高中数学苏教版选修2-2课堂精练：2.3数学归纳法(含答案解析)
2019-2020学年苏教版高中数学选修2-2同步课堂精练：2.3数学归纳法Word版含答案
2019-2020学年苏教版数学精品资料1．数列1,1＋3,1＋3＋5,1＋3＋5＋7，…的一个通项公式为________．2．用数学归纳法证明不等式2n ＞n 2成立时，n 应取的第一个值为________．3．用数学归纳法证明不等式n 3＋1≥4n ＋1时，n 所取的第一个值n 0为__________．4．用数学归纳法证明“1＋12＋13＋…＋121n ＜n (n ∈N *，且n ＞1)”时，由n ＝k (k ＞1)不等式成立，推证n ＝k ＋1时，左边应增加的项数是________．5．凸n 边形有f (n )条对角线，则凸n ＋1边形的对角线条数f (n ＋1)与f (n )之间的关系为．6．用数学归纳法证明2n ＋1≥n 2＋n ＋2(n ∈N )时，第一步的验证为____________________．7．已知x ＞－1且x ≠0，n ∈N *，且n ≥2，求证：(1＋x )n ＞1＋nx .8．用数学归纳法证明：1＋5＋9＋13＋…＋(4n －3)＝2n 2－n .9．求证：a n ＋1＋(a ＋1)2n －1能被a 2＋a ＋1整除，n ∈N *.10．已知函数31x f x x (x ≥0)．设数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝f (a n )，数列{b n }满足b n ＝|a n －3|，用数学归纳法证明1(31)2nn n b .参考答案1答案：n22答案：53答案：24答案：2k解析：增加的项数为(2k＋1－1)－(2k－1)＝2k.5答案：f(n＋1)＝f(n)＋n－1 解析：如图，设凸n＋1边形为A1A2…A n A n＋1，连结A1A n，则凸n＋1边形的对角线是由凸n边形A1A2…A n的对角线加上A1A n，再加上从A n＋1点出发的n－2条对角线，即f(n＋1)＝f(n)＋1＋n－2＝f(n)＋n－1.6答案：当n＝0时，20＋1＝2≥02＋0＋2＝2，结论成立7答案：证明：(1)当n＝2时，左边＝(1＋x)2＝1＋2x＋x2，∵x≠0，∴1＋2x＋x2＞1＋2x.∴左边＞右边，不等式成立.(2)假设当n＝k时，不等式成立，即(1＋x)k＞1＋kx成立，则当n＝k＋1时，左边＝(1＋x)k＋1＝(1＋x)k(1＋x).∵x＞－1，∴1＋x＞0.∴(1＋x)k(1＋x)＞(1＋kx)(1＋x)＝1＋(k＋1)x＋kx2.∵x≠0，∴1＋(k＋1)x＋kx2＞1＋(k＋1)x.∴(1＋x)k＋1＞1＋(k＋1)x成立，即当n＝k＋1时不等式成立.由(1)(2)可知，不等式对于所有的n≥2的正整数都成立.8答案：证明：(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝1，命题成立.(2)假设n＝k(k≥1)时，命题成立，即1＋5＋9＋13＋…＋(4k－3)＝2k2－k.则当n＝k＋1时，1＋5＋9＋13＋…＋(4k－3)＋(4k＋1)＝2k2－k＋(4k＋1)＝2k2＋3k＋1＝2(k＋1)2－(k＋1).∴当n＝k＋1时，命题成立.综上所述，原命题成立.9答案：证明：(1)当n ＝1时，a1＋1＋(a ＋1)2×1－1＝a 2＋a ＋1，命题显然成立. (2)假设n ＝k 时，a k ＋1＋(a ＋1)2k －1能被a 2＋a ＋1整除，则当n ＝k ＋1时，a k ＋2＋(a ＋1)2k ＋1＝a ·a k ＋1＋(a ＋1)2·（a ＋1)2k －1＝a ＋(a ＋1)2(a ＋1)2k －1－a (a ＋1)2k －1＝a ＋(a 2＋a ＋1)(a ＋1)2k －1.由归纳假设知，上式中的两部分均能被a 2＋a ＋1整除，故n ＝k ＋1时命题成立. 根据(1)(2)知，对任意n ∈N*，命题成立.10答案：证明：当x ≥0时，f (x )＝1＋21x ＞1. 因为a 1＝1，所以a n ≥1(n ∈N *).下面用数学归纳法证明不等式1(31)2n n n b . (1)当n ＝1时，b 1＝3－1，不等式成立.(2)假设当n ＝k (k ≥1)时，不等式成立，即1(31)2k k k b ，那么b k ＋1＝|a k ＋1－3|＝1(31)|3|31(31)122k kk k ka b a . 所以，当n ＝k ＋1时，不等式也成立. 根据(1)和(2)，可知不等式对任意n ∈N*都成立.。
苏教版数学高二-苏教版数学选修2-2 2.3 数学归纳法
§2.3 数学归纳法课时目标 1.了解数学归纳法的原理.2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.3.掌握数学归纳法的实质及与归纳，猜想的关系.4.能运用数学归纳法解决实际问题．1．数学归纳法公理对于某些________________的数学命题，可以用数学归纳法证明． 2．证明步骤对于某些与正整数有关的数学命题，如果(1)当n ____________________________结论正确．(2)假设当__________________时结论正确，证明当__________时结论也正确． 那么，命题对于从n 0开始的所有正整数n 都成立．一、填空题1．用数学归纳法证明1＋a ＋a 2＋…＋a n ＋1＝1－a n ＋21－a(a ≠1，n ∈N *)，在验证n ＝1时，等号左边的项是__________．2．用数学归纳法证明“2n >n 2＋1对于n ≥n 0的自然数n 都成立”时，第一步证明中的起始值n 0应取______．3．已知f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N *)，证明不等式f (2n )>n 2时，f (2k ＋1)比f (2k )多了____项．4．设f (n )＝1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n (n ∈N *)，那么f (n ＋1)－f (n )＝______________.5．用数学归纳法证明“(n ＋1)(n ＋2)·…·(n ＋n )＝2n ·1·3·…·(2n －1)”，从“n ＝k 到n ＝k＋1”左端需增乘的代数式为__________．6．用数学归纳法证明：1＋2＋3＋…＋n 2＝n 4＋n 22时，则n ＝k ＋1时的左端应在n ＝k 时的左端加上____________________________．7．用数学归纳法证明：1＋2＋22＋…＋2n －1＝2n －1 (n ∈N *)的过程如下： (1)当n ＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，等式成立．(2)假设当n ＝k 时等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k －1＝2k －1，则当n ＝k ＋1时，1＋2＋22＋…＋2k －1＋2k ＝1－2k ＋11－2＝2k ＋1－1.所以当n ＝k ＋1时等式也成立．由此可知对于任何n ∈N *，等式都成立．上述证明的错误是________________________．8．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，S n ＝n 2a n (n ∈N *)．依次计算出S 1，S 2，S 3，S 4后，可猜想S n 的表达式为________________．二、解答题9．试比较2n ＋2与n 2的大小(n ∈N *)，并用数学归纳法证明你的结论．10．在数列{a n }中，a 1＝12，a n ＋1＝a n2a n ＋1(n ＝1,2,3，…)．(1)求a 2，a 3；(2)猜想数列{a n }的通项公式，并用数学归纳法证明你的结论．能力提升11．已知f (n )＝(2n ＋7)·3n ＋9，存在正整数m ，使得对任意n ∈N *都能使m 整除f (n )，则最大的m 的值为多少？并证明之．12．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知对任意的n ∈N *，点(n ，S n )均在函数y ＝b x ＋r (b >0且b ≠1，b ，r 均为常数)的图象上．(1)求r 的值；(2)当b ＝2时，记b n ＝2(log 2a n ＋1)(n ∈N *)，证明：对任意的n ∈N *，不等式b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b n ＋1b n>n ＋1成立．1．数学归纳法在证明与正整数n 有关的等式、不等式、整除问题及数列问题中有广泛的应用．2．在证明n ＝k ＋1时的命题中，怎样变形使之出现n ＝k 时的命题的形式是解决问题的关键，要找清n ＝k ＋1时式子结构或几何量的改变．答 案知识梳理1．与正整数有关2．(1)取第一个值n 0(例如n 0＝1,2等)时 (2)n ＝k (k ∈N *，且k ≥n 0) n ＝k ＋1 作业设计 1．1＋a ＋a 2解析 当n ＝1时，a n ＋1＝a 2. ∴等号左边的项是1＋a ＋a 2. 2．5解析 当n 取1、2、3、4时2n >n 2＋1不成立，当n ＝5时，25＝32>52＋1＝26，第一个能使2n >n 2＋1的n 值为5.3．2k解析 观察f (n )的表达式可知，右端分母是连续的正整数，f (2k )＝1＋12＋…＋12k ，而f (2k ＋1)＝1＋12＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋2k .因此f (2k ＋1)比f (2k )多了2k 项．4.12n ＋1－12n ＋25．2(2k ＋1)6．(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋…＋(k ＋1)27．没有用到归纳假设，不是数学归纳法8．S n ＝2nn ＋1解析 S 1＝1，S 2＝43，S 3＝32＝64，S 4＝85，猜想S n ＝2nn ＋1.9．证明 当n ＝1时，21＋2＝4>n 2＝1， 当n ＝2时，22＋2＝6>n 2＝4，当n ＝3时，23＋2＝10>n 2＝9， 当n ＝4时，24＋2＝18>n 2＝16， 由此可以猜想， 2n ＋2>n 2 (n ∈N *)成立． 下面用数学归纳法证明：①当n ＝1时，左边＝21＋2＝4，右边＝1， 所以左边>右边，所以原不等式成立． 当n ＝2时，左边＝22＋2＝6， 右边＝22＝4，所以左边>右边；当n ＝3时，左边＝23＋2＝10，右边＝32＝9，所以左边>右边． ②假设n ＝k 时(k ≥3且k ∈N *)时，不等式成立， 即2k ＋2>k 2，那么n ＝k ＋1时， 2k ＋1＋2＝2·2k ＋2＝2(2k ＋2)－2>2k 2－2. 要证当n ＝k ＋1时结论成立， 只需证2k 2－2≥(k ＋1)2， 即证k 2－2k －3≥0， 即证(k ＋1)(k －3)≥0. 又∵k ＋1>0，k －3≥0， ∴(k ＋1)(k －3)≥0.所以当n ＝k ＋1时，结论成立．由①②可知，n ∈N *,2n ＋2>n 2.10．解 (1)a 2＝a 12a 1＋1＝122×12＋1＝14，a 3＝a 22a 2＋1＝142×14＋1＝16.(2)猜想a n ＝12n ，下面用数学归纳法证明此结论正确．证明：①当n ＝1时，结论显然成立．②假设当n ＝k (k ∈N *)时，结论成立，即a k ＝12k，那么a k ＋1＝a k2a k ＋1＝12k 2×12k＋1＝12k ＋2＝12(k ＋1). 也就是说，当n ＝k ＋1时结论成立．根据①②可知，结论对任意正整数n 都成立，即a n ＝12n.11．解 ∵f (1)＝36，f (2)＝108＝3×36， f (3)＝360＝10×36，∴f (1)，f (2)，f (3)能被36整除，猜想f (n )能被36整除．证明：n ＝1,2时，由上得证，假设n ＝k (k ∈N *，k ≥2)时，f (k )＝(2k ＋7)·3k ＋9能被36整除，则n ＝k ＋1时，f (k ＋1)－f (k )＝(2k ＋9)·3k ＋1－(2k ＋7)·3k ＝(6k ＋27)·3k －(2k ＋7)·3k＝(4k ＋20)·3k ＝36(k ＋5)·3k －2(k ≥2)． ∴f (k ＋1)能被36整除．因此，对任意n ∈N *，f (n )都能被36整除． 又∵f (1)不能被大于36的数整除， ∴所求最大的m 值等于36. 12．(1)解 由题意：S n ＝b n ＋r ， 当n ≥2时，S n －1＝b n －1＋r . 所以a n ＝S n －S n －1＝b n －1(b －1)， 由于b >0且b ≠1，所以n ≥2时，{a n }是以b 为公比的等比数列． 又a 1＝b ＋r ，a 2＝b (b －1)， a 2a 1＝b ，即b (b －1)b ＋r ＝b ，解得r ＝－1. (2)证明 当b ＝2时，由(1)知a n ＝2n －1， 因此b n ＝2n (n ∈N *)，所证不等式为2＋12·4＋14·…·2n ＋12n>n ＋1.①当n ＝1时，左式＝32，右式＝ 2.左式>右式，所以结论成立， ②假设n ＝k (k ∈N *)时结论成立， 即2＋12·4＋14·…·2k ＋12k>k ＋1，则当n ＝k ＋1时， 2＋12·4＋14·…2k ＋12k ·2k ＋32(k ＋1) >k ＋1·2k ＋32(k ＋1)＝2k ＋32k ＋1.要证当n ＝k ＋1时结论成立， 只需证2k ＋32k ＋1≥k ＋2，即证2k ＋32≥(k ＋1)(k ＋2)，由基本不等式2k ＋32＝(k ＋1)＋(k ＋2)2≥(k ＋1)(k ＋2)成立， 故2k ＋32k ＋1≥k ＋2成立，所以当n ＝k ＋1时，结论成立．由①②可知，n ∈N *时，不等式b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b n ＋1b n >n ＋1成立．。
高中数学选修2-2 2.3数学归纳法 学案2 含解析
课堂探究探究一 利用数学归纳法证明等式用数学归纳法证明等式时，要注意弄清楚等式两边的构成规律，例如：等式两边的项数是多少，项的多少与n 的关系是什么，由n ＝k 到n ＝k ＋1时项数增加多少项，增加怎样的项等．【典型例题1】 用数学归纳法证明：11×4＋14×7＋17×10＋…＋1(3n －2)(3n ＋1)＝n 3n ＋1(n ∈N ＋)．证明：(1)当n ＝1时，左边＝11×4＝14，右边＝13×1＋1＝14， 左边＝右边，所以等式成立．(2)假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N ＋)时等式成立，即11×4＋14×7＋17×10＋…＋1(3k －2)(3k ＋1)＝k 3k ＋1， 则当n ＝k ＋1时，11×4＋14×7＋17×10＋…＋1(3k －2)(3k ＋1)＋1(3k ＋1)(3k ＋4)＝k 3k ＋1＋1(3k ＋1)(3k ＋4)＝3k 2＋4k ＋1(3k ＋1)(3k ＋4)＝(3k ＋1)(k ＋1)(3k ＋1)(3k ＋4)＝k ＋13k ＋4＝k ＋13(k ＋1)＋1. 所以当n ＝k ＋1时，等式也成立．由(1)(2)知等式对n ∈N ＋成立．探究二 用数学归纳法证明不等式运用数学归纳法证明不等式时，在利用了归纳假设后，要注意根据欲证目标，灵活地运用比较法、放缩法等技巧来进行证明．【典型例题2】 用数学归纳法证明：1＋12＋13＋ (1)＞n (其中n ∈N ＋，n ＞1)． 思路分析：按照数学归纳法证明数学问题的方法与步骤进行证明，在由n ＝k 证n ＝k ＋1成立时，可利用比较法或放缩法证得结论．证明：(1)当n ＝2时，左边＝1＋12，右边＝2，⎝⎛⎭⎫1＋12－2＝1－22＞0，所以左边＞右边，即不等式成立．(2)假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N ＋)时，不等式成立，即1＋12＋13＋…＋1k ＞k ，则当n ＝k ＋1时， 1＋12＋13＋…＋1k ＋1k ＋1 ＞k ＋1k ＋1 . (方法1)因为⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋1k ＋1－k ＋1＝k 2＋k ＋1－(k ＋1)k ＋1＝k 2＋k －k k ＋1＝k k ＋1(k 2＋k ＋k )＞0， 所以k ＋1k ＋1＞k ＋1，即1＋12＋13＋ (1)＋1k ＋1 ＞k ＋1. (方法2)因为k ＋1k ＋1＝k 2＋k ＋1k ＋1＞k 2＋1k ＋1＝k ＋1k ＋1＝k ＋1， 所以1＋12＋13＋…＋1k ＋1k ＋1＞k ＋1. 即当n ＝k ＋1时原不等式也成立，由(1)(2)知原不等式成立．点评 本例中在应用归纳假设后，方法1是利用了比较法，方法2是利用了放缩法来进行后面的证明．探究三 用数学归纳法证明整除问题与正整数有关的整除性问题常用数学归纳法证明，证明的关键在于第二步中，根据归纳假设，将n ＝k ＋1时的式子进行增减项、倍数调整等变形，使之能与归纳假设联系起来．【典型例题3】 用数学归纳法证明：n 3＋(n ＋1)3＋(n ＋2)3能被9整除(n ∈N ＋)． 思路分析：在第二步时注意根据归纳假设进行拼凑．证明：(1)当n ＝1时，13＋23＋33＝36能被9整除，所以结论成立；(2)假设当n ＝k (k ∈N ＋，k ≥1)时结论成立，即k 3＋(k ＋1)3＋(k ＋2)3能被9整除．则当n ＝k ＋1时，(k ＋1)3＋(k ＋2)3＋(k ＋3)3＝[k 3＋(k ＋1)3＋(k ＋2)3]＋[(k ＋3)3－k 3]＝[k 3＋(k ＋1)3＋(k ＋2)3]＋9k 2＋27k ＋27＝[k 3＋(k ＋1)3＋(k ＋2)3]＋9(k 2＋3k ＋3)．因为k 3＋(k ＋1)3＋(k ＋2)3能被9整除，9(k 2＋3k ＋3)也能被9整除，所以(k ＋1)3＋(k ＋2)3＋(k ＋3)3也能被9整除，即n ＝k ＋1时结论也成立．由(1)(2)知命题对一切n ∈N ＋成立．探究四 归纳—猜想—证明1．由已知条件首先计算数列{a n }的前几项的值，根据前几项值的特点，猜想出数列{a n }的通项公式或递推公式，利用数学归纳法加以证明是求数列通项的一种常见的方法．2．在对猜想得到的结论用数学归纳法进行证明时，要注意从归纳的过程中发现证明的方法．【典型例题4】 某数列的第一项为1，并且对所有的自然数n ≥2，数列的前n 项之积为n 2.(1)写出这个数列的前五项；(2)写出这个数列的通项公式并加以证明．思路分析：根据数列前五项写出这个数列的通项公式，要注意观察数列中各项与其序号变化的关系，归纳出构成数列的规律．同时还要特别注意第一项与其他各项的差异，必要时可分段表示．证明这个数列的通项公式可用数学归纳法．解：(1)已知a 1＝1，由题意，得a 1·a 2＝22，∴a 2＝22.∵a 1·a 2·a 3＝32，∴a 3＝3222. 同理，可得a 4＝4232，a 5＝5242.因此该数列的前五项为1,4，94，169，2516. (2)观察这个数列的前五项，猜测数列的通项公式应为a n ＝⎩⎨⎧ 1，n ＝1，n 2(n －1)2，n ≥2，n ∈N ＋.下面用数学归纳法证明当n ≥2，n ∈N ＋时，a n ＝n 2(n －1)2. ①当n ＝2时，a 2＝22(2－1)2＝22，猜想正确． ②假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N ＋)时，猜想正确，即a k ＝k 2(k －1)2. ∵a 1·a 2·…·a k －1＝(k －1)2，a 1·a 2·…·a k －1·a k ·a k ＋1＝(k ＋1)2，∴a k ＋1＝(k ＋1)2(a 1·a 2·…·a k －1)·a k ＝(k ＋1)2(k －1)2·(k －1)2k 2 ＝(k ＋1)2k 2＝(k ＋1)2[(k ＋1)－1]2， ∴当n ＝k ＋1时，猜想也正确．根据①和②，可知当n ≥2，n ∈N ＋时，这个数列的通项公式是a n ＝n 2(n －1)2. ∴a n ＝⎩⎨⎧ 1，n ＝1，n 2(n －1)2，n ≥2，n ∈N ＋.探究五 易错辨析易错点：因不运用归纳假设而出错【典型例题5】 用数学归纳法证明：12×4＋14×6＋16×8＋…＋12n (2n ＋2)＝n 4(n ＋1)(n ∈N ＋)． 错证：(1)当n ＝1时，左边＝12×4，右边＝14(1＋1)＝14×2，等式成立． (2)假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N ＋)时等式成立，那么当n ＝k ＋1时，直接使用裂项相减法求得12×4＋14×6＋16×8＋…＋12k (2k ＋2)＋1(2k ＋2)(2k ＋4)＝12⎣⎡ ⎝⎛⎭⎫12－14＋⎝⎛⎭⎫14－16＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12k －12k ＋2＋⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12k ＋2－12k ＋4 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12－12k ＋4＝k ＋14[(k ＋1)＋1]，即当n ＝k ＋1时等式成立． 由(1)和(2)，可知等式对一切n ∈N ＋都成立．错因分析：由n ＝k 到n ＝k ＋1时等式的证明没有用归纳假设，而是运用了数列中的求和方法证得的，虽然结论正确，但没有运用数学归纳法证明，不符合题目要求．正确证法：(1)当n ＝1时，左边＝12×4＝18，右边＝18，等式成立． (2)假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N ＋)时，12×4＋14×6＋16×8＋…＋12k (2k ＋2)＝k 4(k ＋1)成立． 那么当n ＝k ＋1时，12×4＋14×6＋16×8＋…＋12k (2k ＋2)＋1(2k ＋2)(2k ＋4)＝k 4(k ＋1)＋14(k ＋1)(k ＋2)＝k (k ＋2)＋14(k ＋1)(k ＋2)＝(k ＋1)24(k ＋1)(k ＋2)＝k ＋14(k ＋2)＝k ＋14[(k ＋1)＋1]， ∴当n ＝k ＋1时，等式成立．由(1)和(2)，可知对一切n ∈N ＋等式都成立．。
数学苏教版选修2-2优化训练：2.3数学归纳法含解析
2。
3 数学归纳法5分钟训练 （预习类训练，可用于课前） 1.用数学归纳法证明1+a+a 2+…+a n+1=aa n --+112(a≠1,n∈N *)，验证n=1时等式的左边为（ ) A.1 B.1+a C.1+a+a 2D 。
1+a+a 2+a 3 答案:C解析：当n=1时，左边=1+a+a 2. 2。
用数学归纳法证明不等式2111+++n n +…+n 21>2413(n≥2）的过程中，由n=k 递推到n=k+1时不等式左边（ ) A.增加了一项)1(21+k B.增加了两项221121+++k k C.增加了B 中的两项但减少了一项11+k D.以上均不正确答案：C解析：在n=k+1时,用k+1替换n ，再与n=k 时比较。
3。
用数学归纳法证明“1+21+31+…+121-n <n(n∈N *且n 〉1)”时，由n=k(k 〉1)不等式成立，推证n=k+1时，左边应增加的项数是( ） A 。
2k —1 B 。
2k —1 C 。
2kD 。
2k+1 答案：C解析：增加的项数为(2k+1—1)-(2k —1）=2k+1-2k =2k 。
4。
凸n 边形有f （n)条对角线，则凸n+1边形的对角线条数f （n+1)与f （n ）之间的关系为_________.解析：设凸n+1边形为A 1A 2……A n A n+1,连结A 1A n ,则凸n+1边形的对角线是由凸n边形A1A2…A n的对角线再加A1A n,以及从A n+1点出发的n—2条对角线，即f(n+1）=f（n）+1+n-2=f（n)+n—1.答案：f（n+1)=f(n）+n-110分钟训练(强化类训练，可用于课中）1。
若命题A(n）(n∈N＊），n=k（k∈N*)时命题成立，则有n=k+1时命题成立.现知命题对n=n0（n0∈N＊）时命题成立,则有（）A。
命题对所有正整数都成立B。
命题对小于n0的正整数不成立,对大于或等于n0的正整数都成立C。
高二数学苏教版选修2-2讲义：第2章2.3第二课时利用数学归纳法证明几何、整除等问题Word版含解析
k f(k) k 2 k 2k2k 22k (k 1)2 (k 1) 2(1)n 24f(2) 4 22.2(2) n k f(k) kn k 1k 1kf(k 1) k 2 k (k 1) k 2 2k 1 (k 1)2. 由(1), (2)可知命题得证.Exa|利用数学归纳法证明整除问题［例2］ 用数—f(n) = 3X 52" 1 + 2汁1对任意正整数 n ,都能被17整除.［思路点拨］证明整除性问题的关键是在命题 f(k + 1)中拼凑出f(k)的表达式，分析其余项能被17整除就可以了.［精解详析］(1)当n = 1时，f(1) = 3X 53+ 24= 17X 23,能被17整除，命题成立.P50]|高频考点题组化.名师一点就通[1]n(n N )nf( n) n i 2 n 2[ ] n kk 1 [ ](1) n 1 2f(1)112 2“0n k 1 (1) (2)(k 1)⑵n k(k N *)n k 1 k 1 k1 2k2kf(k 1) f(k) 2k k 2k 2(2)假设当n= k(k> 1, k€ N*)时，f(k)= 3 X 52k+1+ 23k+1能被17 整除.则当n= k+ 1时，f(k+ 1) = 3 X 52k+ 3+ 23k+4=52X 3X 52k+ 1+ 23X 23k+ 1=25 X 3 X 52k+1+ 8 X 23k+1=17X 3X 52k+1+ 8X (3X 52k+ 1+ 23k+1)=17X 3X 52k+1+ 8X f(k).由归纳假设，f(k)能被17整除，17X 3X 52k+1也能被17整除，所以f(k+ 1)能被17整除. 由(1)和(2)可知，对任意n€ N*, f(n)都能被17整除.［一点通］证明整除性问题的关键是“凑项”即f(k+ 1)的式子中“凑”出f(k)的形式,常采用拆项、增项、减项和因式分解等手段，凑完项后式子总会含有两部分，一部分是归纳假设，即f(k) •另一部分是一定能被题中的数(或式)整除的量.2. 求证：a^1+ (a+ 1)2n T 能被a2+ a + 1 整除，n€ N*.证明：(1)当n= 1 时，a1 +1+ (a + 1)2X 1_ 1= a2+ a +1,命题显然成立.⑵假设n= k时，a k+1+ (a+ 1)2k_1能被a2+ a + 1整除，则当n= k+ 1时，a + (a + 1) = a a + (a+ 1)(a+1)k +1 2k—1 2 2k— 1 2k—1=a［a + (a + 1) ］+ (a + 1) (a+ 1) —a(a +1)k + 1 2k —1 2 2k—1=a［a + (a + 1) ］+ (a + a + 1)(a+ 1).由归纳假设知，上式中的两部分均能被a2+ a +1整除，故n = k+ 1时命题成立.根据(1)(2)知，对任意n€ N*，命题成立.3. 用数学归纳法证明：当n为正整数时，f(n)= 32n+ 2—8n—9能被64整除.证明：⑴当n= 1时，f(1) = 34—8—9 = 64,命题显然成立.(2)假设当n= k(k> 1, k€ N*)时，f(k)= 32k+ 2—8k —9 能被64 整除.1k8(9)9)k k881/_k64sSS$2)1an1a43aN12)2kaaX)^1n卩s8-516-493214-3sn1k7X2ak(kknak2X)aka k iak2 n (n + 1 j［一点通］(1)数列是定义在 N *上的特殊函数，这与数学归纳法运用的范围是一致的, 并且数列的递推公式与归纳原理实质上是一致的，数列中不少问题常用数学归纳法解决.(2)数学归纳法证明数列问题的一般思路：归纳 一一猜想一一证明.必力龜値弟制心々4. 数列｛a n ｝满足a n > 0(n € N ), S n 为数列｛a“的前n 项和，并且满足S n =1 a n +土 ,求 S i , S>, S 3的值，猜想S n 的表达式，并用数学归纳法证明.解：由 a n >0,得 S >0,由 a i = S i = 1 a i + ai ，整理得 a i = 1, 取正根得a i = 1,所以S i = 1.得 S 2= 1 ◎— 1 + 右,整理得S 2= 2,取正根得S 2=・.2. 同理可求得S 3 = '<3. 由此猜想S n = ,n. 用数学归纳法证明如下：① 当n = 1时，上面已求出 S 1= 1,结论成立. ② 假设当n = k(k € N *)时，结论成立，即 S k = ,k. 那么，当n = k + 1时，1(丄丄、盼1= 2 a k+ i+ak +i=2 跖i —Sk+Sk^=1 跖1— k+Sk + i —. k.整理得S k +1 = k + 1，取正根得S k +1 =7 k + 1. 故当n = k + 1时，结论也成立.由①②可知，对一切 n € N *, S n = .n 都成立.5. 是否存在常数 a , b ,使得等式(n 2— 12) + 2(n 2— 22)+ 3(n 2 — 32)+^+ n(n 2— n 2) = an 4 + bn 2对一切正整数n 都成立？荐存在，求出 a , b 值；若不存在说明理由.解：存在a , b ,使得所给等式成立.由 S 2=1 a 2+a;及a 2= S 2 — S 1 = S 2 — 1,下面用数学归纳法证明等式 (n 2— 12)+ 2( n 2 — 22)+ 3(n 2 — 32)+…+ n(n 2 — n 2) = 4『一扌n 2对一切正整数n 都成立.① 当n = 1时，由以上可知等式成立； ② 假设当n = k(k € N *)时，等式成立，2.2222.21412即(k — 1 ) + 2(k — 2 )+••• + k(k — k )= 4k — 4k ,则当 n = k + 1 时，[(k + 1)2— 12] + 2[(k + 1)2— 22] + …+ k[(k + 1)2— k 2] + (k + 1)[(k + 1)2— (k + 1)2]=(k 2— 1)2 + 2(k 2 — 22)+ …+ k(k 2— k 2) + (2k + 1)+ 2(2k + 1) + …+ k(2k + 1) =* Jk 2+ (2k + 1)于 1 4 1 2 =4(k + 1) — Qk + 1).1 1由①②知，存在a = 1, b =— 1使得等式对一切正整数n 都成立.4 4[方法*规律■小结] ------------------------------ '1•在证明整除问题时，有些命题可能仅当 n 是偶数(或奇数)时成立，证明时可适当地 转化k ,使k 成为全体自然数的形式•如：证明 x n + y n , n 为正奇数，能被x + y 整除，证明时需将问题转化为证明x 2^1 + y 21^1, k € N *，能被x + y 整除.2•几何问题常常是先探索出满足条件的公式，然后加以证明，探索的方法是由特殊猜 想出一般结论.3•利用“归纳 一一猜想一一证明”来研究探索性问题，一般从最特殊的情况入手，通 过分析、归纳、猜想，从而达到探索一般规律的目的.课下训练经典化，贵在触类旁通【对应课时跟踪训练(十九)]1. ____________________________________________________________________ 设凸k边形的内角和为f(k)，则凸k + 1边形的内角和f(k + 1) = f(k) + ____________________________答案：na +b = 0,将n = 1,2代入等式得＜16a + 4b = 3,解得1 4.1一、填空题2. 用数学归纳法证明n(n + 1)(2n + 1)能被6整除时，由归纳假设推证n= k+ 1时命题成立，需将n= k+ 1时的原式表示成__________f(k) k(k 1)(2 k 1) f(k 2f(k 1) f(k) 6(k1)22k 1(k N )(2k 11)1) (k2k(2k 21)(k 2)(2 k 3) k(k 1)(2 k 1) 6(k 1)2.x n y n x y2k 1(k N )x n y n1) 2k 11 n 1 2>2n(n Nn 1) n k(k 1)_____ 1k 2 k 1 2 k 2 2 1 k 312 k 3.>1 7 (n N ) (1)n 1 a 1 81 1 7a 17⑵ n k a k7a k 7S* S N8k 7S 1.n k 1 a k 1 8k118 8k 1 8(7S 1) 156S 7.a k 1 7(1) ⑵a n 77 {a n }a 1 5S n 1 a n (n 2(1) a 2 a 3a 4a n⑵{a n }(1)a 2 S 1 a 15 a 3S 2 a 1 a 210a 4 S 3 a 1 a 2 a 3 5 5 10 1 20a n 5 2门2(n 2 n*N )6 n N )a na n 8n 1⑵证明：①当n = 2时，a2= 5X 22 2= 5,猜想成立.②假设n = k 时成立，即a k = 5 x 2k 2(k> 2, k € N ), 当n = k+ 1时，由已知条件和假设有k—2a k+1= S k= a〔+ a2 + …+ a k= 5 + 5+ 10+ ••• + 5x 2k—1=5+ 5_— -------- = 5X 2k—1,1 —2故n = k+ 1时猜想也成立.由①②可知，对n》2, n€ N*有a n = 5x 2n—25 (n= 1 ,所以数列｛a n｝的通项a n= n-25x 2 (n》2)& 设函数y= f(x)，对任意实数x, y 都有f(x+ y) = f(x)+ f(y)+ 2xy. (1)求f(0)的值；⑵若f(1) = 1，求f(2), f(3), f(4)的值；⑶在⑵的条件下，猜想f(n)(n€ N*)的表达式并用数学归纳法证明.解：(1)令x= y= 0，得f(0 + 0)= f(0) + f(0) + 2X 0x 0 , 得f(0) = 0.⑵由f(1) = 1,得f(2) = f(1 + 1) = f(1) + f(1) + 2X 1X 1 = 4;f(3) = f(2 + 1) = f(2) + f(1) + 2X 2 x 1 = 9;f(4) = f(3 + 1) = f(3) + f(1) + 2X 3 x 1 = 16.2(3) 由(2)可猜想f(n) = n .用数学归纳法证明如下：①当n= 1时，f(1) = 12= 1显然成立.②假设当n = k(k € N)时，命题成立，即f(k)= k2,则当n= k+ 1时，2 2f(k+1) = f(k) + f(1) + 2x k x 1 = k + 1+ 2k= (k+ 1), 故当n= k+ 1时命题也成立，由①②可得，对一切n € N*都有f(n)= n2成立.。
苏教版高二数学选修2-2 第2章第3节 数学归纳法 课时作业
年级 高二学数学版本苏教版（理）课程标题选修2-2第2章第3节 数学归纳法（答题时间：60分钟）一、选择题1. 用数学归纳法证明等式)12(312)()2()1(-⋅⋅⋅⋅=+⋅⋅+⋅+n n n n n n，从k 到k ＋1左端需增乘的代数式为 （ ）A. 2k ＋1B. 2（2k ＋1）C. 2k ＋1k ＋1D. 2k ＋3k ＋12. 用数学归纳法证明“1＋12＋13＋…＋12n －1＜n （n ∈N ，n ＞1）”时，由n ＝k （k ＞1）不等式成立，推证n ＝k ＋1时，左边应增加的项数是 （ ）A. 2k －1 B. 2k －1 C. 2k D. 2k ＋13. 对于不等式n 2＋n ＜n ＋1（n ∈N ），某同学的证明过程如下： （1）当n ＝1时，12＋1＜1＋1，不等式成立。
（2）假设当n ＝k （k ∈N ）时，不等式成立， 即k 2＋k ＜k ＋1，则当n ＝k ＋1时，(k ＋1)2＋(k ＋1)＝k 2＋3k ＋2＜(k 2＋3k ＋2)＋(k ＋2)＝(k ＋2)2＝（k ＋1）＋1，∴当n ＝k ＋1时，不等式成立。
则上述证法 （ ） A. 过程全部正确 B. n ＝1验得不正确 C. 归纳假设不正确D. 从n ＝k 到n ＝k ＋1的推理不正确4. 下列代数式（其中k ∈N ）能被9整除的是 （ ） A. 6＋6·7k B. 2＋7k－1C. 2（2＋7k ＋1） D. 3（2＋7k ）5. 已知1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n ×3n －1＝3n （na －b ）＋c 对一切n ∈N 都成立，则a 、b 、c 的值为 （ ）A. a ＝12，b ＝c ＝14B. a ＝b ＝c ＝14C. a ＝0，b ＝c ＝14 D. 不存在这样的a 、b 、c6. 在数列{a n }中，a 1＝13，且S n ＝n （2n －1）a n ，通过求a 2，a 3，a 4，猜想a n 的表达式是（ ）A. 1(n －1)(n ＋1)B. 12n (2n ＋1)C. 1(2n －1)(2n ＋1)D. 1(2n ＋1)(2n ＋2)二、填空题7. 猜想1＝1,1－4＝－（1＋2）,1－4＋9＝1＋2＋3，…，第n 个式子为 。
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学选修2-2 2.3 数学归纳法》1
《数学归纳法》教学设计江苏省板浦高级中学李忠贵一、【教材分析】本节课选自《普通高中课程标准实验教科书数学选修2-2（苏教版）》第二章第三节《数学归纳法》。
在之前的学习中，我们已经用不完全归纳法得出了许多结论，例如某些数列的通项公式，但它们的正确性还有待证明。
因此，数学归纳法的学习是在合情推理的基础上，对归纳出来的与正整数有关的命题进行科学的证明，它将一个无穷的归纳过程转化为有限步骤的演绎过程。
通过把猜想和证明结合起来，让学生认识数学的本质，把握数学的思维。
本节课是数学归纳法的第一课时，主要让学生了解数学归纳法的原理，并能够用数学归纳法解决一些简单的与正整数有关的问题。
二、【学情分析】我校的学生基础较好，思维活跃。
学生在学习本节课新知的过程中可能存在两方面的困难：一是从“传球原理”启发得到“数学方法”的过程有困难；二是解题中如何正确使用数学归纳法，尤其是第二步中如何使用递推关系，可能出现问题。
三、【策略分析】本节课中教师引导学生形成积极主动，勇于探究的学习精神，以及合作探究的学习方式；注重提高学生的数学思维能力；体验从“实际生活—理论—实际应用”的过程；采用“教师引导—学生探索”相结合的教学方法，在教与学的和谐统一中，体现数学的价值，注重信息技术与数学课程的合理整合。
四、【教学目标】（1）知识与技能目标：①理解数学归纳法的原理与实质，掌握数学归纳法证题的两个步骤；②会用数学归纳法证明某些简单的与正整数有关的命题。
（2）过程与方法目标：努力创设愉悦的课堂气氛，使学生处于积极思考，大胆质疑的氛围中，提高学生学习兴趣和课堂效率，让学生经历知识的构建过程，体会归纳递推的数学思想。
（3）情感态度与价值观目标：通过本节课的教学，使学生领悟数学归纳法的思想，由生活实例，激发学生学习的热情，提高学生学习的兴趣，培养学生大胆猜想，小心求证，以及发现问题、提出问题，解决问题的数学能力。
五、【教学重难点】教学重点：借助具体实例了解数学归纳法的基本思想，掌握它的基本步骤，能熟练运用它证明一些简单的与正整数n 有关的数学命题；教学难点：数学归纳法中递推关系的应用。
苏教版数学高二数学苏教版选修2-2知识必备2.3数学归纳法
2.3 数学归纳法知识梳理一般地，对于某些与正整数有关的数学命题，用数学归纳法证明分两步：(1)_______________________________________；(2)_______________________________________.知识导学与自然数n 有关的命题，我们无法对所有的自然数逐一验证，可用数学归纳法证明，对于数学归纳法要求的两步缺一不可，第一步是基础，第二步是循环递增，直至无穷，学习时要正确理解，特别是在前步的基础上，下一步如何成立，是不是证明了这两步就对所有的自然数都成立？结合例子来理解.疑难突破为什么证明(1)(2)两步就能说明对于所有的n≥n 0都成立呢？剖析：这是因为第一步首先验证了n 取第一个值n 0，这样假设就有了存在的基础，至少k=n 0成立，根据假设和合情推理，证明n=k+1时也成立，这实质上是证明了一种循环，如验证了n 0=1成立，又证明了n=k+1成立，这就一定有n=2时成立，n=2成立,则n=3成立,n=3成立,则n=4也成立，如此反复，以至无穷，对所有n≥n 0的整数就都成立了.数学归纳法用两步就可以巧妙地解决了无限问题，这就是数学方法的神奇.数学归纳法这两步缺一不可，只完成步骤(1)而缺少步骤(2)，就作出判断得出不正确的结论，因为单靠步骤(1)无法递推下去，即n 取n 0以后的数时命题是否正确，我们无法判定，同样，只有步骤(2)而缺少步骤(1)，也可能得出不正确的结论，缺少步骤(1)这个基础，假设就失去了成立的前提，步骤(2)也就没有意义了.用数学归纳法证明有关问题的关键，在于第二步，即n=k+1时成立是利用假设n=k 时成立，根据有关的定理、定义、公式、性质等数学结论，推证出n=k+1时成立，而不是直接代入，否则n=k+1时也成假设了，命题并没有得到证明.典题精讲【例1】 证明12-22+32-42+…+(2n-1)2-(2n)2=-n(2n+1).思路分析：用数学归纳法证明等式时要注意等式两边的项数随n 怎样变化，即由n=k 到n=k+1时，左右两边各增添哪些项.证明：(1)当n=1时，左边=12-22=-3右边=-1×(2×1+1)=-3，∴左边=右边，等式成立.(2)假设当n=k 时等式成立，即12-22+32-42+…+(2k-1)2-(2k)2=-k(2k+1)成立.则当n=k+1时，左边=12-22+32-42+…+(2k-1)2-(2k)2+［2(k+1)-1］2+［2(k+1)］2=-k(2k+1)+(2k+1)2-(2k+2)2=(2k+1)(k+1)-4(k+1)2=(k+1)［2k+1-4(k+1)］=(k+1)(-2k-3)=-(k+1)［2(k+1)+1］=右边,∴当n=k+1时，等式成立.由(1)(2)可知对于任意正整数n ，等式都成立.绿色通道：可用数学归纳法来证明关于自然数n 的恒等式，证明时两步缺一不可，第一步必须验证，证明n=k+1时，必须用假设n=k 成立的结论证明.变式训练:用数学归纳法证明)1(4)22(21861641421+=+++⨯+⨯+⨯n n n n . 证明：(1)当n=1时，左边=81421=⨯,右边=81)11(41=+⨯,左边=右边,等式成立.(2)假设当n=k 时，等式成立,即)22(21861641421+++⨯+⨯+⨯k k =)1(4+k k 成立. 则当n=k+1时，左边=]2)1(2)[1(21)22(21861641421+++++++⨯+⨯+⨯k k k k =)2)(1(4)1()2)(1(41)2(]2)1(2)[1(21)1(42+++=++++=+++++k k k k k k k k k k k =)2(41++k k =右边. ∴当n=k+1时等式成立.由(1)(2)可知等式恒成立.【例2】数列{a n }满足a 1=61,前n 项和S n =2)1(+⨯n n a n . (1)写出a 2、a 3、a 4;(2)猜出a n 的表达式，并用数学归纳法证明.思路分析：研究数列问题，可先由前n 项归纳猜想，再证明.解：(1)令n=2,∵a 1=61,∴S 2=2)12(2+⨯a 2, 即a 1+a 2=3a 2.∴a 2=121. 令n=3,得S 3=2)13(3+⨯a 3,即a 1+a 2+a 3=6a 3,∴a 3=201. 令n=4,得S 4=2)14(4+⨯a 4，即a 1+a 2+a 3+a 4=10a 4,∴a 4=301. (2)猜想a n =)2)(1(1++n n ,下面用数学归纳法给出证明. ①当n=1时,a 1=)21)(11(161++=结论成立. ②假设当n=k 时,结论成立，即a k =)2)(1(1++k k , 则当n=k+1时,S k =2)1(+k k a k =)2(2)2)(1(12)1(+=++•+k k k k k k , S k+1=12)2)(1(+++k a k k , 即S k +a k+1=12)2)(1(+++k a k k .∴112)2)(1()2(2++++=++k k a k k a k k . ∴a k+1=)3)(2(1)2)(3(12)2)(1()2(2++=++=-+++k k k k k k k k k k. ∴当n=k+1时结论成立.由①②可知，对一切n ∈N *都有a n =)2)(1(1++n n 成立. 绿色通道：由递推关系或前n 项和公式求通项可求出前n 项，再归纳猜想，用数学归纳法证明数列的通项公式.变式训练:对于数列{a n },若a n+1=a n 2-na n +1,n ∈N *,当a 1=2时,求a 2、a 3、a 4并猜想a n 的一个通项公式.解：a 2=a 12-1×a 1+1=22-1×2+1=3,a 3=a 22-2×a 2+1=32-2×3+1=4,a 4=a 32-2a 3+1=42-3×4+1=5,猜想a n =n+1(n ∈N *).证明：(1)当n=1时，a 1=1+1=2成立.(2)假设当n=k 时，a k =k+1成立,则当n=k+1时,a k +1=a k 2-ka k +1=(k+1)2-k(k+1)+1=k+2.∴当n=k+1时结论成立.由(1)(2)可知，a n =n+1(n ∈N *)成立.【例3】 试用数学归纳法证明n 3-3n 2+8n-6能被6整除.思路分析：与自然数n 有关的命题都可以用数学归纳法证明.证明：(1)当n=1时，13-3×12+8×1-6=0能被6整除.(2)假设当n=k 时结论正确，即k 3-3k 2+8k-6能被6整除，则当n=k+1时,(k+1)3-3(k+1)2+8(k+1)-6=(k 3-3k 2+8k-6)+3k(k+1)+6.∵3k(k+1)和6都能被6整除,∴当n=k+1时结论正确.由(1)(2)可知命题成立.绿色通道：用数学归纳法证明整除性问题时，注意构造出归纳假设来，用上假设证明出. 变式训练:求证：n 3+(n+1)3+(n+2)3(n ∈N *)能被9整除.证明：(1)当n=1时，13+(1+1)3+(1+2)3=36能被9整除.(2)假设当n=k 时命题成立,即k 3+(k+1)3+(k+2)3能被9整除,则当n=k+1时,(k+1)3+(k+2)3+(k+3)3 =k 3+(k+1)3+(k+2)3+9k 2+27k+27=［k 3+(k+1)3+(k+2)3］+9［k 2+3k+3］能被9整除.由(1)(2)可知命题成立.问题探究问题：是否存在常数a 、b ，使等式2)12)(12(5323112222++=+-+⨯+⨯bn n an n n n 对于一切n ∈N *都成立.导思：存在性问题先假设存在，然后求出符合条件的量.本题求a 、b 两个量只需两个等式即可，而已知条件是对于一切n ∈N *都成立，即有无数个等式,只需取两特定n 值即可求出.求出得到的a 、b 对于一切n ∈N *是否成立，需用数学归纳法证明.像这种存在性问题可由特殊求出a 、b ，即不完全归纳法得出结论，再用数学归纳法加以证明对所有的n ∈N *都成立.探究：假设存在a 、b 使得等式对一切n ∈N *都成立,则当n=1,n=2时成立,即⎩⎨⎧==⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=+++=,4,12224154312131b a b a b a 即有24)12)(12(5323112222++=+-+⨯+⨯n n n n n n . 对n ∈N *是否成立,下面用数学归纳法给出证明:(1)当n=1时，左边=313112=⨯,右边=3121411=+⨯+,等式成立. (2)假设当n=k 时等式成立，即24)12)(12(5323112222++=+-+⨯+⨯k k k k k k ,则当n=k+1时, .2)1(4)1()1(64)2)(1()32(2)2)(12(121)32(2252121)3212(121)32)(12()1(24)32)(12()1()12)(12(53231122222222右边=+++++=+++=+++•++=+++•++=+++•++=++++++=+++++-+⨯+⨯k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k∴当n=k+1时等式成立.根据(1)(2)可知等式对任何n ∈N *都成立.。
高二数学苏教版选修2-2讲义：第2章2.3第一课时利用数学归纳法证明等式、不等式问题Word版含解析
2.3摘象问鎚情境化，新知无师自通【P48]i⑴⑵遽駅罷点溝Ml.纣.一W心［P48]⑴ n n o(n 0 1,2 )⑵n k(k N*k n o)n k 1n o n［归纳＞升华・领悟］(1)(2)(1)n n o(2)⑴(1)⑵高中数学［例1］用数学归纳法证明：1,1 v , 1 1 1 , 1 , , 1 1_二十二__十…十 ------ ——= ----- 1 --------- …十L2 3 4 2n — 1 2n n + 1 n + 2 2n ，［思路点拨］等式的左边有2n 项，右边共有n 项，f(k)与f(k + 1)相比左边增二项，右边 增一项，而且左右两边的首项不同•因此，从n = k 到n = k + 1时要注意项的合并.1 1 ［精解详析］(1)当n = 1时，左边=1 — 2= 2， 右边=2命题成立.⑵假设当n = k 时命题成立，即111 1 1 1.1. , 1 '_ 2 3 4 2k — 1 2k k + 1 k + 2 2k那么当n = k — 1时，亠、丄.1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 左左力= 1 — — — 一 — — — 一 = -L- _L --------2 3 4 2k — 1 2k 2k +1 2k + 2 k +1 k + 2 2k 2k +11 2k + 2左边=右边，上式表明当n = k + 1时命题也成立.由(1)和(2)知，命题对一切非零自然数均成立.［一点通］(1)用数学归纳法证明与自然数有关的一些等式命题，关键在于 “先看项”弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，项的多少与 n 的取值是否有关.由n =k到n = k + 1时，等式的两边会增加多少项，增加怎样的项.⑵证明n = k +1时成立，必须用到假设 n = k 成立的结论.1.用数列归纳法证明：当 n € N *时，—1 + 3— 5+ …+ (— 1)n (2n — 1) = (— 1)n n. 证明：(1)当n = 1时，左边=—1,右边=—1, 所以左边=右边，等式成立.(2)假设当n = k(k > 1, k € N *)时等式成立， 即一1+ 3— 5 + …+ (— 1)k (2k — 1) = (— 1)k k. 那么当n = k + 1时，—1 + 3— 5+ …+ (— 1)k (2k — 1)+ (— 1)k +1 (2k + 1)1k — 1k —+ …+ 2k — 2k1 2k + 1 1 2k + 2. 右边=1 k + 3+ …+ — + -—2k 2k + 1 12k + 2/ 八k k 1(1) k ( 1) (2 k 1)k 1 k 1(1) ( k) ( 1) (2 k 1)(1)k 1(2k 1 k)(1)k 1(k 1)n k 1(1) (2) n N *212 22 32 42(2n 1)2 (2 n)2n (2 n 1)(1) n 1 12 22 3 1 (2 1 1) 3(2) n k12 22 32 42(2 k 1)2 (2k)2k(2k 1)n k 112 22 32 42(2 k 1)2(2 k)2[2(k 1) 1]2[2(k 1)]2k(2k 1) (2 k 1)2(2 k 2)2(2 k 1)(k 1) 4(k 1)2(k 1) [2k 1 4(k 1)] (k 1)( 2k 3)(k 1)[2(k 1) 1]n k 1[ ](1) n 21 1 1 1 57 5-- ———--3 4 5 6 60 6⑵n k(k2k N )11丄5k1k 23k 6n k 1111111k1 1 k 1) 2 3k3k 13k 23k 31111 1 115 k 1 k23k3k 13k 2 3k 3k 1 >6高中数学所以当n = k + 1时不等式也成立.由(1)(2)可知原不等式对一切 n > 2, n € N *都成立. ［一点通］利用数学归纳法证明与 n 有关的不等式是数学归纳法的主要应用之一，应用过程中注意:(1)证明不等式的第二步即从 n = k 到n = k +1的推导过程中要应用归纳假设，有时需要对目标式进行适当的放缩来实现；⑵与n 有关的不等式的证明有时并不一定非用数学归纳法不可，还经常用到不等式证 明中的比较法、分析法、配方法、放缩法等.1 13. 用数学归纳法证明不等式 市++•••k + 1时，不等式的左边增加的式子是n = k + 1 时,+k + k + 2k +1+ 2 k + 1 k + 1丄+丄+…+ k + 1 k + 2k + k 2k + 1 2k + 2 '答案.• (2k + 1]2k + 2)111 1 n — 2*4•求证 2+ 3 + 4+…+ 2—^>-^(n A 2 且 n € N ).假设当n = k(k > 2且k € N *)时，不等式成立, 即2+1 +1+…+占> 宁. 2 3 4 2 -12111 1 1当门=k +1时,尹3+4 +••• +尸+尹2k +1k1 k —2 1 1 1 k — 2 2 k — 2 1k 彳> 小 + k +1+ k +1+ …+ k + 1=小 + k +1=小 +c2 2 — 1 2 2 2 2 2 2 2 25+ 3 x1 —丄=5 3k + 3 k + 16'卜丘〉丹勺过程中，由n = k 推导解析：n = k ,1 1+ + … k + 1 k +21 k +1左边=k +2 + k + 3k + 1 + k + k +1 + k + 1丄+丄+丄k + 1 k + 2 k + 3 证明：当n =2时，左边=2+6，右边=2—2= 0,左边〉右边，此时不等式成立.亠 +•••+ + > +2+宀 + ••k|1 2k +1— 122k + 2k + 11 1 1+ + — ■ 3k + 2 3k + 3 k + 11 1 V2 V 32弧• k 1 1 k (k 1)1 V k -1V k ~1耳屮2尸k 1n k 1(1)(2)n［方法・规律•小结］(1)n 1n 2 n 3 n 10n2n >n 3n 10⑵n k 1n k n k 1n k n k 1(3) n k(k 1)课下训练经典化，贵在耙类旁通［()】YING YONG彳 n 2 2n 11 a *1 a aa(a 1 n N )1a'丿解析：因为左边式子中a 的最高指数是n +1,所以当n = 1时，a 的最高指数为2,根 据左边式子规律可得，当 n = 1时，左边=1 + a + a 2.=2k 2— k + (4k + 1)1 1 V2 V 31n<2 n(n(1) n 112 1 2.君＜2冬答案：1 + a+ a22.用数学归纳法证明关于n的恒等式，当n= k时，表达式为1X4 + 2x 7+-+ k(3k+ 1) = k(k+ 1)2,则当n = k+ 1时，表达式为 __________ .答案：1 x 4+ 2X 7 +…+ k(3k+ 1) + (k+ 1)(3k+ 4) = (k+ 1)(k+ 2)21 1 1 127 *3.用数学归纳法证明不等式 1 + 2+ 4+…+ 尹>丽⑴^ N )成立，其初始值至少应取1 — |'1)解析：左边=1 +3 4+ 4 +…+ 1 = 牛=2—2n—i代入验证可知n的最小值为8.1 —-2答案：84. 对于不等式.n2+n<n + 1(n€ N*)，某学生证明过程如下：(1)当n = 1时，，12+ 1<1 + 1，不等式成立；⑵假设n = k(k€ N*)时，不等式成立，即k2+ k<k+ 1(k€ N*)，则当n= k+ 1时,k+12+ k+1 =k2+ 3k + 2< k2+ 3k+ 2 + k + 2 = k+ 2 2=(k+ 1) + 1,所以当n = k+ 1时，命题成立.上述证法的错误在于___________________________答案：没有用归纳假设5. _____________________ 用数学归纳法证明：“(n+ 1)(n+ 2)…(n+ n)= 2n 1 3 …(2n —1)”.从“ k 到k+ 1 ” 左端需增乘的代数式为.解析：当n = k时左端的第一项为(k+ 1)，最后一项为(k+ k),当n= k+1时，左端的第一项为(k+ 2)，最后一项为(2k+ 2),所以左边乘以(2k+ 1)(2k+ 2)，同时还要除以(k+ 1).答案：2(2k+ 1)二、解答题6•用数学归纳法证明:2 *4 +5 + 9 + 13+-+ (4n—3) = 2n -n(n€ N ).证明：(1)当n= 1时，左边=1，右边=1，命题成立.* 2 ⑵假设n= k(k> 1, k€ N )时，命题成立，即1 + 5+ 9+ 13+…+ (4k—3) = 2k —k.则当n= k+ 1 时，1 + 5 + 9+ 13+…+ (4k —3) + (4k+ 1)高中数学2 22k 3k 12(k 1)2 (k 1)n k 11 3 5(2 k 3) (2 k 1)(2 k 1) (2 k 1) (2 k 3)5 3 12k 2 2k 1 (2 k 1) (2 k 1)2k 2 2k 12(k 1)2 2(k 1) n k 1 (1)(2)(2n 3) (2n1) (2n 3) 5 3 1 2n2n 1(n N *)(1) n 1(2) n k(k N *)(2 k 3) (2 k 1) (2 k 3) 25 31 2k 2k 1.1> 2n 1、一 2n 1.尸 2(1) n 2(2) n k(k 2N ) 1 2k 1 2k 1 >~2~131 5.2k 1 2k 2 > 22k 1 川 2(k 1 ) 12k 12k 2 2 2k 1 2 2k 12 ,2k 12,2k 12高中数学。
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学选修2-2 2.3 数学归纳法》71
数学归纳法1一、学情分析数学归纳法被安排在高二下学期?普通高中课程标准实验教科书选修2-2?〔苏教版〕第二章第三节，这个阶段的学生思维趋于成熟，能进行抽象的逻辑思维分析。
在知识方面：已经学过高中阶段的大局部的知识板块，具有一定的知识储藏；在能力方面：初高中已经将类比推理渗透到教材的很多章节，学生正在不知不觉地应用着。
二、设计思想本节课主要是利用以前学习过的知识，认识一种思维方法——类比推理。
在整个过程中，学生已经具备独立研究知识的能力，所以在教学中我从学生已学过的数学实例和生活中的实例出发，唤起学生的经验，找到知识的生长点。
三、课程资源在中小学数学教学中，对合情推理的能力培养都有一定的要求。
而且在整个高中教材中有很多章节已经渗透了用类比推理的方式生成新的知识，比方必修2阅读局部增加了“平面几何与立体几何的类比〞，必修5中“等差与等比数列的类比〞等等。
四、教学目标1、理解数学归纳法的概念，掌握数学归纳法的证明步骤。
2、通过数学归纳法的学习，体会用不完全归纳法发现规律，用数学归纳法证明规律的途径．掌握从特殊到一般是应用的一种主要思想方法。
五、教学重点与难点教学重点：掌握数学归纳法的原理及证明问题的方法。
教学难点：能用数学归纳法证明一些简单的与正整数有关的数学命题。
教具准备：多媒体课时安排：1课时〔共三课时〕六、教学过程：〔一〕、问题情境：数列{a n}，a1＝1，且〔n＝1，2，3…〕通过对n＝1，2，3，4，前4项的观察，我们可以猜测出其通项公式为，这种方法叫？生答：归纳推理〔从特殊到一般〕归纳法〔归纳推理〕：由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法。
问题1:这是一盒白色的粉笔。
完全归纳法：考察全体对象，得到一般结论的推理方法。
〔结论一定可靠，但需逐一核对，实施较难〕问题2：天下乌鸦一般黑。
不完全归纳法：考察局部对象，得到一般结论的推理方法〔结论不一定可靠，但有利于发现问题，形成猜测〕回到刚刚的问题，刚刚得出的猜测属于〔？〕生答：不完全归纳，不一定成立，必须通过严格的证明．怎么证明？思考1：与正整数n有关的数学命题能否通过一一验证的方法来加以证明呢？思考2：如果一个数学命题与正整数n有关，我们能否找到一种既简单又有效的证明方法呢？很多同学小时候都玩过这样的游戏，多米诺骨牌游戏〔多米诺骨牌〔domino〕是一种用木制、骨制或塑料制成的长方形骨牌。
高中数学选修2-2 2.3数学归纳法 学案 含解析
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数学归纳法
一个与自然数相关的命题，如果(1)当n取第一个值n0时命题成立；(2)在假设当n＝k(k ∈N＋，且k≥n0)时命题成立的前提下，推出当n＝k＋1时命题也成立，那么可以断定，这个命题对n取第一个值后面的所有正整数成立．
思考1 在数学归纳法的第一步中，第一个值n0是否一定等于1?
提示：不一定，n0还可以取其他值，如证明“2n＞n2”中，n0＝5，而证明“凸n边形内角和为(n－2)·180°”中，n0＝3.
思考2 在数学归纳法的第二步中，所作的归纳假设是否一定要用上？
提示：一定要用上归纳假设．数学归纳法的实质在于递推，所以从“k”到“k＋1”的过程，必须将归纳假设作为条件来导出“n＝k＋1”时的命题．也许有时不用归纳假设也能证得结论，但这不是用数学归纳法证明问题了．
点拨正确理解数学归纳法注意以下几点：
(1)数学归纳法是专门证明与自然数集有关的命题的一种方法，它是一种完全归纳法，是对不完全归纳法的完善．证明分两步，其中第一步是命题成立的基础，称为“归纳奠基”；第二步解决的是延续性问题，又称“归纳递推”．
(2)用数学归纳法证明问题的关键在第二步，即n＝k＋1时命题为什么成立？n＝k＋1时命题成立是利用假设n＝k时命题成立，根据有关的定理、定义、公式、性质等数学结论推证出来的，而不是直接代入，否则n＝k＋1时
命题成立也成假设了，命题并没有得到证明．
(3)证明n＝k＋1时命题也成立，要注意明确证明的目标，根据这一个目标决定对归纳假设的合理变形及应用，必要时需进行适当的拼凑．
(4)用数学归纳法可证明有关的正整数问题，但并不是所有的正整数问题都能用数学归
纳法证明，学习时要具体问题具体分析．
(5)数学归纳法是一种演绎推理．。
高中数学选修2-2讲义：第二章 3 数学归纳法 含答案
2.3数学归纳法在学校，我们经常会看到这样的一种现象：排成一排的自行车，如果一个同学将第一辆自行车不小心弄倒了，那么整排自行车就会倒下．问题1：试想要使整排自行车倒下，需要具备哪几个条件？提示：(1)第一辆自行车倒下；(2)任意相邻的两辆自行车，前一辆倒下一定导致后一辆倒下．问题2：利用这种思想方法能解决哪类数学问题？ 提示：一些与正整数n 有关的问题．1．数学归纳法一个与自然数相关的命题，如果(1)当n 取第一个值n 0时命题成立；(2)在假设当n ＝k (k ∈N ＋，且k ≥n 0)时命题成立的前提下，推出当n ＝k ＋1时命题也成立，那么可以断定，这个命题对n 取第一个值后面的所有正整数成立．2．数学归纳法的框图表示1．数学归纳法仅适用于与正整数n 有关的数学命题的证明． 2．应用数学归纳法时应注意：(1)验证是证明的基础，递推是证明的关键，二者缺一不可；(2)在证明n ＝k ＋1命题成立时，必须使用归纳假设的结论，否则就不是数学归纳法．[对应学生用书P44][对应学生用书P45][例1] 用数学归纳法证明：121×3＋223×5＋…＋n 2(2n －1)(2n ＋1)＝n (n ＋1)2(2n ＋1). [思路点拨] 证明n ＝1时成立→假设n ＝k 时成立→证明n ＝k ＋1时成立→结论得证[精解详析] (1)当n ＝1时121×3＝1×22×3成立．(2)假设当n ＝k 时等式成立，即有121×3＋223×5＋…＋k 2(2k －1)(2k ＋1)＝k (k ＋1)2(2k ＋1)，则121×3＋223×5＋…＋k 2(2k －1)(2k ＋1)＋(k ＋1)2(2k ＋1)(2k ＋3)＝k (k ＋1)2(2k ＋1)＋(k ＋1)2(2k ＋1)(2k ＋3)＝(k ＋1)(k ＋2)2(2k ＋3)，即当n ＝k ＋1时等式也成立．由(1)(2)可得对于任意的n ∈N ＋等式都成立．[一点通] 用数学归纳法证明与正整数有关的命题时，关键在于先“看项”，弄清等式两边的构成规律，等式的两边各有多少项，项的多少与n 的取值是否有关，由n ＝k 到n ＝k ＋1时，等式两边会增加多少项；再“两凑”，将n ＝k ＋1时的式子转化成与归纳假设的结构相同的形式——凑假设，然后利用归纳假设，经过恒等变形，得到结论所需的形式——凑结论．1．用数学归纳法证明：1×4＋2×7＋3×10＋…＋n (3n ＋1)＝n (n ＋1)2 (其中n ∈N ＋)．证明：(1)当n ＝1时，左边＝1×4＝4，右边＝1×22＝4，左边＝右边，等式成立． (2)假设当n ＝k (k ∈N ＋)时等式成立，即1×4＋2×7＋3×10＋…＋k (3k ＋1)＝k (k ＋1)2. 那么，当n ＝k ＋1时，1×4＋2×7＋3×10＋…＋k (3k ＋1)＋(k ＋1)[3(k ＋1)＋1]＝k (k ＋1)2＋(k ＋1)[3(k ＋1)＋1]＝(k ＋1)(k 2＋4k ＋4) ＝(k ＋1)[(k ＋1)＋1]2， 即当n ＝k ＋1时等式也成立．根据(1)和(2)，可知等式对任何n ∈N ＋都成立． 2．用数学归纳法证明：1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n . 证明：(1)当n ＝1时，左边＝1－12＝12，右边＝12，命题成立．(2)假设当n ＝k 时命题成立，即1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ， 那么当n ＝k ＋1时，1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＋12k ＋1－12k ＋2＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ＋12k ＋1－12k ＋2 ＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋1＋12k ＋2. 上式表明当n ＝k ＋1时命题也成立． 由(1)(2)知，等式对任意正整数n 都成立.[例2] 证明不等式1＋12＋13＋…＋1n＜2n (n ∈N ＋)． [思路点拨] 运用数学归纳法证明，证明时仔细观察不等式的结构特征，在第二步证明当n ＝k ＋1时如何进行不等式的变换是关键．[精解详析] (1)当n ＝1时，左边＝1，右边＝2. 左边＜右边，不等式成立．(2)假设当n ＝k (k ≥1且k ∈N ＋)时，不等式成立， 即1＋12＋13＋…＋1k＜2k .则当n ＝k ＋1时， 1＋12＋13＋…＋1k ＋1k ＋1＜2k ＋1k ＋1＝2k k ＋1＋1k ＋1＜(k )2＋(k ＋1)2＋1k ＋1＝2(k ＋1)k ＋1＝2k ＋1.∴当n ＝k ＋1时，不等式成立．由(1)、(2)可知，原不等式对任意n ∈N ＋都成立．[一点通] 用数学归纳法证明不等式往往比证明恒等式难度更大些，方法更灵活些，用数学归纳法证明的第二步，即已知f (k )＞g (k )，求证f (k ＋1)＞g (k ＋1)时应注意灵活运用证明不等式的一般方法(比较法、分析法、综合法)．具体证明过程中要注意以下两点：(1)先凑假设，作等价变换；(2)瞄准当n ＝k ＋1时的递推目标，有目的地放缩、分析直到凑出结论．3．证明1＋12＋13＋14＋…＋12n －1>n2(n ∈N ＋)，假设n ＝k 时成立，当n ＝k ＋1时，左端增加的项数是( )A ．1项B ．k －1项C ．k 项D ．2k 项解析：当n ＝k 时，不等式左端为1＋12＋13＋14＋…＋12k －1；当n ＝k ＋1时，不等式左端为1＋12＋13＋…＋12k －1＋12k ＋…＋12k ＋1－1增加了12k ＋…＋12k ＋1－1项，共(2k ＋1－1)－2k ＋1＝2k项． 答案：D4．用数学归纳法证明：122＋132＋142＋…＋1n 2＜1－1n (n ≥2，n ∈N ＋)．证明：(1)当n ＝2时，左式＝122＝14，右式＝1－12＝12.因为14＜12，所以不等式成立．(2)假设n ＝k (k ≥2，k ∈N ＋)时，不等式成立．即122＋132＋142＋…＋1k 2＜1－1k， 则当n ＝k ＋1时，122＋132＋142＋…＋1k 2＋1(k ＋1)2＜1－1k ＋1(k ＋1)2＝1－k 2＋k ＋1k (k ＋1)2＜1－k (k ＋1)k (k ＋1)2＝1－1k ＋1， 所以当n ＝k ＋1时，不等式也成立．综上所述，对任意n ≥2的正整数，不等式都成立.[例3] (12分)在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝λa n ＋λn ＋1＋(2－λ)2n (n ∈N ＋)，其中λ>0.(1)求a 2，a 3，a 4；(2)猜想{a n }的通项公式并加以证明．[精解详析] (1)由a n ＋1＝λa n ＋λn ＋1＋(2－λ)2n ，将a 1＝2代入，得a 2＝λa 1＋λ2＋(2－λ)×2＝λ2＋4，(1分) 将a 2＝λ2＋4代入，得a 3＝λa 2＋λ3＋(2－λ)×22＝2λ3＋8，(2分)将a 3＝2λ3＋8代入，得a 4＝λa 3＋λ4＋(2－λ)×23＝3λ4＋16.(3分) (2)由a 2，a 3，a 4，对{a n }的通项公式作出猜想： a n ＝(n －1)λn ＋2n .证明如下：分)①当n ＝1时，a 1＝2＝(1－1)λ1＋21成立．(6分) ②假设当n ＝k 时，a k ＝(k －1)λk ＋2k ，(7分) 则当n ＝k ＋1时， a k ＋1＝λa k ＋λk ＋1＋(2－λ)2k＝(k －1)λk ＋1＋λ2k ＋λk ＋1＋(2－λ)2k＝kλk ＋1＋2k ＋1＝[(k ＋1)－1]λk ＋1＋2k ＋1.(10分)由此可知，当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝[(k ＋1)－1]λk ＋1＋2k＋1也成立．(11分)综上可知，a n ＝(n －1)λn ＋2n 对任意n ∈N ＋都成立．(12分) [一点通](1)“归纳—猜想—证明”的一般环节(2)“归纳—猜想—证明”的主要题型 ①已知数列的递推公式，求通项或前n 项和；②由一些恒等式、不等式改编的一些探究性问题，求使命题成立的参数值是否存在； ③给出一些简单的命题(n ＝1,2,3，…)，猜想并证明对任意正整数n 都成立的一般性命题．5．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，其中a n ＝S n n (2n －1)且a 1＝13；(1)求a 2，a 3；(2)猜想数列{a n }的通项公式，并用数学归纳法加以证明． 解：(1)a 2＝S 22(2×2－1)＝a 1＋a 26，a 1＝13，则a 2＝115，类似地求得a 3＝135.(2)由a 1＝11×3，a 2＝13×5，a 3＝15×7…猜得：a n ＝1(2n －1)(2n ＋1).证明：①当n ＝1时，由(1)可知等式成立；②假设当n ＝k 时猜想成立，即a k ＝1(2k －1)(2k ＋1)，那么，当n ＝k ＋1时，由题设a n＝S nn (2n －1)得a k ＝S kk (2k －1)，a k ＋1＝S k ＋1(k ＋1)(2k ＋1)，所以S k ＝k (2k －1)a k ＝k (2k －1)1(2k －1)(2k ＋1)＝k 2k ＋1，S k ＋1＝(k ＋1)(2k ＋1)a k ＋1，a k ＋1＝S k ＋1－S k ＝(k ＋1)(2k ＋1)a k ＋1－k2k ＋1.因此，k (2k ＋3)a k ＋1＝k2k ＋1，所以a k ＋1＝1(2k ＋1)(2k ＋3)＝1[2(k＋1)－1][2(k＋1)＋1].这就证明了当n＝k＋1时命题成立．由①②可知命题对任何n∈N＋都成立．6．平面内有n(n≥2，n∈N＋)条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点．这n条直线相互分割出多少条线段或射线？证明你的结论．解：设n条直线相互分割出f(n)条线段或射线，则f(2)＝4，f(3)＝9，f(4)＝16，猜想f(n)＝n2.下面用数学归纳法证明(1)当n＝2时，两条直线相交得到4条射线，命题成立．(2)假设n＝k(k≥2，k∈N＋)时，k条直线相交可得到k2条线段或射线，则当n＝k＋1时，记这k＋1条直线中的一条为l，则其余k条直线相交可得到k2条线段或射线，直线l与这k 条直线相交可新增加k个不同的交点，这k个点把直线l分成k＋1段，又各自把它们所在线段或射线分成两部分，即又增加了k条线段或射线，那么新增加的线段或射线的条数为k ＋1＋k＝2k＋1条，从而k＋1条直线相交，得到的线段或射线的条数为：k2＋2k＋1＝(k＋1)2条．所以n＝k＋1时命题成立．由(1)(2)可知猜想成立，即这n条直线相互分割成n2条线段或射线．运用数学归纳法时易犯的错误：(1)对项数估算的错误，特别是寻找n＝k与n＝k＋1的关系时，项数发生什么变化被弄错．(2)没有利用归纳假设：归纳假设是必须要用的．假设是起桥梁作用的，桥梁断了就通不过去了．(3)关键步骤含糊不清，“假设n＝k时结论成立，利用此假设证明n＝k＋1时结论也成立”，是数学归纳法的关键一步，也是证明问题最重要的环节，推导的过程要把步骤写完整，注意证明过程的严谨性、规范性．[对应课时跟踪训练(十六)]1．用数学归纳法证明1＋a ＋a 2＋…＋a n ＋1＝1－a n ＋21－a(n ∈N ＋，a ≠1)，在验证n ＝1成立时，左边所得的项为( )A ．1B ．1＋a ＋a 2C ．1＋aD ．1＋a ＋a 2＋a 3答案：B2．设f (n )＝1＋12＋13＋…＋13n －1(n ∈N ＋)，那么f (n ＋1)－f (n )等于( )A.13n ＋2 B.13n ＋13n ＋1 C.13n ＋1＋13n ＋2D.13n ＋13n ＋1＋13n ＋2 解析：f (n ＋1)－f (n )＝13n ＋13n ＋1＋13n ＋2.答案：D3．设f (n )＝5n ＋2×3n －1＋1(n ∈N ＋)，若f (n )能被m (m ∈N ＋)整除，则m 的最大值为( )A ．2B ．4C ．8D ．16解析：f (1)＝8，f (2)＝32，f (3)＝144＝8×18，猜想m 的最大值为8. 答案：C4．已知1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n ×3n －1＝3n (na －b )＋14对一切n ∈N ＋都成立，那么a ，b 的值为( )A ．a ＝12，b ＝14B ．a ＝b ＝14C ．a ＝0，b ＝14D ．a ＝14，b ＝12解析：法一：特值验证法，将各选项中a ，b 的值代入原式，令n ＝1,2验证易知选A. 法二：∵1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n ×3n －1＝3n (na －b )＋14对一切n ∈N ＋都成立，∴当n ＝1,2时有⎩⎨⎧1＝3(a －b )＋14，1＋2×3＝32(2a －b )＋14，⇒⎩⎨⎧1＝3a －3b ＋14，7＝18a －9b ＋14，解得⎩⎨⎧a ＝12，b ＝14，答案：A5．用数学归纳法证明“n 3＋5n 能被6整除”的过程中，当n ＝k ＋1时，式子(k ＋1)3＋5(k ＋1)应变形为________．解析：(k ＋1)3＋5(k ＋1)＝k 3＋3k 2＋3k ＋1＋5k ＋5 ＝k 3＋5k ＋3k 2＋3k ＋6 ＝k 3＋5k ＋3k (k ＋1)＋6. 答案：k 3＋5k ＋3k (k ＋1)＋66．用数学归纳法证明122＋132＋…＋1(n ＋1)2>12－1n ＋2.假设n ＝k 时，不等式成立，则当n ＝k ＋1时，应推证的目标不等式是________．解析：观察不等式中各项的分母变化知，n ＝k ＋1时，122＋132＋…＋1k 2＋1(k ＋1)2＋1(k ＋2)2>12－1k ＋3.答案：122＋132＋…＋1k 2＋1(k ＋1)2＋1(k ＋2)2>12－1k ＋3 7．用数字归纳法证明：12×4＋14×6＋16×8＋…＋12n ×(2n ＋2)＝n4(n ＋1). 证明：(1)当n ＝1时， 左边＝12×4＝18，右边＝18，等式成立．(2)假设n ＝k (k ∈N ＋)时，等式成立， 即12×4＋14×6＋16×8＋…＋12k ×(2k ＋2)＝k4(k ＋1)成立． 则当n ＝k ＋1时，12×4＋14×6＋16×8＋…＋12k ×(2k ＋2)＋1(2k ＋2)×(2k ＋4)＝k4(k ＋1)＋14(k ＋1)(k ＋2)＝k (k ＋2)＋14(k ＋1)(k ＋2)＝k ＋14(k ＋2)＝k ＋14[(k ＋1)＋1].所以n ＝k ＋1时，等式也成立．由(1)和(2)可知，对一切n ∈N ＋，等式都成立．8．已知数列{a n }中a 1＝－23，其前n 项和S n 满足a n ＝S n ＋1S n＋2(n ≥2)，计算S 1，S 2，S 3，S 4，猜想S n 的表达式，并用数学归纳法加以证明．解：当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝S n ＋1S n ＋2.∴S n ＝－1S n －1＋2(n ≥2)．则有：S 1＝a 1＝－23，S 2＝－1S 1＋2＝－34，S 3＝－1S 2＋2＝－45，S 4＝－1S 3＋2＝－56，由此猜想：S n ＝－n ＋1n ＋2(n ∈N ＋)．用数学归纳法证明：①当n ＝1时，S 1＝－23＝a 1，猜想成立．②假设n ＝k (k ∈N ＋)时猜想成立即S k ＝－k ＋1k ＋2成立，那么n ＝k ＋1时，S k ＋1＝－1S k ＋2＝－1－k ＋1k ＋2＋2 ＝－k ＋2k ＋3＝－(k ＋1)＋1(k ＋1)＋2，即n ＝k ＋1时猜想成立．高中数学课程由①②可知，对任意正整数n，猜想结论均成立．11。
高中数学苏教版选修2-2同步训练：2.3 数学归纳法 pdf版含答案
2.3 数学归纳法1、“111111111()234212122n N n n n n n*-+-++-=+++∈-++,在用数学归纳法证明上述恒等式的过程中,由(,1)n k k N k *=∈≥推导到1n k =+时,等式的右边增加的式子是( ) A.12(1)k +B.112122k k +++ C.112(1)1k k -++D.111212(1)1k k k +-+++ 2、用数学归纳法证明"223122221n n +++++⋯+=-",验证1n =时,左边计算所得的式子为( ) A. 1 B. 12+ C. 2122++ D. 231222+++3、已知()231123334333n n n na b c -+⨯+⨯+⨯++⨯=-+对一切*n N ∈都成立,那么,,a b c 的值为( )A. 12a =,14b c == B. 14a b c ===C. 0a =,14b c ==D.不存在这样的,,a b c 4、用数学归纳法证明不等式“()11113212224n n n n ++⋅⋅⋅+>>++”时的过程中,由n k =到1n k =+时,不等式的左边( )A.增加了一项()121k +B.增加了两项()112121k k +++ C.增加了两项()112121k k +++,又减少了11k + D.增加了一项()121k +,又减少了一项11k +5、设1111,1232k S k k k k=+++⋯++++则1k S += ( ) A. ()121k S k ++B. ()112121k S k k ++++ C. ()112121k S k k +-++ D. ()112121k S k k +-++6、用数学归纳法证明“52n n -”能被3整除”的第二步中1n k =+时,为了使用假设,应将1152k k ++-变形为( )A. ()52452k k k k -+⨯- B. ()55232k k k -+⨯ C. ()()5252k k -- D. ()55235k k k --⨯7、若命题()()*A n n N ∈在()*n k k N =∈时命题成立,则有1n k =+时命题成立.现知命题对()*00n n n N =∈时命题成立,则有( )A.命题对所有正整数都成立B.命题对小于0n 的正整数不成立,对大于或等于0n 的正整数都成立C.命题对小于0n 的正整数成立与否不能确定,对大于或等于0n 的正整数都成立D.以上说法都不正确8、设平面内有k 条直线,其中任何两条不平行,任何三条不共点,设k 条直线的交点个数为(),f k 则()1f k +与()f k 的关系是( )A. ()()11f k f k k +=++B. ()()11f k f k k +=+-C. ()()1f k f k k +=+D. ()()12f k f k k +=++ 9、设()()111231*,31f n N n n =+++⋯∈-+那么()()1f n f n +-等于( ) A.132n + B. 11331n n ++ C. 113132n n +++ D. 11133132n n n ++++ 10、凸n 边形有()f n 条对角线,则凸1n +边形有对角线条数()1f n +为( ) A. ()1f n n ++ B. ()f n n + C. ()1f n n +- D. ()2f n n +- 11、用数学归纳法证明11112321n n ++++<-”时,由()1n k k =>不等式成立,推证1n k =+时,左边应增加的项数是__________项;12、用数学归纳法证明: ()221*11,11n n a a a a n N a a++-+++⋯+=∈≠-,在验证1n =成立时,左边所得的项为__________.13、用数学归纳法证明“对于足够大的自然数n ,总有32n n >”时,验证第一步不等式成立所取的第一个值0n 最小应当是__________. 14、用数学归纳法证明()2221111123221n n ++⋅⋅⋅+>-++.假设n k =时,不等式成立,则当1n k =+时,应推证的目标不等式是__________.15、已知某数列的第一项为1,并且对所有的自然数2n ≥,数列的前n 项之积为2n . 1.写出这个数列的前5项2.写出这个数列的通项公式并加以证明.答案以及解析1答案及解析： 答案：D 解析：2答案及解析： 答案：D解析：左边的指数从0开始,依次加1,直到2n +,所以当1n =时,应加到32,故选D.3答案及解析： 答案：A解析：令1,2,3n =,得()()()31,{927,27334,a b c a b c a b c -+=-+=-+=解得12a =,14b c ==.经验证此时等式对一切*n N ∈均成立.4答案及解析： 答案：C解析：本题考查的知识点是数学归纳法,观察不等式“()11113212224n n n n ++⋅⋅⋅+>>++左边的各项,他们都是以11n +开始,以12n项结束,共n 项,当由n k =到1n k =+时,项数也由k 变到1k +时,但前边少了一项,后面多了两项,分析四个答案,即可求出结论.n k =时,左边11112k k k k=++⋅⋅⋅++++, 1n k =+时,左边()()()()111111211k k k k =++⋅⋅⋅++++++++111111121212k k k k k k k ⎛⎫=++⋅⋅⋅+-++ ⎪++++++⎝⎭。
【创新设计】高中数学苏教版选修2-2练习：2.3数学归纳法(含答案解析)
明目标、知要点 1.认识数学概括法的原理.2.能用数学概括法证明一些简单的数学命题．1．数学概括法(1)假如当 n 取第一个值 n0(比如 n0＝1,2 等 )时结论正确；(2) 假定当 n＝ k(k ∈ N*n＝k＋ 1 时结论也正确．那么，命题，且 k≥n)时结论正确，证明当关于从 n0开始的所有正整数n 都建立．2．应用数学概括法时应注意几点(1) 用数学概括法证明的对象是与正整数n 相关的数学命题．(2)在用数学概括法证明中，两个基本步骤缺一不行．(3) 步骤②的证明一定以， k∈N*“假定当 n＝ k(k ≥n0)时结论建立”为条件．[ 情境导学 ]多米诺骨牌游戏是一种用木制、骨制或塑料制成的长方形骨牌，玩时将骨牌按必定间距摆列成行，保证随意两相邻的两块骨牌，若前一块骨牌倒下，则必定致使后一块骨牌倒下．只需推倒第一块骨牌，就必定致使第二块骨牌倒下；而第二块骨牌倒下，就必定致使第三块骨牌倒下，最后无论有多少块骨牌都能所有倒下．请同学们思虑所有的骨牌都一一倒下蕴涵如何的原理？研究点一数学概括法的原理思虑 1多米诺骨牌游戏给你什么启迪？你以为一个骨牌链能够被成功推倒，靠的是什么？答 (1) 第一张牌被推倒； (2) 随意相邻两块骨牌，前一块倒下必定致使后一块倒下．结论：多米诺骨牌会所有倒下．所有的骨牌都倒下，条件 (2)给出了一个递推关系，条件 (1) 给出了骨牌倒下的基础．思虑 2 关于数列 {a n} ，已知 a1＝ 1，a n＋1＝a n，试写出 a1，a2，a3，a4，并由此作出猜想．请1＋ a n问这个结论正确吗？如何证明？答 a 1＝ 1， a 2＝1， a 3＝ 1， a 4＝ 1，2341 *)．猜想 a n ＝ (n ∈ Nn以下为证明过程：1(1) 当 n ＝ 1 时， a 1 ＝ 1＝ 1，所以结论建立．(2) 假定当 n ＝ k(k ∈N *)时，结论建立，即 a k ＝ 1，k 则当 n ＝ k ＋ 1 时 a k ＋1＝ a k (已知 )1＋ a k 1k＝(代入假定 )11＋ k1 k＝ k ＋ 1(变形 )k1＝ k ＋ 1(目标 )，即当 n ＝ k ＋ 1 时，结论也建立．由 (1)(2) 可得，对随意的正整数n 都有 a n ＝1建立．n思虑 3 你可否总结出上述证明方法的一般模式？答 一般地，证明一个与正整数n 相关的命题 P(n) ，可按以下步骤进行：(1)( 概括奠定 )证明当 n 取第一个值 n 0(n 0∈ N * )时命题建立；， k ∈ N *)时命题建立，证明当n ＝ k ＋ 1 时命题也建立．(2)( 概括递推 )假定当 n ＝ k(k ≥n 0 只需达成这两个步骤，就能够判定数题对从 n 0 开始的所有正整数 n 都建立．上述证明方法叫做数学概括法．思虑 4 用数学概括法证明 1＋3＋ 5＋ ＋ (2n － 1)＝ n 2，如采纳下边的证法，对吗？若不对请更正．证明： (1)n ＝ 1 时，左侧＝ 1，右侧＝ 12＝ 1，等式建立．(2) 假定 n ＝ k 时等式建立，即 1＋ 3＋5＋ ＋ (2k － 1)＝ k 2，(k ＋ 1) ×[1＋ (2k ＋ 1)]2则当 n ＝ k ＋ 1 时， 1＋ 3＋ 5＋ ＋ (2k ＋ 1)＝＝ (k ＋ 1) 等式也建立．由 (1) 和(2) 可知对任何 n ∈ N *等式都建立．答证明方法不是数学概括法，由于第二步证明时，未用到概括假定．从形式上看这类证法，用的是数学概括法，本质上不是，由于证明n＝ k＋ 1 正确时，未用到概括假定，而用的是等差数列乞降公式．研究点二用数学概括法证明等式例 1用数学概括法证明12＋22＋＋n2＝n(n＋1)(2n＋1)(n∈N*)．62证明(1)当 n＝1 时，左侧＝ 1 ＝ 1，6等式建立．(2)假定当 n＝ k(k ∈N * )时等式建立，即12＋22＋＋k2＝k(k＋1)(2k＋1)，6那么， 12＋ 22＋＋ k2＋ (k＋ 1)2＝ k(k ＋ 1)(2k ＋ 1)＋(k＋1)262＝ k(k ＋ 1)(2k ＋ 1)＋ 6(k＋ 1)2＝ (k＋ 1)(2k ＋ 7k＋ 6)＝(k＋ 1)(k＋ 2)(2k ＋ 3)6＝(k＋ 1)[(k ＋ 1)＋ 1][2(k ＋1)＋ 1]， 6即当 n＝ k＋ 1 时等式也建立．依据 (1)和 (2)，可知等式对任何n∈ N*都建立．反省与感悟用数学概括法证明与正整数相关的一些等式命题，要点在于“先看项”，弄清等式两边的组成规律，等式的两边各有多少项，项的多少与n 的取值能否相关．由n＝ k 到 n ＝ k＋ 1 时，等式的两边会增添多少项，增添如何的项．追踪训练 1求证： 1－1＋1－1＋＋ 1 － 1 ＝ 1 ＋ 1＋＋1*2 3 42n－ 12n n＋ 1 n＋ 22n(n∈ N ) ．证明当 n＝ 1 时，左侧＝ 1－1＝1，221右侧＝2，所以等式建立．假定 n＝ k(k∈ N * )时，1－1＋1－1＋ ＋ 1 －12 342k － 12k＝ 1 ＋ 1 ＋ ＋ 1 建立．k ＋ 1 k ＋ 2 2k 那么当 n ＝k ＋ 1 时，1 － 1 ＋ 1 － 1 ＋ ＋ 2k 1 － 1 ＋ 1 － 1 ＝ 1 ＋1＋＋ 1 ＋ 1 －2 3 4 － 1 2k 2(k ＋ 1)－1 2(k ＋ 1) k ＋ 1 k ＋ 2 2k 2k ＋ 11 2(k ＋ 1)＝1＋1＋＋1＋1＋[1－1k ＋ 2 k ＋ 3 2k 2k ＋ 1 k ＋ 1 2(k ＋ 1)]＝ 1 ＋ 1 ＋ ＋ 1 ＋1 ，2(k ＋ 1)(k ＋ 1)＋ 1 (k ＋ 1)＋ 2 (k ＋ 1)＋ k所以 n ＝ k ＋ 1 时，等式也建立．*综上所述，关于任何n ∈ N ，等式都建立．例 2已知数列1 ， 1 ，1， ，1， ，计算 S ，S ，S ，S ，依据计1×4 4×7 7×10(3n －2)(3n ＋ 1) 1234算结果，猜想 S n 的表达式，并用数学概括法进行证明．11解 S 1＝ 1×4＝ 4；S 2＝ 1＋ 1 ＝2；44×7 7S 3＝ 2＋1 ＝ 3； 77×10 10 S 4＝ 3＋1 ＝ 4. 1010×13 13能够看出，上边表示四个结果的分数中，分子与项数n 一致，分母可用项数n 表示为 3n ＋1.n于是能够猜想S n＝3n ＋ 1.下边我们用数学概括法证明这个猜想．(1) 当 n ＝ 1 时，左侧＝ S 1＝ 1，4n11右侧＝＝ ＝ ，猜想建立．(2) 假定当 n ＝ k(k ∈N * )时猜想建立，即1 ＋ 1 ＋ 1 ＋ ＋ 1＝ k ， 1×4 4×7 7×10 (3k － 2)(3k ＋ 1) 3k ＋ 1那么，1＋1＋1 ＋＋1＋11×4 4×77×10(3k － 2)(3k ＋ 1)[3(k ＋ 1)－ 2][3(k ＋ 1)＋ 1]＝k＋13k ＋ 1(3k ＋ 1)(3k ＋ 4)＝3k2＋ 4k＋1(3k ＋ 1)(3k ＋ 4)＝(3k＋ 1)(k ＋ 1)(3k ＋ 1)(3k ＋ 4)k＋ 1，＝3(k ＋ 1)＋ 1所以，当 n＝ k＋ 1 时猜想也建立．依据 (1)和 (2)，可知猜想对任何 n∈ N*都建立．反省与感悟概括法分为不完整概括法和完整概括法，数学概括法是“完整概括”的一种科学方法，关于无量尽的案例，常用不完整概括法去发现规律，得出结论，并想法赐予证明，这就是“概括——猜想——证明”的基本思想．追踪训练 2 数列 {a n} 知足 S n＝ 2n－ a n(S n为数列 {a n} 的前 n 项和 )，先计算数列的前 4 项，再猜想a n，并证明．解由 a1＝ 2－ a1，得 a1＝ 1；由 a1＋ a2＝ 2×2－ a2，得 a2＝3；2由 a1＋ a2＋ a3＝ 2×3－ a3，得 a3＝7；4由 a1＋ a2＋ a3＋ a4＝ 2×4－ a4，15得 a4＝8 .n2 － 1下边证明猜想正确：(1)当 n＝ 1 时，由上边的计算可知猜想建立．(2)假定当 n＝ k 时猜想建立，2k－ 1则有 a k＝2k－1，当 n＝ k＋1 时， S k＋ a k＋1＝ 2(k＋ 1)－ a k＋1，1∴ a k ＋ 1＝ 2[2(k ＋ 1)－S k ]12k － 1＝ k ＋ 1－2(2k － 2k － 1 )2 k ＋1－ 1＝ (k ＋ 1)－ 1，2所以，当 n ＝ k ＋ 1 时，等式也建立．由 (1) 和(2) 可知， a n ＝2n － 1n 都建立．2n －1 对随意正整数1．若命题 A(n)(n ∈N * )在 n ＝ k(k ∈ N * )时命题建立， 则有 n ＝ k ＋ 1 时命题建立． 现知命题对 n＝ n 0(n 0 ∈N * )时命题建立，则以下说法正确的选项是________．①命题对所有正整数都建立；②命题对小于 n 0 的正整数不建立，对大于或等于n 0 的正整数都建立；③命题对小于 n 0 的正整数建立与否不可以确立，对大于或等于 n 0 的正整数都建立．答案 ③分析 由已知得 n ＝n 0(n 0∈ N * )时命题建立，则有 n ＝n 0＋ 1 时命题建立； 在 n ＝ n 0＋ 1 时命题建立的前提下，又可推得n ＝ (n 0＋1)＋ 1 时命题也建立，依此类推，可知③正确．2n ＋222n ＋1＝ 1－a(a ≠ 1)．”在考证 n ＝ 1 时，左端计算所2．用数学概括法证明 “1＋ a ＋a ＋ ＋ a1－ a得项为 ________．答案1＋a ＋ a 2＋ a 33．用数学概括法证明1＋ 2＋ 22＋ ＋ 2n － 1＝ 2n － 1(n ∈ N * )的过程以下：(1) 当 n ＝ 1 时，左侧＝ 1，右侧＝ 21－ 1＝ 1，等式建立．(2) 假定当 n ＝ k(k ∈N * )时等式建立，即 1＋ 2＋ 22＋ ＋ 2k －1＝ 2k － 1，则当 n ＝ k ＋ 1 时， 1＋ 2k ＋12k －1k1－ 2k ＋ 1＋ 2 ＋＋ 2 ＋ 2 ＝＝ 2 － 1.所以当 n ＝ k ＋1 时等式也建立．由此可知关于任何n ∈ N *，等式都建立．上述证明的错误是 ________．答案 未用概括假定分析此题在由 n ＝k 建立，证 n ＝ k ＋1 建即刻，应用了等比数列的乞降公式，而未用上假定条件，这与数学概括法的要求不符．4．用数学概括法证明： 对全部大于1 的自然数， 不等式 (1＋ 1 )(1＋ 1) · ·＋(1 1)>2n ＋ 123 5 2n － 1 均建立．证明 (1)当 n ＝2 时，左侧＝ 1＋1 453＝3；右侧＝2.∵左侧 >右侧，∴不等式建立．(2) 假定 n ＝ k(k ≥2，且 k ∈N * )时不等式建立，即(1＋ 1 )(1＋ 1 ) · ·＋(1 12k ＋ 13 5 )> 2 .2k －1 则当 n ＝ k ＋ 1 时，(1＋ 1 )(1＋ 1 ) · ·＋(1 1)[1＋ 1 ]> 2k ＋ 1 2k ＋ 2 2k ＋ 22 · ＝2 2k ＋13 5 2k －1 2(k ＋1)－ 1 2k ＋ 1 ＝4k 2＋ 8k ＋44k 2＋ 8k ＋ 32>2 2k ＋12k ＋ 1＝2k ＋3 2k ＋1 ＝2(k ＋1) ＋1.2 2k ＋12∴当 n ＝ k ＋ 1 时，不等式也建立．由 (1)(2) 知，关于全部大于1 的自然数 n ，不等式都建立．[ 呈要点、现规律 ]在应用数学概括法证题时应注意以下几点：(1) 考证是基础：找准起点，奠定要稳，有些问题中考证的初始值不必定为1；(2) 递推是要点：正确剖析由 n ＝k 到 n ＝ k ＋ 1 时式子项数的变化是应用数学概括法成功证明问题的保障；(3) 利用假定是中心：在第二步证明中必定要利用概括假定，这是数学概括法证明的中心环节，不然这样的证明就不是数学概括法证明.一、基础过关1．用数学概括法证明：1 ＋1 ＋ ＋ 1 ＝2n时，由 n ＝k 到 n ＝ k ＋ 1 左侧需要增添的项1＋1＋2 1＋2＋3 1＋2＋ 3＋ ＋ n n ＋ 1是 ________________________________________________________________________ ．1答案1＋ 2＋3＋＋ k ＋ (k ＋ 1)2．一个与正整数 n 相关的命题，当 n ＝ 2 时命题建立，且由 n ＝ k 时命题建立能够推得 n ＝k＋ 2 时命题也建立，则以下说法正确的选项是 ________．①该命题关于 n>2 的自然数 n 都建立；②该命题关于所有的正偶数都建立；③该命题何时建立与 k 取值没关．答案 ②分析 由 n ＝ k 时命题建立能够推出n ＝ k ＋ 2 时命题也建立．且 n ＝ 2，故对所有的正偶数都建立．13．在应用数学概括法证明凸 n 边形的对角线为 2n(n － 3)条时，第一步考证n ＝ ________.答案 3分析由于是证凸 n 边形，所以应先考证三角形．1 11*4．若 f(n) ＝ 1＋ 2＋3＋ ＋ 2n ＋ 1(n ∈ N)，则 n ＝ 1 时 f(n) 是 ________．答案1＋1＋ 12 31 ＋ 1 ＋ 1 ＋ ＋ 15．已知 f(n)＝2，则 f(n) 共有 ________项，且 f(2) ＝ ________.n n ＋ 1 n ＋ 2 n21 1 1 答案n － n ＋ 1 2＋ 3＋4分析察看分母的首项为 n ，2最后一项为 n ，公差为 1，2∴项数为 n － n ＋ 1.6．在数列 {a n } 中， a 1＝ 2， a n ＋ 1＝a n *a 2， a 3 ， a 4，概括推断出 {a n } 的通＋ 1(n ∈ N )，挨次计算3a n项 a n ＝ ________. 答案26n － 5分析 a 1＝ 2，a 2＝ 2， a 3＝ 2 ， a 4＝ 2， ，7 13 192 可推断 a n ＝ 6n － 5.7．用数学概括法证明1111 2*(1－ 3)(1－ 4)(1 －5) (1－ n ＋ 2)＝ n ＋2(n ∈ N ) ．证明(1)当 n ＝1 时，左侧＝ 1－ 1＝2，右侧＝ 2 ＝2，等式建立．3 3 1＋ 2 3 (2) 假定当 n ＝ k(k ≥1，k ∈N * )时等式建立，即11 1 12(1－ 3)(1－ 4)(1 －5) (1－ k ＋ 2)＝ k ＋2，当 n ＝ k ＋1 时，11 1 11(1－ 3)(1－ 4)(1 －5) (1－ k ＋ 2) ·(1－ k ＋ 3)＝ 21 2(k ＋ 2) ＝2 ，k ＋ 2(1－k ＋ 3)＝(k ＋ 2)(k ＋ 3)k ＋ 3所以当 n ＝k ＋ 1 时等式也建立．由 (1)(2) 可知，关于随意 n ∈ N * 等式都建立．二、能力提高8．用数学概括法证明等式(n ＋ 1)(n ＋2) (n ＋ n)＝ 2n · 1· 3· ·－1)(n2n ∈N * )，从 k 到 k ＋1 左端需要增乘的代数式为________．答案2(2k ＋ 1)分析n ＝k ＋ 1 时，左端为 (k ＋ 2)(k ＋ 3)[(k ＋ 1) ＋ (k － 1)] ·[(k ＋ 1) ＋ k] ·(2k ＋ 2) ＝ (k ＋ 1)(k ＋ 2)(k ＋ k) ·(2k ＋1) ·2，∴应增乘 2(2k ＋ 1)．1 ＋1 ＋ ＋ 1*)，则 f(k ＋ 1)＝ ______________________.9.已知 f(n)＝ n ＋ 1 n ＋ 2 3n － 1(n ∈N1 1 1 1答案 f(k) ＋ 3k ＋ 3k ＋ 1 ＋ 3k ＋2 －k ＋ 110．证明：假定当 n ＝ k(k ∈ N * )时等式建立，即 2＋4＋ ＋ 2k ＝ k 2＋ k ，那么 2＋ 4＋ ＋ 2k＋ 2(k ＋ 1)＝ k 2＋ k ＋2(k ＋ 1)＝ (k ＋ 1)2＋ (k ＋ 1)，即当 n ＝ k ＋ 1 时等式也建立．所以关于任何 n ∈ N *等式都建立．以 上 用 数 学 归 纳 法 证 明 “2＋ 4 ＋＋ 2n ＝ n 2 ＋ n(n ∈ N * ) ”的 过 程 中 的 错 误 为________________________________________________________________________ ．答案 缺乏步骤概括奠定－1·n 2 －n(n ＋1).11．用数学概括法证明 12－ 22＋ 32－ 42＋ ＋ (－1) n ＝(－ 1) n 1· 2证明 (1)当 n ＝1 时，左侧＝1，1－11×2右侧＝ (－ 1) ×2 ＝1，结论建立．(2) 假定当 n ＝ k 时，结论建立．即 12－ 22＋ 32－ 42＋ ＋ (－ 1)k － 1k 2＝ (－ 1)k － 1·k(k ＋1)， 2那么当 n ＝k ＋ 1 时，12－ 22＋ 32－ 42＋ ＋ (－ 1)k－1k 2＋ (－ 1)k (k ＋1) 2＝(－1)k －1k(k ＋ 1) ＋(－1) k (k ＋ 1) 2·2－ k ＋ 2k ＋ 2＝ (－ 1)k ·(k ＋ 1) ·2＝(－1)k (k ＋ 1)(k ＋ 2).·2即 n ＝ k ＋1 时结论也建立．由 (1)(2) 可知，对全部正整数n 都有此结论建立．n 1＝5 且 S n －1＝ a n (n ≥2，n ∈ N *)， S n 为数列 {a n12.已知数列 {a } 的第一项 a } 的前 n 项和．(1) 求 a 2， a 3，a 4，并由此猜想 a n 的表达式；(2) 用数学概括法证明 {a n } 的通项公式．(1) 解 a 2 ＝S 1＝ a 1＝ 5， a 3＝ S 2＝ a 1＋ a 2＝ 10，a 4＝S 3＝ a 1＋ a 2＋ a 3＝ 5＋ 5＋10＝ 20，5(n ＝1)猜想a n ＝5×2n－2 ，(n ≥2， n ∈ N * ) .(2) 证明2－2＝ 5，公式建立．①当 n ＝ 2 时， a 2＝ 5×2 ②假定 n ＝k(k ≥2， k ∈ N * )时建立，即 a k ＝ 5×2k －2，当 n ＝ k ＋1 时，由已知条件和假定有a k ＋ 1＝ S k ＝ a 1＋ a 2＋ a 3＋ ＋ a k＝ 5＋ 5＋ 10＋ ＋ 5×2k －2.k －1＝5＋ 5(1－ 2 )＝ 5×2k－1. 1－ 2故 n ＝ k ＋1 时公式也建立．由①②可知，对 n ≥2， n ∈N * ，有 a n ＝ 5×2n － 2.所以数列 {a n } 的通项公式为5(n ＝ 1)a n ＝n －2*.5×2 ( n ≥2， n ∈N )三、研究与拓展13.已知数列 {a n } 的前 n 项和 S n ＝ 1－ na n (n ∈N * )．(1) 计算 a 1， a 2， a 3， a 4；(2) 猜想 a n 的表达式，并用数学概括法证明你的结论．1 1 1 1解 (1)计算得 a 1＝2； a 2＝ 6； a 3＝ 12；a 4＝ 20.1(2) 猜想： a n ＝n(n ＋ 1).【创新设计】高中数学苏教版选修2-2练习：2.3数学概括法(含答案分析)下边用数学概括法证明①当 n ＝ 1 时，猜想明显建立．*1 ②假定 n ＝k(k ∈ N )时，猜想建立，即a k ＝ . 那么，当 n ＝ k ＋ 1 时， S k ＋1＝ 1－ (k ＋ 1)a k ＋1 ，即 S k ＋ a k ＋ 1＝1－ (k ＋ 1)a k ＋ 1.又 S k ＝ 1－ ka k ＝k ，k ＋ 1 所以k ＋ a ＋ ＝ 1－(k ＋1)a ＋ ，k ＋ 1 k 1 k 1进而 a k ＋ 1＝ 1 ＝ 1. (k ＋ 1)(k ＋ 2) (k ＋ 1)[(k ＋1)＋ 1] 即 n ＝ k ＋1 时，猜想也建立．故由①和②，可知猜想建立．。
苏教版高中数学选修2-2：第2章《归纳法》测试(选修2—2).docx
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作高中苏教选修（2-2）2.3数学归纳法水平测试一、选择题1．用数学归纳法证明“221nn >+对于0n n ≥的自然数n 都成立”时，第一步证明中的起始值0n 应取（ ） A ．2 B ．3C ．5D ．6答案：C2．用数学归纳法证明不等式1111(1)2321nn n n *++++<∈>-N ，且时，不等式在1n k =+时的形式是（ ）A ．11111232k k ++++<+B ．1111111232121kk k ++++++<+-- C ．111111112321221kk k k +++++++<+-- D ．1111111111123212212221kk k k k k +++++++++++<+-+-- 答案：D3．用数学归纳法证明，“当n 为正奇数时，n nx y +能被x y +整除”时，第二步归纳假设应写成（ ）A ．假设21()n k k *=+∈N 时正确，再推证23n k =+正确B ．假设21()n k k *=-∈N 时正确，再推证21n k =+正确 C ．假设(1)n k k k *=∈N ，≥的正确，再推证2n k =+正确D ．假设(1)n k k k *∈N ，≤≥时正确，再推证2n k =+正确答案：B4．用数学归纳法证明：“22111(1)1n n a a a aa a++-++++=≠-”在验证1n =时，左端计算所得的项为（ ） A ．1B ．1a +C ．21a a ++D ．231a a a +++答案：C5．下面四个判断中，正确的是（ ）A ．式子21()n k k k n *++++∈N ，当1n =时为1 B ．式子211()n k k k n -*++++∈N ，当1n =时为1k +C ．式子1111()12321n n *++++∈-N ，当1n =时为111123++ D ．设111()()1231f n n n n n *=++∈+++N ，则111(1)()323334f k f k k k k +=++++++ 答案：C6．用数学归纳法证明(1)(2)()213(21)()n n n n n n n *+++=+∈N ，从k 到1k +左端需增乘的代数式为（ ） A ．21k +B ．2(21)k +C ．211k k ++ D ．231k k ++ 答案：B二、填空题7．用数学归纳法证明1111(1)2321nn n n *++++<∈>-N 且，第一步即证不等式 成立． 答案：111223++< 8．用数学归纳法证明命题：2222121(1)1234(1)(1)()2n n n n n n --*+-+-++-=-∈N ，从“第k 步到1k +步”时，两边应同时加上 ．答案：2(1)(1)k k -+9．已知21111()()12f n n n n n n*=++++∈++N ，则()f n 中共有 项． 答案：21n n -+10．设21()61n f n -=+，则(1)f k +用含有()f k 的式子表示为 ． 答案：36()35f k - 三、解答题11．用数学归纳法证明：22389()n n n +*--∈N 能被64整除．证明：（1）当1n =时，4381964-⨯-=，能被64整除，命题成立． （2）假设n k =时，命题成立，即22389k k +--能被64整除，则当1n k =+时，2(1)22238(1)99(389)6464k k k k k +++-+-=--++．因为22389k k +--能被64整除， 所以2(1)238(1)9k k ++-+-能被64整除．即当1n k =+时，命题也成立．由（1）和（2）可知，对任何n *∈N ，命题成立． 12．用数学归纳法证明：11112()23n n n*++++<∈N ． 证明：（1）当1n =时，左边1=，右边2=，12<，所以不等式成立． （2）假设n k =时不等式成立，即1111223k k++++<， 则当1a k =+时，11111122311k k k k +++++<+++ 2(1)1112111k k k k k k k +++++=<=+++，即当1n k =+时，不等式也成立．由（1）、（2）可知，对于任意n *∈N 时，不等式成立．13．数列{}n a 的前n 项和2n n S n a =-，先计算数列的前4项，后猜想n a 并证明之． 解：由112a a =-，11a =，由12222a a a +=⨯-，得232a =． 由123323a a a a ++=⨯-，得374a =．由1234424a a a a a +++=⨯-，得4158a =． 猜想1212n n n a --=．下面用数学归纳法证明猜想正确：（1）1n =时，左边11a =，右边11112121122n n +---===，猜想成立．（2）假设当n k =时，猜想成立，就是1212k k k a --=，此时121222k k k k S k a k --=-=-．则当1n k =+时，由112(1)k k S k a ++=+-， 得1112(1)2k k k S a k a +++-=+-，11[2(1)]2k k a k S +∴=+-11(1)11212112222k k k k k k +-+-⎛⎫--=+--= ⎪⎝⎭．这就是说，当1n k =+时，等式也成立．由（1）（2）可知，1212n n n a --=对n *∈N 均成立．高中苏教选修（2-2）2.3数学归纳法水平测试一、选择题1．如果命题()p n 对n k =成立，那么它对2n k =+也成立，又若()p n 对2n =成立，则下列结论正确的是（ ） A ．()p n 对所有自然数n 成立 B ．()p n 对所有正偶数n 成立 C ．()p n 对所有正奇数n 成立D ．()p n 对所有大于1的自然数n 成立答案：B2．用数学归纳法证明多边形内角和定理时，第一步应验证（ ） A ．1n =成立 B ．2n =成立 C ．3n =成立 D ．4n =成立 答案：C 3．已知111()()1231f n n n n n *=+++∈++-N ，则(1)f k +=（ ） A ．1()3(1)1f k k +++B ．1()32f k k ++ C ．1111()3233341f k k k k k +++-++++ D ．11()341f k k k +-++ 答案：C4．凸n 边形有()f n 条对角线，则凸1n +边形的对角线的条数(1)f n +为（ ） A ．()1f n n ++ B ．()f n n + C ．()1f n n +- D ．()2f n n +-答案：C 二、填空题5．用数学归纳法证明“35n n +能被6整除”的过程中，当1n k =+时，式子3(1)5(1)k k +++应变形为 ．答案：3(5)3(1)6k k k k ++++6．用数学归纳法证明不等式1111127124264n -++++>成立，起始值至少应取为 ． 答案：8 三、解答题7．用数学归纳法证明：(31)(1)(2)()()2n n n n n n n *+++++++=∈N ． 证明：（1）当1n =时，左边2=， 右边1(31)22⨯+===左边，等式成立． （2）假设n k =时等式成立，即(31)(1)(2)()2k k k k k k +++++++=． 则当1n k =+时，左边(2)(3)()(1)(2)k k k k k k k k =++++++++++++[(1)(2)()]32k k k k k =++++++++(31)323k k k +=++ 2374(1)(34)22k k k k ++++==(1)[3(1)1]2k k +++=，1n k ∴=+时，等式成立． 由（1）和（2）知对任意n *∈N ，等式成立． 8．求证：121(1)n n aa +-++能被21a a ++整除（其中n *∈N ）．证明：（1）当1n =时，212(1)1a a a a ++=++能被21a a ++整除，即当1n =时原命题成立．（2）假设()n k k *=∈N 时，121(1)k k a a +-++能被21a a ++整除．则当1n k =+时，2211221(1)(1)(1)k k k k aa a a a a +++-++=+++121221(1)(1)(1)k k k a a a a a a a +--=++++++()()211212(1)11k k k a a a a a a -+-⎡⎤=++++++⎣⎦．由归纳假设及21a a ++能被21a a ++整除可知，221(1)k k a a ++++也能被21a a ++整除，即1n k =+命题也成立．根据（1）和（2）可知，对于任意的n *∈N ，原命题成立．备选题1． 已知等差数列{}n a 和等比数列{}n b ，且11a b =，22a b =，12a a ≠，0n a >，n *∈N ，试比较3a 与3b ，4a 与4b 的大小，并猜想n a 与n b （3n ≥，n *∈N ）的大小关系，并证明你的结论．解：设11a b a ==，{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ．22(1)a b a d aq d a q ∴=⇒+=⇒=-．因为0n a >，12a a ≠，0d ∴>，0a >，11dq a∴=+>． 22233(2)2(1)(1)0b a aq a d aq a a q a q ∴-=-+=---=->， 33b a ∴>．又3244(3)(1)(2)0b a aq a d a q q -=-+=-+>，44b a ∴>．猜想(3)n n b a n n *>∈N ，≥．下面用数学归纳法证明此猜想：（1） 当3n =时，已证33b a >，猜想正确．（2）假设当n k =（3k ≥，k *∈N ）时猜想正确，即k k b a <．则当1n k =+时，由1k k b aq -=，(1)k a a k d =+-知：1(1)k aq a k d ->+-，又1q >，(1)kaq aq k dq ∴>+-，而(1)d a q =-，11()(1)()k k k b a aq a kd aq k dq a kd ++∴-=-+>+--+(1)(1)(1)aq k qa q a ka q =+----- 2(1)(1)0a k q =-->， 11k k b a ++∴>．即当1n k =+时，猜想也成立．由（1）和（2）可知，对3n ≥，n *∈N ，均有n n b a >成立．2． 设111()123f n n=++++，是否存在()g n 使等式(1)(2)(1f ff ng n f n g n+++-=-对2n ≥的一切自然数都成立，并证明你的结论．解：(1)1f =，1(2)12f =+，11(3)123f =++， 由(1)(2)(1)()()()f f f ng n f n g n +++-=-，得当2n =时，(1)(2)(2)(2)f g f g =-，可得(2)2g =． 当3n =时，(1)(2)(3)(3)(3)f f g f g +=-，得(3)3g =． 猜想：()g n n =．用数学归纳法证明：当2n =时，已验证成立． 假设n k =（2k ≥，k *∈N ）时成立，即()g k k =，且有(1)(2)(1)[()1]f f f k k f k +++-=-成立．则当1n k =+时，(1)(2)(1)()[()1]()(1)()f f f k f k k f k f k k f k k +++-+=-+=+-1(1)(1)1k f k k k ⎡⎤=++--⎢⎥+⎣⎦(1)(1)(1)k f k k =++-+．即当1n k =+时成立．综上可知，()g n n =使等式(1)(2)(1)()()()f f f n g n f n g n +++-=-对2n ≥的一切自然数都成立．3．求证：n 棱柱中过侧棱的对角面的个数是1()(3)2f n n n =-． 证明：（1）当4n =时，四棱柱有2个对角面：14(43)22⨯⨯-=，命题成立． （2）假设n k =（4k ≥，k *∈N ）时，命题成立，即符合条件的棱柱的对角面有1()(3)2f k k k =-个． 现在考虑1n k =+时的情形． 第1k +条棱11k k A B ++与其余和它不相邻的2k -条棱分别增加了1个对角共2k -个，而面11k k A B B A 变成了对角面．因此对角面的个数变为：1()(2)1(3)12f k k k k k +-+=-+-11(2)(1)(1)[(1)3]22k k k k =-+=++-，即1(1)(1)[(1)3]2f k k k +=++-成立．由（1）和（2）可知，对任何4n ≥，n *∈N ，命题成立．。
2.3数学归纳法(苏教版选修2-2)
•【证明】 ①当n＝1时，4×7－1＝27能被9整除，命题成立． •②假设当n＝k(k∈N*，k≥1)时命题成立， •即(3k＋1)· 7k－1能被9整除， •当n＝k＋1时，[(3k＋3)＋1]· 7k＋1－1＝(3k＋1＋3)· 7· 7k－1 •＝7· (3k＋1)· 7k－1＋21· 7k •＝[(3k＋1)· 7k－1]＋18k· 7k＋6· 7k＋21· 7k •＝[(3k＋1)· 7k－1]＋18k· 7k＋27· 7k.
课堂互动讲练
考点突破
证明与自然数n有关的等式
等式是我们用数学归纳法证明的常见题型，用数学 归纳法证明时，关键是第二步n＝k＋1时提取公因式、 分解因式等技巧的合理使用．
•
•【思路点拨】 严格按照数学归纳法的步骤求解． •②假设当n＝k(k∈N*)时，等式成立， •即(k＋1)(k＋2)…(k＋k)＝2k· 1· 3· …· (2k－1)；
•2.3 数学归纳法
学习目标
1. 理解数学归纳法的证题原理，会用数学归纳法证
明与正整数n有关的等式及研究数列问题．
2．掌握数学归纳法在证明与正整数 n有关的不等式、 整除问题、几何问题中的应用，会解决相关问推理 与 1．合情推理可分为____________ 类比推理． ______________
方法感悟
•1．理解归纳—猜想—数学归纳法证明的思想方法，其基本思路是：在探讨某些问题时，可以先
从观察入手，发现问题的特点，形成解决问题的初步思路；然后用归纳方法进行探索，提出猜想； 最后用数学归纳法给出证明． •2．运用数学归纳法时易犯的错误如下：
•(1)没有验证第一步；
•(2)第一步验证多了，不但验证n＝1，又验证了n＝2,3等，其实这是多余的，追其原因还是对第 一步、第二步不理解； •(3)没有写出第二步中的归纳假设； •(4)虽写出了第二步中的归纳假设，但在证明中没有用上； •(5)证明中虽用了归纳假设，但没有进行实质的恒等变形，只是形式地写出结果； •(6)虽有中间变形，但中间变形有错，或中间变形变不到应有的结果，或只是形式地写上结果．
苏教版高二数学选修2-2 2.3 数学归纳法 第2课时 作业
[基础达标]1.设k (k ≥3且k ∈N *)棱柱有f (k )个对角面(过棱柱不相邻两条侧棱的截面)，则对于求k ＋1棱柱对角面的个数，可推测f (k ＋1)＝f (k )＋________．解析：棱柱的对角面与底面的交线就是底面多边形的对角线，故棱柱对角面的个数等于其底面对角线的条数，如图，由n ＝k 到n ＝k ＋1，底面对角线增加了以A k ＋1为一个端点的k －2条，和A 1A k 一条，共增加了k－1条．答案：k －12.用数学归纳法证明“n 3＋5n 能被6整除”的过程中，当n ＝k ＋1时，对式子(k ＋1)3＋5(k ＋1)应变形为________．解析：采取凑配法，凑出归纳假设k 3＋5k 来，(k ＋1)3＋5(k ＋1)＝k 3＋3k 2＋3k ＋1＋5k ＋5＝(k 3＋5k )＋3k (k ＋1)＋6.答案：(k 3＋5k )＋3k (k ＋1)＋63.用数学归纳法证明不等式a n ＋b n 2≥⎝⎛⎭⎫a ＋b 2n(a ，b ≥0，n ∈N *)，假设n ＝k 时命题成立之后，证明n ＝k ＋1时命题也成立的关键是将归纳假设两边同乘以________．解析：当n ＝k (k ∈N *)时，不等式为a k ＋b k 2≥⎝⎛⎭⎫a ＋b 2k ，当n ＝k ＋1时，不等式为a k ＋1＋b k ＋12≥⎝⎛⎭⎫a ＋b 2k ＋1，比较知，只需将归纳假设的两边同乘以a ＋b 2，得a k ＋b k 2·a ＋b 2≥⎝⎛⎭⎫a ＋b 2k ＋1，再进一步证明不等式a k ＋1＋b k ＋12≥a k ＋b k 2·a ＋b 2成立即可． 答案：a ＋b 24.用数学归纳法证明不等式1＋12＋14＋…＋12n －1>12764成立，n 的起始值至少应取为________． 解析：因为1＋12＋14＋…＋12n －1＝1－⎝⎛⎭⎫12n 1－12＝2－12n －1，所以原不等式即为2－12n －1>12764.经代入检验知，当n ＝1，2，3，4，5，6，7时，不等式不成立，当n ≥8时，不等式成立，所以n 的起始值至少应为8.答案：85.设72n －1＋1＝8m (m ，n ∈N *)，则72n ＋1＋1＝8m ＋________．解析：72n ＋1＋1＝72·72n －1＋1＝(72n －1＋1)＋48·72n －1＝8m ＋48·72n －1.答案：48·72n －16.在用数学归纳法证明：1n ＋1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋ (12)<1(n ≥2，且n ∈N *)时，第二步由n ＝k 到n ＝k ＋1，不等式左端的变化是________．解析：不等式左端共有(n ＋1)项，且各项的分母为首项是n ，公差是1，末项是2n 的等差数列．当n ＝k 时，不等式左端为1k ＋1k ＋1＋…＋12k ，当n ＝k ＋1时，不等式左端为1k ＋1＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2，对比两式可得结论． 答案：增加了12k ＋1和12k ＋2两项，同时减少了1k 一项 7.求证：a n ＋1＋(a ＋1)2n －1能被a 2＋a ＋1整除，n ∈N *.证明：(1)当n ＝1时，a 1＋1＋(a ＋1)2×1－1＝a 2＋a ＋1，命题显然成立．(2)设当n ＝k (k ∈N *)时，a k ＋1＋(a ＋1)2k －1能被a 2＋a ＋1整除，则当n ＝k ＋1时，a k ＋2＋(a ＋1)2k ＋1＝a ·a k ＋1＋(a ＋1)2·(a ＋1)2k －1＝a [a k ＋1＋(a ＋1)2k －1]＋(a ＋1)2(a ＋1)2k －1－a (a ＋1)2k －1＝a [a k ＋1＋(a ＋1)2k －1]＋(a 2＋a ＋1)(a ＋1)2k －1.由归纳假设，上式中的两项均能被a 2＋a ＋1整除，故当n ＝k ＋1时命题成立．由(1)(2)知，对n ∈N *，命题成立．8.已知数列{a n }的前n 项和S n ＝1－na n (n ∈N *)．(1)计算a 1，a 2，a 3，a 4；(2)猜想a n 的表达式，并用数学归纳法证明你的结论． 解：(1)由S n ＝1－na n (n ∈N *)，当n ＝1时，得a 1＝S 1＝1－a 1，解得a 1＝12.当n ＝2时，得a 1＋a 2＝S 2＝1－2a 2，把a 1＝12代入，解得a 2＝16. 同理，可解得a 3＝112，a 4＝120. (2)由(1)知：a 1＝12＝11×2，a 2＝16＝12×3，a 3＝112＝13×4，a 4＝120＝14×5，据此猜想：a n ＝1n （n ＋1）. 证明：①当n ＝1时，由(1)知a 1＝12，11×（1＋1）＝12，猜想成立． ②假设当n ＝k (k ∈N *)时，猜想成立，即a k ＝1k （k ＋1）. 那么，当n ＝k ＋1时，由已知，得S k ＋1＝1－(k ＋1)a k ＋1，即S k ＋a k ＋1＝1－(k ＋1)a k ＋1.又S k ＝1－ka k ＝k k ＋1， 所以k k ＋1＋a k ＋1＝1－(k ＋1)a k ＋1， 解得a k ＋1＝1（k ＋1）（k ＋2）＝1（k ＋1）[（k ＋1）＋1]，即n ＝k ＋1时，猜想也成立． 根据①和②，可知猜想成立．[能力提升]1.平面上有n (n ∈N *)个圆，其中任何两个圆都相交于两点，且任何三个圆不共点，这几个圆互相分割成f (n )段弧，则f (n ＋1)＝f (n )＋________．解析：由n 个圆增加一个圆到n ＋1个圆时，新增加的这个圆与前n 个圆共产生2n 个交点，每个交点把它所在的前n 个圆的每段弧均一分为二，故增加了2n 段弧，而这2n 个交点又把新增加的这个圆分割成了2n 段弧，所以共增加了2n ＋2n ＝4n 段弧，即f (n ＋1)＝f (n )＋4n . 答案：4n2.若存在正整数m ，使得f (n )＝(2n ＋7)·3n ＋9(n ∈N *)能被m 整除，则m 的最大值为________． 解析：f (1)＝36，f (2)＝108，f (3)＝360，猜想：能整除f (n )的最大整数是36.用数学归纳法证明如下：(1)当n ＝1时，f (1)＝(2×1＋7)×3＋9＝36，能被36整除．(2)假设n ＝k (k ∈N *)时，f (k )能被36整除，则当n ＝k ＋1时，f (k ＋1)＝[2(k ＋1)＋7]·3k ＋1＋9＝3[(2k ＋7)·3k ＋9]＋18(3k －1－1)．由归纳假设3[(2k ＋7)·3k ＋9]能被36整除，而3k －1－1是偶数，∴18(3k －1－1)能被36整除．∴当n ＝k ＋1时，f (n )能被36整除．由(1)(2)可知，对任意n ∈N *，f (n )能被36整除．答案：363.已知点P n (a n ，b n )满足a n ＋1＝a n ·b n ＋1，b n ＋1＝b n 1－4a 2n(n ∈N *)且点P 1的坐标为(1，－1)． (1)求过点P 1，P 2的直线l 的方程；(2)试用数学归纳法证明：对于n ∈N *，点P n 都在(1)中的直线l 上．解：(1)由P 1的坐标为(1，－1)知a 1＝1，b 1＝－1.∴b 2＝b 11－4a 21＝13，a 2＝a 1·b 2＝13， ∴点P 2的坐标为⎝⎛⎭⎫13，13.∴直线l 的方程为2x ＋y ＝1.(2)证明：①当n ＝1时，2a 1＋b 1＝2×1＋(－1)＝1成立．②假设n ＝k (k ∈N *，k ≥1)时，2a k ＋b k ＝1成立，则2a k ＋1＋b k ＋1＝2a k ·b k ＋1＋b k ＋1＝b k 1－4a 2k (2a k ＋1)＝b k 1－2a k ＝1－2a k 1－2a k＝1. ∴当n ＝k ＋1时，命题也成立．由①②知，对n ∈N *，都有2a n ＋b n ＝1，即点P n 在直线l 上．4.已知f (n )＝1＋12＋13＋ (1)(n ∈N *)，g (n )＝2(n ＋1－1)(n ∈N *)． (1)当n ＝1，2，3时，分别比较f (n )与g (n )的大小(直接给出结论)；(2)由(1)猜想f (n )与g (n )的大小关系，并证明你的结论．解：(1)当n ＝1时，f (1)＝1，g (1)＝2(2－1)，f (1)>g (1)，当n ＝2时，f (2)＝1＋12，g (2)＝2(3－1)，f (2)>g (2)， 当n ＝3时，f (3)＝1＋12＋13，g (3)＝2，f (3)>g (3)． (2)猜想：f (n )>g (n )(n ∈N *)，即1＋12＋13＋ (1)>2(n ＋1－1)(n ∈N *)． 下面用数学归纳法证明：①当n ＝1时，上面已证．②假设当n ＝k 时，猜想成立，即1＋12＋13＋ (1)>2(k ＋1－1)， 则当n ＝k ＋1时，f (k ＋1)＝1＋12＋13＋…＋1k ＋1k ＋1>2(k ＋1－1)＋1k ＋1＝2k ＋1＋1k ＋1－2. 而g (k ＋1)＝2(k ＋2－1)＝2k ＋2－2，下面转化为证明：2k ＋1＋1k ＋1>2k ＋2， 只要证：2(k ＋1)＋1＝2k ＋3>2（k ＋2）（k ＋1），需证：(2k ＋3)2>4(k ＋2)(k ＋1)，即证：4k 2＋12k ＋9>4k 2＋12k ＋8，此式显然成立．所以，当n ＝k ＋1时猜想也成立．由①②可知：对n ∈N *，猜想都成立， 即1＋12＋13＋ (1)>2(n ＋1－1)(n ∈N *)成立．。
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学选修2-2 2.3 数学归纳法》
数学归纳法（1）苏州市第三中学 夏正华教学目标：1理解数学归纳法的概念，掌握数学归纳法的证明步骤．2通过数学归纳法的学习，体会用不完全归纳法发现规律，用数学归纳法证明规律的途径．掌握从特殊到一般是应用的一种主要思想方法．教学重点：掌握数学归纳法的原理及证明问题的方法．教学难点：能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．活动一：情境引入,给出定义和操作步骤一、情景引入：老师：前面我们用归纳法得到许多结论，如等差数列{n a }的通项公式1(1)n a a n d =+-；自然数平方和公式2222(1)(21)1236n n n n ++++++=这些命题都与自然数有关，自然数有无限个，我们无法对所有的自然数逐一验证，那么问题：能否依据归纳法的特征来证明这些与自然数有关的命题呢？我们今天一起来研究这个内容老师：大家用归纳法来求一个数列的通项公式问题：已知数列{n a }，1a ＝1，且11n n na a a ＋＝＋（n ＝1，2，3…），计算2a ，3a ,4a ，猜想n a 学生：212a =，313a =，414a =，1n a n= 老师：我们用3次计算猜出了通项公式，后面的没有验证怎么能够保证通项公式一定正确呢？这里用了不完全归纳，由有限项归纳出无限项，这未必可靠，如何解决这个问题呢？我们不能用前面学习过的完全归纳法来解决，我们生命是有限的。
问题：能否寻找到一种方法，通过有限步骤的推理，替代无限的逐个验证呢？老师：我们一起来回顾找到通项公式的过程12a a ⎛⎫ ⎪⇓ ⎪ ⎪⎝⎭23a a ⎛⎫ ⎪⇓ ⎪ ⎪⎝⎭34a a ⎛⎫ ⎪⇓ ⎪ ⎪⎝⎭… 老师：不想一直写下去。
观察推理结构特征，能否得出一般的推理形式呢？学生：若能由1k a k =推出111k a k +=+即可 老师：这样就解决了无穷的问题老师：大家说对吗？很多学生有疑惑，没关系。
刚才从数的角度理解有困难，找形来帮忙把。
游戏：播放多米诺骨牌视频播放视频：多米诺骨牌（正常）问题：同学们眼神都很惊诧，你在惊诧什么呢？学生：第一块骨牌倒下后，其它的都倒下了。
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1．数列1,1＋3,1＋3＋5,1＋3＋5＋7，…的一个通项公式为________．
2．用数学归纳法证明不等式2n＞n2成立时，n应取的第一个值为________．
3．用数学归纳法证明不等式n3＋1≥4n＋1时，n所取的第一个值n0为__________．
4．用数学归纳法证明“1＋1
2
＋
1
3
＋…＋
1
21
n-
＜n(n∈N*，且n＞1)”时，由n＝k(k
＞1)不等式成立，推证n＝k＋1时，左边应增加的项数是________．
5．凸n边形有f(n)条对角线，则凸n＋1边形的对角线条数f(n＋1)与f(n)之间的关系为．6．用数学归纳法证明2n＋1≥n2＋n＋2(n∈N)时，第一步的验证为____________________．7．已知x＞－1且x≠0，n∈N*，且n≥2，
求证：(1＋x)n＞1＋nx.
8．用数学归纳法证明：1＋5＋9＋13＋…＋(4n－3)＝2n2－n.
9．求证：a n＋1＋(a＋1)2n－1能被a2＋a＋1整除，n∈N*.
10．已知函数()
3
1 x
f x
x +
=
+
(x≥0)．设数列{a n}满足a1＝1，a n＋1＝f(a n)，数列{b n}满足
b n＝|a n，用数学归纳法证明
n
b≤
参考答案
1答案：n2
2答案：5
3答案：2
4答案：2k解析：增加的项数为(2k＋1－1)－(2k－1)＝2k.
5答案：f(n＋1)＝f(n)＋n－1解析：如图，设凸n＋1边形为A1A2…A n A n＋1，连结A1A n，则凸n＋1边形的对角线是由凸n边形A1A2…A n的对角线加上A1A n，再加上从A n＋1点出发的n－2条对角线，即f(n＋1)＝f(n)＋1＋n－2＝f(n)＋n－1.
6答案：当n＝0时，20＋1＝2≥02＋0＋2＝2，结论成立
7答案：证明：(1)当n＝2时，左边＝(1＋x)2＝1＋2x＋x2，
∵x≠0，∴1＋2x＋x2＞1＋2x.
∴左边＞右边，不等式成立.
(2)假设当n＝k时，不等式成立，即(1＋x)k＞1＋kx成立，则当n＝k＋1时，左边＝(1＋x)k＋1＝(1＋x)k(1＋x).
∵x＞－1，∴1＋x＞0.
∴(1＋x)k(1＋x)＞(1＋kx)(1＋x)＝1＋(k＋1)x＋kx2.
∵x≠0，∴1＋(k＋1)x＋kx2＞1＋(k＋1)x.
∴(1＋x)k＋1＞1＋(k＋1)x成立，
即当n＝k＋1时不等式成立.
由(1)(2)可知，不等式对于所有的n≥2的正整数都成立.
8答案：证明：(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝1，命题成立.
(2)假设n＝k(k≥1)时，命题成立，
即1＋5＋9＋13＋…＋(4k－3)＝2k2－k.
则当n＝k＋1时，
1＋5＋9＋13＋…＋(4k－3)＋(4k＋1)
＝2k2－k＋(4k＋1)
＝2k2＋3k＋1＝2(k＋1)2－(k＋1).
∴当n＝k＋1时，命题成立.
综上所述，原命题成立.
9答案：证明：(1)当n＝1时，a1＋1＋(a＋1)2×1－1＝a2＋a＋1，命题显然成立.
(2)假设n＝k时，a k＋1＋(a＋1)2k－1能被a2＋a＋1整除，则当n＝k＋1时，
a k＋2＋(a＋1)2k＋1＝a·a k＋1＋(a＋1)2·(a＋1)2k－1
＝a＋(a＋1)2(a＋1)2k－1－a (a＋1)2k－1＝a＋(a2＋a＋1)(a＋1)2k－1.
由归纳假设知，上式中的两部分均能被a2＋a＋1整除，故n＝k＋1时命题成立. 根据(1)(2)知，对任意n∈N*，命题成立.
10答案：证明：当x≥0时，f(x)＝1＋
2
1
x+
＞1.
因为a1＝1，所以a n≥1(n∈N*).
下面用数学归纳法证明不等式
n
b≤
(1)当n＝1时，b1
－1，不等式成立.
(2)假设当n＝k(k≥1)时，不等式成立，
即
k
b≤，
那么b k＋1＝|a k＋1
|
k
≤≤
所以，当n＝k＋1时，不等式也成立.
根据(1)和(2)，可知不等式对任意n∈N*都成立.。