极小弱c-正规子群对有限群结构的影响
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规 子 群 ． 个 群 系 是 饱 和 的 ， 果 Ｇ （ ∈ 则 一 如 ／ Ｇ） ＧＥ 在 本 文 中 ， Ｕ表 示 所 有 超 可 解 群 类 ， 然 Ｕ是 显
１ 初 等 结 果 引 理 １ １１ 设 Ｇ 为 有 限 群 ， ： ． 【 ］ 则
（） １ 如果 Ｈ 在 Ｇ 中正 规 （ 正规 ） 则 Ｈ 在 Ｇ 中 ，
的极 小 子 群 具 有 较 好 的 性 质 去 研 究 有 限群 结 构 是 一
个 令人 感 兴趣 的 问题． ｕｋｅ Ｂ ｃ ｌｙ证 明 了 ： 果 奇 阶群 如 Ｇ的极小 子群 在 Ｇ 中正 规 ， Ｇ 是超 可解 群 ． 则 后来 ，
Ｓ ａ ｎ证 明 了 ： 限 群 Ｇ 的 极 小 子 群 及 ４阶 循 环 子 ｈ Ｍａ 有 群 在 Ｇ 中 Ｔ 拟 正 规 ， Ｇ 是 超 可 解 群 ． ｍａ ａ［ 【 一 则 Ｒａ ｄ ｎ２
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・ １ ・ ６
内江 师 范 学 院 学 报
Ｊ ＯｕＲＮＡＬ ＯＦ ＮＥＩＩ Ｊ ＡＮＧ ＮＯＲＭ ＡＬ ＵＮＩ ＶＥＲＳ ＴＹ Ｉ
第 ｚ ３卷 第 ６期
Ｎｏ ６ Ｖｏ ． ３ ． １２
极 小 弱 ｃ正 规 子 群 对 有 限群 结 构 的 影 响 一
个 极 小 子 群 在 Ｎ ｃ Ｐ） 正 规 ， Ｇ 超 可 解 群 ． 文 （ 中 则 本
在群 系 的条件 获得 了下 面 的命 题 ： 设 是包 含 Ｕ的
一
饱 和群 系． 假设 Ｎ 是有 限群 Ｇ 的一可 解 正规 子群
子 群 在 Ｇ 中 弱 Ｃ正 规 ， Ｇ∈ 本 文 利 用 极 小 子 群 一 则
２ 主 要 结 果
使 得 Ｇ／ 如果 Ｆ Ｎ） Ｎ∈ （ 的极小 子 群或 ４阶循 环 的弱 正规性 得 到 了超 可 解 群 的 一 些 充 分 条件 ， 并 推广 了一些 已知结果 ．
弱 Ｃ正 规 ； 一
饱 和的． 是使 Ｇ Ｎ∈ 的所有正 规子群 Ｎ 的交 ． ／ Ｚ ｕＬ ｊ ｇ等 ［ 提 出了弱 正规子群 的概念． ｈ ｕｉ ｎ 】 称
Ｇ 的子 群 Ｈ 在 Ｇ 中弱 正 规 ， 如果 存 在 Ｇ 的一 个 次 正
（ ） 果 Ｈ 在 Ｇ 中 弱 Ｃ正 规 ， Ｈ ≤ Ｋ≤ Ｇ， ２如 一 且 则 Ｈ 在 Ｋ 中弱 Ｃ正 规 ； 一 （ ） Ｈ Ｇ， Ｋ≤ Ｈ ， Ｈ 在 Ｇ 中 弱 ｃ正 规 ３设 且 则 一 当 且 仅 当 Ｈ ／ 在 Ｇ／ 中弱 Ｃ正 规 ； Ｋ Ｋ 一 （ ） Ｈ 是 Ｇ 的 弱 ｃ正 规 Ⅱ 子 群 ， 是 Ｇ 的正 ４设 一 一 Ｎ 规 Ⅱ 子 群 ， ＨＮ 在 Ｇ 中 弱 ｃ正 规 ． 一 则 一 引 理 １ ２２ 设 Ｐ 是 Ｇ 的 正 规 子 群 且 Ｈ Ｇ， ． ［ ］
文 章 编 号 ：６ １ １ ８ （０ ８ ０ — ０ １ —０ １ ７ — ７ ５２ ０ ）６ ０ ６ ３
设 是 一 个群 类 ， 称 是 一 个群 系 ， 果 满足 ： 如 （ ） ＧＥｙ且 Ｎ Ｇ， Ｇ ＮＥｙ；２若 Ｇ ＮＥ 且 １若 － 则 ／ － ） （ ／ Ｇ ＭＥ２，１Ｇ （ ＮＮ） 其 中 Ｍ ， 均是 Ｇ 的正 ／ ￣ ／Ｍ ］ ∈ Ｎ
引 理 １ ３４ 设 是 一 个 饱 和 群 系 ， 是 有 限 ．【 Ｇ 群 ， Ｇ） Ｇ 的 Ｆ ｔ ｎ Ｆ（ 为 ｉ ｉｇ子 群 ． 为 Ｇ 的 上 根 ． ｔ 如
果 Ｇ
但存 在 Ｇ的一极 大子群 Ｍ 使得 Ｍ ∈ 且 Ｇ
—ＭＦＩ 若 ＞ ，
则 Ｆ（ ＨＰ） 一Ｆ（ Ｐ． Ｈ）
规子 群 Ｋ， 使得 Ｇ —ＨＫ且 ＨｎＫ≤ ＝ ＮｇＧ ， Ｅ Ｈ 其
中 Ｈ。是 包 含 在 Ｈ 中 Ｇ 的极 大 正 规 子 群 ．
设 Ｇ是 有 限群 ， Ｇ的极 小子群 是 素数 阶群 ． 于 对 偶 阶群来讲 ， 人们 通常 考虑 ４阶 子群 ． 假设 一 个群 在
刘 熠 ， 钟 纯 真 ， 李 尚莹
（．四 】省 高等 学 校数 值 仿 真重 点 实验 室 ， 四 】 内江 １ Ｉ １ １ １ ６ １０ ； ４ ０ ０ ２ ．内江 师 范 学 院 ａ ．数 学 与信 息科 学 院 ｂ ．监 审处 ， 四 川 内 江 ６ ｌ １ ） ４ １２ 摘 要： 利用 极 小 子 群 的弱 正规 性 刻 画 了有 限群 的结 构 ， 到 了有 限 超 可 解 群 的若 干 充 分 条 件 ； 群 系 理 论 得 从
ｅ ｐ 一 Ｐ 若 Ｐ ２ ｅ ｐＧ ≤ ４ ｘ ； 一 ，ｘ ． 引 理 １ ４５ 设 Ｇ 是 内 超 可 解 群 ， Ｇ 有 一 正 ．［ 则 规 Ｓ ｌｗ 子 群 Ｐ 且 Ｐ／ Ｐ） Ｇ／ （ 的 极 小 正 规 ｙｏ （ 是 Ｐ）
子群 ．
证 明 了 ： Ｇ是 有 限群 ， Ｇ有 奇 阶正 规 子群 ～ 使 设 且 得 Ｇ／ 是超 可解群 ． ～ 如果 Ｎ 的 Ｓ ｌｗ 子群 Ｐ 的 每 ｙｏ
引理 １ ５６ 设 Ｇ 的每 个极 小 子群 及 ４阶循 环 ．［
子 群 在 Ｇ 中弱 Ｃ正 规 ， Ｇ是 超 可 解 群 ． 一 则 引 理 １６２ 设 是 包 含 Ｕ的 一 饱 和 群 系 ， 果 ． ［ ］ 如 Ｎ 是 Ｇ 的 一 循 环 正 规 子 群 且 Ｇ／ ∈ 则 Ｇ∈ Ｎ
出 发 ， 到 了 包含 超 可 解 群 类 的 饱 和 群 系 的充 分 条件 ， 推 广 了 一些 已知 结 果 ． 得 并
关键词： 弱 正 规 子 群 ； 小 子 群 ； 和群 系 ； 可解 群 系 ； 可 解群 极 饱 超 超
中 图分 类号 ： ５ Ｏ１２
文 献 标识 码 ： Ａ
１ 初 等 结 果 引 理 １ １１ 设 Ｇ 为 有 限 群 ， ： ． 【 ］ 则
（） １ 如果 Ｈ 在 Ｇ 中正 规 （ 正规 ） 则 Ｈ 在 Ｇ 中 ，
的极 小 子 群 具 有 较 好 的 性 质 去 研 究 有 限群 结 构 是 一
个 令人 感 兴趣 的 问题． ｕｋｅ Ｂ ｃ ｌｙ证 明 了 ： 果 奇 阶群 如 Ｇ的极小 子群 在 Ｇ 中正 规 ， Ｇ 是超 可解 群 ． 则 后来 ，
Ｓ ａ ｎ证 明 了 ： 限 群 Ｇ 的 极 小 子 群 及 ４阶 循 环 子 ｈ Ｍａ 有 群 在 Ｇ 中 Ｔ 拟 正 规 ， Ｇ 是 超 可 解 群 ． ｍａ ａ［ 【 一 则 Ｒａ ｄ ｎ２
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第 ｚ ３卷 第 ６期
Ｎｏ ６ Ｖｏ ． ３ ． １２
极 小 弱 ｃ正 规 子 群 对 有 限群 结 构 的 影 响 一
个 极 小 子 群 在 Ｎ ｃ Ｐ） 正 规 ， Ｇ 超 可 解 群 ． 文 （ 中 则 本
在群 系 的条件 获得 了下 面 的命 题 ： 设 是包 含 Ｕ的
一
饱 和群 系． 假设 Ｎ 是有 限群 Ｇ 的一可 解 正规 子群
子 群 在 Ｇ 中 弱 Ｃ正 规 ， Ｇ∈ 本 文 利 用 极 小 子 群 一 则
２ 主 要 结 果
使 得 Ｇ／ 如果 Ｆ Ｎ） Ｎ∈ （ 的极小 子 群或 ４阶循 环 的弱 正规性 得 到 了超 可 解 群 的 一 些 充 分 条件 ， 并 推广 了一些 已知结果 ．
弱 Ｃ正 规 ； 一
饱 和的． 是使 Ｇ Ｎ∈ 的所有正 规子群 Ｎ 的交 ． ／ Ｚ ｕＬ ｊ ｇ等 ［ 提 出了弱 正规子群 的概念． ｈ ｕｉ ｎ 】 称
Ｇ 的子 群 Ｈ 在 Ｇ 中弱 正 规 ， 如果 存 在 Ｇ 的一 个 次 正
（ ） 果 Ｈ 在 Ｇ 中 弱 Ｃ正 规 ， Ｈ ≤ Ｋ≤ Ｇ， ２如 一 且 则 Ｈ 在 Ｋ 中弱 Ｃ正 规 ； 一 （ ） Ｈ Ｇ， Ｋ≤ Ｈ ， Ｈ 在 Ｇ 中 弱 ｃ正 规 ３设 且 则 一 当 且 仅 当 Ｈ ／ 在 Ｇ／ 中弱 Ｃ正 规 ； Ｋ Ｋ 一 （ ） Ｈ 是 Ｇ 的 弱 ｃ正 规 Ⅱ 子 群 ， 是 Ｇ 的正 ４设 一 一 Ｎ 规 Ⅱ 子 群 ， ＨＮ 在 Ｇ 中 弱 ｃ正 规 ． 一 则 一 引 理 １ ２２ 设 Ｐ 是 Ｇ 的 正 规 子 群 且 Ｈ Ｇ， ． ［ ］
文 章 编 号 ：６ １ １ ８ （０ ８ ０ — ０ １ —０ １ ７ — ７ ５２ ０ ）６ ０ ６ ３
设 是 一 个群 类 ， 称 是 一 个群 系 ， 果 满足 ： 如 （ ） ＧＥｙ且 Ｎ Ｇ， Ｇ ＮＥｙ；２若 Ｇ ＮＥ 且 １若 － 则 ／ － ） （ ／ Ｇ ＭＥ２，１Ｇ （ ＮＮ） 其 中 Ｍ ， 均是 Ｇ 的正 ／ ￣ ／Ｍ ］ ∈ Ｎ
引 理 １ ３４ 设 是 一 个 饱 和 群 系 ， 是 有 限 ．【 Ｇ 群 ， Ｇ） Ｇ 的 Ｆ ｔ ｎ Ｆ（ 为 ｉ ｉｇ子 群 ． 为 Ｇ 的 上 根 ． ｔ 如
果 Ｇ
但存 在 Ｇ的一极 大子群 Ｍ 使得 Ｍ ∈ 且 Ｇ
—ＭＦＩ 若 ＞ ，
则 Ｆ（ ＨＰ） 一Ｆ（ Ｐ． Ｈ）
规子 群 Ｋ， 使得 Ｇ —ＨＫ且 ＨｎＫ≤ ＝ ＮｇＧ ， Ｅ Ｈ 其
中 Ｈ。是 包 含 在 Ｈ 中 Ｇ 的极 大 正 规 子 群 ．
设 Ｇ是 有 限群 ， Ｇ的极 小子群 是 素数 阶群 ． 于 对 偶 阶群来讲 ， 人们 通常 考虑 ４阶 子群 ． 假设 一 个群 在
刘 熠 ， 钟 纯 真 ， 李 尚莹
（．四 】省 高等 学 校数 值 仿 真重 点 实验 室 ， 四 】 内江 １ Ｉ １ １ １ ６ １０ ； ４ ０ ０ ２ ．内江 师 范 学 院 ａ ．数 学 与信 息科 学 院 ｂ ．监 审处 ， 四 川 内 江 ６ ｌ １ ） ４ １２ 摘 要： 利用 极 小 子 群 的弱 正规 性 刻 画 了有 限群 的结 构 ， 到 了有 限 超 可 解 群 的若 干 充 分 条 件 ； 群 系 理 论 得 从
ｅ ｐ 一 Ｐ 若 Ｐ ２ ｅ ｐＧ ≤ ４ ｘ ； 一 ，ｘ ． 引 理 １ ４５ 设 Ｇ 是 内 超 可 解 群 ， Ｇ 有 一 正 ．［ 则 规 Ｓ ｌｗ 子 群 Ｐ 且 Ｐ／ Ｐ） Ｇ／ （ 的 极 小 正 规 ｙｏ （ 是 Ｐ）
子群 ．
证 明 了 ： Ｇ是 有 限群 ， Ｇ有 奇 阶正 规 子群 ～ 使 设 且 得 Ｇ／ 是超 可解群 ． ～ 如果 Ｎ 的 Ｓ ｌｗ 子群 Ｐ 的 每 ｙｏ
引理 １ ５６ 设 Ｇ 的每 个极 小 子群 及 ４阶循 环 ．［
子 群 在 Ｇ 中弱 Ｃ正 规 ， Ｇ是 超 可 解 群 ． 一 则 引 理 １６２ 设 是 包 含 Ｕ的 一 饱 和 群 系 ， 果 ． ［ ］ 如 Ｎ 是 Ｇ 的 一 循 环 正 规 子 群 且 Ｇ／ ∈ 则 Ｇ∈ Ｎ
出 发 ， 到 了 包含 超 可 解 群 类 的 饱 和 群 系 的充 分 条件 ， 推 广 了 一些 已知 结 果 ． 得 并
关键词： 弱 正 规 子 群 ； 小 子 群 ； 和群 系 ； 可解 群 系 ； 可 解群 极 饱 超 超
中 图分 类号 ： ５ Ｏ１２
文 献 标识 码 ： Ａ