随机数学模型在估计水塔流量中的应用

随机数学模型在估计水塔流量中的应用
张先波
(三峡大学理学院，湖北宜昌443002)
1991年的美国大学生数学建模竞赛A题(A M C M l991A)，由于它是水库调度、自来水管理、公共场所的人流量估计等问题的代表，因此有许多文献对其进行了研究，但一般都是采用差分与拟合的方法。

而由于居民何时用水是无法准确的预报的，可能引起的水位的变化是随机事件，因此，可以以水容量作为随机变量，建立一个随机数学模型，不仅可以给出了水塔流量函数，同时还可以讨论水容量函数的数学期望。

1991年的美国大学生数学建模竞赛A题：某州的各用水管理机构要求各社区提供以每小时多少加仑计的用水率以及每天所用的总水量，但许多社区并没有测量流人或流出当地水塔的水量的设备，他们只能代之以每小时测量水塔中的水位，其精度在0．5％以内。

更为重要的是，无论什么时候，只要水塔中的水位下洚至4某一最低水位L时，水泵就启动向水塔重新充水直至某一最高水位，但也无法得到水泵的供水量的测量数据。

因此，在水泵正在工作时，人们不容易建立水塔中的水位与水泵工作时的用水量之间的关系。

水泵每天向水塔充水一次或两次，每次约二小时。

试估计在任何时刻，甚至包括水泵正在工作的时间内，水从水塔流出的流量，并估计一天的总用水量。

表1给出了某个真实小镇某一天的真实数据。

表l某小镇某天的水塔水位
时间水位时间水位时问水位时间水位
(秒1(001英尺)(杪)(0ol菇哟(秒){。

01蓖尺l f秒)e0ol j踅足)
03175252232795466363350718542767 33163110285432752490533260750212697
6635305432284269753936316779254水泵工作10619299435932水泵工作57254308782619水泵工作13937294739332水泵列#605743012859683475
l79212892394353550645542927988533397
212402850433183445685352842932703340表中以秒为单位给出开使测量的时间、水位(单位是0．01英尺j。

例如，3316秒，水箱中的水深是31f10英尺。

水箱是高40英尺、直径为57英尺的圆柱。

通常水泵当水位落到37英尺以下开始抽水而当水位回涨至35．5英尺时停止工作。

1数学模型
1．1问题分析
该问题要求由所给的观察数据，求出水塔任意时刻的流量函数f b并估计全天的总用水量。

困难之处在于两次水泵抽水期间没有观测数据，水泵的抽水速度也未知(尽管它可认为是一个常数)。

就一个水塔而言，虽然供水能力的大小是可知的(也许在设计建造时就已考虑)，但由于居民何时用水是无法准确的预报的，可能引起的水位的变化是随机事件，从而为了保持居民随时均可用水的水塔水位而随之启动水泵充水，也是随机的。

由于水塔的形状已知，所以，可把水位的数据转化为容量数据。

为此，把t B,寸#xl j水塔的水容量用随机变量x (t)表示，为了方便X(t)可只取整数(按整单位数计算，单位可适当的小～点)。

记如(t)为盖(t)≈的概率，n=O，1，…。

下面要在对水容量的增加和降低的概率作适当假设的基础上，寻求Pn(t)的变化规律，并由此得出水容量x(￡)的期望E(t)，用它们在随机意义下描述水塔水容量的变化状况。

12模型假设
若爿(t)；。

，对水容量在t到抖△t的增加和降低作如下假设(A t 很小)1)增加～个单位立的概率与△￡成正比，记作b。

△￡。

增J1D-
4820—09{ff-4…,rl(n 个单位立方及以上的概率为o(△z)(o(△订表示t的高阶无穷小)：2)降低～个单位立方的概率-S A t成正比，记作dnA t。

降低二个单位二立方及以上的概率为O(A t)；3)增加与降低是相互独立的事件；4)进j 一步，由于居民用水与当时的水位n无关(只要有水放出)，可设：d．-习t s ∽；而增加水位也与当时的水位几无关(可人为控制抽水速度决定)，6。

可描述：6砝“)。

13建模与求解
为了得到只扛)的方程，考察随机事件盖∽△计砩，根据假设1)～3)，与增加或降低一个单位立方水容量概率相比，增加或排放二个单位及以上水容量的概率和增加一个单位立方且排放一个单位立方水容量的概率可以忽略。

这样，X潞A t)‰可以分解为三个互不相容的事件之和：X(f)t≈～1且t内增加一个单位水容量：X(t)‰+1且A t内排放降低了一个单位的水容量；X(t)铘且△t内没有增加或降低。

按照全概率公式有
P。

(￡十△t b；％(￡l bd△}}如(￡巩△抖列t)(1—6，；△卜矗。

△t)(1)
从而得以￡)的微分方程．
粤2书。

如(￡M。

岛(￡卜(6知。

纠t)(2)特别地，在假设(4)下方程为
譬---A(￡瞻(f)眦(￡赡(￡卜(A(t札(￡)弘二(￡)(3)
若初始时刻“=0)水位为确定数量no，则只(t)的初始条件为
州0)_B蒜(4)
(3)式对于不同的n是一递推方程组，在条件(4)式下的求解过程非常复杂，并且没有简单的结果，但所要的不是(3)的解P。

(t)，而是爿(t)的期望E(t)，它可以由(3)、(4)直接得到。

按定义
E(t)=∑H P，(￡)(5)对(5)求导并将(3)代入得
盟}勘(f)∑nP．1(，)堆(f)∑”‰(f)-a(￡)ZnP,，(f)牛(^)∑，剜})(6)基于实际问题。

我们总有P。

“)=O(因为It0>>1)，且
∑_p：，(t)=1
故得嫂．(f)：A(f)叫(z)(7)
由(4)可得初始条件E(0)=凡口(8)
方程(7)在(8)下的解为
E(I)=巩)+(A(f)叫(f)胁(9)
．U
直观上，(9)9式也是合理的。

2模型的应用
下面应所建的模型来讨论A M C M l991A o水塔的特点就在于如果不抽水，水位就不会增加，不用水，水位就不会降低。

对于该水塔而言，取开始时刻为f_0时刻，此时的水容量为‰，可先求t时刻的水塔容量工(t)和流量“(f)l，进而得到A(f)。

再利用(9)式，就可以讨论Ⅳ(f)的期望E(t)了。

先来分析两次抽水的起止时间。

根假定，当水箱水位降至约27英尺时，开始抽水，而水位升至35．5英尺时停止。

所给的没有明确
指明水泵工作的起止时间，但注意到第一次抽水前的最后一个测量时刻32284秒，水位为26．97英尺。

因此可认为32284秒是第一次水泵工作开始时刻，在39332秒水泵仍在工作。

而39435秒时水泵已停止工作。

因此水泵是在这两个时刻之间停止工作的。

由于这两个时刻之差只有103秒，时间很短，因此可认为水泵于39435秒停止工作。

抽水时间约为7151秒=1．98639小时，与抽水时间约为两小时相吻合。

第二次抽水前最后观测时刻是75021秒，其水位为26．97英尺，也可以认为第二次抽水开始时刻为75021秒。

但水泵停止工作后的第一个观测时刻为85968秒，此时水位已回落到34．75英尺，说明水泵停止工作已有一段时间。

水泵停止工作的准确时间应在82649秒与85968秒之间，但这两个时刻相差近一个小时。

由于每次水泵工作约两小时，而从75201秒到82649秒已有2．11889小时。

所以可确定82649秒为水泵停止工作时间，此时水位可用数据为355英尺。

水泵的抽水速度可设为常数。

21数据预处理
为了便于后面分析讨论，将原始数据作一些转换，将时间单位换为小时，水箱水位高度转换为水箱水的体积(单位：加仑)。

由于1英尺=30．48cm，1加仑=3．785升，水箱直径为57英尺。

故当水箱水位为h时，水箱水容量为
脚f婴要旦船_12x3．048h／3．785(加仑)：19090．56h(加仑)、￡，
得转换后数据见表2中不带+号和”号的数据。

第一次抽水的起止时间及水量为
t l始=8．968(h)，X1始=514．8x103(力口仑)，
t l末=10．954∞)，X l来=6776x103(力口仑)
第二次抽水的起止时间及水量为：
t2始=20839∞)，X2始=514．8x103(力Ⅱ仑)，
t2末=22．958(h)，X2末=6776x103(力口仑)
22水箱容量变化函数X Q)
为了得到X(t)，使用三次样条插值(当然也可以使用其它方法)得到的表2数据和图1：
表2水量数据@括捅值补齐残缺的数捕
时问水擐时间水量时间水量时间水景
(h)(103G)(h)(1030)(h)(103G)(h)(103G1
06【)6．170015336129546395199595282 092l59377929525413．876622．420839514．8
1843583089585148149826046220156078165++ 295057l699815998809*4159045893229586776+ 387l5626109266767228*416826575．0238{；06634 497855210954677617932558．8249876485 5．900544．120336577190385426259086376其中，”为插值增补数据(下同)。

图l水塔容童三湟样
由图1可见，数据比较合乎实际。

23水箱的流量函数“(t)
水箱的流量灿(t)也有多种方法估计，如文【1】使用了8次多项式最小二乘拟合。

文【2】使用了样条最小二乘拟合。

文【3】使用了三次样条插值。

利用差分求某时刻的流量，令
肛(Ti)=|生嵴盟一
应用科技
其中t i+，与t。

表示相邻的两个观测时间，X(￡。

)表示t。

时刻水箱中的容量，T i表示两个相邻时刻的中点，弘(T；)表示T。

时刻的水箱流量，利用表2中不带”号的数据，使用三次样条插值得表3中不带’号的数据。

其中，带+号的数据为插值增补数据。

表3平均流量数锯(包括捕值补齐残缺的数搀》
时间水量时问水量时闻水量时间水量
(h)(103G)(h)(103G)(h)(10门)(h)(103G)
04605134636746508豁62134150185466203990152273
l3观01160528443510301314．429016094021．4270153599+
2396510298194695130415"1544301659442248651535‘挣+
3410597720104535158405+163650155098234190154013
442459485l i09400171366*173790146474244335l34598
543908676811,193518443018485014647425．4475118350
645059536812493519761l194985156352
水塔流量(t)--次样条函数
j K t)
o0068496，3+o3566l，‘2—23511t+134636
o0068496t3+037555，“2-l6765，+l l6052
—00267011，’、34-039639t n2．089333，+10298l
-04189t3+031517f，s2．01718t+9772
097268t‘3—0959l4r’2-082479，+9485l
—l3746t‘3+20012，“2+023238，+86768
408t“3—217t“2+0061688，+9．5368
—060457t“3+21153t“2+0．0062828t+88362
*0083736t“3+034063t n2+24094t+103013
—040676，“3．04：556t“2+21504t+18443
01409t“3．16458，“2+0．079027t+1976l l
14107，“3-1．2563，“2—2．5953，+185466
，11＼
-l7432，“3+3035t“2-0．7917r+16094
l0917，“3—22677t“2-0．013619t+165944
—019647t“3+075203t“2—14l l f+155098
02626t“3+015437t“2—0．49195t+146474
—08548l t’3+10257t“2+08I317t+146474
087037，“3一l5734t“2+025807t+156352
—020103，“3}077793f“2一O45823t+152273
039334t“3-l0434t“2-1．26t4-154013
039334f“3+0537，“2-21626f+134598
3358l3，“3-744651，。

2+247086t+6776
-56203，“3+184208，“2—269643，+6634从图2可看出居民用水的变化情况。

利用数值积分编程计算，求一天的总用水量及两个水泵工作时间段的总流量，可得一天的总用水量为：”=3318997(103加仑)。

两个水泵工作时间段的总流量：
vl=28．7864(x103加仑)
v2=32．9806(x103加仑)
1；￡
拇
’2}、
圈2水皤捻堇“力=改评繁
9_4水泵的抽水速度及A(￡)
设第一、二次抽水期间，水泵抽水速度分别为P1、P2。

则
阼A△c1X1+盘=964685(×103N@／小时)’
P2=雠十瓦v22=923929(×t03加仑／，J、吲
转们的得到(下转第53页)
丽豇而丽i赢再’雨i面
49
攥能看见水但不滴水为好，含水量为60％左右，算出锯末子和所需水量。

按所测每立方米锯末子的量拌料，加入盐和黄土，把菌放到计算好的水中，然后喷到混合好的锯末子中，拌均匀添到坑内，最后表面喷原菌1次，圈底做好了，夏季2～3d可以使用，冬天1周左右使用。

饲养2～3个月后，猪床底层成为自然繁殖状态，中部形成白色的菌体，其温度可达40～500C，猪粪发酵后成为猪的饲料。

饮用菌3d按1：100比例(原菌和水)，1周以后为1：300比例，每间隔1周比例上升300，直到1：2000比例为固定饮用量。

3发酵床养猪技术的优点
1)发酵床养猪，由于微生物在圈底充分分解和发酵粪便，使整个圈底没有臭味，解决了现代化养猪粪便处理的大难题。

2)发酵床养猪，借助有益微生物的作用将粪便转化成微生物食饵，变为猪的饲料。

3)节省饲料，降低成本。

由于圈底形成了微生物的环境条件，猪的胃肠内存在大量的有益微生物，可以协助消化没有被猪胃肠消化吸收的剩余饲料，在有益菌的作用下有了消化粗纤维的能力，在增加玉米秆的情况下，能代替30％～40％粮食饲料，转化成猪肉。

4)大大减少劳力。

用水泥为材料制成的现代化养猪场，猪粪便必须通过水冲洗以达到卫生效果，既浪费了水资源又投入了较强的体力。

利用发酵床养猪免除了水冲过程，1个人可以干过去3个人的活。

5)减少胃肠道疾病的发生。

由于有益微生物在猪的肠道内占据所有空间，致使有害微生物无法生存，大大降低了肠道疾病的发病率。

同
应用科技
时在冬暖夏凉的生态圈舍里，猪始终保持健康状态，这种又节省体力又清洁的圈舍，给猪提供了良好的生存空间。

总之，生物发酵床环保养猪技术是一种全新的养猪理念，与之相适应的养猪技术与传统的现代养猪技术相比有很大区别，是微生物工程技术在生态农业领域特别是养猪业中的典型应用。

虽然该项技术现在还处在发展初期，但它的经济性、环保性已充分显现，随着社会的发展和人们环保意识的增强，这一技术必将逐步成为今后养殖业采用的重要饲养方法之一。

【参考文献]
Ⅲ王文君．付月华生物发酵床技术在养殖工业中应用口1阍料工业，2001
【2】计峰．规模化养猪生产技术硼．动物营养学报，2003．
(上接第49页)
(P1=986811(加仑)／小时，t∈【8．598，10．954] a(t)={P2=92483．7(加仑)／小时，t∈[20．839，22958](12)【0，其他
25数学期望E(t)
由(9)式，得
I，幻一
l no一目f)={no—
n0--
【n0一
ddt)dt0≤t≤8．958。

“￡鼢964685(曲．958)8．958≤t≤10954
∥￡k+192．551110954≤t≤20．839n3) c一[t)t+192--551
1+923929(t-20839)2Q839≤t≤22958
f1
o／X(t)t+1925511+1957806，2958≤t≤24
其中nO=606．1，“(t)由三次样条函数(11)式表示。

时刻t的x (t)的期望E(t)可由编程计算。

表4是X(t)和E(t)两个数据的比较。

讨论E(t)的意义就在于提供了讨论误差的途径0、
表4x(t)和E(t)的数据比饺
紫x(t)目n时问刚¨E m (103G)(103G)(h)(103G)(10JG) 0606．1606．100012954639．5640．5006 0．921593．7593．67681387662246234684裟；583．O582．952314．982604．6605．4000 571．657150831590458935902160 3871562．6562．4921168265750575．8814 4978552．1552067917．9325588559．6533 5．900544l543963719．038542．6543．3637 7．001533．6533641l19959528．2529．0467 79295254525323620．8395】485l56126 |8958514．8514．683522．0156078165”o6l3085l 【9981599．8809*+600021922．9586776+6784125 10．926676．7228*4676226923．88066346642740 10．9546776678．448224．987648．56493566 120336577658．599625．908637．66383687
3结语
实验表明：所建的随机模型是有效的，不仅给出了水塔流量函数，同时给出了水容量函数的数学期望，为该问题的求解提供了新的方法，体现了对实际问题，数学建模的多样性与灵活性。

可用在水库调度、自来水管理、公共场所的人流量估计等方面。

作者简介：张先波，1976年生，男，汉族，湖北枝江人，硕士研究生，讲师，研究方向是应用数理统计，计算机辅助几何设计。

湖北省教育厅自然科学重点科研基金资助时013200613009)。

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