2018年高考数学考点通关练第七章平面解析几何52椭圆课件理

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平面解析几何 PPT课件

高是要考虑正切函数的单调性．
频
解题
考点
3．用截距式写方程时，应先判断截距是否为0，若
训练
要通
不确定，则需要分类讨论．
要高
关
效
目新课标(理科) 录
第一节直线的倾斜角与斜率、直线的方程
基
高
础
直线的倾斜角与斜率
分
知
障
识
碍
要
要
打牢
[例1] (1)(2012·岳阳模拟)经过两点A(4,2y＋1)，
训练要高效
目新课标(理科) 录
第一节直线的倾斜角与斜率、直线的方程
基础
名
几何条件
知称
方程
局限性
高分障
识
碍
要截在x轴、y轴上
打
不包括_垂__直__于__坐__
要
破
牢
距的截距分别为a， __xa_＋__by_＝__1__ 标轴和_过__原__点__
除
高式 b(a，b≠0)
的直线
知
障
识要
则直线l的方程为
()
碍要
打牢
A．3x＋4y－14＝0
B．3x－4y＋14＝0
破除
C．4x＋3y－14＝0
D．4x－3y＋14＝0
高
解
频考点
解析：由y－5＝－34(x＋2)，得3x＋4y－14＝0.
题训练
要通
答案：A
要高
关
效
目新课标(理科) 录
第一节直线的倾斜角与斜率、直线的方程
解
频考
一
点
_A_x_＋__B__y＋__C__＝__0_

精编2018年高考数学文科考点过关习题第七章平面解析几何47和答案

考点测试47 圆与方程一、基础小题1．圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为( )A．x2＋(y－2)2＝1 B．x2＋(y＋2)2＝1C．(x－1)2＋(y－3)2＝1 D．x2＋(y－3)2＝1答案 A解析设圆心坐标为(0，b)，则由题意知－2＋b－2＝1，解得b＝2，故圆的方程为x2＋(y－2)2＝1.2．若曲线C：x2＋y2＋2ax－4ay＋5a2－4＝0上所有的点均在第二象限内，则a的取值范围为( )A．(－∞，－2) B．(－∞，－1)C．(1，＋∞) D．(2，＋∞)答案 D解析曲线C的方程可以化为(x＋a)2＋(y－2a)2＝4，则该方程表示圆心为(－a,2a)，半径等于2的圆．因为圆上的点均在第二象限，所以a>2.3．已知直线l：y＝x与圆C：(x－a)2＋y2＝1，则“a＝－2”是“直线l与圆C相切”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件答案 A解析直线l：y＝x与圆C：(x－a)2＋y2＝1相切的充要条件是圆心C到直线l的距离等于半径，即|a－0|2＝1，解得a＝± 2.故由a＝－2可推得直线l与圆C相切；反之，若直线l与圆C相切，不能推得a＝－2，即“a＝－2”是“直线l与圆C相切”的充分而不必要条件．4．对任意的实数k，直线y＝kx－1与圆x2＋y2－2x－2＝0的位置关系是( ) A．相离B．相切C．相交D．以上三个选项均有可能答案 C解析直线y＝kx－1恒经过点A(0，－1)，02＋(－1)2－2×0－2＝－1<0，∴点A在圆内，故直线y＝kx－1与圆x2＋y2－2x－2＝0相交，故选C.5．设圆的方程是x2＋y2＋2ax＋2y＋(a－1)2＝0，若0<a<1，则原点与该圆的位置关系是( )A．原点在圆上B．原点在圆外C．原点在圆内D．不确定答案 B解析将圆的方程化成标准方程为(x＋a)2＋(y＋1)2＝2a，因为0<a<1，所以(0＋a)2＋(0＋1)2－2a＝(a－1)2>0，即＋a2＋＋2>2a，所以原点在圆外．6．若圆x 2＋y 2＝a 2与圆x 2＋y 2＋ay －6＝0的公共弦长为23，则a 的值为( ) A ．2 B ．±2 C ．1 D ．±1答案 B解析设圆x 2＋y 2＝a 2的圆心为O ，半径r ＝|a |，将x 2＋y 2＝a 2与x 2＋y 2＋ay －6＝0联立，可得a 2＋ay －6＝0，即公共弦所在的直线方程为a 2＋ay －6＝0，原点O 到直线a 2＋ay －6＝0的距离为⎪⎪⎪⎪⎪⎪6a －a ，根据勾股定理可得a 2＝3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫6a －a 2，解得a ＝±2.7．一束光线从圆C 的圆心C (－1,1)出发，经x 轴反射到圆C 1：(x －2)2＋(y －3)2＝1上的最短路程刚好是圆C 的直径，则圆C 的方程为( )A ．(x ＋1)2＋(y －1)2＝4B ．(x ＋1)2＋(y －1)2＝5C ．(x ＋1)2＋(y －1)2＝16D ．(x ＋1)2＋(y －1)2＝25答案 A解析圆C 1的圆心C 1的坐标为(2,3)，半径为r 1＝1.点C (－1,1)关于x 轴的对称点C ′的坐标为(－1，－1)．因为C ′在反射线上，所以最短路程为|C ′C 1|－r 1，即[2－－2＋[3－－2－1＝4.故圆C 的半径为r ＝12×4＝2，所以圆C 的方程为(x ＋1)2＋(y －1)2＝4，故选A.8．圆O 1：x 2＋y 2－2x ＝0和圆O 2：x 2＋y 2－4y ＝0的位置关系是________．答案相交解析由已知得O 1(1,0)，r 1＝1，O 2(0,2)，r 2＝2， ∴|O 1O 2|＝5<r 1＋r 2＝3，且|O 1O 2|＝5>r 2－r 1＝1，故两圆相交．二、高考小题9．已知a ∈R ，方程a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋4x ＋8y ＋5a ＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是________．答案 (－2，－4) 5解析方程a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋4x ＋8y ＋5a ＝0表示圆，则a 2＝a ＋2，故a ＝－1或2.当a ＝2时，方程为4x 2＋4y 2＋4x ＋8y ＋10＝0，即x 2＋y 2＋x ＋2y ＋52＝0，亦即⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋(y ＋1)2＝－54，不成立，故舍去；当a ＝－1时，方程为x 2＋y 2＋4x ＋8y－5＝0，即(x ＋2)2＋(y ＋4)2＝25，故圆心为(－2，－4)，半径为5.10. 如图，已知圆C 与x 轴相切于点T (1,0)，与y 轴正半轴交于两点A ，B (B 在A 的上方)，且|AB |＝2.(1)圆C 的标准方程为________；(2)圆C 在点B 处的切线在x 轴上的截距为________．答案 (1)(x －1)2＋(y －2)2＝2 (2)－2－1解析 (1)过点C 作CM ⊥AB 于M ，连接AC ，则|CM |＝|OT |＝1，|AM |＝12|AB |＝1，所以圆的半径r ＝|AC |＝|CM |2＋|AM |2＝2，从而圆心C (1，2)，即圆的标准方程为(x －1)2＋(y －2)2＝2. (2)令x ＝0，得y ＝2±1，则B (0，2＋1)，所以直线BC 的斜率为k ＝2＋－20－1＝－1，由直线与圆相切的性质知，圆C 在点B 处的切线的斜率为1，则圆C 在点B 处的切线方程为y －(2＋1)＝1×(x －0)，即y ＝x ＋2＋1，令y ＝0，得x ＝－2－1，故所求切线在x 轴上的截距为－2－1.11．设直线y ＝x ＋2a 与圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0相交于A ，B 两点，若|AB |＝23，则圆C 的面积为________．答案 4π解析把圆C 的方程化为x 2＋(y －a )2＝2＋a 2，则圆心为(0，a )，半径r ＝a 2＋2.圆心到直线x －y ＋2a ＝0的距离d ＝|a |2.由r 2＝d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|AB |22，得a 2＋2＝a 22＋3，解得a 2＝2，则r 2＝4，所以圆的面积S ＝πr 2＝4π.12．已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，点M (0，5)在圆C 上，且圆心到直线2x －y ＝0的距离为455，则圆C 的方程为________．答案 (x －2)2＋y 2＝9解析设圆C 的方程为(x －a )2＋y 2＝r 2(a >0)，由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧|2a |5＝455，－a 2＋52＝r 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，r 2＝9，所以圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝9.13．已知直线l ：mx ＋y ＋3m －3＝0与圆x 2＋y 2＝12交于A ，B 两点，过A ，B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点．若|AB |＝23，则|CD |＝________.答案 4解析由题意可知直线l 过定点(－3，3)，该定点在圆x 2＋y 2＝12上，不妨设点A (－3，3)，由于|AB |＝23，r＝23，所以圆心到直线AB 的距离为d ＝32－32＝3，又由点到直线的距离公式可得d ＝|3m －3|m 2＋1＝3，解得m ＝－33，所以直线l 的斜率k ＝－m ＝33，即直线l 的倾斜角为30°.如图，过点C 作CH ⊥BD ，垂足为H ，所以|CH |＝23，在Rt △CHD 中，∠HCD ＝30°，所以|CD |＝23cos30°＝4.三、模拟小题14．已知直线l ：x ＋my ＋4＝0，若曲线x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0上存在两点P 、Q 关于直线l 对称，则m 的值为( )A ．2B ．－2C ．1D ．－1答案 D解析因为曲线x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0是圆(x ＋1)2＋(y －3)2＝9，若圆(x ＋1)2＋(y －3)2＝9上存在两点P 、Q 关于直线l 对称，则直线l ：x ＋my ＋4＝0过圆心(－1,3)，所以－1＋3m ＋4＝0，解得m ＝－1，故选D.15．若圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0关于直线2ax ＋by ＋6＝0对称，过点(a ，b )作圆的切线，则切线长的最小值是( )A ．2B ．3C ．4D ．6答案 C解析圆C 的标准方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝2，所以圆心为点(－1,2)，半径为2.因为圆C 关于直线2ax ＋by ＋6＝0对称，所以圆心C 在直线2ax ＋by ＋6＝0上，所以－2a ＋2b ＋6＝0，即b ＝a －3，点(a ，b )到圆心的距离d ＝a ＋2＋b －2＝a ＋2＋a －3－2＝2a 2－8a ＋26＝a －2＋18.所以当a ＝2时，d 取最小值18＝32，此时切线长最小，为22－22＝16＝4，所以选C.16．已知圆O ：x 2＋y 2＝4上到直线l ：x ＋y ＝a 的距离等于1的点至少有2个，则a 的取值范围为( )A ．(－32，32)B ．(－∞，－32)∪(32，＋∞)C ．(－22，22)D ．答案 A解析由圆的方程可知圆心为O (0,0)，半径为2，因为圆上的点到直线l 的距离等于1的点至少有2个，所以圆心到直线l 的距离d <r ＋1＝2＋1，即d ＝|－a |12＋12＝|a |2<3，解得a ∈(－32，32)，故选A.17．两圆x 2＋y 2＋2ax ＋a 2－4＝0 和x 2＋y 2－4by －1＋4b 2＝0恰有三条公切线，若a ∈R 且ab ≠0，则1a 2＋1b2的最小值为( )A ．1B ．3 C.1 D.4 答案 A解析由题意知两圆的标准方程为(x ＋a )2＋y 2＝4和x 2＋(y －2b )2＝1，圆心分别为(－a,0)和(0,2b )，半径分别为2和1，因为两圆恰有三条公切线，所以两圆外切，故有a 2＋4b 2＝3，即a 2＋4b 2＝9，所以1a 2＋1b 2＝19⎝ ⎛⎭⎪⎫9a 2＋9b 2＝19⎝⎛⎭⎪⎫1＋4b 2a 2＋a 2b 2＋4≥19×(1＋4＋4)＝1.当且仅当4b 2a 2＝a 2b2，即|a |＝2|b |时取等号，故选A.一、高考大题1．已知过点A (0,1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1交于M ，N 两点．(1)求k 的取值范围；(2)若OM →·ON →＝12，其中O 为坐标原点，求|MN |. 解 (1)由题设，可知直线l 的方程为y ＝kx ＋1. 因为直线l 与圆C 交于两点，所以|2k －3＋1|1＋k2<1.解得4－73<k <4＋73. 所以k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫4－7，4＋7. (2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．将y ＝kx ＋1代入圆C 的方程(x －2)2＋(y －3)2＝1，整理得(1＋k 2)x 2－4(1＋k )x ＋7＝0.所以x 1＋x 2＝＋k1＋k 2，x 1x 2＝71＋k 2.OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2 ＝(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1 ＝4k ＋k 1＋k 2＋8. 由题设可得4k ＋k 1＋k 2＋8＝12，解得k ＝1，所以l 的方程为y ＝x ＋1.故圆C 的圆心(2,3)在l 上，所以|MN |＝2.2．已知过原点的动直线l 与圆C 1：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相交于不同的两点A ，B .(1)求圆C 1的圆心坐标；(2)求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；(3)是否存在实数k ，使得直线L ：y ＝k (x －4)与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由．解 (1)圆C 1的方程x 2＋y 2－6x ＋5＝0可化为(x －3)2＋y 2＝4，所以圆C 1的圆心坐标为(3,0)．(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1≠x 2)，M (x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22，y 0＝y 1＋y 22.由题意可知直线l 的斜率必存在，设直线l 的方程为y ＝tx . 将上述方程代入圆C 1的方程，化简得(1＋t 2)x 2－6x ＋5＝0.由题意，可得Δ＝36－20(1＋t 2)>0(*)，x 1＋x 2＝61＋t 2，所以x 0＝31＋t 2，代入直线l 的方程，得y 0＝3t1＋t 2.因为x 20＋y 20＝9＋t 22＋9t 2＋t 22＝＋t 2＋t 22＝91＋t 2＝3x 0，所以⎝⎛⎭⎪⎫x 0－322＋y 20＝94. 由(*)解得t 2<45，又t 2≥0，所以53<x 0≤3.所以线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝94⎝ ⎛⎭⎪⎫53<x ≤3.(3)由(2)知，曲线C 是在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤53，3上的一段圆弧．如图，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫53，253，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫53，－253，F (3，0)，直线L 过定点G (4,0)．联立直线L 的方程与曲线C 的方程，消去y 整理得(1＋k 2)x 2－(3＋8k 2)x ＋16k 2＝0.令判别式Δ＝0，解得k ＝±34，由求根公式解得交点的横坐标为x H ，I ＝125∈⎝ ⎛⎦⎥⎤53，3，由图可知：要使直线L 与曲线C 只有一个交点，则k ∈∪{k GH ，k GI }，k DG ＝25－053－4＝－257，k EG ＝－25－053－4＝257，即k ∈⎣⎢⎡ －257，⎦⎥⎤257∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫－34，34. 二、模拟大题3．在平面直角坐标系xOy 中，圆C ：x 2＋y 2＋4x －2y ＋m ＝0与直线x －3y ＋3－2＝0相切．(1)求圆C 的方程；(2)若圆C 上有两点M ，N 关于直线x ＋2y ＝0对称，且|MN |＝23，求直线MN 的方程．解 (1)将圆C ：x 2＋y 2＋4x －2y ＋m ＝0化为(x ＋2)2＋(y －1)2＝5－m ， ∵圆C ：x 2＋y 2＋4x －2y ＋m ＝0与直线x －3y ＋3－2＝0相切， ∴圆心(－2,1)到直线x －3y ＋3－2＝0的距离d ＝41＋3＝2＝r ，∴圆C 的方程为(x ＋2)2＋(y －1)2＝4.(2)若圆C 上有两点M ，N 关于直线x ＋2y ＝0对称，则可设直线MN 的方程为2x －y ＋c ＝0，∵|MN |＝23，半径r ＝2，∴圆心(－2,1)到直线MN 的距离为22－32＝1，即|－4－1＋c |5＝1， ∴c ＝5±5，∴直线MN 的方程为2x －y ＋5±5＝0.4．已知圆C 的方程为x 2＋(y －4)2＝1，直线l 的方程为2x －y ＝0，点P 在直线l 上，过点P 作圆C 的切线PA ，PB ，切点为A ，B .(1)若∠APB ＝60°，求点P 的坐标；(2)求证：经过A ，P ，C (其中点C 为圆C 的圆心)三点的圆必经过定点，并求出所有定点的坐标．解 (1)由条件可得圆C 的圆心坐标为(0,4)，PC ＝2，设P (a,2a )，则a 2＋a －2＝2，解得a ＝2或a ＝65，所以点P 的坐标为(2,4)或⎝ ⎛⎭⎪⎫65，125. (2)证明：设P (a,2a )，过点A ，P ，C 的圆即是以PC 为直径的圆，其方程为x (x －a )＋(y －4)(y －2a )＝0，整理得x 2＋y 2－ax －4y －2ay ＋8a ＝0，即(x 2＋y 2－4y )－a (x ＋2y －8)＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2－4y ＝0，x ＋2y －8＝0得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝4或⎩⎨⎧ x ＝85，y ＝165，∴该圆必经过定点(0,4)和⎝ ⎛⎭⎪⎫85，165. 5．已知圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0.(1)若圆C 的切线在x 轴和y 轴上的截距相等，求此切线的方程；(2)从圆C 外一点P (x 1，y 1)向该圆引一条切线，切点为M ，O 为坐标原点，且有|PM |＝|PO |，求使|PM |取得最小值时点P 的坐标．解 (1)将圆C 配方，得(x ＋1)2＋(y －2)2＝2.①当切线在两坐标轴上的截距为零时，设切线方程为y ＝kx ，由|k ＋2|1＋k 2＝2，得k ＝2±6，∴切线方程为y ＝(2±6)x .②当切线在两坐标轴上的截距不为零时，设切线方程为x ＋y －a ＝0(a ≠0)，由|－1＋2－a |2＝2，得|a －1|＝2，即a ＝－1或a ＝3.∴切线方程为x ＋y ＋1＝0或x ＋y －3＝0.综上，圆的切线方程为y ＝(2＋6)x 或y ＝(2－6)x 或x ＋y ＋1＝0或x ＋y －3＝0.(2)由|PO |＝|PM |，得x 21＋y 21＝(x 1＋1)2＋(y 1－2)2－2，整理得2x 1－4y 1＋3＝0，即点P 在直线l ：2x －4y ＋3＝0上．当|PM |取最小值时，|PO |取最小值，此时直线PO ⊥l ，∴直线PO 的方程为2x ＋y ＝0.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝0，2x －4y ＋3＝0，得点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－310，35. 6．如图，已知圆心坐标为M (3，1)的圆M 与x 轴及直线y ＝3x 均相切，切点分别为A ，B ，另一圆N 与圆M 相切，且与x 轴及直线y ＝3x 均相切，切点分别为C ，D .(1)求圆M与圆N的方程；(2)过点B作MN的平行线l，求直线l被圆N截得的弦长．解(1)由于圆M与∠BOA的两边相切，故M到OA，OB的距离相等，则点M在∠BOA的平分线上，同理，N也在∠BOA的平分线上，即O，M，N三点共线，且直线ON为∠BOA的平分线，因为M(3，1)，所以M到x轴的距离为1，即圆M的半径为1，所以圆M的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝1.设圆N的半径为r，连接AM，CN，则Rt△OAM∽Rt△OCN，得OMON＝MANC，即23＋r＝1r，解得r＝3，OC＝33，所以圆N的方程为(x－33)2＋(y－3)2＝9.(2)由对称性可知，所求弦长为过点A的MN的平行线被圆N截得的弦长，此弦所在直线的方程为y＝33(x－3)，即x－3y－3＝0，圆心N到该直线的距离d＝|33－33－3|1＋3＝32，故弦长为2r2－d2＝33.。

2018年高考数学一轮复习第八章解析几何第50讲椭圆课件理

5．已知F1，F2是椭圆C的左，右焦点，点P在椭圆上，且满足
PF
1
＝2
PF
2
，∠
3 PF1F2＝30°，则椭圆的离心率为____3____.
解析：在△PF1F2中，由正弦定理得sin∠PF2F1＝1，即∠PF2F1＝
π 2
，设
PF
2
＝
1，则PF1＝2，F2F1＝
• 2．椭圆的标准方程和几何性质
标准方程
ax22＋by22＝1(a＞b＞0)
bx22＋ay22＝1(a＞b＞0)
图形
性范围质
对称性
__－___a_≤x≤__a_，
__－___b_≤x≤__b_，
__－___b_≤y≤__b_
__－___a_≤y≤_a__
对称轴：__坐__标___轴__，对称中心：______(_0_,_0_)_____
轴长轴A1A2的长为___2_a__，短轴B1B2的长为___2_b__
性焦距
F1F2＝___2_c__
质离心率
c e＝__a_，e∈____(_0_,_1_)_______
a，b，c 的关系
c2＝_a__2_－___b_2
• 1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)．
• (1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．( × )
(3)错误．因为e＝
c a
＝
a2－b2 a
＝
扁．
1－ba2
，所以e越大，则
b a
越小，椭圆就越
(4)正确．由椭圆的对称性知，其关于原点中心对称也关于两坐标轴对称．
2．设P是椭圆
x42＋
y2 9

2018高考数学(文理通用版)一轮复习课件：第七章立体几何第1讲

• A．0 B．1 • C．2 D．3 • [解析] (1)(2)(3)(5)不正确，(4)正确，故选 B．
2．(2016· 天津，5 分)将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧(左) 视图为导学号 30071968 (
B
)
• [解析] 由正视图、俯视图得原几何体的形状如图所示，则该几何体的侧视图为B ．
• 知识点二空间几何体的三视图 • 空间几何体的三视图是用正投影得到的，完全相同这种投影下与投影面平行的平面图形留下主(正)视图左(侧)视图俯视图的影子与平面图形的形状和大小是 _________的，三视图包括__________、 ___________、________．
• 知识点三空间几何体的直观图斜二测 • 空间几何体的直观图常用________画法来画，其规则是：垂直 • 1．原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直平行于观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°(或135°) 不变，z′轴与x′轴、y′轴所在平面 ______．原来的一半 • 2．原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别________坐标轴．平行于y轴和z 轴的线段在直观图中保持原长度_____，平行于x轴的线段长度在直观图中变为 _____________．
1．下列结论正确的个数为导学号 30071967 (
B
)
(1)夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是圆柱． (2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥． (3)上下底面是两个平行的圆面的旋转体是圆台． (4)用一个平面去截一个球，截面是一个圆面． (5)在用斜二测画法画水平放置的∠A 时，若∠A 的两边分别平行于 x 轴和 y 轴，且∠A＝90° ，则在直观图中∠A＝45° .

2018高考数学(理)一轮复习课件第八章平面解析几何第7讲课件

【解析】
→ → (1)因为FP＝4FQ，
→ → 所以|FP|＝4|FQ|， |PQ| 3 所以＝ . |PF| 4 如图，过 Q 作 QQ′⊥l，垂足为 Q′，设 l 与 x 轴的交点为 A，则|AF|＝4， |PQ| |QQ′| 3 所以＝＝， |PF| |AF| 4 所以|QQ′|＝3，根据抛物线定义可知|QF|＝|QQ′|＝3.
1 2 1.教材习题改编抛物线 y＝－ x 的焦点坐标是( 4 A．(0，－1) C．(1，0) B．(0，1) D．(－1，0)
A
)
1 2 [解析] 抛物线 y＝－ x 的标准方程为 x2＝－4y，开口向下， 4 p p＝2，＝1，故焦点为(0，－1)． 2
2．已知抛物线 C 与双曲线 x2－y2＝1 有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线 C 的方程是( A．y2＝± 2 2x C．y2＝± 4x
1．辨明两个易误点 (1)抛物线的定义中易忽视“定点不在定直线上”这一条件，当定点在定直线上时，动点的轨迹是过定点且与定直线垂直的直线． (2)对于抛物线标准方程中参数 p，易忽视只有 p＞0 才能证明其几何意义是焦点 F 到准线 l 的距离，否则无几何意义．
2．与焦点弦有关的常用结论 (以右图为依据) 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)． 2 p (1)y1y2＝－p2，x1x2＝ . 4 2p (2)|AB|＝x1＋x2＋p＝ 2 (θ 为 AB 的倾斜 sin θ 角 )． 1 1 2 (3) ＋为定值p. |AF| |BF| (4)以 AB 为直径的圆与准线相切． (5)以 AF 或 BF 为直径的圆与 y 轴相切．
p ，0 2 F_________
p －，0 2 F_________

2018年高考数学理科考点过关习题第七章平面解析几何20和答案

考点测试20 三角函数的图象和性质一、基础小题1．已知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2，g (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2，则f (x )的图象( )A ．与g (x )的图象相同B ．与g (x )的图象关于y 轴对称C ．向左平移π2个单位，得到g (x )的图象 D ．向右平移π2个单位，得到g (x )的图象答案 D解析因为g (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝sin x ，所以f (x )向右平移π2个单位，可得到g (x )的图象，故选D.2．函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4是( )A ．周期为π的偶函数B ．周期为2π的偶函数C ．周期为π的奇函数D ．周期为2π的奇函数答案 D解析 f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝－2sin x ，所以函数f (x )是周期为2π的奇函数．3．函数y ＝sin 2x ＋sin x －1的值域为( ) A ． B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－54，－1 C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－54，1D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，54答案 C 解析(数形结合法)y ＝sin 2x ＋sin x －1，令sin x ＝t ，则有y ＝t 2＋t －1，t ∈，画出函数图象如图所示，从图象可以看出，当t ＝－12及t ＝1时，函数取最值，代入y ＝t 2＋t －1可得y ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－54，1.4．已知函数f (x )＝sin x ＋a cos x 的图象关于直线x ＝5π3对称，则实数a 的值为( )A ．－ 3B ．－33C ． 2D ．22答案 B解析由题意知f (0)＝f ⎝⎛⎭⎪⎫10π3，解得a ＝－33.故选B. 5．函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－2x (x ∈)的单调递增区间是( )A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－5π6B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，0 C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π3，－π6 D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，－π6答案 C解析因为y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－2x ＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，所以函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－2x 的单调递增区间就是函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的单调递减区间．由π2＋2k π≤2x －π6≤3π2＋2k π(k ∈Z )，解得π3＋k π≤x ≤5π6＋k π(k ∈Z )，即函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－2x 的单调递增区间为⎣⎢⎡ π3＋k π，⎦⎥⎤5π6＋k π(k ∈Z )，又x ∈，所以k ＝－1，故函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π6－2x (x ∈)的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π3，－π6. 6．使函数f (x )＝sin(2x ＋φ)为R 上的奇函数的φ的值可以是( ) A ．π4B ．π2C ．πD ．3π2答案 C解析若f (x )是R 上的奇函数，则必须满足f (0)＝0，即sin φ＝0. ∴φ＝k π(k ∈Z )，故选C.7．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，其中x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，a ，若f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，则a 的取值范围是( ) A ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π3B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，2π3D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π 答案 D解析若－π3≤x ≤a ，则－π6≤x ＋π6≤a ＋π6.因为当x ＋π6＝－π6或x ＋π6＝7π6时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝－12，当x ＋π6＝π2时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝1，所以要使f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，则有π2≤a ＋π6≤7π6，即π3≤a ≤π，即a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π.故选D. 8．函数y ＝lg sin2x ＋9－x 2的定义域为________．答案⎩⎪⎨⎪⎧x ⎪⎪⎪⎭⎪⎬⎪⎫－3≤x <－π2或0<x <π2解析由⎩⎨⎧sin2x >0，9－x 2≥0得⎩⎨⎧2k π<2x <2k π＋π，k ∈Z ，－3≤x ≤3.∴－3≤x <－π2或0<x <π2. ∴函数y ＝lg sin2x ＋9－x 2的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧x ⎪⎪⎪⎭⎪⎬⎪⎫－3≤x <－π2或0<x <π2.二、高考小题9．函数f (x )＝(3sin x ＋cos x )(3cos x －sin x )的最小正周期是( ) A ．π2B ．πC ．3π2D ．2π答案 B 解析∵f (x )＝(3sin x ＋cos x )(3cos x －sin x )＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，∴T ＝2π2＝π，故选B.10．设函数f (x )＝sin 2x ＋b sin x ＋c ，则f (x )的最小正周期( ) A ．与b 有关，且与c 有关 B ．与b 有关，但与c 无关 C ．与b 无关，且与c 无关 D ．与b 无关，但与c 有关答案 B解析 f (x )＝sin 2x ＋b sin x ＋c ，若b ＝0，则f (x )＝sin 2x ＋c ＝12(1－cos2x )＋c ，此时f (x )的周期为π；若b ≠0，则f (x )的周期为2π，所以选B.11．函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则f (x )的单调递减区间为( )A ．⎝⎛⎭⎪⎫k π－14，k π＋34，k ∈Z B.⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－14，2k π＋34，k ∈ZC ．⎝ ⎛⎭⎪⎫k －14，k ＋34，k ∈ZD.⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z答案 D解析由题图可知T 2＝54－14＝1，所以T ＝2.结合题图可知，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－34，54(f (x )的一个周期)内，函数f (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，34.由f (x )是以2为周期的周期函数可知，f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z ，故选D.12．下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是( ) A ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2B ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2C ．y ＝sin2x ＋cos2xD ．y ＝sin x ＋cos x答案 A解析选项A ，y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝－sin2x ，符合题意，故选A.13．定义在区间上的函数y ＝sin2x 的图象与y ＝cos x 的图象的交点个数是________．答案 7解析在同一平面直角坐标系中作出y ＝sin2x 与y ＝cos x 在区间上的图象(如图)．由图象可知，共有7个交点．三、模拟小题14．函数f (x )＝2x －4sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2的图象大致是( )答案 D解析函数f (x )＝2x －4sin x 为奇函数，所以其图象关于原点对称，故A 、B 错误．又令f ′(x )＝2－4cos x ＝0，即cos x ＝12，解得x ＝±π3，所以x ＝±π3为函数的极值点，所以只有D 项符合条件．故选D.15．若函数f (x )＝A sin2ωx (A >0，ω>0)在x ＝1处取得最大值，则函数f (x ＋1)为( )A ．偶函数B ．奇函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．非奇非偶函数答案 A解析因为f (x )＝A sin2ωx 在x ＝1处取得最大值，故f (1)＝A ，即sin2ω＝1，所以2ω＝π2＋2k π，k ∈Z .因此，f (x ＋1)＝A sin(2ωx ＋2ω)＝A sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π2＋2k π＝A cos2ωx ，故f (x ＋1)是偶函数．16．函数f (x )＝sin x ＋x 在区间已知函数f (x )＝2m sin x －n cos x ，直线x ＝π3是函数f (x )图象的一条对称轴，则nm＝( )A ．332 B ． 3C ．－233D ．33答案 C 解析若x ＝π3是函数f (x )图象的一条对称轴，则x ＝π3是函数f (x )的极值点．f ′(x )＝2m cos x ＋n sin x ，故f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝2m cos π3＋n sin π3＝m ＋32n ＝0，所以n m ＝－233. 18．已知定义在R 上的函数f (x )满足：当sin x ≤cos x 时，f (x )＝cos x ，当sin x >cos x 时，f (x )＝sin x .给出以下结论： ①f (x )是周期函数； ②f (x )的最小值为－1；③当且仅当x ＝2k π(k ∈Z )时，f (x )取得最小值； ④当且仅当2k π－π2<x <(2k ＋1)π(k ∈Z )时，f (x )>0； ⑤f (x )的图象上相邻两个最低点的距离是2π. 其中正确的结论序号是________．答案 ①④⑤解析易知函数f (x )是周期为2π的周期函数．函数f (x )在一个周期内的图象如图所示．由图象可得，f (x )的最小值为－22，当且仅当x ＝2k π＋5π4(k ∈Z )时，f (x )取得最小值；当且仅当2k π－π2<x <(2k ＋1)π(k ∈Z )时，f (x )>0；f (x )的图象上相邻两个最低点的距离是2π.所以正确的结论的序号是①④⑤.一、高考大题1．已知函数f (x )＝2sin x 2cos x 2－2sin 2x2.(1)求f (x )的最小正周期； (2)求f (x )在区间上的最小值．解 (1)因为f (x )＝22sin x －22(1－cos x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－22，所以f (x )的最小正周期为2π.(2)因为－π≤x ≤0，所以－3π4≤x ＋π4≤π4. 当x ＋π4＝－π2，即x ＝－3π4时，f (x )取得最小值．所以f (x )在区间上的最小值为 f ⎝⎛⎭⎪⎫－3π4＝－1－22.2．已知函数f (x )＝4tan x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3.(1)求f (x )的定义域与最小正周期； (2)讨论f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的单调性．解 (1)f (x )的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠π2＋k π，k ∈Z. f (x )＝4tan x cos x cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3 ＝4sin x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3＝4sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos x ＋32sin x － 3＝2sin x cos x ＋23sin 2x － 3 ＝sin2x ＋3(1－cos2x )－ 3 ＝sin2x －3cos2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.所以，f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)令z ＝2x －π3，易知函数y ＝2sin z 的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，k ∈Z .由－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π，得－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z . 设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z，易知A ∩B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π4.所以，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4时，f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π4上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，－π12上单调递减．二、模拟大题3．已知函数f (x )＝6cos 4x ＋5sin 2x －4cos2x，求f (x )的定义域，判断它的奇偶性，并求其值域．解由cos2x ≠0得2x ≠k π＋π2，k ∈Z ，解得x ≠k π2＋π4，k ∈Z ，所以f (x )的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧ x ⎪⎪⎪⎭⎪⎬⎪⎫x ∈R ，且x ≠k π2＋π4，k ∈Z .因为f (x )的定义域关于原点对称，且f (－x )＝6cos 4 －x ＋5sin 2 －x －4cos －2x＝6cos 4x ＋5sin 2x －4cos2x＝f (x )．所以f (x )是偶函数，当x ≠k π2＋π4，k ∈Z 时，f (x )＝6cos 4x ＋5sin 2x －4cos2x ＝6cos 4x ＋5－5cos 2x －42cos 2x －1＝ 2cos 2x －1 3cos 2x －1 2cos 2x －1＝3cos 2x －1. 所以f (x )的值域为⎩⎪⎨⎪⎧ y ⎪⎪⎪⎭⎪⎬⎪⎫－1≤y <12或12<y ≤2.4．已知函数f (x )＝sin x －cos x ，x ∈R .(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)若函数f (x )在x ＝x 0处取得最大值，求f (x 0)＋f (2x 0)＋f (3x 0)的值．解 (1)f (x )＝sin x －cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4， ∴f (x )的最小正周期为2π.(2)依题意，x 0＝2k π＋3π4(k ∈Z )，由周期性，f (x 0)＋f (2x 0)＋f (3x 0)＝⎝⎛⎭⎪⎫sin 3π4－cos 3π4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π2－cos 3π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 9π4－cos 9π4 ＝2－1.5．设函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(－π<φ<0)，y ＝f (x )图象的一条对称轴是直线x ＝π8. (1)求φ的值；(2)求函数y ＝f (x )的单调递增区间．解 (1)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝±1得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋φ＝±1，∵－π<φ<0， ∴－3π4<φ＋π4<π4，∴φ＋π4＝－π2，φ＝－3π4. (2)由(1)得f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －3π4，令－π2＋2k π≤2x －3π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，可解得π8＋k π≤x ≤5π8＋k π，k ∈Z . 因此y ＝f (x )的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8＋k π，5π8＋k π，k ∈Z . 6．已知函数f (x )＝2sin x sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6. (1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，求函数f (x )的值域．解 (1)f (x )＝2sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin x ＋12cos x ＝3×1－cos2x 2＋12sin2x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3＋32 函数f (x )的最小正周期为T ＝π.由－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，解得－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z ，所以函数f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12＋k π，5π12＋k π，k ∈Z . (2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3， sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1，f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，1＋32.。

全程复习方略2018版高考数学理一轮复习课件全国版：第七章立体几何 7.5 精品

第五节直线、平面垂直的判定及其性质
【知识梳理】
1.直线与平面垂直
(1)定义:直线l与平面α内的_____一条直线都垂直,就任意
说直线l与平面α互相垂直.
(2)判定定理与性质定理:
文字语言
一条直线与一个平面判
定内的两条_____直线都
定
相交垂直,则该直线与此平
理
面垂直
图形语言
符号语言 a,b⊂α a____ll⇒⊥⊥∩________l____⊥abb____=__αO__
(3)垂直于同一条直线的两个平面平行. (4)一条直线垂直于两平行平面中的一个,则这一条直线与另一个平面也垂直. (5)两个相交平面同时垂直于第三个平面,它们的交线也垂直于第三个平面. 2.证明线面垂直时,易忽视平面内两条线为相交线这一条件.
【小题快练】链接教材练一练 1.(必修2P73练习T1改编)下列命题中不正确的是( ) A.如果平面α⊥平面β,且直线l∥平面α,则直线l⊥平面β
C中,因为CF∥AB,AB⊂平面PAB,CF⊄平面PAB, 所以CF∥平面PAB; 而D中CF与AD不垂直,故D结论不正确.
考向一与线面垂直有关的命题的真假判断【典例1】(1)(2015·安徽高考)已知m,n是两条不同直线,α,β是两个不同平面,则下列命题正确的是 ( )
A.若α,β垂直于同一平面,则α与β平行 B.若m,n平行于同一平面,则m与n平行 C.若α,β不平行,则在α内不存在与β平行的直线 D.若m,n不平行,则m与n不可能垂直于同一平面
【变式训练】(2016·黄山模拟)已知不同的直线l,m,
不同的平面α,β,下列命题中:①若α∥β,l⊂α,则
l∥β;②若α∥β,l⊥α,则l⊥β;③若l∥α,m⊂α,则

【小初高学习】2018年高考数学考点通关练第七章平面解析几何52椭圆试题理

考点测试52 椭圆一、基础小题1．中心在原点，焦点在x 轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是( )A.x 281＋y 272＝1B.x 281＋y 29＝1C.x 281＋y 245＝1 D.x 281＋y 236＝1 答案 A解析依题意知：2a ＝18，∴a ＝9,2c ＝13×2a ，∴c ＝3，∴b 2＝a 2－c 2＝81－9＝72，∴椭圆方程为x 281＋y 272＝1.2．已知椭圆的方程为2x 2＋3y 2＝m (m >0)，则此椭圆的离心率为( ) A.13 B.33 C.22 D.12 答案 B解析 2x 2＋3y 2＝m (m >0)⇒x 2m 2＋y 2m3＝1，∴c 2＝m 2－m 3＝m6.∴e 2＝13，∴e ＝33.故选B.3．椭圆x 2＋my 2＝1的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的2倍，则m 等于( ) A.12 B ．2 C ．4 D.14 答案 D解析由x 2＋y 21m＝1及题意知，21m ＝2×2×1，m ＝14，故选D. 4．已知椭圆x 24＋y 2＝1的焦点为F 1、F 2，点M 在该椭圆上，且MF 1→·MF 2→＝0，则点M 到y轴的距离为( )A.233 B.263 C.33D. 3 答案 B解析设M (x ，y )，由MF 1→·MF 2→＝0，得x 2＋y 2＝c 2＝3，又x 24＋y 2＝1，解得x ＝±263. 5．已知圆(x ＋2)2＋y 2＝36的圆心为M ，设A 为圆上任一点，且点N (2,0)，线段AN 的垂直平分线交MA 于点P ，则动点P 的轨迹是( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线答案 B解析点P 在线段AN 的垂直平分线上，故|PA |＝|PN |，又AM 是圆的半径， ∴|PM |＋|PN |＝|PM |＋|PA |＝|AM |＝6>|MN |，由椭圆定义知，P 的轨迹是椭圆．6．设F 1，F 2是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，P 为直线x ＝3a2上一点，△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为( )A.12B.23C.34D.45 答案 C解析令c ＝a 2－b 2.如图，据题意，|F 2P |＝|F 1F 2|，∠F 1PF 2＝30°，∴∠F1F 2P ＝120°，∴∠PF 2x ＝60°， ∴|F 2P |＝2⎝⎛⎭⎪⎫3a 2－c ＝3a －2c .∵|F 1F 2|＝2c ，∴3a －2c ＝2c ，∴3a ＝4c ，∴c a ＝34，即椭圆的离心率为34.故选C.7．已知点F 1，F 2是椭圆x 2＋2y 2＝2的两个焦点，点P 是该椭圆上的一个动点，那么|PF 1→＋PF 2→|的最小值是( )A ．0B ．1C ．2D ．2 2 答案 C解析设P (x 0，y 0)，则PF 1→＝(－1－x 0，－y 0)， PF 2→＝(1－x 0，－y 0)，∴PF 1→＋PF 2→＝(－2x 0，－2y 0)，∴|PF 1→＋PF 2→|＝4x 20＋4y 20＝22－2y 20＋y 20＝2－y 20＋2. ∵点P 在椭圆上，∴0≤y 20≤1，∴当y 20＝1时，|PF 1→＋PF 2→|取最小值2.故选C.8．已知P 是椭圆x 24＋y 2＝1上的一点，F 1、F 2是椭圆的两个焦点，且∠F 1PF 2＝60°，则△F 1PF 2的面积是________．答案33解析设|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2，则r 1＋r 2＝4.又r 21＋r 22－2r 1r 2cos60°＝|F 1F 2|2，(r 1＋r 2)2－3r 1r 2＝12，∴r 1r 2＝43，S ＝12r 1r 2sin60°＝33. 二、高考小题9．[2016·全国卷Ⅲ]已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点，A ，B 分别为C 的左，右顶点．P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴．过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为( )A.13B.12C.23D.34 答案A解析由题意知过点A 的直线l 的斜率存在且不为0，故可设直线l 的方程为y ＝k (x ＋a )，当x ＝－c 时，y ＝k (a －c )，当x ＝0时，y ＝ka ，所以M (－c ，k (a －c ))，E (0，ka )．如图，设OE 的中点为N ，则N ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，ka 2，由于B ，M ，N 三点共线，所以k BN ＝k BM ，即ka2－a ＝k a －c －c －a ，所以12＝a －c a ＋c ，即a ＝3c ，所以e ＝13.故选A.10. [2016·江苏高考]如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点，直线y ＝b2与椭圆交于B ，C 两点，且∠BFC ＝90°，则该椭圆的离心率是________．答案63解析由已知条件易得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32a ，b 2，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫32a ，b 2，F (c,0)，∴BF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋32a ，－b 2，CF→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c －32a ，－b 2，由∠BFC ＝90°，可得BF →·CF →＝0，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫c －32a ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋32a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 22＝0，c 2－34a 2＋14b 2＝0，即4c 2－3a 2＋(a 2－c 2)＝0，亦即3c 2＝2a 2，所以c 2a 2＝23，则e ＝c a ＝63.11．[2014·安徽高考]设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2＋y 2b2＝1(0<b <1)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF 1|＝3|F 1B |，AF 2⊥x 轴，则椭圆E 的方程为________．答案 x 2＋32y 2＝1解析不妨设点A 在第一象限，∵AF 2⊥x 轴，∴A (c ，b 2)(其中c 2＝1－b 2,0<b <1，c >0)．又∵|AF 1|＝3|F 1B |，∴由AF 1→＝3F 1B →，得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－5c 3，－b 23，代入x 2＋y 2b 2＝1，得25c 29＋b 49b 2＝1，又c2＝1－b 2，∴b 2＝23.故椭圆E 的方程为x 2＋32y 2＝1.12．[2014·江西高考]过点M (1,1)作斜率为－12的直线与椭圆C ：x 2a 2＋y2b 2＝1(a >b >0)相交于A ，B 两点，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率等于________．答案22解析设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 21a 2＋y 21b 2＝1，① x 22a 2＋y 22b2＝1.② ①、②两式相减并整理，得y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2a 2·x 1＋x 2y 1＋y 2.把已知条件代入上式，得－12＝－b 2a 2×22，∴b 2a 2＝12，故椭圆的离心率e ＝1－b 2a 2＝22. 13．[2014·辽宁高考]已知椭圆C ：x 29＋y 24＝1，点M 与C 的焦点不重合．若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则|AN |＋|BN |＝________.答案 12解析解法一：由椭圆方程知椭圆C 的左焦点为F 1(－5，0)，右焦点为F 2(5，0)．则M (m ，n )关于F 1的对称点为A (－25－m ，－n )，关于F 2的对称点为B (25－m ，－n )，设MN中点为(x ，y )，所以N (2x －m,2y －n )．所以|AN |＋|BN |＝x ＋252＋y 2＋x －252＋y2＝2[]x ＋52＋y 2＋x －52＋y2，故由椭圆定义可知|AN |＋|BN |＝2×6＝12.解法二：根据已知条件画出图形，如图．设MN 的中点为P ，F 1、F 2为椭圆C 的焦点，连接PF 1、PF 2.显然PF 1是△MAN 的中位线，PF 2是△MBN 的中位线，∴|AN |＋|BN |＝2|PF 1|＋2|PF 2|＝2(|PF 1|＋|PF 2|)＝2×6＝12.三、模拟小题14．[2016·江西五市八校二模]已知正数m 是2和8的等比中项，则圆锥曲线x 2＋y 2m＝1的焦点坐标为( )A ．(±3，0)B ．(0，±3)C ．(±3，0)或(±5，0)D ．(0，±3)或(±5，0)答案 B解析因为正数m 是2和8的等比中项，所以m 2＝16，即m ＝4，所以椭圆x 2＋y 24＝1的焦点坐标为(0，±3)，故选B.15．[2017·湖北八校联考]设F 1，F 2为椭圆x 29＋y 25＝1的两个焦点，点P 在椭圆上，若线段PF 1的中点在y 轴上，则|PF 2||PF 1|的值为( )A.514B.513C.49D.59 答案 B解析由题意知a ＝3，b ＝5，c ＝2.设线段PF 1的中点为M ，则有OM ∥PF 2，∵OM ⊥F 1F 2，∴PF 2⊥F 1F 2，∴|PF 2|＝b 2a ＝53.又∵|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6，∴|PF 1|＝2a －|PF 2|＝133，∴|PF 2||PF 1|＝53×313＝513，故选B. 16．[2016·青岛模拟]已知以F 1(－2,0)，F 2(2,0)为焦点的椭圆与直线x ＋3y ＋4＝0有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为( )A ．3 2B ．2 6C ．27 D.7 答案 C解析根据题意设椭圆方程为x 2b 2＋4＋y 2b2＝1(b >0)，则将x ＝－3y －4代入椭圆方程，得4(b 2＋1)y 2＋83·b 2y －b 4＋12b 2＝0.∵椭圆与直线x ＋3y ＋4＝0有且仅有一个交点，∴Δ＝(83b 2)2－4×4(b 2＋1)(－b 4＋12b 2)＝0，即(b 2＋4)·(b 2－3)＝0，∴b 2＝3，长轴长为2b 2＋4＝27.17．[2016·福建厦门一模]已知椭圆x 29＋y 25＝1的右焦点为F ，P 是椭圆上一点，点A (0,23)，当△APF 的周长最大时，△APF 的面积等于( )A.1134 B.2134 C.114 D.214答案 B解析由椭圆x 29＋y 25＝1，知a ＝3，b ＝5，c ＝a 2－b 2＝2，在Rt △AOF 中，|OF |＝2，|OA |＝23，则|AF |＝4.设椭圆的左焦点为F 1，则△APF 的周长为|AF |＋|AP |＋|PF |＝|AF |＋|AP |＋2a －|PF 1|＝4＋6＋|PA |－|PF 1|≤10＋|AF 1|(当且仅当A ，P ，F 1三点共线，P 在线段AF 1的延长线上时取“＝”)．此时直线AF 1的方程为x －2＋y23＝1，与椭圆的方程5x 2＋9y 2－45＝0联立并整理得32y 2－203y －75＝0，解得y P ＝－538(正值舍去)，则△APF 的周长最大时，S △APF ＝12|F 1F |·|y A －y P |＝12×4×⎪⎪⎪⎪⎪⎪23＋538＝2134.故选B.18．[2017·怀化模拟]已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的两焦点分别为F 1，F 2，若椭圆上存在点P ，使得∠F 1PF 2＝120°，则椭圆的离心率的取值范围是________．答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，1解析由题意可得，椭圆的上顶点和两个焦点构成的等腰三角形中，顶角大于等于120°，所以底角小于等于30°，则c a ≥32，即e ≥32，又e <1，所以椭圆的离心率的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，1.一、高考大题1．[2016·浙江高考]如图，设椭圆x 2a2＋y 2＝1(a >1)．(1)求直线y ＝kx ＋1被椭圆截得的线段长(用a ，k 表示)；(2)若任意以点A (0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值范围．解 (1)设直线y ＝kx ＋1被椭圆截得的线段为AP ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2a2＋y 2＝1，得(1＋a 2k 2)x 2＋2a 2kx ＝0，故x 1＝0，x 2＝－2a 2k 1＋a 2k2.因此|AP |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝2a 2|k |1＋a 2k2·1＋k 2. (2)假设圆与椭圆的公共点有4个，由对称性可设y 轴左侧的椭圆上有两个不同的点P ，Q ，满足|AP |＝|AQ |.记直线AP ，AQ 的斜率分别为k 1，k 2，且k 1，k 2>0，k 1≠k 2. 由(1)知，|AP |＝2a 2|k 1|1＋k 211＋a 2k 21，|AQ |＝2a 2|k 2|1＋k 221＋a 2k 22. 故2a 2|k 1|1＋k 211＋a 2k 21＝2a 2|k 2|1＋k 221＋a 2k 22，所以(k 21－k 22)[1＋k 21＋k 22＋a 2(2－a 2)k 21k 22]＝0.由k 1≠k 2，k 1，k 2>0，得1＋k 21＋k 22＋a 2(2－a 2)k 21k 22＝0，因此⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 21＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 22＋1＝1＋a 2(a 2－2)，①因为①式关于k 1，k 2的方程有解的充要条件是 1＋a 2(a 2－2)>1，所以a > 2.因此，任意以点A (0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点的充要条件为1<a ≤ 2，由e ＝c a ＝a 2－1a ，得所求离心率的取值范围为0<e ≤22.2．[2016·天津高考]设椭圆x 2a 2＋y 23＝1(a >3)的右焦点为F ，右顶点为A .已知1|OF |＋1|OA |＝3e|FA |，其中O 为原点，e 为椭圆的离心率． (1)求椭圆的方程；(2)设过点A 的直线l 与椭圆交于点B (B 不在x 轴上)，垂直于l 的直线与l 交于点M ，与y 轴交于点H .若BF ⊥HF ，且∠MOA ≤∠MAO ，求直线l 的斜率的取值范围．解 (1)设F (c,0)，由1|OF |＋1|OA |＝3e |FA |，即1c ＋1a ＝3c a a －c，可得a 2－c 2＝3c 2，又a 2－c 2＝b 2＝3，所以c 2＝1，因此a 2＝4，所以，椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.(2)设直线l 的斜率为k (k ≠0)，则直线l 的方程为y ＝k (x －2)．设B (x B ，y B )，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝k x －消去y ，整理得(4k 2＋3)x 2－16k 2x ＋16k 2－12＝0. 解得x ＝2或x ＝8k 2－64k 2＋3，由题意得x B ＝8k 2－64k 2＋3，从而y B ＝－12k4k 2＋3.由(1)知，F (1,0)，设H (0，y H )，有FH →＝(－1，y H )，BF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫9－4k24k 2＋3，12k 4k 2＋3.由BF ⊥HF ，得BF →·FH →＝0，所以4k 2－94k 2＋3＋12ky H 4k 2＋3＝0，解得y H ＝9－4k 212k .因此直线MH 的方程为y ＝－1k x ＋9－4k 212k.设M (x M ，y M )，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －，y ＝－1k x ＋9－4k212k ，消去y 解得x M ＝20k 2＋9k 2＋.在△MAO 中，∠MOA ≤∠MAO ⇔|MA |≤|MO |，即(x M －2)2＋y 2M ≤x 2M ＋y 2M ，化简得x M ≥1，即20k 2＋9k 2＋≥1，解得k ≤－64或k ≥64. 所以，直线l 的斜率的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－64∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫64，＋∞. 二、模拟大题3．[2017·江西上饶模拟]已知圆E ：(x ＋1)2＋y 2＝16，点F (1,0)，P 是圆E 上任意一点，线段PF 的垂直平分线和半径PE 相交于点Q .(1)求动点Q 的轨迹Γ的方程；(2)若直线y ＝k (x －1)与(1)中轨迹Γ交于R ，S 两点，在x 轴上是否存在一点T ，使得当k 变动时总有∠OTS ＝∠OTR ？说明理由．解 (1)连接QF ，根据题意，|QP |＝|QF |，则|QE |＋|QF |＝|QE |＋|QP |＝4>|EF |＝2，故动点Q 的轨迹是以E ，F 为焦点，长轴长为4的椭圆．设其方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，可知a ＝2，c ＝1，所以b ＝a 2－c 2＝3，所以点Q 的轨迹Γ的方程是x 24＋y 23＝1.(2)假设存在T (t,0)满足∠OTS ＝∠OTR . 设R (x 1，y 1)，S (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －，3x 2＋4y 2－12＝0，得(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0，由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝8k 23＋4k2，x 1x 2＝4k 2－123＋4k2，①其中Δ>0恒成立．由∠OTS ＝∠OTR (显然TS ，TR 的斜率存在)，得k TS ＋k TR ＝0，即y 1x 1－t ＋y 2x 2－t＝0，②由R 、S 两点在直线y ＝k (x －1)上，故y 1＝k (x 1－1)，y 2＝k (x 2－1)，代入②，得 k x 1－x 2－t ＋k x 2－x 1－tx 1－t x 2－t＝k [2x 1x 2－t ＋x 1＋x 2＋2t ]x 1－tx 2－t＝0，即2x 1x 2－(t ＋1)(x 1＋x 2)＋2t ＝0.③ 将①代入③，得8k 2－24－t ＋k 2＋2t＋4k23＋4k 2＝6t －243＋4k2＝0.④要使得④与k 的取值无关，当且仅当“t ＝4”时成立．综上所述，存在T (4,0)，使得当k 变化时，总有∠OTS ＝∠OTR .4．[2016·东北三校联考]已知椭圆C ：x 2a ＋y 2b ＝1(a >b >0)的离心率为32，且点⎝⎛⎭⎪⎫2，22在C 上．(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线l 经过点P (1,0)，且与椭圆C 有两个交点A ，B ，是否存在直线l 0：x ＝x 0(其中x 0>2)，使得A ，B 到l 0的距离d A ，d B 满足：d A d B ＝|PA ||PB |恒成立？若存在，求出x 0的值；若不存在，请说明理由．解 (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝b 2＋c 2，c a ＝32，2a 2＋12b 2＝1.解得⎩⎨⎧a ＝2，b＝1，c ＝3，所以C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)存在x 0＝4符合题意．理由如下：当直线l 斜率不存在时，x 0(x 0>2)可以为任意值．当直线l 斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x －1)，点A ，B 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －，x 24＋y 2＝1.所以x A ，x B 满足x 2＋4k 2(x －1)2＝4，即(4k 2＋1)x 2－8k 2x ＋4k 2－4＝0.所以⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝k 22－k 2＋k 2－，x A＋x B ＝8k 24k 2＋1，x A x B＝4k 2－44k 2＋1.不妨设x A >1>x B .因为d A |PB |－d B |PA |＝1＋k 2·(|x 0－x A |·|x B －1|－|x 0－x B |·|x A －1|)＝1＋k 2·[2x 0－(x 0＋1)(x A ＋x B )＋2x A x B ]＝0，所以2x 0－x 0＋k 24k 2＋1＋k 2－4k 2＋1＝0.整理得2x 0－8＝0，即x 0＝4.综上，x 0＝4时符合题意．5．[2017·吉林长春调研]椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，且离心率为12，点P 为椭圆上一动点，△F 1PF 2的内切圆面积的最大值为π3. (1)求椭圆的方程；(2)设椭圆的左顶点为A 1，过右焦点F 2的直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，连接A 1A ，A 1B 并延长交直线x ＝4分别于P ，Q 两点，以PQ 为直径的圆是否恒过定点？若是，请求出定点坐标；若不是，请说明理由．解 (1)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，则a ＝2c ，得b ＝3c ，其中c >0.△F 1PF 2的内切圆面积取最大值π3时，其半径取最大值，为r ＝33.由S △F 1PF 2＝r2·C △F 1PF 2，且C △F 1PF 2为定值，得S △F 1PF 2也取得最大值，即点P 为短轴端点，因此12·2c ·b ＝r 2·(2a ＋2c )，所以12×2c ×3c ＝12×33×(4c ＋2c )，解得c ＝1. 所以椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.(2)设直线AB 的方程为x ＝ty ＋1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＋1，x 24＋y23＝1，得(3t 2＋4)y 2＋6ty －9＝0，则y 1＋y 2＝－6t 4＋3t 2，y 1y 2＝－94＋3t 2.又直线AA 1的方程为y ＝y 1x 1－－[x －(－2)]，直线BA 1的方程为y ＝y 2x 2－－[x－(－2)]，所以P ⎝⎛⎭⎪⎫4，6y 1x 1＋2，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，6y 2x 2＋2.设M (m ，n )， MP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4－m ，6y 1x 1＋2－n ，MQ →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4－m ，6y 2x 2＋2－n ，假设以PQ 为直径的圆恒过定点M (m ，n )，那么MP →·MQ →＝(4－m )2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫6y 1x 1＋2－n ⎝ ⎛⎭⎪⎫6y 2x 2＋2－n ＝0，即－12nt y 1y 2－18n y 1＋y 2t 2y 1y 2＋3t y 1＋y 2＋9＋n 2＋(4－m )2＝0，－12nt －－18n －6t －9t 2＋3t －6t ＋t 2＋＋n 2＋(4－m )2＝0，即6nt －9＋n 2＋(4－m )2＝0，即n ＝0，m ＝1或m ＝7，不论t 为何值时，MP →·MQ →＝0恒成立，以PQ 为直径的圆恒过定点，定点坐标为(1,0)或(7,0)．6．[2016·衡水中学一调]已知椭圆C ：x 2a ＋y 2b＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点M (0,2)是椭圆的一个顶点，△F 1MF 2是等腰直角三角形．(1)求椭圆C 的方程；(2)设点P 是椭圆C 上一动点，求线段PM 的中点Q 的轨迹方程；(3)过点M 分别作直线MA ，MB 交椭圆于A ，B 两点，设两直线的斜率分别为k 1，k 2，且k 1＋k 2＝8，探究：直线AB 是否过定点，并说明理由．解 (1)由已知条件得b ＝2，a 2＝(2b )2＝8，所以椭圆C 的方程为x 28＋y 24＝1.(2)设点P (x 0，y 0)，PM 的中点坐标为Q (x ，y )，则x 208＋y 204＝1.由x ＝0＋x 02，y ＝2＋y 02，得x 0＝2x ，y 0＝2y －2，代入上式，得x 22＋(y －1)2＝1.(3)若直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m ，依题意m ≠±2.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 28＋y 24＝1，y ＝kx ＋m ，得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－8＝0.则x 1＋x 2＝－4km 1＋2k 2，x 1x 2＝2m 2－81＋2k 2.由已知条件，得y 1－2x 1＋y 2－2x 2＝8，所以kx 1＋m －2x 1＋kx 2＋m －2x 2＝8，即2k ＋(m －2)x 1＋x 2x 1x 2＝8，所以k －km m ＋2＝4，即m ＝12k －2.故直线AB 的方程为y ＝kx ＋12k －2，即y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12－2，所以直线AB 过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－2.若直线AB 的斜率不存在，设直线AB 方程为x ＝x ′，设A (x ′，y ′)，B (x ′，－y ′)．由y ′－2x ′＋－y ′－2x ′＝8，得x ′＝－12，此时直线AB 方程为x ＝－12，显然过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－2. 综上，直线AB 过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－2.。

高考数学一轮复习第八章平面解析几何 852 椭圆的综合问题课件理

所以直线 BN∥x 轴，即 BN⊥l。
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考点四最值与范围问题
【例 4】
(2019·武汉调研 ) 已知椭圆
C
：
x2 a2
＋
y2 b2
＝
1(a>b>0)
经
过
点
P1，
22，且离心率为
22。
(1)求椭圆 C 的方程；
(2)设 F1，F2 分别为椭圆 C 的左、右焦点，不经过 F1 的直线 l 与椭圆 C
＝ 2× 1902＋4×53＝169 5。 (2)证明：设直线 l1 的方程为 y＝k(x－1)。代入椭圆方程，得(4＋5k2)x2－10k2x＋5k2－20＝0。
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设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1＋x2＝41＋0k52k2，x1x2＝54 三点共线，所以3－－yx11＝y20，所以 y0＝x12－y13。而 y0－y2＝x12－y13－y2＝2kx1x－1－31－k(x2－1) ＝3kx1＋xx21－－k3x1x2－5k ＝3k·41＋0k52k2－x1k－·543k＋2－5k220－5k＝0。
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解由题意知，F(1,0)，E(5,0)，M(3,0)。 (1)因为直线 l1 的倾斜角为π4，所以斜率 k＝1。所以直线 l1 的方程为 y＝x－1。代入椭圆方程，可得 9x2－10x－15＝0。设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1＋x2＝190，x1x2＝－53。所以|AB|＝ 2· x1＋x22－4x1x2
必考部分(bù fen)
2021/12/11

高考数学一轮讲义：平面解析几何椭圆

8．5 椭圆[知识梳理] 1．椭圆的定义(1)定义：在平面内到两定点F 1，F 2的距离的和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹(或集合)叫椭圆．这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距．(2)集合语言：P ＝{M ||MF 1|＋|MF 2|＝2a ，且2a >|F 1F 2|}，|F 1F 2|＝2c ，其中a >c >0，且a ，c 为常数．注：当2a >|F 1F 2|时，轨迹为椭圆；当2a ＝|F 1F 2|时，轨迹为线段F 1F 2；当2a <|F 1F 2|时，轨迹不存在．2．椭圆的标准方程和几何性质图3．直线与椭圆位置关系的判断直线与椭圆方程联立方程组，消掉y ，得到Ax 2＋Bx ＋C ＝0的形式(这里的系数A 一定不为0)，设其判别式为Δ：(1)Δ>0⇔直线与椭圆相交； (2)Δ＝0⇔直线与椭圆相切； (3)Δ<0⇔直线与椭圆相离． 4．弦长公式(1)若直线y ＝kx ＋b 与椭圆相交于两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋1k 2|y 1－y 2|.(2)焦点弦(过焦点的弦)：最短的焦点弦为通径长2b 2a ，最长为2a . 5．必记结论(1)设椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)上任意一点P(x，y)，则当x＝0时，|OP|有最小值b，P点在短轴端点处；当x＝±a时，|OP|有最大值a，P点在长轴端点处．(2)已知过焦点F1的弦AB，则△ABF2的周长为4a.[诊断自测]1．概念思辨(1)平面内与两个定点F1、F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．()(2)方程mx2＋ny2＝1(m>0，n>0且m≠n)表示的曲线是椭圆．()(3)椭圆上一点P与两焦点F1，F2构成△PF1F2的周长为2a＋2c(其中a为椭圆的长半轴长，c为椭圆的半焦距)．()(4)x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)与y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)的焦距相同．()答案(1)×(2)√(3)√(4)√2．教材衍化(1)(选修A1－1P35例3)已知椭圆的方程是x2a2＋y225＝1(a>5)，它的两个焦点分别为F1，F2，且F1F2＝8，弦AB过点F1，则△ABF2的周长为()A．10 B．20C．241 D．441答案 D解析因为a>5，所以椭圆的焦点在x轴上，所以a2－25＝42，解得a＝41.由椭圆的定义知△ABF2的周长为4a＝441.故选D.(2)(选修A1－1P42A组T6)已知点P是椭圆x25＋y24＝1上y轴右侧的一点，且以点P及焦点F1，F2为顶点的三角形的面积等于1，则点P的坐标为________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫152，1或⎝ ⎛⎭⎪⎫152，－1 解析设P (x ，y )，由题意知c 2＝a 2－b 2＝5－4＝1，所以c ＝1，则F 1(－1,0)，F 2(1,0)，由题意可得点P 到x 轴的距离为1，所以y ＝±1，把y ＝±1代入x 25＋y 24＝1，得x ＝±152，又x >0，所以x ＝152，∴P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫152，1或⎝ ⎛⎭⎪⎫152，－1. 3．小题热身(1)(2014·大纲卷)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点为F 1，F 2，离心率为33，过F 2的直线l 交C 于A ，B 两点．若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为( )A.x 23＋y 22＝1 B.x 23＋y 2＝1 C.x 212＋y 28＝1 D.x 212＋y 24＝1答案 A解析由题意及椭圆的定义知4a ＝43，则a ＝3，又c a ＝c 3＝33，∴c ＝1，∴b 2＝2，∴C 的方程为x 23＋y 22＝1，故选A.(2)椭圆Γ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c .若直线y ＝3(x ＋c )与椭圆Γ的一个交点M 满足∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，则该椭圆的离心率等于________．答案3－1解析由已知得直线y ＝3(x ＋c )过M ，F 1两点，所以直线MF 1的斜率为3，所以∠MF 1F 2＝60°，则∠MF 2F 1＝30°，∠F 1MF 2＝90°，则MF 1＝c ，MF 2＝3c ，由点M 在椭圆Γ上知：c ＋3c ＝2a ，故e ＝ca ＝3－1.题型1 椭圆的定义及应用典例1 已知椭圆x 225＋y 216＝1上一点P 到椭圆一个焦点F 1的距离为3，则P 到另一个焦点F 2的距离为( )A ．2B ．3C ．5D ．7应用椭圆的定义．答案 D解析根据椭圆的定义|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝10，得|PF 2|＝7，故选D.[条件探究] 若将典例中的条件改为“F 1，F 2分别为左、右焦点，M 是PF 1的中点，且|OM |＝3”，求点P 到椭圆左焦点的距离？解由M 为PF 1中点，O 为F 1F 2中点，易得|PF 2|＝6，再利用椭圆定义易知|PF 1|＝4.典例2(2018·漳浦县校级月考)椭圆x 24＋y 2＝1上的一点P 与两焦点F 1，F 2所构成的三角形称为焦点三角形．(1)求PF 1→·PF 2→的最大值与最小值； (2)设∠F 1PF 2＝θ，求证：S △F 1PF 2＝tan θ2.(1)利用向量数量积得到目标函数，利用二次函数求最值；(2)利用余弦定理、面积公式证明．解 (1)设P (x ，y )，∴F 1(－3，0)，F 2(3，0)，则PF 1→·PF 2→＝(－3－x ，－y )·(3－x ，－y )＝x 2＋y 2－3＝34x 2－2， ∵x 2∈[0,4]，∴34x 2－2∈[－2,1]． ∴PF 1→·PF 2→的最大值为1，最小值为－2. (2)证明：由椭圆的定义可知||PF 1|＋|PF 2||＝2a ， |F 1F 2|＝2c ，设∠F 1PF 2＝θ，在△F 1PF 2中，由余弦定理可得： |F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|cos θ ＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－2|PF 1|·|PF 2|(1＋cos θ)，可得4c 2＝4a 2－2|PF 1|·|PF 2|(1＋cos θ)⇒|PF 1|·|PF 2|＝2b21＋cos θ，即有△F 1PF 2的面积S ＝12|PF 1|·|PF 2|sin ∠F 1PF 2＝b 2·sin θ1＋cos θ＝b 2tan θ2＝tan θ2.方法技巧椭圆定义的应用技巧1．椭圆定义的应用主要有两个方面：一是判定平面内动点与两定点的轨迹是否为椭圆；二是利用定义求焦点三角形的周长、面积、椭圆的弦长及最值和离心率等．2．通常定义和余弦定理结合使用，求解关于焦点三角形的周长和面积问题．见典例2.冲关针对训练已知A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，B 是圆⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝4(F 为圆心)上一动点，线段AB 的垂直平分线交BF 于点P ，则动点P 的轨迹方程为________．答案 x 2＋43y 2＝1解析如图，由题意知|P A |＝|PB |，|PF |＋|BP |＝2.所以|P A |＋|PF |＝2且|P A |＋|PF |>|AF |，即动点P 的轨迹是以A ，F 为焦点的椭圆，a ＝1，c ＝12，b 2＝34.所以动点P 的轨迹方程为x 2＋43y 2＝1.题型2 椭圆的标准方程及应用典例1(2018·湖南岳阳模拟)在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为坐标原点，F 1、F 2为它的两个焦点，离心率为22，过F 1的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为16，那么椭圆C 的方程为________．在未明确焦点的具体位置时，应分情况讨论．答案 x 216＋y 28＝1或x 28＋y 216＝1解析由椭圆的定义及△ABF 2的周长知4a ＝16，则a ＝4，又ca ＝22，所以c ＝22a ＝22，所以b 2＝a 2－c 2＝16－8＝8.当焦点在x 轴上时，椭圆C 的方程为x 216＋y 28＝1；当焦点在y 轴上时，椭圆C 的方程为y 216＋x 28＝1.综上可知，椭圆C 的方程为x 216＋y 28＝1或x 28＋y 216＝1.典例2(2017·江西模拟)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，F 1，F 2为椭圆的左、右焦点，且焦距为23，O 为坐标原点，点P 为椭圆上一点，|OP |＝24a ，且|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等比数列，求椭圆的方程．用待定系数法，根据已知列出方程组．解设P (x ，y )，则|OP |2＝x 2＋y 2＝a28，由椭圆定义，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|PF 1|2＋2|PF 1|·|PF 2|＋|PF 2|2＝4a 2，又∵|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等比数列， ∴|PF 1|·|PF 2|＝|F 1F 2|2＝4c 2， |PF 1|2＋|PF 2|2＋8c 2＝4a 2，∴(x ＋c )2＋y 2＋(x －c )2＋y 2＋8c 2＝4a 2，整理得x 2＋y 2＋5c 2＝2a 2，即a 28＋5c 2＝2a 2，整理得c 2a 2＝38，又∵2c ＝23，∴c ＝3， ∴a 2＝8，b 2＝5.85方法技巧求椭圆标准方程的步骤1．判断椭圆焦点位置． 2．设出椭圆方程．3．根据已知条件，建立方程(组)求待定系数，注意a 2＝b 2＋c 2的应用．4．根据焦点写出椭圆方程．见典例1,2.提醒：当椭圆焦点位置不明确时，可设为x 2m ＋y 2n ＝1(m >0，n >0，m ≠n )，也可设为Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0，且A ≠B )．可简记为“先定型，再定量”．冲关针对训练已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2.P 为椭圆上的一点，PF 1与y 轴相交于M ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14，且M 为PF 1的中点，S △PF 1F 2＝32.求椭圆的方程．解设P (x 0，y 0)∵M 为PF 1的中点，O 为F 1F 2的中点． ∴x 0＝c ，y 0＝12.PF 2∥y 轴，△PF 1F 2是∠PF 2F 1＝90°的直角三角形，由题意得，⎩⎪⎨⎪⎧c 2a 2＋14b 2＝1，12·2c ·12＝32，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1.4题型3 椭圆的几何性质典例 F 1，F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，若椭圆上存在点P ，使∠F 1PF 2＝90°，则椭圆的离心率的取值范围是________．由∠F 1PF 2＝90°，求出x 20＝a 2(c 2－b 2)c 2后，利用x 20∈[0，a 2]求解．答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1解析设P (x 0，y 0)为椭圆上一点，则x 20a 2＋y 20b 2＝1.PF 1→＝(－c －x 0，－y 0)，PF 2→＝(c －x 0，－y 0)，若∠F 1PF 2＝90°，则PF 1→·PF 2→＝x 20＋y 20－c 2＝0.∴x 20＋b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 20a 2＝c 2，∴x 20＝a 2(c 2－b 2)c 2. ∵0≤x 20≤a 2，∴0≤c 2－b 2c 2≤1.∴b 2≤c 2，∴a 2≤2c 2，∴22≤e <1.[条件探究] 将典例2中条件“∠F 1PF 2＝90°”改为“∠F 1PF 2为钝角”，求离心率的取值范围．解椭圆上存在点P 使∠F 1PF 2为钝角⇔以原点O 为圆心，以c 为半径的圆与椭圆有四个不同的交点⇔b <c ，如图，由b <c ，得a 2－c 2<c 2，即a 2<2c 2，解得e ＝c a >22，又0<e <1，故椭圆C 的离心率的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1. 方法技巧求解椭圆离心率(或其范围)常用的方法1．若给定椭圆的方程，则根据椭圆方程确定a 2，b 2，进而求出a ，c 的值，从而利用公式e ＝ca 直接求解．2．若椭圆的方程未知，则根据条件及几何图形建立关于a ，b ，c 的齐次等式(或不等式)，化为关于a ，c 的齐次方程(或不等式)，进而化为关于e 的方程(或不等式)进行求解．见典例.冲关针对训练(2015·重庆高考)如图，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线交椭圆于P ，Q 两点，且PQ ⊥PF 1.(1)若|PF 1|＝2＋2，|PF 2|＝2－2，求椭圆的标准方程； (2)若|PF 1|＝|PQ |，求椭圆的离心率e .解 (1)由椭圆的定义，有2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝(2＋2)＋(2－2)＝4，故a ＝2.设椭圆的半焦距为c ，由已知PF 1⊥PF 2，得2c ＝|F 1F 2| ＝|PF 1|2＋|PF 2|2 ＝(2＋2)2＋(2－2)2＝23，即c ＝3，从而b ＝a 2－c 2＝1. 故所求椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)连接QF 1，由椭圆的定义，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|QF 1|＋|QF 2|＝2a .从而由|PF 1|＝|PQ |＝|PF 2|＋|QF 2|，有|QF 1|＝4a －2|PF 1|.又由PF 1⊥PQ ，|PF 1|＝|PQ |，知|QF 1|＝2|PF 1|，因此，4a －2|PF 1|＝2|PF 1|.|PF 1|＝2(2－2)a ，从而|PF 2|＝2a －|PF 1|＝2a －2(2－2)a ＝2(2－1)a .由PF 1⊥PF 2，知|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝(2c )2，因此e ＝c a ＝|PF 1|2＋|PF 2|22a ＝ (2－2)2＋(2－1)2＝9－62＝6－ 3.题型4 直线与椭圆的综合问题角度1 利用直线与椭圆的位置关系研究椭圆的标准方程及性质典例(2014·全国卷Ⅱ)设F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，M 是C 上一点且MF 2与x 轴垂直．直线MF 1与C 的另一个交点为N .(1)若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率；(2)若直线MN 在y 轴上的截距为2，且|MN |＝5|F 1N |，求a ，b .本题(2)用代入法列出方程，用方程组法求解．解 (1)根据c ＝a 2－b 2及题设知M ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ， 2b 2＝3ac .将b 2＝a 2－c 2代入2b 2＝3ac ，解得c a ＝12或ca ＝－2(舍去)．故C 的离心率为12.(2)由题意，得原点O 为F 1F 2的中点，MF 2∥y 轴，所以直线MF 1与y 轴的交点D (0,2)是线段MF 1的中点，故b 2a ＝4，即b 2＝4a .①由|MN |＝5|F 1N |得|DF 1|＝2|F 1N |. 设N (x 1，y 1)，由题意知y 1<0，则⎩⎪⎨⎪⎧2(－c －x 1)＝c ，－2y 1＝2，即⎩⎨⎧x 1＝－32c ，y 1＝－1.代入C 的方程，得9c 24a 2＋1b 2＝1.②将①及c ＝a 2－b 2代入②得9(a 2－4a )4a 2＋14a ＝1.解得a ＝7，b 2＝4a ＝28，故a ＝7，b ＝27.角度2 利用直线与椭圆的位置关系研究直线及弦的问题典例 (2014·全国卷Ⅰ)已知点A (0，－2)，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF 的斜率为233，O 为坐标原点．(1)求E 的方程；(2)设过点A 的动直线l 与E 相交于P ，Q 两点．当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程．直线与椭圆构成方程组，用设而不求的方法求弦长，再求△OPQ 的面积．解 (1)设F (c,0)，由条件知，2c ＝233，得c ＝ 3. 又c a ＝32，所以a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝1.故E 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)当l ⊥x 轴时不合题意，故设l ：y ＝kx －2，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)．将y ＝kx －2代入x 24＋y 2＝1得(1＋4k 2)x 2－16kx ＋12＝0.当Δ＝16(4k 2－3)>0，即k 2>34时，x 1,2＝8k ±24k 2－34k 2＋1.从而|PQ |＝k 2＋1|x 1－x 2|＝4k 2＋1·4k 2－34k 2＋1.又点O 到直线PQ 的距离d ＝2k 2＋1，所以△OPQ 的面积 S △OPQ ＝12d ·|PQ |＝44k 2－34k 2＋1.设4k 2－3＝t ，则t >0，S △OPQ ＝4t t 2＋4＝4t ＋4t.因为t ＋4t ≥4，当且仅当t ＝2，即k ＝±72时等号成立，且满足Δ>0，所以，当△OPQ 的面积最大时，l 的方程为y ＝72x －2或y ＝－72x －2.方法技巧直线与椭圆相交时有关弦问题的处理方法1．合理消元，消元时可以选择消去y ，也可以消去x .见角度1典例．2．利用弦长公式、点到直线的距离公式等将所求量表示出来． 3．构造基本不等式或利用函数知识求最值．见角度2典例． 4．涉及弦中点的问题常用“点差法”解决．冲关针对训练(2015·陕西高考)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的半焦距为c ，原点O 到经过两点(c,0)，(0，b )的直线的距离为12c .(1)求椭圆E 的离心率；(2)如图，AB 是圆M ：(x ＋2)2＋(y －1)2＝52的一条直径，若椭圆E经过A ，B 两点，求椭圆E 的方程．解 (1)过点(c,0)，(0，b )的直线方程为bx ＋cy －bc ＝0，则原点O 到该直线的距离d ＝bc b 2＋c2＝bca ，由d ＝12c ，得a ＝2b ＝2a 2－c 2，解得离心率c a ＝32. (2)由(1)知，椭圆E 的方程为 x 2＋4y 2＝4b 2.①依题意，圆心M (－2,1)是线段AB 的中点，且|AB |＝10. 易知，AB 与x 轴不垂直，设其方程为y ＝k (x ＋2)＋1，代入①得 (1＋4k 2)x 2＋8k (2k ＋1)x ＋4(2k ＋1)2－4b 2＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8k (2k ＋1)1＋4k 2，x 1x 2＝4(2k ＋1)2－4b 21＋4k 2.由x 1＋x 2＝－4，得－8k (2k ＋1)1＋4k 2＝－4，解得k ＝12. 从而x 1x 2＝8－2b 2. 于是|AB |＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122|x 1－x 2| ＝52(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝10(b 2－2).由|AB |＝10，得10(b 2－2)＝10，解得b 2＝3.故椭圆E 的方程为x 212＋y 23＝1.1.(2017·浙江高考)椭圆x 29＋y 24＝1的离心率是( ) A.133 B.53 C.23 D.59答案 B解析 ∵椭圆方程为x 29＋y 24＝1，∴a ＝3，c ＝a 2－b 2＝9－4＝5.∴e ＝c a ＝53.故选B.2．(2017·河北衡水中学二调)设椭圆x 216＋y 212＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在椭圆上，且满足PF 1→·PF 2→＝9，则|PF 1|·|PF 2|的值为( )A ．8B ．10C ．12D ．15 答案 D解析由椭圆方程x 216＋y 212＝1，可得c 2＝4，所以|F 1F 2|＝2c ＝4，而F 1F 2→＝PF 2→－PF 1→，所以|F 1F 2→|＝|PF 2→－PF 1→|，两边同时平方，得|F 1F 2→|2＝|PF 1→|2－2PF 1→·PF 2→＋|PF 2→|2，所以|PF 1→|2＋|PF 2→|2＝|F 1F 2→|2＋2PF 1→·PF 2→＝16＋18＝34，根据椭圆定义得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝8，所以34＋2|PF 1||PF 2|＝64，所以|PF 1|·|PF 2|＝15.故选D.3．(2018·武汉调研)已知直线MN 过椭圆x 22＋y 2＝1的右焦点F ，与椭圆交于M ，N 两点．直线PQ 过原点O 且与直线MN 平行，直线PQ 与椭圆交于P ，Q 两点，则|PQ |2|MN |＝________.答案 2 2解析解法一：由题意知，直线MN 的斜率不为0，设直线MN ：x ＝my ＋1，则直线PQ ：x ＝my .设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，P (x 3，y 3)，Q (x 4，y 4).⎩⎨⎧x ＝my ＋1，x 22＋y 2＝1⇒(m 2＋2)y 2＋2my －1＝0⇒y 1＋y 2＝－2mm 2＋2，y 1y 2＝－1m 2＋2.∴|MN |＝1＋m 2|y 1－y 2|＝22·m 2＋1m 2＋2.⎩⎨⎧x ＝my ，x 22＋y 2＝1⇒(m 2＋2)y 2－2＝0⇒y 3＋y 4＝0，y 3y 4＝－2m 2＋2.∴|PQ |＝1＋m 2|y 3－y 4|＝2 2m 2＋1m 2＋2.故|PQ |2|MN |＝2 2. 解法二：取特殊位置，当直线MN 垂直于x 轴时，易得|MN |＝2b 2a ＝2，|PQ |＝2b ＝2，则|PQ |2|MN |＝2 2.4．(2015·安徽高考)设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，点O 为坐标原点，点A 的坐标为(a,0)，点B 的坐标为(0，b )，点M 在线段AB 上，满足|BM |＝2|MA |，直线OM 的斜率为510.(1)求E 的离心率e ；(2)设点C 的坐标为(0，－b )，N 为线段AC 的中点，点N 关于直线AB 的对称点的纵坐标为72，求E 的方程．解 (1)由题设条件知，点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫23a ，13b ，又k OM ＝510，从而b 2a ＝510，进而得a ＝5b ，c ＝a 2－b 2＝2b ，故e ＝c a ＝255.(2)由题设条件和(1)的计算结果可得，直线AB 的方程为x 5b ＋yb＝1，点N 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫52b ，－12b .设点N 关于直线AB 的对称点S 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1，72，则线段NS 的中点T 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫54b ＋x 12，－14b ＋74.又点T 在直线AB 上，且k NS ·k AB ＝－1，从而有⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧5b 4＋x 125b＋－14b ＋74b ＝1，72＋12b x 1－52b＝5，解得b ＝3.所以a ＝35，故椭圆E 的方程为x 245＋y 29＝1.[重点保分两级优选练]A 级一、选择题1．(2018·江西五市八校模拟)已知正数m 是2和8的等比中项，则圆锥曲线x 2＋y2m ＝1的焦点坐标为( )A ．(±3，0)B ．(0，±3)C ．(±3，0)或(±5，0)D ．(0，±3)或(±5，0)答案 B解析因为正数m 是2和8的等比中项，所以m 2＝16，则m ＝4，所以圆锥曲线x 2＋y 2m ＝1即为椭圆x 2＋y 24＝1，易知其焦点坐标为(0，±3)，故选B.2．(2017·湖北荆门一模)已知θ是△ABC 的一个内角，且sin θ＋cos θ＝34，则方程x 2sin θ－y 2cos θ＝1表示( )A ．焦点在x 轴上的双曲线B ．焦点在y 轴上的双曲线C ．焦点在x 轴上的椭圆D ．焦点在y 轴上的椭圆答案 D解析因为(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝916，所以sin θcos θ＝－732＜0，结合θ∈(0，π)，知sin θ>0，cos θ<0，又sin θ＋cos θ＝34＞0，所以sin θ＞－cos θ＞0，故1－cos θ＞1sin θ＞0，因为x 2sin θ－y 2cos θ＝1可化为y 2－1cos θ＋x 21sin θ＝1，所以方程x 2sin θ－y 2cos θ＝1表示焦点在y 轴上的椭圆．故选D.3．(2018·湖北八校联考)设F 1，F 2为椭圆x 29＋y 25＝1的两个焦点，点P 在椭圆上，若线段PF 1的中点在y 轴上，则|PF 2||PF 1|的值为( )A.514B.513C.49D.59答案 B解析由题意知a ＝3，b ＝5，c ＝2.设线段PF 1的中点为M ，则有OM ∥PF 2，∵OM ⊥F 1F 2，∴PF 2⊥F 1F 2，∴|PF 2|＝b 2a ＝53.又∵|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6，∴|PF 1|＝2a －|PF 2|＝133，∴|PF 2||PF 1|＝53×313＝513，故选B.4．(2017·全国卷Ⅲ)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线bx －ay ＋2ab ＝0相切，则C 的离心率为( )A.63B.33C.23D.13答案 A解析由题意知以A 1A 2为直径的圆的圆心为(0,0)，半径为a . 又直线bx －ay ＋2ab ＝0与圆相切， ∴圆心到直线的距离d ＝2ab a 2＋b2＝a ，解得a ＝3b ， ∴b a ＝13，∴e ＝ca ＝a 2－b 2a ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝63.故选A. 5．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与双曲线x 2m 2－y 2n 2＝1(m >0，n >0)有相同的焦点(－c,0)和(c,0)，若c 是a ，m 的等比中项，n 2是2m 2与c 2的等差中项，则椭圆的离心率为( )A.32B.22C.12D.14答案 C解析因为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与双曲线x 2m 2－y 2n 2＝1(m >0，n >0)有相同的焦点(－c,0)和(c,0)，所以c 2＝a 2－b 2＝m 2＋n 2.因为c 是a ，m 的等比中项，n 2是2m 2与c 2的等差中项，所以c 2＝am,2n 2＝2m 2＋c 2，所以m 2＝c 4a 2，n 2＝c 4a 2＋c 22，所以2c 4a 2＋c 22＝c 2，化为c 2a 2＝14，所以e ＝c a ＝12.故选C.6．(2017·荔湾区期末)某宇宙飞船运行的轨道是以地球中心为一焦点的椭圆，测得近地点距地面m 千米，远地点距地面n 千米，地球半径为r 千米，则该飞船运行轨道的短轴长为( )A ．2(m ＋r )(n ＋r )千米 B.(m ＋r )(n ＋r )千米 C ．2mn 千米 D ．mn 千米答案 A解析 ∵某宇宙飞船的运行轨道是以地球的中心F 2为一个焦点的椭圆，设长半轴长为a ，短半轴长为b ，半焦距为c ，则近地点A 距地心为a －c ，远地点B 距地心为a ＋c . ∴a －c ＝m ＋r ，a ＋c ＝n ＋r ， ∴a ＝m ＋n 2＋r ，c ＝n －m 2.又∵b 2＝a 2－c 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋n 2＋r2－⎝ ⎛⎭⎪⎫n －m 22＝mn ＋(m ＋n )r ＋r 2＝(m ＋r )(n ＋r )．∴b ＝(m ＋r )(n ＋r )，∴短轴长为2b ＝2(m ＋r )(n ＋r )千米，故选A.7．(2017·九江期末)如图，F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点，A 和B 是以O 为圆心，以|OF 1|为半径的圆与该椭圆左半部分的两个交点，且△F 2AB 是等边三角形，则该椭圆的离心率为( )A.32B.12C.3－1D.22答案 C解析连接AF 1，∵F 1F 2是圆O 的直径，∴∠F 1AF 2＝90°，即F 1A ⊥AF 2，又∵△F 2AB 是等边三角形，F 1F 2⊥AB ， ∴∠AF 2F 1＝12∠AF 2B ＝30°，因此，在Rt △F 1AF 2中，|F 1F 2|＝2c ， |F 1A |＝12|F 1F 2|＝c ，|F 2A |＝32|F 1F 2|＝3c .根据椭圆的定义，得2a ＝|F 1A |＋|F 2A |＝(1＋3)c ，解得a ＝1＋32c ，∴椭圆的离心率为e ＝ca ＝3－1.故选C.8．(2018·郑州质检)椭圆x 25＋y 24＝1的左焦点为F ，直线x ＝a 与椭圆相交于点M ，N ，当△FMN 的周长最大时，△FMN 的面积是( )A.55B.655C.855D.455答案 C解析设椭圆的右焦点为E ，由椭圆的定义知△FMN 的周长为L ＝|MN |＋|MF |＋|NF |＝|MN |＋(25－|ME |)＋(25－|NE |)．因为|ME |＋|NE |≥|MN |，所以|MN |－|ME |－|NE |≤0，当直线MN 过点E 时取等号，所以L ＝45＋|MN |－|ME |－|NE |≤45，即直线x ＝a 过椭圆的右焦点E 时，△FMN 的周长最大，此时S △FMN ＝12×|MN |×|EF |＝12×2×45×2＝855，故选C.9．如图所示，内外两个椭圆的离心率相同，从外层椭圆顶点向内层椭圆引切线AC ，BD ，设内层椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，若直线AC 与BD 的斜率之积为－14，则椭圆的离心率为( )A.12B.22 C.32 D.34答案 C解析设外层椭圆方程为x 2(ma )2＋y 2(mb )2＝1(a >b >0，m >1)，则切线AC 的方程为y ＝k 1(x －ma )，切线BD 的方程为y ＝k 2x ＋mb ，则由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1(x －ma )，(bx )2＋(ay )2＝a 2b 2，消去y ，得(b 2＋a 2k 21)x 2－2ma 3k 21x ＋m 2a 4k 21－a 2b 2＝0.因为Δ＝(2ma 3k 21)2－4(b 2＋a 2k 21)(m 2a 4k 21－a 2b 2)＝0，整理，得k 21＝b 2a 2·1m 2－1. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 2x ＋mb ，(bx )2＋(ay )2＝a 2b 2，消去y ，得(b 2＋a 2k 22)x 2＋2a 2mbk 2x ＋a 2m 2b 2－a 2b 2＝0，因为Δ2＝(2a 2mbk 2)2－4×(b 2＋a 2k 22)(a 2m 2b 2－a 2b 2)＝0，整理，得k 22＝b 2a 2·(m 2－1)．所以k 21·k 22＝b 4a 4.因为k 1k 2＝－14，所以b 2a 2＝14，e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝34，所以e ＝32，故选C.10．(2018·永康市模拟)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)和圆x 2＋y 2＝b 2，若椭圆C 上存在点P ，使得过点P 引圆O 的两条切线，切点分别为A ，B ，满足∠APB ＝60°，则椭圆的离心率e 的取值范围是( )A ．0<e ≤32 B.12≤e <1 C.32<e <1 D.32≤e <1答案 D解析由椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)焦点在x 轴上，连接OA ，OB ，OP ，依题意，O ，P ，A ，B 四点共圆， ∵∠APB ＝60°，∠APO ＝∠BPO ＝30°，在直角三角形OAP 中，∠AOP ＝60°， ∴cos ∠AOP ＝b |OP |＝12，∴|OP |＝b12＝2b ，∴b <|OP |≤a ，∴2b ≤a ，∴4b 2≤a 2，由a 2＝b 2＋c 2，即4(a 2－c 2)≤a 2，∴3a 2≤4c 2，即c 2a 2≥34，∴e ≥32，又0<e <1， ∴32≤e <1，∴椭圆C 的离心率的取值范围是32≤e <1.故选D. 二、填空题11．(2017·湖南东部六校联考)设P ，Q 分别是圆x 2＋(y －1)2＝3和椭圆x 24＋y 2＝1上的点，则P ，Q 两点间的最大距离是________．答案 733解析依据圆的性质可知，P ，Q 两点间的最大距离可以转化为圆心到椭圆上点的距离的最大值加上圆的半径3，设Q (x ，y )，则圆心(0,1)到椭圆上点的距离为d ＝x 2＋(y －1)2＝－3y 2－2y ＋5＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋132＋163，∵－1≤y ≤1，∴当y ＝－13时，d 取最大值433，所以P ，Q 两点间的最大距离为d max ＋3＝733.12．(2018·广州二测)已知中心在坐标原点的椭圆C 的右焦点为F (1,0)，点F 关于直线y ＝12x 的对称点在椭圆C 上，则椭圆C 的方程为________．答案 5x 29＋5y 24＝1解析设F (1,0)关于直线y ＝12x 的对称点为(x ，y )，则⎩⎨⎧0＋y 2＝12×1＋x 2，y －0x －1×12＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝35，y ＝45，由于椭圆的两个焦点为(－1,0)，(1,0)，所以2a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫35－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫452＋⎝ ⎛⎭⎪⎫35＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝655，a ＝355，又c ＝1，所以b 2＝a 2－c 2＝95－1＝45，所以椭圆C 的方程为x 295＋y 245＝1，即5x 29＋5y 24＝1.13．(2018·江西五市联考)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，A ，B 为椭圆上的两点，线段AB 的垂直平分线交x 轴于点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 5，0，则椭圆的离心率e 的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫55，1 解析设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，x 1≠x 2，则⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－a 52＋y 21＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－a 52＋y 22，x 21a 2＋y21b 2＝1，x 22a 2＋y 22b2＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧2a 5(x 1－x 2)＝x 21－x 22＋y 21－y 22，y 21＝b 2－b2a 2x 21，y 22＝b 2－b 2a2x 22，所以2a 5(x 1－x 2)＝a 2－b 2a 2(x 21－x 22)，所以2a 35(a 2－b 2)＝x 1＋x 2.又－a ≤x 1≤a ，－a ≤x 2≤a ，x 1≠x 2，所以－2a <x 1＋x 2<2a ，则2a 35(a 2－b 2)<2a ，即b 2a 2<45，所以e 2>15.又0<e <1，所以55<e <1. 14．(2016·江苏高考)如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点，直线y ＝b2与椭圆交于B ，C 两点，且∠BFC ＝90°，则该椭圆的离心率是________．答案 63解析由已知条件易得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32a ，b 2，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫32a ，b 2，F (c,0)，∴BF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋32a ，－b 2，CF →＝⎝⎛⎭⎪⎫c －32a ，－b 2，由∠BFC ＝90°，可得BF →·CF→＝0，所以⎝⎛⎭⎪⎫c －32a ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋32a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 22＝0，c 2－34a 2＋14b 2＝0，即4c 2－3a 2＋(a 2－c 2)＝0，亦即3c 2＝2a 2，所以c 2a 2＝23，则e ＝c a ＝63.B 级三、解答题15．(2018·安徽合肥三校联考)已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为22，且椭圆经过圆C ：x 2＋y 2－4x ＋22y ＝0的圆心C .(1)求椭圆的方程；(2)设直线l 过椭圆的焦点且与圆C 相切，求直线l 的方程．解 (1)圆C 方程化为(x －2)2＋(y ＋2)2＝6，圆心C (2，－2)，半径r ＝ 6. 设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，则⎩⎨⎧4a 2＋2b 2＝1，1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫222，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝8，b 2＝4.所以所求的椭圆方程是x 28＋y 24＝1.(2)由(1)得椭圆的左、右焦点分别是F 1(－2,0)，F 2 (2,0)， |F 2C |＝(2－2)2＋(0＋2)2＝2<r ＝ 6.F 2在圆C 内，故过F 2没有圆C 的切线，所以直线l 过焦点F 1. 设l 的方程为y ＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k ＝0，点C (2，－2)到直线l 的距离为d ＝|2k ＋2＋2k |1＋k 2，由d ＝6，得|2k ＋2＋2k |1＋k2＝ 6. 化简，得5k 2＋42k －2＝0，解得k ＝25或k ＝－ 2.故l 的方程为2x －5y ＋22＝0或2x ＋y ＋22＝0.16．(2018·陕西咸阳模拟)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点P (2,1)，且离心率e ＝32.(1)求椭圆C 的方程；(2)直线l 的斜率为12，直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点．求△P AB 面积的最大值．解 (1)∵e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝34，∴a 2＝4b 2.又椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点P (2,1)， ∴4a 2＋1b 2＝1.∴a 2＝8，b 2＝2. 故所求椭圆方程为x 28＋y 22＝1.(2)设l 的方程为y ＝12x ＋m ，点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x ＋m ，x 28＋y 22＝1，整理得x 2＋2mx ＋2m 2－4＝0.∵Δ＝4m 2－8m 2＋16>0，解得|m |<2. ∴x 1＋x 2＝－2m ，x 1x 2＝2m 2－4. 则|AB |＝1＋14×(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝5(4－m 2).点P 到直线l 的距离d ＝|m |1＋14＝2|m |5. ∴S△P AB＝12d |AB |＝12×2|m |5×5(4－m 2)＝m 2(4－m 2)≤m 2＋4－m 22＝2.而且仅当m 2＝2，即m ＝±2时取得最大值． ∴△P AB 面积的最大值为2.17．(2018·兰州模拟)已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，左顶点为A ，左焦点为F 1(－2,0)，点B (2，2)在椭圆C 上，直线y ＝kx (k ≠0)与椭圆C 交于P ，Q 两点，直线AP ，AQ 分别与y 轴交于点M ，N .(1)求椭圆C 的方程；(2)以MN 为直径的圆是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由．解 (1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)， ∵椭圆的左焦点为F 1(－2,0)，∴a 2－b 2＝4. ∵点B (2，2)在椭圆C 上，∴4a 2＋2b 2＝1，解得a 2＝8，b 2＝4， ∴椭圆C 的方程为x 28＋y 24＝1.(2)依题意点A 的坐标为(－22，0)，设P (x 0，y 0)(不妨设x 0>0)，则Q (－x 0，－y 0)，由⎩⎨⎧y ＝kx ，x 28＋y 24＝1，得x 0＝221＋2k 2，y 0＝22k1＋2k2， ∴直线AP 的方程为y ＝k1＋1＋2k 2(x ＋22)，直线AQ 的方程为y ＝k1－1＋2k2(x ＋22)， ∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，22k 1＋1＋2k 2，N ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，22k 1－1＋2k 2， ∴|MN |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪22k 1＋1＋2k2－22k 1－1＋2k 2＝22(1＋2k 2)|k |. 设MN 的中点为E ，则点E 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，－2k ，则以MN 为直径的圆的方程为x 2＋⎝⎛⎭⎪⎫y ＋2k 2＝2(1＋2k 2)k 2，即x 2＋y 2＋22k y ＝4，令y ＝0得x ＝2或x ＝－2，即以MN 为直径的圆经过两定点P 1(－2,0)，P 2(2,0)．18．(2018·湖南十校联考)如图，设点A ，B 的坐标分别为(－3，0)，(3，0)，直线AP ，BP 相交于点P ，且它们的斜率之积为－23.(1)求点P 的轨迹方程；(2)设点P 的轨迹为C ，点M ，N 是轨迹C 上不同于A ，B 的两点，且满足AP ∥OM ，BP ∥ON ，求证：△MON 的面积为定值．解 (1)设点P 的坐标为(x ，y )，由题意得，k AP ·k BP ＝y x ＋3·y x －3＝－23(x ≠±3)，化简得，点P 的轨迹方程为x 23＋y 22＝1(x ≠±3)．(2)证明：由题意知，M ，N 是椭圆C 上不同于A ，B 的两点，且AP ∥OM ，BP ∥ON ，则直线AP ，BP 的斜率必存在且不为0.因为AP ∥OM ，BP ∥ON ，所以k OM ·k ON ＝k AP ·k BP ＝－23.设直线MN 的方程为x ＝my ＋t ，代入椭圆方程x 23＋y 22＝1，得(3＋2m 2)y 2＋4mty ＋2t 2－6＝0，①设M ，N 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则y 1，y 2是方程①的两根，所以y 1＋y 2＝－4mt 3＋2m 2，y 2y 2＝2t 2－63＋2m 2. 又k OM ·k ON ＝y 1y 2x 1x 2＝y 1y 2m 2y 1y 2＋mt (y 1＋y 2)＋t 2＝2t 2－63t 2－6m 2，所以2t 2－63t 2－6m 2＝－23，即2t 2＝2m 2＋3. 又S △MON ＝12|t ||y 1－y 2|＝12·|t |－24t 2＋48m 2＋723＋2m 2，所以S △MON ＝26t 24t 2＝62，即△MON 的面积为定值62.。

高考数学总复习第七章第十二节空间直角坐标系课件

d＝ x1－x22＋y1－y22＋z1－z22.
三、线段的中点坐标公式在空间直角坐标系 O－xyz 中，若 A(x1，y1，z1)，B(x2， y2，z2)，则线段 AB 的中点坐标为x1＋2 x2，y1＋2 y2，z1＋2 z2.
基础自测
1．在△ABC中，已知A(－1,3，－5)，B(3，－2,7)，若三角形
2．已知线段AB两端点坐标为A(2，－3,4)，B(2,5，－ 3)，则与线段AB平行的坐标平面( )
A．是xOy平面
B．是yOz平面
C．是xOz平面
D．不存在
解析：(x1，y1，z1)与(x2，y2，z2)中，x1＝ x2.
答案：B
3．(2011·佛山市南海一中检测)空间直角坐标系中，
A(6,0，－1)，B(3,5,7)，则|AB|＝_7__2___.
4．空间里点的对称规律：
规律1：关于坐标平面对称的两点的坐标的特点：
点P(x，y，z)关于xOy平面对称的点为P′(x，y，－z)；点 P(x，y，z)关于xOz平面对称的点为P′(x，－y，z); 点P(x，y，z) 关于yOz平面对称的点为P′(－x，y，z)．
规律2：关于坐标轴对称的两点的坐标的特点：
二、空间中两点的距离公式
设M1(x1，y1，z1)， M2(x2，y2，z2)，如图所示，则 |M1P|＝|x2－x1|，|PN|＝|y2－y1|，|NM2|＝|z2－z1|，|M1N|2 ＝|M1P|2＋|PN|2＝(x2－x1)2＋(y2－y1)2， |M1M2|2＝|M1N|2＋|NM2|2＝(x2－x1)2＋(y2－y1)2＋(z2－z1)2，点M1与M2间的距离为
4．设A(3,3,1)，B(1,0,5)，C(0,1,0)，AB的中点为M，则|CM|＝________.

2019-2020年高考数学考点通关练第七章平面解析几何52椭圆课件理

B.
15．[2017·湖北八校联考]设 F1，F2 为椭圆x92＋y52＝1 的
两个焦点，点 P 在椭圆上，若线段 PF1 的中点在 y 轴上，则
||PPFF21||的值为(
)
5
5
4
5
A.14 B.13 C.9 D.9
解析由题意知 a＝3，b＝ 5，c＝2.设线段 PF1 的中点
为 M，则有 OM∥PF2，∵OM⊥F1F2，∴PF2⊥F1F2，∴|PF2| ＝ba2＝53.又∵|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，∴|PF1|＝2a－|PF2|＝133，
故椭圆 E 的方程为 x2＋32y2＝1.
12．[2014·江西高考]过点 M(1,1)作斜率为－12的直线与椭圆 C：ax22＋by22＝1(a>b>0)相交于 A，B 两点，若 M 是线段
2 AB 的中点，则椭圆 C 的离心率等于____2____．
解析设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则ax212＋by212＝1，①
一点，且点 N(2,0)，线段 AN 的垂直平分线交 MA 于点 P，
则动点 P 的轨迹是(
)
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
解析点 P 在线段 AN 的垂直平分线上，故|PA|＝|PN|，又 AM 是圆的半径，
∴|PM|＋|PN|＝|PM|＋|PA|＝|AM|＝6>|MN|，由椭圆定义知，P 的轨迹是椭圆．
∴||PPFF12||＝53×133＝153，故选 B.
16．[2016·青岛模拟]已知以 F1(－2,0)，F2(2,0)为焦点的
椭圆与直线 x＋ 3y＋4＝0 有且仅有一个交点，则椭圆的长
轴长为(
)
A．3 2 B．2 6 C．2 7 D. 7

平面解析几何——高考数学考前模块强化练(含解析)

（8）平面解析几何——高考数学考前模块强化练学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题1．已知过点()2,A m -和(),4B m 的直线与直线210x y +-=平行，则m 的值为( )A.8- B.0C.2D.102．圆22:(3)(4)2C x y ++-=关于直线y x =对称的圆的方程为( )A.22(4)(3)2x y -++= B.22(4)(3)49x y -+-=C.22(4)(3)2x y ++-= D.22(4)(3)49x y +++=3．如图,平面四边形ABCD 中,//AB CD ,2AB CD ==1AD =.若A ,B 是椭圆1C 和双曲线2C 的两个公共焦点,C ,D 是1C 与2C 的两个交点,则1C 与2C 的离心率之积为( )11b <≤或b =C.11b -≤≤ D.11b -≤≤或b =6．已知点()4,1A ,()0,4B ,直线:310l x y --=( )7．3D 打印是快速成型技术的一种,通过逐层打印的方式来构造物体.如图所示的笔筒为3D 打印的双曲线型笔筒,该笔筒是由离心率为3的双曲线的一部分围绕其旋转轴逐层旋转打印得到的,已知该笔筒的上底直径为6cm,下底直径为8cm,高为8cm （数据均以外壁即笔筒外侧表面计算）,则笔筒最细处的直径为( )8．已知点()00,A x y 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>上位于第一象限内的一点,1F ,2F 分别为C 的左､右焦点,C 的离心率和实轴长都为2,过点A 的直线l 交x 轴于点01,0M x ⎛⎫⎪⎝⎭,交y 轴于点N ,过1F 作直线AM 的垂线,垂足为H ,则下列说法错误的是( )A.C 的方程为2213y x -=B.点N 的坐标为010,y ⎛⎫- ⎪⎝⎭C.OH 的长度为1,其中O 为坐标原点D.四边形12AF NF 面积的最小值为二、多项选择题9．已知曲线22:cos 1(0π)sin y Mx θθθ+=<<,则以下说法正确的是( )A.M 可能是两条平行的直线B.M 既不可能是抛物线,也不可能是圆C.M 不可能是焦点在y 轴上的双曲线D.当0θ<<10．某彗星的运行轨道是以太阳为一个焦点的椭圆.测得轨道的近日点（距离太阳最近的点）与太阳中心的距离为1d ,远日点(距离太阳最远的点)与太阳中心的距离为2d ,并且近日点,远日点及太阳中心在同一条直线上,则( )A.轨道的焦距为2d d +C.轨道的短轴长为2116y -=,则下列说法正确的是( )A.双曲线C 的实轴长为6B.双曲线C 的渐近线方程为34y x=±C.双曲线C 的焦点到渐近线的距离为4D.双曲线C 上的点到焦点距离的最小值为812．已知抛物线()2:20E x py p =>,过其准线上的点()1,1A --作E 的两条切线,切点分别为B ,C ,则下列说法正确的是( )A.抛物线E 的方程为22x y = B.AB AC⊥C.直线BC 的斜率为220y +-=三、填空题13．已知圆22:20C x y y +-=,过直线:10l x y ++=上任意一点P ,作圆的两条切线,切点分别为A , B 两点,则AB ∣的最小值为_________.14．设m ∈R ,已知直线()1:2220l m x my m +++-=,过点()3,4作直线2l ,且12//l l ,则直线1l 与2l 之间距离的最大值是__________.15．一动圆C 与圆外切,同时与圆222:4770C x y y +--=内切,则动圆C 圆心的轨迹方程为______.16．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点为F ,左、右顶点分别为1A ,2A ,PF x ⊥轴于点F ,且2PF QF =．当12A QA ∠最大时,点P 恰好在双曲线C 上,则双曲线C221:430C x y y +++=的离心率为___________．四、解答题17．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>,其中离心率为e =,求（1）双曲线C 的标准方程;（2）若直线l 与双曲线C 交于不同的两点M ,N ,且OM ON ⊥18．在平面直角坐标系中,已知圆22:48120C x y x y +--+=,圆N 过原点O 及点()2,0A -且与圆C 外切.(1)求圆N 的标准方程;(2)若过点A 的直线l 被两圆截得的弦长相等,求直线l 的方程.19．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的右焦点与点3,12P ⎛⎫⎪⎝⎭连线的斜率为2,且点(1,)e 在椭圆C 上(其中e 为C 的离心率).（1）求椭圆C 的标准方程.（2）已知点(2,0)D ,过点P 的直线l 与C 交于A ,B 两点,直线DA ,DB 分别交C 于M ,N 两点,试问直线MN 的斜率是否为定值?若是,求出该定值;若不是,请说明理由.20．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点()2,1P ,1F ,2F 分别为椭圆C 的左,右焦点,且12PF PF +=（1）求椭圆C 的标准方程;（2）点M ,N 是椭圆C 上与点P 不重合的两点,且以MN 为直径的圆过点P ,若直线MN 过定点,求出该定点;若不过定点,请说明理由．参考答案1．答案：A解析：由直线210x y +-=可得：21y x =-+，所以直线210x y +-=的斜率等于2-，因为过点()2,A m -和(),4B m 的直线与直线210x y +-=平行，所以过点()2,A m -和(),4B m的直线的斜率也是2-，2=-，解得：8m =-，故选：A.2．答案：A解析：22(3)(4)2x y ++-=表示以()3,4-为圆心,)3,4-关于直线y x =对称的点为(),a b ,则有340,2241,3a b b a -+⎧-=⎪⎪⎨-⎪=-⎪+⎩解得：4a =,3b =-,故所求圆的方程为22(4)(3)2x y -++=,故选：A.3．答案：C解析：由题意知四边形ABCD 为等腰梯形,如图,连接BD ,过点D 作,垂足为E ,则AE====DEB △中,2225BD DE BE =+=,所以1C 与2C的离心率之积为2222AB AB AB BD AD BD AD BD AD ⋅===+--.故选C.4．答案：DDE AB ⊥解析：曲线x=221(0)x y x +=≥,表示以(0,0)为圆心,半径等于1的半圆(位于y 轴及y轴右侧的部分),如图,当直线y x b =+经过点(0,1)A 时,1b =;当直线y x b =+经过点(0,1)-时,1b =-;当直线y x b =+和半圆相切时,由圆心到直线yx =+1,求得b =(舍去),或b =综上可得,11b -<≤,或b =故选:B.6．答案：C解析：如图,作出点B 关于直线l 的对称点B ',连接AB '延长交直线l 于点P ,此时点P 使在直线l 上另取点1P ,连接1P A ,1PB ,1PB111PB P A PB -=不妨设点(,)B m n ',则有:413,431022n m m n -⎧=-⎪⎪⎨+⎪⨯--=⎪⎩解得:3,3m n =⎧⎨=⎩即(3,3)B ',B A '===故选:C.7．答案：C解析：该塔筒的轴截面如图所示,以C 为笔筒对应双曲线的实轴端点,以OC 所在直线为x 轴,过点O 且与OC 垂直的直线为y 轴,建立平面直角坐标系,设A 与B 分别为上,下底面对应点.由题意可知,,,设()3,A m ,则()4,8B m -,,因为双曲线的离心率为3A x =4B x =8A B y y -=221(0,0)y a b b -=>>3=所以,所以方程可化简为,将A 和B 的坐标代入式可得,解得则笔筒最细处的直径为.故选：C.8．答案：B解析：对于A,因为222e a ⎧⎪==⎨⎪=⎩,解得1a =,b =所以其方程为2213y x -=,故A 正确;对于B,000200011AM y x yk x x x===--,所以令得直线l 交y 轴于点,故B 错误;对于C,直线的方程为,与直线AM 的方程联立解得,,故C 正确;对于D,四边形1AF NF 20000332F y y y y ⎛⎫⎛⎫+=+≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0y =时等号成立,故D 正确.b =()22288x y a -=*()*()222272812888m am a⎧-=⎪⎨--=⎪⎩m a ⎧⎪⎪⎨⎪=⎪⎩2a =00031x y x y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭0x =030,y ⎛⎫- ⎪⎝⎭1F H ()023y y x x -=+00002,2121x y H x x ⎛⎫-- ⎪--⎝⎭1=故选：B.9．答案：AB解析：A 项：当cos 0θ=即θ=21y =,1y =±为两条平行直线,正确．cos 0sin 22θθ=>⇒=,无解,由于无一次项,故不可能是抛物线,正确;C 项：由()0,πθ∈,sin 0θ>,为双曲线时cos 0θ<,此时焦点只能在y 轴上,错误;D 项：若M 是焦点在y 轴上的椭圆,则1sin 0sin 22cos θθθ>>⇒>无解,错误．10．答案：BC解析:由12a c d a c d -=⎧⎨+=⎩,解得a =则轨道的焦距为11．答案：AC2116y -=,可得3a =,4b =,则5c ==,对于A 中,双曲线C 的实轴长为26a =,所以A 正确;对于B 中,双曲线的渐近线方程为43b y x x a =±=±,所以B 不正确;对于C 中,设双曲线C 的右焦点(5,0)F ,不妨设一条渐近线方程为43y x =,即430x y -=,=2d d -==1212111d d d d -==-++可得焦点到渐近线的距离为4d ==,所以C 正确;对于D 中,根据双曲线的性质,可得双曲线上的点到焦点的最短距离为2c a -=,所以D 错误.故选：AC.12．答案：BCD解析：因为()1,1A --在准线上,所以准线方程为1y =-,所以2p =,抛物线E 的方程为24x y =,故A 错误;设直线()11y k x +=+,代入24x y =,得24440x kx k --+=,当直线与E 相切时,Δ0=,即210k k +-=,设AB ,AC 的斜率分别为1k ,2k 易知1k ,2k 是上述方程的两根,故121k k +=-,121k k =-所以AB AC ⊥,故B 正确;设()11,B x y ,()22,C x y ,则1x ,2x 分别是方程2114440x k x k --+=,2224440x k x k --+=的根,所以112x k =,222x k =所以()22121212121212442BCy y x x x x k k k x x x x --++=====--()121222x x k k +=+=-,121244x x k k ==-,()222121212122344x x x x x x y y +-++===,所以BC 的中点为31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭,直线BC 的方程为()12321y x -=-+,即220x y +-=,故D 正确.故选：BCD.解析：由题知圆22:20C x y y +-=的圆心为 (0,1), 半径为 1 , 如图所示221PA PC =-，12PBCA S PA AC =⨯⨯四边形当||PC 取最小值时,||AB 取最小值,此时(1,0)P -,||1PA =,||PC =min |AB =14．答案：5解析：由于直线()1:2220l m x my m +++-=,整理得：()()21220x y m x +-++=,故210,220,x y x +-=⎧⎨+=⎩解得1,1,x y =-⎧⎨=⎩即直线1l 恒过点()1,1-;则过点()3,4作直线2l ,且12//l l ,则最大距离5d ==.2121x +=解析：设动圆C 的圆心(),C x y ,半径为r ,又由圆221:430C x y y +++=得()221:21C x y ++=,圆心()10,2C -,半径11r =,由圆222:4770C x y y +--=得()222:281C x y +-=,圆心()20,2C ,半径29r =,21,9r CC r +=-210CC =,根据椭圆定义可得动圆C 圆心的轨迹为以1C ,C 221x b +=其中5a =,2c =,所以225421b =-=,2121x +=.2121x +=.解析：如图：因为PF x ⊥又2PF QF = ,所以Q 为PF 中点.因为12A QA ∠最大,所以经过1A ,2A 两点的圆与PF 相切于Q ,此时Q 点坐标为2,2b c a ⎛⎫⎪⎝⎭,圆心20,2b C a ⎛⎫ ⎪⎝⎭,22222222222224422b b CA CQ a c b b a a a c a a ⎛⎫⎛⎫=⇒+=⇒=⇒=⇒ ⎪ ⎪⎝-=⎭⎝⎭222255c e c aa ⇒⇒=⇒==214y -=;（2）证明见解析.解析：（1）由题设22222681c e a a b a b c ⎧==⎪⎪⎪-=⎨⎪+=⎪⎪⎩,可得2224a b ⎧=⎨=⎩,故双曲线C214y =;（2）由题设及双曲线渐近线,令直线:OM y kx=且k⎛∈⎝,则直线:ON y=则22124x yy kx⎧-=⎪⎨⎪=⎩,可得22(2)4k x-=,即2Mx=2My=221M Mx y==+同理可得2Nx=2N y=221N Nx y==+222114(1)kON k++==+18．答案：（1）22(1)(1)2x y++-=（2）360x y-+=或320x y-+=解析：（1）由题意知,圆N的圆心N在直线1x=-上,设(1,)N b-,半径为,因为圆N与圆C外切,且圆C的圆心(2,4)C,半径为r=+22(4)(b r+-=+①,又ON r==,即221b r+=②,由①得,42b-=,代入②得,2870b b-+=,解得1b=或7b=(舍),所以r=221)(1)2x y++-=.（2）当l的斜率不存在时,l的方程为：2x=-,与圆C相离,不符合题意.当l的斜率存在时,设为k,故l的方程为()2y k x=+,则圆心C到直线l的距离为：1d2因为圆的弦长一半与圆心到弦的距离的平方和等于圆的半径的平方,=21030k k -+=,解得3k =或k =60x y -+=或320x y -+=.19．答案：（1）222211a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩（2）直线MN 的斜率为定值,且定值为2-解析：（1）由题意可得222222210311c c a a b a b c-⎧-⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩解得222211a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩,（2）由题意可知直线l 的斜率不为0,设直线l 的方程为(1)x m y =-()11,A x y ,()22,B x y ,()33,M x y ,()44,N x y ,则直线DA 的方程为1122x x y y -=+.联立11222212x x y y x y -⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩整理得()()22111132220x y xy y y -+-+=则13y y =13132y y x =-.代入1122x x y y -=+,得131232322x x x -=+=-同理可得24232y y x =-,432x =-因为()()()()21211213214312123232323211232232MNy y y x y x y y x x k x x x x x x -------===-----1()()()21112112123332322222, y my m y my m m y y m y y m y y ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫--+---+ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥-⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦===---所以直线MN 的斜率为定值,且定值为2-.212y +=（2）直线MN 过定点,该定点坐标为63,55⎛⎫- ⎪⎝⎭2a =,解得a =将()2,1P 211b+=,解得22b =,212y +=;（2）当直线MN 的斜率不存在时,设(),M m n ,则(),N m n -,因为以MN 为直径的圆过点()2,1P ,则()()222,12,1450PM PN m n m n m m n ⋅=--⋅---=--+=,因为2248m n +=,故2242504m m m ⎛⎫---+= ⎪⎝⎭,解得m =因为M ,N 是椭圆C 上与点P 不重合的两点,所以2m ≠,故m =故此时直线MN的方程为65x =,当直线MN 的斜率存在时,设方程为y kx t =+,212y +=联立后,得到()222148480k x ktx t +++-=,设()11,M x y ,()22,N x y ,则12x x +=12x =其中()()()222222212121212224881414t k t y y kx t kx t k x x ktx x t k t k k -=++=+++=⋅-+=++()21212282214k t y y k x x t t k +=++=-+=+则()()()()1122121212122,12,1250PM PN x y x y x x x x y y y y ⋅=--⋅--=-++-++=,22222168250141414kt k t t k k k-+++-+=+++,整理得2212316520k kt t t -++-=,即()()2153210t k t k +-++=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦,解得12t k =-或()3215t k =-+,当12t k =-时,12y kx k =+-,即()12y k x -=-,此时直线MN 过定点()2,1,此时与点P 重合,不合要求,当()3215t k =-+时,()3215y kx k =-+,即3655y k x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭,此时直线MN 过定点63,55⎛⎫- ⎪⎝⎭,显然当直线MN 的斜率不存在,直线x =63,55⎫-⎪⎭,满足要求,综上,直线MN 过定点,该定点坐标为63,55⎛⎫- ⎪⎝⎭.。

椭圆-高考数学复习

∵|PA|－|PF2|≤|AF2|＝2，(当P在AF2延长线上时取等号)，∴|PF1|＋ |PA|＝6＋|PA|－|PF2|≤8.
第八章平面解析几何
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名师点拨： 1．椭圆定义的应用范围 (1)确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆． (2)解决与焦点有关的距离问题． 2．焦点三角形的应用椭圆上一点P与椭圆的两焦点组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长；利用定义和余弦定理可求|PF1||PF2|；通过整体代入可求其面积等．注：S△PF1F2＝b2tan∠F21PF2.
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双基自测题组一走出误区 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．( × ) (2)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆．( × ) (3)方程mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)表示的曲线是椭圆．( √ ) (4)ax22＋by22＝1(a>b>0)与ay22＋bx22＝1(a>b>0)的焦距相同．( √ )
[解析] 由椭圆的方程x92＋y52＝1 知，a＝3，c＝2，
∴|PF1|＋|PF2|＝2a＝6， ∴|PF1|·|PF2|≤|PF1|＋2 |PF2|2＝9，当且仅当|PF1|＝|PF2|＝3 时取等号， ∴|PF1|·|PF2|的最大值为 9.
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|F1F2|＝___2_c____
c e＝___a___∈(0,1)
______c_2_＝__a_2_－__b_2 _____

2018高考数学第8章平面解析几何第5节椭圆教师用书文北师大版

第五节椭圆[考纲传真] 1.了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质.3.理解数形结合思想.4.了解椭圆的简单应用．1．椭圆的定义(1)我们把平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的集合叫作椭圆．这两定点F1，F2叫作椭圆的焦点，两个焦点F1，F2间的距离叫作椭圆的焦距．(2)集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.①当2a>|F1F2|时，M点的轨迹为椭圆；②当2a＝|F1F2|时，M点的轨迹为线段F1F2；③当2a<|F1F2|时，M点的轨迹不存在．2．椭圆的标准方程和几何性质1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)平面内与两个定点F 1，F 2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．( ) (2)椭圆上一点P 与两焦点F 1，F 2构成△PF 1F 2的周长为2a ＋2c (其中a 为椭圆的长半轴长，c 为椭圆的半焦距)．( )(3)椭圆的离心率e 越大，椭圆就越圆．( ) (4)椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形．( ) [答案] (1)× (2)√ (3)× (4)√2．(教材改编)已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (1,0)，离心率等于12，则C 的方程是( )A.x 23＋y 24＝1 B ．x 24＋y 23＝1C.x 24＋y 22＝1 D ．x 24＋y 23＝1 D [椭圆的焦点在x 轴上，c ＝1.又离心率为c a ＝12，故a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝4－1＝3，故椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.]3．(2015·广东高考)已知椭圆x 225＋y 2m2＝1(m >0)的左焦点为F 1(－4,0)，则m ＝( )A ．2B ．3C ．4D ．9B [由左焦点为F 1(－4,0)知c ＝4.又a ＝5，∴25－m 2＝16，解得m ＝3或－3.又m >0，故m ＝3.]4．(2016·全国卷Ⅰ)直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为( )A.13 B ．12 C.23D ．34B [如图，|OB |为椭圆中心到l 的距离，则|OA |·|OF |＝|AF |·|OB |，即bc ＝a ·b2，所以e ＝c a ＝12.]5．椭圆x 24＋y 23＝1的左焦点为F ，直线x ＝m 与椭圆相交于点A ，B ，当△FAB 的周长最大时，△FAB 的面积是__________．3 [直线x ＝m 过右焦点(1,0)时，△FAB 的周长最大，由椭圆定义知，其周长为4a ＝8，即a ＝2，此时，|AB |＝2×b 2a ＝2×32＝3，∴S △FAB ＝12×2×3＝3.](1)如图851所示，一圆形纸片的圆心为O ，F 是圆内一定点，M 是圆周上一动点，把纸片折叠使M 与F 重合，然后抹平纸片，折痕为CD ，设CD 与OM 交于点P ，则点P 的轨迹是( )A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．圆图851(2)设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2＋y 2b2＝1(0<b <1)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E于A ，B 两点．若|AF 1|＝3|F 1B |，AF 2⊥x 轴，则椭圆E 的方程为__________.【导学号：66482393】(1)A (2)x 2＋32y 2＝1 [(1)由条件知|PM |＝|PF |.∴|PO |＋|PF |＝|PO |＋|PM |＝|OM |＝R >|OF |. ∴P 点的轨迹是以O ，F 为焦点的椭圆． (2)不妨设点A 在第一象限，设半焦距为c ，则F 1(－c,0)，F 2(c,0)．∵AF 2⊥x 轴，则A (c ，b 2)(其中c 2＝1－b 2,0<b <1)．又|AF 1|＝3|F 1B |，得AF 1→＝3F 1B →，设B (x 0，y 0)，则(－2c ，－b 2)＝3(x 0＋c ，y 0)， ∴x 0＝－5c 3且y 0＝－b23，代入椭圆x 2＋y 2b2＝1，得25c 2＋b 2＝9，①又c 2＝1－b 2，② 联立①②，得b 2＝23.故椭圆E 的方程为x 2＋32y 2＝1.][规律方法] 1.(1)利用椭圆的定义定形状时，一定要注意常数2a >|F 1F 2|这一条件． (2)当涉及到焦点三角形有关的计算或证明时，常利用勾股定理、正(余)弦定理、椭圆定义，但一定要注意|PF 1|＋|PF 2|与|PF 1|·|PF 2|的整体代换．2．求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法，具体过程是先定位，再定量，即首先确定焦点所在的位置，然后再根据条件建立关于a ，b 的方程组，若焦点位置不确定，可把椭圆方程设为Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0，A ≠B )的形式．[变式训练1] (1)已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且PF 1→⊥PF 2→.若△PF 1F 2的面积为9，则b ＝__________.(2)已知F 1(－1,0)，F 2(1,0)是椭圆C 的两个焦点，过F 2且垂直于x 轴的直线交C 于A ，B 两点，且|AB |＝3，则C 的方程为__________.【导学号：66482394】(1)3 (2)x 24＋y 23＝1 [(1)由定义，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，且PF 1→⊥PF 2→，∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝4c 2， ∴(|PF 1|＋|PF 2|)2－2|PF 1||PF 2|＝4c 2，∴2|PF 1||PF 2|＝4a 2－4c 2＝4b 2，∴|PF 1||PF 2|＝2b 2. ∴S △PF 1F 2＝12|PF 1||PF 2|＝12×2b 2＝9，因此b ＝3.(2)依题意，设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．过点F 2(1,0)且垂直于x 轴的直线被曲线C 截得弦长|AB |＝3，∴点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32必在椭圆上， ∴1a 2＋94b2＝1.① 又由c ＝1，得1＋b 2＝a 2.② 由①②联立，得b 2＝3，a 2＝4. 故所求椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.](2016·全国卷Ⅲ)已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：a 2＋b2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点，A ，B 分别为C 的左、右顶点．P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴．过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为( )A.13 B ．12 C ．23D ．34A [法一：设点M (－c ，y 0)，OE 的中点为N ，则直线AM 的斜率k ＝y 0a －c，从而直线AM的方程为y ＝y 0a －c(x ＋a )，令x ＝0，得点E 的纵坐标y E ＝ay 0a －c. 同理，OE 的中点N 的纵坐标y N ＝ay 0a ＋c. ∵2y N ＝y E ，∴2a ＋c ＝1a －c，即2a －2c ＝a ＋c ， ∴e ＝c a ＝13.法二：如图，设OE 的中点为N ，由题意知|AF |＝a －c ，|BF |＝a ＋c ，|OF |＝c ，|OA |＝|OB |＝a .∵PF ∥y 轴， ∴|MF ||OE |＝|AF ||AO |＝a －c a ，|MF ||ON |＝|BF ||OB |＝a ＋ca . 又|MF ||OE |＝|MF |2|ON |，即a －c a ＝a ＋c2a， ∴a ＝3c ，故e ＝c a ＝13.][规律方法] 1.与椭圆几何性质有关的问题要结合图形进行分析．2．求椭圆离心率的主要方法有：(1)直接求出a ，c 的值，利用离心率公式直接求解．(2)列出含有a ，b ，c 的齐次方程(或不等式)，借助于b 2＝a 2－c 2消去b ，转化为含有e 的方程(或不等式)求解．[变式训练2] (2015·福建高考)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点为F ，短轴的一个端点为M ，直线l ：3x －4y ＝0交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF |＋|BF |＝4，点M 到直线l 的距离不小于45，则椭圆E 的离心率的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，32 B ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，34C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，1 D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，1A [根据椭圆的对称性及椭圆的定义可得A ，B 两点到椭圆左、右焦点的距离为4a ＝2(|AF |＋|BF |)＝8，所以a ＝2.又d ＝|3×0－4×b |32＋－2≥45，所以1≤b <2，所以e ＝ca ＝1－b 2a2＝1－b 24.因为1≤b <2，所以0<e ≤32，故选A.]☞角度已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的半焦距为c ，原点O 到经过两点(c,0)，(0，b )的直线的距离为c2.图852(1)求椭圆E 的离心率；(2)如图852，AB 是圆M ：(x ＋2)2＋(y －1)2＝52的一条直径，若椭圆E 经过A ，B 两点，求椭圆E 的方程．[解] (1)过点(c,0)，(0，b )的直线方程为bx ＋cy －bc ＝0，则原点O 到该直线的距离d ＝bc b 2＋c 2＝bca，3分由d ＝12c ，得a ＝2b ＝2 a 2－c 2，解得离心率c a ＝32. 5分(2)由(1)知，椭圆E 的方程为x 2＋4y 2＝4b 2.①依题意，圆心M (－2,1)是线段AB 的中点，且|AB |＝10. 易知，AB 与x 轴不垂直，设其方程为y ＝k (x ＋2)＋1，代入①得(1＋4k 2)x 2＋8k (2k ＋1)x ＋4(2k ＋1)2－4b 2＝0. 8分设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8k k ＋1＋4k2，x 1x 2＝k ＋2－4b21＋4k2.由x 1＋x 2＝－4，得－8kk ＋1＋4k 2＝－4，解得k ＝12.从而x 1x 2＝8－2b 2. 10分于是|AB |＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122|x 1－x 2| ＝52x 1＋x 22－4x 1x 2＝b 2－.由|AB |＝10，得b 2－＝10，解得b 2＝3.故椭圆E 的方程为x 212＋y 23＝1. 12分☞角度2 由位置关系研究直线的性质(2015·全国卷Ⅱ)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的离心率为22，点(2，2)在C 上． (1)求C 的方程；(2)直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M .证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值．[解] (1)由题意有a 2－b 2a ＝22，4a 2＋2b2＝1，解得a 2＝8，b 2＝4. 3分所以C 的方程为x 28＋y 24＝1. 5分 (2)证明：设直线l ：y ＝kx ＋b (k ≠0，b ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x M ，y M ). 7分将y ＝kx ＋b 代入x 28＋y 24＝1，得(2k 2＋1)x 2＋4kbx ＋2b 2－8＝0. 9分故x M ＝x 1＋x 22＝－2kb 2k 2＋1，y M ＝k ·x M ＋b ＝b2k 2＋1. 于是直线OM 的斜率k OM ＝y M x M ＝－12k，即k OM ·k ＝－12.所以直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值. 12分[规律方法] 1.解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单．2．设直线与椭圆的交点坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝＋k 2x 1＋x 22－4x 1x 2]＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k 2y 1＋y 22－4y 1y 2](k 为直线斜率)．[思想与方法]1．椭圆的定义揭示了椭圆的本质属性，正确理解、掌握定义是关键，应注意定义中的常数大于|F 1F 2|，避免了动点轨迹是线段或不存在的情况．2．求椭圆方程的方法，除了直接根据定义外，常用待定系数法．当椭圆的焦点位置不明确而无法确定其标准方程时，设方程为x 2m ＋y 2n＝1(m >0，n >0，且m ≠n )可以避免讨论和烦琐的计算，也可以设为Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0，且A ≠B )，这种形式在解题中更简便．3．讨论椭圆的几何性质时，离心率问题是重点，常用方法： (1)求得a ，c 的值，直接代入公式e ＝c a求得；(2)列出关于a ，b ，c 的齐次方程(或不等式)，然后根据b 2＝a 2－c 2，消去b ，转化成关于e 的方程(或不等式)求解．[易错与防范]1．判断两种标准方程的方法是比较标准形式中x 2与y 2的分母大小．2．注意椭圆的范围，在设椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上点的坐标为P (x ，y )时，则|x |≤a ，这往往在求与点P 有关的最值问题中用到，也是容易被忽视而导致求最值错误的原因．3．椭圆上任意一点M 到焦点F 的最大距离为a ＋c ，最小距离为a －c .。