全等三角形的规律方法

C B
A F E D
E
D B A
全等三角形的规律方法
一、 全等三角形变换的形式：
（1） 平移型：DEF ABC ∆≅∆，则AB=DE ； 若将DEF ∆向左平移，则仍有DE AB =。

若知DE AB =，则有BE AD =。

（2）旋转型：
（3）翻折型： 练习：
ABC ∆绕点C 旋转︒60得到C B A ''∆。

①C B A ''∆与ABC ∆全等吗？
②如,30,20︒=∠︒=∠B ACB 则'
'
CB A ∠等于多少度？
'A ∠与'ACB ∠等于多少度？
二、 运用全等证两线段相等 1、 点C 是AB 中点
，
,,CE CD BCD ACE =∠=∠
求证：CG CF = 2、
AC AB ⊥，AE AD AE AD AC AB =⊥=,,
求证：CD BE =
C
B A F E
D O
D
C B
A
E
D
C
B
A
D
C
B
A
B A C
B
A
G
A
D
C
B
F
E
E
A D
C
B
2、 在
ABC
∆和
ADE
∆中，
︒=∠=∠=90,EAD CAB AB AC ， AE AD =，求证：(1)BD CE =
(2)BD CE ⊥
三、 三角形全等的条件的选用 1、 已知一边一角对应相等 2、 已知两角对应相等 3、 已知两边对应相等
练习：已知.,DB AC CD AB ==
求证：ACD ABD ∠=∠
四、 两个三角形不一定全等的情况 （1） 在两个三角形中三对边和三对内角相等 这六个元素中满足其中一个或两个对应相等， 这两个三角形不一定全等
（2） 有两边和其中一边的对角对应相等的 两个三角形不一定全等
（3） 有三个角对应相等的两个三角形不一定全等 练习：在下列条件中，不能证明ACD ABD ∆≅∆ 的是（ ）
AC AB DC BD A ==,.
DC BD ADC ADB B =∠=∠,. CAD BAD C B C ∠=∠∠=∠,. DC BD C B D =∠=∠,.
五、 巧添辅助线构造全等三角形
（1） 利用倍长中线法构造全等三角形
练习：1、如图所示，ABC ∆中，AD AC AB ,3,5== 是BC 边的中线，求AD 的取值范围
（2） 利用平行线构造全等三角形
M A
E
D
C
B
C
B O A
D
A
C
B
D
D
C
A
B
练习：CF BE AC AB ==,
求证：DF DE =
（3） 利用连结法构造全等三角形
练习：CD AB BD AC ==,
求证：OD OA =
（4） 利用角平分线构造全等三角形
练习：在ABC ∆中，BD C BC AB ,90,︒=∠= 是ABC ∠的平分线，若点A 到直线BD 的距 离AD 为4，求BE 的长。

（5）利用截长补短法构造全等三角形 练习：已知：BE AE BD AC ,,//分别平分
CAB ∠和DAB ∠，求证：BD AC AB +=
六、 运用全等的判定解决开放型问题 （1） 条件开放
练习：点E C F B ,,,在同一条直线上，E B CE BF ∠=∠=,
① 请你只添加一个条件（不再添加辅助线） ② 使
,DEF ABC ∆≅∆你添加的条件是 。

②添加了条件后，证明：,DEF ABC ∆≅∆
A
E
D
B C
F
B
A D
C B
E
A
D
C
B
E
F O
D
C B
A
1、 条件、结论同时开放问题
2、 练习：如图，,,AC DF AB DE ⊥⊥请你从下面三个 条件中，再选出两个作为已知条件，另一个作为结论， 推出一个正确的命题。

①;AC AB =②CD BD =③CF BE =
七、 运用三角形全等的判定解决动态问题
1、 已知正方形ABCD 中，E 为对角线BD 上一点，过E 点作 EF ⊥BD 交BC 于F ，连接DF ，G 为DF 中点，连接EG ，CG ． （1）直接写出线段EG 与CG 的数量关系；
（2）将图1中△BEF 绕B 点逆时针旋转45º，如图2所示， 取DF 中点G ，连接EG ，CG ．你在（1）中得到的结论是否 发生变化？写出你的猜想并加以证明．
（2） 将图1中△BEF 绕B 点旋转任意角度，如图3所示， 再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？
2、数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD 是正方形， 点E 是边BC 的中点．90AEF ∠=，且EF 交正方形外角DCG ∠的平 行线CF 于点F ，求证：AE=EF ．经过思考，小明展示了一种正确的解题 思路：取AB 的中点M ，连接ME ，则AM=EC ，易证AME ECF △≌△， 所以AE EF =．在此基础上，同学们作了进一步的研究：
（1） 小颖提出：如图2，如果把“点E 是边BC 的中点”改为“点E 是 边BC 上（除B ，C 外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF ” 仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确， 请说明理由；
A D
C
B
E
F
D
图1
B
D 图
2
图3
D
（2） 小华提出：如图3，点E 是BC 的延长线上 （除C 点外）的任意一点，其他条件不变，结论 “AE=EF ”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？ 如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．
3、 如图1，已知△ABC 中，AB ＝BC ＝1，∠ABC ＝90°， 把一块含30°角的直角三角板DEF 的直角顶点D 放在 AC 的中点上（直角三角板的短直角边为DE ，长直角边 为DF ），将直角三角板DEF 绕D 点按逆时针方向旋转． （1）在图1中，DE 交AB 于M ，DF 交BC 于N ． 证明DM =DN ；
(2)继续旋转至如图2的位置，延长AB 交DE 于M ， 延长BC 交DF 于N ，DM ＝DN 是否仍然成立？若成立， 请给出证明；若不成立，请说明理由；
(3)继续旋转至如图3的位置，延长FD 交BC 于N ， 延长ED 交AB 于M ，DM ＝DN 是否仍然成立？ 答： （请写出结论，不用证明．）
变式1：操作：在△ABC 中，AC =BC =2，∠C =90°． 将一块足够大的等腰直角三角板的直角顶点放在斜 边AB 的中点P 处，将三角板绕点P 旋转，三角板 的两直角边分别交射线AC 、CB 于D 、E 两点．
如图①②③是旋转三角板得到的图形中的3种情况．
A
D
F
C G
E B 图1
A
D
F C G
E B 图2 A
D
F
C G
E B 图3
图1 图2
图3
（1）三角板绕点P旋转，当PD⊥AC时，如图①，
四边形PDCE是正方形，则PD=PE．当PD与AC
不垂直时，如图②、③，PD=PE还成立吗？并选择
其中的一个图形证明你的结论．
（2）三角板绕点P旋转，△PEB是否成为等腰三角形？
若能，求出此时CE的长；若不能，请说明理由．
（3）若将三角板的直角顶点放在斜边AB上的M处，
且AM：MB=1：3，
和前面一样操作，如图④，试问线段MD和ME之间
有什么数量关系？并结合图形加以证明．
图1 图2 图3 图4
变式2：图中是一副三角板，45°的三角板Rt△DEF的
直角顶点D恰好在30°的三角板Rt△ABC斜边AB的中
点处，∠A＝30°，∠E＝45°，∠EDF＝∠ACB＝90°，
DE交AC于点G，GM⊥AB于M．
图①图②
（1）如图①，当DF经过点C时，作CN⊥AB于N，求证：AM＝DN；（2）如图②，当DF∥AC时，DF交BC于H，作HN⊥AB于N，（1）的结论仍然成立，请你说明理由．。