湖南大学 数学物理方程2-5
数学物理方程_谷超豪_第二章答案
数学物理方程谷超豪第二章答案1. 引言本文档是《数学物理方程》一书中第二章的答案。
该章节主要涵盖了偏微分方程的分类和解法。
在本文中，我们将解答课后习题和深入讨论相关概念，以帮助读者更好地理解和应用这些知识。
2. 偏微分方程的分类在第二章中，我们学习了偏微分方程的分类方法。
根据方程中未知函数的阶数和自变量的个数，偏微分方程可以分为以下几类：1.一阶偏微分方程：只涉及一阶导数的方程，如线性一阶波动方程和拟线性一阶方程等。
2.二阶偏微分方程：涉及二阶导数的方程，如线性二阶波动方程和拉普拉斯方程等。
3.高阶偏微分方程：涉及高阶导数的方程，如线性高阶波动方程和椭圆方程等。
根据自变量的个数，偏微分方程还可以分为以下两类：1.单自变量偏微分方程：只含有一个自变量的方程，如一维波动方程和一维热传导方程。
2.多自变量偏微分方程：含有多个自变量的方程，如二维波动方程和三维热传导方程。
3. 课后习题答案3.1 第一题题目：求解一维波动方程 $\\frac{\\partial^2 u}{\\partial t^2} = c^2 \\frac{\\partial^2 u}{\\partial x^2}$，其中c为常数。
解答：我们可以使用分离变量法求解这个一维波动方程。
首先，假设c=c(c)c(c)，代入原方程得到：$$\\frac{T''(t)}{c^2T(t)} = \\frac{X''(x)}{X(x)}$$两边同时等于一个常数 $-\\lambda^2$，即：$$\\begin{cases} T''(t) + \\lambda^2 c^2 T(t) = 0 \\\\ X''(x) + \\lambda^2 X(x) = 0 \\end{cases}$$解这个常微分方程得到：$$\\begin{cases} T(t) = A\\cos(\\lambda c t) +B\\sin(\\lambda c t) \\\\ X(x) = C\\cos(\\lambda x) +D\\sin(\\lambda x) \\end{cases}$$其中c,c,c,c都是常数。
数学物理方程第三版(谷超豪)答案
2u
t 2 u
xa
t0
a2 2u x 2
(x)
u xat0 (x).
(0) (0)
数学物理方程答案
解：u(x,t)=F(x-at)+G(x+at)
令 x-at=0 得 (x) =F（0）+G（2x）
令 x+at=0 得 (x) =F（2x）+G(0)
所以 且
F(x)= ( x ) -G(0). 2
于是得 所以
CLa2 1 0
2CLt CR LGt 0 CLt CR LGt GRt 0
1 CL
a2
u t ut
a2 2
CR
LG
a2 CRLG t
u t c0e 2
数学物理方程答案
代入以上方程组中最后一个方程，得
CL a4 CR LG2 a2 CR LG2 GR 0
的通解可以写成
u Fx at Gx at
hx
其中 F,G 为任意的单变量可微函数,并由此求解它的初值问题:
t 0 : u x, u x.
t
解：令 h xu v 则
h x u u v ,h x2 u h xu v
x
x
x
x
[(h x)2 u (u v) (h x) u (h x)2 u (h x)(u 2v )
G（x）= ( x ) -F(0). 2
F（0）+G(0)=(0) (0).
所以
u(x,t)= ( x at ) + ( x at ) -(0).
2
2
即为古尔沙问题的解。
4．对非齐次波动方程的初值问题
证明：
2u
t
数学物理方程答案谷超豪
数学物理方程答案谷超豪【篇一：数学物理方程第二版答案(平时课后习题作业)】>第一章．波动方程1 方程的导出。
定解条件4. 绝对柔软逐条而均匀的弦线有一端固定，在它本身重力作用下，此线处于铅垂平衡位置，试导出此线的微小横振动方程。
解：如图2，设弦长为l，弦的线密度为?，则x点处的张力t(x)为t(x)??g(l?x)且t(x)的方向总是沿着弦在x点处的切线方向。
仍以u(x,t)表示弦上各点在时刻t沿垂直于x轴方向的位移，取弦段(x,x??x),则弦段两端张力在u轴方向的投影分别为?g(l?x)sin?(x);?g(l?(x??x))sin?(x??x)其中?(x)表示t(x)方向与x轴的夹角又sin??tg??于是得运动方程?u ?x.?u?2u?u??x2?[l?(x??x)]∣x??x?g?[l?x]∣?g?xx?x?t利用微分中值定理，消去?x，再令?x?0得?2u??u?g[(l?x)]。
?x?x?t25. 验证u(x,y,t)?1t2?x2?y2在锥t?x?y0中都满足波动方程222?2u?2u?2u1222证：函数在锥0内对变量t?x?y??u(x,y,t)?222222?t?x?y?x?yx,y,t有二阶连续偏导数。
且232?u??(t2?x2?y2)?t??t35??u(t2?x2?y2)2?3(t2?x2?y2)2?t22?t?(t2?x2?y2)?32?(2t2?x2?y2)?u?(t2?x2?y2)?x?32?x?2u?x2?t?x?22352?2222?22?y?3t?x?yx??????52??u同理 ??t2?x2?y2?2?t2?x2?2y2?2?y所以即得所证。
2 达朗贝尔公式、波的传抪3.利用传播波法，求解波动方程的特征问题（又称古尔沙问题） 2??2u2?u?2?a2t?x??ux?at?0??(x) ??(0)??(0)? ?u??(x).?x?at?0?5??t2?x2?y22t2?2x2?y2??2u?x2?2u?y2?t?x??225?y22??2t2?x?y22???t2.?2u解：u(x,t)=f(x-at)+g(x+at) 令 x-at=0 得 ?(x)=f（0）+g（2x）令x+at=0 得 ?(x)=f（2x）+g(0) 所以 f(x)=?()-g(0). g（x）=?()-f(0). 且 f（0）+g(0)=?(0)??(0). 所以 u(x,t)=?(x2x2x?atx?at)+?()-?(0). 22即为古尔沙问题的解。
数学物理方程 2-3章课后部分习题答案 李明奇主编 电子科技大学出版社
数学物理方程 李明奇主编 电子科技大学出版社2-3章部分习题答案习题2.14.一根长为L 、截面面积为1的均匀细杆，其x=0端固定，以槌水平击其x=L 端，使之获得冲量I 。
试写出定解问题。
解：由Newton 定律： tt x x Sdxu t x YSu t dx x SYu ρ=-+),(),(，其中，Y 为杨氏模量，S 为均匀细杆的横截面积，x u 为相对伸长率。
化简之后，可以得到定解问题为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==========)(|,0|0|,0|)/(0002L x Iu u u u u a u Y u t t t L x x x xx xx tt δρρ。
习题2.23.设物体表面的绝对温度为u ，它向外辐射出去的热量，按斯特凡-波尔兹曼定律正比于4u ，即dSdt ku dQ 4=，设物体与周围介质之间，只有热辐射而无热传导，周围介质的绝对温度为已知函数),,,(t z y x ϕ，。
试写出边界条件。
解：由Fourier 热传导实验定律dSdt nuk dQ ∂∂-=1，其中1k 称为热传导系数。
可得dSdt u k dSdt nuk )(441ϕ-=∂∂-，即可得边界条件：)(441ϕ--=∂∂u k k nus。
习题2.34.由静电场Gauss 定理⎰⎰⎰⎰⎰⋅=⋅VsdV dS E ρε01，求证：0ερ=⋅∇E ，并由此导出静电势u 所满足的Poisson 方程。
证明：⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⋅=⋅=⋅VVsdV dV divE dS E ρε01，所以可以得到：0ερ=divE 。
由E divE ⋅∇=与u E -∇=，可得静电势u 所满足的Poisson 方程：2ερ-=∇u 。
习题2.42.求下列方程的通解：（2）：;032=-+yy xy xx u u u （5）：;031616=++yy xy xx u u u解：（2）：特征方程：03)(2)(2=--dx dy dx dy解得：1-=dx dy 和3=dxdy。
数学物理方程-习题讲解汇总
又杆的初始温度分布为
u
t=0 =
x(l − 2
x) .
2
，所以
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故相应的定解问题为
ut = a2uxx , 0 < x < l, t > 0.
u x=0 = 0,
ux x=l = q . k
u
t=0 =
x(l − 2
x) .
习题一、2
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长为 l 的弦两端固定，开始时在 x = c 处受到冲
)
=
Bk
sin
kπ α
θ
,
kπ
Rk (ρ) = ck ρ α k = 1, 2,L.
1 ρ
∂
∂ρ
ρ
∂u
∂ρ
+
1
ρ2
∂2u
∂θ 2
=
0,
（1）
u θ =0 = u θ =α = 0, u ρ=a = f (θ) u(0,θ) < +∞,
（2） （3） （4）
于是得方程（1）适合条件（2）（4）的一组特解
∞
u(x,t) = ∑uk (x,t)
k =0
∑ =
∞
Ck
e−
akπ l
2 t
cos
kπ
x
k =0
l
仍满足方程（1）与条件（2）。
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又由条件（3），得
∑∞ Ck cos kπ x = x, ⇒
k =0
l
l , k = 0,
Ck
2
= ∫2 l x cos kπ xdx,
l0
l
故原定解问题的解为
情况。
数学物理方程与特殊函数第五版王元明课后答案
数学物理方程与特殊函数第五版王元明课后答案1.设f(x)=x3+bx+c是[-1,1]上的增函数，且f(-12)f(12)<0，则方程f(x)=0在[-1,1]内( )a.可能将存有3个实数根b.可能将存有2个实数根c.有唯一的实数根d.没有实数根解析：由f -12f 12<0得f(x)在-12，12内有零点，又f(x)在[-1,1]上以增函数，∴f(x)在[-1,1]上只有一个零点，即方程f(x)=0在[-1,1]上有唯一的实根.答案：c2.(长沙模拟)已知函数f(x)的图象是连续不断的，x、f(x)的对应关系如下表：x 1 2 3 4 5 6f(x) .13 15. -3.92 10.88 -52. -.则函数f(x)存有零点的区间存有( )a.区间[1,2]和[2,3]b.区间[2,3]和[3,4]c.区间[2,3]、[3,4]和[4,5]d.区间[3,4]、[4,5]和[5,6]解析：∵f(2)与f(3)，f(3)与f(4)，f(4)与f(5)异号，∴f(x)在区间[2,3]，[3,4]，[4,5]上都存在零点.答案：c3.若a>1，设函数f(x)=ax+x-4的零点为m，g(x)=logax+x-4的零点为n，则1m+1n的取值范围是( )a.(3.5，+∞)b.(1，+∞)c.(4，+∞)d.(4.5，+∞)解析：令ax+x-4=0得ax=-x+4，令logax+x-4=0得logax=-x+4，在同一坐标系中画出来函数y=ax，y=logax，y=-x+4的图象，融合图形所述，n+m为直线y=x与y=-x+4的交点的横坐标的`2倍，由y=xy=-x+4，Champsaurx=2，所以n+m=4，因为(n+m)1n+1m=1+1+mn+nm≥4，又n≠m，故(n+m)1n+1m>4，则1n+1m>1.答案：b4.(昌平演示)未知函数f(x)=ln x，则函数g(x)=f(x)-f′(x)的零点所在的区间就是( )a.(0,1)b.(1,2)c.(2,3)d.(3,4)答案：b答案：(0,1)。
数学物理方程课后参考答案第一章
第一章． 波动方程§1 方程的导出。
定解条件1．细杆（或弹簧）受某种外界原因而产生纵向振动，以u(x,t)表示静止时在x 点处的点在时刻t 离开原来位置的偏移，假设振动过程发生的张力服从虎克定律，试证明),(t x u 满足方程()⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂x u E x t u x t ρ其中ρ为杆的密度，E 为杨氏模量。
证：在杆上任取一段，其中两端于静止时的坐标分别为 x 与+x x ∆。
现在计算这段杆在时刻t 的相对伸长。
在时刻t 这段杆两端的坐标分别为：),();,(t x x u x x t x u x ∆++∆++其相对伸长等于 ),()],([)],([t x x u xxt x u x t x x u x x x ∆+=∆∆-+-∆++∆+θ令0→∆x ，取极限得在点x 的相对伸长为x u ),(t x 。
由虎克定律，张力),(t x T 等于),()(),(t x u x E t x T x =其中)(x E 是在点x 的杨氏模量。
设杆的横截面面积为),(x S 则作用在杆段),(x x x ∆+两端的力分别为x u x S x E )()(x u x x S x x E t x )()();,(∆+∆+).,(t x x ∆+于是得运动方程tt u x x s x ⋅∆⋅)()(ρx ESu t x =),(x x x x x ESu x x |)(|)(-∆+∆+利用微分中值定理，消去x ∆，再令0→∆x 得tt u x s x )()(ρx∂∂=x ESu () 若=)(x s 常量，则得22)(tu x ∂∂ρ=))((x u x E x ∂∂∂∂即得所证。
2．在杆纵向振动时，假设(1)端点固定，(2)端点自由，(3)端点固定在弹性支承上，试分别导出这三种情况下所对应的边界条件。
解：(1)杆的两端被固定在l x x ==,0两点则相应的边界条件为 .0),(,0),0(==t l u t u(2)若l x =为自由端，则杆在l x =的张力x ux E t l T ∂∂=)(),(|lx =等于零，因此相应的边界条件为x u∂∂|lx ==0 同理，若0=x 为自由端，则相应的边界条件为xu∂∂∣00==x (3)若l x =端固定在弹性支承上，而弹性支承固定于某点，且该点离开原来位置的偏移由函数)(t v 给出，则在l x =端支承的伸长为)(),(t v t l u -。
湖南大学大学数学2第三版答案
湖南大学大学数学2第三版答案在湖南大学学习数学2课程时，掌握准确的答案是非常重要的。
本文将针对湖南大学大学数学2第三版教材，提供相应的答案和解析，以帮助同学们更好地完成课程作业和复习备考。
第一章：函数与极限1. 求下列函数的定义域：a) f(x) = √(5 - x^2)b) g(x) = log(x + 2)c) h(x) = sin(1/x)2. 计算下列极限：a) lim(x→0) (sin2x / x^2)b) lim(x→∞) (x - 2x^2) / (3x + 4)3. 求函数的导数：a) f(x) = 3x^2 - 2x + 1b) g(x) = e^x + ln(x^2)第二章：导数与微分1. 求函数的导数：a) f(x) = 2x^3 - 5x^2 + 3x - 1b) g(x) = sin(x^2) + cos^2(x)2. 计算下列函数的微分：a) f(x) = 3x^2 - 2x + 1b) g(x) = ln(x^2 + 1)3. 求函数的高阶导数：a) f(x) = e^x + sin(x)b) g(x) = ln(x^3 + 1)第三章：不定积分1. 求下列函数的不定积分：a) ∫(x^3 - 2x^2 + 3x - 1)dxb) ∫(e^x + sin(x))dx2. 计算下列定积分：a) ∫[0, 1] (2x + 1)dxb) ∫[0, π/4] (sin(x) + cos(x))dx3. 应用不定积分求解下列问题：a) 求曲线y = x^2 - 2x + 1与x轴所围成的面积。
b) 求函数f(x) = 1/x在区间[1, 2]上的平均值。
第四章：定积分与曲线长度1. 求下列函数的定积分：a) ∫[0, 1] (3x^2 - 2x + 1)dxb) ∫[0, 2π] (sin^2(x) + cos^2(x))dx2. 计算曲线的弧长：a) 曲线y = e^x, 0 ≤ x ≤ 1的弧长。
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1.材料力学或结构力学
2.土力学与基础工程或混凝土结构设计原理
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《材料力学》孙训方等编,高等教育出版社
《结构力学》龙驭球、包世华编,高等教育出版社
《土力学地基基础》陈希哲主编,清华大学出版社
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《结构力学》龙驭球、包世华编,高等教育出版社
《公共建筑设计原理》张文忠,中国建筑工业出版
《土力学地基基础》陈希哲主编,清华大学出版社
《混凝土结构设计原理》东南大学、天津大学、同济大学、合编,中国建筑工业出版社
重要的当代建筑师及其作品资料
010
纺织学院
082101
2、《C/C++程序设计教程》，郑秋生著，电子工业出版社20XX.9
081203
计算机应用技术
1.C++程序设计
2.数据库编程
2、数据库编程
1.《C/C++程序设计教程》,郑秋生著,电子工业出版社20XX.9
2.不指定教材
2、不指定教材
008
能源与环境学院
081404
供热、供燃气、通风及空调工程
暖通空调
1.设计理论
《世界现代设计史》王受之编著,中国青年出版社
2.设计表现
《木马工业设计实践》丁伟著,北京理工大学出版社；《工业设计内涵、思维、创意》何颂飞著,中国青年出版社
005
材料与化工学院
080501
材料物理与化学
材料现代测试技术
《材料现代分析方法》左演声,北京工业大学出版社, 20XX
1.无机化学
数学物理方程课后参考答案第四章
第四章 二阶线性偏微分方程的分类与总结§1 二阶方程的分类1． 证明两个自变量的二阶线性方程经过可逆变换后它的类型不会改变，也就是说，经可逆变换后2211212a a a -=∆的符号不变。
证：因两个自变量的二阶线性方程一般形式为fcu u b u b u a u a u a y x yy xy xx =+++++212212112经可逆变换 ⎩⎨⎧==),(),(y x y x ηηξξ 0),(),(≠y x D D ηξ化为 f u c u b u a u a u a =++++ηηηξηξξ22212112其中 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=+++=++=22212211222212111222212211112)(2y y x x y y x y y x x x y y x x a a a a a a a a a a a a ηηηηηξηξηξηξξξξξ所以 y x y x y x y x x y yx a a a aa a aηηξξηηξξηξηξ2211112222122221112222)(+-+=-=∆22221112222222211),(),())(()(⎥⎦⎤⎢⎣⎡∆=--=+-y x D D a a aa a x y y x y x y x ηξηξηξηξξη因0),(),(2>⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x D D ηξ，故∆与∆同号，即类型不变。
2． 判定下述方程的类型（1）022=-yy xx u y u x （2）0)(2=++yy xx u y x u （3）0=+yyxx xyuu（4）)010001(sgn 0sgn 2sgn ⎪⎩⎪⎨⎧<-=>==++x x x x xuu yu yyxy xx(5) 0424=+++-zz yy xz xy xx u u u u u 解：(1)022=-yy xx u y u x因 022>=∆y x 当0,0≠≠y x 时0,0=>∆x 或0=y 时0=∆。
湖南大学大学物理练习册答案(一、二两册全)
大学物理（一）练习册 参考解答第1章 质点运动学一、选择题1(D)，2(D)，3(B)，4(D)，5(D)，6(D)，7(D)，8(D )，9(B)，10(B)， 二、填空题(1). sin 2t A ωω，()π+1221n (n = 0,1,… ),(2). 8 m ，10 m. (3). 23 m/s.(4). 16Rt 2 ，4 rad /s 2(5). 4t 3-3t 2 (rad/s)，12t 2-6t (m/s 2). (6).331ct ，2ct ，c 2t 4/R .(7). 2.24 m/s 2，104o(8). )5cos 5sin (50j t i t+-m/s ，0，圆. (9). h 1v /(h 1-h 2) (10). 0321=++v v v三、计算题1. 有一质点沿x 轴作直线运动，t 时刻的坐标为x = 4.5 t 2 – 2 t 3 (SI) ．试求：(1) 第2秒内的平均速度； (2) 第2秒末的瞬时速度；(3) 第2秒内的路程．解：(1) 5.0/-==∆∆t x v m/s(2) v = d x /d t = 9t - 6t 2, v (2) =-6 m/s. (3) S = |x (1.5)-x (1)| + |x (2)-x (1.5)| = 2.25 m.2. 一质点沿x 轴运动，其加速度为a = 4t (SI)，已知t = 0时，质点位于x 0=10 m 处，初速度v 0 = 0．试求其位置和时间的关系式．解： =a d v /d t 4=t ， d v 4=t d t⎰⎰=vv 0d 4d tt t v = 2t 2v d =x /d t 2=t 2t t x txx d 2d 02⎰⎰=x 2= t 3 /3+x 0 (SI)3. 质点沿x 轴运动，其加速度a 与位置坐标x 的关系为 a ＝2＋6 x 2(SI)，如果质点在原点处的速度为零，试求其在任意位置处的速度．解：设质点在x 处的速度为v ，62d d d d d d 2x tx xta +=⋅==v v()x x xd 62d 02⎰⎰+=v v v() 2 213 x x +=v4. 一物体悬挂在弹簧上作竖直振动，其加速度为-=a ky ，式中k 为常量，y 是以平衡位置为原点所测得的坐标. 假定振动的物体在坐标y 0处的速度为v 0，试求速度v 与坐标y 的函数关系式．解： yt yy t a d d d d d d d d vvv v===又 -=a ky ∴ -k =y v d v / d y⎰⎰+=-=-C kyy ky 222121, d d vv v已知 =y y 0 ，=v v 0 则 20202121ky C --=v)(220202y y k -+=v v5. 一质点沿半径为R 的圆周运动．质点所经过的弧长与时间的关系为221ct bt S += 其中b 、c 是大于零的常量，求从0=t 开始到切向加速度与法向加速度大小相等时所经历的时间．解： ct b t S +==d /d v c t a t ==d /d v ()R ct b a n /2+=根据题意： a t = a n 即 ()R ct b c /2+=解得 cb cR t -=6. 如图所示，质点P 在水平面内沿一半径为R =2 m 的圆轨道转动．转动的角速度ω与时间t 的函数关系为2kt =ω (k 为常量)．已知s t 2=时，质点P 的速度值为32 m/s ．试求1=t s 时，质点P 的速度与加速度的大小．解：根据已知条件确定常量k()222/rad 4//sRttk ===v ω24t =ω, 24Rt R ==ωvs t 1=时， v = 4Rt 2= 8 m/s2s /168/m Rt dt d a t ===v 22s /32/m R a n ==v()8.352/122=+=n t a a a m/s 27. (1)对于在xy 平面内，以原点O 为圆心作匀速圆周运动的质点，试用半径r 、角速度ω和单位矢量i、j 表示其t 时刻的位置矢量．已知在t = 0时，y = 0, x = r , 角速度ω如图所示；(2)由(1)导出速度 v与加速度 a的矢量表示式； (3)试证加速度指向圆心．解：(1) j t r i t r j y i x rs i n c o s ωω+=+=(2) j t r i t r t rc o s s i nd d ωωωω+-==v j t r i t r tas i n c o s d d 22ωωωω--==v (3) ()r j t r i t r a s i n c o s 22ωωωω-=+-=这说明 a 与 r 方向相反，即a指向圆心8. 一飞机驾驶员想往正北方向航行，而风以60 km/h 的速度由东向西刮来，如果飞机的航速（在静止空气中的速率）为 180 km/h ，试问驾驶员应取什么航向？飞机相对于地面的速率为多少？试用矢量图说明．解：设下标A 指飞机，F 指空气，E 指地面，由题可知：v FE =60 km/h 正西方向 v AF =180 km/h 方向未知v AE 大小未知， 正北方向由相对速度关系有： FE AF AE v v v +=AE v 、 AF v 、EE v 构成直角三角形，可得 ()()k m /h 17022v v v =-=FEAFAE() 4.19/tg1==-AEFEv v θ（飞机应取向北偏东19.4︒的航向）．西北θFEv vAF v vAEvv四 研讨题1. 在下列各图中质点M 作曲线运动，指出哪些运动是不可能的？参考解答：(1)、(3)、(4)是不可能的．(1) 曲线运动有法向加速度，加速度不可能为零；(3) 曲线运动法向加速度要指向曲率圆心； (4) 曲线运动法向加速度不可能为零.2. 设质点的运动方程为)(t x x =，)(t y y =在计算质点的速度和加速度时： 第一种方法是，先求出22yx r +=，然后根据 td d r =v 及 22d d tr a =而求得结果；第二种方法是，先计算速度和加速度的分量，再合成求得结果，即 22)d d ()d d (ty t x +=v 和 222222)d d ()d d (ty tx a +=.你认为两种方法中哪种方法正确？参考解答：第二种方法是正确的。
数学物理方程 教学课件
数学物理方程
初边值问题（混合问题）：既有初始条件，又有边 界条件；
初始问题（Cauchy问题）：只含初始条件； 边值问题：只含边界条件。
从数学角度，主要研究定解问题的三个性质： ① 解的存在性 定解问题至少存在一个解； ② 解的唯一性 定解问题至多有一个解； ③ 解的稳定性 定解问题的解对定解条件或方程 中的参数等的连续依赖性。 适定：定解问题的解存在、唯一、稳定。
数学物理方程
线性方程：方程中关于未知函数及其偏导数都是一 次的；
拟线性方程：方程不是线性的，但其最高阶导数仍 是一次的；
非线性方程：除了线性、拟线性方程之外的方程。
k 阶偏微分方程的一般形式
数学物理方程
经典解（古典解）：
在 中有定义且k
次连续可微，代入方程能使其在 中恒成立。
例1. 求二阶线性偏微分方程的解
解：固定 ，对方程两边关于 积分，得
再固定 ，对其两边关于 积分，得到方程的解为
其中
是任意的可微函数。
数学物理方程
定解条件：对微分方程所表征的物理量附加的一些 特定条件。
1. 初始条件：关于初始时间的物理量限制条件； 2. 边界条件：关于区域边界上的物理量限制条件。 定解问题：寻求方程满足定解条件的解的问题。
微分方程系列课程之
数学物理方程
数学物理方程
数学物理方程
课程主要内容：
1. 典型方程的推导和常用建模方法； 2. 定解问题解的性质（存在性、唯一性和稳定
性）； 3. 数理方程的应用举例。
第一章 绪论
数学物理方程
§1.1 偏微分方程及基本概念
偏微分方程：含有多元未知函数及其偏导数的等式。
பைடு நூலகம்
阶：方程中关于未知函数的最高阶偏导数的阶数。
数学物理方程
二、定解问题
1.初值问题（Cauchy问题） 只有泛定方程和初始条件的定解问题。 2.边值问题 泛定方程加上边界条件的定解问题。 注意：位势方程只有边值问题（位势方程与时间无关，所 以不提初始条件）。 3.混合问题 既有初始条件又有边界条件的定解问题。
三、叠加原理
原理： 线性方程的解可以分解成几个部分的线性叠加， 只要这些部分各自满足的方程的相应的线性叠加 正好是原来的方程 如：L u1 = f1 L u2 = f2 则：L (au1+ bu2)= af1 + bf2
数学物理方程
第一章方程的一般概念
第一节方程的基本概念
定义：一个含有多元未知函数及其偏导数的方程，称为 偏微分方程。
一般形式：
F ( x1 , x2 ,
, xn , u, ux , ux ,
1 2
, uxn , ux x
1 1
,
)0
以及
其中u 为多元未知函数，F是 x1 , x2 , u的有限个偏导数的已知函数。
这样方程变为
u ( x dx, t ) u ( x, t ) FT { } F ( x, t )dx dxutt , x x FT F ( x, t ) 2 令a , f ( x, t ) ,
则
utt a uxx f ( x, t )
2
为一维波动方程。
其中A,B,C,D都是 , 的已知函数。 (2)当 0 时，特征线 ( x, y) c. 令 ( x, y), ( x, y).
其中 ( x, y)是与 ( x, y)线性无关的任意函数，这样以 , 为新变量方程(1)化为标准形 u Au Bu Cu D, 其中A,B,C,D都是 , 的已知函数。 (3)当 0 时，令 1 ( ), 1 ( ). 以 , 为新
数学物理方程(谷超豪)课后习题完整解答
E
, 则得方程
所以 为原方程的通解。 由初始条件得
u
F x at G x at h x
1.
§2 达朗贝尔公式、 波的传抪 证明方程
2 2 x u 1 x 2 u h 0常数 1 1 2 2 h x h x a t
又
2 2v h x u t 2 t 2
所以
u ( x, t )
1 [(h x at ) ( x at ) (h x at ) ( x at )] 2(h x)
+
x at 1 (h ) ( )d . 2a(h x) x at
即对任何 x, G(x) C 0 又 G（x）=
1 1 x C ( x) ( )d x 2 2a 0 2a
x 2 ]的影响区域以外不发生变化；
（2） 在 x 轴区间[ x1 , x 2 ]上所给的初始条件唯一地确定区间[ x1 , x 2 ]的决定区 域中解的数值。 证： （1） 非齐次方程初值问题的解为 u(x,t)= [ ( x at ) ( x at )]
其相对伸长等于 令
[ x x u ( x x, t )] [ x u ( x, t )] x u x ( x x, t ) x
E
u ∣ x l k[u (l , t ) v(t )] x u u ) ∣ x l f (t ) x
代入原方程，得
x s x
若 s ( x) 常数，则得
u u 2u . b x s x ES 2 t x x t
数学物理方程答案(全)
化简之后，可以得到定解问题为
utt (Y / )uxx a2uxx u |x0 0,ux |xL 0
u
|t 0
0, ut
|t 0
I
(x
L)
5.高频传输线，原点端施以电动势 E，另一端接地，初始电流为(x) ，电压为 (x) 。
试建立电压的定解问题。（忽略电阻和介质的电导）
Q3 c 4 r2drdu
Q3 Q1 Q2
c 4 r2drdu kur (r dr,t)4 (r dr)2 dt kur (r,t)4 r2dt
4
k
r
(r
2ur
)drdt
即
ut
k c
1 r2
r
(r2ur )
3.设物体表面的绝对温度为 u ，它向外辐射出去的热量，按斯特凡-波尔兹曼定 律正比于 u4 ，即 dQ ku4dSdt ，设物体与周围介质之间，只有热辐射而无热传
习题 2.4 1.判断下列方程的类型 (1) auxx 4auxy auyy bux cuy u 0 4a2 a2 0 ,双曲型 (2) auxx 2auxy auyy bux cuy u 0 a2 a2 0 ,抛物型 (3) 2auxx 2auxy auyy 2bux 2auy u 0 a2 2a2 0 ,椭圆型 (4) uxx xuxy 0
ut
k c
ux
2k1 cr
(u
u1 )
0
2.导出匀质且在每一个同心球上等温的孤立球体的热传导方程。
S1
S2
r r+dr
解： dt 时间内通过 S1 流入壳层的能量 Q1 kur (r,t)4 r2dt dt 时间内通过 S2 流入壳层的能量 Q2 kur (r dr,t)4 (r dr)2 dt dt 时间内壳层升高 du 所需的能量
数学物理方程谷超豪版第二章课后答案
第 二 章 热 传 导 方 程§1 热传导方程及其定解问题的提1. 一均匀细杆直径为l ，假设它在同一截面上的温度是相同的，杆的表面和周围介质发生热交换，服从于规律dsdt u u k dQ )(11-= 又假设杆的密度为ρ，比热为c ，热传导系数为k ，试导出此时温度u 满足的方程。
解：引坐标系：以杆的对称轴为x 轴，此时杆为温度),(t x u u =。
记杆的截面面积42l π为S 。
由假设，在任意时刻t 到t t ∆+内流入截面坐标为x 到x x ∆+一小段细杆的热量为t x s xu kt s xu kt s xukdQ xx x x ∆∆∂∂=∆∂∂-∆∂∂=∆+221 杆表面和周围介质发生热交换，可看作一个“被动”的热源。
由假设，在时刻t 到t t ∆+在截面为x 到x x ∆+一小段中产生的热量为()()t x s u u lk t x l u u k dQ ∆∆--=∆∆--=111124π 又在时刻t 到t t ∆+在截面为x 到x x ∆+这一小段内由于温度变化所需的热量为 ()()[]t x s tuc x s t x u t t x u c dQ t ∆∆∂∂=∆-∆+=ρρ,,3 由热量守恒原理得：()t x s u u lk t x s x ukt x s t u c x t ∆∆--∆∆∂∂=∆∆∂∂11224ρ 消去t x s ∆∆，再令0→∆x ，0→∆t 得精确的关系：()11224u u l kxu k t u c --∂∂=∂∂ρ或 ()()11222112244u u l c k xu a u u l c k x u c k t u --∂∂=--∂∂=∂∂ρρρ 其中 ρc k a =22. 试直接推导扩散过程所满足的微分方程。
解：在扩散介质中任取一闭曲面s ，其包围的区域 为Ω，则从时刻1t 到2t 流入此闭曲面的溶质，由dsdt nuDdM ∂∂-=，其中D 为扩散系数，得 ⎰⎰⎰∂∂=21t t sdsdt nuDM 浓度由u 变到2u 所需之溶质为()()[]⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩΩ∂∂=∂∂=-=2121121,,,,,,t t tt dvdt t uC dtdv t u C dxdydz t z y x u t z y x u C M两者应该相等，由奥、高公式得：⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ∂∂==⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=21211t t t t dvdt t uC M dvdt z uD z y u D y x u D x M 其中C 叫做孔积系数=孔隙体积。
数学物理方程第二版答案
的通解可以写成
u
F x at Gx at hx
其中 F,G 为任意的单变量可微函数,并由此求解它的初值问题:
t 0 : u x ,
解：令 h x u v 则
u x . t
v h x u u v , h x 2 u h x u x x x x
( ESu x ) x
利用微分中值定理，消去 x ，再令 x 0 得
若 s( x) 常量，则得
( x)
即得所证。
2u u = ( E ( x) ) 2 x x t
2．在杆纵向振动时，假设(1)端点固定，(2)端点自由， (3)端点固定在弹性支承上，试 分别导出这三种情况下所对应的边界条件。
2u u g [(l x) ] 。 2 x x t
5. 验证
u ( x, y , t )
1 t x y
2 2 2
在锥 t x y >0 中都满足波动方程
2 2 2
2u 2u 2u 1 2 2 2 在锥 t x y >0 内对变量 2 2 证：函数 u ( x, y, t ) 2 2 2 2 t x y t x y
t有
G(x+at) 常数.
即对任何 x, G(x) C 0 又 G（x）=
1 1 x C ( x) ( )d 2 2a x0 2a
所以 ( x), ( x) 应满足
( x)
或
1 x ( )d C1 （常数） a x0 1 ' (x)+ ( x) =0 a
( x) (1 ) 2
若 E ( x) E 为常量，则得
数学物理方法
数学物理方法Mathematical Methods in Physics课程编号：22189906 总学时：72学分：4课程性质：专业必修课课程内容：数学是物理学的表述语言。
复变函数论和数学物理方程是学习理论物理课程的重要的数学基础。
该课程包括复变函数论和数学物理方程两部分。
复变函数论部分介绍复变函数的微积分，级数展开，留数及其应用以及积分变换等内容。
数学物理方程部分包括物理学中常用的几种数学物理方程的导入、解数学物理方程的分离变量法、作为勒让德方程的解的勒让德多项式和作为贝塞尔方程的解的贝塞尔函数及其性质以及格林函数的基本知识。
该课程有着逻辑推理抽象严谨的特点，同时与物理以及工程又有着紧密的联系，是理工科学生必备的数学基础知识。
我们将把抽象的数学知识和在物理学中的应用结合起来，使学生不但能学习数学本身，同时还能提高学生运用所学数学知识解决实际问题的能力。
先修课程：高等数学参考书目：《数学物理方法》（陆全康、赵蕙芬编），第二版高等教育出版社《数学物理方法》（吴崇试）第二版，北京大学出版社力学和热学 (1)与(2)Mechanics and Thermal Physics (1) and (2)课程编号：22189936、22189937 总学时：28、72 学分：2、4课程性质：专业必修课课程内容：本课程由力学和热学两大部分组成。
力学和热学都是大学物理的基础部分，是物理学各门课程的重要基础课程。
力学的主要内容包括三方面：在牛顿力学方面，主要学习牛顿定律、动量定理和动量守恒定律、动能原理及机械能守恒定律；在刚体定轴转动方面，主要学习转动定律和角动量守恒；在振动和波方面，主要学习简谐振动和平面简谐波。
热学的主要内容包括分子物理学和热力学，主要学习温度，热力学第一定律、第二定律，热机效率及熵增加；气体分子运动论的基本方法，气体压强公式，分子平均动能，气体分子的麦克斯韦速率分布律，能量均分定理。
先修课程：高等数学A(1)参考书目：《力学》，漆安慎、杜婵英，高等教育出版社，1997年；《热学教程》（第二版），黄淑清、聂宜如、申先甲编，高等教育出版社，1994年电磁学Electromagnetism课程编号：22189903 总学时：72 学分：4课程性质：专业必修课课程内容：本课程主要包括真空中的静电场，静电场中的导体和电介质，恒定电流，恒定磁场，磁介质，电磁感应，电磁场和电磁波，及电磁学与当代高新技术等内容。
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对上述问题采用分离变量法，得 ∞ ak π ak π V ( x , t ) = ∑ C k cos t + Dk sin l l k =1 其中 2 l kπ
Ck = [ −W ( x )]sin ∫ l
0
kπ t sin x, l
l
xdx ,
Dk = 0.
所以
ak π kπ V ( x , t ) = ∑ C k cos t sin x. l l k =1
u u
utt = a 2u xx + f ( x, t ),
x =0
t =0
（1）
= µ1 (t ), u
x =l
t =0
= ϕ ( x), ut
µ2 (t ) − µ1 (t ) = µ2 (t ),（2） u ( x, t ) = V ( x, t ) + x + µ1 (t ) , l
为了使得关于V 的方程和边界条件都是齐次的，则 选取的W (x)须满足 2 a W ''( x ) + A = 0,
W
x=0
= 0, W
x =l
= B.
A 2 Al B W ( x) = − 2 x + 2 + x. 解之得 2a l 2a 由原定解问题得 2 （8） V = a Vxx , tt V （9） x =0 = 0, V x =l = 0, V t =0 = −W ( x), Vt t =0 = 0, （10）
(2)
ux
x =0
= µ1 (t ), u
x =l
= µ2 (t );
(3)
ux
x =0
= µ1 (t ), ux
x =l
= µ2 (t ).
特别地，若定解问题中的自由项 f 及 µ1 , µ2 都与t 无关，则可选择一个与t 无关的函数W (x), 使得原问题作代换 u=V (x, t )+W (x)后关于V (x, t) 的方程与边界条件都是齐次的。
例1 求定解问题
u
2 u = a u xx + A, tt u x =0 = 0, u x =l = B,
t =0
（5） （6）
= 0, ut t =0 = 0, （7） 其中A，B是常数。 解 设u (x, t)=V (x, t )+W (x), 代入方程（5），得
22 2 V V = = a a V [ V + + a W W''( ''( xx )] ) + A, tttt xx xx
即：若V (1)是问题(Ⅱ) 的解，V (2)是问题（Ⅲ） 的解，则V =V (1)+V (2) 是
(2) 2 (2) V = a Vxx , tt 问题 ( Ⅰ ) 的解。 V (2) (2) (Ⅲ ) x = 0 = 0, V x = l = 0, (2) V t =0 = ϕ1 ( x ), Vt (2) t =0 = ψ 1 ( x),
= ψ ( x),（3）
V (Ⅰ ) V
则由原问题可得关于V (x, t) 的定解问题 2 V = a Vxx + f1 ( x, t ), tt
x =0
= 0, V
x =l
= 0,
t =0
= ϕ1 ( x), Vt
t =0
= ψ 1 ( x ),
其中
µ2 ''(t ) − µ1 ''(t ) f1 ( x, t ) = f ( x, t ) − x + µ1 ''(t ) , l µ2 (0) − µ1 (0) x + µ1 (0) , ϕ1 ( x) = ϕ ( x) − l µ2 '(0) − µ1 '(0) ψ 1 ( x) = ψ ( x) − x + µ1 '(0) . l
∞
因此原定解问题的解为
∞ A 2 Al B akπ kπ u ( x, t ) = − 2 x + 2 + x + ∑ Ck cos t sin x. 2a l l l 2a k =1
(1) (2) u ( x , t ) = V + V +W. 故原定解问题的解为
例 就下列几种边界条件写出相应的W (x, t),
使得作代换 u=V (x, t )+W (x, t)后关于V (x, t)的 边界条件是齐次的:
(1)
u
x =0
= µ1 (t ), u x
x =l
= µ2 (t );
(Ⅰ ) V V
Vtt = a 2Vxx + f1 ( x, t ),
x =0
= 0, V
x =l
= 0,
t =0
根据叠加原理，问题（Ⅰ）
= ψ 1 ( x), 可分解成如下两个定解问题：
t =0
= ϕ1 ( x), Vt
(1) 2 (1) V = a Vxx + f1 ( x, t ), tt (1) (Ⅱ) V x =0 = 0, V (1) x =l = 0, (1) V t =0 = 0, Vt (1) t = 0 = 0,
第五节
非齐次边界条件 的处理
湖南大学朱郁森
utt = a u xx + f ( x, t ), 0 < x < l , t > 0, （1） u x =0 = µ1 (t ), u x =l = µ2 (t ), （2） u ut t =0 = ψ ( x), （3） t = 0 = ϕ ( x ),
A(t ) =
所以
µ2 (t ) − µ1 (t )
l l
,
B(t ) = µ
µ2 (t ) − µ1 (t )
x + µ1 (t ).
因此作代换
µ2 (t ) − µ1 (t ) u ( x, t ) = V ( x, t ) + x + µ1 (t ) , l
2
设
u (x, t)=V (x, t ) + W ( x, t),
为了使得V (x, t)的边界条件是齐次的，则选取的 W (x, t)必须满足条件
W
x =0
= µ1 (t ), W
x =l
= µ2 (t ).
（4）
W
x=0
= µ1 (t ),W
x =l
= µ 2 (t ).
（4）
设
W ( x, t ) = A(t ) x + B(t ), 则由条件（4）得