平行线之间的面积问题
小学六年级数学题《平行线问题大全及答案》
小学六年级数学题《平行线问题大全及答案》姓名:_____________ 年级:____________ 学号:______________1、下面语句中，正确的是①不相交的两条直线叫做平行线；②在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种；③如果线段ab和线段cd不相交，那么直线ab和直线cd平行；④如果a∥b，b∥c，那么a∥c．[ ]a．②和④b．①和②c．②和③d．①和④答案与解析：a2、我们知道生活中许多美丽的事物都是由许多的图形组成的，如我们可以用两条平行线，一个等腰三角形，一个圆（或半圆）来表示一个可爱娃娃。
怎么样，开动你的脑筋，用你的灵巧小手，用两条平行线、一个等腰三角形，一个圆（或半圆）来描绘我们美好事物，并给它起一个好听的名字。
答案与解析：答案不唯一，只要美观即可。
3、三条平行线上分别有3个点，4个点和5个点，且不在同一条平行线上的三个点不共线，以这些点为顶点的三角形共有______个．答案与解析：根据题干分析可得：（1）在第一条直线上取一点，另外两点分别在第二条直线上，或在第三条直线上，可以得到的三角形的个数为：3x6+3x10=48（个），（2）在第二条直线上取一点，另外两点分别在第一条直线上，或在第三条直线上，可以得到的三角形的个数为：4x3+4x10=52（个），（3）在第三条直线上取一点，另外两点分别在第二条直线上，或在第一条直线上，可以得到的三角形的个数为：5x3+5x6=45（个），（4）每条直线上各取一点有，可得三角形的个数为：3x4x5=60（个），所以48+52+45+60=205（个）．答：以这些点为顶点的三角形共有205个．故答案为：205．4、在图中，过a作已知直线的垂线，再过b作已知直线的平行线，量出a、b间的距离，并与ab为直径画一个圆．答案与解析：答案如图，5、下面平行线中的三个图形，它们的面积从大到小排列是[ ]a.②③①b.②①③c.③②①答案与解析：c6、比较平行线间的两个阴影部分面积，如下图[ ]a．甲乙b．甲乙c．甲=乙答案与解析：c7、在两条平行线间，分别画出面积相等的长方形、平行四边形、三角形和梯形。
两平行线间的距离公式推导过程
两平行线间的距离公式推导过程摘要：1.引言：介绍平行线的基本概念和距离公式的背景2.推导过程：详述如何从基本几何概念和公理推导出两平行线间的距离公式3.结论：总结推导结果，并讨论公式的应用和意义正文：一、引言平行线是几何学中的一个基本概念，它们在平面几何和其他几何领域中都有广泛的应用。
在解决与平行线相关的问题时，我们经常需要计算它们之间的距离。
为了方便计算，数学家们已经推导出了两平行线间的距离公式。
在本文中，我们将详细介绍这个公式的推导过程。
二、推导过程1.假设有两条平行线l1 和l2，它们之间的距离为d。
2.从l1 上任选一点A，作一条与l2 垂直的线段AM，M 为线段终点。
3.根据垂直平分线定理，可以得知AM 的长度等于l2 上与M 点对应的线段AN 的长度。
4.连接线段AN 和MN，可以发现三角形AMN 是一个直角三角形，其中∠MAN 为直角。
5.根据勾股定理，直角三角形的斜边长度（即两平行线间的距离）等于直角边的平均值，即d = (AM + MN) / 2。
6.由于MN = AN，所以d = (AM + AN) / 2。
7.根据面积公式，平行线l1 和l2 之间的面积可以表示为S = l1 × d。
8.同时，根据平行线的性质，我们知道l1 与l2 之间的距离等于它们任意一点到对方直线的距离，所以d 也可以表示为S = l2 × h，其中h 为l2 上任意一点到l1 的距离。
9.将公式S = l1 × d 和S = l2 × h 相等，得到l1 × d = l2 × h。
10.将d = (AM + AN) / 2 代入上式，得到l1 × [(AM + AN) / 2] = l2 × h。
11.化简得d = (l1 × AM + l1 × AN) / (2 × l1)。
12.由于AM = AN（根据垂直平分线定理），所以d = (l1 × AM) / l1 = AM。
面积类——平行类等积转换
专题：面积类——平行类等积转换教学目标：1.使学生理解并掌握同底等高面积转移的数学模型；2.使学生灵活运用平行线构造等面积三角形；3.通过面积转移培养学生构造数学模型的能力；4.体会知识之间的共性和通性。
教学重点：平行线转移面积教学难点：构造数学模型教学过程：一．面积类的主要类型（一）平行类的等积转换（二）中点类的等积转换（三）平分面积问题（四）面积公式的转换（五）利用相似解决面积问题（六）面积的拼接问题（七）面积的旋转不变性问题一、平行类的等积转换1、平行类的同底等高【例1】如图，已知直线m ∥n ，A 、B 为直线n 上的两点，C 、P 为直线m 上的两点。
（1）请写出图中面积相等的各对三角形： 。
（2）如果A 、B 、C 为三个定点，点P 在m 上移动，那么无论P 点移动到任何位置总有： 与△ABC 的面积相等；理由是： 探究：平行四边形ABCD 的面积为100，M 是AB 所在直线上的一点。
（1）当点M 与点B 重合时，△DCM 的面积为 。
（2）当点M 与点A 、B 都不重合时，△DCM 的面积为 。
（3）当点M 在AB 延长线上时，△DCM 的面积为 。
推广：如下图，平行四边形ABCD 的面积为a ，E 、F 是两边延长线上的两点，连结DF 、AF 、AE 、BE ，求图中阴影部分面积和？运用：有一块平行四边形ABCD 的绿地，被PQ 和MN 分成四块小的平行四边形，已知300AMOP =S ，400MBQO =S ，700NCQO =S ，现进行绿地改造，在绿地内部做一个三角形区域MQD （图中阴影部分）种植花草，求出△MQD 的面积。
nm第26题图1OBA PCCE同法练习：1.已知正方形ABCD 的边长为4，E 是射线CD 上的一个动点，以CE 为一条直角边在正方形ABCD 的右侧做等腰Rt 三角形CEF ，连结BF 、FD 、BD 。
（1）如图1，当CE=4时，=∆BDF S 如图2，当CE=2时，=∆BDF S 如图3，当CE=8时，=∆BDF S探索发现（2）根据上述计算的结果你认为：BD 与CF 的位置关系是 ；△BDF 的面积与正方形ABCD 的面积关系是 探索规律（3）已知△ABC 和△CDE 都是等边三角形，如果AB=1，则△ABE 的面积为 （4）已知四边形ABCD 和四边形BEFG 都是正方形，如果AB=2，则△ACF 的面积为 （5）已知五边形ABCDE 和五边形BFGHP 都是正五边形，如果AB=a ，求△ACH 的面积为。
数学人教版八年级下册平行四边形的性质—平行线间的距离及等面积问题
n m平行四边形的性质—— 平行线间的距离及等面积问题设计人：遵义市第五十三中学 龙文艳一、教材分析：平行线间的距离处处相等是人教版八年级下册第十八章第一节《平行四边形》中平行四边形的性质的一个推论，在等面积问题以及一些相似问题的运用中，这个知识点运用比较广泛，尤其是将一些不便于求解面积的图形问题转化为便于求解的图形问题时，常常会用到这一知识点。
在本教学设计中，我对这堂课进行了教材整合，我将平行线间涉及三角形面积的问题归纳在一起在这一堂课中展示，这样，便于解题方法的总结。
本节课就平行四边形的性质而推导得出平行线间的距离处处相等，然后将涉及这一知识点的相关三角形的面积问题加以整合，在教学过程中，我把对学生的数学转化思想的培养作为重点.二、教学目标：1、让学生在探究归纳中，理解并掌握平行线间距离处处相等的性质；2、通过实例，教会学生运用“平行线间的距离处处相等”来解决一般三角形的面积问题；3、在图形的变换中，体会数学中的转换思想，培养学生的逻辑思维能力.三、教学重难点：重点：将一些不便于求解面积的三角形问题转化为便于求解的三角形问题的方法； 难点：在图形的转化过程中，体会并运用数学几何图形的转化思想.四、教学过程： （一）情境创设：如图，山坡上有两棵树，它们在直线AB 上，你能测量出两棵树距离有多远吗？（二）出示学习目标4、理解并掌握平行线间距离处处相等的性质；5、会运用平行线间距离处处相等解决一般三角形的面积问题；6、在图形的变换中体会数学中的转换思想. （三）自主学习： 1、知识准备：（1）三角形的面积公式是 。
（2）点到直线的距离是指过这个点所作直线的垂线段的 。
（3）两平行线间的距离是指 ，如图，m ∥n ，则直线m 与直线n 之间的距离是 。
（4）平行四边形中，对边 .同时，每一组对边都是另一组对边之间的平行线段，因此上述结论可以这样说：平行线之间的平行线段相等.2、解决情境创设中的问题。
c1第三讲平行线下的面积问题
D C B A nmDCBDCB第三讲：平行线下的面积问题1、 平行线间的距离如图：m ∥n在上图中你能的出什么结论：____________________________________________________ 2、 三角形面积（1）如图△ABC ，点D 为BC 边中点，则ABD S ∆与ABD S ∆的关系怎样？（2）如图△ABC ，点D 为BC 边上一点，且BD ：BC=2：1，则ABD S ∆与ABD S ∆的关系怎样？总结：①等底等高的两个三角形面积相等；②底在同一直线上并且相等，该底所对的角的顶点是同一个点或者在与底平行的直线上，这两个三角形面积相等； ③若两个三角形的高（或底）相等，其中一个三角形的底（或高）是另一个三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍。
CBC BCB AB例1、 下面是一块皮萨例2、如图，已知ABC △．请你在BC 边上分别取两点D E ，（BC 的中点除外），连结AD AE ，，写出使此图中只存在两对．．．．．面积相等的三角形的相应条件，并表示出面积相等的三角形（07北京）例3、 （08年西城一模）如图：梯形纸片ABCD ，AD ∥BC ，AB DC ，设AD=a ，BC=b请你设计两种方法，只需用剪刀剪一次就将梯形纸片ABCD 分割成面积相等的两部分，画出设计的图形并简要说明理由例4、如图：下面有两块土地，被一条小路隔开，现在要把这条小路拉直，并且还要保证两块土地的面积不变，请你设计一个方案AB CDBD CB A F 例7图E D B A C F例9图D B例4、如图：五边形ABCDE ，过点A 作一条直线，将五边形面积平分例7、如图ABCD 为平行四边形，EF 平行AC ，如果⊿ADE 的面积为4平方厘米，求三角形CDF 的面积。
例9、如图在平行四边形ABCD 中，直线CF 交AB 于E ，交DA 延长线于F ，若三角形ADE 的面积为1，求三角形BEF 的面积。
谈谈平行线间三角形面积的互换(初二初三)
谈谈平行线间三角形面积的互换（初二初三）湖南省隆回一中35班： 肖外宾 指导老师： 邹启文现在关于利用平行线性质解三角形面积的问题越来越多，许多同学会像我当初一样感到苦恼：竞赛时因这种题形扣了分，期中考试时，也因这种题形把数学考砸了，但我又苦于找不到好的学习方法，昨天，我请教了老师，才发现这种题形非常容易，如果你也想跟我现在一样，那就please follow me!所需知识：1、 首先理解两平线之间的垂直距离相等的概念。
2、知道三角形的面积计算公式，a 等底（同底）等高（同高）的三角形面积相等。
B 整体面积等于各部分面积的和。
C 两平行线之间的垂足线段长度相等。
3、在分析两直线平行时，难以找到作等积代换的辅助线和等积代换时不能很清楚地发现三角形面积相等的关系。
所以，要学会灵活运用平行线性质把平行线间的三角形面积进行互换。
同时还要掌握三角形的面积相等的证明方法和三角形的等积代换的技巧。
例1、如图1、在□ABCD 中，P 为BC 的中点，过P 点作BC 的平行线交CD于Q ，连接PA ，PD ，QB ，QA ，则图中有几个与△ABP 面积相等的三角形？解题思路：运用平行线中点的性质，由大平行四边形分成相等的小平行四边形，再用三角形的面积公式即可证明。
解：作QM ∥BC 作PN ∥AB∵PQ ∥BD ∴ Q 为DC 的中点即M 为AB 的中点。
则PN 平分□ABCD S □ABPN =S □NPCD =21S □ABCD QN 平分□ABCD ，S □MQBC =S □MQDA =21S □ABCD C B P∵S □ABPN =S □NPCD =S □MQBC =S □MQDA =21S □ABCD 在□ABPN 中 A N ∥BP ，且A N=BP ∴S △ABP =S △APN =41S □ABCD 同理可证 S △PDC =41S □ABCD S △APQ =S △BQC =41□ABCD 又∵△ABP 与△BPD 同底等高，∴S △ABP =S △BPD∴等于S △ABP 的有S △PDC ，S △ABP ，S △APQ ，S △BQC ，S △BPD发现：1、解题时容易略视Q 为DC 的中点，从而去证明四边形ABCD 为菱形。
八年级数学平行线的性质
02
平行线与相交线关系
平行线与相交线判定定理
内错角相等，两直线平 行
同旁内角互补，两直线 平行
同一平面内，垂直于同 一条直线的两条直线互 相平行
同位角相等，两直线平 行
平行线与相交角关系
02
01
03
两直线平行，同位角相等 两直线平行，内错角相等 两直线平行，同旁内角互补
公式、平行线间的角关系等。这些知识可以帮助我们更深入地理解平行
线的性质和应用。
THANK YOU
感谢聆听
通过同位角、内错角或同旁内角的关系，可以判定两条直 线是否平行。
平行线在几何图形中的应用
平行线在三角形、四边形等几何图形中有广泛应用，如平 行四边形的对边平行、三角形的中位线与底边平行等。
学生自我评价报告
知识掌握情况
通过本次课程的学习，我掌握 了平行线的定义、性质以及判 定方法，能够运用所学知识解 决相关问题。
坐标系中平行线间距离计算
距离公式
两条平行线 $Ax + By + C1 = 0$ 和 $Ax + By + C2 = 0$ 之间 的距离 $d$ 可以用公式 $d = frac{|C1 - C2|}{sqrt{A^2 + B^2}}$ 来计算。
特殊情况
当平行线垂直于x轴时，它们之间的距离等于纵截距之差的绝对值 。
坐标系中平行线与方程关系
平行于x轴
当一条直线平行于x轴时，它的方程可以表示为 $y = k$，其中 $k$ 是常数。
平行于y轴
当一条直线平行于y轴时，它的方程可以表示为 $x = k$，其中 $k$ 是常数。
二次函数综合(一)——面积问题
二次函数综合（一） ——面积问题
一、解决函数综合题中面积问题的常用方法：
1. 割补法
当所求图形的面积没有办法直接求出时，我们采取间接（分割或补全图形再分割）的方法来表示所求图形的面积，如图1：
4. 相似法
利用相似三角形面积比等于相似比的平方进行转化.
二、基本题型
1.如图，在平面直角坐标系中，△AOB的顶点O为原点，已知点A（3,6），B（5,2），求△AOB的面积.
2.已知二次函数的图像y=－x2+3x+4与x轴交于A、B两点（点A在点B的左端），与y轴交于点C，抛物线的顶点为D。
求△ACD的面积。
3已知二次函数的图像y=－x2+3x+4与x轴交于A、B两点（点A在点B的左端），与y轴交于点C，抛物线的顶点为D。
求△BCD的面积。
多边形的面积整理与复习
4000千克＝4吨 答：这块地年产黄瓜4吨。
一张边长4cm的正方形纸（如图），从相邻两边的中点 连一条线段，沿这条线段剪去一个角，剩下的面积是多少？
这块地的面积是多少平方米？
这块地的面积是多少平方米？
小方格的边长为1米
思考题
三角形ABC的面积是26cm²，求涂色部分的面积。（单位：cm）
h：26×2÷13 ＝4（cm）
＝240（平方米）
黄瓜：S＝ah
＝25×32
＝800（平方米）
西红柿：S＝（a＋b）×h÷2
共有：
＝（15＋23）×32÷2 ＝38×32÷2
240＋800＋608＝1648（平方米） ＝608（平方米）
2.（改编）每平方米黄瓜年产量5千克，这块地年产黄瓜多 少吨？
25×32×5 ＝25×4×8×5 ＝100×40 ＝4000（千克）
数与代数 统计与概率 空间与图形 综合与实践
a
b
S＝ab
h
a
h
b
S＝（a＋b）×h÷2
仔细观察，下面平行线之间几个图形的面积有什么关系？
2. 下面这块地种了三种蔬菜。茄子、西红柿和黄瓜各种了多少 平方米？这块地共有多少平方米？
茄子：S＝ah÷2
＝15×32÷2
用平行线之间的等积变形计算图形的面积
例题图2中，小正方形的边长是7厘米厘米，，大正方形的边长是10厘米。
阴影部分的面积是多少阴影部分的面积是多少？？用平行线之间的等积变形计算图形的面积邹琴（重庆市科学城明远未来学校）小朋友，两条平行线之间的距离是处处相等的，例如图1中，直线AD 平行于直线EJ ，AE ＝BG ＝CI ＝DJ 。
三角形AFH 、三角形BFH 、三角形CFH 、三角形DFH 的底都是FH ，高分别是AE 、BG 、CI 、DJ 。
因为三角形的面积＝底×高÷2，所以通过计算可知，三角形AFH 的面积＝三角形BFH 的面积＝三角形CFH 的面积＝三角形DFH 的面积，即同底等高的三角形的面积是相等的。
我们在计算图形的面积时，可以应用平行线之间的等积变形，把题目由难变易、由繁变简，这是计算图形面积的一种重要的策略。
路点睛思A B C DF H E I JG 图1A BH E G F 图29E FG 图5AD F G 图4把三角形ACH 分为三角形ABH 和三角形BCH 两部分。
运用直线BE 和直线CD 的平行关系，把三角形BCH 进行等积变形，将C 拉动到D （如图3），你会发现三角形BCH 与三角形BDH同底（HB 为底）等高（CB ＝DE ），所以面积相等。
求三角形ACH 的面积可转化为求三角形ABD 的面积。
三角形ABD 的面积＝AB ×CD ÷2＝7×10÷2＝35（平方厘米），所以阴影部分的面积是35平方厘米。
例题已知长方形AEFD 的面积是30平方厘米（如图4，），那么阴那么阴影部分的面积是多少影部分的面积是多少？？把三角形ABG 分为三角形AEG和三角形EBG 两部分，运用直线EF 和直线BC 的平行关系，把三角形EBG 进行等积变形，将B 拉动到C （如图5），你会发现三角形EBG与三角形ECG 同底（EG 为底）等高（BE ＝CF ），所以面积相等。
利用面积法证明平行线分线段成比例定理
求证： AB BD
AC DC
E
证法一：
B
证明：分别过点D作 DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F
AD是BAC的平分线
DE DF
A F
D
又 S ABD BD S ACD DC
S ABD AB (不同底等高） S ACD AC
AB BD AC DC
C (不同底等高）
E
拓展练习：
归纳
基本事实：
两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．
l1 // l2 // l3 AB DE
BC EF
利用面积法证明平行线分线段成比例定理 面积法就是利用三角形的面积相等或者成比例， 来证明其他的线段相等或为成比例线段的方法。
（1）等底等高的两个三角形面积相等； （2）等底的两三角形面积之比等于其高之比； （3）等高的两三角形面积之比等于其底之比；
深圳市田东中学教师 陈海淑
2015年9月
如图，小方格的边长均为1，直线l1 // l2 // l3， 分别交直线m, n于格点A1, A2 , A3 , B1, B2 , B3.
（1）计算
A1A2 与 B1B2 的值，你有什么发现？
A2 A3 B2B3 A1 A2 B1B2 A2 A3 B2 B3
连接AE, CE
由图可知，△ABE和△CBE 分别以AB,BC为底，高相同
S ABE AB S CBE BC
同理连接 BD, BF可得：
S DBE DE S FBE EF
l1 // l2 SABE SDBE
(同底等高）
l2 // l3 SCBE SFBE
(同底等高）
S ABE S DBE
已知：如图，AD是△ABC的内角平分线，
人教版八年级数学下册 平行四边形中的特殊面积关系知识点讲解
平行四边形中的特殊面积关系1．问题引入平行四边形中涉及到很多面积计算问题，根据平行四边形的性质，可以得到一些特殊面积之间的规律性关系，掌握这些结论将有助于问题的求解。
下面是一个我们都很熟悉的结论：如图1，□ABCD 中对角线AC （或BD ）将平行四边形分成的两个三角形全等，因此有S △ABC =S △ADC =21S □ABCD （或S △ABD =S △CBD =21S □ABCD ）。
引例：如图，某村有一个呈四边形的池塘，在它的四个角的顶点A 、B 、C 、D 处均种有一棵大核桃树，该村准备开挖池塘建养鱼池，想使池塘面积扩大一倍，又不想移动核桃树，并要求扩建后的池塘成平行四边形形状，该村能否实现这一设想？若能，请你设计并画出图形；若不能，请你说明理由。
（画图要保留痕迹，不写画法）分析：连接对角线AC 、BD ，分别过点A ，B ，C ，D 作对角线的平行线，相交于点E 、F 、G 、H ，则□EFGH 即为所求。
2．问题拓展2.1．平行四边形对角线将平行四边形分成的四个三角形间的面积关系。
如图2，□ABCD 中对角线互相平分，OA=OC ，OB=OD ，易证△AOB ≌△COD ，△BOC≌△DOA ，所以S △AOB =S △COD ，S △BOC =S △DOA又由同底等高的三角形面积相等，可知：S △AOB = S △BOC故有：S △AOB =S △COD =S △BOC =S △DOA =41S □ABCD 拓展结论1：在平行四边形中，两条对角线将平行四边形分成的四个部分面积相等，且都等于平行四边形面积的四分之一。
例1．如图2，□ABCD 的对角线相交于O ，S △AOB =4cm 2，S □ABCD = 。
分析：由拓展结论1，S □ABCD =4 S △AOB =4×4=16（cm 2）2.2．平行四边形一条边上的点与其对边端点所连接的线段将平行四边形分成三个三角形间的面积关系。
两平行线间的面积问题
两平行线间所夹的 垂线段最短.
b
类比前面所学知识，两平行线所夹垂 线段的长度起名叫做什么？
两平行线间的距离的生成： 两平行线间所夹垂线段的长度起名叫做两 平行线间的距离.
为什么两平行线间的距离用所夹垂线段 的长度起名而不用其它线段的长度呢？你能 否从位置和大小关系来分析呢？ 因为垂线段与其它线段比较，垂线段的位置 关系特殊与平行线垂直；垂线段的大小特殊， 垂线段最短.利于观察和确定.
两平行线之间生成的垂线段有多少条？ 它们之间有什么关系？
两平行线所夹垂 线段有无数条. 它们的位置关系是 平行；它们的大小关系 是相等.
a
...
b
性质：两平行线间的距离处处相等.
知识探索延伸
如图，a∥b,在直线b上截取线段AB， 在直线a上任取三点C、D和E，分别连接 CA、CB，DA、DB和EA、EB，则生成 三个以AB为边的三角形，它们之间在面积 上有什么关系？
本问题的图形与延伸三的图形非常相近， 你怎样在本图的基础上构造出延伸三的图形 呢？
A
B
C
连接AC，过点B作AC的平行线DE， 就构成延伸三的图形.
A
D
B
E
C
如图，怎样修小路能满足条件，使两家 的土地面积不变呢？请说明理由.
连接AE或连接CD.有平行线间距离处处 相等和等底等高面积相等可知，△ABC和 △ACE的面积相等或者△ABC和△ACD的 面积相等.
a
b
如图，作一条截线c，由此生成什么图形？ 我们主要研究什么图形？
c
a
b
生成角、射线、交点、线段； 我们主要研究角和线段.
我们研究由平行线生成的角的关系， 得到平行线有关角的三条性质是什么？
两平行线间的面积问题
B
O
E
C
本课小结
1. 基本原理： （1） 平行线间的距离处处相等； （2）同底或等底等高的两个三角形面积相等 2. 基本模型： 主要有如下两种模型：
课外思考拔高题
如图，请同学们用一根直线把下面的 四边形田地平均分成2份？您怎么分呢？
田地
E
A
B
解：分别作CF⊥b,DG⊥b，EH⊥b.
∴DG=CF=EH
1
∵S△ABC= 2 CFAB
D
C
1
S△ABD= 2 DGAB
1
S△ABE= 2 EH AB
GA F
Ea
b BH
知识探索2
如图，在梯形ＡＢＣＤ中，ＡＤ∥ＢＣ， 连接ＡＣ、BD交于点O.问图中有几对面积相 等的三角形？请说明理由.
由等底等高的两个三角形 A
D
面积相等可知
S△ABC=S△DBC，
O
S△ABD=S△ACD
再同时减去S△BOC，则 B
C
S△AOB=S△COD
知识总结
（1） 平行线间的距离处处相等； （2）同底或等底等高的两个三角形面积相等
基本模型： 主要有如下两种模型：
1
2
3
1 2
3
如图，小明的妈妈买了一块三角形形状 的蛋糕，可是小明和他的哥哥大明都想吃这 块蛋糕。现在妈妈只能平均分这块蛋糕，可 是她不会分，请同学们帮她分分吧！（亲， 要平均分配哦）
A ED
B
C
两平行线之间生成的垂线段有多少条？ 它们之间有什么关系？
两平行线所夹垂
a
线段有无数条.
...
它们的位置关系是
b
平行；它们的大小关系 是相等.
巧用“平行线之间的三角形面积相等”解题
巧用“平行线之间的三角形面积相等”解题作者：***来源：《课程教育研究》2020年第10期中图分类号：G633.6一.平行线之间的三角形面积相等;;;;1.构建基本图形已知直线m∥n，连接任意两点间的线段。
（1）请你找出图中面积相等的各对三角形;（2）△ABC与△ABD的面积为什么相等？（等底同高）（3）为什么等高？（平行线间的距离处处相等）证明：（1）S△ABC=S△ABD;S△AOC=S△B0D（2）因为等底同高，所以S△ABC=S△ABD（3）因为平行线间的距离处处相等，所以等高。
2.基本图形图形特征两个三角形的公共边在一条平行线上，兩个三角形的第三个点在依托数学应用，指导学生掌握“问题解决”的策略。
二.构造平行线，利用“ 平行线之间的三角形面积相等”解题举例解数学题时，构造平行线，利用“平行线之间的三角形面积相等”，往往能化繁为简，那么题目中的条件具备什么样的特点时，能构造平行线，利用“平行线之间的三角形面积相等”呢？1. 题目条件中含有平行线，直接利用平行线之间的三角形已知：如图，面积为6的正△ABC，P是BC边上一点，以PB为一边向外作正△PBD。
提出问题：（1）如图2若点P是BC边的中点，则△ADC的面积为多少？（2）如图3若点P是BC边的三等分点，则△ADC的面积为多少？（3）如图4若点P是BC边的四等分点，则△ADC的面积为多少？（4）如图5已知任意△ABC的面积，你能否构造出基本图形？你能找到面积相等的三角形吗？解析：∵△ABC与△PBD均为正三角形，∴∠CAB=∠PBD=60°，∴AC∥BD∴S△ACB=S△ACD =6点评：巧用两个等边三角形中的平行线，问题的关键是怎么发现平行线。
2. 题目条件中无平行线，根据题意连接点作出的平行线，形成平行线之间的三角形（1）两个正方形如图6摆放，边长分别为2和5，则△AFC的面积为多少？（2）两个正方形如图7摆放，边长分别为4和6，则△GEB的面积为多少？（3）两个菱形形如图8摆放，两菱形的面积分别为3和9，则△BDF的面积为多少？（4）两个正5边形如图9摆放，阴影部分的面积等于△ABC的面积？（5）两个正6边形如图10摆放……..解析：（1）连接FD，∠FDE=∠ACD=45°，∴AC∥FD∴S△ACF=S△ACD = S正方形ABCD =同理：（2）（3）（4）（5）……的问题解决都是构造平行线3.根据题目条件创造平行线，再利用利用“ 平行线之间的三角形面积相等”解决实际问题如图11，四边形ABCD中，AD与BC不平行，S△ABC>S△DBC，过点A能否作出四边形ABCD的面积等分线？解析：1.连接AC，2.过D作AC的平行线交BC的延长线于点E3.则△ADC与△ACE同底等高，S△ACE=S△ACD4.所以四边形ABCD的面积就等于△AEB的面积5.取EB边的中点F，需连接AF 所以S△ACB=S△ACD。
平行线与平行四边形的面积计算
平行线与平行四边形的面积计算平行线与平行四边形是几何学中重要的概念，它们的面积计算是我们学习中不可或缺的内容。
在本文中，我将详细介绍如何计算平行线与平行四边形的面积，并提供一些实例来加深理解。
一、平行线的面积计算平行线的面积计算可以通过以下公式实现：面积 = 底边长 ×高。
其中，底边长指的是平行线之间的距离，高则是从任意一条平行线到它所对应的平行线的垂直距离。
例如，我们现在有一条底边长为5cm的平行线段，而该线段到与其平行的另一条线段的垂直距离为3cm。
根据以上公式，我们可以计算出该平行线的面积为15平方厘米。
二、平行四边形的面积计算与平行线相似，计算平行四边形的面积也需要依赖底边长与高的关系。
平行四边形的面积计算公式为：面积 = 底边长 ×高。
然而，在计算平行四边形的面积时需要注意一个重要的细节，即平行四边形的高不一定与底边垂直，而是从底边到另一条平行边的垂直距离。
举个例子，如果我们有一个底边长为6cm的平行四边形，并且其到相对的平行边的垂直距离为4cm，那么根据上述公式，我们可以计算出该平行四边形的面积为24平方厘米。
三、实例分析为了更好地理解和应用上述计算方法，我们来看一个具体的实例。
假设我们有一个平行四边形，其中底边长为8cm，而到相对平行边的垂直距离为5cm。
根据以上公式，我们可以计算出该平行四边形的面积为40平方厘米。
四、总结通过本文的介绍，我们学习了平行线和平行四边形的面积计算方法。
对于平行线，我们可以使用面积 = 底边长 ×高的公式，其中高为平行线之间的垂直距离。
而对于平行四边形，我们同样可以使用面积 = 底边长 ×高的公式，但需要注意高是从底边到相对平行边的垂直距离。
理解并熟练应用这些计算方法，将有助于我们更好地解决与平行线与平行四边形相关的问题，并在几何学学习中取得更好的成绩。
在实践中多进行练习，并尝试应用这些知识到更复杂的问题中，将能够提高我们的几何学能力。
平行线与平行四边形的面积计算
平行线与平行四边形的面积计算平行线与平行四边形是几何中常见的概念，它们的面积计算是解决几何问题的基础。
在本文中，我们将探讨如何计算平行线与平行四边形的面积。
一、平行线的面积计算平行线是指在同一平面上，没有交点且始终保持相同间隔的两条直线。
计算平行线的面积时，我们可以使用以下两种常见情况的计算方法：1. 平行线间的矩形面积计算当我们有两条平行线之间的矩形时，可以直接使用矩形面积公式来计算。
矩形的面积公式为：面积 = 长 ×宽。
其中，长指的是矩形平行线的长度，宽则是矩形两条平行线之间的距离。
举例来说，如果我们有一对平行线的长度为10，它们之间的距离为5，那么矩形的面积就为10 × 5 = 50。
这个数值就是平行线间的矩形的面积。
2. 通过平行线与横截线计算横截线是指与平行线相交的一条线段。
当我们有平行线与横截线组成的图形时，可以利用横截线与平行线之间的关系计算面积。
这可以通过以下步骤实现：a. 首先，找到平行线之间的矩形（使用方法1），并计算其面积。
b. 找到横截线的长度。
c. 将步骤a中找到的矩形面积减去横截线的面积。
这个面积差就是平行线与横截线围成图形的面积。
二、平行四边形的面积计算平行四边形是指具有两对平行边的四边形。
计算平行四边形的面积可以使用以下两种常见情况的计算方法：1. 使用底边高度计算当我们知道平行四边形的底边长度和其对应的高度时，可以使用底边高度法计算面积。
计算公式为：面积 = 底边长度 ×高度。
举例来说，如果平行四边形的底边长度为10，高度为5，则面积 = 10 × 5 = 50。
这个数值就是平行四边形的面积。
2. 使用对角线计算当我们知道平行四边形的两条对角线的长度时，可以使用对角线法计算面积。
计算公式为：面积 = 0.5 ×对角线1长度 ×对角线2长度。
举例来说，如果平行四边形的对角线1长度为10，对角线2长度为5，则面积 = 0.5 × 10 × 5 = 25。
空间几何中的平行线问题
空间几何中的平行线问题空间几何中的平行线问题一直是许多数学爱好者和学者津津乐道的研究课题。
平行线是指在平面或者空间中永不相交的直线，它们具有许多重要的性质和应用。
本文将会介绍平行线的定义、性质以及相关的应用。
一、平行线的定义在空间几何中，两条直线被称为平行线，当且仅当它们在同一个平面内，并且永远不会相交。
换句话说，平行线是具有相同斜率或者方向的直线。
平行线之间的距离是恒定的，无论它们在平面上的位置如何变化。
二、平行线的性质1. 平行线具有传递性：如果直线L1与直线L2平行，直线L2与直线L3平行，那么直线L1与直线L3也平行。
这个性质在解决平行线问题时非常有用，可以通过传递性来推导出两条直线是否平行。
2. 平行线的截短性质：平行线与任意一条横切它们的直线所截得的对应线段之间，具有相似比例关系。
这个性质可以用于解决线段长度的比较问题。
3. 平行线的夹角性质：当两条平行线被一条横切线相交时，所形成的对应角是相等的。
这个性质使得我们能够推导出平行线之间的角度关系。
三、平行线的应用1. 轨迹问题：平面上一点运动的轨迹是平行线时，我们可以通过研究轨迹的性质来解决相关的问题。
例如，在平面上有一固定点P和一条固定直线L，求到点P距离最短的线段，这个问题可以通过轨迹的方法解决。
2. 面积比较问题：当两条平行线分别与一组相交线段的两端点相连时，所得的平行四边形具有相等的面积。
这个性质在计算平行四边形的面积时非常有用。
3. 空间图形的构造问题：平行线也常用于构造空间图形，例如，利用平行线可以构造出平行四边形、相似三角形等。
这些构造问题可以通过平行线的性质和应用来解决。
四、结论空间几何中的平行线问题是数学研究中重要的内容之一。
通过定义、性质和应用的介绍，我们了解到平行线具有传递性、截短性质和夹角性质等特点，并且可以应用于轨迹问题、面积比较问题以及空间图形的构造问题等方面。
研究和应用平行线的知识不仅能够加深对空间几何的理解，还可以帮助解决实际生活中的问题。
平行线与平行四边形的计算与应用
平行线与平行四边形的计算与应用平行线和平行四边形是几何学中的重要概念，它们的计算和应用在很多实际问题中都有重要的应用。
本文将对平行线和平行四边形的计算和应用进行详细介绍。
一、平行线的概念和性质平行线是指在同一个平面上，永远不会相交的两条直线。
平行线可以用符号“，”来表示。
平行线的性质如下：1.对于同一直线上的两个点A和B，与AB平行的所有直线上的点C，都可以用向量表示为C=A+k(B-A)，其中k为任意实数。
2.垂直于同一直线的两条平行线，它们的斜率相等。
3.平行线的对应角相等，即平行线AB和CD上的对应角∠EAF和∠GCH相等。
4.平行线的同旁内角、同旁外角和相间角之和为180°。
二、平行四边形的概念和性质平行四边形是指边两两平行的四边形。
平行四边形的性质如下：1.对角线互相平分。
2.对角线相交点是对角线上点的向量平均值。
3.对角线长度之比等于对边长度之比。
4.对角线的平方等于两个相邻边的平方之和。
三、平行线和平行四边形的计算1.平行线的计算平行线的计算可以分为两种情况：(1)已知一条直线上的两个点A和B，求通过点A且与直线l平行的直线。
解法：设直线l的方程为ax + by + c = 0。
因为A在直线l上，所以代入直线l的方程得到aA_x + bA_y + c = 0。
由于平行线上的点的坐标表示为C = A + k(B - A)，代入得到aC_x + bC_y + c = 0。
这样就得到了通过点A且与直线l平行的直线的方程。
(2)已知两条直线l1和l2的方程，求直线l1和l2的交点。
解法：设直线l1的方程为a1x+b1y+c1=0，直线l2的方程为a2x+b2y+c2=0。
如果直线l1和l2平行，则有a1/a2=b1/b2=c1/c2、代入这个条件，解方程组，得到直线l1和l2的交点。
2.平行四边形的计算平行四边形的计算可以分为以下几种情况：(1)已知平行四边形的一组对角线长度和其中一条边的长度，求平行四边形的面积。
2023年高考数学复习----渐近线平行线与面积问题典型例题讲解
2023年高考数学复习----渐近线平行线与面积问题典型例题讲解【典型例题】例1、（2022春·江苏南京·高二南京市第二十九中学校考阶段练习）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b−=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过双曲线C 上任意一点P 分别作C 的两条渐近线的垂线，垂足分别为,,A B 8||||9PA PB ⋅=，12F F 等于3212x x ⎛⎫− ⎪⎝⎭展开式的常数项，则双曲线C 的离心率为A ．3B ．3C D ．【答案】B【解析】由已知可得，3212x x ⎛⎫− ⎪⎝⎭展开式的常数项为2223126C x x ⎛⎫−= ⎪⎝⎭，设双曲线半焦距为c ，26,3c c ∴==.设()00,P x y ，得2200221x y a b−=，22222200b x a y a b ∴−=.P 到两条渐近线0bx ay ±=的距离分别为||PA =，||PB =，∴2222220028||||99b x a y a b PA PBc −⋅====.228a b ∴=①.又2229a b c +==②，由①②可得1a b =⎧⎪⎨=⎪⎩1a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩3ce a ∴==故选：B例2、（2022春·贵州六盘水·高三校考期末）在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b−=>>，过双曲线的右焦点F 分别作双曲线的两条渐近线的垂线，垂足分别为M 、N ，若四边形FMON 为正方形，则双曲线C 的离心率为__________.【解析】如下图所示：易知x 轴为MON ∠的角平分线，由于四边形FMON 为正方形，2MON π∴∠=，则4FOM π∠=，tan 14b a π∴==， 因此，双曲线C的离心率为c e a ====例3、（2022秋·湖北·高三统考阶段练习）已知双曲线2222:1(0)x y C a b a b−=>>的左顶点为A ，过A 作双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为M ，N ，且4||||5MN OA =（O 为坐标原点），则此双曲线的离心率是___.【解析】由题意，(),0A a −，双曲线2222:1(0)x y C a b a b−=>>的渐近线方程为：b y x a =±，不妨令AM 与直线b y x a =垂直，AN 与直线by x a=−垂直，则AM a k b =−，AN ak b=，所以直线AM 的方程为：()ay x a b =-+；直线AN 的方程为：()a y x a b=+； 由()a y x a b b y x a ⎧=−+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩解得：3222a x c ba y c ⎧=−⎪⎪⎨⎪=−⎪⎩（其中222c a b =+），则3222,a ba M c c ⎛⎫−− ⎪⎝⎭；由()a y x a b b y x a ⎧=+⎪⎪⎨⎪=−⎪⎩解得：3222a x cba y c ⎧=−⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即3222,a ba N c c ⎛⎫− ⎪⎝⎭， 所以222ba MN c=，又4||||5MN OA =，所以22245ba a c =，即225c ab =，即222520a ab b −+=，解得：2a b =或2ba =（不满足ab >），所以此双曲线的离心率是c e a ==.. 例4、（2022·河南郑州·郑州一中校考模拟预测）在平面直角坐标系xOy双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b−=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 为双曲线上一点，且1PF x ⊥轴，过点P 作双曲线C 的两条渐近线的平行线，分别交两条渐近线于A ，B 两点，若四边形PAOB的面积为2，则12PF F ∆的面积为______.【答案】【解析】由已知得c a =a b =，且21b PF b a==， 所以双曲线C 的两条渐近线是y x =±，所以四边形PAOB 是矩形，且)),22b c c b AO BO +−== 所以四边形PAOB的面积))222b c c b S +−=⨯=， 所以2224c b a −==，所以2,a b c === 所以12PF F ∆的面积为122c b bc ⨯⨯==故得解.例5、（2022春·全国·高二期中）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b−=>>上一点P 坐标为)(0),m m F >为双曲线C 的右焦点，且PF 垂直于x 轴.过点P 分别作双曲线C 的两条渐近线的平行线，它们与两条渐近线围成的图形面积等于1，则该双曲线的离心率是________.【解析】由题意知，2225a b c +==， 双曲线C 的渐近线方程为by x a=±，设过点P 且与渐近线b y x a =平行的直线与渐近线by x a=−相交于点A ，如图所示，∴直线AP的方程为(by m x a−=，将其与b y x a=−联立，解得xyA，||cOA ab∴=，点P )m 到直线by x a=−的距离为||m d =所围图形面积等于1，||1OA d ∴⋅=1c ab ，化简得222|5|2b a m ab −=，点P )m 在双曲线上，∴22251m a b−=，即222225b a m a b −=，2ab ∴=，又225a b +=，1a ∴=，2b =或2a =，1b =，∴离心率ce a==．． 例6、（2022·浙江·校联考模拟预测）过双曲线2221(0)x y a a −=>上一点M 作直线l ，与双曲线的两条渐近线分别交于,P Q ，且M 为线段PQ 的中点，若POQ △（O 为坐标原点）的面积为2，则双曲线的离心率为______.【解析】由题意知，双曲线2221(0)x y a a−=>的两条渐近线方程为1y x a =±，设112211,,,P x x Q x x a a ⎛⎫⎛⎫− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()12121,22x x M x x a +⎛⎫−⎪⎝⎭， 根据点M 在双曲线2221x y a −=上，得()()22121222144x x x x a a +−−=，得212x x a =，由双曲线的两条渐近线方程得1tan2POQ a∠=222sincos 22sin =2sin cos 22sin cos 22POQ POQ POQ POQ POQ POQ POQ ∠∠∠∠∠=∠∠+ 22212tan2tan 211POQPOQ a a∠==∠++ ，所以21222211121POQ a aS POQ x x a a a∆+=∠=⨯⨯⨯=+，而2POQS=，所以2a =，又1b =，所以c =e =例7、（2022春·江苏苏州·高二苏州中学校考期末）过双曲线22221(0,0)x y a b a b−=>>上的任意一点P ，作双曲线渐近线的平行线，分别交渐近线于点,M N ，若214OM ON b ⋅≥，则双曲线离心率的取值范围是___________.【答案】 【解析】因为双曲线22221(0,0)x y a b a b−=>>的渐近线方程为：0bx ay ±=，即b y x a =±，设点00(,)P x y ，可得：00()by y x x a−=±−， 联立方程组00()b y y x x ab y x a ⎧−=−−⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得：0000(,)22bx ay bx ay M b a ++， 同理可得：0000(,)22bx ay bx ay N b a−−−， 所以2222222200002244b x a y b x a y OM ON b a −−=−，因为2200221x y a b −=，所以22222200b x a y a b −=，所以224a b OM ON −=，由题意可得：22244a b b −≥， 所以2212b a ≤，故离心率c e a ==，又因为双曲线的离心率1e >，所以双曲线离心率的取值范围为， 故答案为：.。
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B
C
【例2】已知AD∥BC，AC与BD交于点O，则图 中面积相等的三角形有 （ ）对
A D
O B C
【例3】已知，∠1=∠2，AD=2BC， 三角形ABC的面积为3，求三角形CAD 的面积.
A 1
D
2 B
C
【例4】如图，已知AD∥BC，AC与BD相交于点 O． （1）找出图中面积相等的三角形，并选择其 中一对说明理由； （2）如果BE⊥AC，CF⊥BD，垂足分别为E、F ，AC:BD=4：5，求BE:CF的值．
如图a∥b , AB⊥a于A, CD⊥b于C, • 1)点B与点D的距离是指线段 的长; • 2)点D到直线b的距离是 指 ; A • 3)两平行线a、 b的距离是 a 或 ; • 4)线段AB的长可指 离. b
D
的距
B
C
【例1】如图，已知AD//BC，判断 SABC
SDBC
与
是否相等，并说明理由。 A D
平行线间的面积问题
A
B
连结两点的线段的长度叫两点间的距离.
P
从直线外一点到这条直线的垂线段的长度， 叫做点到直线的距离.
观察下列操作:
已知:直线a与b平行
A B C D a
b 发现:
两条平行线中，任意一条直线上的所 有点到另一条线的距离都是一个定值， 这个定值叫做这两条平行线间的距 离。
平行线间距离处处相等。
如图，在一块梯形田地上，分别要种 植大豆（黄色部分）和芝麻（绿色部 分）.若想把种植大豆的两块地改为一块， 且使分别种植大豆和芝麻的面积不变.请 问你怎么改种呢？
A E D
B
C
如图，李老汉和王老汉两家田地之间有 一条折线小路为界.现在准备把两家田地之 间的小路改为直路，怎样修这条小路才能是 两家各自田地面积不变？
A
B C