2019届高考数学复习三角函数解三角形4.1任意角蝗制及任意角的三角函数课件文新人教A版
高考数学一轮复习第四章三角函数解三角形4.1任意角蝗制及任意角的三角函数课件理
(2)已知角α的终边在如图所示阴影表示的范围内(不包括边界)，则角α 用集合可表示为_(2_k_π_＋__π4_，__2_k_π_＋__56_π_)_(k_∈__Z__) . 答案 解析
在[0,2π)内，终边落在阴影部分角的集合为π4，56π， ∴所求角的集合为2kπ＋4π，2kπ＋56π(k∈Z).
弧度数是 答案 解析
π
π
A.3
B.6
C.－π3
D.－π6
将表的分针拨快应按顺时针方向旋转，为负角，故A、B不正确；
又因为拨快10分钟，故应转过的角为圆周的 1 . 6
即为－16×2π＝－π3.
(2)若圆弧长度等于圆内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为
π
π
A.6
B.3
C.3
D. 3
答案
解析
如图，等边三角形ABC是半径为r的圆O的内接三角形，
2.弧度制
(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号
rad表示，读作弧度.正角的弧度数是一个 正数 ，负角的弧度数是一个
负数 ，零角的弧度数是 0 .
π
180
(2)角度制和弧度制的互化：180°＝ π
rad,1°＝180 rad，1 rad＝
π
.
1 (3)扇形的弧长公式：l＝ |α|·r ，扇形的面积公式：S＝ 2lr ＝
②若扇形的周长为20，求扇形面积的最大值，并求此时扇形圆心角的 弧度数. 解答
由题意知l＋2r＝20，即l＝20－2r， S＝12l·r＝12(20－2r)·r＝－(r－5)2＋25， 当r＝5时，S的最大值为25. 当 r＝5 时，l＝20－2×5＝10，α＝rl＝2(rad). 即扇形面积的最大值为25，此时扇形圆心角的弧度数为2 rad.
高考数学一轮复习 第四章 三角函数 4.1 三角函数的概念、同角三角函数的关系及诱导公式课件 文
∴sin
α= 13 ,则sin α
9
2
=-cos
α= 1
sin2α
= 2 2 3
.
(2)由 sin
α
cos
α
1 5
,
sin2α cos2α 1,
消去cos α整理,得
25sin2α-5sin α-12=0,
解得sin α= 4 或sin α=- 3 .
高考文数
第四章 三角函数
§4.1 三角函数的概念、同角三角函数的关系及诱导公式
知识清单
考点 三角函数的概念、同角三角函数的基本关系及诱导公式 1.象限角
2.终边相同的角
3.弧度制 (1)角度制与弧度制的互化
1°=① 180
180
rad;1 rad=② ° .
(2)弧长及扇形面积公式 弧长公式:③ l=|α|r .
例1 已知角θ的顶点与坐标原点重合,始边与x轴的非负半轴重合,终边
在直线y=2x上,则cos 2θ= ( B )
A.- 4 B.- 3 C. 2 D. 3
5
5
3
4
解题导引
方法一:在角θ的终边上任取一点P,根据直线方程
设出点P的坐标 根据三角函数定义分别
求出sin θ与cos θ 利用二倍角公式求出cos 2θ
5
5
-
2
5 5
=- 3 .
5
综上可得,cos 2θ=- 3 ,故选B.
5
解法二:因为该直线的斜率k=2=tan θ,
所以cos
2θ= ccooss22θθ
2019版高考数学一轮复习第四章三角函数解三角函数第一节任意角和蝗制任意角的三角函数实用课件理
2．集合 αkπ＋π4≤α≤kπ＋π2，k∈Z
中的角所表示的范围(阴
影部分)是
()
解析：当k＝2n(n∈Z
)时，2nπ＋
π 4
≤α≤2nπ＋
π 2
，此时α表示的
范围与π4≤α≤π2表示的范围一样；当k＝2n＋1(n∈Z )时，2nπ＋
π＋ π4
≤α≤2nπ＋π＋ π2
，此时α表示的范围与π＋
[基本知识]
1．弧度制的定义
把长度等于 半径长 的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度
记作rad.
2．弧度制下的有关公式
角α的弧度数公式
|α|＝rl(弧长用l表示)
角度与弧度的换算 ①1°＝1π80 rad；②1 rad＝1π80°
弧长公式
弧长l＝ |α|r
扇形面积公式
S＝ 12lr ＝ 12|α|r2
π 4
≤α≤π＋
π 2
表
示的范围一样．比较各选项，可知选C. 答案：C
3．若角α是第二象限角，则α2是
()
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第一或第三象限角
D．第二或第四象限角
解析：∵α是第二象限角，∴
π 2
＋2kπ<α<π＋2kπ，k∈Z
，∴
π 4
＋kπ<α2<π2＋kπ，k∈Z .当k为偶数时，α2是第一象限角；当k为
法 (3)选答：出现数字m的区域，即为αn的终边所在的象限
[全练题点]
1．若α＝k·360°＋θ，β＝m·360°－θ(k，m∈Z )，则角α与
β的终边的位置关系是 A．重合 B．关于原点对称 C．关于x轴对称 D．关于y轴对称
2019高考数学一轮复习第四章三角函数解三角形4.1任意角蝗制及任意角的三角函数课件理新人教A版
-11-
.
关闭
如图,由题意知,角 α 的终边在第二象限,在其上任取一点 P(x,y),则
y=-x,由三角函数的定义得
tan
α=������������
=
-������ ������
=-1.
关闭
-1
解析 答案
-12-
知识梳理 考点自测
12345
5.(2017河南郑州一中质检一,理13)在平面直角坐标系xOy中,已
π4≤α≤π2表示的范围一样,当 k=2n+1(n∈Z)
时,2nπ+π+π≤α≤2nπ+π+π,此时 α 表示的范围与 π+π≤α≤π+π表示
4
2
4
2
的范围一样.
(3)由 α=2kπ-π5(k∈Z)及终边相同角的概念知,α 的终边在第四象限.
又 θ 与 α 的终边相同,所以角 θ 是第四象限角,所以 sin θ<0,cos
α>α>sin α.( )
(1)× (2)× (3)× (4)× (5)√
关闭
答案
-9-
知识梳理 考点自测
12345
2.已知扇形的半径为12 cm,弧长为18 cm,则扇形圆心角的弧度数 是( )
A.23
B.32
C.23π
D.32π
关闭
由题意知 l=|α|r,
则|α|=������������
=
18 12
2.轴线角
-8-
知识梳理 考点自测
12345
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.
(1)小于90°的角是锐角.( ) (2)三角函数线的长度等于三角函数值;三角函数线的方向表示三 角函数值的正负.( ) (3)若sin α>0,则α是第一、第二象限的角.( ) (4)相等的角终边一定相同,终边相同的角也一定相等.( ) (5)若角α为第一象限角,则sin α+cos α>1;若α∈0,π2,则tan
2019届高考数学一轮复习第三章三角函数解三角形第1讲任意角和蝗制及任意角的三角函数课件文新人教版
是( )
[解析]
当k＝2n(n∈Z)时，2nπ＋
π 4
≤α≤2nπ＋
π 2
，此时α表示的
范围与π4≤α≤π2表示的范围一样；
当k＝2n＋1(n∈Z)时，2nπ＋π＋
π 4
≤α≤2nπ＋π＋
π 2
，此时α表示
的范围与π＋π4≤α≤π＋π2表示的范围一样，故选C. [答案] C
(2)(2018·广州调研)若角θ的终边与
4．三角函数的定义中，当P(x，y)是单位圆上的点时有sin α＝ y，cos α＝x，tan α＝yx，但若不是单位圆时，如圆的半径为r，则sin α＝yr，cos α＝xr，tan α＝xy.
[知识自测]
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)锐角是第一象限的角，第一象限的角也都是锐角．( )
2．已知角α的终边与单位圆的交点为M 12，y ，则sin α等于
()
3 A. 2
B．±
3 2
2 C. 2
D．±
2 2
[解析]
由题意知|r|2＝122＋y2＝1，所以y＝±
3 2.
由三角函数定义知sin
α＝y＝±
3 2.
[答案] B
3．(2018·辽源模拟)若三角形的两个内角α，β满足sin αcos β＜ 0，则此三角形为 ________ .
三 角 函 数 线
有向线段 MP 为正弦线；有向线段 OM 为余弦线；有 向线段 AT 为正切线
[知识感悟] 1．注意易混概念的区别：象限角、锐角、小于90°的角是概念 不同的三类角．第一类是象限角，第二、第三类是区间角． 2．角度制与弧度制可利用180°＝π rad进行互化，在同一个式子 中，采用的度量制度必须一致，不可混用． 3．已知三角函数值的符号确定角的终边位置不要遗漏终边在坐 标轴上的情况．
2019版高考数学一轮复习第三章三角函数解三角形第18讲任意角蝗制及任意角的三角函数课件
2．弧度与角度的互化 (1)1 弧度的角 半径 的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角. 长度等于__________ (2)角 α 的弧度数 如果半径为 r 的圆的圆心角 α 所对弧的长为 l，那么角 α 的弧度数的绝对值是|α|
l r ＝__________.
(3)角度与弧度的换算
180 π ° π 180 ①1° ＝__________rad ；②1 rad＝__________.
3 l 3π 解析 弧长 l＝3π，圆心角 α＝4π，由弧长公式 l＝|α|· r 得 r＝|α|＝3 ＝4，面积 S 4π 1 ＝2lr＝6π.
一 象限角及终边相同的角
象限角和终边相同的角的判断及表示方法
(1) 若 要 确 定 一 个 绝 对 值 较 大 的 角 所 在 的 象 限 ， 一 般 是 先 将 角 化 为 2kπ ＋
(4)弧长、扇形面积的公式
|α|r 设扇形的弧长为 l，圆心角大小为 α rad，半径为 r，则 l＝__________ ，扇形的面
1 2 1 | α |· r 2 积为 S＝2lr＝__________.
3．任意角的三角函数 (1)定义：设 α 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点 P(x，y)，那么 sin α＝
2．－870°的终边在第几象限( C ) A．一 B．二
C．三
D．四
解析 因－870°＝－2×360°－150°，－150°是第三象限角.
3．已知角 α 的终边经过点( 3，－1)，则角 α 的最小正值是( B ) 2π 11π A． 3 B． 6 5π C． 6 3π D． 4
－1 1 11 解析 ∵sin α＝ 2 ＝－2，且 α 的终边在第四象限，∴α＝ 6 π.
2019版高考数学一轮复习第3章三角函数解三角形3.1任意角和蝗制及任意角的三角函数课件文
解析 设∠AOB＝α，则 S 扇形 OA1B1＝12OA21·α＝1， S 扇形 OAB＝12OA2·α，OA＝2OA1， ∴S 扇形 OAB＝21·(2OA1)2·α＝4.
经典题型冲关
题型 1 象限角及终边相同的角
典例1设集合 M＝xx＝2k·180°＋45°，k∈Z
，N＝
解析 角 β 的终边上有一点 P(－m，m)，其中 m≠0，
∴r＝|OP|＝ 2|m|，
当
m>0
时，cosβ＝
－m ＝－ 2|m|
22，
sinβ＝
m＝ 2|m|
22，∴sinβ＋cosβ＝0；
当
m<0
时，cosβ＝
－m ＝ 2|m|
22，sinβ＝
m ＝－ 2|m|
22，
∴sinβ＋cosβ＝0.
利用方程组法、二次函数求最值．
解 (1)α＝60°＝π3 rad，
∴l＝α ·R＝π3×10＝130π (cm)．
2R＋Rα＝10， (2)由题意得12α·R2＝4，
解得 Rα＝＝81，
R＝4， (舍去)，α＝12.
故扇形圆心角为21.
(3)由已知得，l＋2R＝20，所以 S＝12lR＝12(20－2R)R＝ 10R－R2＝－(R－5)2＋25，所以当 R＝5 时，S 取得最大值 25，此时 l＝10，α＝2.
提醒：若题目中已知角的终边在一条直线上，此时注意 在终边上任取一点有两种情况(点所在象限不同)．
冲关针对训练 1．设π2<x<34π，a＝sinx，b＝cosx，c＝tanx，则( ) A．a<b<c B．c<b<a C．b<c<a D．b<a<c
(通用版)2019版高考数学一轮复习第4章三角函数、解三角形1第1讲任意角和弧度制及任意角的三角函数
第1讲 任意角和弧度制及任意角的三角函数
了解任意角的概念.
了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化. 理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.
理解同角三角函数的基本关系式：sin 2x ＋cos 2
x ＝1，sin x cos x ＝tan x .
能利用单位圆中的三角函数线推导出π
2±α，π±α的正弦、余弦、
会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.
能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式. 能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导 能画出y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的图象，了解三角函数的 理解正弦函数、余弦函数在区间[0，2π]上的性质(如单调性、最
了解函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的物理意义；能画出y ＝Asin(ωx ＋ 了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数
1．任意角的概念
(1)定义：角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．
(2)角的分类
{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．
2．弧度制
(1)定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．弧度记作rad.
(2)公式。
2019版高考数学大一轮复习第四章三角函数解三角形4.1任意角蝗制及任意角的三角函数教师用书文新人教版
2019版高考数学大一轮复习第四章三角函数解三角形 4.1任意角蝗制及任意角的三角函数教师用书文新人教版1 .角的概念(1) _______________________________________________ 任意角：①定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形；②分类：角按旋转方向分为正角、负角和零角. _________________________________________________⑵所有与角a终边相同的角，连同角a在内，构成的角的集合是S= { 3 | 3 = k • 360° + a , k € Z}.(3)象限角：使角的顶点与原点重合, 角的始边与x轴的非负半轴重合, 那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限.2 .弧度制(1) 定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度.正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.⑵角度制和弧度制的互化：180°= n rad,1 ° = n rad , 1 rad = 180° .180 n1 1 2⑶扇形的弧长公式：I = | a I • r，扇形的面积公式：S= 2斤=a | • r .3 •任意角的三角函数y任意角a的终边与单位圆交于点P(x, y)时，sin a = y, cos a = x, tan a = -(x^0).x三个三角函数的初步性质如下表：三角函数定义域第一象限符号第二象限符号第三象限符号第四象限符号sin a R+ + 一一COS a R+ 一一+tan a . . . ,n{ a | a 工k n + ,k € Z}+ 一+ 一知识梳理4.三角函数线如下图，设角a 的终边与单位圆交于点P ,过P 作PMLx 轴，垂足为 M 过A (1,0)作单位圆的切线与a 的终边或终边的反向延长线相交于点T.【知识拓展】1 •三角函数值的符号规律 三角函数值在各象限内的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦.2 •任意角的三角函数的定义 (推广)y0的距离为r ，则sin a =7 , cos a=X , tan a= 0) • r x【思考辨析】 判断下列结论是否正确(请在括号中打“V”或“ x”) (1) 锐角是第一象限的角，第一象限的角也都是锐角. (x )(2) 角a 的三角函数值与其终边上点 P 的位置无关.(V )(3) 不相等的角终边一定不相同.(X )⑷ 终边相同的角的同一三角函数值相等.( V )n⑸若 a € (0 , ~)，贝V tan a > a >sin a .( V ) ⑹ 若a 为第一象限角，则 sin a + cos a >1.( V考点自测1.角一870°的终边所在的象限是 ( )A .第一象限B.第二象限设P (x , y )是角a 终边上异于顶点的任一点，其到原点C.第三象限D.第四象限答案 C解析 由一870°=— 1 080 ° + 210°,知一870°角和 210°角终边相同，在第三象限.C. 答案 B1解析 由题意知|r|2=（^）2 + y = 1, 所以 y =± -2-.由三角函数定义知 sin a = y =± -2-.n n3 . （2016 •潍坊二模）集合｛ a |k n+ — WaW k n+ —, k € Z ｝中的角所表示的范围答案 Cnn n n解析 当k = 2n （n € Z ）时，2n n+ — W a W2 n n+"2，此时a 表示的范围与 —WaW —表示 n n_….的范围一样；当 k = 2n + 1 (n € Z)时，2n n + n + — W a W2n n + n + —，此时 a 表示的范 n n围与n + ~4W a W n + ~表示的范围一样，故选C.4 •已知在半径为 120 mm 的圆上，有一段弧长是 144 mm,则该弧所对的圆心角的弧度数为_______ r ad. 答案 1.2l 144解析 由题意知a =-== 1.2 rad.r 1202 .（教材改编）已知角a 的终边与单位圆的交点为1M f^, y )，则 sin a 等于(B. +_2 —2D.（阴影部思维升华(1)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角,方法是先写出与这个角的5.函数y = Q2COS x — 1的定义域为 _________ 答案 |2k n — -3, 2k n + 才"(k € Z) 解析■/2COS x — 1 >0,1COS x > 2 由三角函数线画出 x 满足条件的终边范围(如图阴影所示).2k n +夕(k € Z)3题型分类深度剖析题型一角及其表示例 1 (1)若 a = k • 180°+ 45°( k € Z)，则 a 在( )A .第一或第三象限 B.第一或第二象限 C.第二或第四象限 D.第三或第四象限(2) 已知角a 的终边在如图所示阴影表示的范围内(不包括边界)，则角a 用集合可表示为“宀 n5答案 (1)A⑵(2 k n + —, 2k n + 6 n )( k € Z)解析 (1)当 k = 2n (n € Z)时，a = 2n • 180°+ 45° = n • 360°+ 45°, a 为第一象限角； 当 k = 2n + 1 ( n € Z)时，a = (2n + 1) • 180°+ 45°= n • 360°+ 225°, a 为第三象限角. 所以a 为第一或第三象限角.故选 A.⑵ 在［0,2 n )内，终边落在阴影部分角的集合为，^兀,•••所求角的集合为 i 2k n +"4, 2k n + |n ( k € Z).终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需的角.⑵利用终边相同的角的集合S= { 3 | 3 = 2k n + a, k€ Z}判断一个角3所在的象限时，只需把这个角写成［0,2 n )范围内的一个角a与2 n的整数倍的和，然后判断角a的象限.跟踪训隊1 (1)终边在直线y=Q3x上的角的集合是______________________ .6 n p(2)(2017 •广州调研)若角0的终边与〒角的终边相同，则在［0,2 n ］内终边与丁角的终边相同的角的个数为__________________ .n答案(1){ a | a=~3 + k n , k € Z} (2)3解析⑴在(0 , n )内终边在直线3x上的角为才,终边在直线y= 3x上的角的集合为{ a | a=~3 + k n , k€ Z}.36 n(2) T 0 =-y + 2k n (k€ Z),0 2 n 2k n•-亍=T + 〒(k € Z)，2 n 2k n3 18依题意0W + W2 n , k€ Z, •—7< k,0 2 n 20 n 34 n• k = 0,1,2，即在［0,2 n ］内与§角的终边相同的角为—，百，百共三个.题型二弧度制例2 (1)(2016 •成都模拟)若圆弧长度等于该圆内接正方形的边长，则其圆心角的弧度数是答案2解析设圆半径为r，则圆内接正方形的对角线长为2r，•正方形边长为2r ,•圆心角的弧度数是严=2.(2)已知扇形的圆心角是a，半径是r,弧长为I .①若a = 100°, r = 2,求扇形的面积；②若扇形的周长为20,求扇形面积的最大值，并求此时扇形圆心角的弧度数.& 1 1 2 1 5 10解①S= 2lr = 2 a r = 2X9冗X 4= 9n .②由题意知l + 2r = 20,即l= 20 —2r,1r = 2(20 —2r) 2r = —(r —5) +当r = 5时，S的最大值为25.t丄 l当 r = 5 时，I = 20 — 2x 5= 10, a = p = 2(rad).即扇形面积的最大值为 25,此时扇形圆心角的弧度数为 2 rad.思维升华 应用弧度制解决问题的方法(1) 利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度.(2) 求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决. (3) 在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形.m (1)将表的分针拨快10分钟，则分针旋转过程中形成的角的弧度数是( )nC —3 (2)若圆弧长度等于圆内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为D. .3(2)如图,n在 Rt △ AOM 中, AO= r ,Z AO = 3,•'•I = . 3r ,由弧长公式得a=r=? =.3.C. 3答案 (1)C(2)D解析 (1)将表的分针拨快应按顺时针方向旋转，为负角，故 A 、B 不正确; 又因为拨快 10分钟, 故应转过的角为圆周的 1 6.1 即为-6x2n n = 一 —n3.等边三角形 作OML AB ABC 是半径为r 的圆O 的内接三角形，则线段 AB 所对的圆心角/ 2 n AO=亍垂足为M二 AM=AB= ,3r ,题型三 三角函数的概念 命题点1三角函数定义的应用例3 (1)(2016 •广州模拟)若角0的终边经过点 R — 3, m )(存0)且sin 0=#m 则cos 0的值为由题意知r = 3+ mi ,mx/2=4mm^0,二 m=± 5, • r = 3 + m = 2 2,... cos 0=— =— J2迄4⑵ 由三角函数定义可知 Q 点的坐标(x , y )满足2 n 1 2 n 寸3x = cos ~= — 2， y = sin ~丁 = ?. 一 1•••Q 点的坐标为(—2, 命题点2三角函数线 例4 函数y = lg(2sinx — 1) +寸1 — 2cos x 的定义域为 __________________“亠 n 5 n答案［2k n+ §, 2k n+g )(k € Z) 解析要使原函数有意义，必须有⑵ 点P 从(1,0)出发，沿单位圆逆时针方向运动2 n—弧长到达Q 点，则Q 点的坐标为(A.1上 2， 2 B.C. 1 2,D.答案 (1)-4 (2)A解析 (1) 2sin x — 1>0, 1 — 2cos x 》1sin x >2, 即1cos x < 2,如图,在单位圆中作出相应的三角函数线，由图可知，原函数的定义域为 (k € Z). 思维升华(1)利用三角函数的定义，已知角 a 终边上一点P 的坐标可求a 的三角函数值;已知角a 的三角函数值，也可以求出点 P 的坐标.(2)利用三角函数线解不等式要注意边界角的取舍，结合三角函数的周期性写出角的范围.跟踪训练3(1)已知角a的终边经过点(3 a — 9, a + 2)，且 cos a W 0, sin a >0.则实数 a的取值范围是 ()A . ( — 2,3]B. (—2,3)C. [ — 2,3)D. [—2,3]⑵满足cos a W 1—2的角a 的集合为 .答案⑴A(2){ a |2 k n 2 + 3 n W a W24 k n + ~ n,k € Z} 解析 (1) T cos a < 0, sin a >0,•••角a 的终边落在第二象限或 y 轴的正半轴上. 3a — 9w 0,..*.. — 2<a w 3.a + 2>0,1⑵作直线x = — 2交单位圆于c 、D 两点，连接 OG OD 则0C 与0D 围成的区域(图中阴影部分)即为角a 终边的范围,2 4故满足条件的角 a 的集合为{ a |2 k n + 3 n aW2k n + 3 n , k € Z}.[2 k n +专,2k n + 辛)Y6 .数形结合思想在三角函数中的应用一点P 的位置在（0,0），圆在x 轴上沿正向滚动.当圆滚动到圆心位于 Q2,1）时，OP 勺坐标为 _______ .2⑵（2017 •合肥调研）函数y = lg （3 — 4sin x ）的定义域为 _______ .思想方法指导 在坐标系中研究角就是一种数形结合思想，利用三角函数线可直观得到有关 三角函数的不等式的解集. 解析（1）如图所示，过圆心C 作x 轴的垂线，垂足为 A ,过P 作x 轴的垂线与过 C 作y 轴的垂线交于点 B.因为圆 心移动的距离为2，所以劣弧PA = 2,即圆心角/ PCA= 2, 则/ PCB= 2 —才，所以 PB= sin （2 —寺）=—cos 2 ,所以 X P = 2— CB= 2— sin 2 , yP = 1+ PB= 1 — cos 2 ,所以 OP= (2 — sin 2,1 — cos 2) (2) T 3— 4sin 2x > 0, ••• sin 2x v 3,利用三角函数线画出x 满足条件的终边范围（如图阴影部分所示）,sin 2 ,典例（1）如图，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在（0,1），此时圆上x €n nk n —丁, k n + 亍(k€ Z).答案(1)(2 —sin 2,1 —cos 2)3 ?课时彳乍业9 n1.下列与 的终边相同的角的表达式中正确的是（ ）4 9A . 2k n+ 45°（ k € Z ）B. k • 360°+匚 n （k € Z ）4 5 nC. k • 360°— 315°（ k € Z ）D. k n+才（k € Z ）答案 C9 n9 n解析 与才的终边相同的角可以写成2k n+z （k € Z ），但是角度制与弧度制不能混用,以只有答案C 正确.2 .若a 是第三象限角，则下列各式中不成立的是 （ )A . sin a + cos a V 0 B. tan a — sin a V 0C. cos a — tan a V 0D. tan a sin a v 0答案 B解析 a 是第三象限角，sin av 0, cos a v 0, tan a >0，则可排除 A 、C 、D,故选 3 . （2016 •广州一模）已知a 是第二象限的角，其终边上的一点为 P （x ,5），且cos a =x ，则tan a 等于（ ）B.答案 D 解析 T F (x , 5)，二 y = , 5.• x 2+ ( ,5)2= (2 2)2,解得 x =± 3. 由a 是第二象限的角，得 x =— 3 ,•- tan a7t7tB.二 4C.155D.15 3又cosx x=-r ••• r = 2 2,k €Z)3 ?4. （2017 •九江质检）若390°角的终边上有一点F（a, 3），则a的值是（）3A. 3 C.— 3答案 B3解析 tan 390 °=乙，又 tan 390 °= tan(360 ° + 30° ) = tan 30 ° =a = 3 3.答案 C 解析 T F (sina — COS a , 2)在第二象限，••• sin a <COS a ,,. n z , f r 「 … sin 0 cos 06 .已知角a = 2k n — y(k € Z)，若角0与角a 的终边相同，则y = ―打+ |cos0 | +tan 0 … 面F 的值为() A . 1 C. 3 答案 Bn解析 由a = 2k n —-（k € Z ）及终边相同的概念知，角a 的终边在第四象限， 又角0与角5a 的终边相同，所以角 0是第四象限角，所以 sin 0 <0, cos 0 >0, tan 0 <0.所以y =—1 + 1 — 1 = — 1.7.在直角坐标系中， O 是原点，AC. 3, 1），将点A 绕O 逆时针旋转90°到B 点，则B 点坐 标为___________. 答案（一1,. 3）解析 依题意知OA= OB= 2，/ AOx= 30°,/ BOx= 120°,设点B 坐标为（x , y ），所以x = 2cos 120 ° =— 1, y = 2sin 120 ° =3，即 B （ — 1, 3）.nn8.已知扇形的圆心角为6，面积为n ，则扇形的弧长等于 ---------------- 答案B. 3 3D — 3 35.已知点 P (sin a — COS a , 2)在第二象限, 则 a 的一个变化区间是（）A.3nB.— 1 D.— 37tB.4，••• a 的一个变化区间是A片 占解得1 =fr = 2.AA A9 .设A 是第三象限角，且 cos — =— cos —，则"2是第 ____________ 象限角.答案二A解析 由A 是第三象限角，知-2为第二或第四象限角，A cos ■— w 0,A综上知才为第二象限角.10 .在(0,2 n )内，使sin x >cos x 成立的x 的取值范围为解析如图所示,11. 一个扇形 OAB 的面积是1 cm 2,它的周长是4 cm ，求圆心角的弧度数和弦长AB解设扇形的半径为 r cm ，弧长为l n_=—i r 6，解析 设扇形半径为r ，弧长为1，则1 n 2lr =亏，Acos — =—cos找出在(0,2 n )内，使sin x = cos x 的x 值，sinn才=cos5 n 5 nV = cos V =—根据三角函数线的变化规律标出满足题中条件的角n x €(］，答案717•圆心角 a = =- = 2(rad).如图，过 0作 OHL AB 于 H,则/ AOH= 1 rad. • AH = 1 • sin 1 = sin 1(cm),/• AB= 2sin 1(cm)•••圆心角的弧度数为 2 rad ，弦长AB 为2sin 1 cm.cos a + 2tan a 的值.解设Rx , y ），则根据题意，可得岂=f. 又T sin a <0,• a 的终边只可能在第三、第四象限.贝U r = x 2+ y 2= 5k ,「二x 4从而 cos a = —=—匚，tan r 57• cos a+ 2tan a=矗则 = 1, l + 2r = 4,解得r = 1,l= 2.12.已知角a 终边上一点P , P 到x 轴的距离与到y 轴的距离之比为 3 : 4,且sin a <0,求①若点P 位于第三象限，可设P ( — 4k , - 3k )( k >0),②若点P 位于第四象限，可设 P (4k ,— 3k )( k >0),从而cos a =-r 4,tan a5• cos a + 2tan710.综上所述，若点 P 位于第三象限，则 cos a + 2tan a = 10 ;若点P位于第四象限，则cos a + 2tan a*13.已知sin a <0, tan a >0.(1) 求角a的集合;求］终边所在的象限;试判断tan ysin ^cos ；的符号.7解(1)由Sin a <0,知a在第三、四象限或y轴的负半轴上; 由tan a >0,知a在第一、三象限，故角a在第三象限，、 3 n其集合为{ a |2k n + n <a <2k n + , k€ Z}.3 n(2)由2k n + n < a <2k n + , k € Z,得k n + -2<_2<k n + , k € Z,故—终边在第二、四象限.a a⑶当2在第二象限时，tan —<0,• a 小 a 小sin >0, cos <0,2 2所以tan OfSin ycos 专取正号；当寺在第四象限时，tan寺<0,sin O-<0, cos 2>0,a a a所以tan gsin ~cos ~也取正号.因此，tan a sin a cos 工取正号.2 2 2。
高考总复习一轮数学精品课件 第5章 三角函数、解三角形 第1节 任意角、弧度制及三角函数的概念
2.弧度制的定义和公式
(1)定义:把长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角,弧度单位
用符号 rad表示,读作弧度.
(2)公式
角α的弧度数公式
角度与弧度的换算
弧长公式
扇形面积公式
|α|=__________
π
1°=__________
180 180
(l表示弧长)
rad;
1 rad=__________°
-50°
角是__________.
310°
(2)若α是第一象限角,则 2 是第__________象限角.
一或三
解析 (1)与角1 030°终边相同的角可以表示为α=1 030°+k·
360°,k∈Z,
当k=-3时,α=-50°;当k=-2时,α=310°,
所以在与角1 030°终边相同的角中,最大的负角是-50°,最小的正角是310°.
π
|α|r
弧长l=__________
1
1
2
lr
S=__________=
|α|r
2
2
利用扇形的弧长和面积公式解题时,要注意角的单位必须是弧度
微点拨有关弧度制的注意点:(1)角度制与弧度制可利用180°=π rad进行互
化,在同一个式子中,采用的度量制度必须一致,不可混用.(2)注意扇形圆心
角弧度数的取值范围是(0,2π],实际问题中注意根据这一范围进行取舍.
1
√3
弦与半径所围成的三角形面积为 S1=2 ×2×2× 2 = √3
2π
扇形的弧所在的弓形的面积为 S-S1=( 3 − √3)cm2.
cm2.
(3)因为扇形的周长为 20 cm,l=αR,所以 l=20-2R,
高考数学一轮总复习第4章三角函数解三角形第1节任意角蝗制及任意角的三角函数课件文2
|跟踪训练| 1．已知 2 弧度的圆心角所对的弦长为 2，则这个圆心角所对的弧长是________． 解析：设圆的半径为 R，则 Rsin 1＝1， ∴R＝sin1 1， ∴这个圆心角所对弧长为 R×2＝sin2 1. 答案：sin2 1
2.已知圆 O 与直线 l 相切于点 A，点 P，Q 同时从 A 点出发，P 沿着直线 l 向右，Q 沿着圆周按逆时针以相同的速度运动，当 Q 运动到图示位置时，点 P 也停止运动，连接 OQ，OP(如图)，则阴影部分面积 S1，S2 的大小关系是________．
与求值，考查分类讨论思想和数形结合思想 余弦、正切)的定义.
的应用意识．题型以选择题为主，低档难度.
数学运算
1
课 前 ·基 础 巩 固
‖知识梳理‖ 1．角的概念的推广 (1)定义：角可以看成平面内的一条射线绕着 1 __端__点_____从一个位置旋转到另一个位 置所成的图形．
按旋转方向不同分为 2 __负__角_____、 3 __零__角_____、 4 __正__角_____. (2)分类按终边位置不同分为 5 _象__限__角____和轴线角. (3)终边相同的角：所有与角 α 终边相同的角，连同角 α 在内，可构成一个集合 S＝{β|β ＝α＋k·360°，k∈Z}．
S 弓形＝S 扇形－S 三角形＝12lR－12R2sinπ3
＝12×103π×10－12×102×
3 2
＝50π－375 3(cm2)．
2．(变条件)“若扇形周长为 20 cm”，当扇形的圆心角 α 为多少弧度时，这个扇形的 面积最大？
解：由已知得，l＋2R＝20. 所以 S＝12lR＝12(20－2R)R＝10R－R2＝－(R－5)2＋25， 所以当 R＝5 cm 时，S 取得最大值 25 cm2，此时 l＝10 cm，α＝2 rad.所以当圆心角 α 为 2 rad 时，扇形的面积最大．
高考数学一轮复习第4章三角函数与解三角形第1讲任意角和蝗制及任意角的三角函数课件文
(必修 4 P15 练习 T6 改编)若 θ 满足 sin θ<0，cos θ>0，则
θ 的终边在( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
解析：选 D.由 sin θ<0，θ 的终边可能位于第三象限或第四象
限，也可能与 y 轴的非正半轴重合，cos θ>0，θ 的终边可能位
于第一象限，也可能位于第四象限，也可能与 x 轴的非负半轴
编后语
听课对同学们的学习有着非常重要的作用。课听得好好，直接关系到大家最终的学习成绩。如何听好课，同学们可以参考如下建议：
一、听要点。
一般来说，一节课的要点就是老师们在备课中准备的讲课大纲。许多老师在讲课正式开始之前会告诉大家，同学们对此要格外注意。例如在学习物理 课“力的三要素”这一节时，老师会先列出力的三要素——大小、方向、作用点。这就是一堂课的要点。把这三点认真听好了，这节课就基本掌握了。
2．弧度制的定义和公式 (1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 _1_弧__度__的__角__，弧度记作 rad.
(2)公式
角 α 的弧度数公 式
|α|＝rl(弧长用 l 表示)
角度与弧度的 换算
①1°＝1π80rad；②1 rad＝1π80°
弧长公式 弧长 l＝_|_α_|r___
重合，故 θ 的终边在第四象限．
(必修 4 P15 练习 T2 改编)已知 θ 的终边过点 P(12，－5)，则
cos θ 的值为( )
A．1123 C．－152
B．－153 D．－152
解析：选 A.x＝12，y＝－5，
所以 r＝ x2＋y2＝13，
所以 cos θ＝xr＝1123.
高考数学 第四章三角函数解三角形4.1任意角蝗制及任意角的三角函数课件
师生共研
题型二 弧度制及其应用
例1 已知一扇形的圆心角为α，半径为R，弧长为l.若α＝π，R＝10 cm，求扇形 3
的面积.
解 由已知得 α＝π3，R＝10 cm，
∴S 扇形＝21α·R2＝21·π3·102＝530π(cm2).
1234567
题组二 教材改编 2.[P10T6]角－225°＝__－__5_4π___弧度，这个角在第____二____象限.
1234567
3.[P14
例
1]若角
α
的终边经过点
Q－Biblioteka 22，22，则sin
2 α＝__2__，cos
α＝_－__2_2.
1234567
π 4.[P10T8]一条弦的长等于半径，这条弦所对的圆心角为___3__弧度.
解析 作直线 x＝－12交单位圆于 C，D 两点，
连结OC，OD，则OC与OD围成的区域(图中阴影部分)
即为角α终边的范围，
故满足条件的角 α 的集合为α2kπ＋23π≤α≤2kπ＋43π，k∈Z
.
(2)若－34π<α<－2π，从单位圆中的三角函数线观察 sin α，cos α，tan α 的大小 关系是_s_in__α_<_c_o_s_α__<_ta_n__α. 解析 如图，作出角α的正弦线MP，余弦线OM，正切线AT，
观察可知sin α<cos α<tan α.
思维升华
(1)利用三角函数的定义，已知角α终边上一点P的坐标可求α的三角函数值； 已知角α的三角函数值，也可以求出点P的坐标. (2)利用三角函数线解不等式要注意边界角的取舍，结合三角函数的周期性 写出角的范围.