DL5-07第7章 一阶电路和二阶电路的时域分析
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第七章 一阶电路和二阶电路的时域分析
1 阶跃响应法： 2 等效初值法：
等效初始值：
等效初始值：
难点 1. 初始值的求解； 2. 时间常数的求解； 3. 阶跃响应与冲激响应。 §7.1 动态电路的方程及其初始条件 动态电路 含有动态元件电容和电感的电路。 特点： 当动态电路状态发生改变时（换路）需要经历一个变化过程才能达 到新的稳定状态。这个变化过程称为电路的过渡过程。 2. 换路 电路结构或电路参数发生突变而引起电路变化统称为换路。 意义：能量不能发生突变。 产生原因：电路内部含有储能元件 L、C，电路在换路时能量发生变 化，而能量的储存和释放都需要一定的时间来完成。
3 同一电路中所有响应具有相同的时间常数。 4 一阶电路的零输入响应和初始值成正比，称为零输入线性。 §7.3 一阶电路的零状态响应 零状态响应：动态元件初始能量为零，由t >0电路中外加激励作用所产 生的响应。
1. RC电路： t<0，K在1，电路稳定， 有 t=0，K从1打到2，有 t>0，K在2， 有 解答形式为：
换路定律： 在换路前后电容电流和电感电压为有限值的条件下，换路前后瞬间电容 电压和电感电流不能跃变。 （1）若iC 有限，则： uC ( 0+ )= uC ( 0- ) （2）若uL 有限，则： iL( 0+ )=iL( 0- )
3. 电路初始值的确定
电路初始值 独立初始值：uC (0+)、 iL(0+)； 非独立初始值：其余电量在t= 0+时的值；
应用条件：一阶电路；开关激励 时间常数计算：RC电路：；
RL电路：； 实际现象讨论：
（1） 当负载端接有大电容时，电源合闸可能会产生冲击电流。
（1）
（2）
（2） 当负载端接有大电感时，开关断开可能会产生冲击电压。
等效初始值：
等效初始值：
难点 1. 初始值的求解； 2. 时间常数的求解； 3. 阶跃响应与冲激响应。 §7.1 动态电路的方程及其初始条件 动态电路 含有动态元件电容和电感的电路。 特点： 当动态电路状态发生改变时（换路）需要经历一个变化过程才能达 到新的稳定状态。这个变化过程称为电路的过渡过程。 2. 换路 电路结构或电路参数发生突变而引起电路变化统称为换路。 意义：能量不能发生突变。 产生原因：电路内部含有储能元件 L、C，电路在换路时能量发生变 化，而能量的储存和释放都需要一定的时间来完成。
3 同一电路中所有响应具有相同的时间常数。 4 一阶电路的零输入响应和初始值成正比，称为零输入线性。 §7.3 一阶电路的零状态响应 零状态响应：动态元件初始能量为零，由t >0电路中外加激励作用所产 生的响应。
1. RC电路： t<0，K在1，电路稳定， 有 t=0，K从1打到2，有 t>0，K在2， 有 解答形式为：
换路定律： 在换路前后电容电流和电感电压为有限值的条件下，换路前后瞬间电容 电压和电感电流不能跃变。 （1）若iC 有限，则： uC ( 0+ )= uC ( 0- ) （2）若uL 有限，则： iL( 0+ )=iL( 0- )
3. 电路初始值的确定
电路初始值 独立初始值：uC (0+)、 iL(0+)； 非独立初始值：其余电量在t= 0+时的值；
应用条件：一阶电路；开关激励 时间常数计算：RC电路：；
RL电路：； 实际现象讨论：
（1） 当负载端接有大电容时，电源合闸可能会产生冲击电流。
（1）
（2）
（2） 当负载端接有大电感时，开关断开可能会产生冲击电压。
第七章 一阶电路和二阶电路的时域分析(part-2)
解
u C ( ∞ ) = 4i1 + 2i1 = 6i1 = 12 V u = 10 i1 → Req = u / i1 = 10 Ω
7.4.1 一阶RL电路的零输入响应
US iL ( 0 + ) = iL ( 0 − ) = = I0 R1 + Rห้องสมุดไป่ตู้应用KVL得：
d iL L + Ri L = 0 dt
iC = iC (∞) + [iC (0 + ) − iC (∞)] e
−
t RC
计算电流能否套用 公式？
套用全响应电压公式
R
C
uC (t ) = Ue − t / RC t ≥ 0
S(t = 0)
−
+
uC
duC iC = C dt
i
t U =− e RC t ≥ 0 −
R
(a= ) U uC (0 -)
(2) 确定稳态值 u c ( ∞ ) 由换路后电路求稳态值 u c ( ∞ ) 9mA
6× 3 3 uC ( ∞ ) = 9 × 10 × × 10 6+ 3 = 18 V
−3
+ R ) 6kΩ uC ( 0 −t=0-等效电路
(3) 由换路后电路求 时间常数 τ
τ = R0C 6× 3 −6 3 = × 10 × 2 × 10 6+ 3 −3 = 4 × 10 s
−
t L/ R
t ≥0
t − L/ R
L uL
–
d iL u L (t ) = L = − RI 0 e dt
τ时间常数
①电压、电流是随时间按同一指数规律衰减的函数； I0 iL 连续 函数 t 0 -RI0 uL t 跃变
第7章_一阶电路和二阶电路的时域分析
17
②测量方法： a.对任意时刻而言，
t 0 t 0
uC (t0 ) = U 0 e
b.次切距长：
AB BC = tan
= U0e
e 1 = 0.368 uC (t0 )
t 0
U0
uC
uC ( t 0 )
A
uC ( t 0 ) U 0e = = = t 0 1 duC U 0e dt t =t0
uC (t ) 4e 0.5t = = e 0.5t A ③求i(t)：i (t ) = 4 4
(t 0)
19
习题： 7-2、7-4、7-5。
20
三、RL电路的零输入响应：
求i(t)，uR(t)， uL(t)，(t≧0) 1、物理过程：
U0 i (0 ) = i (0 ) = R0
R
t=0 + iL uL L -
解: 根据换路定则：
i L 不能突变
i L (0 ) = i L (0 ) = 0 A
+ *** t =0K 时的等效电路： R
换路后的电压方程 :
+ U -
t=0
+ + iL uL (0+) uL L L - - iL(0+)
U = iL (0+ ) R + u L (0+ )
uC (0+ ) = uC (0－ ) = U 0
uC (0+ ) → 0
U0 i (0 + ) = → 0 为放电过程。 R
13
2、数学分析： ①列微分方程：由KVL， +u U0 _ C
C
S
t=0
②测量方法： a.对任意时刻而言，
t 0 t 0
uC (t0 ) = U 0 e
b.次切距长：
AB BC = tan
= U0e
e 1 = 0.368 uC (t0 )
t 0
U0
uC
uC ( t 0 )
A
uC ( t 0 ) U 0e = = = t 0 1 duC U 0e dt t =t0
uC (t ) 4e 0.5t = = e 0.5t A ③求i(t)：i (t ) = 4 4
(t 0)
19
习题： 7-2、7-4、7-5。
20
三、RL电路的零输入响应：
求i(t)，uR(t)， uL(t)，(t≧0) 1、物理过程：
U0 i (0 ) = i (0 ) = R0
R
t=0 + iL uL L -
解: 根据换路定则：
i L 不能突变
i L (0 ) = i L (0 ) = 0 A
+ *** t =0K 时的等效电路： R
换路后的电压方程 :
+ U -
t=0
+ + iL uL (0+) uL L L - - iL(0+)
U = iL (0+ ) R + u L (0+ )
uC (0+ ) = uC (0－ ) = U 0
uC (0+ ) → 0
U0 i (0 + ) = → 0 为放电过程。 R
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2、数学分析： ①列微分方程：由KVL， +u U0 _ C
C
S
t=0
(第14次课)第7章一阶电路和二阶电路的时域分析解析
再看 RLC串联电路
应用 KVL和元件的 VCR得 (详见§7-5 ) ：
d2uC duC + uC = uS LC 2 + RC dt dt 含二个动态元件的 线性电路，其电路方程 为二阶线性常系数微分 方程，称二阶电路。
电路中有多个动态元 件，描述电路的方程是高 阶微分方程。
2019年1月6日星期日
2019年1月6日星期日 2
难点
1. 电路初始条件的概念，除 uC 和 iL 之外各电压、 电流初始值的确定； 2. 激励源为交流电源； 3. 一阶电路和二阶电路的区分，二阶电路的过阻 尼、欠阻尼及临界阻尼放电过程分析方法和基 本物理概念。
与其它章节的联系
本章讨论的仍是线性电路，因此前面讨论的 线性电路的分析方法和定理全部可以用于本章的 分析中。第 9 章讨论的线性电路的正弦稳态响应 就是动态电路在正弦激励下的稳态分量的求解。
US uL = 0 , i = R
2019年1月6日星期日
US R US
i 新的稳 定状态
uL
t1 0 前一个稳 有一个 定状态 过渡期
t
7
换路的概念 电路结构、状态发生变化
1W + 10V C 1W 1W S 1A + uC + u -
支路接入或断开 电路参数改变
S1(t=0) 2W + 10V 3W i L
t
明确：
t 0 t＞ 0
①初始条件为 t=0+时, u(t)、
i(t)及其各阶导数的值。
2019年1月6日星期日
②在动态电路分析中， 初始条件是得到确定 解答的必需条件。
13
(2)电容的初始条件 q(t) = i() d =
电路第七章一阶电路和二阶电路的时域分析.
第七章 一阶电路和二阶电路的时域分析 7.1 动态电路的方程及其初始条件
当动态电路状态发生改变时（换路）需要经历 一个变化过程才能达到新的稳定状态。这个变化过 程称为电路的过渡过程。 过渡过程产生的原因: 电路内部含有储能元件L，C。电路在换路时能量发生变 化，而能量的储存和释放都需要一定的时间来完成。
0
ic(t)
c
2 3
0.0184u t (s) 0 4
t RC
uc(0)= u0 2 3 4
t RC
RR u
t
(s)
du C t d u0 e C iC t C dt dt
u0 e R
2.时间常数
uc不能跃变， 结论: ic可以跃变。
解得 :
R 0 L
A I0
I0
iL(t)
iL t I 0e
R t L
t 0
0
R R t t diL t d L L u L t L L I e RI e 0 0 dt dt
2 3 4
t
(s)
t0
t 0 =RC
t0
f(0)
f(t) t
iL t iL 0e
=LG
0
4
(s)
C.零输入响应都是按指数规律衰减的，衰减的快慢由 决定,越小， uc(t),iL(t)衰减的越快。
D.时间常数的求法:
在换路后(即 t 0 )的电路中求。 R是从动态元件两端看进去的戴维宁等效电阻。
(３) 只有当电容器两端电压变化时，才有电流。
六.电感的伏安关系
1 . 电感中的电压 现象: a .开关合上： us + _ b .开关打开： us +
当动态电路状态发生改变时（换路）需要经历 一个变化过程才能达到新的稳定状态。这个变化过 程称为电路的过渡过程。 过渡过程产生的原因: 电路内部含有储能元件L，C。电路在换路时能量发生变 化，而能量的储存和释放都需要一定的时间来完成。
0
ic(t)
c
2 3
0.0184u t (s) 0 4
t RC
uc(0)= u0 2 3 4
t RC
RR u
t
(s)
du C t d u0 e C iC t C dt dt
u0 e R
2.时间常数
uc不能跃变， 结论: ic可以跃变。
解得 :
R 0 L
A I0
I0
iL(t)
iL t I 0e
R t L
t 0
0
R R t t diL t d L L u L t L L I e RI e 0 0 dt dt
2 3 4
t
(s)
t0
t 0 =RC
t0
f(0)
f(t) t
iL t iL 0e
=LG
0
4
(s)
C.零输入响应都是按指数规律衰减的，衰减的快慢由 决定,越小， uc(t),iL(t)衰减的越快。
D.时间常数的求法:
在换路后(即 t 0 )的电路中求。 R是从动态元件两端看进去的戴维宁等效电阻。
(３) 只有当电容器两端电压变化时，才有电流。
六.电感的伏安关系
1 . 电感中的电压 现象: a .开关合上： us + _ b .开关打开： us +
《电路分析》第7章 一阶电路和二阶电路的时域分析
4Ω
K(t=0) 1F + uC –
4Ω
+ 10V –
i
4Ω 1F + uC –
i
4Ω
K(t=0) C
i
+ R
uC
–
+
uR
–
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2. RL电路的零输入响应
R1
K(t=0)
i L
+
US
-
+ uL –
t >0 + uL – i L R
US iL (0 ) iL (0 ) I0 R1 di L Ri 0 t 0 R dt R Lp R 0 p R L t
0+时刻的值
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用经典法求解线性常微分方程时, 必须根据电路的初始条件 来确定解中的积分常数。
3.电路的初始条件
(1) t = 0＋与t = 0－的概念 认为换路在 t=0时刻进行。 0－ ：换路前一瞬间 0+ ： 换路后一瞬间
f (0 ) f (0 )
f(t)
f (0 ) f (0 )
K(t=0) R
R
i
C
+
-
US
+u –
uC
–
+
已知 uC (0－) ；
t=0时K闭合。 求： uC(t) ， iC(t) （t≥0）
d uC RC uC U S dt
常系数一阶线性非齐次微分方程
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K(t=0)
+
-
R
R
iቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
C
t RC
第7章一阶电路和二阶电路的时域分析
求换路后的uL和i1及开关两端电压u12
①
S
②
2 3
6
解 iL (0 ) iL (0 )
24 6 2A 4 2 3 // 6 3 6
24V 4
i1
4
iL
换路后电路为零输入响应： L 6 1s Req 6
uL 6H
2Ω
Req 3 (2 4) // 6 6
iL (0+) = iL (0－)=3A
(3) 由0+等效电路求 iC(0+) ， uL(0+)
uL(0+)
3 i2 (0 ) 3 1 A 3 6
uL (0 ) 6i2 (0 ) 6V
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0+等效电路
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5.电路初始值的确定 例2 求 uC(0+) 、iL(0+) 、
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5.电路初始值的确定 例1 求 i2(0+) 和 uL(0+) 。
iL S(t=0) 3 1 + i 2 2 + u 6 9V 1H L – – 3 i2(0+) 6 3A + –
(1) 由0－电路求 iL(0－)
+ 9V – 3 iL
iL (0 ) 3 A (2) 由换路定律
电路如下图
R0
S(t=0)
1 2
i
U0 L
R
uL R
i
L
uL
(a)
(b)
换路前电路处于稳态，电感电流I0=U0/R0 = i(0-) ， 电感中储存一定的磁场能量，在 t=0 时开关由1→2， 换路后的电路如图(b)所示。 (b)
①
S
②
2 3
6
解 iL (0 ) iL (0 )
24 6 2A 4 2 3 // 6 3 6
24V 4
i1
4
iL
换路后电路为零输入响应： L 6 1s Req 6
uL 6H
2Ω
Req 3 (2 4) // 6 6
iL (0+) = iL (0－)=3A
(3) 由0+等效电路求 iC(0+) ， uL(0+)
uL(0+)
3 i2 (0 ) 3 1 A 3 6
uL (0 ) 6i2 (0 ) 6V
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0+等效电路
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5.电路初始值的确定 例2 求 uC(0+) 、iL(0+) 、
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5.电路初始值的确定 例1 求 i2(0+) 和 uL(0+) 。
iL S(t=0) 3 1 + i 2 2 + u 6 9V 1H L – – 3 i2(0+) 6 3A + –
(1) 由0－电路求 iL(0－)
+ 9V – 3 iL
iL (0 ) 3 A (2) 由换路定律
电路如下图
R0
S(t=0)
1 2
i
U0 L
R
uL R
i
L
uL
(a)
(b)
换路前电路处于稳态，电感电流I0=U0/R0 = i(0-) ， 电感中储存一定的磁场能量，在 t=0 时开关由1→2， 换路后的电路如图(b)所示。 (b)
第7章 一阶电路和二阶电路的时域分析(2010-2011第一学期 邱关源)
uC (0) U 0e0 U 0
uC ( ) U 0e1 0.368U 0
即经过一个时间常数τ 后，衰减了63.2％，为原值 的36. 8％。 理论上，t = ∞时，uC才能衰减到零，但实际上， 当t = 5τ 时，所剩电压只有初始值的0.674％，可以认 为放电已完毕。因此，工程上常取t = (3-5)τ 作为放电 完毕所需时间。τ 越大，衰减越慢，反之则越快。
uR uC U 0 e
t
可以看出，电压uC、uR及电流i都是按照同样的 指数规律衰减的。它们衰减的快慢取决于指数中τ 的大小。
第七章一阶电路和二阶电路的时域分析
§7-2 一阶电路的零输入响应
τ 的大小反映了一阶电路过渡过程的进展速度， 它是反映过渡过程特性的一个重要的量。可以计算得 t = 0时， t =τ 时，
第七章一阶电路和二阶电路的时域分析
§7-2 一阶电路的零输入响应
第七章一阶电路和二阶电路的时域分析
§7-2 一阶电路的零输入响应
经过全部放电过程，电阻上所吸收的能量为
WR
0
Ri 2 (t )dt
0
U 0 t 2 R ( e ) dt R
0
2 U0 R
0
e
2t RC
第七章 一阶电路和二阶电路的时域分析
河北大学数学与计算机学院
第七章一阶电路和二阶电路的时域分析
§7-1 动态电路的方程及其初始条件
电容和电感的VCR是通过导数（积分）表达 的。当电路中含电容和电感时，电路方程是以电流 和电压为变量的微分方程或微分―积分方程。 对于仅含一个电容或电感的电路，当电路的无 源元件都是线性和时不变时，电路方程将是一阶线 性常微分方程，称为一阶动态电路。 电路结构或参数变化引起的电路变化统称为 “换路”。换路可能使电路改变原来的工作状态， 转变到另一个工作状态。
uC ( ) U 0e1 0.368U 0
即经过一个时间常数τ 后，衰减了63.2％，为原值 的36. 8％。 理论上，t = ∞时，uC才能衰减到零，但实际上， 当t = 5τ 时，所剩电压只有初始值的0.674％，可以认 为放电已完毕。因此，工程上常取t = (3-5)τ 作为放电 完毕所需时间。τ 越大，衰减越慢，反之则越快。
uR uC U 0 e
t
可以看出，电压uC、uR及电流i都是按照同样的 指数规律衰减的。它们衰减的快慢取决于指数中τ 的大小。
第七章一阶电路和二阶电路的时域分析
§7-2 一阶电路的零输入响应
τ 的大小反映了一阶电路过渡过程的进展速度， 它是反映过渡过程特性的一个重要的量。可以计算得 t = 0时， t =τ 时，
第七章一阶电路和二阶电路的时域分析
§7-2 一阶电路的零输入响应
第七章一阶电路和二阶电路的时域分析
§7-2 一阶电路的零输入响应
经过全部放电过程，电阻上所吸收的能量为
WR
0
Ri 2 (t )dt
0
U 0 t 2 R ( e ) dt R
0
2 U0 R
0
e
2t RC
第七章 一阶电路和二阶电路的时域分析
河北大学数学与计算机学院
第七章一阶电路和二阶电路的时域分析
§7-1 动态电路的方程及其初始条件
电容和电感的VCR是通过导数（积分）表达 的。当电路中含电容和电感时，电路方程是以电流 和电压为变量的微分方程或微分―积分方程。 对于仅含一个电容或电感的电路，当电路的无 源元件都是线性和时不变时，电路方程将是一阶线 性常微分方程，称为一阶动态电路。 电路结构或参数变化引起的电路变化统称为 “换路”。换路可能使电路改变原来的工作状态， 转变到另一个工作状态。
7第七章一阶电路和二阶电路的时域分析
• 定义: τ=RC （其中R为等效电阻） uC U0et ★ t=τ时，uC=0.368U0
• τ仅取决于电路的结构和元件的参数，单位“秒s”。
•τ对响应的影响：
τ 越大，放电过程越长。通常认为经过3τ—5τ后过
渡过程结束。
•τ的图解 (次切距法)
t0
BC AB uC(t0)
tan
duC dt
uR uC
i CduC US et（t≥0） 其中τ=RC
dt R
2020/8/10
对 uCU SU Set U S(1et) 的说明
• 特解 uC US称t 为稳态分量或强制分量；
• 通解 uC USe 称为瞬态分量或自由分量。
2.参数曲线
US
uC '
3.能量转换
U―S R
uC i
WR=WC=½CUS2
A Im
i" Imet
iIm sin t(u)Im e t
u = -/2时波形为
iImsi nt(/2)Im et
可见，RL串联电路
i
与正弦电压接通后，
Im
i
在初始值一定得条
i 件下，电路的过渡
0
T/2
-Im
t 过程与开关动作的 时刻有关。
i
最大电流出现在 t = T/2时刻。 imax2Im
解：
iL(0)
US R
200A
K
R
+
iL
V uV
Us iV
L
iL(0)iL(0)200A
u V ( 0 ) R V i V ( 0 ) 2 0 0 5 k 1 0 6 V
2020/8/10
§7-2 一阶电路的零输入响应 一、零输入响应
电路(第五版)第七章 一阶电路和二阶电路的时域分析12PPT课件
第七章 一阶电路和二阶电路的时域分析
§7-1 动态电路的方程及其初始条件
§ 7-2 一阶电路的零输入响应 § 7-3 一阶电路的零状态响应 § 7-4 一阶电路的全响应 § 7-5 二阶电路的零输入响应 § 7-6 二阶电路的零状态响应和全响应 § 7-7 一阶电路和二阶电路的阶跃响应 § 7-8 一阶电路和二阶电路的冲激响应
换路瞬间，若电容电流保持为有 限值，则电容电压（电荷）换路 前后保持不变。
L (0+)= L (0-)
iL(0+)= iL(0-)
换路瞬间，若电感电压保持为有 限值，则电感电流（磁链）换路 前后保持不变。
或：
在换路前后电容电流和电感电压为有限值 的条件 下，换路前后瞬间电容电压和电感电流不能跃变—— 换路定律（换路定则）（P138-139）
电容电路换路定律应用思路： （ 画0+等效电路时对C的处理）
若一电容的uC (0-)=UO，根据换路定律， 则有uC (0+) = uC (0-)=UO，则可认为此电容在 换路的瞬间，相当于一个电压值为UO 的电压 源；——替代定理的应用
同理，对uC (0-)=0的电容，根据换路定律， 则有uC (0+) = uC (0-)=0，则可认为此电容在换 路的瞬间，相当于短路。
Us
R+
uC C
RCduC dt
uC
US
–
（2）求出微分方程的解，从而得到所求变量。
五、动态电路方程的初始条件
1、 t = 0+与t = 0- 的概念
f(t)
换路在 t=0时刻进行
0- 换路前一瞬间（最终时刻） 0+ 换路后一瞬间（最初时刻）
t 0- 0 0+
§7-1 动态电路的方程及其初始条件
§ 7-2 一阶电路的零输入响应 § 7-3 一阶电路的零状态响应 § 7-4 一阶电路的全响应 § 7-5 二阶电路的零输入响应 § 7-6 二阶电路的零状态响应和全响应 § 7-7 一阶电路和二阶电路的阶跃响应 § 7-8 一阶电路和二阶电路的冲激响应
换路瞬间，若电容电流保持为有 限值，则电容电压（电荷）换路 前后保持不变。
L (0+)= L (0-)
iL(0+)= iL(0-)
换路瞬间，若电感电压保持为有 限值，则电感电流（磁链）换路 前后保持不变。
或：
在换路前后电容电流和电感电压为有限值 的条件 下，换路前后瞬间电容电压和电感电流不能跃变—— 换路定律（换路定则）（P138-139）
电容电路换路定律应用思路： （ 画0+等效电路时对C的处理）
若一电容的uC (0-)=UO，根据换路定律， 则有uC (0+) = uC (0-)=UO，则可认为此电容在 换路的瞬间，相当于一个电压值为UO 的电压 源；——替代定理的应用
同理，对uC (0-)=0的电容，根据换路定律， 则有uC (0+) = uC (0-)=0，则可认为此电容在换 路的瞬间，相当于短路。
Us
R+
uC C
RCduC dt
uC
US
–
（2）求出微分方程的解，从而得到所求变量。
五、动态电路方程的初始条件
1、 t = 0+与t = 0- 的概念
f(t)
换路在 t=0时刻进行
0- 换路前一瞬间（最终时刻） 0+ 换路后一瞬间（最初时刻）
t 0- 0 0+
一阶电路和二阶电路的时域分析
一阶电路和二阶电路的时域分析一、一阶电路的时域分析：一阶电路指的是由一个电感或电容与线性电阻串联或并联而成的电路。
对于串联的一阶电路，其特征方程为：L di(t)/dt + Ri(t) = V(t) ---------- (1)其中，L是电感的感值，R是电阻的电阻值，i(t)是电路中的电流，V(t)是电路中的输入电压。
通过对上述方程进行求解可以得到电路中电流与时间的关系。
对于并联的一阶电路，其特征方程为：1/R C dq(t)/dt + q(t) = V(t) ---------- (2)其中，C是电容的电容值，q(t)是电路中电荷的变化，V(t)是电路中的输入电压。
同样，通过对上述方程进行求解可以得到电路中电荷与时间的关系。
一阶电路的响应可以分为自由响应和强迫响应两部分。
自由响应指的是由于电路中初始条件的存在，电流或电荷在没有外部输入电压的情况下的变化。
强迫响应指的是由于外部输入电压作用而产生的电流或电荷的变化。
对于一个初始处于稳定状态的电路，在有外部输入电压作用时，电路中电流或电荷会从初始值开始发生变化，最终趋于一个新的稳定状态。
这一过程可以由电流或电荷的指数递减或递增的形式表示。
在分析一阶电路的时域特性时，可以利用巴塞尔函数法或拉普拉斯变换法。
巴塞尔函数法主要是通过巴塞尔函数的表达式计算电压或电流的变化情况；拉普拉斯变换法则通过将时域的微分方程转化为复频域的代数方程，然后求解代数方程，最后再对求得的结果进行逆变换获得电流或电压的表达式。
二、二阶电路的时域分析：二阶电路是指由两个电感或电容与线性电阻串联或并联而成的电路。
对于串联的二阶电路，其特征方程为：L₁L₂ d²i(t)/dt² + (L₁R₁+L₂R₂+L₁R₂+L₂R₁) di(t)/dt + R₁R₂i(t) = V(t) ---------- (3)其中，L₁和L₂分别是两个电感的感值，R₁和R₂分别是两个电阻的电阻值，i(t)是电路中的电流，V(t)是电路中的输入电压。
第七章 一阶电路和二阶电路的时域分析
uc 的解答形式：
p1t p2t
uC A1e A2e
经常写为：
e
( t )
( A1e
jt
A2e
jt
)
uC Ae
t
sin( t )
0 t sin( t ) uuC AeU 0e t sin( t ) c
uC (0 ) U 0 A sin U 0 由初始条件 du (0 ) C 0 A( ) sin A cos 0 dt
代入初始条件
i L (0 ) 0
t
A I s
iL i i I S (1 e )
' L " L
7－4 一阶电路的全响应
当一个非零初始状态的一阶电路受到激励时， 电路的响应称为全响应。 初始条件
u c ( 0 ) u c (0 ) U 0
当开关S闭合后，由KVL有
初始条件－－电路中的变量在换路后t=0+时 刻的值。
独立初始条件－－换路后的初始值由元件的 性质决定。 独立初始条件有：电容端电压uc(t)、电容电 荷qc(t)、电感电流iL(t)、电感磁链L(t)
1 t uc (t ) uc (t0 ) ic ( )d C t0
1 0 uc (0 ) uc (0 ) ic ( )d C 0
U0 A sin
， arctg
ω0 δ
ω
sin 0
0 A U0
ω，ω０，δ的
关系
0 t uC U 0e sin( t )
0 uC 是振幅以 U 0为包线依指数衰减的正 弦函数。
p1t p2t
uC A1e A2e
经常写为：
e
( t )
( A1e
jt
A2e
jt
)
uC Ae
t
sin( t )
0 t sin( t ) uuC AeU 0e t sin( t ) c
uC (0 ) U 0 A sin U 0 由初始条件 du (0 ) C 0 A( ) sin A cos 0 dt
代入初始条件
i L (0 ) 0
t
A I s
iL i i I S (1 e )
' L " L
7－4 一阶电路的全响应
当一个非零初始状态的一阶电路受到激励时， 电路的响应称为全响应。 初始条件
u c ( 0 ) u c (0 ) U 0
当开关S闭合后，由KVL有
初始条件－－电路中的变量在换路后t=0+时 刻的值。
独立初始条件－－换路后的初始值由元件的 性质决定。 独立初始条件有：电容端电压uc(t)、电容电 荷qc(t)、电感电流iL(t)、电感磁链L(t)
1 t uc (t ) uc (t0 ) ic ( )d C t0
1 0 uc (0 ) uc (0 ) ic ( )d C 0
U0 A sin
， arctg
ω0 δ
ω
sin 0
0 A U0
ω，ω０，δ的
关系
0 t uC U 0e sin( t )
0 uC 是振幅以 U 0为包线依指数衰减的正 弦函数。
电路 7章 一阶电路和二阶电路的时域分析
第 1 章
静电场
电流振荡衰减、冲电 放电交替
第 1 章
静电场
情形III： 临界情况
R 2 1 ( ) =0 即 2L LC
R=2
L C
临界电阻
R λ1 = λ2 = 2L
通解为：
uc = ( A + A t)e 1 2
R t 2L
得解为： u = U (1+ R t)e c 0 2L
R t 2L
di =0 dt
第 1 章
静电场
电容电压单调减且大于0
电流先增后减大于0 电感电压先减后增，过0点
第 1 章
静电场
情形II：
(
R 2 1 ) <0 即 2L LC
L R<2 C
振荡放电过程 特征根是一对共轭复数 令
R 1 R 2 2 δ= ; ω = ( ) 2L LC 2L
λ1 = δ + jω
第 1 章
静电场
特征根仅与电路参数和结构相关，与激励和初始 储能无关。
1 R R 2 λ1,2 = ± ( ) LC 2L 2L
通解为
uc = Ae + A e 1 2
λ1t
λ2t
根据电路中R,L,C的不同，特征根可能是三种情形 非振荡放电过程，过阻尼，电阻很大 振荡放电过程，欠阻尼，电阻很小 临界情形，电阻恰好
′ ′′ iL = iL + iL ′ iL = iL (∞) = is ′ iL为特解(强制分量) ′′ iL为对应齐次方程的通解(自由分量)
′′ = Aeλ1t + A eλ2t iL 1 2
因此，通解为
λt 1 λ2t
iL = is + Ae + A e 1 2
第7章一阶电路和二阶电路的时域分析
2013年7月5日星期五
(t ≥0)
16
i(t) = I0 e
t -t
S
2 (t≥0)
电阻和电感上的 电压分别为：
i + L uL
-
uR = Ri
= R I0 e
t -t
R u R I0 + o
RI0
i, uR , uL
uR i uL t
，(t ≥0)
t -t
uL = - uR = - R I0 e 或者：uL = L
t
u' C
瞬态分量
duc US - t i=C = e t dt R uC = US - US e
2013年7月5日星期五
o
-US
-t
t
20
duc + uC = US RC dt uC = US + A
第七章 一阶电路和二阶电路的时域分析
内容提要与基本要求 1.换路定则和电路初始值的求法； 2.掌握一阶电路的零输入响应、零状态响应、全响 应的概念和物理意义； 3.会计算和分析一阶动态电路(重点是三要素法)； 4.了解二阶电路零状态响应、零输入响应、全响应 的概念和物理意义； 5.会分析简单的二阶电路； 6.会计算一阶电路的阶跃响应、冲激响应； 7.会用系统法列写简单的状态方程。
0
t - t
U02 = R
∞ - 2 t e RC dt 0
2 = 1 CU0 2
C储存的能量全被R 吸收， 并转换成热能消耗掉。
14
例：试求t≥0时的i(t)。 R 解： 2W 10×4 = 4 V uC(0-) = + 2+4+4 10V 根据换路定则： uC(0-) = uC(0+) = 4 V
(t ≥0)
16
i(t) = I0 e
t -t
S
2 (t≥0)
电阻和电感上的 电压分别为：
i + L uL
-
uR = Ri
= R I0 e
t -t
R u R I0 + o
RI0
i, uR , uL
uR i uL t
，(t ≥0)
t -t
uL = - uR = - R I0 e 或者：uL = L
t
u' C
瞬态分量
duc US - t i=C = e t dt R uC = US - US e
2013年7月5日星期五
o
-US
-t
t
20
duc + uC = US RC dt uC = US + A
第七章 一阶电路和二阶电路的时域分析
内容提要与基本要求 1.换路定则和电路初始值的求法； 2.掌握一阶电路的零输入响应、零状态响应、全响 应的概念和物理意义； 3.会计算和分析一阶动态电路(重点是三要素法)； 4.了解二阶电路零状态响应、零输入响应、全响应 的概念和物理意义； 5.会分析简单的二阶电路； 6.会计算一阶电路的阶跃响应、冲激响应； 7.会用系统法列写简单的状态方程。
0
t - t
U02 = R
∞ - 2 t e RC dt 0
2 = 1 CU0 2
C储存的能量全被R 吸收， 并转换成热能消耗掉。
14
例：试求t≥0时的i(t)。 R 解： 2W 10×4 = 4 V uC(0-) = + 2+4+4 10V 根据换路定则： uC(0-) = uC(0+) = 4 V
第7章一阶电路和二阶电路时域分析例
2Ω 2 iL
+ －
i
3Ω t >0 6Ω 6Ω
+
1 4Ω
24V
–
4Ω uL 6H
uL
–
6H
diL iL = 2e A uL = L = −12e−t V t ≥ 0 dt iL u12 = 24 + 4× = 24 + 4e−t V 2
−t
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闭合， 时 开关S闭合 ， 电容 例13 t=0时,开关 闭合，已知 uC(0－)=0，求(1)电容 电压和电流, 时的充电时间t 电压和电流,(2) uC＝80V时的充电时间 。 时的充电时间 500Ω S (1)这是一个 这是一个RC电路零 解 (1)这是一个 电路零 + i 状态响应问题， 状态响应问题，有： + 100V 10µF uC −5 −3 τ = RC = 500 ×10 = 5×10 s － -
明确
在动态电路分析中， 在动态电路分析中，初始条件是得 到确定解答的必需条件。 到确定解答的必需条件。
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②电容的初始条件
1 t = uC (0 ) + ∫0 i(ξ )dξ C 0 1 0 t = 0+ 时刻 u (0 ) = u (0 ) + C + C − ∫0 i(ξ)dξ C
2 t 3 −t 2
= 5800 − 5000µJ
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时 打开开关S， 例11 t=0时,打开开关 ，求uv 。电压表量程：50V 电压表量程： S(t=0) + R=10Ω 解 L=4H
uV 10V V RV 10kΩ –
iL
iL (0+) = iL(0－) = 1 A
第七章一阶电路和二阶电路的时域分析ppt课件
IS
iR
R
S(t=0)
iL uL L
t
t
★
iL I S I S e I S (1 e )(t 0)
其中 L
R
2.参数曲线
IS
3.能量转换
WL=WR=½LIS2
O
注：➢零状态响应是激励的
iL"
线性函数： 可加性：
―IS
f1(t)y(1)，f2(t)y(2)， 则 f1(t)+f2(t)y=y(1)+y(2) 齐次性：
• 充好电的电容向电阻放电：
S(t=0)
i
U0 uC
C R uR
t≥0
uC
R0
i C R uR
1.求解t ≥0+时的电路
i
• 当t ≥0时 uC(0+)=U0 • 由KVL得 uC―uR=0
uC C R uR
• 又 uR=Ri i C duC
uC
RC duC dt
0(t
dt
0)
解微分方程可得
+
uS
+
L uL
Ri
L di dt
Um
sin(t
u )
-
iL(0-)=0
– 强制分量(稳态分量)
i i' i"
自由分量(暂态分量)
i"
t
Ae
用相量法计算稳态解 i
R
I
Im
Um
R2 (L)2
+
-
U S
j L
arctgL
R
i' Im sin(t u )
i
i'
i"
[物理]电路 第7章 一阶电路和二阶电路的时域分析
![[物理]电路 第7章 一阶电路和二阶电路的时域分析](https://img.taocdn.com/s3/m/41ba40d47c1cfad6195fa770.png)
何谓“零状态响应”？ 一、RC串联充电电路 初始无储能，输入不为零
i
R
uC uR U s
duC uC RC Us dt
一阶线性非齐次微分方程
Us
C
uc
“一阶非齐次线性方程的通解等于其对应的齐 次方程的通解与非齐次方程的一个特解之和。”
摘自《高等数学》下册第343页
第 1 章
U0
1
2
L
iL
uL
R
初始条件为： i(0 ) i(0 ) I 0 通解为：
i Ae pt
R L
L
iL
uL
R
特征方程为： Lp R 0 特征根为：
p
解得：
i I 0e
R t L
R t di uL L RI 0 e L dt
电压电流都以同样的指数规律衰减，衰减快慢取决于 衰减的时间常数 L
静电场
uc uc uc Us uc
uc uc
非齐次方程的特解 对应齐次方程的通解
U s e uc
1 t RC 1 t RC
1 t U s RC i e R
因此 uc U s (1 e
)
稳态分量和瞬态分量
Us uc
强制分量、与外激励有关；
R1
1
例7-1：
U0
R2
L
C
uc ic
iL
第 1 章
静电场
换路前后瞬间电容电压与电感电流不能跃变！
第 1 章
静电场
7.2 一阶电路的零输入响应
i
R
uC uR U s
duC uC RC Us dt
一阶线性非齐次微分方程
Us
C
uc
“一阶非齐次线性方程的通解等于其对应的齐 次方程的通解与非齐次方程的一个特解之和。”
摘自《高等数学》下册第343页
第 1 章
U0
1
2
L
iL
uL
R
初始条件为： i(0 ) i(0 ) I 0 通解为：
i Ae pt
R L
L
iL
uL
R
特征方程为： Lp R 0 特征根为：
p
解得：
i I 0e
R t L
R t di uL L RI 0 e L dt
电压电流都以同样的指数规律衰减，衰减快慢取决于 衰减的时间常数 L
静电场
uc uc uc Us uc
uc uc
非齐次方程的特解 对应齐次方程的通解
U s e uc
1 t RC 1 t RC
1 t U s RC i e R
因此 uc U s (1 e
)
稳态分量和瞬态分量
Us uc
强制分量、与外激励有关；
R1
1
例7-1：
U0
R2
L
C
uc ic
iL
第 1 章
静电场
换路前后瞬间电容电压与电感电流不能跃变！
第 1 章
静电场
7.2 一阶电路的零输入响应
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第7章 一阶电路和二阶电路 的时域分析
7.1 动态电路的方程及其初始条件 7.2 一阶电路的零输入响应 7.3 一阶电路的零状态响应 7.4 一阶电路的全响应 7.5 二阶电路的零输入响应 7.6 二阶电路的零状态响应和全响应 7.7 一阶电路和二阶电路的阶跃响应 7.8* 一阶电路和二阶电路的冲激响应 7.9* 卷积积分 7.10* 状态方程 7.11* 动态电路时域分析中的几个问题
uC(0－)=8V
(2)由换路定律
+ i
-
10k + 8V 10V
-
uC (0+) = uC (0－)=8V
10 8 iC (0 ) 0.2mA 10 注意 iC(0－)=0 iC(0+)
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(3) 由0+等效电路求 iC(0+)
0+等效电路
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例 2 t = 0时闭合开关k ,求 uL(0+)
uL(0+)= - RiS
iL(0+) = iL(0－) = iS
uC(0+) = uC(0－) = RiS
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例4 求k闭合瞬间各支路电流和电感电压
2 + 48V S L 2 + uL iL 3 C + i uL iC 3 3 + 2 + 48V - iL 12A 2 + + 48V uC 24V 2 -－ 由0+电路得：
uC (0 ) uC (0 ) 10V
②给出0＋等效电路
20 10 ik (0 ) 1 2A 10 10 uL (0 ) iL (0 ) 10 10V
iC (0 ) uC (0 ) / 10 1A
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7.2 一阶电路的零输入响应
1 + 10V 4 S iL L + uL ②应用换路定律: iL(0+)= iL(0－) =2A
-
③由0+等效电路求 uL(0+) 1
+ 10V
解 ①先求 iL (0 ) 1 4 + 10V 电感 iL 短路 -
4
10 iL (0 ) 2A 1 4
电 感 用 2A 电 流 uL (0 ) 2 4 8V 源 注意 uL (0 ) uL (0 ) 替 代
(t >0) + Us -
R i + uC –
C
Ri uC uS (t ) duC iC dt
若以电流为变量：
duC RC uC uS (t ) dt 1 Ri idt uS (t ) C
di i duS (t ) R dt C dt
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RL电路 应用KVL和电感的VCR得：
Ri uL uS (t )
di uL L dt
(t >0) R i + + uL Us – -
R 若以电感电压为变量： uLdt uL uS (t ) L
R duL duS (t ) uL L dt dt
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di Ri L uS (t ) dt
uC
＋
二阶电路
含有二个动态元件的线性电路，其电路方程 为二阶线性常微分方程，称二阶电路。
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结论 ①描述动态电路的电路方程为微分方程； ②动态电路方程的阶数通常等于电路中动 态元件的个数。 一阶电路中只有一个动态元件,描述 一阶电路 电路的方程是一阶线性微分方程。
二阶电路
dx a1 a0 x e(t ) t 0 dt
?
前一个稳定状态
过渡状态
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+ Us -
(t →) R i + uL –
+ Us -
(t →) R i + k uL –
k未动作前，电路处于稳定状态： uL= 0, k断开瞬间
i=Us /R
i = 0 , uL =
注意 工程实际中在切断电容或电感电路时
会出现过电压和过电流现象。
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例5 求k闭合瞬间流过它的电流值
L iL 10 S C + － uC 10 10 + 20V iL + 1A 10 10 uL － + 10V － uC － 10 iC 1010 + 20V 10 + -20V -
ik
解 ①确定0－值
20 iL (0 ) iL (0 ) 1A 20
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例
电阻电路
（t = 0） R1 R2 0 i
+ i us -
i U S / R2
t 过渡期为零
i U S ( R1 R2 )
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电容电路 (t = 0) R i + + k uC Us – -
+ C Us -
(t →) R i + uC –
C
uc k未动作前，电路处于稳定状态： i = 0 , uC = 0 US 新的稳定状态 US k接通电源后很长时间，电容充电完毕，电路 R 达到新的稳定状态： i i = 0 , u有一过渡期 C= U s t1 t 0
零输入响应
换路后外加激励为零，仅由 动态元件初始储能产生的电 压和电流。 已知 uC (0－)=U0 i + R uR –
本章重点
首页
重点 1.动态电路方程的建立及初始条件的确定；
2.一阶和二阶电路的零输入响应、零状态响 应和全响应的概念及求解；
3.一阶和二阶电路的阶跃响应概念及求 解。
返 回
7.1 动态电路的方程及其初始条件
1. 动态电路
含有动态元件电容和电感的电路称动态电路。
特点
当动态电路状态发生改变时（换路）需要 经历一个变化过程才能达到新的稳定状态。这 个变化过程称为电路的过渡过程。
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换路
电路结构、状态发生变化 支路接入或断开 电路参数变化
过渡过程产生的原因
电路内部含有储能元件 L、C，电路在换路时 能量发生变化，而能量的储存和释放都需要一定的 时间来完成。
Δw p Δt
Δt 0
p
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2. 动态电路的方程
例 RC电路
应用KVL和电容的VCR得：
i
+
当i()为有限值时
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uC (0+) = uC (0－)
q =C uC 结论
q (0+) = q (0－)
电荷 守恒
换路瞬间，若电容电流保持为有限值， 则电容电压（电荷）换路前后保持不变。
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③电感的初始条件
t
iL
1 iL (t ) u ( )d L 1 0 1 t u ( )d 0 u ( ))d L L
结论
有源 电阻 电路
一个动 态元件
一阶 电路
含有一个动态元件电容或电感的线性电 路，其电路方程为一阶线性常微分方程，称 一阶电路。
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RLC电路 应用KVL和元件的VCR得：
Ri uL uC uS (t )
2
(t >0) R i + + uL Us C – －
di d uC duC uL L LC 2 iC dt dt dt 2 d uC duC LC 2 RC uC uS (t ) dt dt
注意 ①电容电流和电感电压为有限值是换路定
律成立的条件。 ②换路定律反映了能量不能跃变。
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⑤电路初始值的确定 例1 求 iC(0+) i 10k + 40k 10V iC S + uC iC
电 容 用 电 压
(1) 由0－电路求 uC(0－) + 10k 10V 40k + uC 电 容 开 路
解 由0－电路得：
iL (0 ) iL (0 )
48 / 4 12 A
uC (0 ) uC (0 ) 2 12 24V
iC (0 ) (48 24) / 3 8A
i(0 ) 12 8 20A
uL (0 ) 48 2 12 24V
4.由0+电路求所需各变量的0+值。
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例3 求 iC(0+) , uL(0+)
iL iS L + uL – S(t=0) R iC C + uC – +
iS
uL
– R
iC + RiS –
解 iS
由0－电路得： R 0－电路
由0+电路得：
RiS iC (0 ) is 0 R
结论
换路瞬间，若电感电压保持为有限值， 则电感电流（磁链）换路前后保持不变。
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④换路定律
qc (0+) = qc (0－)
换路瞬间，若电容电流保持 为有限值，则电容电压（电荷） uC (0+) = uC (0－) 换路前后保持不变。 换路瞬间，若电感电压保持 L (0+)= L (0－) 为有限值，则电感电流（磁链） iL(0+)= iL(0－) 换路前后保持不变。
动态电路的分析方法 ①根据KVL、KCL和VCR建立微分方程；
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7.1 动态电路的方程及其初始条件 7.2 一阶电路的零输入响应 7.3 一阶电路的零状态响应 7.4 一阶电路的全响应 7.5 二阶电路的零输入响应 7.6 二阶电路的零状态响应和全响应 7.7 一阶电路和二阶电路的阶跃响应 7.8* 一阶电路和二阶电路的冲激响应 7.9* 卷积积分 7.10* 状态方程 7.11* 动态电路时域分析中的几个问题
uC(0－)=8V
(2)由换路定律
+ i
-
10k + 8V 10V
-
uC (0+) = uC (0－)=8V
10 8 iC (0 ) 0.2mA 10 注意 iC(0－)=0 iC(0+)
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(3) 由0+等效电路求 iC(0+)
0+等效电路
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例 2 t = 0时闭合开关k ,求 uL(0+)
uL(0+)= - RiS
iL(0+) = iL(0－) = iS
uC(0+) = uC(0－) = RiS
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例4 求k闭合瞬间各支路电流和电感电压
2 + 48V S L 2 + uL iL 3 C + i uL iC 3 3 + 2 + 48V - iL 12A 2 + + 48V uC 24V 2 -－ 由0+电路得：
uC (0 ) uC (0 ) 10V
②给出0＋等效电路
20 10 ik (0 ) 1 2A 10 10 uL (0 ) iL (0 ) 10 10V
iC (0 ) uC (0 ) / 10 1A
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7.2 一阶电路的零输入响应
1 + 10V 4 S iL L + uL ②应用换路定律: iL(0+)= iL(0－) =2A
-
③由0+等效电路求 uL(0+) 1
+ 10V
解 ①先求 iL (0 ) 1 4 + 10V 电感 iL 短路 -
4
10 iL (0 ) 2A 1 4
电 感 用 2A 电 流 uL (0 ) 2 4 8V 源 注意 uL (0 ) uL (0 ) 替 代
(t >0) + Us -
R i + uC –
C
Ri uC uS (t ) duC iC dt
若以电流为变量：
duC RC uC uS (t ) dt 1 Ri idt uS (t ) C
di i duS (t ) R dt C dt
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RL电路 应用KVL和电感的VCR得：
Ri uL uS (t )
di uL L dt
(t >0) R i + + uL Us – -
R 若以电感电压为变量： uLdt uL uS (t ) L
R duL duS (t ) uL L dt dt
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di Ri L uS (t ) dt
uC
＋
二阶电路
含有二个动态元件的线性电路，其电路方程 为二阶线性常微分方程，称二阶电路。
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结论 ①描述动态电路的电路方程为微分方程； ②动态电路方程的阶数通常等于电路中动 态元件的个数。 一阶电路中只有一个动态元件,描述 一阶电路 电路的方程是一阶线性微分方程。
二阶电路
dx a1 a0 x e(t ) t 0 dt
?
前一个稳定状态
过渡状态
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+ Us -
(t →) R i + uL –
+ Us -
(t →) R i + k uL –
k未动作前，电路处于稳定状态： uL= 0, k断开瞬间
i=Us /R
i = 0 , uL =
注意 工程实际中在切断电容或电感电路时
会出现过电压和过电流现象。
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例5 求k闭合瞬间流过它的电流值
L iL 10 S C + － uC 10 10 + 20V iL + 1A 10 10 uL － + 10V － uC － 10 iC 1010 + 20V 10 + -20V -
ik
解 ①确定0－值
20 iL (0 ) iL (0 ) 1A 20
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例
电阻电路
（t = 0） R1 R2 0 i
+ i us -
i U S / R2
t 过渡期为零
i U S ( R1 R2 )
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电容电路 (t = 0) R i + + k uC Us – -
+ C Us -
(t →) R i + uC –
C
uc k未动作前，电路处于稳定状态： i = 0 , uC = 0 US 新的稳定状态 US k接通电源后很长时间，电容充电完毕，电路 R 达到新的稳定状态： i i = 0 , u有一过渡期 C= U s t1 t 0
零输入响应
换路后外加激励为零，仅由 动态元件初始储能产生的电 压和电流。 已知 uC (0－)=U0 i + R uR –
本章重点
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重点 1.动态电路方程的建立及初始条件的确定；
2.一阶和二阶电路的零输入响应、零状态响 应和全响应的概念及求解；
3.一阶和二阶电路的阶跃响应概念及求 解。
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7.1 动态电路的方程及其初始条件
1. 动态电路
含有动态元件电容和电感的电路称动态电路。
特点
当动态电路状态发生改变时（换路）需要 经历一个变化过程才能达到新的稳定状态。这 个变化过程称为电路的过渡过程。
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换路
电路结构、状态发生变化 支路接入或断开 电路参数变化
过渡过程产生的原因
电路内部含有储能元件 L、C，电路在换路时 能量发生变化，而能量的储存和释放都需要一定的 时间来完成。
Δw p Δt
Δt 0
p
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2. 动态电路的方程
例 RC电路
应用KVL和电容的VCR得：
i
+
当i()为有限值时
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uC (0+) = uC (0－)
q =C uC 结论
q (0+) = q (0－)
电荷 守恒
换路瞬间，若电容电流保持为有限值， 则电容电压（电荷）换路前后保持不变。
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③电感的初始条件
t
iL
1 iL (t ) u ( )d L 1 0 1 t u ( )d 0 u ( ))d L L
结论
有源 电阻 电路
一个动 态元件
一阶 电路
含有一个动态元件电容或电感的线性电 路，其电路方程为一阶线性常微分方程，称 一阶电路。
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RLC电路 应用KVL和元件的VCR得：
Ri uL uC uS (t )
2
(t >0) R i + + uL Us C – －
di d uC duC uL L LC 2 iC dt dt dt 2 d uC duC LC 2 RC uC uS (t ) dt dt
注意 ①电容电流和电感电压为有限值是换路定
律成立的条件。 ②换路定律反映了能量不能跃变。
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⑤电路初始值的确定 例1 求 iC(0+) i 10k + 40k 10V iC S + uC iC
电 容 用 电 压
(1) 由0－电路求 uC(0－) + 10k 10V 40k + uC 电 容 开 路
解 由0－电路得：
iL (0 ) iL (0 )
48 / 4 12 A
uC (0 ) uC (0 ) 2 12 24V
iC (0 ) (48 24) / 3 8A
i(0 ) 12 8 20A
uL (0 ) 48 2 12 24V
4.由0+电路求所需各变量的0+值。
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例3 求 iC(0+) , uL(0+)
iL iS L + uL – S(t=0) R iC C + uC – +
iS
uL
– R
iC + RiS –
解 iS
由0－电路得： R 0－电路
由0+电路得：
RiS iC (0 ) is 0 R
结论
换路瞬间，若电感电压保持为有限值， 则电感电流（磁链）换路前后保持不变。
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④换路定律
qc (0+) = qc (0－)
换路瞬间，若电容电流保持 为有限值，则电容电压（电荷） uC (0+) = uC (0－) 换路前后保持不变。 换路瞬间，若电感电压保持 L (0+)= L (0－) 为有限值，则电感电流（磁链） iL(0+)= iL(0－) 换路前后保持不变。
动态电路的分析方法 ①根据KVL、KCL和VCR建立微分方程；
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