1无穷小的比较

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无穷小的比较

其中k = min{ m , n} ( 2). o( x m ) ⋅ o( x n ) = o( x m + n ) ( 3). x m ⋅ o( x n ) = o( x m + n ) 其中ϕ ( x )为有界
(4). ϕ ( x ) ⋅ o( x n ) = o( x n )
China Institute of Industrial Relations
第二章
(1 + x 2 ) − 1 例6 求 lim x →0 cos x − 1
2
1 3
1 3
Calculus
1 2 1 2 解当x → 0时, (1 + x ) − 1 ~ x , cos x − 1 ~ x 3 2 1 2 1 x 2 (1 + x 2 ) 3 − 1 3 ∴ lim = lim =− x→0 x→0 1 2 cos x − 1 3 − x 2 tan x − sin x 例7 求 lim . 3
x
(1 + x )α − 1 ~ αx
注
1. 上述10个等价无穷小（包括反、对、幂、指、三）必须熟练掌握
2.将x换成∀f ( x ) → 0都成立
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第二章
Calculus
用等价无穷小可给出函数的近似表达式:
定理1 β 与 α 是等价无穷小的的充分必要条件
1 1 1 u ⋅ u ⋅L⋅ u 1 n 2 3 = = lim n −1 u→ 0 n! u
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第二章
Calculus
tan x − sin x 1. 求 lim . 3 x →0 sin 2 x

函数与极限一无穷小的比较

无穷小具有传递性
01
若lim(x->x0)f(x)=0，lim(x->x0)g(x)=0，则lim(x-
>x0)f(x)+g(x)=0。
无穷小与常数相乘仍为无穷小
02
若lim(x->x0)f(x)=0，且c为常数，则lim(x->x0)cf(x)=0。
无穷小与有界函数的商仍为无穷小
03
若lim(x->x0)f(x)=0，g(x)在x0的某去心邻域内有界，则lim(x-
无穷小在函数中的运用
01
无穷小是数学中的一个概念，表示一个非常小的正数，通常记为0。
02
在函数的极限计算中，无穷小扮演着重要的角色。例如，在求函数在某点的导数时，需要用到无穷小的概念和性质。
03
无穷小在函数的连续性、可导性、积分等概念中也有广泛应用，是微积分学中的基础概念之一。
无穷小与函数极限的关系
02
无穷小可以用来描述物理量在某一时刻的极值或突变，例如瞬时速度达到最大或最小值。
03
在连续介质力学中，无穷小可以表示物质点的运动和变化，例如流体的速度场、温度场等。
无穷小与其他数学概念的关系
01 无穷小是微积分的基本概念之一，与导数、积分、级数等概念密切相关。
02 无穷小是函数极限的基础，极限的定义和性质都离不开无穷小。
无穷小在解决实际问题中的应用
要点一
利用无穷小近似计算
要点二
无穷小在解决物理问题中的应用
在解决实际问题时，我们常常需要计算一些复杂的数学表达式。利用无穷小的性质，我们可以将复杂的数学表达式近似为简单的形式，从而简化计算过程。
在物理学中，许多概念和公式都涉及到无穷小的概念。例如，在研究物体的运动规律时，我们需要利用无穷小的概念来描述物体的微小位移和速度。通过理解无穷小的概念，我们可以更好地理解物理学的原理和应用。

1-6无穷小的比较

常用等价无穷小关系根据等价无穷小的定义,可以证明,当 x 0 时, 有下列常用等价无穷小关系:
sin x ~ x arcsin x ~ x
ln(1 x ) ~ x ex 1 ~ x
1 x2 1 cos x ~ 2 (1 x ) 1 ~ x ( R)穷小 ( x ) 代替 x , 等价关系依
然成立. 例如 x 1 时, 有 ( x 1) 0, 从而
2
sin( x 1) 2 ~ ( x 1)2
( x 1).
二等价无穷小替换定理
~ ' , ~ ' , 且 lim ' 存在, 则设 ' ' lim lim . ' ' ' 证 lim lim( ) ' ' a ' ' lim ' . lim lim lim ' ' a '
x
tan x ~ x arctan x ~ x
注: 当 x 0 时, x 为无穷小,在常用等价无穷小
中, 用任意一个无穷小 ( x ) 代替 x , 等价关系依
然成立.
例1
证明： x 1 ~ x ( x 0). e
x
证令 y e 1, 则 x ln(1 y ), 且 x 0 时，
x0
sin 5 x
解当 x 0 时，tan 2 x ~ 2 x , sin 5 x ~ 5 x. 故 lim tan 2 x lim 2 x 2 .
x 0
sin 5 x
x 0
5x
5
例 3 求 lim tan x sin x . 3

无穷小的比较

无穷小的比较是两个数都是无穷小，可以比较相对大小。

无穷小量是数学分析中的一个概念，在经典的微积分或数学分析中，无穷小量通常以函数，序列等形式出现，无穷小量即以数0为极限的变量，无限接近于0。

确切地说，当自变量x无限接近x0或x的绝对值无限增大时，函数值fx与0无限接近，即fx，0或fx等于0，则称fx为当x，x0或x，∞时的无穷小量，特别要指出的是，切不可把很小的数与无穷小量混为一谈。

无穷小的性质无穷小量不是一个数，它是一个变量，零可以作为无穷小量的唯一一个常量，无穷小量与自变量的趋势相关，若函数在某的空心邻域内有界，则称g 为当时的有界量。

有限个无穷小量之和仍是无穷小量，有限个无穷小量之积仍是无穷小量，有界函数与无穷小量之积为无穷小量，特别地，常数和无穷小量的乘积也为无穷小量，恒不为零的无穷小量的倒数为无穷大，无穷大的倒数为无穷小。

工具/原料
笔（各种笔均可）纸（各种纸均可）
方法/步骤1 引例无穷小的多样性，如何比较？ 2 回顾无穷小的定义明确多阶无穷小和等价无穷小的定义 3 学习无穷小的定理1 基于等价无穷小 4 学习无穷小的定理2 基于等价无穷小 5 由等价无穷小，简化的极限运算规则。

和差取大规则，和差替代规则 6 由等价无穷小，简化的极限运算规则。

因式替代规则7 学习例题，反复联系。

8 仔细认真，举一反三！。

1-7无穷小比较

第一章
第七节无穷小的比较
都是无穷小, x →0时, 3x, x2 , sin x 都是无穷小但引例 .
sin x 1 x2 lim = , lim = 0, x→0 3x 3 x→0 3x sin x lim 2 = ∞, x→0 x
可见无穷小趋于 0 的速度是多样的 .
是自变量同一变化过程中的无穷小, 定义. 定义设 α , β 是自变量同一变化过程中的无穷小
3 5 lim ln(1 + 2 ) ⋅ ln(1 + ) 3ln 2 x → +∞ x
x
是无穷小，三、证明：若α , β 是无穷小，则α ~ β ⇔ α − β = 0(α ) . 证明：四、设 f(x)= lim
2 n→ ∞ x 2n + 1 求：1、 f ( x ) 的表达式 . 的值, 2、确定 a, b 的值,使得lim f ( x ) = f (1) ，
x 1 + x sin x − 1 ∞ 4、lim =________. 2 x→0 x arctan x x n x 5、lim 2 sin n =________. n→ ∞ 2
1 n
x→0
a (1 + ax ) − 1 6、lim =_________. x→0 x n
7、当 x → 0 时， a + x 3 − a (a > 0) _______阶无穷小对于 x 是_______阶无穷小 . 3 0 等价， 8、当 x →1 时，无穷小 1 − cos x 与 mx n 等价，则 m = _______, n _______ . 2 ： 2 求下列各极限：二、求下列各极限 1 tan x − sin x ； 1、lim 3 x→0 sin x 2 eα − e β 2、 lim ； eβ α →β α − β sin αx − sin βx α − β ； 3、lim x→0 x tan x − tan a 4、lim ；sec2 α x→a x−a

无穷小的比较公式

无穷小的比较公式无穷小比较是微积分中的一个重要概念，用来比较无穷小的大小。

在学习微积分时，我们经常会遇到一些涉及到无穷小的极限问题，而比较无穷小的大小关系就成为解决这些问题的关键。

首先，我们来回顾下无穷小的定义。

如果一个数列{a_n}对于任意正实数ε，都存在正整数N，使得当n>N时，有，a_n，<ε成立，则称该数列{a_n}为无穷小。

换句话说，数列的极限为零时，我们称它为无穷小。

对于无穷小的比较，我们有以下几个基本的比较原则：1.同类无穷小的比较：如果{a_n}和{b_n}是两个无穷小数列，并且对于任意正实数ε，存在正整数N，当n>N时，有，a_n，<，b_n，<ε成立，则称{a_n}的无穷小阶比{b_n}的无穷小阶低。

2.常数和无穷小的比较：对于任意确定的有限实数a ≠ 0，若 {b_n} 是一个无穷小数列，那么 ab_n (n > N) 是一个相对于 {b_n} 的同类无穷小，其无穷小阶相同。

3.多项式和无穷小的比较：对于一个n次多项式P(x)和一个无穷小数列{a_n}，如果存在正整数N和正实数M，使得当n>N时，有，a_n，<M*，P(x)，成立，则称{a_n}为P(x)的更高阶无穷小。

使用这些比较原则，我们可以解决一些与无穷小相关的极限问题。

下面举几个例子来说明。

例子1：求极限 lim(n -> ∞) (e^n / n^2)解：首先，我们可以将极限中的分子e^n和分母n^2分别表示为无穷小的形式。

因为e^n是指数函数，其增长速度远大于任何多项式函数，所以e^n是比n^2更高阶无穷小。

所以我们可以得到以下关系：n^2是比1更高阶无穷小，而e^n是比n^2更高阶无穷小。

根据比较原则3，当n->∞时，e^n/n^2是一个相对于n^2的同类无穷小，其无穷小阶比n^2的无穷小阶低。

因为n^2是一个正实数，所以当n->∞时，e^n/n^2的极限为零。

第七节无穷小的比较精选全文完整版

解
lim tan x0
x sin x x3
tan lim( x0 x
x 1 cos x x2 )
1, 2
tan x sin x为x的三阶无穷小.
常用等价无穷小: 当x 0时,
sin x ~ x, arcsin x ~ x, tan x ~ x, arctan x ~ x, ln(1 x) ~ x, e x 1 ~ x, 1 cos x ~ 1 x2 .
3、lim sin x sin x ；
x0
x
4、lim tan x tan a ； xa x a
三、证明：若 , 是无穷小，则 ~ 0( ) .
x 2n1 sin x cos(a bx)
四、设 f(x)=lim n
2 x2n 1
求：1、 f ( x) 的表达式 .
2、确定 a, b 的值,使得lim f ( x) f (1)， x1
lim f ( x) f (1) .
x1
练习题答案
一、1、3 ； 2
0,m n 2、1, m n ；3、2；
,m n
4、；
5、x ； 6、a ； n
7、3；
81、 , 2. 2
1 二、1、；
2、e ；
2
3、； 4、sec2 a .
x0
1 x
不存在.
ห้องสมุดไป่ตู้不可比.
极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不同.
定义:设,是同一过程中的两个无穷小,且 0.
(1) 如果lim 0,就说是比高阶的无穷小,
记作 o();
(2) 如果lim C(C 0), 就说与是同阶的无穷小;
特殊地如果lim 1,则称与是等价的无穷小;

无穷小的比较公式

无穷小的比较公式在数学中，无穷小是一种特殊的数值概念，它可以用来描述接近于零的量。

无穷小的比较公式是用来比较两个无穷小的大小关系的公式。

在本文中，将详细介绍无穷小的比较公式，并给出一些具体的例子。

1.高阶无穷小比低阶无穷小大2.函数与它的微分比无穷小大3.无穷小的乘积是无穷小4.极限运算首先来看第一种形式，即高阶无穷小比低阶无穷小大。

假设有两个无穷小量a和b，如果当x趋近于其中一点时，a/x和b/x的极限都为零，且a/x的阶数高于b/x的阶数，则有a比b大。

举个例子，考虑函数f(x)=x和g(x)=x^2，当x趋近于零时，f(x)/x 的极限为1，g(x)/x的极限为0，因为x^2的阶数比x的阶数高，所以可以得出x^2是一个比x大的无穷小。

第二个形式是函数与它的微分比无穷小大。

如果函数f(x)在其中一点处可微分，且其微分f'(x)在该点处不为零，那么当x趋近于该点时，f(x)与f'(x)的比值趋近于零，即f(x)/f'(x)的极限为零。

举个例子，考虑函数f(x)=x^2，它在x=0处可微分，且其导数f'(x)=2x在该点处不为零。

当x趋近于零时，f(x)/f'(x)=x^2/(2x)=x/2的极限为零。

因此，x^2是一个比2x大的无穷小。

第三个形式是无穷小的乘积是无穷小。

如果a是一个无穷小，b是一个有界函数，那么a乘以b也是一个无穷小。

考虑两个无穷小量a和b，其中a是一个无穷小，b是一个有界函数。

当x趋近于其中一点时，a的极限为零，而b的取值在一些区间内有限。

因此，a乘以b的极限仍为零，即a乘以b也是一个无穷小。

最后一个形式是极限运算。

如果有两个无穷小量a和b，且a比b大，那么a和b之间的任何有限运算后的结果仍然是一个无穷小。

举个例子，考虑两个无穷小量a=x，b=x^2、根据前面的分析，x^2是一个比x大的无穷小。

那么，无论我们对a和b进行加法、减法、乘法或除法，结果仍然是一个无穷小。

1.无穷小的比较

例1 证明 : 当x → 0时,4 x tan 3 x为x的四阶无穷小.
4 x tan 3 x tan x 3 解 lim ) = 4, = 4 lim( 4 x→0 x→0 x x
故当 x → 0时,4 x tan 3 x为x的四阶无穷小 .
例2 当x → 0时, 求 tan x sin x关于x的阶数.
lim[ f ( x )]g ( x ) = e lim g ( x )[ f ( x )1]
三,小结
1.无穷小的比较无穷小的比较: 无穷小的比较
反映了同一过程中, 反映了同一过程中两无穷小趋于零的速度快慢, 但并不是所有的无穷小都可进行比较. 快慢但并不是所有的无穷小都可进行比较阶无穷小; 高(低)阶无穷小等价无穷小无穷小的阶低阶无穷小等价无穷小; 无穷小的阶.
无穷小的比较
一,无穷小的比较
1 例如, 例如当x → 0时, x , x , sin x , x sin 都是无穷小 . x 2 x 2 x 3x ; = 0, lim 观 x→0 3 x 察各 sin x sin x x ; = 1, lim 极 x→0 x 限 1 2 x sin x = lim sin 1 . lim . 2 x→0 x→0 x x
2 2
, .
β ( 3) 如果 lim k = C (C ≠ 0, k > 0), 就说β是α的k阶的 α
无穷小.
定义: 定义:设α, β 是同一过程中的两个无穷小, 且α ≠ 0. β (1) 如果 lim = 0, 就说β 是比α高阶的无穷小 , α 记作 β = o(α ); β ( 2) 如果 lim = C (C ≠ 0), 就说β 与α是同阶的无穷小; α β 特殊地如果 lim = 1, 则称β 与α是等价的无穷小; α 记作 α ~ β;

高等数学1-7-无穷小的比较_OK

lim
ln(1
x)
lim
ln(1
x)
1 x
ln[lim
(1
x)
1 x
]
x0 x
x0
x0
ln e 1. 故 ln(1 x) ~ x(x 0) 等价无穷小
（6）
ex 1 lim
x0 x
令 ex 1 u,
ex 1
则 lim
lim
u
1,
x0 x u0 ln(1 u)
故 ex 1 ~ x(x 0) 函等数与价极限无穷小
证因为 x ~ ln(1 x，) 所以
lim (1 x) 1 lim (1 x) 1
x0
x
x0 ln(1 x)
令 (1 x) 1 t, (1 x) 1 t, 两端取对数，得
ln(1 x) ln(1 t), 又当x→0，t→0. 所以
lim (1 x) 1 lim t 1
x0 x
t0 ln(1 t)
二阶无穷小
11 2
(4)
lim
x0
1
cos x2
x
lim
x0
2 sin 2 x2
x 2
sin2 x 1 cos 2x 2
2
2
cos2 x 1 cos 2x 2
sin 2 x
lim x0
2 ( x)2
1
1 函c数o与s极x限~
x2 2
等价无穷小 6
2
（5） lim ln(1 x) x0 x
eu 1 ~ u(u 0)
(1 u) 1 ~ u(u 0)
解：
lim e ecosx x0 3 1 x2 1
lim e(ecosx1 1) x0 3 1 x2 1

高等数学《无穷小的比较》全

x 2n1 sin x cos(a bx)
四、设 f(x)=lim n
2 x2n 1
求：1、 f ( x) 的表达式 .
2、确定 a, b 的值,使得lim f ( x) f (1)， x1
lim f ( x) f (1) .
x1
练习题答案
一、1、3 ； 2
0,m n 2、1, m n ；3、2；
解
原式
lim
x0
2x 1x
x
2
4.
2
例7
求 lim x0
1
x sin x sin2 2x
1
.
解当 x 0 时 , 1 x sin x 1～1 x sin x～1 x2 ,
2
2
sin2 2x～(2x)2 ,
1 x2
原式
lim
x0
2 4
x
2
1 8
例8 求 lim 1 cos x . x0 x(1 cos x )
arctan x ~ x, ln(1 x) ~ x,
ex 1 ~ x,
1 cos x ~ 1 x2 , 2
(1 x)a 1 ~ a x , (n 1 x 1 ~ 1 x ) n
a x 1 ~ x lna .
用等价无穷小可给出函数的近似表达式:
lim 1, lim 0,
即 o( ), 于是有 o( ).
x 2 sin 1 x
x2
lim sin
x0
1 x
不存在.
不可比.
极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不同.
定义: 设 , 是同一过程中的两个无穷小 , 且 0 . (1) 如果 lim 0 , 就说是比高阶的无穷小,

1无穷小的比较

三、小结
1.无穷小的比较:
反映了同一过程中, 两无穷小趋于零的速度快慢, 但并不是所有的无穷小都可进行比较. 高(低)阶无穷小; 等价无穷小; 无穷小的阶.
2.等价无穷小的替换:
求极限的又一种方法, 注意适用条件.
思考题
任何两个无穷小量都可以比较吗？
思考题解答
不能．例当 x 时
1 f ( x) , x
e lim g ( x ) ln f ( x )
ln[1 ( f ( x ) 1)] lim g ( x ) ln f ( x ) lim 1 g( x ) f ( x) 1 lim g ( x ) [ f ( x ) 1] lim 1 g( x )
lim[ f ( x )]g ( x ) e lim g ( x )[ f ( x )1]
1 1 1 u u u 1 2 3 n lim n1 u 0 n! u
关于1∞型极限的求法
lim[ f ( x )]g ( x ) lim[ f ( x )]
g( x )
lim f ( x ) 1, lim g ( x )
lim e
g ( x ) ln f ( x )
2 2
极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不同.
定义:设, 是同一过程中的两个无穷小, 且 0.
(1) 如果 lim 0, 就说是比高阶的无穷小 , 记作 o( ); ( 2) 如果 lim C (C 0), 就说与是同阶的无穷小 ; 特殊地如果 lim 1, 则称与是等价的无穷小 ; 记作 ~ ;
( 3) 如果 lim k C (C 0, k 0), 就说是的k阶的

2.7关于无穷小的比较的三点说明

关于无穷小的比较的三点说明定义()()0x x ααβββ==≠，设在自变量的同（一变化过程中，）lim =0()o ααβαββαβ=高阶无⑴，就称是的，记作，也称穷是小lim C 0,C 1ααββ=≠=⑵就称与是；特别地，穷小如果同阶无，是两个无穷小，如果在该自变量的变化过程中，的低阶无穷小；~ .αββα等价无穷，记作小就称与是第一点说明：.并非任意两个无穷小都可以比较但两者不能比较.10sin 1x x x x αβ→==当时,和都例是无穷小，证明由于极限0001sin1lim lim limsin x x x x xx xαβ→→→==不存在，αβ所以和不能比较.第二点说明：()o β高阶无穷小的记号是一个整体记号，并不将此再引伸一下，230()()x x o x x o x →==例如当时,和，指某一个具体的函数.0x →当时,()()()o x o x o x +=;2()().xo x o x =等等23x x =不能说明.第三点说明：.在高阶无穷小的加减运算中就低不就遵循高，原则32430()()x x o x x o x →==例当时,和如，3420lim x x x x→+20lim()x x x →=+0=，由于324(),x x o x +=所以3430lim x x x x →+0lim(1)x x →=+1=，343433~,().x x x x x x o ++≠所以总结.并非任意无穷小两个都可以比较()o高阶无穷小的记号是一个整体记号，并不是指某一个具体的函数.在高阶无穷小的加减运算中，遵循就低.不就高原则。