计算方法 分段线性-三次样条插值 共53页PPT资料
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三次样条插值ppt
f [x, x0, xn1] f [x0, x1, xn ] f [x, x0, x1, xn ](x xn )
把以上各式由后向前代入,可得
Nn (x) f (x0) f [x0, x1](x x0) f [x0, x1, xn](x x0) (x xn1)
Rn (x) f (x) Nn (x) f [x, x0, x1, xn ](x x0) (x xn)
yi
n1 ( x) ( x xi )n' 1 ( xi )
（2）插值误差估计
定理2 设 f (n) (x) 在[a,b] 上连续，f (n1) (x)在 (a,b) 内存在, 节点 a x0 x1 xn b，Pn (x) 是拉格朗日插值多项 式，则对任意 x [a,b] , 插值余项
x4 f ( x4 ) f [x3, x4 ] f [x2 , x3 , x4 ] f [x1, x2, x3, x4 ] f [x0, x1, x2, x3, x4 ]
(2) Newton插值公式
由差约定义 x [a,b]
f (x) f (x0 ) f [x, x0 ](x x0 )
f [x, x0 ] f [x0, x1] f [x, x0, x1](x x1)
xn1] f [x1, x2 , x0 xn
xn ] n 阶差商
差商表
xk
f
(xk )
一阶 差商
二阶差商
三阶差商 四阶差商
x0 f (x0 )
x1 f (x1) f [x0, x1]
x2 f (x2 ) f [x1, x2 ] f [x0 , x1, x2 ]
x3 f (x3 ) f [x2, x3] f [x1, x2 , x3 ] f [x0, x1, x2, x3]
把以上各式由后向前代入,可得
Nn (x) f (x0) f [x0, x1](x x0) f [x0, x1, xn](x x0) (x xn1)
Rn (x) f (x) Nn (x) f [x, x0, x1, xn ](x x0) (x xn)
yi
n1 ( x) ( x xi )n' 1 ( xi )
（2）插值误差估计
定理2 设 f (n) (x) 在[a,b] 上连续，f (n1) (x)在 (a,b) 内存在, 节点 a x0 x1 xn b，Pn (x) 是拉格朗日插值多项 式，则对任意 x [a,b] , 插值余项
x4 f ( x4 ) f [x3, x4 ] f [x2 , x3 , x4 ] f [x1, x2, x3, x4 ] f [x0, x1, x2, x3, x4 ]
(2) Newton插值公式
由差约定义 x [a,b]
f (x) f (x0 ) f [x, x0 ](x x0 )
f [x, x0 ] f [x0, x1] f [x, x0, x1](x x1)
xn1] f [x1, x2 , x0 xn
xn ] n 阶差商
差商表
xk
f
(xk )
一阶 差商
二阶差商
三阶差商 四阶差商
x0 f (x0 )
x1 f (x1) f [x0, x1]
x2 f (x2 ) f [x1, x2 ] f [x0 , x1, x2 ]
x3 f (x3 ) f [x2, x3] f [x1, x2 , x3 ] f [x0, x1, x2, x3]
三次样条插值算法详解
S(x0)M0 S(xn)Mn
M0 Mn 0时，称为自然边界条件
故得：
S(x0)h602 (y1y0)h40 m 0
2 h0
m1
M0
S(xn)h6n21(ynyn1)
2 hn 1
mn 1
4 hn 1
mn
Mn
19
稍加整理得
2m0m13y1h0y0h20M0 g0 m n12m n3ynh n y 1n1hn 21M n gn
4
（1）因为s(x)在每个小区间上是一个次小于三次的多 项式，故有四个未知系数； （2）因为s(x)有n分段，从而共有4n个未知系数！ （3）但插值条件与样条条件仅给出4n-2个条件，无法 定出4n个未知系数，还差2个条件！这2个条件我们用 边界条件给出！
5
通常我们对插值多项式在两端点的状态加以要求也就是 所谓的边界条件:
i0,1,2,....n..1,
称为三次样条插 值问题三转角公
式！
23
例1. 对于给定的节点及函数值
xk 1 2 4 5 f (xk ) 1 3 4 2
求满足自然 S(x0边 )S界 (xn)条 0的件 三次样 插值S函 (x)并 ,数f求 (3)的近似值
解: 这是自然边界条件下的样条问题。
k
hk
x l im x iS (x ) S (x i 0 ) h 6 i2(y i 1 y i) h 4 im i h 2 im i 1 x l im x i S (x ) S (x i 0 ) h i2 6 1 (y i y i 1 ) h 2 i 1 m i 1 h 4 i 1 m i
14
由于在内部节点处二阶导数连续条件：
三次样条插值函数的求法
第八节三次样条插值-PPT精品文档
S(xi 0) S(xi 0) (i 1 ,2 , ,n1 ) S(xi 0) S(xi 0) (i 1 ,2 , ,n1 ) (xi 0) S (xi 0) (i 1 S ,2 , , n1 ) S(xi ) yi (i 0 ,1 ,2 , ,n)
则有
f [ xi 1 , xi ] ( 1 ) m 2 mm i i 1 i i i 1 i ,m m y y 并注意到 , x i 1 ]
差商
内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾 制作
因而有三对角方程组（基本方程组）
2m 1 1m 2 1 (11) y0 (1 )m 2m m 2 1 2 2 3 2 (1 )m 2m m n2 n3 n2 n2 n1 n2 (1n1)mn2 2mn1 n1 n1 yn
内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾 制作
边界条件的类型
(1) 已知一阶导数值： (2) 已知二阶导数值：
S ( x ) yS , ( x ) y 0 0 n n
Sx (0 ) ySx , (n ) y 0 n
(3)被逼近函数是周
期函数：
其系数行列式是一个三对角行列式，在后面将用追赶方法求 其解，于是得到分段插值多项式，即三次样条函数。
内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾 制作
基本步骤：
•构造已知条件（由三次样条函数的特征）；
•积分（反推）；
•确定系数：
•确定： •求出：
•利用边界条件，例如：
,i； Si ( x) m i
i
为了保证二阶导数的连续性，要求成立
s (0 x )(0 s x ) ,( 3 8 ) ( i 1 , 2 , , n 1 ) 3 i 3 i
第5章-3-三次样条插值PPT课件
(x
a)
m
m次截断多项式
a
.
7
定理5.5 任意s(x)∈Sm(x1,x2,…,xn)均可唯一地表示为
n
s(x)pm(x) cj(xxj)m , x (4-31) j1
其中pm(x)∈Pm，cj(j=1,2,…,n)为实数。
定理5.6 为使s(x)∈Sm(x1,x2,…,xn)，必须且只须存在pm(x)∈Pm
8
例1 验证分片多项式是三次样条函数。
1 2x
x 3
S ( x) 2825x9x2x3 3x1
2619x3x2x3 1x0
2619x3x2
0 x
解 利用上面的定理(光滑因子)验证．
(x 3)3,
2(x 1)3,
x3,
所以由定理5.5可知该函数为三次样条函数．
例，设
x3x2
0x1
S(x) a3xb2 xc x11x2
信息;
样? ?条?插插值值：:（样条函数—满足一定光滑性的分段多项式）。 局部性好, 满足一定光滑性, 收敛性保证, 只需要函数值
信息。
.
2
样条函数是一个重要的逼近工具，在插值、数值微分、曲 线拟合等方面有着广泛的应用。
定义5.3 对区间(-∞，+∞)的一个分割：
: x 1 x 2 x n ,
n
p n (x )p n 1 (x ) c n (x x n )m p0(x) cj(xxj)m j1
为了便于表示分段信息, 引进截断多项式：
(x a)m
(x a)m , x a,
0, x a,
(5-30)
易见
(x
a)
m
∈Cm-1(-∞,+∞)
数学数值分析三次样条插值PPT课件
第2页/共40页
2.8.1 三次样条函数
定义 给定区间[a,b]的一个划分 a=x0<x1<…<xn=b， yi=f (xi) (i=0,1,…,n),如果函数S(x)满足： (1) S(xi )=yi (i=0,1,…,n); (2) 在每个小区间[xi, xi+1] (i=0,1,...,n-1)上是次数不超
S上且( xS与)(x相)的(邻x表节达x点j式的1 )为2两[hh个jj3转2角( x有关x j，)]故y j称为三h转j=x角j+方1-x程j 。
(
x
x
j
)2[hj 2( hj3
x
x j1 )] y j1
(x
x j1 )2 ( x h2j
xj)
mj
(x
x j )2( x h2j
x j1 )
m j1
则方程组化为：
2 1 2 2 2
m1 g1 1 f0
m2
g2
n2 2 n2 mn2 gn2
n1 2 mn1 gn1 n1 fn
第10页/共40页
2、已知 S( x0 ) f0, S( xn ) fn
2m0
m1
3
f
[x0 ,
x1 ]
h0 2
f0
第18页/共40页
S(
x)
M
j
(
x j1 6hj
x)3
M
j1
(x
x 6hj
j
)3
(
y
j
M jh2j 6
)
x
j1 hj
x
(
y
j1
M
j1h2j 6
)
x
x hj
2.8.1 三次样条函数
定义 给定区间[a,b]的一个划分 a=x0<x1<…<xn=b， yi=f (xi) (i=0,1,…,n),如果函数S(x)满足： (1) S(xi )=yi (i=0,1,…,n); (2) 在每个小区间[xi, xi+1] (i=0,1,...,n-1)上是次数不超
S上且( xS与)(x相)的(邻x表节达x点j式的1 )为2两[hh个jj3转2角( x有关x j，)]故y j称为三h转j=x角j+方1-x程j 。
(
x
x
j
)2[hj 2( hj3
x
x j1 )] y j1
(x
x j1 )2 ( x h2j
xj)
mj
(x
x j )2( x h2j
x j1 )
m j1
则方程组化为：
2 1 2 2 2
m1 g1 1 f0
m2
g2
n2 2 n2 mn2 gn2
n1 2 mn1 gn1 n1 fn
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2、已知 S( x0 ) f0, S( xn ) fn
2m0
m1
3
f
[x0 ,
x1 ]
h0 2
f0
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S(
x)
M
j
(
x j1 6hj
x)3
M
j1
(x
x 6hj
j
)3
(
y
j
M jh2j 6
)
x
j1 hj
x
(
y
j1
M
j1h2j 6
)
x
x hj
样条函数及三次样条插值PPT课件
(x)
lim
x xk
Sk 1( x)
lim
x
x
k
Sk (x)
lim
x
x
k
Sk1( x)
k 1,2,,n 1
------(4)
lim
x
x
k
Sk( x)
lim
x
x
k
Sk1( x)
共4n 2个条件
5
Sk (x)是[xk , xk 1 ]上的三次样条插值多项式,应有4个待定的系数 即要确定S(x)必须确定4n个待定的系数 少两个条件 并且我们不能只对插值函数在中间节点的状态进行限制 也要对插值多项式在两端点的状态加以要求 也就是所谓的边界条件:
例. 使用不同的插值方法于函数
y
1
1 x2
x [5,5]
最后，介绍一个有用的结论
定理 . 设f (x) C 2[a,b], S(x)是以xk (k 0,1,, n)
为节点, 满足任意边界条件的三次样条插值函数，
设hi
xi 1
xi
,
h
max
0in1
hi
,
min
0in1
hi
,
则当 h
c 时
S(x)和S(x)在[a,b]上一致收敛到f (x)和f (x)
------(6)
13
由(11)式,可知
S0( x0
)
6( x0
x1 h03
2 x0
) ( y1
y0 )
6 x0
2 x0 h02
4 x1
m0
6 x0
4 x0 h02
2 x1
m1
6 h02
(
三次样条插值
yi1 hi
yi
hi 6
Mi1 Mi
(3.2)
Cubic Spline
由 S(x) 在内结点处一阶导数连续，即
Si( xi 0) Si1( xi 0), i 1, 2,L , n 1
可得关于参数 M j 的方程组，即三弯矩方程的形式为
其中
i Mi1 2Mi i Mi1 i , i 1, 2,L , n 1
f
n
mn .
（II类）
（3）周期边界条件
S k ( x0 ) S k ( xn ), k 0,1, 2.
（III 类）
此时，对函数值有周期条件 f ( x0 ) f ( xn ).
Cubic Spline 由boundary conditions 唯一确定。
定理 三次样条插值问题的解存在且唯一。
hi 1 (i 0,1, 2)
i i
i
i
0
1
6
1 12
12
-3
2 12
12
36
31
-78
得方程组 2 1 0 0 M0 6
1 2
0 0
2 12 0
12 2 1
0 12 2
M1 M2 M3
3 36 78
Cubic Spline
解得
M0
28 3
28 M1 3
106 M2 3
② 计算 Mi (追赶法等) ;
③ 找到 x 所在区间 ( 即找到相应的 i ) ;
④ 由该区间上的 S(x) 算出 f(x) 的近似值。
例 由函数表
Cubic Spline
j
0
1
2
3
xj
0
计算方法分段线性_三次样条插值
计算方法分段线性_三次样条插值分段线性和三次样条插值是两种常用的插值方法，在数值分析和插值问题中广泛使用。
1.分段线性插值分段线性插值是一种简单直观的插值方法，将插值区间划分为若干个子区间，在每个子区间上用线性函数进行插值。
假设给定的插值节点有n+1 个，节点为 (x0, y0), (x1, y1), ..., (xn, yn)，并且满足 x0 <x1 < ... < xn。
则对于任意 xx 使得 x 在 [xi, xi+1] 之间，可以通过线性插值得到其函数值 yy，即：yy = yi + (xx - xi) * (yi+1 - yi) / (xi+1 - xi)分段线性插值方法简单易懂，适用于一些较简单的插值问题。
但是由于插值函数在节点之间是线性的，可能不能准确地反映出数据的特征，因此不适用于一些需要高精度的插值问题。
三次样条插值是一种更复杂、更精确的插值方法，将插值区间划分为若干个子区间，在每个子区间上用三次多项式进行插值。
三次样条插值方法的基本思想是找到一组三次多项式，满足在每个子区间内插值点的函数值和一阶导数值相等，并且两个相邻多项式在节点处的二阶导数值也相等。
具体的求解步骤如下：(1) 假设有 n+1 个插值节点 (x0, y0), (x1, y1), ..., (xn, yn)，构造 n 个三次多项式，即每个多项式在 [xi, xi+1] 之间插值。
(2) 对每个子区间内的多项式进行插值，设第 i 个子区间的多项式为 Si(x) = ai + bi(x-xi) + ci(x-xi)^2 + di(x-xi)^3、将插值节点的函数值和一阶导数值代入多项式中，可以得到 n 个线性方程，利用这 n 个线性方程可以求解出 n 个子区间的系数。
(3)由于n个子区间的多项式必须在节点处一阶导数值相等，因此再设立n-1个方程，利用这些方程可以求解出n-1个子区间的二阶导数值。
(4)将求解得到的系数和二阶导数值代入每个子区间的多项式中，得到完整的三次样条插值函数。
三次样条插值算法详解
局限性
三次样条插值算法要求数据点数量较多，且在某些情况下可能存在数值不稳定性，如数据 点过多或数据点分布不均等情况。此外，该算法对于离散数据点的拟合效果可能不如其他 插值方法。
对未来研究的展望
01
02
03
改进算法稳定性
针对数值不稳定性问题， 未来研究可以探索改进算 法的数值稳定性，提高算 法的鲁棒性。
3
数据转换
对数据进行必要的转换，如标准化、归一化等， 以适应算法需求。
构建插值函数
确定插值节点
根据数据点确定插值节点，确保插值函数在节点处连续且光滑。
构造插值多项式
根据节点和数据点，构造三次多项式作为插值函数。
确定边界条件
根据实际情况确定插值函数的边界条件，如周期性、对称性等。
求解插值函数
求解线性方程组
06
结论
三次样条插值算法总结
适用性
三次样条插值算法适用于各种连续、光滑、可微的分段函数插值问题，尤其在处理具有复 杂变化趋势的数据时表现出色。
优点
该算法能够保证插值函数在分段连接处连续且具有二阶导数，从而在插值过程中保持数据 的平滑性和连续性。此外，三次样条插值算法具有简单、易实现的特点，且计算效率较高 。
根据数据点的数量和分布，合理分段，确保 拟合的精度和连续性。
求解线性方程组
使用高效的方法求解线性方程组，如高斯消 元法或迭代法。
结果输出
输出拟合得到的插值函数，以及相关的误差 分析和图表。
03
三次样条插值算法步骤
数据准备
1 2
数据收集
收集需要插值的原始数据点，确保数据准确可靠。
数据清洗
对数据进行预处理，如去除异常值、缺失值处理 等。
三次样条插值算法要求数据点数量较多，且在某些情况下可能存在数值不稳定性，如数据 点过多或数据点分布不均等情况。此外，该算法对于离散数据点的拟合效果可能不如其他 插值方法。
对未来研究的展望
01
02
03
改进算法稳定性
针对数值不稳定性问题， 未来研究可以探索改进算 法的数值稳定性，提高算 法的鲁棒性。
3
数据转换
对数据进行必要的转换，如标准化、归一化等， 以适应算法需求。
构建插值函数
确定插值节点
根据数据点确定插值节点，确保插值函数在节点处连续且光滑。
构造插值多项式
根据节点和数据点，构造三次多项式作为插值函数。
确定边界条件
根据实际情况确定插值函数的边界条件，如周期性、对称性等。
求解插值函数
求解线性方程组
06
结论
三次样条插值算法总结
适用性
三次样条插值算法适用于各种连续、光滑、可微的分段函数插值问题，尤其在处理具有复 杂变化趋势的数据时表现出色。
优点
该算法能够保证插值函数在分段连接处连续且具有二阶导数，从而在插值过程中保持数据 的平滑性和连续性。此外，三次样条插值算法具有简单、易实现的特点，且计算效率较高 。
根据数据点的数量和分布，合理分段，确保 拟合的精度和连续性。
求解线性方程组
使用高效的方法求解线性方程组，如高斯消 元法或迭代法。
结果输出
输出拟合得到的插值函数，以及相关的误差 分析和图表。
03
三次样条插值算法步骤
数据准备
1 2
数据收集
收集需要插值的原始数据点，确保数据准确可靠。
数据清洗
对数据进行预处理，如去除异常值、缺失值处理 等。
-三次样条插值课件
Ai
1 hi
y i 1
1 6
M
h2
i1 i
,
Bi
1 hi
yi
1 6
M
i
hi2
将其代入（5.31）即得
第8页，共38页。
Si (x)
M i1
(xi x)3 6hi
Mi
(x xi1 )3 6hi
yi1
M i1 6
hi2
(xi hi
x)
yi
Mi 6
hi2
(x
xi1) hi
)
将
x0
1, x1
2, y0
1, y1
3, h1
1, M 0
0, M1
3 4
代入上式化简后得
S1 (x)
1 8
x3
3 8
x2
7 4
x
1
同理S(x)在 x1 , x2 上的表达式为
S2 (x)
1 8
x3
3 8
x2
7 4
x
1
第20页，共38页。
S(x)在 x2 , x3 上的表达式为
S3 (x)
S i( x)
M i1
xi x xi1 xi
Mi
x xi1 xi xi1
记 hi xi x，i1 则有
S i( x)
M i1
xi x hi
Mi
x xi1 hi
第7页，共38页。
连续两次积分得
Si (x)
M i1
(xi x)3 6hi
Mi
(x xi1 )3 6hi
Ai (xi
y0
M 0
h1 2
y1 y0 h1
h1 6
计算方法分段线性三次样条插值专业知识讲座
S(x)在区间45,60上的线性插值为：
S (x x 1 x x x 2 2 ) f1 ) ( x x x 2 x x 1 1 f2 ( ) x 3 3 2 0 x 2 2 3 2 3
S(x)在区间60,9ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ上的线性插值为：
S (x x x 2 x x 3 3 )f2 ( ) x x x 3 x x 2 2 f3 ( ) x 2 63 x 0 3 2 3 2
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另外，从舍入误差来看，高次插值误差的传播也 较为严重，一个节点上产生的舍入误差会在计算 中不断放大，并传播到其它节点上。
因此，次数太高的高次插值多项式往往并不实用， 因为节点数增加时，计算量增大了，但插值函数 的精度未必能够提高。称为龙格现象。
考察函数 f当(之 x 处，1 请) 联1 x 系2 本,人或 网5 站删除x 。 5
右图给出了 P5 (x )
和 P1 0(x)的图像,当n 增大时,Pn ( x ) 在两端
会发生激烈的振荡，
y P 10(x)
f(x)
称为龙格现象。
P 5(x)
-5
0
5x
该现象表明：在大范围内使用高次插值,逼近的 效果往往是不理想的。
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2.4.1 高次插值当之的处龙，格请联现系象本人或网站删除。
插值多项式余项公式
R( x(f)(n n 1(1 ) ξ)()!xx0)( xx1)(xxn)， ξ(ab,)
例：设函数f(x)定义在区间[0, 1]上 ，并且满足 |f(4) (x)|<1，xϵ[0, 1]。在4个插值节点 x0=0, x1=1/3, x2=2/3, x3=1, 对f(x)进行插值得多项式P3(x)，估计误差。
S (x x 1 x x x 2 2 ) f1 ) ( x x x 2 x x 1 1 f2 ( ) x 3 3 2 0 x 2 2 3 2 3
S(x)在区间60,9ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ上的线性插值为：
S (x x x 2 x x 3 3 )f2 ( ) x x x 3 x x 2 2 f3 ( ) x 2 63 x 0 3 2 3 2
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另外，从舍入误差来看，高次插值误差的传播也 较为严重，一个节点上产生的舍入误差会在计算 中不断放大，并传播到其它节点上。
因此，次数太高的高次插值多项式往往并不实用， 因为节点数增加时，计算量增大了，但插值函数 的精度未必能够提高。称为龙格现象。
考察函数 f当(之 x 处，1 请) 联1 x 系2 本,人或 网5 站删除x 。 5
右图给出了 P5 (x )
和 P1 0(x)的图像,当n 增大时,Pn ( x ) 在两端
会发生激烈的振荡，
y P 10(x)
f(x)
称为龙格现象。
P 5(x)
-5
0
5x
该现象表明：在大范围内使用高次插值,逼近的 效果往往是不理想的。
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2.4.1 高次插值当之的处龙，格请联现系象本人或网站删除。
插值多项式余项公式
R( x(f)(n n 1(1 ) ξ)()!xx0)( xx1)(xxn)， ξ(ab,)
例：设函数f(x)定义在区间[0, 1]上 ，并且满足 |f(4) (x)|<1，xϵ[0, 1]。在4个插值节点 x0=0, x1=1/3, x2=2/3, x3=1, 对f(x)进行插值得多项式P3(x)，估计误差。
数值计算方法三次样条插值演示文稿
第14页，共68页。
三次样条插值
对于待定系数a j ,bj , c j .d j j 1,2,...n,即4n个未知系数， 而插值条件为4n 2个，还缺两个，因此须给出两个 条件称为边界条件，有以下三类： 第一类 已知两端点的一阶导数
s( s(
x0 xn
) )
f (x0 ) m0 f (xn ) mn
第12页，共68页。
4.4.2 三次样条插值
定义 设函数f (x)是区间[a,b]上的二次连续可微函数， 在区间[a，b]上给出一个划分
：a x0 x1 ... xn1 xn b 如果函数s( x)满足条件
（1）s(x j ) f (x j ) ( j 0,1,2,...n); (2) 在每个小区间[x j1, x j ]( j 1,2,..., n)上s(x)是不超过
Mi 2!
( xi 1
xi )2
M i1 3!
Mi
( xi 1
xi )2
解得
s(xi )
yi1 yi xi1 xi
(
1 6
M
i 1
2 6
M
i
)( xi 1
xi
)
(1)
第18页，共68页。
三次样条插值
同理在[xi1, xi ]上讨论得
s(xi )
yi xi
yi1 xi1
(
2 6
M
i
1 6 M i1)(xi
第21页，共68页。
三次样条插值
第一类边界条件：s(x0 ) f (x0 ) s(xn ) f (xn )
(1) 式中令i 0得
s(x0 )
y1 x1
y0 x0
(1 6
【VIP专享】_三次样条插值课件
S (x0 ) S (xn ), S (x0 ) S (xn )
这样，由上给定的任一种边界条件加上插值条件
和连接条件，就能得出4n个方程，可以惟一确 定4n个系数。从而得到三次样条插值函数S(x) 在各个子区间xi , xi+1上的表达式S(xi） (i=1,2,…,)。但是，这种做法当n较大时，计 算工作很大，不便于实际应用。因此我们希望找
三次样条插值函数S(x)是一个分段三次多项式,要求出 S(x),在每个小区间xi,xi+1上要确定4个待定参数,若用 Si(x)表示它在第i个子区间xi,xi+1上的表达式，则
Si (x) ai0 ai1x ai2 x2 ai3 x3 i 0,1, , n 1
其中四个待定系数为 ai0 , ai1, ai2 , ai3 ,子区间共有n个 所以要确定S(x)需要4n个待定系数。
第二种类型：给定两端点f(x)的二阶导数值：
S (x0 ) f (x0 ), S (xn ) f (xn )
作为特例,S(x0 ) S(xn ) 0 称为自然边界条件。满 足自然边界条件的三次样条插值函数称为自然样 条插值函数。
第三种类型：当f(x)是以为 xn x0 周期的函数时， 则要求S(x)也是周期函数,这时边界条件应满足 当 f (x0 ) f (xn ) 时，
i 1,2, , n 1
上述二式共给出了4n-2个条件,而待定系数有4n个,因此 还需要2个条件才能确定S(x),通常在区间端点上
a x0 ,b xn 各加一个条件,称为边界条件, 常用边 界条件有三种类型。
第一种类型：给定两端点f(x)的一阶导数值：
S (x0 ) f (x0 ), S (xn ) f (xn )
另一方面,要求分段三次多项式S(x)及其导数 S(x) 和 S(x) 在整个插值区间a,b上连续,则要求它们在 各个子区间的连接点 x0 , x1 , , xn1 上连续， 即满足条件
这样，由上给定的任一种边界条件加上插值条件
和连接条件，就能得出4n个方程，可以惟一确 定4n个系数。从而得到三次样条插值函数S(x) 在各个子区间xi , xi+1上的表达式S(xi） (i=1,2,…,)。但是，这种做法当n较大时，计 算工作很大，不便于实际应用。因此我们希望找
三次样条插值函数S(x)是一个分段三次多项式,要求出 S(x),在每个小区间xi,xi+1上要确定4个待定参数,若用 Si(x)表示它在第i个子区间xi,xi+1上的表达式，则
Si (x) ai0 ai1x ai2 x2 ai3 x3 i 0,1, , n 1
其中四个待定系数为 ai0 , ai1, ai2 , ai3 ,子区间共有n个 所以要确定S(x)需要4n个待定系数。
第二种类型：给定两端点f(x)的二阶导数值：
S (x0 ) f (x0 ), S (xn ) f (xn )
作为特例,S(x0 ) S(xn ) 0 称为自然边界条件。满 足自然边界条件的三次样条插值函数称为自然样 条插值函数。
第三种类型：当f(x)是以为 xn x0 周期的函数时， 则要求S(x)也是周期函数,这时边界条件应满足 当 f (x0 ) f (xn ) 时，
i 1,2, , n 1
上述二式共给出了4n-2个条件,而待定系数有4n个,因此 还需要2个条件才能确定S(x),通常在区间端点上
a x0 ,b xn 各加一个条件,称为边界条件, 常用边 界条件有三种类型。
第一种类型：给定两端点f(x)的一阶导数值：
S (x0 ) f (x0 ), S (xn ) f (xn )
另一方面,要求分段三次多项式S(x)及其导数 S(x) 和 S(x) 在整个插值区间a,b上连续,则要求它们在 各个子区间的连接点 x0 , x1 , , xn1 上连续， 即满足条件
分段线性插值与三次样条插值法
index = i; break; end end h = x(index+1) - x(index); fl = y(index)*(1+2*(x0-x(index))/h)*(x0-x(index+1))^2/h/h + ... y(index+1)*(1-2*(x0-x(index+1))/h)*(x0-x(index))^2/h/h; f = fl;
实验内容： 编写分段线性插值法及三次样条插值法通用子程序，依据数据表 xi
xi
构造相应的插值多项式，并计算函数 f (x) x 在 x 2.15的近似值。
精选文档.
.
实验步骤及程序： 1、分段线性插值法流程图
是
否 是
否
执行求拉格朗日插值的 程序，计算以 为节 点的线性插值函数在插 值点的函数值
精选文档.
.
结果分析与讨论：
运用 MATLAB 分别对分段线性插值和三次样条插值进行编程的到数值均为
说明实验结果准确无误，通过实验可以得出，在低阶方程的求解中，两种方法均能精确的 得到近似解，但是在高阶方程的求解中三次样条插值方法更加精确，误差较小，由于运用 追赶法求解，速度要比分段线性插值更加的快，这就说明在应对不同阶数的方程时，我们 应该选用最优方法。
A(i,i-1)=dx(i-1); A(i,i)=2*(dx(i-1)+dx(i)); A(i,i+1)=dx(i); B(i,1)=3*(dy(i)/dx(i)-dy(i-1)/dx(i-1)); end
精选文档.
.
%自然样条端点条件(端点二阶导数为零)% if flag==0;
A(1,1)=1; A(n,n)=1; end %---------------------------------% %端点一阶导数条件% if flag==1 A(1,1)=2*dx(1); A(1,2)=dx(1); A(n,n-1)=dx(n-1); A(n,n)=2*dx(n-1); B(1,1)=3*(dy(1)/dx(1)-vl); B(n,1)=3*(vr-dy(n-1)/dx(n-1)); end %---------------% %端点二阶导数条件% if flag==2 A(1,1)=2; A(n,n)=2; B(1,1)=vl; B(n,1)=vr; end %---------------% c=A\B; for i=1:n-1 d(i)=(c(i+1)-c(i))/(3*dx(i)); b(i)=dy(i)/dx(i)-dx(i)*(2*c(i)+c(i+1))/3; end [mm,nn]=size(xx); yy=zeros(mm,nn); for i=1:mm*nn for ii=1:n-1
实验内容： 编写分段线性插值法及三次样条插值法通用子程序，依据数据表 xi
xi
构造相应的插值多项式，并计算函数 f (x) x 在 x 2.15的近似值。
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实验步骤及程序： 1、分段线性插值法流程图
是
否 是
否
执行求拉格朗日插值的 程序，计算以 为节 点的线性插值函数在插 值点的函数值
精选文档.
.
结果分析与讨论：
运用 MATLAB 分别对分段线性插值和三次样条插值进行编程的到数值均为
说明实验结果准确无误，通过实验可以得出，在低阶方程的求解中，两种方法均能精确的 得到近似解，但是在高阶方程的求解中三次样条插值方法更加精确，误差较小，由于运用 追赶法求解，速度要比分段线性插值更加的快，这就说明在应对不同阶数的方程时，我们 应该选用最优方法。
A(i,i-1)=dx(i-1); A(i,i)=2*(dx(i-1)+dx(i)); A(i,i+1)=dx(i); B(i,1)=3*(dy(i)/dx(i)-dy(i-1)/dx(i-1)); end
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%自然样条端点条件(端点二阶导数为零)% if flag==0;
A(1,1)=1; A(n,n)=1; end %---------------------------------% %端点一阶导数条件% if flag==1 A(1,1)=2*dx(1); A(1,2)=dx(1); A(n,n-1)=dx(n-1); A(n,n)=2*dx(n-1); B(1,1)=3*(dy(1)/dx(1)-vl); B(n,1)=3*(vr-dy(n-1)/dx(n-1)); end %---------------% %端点二阶导数条件% if flag==2 A(1,1)=2; A(n,n)=2; B(1,1)=vl; B(n,1)=vr; end %---------------% c=A\B; for i=1:n-1 d(i)=(c(i+1)-c(i))/(3*dx(i)); b(i)=dy(i)/dx(i)-dx(i)*(2*c(i)+c(i+1))/3; end [mm,nn]=size(xx); yy=zeros(mm,nn); for i=1:mm*nn for ii=1:n-1
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S(x)在区间60,90上的线性插值为：
S (x x x 2 x x 3 3 )f2 ( ) x x x 3 x x 2 2 f3 ( ) x 2 63 x 0 3 2 3 2
将各小区间的线性插值函数连接在一起，得
2 1x 30
3 2
2
S(x)
则S(x)在区间30,45上的线性插值为：
S (x x x 0 x x 1 ) 1 f0 ( ) x x x 1 x x 0 0f1 ( ) x 2 3 1 x 0 3 2 2
S(x)在区间45,60上的线性插值为：
S (x x 1 x x x 2 2 ) f1 ) ( x x x 2 x x 1 1 f2 ( ) x 3 3 2 0 x 2 2 3 2 3
计算方法 (Numerical Analysis)
第3次 分段线性插值与三次样条插值
内容
1. 高次插值的龙格现象 2. 分段线性插值与误差估计 3. 三次样条插值与误差估计
高次插值的龙格现象
2.4.1 高次插值的龙格现象 插值多项式余项公式
R( x(f)(n n 1(1 ) ξ)()!xx0)( xx1)(xxn)， ξ(ab,)
• 插值节点的个数：插值节点越多，即使用高 次插值，误差越小
• f(x)的高阶导数绝对值：越小，误差越小
适当提高插值多项式的次数，有可能提高 计算结果的准确程度，但并非次数越高越 好。
当插值节点增多时，也不能绝对保证非节 点处的插值精度得到改善，有时反而误差 更大。
考察函数 f( x1) 1 x2, 5x5
因此，次数太高的高次插值多项式往往并不实用， 因为节点数增加时，计算量增大了，但插值函数 的精度未必能够提高。称为龙格现象。
Home
分段线性插值与误差估计
为克服龙格现象，可以采用分段插值的方法：
• 将插值区间分成若干个小的区间，在每 个小区间进行线性插值，
• 然后相互连接，用连接相邻节点的折线 逼近被插函数
10 5
在[2,3]上，
S(x)x3f(2)x2f(3)1(x3) 1(x2)
23 32
5
10
110x5 2
在[3,4]上， S(x)3 x4 4f(3)x4-3 3f(4)110(x4)117(x3) 177x01 89 5
在[4,5]上， S(x)4 x5 5f(4)x5-44f(5)117(x5) 216(x4) 494x223211
将这些分段线性函数拼接在一起，得：
S(x)2 x1， x[0,1] S(x ) 3x4,x[1,2]
10 5
S(x ) 1x2,x[2,3] 10 5
S( x )1 77x0 1 89 5 ,x[3,4]
S( x)9x31 ,x[4,5] 442221
分段线性插值的误差估计（仅对充分光滑的f(x)成立）
|
R(x)||
f(4)(ξ )(x 4!
x0)(x
x1)(x
x2)(x x3)
|
1| 4！
(x x0)(x x1)(x x2)(x x3)
|
41！
1 3
31
2 3
1
6248
0.0031
但是当区间[a, b]比较大的时候，误差可能很大。
影响误差的因素：一般地说
例：设函数f(x)定义在区间[0, 1]上 ，并且满足 |f(4) (x)|<1，xϵ[0, 1]。在4个插值节点 x0=0, x1=1/3, x2=2/3, x3=1, 对f(x)进行插值得多项式P3(x)，估计误差。
下面讨论误差的情况：
0x
1
设|f(4()x|)1x , (0,1)
则3次插值多项式差的误
(k xxxk1)
在几何上就是用折线替代曲线,如图所示。
y
y=f(x)
y=p(x)
x0 x1
x2
xn x
例2.19 已知f(x)在四个节点上的函数表如下：
xi
30 45 60 90
f(xi) 1
2
31
2
2
2
求f(x)在区间30,90上的分段连续线性插值函数 S(x)。
解：将插值区间30,90分成连续的三个小区间 30, 45, 45, 60, 60, 90
3 30
2
x
2
2
3 2
3
2 3
60
x
33 2
2
30 x 45 45 x 60 60 x 90
y
1
0.87
y=S(x)
0.7
连续但不光滑
0.5
30
45
60
90
x
练习 函数f(x 1)1x2 ,求其在[0分 ,5段 ]上 线性插值多项 节式 点。 取插 为值 3 0,， 4,15,
而不是在整 个区间[a, b] 上做线性插 值。
a
b
2.4.2 分段线性插值
设f(x)在n+1个节点 a x0 x 1 … xnb 上的函数值为 f(0)xf,(1)x …, ,f(n)x 。
在每个小区间
[x k,xk1]k , 0,1n,...,
上作线性插值，得
S 1 (x x x ) k x x k k 1 1fk () x x x k 1 x x kkfk ( 1 ) x
xi
012345
f(xi) 1
11Leabharlann 1112
5 10 17 26
解：在[0, 1]上（课堂练习）
S( x0 x ) 1 1f(0 x 1 ) 0 0f(1 1)x2 x2 x1
在[1,2]上， S(x)x 122f(1)2 x1 1f(2)2 1(x2)5 1(x1) 3x4
右图给出了 P5 (x )
和 P1 0(x)的图像,当n 增大时,Pn ( x ) 在两端
会发生激烈的振荡，
y P 10(x)
f(x)
称为龙格现象。
P 5(x)
-5
0
5x
该现象表明：在大范围内使用高次插值,逼近的 效果往往是不理想的。
另外，从舍入误差来看，高次插值误差的传播也 较为严重，一个节点上产生的舍入误差会在计算 中不断放大，并传播到其它节点上。
定理 设f(x)在a, b有2阶导数，
S (x x x 2 x x 3 3 )f2 ( ) x x x 3 x x 2 2 f3 ( ) x 2 63 x 0 3 2 3 2
将各小区间的线性插值函数连接在一起，得
2 1x 30
3 2
2
S(x)
则S(x)在区间30,45上的线性插值为：
S (x x x 0 x x 1 ) 1 f0 ( ) x x x 1 x x 0 0f1 ( ) x 2 3 1 x 0 3 2 2
S(x)在区间45,60上的线性插值为：
S (x x 1 x x x 2 2 ) f1 ) ( x x x 2 x x 1 1 f2 ( ) x 3 3 2 0 x 2 2 3 2 3
计算方法 (Numerical Analysis)
第3次 分段线性插值与三次样条插值
内容
1. 高次插值的龙格现象 2. 分段线性插值与误差估计 3. 三次样条插值与误差估计
高次插值的龙格现象
2.4.1 高次插值的龙格现象 插值多项式余项公式
R( x(f)(n n 1(1 ) ξ)()!xx0)( xx1)(xxn)， ξ(ab,)
• 插值节点的个数：插值节点越多，即使用高 次插值，误差越小
• f(x)的高阶导数绝对值：越小，误差越小
适当提高插值多项式的次数，有可能提高 计算结果的准确程度，但并非次数越高越 好。
当插值节点增多时，也不能绝对保证非节 点处的插值精度得到改善，有时反而误差 更大。
考察函数 f( x1) 1 x2, 5x5
因此，次数太高的高次插值多项式往往并不实用， 因为节点数增加时，计算量增大了，但插值函数 的精度未必能够提高。称为龙格现象。
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分段线性插值与误差估计
为克服龙格现象，可以采用分段插值的方法：
• 将插值区间分成若干个小的区间，在每 个小区间进行线性插值，
• 然后相互连接，用连接相邻节点的折线 逼近被插函数
10 5
在[2,3]上，
S(x)x3f(2)x2f(3)1(x3) 1(x2)
23 32
5
10
110x5 2
在[3,4]上， S(x)3 x4 4f(3)x4-3 3f(4)110(x4)117(x3) 177x01 89 5
在[4,5]上， S(x)4 x5 5f(4)x5-44f(5)117(x5) 216(x4) 494x223211
将这些分段线性函数拼接在一起，得：
S(x)2 x1， x[0,1] S(x ) 3x4,x[1,2]
10 5
S(x ) 1x2,x[2,3] 10 5
S( x )1 77x0 1 89 5 ,x[3,4]
S( x)9x31 ,x[4,5] 442221
分段线性插值的误差估计（仅对充分光滑的f(x)成立）
|
R(x)||
f(4)(ξ )(x 4!
x0)(x
x1)(x
x2)(x x3)
|
1| 4！
(x x0)(x x1)(x x2)(x x3)
|
41！
1 3
31
2 3
1
6248
0.0031
但是当区间[a, b]比较大的时候，误差可能很大。
影响误差的因素：一般地说
例：设函数f(x)定义在区间[0, 1]上 ，并且满足 |f(4) (x)|<1，xϵ[0, 1]。在4个插值节点 x0=0, x1=1/3, x2=2/3, x3=1, 对f(x)进行插值得多项式P3(x)，估计误差。
下面讨论误差的情况：
0x
1
设|f(4()x|)1x , (0,1)
则3次插值多项式差的误
(k xxxk1)
在几何上就是用折线替代曲线,如图所示。
y
y=f(x)
y=p(x)
x0 x1
x2
xn x
例2.19 已知f(x)在四个节点上的函数表如下：
xi
30 45 60 90
f(xi) 1
2
31
2
2
2
求f(x)在区间30,90上的分段连续线性插值函数 S(x)。
解：将插值区间30,90分成连续的三个小区间 30, 45, 45, 60, 60, 90
3 30
2
x
2
2
3 2
3
2 3
60
x
33 2
2
30 x 45 45 x 60 60 x 90
y
1
0.87
y=S(x)
0.7
连续但不光滑
0.5
30
45
60
90
x
练习 函数f(x 1)1x2 ,求其在[0分 ,5段 ]上 线性插值多项 节式 点。 取插 为值 3 0,， 4,15,
而不是在整 个区间[a, b] 上做线性插 值。
a
b
2.4.2 分段线性插值
设f(x)在n+1个节点 a x0 x 1 … xnb 上的函数值为 f(0)xf,(1)x …, ,f(n)x 。
在每个小区间
[x k,xk1]k , 0,1n,...,
上作线性插值，得
S 1 (x x x ) k x x k k 1 1fk () x x x k 1 x x kkfk ( 1 ) x
xi
012345
f(xi) 1
11Leabharlann 1112
5 10 17 26
解：在[0, 1]上（课堂练习）
S( x0 x ) 1 1f(0 x 1 ) 0 0f(1 1)x2 x2 x1
在[1,2]上， S(x)x 122f(1)2 x1 1f(2)2 1(x2)5 1(x1) 3x4
右图给出了 P5 (x )
和 P1 0(x)的图像,当n 增大时,Pn ( x ) 在两端
会发生激烈的振荡，
y P 10(x)
f(x)
称为龙格现象。
P 5(x)
-5
0
5x
该现象表明：在大范围内使用高次插值,逼近的 效果往往是不理想的。
另外，从舍入误差来看，高次插值误差的传播也 较为严重，一个节点上产生的舍入误差会在计算 中不断放大，并传播到其它节点上。
定理 设f(x)在a, b有2阶导数，