1无穷小的比较
无穷小的比较
(4). ϕ ( x ) ⋅ o( x n ) = o( x n )
China Institute of Industrial Relations
第 二 章
(1 + x 2 ) − 1 例6 求 lim x →0 cos x − 1
2
1 3
1 3
Calculus
1 2 1 2 解 当x → 0时, (1 + x ) − 1 ~ x , cos x − 1 ~ x 3 2 1 2 1 x 2 (1 + x 2 ) 3 − 1 3 ∴ lim = lim =− x→0 x→0 1 2 cos x − 1 3 − x 2 tan x − sin x 例7 求 lim . 3
x
(1 + x )α − 1 ~ αx
注
1. 上述10个等价无穷小（包括反、对、幂、 指、三）必须熟练掌握
2.将x换成∀f ( x ) → 0都成立
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第 二 章
Calculus
用等价无穷小可给出函数的近似表达式:
定理1 β 与 α 是等价无穷小的的充分 必要条件
1 1 1 u ⋅ u ⋅L⋅ u 1 n 2 3 = = lim n −1 u→ 0 n! u
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第 二 章
Calculus
tan x − sin x 1. 求 lim . 3 x →0 sin 2 x
函数与极限一无穷小的比较
无穷小具有传递性
01
若lim(x->x0)f(x)=0，lim(x->x0)g(x)=0，则lim(x-
>x0)f(x)+g(x)=0。
无穷小与常数相乘仍为无穷小
02
若lim(x->x0)f(x)=0，且c为常数，则lim(x->x0)cf(x)=0。
无穷小与有界函数的商仍为无穷小
03
若lim(x->x0)f(x)=0，g(x)在x0的某去心邻域内有界，则lim(x-
无穷小在函数中的运用
01
无穷小是数学中的一个概念，表示一个非常小的正数，通常 记为0。
02
在函数的极限计算中，无穷小扮演着重要的角色。例如，在 求函数在某点的导数时，需要用到无穷小的概念和性质。
03
无穷小在函数的连续性、可导性、积分等概念中也有广泛应 用，是微积分学中的基础概念之一。
无穷小与函数极限的关系
02
无穷小可以用来描述物理量在某一时刻的极值或突变，例如 瞬时速度达到最大或最小值。
03
在连续介质力学中，无穷小可以表示物质点的运动和变化， 例如流体的速度场、温度场等。
无穷小与其他数学概念的关系
01 无穷小是微积分的基本概念之一，与导数、积分、 级数等概念密切相关。
02 无穷小是函数极限的基础，极限的定义和性质都 离不开无穷小。
无穷小在解决实际问题中的应用
要点一
利用无穷小近似计算
要点二
无穷小在解决物理问题中的应用
在解决实际问题时，我们常常需要计算一些复杂的数学表 达式。利用无穷小的性质，我们可以将复杂的数学表达式 近似为简单的形式，从而简化计算过程。
在物理学中，许多概念和公式都涉及到无穷小的概念。例 如，在研究物体的运动规律时，我们需要利用无穷小的概 念来描述物体的微小位移和速度。通过理解无穷小的概念 ，我们可以更好地理解物理学的原理和应用。
1-6无穷小的比较
常用等价无穷小关系 根据等价无穷小的定义,可以证明,当 x 0 时, 有下列常用等价无穷小关系:
sin x ~ x arcsin x ~ x
ln(1 x ) ~ x ex 1 ~ x
1 x2 1 cos x ~ 2 (1 x ) 1 ~ x ( R)穷小 ( x ) 代替 x , 等价关系依
然成立. 例如 x 1 时, 有 ( x 1) 0, 从而
2
sin( x 1) 2 ~ ( x 1)2
( x 1).
二 等价无穷小替换定理
~ ' , ~ ' , 且 lim ' 存在, 则 设 ' ' lim lim . ' ' ' 证 lim lim( ) ' ' a ' ' lim ' . lim lim lim ' ' a '
x
tan x ~ x arctan x ~ x
注: 当 x 0 时, x 为无穷小,在常用等价无穷小
中, 用任意一个无穷小 ( x ) 代替 x , 等价关系依
然成立.
例1
证明： x 1 ~ x ( x 0). e
x
证 令 y e 1, 则 x ln(1 y ), 且 x 0 时，
x0
sin 5 x
解 当 x 0 时，tan 2 x ~ 2 x , sin 5 x ~ 5 x. 故 lim tan 2 x lim 2 x 2 .
x 0
sin 5 x
x 0
5x
5
例 3 求 lim tan x sin x . 3
无穷小的比较
无穷小的比较是两个数都是无穷小，可以比较相对大小。
无穷小量是数学分析中的一个概念，在经典的微积分或数学分析中，无穷小量通常以函数，序列等形式出现，无穷小量即以数0为极限的变量，无限接近于0。
确切地说，当自变量x无限接近x0或x的绝对值无限增大时，函数值fx与0无限接近，即fx，0或fx等于0，则称fx为当x，x0或x，∞时的无穷小量，特别要指出的是，切不可把很小的数与无穷小量混为一谈。
无穷小的性质无穷小量不是一个数，它是一个变量，零可以作为无穷小量的唯一一个常量，无穷小量与自变量的趋势相关，若函数在某的空心邻域内有界，则称g 为当时的有界量。
有限个无穷小量之和仍是无穷小量，有限个无穷小量之积仍是无穷小量，有界函数与无穷小量之积为无穷小量，特别地，常数和无穷小量的乘积也为无穷小量，恒不为零的无穷小量的倒数为无穷大，无穷大的倒数为无穷小。
工具/原料
笔（各种笔均可）纸（各种纸均可）
方法/步骤1 引例无穷小的多样性，如何比较？ 2 回顾无穷小的定义明确多阶无穷小和等价无穷小的定义 3 学习无穷小的定理1 基于等价无穷小 4 学习无穷小的定理2 基于等价无穷小 5 由等价无穷小，简化的极限运算规则。
和差取大规则，和差替代规则 6 由等价无穷小，简化的极限运算规则。
因式替代规则7 学习例题，反复联系。
8 仔细认真，举一反三！。
1-7无穷小比较
第七节 无穷小的比较
都是无穷小, x →0时, 3x, x2 , sin x 都是无穷小 但 引例 .
sin x 1 x2 lim = , lim = 0, x→0 3x 3 x→0 3x sin x lim 2 = ∞, x→0 x
可见无穷小趋于 0 的速度是多样的 .
是自变量同一变化过程中的无穷小, 定义. 定义 设 α , β 是自变量同一变化过程中的无穷小
3 5 lim ln(1 + 2 ) ⋅ ln(1 + ) 3ln 2 x → +∞ x
x
是无穷小， 三、证明：若α , β 是无穷小，则α ~ β ⇔ α − β = 0(α ) . 证明： 四、设 f(x)= lim
2 n→ ∞ x 2n + 1 求：1、 f ( x ) 的表达式 . 的值, 2、确定 a, b 的值,使得lim f ( x ) = f (1) ，
x 1 + x sin x − 1 ∞ 4、lim =________. 2 x→0 x arctan x x n x 5、lim 2 sin n =________. n→ ∞ 2
1 n
x→0
a (1 + ax ) − 1 6、lim =_________. x→0 x n
7、当 x → 0 时， a + x 3 − a (a > 0) _______阶无穷小 对于 x 是_______阶无穷小 . 3 0 等价， 8、当 x →1 时，无穷小 1 − cos x 与 mx n 等价，则 m = _______, n _______ . 2 ： 2 求下列各极限： 二、求下列各极限 1 tan x − sin x ； 1、lim 3 x→0 sin x 2 eα − e β 2、 lim ； eβ α →β α − β sin αx − sin βx α − β ； 3、lim x→0 x tan x − tan a 4、lim ；sec2 α x→a x−a
无穷小的比较公式
无穷小的比较公式无穷小比较是微积分中的一个重要概念，用来比较无穷小的大小。
在学习微积分时，我们经常会遇到一些涉及到无穷小的极限问题，而比较无穷小的大小关系就成为解决这些问题的关键。
首先，我们来回顾下无穷小的定义。
如果一个数列{a_n}对于任意正实数ε，都存在正整数N，使得当n>N时，有，a_n，<ε成立，则称该数列{a_n}为无穷小。
换句话说，数列的极限为零时，我们称它为无穷小。
对于无穷小的比较，我们有以下几个基本的比较原则：1.同类无穷小的比较：如果{a_n}和{b_n}是两个无穷小数列，并且对于任意正实数ε，存在正整数N，当n>N时，有，a_n，<，b_n，<ε成立，则称{a_n}的无穷小阶比{b_n}的无穷小阶低。
2.常数和无穷小的比较：对于任意确定的有限实数a ≠ 0，若 {b_n} 是一个无穷小数列，那么 ab_n (n > N) 是一个相对于 {b_n} 的同类无穷小，其无穷小阶相同。
3.多项式和无穷小的比较：对于一个n次多项式P(x)和一个无穷小数列{a_n}，如果存在正整数N和正实数M，使得当n>N时，有，a_n，<M*，P(x)，成立，则称{a_n}为P(x)的更高阶无穷小。
使用这些比较原则，我们可以解决一些与无穷小相关的极限问题。
下面举几个例子来说明。
例子1：求极限 lim(n -> ∞) (e^n / n^2)解：首先，我们可以将极限中的分子e^n和分母n^2分别表示为无穷小的形式。
因为e^n是指数函数，其增长速度远大于任何多项式函数，所以e^n是比n^2更高阶无穷小。
所以我们可以得到以下关系：n^2是比1更高阶无穷小，而e^n是比n^2更高阶无穷小。
根据比较原则3，当n->∞时，e^n/n^2是一个相对于n^2的同类无穷小，其无穷小阶比n^2的无穷小阶低。
因为n^2是一个正实数，所以当n->∞时，e^n/n^2的极限为零。
第七节无穷小的比较精选全文完整版
解
lim tan x0
x sin x x3
tan lim( x0 x
x 1 cos x x2 )
1, 2
tan x sin x为x的三阶无穷小.
常用等价无穷小: 当x 0时,
sin x ~ x, arcsin x ~ x, tan x ~ x, arctan x ~ x, ln(1 x) ~ x, e x 1 ~ x, 1 cos x ~ 1 x2 .
3、lim sin x sin x ；
x0
x
4、lim tan x tan a ； xa x a
三、证明：若 , 是无穷小，则 ~ 0( ) .
x 2n1 sin x cos(a bx)
四、设 f(x)=lim n
2 x2n 1
求：1、 f ( x) 的表达式 .
2、确定 a, b 的值,使得lim f ( x) f (1)， x1
lim f ( x) f (1) .
x1
练习题答案
一、1、3 ； 2
0,m n 2、1, m n ；3、2；
,m n
4、 ；
5、x ； 6、a ； n
7、3；
81、 , 2. 2
1 二、1、 ；
2、e ；
2
3、 ； 4、sec2 a .
x0
1 x
不存在.
ห้องสมุดไป่ตู้不可比.
极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不 同.
定义:设,是同一过程中的两个无穷小,且 0.
(1) 如果lim 0,就说是比高阶的无穷小,
记作 o();
(2) 如果lim C(C 0), 就说与是同阶的无穷小;
特殊地 如果lim 1,则称与是等价的无穷小;
无穷小的比较公式
无穷小的比较公式在数学中，无穷小是一种特殊的数值概念，它可以用来描述接近于零的量。
无穷小的比较公式是用来比较两个无穷小的大小关系的公式。
在本文中，将详细介绍无穷小的比较公式，并给出一些具体的例子。
1.高阶无穷小比低阶无穷小大2.函数与它的微分比无穷小大3.无穷小的乘积是无穷小4.极限运算首先来看第一种形式，即高阶无穷小比低阶无穷小大。
假设有两个无穷小量a和b，如果当x趋近于其中一点时，a/x和b/x的极限都为零，且a/x的阶数高于b/x的阶数，则有a比b大。
举个例子，考虑函数f(x)=x和g(x)=x^2，当x趋近于零时，f(x)/x 的极限为1，g(x)/x的极限为0，因为x^2的阶数比x的阶数高，所以可以得出x^2是一个比x大的无穷小。
第二个形式是函数与它的微分比无穷小大。
如果函数f(x)在其中一点处可微分，且其微分f'(x)在该点处不为零，那么当x趋近于该点时，f(x)与f'(x)的比值趋近于零，即f(x)/f'(x)的极限为零。
举个例子，考虑函数f(x)=x^2，它在x=0处可微分，且其导数f'(x)=2x在该点处不为零。
当x趋近于零时，f(x)/f'(x)=x^2/(2x)=x/2的极限为零。
因此，x^2是一个比2x大的无穷小。
第三个形式是无穷小的乘积是无穷小。
如果a是一个无穷小，b是一个有界函数，那么a乘以b也是一个无穷小。
考虑两个无穷小量a和b，其中a是一个无穷小，b是一个有界函数。
当x趋近于其中一点时，a的极限为零，而b的取值在一些区间内有限。
因此，a乘以b的极限仍为零，即a乘以b也是一个无穷小。
最后一个形式是极限运算。
如果有两个无穷小量a和b，且a比b大，那么a和b之间的任何有限运算后的结果仍然是一个无穷小。
举个例子，考虑两个无穷小量a=x，b=x^2、根据前面的分析，x^2是一个比x大的无穷小。
那么，无论我们对a和b进行加法、减法、乘法或除法，结果仍然是一个无穷小。
1.无穷小的比较
例1 证明 : 当x → 0时,4 x tan 3 x为x的四阶无穷小.
4 x tan 3 x tan x 3 解 lim ) = 4, = 4 lim( 4 x→0 x→0 x x
故当 x → 0时,4 x tan 3 x为x的四阶无穷小 .
例2 当x → 0时, 求 tan x sin x关于x的阶数.
lim[ f ( x )]g ( x ) = e lim g ( x )[ f ( x )1]
三,小结
1.无穷小的比较 无穷小的比较: 无穷小的比较
反映了同一过程中, 反映了同一过程中 两无穷小趋于零的速度 快慢, 但并不是所有的无穷小都可进行比较. 快慢 但并不是所有的无穷小都可进行比较 阶无穷小; 高(低)阶无穷小 等价无穷小 无穷小的阶 低 阶无穷小 等价无穷小; 无穷小的阶.
无穷小的比较
一,无穷小的比较
1 例如, 例如 当x → 0时, x , x , sin x , x sin 都是无穷小 . x 2 x 2 x 3x ; = 0, lim 观 x→0 3 x 察 各 sin x sin x x ; = 1, lim 极 x→0 x 限 1 2 x sin x = lim sin 1 . lim . 2 x→0 x→0 x x
2 2
, .
β ( 3) 如果 lim k = C (C ≠ 0, k > 0), 就说β是α的k阶的 α
无穷小.
定义: 定义:设α, β 是同一过程中的两个无 穷小, 且α ≠ 0. β (1) 如果 lim = 0, 就说β 是比α高阶的无穷小 , α 记作 β = o(α ); β ( 2) 如果 lim = C (C ≠ 0), 就说β 与α是同阶的无穷小; α β 特殊地 如果 lim = 1, 则称β 与α是等价的无穷小; α 记作 α ~ β;
高等数学1-7-无穷小的比较_OK
lim
ln(1
x)
lim
ln(1
x)
1 x
ln[lim
(1
x)
1 x
]
x0 x
x0
x0
ln e 1. 故 ln(1 x) ~ x(x 0) 等价无穷小
（6）
ex 1 lim
x0 x
令 ex 1 u,
ex 1
则 lim
lim
u
1,
x0 x u0 ln(1 u)
故 ex 1 ~ x(x 0) 函等数与价极限无穷小
证 因为 x ~ ln(1 x，) 所以
lim (1 x) 1 lim (1 x) 1
x0
x
x0 ln(1 x)
令 (1 x) 1 t, (1 x) 1 t, 两端取对数，得
ln(1 x) ln(1 t), 又当x→0，t→0. 所以
lim (1 x) 1 lim t 1
x0 x
t0 ln(1 t)
二阶无穷小
11 2
(4)
lim
x0
1
cos x2
x
lim
x0
2 sin 2 x2
x 2
sin2 x 1 cos 2x 2
2
2
cos2 x 1 cos 2x 2
sin 2 x
lim x0
2 ( x)2
1
1 函c数o与s极x限~
x2 2
等价无穷小 6
2
（5） lim ln(1 x) x0 x
eu 1 ~ u(u 0)
(1 u) 1 ~ u(u 0)
解：
lim e ecosx x0 3 1 x2 1
lim e(ecosx1 1) x0 3 1 x2 1
高等数学《无穷小的比较》全
x 2n1 sin x cos(a bx)
四、设 f(x)=lim n
2 x2n 1
求：1、 f ( x) 的表达式 .
2、确定 a, b 的值,使得lim f ( x) f (1)， x1
lim f ( x) f (1) .
x1
练习题答案
一、1、3 ； 2
0,m n 2、1, m n ；3、2；
解
原式
lim
x0
2x 1x
x
2
4.
2
例7
求 lim x0
1
x sin x sin2 2x
1
.
解 当 x 0 时 , 1 x sin x 1～1 x sin x～1 x2 ,
2
2
sin2 2x～(2x)2 ,
1 x2
原式
lim
x0
2 4
x
2
1 8
例8 求 lim 1 cos x . x0 x(1 cos x )
arctan x ~ x, ln(1 x) ~ x,
ex 1 ~ x,
1 cos x ~ 1 x2 , 2
(1 x)a 1 ~ a x , (n 1 x 1 ~ 1 x ) n
a x 1 ~ x lna .
用等价无穷小可给出函数的近似表达式:
lim 1, lim 0,
即 o( ), 于是有 o( ).
x 2 sin 1 x
x2
lim sin
x0
1 x
不存在.
不可比.
极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不 同.
定义: 设 , 是同一过程中的两个无穷小 , 且 0 . (1) 如果 lim 0 , 就说 是比 高阶的无穷小,
1无穷小的比较
三、小结
1.无穷小的比较:
反映了同一过程中, 两无穷小趋于零的速度 快慢, 但并不是所有的无穷小都可进行比较. 高(低)阶无穷小; 等价无穷小; 无穷小的阶.
2.等价无穷小的替换:
求极限的又一种方法, 注意适用条件.
思考题
任何两个无穷小量都可以比较吗？
思考题解答
不能． 例当 x 时
1 f ( x) , x
e lim g ( x ) ln f ( x )
ln[1 ( f ( x ) 1)] lim g ( x ) ln f ( x ) lim 1 g( x ) f ( x) 1 lim g ( x ) [ f ( x ) 1] lim 1 g( x )
lim[ f ( x )]g ( x ) e lim g ( x )[ f ( x )1]
1 1 1 u u u 1 2 3 n lim n1 u 0 n! u
关于1∞型极限的求法
lim[ f ( x )]g ( x ) lim[ f ( x )]
g( x )
lim f ( x ) 1, lim g ( x )
lim e
g ( x ) ln f ( x )
2 2
极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不 同.
定义:设, 是同一过程中的两个无 穷小, 且 0.
(1) 如果 lim 0, 就说 是比高阶的无穷小 , 记作 o( ); ( 2) 如果 lim C (C 0), 就说 与是同阶的无穷小 ; 特殊地 如果 lim 1, 则称 与是等价的无穷小 ; 记作 ~ ;
( 3) 如果 lim k C (C 0, k 0), 就说是的k阶的
2.7关于无穷小的比较的三点说明
关于无穷小的比较的三点说明定义()()0x x ααβββ==≠，设在自变量的同（一变化过程中，）lim =0()o ααβαββαβ=高阶无⑴，就称是的，记作，也称穷是小lim C 0,C 1ααββ=≠=⑵就称与是；特别地，穷小如果同阶无，是两个无穷小，如果在该自变量的变化过程中，的低阶无穷小；~ .αββα等价无穷，记作小就称与是第一点说明：.并非任意两个无穷小都可以比较但两者不能比较.10sin 1x x x x αβ→==当时,和都例是无穷小，证明由于极限0001sin1lim lim limsin x x x x xx xαβ→→→==不存在，αβ所以和不能比较.第二点说明：()o β高阶无穷小的记号是一个整体记号，并不将此再引伸一下，230()()x x o x x o x →==例如当时,和，指某一个具体的函数.0x →当时,()()()o x o x o x +=;2()().xo x o x =等等23x x =不能说明.第三点说明：.在高阶无穷小的加减运算中就低不就遵循高，原则32430()()x x o x x o x →==例当时,和如，3420lim x x x x→+20lim()x x x →=+0=，由于324(),x x o x +=所以3430lim x x x x →+0lim(1)x x →=+1=，343433~,().x x x x x x o ++≠所以总结.并非任意无穷小两个都可以比较()o高阶无穷小的记号是一个整体记号，并不是指某一个具体的函数.在高阶无穷小的加减运算中，遵循就低.不就高原则。
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例2
解
lx i0m (ta xxn1x c2ox)s
taxnsinx为x的三阶无 . 穷小
常用等价无穷小:
sin x~x, arcxs~in x,
taxn~x, arctxa~x2. 2
n1x1~1x n
注 1. 上述10个等价无穷小（包括反、对、幂、
思考题解答
不能．
例当 x 时 g(x) sinx 都是无穷小量 x
但
limsinx 不存在且不为无穷大
x
故当 x 时
指、三）必须熟练掌握
用等价无穷小可给出函数的近似表达式: lim0,
于是 有 o( ).
一般地有
即α与β等价
例如,
α与β互为主要部分
coxs11x2o(x2). 2
补充
高阶无穷小的运算规律
( 2 )o .( x m ) o ( x n ) o ( x m n )
(4). (x)o(xn)o(xn) 其中 (x)为有界
1
x2
2
注意 不能滥用等价无穷小代换.
对于代数和中各无穷小不能分别替换.
等价关系具有：自反性，对称性，传递性
例4
错解
原式limxx
x0 (2x)3
解
si2n x~2x,
1. 16
~ 1 x3, 2
例5
解
si 3 x n 3 x o (x ),
5xo(x)1x2o(x2)
原式 lim
2
x 0
lim
f (x)1 1
g( x)
lim[ f (x)]g(x)
三、小结
1.无穷小的比较:
反映了同一过程中, 两无穷小趋于零的速度 快慢, 但并不是所有的无穷小都可进行比较. 高(低)阶无穷小; 等价无穷小; 无穷小的阶.
2.等价无穷小的替换:
求极限的又一种方法, 注意适用条件.
思考题
任何两个无穷小量都可以比较吗？
3xo(x)
5. 3
例6 求 解一
解二
10 21
lx i0 m 1c 1o x(ssx ixn xco 1 x) s
解三
1110 22
例7 求 解
则 x1u
1u1u 1u
lim2 u0
3 un1
n
关于1∞型极限的求法
lim f(x)1, lim g(x)
limeg(x)ln f (x)
无穷小的比较
一、无穷小的比较
例如,
0,
观
察
sin x
各 极
lim x0 x
sinx与x大致相;同
限
limsin1
不可比.
x0 x
极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不 同.
定义:
(1)如果 lim0,就说 是比 高阶的无 , 穷小
记作 o();
例1
解
4lim(tanx)3
x0 x
故x当 0时 ,4xta3n x为 x的四阶. 无穷
二、等价无穷小替换
定理(等价无穷小替换定理)
证
意义
lim( )
lim .
求两个无穷小之比的极限时，可将其中的分子或分
母或乘积因子中的无穷小用与其等价的较简单的无 穷小代替，以简化计算。具体代换时，可只代换分 子，也可只代换分母，或者分子分母同时代换。
例3
解
原
式
(2x)2
lim x0