋α)＝513，α是第三象限角，则sin(195°－α)＋cos(α－15°)的值为________.答案－1713解析因为cos(75°＋α)＝513>0，α是第三象限角，所以75°＋α是第四象限角， sin(75°＋α)＝－错误!＝－错误!.所以sin(195°－α)＋cos(α－15°) ＝sin[180°＋(15°－α)]＋cos(15°－α) ＝－sin(15°－α)＋cos(15°－α)＝－sin[90°－(75°＋α)]＋cos[90°－(75°＋α)] ＝－cos(75°＋α)＋sin(75°＋α) ＝－513－1213＝－1713.(3)(2020·潍坊一模)在平面直角坐标系xOy 中，点P (3，1)，将向量OP→绕点O 按逆时针方向旋转π2后得到向量OQ→，则点Q 的坐标是________.答案 (－1，3)解析 ∵OP→＝(3，1)＝(2cos θ，2sin θ)，cos θ＝32，sin θ＝12，∴将向量OP →绕点O 按逆时针方向旋转π2后得到向量OQ →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫θ＋π2，2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫θ＋π2＝(－2sin θ，2cos θ)＝(－1，3)，∴点Q 的坐标是(－1，3)．1.诱导公式的两个应用方向与原则(1)求值，化角的原则与方向：负化正，大化小，化到锐角为终了． (2)化简，化简的原则与方向：统一角，统一名，同角名少为终了． 2．含2π整数倍的诱导公式的应用由终边相同的角的关系可知，在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将2π的整数倍去掉后再进行运算，如cos(5π－α)＝cos(π－α)＝－cos α.1.(2020·江西宜春中学诊断)若α为锐角，且cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫α＋π6＝13，则cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫α－π3的值为( )A.223B ．23 C ．26D ．526答案 A解析 ∵0<α<π2，∴π6<α＋π6<2π3，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫α＋π6＝1－cos2⎝⎛⎭⎪⎪⎫α＋π6＝223，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α－π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α＋π6－π2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α＋π6＝223.故选A.2．计算：sin(－1200°)cos1290°＝________. 答案34解析原式＝－sin1200°cos1290°＝－sin(3×360°＋120°)cos(3×360°＋210°)＝－sin120°cos210°＝－sin(180°－60°)cos(180°＋30°) ＝sin60°cos30°＝32×32＝34.3．化简：错误!. 解原式＝错误!＝错误! ＝错误!＝错误!. 多角度探究突破考向二同角三角函数的基本关系角度1 切弦互化例2 (1)(2020·唐山第二次模拟)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上一点A (2sin α，3)(sin α≠0)，则cos α＝( )A.12B ．－12C ．32D ．－32答案 A解析由三角函数定义，得tan α＝32sinα，所以sinαcosα＝32sinα，则2(1－cos 2α)＝3cos α，所以(2cos α－1)(cos α＋2)＝0，则cos α＝12.(2)(2020·济宁三模)已知tan(π－α)＝2，则sinα＋cosαsinα－cosα＝________.答案13解析因为tan(π－α)＝2，所以tan α＝－2，所以sinα＋cosαsinα－cosα＝tanα＋1tanα－1＝－2＋1－2－1＝13. 同角三角函数的基本关系式的功能是根据角的一个三角函数值求其他三角函数值，主要利用商数关系tan α＝sinαcosα和平方关系1＝sin 2α＋cos 2α.4.已知α为锐角，且tan(π－α)＋3＝0，则sin α等于( )A.13B ．31010C ．377 D ．355答案 B解析因为tan(π－α)＋3＝0，所以tan α＝3，sin α＝3cos α.因为sin 2α＋cos 2α＝1，所以sin 2α＝910. 又因为α为锐角，故sin α＝31010.故选B.5．已知α是第二象限角，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3π2＋α＝45，则tan α＝________.答案－43解析 ∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3π2＋α＝45，∴sin α＝45，又α为第二象限角，∴cos α＝－1－sin2α＝－35，∴tan α＝sinαcosα＝－43.角度2 “1”的变换例3 (2021·海口模拟)已知角α的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，终边上有一点P (1,2)，则sin2α1－3sinαcosα＝________.答案－4解析因为角α的终边上有一点P (1,2)，所以tan α＝2. 所以sin2α1－3sinαcosα＝sin2αsin2α＋cos2α－3sinαcosα＝tan2αtan2α＋1－3tanα＝2222＋1－3×2＝－4. 对于含有sin 2α，cos 2α，sin αcos α的三角函数求值题，一般可以考虑添加分母1，再将1用“sin 2α＋cos 2α”代替，然后用分子分母同除以角的余弦的平方的方式将其转化为关于tan α的式子，从而求解．6.已知tan α＝2，则(1)3sinα－2cosαsinα＋cosα＝________；(2)23sin 2α＋14cos 2α＝________. 答案 (1)43 (2)712解析因为tan α＝2，所以， (1)原式＝3tanα－2tanα＋1＝3×2－22＋1＝43.(2)原式＝23·sin2αsin2α＋cos2α＋14·cos2αsin2α＋cos2α ＝23·tan2αtan2α＋1＋14·1tan2α＋1 ＝23×2222＋1＋14×122＋1＝712. 角度3 sin x ＋cos x ，sin x －cos x ，sin x cos x 之间的关系例4 (1)已知sin αcos α＝18，且5π4＜α＜3π2，则cos α－sin α的值为( )A ．－32B ．32C ．－34D ．34答案 B解析 ∵5π4＜α＜3π2，∴cos α＜0，sin α＜0且|cos α|＜|sin α|，∴cos α－sin α＞0.又(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×18＝34，∴cos α－sin α＝32.(2)若θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2，π，则错误!等于( )A ．sin θ－cos θB ．cos θ－sin θC ．±(sin θ－cos θ)D ．sin θ＋cos θ答案 A 解析因为错误! ＝1－2sinθcosθ＝错误!＝|sin θ－cos θ|，又θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2，π，所以sin θ－cos θ>0，所以原式＝sin θ－cos θ.故选A.(1)已知a sin x ＋b cos x ＝c 可与sin 2x ＋cos 2x ＝1联立，求得sin x ，cos x .(2)sin x ＋cos x ，sin x －cos x ，sin x cos x 之间的关系为 (sin x ＋cos x )2＝1＋2sin x cos x ， (sin x －cos x )2＝1－2sin x cos x ， (sin x ＋cos x )2＋(sin x －cos x )2＝2.因此，已知上述三个代数式中的任意一个代数式的值，便可求其余两个代数式的值．7.若1sin α＋1cosα＝3，则sin αcos α＝( )A ．－13B ．13C ．－13或1D ．13或－1答案 A 解析由1sinα＋1cosα＝3，可得sin α＋cos α＝3sin αcos α，两边平方，得1＋2sin αcos α＝3sin 2αcos 2α，解得sin αcos α＝－13或sin αcos α＝1.由题意，知－1<sin α<1，－1<cos α<1，且sin α≠0，cos α≠0，所以sin αcos α≠1.故选A.8．已知sin α＋cos α＝12，α∈(0，π)，则1－tanα1＋tanα＝( )A ．－7B ．7 C.3D ．－3答案 A解析因为(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝14，所以sin αcos α＝－38，又α∈(0，π)，所以sin α>0，cos α<0.因为(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝74，所以cos α－sin α＝－72.所以1－tanα1＋tanα＝cosα－sinαcosα＋sinα＝－7212＝－7.故选A.一、单项选择题1．sin210°cos120°的值为( ) A.14B ．－34C ．－32D ．34答案 A解析 sin210°cos120°＝sin(180°＋30°)cos(180°－60°)＝－sin30°·(－cos60°)＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12＝14.故选A. 2．(2020·潍坊模拟)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3π2－φ＝32，且|φ|<π2，则tan φ等于( )A ．－33B ．33 C ．3 D ．－3答案 D解析由cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3π2－φ＝－sin φ＝32，得sin φ＝－32，又|φ|<π2，得到－π2<φ<π2，∴cos φ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－322＝12，则tan φ＝－3212＝－3.故选D.3．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2，π，tan α＝－34，则sin(α＋π)＝( )A.35 B ．－35C.45 D ．－45答案 B解析由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧sinαcosα＝－34，sin2α＋cos2α＝1，由此解得sin 2α＝925，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2，π，因此有sin α＝35，sin(α＋π)＝－sin α＝－35.故选B. 4．已知A ＝错误!＋错误!(k ∈Z )，则A 的值构成的集合是( ) A ．{1，－1,2，－2} B ．{－1,1}C ．{2，－2}D ．{1，－1,0,2，－2}答案 C解析当k 为偶数时，A ＝sinαsinα＋cosαcosα＝2；当k 为奇数时，A ＝－sinαsinα－cosαcosα＝－2.故A 的值构成的集合是{2，－2}．5．(2020·天津西青区模拟)已知sin α＋cos α＝－2，则tan α＋1tanα＝( )A ．2B ．12C ．－2D ．－12答案 A解析 ∵sin α＋cos α＝－2，∴(sin α＋cos α)2＝2，∴1＋2sin αcos α＝2，∴sin αcos α＝12.tan α＋1tanα＝sinαcosα＋cosαsinα＝sin2α＋cos2αsinαcosα＝112＝2.故选A.6．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α－π12＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α＋17π12的值为( ) A.13B ．223 C ．－13D ．－223答案 A解析由cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α＋17π12＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α－π12＋3π2＝sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫α－π12＝13. 7．(2020·济宁模拟)直线l ：2x －y ＋e ＝0的倾斜角为α，则sin(π－α)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2＋α的值为( )A ．－25B ．－15C ．15D ．25答案 D解析 ∵直线l ：2x －y ＋e ＝0的倾斜角为α，∴tan α＝2，∴sin(π－α)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2＋α＝sin αcos α＝sinαcosαsin2α＋cos2α＝tanα1＋tan2α＝21＋22＝25.故选D.8．化简1＋sinα＋cosα＋2sinαcosα1＋sinα＋cosα的结果是( )A ．2sin αB ．2cos αC ．sin α＋cos αD ．sin α－cos α答案 C解析原式＝sin2α＋cos2α＋2sinαcosα＋sinα＋cosα1＋sinα＋cosα＝错误! ＝错误!＝sin α＋cos α.故选C.9．若sin θ＋sin 2θ＝1，则cos 2θ＋cos 6θ＋cos 8θ的值为( ) A ．0 B ．1 C ．－1 D ．5－12答案 B解析由sin θ＋sin 2θ＝1，得sin θ＝1－sin 2θ＝cos 2θ，∴cos 2θ＋cos 6θ＋cos 8θ＝sin θ＋sin 3θ＋sin 4θ＝sin θ＋sin 2θ(sin θ＋sin 2θ)＝sin θ＋sin 2θ＝1.10．(2020·海口模拟)若对任意x ∈R ，都有cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x －5π6＝sin(ωx ＋φ)(ω∈R ，|φ|<π)，则满足条件的有序实数对(ω，φ)的对数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3 答案 C解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x －5π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x －π3－π2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x －π3，由条件知ω＝±2.若ω＝2，由φ＝－π3＋2k π(k ∈Z )且|φ|<π，得φ＝－π3；若ω＝－2，sin(－2x ＋φ)＝sin(2x ＋π－φ)，则π－φ＝－π3＋2k π(k ∈Z )，所以φ＝－2k π＋4π3(k ∈Z )，又|φ|<π，则φ＝－2π3，故满足条件的有序数对(ω，φ)的对数为2.二、多项选择题11．在△ABC 中，下列结论正确的是( ) A ．sin(A ＋B )＝sin C B ．sin B ＋C2＝cos A2C ．tan(A ＋B )＝－tan C ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫C ≠π2D ．cos(A ＋B )＝cos C 答案 ABC解析在△ABC 中，有A ＋B ＋C ＝π，则sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C ；sin B ＋C2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2－A 2＝cos A 2；tan(A ＋B )＝tan(π－C )＝－tan C ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫C ≠π2；cos(A ＋B )＝cos(π－C )＝－cos C .12．(2020·湖北宜昌高三模拟)定义：角θ与φ都是任意角，若满足θ＋φ＝π2，则称θ与φ“广义互余”．已知sin(π＋α)＝－14，下列角β中，可能与角α“广义互余”的是( )A ．sin β＝154B ．cos(π＋β)＝14C ．tan β＝15D ．tan β＝155答案 AC解析 ∵sin(π＋α)＝－sin α＝－14，∴sin α＝14，若α＋β＝π2，则β＝π2－α.sin β＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2－α＝cos α＝±154，故A 符合条件；cos(π＋β)＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2－α＝－sin α＝－14，故B 不符合条件；tan β＝15，即sin β＝15cos β，又sin 2β＋cos 2β＝1，所以sin β＝±154，故C 符合条件；tan β＝155，即sin β＝155cos β，又sin 2β＋cos 2β＝1，所以sin β＝±64，故D 不符合条件．故选AC.三、填空题13．sin 4π3cos 5π6tan ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－4π3的值是________.答案－334解析原式＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π＋π3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π－π6tan ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－π－π3＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－sin π3⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－cos π6⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－tan π3＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫－32×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－32×(－3)＝－334.14．已知sin θ＝13，则错误!＝________.答案98解析原式＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!.15．已知θ是第四象限角，且sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫θ＋π4＝35，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫θ－π4＝________.答案－43解析因为θ是第四象限角，且sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫θ＋π4＝35，所以θ＋π4为第一象限角，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫θ＋π4＝45，所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫θ－π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫θ－π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫θ－π4＝－cos π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫θ－π4sin π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫θ－π4＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫θ＋π4sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫θ＋π4＝－43.16．已知α为第二象限角，则cos α1＋tan2α＋sin α·1＋1tan2α＝________.答案 0解析原式＝cos αsin2α＋cos2αcos2α＋sin αsin2α＋cos2αsin2α＝cos α1|cosα|＋sin α1|sinα|，因为α是第二象限角，所以sin α>0，cos α<0，所以cos α1|cosα|＋sin α1|sinα|＝－1＋1＝0，即原式等于0.四、解答题17．已知α为第三象限角，f (α)＝错误!.(1)化简f (α)；(2)若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α－3π2＝15，求f (α)的值．解 (1)f (α)＝错误! ＝错误!＝－cos α.(2)因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α－3π2＝15，所以－sin α＝15，从而sin α＝－15.又因为α为第三象限角，所以cos α＝－1－sin2α＝－265，所以f (α)＝－cos α＝265.18．已知tanαtanα－1＝－1，求下列各式的值．(1)sinα－3cosαsinα＋cosα； (2)sin 2α＋sin αcos α＋2. 解由已知得tan α＝12.(1)sinα－3cosαsinα＋cosα＝tanα－3tanα＋1＝－53. (2)sin 2α＋sin αcos α＋2＝sin2α＋sinαcosαsin2α＋cos2α＋2＝tan2α＋tanαtan2α＋1＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫122＋12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫122＋1＋2＝135.19．已知0<α<π2，若cos α－sin α＝－55，试求2sinαcosα－cosα＋11－tanα的值．解 ∵cos α－sin α＝－55，∴1－2sin αcos α＝15.∴2sin αcos α＝45.∴(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝1＋45＝95.∵0<α<π2，∴sin α＋cos α＝355.与cos α－sin α＝－55联立，解得 cos α＝55，sin α＝255.∴tan α＝2.∴2sinαcosα－cosα＋11－tanα＝45－55＋11－2＝55－95. 20．是否存在α∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－π2，π2，β∈(0，π)，使等式sin(3π－α)＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2－β，3cos(－α)＝－2cos(π＋β)同时成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，说明理由．解存在．由sin ()3π－α＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2－β得sin α＝2sin β，①由3cos(－α)＝－2cos(π＋β)得3cos α＝2cos β，②∴sin 2α＋3cos 2α＝2(sin 2β＋cos 2β)＝2，∴1＋2cos 2α＝2，∴cos 2α＝12，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－π2，π2，∴cosα＝22，从而α＝π4或－π4，当α＝π4时，由①知sinβ＝12，由②知cosβ＝32，又β∈(0，π)，∴β＝π6，当α＝－π4时，由①知sinβ＝－12，与β∈(0，π)矛盾，舍去．∴存在α＝π4，β＝π6，符合题意．21 / 21。

高考数学一轮复习专题训练—同角三角函数的基本关系式与诱导公式

同角三角函数的基本关系式与诱导公式考纲要求 1.理解同角三角函数的基本关系式：sin 2α＋cos 2α＝1，sin αcos α＝tan α；2.能利用单位圆中的三角函数线推导出π2±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式.知识梳理1.同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1. (2)商数关系：sin αcos α＝tan__α.2.三角函数的诱导公式公式一二三四五六角 2k π＋α(k ∈Z )π＋α －α π－α π2－α π2＋α 正弦 sin α －sin__α －sin__α sin__α cos__α cos__α 余弦 cos α －cos__α cos__α －cos__α sin__α －sin__α正切 tan αtan__α－tan__α－tan__α口诀函数名不变，符号看象限函数名改变，符号看象限1.同角三角函数关系式的常用变形(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α；sin α＝tan α·cos α. 2.诱导公式的记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指π2的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化.3.在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号.诊断自测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)若α，β为锐角，则sin 2α＋cos 2β＝1.( ) (2)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角.( ) (3)若α∈R ，则tan α＝sin αcos α恒成立.( )(4)若sin(k π－α)＝13(k ∈Z )，则sin α＝13.( )答案 (1)× (2)× (3)× (4)×解析 (1)对任意的角α，sin 2α＋cos 2α＝1. (2)中对于任意α∈R ，恒有sin(π＋α)＝－sin α. (3)中当α的终边落在y 轴上时，商数关系不成立. (4)当k 为奇数时，sin α＝13，当k 为偶数时，sin α＝－13.2.已知tan α＝2，则3sin α－cos αsin α＋2cos α＝( )A.54B.－54C.53D.－53答案 A解析原式＝3tan α－1tan α＋2＝3×2－12＋2＝54.3.已知α为锐角，且cos α＝45，则sin(π＋α)＝( )A.－35B.35C.－45D.45答案 A解析由题意得sin α＝1－cos 2α＝35，故sin(π＋α)＝－sin α＝－35.4.(2021·天津南开质检)cos 480°＝( ) A.－12B.12C.－32D.32答案 A解析由诱导公式可得cos 480°＝cos(540°－60°)＝cos(180°－60°)＝－cos 60°＝－12.故选A.5.(2021·成都诊断)已知θ∈(0，π)，sin θ＋cos θ＝15，则下列结论错误的是( )A.θ∈⎝⎛⎭⎫π2，πB.cos θ＝－35C.tan θ＝－34D.sin θ－cos θ＝75答案 C解析 ∵sin θ＋cos θ＝15，①∴(sin θ＋cos θ)2＝⎝⎛⎭⎫152，即sin 2θ＋2sin θcos θ＋cos 2θ＝125，∴2sin θcos θ＝－2425，∴(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝4925，∵θ∈(0，π)，∴sin θ>0，cos θ<0， ∴θ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin θ－cos θ＝75.② ①＋②得sin θ＝45，①－②得cos θ＝－35，∴tan θ＝sin θcos θ＝45－35＝－43.6.(2021·海南期末)若cos ⎝⎛⎭⎫π3－α＝15，则sin ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝________.答案 15解析 sin ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝sin ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π3－α ＝cos ⎝⎛⎭⎫π3－α＝15.考点一诱导公式的应用1.化简cos （π＋α）cos ⎝⎛⎭⎫π2＋αcos ⎝⎛⎭⎫11π2－αcos （π－α）sin （－π－α）sin ⎝⎛⎭⎫9π2＋α的结果是( )A.－1B.1C.tan αD.－tan α答案 C解析由诱导公式，得原式＝－cos α·（－sin α）·cos ⎝⎛⎭⎫3π2－α－cos α·sin α·sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－sin 2α·cos α－sin α·cos 2α＝tan α，故选C.2.(2021·长春模拟)已知α为锐角，且sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3sin ⎝⎛⎭⎫α－π3＝tan ⎝⎛⎭⎫α＋π3，则角α＝( ) A.π12 B.π6C.π4D.π3答案 C解析由条件得sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3sin ⎝⎛⎭⎫α－π3＝sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3cos ⎝⎛⎭⎫α＋π3，又因为α为锐角，所以sin ⎝⎛⎭⎫α－π3＝cos ⎝⎛⎭⎫α＋π3，即sin ⎝⎛⎭⎫α－π3＝sin ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫α＋π3，所以有α－π3＝π2－⎝⎛⎭⎫α＋π3，解得α＝π4，故选C. 3.(2021·皖北名校联考)sin 613°＋cos 1 063°＋tan(－30°)的值为________. 答案－33解析 sin 613°＋cos 1 063°－tan 30°＝sin(180°＋73°)＋cos(－17°)－tan 30°＝－sin 73°＋cos(－17°)－tan 30°＝－cos 17°＋cos 17°－33＝－33. 感悟升华 1.诱导公式的两个应用(1)求值：负化正，大化小，化到锐角为终了. (2)化简：统一角，统一名，同角名少为终了. 2.含2π整数倍的诱导公式的应用由终边相同的角的关系可知，在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将2π的整数倍去掉后再进行运算.如cos(5π－α)＝cos(π－α)＝－cos α. 考点二同角三角函数基本关系及其应用角度1 切弦互化【例1】 (1)已知α是第四象限角，tan α＝－815，则sin α等于( )A.1517B.－1517C.817D.－817(2)已知曲线f (x )＝23x 3在点(1，f (1))处的切线的倾斜角为α，则sin 2α－cos 2α2sin αcos α＋cos 2α＝( )A.12B.2C.35D.－38答案 (1)D (2)C解析 (1)因为tan α＝－815，所以sin αcos α＝－815，所以cos α＝－158sin α，代入sin 2α＋cos 2α＝1，得sin 2α＝64289，又α是第四象限角，所以sin α＝－817.(2)由f ′(x )＝2x 2，得tan α＝f ′(1)＝2，故sin 2α－cos 2α2sin αcos α＋cos 2α＝tan 2α－12tan α＋1＝35.故选C.角度2 sin α±cos α与sin αcos α的转化【例2】(2020·东北三省三校联考)若sin θ－cos θ＝43，且θ∈⎝⎛⎭⎫34π，π，则sin(π－θ)－cos(π－θ)＝( ) A.－23B.23C.－43D.43答案 A解析由sin θ－cos θ＝43得1－2sin θcos θ＝169，即2sin θcos θ＝－79，∴(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝29，又θ∈⎝⎛⎭⎫34π，π，∴sin θ＋cos θ<0， ∴sin θ＋cos θ＝－23，则sin(π－θ)－cos(π－θ)＝sin θ＋cos θ＝－23，故选A. 感悟升华 1.(1)利用sin 2α＋cos 2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用sin αcos α＝tan α可以实现角α的弦切互化.(2)形如a sin x ＋b cos xc sin x ＋d cos x，a sin 2x ＋b sin x cos x ＋c cos 2x 等类型可进行弦化切.2.注意公式的逆用及变形应用：1＝sin 2α＋cos 2α，sin 2α＝1－cos 2α，cos 2α＝1－sin 2α.3.应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二.【训练1】 (1)已知α是第四象限角，sin α＝－1213，则tan(π＋α)等于( )A.－513B.513C.－125D.125(2)(2021·兰州诊断)已知sin α＋cos α＝75，则tan α＝________.答案 (1)C (2)43或34解析 (1)因为α是第四象限角，sin α＝－1213，所以cos α＝1－sin 2α＝513，故tan(π＋α)＝tan α＝sin αcos α＝－125.(2)将sin α＋cos α＝75两边平方得1＋2sin αcos α＝4925，∴sin αcos α＝1225，∴sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan αtan 2α＋1＝1225，整理得12tan 2α－25tan α＋12＝0，解得tan α＝43或tan α＝34.考点三同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用【例3】 (1)(2020·全国Ⅰ卷)已知α∈(0，π)，且3cos 2α－8cos α＝5，则sin α＝( ) A.53B.23C.13D.59(2)已知tan ⎝⎛⎭⎫π6－α＝33，则tan ⎝⎛⎭⎫5π6＋α＝________. (3)已知cos ⎝⎛⎭⎫π6－θ＝a (|a |≤1)，则cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋θ＋sin ⎝⎛⎭⎫2π3－θ的值是________. 答案 (1)A (2)－33(3)0 解析 (1)由3cos 2α－8cos α＝5，得3(2cos 2α－1)－8cos α＝5，即3cos 2α－4cos α－4＝0，解得cos α＝－23或cos α＝2(舍去).又因为α∈(0，π)，所以sin α＝1－cos 2α＝1－⎝⎛⎭⎫－232＝53.故选A. (2)∵⎝⎛⎭⎫π6－α＋⎝⎛⎭⎫5π6＋α＝π， ∴tan ⎝⎛⎭⎫5π6＋α＝tan ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π6－α ＝－tan ⎝⎛⎭⎫π6－α＝－33.(3)∵cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋θ＝cos ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π6－θ＝－cos ⎝⎛⎭⎫π6－θ＝－a ，sin ⎝⎛⎭⎫2π3－θ＝sin ⎣⎡⎦⎤π2＋⎝⎛⎭⎫π6－θ＝cos ⎝⎛⎭⎫π6－θ＝a ，∴cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋θ＋sin ⎝⎛⎭⎫2π3－θ＝0. 感悟升华 1.利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形.注意角的范围对三角函数值符号的影响.2.用诱导公式求值时，要善于观察所给角之间的关系，利用整体代换的思想简化解题过程.常见的互余关系有π3－α与π6＋α，π3＋α与π6－α，π4＋α与π4－α等，常见的互补关系有π6－θ与5π6＋θ，π3＋θ与2π3－θ，π4＋θ与3π4－θ等.【训练2】 (1)已知α是第四象限角，且3sin 2α＝8cos α，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋2 021π2＝( ) A.－223B.－13C.223D.13(2)(2020·上海徐汇区期中)若sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝35，则cos ⎝⎛⎭⎫α－π4＝________. 答案 (1)C (2)35解析(1)∵3sin 2α＝8cos α，∴sin 2α＋⎝⎛⎭⎫3sin 2α82＝1，整理可得9sin 4α＋64sin 2α－64＝0，解得sin 2α＝89或sin 2α＝－8(舍去)，又∵α是第四象限角，∴sin α＝－223，∴cos ⎝⎛⎭⎫α＋2 021π2＝cos ⎝⎛⎭⎫α＋1 010π＋π2 ＝cos ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝－sin α＝223，故选C. (2)∵sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝35， ∴cos ⎝⎛⎭⎫α－π4＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α＋π4－π2 ＝cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫α＋π4＝sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝35.A 级基础巩固一、选择题 1.tan 420°＝( ) A.－ 3 B. 3 C.33D.－33答案 B解析 tan 420°＝tan(360°＋60°)＝tan 60°＝ 3. 2.若角α的终边在第三象限，则cos α1－sin 2α＋2sin α1－cos 2α的值为( )A.3B.－3C.1D.－1答案 B解析由角α的终边在第三象限，得sin α<0，cos α<0，故原式＝cos α|cos α|＋2sin α|sin α|＝cos α－cos α＋2sin α－sin α＝－1－2＝－3，故选B. 3.已知3s in(π＋θ)＝cos(2π－θ)，|θ|<π2，则θ等于( )A.－π6B.－π3C.π6D.π3答案 A解析 ∵3sin(π＋θ)＝cos(2π－θ)， ∴－3sin θ＝cos θ，∴tan θ＝－33， ∵|θ|<π2，∴θ＝－π6.4.已知sin α－cos α＝43，则sin 2α＝( )A.－79B.－29C.29D.79答案 A解析 ∵(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1－sin 2α， ∴sin 2α＝1－⎝⎛⎭⎫432＝－79. 5.1－2sin （π＋2）cos （π－2）＝( )A.sin 2－cos 2B.sin 2＋cos 2C.±(sin 2－cos 2)D.cos 2－sin 2答案 A 解析1－2sin （π＋2）cos （π－2）＝1－2sin 2cos 2＝（sin 2－cos 2）2＝|sin 2－cos 2|＝sin 2－cos 2. 6.已知sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5，则cos 2α＋12sin 2α的值是( )A.35 B.－35C.－3D.3答案 A 解析sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5得tan α＋33－tan α＝5，可得tan α＝2，则cos 2α＋12sin 2α＝cos 2α＋sin αcos α＝cos 2α＋sin αcos αcos 2α＋sin 2α＝1＋tan α1＋tan 2α＝35.故选A.7.(2021·四川名校联考)在△ABC 中，sin A ·cos A ＝－18，则cos A －sin A 的值为( )A.－32B.－52C.52D.±32答案 B解析 ∵在△ABC 中，sin A ·cos A ＝－18，∴A 为钝角，∴cos A －sin A <0， ∴cos A －sin A ＝－（cos A －sin A ）2 ＝－cos 2A ＋sin 2A －2sin A cos A ＝－1－2×⎝⎛⎭⎫－18＝－52. 8.已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cos ⎝⎛⎭⎫π2＋β＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0，则sin α＝( ) A.355B.377C.31010D.13答案 C解析由已知得⎩⎪⎨⎪⎧3sin β－2tan α＋5＝0，tan α－6sin β－1＝0. 消去sin β，得tan α＝3，∴sin α＝3cos α，代入sin 2α＋cos 2α＝1，化简得sin 2α＝910，则sin α＝31010(α为锐角). 二、填空题9.(2021·西安调研)sin(－570°)＋cos(－2 640°)＋tan 1 665°＝________.答案 1解析原式＝sin(－570°＋720°)＋cos(－2 640°＋2 880°)＋tan(1 665°－1 620°)＝sin 150°＋cos 240°＋tan 45°＝sin 30°－cos 60°＋1＝12－12＋1＝1. 10.若sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝35，则sin ⎝⎛⎭⎫3π4－θ＝________. 答案 35解析 sin ⎝⎛⎭⎫3π4－θ＝sin ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π4＋θ ＝sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝35. 11.已知θ为第四象限角，sin θ＋3cos θ＝1，则tan θ＝________.答案－43解析由(sin θ＋3cos θ)2＝1＝sin 2θ＋cos 2θ，得6sin θcos θ＝－8cos 2θ，又因为θ为第四象限角，所以cos θ≠0，所以6sin θ＝－8cos θ，所以tan θ＝－43. 12.若sin θ，cos θ是方程4x 2＋2mx ＋m ＝0的两根，则m 的值为________.答案 1－ 5解析由题意知sin θ＋cos θ＝－m 2，sin θcos θ＝m 4，又(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ，∴m 24＝1＋m 2，解得m ＝1±5，又Δ＝4m 2－16m ≥0，∴m ≤0或m ≥4，∴m ＝1－ 5.B 级能力提升13.已知α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，2sin 2α＝cos 2α＋1，则sin α＝( ) A.15B.55C.33D.255答案 B解析由2sin 2α＝cos 2α＋1，得4sin αcos α＝2cos 2α，因为α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，cos α≠0，所以 2sin α＝cos α.又因为sin 2α＋cos 2α＝1，所以5sin 2α＝1，sin 2α＝15，sin α＝55.故选B. 14.已知α∈[0，2π)，cos α＋3sin α＝10，则tan α＝( )A.－3B.3或13C.3D.13 答案 C解析因为(cos α＋3sin α)2＝10，所以cos 2α＋6sin αcos α＋9sin 2α＝10，所以cos 2α＋6sin αcos α＋9sin 2αcos 2α＋sin 2α＝10，所以1＋6tan α＋9tan 2α1＋tan 2α＝10，所以tan α＝3. 15.(2021·嘉兴联考)已知α为钝角，sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝34，则sin ⎝⎛⎭⎫π4－α＝________，cos ⎝⎛⎭⎫α－π4＝________.答案－74 34 解析 sin ⎝⎛⎭⎫π4－α＝cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π4－α＝cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α， ∵α为钝角，∴34π<π4＋α<54π. ∴cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α<0.∴cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝－1－⎝⎛⎭⎫342＝－74.cos ⎝⎛⎭⎫α－π4＝sin ⎣⎡⎦⎤π2＋⎝⎛⎭⎫α－π4＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝34. 16.已知2θ是第一象限的角，且sin 4θ＋cos 4θ＝59，那么tan θ＝________. 答案 22解析因为sin 4θ＋cos 4θ＝59，所以(sin 2θ＋cos 2θ)2－2sin 2θcos 2θ＝59. 所以sin θcos θ＝23，所以sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝23，即tan θ1＋tan 2θ＝23，解得tan θ＝2或tan θ＝22. 又因为2θ为第一象限角，所以2k π<2θ<2k π＋π2，k ∈Z . 所以k π<θ<π4＋k π，k ∈Z . 所以0<tan θ<1.所以tan θ＝22.。

【赢在高考】2014届高考数学第一轮复习配套课件课本：4.2 同角三角函数的基本关系跟诱导公式

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sin��+3cos�� =5, 则 3cos��-sin�� 2 【答案】 5
1.已知
sin2α-sin αcos α=
.
【解析】显然 cos α≠0, 依题意得故 sin2α-sin αcos
tan��+3 =5, 即 tan α=2. 3-tan�� sin2 α-sin��cos�� tan2 α-tan�� 22 -2 2 α= sin2α+cos2 α = tan2 α+1 = 2 = 5. 2 +1
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1.同角三角函数基本关系式平方关系 sin2α+cos2α=1 商数关系
��α =tan ��α
α
同角三角函数几种关系的运用中应重点掌握: ①平方关系中关于 1 的代换; ②商数关系中切与弦的互化; ③“三姐妹”的运用, 即 sin α±cos α, sin 2α 的代换. 在求值与化简时, 常用方法有: (2)和积转换法: 利用(sin θ±cos θ)2=1± 2sin θcos θ 的关系进行变形、转化. π (3)巧用“1”的变换: 1=sin2θ+cos2θ=cos2θ(1+tan2θ)=tan4=….
第 2 讲同角三角函数的基本关系及诱导公式
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考纲展示
1.能利用单位圆中的三角函数线推
考纲解读
同角三角函数的基本关系、诱导公式在高考中主要考查运 �� 导出2±α, π±α 的正弦、余弦、正切的用同角三角函数基本关系式、诱导公式 ,能画出 y=sin x, y=cos 诱导公式化简、求值与证明简 x, y=tan x 的图象, 了解三角函数的周单的三角恒等式 , 主要考查基本知识与基本技能及化归思期性. 从题型上看, 主要出现在选 2.理解同角三角函数的基本关系式: 想, 择题和填空题中 , 难度一般不 ��x sin2x+cos2x=1, = tan x. ��x 大.

2014版高考数学一轮总复习第19讲同角三角函数的基本关系与诱导公式课件理新人教A版

【点评】(1)本题看似复杂，其实由条件可求得 sinx 及 cosx 的值为特殊值，从而使问题快速解决． (2)本题在证明过程中，充分利用三角函数的平方关系， sin2α＋cos2α＝1，对“1”进行巧妙的代换，使问题迎刃而解．
备选例题
π 1 已知－ <x<0，sinx＋cosx＝ . 2 5 (1)求 sinx－cosx 的值； x x 2x 3sin －2sin cos ＋cos 2 2 2 2 (2)求的值． sinx cosx ＋ cosx sinx
公式一：
正弦 2kp+ sin - ④_____ p- sin p+ -sin 2p- -sin
余弦正切
③____ tan
cos
-tan
-cos ⑤_____
-cos tan
⑥____ -tan
公式二：
正弦余弦 - ⑦_____ sin + cos ⑧_____ p- ⑨_____ -sin p+ -cos ⑩_____
三
公式sin2α＋cos2α＝1的巧用
1 【例 3】已知 sinθ－cosθ＝，求： 2 (1)sinθcosθ； (2)sin3θ－cos3θ； (3)sin4θ＋cos4θ.
1 1 【解析】 (1)sinθ－cosθ＝，平方得 1－2sinθcosθ＝， 2 4 3 sinθcosθ＝ . 8 1 (2)sin θ－cos θ＝(sinθ－cosθ)(sin θ＋sinθcosθ＋cos θ)＝ 2
【点评】(1)在解决关于正弦、余弦的齐次问题时，可逆用商 sinα 数关系式 tanα＝将弦化为切(以减少函数名称)，从而达 cosα 到简化运算目的． (2)三角中的化简、求值及三角恒等式的证明问题常常采 sinα 用“切化弦法”，即利用商数关系 tanα＝，把切函数化 cosα 为弦函数，以达到统一函数名称之目的．

北京市2014高考数学复习——同角间的基本关系及诱导公式

北京市2014届高三理科数学一轮复习试题选编7：同角三角函数的基本关系式及诱导公式一、选择题 1 ．已知33)6cos(-=-πx ,则=-+)3cos(cos πx x （）A ．332-B ．332±C ．1-D ．1±2 ．若sin cos (0,),tan αααπα+=∈则=（）A B C D ． 3 ．(2013广东高考数学(文))已知51sin()25πα+=,那么cos α=（） A ．25- B ．15- C ．15 D ．254 ．(2012年普通高等学校招生考试预测卷 3)在ABC ∆中,若2sin sin CA B +=,则=B sin （）A ．23 B ．22 C ．21 D ．15 ．已知tan α=2,则2sin 2α＋1sin2α=（）A ．53B ．-134C ．135D ．1346 ．(海南省琼海市嘉积中学2012届高三第一学期教学质量监测(三) 数学(理))ABC D 的内角A 满足条件:sin cos 0A A +>且tan sin 0A A -<,则角A 的取值范围是（）A ．(0,)4πB ．(,)42ππ C ．3(,)24ππD ．3(,)4ππ 7 ．(广西桂林等四市2012届高三第一次联考试题)点P (o300cos ,o300sin )在直角坐标平面上位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限8 ．(2012年高考(辽宁理))已知sin cos αα-=,α∈(0,π),则tan α=（）A ．-1B ．2-C ．2D ．19 ．(2011-2012学年厦门市3月份高三数学质量检查试题(文科))已知锐角α满足3sin 5α=,则sin(2)πα+= （）A ．1225- B ．2425-C ．1225D ．242510．记k =-)70cos(0,那么=0110tan（）A ．21kk -B ．21kk --C ．kk 21- D ．kk 21--11．(2013大纲卷高考数学(文))已知a 是第二象限角,5sin ,13a =则cos a = （）A ．1213-B ．513-C ．513D ．121312．(2011届高考数学仿真押题卷——福建卷(文4))=34cosπ （）A ．21 B ．21-C ．23 D ．23-13．若sin10a ︒=,则cos 700︒=（）A ．212a -B ．221a -C ．2D ．2-14．(烟台市2012年高三诊断性测试)若)2,0(πα∈,且2cos α+1sin(2)22πα+=,则tan α= （） A ．1 B ．33 C ．63 D ．315．下列关系正确的是（）A ．︒<︒<︒168sin 10cos 11sinB ．︒<︒<︒10cos 11sin 168sinC ．︒<︒<︒10cos 168sin 11sinD ．︒<︒<︒11sin 10cos 168sin16．︒225sin 的值为（）A ．22-B ．22 C ．23-D ．23 17．sin(225)-︒的值是（）A B ．C ．D 18．(广西南宁二中2011届高三年级11月月考数学文)若2sin cos tan 2,sin 2cos ααααα-=+则的值为（）A ．0B ．34C ．1D ．5419．(2012年高考(江西文))若sin cos 1sin cos 2αααα+=-,则tan2α=（） A ．-34 B ．34 C ．-43 D ．4320．(2012年高考(大纲理))已知α为第二象限角,sin cos 3αα+=,则cos 2α=（）A ．B ．CD 二、填空题21．若(cos )cos 2f x x =,则(sin15)f ︒=____________.22．（北京东城区普通校2013届高三12月联考理科数学）已知53sin =α,且α为第二象限角,则αtan 的值为_____________.23．（北京市东城区2013届高三上学期期末考试数学理科试题）若3sin 5α=-，且tan 0α>，则cos α= ．24．(2011年上海市普通高等学校春季招生考试数学卷)在ABC ∆中,若tan 3A =,则sin A =___25．（北京市东城区普通高中示范校2013届高三12月综合练习(一)数学理试题）则=αtan ___________.26．己知5sin cos 3cos 3sin =-+αααα,则αααcos sin sin 2-= ________________27．（北京北师特学校203届高三第二次月考理科数学）已知α为第二象限角,则cos sin =____________ 28．（北京市朝阳区2013届高三上学期期中考试数学（理）试题）已知角α的终边经过点(3,4)(0)a a a <,则sin α=_______,tan(2απ-)=________.29．若tan 2α=,则cos(2)πα+=_________________30．(2012年广西南宁市第三次适应性测试(理数))已知α为第二象限角,3cos()2πα-=,则α2tan 的值为_________.三、解答题31．（北京北师特学校2013届高三第二次月考理科数学）已知函数sin cos sin cos y x x x x =++,求[0,]3x π∈时函数y 的最值.。

高考数学一轮复习第四章三角函数解三角形4.2同角三角函数的基本关系及诱导公式市赛课公开课一等奖省名师

1
sin β=sin α=3,cos β=-cos α,因此,cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin
β=-
2√2
3
2
+
1 2
3
7
=-9.
方法 2:由角 α 与角 β 的终边关于 y 轴对称可得 β=(2k+1)π-α,k∈Z,
1 2
7
2
则 cos(α-β)=cos[2α-(2k+1)π]=-cos 2α=2sin α-1=2×
五
六
π
π
2
-α
余弦 cos α
-sin α -sin α
-cos α cos α
sin α cos α
-cos α sin α
正切 tan α
tan α
-tan α
正弦 sin α
-tan α
口诀函数名不变,符号看象限
2
+α
cos α
-sin α
函数名改变,
符号看象限
3/29
-4知识梳理
考点自测
3π
-
2
4
B.3
=
2
3
4
5
3
π
,且|θ|<2 ,则 tan θ= (
5
3
3
C.-4
D.4
)
关闭
∵cos
3π
2
3
- = 5,
3
π
∴sin θ=-5.又|θ|< 2 ,
4
3
∴cos θ=5,则 tan θ=-4.
关闭
C
解析
答案
6/29
-7知识梳理

2019-2014届高三一轮数学(理)复习第19讲同角三角函数的基本关系与诱导公式-文档资料

【拓展演练 3】 (1)已知 cos x－sin x＝1，求(cos2013x＋sin2013x)2； (2)证明：11－－ssiinn46xx－－ccooss46xn x＝1，可运用平方法，求得 sin xcos x，代入求解．解析：(1)由 cos x－sin x＝1，可得 1－2sin xcos x＝1，则 sin xcos x＝0，即 sin x＝0 或 cos x＝0. 当 sin x＝0 时，cos x＝1＋sin x＝1，得(cos2013x＋sin2013x)2＝1；当 cos x＝0 时，sin x＝cos x－1＝－1，得(cos2013x＋sin2013x)2＝1. 综上可知，(cos2013x＋sin2013x)2＝1.
【拓展演练 1】已知 cos(75°＋α)＝13，其中 α 为第三象限角，求 cos(105°－α)＋sin(α－105°)的值．
解析：cos(105°－α)＝cos [180°－(75°＋α)] ＝－cos(75°＋α)＝－13， sin(α－105°)＝－sin(105°－α) ＝－sin [180°－(75°＋α)] ＝－sin(75°＋α)．
第19讲同角三角函数的基本关系与诱导公式
1．(改编)已知 sin αcos α＝38，π<α<32π，
则 sin α＋cos α 的值为
.
解析：因为 π<α<32π，所以 sin α＜0，cos α＜0，
所以 sin α＋cos α＝－ sin α＋cos α2
＝－ 1＋2sin αcos α
(2)证明：因为 sin2x＋cos2x＝1，
所以 1＝(sin2x＋cos2x)3,1＝(sin2x＋cos2x)2，

高考数学一轮复习第4章《三角函数》1：同角三角函数的基本关系式与诱导公式.doc

课时作业角三角函数的基本关系式与诱导公式时间：45分钟分值：100分一、选择题(每小题5分，共30分)1．已知sin(π＋α)＝－12，那么cos α的值为( )A ．±12 B.12C.32 D ．±32解析：sin(π＋α)＝－12，则sin α＝12.∴cos α＝±1－sin 2α＝±32.故选D.答案：D2．已知f (α)＝sin(π－α)cos(2π－α)tan(－α＋3π2)cos(－π－α)，则f (－31π3)的值为( )A.12 B ．－12C.32D ．－32解析：f (α)＝sin αcos αcos αsin α－cos α＝－cos α，∵－31π3＝－10π－π3，∴f (－31π3)＝－cos(－31π3)＝－cos(－π3)＝－12.故选B.答案：B3．若f (cos x )＝cos2x ，则f (sin150°)的值为( )A.12 B ．－12 C.32 D ．－32解析：f (sin150°)＝f (sin30°)＝f (cos60°)＝cos1 －12. 答案：B4．若sin α＝k ＋1k －3，cos α＝k －1k －3，则1tan α的值为( )A.34B.43C ．－34D ．－43解析：∵sin α＝k ＋1k －3，cos α＝k －1k －3，sin 2α＋cos 2α＝1，∴(k ＋1k －3)2＋(k －1k －3)2＝1⇒k ＝－7或k ＝1. k ＝1时，sin α＝－1，cos α＝0⇒tan α无意义，k ＝－7时，sin α＝35，cos α＝45⇒1tan α＝43.故选B.答案：B5．(·天津和平高三质检)sin(π4－x )＝225，则sin2x 的值为( )A.725B.1425C.1625D.925解析：sin2x ＝cos(π2－2x )＝cos ⎣⎡⎦⎤2(π4－x )＝1－2sin 2(π4－x )＝925.答案：D6．已知sin(π2－x )＋sin(π－x )cos(－x )＋sin(2π－x )＝，则tan(x ＋5π4)的值为( )A ．－B ．－12009C.12009D ．解析：∵原式＝cos x ＋sin x cos x －sin x ＝1＋tan x 1－tan x＝tan(x ＋π4)＝，∴tan(x ＋5π4)＝tan(x ＋π4)＝.答案：D二、填空题(每小题5分，共7．已知θ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin θ＝35，则tan θ＝__________.解析：由题意cos θ＝－45⇒tan θ＝sin θcos θ＝－34.答案：－348．若f (n )＝sin n π6，则f (1)·f (3)·f (5)·f (7)·f (9)·f (11)＝________.解析：据题意，原式＝sin π6·sin π2·sin 5π6·sin 7π6·sin 3π2·sin 11π6＝－sin π6·sin π6·(－sin π6)·(－sin π6)＝－(sin π6)4＝－116.答案：－1169．已知tan α＝2，则1sin αcos α＝__________.解析：1sin αcos α＝sin 2α＋cos 2αsin αcos α＝sin αcos α＋cos αsin α＝tan α＋1tan α＝2＋12＝52.答案：5210．已知tan α＋1tan α＝94，则tan 2α＋1sin αcos α＋1tan 2α＝__________.解析：tan α＋1tan α＝94，∴sin αcos α＋cos αsin α＝1sin αcos α＝94. ∴tan 2α＋1sin αcos α＋1tan 2α＝(tan α＋1tan α)2－2＋1sin αcos α＝(94)2－2＋94＝8516. 答案：8516三、解答题(共50分) 11．(15分)(1)若角α是第二象限角，化简tan α1sin 2α－1； (2)化简：1－2sin130°cos130°sin130°＋1－sin 2130°. 解：(1)原式＝tan α1－sin 2αsin 2α＝tan αcos 2αsin 2α＝sin αcos α⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos αsin α， ∵α是第二角限角，∴sin α>0，cos α<0，∴原式＝sin αcos α⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos αsin α＝sin αcos α·－cos αsin α＝－1. (2)原式＝sin 2130°＋cos 2130°－2sin130°cos130°sin130°＋cos 2130°＝|sin130°－cos130°|sin130°＋|cos130°|＝sin130°－cos130°sin130°－cos130°＝1. 12．(15分)(·山东聊城二模)已知tan(α＋π4)＝－17.(1)求tan α的值；(2)求cos2α＋12cos(α－π4)·cos(α＋π4)－sin2α的值．解：(1)由tan(α＋π4)＝tan α＋11－tan α＝－17，得tan α＝－43.(2)原式＝2cos 2α(cos α＋sin α)(cos α－sin α)－2sin αcos α＝2cos 2αcos 2α－sin 2α－2sin αcos α＝21－tan 2α－2tan α＝21－(－43)2－2(－43)＝1817. 13．(已知△ABC 的面积S 满足3≤S ≤33且AB →·BC →＝6，AB →与BC →的夹角为α. (1)求α的取值范围；(2)求f (α)＝sin 2α＋2sin αcos α＋3cos 2α的最小值．解：(1)由题意知AB →·BC →＝|AB →|·|BC →|cos α＝6.∵|AB →|·|BC →|＝6cos α，S ＝12|AB →|·|BC →|sin(π－α)＝12|AB →|·|BC →|sin α＝12×6cos α×sin α＝3tan α. ∵3≤S ≤33，∴3≤3tan α≤33即1≤tan α≤ 3.∵α是AB →与BC →的夹角，∴α∈[0，π]，∴α∈⎣⎡⎦⎤π4，π3.(2)f (α)＝sin 2α＋2sin αcos α＋3cos 2α＝1＋sin2α＋2cos 2α＝2＋sin2α＋cos2α＝2＋2sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π4.∵α∈⎣⎡⎦⎤π4，π3，2α＋π4∈⎣⎡⎦⎤3π4，11π12，∴当2α＋π4＝11π12，即当α＝π3时，f (α)有最小值．f (α)的最小值是3＋32.。

高考数学文一轮：一课双测A+B精练十八同角三角函数的基本关系与诱导公式

高考数学（文）一轮：一课双测A+B 精练(十八) 同角三角函数的基本关系与诱导公式1．已知sin(θ＋π)<0，cos(θ－π)>0，则下列不等关系中必定成立的是( ) A ．sin θ<0，cos θ>0B ．sin θ>0，cos θ<0 C ．sin θ>0，cos θ>0D ．sin θ<0，cos θ<02．(·安徽名校模拟)已知tanx ＝2，则sin2x ＋1＝( ) A ．0B.95C.43D.533．(·江西高考)若sin α＋cos αsin α－cos α＝12，则tan2α＝( )A ．－34B.34C ．－43D.434．(·淄博模拟)已知sin2α＝－2425，α∈⎝⎛⎭⎫－π4，0，则sin α＋cos α＝( )A ．－15B.15C ．－75D.755．已知cos ⎝⎛⎭⎫π2－φ＝32，且|φ|<π2，则tan φ＝( ) A ．－33B.33C ．－3D.36．已知2tan α·sin α＝3，－π2＜α＜0，则sin α＝( )A.32B ．－32C.12D ．－127．cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－17π4－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－17π4的值是________． 8．若sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝2，则sin(θ－5π)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－θ＝________.9．(·中山模拟)已知cos⎝⎛⎭⎫π6－α＝23，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－2π3＝________.10．求值：sin(－1200°)·cos1290°＋c os(－1020°)·sin(－1050°)＋tan945°. 11．已知cos(π＋α)＝－12，且α是第四象限角，计算：(1)sin(2π－α)；(2)sin [α＋2n ＋1π]＋sin [α－2n ＋1π]sin α＋2n πcos α－2n π(n ∈Z)．12．(·信阳模拟)已知角α的终边经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫45，－35.(1)求sin α的值；(2)求sin ⎝⎛⎭⎫π2－αsinα＋π·tan α－πcos 3π－α的值．1．已知1＋sinx cosx ＝－12，那么cosxsinx －1的值是( )A.12B ．－12 C ．2D ．－22．若角α的终边上有一点P(－4，a)，且sin α·cos α＝34，则a 的值为( ) A ．43B ．±43 C ．－43或－433D.33．已知A 、B 、C 是三角形的内角，3sinA ，－cosA 是方程x2－x ＋2a ＝0的两根． (1)求角A ；(2)若1＋2sinBcosB cos2B －sin2B＝－3，求tanB.[答题栏]A 级1._________2._________3._________4._________5._________6._________B 级1.______2.______7.__________8.__________9.__________高考数学（文）一轮：一课双测A+B 精练(十八)A 级1．选Bsin(θ＋π)<0，∴－sin θ<0，sin θ>0. ∵cos(θ－π)>0，∴－cos θ>0.∴cos θ<0. 2．选Bsin2x ＋1＝2sin2x ＋cos2x sin2x ＋cos2x ＝2tan2x ＋1tan2x ＋1＝95.3．选B ∵sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1＝12，∴tan α＝－3.∴tan2α＝2tan α1－tan2α＝34.4．选B (sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝1＋sin2α＝125，又α∈⎝⎛⎭⎫－π4，0，sin α＋cos α>0，所以sin α＋cos α＝15.5．选Dcos ⎝⎛⎭⎫π2－φ＝sin φ＝32，又|φ|<π2，则cos φ＝12，所以tan φ＝ 3.6．选B 由2tan α·sin α＝3得，2sin2αcos α＝3，即2cos2α＋3cos α－2＝0，又－π2＜α＜0，解得cos α＝12(cos α＝－2舍去)，故sin α＝－32. 7．解析：原式＝cos 17π4＋sin 17π4＝cos π4＋sin π4＝ 2.答案：2 8．解析：由sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝2，得sin θ＋cos θ＝2(sin θ－cos θ)，两边平方得：1＋2sin θcos θ＝4(1－2sin θcos θ)，故sin θcos θ＝310，∴sin(θ－5π)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－θ＝sin θcos θ＝310.答案：3109．解析：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－2π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2－⎝⎛⎭⎫π6－α ＝－sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝⎛⎭⎫π6－α＝－cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝－23. 答案：－2310．解：原式＝－sin1200°·cos1290°＋cos1020°·(－sin1050°)＋tan945° ＝－sin 120°·cos 210°＋cos 300°·(－sin 330°)＋ta n 225° ＝(－sin 60°)·(－cos 30°)＋cos 60°·sin 30°＋tan 45° ＝32×32＋12×12＋1＝2. 11．解：∵cos(π＋α)＝－12，∴－cos α＝－12，cos α＝12.又∵α是第四象限角， ∴sin α＝－1－cos2α＝－32. (1)sin(2π－α)＝sin [2π＋(－α)]＝sin(－α) ＝－sin α＝32； (2)sin [α＋2n ＋1π]＋sin [α－2n ＋1π]sin α＋2n π·cos α－2n π＝sin 2n π＋π＋α＋sin －2n π－π＋αsin 2n π＋α·cos －2n π＋α＝sinπ＋α＋sin －π＋αsin α·cos α＝－sin α－sin π－αsin α·cos α＝－2sin αsin αcos α＝－2cos α＝－4.12．解：(1)∵|OP|＝1， ∴点P 在单位圆上．由正弦函数的定义得sin α＝－35.(2)原式＝cos α－sin α·tan α－cos α＝sin αsin α·cos α＝1cos α，由余弦函数的定义得cos α＝45.故所求式子的值为54.B 级1．选A 由于1＋sinx cosx ·sinx －1cosx ＝sin2x －1cos2x ＝－1，故cosx sinx －1＝12.2．选C 依题意可知角α的终边在第三象限，点P(－4，a)在其终边上且sin α·cos α＝34易得tan α＝3或33，则a ＝－43或－433. 3．解：(1)由已知可得，3sinA －cosA ＝1.① 又sin2A ＋cos2A ＝1，所以sin2A ＋(3sinA －1)2＝1，即4sin2A －23sin A ＝0，得sin A ＝0(舍去)或sin A ＝32，则A ＝π3或2π3，将A ＝π3或2π3代入①知A ＝2π3时不成立，故A ＝π3.(2)由1＋2sinBcosB cos2B －sin2B ＝－3，得sin2B －sinBcosB －2cos2B ＝0， ∵cosB ≠0，∴tan2B －tanB －2＝0， ∴tanB ＝2或tanB ＝－1.∵tanB ＝－1使cos2B －sin2B ＝0，舍去，故tanB＝2.高考理科数学试卷普通高等学校招生全国统一考试注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页. 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效. 4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知集合{1,}A =2,3，{|(1)(2)0,}B x x x x =+-<∈Z ，则AB =（A ）{1}（B ）{12}，（C ）{0123}，，，（D ）{10123}-，，，，（2）已知(3)(1)i z m m =++-在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是（A ）(31)-，（B ）(13)-，（C ）(1,)∞+（D ）(3)∞--，（3）已知向量(1,)(3,2)m =-，=a b ，且()⊥a +b b ，则m= （A ）－8（B ）－6 （C ）6 （D ）8（4）圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则a= （A ）43-（B ）34-（C ）3（D ）2（5）如图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（A ）24 （B ）18 （C ）12 （D ）9（6）右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（A ）20π（B ）24π（C ）28π（D ）32π（7）若将函数y=2sin 2x 的图像向左平移π12个单位长度，则评议后图象的对称轴为（A ）x=kπ2–π6 (k ∈Z) （B ）x=kπ2+π6 (k ∈Z) （C ）x=kπ2–π12 (k ∈Z) （D ）x=kπ2+π12 (k ∈Z)（8）中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，若输入的x=2，n=2，依次输入的a 为2，2，5，则输出的s= （A ）7 （B ）12 （C ）17 （D ）34 （9）若cos(π4–α)=35，则sin 2α=（A ）725（B ）15（C ）–15（D ）–725（10）从区间[]0,1随机抽取2n 个数1x ,2x ，…，nx ，1y ，2y ，…，ny ，构成n 个数对()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为（A ）4n m （B ）2n m （C ）4m n （D ）2m n（11）已知F1，F2是双曲线E 22221x y a b-=的左，右焦点，点M 在E 上，M F1与x 轴垂直，sin 2113MF F ∠=,则E 的离心率为（AB ）32（CD ）2（12）已知函数学.科网()()f x x ∈R 满足()2()f x f x -=-，若函数1x y x+=与()y f x =图像的交点为1122(,),(,),,(,),m m x y x y x y ⋅⋅⋅则1()mi i i x y =+=∑（A ）0 （B ）m （C ）2m （D ）4m第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共3小题，每小题5分(13)△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若cos A=45，cos C=513，a=1，则b=. (14)α、β是两个平面，m 、n 是两条直线，有下列四个命题：（1）如果m ⊥n ，m ⊥α，n ∥β，那么α⊥β. （2）如果m ⊥α，n ∥α，那么m ⊥n.（3）如果α∥β，m ⊂α，那么m ∥β. （4）如果m ∥n ，α∥β，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等.其中正确的命题有.(填写所有正确命题的编号）（15）有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3。

2014高考数学(理)一轮复习总教案：5.2 同角三角函数的关系、诱导公式

5.2同角三角函数的关系、诱导公式典例精析题型一三角函数式的化简问题【点拨】运用诱导公式的关键是符号，前提是将α视为锐角后，再判断所求角的象限。

【变式训练1】已知f（x）＝错误!，θ∈（错误!，π），则f（sin 2θ）＋f （－sin 2θ)＝。

【解析】f(sin 2θ)＋f（－sin 2θ）＝错误!＋错误!＝错误!＋错误!＝｜sin θ－cos θ|＋｜sin θ＋cos θ|.因为θ∈（错误!，π)，所以sin θ－cos θ＞0，sin θ＋cos θ＜0。

所以|sin θ－cos θ｜＋|sin θ＋cos θ|＝sin θ－cos θ－sin θ－cos θ＝－2cos θ.题型二三角函数式的求值问题【例2】已知向量a＝(sin θ，cos θ－2sin θ），b＝（1，2)。

(1)若a∥b,求tan θ的值；(2)若｜a|＝|b|，0＜θ＜π，求θ的值.【解析】(1）因为a ∥b ，所以2sin θ＝cos θ－2sin θ，于是4sin θ＝cos θ,故tan θ＝错误!。

(2)由｜a ｜＝|b|知,sin2θ＋（cos θ－2sin θ）2＝5,所以1－2sin 2θ＋4sin2θ＝5.从而－2sin 2θ＋2(1－cos 2θ)＝4，即sin 2θ＋cos 2θ＝－1，于是sin （2θ＋错误!）＝－错误!.又由0＜θ＜π知，错误!＜2θ＋错误!＜错误!,所以2θ＋错误!＝错误!或2θ＋错误!＝错误!.因此θ＝π2或θ＝错误!. 【变式训练2】已知tan α＝错误!，则2sin αcos α＋cos2α等于( )A. 错误! B 。

错误! C 。

错误! D.2【解析】原式＝错误!＝错误!＝错误!.故选B 。

题型三三角函数式的简单应用问题【例3】已知－错误!＜x ＜0且sin x ＋cos x ＝错误!，求:(1）sin x －cos x 的值；（2)sin3（错误!－x)＋cos3(错误!＋x ）的值。

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2014高考数学（文）一轮：一课双测A+B 精练(十八) 同角三角
函数的基本关系与诱导公式
1．已知sin(θ＋π)<0，cos(θ－π)>0，则下列不等关系中必定成立的是( ) A ．sin θ<0，cos θ>0 B ．sin θ>0，cos θ<0 C ．sin θ>0，cos θ>0
D ．sin θ<0，cos θ<0
2．(2012²安徽名校模拟)已知tan x ＝2，则sin 2
x ＋1＝( ) A ．0
B.95
C.43
D.53
3．(2012²江西高考)若sin α＋cos αsin α－cos α＝1
2，则tan 2α＝( )
A ．－34
B.34 C ．－43
D.43
4．(2013²淄博模拟)已知sin 2α＝－2425，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，0，则sin α＋cos α＝( ) A ．－1
5
B.15 C ．－75
D.75
5．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－φ＝32，且|φ|<π2，则tan φ＝( )
A ．－
3
3
B.33
C ．－ 3
D. 3
6．已知2tan α²sin α＝3，－π
2＜α＜0，则sin α＝( )
A.3
2
B ．－
32
C.1
2
D ．－12
7．cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－17π4－sin ⎝
⎛⎭⎪⎫－17π4的值是________． 8．若sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝2，则sin(θ－5π)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－θ＝________. 9．(2013²中山模拟)已知cos ⎝
⎛⎭⎪⎫π6－α＝23，则sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫α－2π3＝________.
10．求值：sin(－1 200°)²cos 1 290°＋c os(－1 020°)²sin(－1 050°)＋tan 945°.
11．已知cos(π＋α)＝－1
2，且α是第四象限角，计算：
(1)sin(2π－α)；
(2)sin [α＋2n ＋1π]＋sin [α－2n ＋1π]sin α＋2n πcos α－2n π(n ∈Z )．
12．(2012²信阳模拟)已知角α的终边经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫4
5，－35.
(1)求sin α的值；
(2)求
sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π
2
－αsin α＋π
²tan α－πcos 3π－α的值．
1．已知1＋sin x cos x ＝－12，那么cos x
sin x －1的值是( )
A.1
2 B ．－12
C ．2
D ．－2
2．若角α的终边上有一点P (－4，a )，且sin α²cos α＝3
4
，则a 的值为( ) A ．43
B ．±4 3
C ．－43或－43
3
D. 3
3．已知A 、B 、C 是三角形的内角，3sin A ，－cos A 是方程x 2
－x ＋2a ＝0的两根． (1)求角A ；
(2)若1＋2sin B cos B cos 2B －sin 2
B
＝－3，求tan B . [答题栏]
__ 3._________ 4._________
答案
2014高考数学（文）一轮：一课双测A+B 精练(十八)
A 级
1．选B sin(θ＋π)<0，∴－sin θ<0，sin θ>0. ∵cos(θ－π)>0，∴－cos θ>0.∴cos θ<0. 2．选B sin 2
x ＋1＝2sin 2
x ＋cos 2
x sin 2x ＋cos 2x ＝2tan 2
x ＋1tan 2
x ＋1＝9
5
. 3．选B ∵sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1＝1
2，∴tan α＝－3.
∴tan 2α＝2tan α1－tan 2
α＝3
4
. 4．选B (sin α＋cos α)2
＝1＋2sin αcos α＝1＋sin 2α＝125
，
又α∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫－π4，0，sin α＋cos α>0，所以sin α＋cos α＝1
5
.
5．选D cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－φ＝sin φ＝32，又|φ|<π2，则cos φ＝1
2，所以tan φ＝ 3.
6．选B 由2tan α²sin α＝3得，2sin 2
α
cos α＝3，
即2cos 2
α＋3cos α－2＝0，又－π2＜α＜0，
解得cos α＝1
2(cos α＝－2舍去)，
故sin α＝－
32
. 7．解析：原式＝cos 17π4＋sin 17π4＝cos π4＋sin π
4＝ 2.
答案： 2
8．解析：由sin θ＋cos θ
sin θ－cos θ＝2，得sin θ＋cos θ＝2(sin θ－cos θ)，两边平方
得：1＋2sin θcos θ＝4(1－2sin θcos θ)，
故sin θcos θ＝3
10，
∴sin(θ－5π)sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫3π2－θ＝sin θcos θ＝310.
答案：3
10
9．解析：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－2π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6
－α ＝－sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6
－α＝－cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π
6－α
＝－23. 答案：－2
3
10．解：原式＝－sin 1 200°²cos 1 290°＋cos 1 020°²(－sin 1 050°)＋tan 945° ＝－sin 120°²cos 210°＋cos 300°²(－sin 330°)＋ta n 225° ＝(－sin 60°)²(－cos 30°)＋cos 60°²sin 30°＋tan 45° ＝
32³32＋12³1
2
＋1＝2. 11．解：∵cos(π＋α)＝－12，∴－cos α＝－12，cos α＝12.
又∵α是第四象限角， ∴sin α＝－1－cos 2
α＝－
3
2
. (1)sin(2π－α)＝sin [2π＋(－α)]＝sin(－α) ＝－sin α＝
32
； (2)sin [α＋2n ＋1π]＋sin [α－2n ＋1π]sin α＋2n π²cos α－2n π
＝sin 2n π＋π＋α＋sin －2n π－π＋αsin 2n π＋α²cos －2n π＋α
＝sin π＋α＋sin －π＋αsin α²cos α
＝－sin α－sin π－αsin α²cos α
＝
－2sin α
sin αcos α
＝－2
cos α＝－4.
12．解：(1)∵|OP |＝1，
∴点P 在单位圆上．
由正弦函数的定义得sin α＝－3
5.
(2)原式＝cos α－sin α²tan α
－cos α
＝
sin αsin α²cos α＝1
cos α
，
由余弦函数的定义得cos α＝45.故所求式子的值为5
4
.
B 级
1．选A 由于1＋sin x cos x ²sin x －1cos x ＝sin 2
x －1cos x ＝－1，故cos x sin x －1＝1
2
. 2．选C 依题意可知角α的终边在第三象限，点P (－4，a )在其终边上且sin α²cos α＝
34易得tan α＝3或33，则a ＝－43或－43
3
. 3．解：(1)由已知可得，3sin A －cos A ＝1.① 又sin 2
A ＋cos 2
A ＝1，
所以sin 2
A ＋(3sin A －1)2
＝1，即4sin 2A －23sin A ＝0，得sin A ＝0(舍去)或sin A ＝32
，则A ＝π3或2π3
，
将A ＝π3或2π3代入①知A ＝2π
3时不成立，
故A ＝π3
.
(2)由1＋2sin B cos B cos 2B －sin 2
B ＝－3，得sin 2
B －sin B cos B －2cos 2
B ＝0， ∵cos B ≠0，∴tan 2
B －tan B －2＝0， ∴tan B ＝2或tan B ＝－1.
∵tan B ＝－1使cos 2
B －sin 2
B ＝0，舍去，故tan B ＝2.。