有限元理论与方法-第9讲

讲 授 内 容备 注 第9讲(第9周)4.1.1 轴对称问题有限元法如果弹性体的几何形状、约束条件及荷载都对称于某一轴，例如z 轴，则所有的位移、应变及应力也对称于此轴。

这种问题称为轴对称应力问题。

在竖井、压力容器及机械制造中，经常遇到轴对称应力问题。

用有限单元法分析轴对称问题时，须将结构离散成有限个圆环单元。

圆环单元的截面常用三角形或矩形，也可以是其他形式。

这种环形单元之间由圆环形铰相连，称为结圆。

轴对称问题的单元虽然是圆环体，与平面问题的平板单元不同，但由于对称性，可以任取一个子午面进行分析。

圆环形单元与子午面上相截生成网格，可以采用平面问题有限元分析相似的方法分析。

不同之处是：单元应变和位移都与θ无关，只是r 和z 的函数。

任一点只有两个位移分量，即沿r 方向的径向位移u 和沿z 方向的轴向位移w 。

由于对称，θ方向的环向位移等于零。

在轴对称问题中，采用的单元是一些圆环。

这些圆环和rz 平面正交的截面通常取为三角形，如图2-8所示的ijm (也可以取为其他形状)。

各单元之间用圆环形的铰链互相连接，每一个铰与rz 平面的交点称为节点，如i 、j 、m 等等。

各单元在rz 平面上形成三角形网格，类似于在平面问题中各三角形单元在xy 平面上所形成的网格。

但是在轴对称问题中，每个单元的体积都是一个圆环的体积，这点与平面问题是不同的。

假定物体的形状、约束条件及荷载都是轴对称的，这时只需分析一个截面。

1.位移函数取出一个环形单元的截面ijm 如图2-9所示，在节点位移为()m j i w u i i i ,, ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=δ仿照平面问题，位移的类似表达式为⎭⎬⎫++=++=m m j j i i m m j j i i w N w N w N w u N u N u N u (2-1-22)其中),,( )(21m j i z c r b a AN i i i i ++=mmj j i i z r z r z r A 11121=j m m j i z r z r a -=，m j i z z b -=，m j i r r c +-= ),,(m j i式（2-1-22）写为矩阵的形式[]e m j ie N N N w u δI I I δN r ==⎥⎦⎤⎢⎣⎡= (2-1-23)其中⎤⎡=01I 是二阶单位矩阵。

剪应变为γrz 。

由于轴对称，其余两个剪应变分量γrθ及γθz 都等于零。

根 据几何关系，可推知应变与位移之间符合下列关系⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂+∂∂∂∂∂∂=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=z u r w z w r u r u rz z r γεεεθε (2-1-24) 将位移函数式（2.1.23）代入上式得[]e m j ie δB B B δ B ε == (2-1-25)其中⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂∂=i ii iii i i ii i b c c h b A r N z N z N rN r N 0002100B rz c b r a h i i i i ++=环向应变εθ中包含了坐标r 和z ，不是常量，但其他应变分量都是常量。

3.单元应力在轴对称问题中，任一点具有4个应力分量，即径向正应力σr 、环向正应力σθ、轴向正应力σz及剪应力τrz 。

应力与应变之间的关系，可用矩阵写成[]ε D ζ==T rz z rτσσσθ(2-1-26)式中[D ]为弹性矩阵，对各向同性体()()()()⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------+-=μμμμμμμμμμμ1221010111112111称对E D4.单元刚度矩阵由虚位移方程，沿着整个圆环求体积分，可得⎰⎰=Ae z r r d d 2T DB B K π (2-1-27)5.节点荷载对于轴对称问题，节点荷载是作用在整圈圆环形铰上的。

例如，设节点的半径为r ，单位长度的铰上作用的荷载为R (径向)和Z (轴向)，计算中采用的节点荷载应为径向2πR ，轴向2πZ 。

设单位体积内作用的体积力(重力、离心力等)为q =[q r q z ]T ，节点荷载为z r r Ae q d d 2T ⎰⎰=q N P π (2-1-28)2.1.3 空间问题有限元法弹性力学的平面问题和轴对称问题是空间问题的特例，是在某种条件下的简易解法。

在实际工程中，有些结构由于形体复杂，难以简化为平面问题或轴对称问题，必须按空间问题求解。

在空间问题中，最简单的单元是具有四个角点的四面体，如图2-11所示。

从这一节开始，先介绍常应变四面体单元，然后介绍高次四面体单元及六面体单元等。

下面首先以四面体单元为例介绍空间问题的有限元法求解步骤。

θii V v ,ii Uu ,ii Uu ,y1.位移模式如图2-11所示的一个四面体单元，以四个角点i 、j 、m 、p 为节点，这是最早提出的，也是最简单的空间单元。

每个节点有三个位移分量),,,( p m j i w v u i i i i ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=δ (2-1-29)每个单元共有12个节点位移分量，表示为向量[]Tp m j ie δδδδδ= (2-1-30)假定单元内任一点的位移分量是坐标的线性函数⎪⎭⎪⎬⎫+++=+++=+++=z y x u z y x v z y x u 121110987654321ββββββββββββ (2-1-31) 其中，广义坐标β1、β5、β9代表刚体移动，β2、β7、β12代表常量正应变，其余6个系数反映了常量剪应变和刚体转动。

以各节点的坐标和位移代入上式，求出各广义坐标，进而得到四面体单元上任一点的位移为[]e p m j i e N N N N w v u δI I I I δN r ==⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡= (2-1-32)式中，I 为三阶单位矩阵。

形函数为),,,( 6p m j i Vzd y c x b a N i i i i i +++=V 为四面体ijmp 的体积),,,( 111161p m j i z y x z y x z y x z y x V pppm m m j j j i i i =),,,( p m j i z y x z y x z y x a pppm m mj j ji =，),,,( 111p m j i z y z y z y b ppm mjji -=),,,( 111p m j i z x z x z x c ppm m j j i -=，),,,( 111p m j i y x y x y x d ppm m j j i -=为了使四面体的体积V 不为负值，单元节点的标号i 、j 、m 、p 必须依照一定的顺序，在右手坐标系中，当按照i →j →m 的方向转动时，右手螺旋应向p 的方向前进。

由于位移函数是线性的，在相邻单元的接触面上，位移显然是连续的（单元协调）。

2.单元应变在空间应力问题中，每个点具有6个应变分量[]TT⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂∂∂∂∂==z u x w yw z v xv y u zw yv xu zx yzxy zyx γγγεεεε将(2-1-32)式代入上式得到[]e p m j ie δB B B B B δε --== (2-1-33)其中，应变矩阵的子阵为),,,( 00000000061p m j i b d c d b c d c b V i ii i i ii i i i ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=B 由于矩阵[B ]中的元素都是常量，单元应变分量也都是常量。

3.单元应力单元应力可用节点位移表示为[]e e zx yz xy z y xS δδζ== τττσσσ (2-1-34)其中，应力矩阵S =DB ，弹性矩阵D 为()()()()()()⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-------+-=μμμμμμμμμμμμμμμ1221122112210001000-11000-1-112111称对E D由于应变是常量，应力也是常量。

4.单元刚度矩阵由虚位移原理，可以得到单元刚度矩阵V e T DB B K = (2-1-35)5.节点荷载通过与平面问题中同样的推倒得到类似的节点荷载计算公式 集中力f =[f x f y f z ]T 的移置P e =N T f (2-1-36)∙ 体力q ={q x q y q z }T 的移置V e d Tq N P ⎰⎰⎰= (2-1-37)∙面力p ={p x p y p z }T 的移置⎰⎰=A e d T p N P (2-1-38)6.常量，难以适应急剧变化的应力场，为了保证必要的计算精度，必须采用密集的计算网格，这样一来，节点数量将很多，方程组十分庞大。

如果采用高次位移模式，单元中的应力是变化的，就可以用较少的单元、较少的自由度而得到要求的计算精度，从而降低方程组的规模。

当然，高次单元的刚度矩阵比较复杂，形成刚度矩阵要花费较多的计算时间。

但在保持同样计算精度的条件下，采用高次单元，在总的计算时间上还是节省的。

10节点四面体单元、8节点六面体单元如图2-12与图2-13所示，还有20节点四面体单元、20节点六面体单元等等。

其计算分析步骤同前述类似。