高考数学一轮复习第三章三角函数解三角形3.1任意角和蝗制及任意角的三角函数理

【规范解答】(1)选C.由角α的终边在第二象限,
所以 +k·2π<α<π+k·2π,k∈Z, 所以 2 当k=2 4mk 2 ,m2 ∈Z 2时, 2k 22,k Z ， 所以 在第一象限 4;m 2 2 2m 2 ,m Z ，
2
当k=2m+1,m∈Z时5 ,m 2 3 m 2 ,m Z ， 所以在 第三象限.综4 上, 的 终边2在2 第一或三象限.
C.tan1 3
B.cos3 10 10
D.tan3
【解析】选D.根据三角函数的定义, r 10，sin 10，
cos310，所tan以ta1n， α=3错误.
10
10
3
4.(2014·全国卷Ⅰ)若tanα>0,则 ( )
A.sinα>0
B.cosα>0
C.sin2α>0
D.cos2α>0
【解析】选C.由tanα>0可得:kπ<α<kπ+ (k∈Z),
正弦 余弦 正切
4.终边相同的角的三角函数
sin(α+k·2π)=______, sinα
cos(α+k·2π)=______, cosα
tan(α+k·2π)=______(其中k∈Z), 即终边相同的角的t同an一α三角函数的值相等.
【特别提醒】 1.终边相同的角与对称性拓展 (1)β,α终边相同⇔β=α+2kπ,k∈Z. (2)β,α终边关于x轴对称⇔β=-α+2kπ,k∈Z. (3)β,α终边关于y轴对称⇔β=π-α+2kπ,k∈Z. (4)β,α终边关于原点对称⇔β=π+α+2kπ,k∈Z.
2.弧度与角度的互化
(1)1弧度的角:长度等于_______的弧所对的圆心角. 半径长
(2)角α的弧度数公式:|α|=__l _.
(3)角度与弧度的换算:
r
360°=____rad,1°=____rad,1rad=(___)°≈57°18′.
180
2π
180
(4)扇形的弧长及面积公式:
弧长公式:l=_α__·__r_.
象限,则结果如何?
【解析】由角α终边在第三象限,可知π+2kπ<α<
+2kπ,k∈Z,
3 所2 以
k＜ ＜ 3k,kZ. 2 24
①当k=2m,m∈Z时,2m ＜ ＜ 32m ,m Z , 2 24
此时 在第二象限; ②当k=2 2m+1,m∈Z时,
此3 2 时,2m 在 ＜ 第 2 四＜ 象7 4 限2 .m ,m Z , 综上可 知, 在第二或第四象限.
2
2
(2)因为-2015°=-6×360°+145°, 所以145°与-2015°终边相同,又终边相同的两个角 相差360°的整数倍, 所以在0°～360°中只有145°与-2015°终边相同, 所以与-2015°终边相同的最小正角是145°. 答案:145°
【母题变式】1.本例题(1)中,若把第二象限改为第三
故2kπ<2α<2kπ+π(k∈Z),正确的结论只有2 sin2α>0.
5.(2016·锦州模拟)在平面直角坐标系中,点M(3,m)在
角α的终边上,若sinα= 2 5 ， 则m= (
)
A.-6或1
B.-1或65
C.6
D.1
【解析】选C.由题意知
ຫໍສະໝຸດ Baidu5m2=4m2+36,
且m>0,所以m=6.
m 2, 9 m2 5
心角所对的弧长为 ( )
A.10π
B.9π
C. 9 10
D.10 9
【解析】选D.单位圆的半径r=1,200°的弧度数是
200 10, 180 9
由弧度数的定义得
10l,所以l10.
9r
9
2.(必修4P15练习T6改编)若角θ满足tanθ>0,sinθ<0,
则角θ所在的象限是 ( )
A.第一象限
考向一 象限角及终边相同的角
【典例1】(1)已知角α的终边在第二象限,则 的终边
在第
象限 ( )
2
A.一或二
B.二或三
C.一或三
D.二或四
(2)(2016·福州模拟)与-2015°终边相同的最小正角
是
.
【解题导引】(1)根据象限角及不等式的性质求解. (2)将-2015°写成 k·360°+α(k∈Z,0°<α<360°)的形式,进而确定 最小正角.
第三章 三角函数、解三角形 第一节 任意角和弧度制及任意角的三
角函数
【知识梳理】 1.任意角的概念 (1)我们把角的概念推广到任意角,任意角包括正角、 负角、零角. ①正角:按_______方向旋转形成的角; ②负角:按_逆__时__针__方向旋转形成的角;
顺时针
③零角:如果一条射线_没__有__作__任__何__旋__转__,我们称它形成 了一个零角. (2)终边相同角:与α终边相同的角可表示为: _____________________. {β|β=α+2kπ,k∈Z}
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
【解析】选C.由tanθ>0知,θ是一、三象限角,由 sinθ<0知,θ是三、四象限角或终边在y轴负半轴上, 故θ是第三象限角.
感悟考题 试一试 3.(2016·衡水模拟)已知角α的终边经过点M(-3,-1), 则下列结论不正确的是 ( )
A.sin 10 10
2.各象限角三角函数值符号的记忆口诀
一全正,二正弦,三正切,四余弦.
3.任意角三角函数的定义
设P(x,y)是角α终边上异于顶点的任一点,其到原点O
的距离为r,则sinα= ,cosα= ,tanα= (x≠0).
y
x
y
r
r
x
【小题快练】
链接教材 练一练
1.(必修4P10习题1.1A组T10改编)单位圆中,200°的圆
2 2
2.在本例题(1)中,条件不变,求 的终边所在的位置. 3
【解析】由于角α的终边在第二象限,
所以 +k·2π<α<π+k·2π,k∈Z,
所以 2 ①当k 6=3k 3m2 ,m＜ ∈3＜ Z 3 时,k 32,k Z ，
面积公式:S=__1 ___= .
lr 2
1 r2 2
3.任意角的三角函数 (1)定义:设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点 P(x,y),则sinα=_y_,cosα=_x_,tanα=_xy_(_x _ _0 _) .
(2)几何表示:三角函数线可以看作是三角函数的几何 表示.正弦线的起点都在x轴上,余弦线的起点都是原点, 正切线的起点都是(1,0).如图中有向线段MP,OM,AT分 别叫做角α的_____线、_____线和_____ 线.