高中数学3.1.2指数函数(一)课件新人教B版必修

例 3 求下列函数的定义域与值域: 1 2 － x － 4 (1)y＝2 ;(2)y＝ |x|;(3)y＝4x＋2x＋1＋1. 3
解 (1)令 x－4≠0,得 x≠4.
∴定义域为{x|x∈R,且 x≠4}.
1 ∵ ≠0, x－4
∴2
1 1 x－4 ≠1,∴y＝2 x－4 的值域为{y|y>0,且
解 (1)、(5)为指数函数;
(2)自变量在底数上,所以不是; (3)底数－4<0,所以不是; (4)底数 x 不是常数,所以不是.
探究点二 指数函数的图象与性质 导引 为了研究指数函数的图象 ,我们来看下面两组指数函数 1 x 1 x x x 的图象 ,第一组 y＝ 2 ,y＝ 的图象;第二组 y＝ 3 ,y＝ 的 2 3 图象 .
1.下列各函数中,是指数函数的是 A.y＝(－3)x C.y＝3x
－1
( D )
B.y＝－3x 1 D.y＝ x 3
1x 解析 只有 y＝( ) 符合指数函数 y＝ax(a＞0 且 a≠1)的形式. 3
2.函数 f(x)＝ 1－2x的定义域是 A.(－∞,0] C.(－∞,0) B.[0,＋∞) D.(－∞,＋∞)
x
围内函数值不存在;
(2)如果
x 当x>0时，a ＝0， a＝0, x 当 x ≤ 0 时， a 无意义；
(3)如果 a＝1,y＝1x＝1,是个常值函数,没有研究的必要;
(4)如果 0<a<1 或 a>1 即 a>0 且 a≠1,x 可以是任意实数.
例 1 在下列的关系式中,哪些是指数函数,为什么？ (1)y＝2x＋2;(2)y＝(－2)x;(3)y＝－2x;(4)y＝πx; (5)y＝x2;(6)y＝(a－1)x(a>1,且 a≠2).
答 数. 定义域为 R, 值域为 {y|y>0}, 过 (0,1) 点 ,a>1 时为增函
数,0<a<1 时为减函数, 没有最值 , 既不是奇函数也不是偶函
小结
指数函数的图象与性质: a>1 0<a<1
图象
(1)定义域:R (2)值域:(0,＋∞ ) 性质 (3)过点(0,1),即 x＝ 0 时 ,y＝ 1 (4)在 R 上是增函数 (4)在 R 上是减函数
x 1. 指数函数的定义 :一般地 , 函数 y＝a (a>0,a≠1,x∈R)叫做
指数函数. 2.指数函数 y＝ax (a>0,a≠1)的图象过定点 (0,1). 3.指数函数 y＝ax (a>0,a≠ 1,x∈R),当 a>1 时,在(－∞,＋∞)上是 单调 增函数 ;当 0<a<1 时,在(－∞,＋∞)上是单调 减函数 .
1 x－ 1 ;(2)y＝ 3 5x－1.
解 (1)由 x－1≠0 得 x≠1,所以函数定义域为{x|x≠1}.
1 由 ≠0 得 y≠1,所以函数值域为{y|y>0 且 y≠1}. x－1 1 1 (2)由 5x－1≥0 得 x≥5,所以函数定义域为{x|x≥5}.
由 5x－1≥0 得 y≥1,所以函数值域为{y|y≥1}.
1.判断一个函数是否是指数函数 ,关键是看解析式是否符合 y＝ ax(a>0 且 a≠ 1)这一结构形式 ,即 ax 的系数是 1,指数是 x 且系 数为 1. 2.指数函数 y＝ ax(a>0 且 a≠ 1)的性质分底数 a>1,0<a<1 两种情 况 ,但不论哪种情况 ,指数函数都是单调的 . 3.由于指数函数 y＝ ax(a>0 且 a≠ 1)的定义是 R,即 x∈ R,所以 函数 y＝af(x)(a>0 且 a≠ 1)与函数 f(x)的定义域相同 . 4.求函数 y＝ af(x)(a>0 且 a≠ 1)的值域的方法如下: (1)换元 ,令 t＝f(x),并求出函数 t＝f(x)的定义域 ; (2)求 t＝f(x)的值域 t∈M; (3)利用 y＝ at 的单调性求 y＝at 在 t∈M 上的值域 .
[ 问题情境 ]
印度的舍罕国王打算重赏国际象棋的发明人 .这
位聪明的大臣说 :“陛下 ,请你在这张棋盘的第一个小格内 , 赏给我一粒麦子 ,在第二个小格内给两粒 ,在第三个小格内给 四粒 ,照这样下去 ,每一小格内都比前一小格加一倍 . 直到摆 满棋盘上 64 格” ,国王说:“ 你的要求不高 ,会如愿以偿的 ”. 于是 , 下令把一袋麦子拿到宝座前 ,计算麦粒的工作开始了 . 还没到第二十小格 ,袋子已经空了 ,一袋又一袋的麦子被扛到 国王面前来 ,但是 , 麦粒数一格接一格地增长得那样迅速 ,很 快看出 ,即使拿出来全印度的粮食 ,国王也兑现不了他对象棋 发明人许下的诺言 .想一想 ,共需要多少粒麦子？
小结 根据指数函数的定义, a 是一个常数,ax 的系数为 1,且 a＞0,a≠1.指数位置是 x,其系数也为 1,凡是不符合这些要求 的都不是指数函数.
跟踪训练 1
指出下列函数哪些是指数函数:
(1)y＝4x;(2)y＝x4;(3)y＝(－4)x; 1 x x (4)y＝x ;(5)y＝(2a－1) a> ，且a≠1. 2
解 只有 (4),(6) 是指数函数 , 因为它们满足指数函数的定 义;(1)中解析式可变形为 y＝2x· 22＝4· 2x,不满足指数函数的形 式 ;(2) 中底数为负 , 所以不是 ;(3) 中解析式多一负号 , 所以不 是;(5)中指数为常数,所以不是;(6)中令 b＝a－1,则 y＝bx,b>0 且 b≠1,所以是.
x x
1x y＝ 的图象关于 2
y 轴对称,y＝
1x 3 与 y＝ 的图象也关于 y 轴对称.所以能利用 y＝2x 或 y＝ 3 1x 1x x 3 的图象通过对称性画出 y＝2 或 y＝3 的图象.
问题 5 你能根据具体函数的图象抽象出指数函数 y＝ax 的哪 些性质？(定义域、值域、特殊点、单调性、最大(小)值、奇 偶性)
问题 1
图象分别在哪几个象限？这说明了什么？
答 图象分布在第一、二象限,说明值域为{y|y>0}.
问题 2 图象有什么特征？猜想图象的上升、下降与底数 a 有 怎样的关系？对应的函数的单调性如何？
答 它们的图象都在 x 轴上方,向上无限伸展,向下无限接近 于 x 轴;当底数大于 1 时图象上升,为增函数;当底数大于 0 小 于 1 时图象下降,为减函数.
3.1.2 指数函数(一)
【学习要求】 1.了解指数函数的实际背景 ,理解指数函数的概念; 2.掌握指数函数的图象及性质; 3.初步学会运用指数函数来解决问题. 【学法指导】 通过了解指数函数的实际背景 ,认识数学与现实生活及其他 学科的联系;通过展示函数图象 ,用数形结合的方法从具体到 一般地探索、概括指数函数的性质 .
且 2x>0,∴y>1.故 y＝4x＋2x＋1＋1 的值域为{y|y>1}.
小结 函数 y＝af(x)(a>0 且 a≠1)与函数 f(x)的定义域相同.求与
指数函数有关的函数的值域时,要利用指数函数本身的要求,并 利用好指数函数的单调性.
跟踪训练 3 求下列函数的定义域、值域: (1)y＝0.3
y≠1}.
(2)定义域为
2－ 3 3 |x| |x | x∈R.∵|x|≥0,∴y＝3 ＝2 ≥20＝1,故
y＝
2－|x| 的值域为{y|y≥1}. 3
(3)定义域为 x∈R.
由 y＝4x＋2x＋1＋1＝(2x)2＋2· 2x＋1＝(2x＋1)2,
问题 3 图象过哪些特殊的点？这与底数的大小有关系吗？
答 不论底数 a>1 还是 0<a<1,图象都过定点(0,1).
问题 4 函数图象有什么关系？可否利用 y＝2x 或 y＝3x 的图 1 x 1 x 象画出 y＝ 或 y＝ 的图象？ 2 3
答 通过图象看出 y＝2 与
答 表示成 y＝ax 的形式.
观察演示
小结 指数函数的定义:一般地,函数 y＝ax (a>0,a≠1,x∈R) 叫做指数函数.
问题 4 指数函数的定义中为什么规定了 a>0 且 a≠1?
答 将 a 如数轴所示分为:a<0,a＝0,0<a<1,a＝1 和 a>1 五部 分进行讨论:
1 1 (1)如果 a<0,比如 y＝(－4) ,这时对于 x＝ ,x＝ 等,在实数范 4 2
探究点一 指数函数的概念 问题 1 某种细胞分裂时,由 1 个分裂成 2 个,2 个分裂成 4 个,4 个分裂成 8 个,„,一个细胞分裂 x 次后,得到细胞的个数 为 y,则 y 与 x 的函数关系是什么呢？
答
x＝0,y＝1;x＝1,y＝2;x＝2,y＝2×2＝4;x＝3,y＝22×2＝
8,„,y＝2x.
1 π,f(－3)＝π ＝ . π
－1
小结 要求指数函数 f(x)＝ax(a>0 且 a≠1)的解析式,只需要 求出 a 的值,要求 a 的值,只需一个已知条件即可.
跟踪训练 2 已知指数函数 y＝(2b－3)ax 经过点(1,2),求 a,b 的 值.
解 由于函数 y＝(2b－3)ax 是指数函数,所以 2b－3＝1,即 b ＝2.将点(1,2)代入 y＝ax,得 a＝2.
例 2 已知指数函数 f(x)＝ax(a>0 且 a≠1)的图象过点(3,π),求 f(0),f(1),f(－3)的值.
解 将点(3,π),代入 f(x)＝ax,得到 f(3)＝π,即 a3＝π,解得:a＝ π
1 3 ,于是
x f(x)＝π 3 ,
0
所以 f(0)＝π ＝1,f(1)＝π
1 3 3＝
问题 2 一种放射性物质不断衰变为其他物质,每经过 1 年剩留 的质量约是原来的 84%.这种物质的剩留量随时间(单位:年) 变化的函数关系是怎样的？