高中数学第三章不等式311不等关系与不等式自我小测新人教B版5.
【精品】人教B版高中数学必修五第三章不等式3.1.1不等关系与不等式2017120649
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课堂篇 合作学习
-18-
1.1.1 正弦定理
探究一
探究二
探究三
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纠错心得1.判断两个实数(代数式)的大小时,选用作差或作商法 需要明确题目中所给的约束条件,更要对代数式本身所隐含的信 息进行挖掘,否则易出现错误判断或不严谨的情况.
2.对于本例而言,当n为偶数时,an-bn和an-1-bn-1不一定同号,这里 忽略了在题设条件a+b>0,且没有明确字母的具体值的情况下,要 考虑分类讨论,即对a>0,b>0和a,b有一个负值的情况加以讨论.
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高中数学第三章不等式311不等关系与不等式自我小测新人教B版5
3.1.1 不等关系与不等式自我小测1．若a ＝ln 22，b ＝ln 33，c ＝ln 55，则( ) A ．a ＜b ＜c B ．c ＜b ＜a C ．c ＜a ＜b D ．b ＜a ＜c2．如果a ＜0，b ＞0，那么下列不等式中正确的是( )A ．1a <1bB ．－a ＜bC ．a 2＜b 2D ．|a |＞|b | 3．已知a ＜b ，则下列不等式正确的是( )A ．1a ＞1bB ．a 2＞b 2C ．2－a ＞2－bD ．2a ＞2b 4．设a ，b ，c ，d ∈R ，且a ＞b ，c ＞d ，则下列结论中正确的是( )A ．a ＋c ＞b ＋dB ．a －c ＞b －dC ．ac ＞bdD ．a d >b c5．如图，y ＝f (x )反映了某公司的销售收入y 与销量x 之间的函数关系，y ＝g (x )反映了该公司产品的销售成本与销量之间的函数关系．(1)当销量x 满足________时，该公司赢利；(2)当销量x 满足________时，该公司亏损( )①x ＞a ；②x ＜a ；③x ≥a ；④0≤x ＜a ．A ．①②B ．③④C ．①④D ．②③6．若f (x )＝3x 2－x ＋1，g (x )＝2x 2＋x －1，则f (x )与g (x )的大小关系为________．7．如果[x ]表示不超过x 的最大整数，a ＝[－3．1]，b ＝[m ]，c ＝[7．1]，且a ≤b ≤c ，那么实数m 的取值范围是________．8．在等比数列{a n }和等差数列{b n }中，a 1＝b 1>0，a 3＝b 3>0，且a 1≠a 3，则a 2______b 2(选填“＞”“＜”“≥”或“≤”)．9．若a ，b ，c 满足b ＋c ＝3a 2－4a ＋6，b －c ＝a 2－4a ＋4，试比较a ，b ，c 三个实数的大小．10．船在流水中航行，在甲地和乙地之间来回行驶一次的平均速度和船在静水中的速度是否相等，为什么？参考答案1．解析：易知a ，b ，c 都是正数，b a ＝2ln 33ln 2＝log 89＞1，所以b ＞a ；a c ＝5ln 22ln 5＝log 2532＞1，所以a ＞c ．所以b ＞a ＞c ．答案：C2．解析：如果a ＜0，b ＞0，那么1a ＜0，1b＞0， ∴1a ＜1b，故选A ． 答案：A3．答案：C4．解析：可以取值代入检验，也可以作差进行比较，由条件易知a +c -(b +d )＝(a -b )+(c -d )＞0，故选项A 正确．答案：A5．解析：当销售收入f (x )大于销售成本g (x )时，该公司赢利；当销售收入f (x )小于销售成本g (x )时，该公司亏损．故选C ．答案：C6．解析：f (x )－g (x )＝3x 2－x ＋1－(2x 2＋x －1)＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1＞0，所以f (x )＞g (x )．答案：f (x )＞g (x )7．解析：根据定义，可知a ＝－4，c ＝7，所以－4≤b ≤7．再根据定义知，m 最小值为－4，最大值也不能达到8，因此m 的取值范围是－4≤m ＜8．答案：－4≤m ＜88．解析：设{a n }的公比为q ，{b n }的公差为d ，则a 3＝a 1q 2，b 3＝b 1＋2d ＝a 1＋2d ．∵a 3＝b 3，∴a 1q 2＝a 1＋2d ，即2d ＝a 1(q 2－1)．∴d ＝12a 1(q 2－1)． ∵a 1≠a 3＝a 1q 2，∴q 2≠1．∴q ≠±1．∵a 2－b 2＝a 1q －(a 1＋d )＝a 1q －a 1－12a 1(q 2－1) ＝－12a 1(q －1)2<0，∴a 2<b 2． 答案：＜9．解：b －c ＝a 2－4a ＋4＝(a －2)2≥0．所以b ≥c ．由题意可得方程组22346,4 4.b c a a b c a a ⎧+=-+⎪⎨-=-+⎪⎩ 解得b ＝2a 2－4a ＋5，c ＝a 2＋1． 所以c －a ＝a 2＋1－a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋34＞0， 所以c ＞a ．故b ≥c ＞a ．10．解：不相等．理由如下：设甲地到乙地的距离为s ，船在静水中的速度为v ，水流速度为v ′(v ＞v ′＞0)，则船在流水中在甲地和乙地之间来回行驶一次的时间t ＝s v ＋v ′＋s v －v ′＝2vs v 2－v ′2，∴平均速度v ＝2s t ＝v 2－v ′2v ， ∴v －v ＝v 2－v ′2v －v ＝－v ′2v＜0． ∴v ＜v ．因此，船在流水中来回行驶一次的平均速度小于船在静水中的速度．。
高中数学第3章不等式3.1.1不等关系与不等式3.1.2不等式的性质新人教B版必修5
2．设 M＝x2，N＝－x－1，则 M 与 N 的大小关系是( )
A．M>N
B．M＝N
C．M<N
D．与 x 有关
A [M－N＝x2－(－x－1)＝x2＋x＋1＝x＋122＋34>0，故 M>N.]
a>b，b>c⇒_a_>_c_
性质 3(可加性)
a＞b⇒_a_＋__c_>_b_＋__c_
推论 1 性质 3
推论 2
a＋b＞c⇒_a_＞__c_－__b__ a＞b，c＞d⇒_a_＋__c_＞__b_＋__d_
性质 4(可乘性) a＞b，c＞0⇒_a_c_＞__b_c_；a＞b，c＜0⇒_a_c_＜__b_c_
2．由－6<a<8，－4<b<2，两边分别相减得－2<a－b<6，你认为 正确吗？
[提示] 不正确．因为同向不等式具有可加性与可乘性．但不能 相减或相除，解题时要充分利用条件，运用不等式的性质进行等价变 形，而不可随意“创造”性质．
3．你知道下面的推理、变形错在哪吗？ ∵2<a－b<4， ∴－4<b－a<－2. 又∵－2<a＋b<2， ∴0<a<3，－3<b<0， ∴－3<a＋b<3. 这怎么与－2<a＋b<2 矛盾了呢？
1．利用不等式的性质证明不等式注意事项 (1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式．解决此类问 题一定要在理解的基础上， 记准、记熟不等式的性质并注意在解题 中灵活准确地加以应用． (2)应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立 的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则．
人教B版人教B版高中数学必修五第3章+3.1不等关系与不等式+同步测试().docx
3.1 不等关系与不等式（数学人教B版必修5）9．(20分) 已知0<a<1，0<b<1，0<c<1.求证：（1-a）b，（1-b）c，（1-c）a不能都大于14.10.（20分）已知a，b，c是不全相等的正数，求证：3.1 不等关系与不等式（数学人教B版必修5）答题纸得分：一、选择题二、填空题5． 6．三、解答题7.8.9.10.3.1 不等关系与不等式（数学人教B 版必修5）参考答案一、选择题1.C 解析： 若a<b<0，则a 2>b 2，故A 错；若0＜a ＜b ，则b a >ab，故D 错；若ab>0，则a 2b<ab 2，故B 错.2.B 解析：∵ 1a <1b<0，∴ b<a<0，∴ a+b<0<ab ，|b|>|a|，∴ a 2<b 2，故①④正确.3.C 解析：∵ a>b ，c 2+1>0，∴21a c +>21bc +. 4.C 解析：∵ c<a 且ac<0，∴ c<0<a.但b 的符号不确定，∴ 当b=0时，cb 2=ab 2=0，∴ cb 2<ab 2不一定成立.二、填空题5.-3＜α-|β|＜3 解析：∵ -4＜β＜2，∴ 0≤|β|＜4.∴ -4＜-|β|≤0.∴ -3＜α-|β|＜3.6. 3 解析：由bc-ad>0得bc>ad ，又ab>0，∴bc ab >adab，即c a >d b ，∴ c a -d b >0，故①正确；由ab>0，c a -d b >0，得ab （c a -d b ）>0，即bc-ad>0，故②正确；由c a -db>0，得bc adab->0，∵ bc-ad>0，∴ ab>0，故③正确. 三、解答题7. 解法1：整体代换.令f （3）=9a+b=m （a+b ）+n （4a+b ）=（m+4n ）a+（m+n ）b ，则49,1,m n m n +=⎧⎨+=⎩解得5,38,3m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即f （3）=53-（a+b ）+83（4a+b ）.因为1≤a+b ≤2，2≤4a+b ≤3， 所以2≤f （3）≤193，即f （3）的范围是[2，193]. 解法2:巧妙换元.令a+b=x ，4a+b=y ， 则a=3y x -，b=43x y-，1≤x ≤2，2≤y ≤3. 因为f （3）=9a+b=853y x-，6≤8y-5x ≤19， 所以2≤f （3）≤193，即f （3）的范围是[2，193]. 解法3：增元换元. 令2,01,34,01,a b t t a b s s =++≤≤⎧⎨=++≤≤⎩解得1,3453t s a t s b -+⎧=⎪⎪⎨-++⎪=⎪⎩.因为0≤t ≤1，0≤s ≤1，且f （3）=9a+b=58143t s -+，所以2≤f （3）≤193，即f （3）的范围是[2，193]. 8．解：=≥0，∴ c ≥b . 又由①-②，得，即.∵= ＞0，∴＞a ，∴ b ＞a ，∴ c ≥b ＞a . 9. 证明：假设（1-a ）b>14，（1-b ）c>14，（1-c ）a>14，2≥0，展开得(1)2a b-+>12.同理可得(1)2b c -+>12，(1)2c a -+>12. ∴(1)2a b -++(1)2b c -++(1)2c a -+>32，即32>32，互相矛盾.∴原结论成立.10. 证明：∵（b-c）2≥0，∴ b2+c2-2bc≥0，即b2+c2≥2bc.又a>0，∴ a（b2+c2）≥2abc.同理b（c2+a2）≥2abc，c（a2+b2）≥2abc.∵ a，b，c不全相等，∴以上三个式子中至少有一个式子取不到等号. 故。
高中数学第三章不等式3.1.2不等式的性质自我小测新人教B版必修5(2021学年)
高中数学第三章不等式3.1.２不等式的性质自我小测新人教B版必修5 编辑整理:尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心,本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对,但是难免会有疏漏的地方,但是任然希望(高中数学第三章不等式 3.1.2 不等式的性质自我小测新人教B版必修5)的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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３。
１。
2 不等式的性质自我小测1.如果ａ,b，c满足c<b〈a，且ac＜0,那么下列选项中不一定成立的是( )A．ａｂ＞ａｃ B.c(b-a)>0 Ｃ．cb2〈ab２Ｄ.ac(a－c）<0 2．若ａ,ｂ,ｃ∈Ｒ，a>b，则下列不等式成立的是（）A．＼f（1,a）〈1ｂB.a２>b2Ｃ．＼f(a,c2+1）>错误!D．a｜c｜>b|ｃ|3.已知a<b＜0,则下列不等式成立的是( )A B.错误!<错误! D.错误!〈错误!4．已知函数f(x)(0≤ｘ≤１)的图象为一段圆弧（如图）,若０<x1＜x２＜1，则( ）A.错误!<错误! B．错误!＝错误!C．错误!〉错误!D．错误!≤错误!5.若a>０，b＞０,则不等式-b＜错误!<a等价于( )Ａ.－１ｂ＜ｘ＜０或0＜x＜错误! B．－错误!<x<错误!C.x<-错误!或x>错误! D．x<－错误!或ｘ＞错误! 6．给出下列命题：①若ｘ〈ｙ，则a2x〈a2y；②若x〈y,则x2n+1<y2ｎ＋1(n∈N+);③若x〉y>1,则1log yx >1logyx．其中正确命题的序号是__＿＿＿___.7.已知不等式:①a<0<b；②b＜a＜0；③b<0＜ａ；④0<b<a；⑤b＜a且ab＞0;⑥ａ＜b且ａｂ＜0．其中能使＼f(1,ａ）〈错误!成立的是_＿_____＿．（填序号)8．若a＞b，且＼f(1，a)〉错误!,求证：a>0且b＜0.9.设ｍ∈R，a>b>1,ｆ（x）=＼f（mx,x－1),试比较f（ａ)与ｆ（b）的大小.10.甲、乙两人同时从寝室出发到教室，甲一半路程步行,一半路程跑步；乙一半时间步行，一半时间跑步．如果两人步行速度、跑步速度均相同,问甲、乙两人谁先到达教室？参考答案1.解析：∵ｃ〈b〈a且ａc<0，∴a〉0,c〈0.∴ｂ可能为０,也可能不为0．∴cb2<aｂ2不一定成立.答案:C2.解析：取a＝１，b=0，排除选项Ａ;取a＝０,b＝-1,排除选项Ｂ；取c=0，排除选项D；显然1c２+1>0,对不等式ａ＞ｂ的两边同时乘以＼ｆ(1，c2＋１)，得＼f(a，c2+1)〉错误!.故选C.答案:C3.答案:A４．解析：可在函数的图象上取点A（x１,f(x1))，Ｂ（ｘ２,f（x2）),则线段OA,OB的斜率是ｋＯA＝错误!，k OB=错误!．由图象可以看出k OＡ＞ｋＯＢ,即错误!>错误!．故选C.答案:C5.解析:-ｂ〈＼f(１,x)<a⇔11bxax⎧+>⎪⎪⎨⎪-<⎪⎩⇔11bxxaxx+⎧>⎪⎪⎨-⎪<⎪⎩⇔(1)0(1)0x bxx ax+>⎧⎨-<⎩⇔11x xbx xa⎧><⎪⎪⎨⎪><⎪⎩或或⇒ｘ<－错误!或ｘ＞错误!.答案：D６．解析:对于①,当a＝0时，a2x=a2ｙ,故命题①错误.对于②，由幂函数y＝x2ｎ+1(n∈N＋）是增函数这一性质可知:当x<y时,有x2n＋1<ｙ2n＋1,故命题②正确.对于③，由x＞y＞1，得0＜1ｘ＜错误!＜1,而函数y=log aｘ当０〈a＜1时，在(０，＋∞)上单调递减,所以1log yx >1logxx＝-1=1log yy>1logyx，故命题③也正确.答案：②③７.解析：因为错误!＜错误!⇔错误!<0⇔b－a与ab异号,然后再逐个进行验证,可知①②④⑤⑥都能使1ａ＜错误!.答案：①②④⑤⑥8.证明:错误!⇒错误!⇒a>0且ｂ＜0.９.解：f(a)-f(b）＝＼ｆ(ma,a-1）-＼ｆ(mb,b-1）=错误!.∵a＞b>1，∴ｂ-a<0,a－1＞0,b-1>０．∴错误!<0．∴当m>0时，错误!＜0,∴f(ａ)＜f(b);当m＜0时,错误!>0,∴ｆ（ａ)＞f(b);当ｍ=0时，错误!=0,∴f(a)＝f(b).10．分析:先根据条件,表示出甲、乙两人到达教室的时间表达式,然后作差比较他们所用时间的多少,所用时间少的先到达教室.解：设总路程为s，步行速度为v1，跑步速度为v2,显然v１＜ｖ２，甲到教室所用的时间为t １,乙到教室所用时间为t２,则t1＝错误!＋错误!＝错误!，错误!（v1+v2)＝ｓ．∴t２＝２s v1+v2.∴t1-t2＝错误!＝错误!.∵v1<v2,∴v1-v2≠0.∴（ｖ1－v２)２＞0.∴错误!＞0．∴t1>t２．∴乙先到教室．以上就是本文的全部内容，可以编辑修改。
高中数学第三章不等式31不等关系与不等式311不等关系与不等式学案新人教B版必修5
3.1.1 不等关系与不等式1．了解现实世界和日常生活中的不等关系．2．了解不等式(组)的实际背景．3．能用作差法比较大小．1．不等关系与不等式【做一做1】某隧道入口竖立着“限高4.5米”的警示牌，是指示司机要安全通过隧道，应使车载货物高度h米满足关系为( )．A．h＜4.5 B．h＞4.5C．h≤4.5 D．h≥4.52．实数大小的比较(1)数轴上的两点A，B的位置关系与其对应实数a，b的大小关系．①数轴上的任意两点中，____边点对应的实数比____边点对应的实数大．②数轴上点的位置与实数大小的关系(表示实数a和b的两个点分别为A和B)，如下：【做一做2－)．A．a－b＞0 B．a－b＜0C．a－b≥0 D．a－b≤0【做一做2－2】设a，b∈R＋，P＝a＋b，Q＝a＋b，则P与Q的大小关系是( )．A．P≥Q B．P≤QC．P＞Q D．P＜Q一、比较大小常用的方法剖析：证明一个不等式和比较实数的大小一样，根据题目的特点可以有不同的证明方法． (1)作差法和作商法是比较实数大小和证明不等式的重要方法，但是它们又有自己的适用范围，对于不同的问题应当选择不同的方法进行解决．①一般的实数大小的比较都可以采用作差法，但是我们要考虑作差后与0的比较，通常要进行因式分解，配方或者其他变形操作，所以，作差后必须容易变形到能看出与0的大小关系．②作商法主要适用于那些能够判断出恒为正数的数或者式子，具有一定的局限性，作商后要与1进行比较，所以，作商后必须易于变成能与1比较大小的式子，此种方法主要适用于那些含有幂指数的数或式子大小的比较，例如，比较a a b b与(ab )a ＋b2的大小就可以使用作商法．③在解决这些问题的时候，根据实际情况选择其中一种合适的方法．要根据题目的具体结构特点，如是和差的形式一般用作差法，乘除的形式一般用作商法．(2)要注意不等式与函数的结合，函数的图象和性质是解决不等式问题的重要工具，尤其是函数的单调性．如：a ＞b ⇔a 3＞b 3，可根据幂函数y ＝x 3在R 上单调递增得到．利用比较法来比较两个代数式或实数的大小时，注意分情况对变量进行讨论，讨论时应做到不重不漏．二、教材中的“思考与讨论”已知a b ＝c d，如果c ＞d ，那么a ＞b 是否一定成立？请说明理由．剖析：不一定成立．如c ＝1，d ＝－1时，c ＞d ，此时若a ＝－1，b ＝1，也满足a b ＝c d，但不满足a ＞b .题型一 用不等式(组)表示不等关系 【例1】某矿山车队有4辆载重为10 t 的甲型卡车和7辆载重为6 t 的乙型卡车，有9名驾驶员．此车队每天至少要运360 t 矿石至冶炼厂．已知甲型卡车每辆每天可往返6次，乙型卡车每辆每天可往返8次，写出满足上述所有不等关系的不等式．分析：解答本题只需用不等式表示上述不等关系即可． 反思：本题易忽略甲型卡车和乙型卡车的总和不超过驾驶员人数而导致错误．导致错误的原因是没有真正理解题意，因此解决此问题的难点是找出题中显性和隐性的不等关系．题型二 比较两数的大小【例2】当x ≥1时，比较x 3＋1与2x 2－2x ＋2的大小．分析：根据a ＞b ⇔a －b ＞0，a ＜b ⇔a －b ＜0，只需比较所给两个式子的差值与0的大小即可．反思：利用作差法比较大小时关键在于变形，变形的方向是将差式化成多因式积的形式，然后确定每个因式的符号，从而确定积的符号．变形中常用平方差、立方差、立方和公式，还可能用到通分、因式分解、分子(或分母)有理化等方法．题型三 不等关系的实际应用【例3】商店出售茶壶和茶杯，茶壶每个定价20元，茶杯每个定价5元，该店推出两种优惠办法：(1)买一个茶壶赠送一个茶杯； (2)按总价的92%付款．某顾客需购茶壶4个，茶杯若干个(不少于4个)，若设购买茶杯数为x 个，付款数为y (元)，试分别建立两种优惠办法的y 与x 之间的函数关系式，并讨论该顾客买同样多的茶杯时，两种办法哪一种更省钱．分析：本题是一次函数问题，通过建立两种优惠办法的一次函数模型，然后利用作差法讨论选哪种优惠办法．反思：利用作差法比较两个代数式的大小时，如果不能直接得出结果，就需要对某些字母的取值进行分类讨论．题型四 易错辨析【例4】设a ＋b ＞0，n 为偶数，比较b n －1a n ＋a n －1b n 与1a ＋1b 的大小．错解：b n －1a n ＋a n －1b n －1a －1b＝a n －b na n －1－b n －1ab n.∵n 为偶数，∴(ab )n＞0. 又a n －b n 与a n －1－b n －1同号， ∴a n －b na n －1－b n －1ab n ＞0，即b n －1a n ＋a n －1b n －1a －1b＞0.∴b n －1a n ＋a n －1b n ＞1a ＋1b. 错因分析：n 为偶数时，a n－b n和a n －1－b n －1不一定同号，这里忽略了在题设条件a ＋b＞0且没有明确字母的具体值的情况下，要考虑分类讨论，即对a ＞0，b ＞0和a ，b 有一个负值的情况加以讨论．1下列不等式一定成立的是( )． A ．－3＜－4 B ．0≤0 C ．3≥4 D ．－5≤－62如果log a 3＞log b 3，且a ＋b ＝1，那么( )． A ．0＜a ＜b ＜1 B ．0＜b ＜a ＜1 C ．1＜a ＜b D ．1＜b ＜a3若x ＞1＞y ，则下列不等式中不成立的是( )． A ．x －1＞1－y B ．x －1＞y －1 C ．x －y ＞1－y D ．1－x ＞y －x4已知a ＞b ，则a 3与b 3的大小关系是________． 5用“＞、＜、≥、≤”号填空．(1)(2a ＋1)(a －3)________(a －6)(2a ＋7)＋45；(2)a 2＋b 2________2(a －b －1)． 答案：基础知识·梳理 1．(2)不等号 【做一做1】C 2．(1)右 左 【做一做2－1】C【做一做2－2】C P 2＝(a ＋b )2＝a ＋b ＋2ab ，Q 2＝(a ＋b )2＝a ＋b .∵a ，b ∈R ＋，∴P 2＞Q 2.∴P ＞Q .典型例题·领悟【例1】解：设每天派出甲型卡车x 辆，乙型卡车y 辆，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤9，10×6x ＋6×8y ≥360，0≤x ≤4，x ∈N ，0≤y ≤7，y ∈N ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤9，5x ＋4y ≥30，0≤x ≤4，x ∈N ，0≤y ≤7，y ∈N .【例2】解：x 3＋1－(2x 2－2x ＋2)＝x 3－2x 2＋2x －1 ＝x 3－x 2－(x 2－2x ＋1) ＝x 2(x －1)－(x －1)2＝(x －1)(x 2－x ＋1)＝(x －1)[(x －12)2＋34]，∵x ≥1，∴x －1≥0，(x －12)2＋34＞0，∴(x －1)[(x －12)2＋34]≥0.∴x 3＋1≥2x 2－2x ＋2.【例3】解：由优惠办法(1)得：y 1＝20×4＋5(x －4)＝5x ＋60(x ≥4)， 由优惠办法(2)得：y 2＝(5x ＋20×4)×92%＝4.6x ＋73.6(x ≥4)． y 1－y 2＝0.4x －13.6(x ≥4)， 令y 1－y 2＝0，得x ＝34.当购买34只茶杯时，两种办法付款相同；当4≤x ＜34时，y 1＜y 2，优惠办法(1)省钱；当x ＞34时，y 1＞y 2，优惠办法(2)省钱．【例4】正解：b n －1a n ＋a n －1b n －1a －1b ＝(a n －b n )(a n －1－b n －1)(ab )n. (1)当a ＞0，b ＞0时，(a n －b n )(a n －1－b n －1)≥0，(ab )n＞0，所以(a n －b n )(a n －1－b n －1)(ab )n≥0，故b n －1a n ＋a n －1bn ≥1a ＋1b.(2)当a ，b 有一个为负数时，不妨设a ＞0，b ＜0，且a ＋b ＞0，所以a ＞|b |.又n 为偶数，所以(a n －b n )(a n －1－b n －1)≥0，且(ab )n＞0，故(a n －b n )(a n －1－b n －1)(ab )n≥0， 即b n －1a n ＋a n －1b n ≥1a ＋1b. 综合(1)(2)可知，b n －1a n ＋a n －1b n ≥1a ＋1b.随堂练习·巩固1．B 不等式a ≥b 的含义是指“或者a ＞b ，或者a ＝b ”，不等式a ≤b 的含义是指“或者a ＜b ，或者a ＝b ”，根据含义可知只有选项B 正确．2．A ∵a ＋b ＝1，a ，b ∈R ＋，∴0＜a ＜1,0＜b ＜1.∵log a 3＞log b 3，∴lg 3lg a ＞lg 3lg b.∴lg a ＜lg b ．∴0＜a ＜b ＜1. 3．A ∵x ＞1＞y ，∴x ＋(－1)＞y ＋(－1)，即选项B 正确； x ＋(－y )＞1＋(－y )，即选项C 正确； 1＋(－x )＞y ＋(－x )，即选项D 正确． 故选A.4．a 3＞b 3 因为a 3－b 3＝(a －b )(a 2＋ab ＋b 2)＝(a －b )[(a ＋b 2)2＋3b 24]＞0，所以a 3＞b 3.5．＜ ≥ (1)(2a ＋1)(a －3)－[(a －6)(2a ＋7)＋45]＝－6＜0，所以(2a ＋1)(a －3)＜(a －6)(2a ＋7)＋45；(2)a 2＋b 2－2(a －b －1)＝(a －1)2＋(b ＋1)2≥0，所以a 2＋b 2≥2(a －b －1)．。
高中数学必修5(人教B版)第三章不等式3.1知识点总结含同步练习题及答案
a>b } ⇒ a + c > b + d． c>d a>b a>b 可乘性： } ⇒ ac > bc； } ⇒ ac < bc． c>0 c<0 a>b>0 推论1 } ⇒ ac > bd ． c>d>0 推论a > b > 0 ⇒ an > b n (n ∈ N + , n > 1) ． 1 1 a>b 推论3 }⇒ < ． a b ab > 0 n n 可开方：a > b > 0 ⇒ √ a>√ b (n ⩾ 2, n ∈ N)．
c c < ． a b
1 1 不一定成立，因此推不出 > a b
a 的取值范围． b
−4 < −b < −1,
又因为 2 < a < 3，所以
−2 < a − b < 2. 1 1 < < 1 ，所以 4 b 2×
即
（2） 因为
1 a < < 3 × 1, 4 b 1 a < < 3. 2 b
e e ． > a−c b−d 证明：因为 c < d < 0，所以 −c > −d > 0．又因为 a > b > 0，所以
1.不等式的性质 描述： 不等式的定义 用不等号表示不等关系的式子叫做不等式． 实数的基本性质 如果 a − b 是正数，那么 a > b； 如果 a − b 等于零，那么 a = b； 如果 a − b 是负数，那么 a < b． 不等式的基本性质 对称性：如果 a > b，那么 b < a；如果 b < a，那么 a > b ．即 a > b ⇔ b < a ． 传递性：如果 a > b，b > c ，那么 a > c ．即 a > b，b > c ⇒ a > c． 可加性：如果 a > b，那么 a + c > b + c ． 推论1 a + b > c ⇒ a > c − b ．
高中数学第三章不等式3.1不等关系3.1.1不等关系3.1.2不等关系与不等式达标练习北师大版必修
2018年高中数学第三章不等式3.1 不等关系3.1.1 不等关系3.1.2 不等关系与不等式达标练习北师大版必修5编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018年高中数学第三章不等式3.1 不等关系3.1.1 不等关系3.1.2 不等关系与不等式达标练习北师大版必修5）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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3.1.2 不等关系与不等式［A 基础达标］1．若A＝a2＋3ab,B＝4ab－b2，则A、B的大小关系是( ）A．A≤B B．A≥BC．A〈B或A〉B D．A>B解析：选B。
因为A－B＝a2＋3ab－（4ab－b2)＝错误!错误!＋错误!b2≥0,所以A≥B.2．已知a<b<|a｜，则( ）A。
错误!>错误!B．ab〈1C.ab>1 D．a2>b2解析：选D.由a〈b〈|a｜，可知0≤｜b｜〈|a|，由不等式的性质可知|b｜2〈｜a｜2,所以a2〉b2，故选D。
3．如果log a3〉log b3，且a＋b＝1,那么( )A．0<a<b<1 B．0<b〈a〈1C．1〈a<b D．1〈b〈a解析：选A.因为a＋b＝1，a，b〉0，所以0<a〈1，0〈b〈1。
因为log a3〉log b3,所以错误!>错误!。
所以lg a<lg b．所以0〈a〈b〈1.4．设α∈错误!，β∈错误!,则2α－错误!的范围是( )A。
高中数学第三章不等式3.1.1不等关系与不等式3.1.2不等式的性质精选测试新人教B版必修5(20
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同步精选测试不等式的性质(建议用时：45分钟）［基础测试］一、选择题1.已知x＞y＞z,且x＋y＋z＝0，则下列不等式一定成立的是( )A.xy＞yzB.xz＞yzC.xy＞xzD.x|y｜＞z｜y|【解析】因为x＞y＞z，x＋y＋z＝0，所以x＞0，z＜0。
又因为y＞z，所以xy＞xz。
当y＝0时，A，B，D都不成立，故选C。
【答案】C2。
某校对高一美术生划定录取分数线，专业成绩x不低于95分，文化课总分y高于380分,体育成绩z超过45分,用不等式(组)表示就是（）A。
错误!B。
错误!C。
错误!D。
错误!【解析】由题中x不低于95,即x≥95，y高于380,即y〉380，z超过45,即z〉45.【答案】D3。
已知x＜a＜0，则下列不等式一定成立的是( ）A.x2＜a2＜0 B。
x2＞ax＞a2C。
x2＜ax＜0 D.x2＞a2＞ax【解析】x＜a＜0⇒错误!⇒x2＞ax＞a2。
【答案】B4.设0＜a＜b,且a＋b＝1，则四个数错误!，a，2a，a2＋b2中最小的数是（）【导学号：18082107】A.错误!B。
高中数学新人教B版必修5课件：第三章不等式3.1.1不等关系与不等式
知识点二 p推出q的符号表示 1.“如果p，则q”为正确的命题，则简记为p_⇒__q，读作“p推出q”. 2.如果p⇒q，且q⇒p都是正确的命题，则记为p_⇔__q，读作“p等价于q”或 “q等价于p”. 知识点三 作差法 作差法的理论根据：a>b⇔a－b>0；a＝b⇔a－b＝0；a<b⇔a－b<0.
x>95，
C.y>380， z>45
x≥95，
√
D.y>380， z>45
解析 “不低于”即“≥”，“高于”即“>”，“超过”即“>”， ∴x≥95，y>380，z>45.
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2.已知a＋b>0，b<0，那么a，b，－a，－b的大小关系是
A.a>b>－b>－a
√C.a>－b>b>－a
B.a>－b>－a>b D.a>b>－a>－b
跟踪训练1 (1)雷电的温度大约是28 000 ℃，比太阳表面温度的4.5倍还要高. 设太阳表面温度为t ℃，那么t应满足的关系式是_4_._5_t<_2_8__0_0_0_.
解析 由题意得，太阳表面温度的4.5倍小于雷电的温度，即4.5t<28 000.
(2)配制 A，B 两种药剂，需要甲，乙两种原料.已知配一剂 A 种药需甲料 3 克， 乙料 5 克；配一剂 B 种药需甲料5克，乙料 4 克.今有甲料 20 克，乙料 25 克， 若 A，B 两种药至少各配一剂，设 A，B 两种药分别配 x，y 剂(x，y∈N)，请 写出 x，y 所满足的不等关系.
命题角度2 作差法证明不等式 例3 证明函数 f (x)＝x3(x∈R)为增函数.
高中数学 第三章 不等式 3.1 不等关系与不等式自主训练 新人教B版必修5-新人教B版高二必修5数
3.1 不等关系与不等式自主广场我夯基 我达标1.已知a ＜0,-1＜b ＜0,下列不等式成立的是( )A.a ＞ab ＞ab 2B.ab 2＞ab ＞aC.ab ＞a ＞ab 2D.ab ＞ab 2＞a思路解析:由于-1＜b ＜0,所以0＜b 2＜1⇒a ＜ab 2＜0,且ab ＞0,易得ab ＞ab 2＞a.本题也可以根据a,b 的范围取特殊值来比较,比如令a=-1,b=21-. 答案:D2.“a＞0,b ＞0”是“ab＞0”的…( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件思路解析:由“a＞0,b ＞0”可推出“ab＞0”,反之,不一定成立,选A.答案:A3.如果log a 3＞log b 3,且a+b=1,那么( )A.0＜a ＜b ＜1B.0＜b ＜a ＜1C.1＜a ＜bD.1＜b ＜a思路解析:∵a+b=1,a、b ∈R ,∴0＜a ＜1,0＜b ＜1.∵log a 3＞log b 3,∴ba lg 3lg lg 3lg >. ∴lga＜lgb.∴0＜a ＜b ＜1.答案:A4.若a=22ln ,b=33ln ,c=55ln ,则( ) A.a ＜b ＜c B.c ＜b ＜aC.c ＜a ＜bD.b ＜a ＜c思路解析:易知a,b,c 都是正值,a b =2ln 33ln 2=log 89＞1,所以b ＞a;5ln 22ln 5=c a =log 2532＞1,所以a ＞c.所以b ＞a ＞c.答案:C5.若f(x)=3x 2-x+1,g(x)=2x 2+x-1,则f(x)与g(x)的大小关系为_____________.思路解析:f(x)-g(x)=3x 2-x+1-(2x 2+x-1)=x 2-2x+2=(x-1)2+1,显然大于0,所以f(x)＞g(x).答案:f(x)＞g(x)6.日常生活中,在一杯糖水中,再加入糖,则这杯糖水变甜了,请根据这一事实提炼出一个不等式.解:设有糖水b 克,其中含糖a 克,再加入m 克糖,则 原来的糖水的浓度为ba ×100%,加入m 克糖后, 糖水的浓度变为mb m a ++×100%.由事实可知糖水变甜,浓度增大, 故b a ×100%＜mb m a ++×100%, 答:当0＜a ＜b,m ＞0时,有b a ＜mb m a ++. 7.若a ＞b ＞0,c ＜d ＜0,e ＜0,求证:d b e c a e ->-. 思路分析:本题可以直接使用不等式的性质进行证明,首先根据c ＜d ＜0,得-c ＞-d ＞0,所以a-c ＞b-d ＞0,再由倒数的性质和e ＜0即可得到结论,也可以直接作差进行比较. 证明:⎭⎬⎫>>>->-⇒<<000d a d c d c d b e c a e c a e d b e e c a d b d b c a ->-⇒-<-⇒⎪⎭⎪⎬⎫<>->-⇒>->-⇒00110. 8.在等比数列{a n }和等差数列{b n }中,a 1=b 1＞0,a 3=b 3＞0,且a 1≠a 3,试比较a 2与b 2的大小. 思路分析:根据等比与等差的性质,求出a 2、b 2,再利用作差法比较.解:设{a n }的公比为q,{b n }的公差为d,则a 3=a 1q 2,b 3=b 1+2d=a 1+2d.∵a 3=b 3,∴a 1q 2=a 1+2d,即2d=a 1(q 2-1).∵a 1≠a 3=a 1q 2,∴q 2≠1.∴q≠±1.∵a 2-b 2=a 1q-(a 1+d)=a 1q-a 121-a 1(q 2-1)=21-a 1(q-1)2＜0, ∴a 2＜b 2.我综合 我发展9.如果a ＜0,b ＞0,那么,下列不等式中正确的是( ) A.ba 11< B.b a <- C.a 2＜b 2 D.|a|＞|b| 思路解析:如果a ＜0,b ＞0,那么a 1＜0,b 1＞0,∴b a 11<,选A.其余三个选项可以举反例排除.答案:A10.若a 、b 、c ∈R ,a ＞b,则下列不等式成立的是( ) A.ba 11< B.a 2＞b 2 C.1122+>+c b c a D.a|c|＞b|c| 思路解析:应用间接排除法.取a=1,b=-1,排除A.取a=0,b=-1,排除B;取c=0,排除D.故应该选C.显然112+c ＞0,对不等式a ＞b 的两边同时乘以112+c ,得1122+>+c b c a 成立. 答案:C11.已知a ＞b ＞0,试比较2222ba b a +-与b a b a +-的大小. 思路分析:本题用作差法及作商法都可比较大小.解法一:作差法:,0))(()(2))(()]())[((22222222222>++-=+++-+-=+--+-b a b a b a ab b a b a b a b a b a b a b a b a b a ∴ba b a b a b a +->+-2222. 解法二:作商法:,121)(222222222>++=++=+-+-ba ab b a b a ba b a b a b a ∴ba b a b a b a +->+-2222. 12.如果用记号min{p,q}表示p,q 中的较小者,max{p,q}表示p,q 中的较大者.设f(x)=min{x 2-2x+6,x 2+6x+5},g(x)=max{x 2-x+2,x},试比较f(x)和g(x)的大小.思路分析:首先根据两个定义写出f(x)和g(x)的函数表达式,由于其中含有未知量x,可能要对x 的范围进行讨论,然后再作差比较大小.解:由于x 2-2x+6-(x 2+6x+5)=-8x+1,由此可知,当x ＜81时,x 2-2x+6＞x 2+6x+5. 当x≥81时,x 2-2x+6≤x 2+6x+5. 所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥+-<++=.81,62,81,56)(22x x x x x x x f 而x 2-x+2-x=x 2-2x+2=(x-1)2+1＞0,所以x 2-x+2＞x.所以g(x)=x 2-x+2. (1)当x ＜81时,f(x)-g(x)=x 2+6x+5-(x 2-x+2)=7x+3, 所以当x=73-时,f(x)=g(x). 当x ＜73-时,f(x)-g(x)＜0,f(x)＜g(x). 当73-＜x ＜81时,f(x)-g(x)＞0,f(x)＞g(x).(2)当x≥81时,f(x)-g(x)=x 2-2x+6-(x 2-x+2)=-x+4, 所以当x=4时,f(x)=g(x).当x ＞4时,f(x)-g(x)＜0,f(x)＜g(x). 当81≤x＜4时,f(x)-g(x)＞0,f(x)＞g(x). 13.已知a ＞0,b ＞0,且m,n ∈N +,求证:a m+n +b m+n ≥a m b n +a n b m .思路分析:根据所求证的式子的特点,适合比差,也有利于分解因式,最后讨论因式的符号.证明:(a m+n +b m+n )-(a m b n +a n b m )=a m (a n -b n )+b m (b n -a n )=(a n -b n )(a m -b m ).(1)当a ＞b ＞0时,a n ＞b n ,a m ＞b m .所以(a n -b n )(a m -b m )＞0.所以a m+n +b m+n ≥a m b n +a n b m .(2)同理可证,当b ＞a ＞0时,a m+n +b m+n ≥a m b n +a n b m .(3)当a=b 时,a m+n +b m+n =a m b n +a n b m .综上所述,可知原式得证.。
人教B版高中数学必修五第三章不等式关系与不等式.docx
第三章不等式§3.1 不等关系与不等式3.1.1 不等关系与不等式课时目标1.掌握实数运算的性质与大小顺序之间的关系.2.初步学会作差法比较实数的大小．1．不等式的定义含有不等号的式子叫做不等式．其中“a≥b”的含义是________，“a≤b”的含义是________．2．比较实数a，b的大小(1)文字叙述如果a－b是正数，那么a____b；如果a－b等于____，那么a＝b；如果a－b是负数，那么a____b，反之也成立．(2)符号表示a－b>0⇔a____b；a－b＝0⇔a____b；a－b<0⇔a____b.一、选择题1．f(x)＝3x2－x＋1，g(x)＝2x2＋x－1，则有( )A．f(x)>g(x)B．f(x)＝g(x)C．f(x)<g(x)D．不能确定f(x)与g(x)的大小关系2．下列四个数中最大的是( )A ．lg 2B ．lg 2C ．(lg 2)2D ．lg (lg 2)3．若等比数列{a n }的公比q>0，且q ≠1，又a 1<0，那么( ) A ．a 2＋a 6>a 3＋a 5 B ．a 2＋a 6<a 3＋a 5 C ．a 2＋a 6＝a 3＋a 5D ．a 2＋a 6与a 3＋a 5的大小不确定4．若a ＝ln 22，b ＝ln 33，c ＝ln 55，则( )A ．a<b<cB ．c<b<aC ．c<a<bD ．b<a<c5．若x ∈(e －1,1)，a ＝ln x ，b ＝2ln x ，c ＝ln 3x ，则( ) A ．a<b<c B ．c<a<b C ．b<a<c D ．b<c<a6．甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，如果两人步行速度、跑步速度均相同，则( ) A ．甲先到教室 B ．乙先到教室 C ．两人同时到教室 D ．谁先到教室不确定 二、填空题7．若x ∈R ，则x 1＋x 2与12的大小关系为________．8．设n >1，n ∈N ，A ＝n －n －1，B ＝n ＋1－n ，则A 与B 的大小关系为________．9．设x ，y ，z ∈R ，则5x 2＋y 2＋z 2与2xy ＋4x ＋2z －2的大小关系是__________________．10．设A ＝1＋2x 4，B ＝2x 3＋x 2，x ∈R ，则A 、B 的大小关系是________． 三、解答题11．设a >b >0，试比较a 2－b 2a 2＋b 2与a －ba ＋b的大小．12．已知a 、b ∈R ，求证：a 4＋b 4≥a 3b ＋ab 3.能力提升13．若0<a 1<a 2,0<b 1<b 2，且a 1＋a 2＝b 1＋b 2＝1，则下列代数式中值最大的是( ) A ．a 1b 1＋a 2b 2 B ．a 1a 2＋b 1b 2C ．a 1b 2＋a 2b 1 D.1214．设f (x )＝1＋log x 3，g (x )＝2log x 2，其中x ＞0且x ≠1，试比较f (x )与g (x )的大小．1．比较两个实数的大小，只要考察它们的差就可以了． a －b >0⇔a >b ；a －b ＝0⇔a ＝b ；a －b <0⇔a <b . 2．作差法比较的一般步骤 第一步：作差；第二步：变形，常采用配方、因式分解等恒等变形手段，将“差”化成“积”； 第三步：定号，就是确定是大于0，等于0，还是小于0.(不确定的要分情况讨论) 最后得结论．概括为“三步一结论”，这里的“定号”是目的，“变形”是关键．§3.1 不等关系与不等式 3．1.1 不等关系与不等式答案知识梳理1．a >b 或a ＝b a <b 或a ＝b 2.(1)> 0 < (2)> ＝ < 作业设计1．A [∵f (x )－g (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1>0，∴f (x )>g (x )．]2．A [因为lg 2∈(0,1)，所以lg(lg 2)<0，又因lg 2－(lg 2)2＝lg 2(12－lg 2)>0，lg 2－lg 2＝12lg 2>0，所以lg 2>lg 2>(lg 2)2>lg(lg 2)．]3．B [(a 2＋a 6)－(a 3＋a 5)＝a 1(q ＋q 5)－a 1(q 2＋q 4)＝a 1q (q 4－q 3－q ＋1)＝a 1q (q －1)2(q2＋q ＋1)∵a 1<0，q >0且q ≠1，q 2＋q ＋1>0，∴a 1q (q －1)2(q 2＋q ＋1)<0，∴a 2＋a 6<a 3＋a 5.]4．C [∵a ＝ln 2，b ＝ln 33，c ＝ln 55.且2＝68，33＝69，∴a <b .又55＝1025，2＝1032，∴c <a .故c <a <b .]5．C [∵1e<x <1，∴－1<ln x <0.令t ＝ln x ，则－1<t <0.∴a －b ＝t －2t ＝－t >0，∴a >b .c －a ＝t 3－t ＝t (t 2－1)＝t (t ＋1)(t －1)，又∵－1<t <0，∴0<t ＋1<1，－2<t －1<－1，∴c －a >0，∴c >a .∴c >a >b .]6．B [设甲用时间T ，乙用时间2t ，步行速度为a ，跑步速度为b ，距离为s ，则T ＝s2a＋s2b ＝s 2a ＋s 2b ＝s ×a ＋b 2ab ，ta ＋tb ＝s 2t ＝2s a ＋b ，∴T －2t ＝s a ＋b 2ab －2s a ＋b＝s ×a ＋b 2－4ab 2ab a ＋b ＝s a －b 22ab a ＋b>0，故乙先到教室．]7.x1＋x 2≤12解析 ∵x1＋x 2－12＝2x －1－x 221＋x 2＝－x －1221＋x 2≤0，∴x1＋x 2≤12. 8．A >B 解析 A ＝1n ＋n －1，B ＝1n ＋1＋n.∵n ＋n －1<n ＋1＋n ，并且都为正数，∴A >B .9．5x 2＋y 2＋z 2≥2xy ＋4x ＋2z －2解析 ∵5x 2＋y 2＋z 2－(2xy ＋4x ＋2z －2)＝4x 2－4x ＋1＋x 2－2xy ＋y 2＋z 2－2z ＋1＝(2x －1)2＋(x －y )2＋(z －1)2≥0，∴5x 2＋y 2＋z 2≥2xy ＋4x ＋2z －2，当且仅当x ＝y ＝12且z＝1时取到等号． 10．A ≥B解析 ∵A －B ＝1＋2x 4－2x 3－x 2＝2x 3(x －1)－(x 2－1)＝(x －1)(2x 3－x －1)＝(x －1)[(x 3－x )＋(x 3－1)]＝(x －1)2(x 2＋x ＋x 2＋x ＋1)＝(x －1)2(2x 2＋2x ＋1) ＝(x －1)2[2(x ＋12)2＋12]≥0，∴A ≥B .11．解 方法一 作差法a 2－b 2a 2＋b 2－a －ba ＋b＝a ＋ba 2－b 2－a －b a 2＋b 2a 2＋b 2a ＋b＝a －b [a ＋b2－a 2＋b 2]a 2＋b 2a ＋b＝2ab a －ba ＋ba 2＋b 2∵a >b >0，∴a ＋b >0，a －b >0,2ab >0. ∴2aba －b a ＋ba 2＋b 2>0，∴a 2－b 2a 2＋b 2>a －ba ＋b.方法二 作商法∵a >b >0，∴a 2－b 2a 2＋b 2>0，a －ba ＋b>0. ∴a 2－b 2a 2＋b 2a －b a ＋b ＝a ＋b 2a 2＋b 2＝a 2＋b 2＋2ab a 2＋b 2＝1＋2ab a 2＋b 2>1. ∴a 2－b 2a 2＋b 2>a －b a ＋b. 12．证明 (a 4＋b 4)－(a 3b ＋ab 3) ＝a 3(a －b )＋b 3(b －a )＝(a －b )(a 3－b 3)＝(a －b )2(a 2＋ab ＋b 2)＝(a －b )2[(a ＋b 2)2＋34b 2]∵(a －b )2≥0，(a ＋b 2)2＋34b 2≥0，∴(a －b )2[(a ＋b 2)2＋34b 2]≥0.∴a 4＋b 4≥a 3b ＋ab 3.13．A [方法一 特殊值法． 令a 1＝14，a 2＝34，b 1＝14，b 2＝34，则a 1b 1＋a 2b 2＝1016＝58，a 1a 2＋b 1b 2＝616＝38，a 1b 2＋a 2b 1＝616＝38，∵58>12>38，∴最大的数应是a 1b 1＋a 2b 2. 方法二 作差法．∵a 1＋a 2＝1＝b 1＋b 2且0<a 1<a 2,0<b 1<b 2， ∴a 2＝1－a 1>a 1，b 2＝1－b 1>b 1， ∴0<a 1<12，0<b 1<12.又a 1b 1＋a 2b 2＝a 1b 1＋(1－a 1)(1－b 1)＝2a 1b 1＋1－a 1－b 1，a 1a 2＋b 1b 2＝a 1(1－a 1)＋b 1(1－b 1)＝a 1＋b 1－a 21－b 21， a 1b 2＋a 2b 1＝a 1(1－b 1)＋b 1(1－a 1)＝a 1＋b 1－2a 1b 1，∴(a 1b 2＋a 2b 1)－(a 1a 2＋b 1b 2)＝a 21＋b 21－2a 1b 1＝(a 1－b 1)2≥0， ∴a 1b 2＋a 2b 1≥a 1a 2＋b 1b 2.∵(a 1b 1＋a 2b 2)－(a 1b 2＋a 2b 1)＝4a 1b 1＋1－2a 1－2b 1＝1－2a 1＋2b 1(2a 1－1)＝(2a 1－1)(2b 1－1)＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－12⎝ ⎛⎭⎪⎫b 1－12>0， ∴a 1b 1＋a 2b 2>a 1b 2＋a 2b 1.∵(a 1b 1＋a 2b 2)－12＝2a 1b 1＋12－a 1－b 1＝b 1(2a 1－1)－12(2a 1－1)＝(2a 1－1)⎝ ⎛⎭⎪⎫b 1－12＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－12⎝ ⎛⎭⎪⎫b 1－12>0，∴a 1b 1＋a 2b 2>12.综上可知，最大的数应为a 1b 1＋a 2b 2.]14．解 f (x )－g (x )＝1＋log x 3－2log x 2＝log x 3x4，①当⎩⎪⎨⎪⎧0＜x ＜1，3x4＞1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞1，0＜3x4＜1，即1＜x ＜43时，log x 3x4＜0，∴f (x )＜g (x )；②当3x 4＝1，即x ＝43时，log x 3x4＝0，即f (x )＝g (x )； ③当⎩⎪⎨⎪⎧0＜x ＜1，0＜3x4＜1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞1，3x4＞1，即0＜x ＜1，或x ＞43时，log x 3x4＞0，即f (x )＞g (x )．综上所述，当1＜x ＜43时，f (x )＜g (x )；当x ＝43时，f (x )＝g (x )；当0＜x ＜1，或x ＞43时，f (x )＞g (x )．。
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【高中数学新人教B 版必修5】3.1.1《不等关系与不等式》测试一．选择题：⒈甲、乙两人同时从A 到B 。
甲一半路程步行，一半路程跑步；乙一半时间步行，一半时间跑步。
如果两人步行速度、跑步速度均相同，则（ ）Ａ．甲先到B Ｂ．乙先到BＣ．两人同时到B Ｄ．谁先到无法确定⒉设a >b ，不等式⑴a 2>b 2，⑵a 1>b 1⑶b a -1>a1能成立的个数为（ ） Ａ．0 Ｂ．1 Ｃ．2 Ｄ．33．已知a 、b 、c 、d ∈R ＋，且a+d=b+c ，│a-d │<│b-c │，则（ ）A ．ad=bcB ．ad<bcC ．ad>bcD ．ad ≤bc４．下列判断正确的有（ ）个（1）m ∈N ，n ∈N 且m ≠ｎ，则ｍ＋ｎ>２．（2）a ∈Ｚ，b ∈Ｚ，则a+b ≥2（3）x=3,则x ≥3．（4）a-b=5，则a ≥b（5）x 2+2x+3恒为正数（6）a 、b 、c 为一个三角形的三条边，则（a-b ）2－c 2<0Ａ．２ Ｂ．３ Ｃ．４ Ｄ．５二．填空题：5．a 是三个正数a 、b 、c 中的最大的数，且b a ＝dc ，则a+d 与b+c 的大小关系是_______________．6．已知xy>0，x ≠y ，则x 4+6x 2y 2+y 4与4xy(x 2+y 2)的大小关系是______________．7． 已知ab<0，则||||||ab ab b b a a ++＝ 。
8． 若0<a<b ，a+b=1，则a 、b 、2ab 、a 2+b 2、21按从小到大的顺序排列为_______________．三．解答题：9． 表示下列不等关系（1）a 是正数 （2）a+b 是非负数 （3）a 小于3，但不小于－1 （4）a 与b 的差的绝对值不大于5。
10．求证ab+bc+cd+da ≤a 2+b 2+c 2+d 2并说出等号成立的条件．参考答案一、选择题1．B 解析：设甲用时间T ，乙用时间2t ，步行速度为a ，跑步速度为b ，距离为s ，则T=bs a s b sa s 2222+=+=s ab b a 2+；2t ＝b a s +2，∴T －2t=)(2)(2b a ab b a s +->0∴T>2t 2．A 解析：取3>2可知(2)不成立；取2>－3可知（1）（3）不成立3．C 解析：取a=1，d=4，b=2，c=34．C 解析：正确的有（3）（4）（5）（6）。
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3.1.1 不等关系与不等式
自我小测
1．若a ＝ln 22，b ＝ln 33，c ＝ln 55
，则( ) A ．a ＜b ＜c B ．c ＜b ＜a C ．c ＜a ＜b D ．b ＜a ＜c
2．如果a ＜0，b ＞0，那么下列不等式中正确的是( )
A ．1a <1b
B ．－a ＜b
C ．a 2＜b 2
D ．|a |＞|b | 3．已知a ＜b ，则下列不等式正确的是( )
A ．1a ＞1b
B ．a 2＞b 2
C ．2－a ＞2－b
D ．2a ＞2b 4．设a ，b ，c ，d ∈R ，且a ＞b ，c ＞d ，则下列结论中正确的是( )
A ．a ＋c ＞b ＋d
B ．a －c ＞b －d
C ．ac ＞bd
D ．a d >b c
5．如图，y ＝f (x )反映了某公司的销售收入y 与销量x 之间的函数关系，y ＝g (x )反映了该公司产品的销售成本与销量之间的函数关系．
(1)当销量x 满足________时，该公司赢利；(2)当销量x 满足________时，该公司亏损
( )
①x ＞a ；②x ＜a ；③x ≥a ；④0≤x ＜a ．
A ．①②
B ．③④
C ．①④
D ．②③
6．若f (x )＝3x 2－x ＋1，g (x )＝2x 2
＋x －1，则f (x )与g (x )的大小关系为________．
7．如果[x ]表示不超过x 的最大整数，a ＝[－3．1]，b ＝[m ]，c ＝[7．1]，且a ≤b ≤c ，那么实数m 的取值范围是________．
8．在等比数列{a n }和等差数列{b n }中，a 1＝b 1>0，a 3＝b 3>0，且a 1≠a 3，则a 2______b 2(选填“＞”“＜”“≥”或“≤”)．
9．若a ，b ，c 满足b ＋c ＝3a 2－4a ＋6，b －c ＝a 2－4a ＋4，试比较a ，b ，c 三个实数的大小．
10．船在流水中航行，在甲地和乙地之间来回行驶一次的平均速度和船在静水中的速度是否相等，为什么？
参考答案
1．解析：易知a ，b ，c 都是正数，b a ＝
2ln 33ln 2＝log 89＞1，所以b ＞a ；a c ＝5ln 22ln 5＝log 2532＞1，所以a ＞c ．所以b ＞a ＞c ．
答案：C
2．解析：如果a ＜0，b ＞0，那么1a ＜0，1b
＞0， ∴1a ＜1b
，故选A ． 答案：A
3．答案：C
4．解析：可以取值代入检验，也可以作差进行比较，由条件易知a +c -(b +d )＝(a -b )+(c -d )＞0，故选项A 正确．
答案：A
5．解析：当销售收入f (x )大于销售成本g (x )时，该公司赢利；当销售收入f (x )小于销售成本g (x )时，该公司亏损．故选C ．
答案：C
6．解析：f (x )－g (x )＝3x 2－x ＋1－(2x 2＋x －1)＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2
＋1＞0，所以f (x )＞g (x )．
答案：f (x )＞g (x )
7．解析：根据定义，可知a ＝－4，c ＝7，所以－4≤b ≤7．再根据定义知，m 最小值为－4，最大值也不能达到8，因此m 的取值范围是－4≤m ＜8．
答案：－4≤m ＜8
8．解析：设{a n }的公比为q ，{b n }的公差为d ，
则a 3＝a 1q 2，b 3＝b 1＋2d ＝a 1＋2d ．
∵a 3＝b 3，∴a 1q 2＝a 1＋2d ，即2d ＝a 1(q 2－1)．
∴d ＝12
a 1(q 2－1)． ∵a 1≠a 3＝a 1q 2，∴q 2≠1．∴q ≠±1．
∵a 2－b 2＝a 1q －(a 1＋d )
＝a 1q －a 1－12
a 1(q 2－1) ＝－12
a 1(q －1)2<0，∴a 2<
b 2． 答案：＜
9．解：b －c ＝a 2－4a ＋4＝(a －2)2
≥0．
所以b ≥c ．
由题意可得方程组22346,4 4.b c a a b c a a ⎧+=-+⎪⎨-=-+⎪⎩ 解得b ＝2a 2－4a ＋5，c ＝a 2
＋1． 所以c －a ＝a 2＋1－a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋34
＞0， 所以c ＞a ．故b ≥c ＞a ．
10．解：不相等．理由如下：设甲地到乙地的距离为s ，船在静水中的速度为v ，水流速度
为v ′(v ＞v ′＞0)，则船在流水中在甲地和乙地之间来回行驶一次的时间t ＝
s v ＋v ′
＋s v －v ′＝2vs v 2－v ′2，∴平均速度v ＝2s t ＝v 2－v ′2v ， ∴v －v ＝v 2－v ′2v －v ＝－v ′2v
＜0． ∴v ＜v ．
因此，船在流水中来回行驶一次的平均速度小于船在静水中的速度．。